博弈论的数学模型（精选8篇）
博弈论的数学模型 篇1
博弈论的数学模型
作者： 竺可桢学院01混合班
王大方
何霈
邹铭
摘要
博弈论现在得到了广泛的应用，涉及到人的决策问题都可以用博弈论的模型加以解释。本文首先用数学的方法表述实际生活中的博弈行为，并导出一般情况下的博弈的结果，进而讨论一些不同的外部约束条件对博弈过程的影响。我们用经济学中的垄断竞争现象作为博弈问题的一个实例，讨论生产者在不同状态下的决策，进而分析双方共谋的动机和可能性。
（一）基本博弈模型的建立
一, 博弈行为的表述
博弈的标准式包括：
1． 1． 博弈的参与者。
2． 2． 每一个参与者可供选择的战略集。3． 3． 针对所有参与者可能选择的战略组合，每一个参与者获得的利益在n人博弈中，用Si为参与者i的可以选择战略空间，其中任意一个特定的纯战略为si，其中任意特定的纯战略为si，si∈Si，n元函数ui（s1，s2，……sn）, 当n个博弈者的决策为s1，s2，……sn时,表示第I各参与者的收益函数。
二, 博弈的解
当博弈进入一个稳定状态时，参与者选择的战略必然是针对其他参与者既定战略的 最优反应，在此状态下没有人愿意单独背离当前的局势。这个局势叫纳什均衡：
在n个参与者标准式博弈，G={ S1，S2，……Sn；u1，u2，……un}中，若战略组合{s1*，s2*，……sn*}满足对每一个参与者i，si*是针对{ s1*，s2*，……si-1*，si+1*……sn*}的最优反应战略，目标战略组合{s1*，s2*，……sn*}为该博弈的纳什均衡。即：ui { s1*，s2*，……si-1*，si*，si+1*……sn*}≥ui { s1*，s2*，……si-1*，si，si+1*……sn*}，对一切si∈Si均成立。
纳什于1950年证明在任何有限个参与者，且每个参与者可选择的纯战略为有限个的博弈中，均存在纳什均衡。（包括混合战略）混合战略指认某种概率分布来取一个战略空间中的战略，在本文中不加讨论。
在一般情况中，纳什证明保证了我们的均衡分析有意义。
三, 博弈实例：单阶段博弈古诺竞争
在古诺竞争中，少数厂商通过改变产量来控制价格，以使他们的收益最大化。我们作如下假设：
1． 1． 厂商生产的商品是相同的，消费者没有对某家厂商的偏好。
2． 2． 市场上价格与供给量的函数为p=a-bQ，且供给增加不会导致过剩，而仅仅使价格降低，即厂商可以将生产的产品全部售出。
3． 3． 厂商都是理性的，即面对既定的情况都做出决策使自己利益最大化。
4． 4． 信息是完全的，每个厂商都知道其他厂商时理性的，且每个厂商知道别人是理性的这一事实为所有参与者的共识。
（二）博弈模型的求解与讨论
为了简单起见，我们从一家企业的情况做起： 只有一家企业时，目标收益函数u=Q（a-bQ）针对max u 的解为Q0=a/2b，u0=a2/4b 当有两家企业时，设产量分别为Q1，Q2，则
p=a-b（Q1+Q2）
u1（Q1，Q2）=p*Q1=Q[a-b（Q1+Q2）]
u2（Q1，Q2）=p*Q2=Q[a-b（Q1+Q2）] 纳什均衡点Q1*，Q2*为方程组
u1/ Q1 =0
（1）uQ2/2=0
（2）的解。
整理，得到
2bQ1+bQ2=a
（3）
bQ1+2bQ2=a
（4）
解得 Q1*=Q2*=a/3b，对应的u1=u2=a2/9b 纳什均衡点是一个极值点，一旦达到该点时双方都没有率先改变的动机。
下面我们讨论纳什均衡点的孤立性，即在对方初始决策不在纳什均衡时，双方能否通过理性的利益最大化策略使博弈形势变化至纳什均衡点。
(1)式表示厂商1的最优函数，在给定对方产量Q时它根据（1）来使自己收益最大，由(3)式, 厂商最优函数为Q1=（a-bQ2）/2b同样（2）时表示厂商（2）的最优函数，由（4）式，厂商2的最优函数为Q2=（a-bQ1）/2b
这是两条直线，如图，交点E为纳什均衡点。
AB为厂商1的最优函数，CD为厂商2的最优函数，当双方的初始选择点为A，即Q1=0，Q2=a/b，A在厂商1最优函数上，故厂商1不会改变，但厂商2针对Q1=0的最有点为C，于是双方的决策点转移到C，在C点厂商1会调整自己的产量时双方决策点到F，然厂商2又会调整策略到CD上，以此类推，最后将到达E点，在第一象限的任何初始选择点，按以上分析双方都能经过一系列调整到达E点。
在完全信息的假设下，上面这一系列的调整过程在任何一方决策之前就能被预测到，任何一个厂商都回绝的任何一个异于E点的决策都不是在给定条件下最好的选择，于是双方会不约而同的按E点做出产量决策。但是当
Q1=Q2=1/2 * a/2b（5）
时双方才能获得最大收益。Q1=Q2=1/2 * a2/4b（6）
这一方面说明纳什均衡点并不是一个最好的决策点，另一方面也说明与独家垄断比起来两家厂商的竞争提高了社会效应，社会总产量从a/2b增加到了2/3 * a/b=2a/3b。
当厂商数增加至n家时，模型变为
n
p=a-b*∑i=1Qi
（7）
ui=p*Qi，i=1，2，……n(8)
i/ i =0
I=1,2……n
(9)
由归纳法可证明（9）可化为方程组（以矩阵形式表示）uQ211:11....21:11....112....1:::....12 1Q11Q21::::Qn= a/b *1
(1)
由线性代数分析可知，该方程组有唯一非零解 Q1*=Q2*=…Qn*=a/(n+1)b, ui*=a2/(n+1)2b 社会总产量为na/（n+1）b。
这说明h厂商垄断竞争也必有纳什均衡点，同样方法可证明纳什均衡点不是孤立的，于是理智的各方均会按均衡点做产量决策。
另外n越大，竞争越彻底，社会总产量越高。当n很大时，总产量趋于a/b，此时价格p为0，这时价格p为0，此时这个模型不适用。因为在n较小，（一般小于5）时垄断厂商才有能力通过自己的产量来控制价格。
厂商们的整体最好选择是Q1*=Q2*=……Qn*==a/2nb, 分别能获得收益，a2/4nb。显然n越大，厂商们理性博弈的结果和他们的最好选择点间的差距越大。
（三）多阶段博弈与共谋
