生产函数模型

生产函数模型（共12篇）

生产函数模型 篇1

一、模型设立的经济学原理

鉴于农业是“三农”问题之一，在中国经济发展中占有重要地位，关系国家经济转型能否成功和综合国力能否提高，我们通过计量经济学的方法来分析影响农业生产的因素。

根据柯布—道格拉斯生产理论，产出的增长主要取决于投入的资本的增加和技术的进步。其原形为Y=A*K*L，其中A为一定技术条件下的规模参数，a、b分别表示资本和劳动投入的产出弹性，且C-D函数容易转换成线性函数：㏑Y=㏑A+a㏑K+b㏑L。因此，它在生产分析中得到广泛的应用，尤其是对于那些生产获得规模报酬近似不变和技术进步速度不快的产业比较合适。用C-D生产函数分析中国农业生产的状况，由于规模报酬假定不变和技术进步不快，所以我们主要从成本投入的角度来考查成本投入对产出的影响，这样我们得出a+b=1（近似）。另外，假定其他因素对农业的影响可以忽略，而投入只有资本和劳动力，资本投入为统计中农林牧渔的投入，劳动投入为农林牧渔的从业人员，农业总产值为农林牧渔的总产值。“农业总产值”设为因变量，“资本投入”和“劳动投入”设为自变量，设定以下经济模型。

(数据来源于2005年《中国统计年鉴》。)

二、模型设定

根据经济学原理把中国农业生产函数模型设定为Y=A KαL1-α，其中Y表示农业总产，K表示资本总投入，L表示农业就业人数即劳动总投入，α表示资本产出弹性（资本投入的变动引起农业总产值变动的幅度），且0<α<1、1-α为劳动产出弹性，见表1。

为了方便参数估计，我们对生产函数变形，两边同时取自然对数得：㏑Y=㏑A+α㏑K+（1-α）㏑L。两边同时减去㏑L整理得：㏑Y/L=㏑A+α㏑K/L。设y1=㏑Y/L, x1=㏑K/L, c=㏑A，整理得：y1=c+αx1。

三、参数估计与检验

1、参数估计

运用统计SPSS软件得出一元回归模型：

2、检验

(1）经济学意义检验：a=0.656, 0<a<1，可以看出，各指标符号于先验信息相符合，所估计结果没有违背经济学原理，说明有经济意义。

(2）统计检验：拟合优度检验R=0.712，勉强通过。

t-检验：tα/2 (n-k-1）=t0.025 (15）=2.110<tx1=6.091，说明资本投入是影响农业总产值的因素。tα/2 (n-k-1）=t0.025 (15）=2.110<t c=4.449，随机误差项通过检验。

F-检验：F0.05 (15）=3.68<37.105，通过。

(3）计量经济检验。由于我们模型中只有一个变量所以不存在相关性，检验通过。我们采用的是时间序列数，所以显然不存在异方差性，计量经济检验通过。

(4）统计推断检验。从回归结果看，模型的拟合优度R=0.712有些偏低，这是因为在计量经济模型的线性变换中，一般的要求只对因变量或自变量取对数，在公式中分别对K、L和Y取对数，因此影响了拟合优度的大小。我们在看c和x1的t统计值，说明在给定显着性水平α=5%的情况下较显着，F统计量的值在给定的α=6.091=5%的情况下也较显着。

四、对模型的经济解释及存在的问题

1、经济解释

从以上的模型中可知道农业生产的资本投入是影响农业总产值增加的重要因素，而劳动力的投入对农业的总产值影响不是很大。劳动力的增加对农业的总产值变化小即农业从业人员的边际劳动生产率低说明我国农业中存在劳动力过剩问题。

2、存在问题

由于C-D函数中的变量指的是资本存量，我们用的却是流量，故模型只是一个粗略的回归模型。另外，统计数据中折算依据不同引起统计数据有出现误差的可能。忽略了气候等因素的作用可能导致R值小；在收集数据时专门采用农业中的数据，而不是其他统计数据，可能引起t统计值偏小。模型还需要继续完善才能更准确分析影响农业生产的因素，如再考虑技术、化肥等因素。

