透射电子显微镜

2024-10-04

透射电子显微镜（共5篇）

透射电子显微镜篇1

透射电子显微镜的图像反映的是样品对电子束透过率的差别, 样品中原子序数高的部位, 电子束被反射和散射的多, 透射过样品的电子束少, 在荧光屏上呈现的图像比较暗;样品中原子序数低的部位, 透射过样品的电子束多, 荧光屏上呈现的图像比较亮[1]。从而达到图像增强的目的, 便于人们的观察和研究。

生物样本主要由低序数原子C、H、O组成, 由于样品厚度的限制, 微粒样品需承载在电子透明的衬底上, 电子束透过样品的能力低, 样品和衬底背景透过的电子束较接近, 构成的电镜图像灰度低, 对比度较差。为提高图像对比度, 对生物样品采用重金属染色或投影重金属的方法。但由于样品制备方法和技术的限制以及电镜加速电压等因素的影响, 导致生物样品电镜图像质量不理想, 主要表现为灰度对比度不高, 图像的均匀性差, 背景杂散物影响图像清晰度, 图像背景噪声大, 灰度分布密集而且对比度很弱。很多细节信息不容易被人眼所识别。使得电子显微镜的高分辨率优势不能得到应有的发挥。对电镜图像增强处理充分利用电镜图像表现的微结构信息, 是电镜图像分析的重要内容。

1 样品制备及图像获取

含有大肠杆菌液体样品滴样在φ3mm载有负二膜+喷镀碳膜 (HITACHI HUS-5GB) 补强的铜网, 用3%～5%磷钨酸钠负染色, 以提高对比度。载有样品经过负染的铜网经过真空干燥后, 用PHILIPS EM—400T透射电子显微镜镜检、拍照, 加速电压80kV, 放大倍数17, 000X。大肠杆菌 (8099) 菌体呈较规则的长椭圆形, 电子束透过细菌细胞壁, 细胞壁呈电子透明, 细胞质内核糖体均匀分布, 呈散在分部。细菌鞭毛是细菌的运动器官, 本样品细菌为单端极鞭毛细菌, 既在细菌的一端只有1根鞭毛。但获取的图像照片胞体周围重金属染液浓度较大, 电子束透过率低, 图像呈黑色, 鞭毛与胞体连接处被染液覆盖, 鞭毛轮廓不明显。

2 图像的空域增强与频域增强原理

图像增强方法可分为两大类:空域处理法和频域处理法, 空域处理法主要是对图像中的各个像素点进行操作;而频域处理法是在图像的某个变换域内, 对图像进行操作, 修改变换后的系数, 然后反变换得到处理后的图像[2]。

图像直方图是图像处理中的一种十分重要的图像分析工具, 它描述了一幅图像灰度级内容, 任何一幅图像的直方图都包含了丰富的信息, 它主要用在图像分割, 图像灰度变换的处理过程中[3]。从数学上来说, 图像直方图是图像各灰度值统计特性与图像灰度值的函数, 他统计一幅图像中各个灰度级出现的次数或概率;从图形上来说, 他是一个二维图, 横坐标表示图像中各个像素点的灰度级, 纵坐标为各个灰度级上图像各个像素点出现的次数或概率, 它是图像最基本的统计特征。

直方图均衡化是通过增加图像灰度值的动态范围, 增加对比度, 既将多个频数不同灰度级合并到同一个灰度级, 以换取对比度的扩大[4]。直方图均衡化的算法是图像增强空域法中最常用、最重要的算法之一。它运用灰度点运算来实现直方图的变换, 从而达到图像增强的目的。

3 增强方法

图像的增强方法主要采用分段式方法, 既可突出图像中灰度范围内的图像细节, 又允许适当的损失另外范围内图像的细节。直方图增强可以认为是空域的点处理增强, 直方图均衡是减少图像的灰度级以换取对比度的扩大。但是直方图均衡化存在两个缺点: (1) 变换后图像灰度级会减少, 某些细节会消失; (2) 某些图像, 如直方图有高峰, 经过处理后对比度会不自然的被过分增强。

为了克服这些缺点要进行直方图局部均衡化, 并对这些高峰进行滤除, 见图1～4。

4 讨论

实验对于原始图像, 主要采用了空域处理法。原始图像中由于染液的不均匀分布, 菌体周围和背景灰度相差较大, 从直方图可以看出灰度分布密集, 原图中细胞壁与鞭毛模糊, 轮廓不明显;经过增强处理后, 灰度分布更加均匀, 菌体结构更加清楚, 有较多的分裂核和单根完整清晰地单根鞭毛, 核质呈丝状结构或呈电子密度较高的团粒结构。图像增强处理可提高负染制样细菌透射电镜图像的清晰度和对比度, 充分表现电镜图像的微结构信息。

参考文献

[1]陈利勇, 叶锋, 陈家祯, 等.透射电子显微镜数字图像增强技术[J].福建师范大学学报, 2003 (3) .