以上可以看出，作为博弈者的厂商很有必要共谋限制产量，但最好的选择点是不稳定的，率先违约的一方都能获取额外利润，因此需要一些条件来约束双方的行为。另外共谋只有在长期过程中才有效益，双方需要不断检查是否已经违约，并决定自己是否要违约，每次这样的过程就是上文的单阶段博弈。
这里的信息条件为每企业在n阶段可以观察的前n-1阶段博弈结果。规则为一旦对方违约，自己就违约，且永不守约，这为双方所共识。
我们新引入一个时间贴现因子v，0 a2（1+v+v2+……）/8b=a2/[8（1-v）b]（10） 对先违约的一方，根据对方a2/4b的产量，由（3）和（4），它的最优产量为3a/8b，该阶段收益为 [a-b（3/8+1/4）a/b]*3/8*a/b=9a2/64b（11） 此后双方都明白共谋破裂，均按a/3b的均衡产量生产。设一方在N阶段违约，则收益2为a（1+v+v2+……vN-1）/8b+9vN/64*a2/b+vN+1*a2/[（1-v）ab] （12） （12）-（10），得 [vN/64-vN+1/72（1-v）]*a2/b 解得 当v<0.529时，先违约方有利，且违约越早，额外利润最高。此时共谋很难达成。 （四）共谋与监督问题的深入 长期博弈中，人们需要一套更为复杂的机制来维持一种非纳什均衡，以维持利益的最大化。和之前的那个模型不同，在每一次作单阶段博弈时，人们不仅仅通过前一次的结果，而是通过一种长期的经验来对对手做出判断。这里涉及一个信誉问题，他是一个标证不确定因素的概率，这样的模型使得我们可以根据对手不同的策略作出最有利于自己的决断。合作的结果一般出现在离博弈结束较远的阶段，而在最后几个阶段的博弈中博弈者往往只注重当前的利益。 我们提出的维护声誉的策略是“投桃报李”，即下一次作的决策与对手上一次的决策相同，将上文中的垄断竞争模型修改如下： 1． 1． 理性博弈者B知道博弈者A有P的概率选择投桃报李的策略，有（1-P）的概率选择其他策略（此时A即成为一个理性的人）。A也知道B时理性的。 2． 2． 在每个阶段N, 双方都同时作决策，都知道前N-1次彼此的决策结果。一旦A未使用“投桃报李”的原则而理性地做出利益最大化决策，则B就把A当作理性的，这一点也成为AB双方的共识。此后的博弈退化到上文讨论的一般完全信息理性博弈，得到的解为纳什均衡点。 单阶段博弈 对于单阶段博弈，由上文中（5）式的讨论，合作意味着厂商生产a/4b的产量，否则厂商将按利润最大化原则生产。首先违约的厂商将生产3a/8b，获利9a2/64b，而后所有厂商均会按a/3b生产，获利a2/9b。（为了描述方便，这里将常系数a2/b略去，下同）双方面对的策略-收益矩阵为 A B 合作 不合作 合作 （1/8，1/8） （5/48，5/36）不合作 （5/36，5/48） （1/9，1/9） 两阶段博弈 在两阶段博弈中，理性的B在第二阶段将选择不合作。在第一阶段开始时他要推测A的情况，A有P的概率为投桃报李类型的，于是，若B在第一阶段选择合作，则B对第一阶段预期收益为 P*1/8+(1-P)*5/48 （12） B对第二阶段的预期收益为P*5/36+(1-P)*1/9 （13） （因为若A不是投桃报李型的，在第一阶段结束时B就会知道这一事实，双方在第二回合便选择纳什均衡点。） 若B在第一阶段选择不合作，则B生产a/3b，（这里不合作并非生产3a/8b，因为此时B不知道A是否为理性的博弈者，经验算我们发现a/3b的产量决策比3a/8b的决策有更高的期望受益）。于是B对第一阶段的期望收益为 5P/36+(1-P)/9; （14） B对第二阶段的期望收益为 1/9 ； （15）（此事无论A是否理性，双方都不会合作）。 当P≥52%时，讨论 式（12）+（13）―[（14）+（15）] ≥0 所以在两阶段博弈中，只要估计A会有52%的可能投桃报李，B就会选择合作。 考虑模型中信息假设，A也完全明白B以上的想法，于是A也至少有装扮“投桃报李”的动机。 三阶段博弈 现在扩展成三阶段的情况，只要B在第一阶段合作，后来的两个阶段又退化至两阶段博弈的结果。由上文的分析, B对三个阶段的期望收益为 u1= P/8+5/48(1-P) u2=P/8+(1-P)/9 u3=5P/36+(1-P)/9 总期望收益u1+ u2+ u3= 47/144 + P/16 (16) 如果B在第一阶段不合作，则无论A是否为投桃报李型的在第二阶段都不会合作。而理性的B在第三阶段肯定会不合作。 如果此时B在第二阶段继续选择不合作，则B从这种背离中获得的各阶段期望收益为 u1=5P/36+(1-P)/9 u2=1/9 u3=1/9 总期望收益 u1+ u2+ u3= 1/3+P/36 (17) 比较（16），（17），得，当P≥20%时，式(17)> 式(16), B就没有动机在第一阶段背离。 如果B在第一阶段不合作，在第二阶段合作，第三阶段不合作，则他的各阶段期望收益为 u1= 5P/36+(1-P)/9 u2=5/48 u3=5P/36+(1-P)/9 总期望收益为P/18+47/144 恒小于（16）式，此时B也没有动机在第一阶段背离。 综上，只要A有20%的可能为投桃报李型的，B在前两阶段就没有背离合作的动机。 对于A，一旦他在第一阶段就背离合作，那么自第二阶段起A为理性的就成为博弈双方的共识，此时他的期望收益为5/36+1/9+1/9=13/36 而A如果始终合作，其均衡收益为1/8+1/8+1/9=13/36 所以在三阶段时A是否要背离合作无所谓，不过这只是由于本问题数据特殊性的巧合。 多阶段的扩展 从上面的三个阶段扩展就可以看出，随着阶段数的增多，每个博弈者更多的会考虑长久的收益情况，而非眼前。这意味着之需要一个很小的信誉概率P，就有可能约束对方不发生背叛的行为。 当共有T阶段博弈时,我们可以用归纳法证明理性的双方在从1到T-2阶段选择合作，而在T-1和T阶段按照上文讨论的两回合博弈行动。假设任何t(t 如果A在t 而A的均衡收益为从1到T-2阶段每一阶段均为1/8，T-1的收益为5/36，最后一期为1/9。