五、政策建议

鉴于以上模型的最终结果反映出中国农业的现存状况，提出以下几点建议：第一，优化农业产业结构，加大中央财政对农业的投资力度，完善金融体制改革，提高政府对基础设施的投资效率，以实现农产品流通的畅通。第二，加快农村剩余劳动力的转移。2007年全国乡村人口7.27亿人，政府应大力发展劳动密集型企业，大量吸收剩余劳动力，提高劳动效率改善农村生活。

参考文献

[1]田萍:河南省城镇居民消费需求函数模型及分析[J].新乡师范高等专科学校学报, 2003, 17 (2) .

[2]郭艳、王维、郑继兴:黑龙江生产函数模型的建立与测算[J].经济纵横, 2005 (5) .

[3]王道平、乐为:柯布—道格拉斯生产函数在湖南汽车工业生产率分析中的应用[J].湖南大学学报, 1997, 24 (5) .

[4]杨素梅:中国农民消费行为的模型分析[J].湖北民族学院学报 (自然科学版) , 2005, 23 (1) .

[5]侯振明:城镇居民消费水平的函数分析及实证[J].经济师, 2004 (2) .

[6]欧祥超、张大超:“十五”时期中国劳动就业前景分析[J].市场周刊, 2003 (6) .

生产函数模型 篇2

〖课标要求〗：会根据实际情况建立简单的二次函数模型。

〖教学目标〗：

知识与技能：掌握二次函数的概念，、正确理解ａ≠0的作用与要求，初步体会二次函数与一次函数的区别；能够依据实际情况建立于次函数关系式。

过程与方法：经历探索、分析和建立两个变量之间的二次函数的关系的过程，进一步体验如何用数学的方法描述变量之间的数量关系。

情感态度与价值观：在与一元二次方程的类比学习的过程中，培养缜密的思维习，形成类比思想，体会数学的价值。

〖教学重点〗：二次函数模型的形成过程。

〖教学难点〗：寻找、发现实际生活中的二次函数问题，理解变量之间的对应关系。〖教学流程〗：

一、导入

请同学们欣赏20页的图，说说篮球有空中运行的路线是什么曲线？你能建一个函数模型来刻画这条曲线吗？

二、自主学习

1、阅读课本页到页内容，划记重点内容，将不懂的问题记录在“我的疑问”栏目中。

2、小组合作讨论，完成学研指导案“学习新知”1～5题。

3、释疑和质疑预见性问题：

①二次函数定义中的a、b、c有怎样的要求？

②当a＝0时，这个函数还是二次函数吗？

③b或c能为0吗？

三、合作探究

1、小组合作交流讨论，完成《学研指导案》中“合作探究”

1、2题。

2、小组展示《学研指导案》中“合作探究”的2个问题。

教师点拔合作探究中存在的问题。

二次函数定义中二次项系数ａ≠0，而b、c可以是任意实数，因为a＝0函数变为了一次函数，b、c都为0时是最简单的二次函数。

四、归纳整理

二次函数的概念

1、知识归纳： 建立二次函数模型 二次函数的一般形式

二次函数自变量的取值范围

2、方法归纳：判断二次函数是否为二次函数，关键有三点：

（1）含有一个自变量，且自变量的最高次数为2；

（2）二次项系数不等于0；

（3）等式两边都是整式。

五、自测评估

1、学生自主完成《学研指导案》中“课堂目标达成”的1～4题

2、学生展示解题结果。

3、教师点拔学生的解题过程

4、教师对学生的解题给予恰当的评价。

生产函数模型 篇3

本讲重点考查函数的零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想. 题型为选择题或填空题，若求函数零点的问题，难度较易；若利用零点的存在求相关参数的值的问题，难度稍大. 分值为5分.建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力. 在高考中分值为5～12分.

命题特点

结合这几年考题，这部分内容的命题主要有如下特点：（1）考查具体函数的零点的取值范围和零点个数，注意根的存在性原理的运用.（2）利用二分法求方程的近似解. （3）利用函数零点求解参数的取值范围，考查函数零点、方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想.（4）考查二次函数、指数、对数、幂函数、“对勾”型函数模型的建立及最值问题.（5）合理选择变量，构造函数模型，求两变量间的函数关系式，从而研究其最值.