[2]韩超, 王小妮.基于MATLAB的红外/射线图像方法研究[J].红外, 2008, 2 (1-4) :1672-8785.

[3]任艳斐.直方图均衡化在图像处理中的应用[J].计算机与信息技术, 2007 (4) .

[4]张德阳, 胡智渊, 叶茂英, 等.扩大显微镜下细菌图片的灰度分布范围——基于MATLAB直方图增强方法[J].中国医学工程, 2006.

透射电子显微镜篇2

透射光谱法测试薄膜的光学参数

推导了使用透射光谱极值法来确定薄膜光学参数的理论公式,并对溶胶-凝胶法制作的掺不同浓度二氧化锡的二氧化硅薄膜的折射率和厚度进行了计算.由于透射光谱法来确定薄膜的光学参数时需要其有一定的厚度来形成干涉峰,而用溶胶凝胶浸渍法单次提拉的薄膜厚度太薄,因此用多次提拉的方法来增加厚度.最后借助于柯西色散公式,在其它波段对折射率进行了拟合.结果表明,薄膜的`折射率随着二氧化锡含量的增加而增加,相同提拉次数的薄膜厚度也基本相同.

作者：顾晓明贾宏志王铿朱一 GU Xiaoming JIA Hongzhi WANG Keng ZHU Yi 作者单位：上海理工大学,光电信息与计算机工程学院,上海,93 刊名：光学仪器 ISTIC英文刊名：OPTICAL INSTRUMENTS 年，卷(期)： 31(2) 分类号：O484.5 关键词：透射光谱薄膜光学参数折射率

声波透射法检测实例解析篇3

声波在介质中的传播是有一定的范围和规律的, 而介质的这种性质会对声波的传播造成很大的影响, 声波的传播规律就会发生衰减变化, 出现波幅减小、传播时间变长、波形畸形等特征。根据声波接收设备上显示的情况, 就可以判断介质的情况。

2 工程实例

以某大桥钢连接焊缝的声波透射法检测为例。

2.1 全熔透T型角焊缝的超声波检测

T型焊缝可能存在的缺陷有以下几种情况:

(1) 未焊透。由于钝边很不容易焊透, 当钝边宽度过大或者清根不到位时, 常有这种情况常出现。

(2) 夹渣。这种情况也常出现在钝边, 也是由于清根不到位造成的, 与未焊透的情况很像。

(3) 未融合。受焊接位置影响, 焊条或焊丝对腹板侧坡口面施焊时存在一定的困难, 所以T型焊缝的未熔合一般产生于腹板侧的坡口面, 翼板侧坡口面出现未熔合的几率较小。

(4) 气孔。焊材本身的问题、保护气与气流都可能导致这种情况的发生, 而且可能出现在任何部位。

(5) 母材裂纹。如果选择不恰当的母材或者焊接的工艺参数不合理, 就可能导致母材拉裂的产生。其中翼板的裂纹为与板材表面平行的层状撕裂, 腹板则是与坡口面平行的腹板裂纹。

(6) 焊接裂纹。焊接起弧或收弧处、腹板热影响区当拘束应力过大时容易产生焊接裂纹。

2.2 超声波检测工艺方法要点

选择合理的工艺, 能够方便快捷的检测出焊缝中存在的各种问题。在使用声波透射法检测工艺中, 探测面和探头的选择是最重要的:

(1) 气孔、未焊透、夹渣与未熔合等缺陷的检测方法:使用K2斜探头对腹板的侧面进行检测, 如果腹板侧面出现问题, 有一个面不能够进行探测时, 在一个面使用反射波也可以达到检测的目的。另外, 如果钝面有夹渣类缺陷, 需要使用K1斜探头。

(2) 母材裂纹类缺陷的检测:对于翼板的层状撕裂, 应当选择双井晶探头或直探头检测。另外, 直探头还可以用于未焊透及翼板侧熔合面的未熔合等缺陷的检测。腹板侧母材裂纹应当使用K1斜探头检测。图1所示的为探头的防止情况。