显然提前违约的收益小于均衡收益。 对于B, 由两阶段博弈可知, B没有在前T-2阶段合作，T-1阶段不合作的动机，B只可能再t≤T-3的阶段背离合作。一旦B在t阶段背离合作, 则无论投桃报李的还是理性的A都将在t+1阶段不合作, 于是在前t+1阶段B无法确认A是否为理性，从t+2阶段起双方的博弈等同于一个T-(t+1)阶段的博弈。 由归纳假设，这后一部分博弈中双方会合作到T-2阶段，然后按照上文的两阶段博弈进行。B的总收益为 u= 1/8 *(t-1)+ 5/36 + 5/48+[T-2-(t+2)+1]*1/8 + [P/8 +(1-P)*5/48 +5P/36 +(1-P)/9] 这小于B从1到T的均衡收益（T-2）/8+ [P/8+ 5(1-P)/48 + 5P/48 +(1-P)/9] 所以B也没有只背离一次的动机。 更为一般的情况是在前（T-3）次博弈中B有多次的背离与合作，则按以上方法多次使用归纳法，可以发现获得的期望收益更少。其根本原因是率先背约者无法判断对方的真正类型，所以无法保证自己的利益能够最大化，而一旦约定破裂后修复的成本很高，使得背信弃义的额外收益比双方合作来的少。（5/36+5/48）<2*1/8)这样的模型就使得共谋更有约束力。 小结与进一步的研究 本文主要为静态博弈问题建立了数学模型，并用他分析了一个实例：垄断市场上的古诺竞争和共谋。在静态博弈中，数学上的极大值就是博弈的均衡解。理性决策迫使人们的行为向利益极大值点移动，而信息问题是理性决策最重要的前提条件，可以说不同的信息条件可以推导出不同的理性决策。本文讨论的是最完美的信息假设：完全信息。它不仅指双方彼此了解对方的情况，而且彼此知道对方了解自己情况这一事实，以此类推，等等，最后形成了一个无穷的递归链。最后讨论的投桃报李模型不是完全信息的，但是它也有一套为双方所共知的评判标准来约束双方的决策。总之，本文讨论的模型是双方都知道规则的情况下进行的博弈，这是一个对实际博弈相当理想化的简化。在这样的简化下，如何妥善的处理无穷信息递归链，是个有待进一步研究的问题。而就垄断这个经济问题本身而言，本模型最大的理想化就是价格与供给量成一次函数关系，进一步可将这个函数关系拟合得更符合实际，由此还可推导出不同的收益函数和多个纳什均衡点，做出进一步分析。 参考文献 罗伯特.吉本斯: 《博弈论基础, A PRIMER IN GAME THEORY》 约瑟夫.斯蒂格利茨: 《经济学》 张涛 方城等, 基于累积期望差异评价策略的重复博弈仿真研究 《系统工程.》2002,20(3).-87-91 霍沛军 双寡头的经济捕鱼策略 《数学的实践与认识》2002,32(2).-201-205 薛伟贤, 冯宗宪, 陈爱娟 寡头市场的博弈分析 《系统工程理论与实践》, 2002 Vol.22 No.11 Parrondo悖论[1]是博弈论中的一个悖论定律, 该定律以发现者西班牙科学家Parrondo[2]的名字命名。后来发展了多个不同的版本, 如Toral提出了一种依赖空间的“合作Parrondo悖论”版本。本文设计的是一种空间群体Parrondo博弈模型针对依赖资金的Parrondo博弈中模数M=n (n≥4, 且n为偶数) 时玩一种依赖生境的游戏:考虑由N个个体组成的种群, 每个个体占据一定的空间, 对任意个体i, 其空间范围内的所有邻居组成其生存的社会小生境, 个体i对小生境的依赖和小生境对个体i的牵制, 在模型中设置为B博弈。每个个体占据一定的空间, 对任意个体i, 其中以N=4为例, 初始状态有16种, (0000) 、 (0001) 、 (0010) 、……、 (1110) 、 (1111) 分别对应16进制中0、1、2、……、E、F, 初始状态集E为{0, 1, 2, …, F}。对于一维结构的B游戏如图1所示。 如图1, i的邻居为i+1和i-1, i+1和i-1存在4种不同的输赢状态, 因此B博弈由4个分支组成, 个体i在各个分支中赢的概率分别为p0、p1、p2, 和p3, 我们设置p0=0、p1=p2=0和p3=1。 1 初始状态为1、2、4、8的吸收时间的数学期望推导 那么X被0吸收的数学时间的期望为: 同理我们求得X被状态F吸收的时间的数学期望E (X→F) ;Y被状态0吸收的时间的数学期望E (Y→0) ;Y被状态F吸收的时间的数学期望E (Y→F) ;5或A被状态0吸收的时间的数学期望E (5→0) =E (A→0) ;5或A被状态F吸收的时间的数学期望E (5→F) =E (A→F) ;Z被状态0吸收的时间的数学期望E (Z→0) ;Z被状态F吸收的时间的数学期望E (Z→F) 如下所示: 2 结语 最后我们运用仿真计算, 发现和理论结果完全吻合, 说明本文的理论推导正确。在理论推导时我们发现, 当参数取p时的吸收时间的数学期望E (X→0) 等于参数取1-p时的吸收时间的数学期望E (Z→F) , 当参数取p时的吸收时间的数学期望E (X→F) 等于参数取1-p时的吸收时间的数学期望E (Z→0) 。 参考文献 [1]Abbott D.Asymmetry and Disorder:A Decade of Parrondo’s Paradox[J].Fluctuation and Noise Letters, 2010 (9) :129-156. 博弈论对人有一个最基本假定：人是理性的，人在具体策略选择的目的全是使自己的利益最大化。博弈论就是研究理性的人之间如何进行策略选择的，因此博弈论也称为对策论。博弈论就凭这么一条最简单的假定可以展开广泛的研究，并获得了丰富多彩的结果，利用博弈论可以解读人类的社会行动或集体行动，更易理解人类社会的复杂性和特殊性。为了刻画个体间利益的冲突对整个系统的影响，人们已经提出和发展了许多博弈模型，比较著名的有三个模型：囚徒困境、“雪堆”博弈和“少数者”博弈模型，下面笔者通过对这三个模型进行简单而通俗的介绍，让大家来了解博弈论及其应用概况。 “囚徒困境”模型 囚徒困境作为一个经典的博弈模型受到广泛关注。