1. 函数零点和零点个数判断：这类题型以小题为主，是数形结合的具体应用，抓住方程的根和两函数图象交点横坐标之间的等价转化思想.

例1 （1）函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）上的零点个数是 （ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

（2）函数[f（x）=2x|log0.5x|-1]的零点个数为 （ ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

解析 （1）法一：∵函数y=2x与y=x3-2在R上都是增函数，

故f（x）=2x+x3-2在R上是增函数，

又f（0）=-1，f（1）=1，即f（0）·f（1）<0

故f（x）在（0，1）上有惟一零点.

法二：令f（x）=0，即2x+x3-2=0，则2x-2=-x3.

在同一坐标系中分别画出y=2x-2和y=-x3的图象，由图可知两个图象在区间（0，1）上只有一个交点，

∴函数f（x）=2x+x3-2在区间（0，1）内有一个零点.

（2）函数的零点等价于[y=（12）x与y=log0.5x]图象交点个数，在同一直角坐标系下分别画出其图象及可作出判断.

答案 （1）B （2） B

点拨 本题（1）是利用函数单调性与根的存在性原理结合判断.题（1）法2和题（2）是利用数形结合法判断零点个数.对函数零点个数的判断可从以下几个方面考虑：（1）结合函数图象；（2）根据零点存在定理求某些点的函数值；（3）利用函数的单调性判断函数的零点是否惟一.

2. 二次函数零点问题：前面已介绍过，二次函数是中学阶段应用非常广泛的函数，结合二次函数特征，也会出现零点问题.

例2 （1）已知α，β是方程x2+（2m-1）x+4-2m=0的两个实根，且α<2<β，求m的取值范围；

（2）若方程x2+ax+2=0的两根都小于-1，求a的取值范围.

解析 （1）设f（x）=x2+（2m-1）x+4-2m.

∵α，β是方程f（x）=0的两个根，且α<2<β，

∴f（2）<0，即22+2（2m-1）+4-2m<0，得m<-3.

（2）设f（x）=x2+ax+2， f（-1）=1-a+2，Δ=a2-8.

由题意得，[f（-1）>0，Δ≥0，-a2<-1，]∴[22≤a<3].

点拨 结合二次函数图象探求二次方程根的分布是解决此题的关键.熟知方程的根对于二次函数性质所具有的意义是正确解决二次函数零点的关键. 用二次函数的性质对方程的根进行限制时，条件不严谨很容易导致解题出错.主要抓住如下几点：（1）二次项系数符号；（2）判别式；（3）对称轴；（4）所给分界点的函数值的符号.

3. 利用函数零点求解参数的取值范围.

例3 （1）已知函数f（x）=[2x，x≥2，x-13，0

（2）已知函数f（x）满足f（x+1）=-f（x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，1]时，f（x）=x2.若在区间[-1，3]上，函数g（x）=

f（x）-kx-k有4个零点，则实数k的取值范围为 .

解析 （1）在同一个直角坐标系中作出函数y=f（x），y=kx的图象，函数y=f（x）图象最高点坐标为A（2，1），过点O，A的直线斜率为2.x≥2时，f（x）=[2x]单调递减且f（x）>0，直线y=kx过原点，所以斜率0

（2）依题意得f（x+2）=-f（x+1）=f（x），即函数f（x）是以2为周期的函数. g（x）=f（x）-kx-k在区间[-1，3]上有4个零点，即函数y=f（x）与y=k（x+1）的图象在区间[-1，3]上有4个不同的交点. 在坐标平面内画出函数y=f（x）的图象（如图所示），注意到直线y=k（x+1）恒过点（-1，0），由图象知，当k∈[0，14]时，相应的直线与函数y=f（x）在区间[-1，3]上有4个不同的交点，故实数k的取值范围是[0，14].