在探测过程中, 可以选择任何一个位置, 不过1、3位置需要分别对腹板的两个侧面进行测量, 而2位置需要采用反射波探测。

(3) 焊缝裂纹的探测:焊缝裂纹的检测非常容易与焊缝表面的检测混淆, 这是因为焊缝裂纹一般出现在焊缝表面。在使用声波透射法进行检测时, 一般不以超声波检测手段进行判断, 这类缺陷采用表面检测方法具有很高的检测灵敏度, 对于桥梁钢结构T形角焊缝, 磁粉检测方法是探测焊接裂纹最有效的措施。

2.3 关键、重要焊缝的超声波检测方法

对于此大桥T形角接超声波检测, 检测标准为GB/T11345-89《钢焊缝手工超声波探伤方法和探伤结果分级》。主要工艺过程如下:

(1) 探头的选择:当腹板厚度不大于20mm时, 选择4P8×12K2.5、2.5P13×13K1两种探头在腹板单面进行超声波探伤检查。

当腹板厚度大于20mm时, 选择2.5P13×13K2、2.5P13×3K1两种探头在腹板单面或双面进行超声波探伤检查, 翼板上采用2.5P14ZFG20双晶纵波探头探测, 对于吊耳等位置的焊缝, 还需要增加2.5P13×13K1斜探头在翼板上扫查。

(2) 探伤灵敏度的确定:龙城大桥焊缝斜探头探伤灵敏度为Φ3mm×40~16dB, 此为评定线, 定量线为Φ3mm×40~10dB, 判废线为Φ3mm×40~4dB, 探测面要求焊后打磨, 表面补偿取2dB。双晶纵波探头探伤时探伤灵敏度为Φ2mm, 此为评定线, 定量线为Φ3mm, 判废线为Φ6mm, 探测面要求焊后打磨, 表面补偿取2d B。

(3) 探伤扫查:斜探头探伤时, 扫查方式主要有“前后”、“左右”、“转角”、“环绕”4种, 探头沿焊缝纵向作锯齿形扫查, 探头移动范围与斜探头K值有关, 为焊缝两侧 (T形焊缝的腹板单侧) 2K乘以板厚的范围。

双晶纵波探头探伤时, 应先在翼板与焊缝相对的表面上标出焊缝范围, 探头在此范围内作锯齿型移动。翼板侧采用K1斜探头探伤时, 探头放置在焊缝两边相对的位置, 探头移动范围为1.5K乘以板厚的范围。

3 结束语

超声波透射法在此航电枢纽工程中的应用, 取得了很好的实际应用效果。证明声波透射法是一种非常好的检测方法。同时, 声波透射法具有快捷、无损和可靠等许多优点, 具有广阔的应用前景和很高的推广价值。

摘要：声波透射法检测是无损检测中的一种, 在建筑工程中具有很广泛的应用。本文介绍了声波透射法的检测方法与技术, 并且以大桥钢连接焊缝检测为实例, 讲述了声波透射法在实际中的应用。

关键词：无损检测,声波透射法,检测技术,建筑工程

参考文献

[1]蔡荣喜.武广铁路客运专线混凝土桩基检测方法及比选[J].铁道标准设计.2010 (1) :46-48

透射电子显微镜篇4

针对用层状复合材料柱体构成二维光子晶体的这一设想,采用时域有限差分方法数值研究了多层复合介质材料在折射率、厚度、层数、组成次序等因素对组成二维光子晶体透射特性的影响.数值结果表明,透射谱中出现禁带宽度、中心频率所处位置都与单一介质组成二维光子晶体存在差别,特别是在多层环柱时变化更明显,因此在实际应用中,根据具体要求设计二维光子晶体比设计单一介质有更多的`可调因素,为二维光子晶体的应用奠定了理论依据.