这个博弈模型假设两个小偷合伙作案时被捕，分别被关在不同的屋子里，如果双方都拒绝承认同伴的罪行，则由于证据不足两人都会被轻判(收益为R)；为此，警方设计了一个机制：如果一方出卖同伴，而另一方保持忠诚，则背叛者将无罪释放(收益为T)；坚持忠诚的一方将被重判(收益为S)；如果双方都背叛了对方，则双方都会被判刑(收益为P)。这里假设上述收益参数满足下面的条件：T>R>P>S。对每个参与者来说，如果对手坚持忠诚，则他也选择忠诚得到的收益R小于他选择背叛得到的收益T；如果对手选择背叛，则他选择忠诚得到的收益S仍小于他选择背叛得到的收益P。 可见，无论对手采取哪种策略，自己的最佳策略就是背叛，双方都选择背叛称为囚徒困境的唯一“纳什均衡”(纳什因其提出的“非合作完全信息博弈的纳什均衡”概念而荣获了1994年的诺贝尔经济学奖)；但是同时选择背叛所取得的平均收益要低于两个人同时保持忠诚取得的平均收益。在这种情况下，理性参与者面临着两难的困境。 自然界中广泛存在的合作现象——从单细胞生物的协同工作到人类的无私奉献的行为说明，还有其他的动力学机制激励一般所认为的自私的个体认识到合作的重要性。为了揭示这种潜在的演化机制，有人提出了“针锋相对”演化规则，采用“去输存赢”策略，改进囚徒困境中的两难结局。 “营堆”博弈模型 “雪堆”博弈又称为“鹰鸽”博弈或者“小鸡”博弈(chicken Game)，是另一类两人对称博弈模型，描述了两个人相遇时是彼此合作共同受益，还是彼此欺骗来相互报复。它揭示了个体理性和群体理性的矛盾对立。可以这样来描述雪堆博弈：在一个风雪交加的夜晚，两人相向而来，被一个雪堆所阻，假设铲除这个雪堆使道路通畅需要的代价为c，如果道路通畅则带给每个人的好处量化为b。如果两人一齐动手铲雪，则他们的收益为R=(b－c)／2；如果只有一人铲雪，虽然两个人都可以回家，但是背叛者逃避了劳动，它的收益为T=b，而合作者的收益为S=b－c；如果两人都选择不合作，两人都被雪堆挡住而无法回家，他们的收益都为P=0。这里假设收益参数满足下面的条件：T>R>S>P。雪堆模型与囚徒困境不同的是，遇到背叛者时合作者的收益高于双方相互背叛的收益。因此，一个人的最佳策略取决于对手的策略：如果对手选择合作，他的最佳策略是背叛；反过来，如果对手选择背叛，那么他的最佳策略是合作。这样合作在系统中不会消亡，而与囚徒困境相比，合作更容易在雪堆博弈中涌现。 “争当少数者”博弈模型 该模型由两位数学家查勒特和张翼成于1997年提出，他们假设在一个系统中有多(奇数)个参与者，在某一时刻各自独立地在两个策略中做出选择，参与人数少的策略获胜。该模型的核心思想是少数者获胜，这是从实际中提炼出来的一个好模型，股票交易就是一个典型例子。需要指出，“少数者”博弈模型是对著名“酒吧问题”的一种抽象和简化。 “酒吧问题”研究的是一群生活在美国圣塔菲的人们在周四晚上是否去该地区的一个著名酒吧的决策问题：每周四晚上这个酒吧都会有优雅的爱尔兰音乐演奏，然而如果去的人数过多，超过了酒吧所能容纳的人数，酒吧就会变得嘈杂拥挤，人们也无法悠闲地欣，赏音乐。因此人们需要根据过去的公共信息来对当晚去酒吧的人数做预测，以决定自己究竟是去酒吧还是留在家里。“酒吧问题”和“少数者”博弈模型都反映了社会经济活动中众多千差万别的参与者对有限资源竞争的基本特征，其思想是金融市场中的普遍原则——少数人获胜。 争当少数者博弈模型原则上与前面两个模型不同，双方并非完全自私、完全理性且具有相当完整信息，并按照严格的收益计算而决策，以便达到某种博弈的均衡。人们看到该模型中的双方基本上是根据“成功的经验”或“模仿成功者”进行决策，并非理性，信息也非完整，因此它不存在争当少数者博弈模型的均衡，似乎可以说，非理性和非完整信息的博弈更为重要。确实，现实生活中究竟有哪些面临的抉择是“完全理性”地根据完整信息严格计算而进行决策的博弈? 在“少数者”博弈模型的基础上，科学家还提出了“演化少数者博弈”(EMG)模型，将进化论与少数者博弈结合在一起，发现通过学习过去的公共历史信息，可以提高参与者的平均收益。在EMG模型中，对于某一轮博弈，参与者根据他记忆中保存的公共历史信息来独立地决策本轮自己是加入“1”组还是“0”组；当所有人都做出选择后，加入人数少的一组为获胜者，加入人数多的一组为失败者。人们通过对EMG模型的研究发现一个有趣的结论：一个相互间竞争的人群最终总是趋向于分离成为具有两种相反的极端行为的人群。这意味着为了在竞争社会中生存，参与者的行为最终会走向极端：要么始终遵循基本策略，要么始终反其道而行之。 本文以囚徒困境、雪堆博弈和少数者博弈三个典型模型为例，简单介绍了近年来博弈论研究概况。在现实生活和许多领域中，博弈行为对网络结构演化的作用是令人关注的课题。随着对演化博弈动力学行为与复杂网络之间关系深入研究，博弈必定会推动复杂网络的发展，乃至社会的进步，其应用前景十分美好。 地面搜索问题的两个数学模型 本文在避免重复搜索及尽量减少非搜索性行进的指导思想下,应用迂回搜索及环形搜索给出了两个关于地面搜索问题的数学模型. 数学模型在草地管理中的应用 草地生态系统是一种典型的由捕食者与被捕食者组成的系统,数学模型在探讨生态系统内捕食者与被捕食者之间关系方面发挥重要作用.为此建立并应用好草地生态系统中的`数学模型可以在本质上揭示系统内放牧家畜与草地牧草生产力之间的关系.本文介绍了草地生态系统中该数学模型建立及对模型求解的方法,详细讨论了该模型在草地生态系统中的应用特点.通过分析认为可以利用该模型来调控草地生态系统中载畜量与草地牧草产量间的关系,从而建立不同草地系统相应的数学模型,为利用计算机技术管理草地,精准地指导草地畜牧业生产提供基础数学依据. 