答案 （1）[0，12] （2）[0，14]

点拨 （1）是分段函数的零点问题，这里直线y=kx过原点，将其绕着原点旋转就可以得出结果.（2）是周期函数零点问题，关键要能准确判断周期并作出一个周期内的图象再解题.利用函数零点求参数范围要注意构造两个函数，利用数形结合的方法求解，通常还要给参数赋予几何意义.

4. 函数模型及应用：这类问题主要是将实际问题构造数学模型，利用以学数学知识求解.

nlc202309032007

例4 如图，建立平面直角坐标系[xOy]，[x]轴在地平面上，[y]轴垂直于地平面，单位长度为1千米.某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程[y=kx-120（1+k2）x2][（k>0）]表示的曲线上，其中[k]与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.

（1）求炮的最大射程；

（2）设在第一象限有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标[a]不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由.

[y（千米）][x（千米）][O]

解析 （1）在[y=kx-120（1+k2）x2（k>0）]中，令[y=0]得， [kx-120（1+k2）x2=0].

由实际意义和题设条件知[x>0，k>0].

∴[x=20k1+k2=201k+k≤202=10]，当且仅当[k=1]时取等号.

∴炮的最大射程是10千米.

（2）∵[a>0]，∴炮弹可以击中目标等价于存在[k>0]，使[ka-120（1+k2）a2=3.2]成立.

即关于[k]的方程[a2k2-20ak+a2+64=0]有正根.

由[Δ=-20a2-4a2a2+64≥0]得，[a≤6].

此时，[k=20a+-20a2-4a2a2+642a2>0]（不考虑另一根）.

∴当[a]不超过6千米时，炮弹可以击中目标.

点拨 利用函数解决实际问题主要有以下步骤：（1）审题：深刻理解题意，分清条件和结论，理顺其中的数量关系，把握其中的数学本质，初步选择模型；（2）建模：由题设中的数量关系，建立相应的数学模型，将实际问题转化为数学问题（这是解题关键）；（3）解模：用数学知识和方法解决转化出的数学问题；（4）还原：回到实际问题，检验结果的实际意义，给出结论.

备考指南

1. 要强化训练零点求法，函数与方程的转化技巧，会结合图象利用数形结合判断零点个数、零点所在区间. 掌握函数性质与方程根与系数关系的综合应用问题，总结基本解题规律.

2. 建立函数模型解决实际问题是高考的热点，题型主要以解答题为主，难度中等偏高，常与导数、最值交汇，主要考查建模能力，同时考查分析问题、解决问题的能力. 要求会理解题意，将实际问题抽象出数学模型，将实际问题转化为数学问题.

限时训练

1. 函数[f（x）=lnx+2x-6]的零点所在的区间为 （ ）

A. （1，2） B. （[32]，2）

C. （2，[52]） D. （[52]，3）

2. 某地区荒漠化土地面积每年平均比上一年增长10.4%，专家预测经过x年可能增长到原来的y倍，则函数y=f（x）的图象大致为 （ ）

[y][x][O][1] [A] [y][x][O][1][B][y] [x][O][1][C] [y] [x][O][1][D]

3. 若a

A. （a，b）和（b，c）上 B. （-[∞]，a）和（a，b）上

C. （b，c）和（c，+[∞]）上 D. （-[∞]，a）和（c，+[∞]）上

4. 函数f（x）=2x-[2x]-a的一个零点在区间（1，2）上，则实数a的取值范围是 （ ）

A. （1，3） B. （1，2）

C. （0，3） D. （0，2）

5. 函数f（x）=[x-cosx]在[0，+∞）上 （ ）

A. 没有零点 B. 有且仅有一个零点

C. 有且仅有两个零点 D. 有无穷多个零点

6. 二次函数[f（x）=x2-bx+a]的部分图象如图，则函数[g（x）=lnx+f ′（x）]的零点所在的区间是 （ ）

A. [14，12] B. [12，1] C. [1，2] D. [2，3]

[y][x][O][1][1] [y][x][O][7][11][4 6]

（第6题） （第7题）

7. 某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：10万元）与营运年数x（x∈N*）为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运多少年时，其营运的年平均利润最大 （ ）