作者：汤炳书殷恭维徐健良沈廷根 TANG Bing-shu YIN Gong-wei XU Jian-liang SHEN Ting-gen 作者单位：汤炳书,TANG Bing-shu(连云港师范高等专科学校,物理系,连云港,22;江苏大学,应用物理研究所,镇江,212003)

殷恭维,YIN Gong-wei(华中科技大学,物理系,武汉,430074)

徐健良,XU Jian-liang(连云港师范高等专科学校,物理系,连云港,222006)

沈廷根,SHEN Ting-gen(江苏大学,应用物理研究所,镇江,212003)

一维多阶梯势垒的透射系数篇5

对于一般势垒, 求解透射系数往往比方势垒复杂.应用W.K.B半经典近似法[1]可以精确推导出一般势垒的透射系数[1,2,3], 只是在推导过程中要用到比较高深的数学知识.于是, 有些文章将一般势垒分成多个宽度为Δxi的小方势垒, 组成一维多阶梯势垒, 并有应用鲁阿德 (Rouard) 递推方法[4]和一维阶梯位势递推关系[5]分别得出一维多阶梯势垒透射系数的递推公式, 这两种递推公式对于少数阶梯势垒很适用, 但在阶梯势垒过多时要借助于计算机程序[6]才能完成.

本文在参照了文[7]中求解方势垒透射系数方法的基础上, 以连续函数势垒作为一般势垒的一个特例, 将连续函数势垒分割成多个宽度为Δx的矩形势垒, 如图1, 对其过程应用相关数学处理, 得出推导一维多阶梯势垒透射系数, 再应用极限方法使阶梯势垒回归到连续函数势垒, 推导出连续函数势垒的透射系数.最后, 对推导过程中用到的近似处理进行了误差讨论, 比较严密地证明了文[7,8]中关于势垒透射系数的结论.

2 一维多阶梯势垒透射系数

如图1所示, 一般势垒U (x) 的定态薛定谔方程为:

$\frac{d^{2} ψ}{d x^{2}} + Κ^{2} (x) ψ (x) = 0, (x \in R) (1)$

式中 $Κ (x) = \sqrt{\frac{2 μ [E - U (x)]}{ℏ^{2}}} . (2)$

令 k (x) =|K (x) |, (3)

把粒子经过的区域分成n个小区域, 每个小区域的U (x) 近似为常数, 成为“阶梯势垒”, 从而每个区域的K (x) 也近似为常数 (图2) .

由 (1) 式解出的各区域的波函数具有相同形式, 如第j (j=0, 1, …, n-1) 区域和第n区域为:

ψj (x) =AjeiKjxj+Bje-iKjxj, (4)

ψn (x) =AneiKnxn. (5)

得到入射波的几率流密度为:

$\begin{array}{l} J = \frac{i ℏ}{2 μ_{0}} [ψ_{0 入} Δ ψ_{0 入}^{*} - ψ_{0 入}^{*} Δ ψ_{0 入}] \\ = \frac{ℏ k_{0}}{μ_{0}} | ψ_{0 入} (x) |^{2} = \frac{ℏ k_{0}}{μ_{0}} | A_{0} e^{i Κ_{0} x_{0}} |^{2} . (6) \end{array}$

透射波的几率流密度为:

$\begin{array}{l} J_{D} = \frac{i ℏ}{2 μ_{n}} [ψ_{n} Δ ψ_{n}^{*} - ψ_{n}^{*} Δ ψ_{n}] \\ = \frac{ℏ k_{n}}{μ_{n}} | ψ_{n} (x) |^{2} = \frac{ℏ k_{n}}{μ_{n}} | A_{n} e^{i Κ_{n} x_{n}} |^{2} . (7) \end{array}$

入射粒子从左到右经势垒后的透射系数为:

$D = \frac{J_{D}}{J} = \frac{\frac{ℏ k_{n}}{μ_{n}} | A_{n} e^{i Κ_{n} x_{n}} |^{2}}{\frac{ℏ k_{0}}{μ_{0}} | A_{0} e^{i Κ_{0} x_{0}} |^{2}}, (8)$

其中μ0=μn.[5]

若令Ij=kj|AjeiKjxj|2, j=0, 1, …, n, 则 (8) 式可写为:

$D = \frac{Ι_{n}}{Ι_{0}} = \frac{Ι_{1}}{Ι_{0}} \frac{Ι_{2}}{Ι_{1}} \frac{Ι_{3}}{Ι_{2}} \dots \frac{Ι_{j}}{Ι_{j - 1}} \dots \frac{Ι_{n}}{Ι_{n - 1}}, (9)$

式中任一项的Ij≠0.

可以看出, 引入很多Ij相乘除, D值不变, 只是一种数学处理.应用该处理是因为求相邻区域的Ij/Ij-1比较容易, 从而容易求出D.避开其中任一区域, 即去掉其中一项Ij, 只要能求出Ij+1/Ij-1, 并不影响求D的值.

所以, K=0的区域是可以避开的.