作 者：王慧忠 WANG Huizhong 作者单位：滁州学院化学与生命科学系,安徽,滁州,239000刊 名：滁州学院学报英文刊名：JOURNAL OF CHUZHOU UNIVERSITY年，卷(期)：11(3)分类号：Q141 Q29关键词：数学模型 草地管理 捕食 被捕食 草地生态系统 Lotka-Volterra mathematic model ecosystem modeling grassland management predators and prey the grassland ecological system 摘 要：数学与生活的方方面面存在着密切的关系，这就需要提升学生的数学应用能力，而通过模型思想就能将数学知识和实际生活联系起来，学生的数学思维能力也会得到提升，将数学的应用价值凸显出来。本文主要对如何在小学数学教学中渗透模型思想进行了论述。 关键词：小学数学；模型思想；思考 模型思想是联系数学知识和外部世界的基本途径，而学生需要善于从现实生活、具体情境中将数学问题分析出来，利用数学符号来建立案例中所涉及的方程、不等式、函数等，然后将数学问题中的数量关系和变化规律表现出来，学生在建立起初步的数学模型以后，对数学学习就会产生浓厚的兴趣。 一、利用生活经验，分析转化数学模型 数学知识和生活实际之间存在着密切的关系，因此教师就需要善于将生活化的案例引入到教学中，让学生利用自己已有的生活经验来对其中所蕴含的数学知识进行分析和理解，也能够将生活问题转化成数学模型，体会数学模型在生活问题解决过程中所起到的作用。在具体的解决过程中学生的思路也会得到拓展，知识点也得到了巩固。以苏教版小学数学五年级下册“方程”的教学为例。 （教师在讲台上展示出天平。） 师：同学们，你们知道这是什么物体吗？ 生：天平。 师：那么谁能说一说天平有什么作用吗？ 生：天平可以用来称东西，当天平的指针指向中间的时候，那么就说明天平两边的质量是相等的。 师：现在一个物体的重量是50 g，那么需要放多少砝码才能够保证两边相平呢。 生：50 g。 师：很好，我们如何用等式来进行表示呢？ 生：物体的质量=50 g。 师：在数学里面我们可以将物体的质量用一个x进行表示，那么上面的等式就可以表示成？ 生：x=50 g。 师：在数学中我们将这样的式子称之为等式。现在同学们再思考一个问题，如果在天平一端放了5个苹果，需要250 g砝码才能保证天平两端平衡。如何来对这个式子进行表示呢？ 生：可以表示成5x=250。 师：同学们很聪明，这就是我们今天要学习的方程，方程是在等式的基础之上学习的。同学们观察方程有什么特点。 生：都有一个x。 师：没错，这就是我们要求的量，我们可以将我们要求的量设成x，这样就能够很好地建立等式，帮助我们解决一些实际的问题。那么接下来同学们来思考一个问题：方程和等式表达的是一样的含义吗？ 生：方程一定是等式，但是等式并不一定是方程，因为方程中含有x，而等式中却并不一定含有x。 师：说得真好，那么同学们想一想，如何对这个方程进行解答呢？比如5x=250。这个x的值是多少呢？ 生：在对方程进行解答的时候，就需要将x单独放在右边，然后进行计算，本题中的x=50。 师：看来同学们已经将方程融会贯通，并且能够利用方程来解决实际问题，真棒。 教师通过生活中常见的天平来进行引入，让学生在对天平原理理解的基础之上再引入方程的概念，这样学生的理解就会比较容易，而且教师利用生活中常见的称量问题来帮助学生建立模型，学生以后再遇到与等式相关的问题时，也会依靠等式来建立方程，将方程思想贯穿到做题中。 二、把握教学时机，掌握数学模型思想 在模型思想进行渗透的时候，教师还需要把握好课堂教学的时机，采用适当的方法来进行渗透，这样学生在不知不觉中就会掌握数学模型的思想，而不会产生学习负担。教师主要是在知识的形成、实际操作以及问题解决过程中来进行模型思想的渗透。以苏教版小学数学六年级下册“百分比的应用”的教学为例。 （在上学期期末的时候，学生学习了“认识百分比”这部分的内容。”） 师：同学们，新年好！同学们新年都玩得开心吗？ 生1：很开心。 师：那么同学们现在的体重和之前比有没有变化呢？ 生1：我称了自己的体重，在过年之前我的体重是43千克，我现在是45千克，在家的时候吃了许多东西，所以就变重了。 师：我们在上学期结束的时候学习了“认识百分比”，那么同学们能计算一下自己变重了百分之多少呢？ 生1：我变重了2千克，那么百分比就是■×100%=4.65%。 师：看来同学们记得比较牢固，还没有忘了百分比的基本概念。那么今天我们就来学习“百分比的应用”这部分的内容。先问同学们一个问题：你们家里面的钱都是如何保管的？ 生1：我们家是存在银行的，有时候我会和妈妈一起去银行取钱。 师：那么同学们知道在银行存钱的时候，会计算利息，比如年利率0.4%等，同学们能计算一下在银行存了10000元，在一年之后能够获得多少利息呢？ 生1：用10000×0.4%=40元，一年的利息就是40元。 师：同学们想一想在生活中还有哪些地方会用到百分比吗？ 生1：在打折的时候也会用到百分比。 师：一件衣服打八折，那400元的衣服卖多少钱呢？ 生1：打八折就是400×0.8=320元。 师：同学们真聪明，已经能够熟练将实际应用和数学知识结合起来，同学们以后再遇到与百分比相关的问题时，也需要灵活运用数学知识。 教师从学生寒假的体重变化来进行引入，学生就会不知不觉对上学期学习的百分比知识进行回忆，然后教师再将学生引入“百分比的应用”这部分内容学习中，然后通过多个模型来加强学生对百分比的认识，学生的百分比知识的应用能力也会提升。 三、进行操作实践，提高模型提取能力 教师在课堂中需要设计一些探究的环节，让学生亲自参与到探究过程中，然后进行动手验证，这样就能够引导学生进行独立思考，不仅能够听懂教师讲解的数学模型，而且自己也能够将数学模型应用到数学问题解决中。以苏教版小学数学四年级下册“三角形”的教学为例。 师：在我们前面的学习中学习了长方形和正方形，今天我们就来学习数学几何世界中一个新的数学角色――三角形。同学们说一说在我们的生活中有哪些三角形物体呢？ 生1：三角尺是三角形的。 生2：路标是三角形的。 生3：红领巾也是三角形的。 师：同学们看到这些三角形的物体，能说一说什么是三角形呢？三角形的有什么特点呢？ 生1：三角形有三条边，三个角。 生2：三角形还有三个顶点。 师：没错，三角形有三条边、三个角以及三个顶点，但是同学们要注意三角形的三条边都是由直线构成的，三条弧线构成的图形并不是三角形。