A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

8. 一张正方形的纸片，剪去两个一样的小矩形得到一个“E”形图案，如图所示，设小矩形的长、宽分别为x，y剪去部分的面积为20，若2≤x≤10，记y=f（x），则y=f（x）的图象是 （ ）

[y][x][O][2][10][1][5] [y][x][O][2][10][1][5] [y][x][O][2][10][2][10] [y][x][O][2][10][2][10]

A B C D

9. 假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M（单位：太贝克）与时间t（单位：年）满足函数关系：M（t）=[M02-t30]，其中M0为t=0时铯137的含量. 已知t=30时，铯137含量的变化率是-10ln2（太贝克/年），则M（60）= （ ）

A. 5太贝克 B. 75ln2太贝克

C. 150ln2太贝克 D. 150太贝克

10. 若偶函数f（x）满足f（x-1）=f（x+1），且在x∈[0，1]时，f（x）=x2，则关于x的方程f（x）=[110x]在[0，103]上根的个数是 （ ）

nlc202309032007

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

11. 若函数f（x）=x3+x2-2x-2的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下，那么方程x3+x2-2x-2=0的一个近似根为 （精确到0.1）.

[f（1）= -2＼&f（1.5）=0.625＼&f（1.25）=-0.984＼&f（1.375）=-0.260＼&f（1.4375）=0.162＼&f（1.40625）=-0.054＼&]

12. 已知函数f（x）= [x2，x≤0，f（x-1），x>0，]g（x）=f（x）-x-a，若函数g（x）有两个零点，则实数a的取值范围为 .

13. 函数f（x）=（x-1）sinπx-1（-1

14. 将一个边长分别为a，b（0

15. （1）求函数f（x）=x3-2x2-x+2的零点；

（2）已知函数f（x）=ln（x+1）-[1x]，试求函数的零点个数.

16. 设函数f（x）=[xx+2]-ax2，a∈R.

（1）当a=2时，求函数f（x）的零点；

（2）当a>0时，求证：函数f（x）在（0，+∞）上有且仅有一个零点；

（3）若函数f（x）有四个不同的零点，求a的取值范围.

17. 某单位有员工1000名，平均每人每年创造利润10万元. 为了增加企业竞争力，决定优化产业结构，调整出x（x∈N*）名员工从事第三产业，调整后他们平均每人每年创造利润为10[a-3x500]万元（a>0），剩下的员工平均每人每年创造的利润可以提高0.2x%.

（1）若要保证剩余员工创造的年总利润不低于原来1000名员工创造的年总利润，则最多调整出多少名员工从事第三产业？

（2）在（1）的条件下，若调整出的员工创造的年总利润始终不高于剩余员工创造的年总利润，则a的取值范围是多少？

18. 某公司为一家制冷设备厂设计生产某种型号的长方形薄板，其周长为4m. 这种薄板须沿其对角线折叠后使用. 如图所示，ABCD（AB>AD）为长方形薄板，沿AC折叠后AB′交DC于点P.当△ADP的面积最大时最节能，凹多边形ACB′PD的面积最大时制冷效果最好.

（1）设AB=xm，用x表示图中DP的长度，并写出x的取值范围；

（2）若要求最节能，应怎样设计薄板的长和宽？

（3）若要求制冷效果最好，应怎样设计薄板的长和宽？ [B′][A][D][C][B][P]

生产函数模型 篇4

1 试验方法与处理设计

1.1 试验方法

试验于2013年在江西省灌溉试验中心站进行。该站位于东经116°、北纬28°处, 属于鄱阳湖流域赣抚平原灌区, 是典型的亚热带季风气候。试验站年平均气温为18.1℃, 年平均日照时数为1 720h, 年平均蒸发量1 139 mm, 年平均降雨量为1 634mm, 年内分布不均, 降雨主要集中在4-6月。

试验在大型称重式蒸渗仪中进行, 蒸渗仪内径0.618m, 高0.8m, 下设15cm厚的滤层, 桶底设侧向排水孔, 平时关闭, 器内填55cm厚原装土, 各个外筒之间空地种植草坪。各测桶均可用防雨棚遮挡降雨, 故在计算耗水量时不考虑降雨因素。