又令 $D_{j} = \frac{Ι_{j}}{Ι_{j - 1}} ‚ j = 1, 2, \dots, n$ , 即

则 $D = \prod_{j = 1}^{n} D_{j} . (11)$

2.1 Kj≠0, 且左邻域Kj-1≠0的第j区域的Dj

由波函数及其微商在xj-1点的连续条件得到:

(ψj-1) x=xj-1= (ψj) x=xj-1.

由[kj-1 (12) + (13) ]/ (kj+kj-1) 得:

$\begin{array}{l} \frac{2 k_{j - 1}}{k_{j} + k_{j - 1}} A_{j - 1} e^{i Κ_{j - 1} x_{j - 1}} \\ = A_{j} e^{i Κ_{j} x_{j - 1}} - \frac{k_{j} - k_{j - 1}}{k_{j} + k_{j - 1}} B_{j} e^{- i Κ_{j} x_{j - 1}} . (14) \end{array}$

(14) 式有3个未知量Aj-1, Aj, Bj, 由于K (x) 是连续的, 可以把区域取的很窄, 使

$\frac{k_{j} - k_{j - 1}}{k_{j} + k_{j - 1}} = \frac{Δ k_{j}}{k_{j} + k_{j - 1}} ≪ 1 . (15)$

则 (14) 式中含Bj的项可以忽略, 得到:

$\frac{A_{j}}{A_{j - 1}} = \frac{2 k_{j - 1}}{k_{j} + k_{j - 1}} e^{i (Κ_{j - 1} - Κ_{j}) x_{j - 1}} . (16)$

代入 (10) 式, 并令Δx=xj-xj-1, 得:

$D_{j} = \frac{4 k_{j} k_{j - 1}}{(k_{j} + k_{j - 1})^{2}} | e^{i Κ_{j} Δ x_{j}} |^{2} . (17)$

$\begin{array}{l} 而 \frac{4 k_{j} k_{j - 1}}{(k_{j} + k_{j - 1})^{2}} \\ = \frac{(k_{j} + k_{j - 1})^{2} - (k_{j} - k_{j - 1})^{2}}{(k_{j} + k_{j - 1})^{2}} \\ = 1 - (\frac{Δ k_{j}}{k_{j} + k_{j - 1}})^{2} \overset{\frac{Δ k_{j}}{k_{j} + k_{j - 1}} ≪ 1}{\to} 1, \end{array}$

所以

$D_{j} = | e^{i Κ_{j} Δ x_{j}} |^{2} = {\begin{cases} 1, E > U (x), \\ e^{2 k_{j} Δ x_{j}}, E < U (x) . \end{cases} (18)$

2.2 Kt≠0, 而左邻域Ks=0的第t区域的Dt

设xr, xs, xt三区域相邻 (图3) , 由Ks=0得ψs (x) =As+Bs=C (常数) , 则ψs′ (x) =0.

由波函数的连续性, 在xr, xs点有:

解上面两个方程组得:

${\begin{cases} A_{r} = \frac{C}{2} e^{- i Κ_{r} x_{r}}, \\ A_{t} = \frac{C}{2} e^{- i Κ_{t} x_{s}} . \end{cases}$

则 $\frac{A_{t}}{A_{r}} = e^{i (k_{r} x_{r} - k_{t} x_{s})} . (19)$

将 (19) 式代入 (10) 式, 因K (x) 连续, 故可取Kr=Kt, 得:

$D_{t} = \frac{k_{t}}{k_{r}}$ $\frac{A_{t}}{A_{r}} e^{i (Κ_{t} x_{t} - Κ_{r} x_{s})}$ =eiKt (xt-xs) .

即 Dr=eiKtΔxt

$^{2} = {\begin{cases} 1, E > U (x), \\ e^{2 k_{t} Δ x_{t}}, E < U (x) . \end{cases} (20)$

将 (18) 、 (20) 式代入 (11) 式, 得:

$D = e^{- 2 \sum_{j = 1}^{n} k_{j} Δ x_{j}} . (21)$

该式即为服从连续函数的多阶梯势垒的透射系数.其中, E>U (x) 时, 粒子很容易穿过势垒, 透射系数近似为1, 这个结果是与事实相符的.