接下来同学们就来进行三角形的制作。 （学生积极参与到三角形的制作中。） 师：同学们，你们制作好三角形以后，想不想知道三角形的面积有多大呢？ 生：想。 师：你们需要按照老师的做法来对三角形作高，我们规定三角形的面积是底边×高的二分之一，现在同学们来对三角形的面积进行计算吧。 教师让学生法从生活实际案例来进行思考，通过观察以后就会对三角形有直观的了解，将三角形从生活实例中抽象出来，对三角形的性质进行分析的时候，学生也会抓住共性，学生的提取模型能力就会逐渐提升。 四、选择合适习题，有机渗透模型思想 在通过题目来让学生对数学模型进行了解的时候，教师需要对习题进行挑选，通过那些具有代表性的、能够吸引学生兴趣的题目来渗透模型思想，通过深入浅出的分析让学生亲自发现题目解决的关键点，然后自然而然地将模型思想运用到其中。以苏教版小学数学中“圆”这部分的教学为例。 师：同学们，在我们的生活中有许多的花坛，我们看到的花坛都是什么样子呢？ 生1：我看过到圆形的花坛。 生2：我还看到过长方形和正方形的花坛。 师：同学们真是善于观察的好孩子，现在思考一个问题：有一个24米的木栅栏，我打算用这个木栅栏围成一个花坛，怎样围才能够保证花坛面积最大，为什么？ （学生开始思考起来，但是并没有人站起来回答。） 师：同学们，你们是如何想的呢？ 生1：这要用到面积计算的公式，我们学过了正方形、长方形、圆等图形。 师：如何解决这个问题呢？ 生1：对了，这就是最经典的“谁的面积大”那道题目，在周长相等的时候，圆的面积大于正方形，正方形的面积大于长方形，所以将这个花坛建成圆形的，就可以保证面积最大。 师：同学们再想一想，如果用24米的栅栏和两面墙围成一个花坛，如何保证面积最大呢？ 生2：那花坛就是扇形。 师：如果利用一面墙和24米栅栏围成一个花坛，如何来进行设计呢？ 生2：那么就需要将花坛设计成半圆形，这样才能够保证面积最大。 师：同学们真聪明，可以很快将生活问题和数学知识结合起来，以后再遇到生活问题的时候，不要惧怕，要学会进行数学知识的迁移。 “谁的面积大”是小学数学中很经典的一道题目，学生对解题过程和判断过程也十分熟悉，但是将这道题和现实案例结合起来的时候，学生往往会不知道如何进行迁移，此时教师就需要对学生进行引导，一旦学生找到具体的数学点时，就会产生一种成就感，学生再遇到生活问题的时候也会主动进行建模。 近些年来, 越来越多的企业认识到绩效考核的重要性, 开始进行大力的探索, 投入了非常大的精力, 希望可以保证构建的绩效考核体系符合于企业的实际情况。企业绩效考核在企业发展过程中发挥着十分重要的作用, 主要体现在两个方面, 一方面是对报告期内员工的业绩进行准确的核算, 这样可以促使劳动报酬的发放更加公平。另外一个方面, 通过企业的业绩考核, 员工工作的积极性也可以得到充分的激发。员工的自身利益会直接受到考核指标体系、衡量标准等方面的影响, 因此, 员工会结合企业制定的考核方案, 对自己的工作行为进行必要的调整, 以便获得更大的利益。 1 博弈论的概念 具体来讲, 博弈论指的是在一定的条件以及规则约束下, 一些团队或者组织结合已经掌握的各种信息, 各自选择允许的行为或者策略, 将其落实下去, 然后从中取得相应的结果或者效益。只有具备了五个方面的内容, 才算是一个完整的博弈;一方面是博弈的参加者, 可以是个人也可以是组织, 他们在博弈的过程中决策可以独立进行, 后果也可以独立承担;二是博弈信息, 指的是博弈者掌握的情报资料, 可以对选择策略有所帮助;三是一个集合, 涵盖了博弈方可以选择的所有行为或者策略。四是博弈次序, 指的是博弈参加者在时间上选择策略。五是博弈方的收益, 指的是做出各项决策和选择之后, 博弈方所获得的以及失去的。 2 博弈论在企业绩效考核评价中的应用 从实质上来讲, 建立企业的绩效考核评价体系, 其实就是在不同利益方面互相博弈的过程中所形成的结果。利益相关方有很多, 比如政府、股东、经理、员工以及供应商等等。通过契约联系起来了企业的相关利益者, 然后在长时间的博弈过程中, 逐渐形成了企业的各项政策和规定。只要是企业的利益相关者, 都希望可以在博弈的过程中获得利益, 成为契约的缔造者, 博弈的内容是企业剩余索取权和剩余控制权。这种诸多方面的博弈都会促使形成企业绩效考核评价体系。 企业和员工之间的博弈, 运动到绩效考核之中, 就是衡量和测度员工考核时期的工作绩效, 在这个过程中, 参与考核的决策方是博弈方, 员工的工作绩效是博弈对象, 那么考核结果的实施效果就是博弈方收益。那么构建的绩效考核博弈模型, 员工和企业就是具体的博弈方。员工的合作决策指的是将在一定时期内的工作成果报告给主管, 但是也可能将那些虚假的工作报告提供给主管, 我们将这种行为称作为不合作策略。这种合作决策和不合作策略在主管身上也有体现, 前者指的是主管客观的评估员工的实际工作绩效;后者指的是对员工的考核结果故意宽容。双方这种重复博弈都集中在有两种政策可以选择的情况下进行。 以具体事例来进行分析, 主管和员工都可以采用合作或者不合作的方式, 如果两者都采用合作的方式, 那么得到的工作绩效评估也是客观真实的, 人力资源部得到的考核结果也是真实的。如果员工和主管有一方采用了不合作方法, 那么通常有益的是那些合作方。如果两者都采用不合作方法, 那么会不利于双方利益的获得, 人力资源部门得到的结果也不会是真实的, 不利于企业的发展, 不利于个人的成长。 3 基于博弈论的绩效考核评价模型 在模型构建方面:在对博弈论的相关知识进行充分把握基础上, 分析企业绩效考核评价中的博弈, 同时, 将企业的战略目标充分纳入考虑范围, 依据绩效评价目标, 来对基于博弈论的绩效考核评价模型进行构建。 模型分析:在博弈过程方面, 企业中存在的博弈并不是一种, 分为很多种, 但是绩效考核却会受到这些博弈的影响。比如核心员工和普通员工之间的博弈、员工和领导之间的博弈等等。这些博弈的目的都是为了最大限度的扩大自己的利益, 但是长期进行下去, 会对员工的工作积极性产生影响, 不利于企业的发展, 并对企业的绩效考核评价体系产生影响。 