3 连续函数势垒的透射系数

当多阶梯势垒的宽度Δxj无限小 (Δxj→0) 时, 多阶梯势垒回归到一般势垒, 而

$\begin{array}{l} k_{j} \to k (x) = \frac{1}{ℏ} \sqrt{2 μ [U (x) - E]}, \\ \sum_{j = 1}^{n} k_{j} Δ x_{j} \to \sum_{j = 1}^{n} k_{j} Δ x_{j} \\ = \frac{1}{ℏ} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{2 μ [U (x) - E]} d x, \end{array}$

于是 (21) 式可写成

D=exp $- \frac{2}{ℏ} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{2 μ [U (x) - E]} d x$ . (22)

上式就是连续函数势垒的透射系数, 常数因子D0=1.其中x1, x2称为经典回转点, 即U (x1) =U (x2) =E.

对于一般势垒, 可推得除常数因子D0≠1外, 透射系数与 (22) 式完全一致[8]

D=D0exp $- \frac{2}{ℏ} \int_{x_{1}}^{x_{2}} \sqrt{2 μ [U (x) - E]} d x$ . (23)

4 结果讨论

在推导过程中用到一处近似处理, 即忽略了 (14) 式含Bj的项, Δx→0时, ΔDj→0, n→∞, k=0区域的个数并不增加, 故误差不能忽略 (虽然每个小区域的误差减小了, 但这种小区域的个数n→∞) .

由于做了近似计算, 首先给 (16) 式的Aj/Aj-1带来误差, 从而Dj, D也有误差.设与它们对应的准确值为 (Aj/Aj-1) ′, Dj′, D′.又设Aj/Aj-1的相对误差为δj, 则Δxj→0时, δj→0.由

$δ_{j} = \frac{\frac{A_{j}}{A_{j - 1}} - (\frac{A_{j}}{A_{j - 1}}) ´}{(\frac{A_{j}}{A_{j - 1}}) ´}, (24)$

得 $(\frac{A_{j}}{A_{j - 1}}) ´ = \frac{1}{1 + δ_{j}} \frac{A_{j}}{A_{j - 1}} . (25)$

所以 $D_{j^{'}} = \frac{D_{j}}{(1 + δ_{j})^{2}} . (26)$

略去二次项, 得到

$D_{j^{'}} \approx \frac{D_{j}}{1 + 2 δ_{j}}, (27)$

$\begin{array}{l} 即 D^{'} = \prod_{j = 1}^{n} D_{j^{'}} \approx \prod_{j = 1}^{n} \frac{D_{j}}{1 + 2 δ_{j}} \\ \approx \frac{D}{1 + \sum_{i = 1}^{n} 2 δ_{j}} . (28) \end{array}$

显然, $\sum_{j = 1}^{n} 2 δ_{j} ≪ 1$ 是透射系数公式 (21) 成立的条件.

相对误差δj是由于Δkj/ (kj+kj-1) ≠0产生的, Δkj/ (kj+kj-1) 越大, δj就越大, 作为一级近似, 有:

$δ_{j} \propto \frac{Δ k_{j}}{k_{j} + k_{j - 1}} . (29)$

于是令

$δ_{j} = γ \frac{Δ k_{j}}{k_{j} + k_{j - 1}},$

式中γ是比例常数 (实数) .

设k=0区域有两个, 取它们两侧邻域的k值相等, 即kr=kt=kr′=kt′.粒子从势垒外进入势垒, 再穿出势垒, 有k0=kn, 得到

$\begin{array}{l} \sum_{i = 1}^{n} 2 d_{j} = 2 γ \sum_{i = 1}^{n} \frac{Δ k_{j}}{k_{j} + k_{j - 1}} \underset{Δ k_{j} \to 0}{\to} \\ γ (\int_{k_{0}}^{k_{r}} \frac{d k}{k} + \int_{k_{t}}^{k_{r^{'}}} \frac{d k}{k} + \int_{k_{t^{'}}}^{k_{t}} \frac{d k}{k}) \\ = γ (\ln \frac{k_{r}}{k_{0}} + 0 + \ln \frac{k_{n}}{k_{t^{'}}}) \\ = γ \ln (\frac{k_{r}}{k_{0}} \frac{k_{n}}{k_{t^{'}}}) = 0 . (30) \end{array}$

$\sum_{i = 1}^{n} 2 d_{j} \underset{Δ k_{j} \to 0}{\to} 0$ 表明:尽管各小区域的误差不可忽略, 但总的误差却可以忽略.这是因为两边E<U (x) 区域的Δkj符号不同, E>U (x) 区域的Δkj符号也不同, 所引起的误差一部分为正, 一部分为负, 正负相互抵消.