在绩效考核评价体系形成的过程方面:为了将绩效考评的效果充分的发挥出来, 企业需要结合博弈结果, 分析一些对策, 采取相关有针对性的措施。对策形成的过程从实质上来讲, 就是对绩效考核评价体系进行制定和不断完善的过程, 并且制定一系列的考核标准, 将考核的作用更好的发挥出来。 绩效考核评价的过程:形成了绩效考核评价体系之后, 就需要将绩效评价有效的落实下去, 在实施的过程中, 需要将企业制定的绩效考核评价标准充分纳入考虑范围。在绩效考核中, 需要充分考虑的一件事情就是保证可以符合于具体情况。 我们需要特别注意的是, 上面所讲到的三个过程, 都是互相联系的, 他们并不是独立存在的。各方在博弈的过程中, 逐渐形成了企业的考核评价体系, 这个博弈并不是静态的, 博弈结果可以有效的完善绩效评价体系。另外, 在博弈过程中, 会对各个博弈方的利益产生影响, 那么就会在很大程度上影响到博弈的结果, 如果改变了博弈均衡状况, 就需要及时调整绩效考核。通过构建绩效考核评价体系, 可以从理论上指导绩效考核评价体系的实施, 在企业考核体系的实施过程中, 可能会出现很多的问题, 比如设计的指标不够科学, 考核标准不够合理等等, 那么就需要综合分析出现的这些问题, 将问题产生的原因进行分析。如果因素是不可控制的, 那么就需要对确立下来的指标考核标准等进行修改。 要想将企业绩效考核评价的作用充分发挥出来, 我们还需要从这些方面来努力, 一是企业在进行考核标准的制定时, 需要紧密结合实际的企业状况, 并且在企业发展的过程中需要对考核内容进行不断的完善, 这样才可以拥有更加清晰的考核内容。二是企业在判定和选择策略时, 比如奖罚、培训、晋升等, 需要从总体来进行考虑。三是要对评价方法进行合理选择;还需要同步进行员工和主管的考核评价。 4 结语 通过上文的叙述分析我们可以得知, 绩效考核对于企业综合竞争力的提高有着很大的帮助, 构建一个完善的绩效考核评价模型, 有助于企业在激烈的市场竞争中获得优势。在绩效考核中引入博弈论, 认真研究绩效考核中出现的问题, 可以将相关的信息提供于构建绩效考核评价体系的过程中, 可以将博弈论的价值充分体现出来, 更加合理的运用绩效考核, 将工作人员和企业各个部门的工作积极性充分调动起来。 摘要：随着时代的发展和社会经济的进步, 特别是市场经济体制的确立和完善, 企业在发展过程中面临的竞争日趋激烈, 要想在激励的市场竞争中获得发展和壮大, 就需要充分重视员工的绩效考核评价, 将员工的积极性充分调动起来。其中, 在近些年来, 博弈论被越来越多的人所重视且应用, 在实际过程中, 取得了不错的效果。本文简要分析了基于博弈论的绩效考核评价模型构建, 希望可以提供一些有价值的参考意见。 关键词：博弈论,绩效考核,评价模型 参考文献 [1]高迎平, 沈志诚, 马艳萍.基于博弈论的企业绩效考核评价模型研究[J].河北工业大学学报, 2009, 2 (4) :22-24. [2]郑皓月.博弈论视角下的员工绩效考核评价指标体系[J].时代金融, 2012, 2 (33) :98-99. 关键词报童问题；均衡解；博弈；蜂窝理论 中图分类号F110.20 文献标识码A Abstract Based on the Cournot game strategy， this paper established a mathematical model of the newsboy problem in order to optimize the price competition strategy if the two vendors have overlapping sales areas. The model characterized the marketing areas of each seller as regular hexagons based on the honeycomb theory， and presented the competitive pricing strategy in order to ensure the maximum profit . Furthermore， this model considered the demand quantity as a function of the price， and introduced the distance between the consumer and the seller into the consumer density function since it is an important factor affecting the actual consumption action . Key wordsnewsboy problem； equilibrium solution； game 1引言 报童模型自从1956首次被提出，一直成为学术界的关注焦点，近60年的时间里，产生了许多可观的研究成果1. 经典报童问题即单周期库存问题，研究的是面对随机需求量，销售商应该订购多少产品以获得最大的利润，目前的研究主要集中在对模型参数及决策变量的扩展. Hua等（2012）2将不同地点价格对需求的影响因素纳入模型的考虑范围. Lin 等3考虑需求相关的多地点的报童模型，其中：缺货成本、批发价及残值费用函数，及各点零售价格均相同，并得出一些关于集中控制与分散控制下期望收益大小的关系. 现实生活中，市场上往往存在多个销售商，他们通常销售相同或者可以相互替代的商品，而顾客对这类商品的总需求是一定的，销售商需要通过竞争满足顾客的需求以追求最大利润，在进行价格、订货量等决策时必须考虑其他销售商的行为策略. 1838年，法国经济学家古诺提出了关于产量决策的在双头垄断古诺模型. 在该模型中，只有2个销售者销售这种产品，虽然这2个销售者之间没有勾结或者联盟，但双方都清楚对方的行动方案，因此通过制定最优的产量策略来达到利润最大化4. 唐小我5 用差分方程方法分析了2个厂商条件下的古诺模型的均衡解和产量序列动态变化过程. 报童问题是一个日益重要而且相当具有活力的研究方向，但是，随着经济与社会的发展，市场竞争日益激烈，市场格局也日趋复杂，如果不考虑市场格局的复杂性，不考虑销售商之间的竞争因素，对报童问题的研究可能不会有很大的实用价值. 为此，本文借鉴已有的研究成果，基于古诺博弈策略，试图构建一种全新的报童模型，寻求2个甚至多个存有竞争关系的销售商在商品销售区域有重叠的时候，其竞争价格策略优化方法. 经济数学第 31卷第4期 张婧等：基于古诺博弈策略的报童问题的模型及分析 2模型假设 为简化问题，实现研究目的，本文根据研究对象的特征，做以下模型假设： 假设1两个销售商之间存在的是非合作博弈. 本文主要探讨一个寡头市场仅有的两个销售商之间的博弈问题. 2个销售商各自优先考虑自己的利益，自主决策商品价格，且他们之间并不能达成具有约束力的协议，也就是说2个销售商之间虽存有竞争关系，但存在的是非合作博弈6. 假设2销售商的销售区域呈正六边形. 两个销售商都有自己的商品销售区域，位于销售商固有销售区域内的消费者都会到自己所处的销售区域购买商品. 根据蜂窝猜想：由许多六边形组成的图形周长最小 7，因此，本文假设两个销售商的销售区域均呈正六边形. 当2个销售商之间存在销售竞争关系时，而销售商固有销售区域是指正六边形区域除去相关正六边形区域的“重叠区域”后的剩余部分. 假设3两个销售商存在重叠销售区域. 现实生活中，销售相同或者可以相互替代商品、存有竞争关系的销售商，其销售区域不可避免地会有重叠. 本文所讨论的问题即为存在重叠区域的情况下，如何找到一个均衡解，使2个销售商的收益都能达到最优. 假设4重叠区域消费者对商品的选择，其消费心理只与价格有关. 2个销售商所处地理位置虽有不同，但可以近似的认为两个销售商所处位置的营销条件及环境相近，地理位置所产生的差异不大，与地理位置有关的参数可视为已知固定的条件. 当任一销售商的订购量小于需求量时，销售商在其销售区域里仅能销售与订购量相同的商品；当订购量大于需求量时，剩余商品是可以回收的，且认为客源不会发生转移，也就是说订购量的大小不影响重叠区域内消费者的选择，订购量将被视为常量. nlc202309051527 因此，假设重叠区域消费者对商品的选择，其消费心理只与价格有关，消费者距离销售商的距离看成是影响实际消费行为的重要因素将被纳入到消费者密度函数8. 3模型建立 3.1符号设置与说明 为此，假设重叠区域内，客源的流失量与2个销售商定价的差成线性关系，线性项系数为γ>0，且在定价相同时，2个销售商的销售份额相同. 这是因为2个销售商定价相同时，2个销售商的销售区域半径相同，重叠部分对于两个销售商来说是对称的，所以重叠区域内的消费者面对的是完全相同的两个销售商，即认为消费者到任一销售商处购买商品的概率相同，也就是每个销售商享有重叠区域一半的客源. 这样，重叠区域中销售商i流失的客源，即损失的销售量为 3.3最优均衡价格 对于存有重叠销售区域、具有竞争关系的两个销售商而言，最优价格，应是使两个销售商均能获得最大利润的各自商品价格. 此时，利润函数一定存在最大值，为凹函数9. 首先，当销售商2选择与销售商1不同的售价p2时，记销售商1的最优价格策略为 BE1（p2）；同样，当销售商1选择与销售商2不同的售价p1时，销售商2的最优价格策略为 BE2（p1）. 当销售商博弈存在均衡解时，销售商各自的最优价格策略才能确定. 4模型分析 依据以上构建的“报童模型”，两个销售商在销售区域有重叠的时候，确保其利润尽可能最大化的最优竞争价格策略为： 第一步，首先需要测算出两个销售商在订购量均大于需求量、订购量均不大于需求量以及订购量与需求量关系不同三种情况下的最优价格p1∧，p2∧. 第二步，根据最优价格，分别计算出三种情况下两个销售商的各自利润E（P1，P2）、E（P2，P1）. 第三步，将2个销售商在三种情况下的利润各自进行比较. 若2个销售商的各自最大利润出现在同一种情况，则该种情况下的最优价格p1∧，p2∧即为最优解；若2个销售商的各自最大利润分别出现在不同种情况，可以根据2个销售商的实际情况（如可以考虑2个销售商对整个地区经济发展推动力大小、对商品的重要程度等）对2个销售商设置权值，计算每种情况下2个销售商的利润乘以权值后的总利润之和，再选择总利润最大的一种情况，按照此种情况下的最优价格p1∧，p2∧制定销售策略. 通过对“报童模型”最优价格求解过程的分析，可以看出： 若2个销售商的订购量与需求量关系相同，即订购量均大于需求量或订购量均不大于需求量的情形下，他们的最优竞争价格策略是制定相同的销售价格. 这与人们的日常经验相符. 此时，2个销售商各自占有重叠区域内一半的消费者. 对于订购量均不大于需求量的情形来说，当达到均衡解之后，任意一个销售商想要提高价格，必定会导致需求量与订购量的关系发生改变，从而需要对销售商获得的利润重新进行计算. 对于订货量与需求量关系不同的情况，2个销售商的最佳反应函数受对方定价影响，通过确立最佳反映函数之间的关系就可以得到最优的竞争价格策略. 5结论 价格竞争环境下客源的争夺是不可避免的，也是销售商在制定销售策略时应当考虑的因素. 本文基于古诺博弈策略，通过报童问题数学模型的建立和分析，对两个销售商在销售区域有重叠的时候，其竞争价格策略的优化方法进行了有益探讨，其中，把需求量看成价格的函数，将消费者距离销售商的距离看成是影响实际消费行为的重要因素纳入到消费者密度函数. 虽然，本文为了研究问题的方便，对模型的建立设定了一些前提和假设，但本文的研究成果必将对相关的经济活动起到一定的指导作用，可将结论应用到多个寡头厂商（三个或者三个以上）中. 参考文献 1.李雪敏，缪立新，徐青青.报童模型的研究进展综述J..统计与决策，2008（17）：11-14. 2.G HUA， S WANG， T C E CHENG. 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