1.2 处理设计及试验结果

试验针对流域主要种植的双季早、晚稻开展。早稻品种为陆两优996, 晚稻品种为“天优华占”。按全国《灌溉试验规范》中划分作物生育阶段标准, 本试验将水稻划分以下6个生育阶段:返青期、分蘖期、拔节孕穗期、抽穗开花期、乳熟期、黄熟期[3,4]。

以不受旱 (正常灌溉) 为对照处理。返青期、黄熟期均按丰产要求进行正常的水分处理, 其余4个阶段分别设正常灌溉、轻旱和重旱3个水平, 并安排2阶段和3阶段连旱处理。上述正常灌溉、轻旱、重旱水平, 系指阶段内稻田0~50cm土层平均含水率的下限占饱和含水率的100%、70%、50%, 两阶段连旱为60%, 三阶段连旱为70%。经组合后共计13个处理。各处理随机排列, 共需39个蒸渗器。具体的处理编号及试验实测数据详见表1、2。

2 水稻水分生产函数模型建模

2.1 阶段水分生产函数模型

选用公认比较合理和完善4种阶段水分生产函数进行分析, 即[3,4]:

Jensen模型:

Blank模型:

Stewart模型:

Singh模型:

式中:λi、Ai、Bi、Ci为作物不同阶段缺水对产量的敏感指数及敏感系数;i为生育阶段划分序号;Ya为各处理条件下实际产量, kg/hm2;Ym为正常灌溉下产量, kg/hm2;ETa为各处理条件下实际蒸发蒸腾量, mm;ETm为正常处理下的蒸发蒸腾量, mm;n为模型的总阶段数, 本试验中n=4。

以上模型的具体参数求解方法, 可以将模型线性化后, 采用最小二乘法求解, 具体参见文献[3]。

2.2 敏感指数累积函数模型

敏感指数累积函数是将阶段水分敏感指数累加值与相应阶段末的时间t所建立的关系[6,7], 下面以Jensen模型为例进行说明, 即:

式中:Z (t) 为第t时刻以前作物各阶段水分敏感指数累加值;λ (t) 为阶段t的水分敏感指数。

建立关系式 (5) 之后, 针对各种时段划分的情况λ (t) 可以用下式求得:

Jensen模型的敏感指数值越大, 因缺水造成的减产量就越大。基于作物水分敏感指数的数值前期和后期小、中期大的特点, 王仰仁[6]等提出了用生长曲线来拟合Z (t) , 即:

式中:A, B, C为拟合参数。

由于生长曲线函数Z (t) 是增函数, 因此用其求出的阶段水分敏感指数λ (t) 不会出现负值, 也符合作物的生长规律。

以模型计算产量与实测产量误差平方和最小为目标, 用非线性优化技术, 由各处理不同阶段实测腾发量ET和产量Y, 直接拟合式 (7) , 即:

式中:f为求解目标函数;^Yk、Yk分别为模型计算和实测产量;k为样本序号;m为试验处理数;Ym、ETm为正常灌溉处理时的产量及腾发量;ETk为第k个样本的腾发量;i为生育阶段划分序号;n为模型的总阶段数, 本试验中n=4。

采用复相关系数R和相对误差ER来对求解参数进行检验, 二者的求解方法如下:

式中:Q为剩余平方和;Lyy为总平方和;R为复相关系数;ER为相对误差;珚Y为实测产量平均值。

3 结果与分析

3.1 阶段水分生产函数模型

根据以上模型, 采用MATLAB编程, 代入表1和表2中数据, 计算得到早、晚稻不同模型中的敏感指数、系数 (见表3和表4) 。

3.1.1 早稻水分生产函数模型

由表3可知:

(1) Jensen模型中的λ值从高到低的顺序是: (2) - (1) - (3) - (4) 。Jensen模型表明, λ值越大, 缺水后Y/Ym值就越低, 即该阶段缺水后导致的减产损失越严重 (对缺水越敏感) 。上述λ值排列与一般结论[3,4] ( (3) - (2) - (4) - (1) ) 不符合, 原因是该品种第 (1) 阶段生育期时间较长, 使该阶段土壤含水率多次达到所设定的含水率下限。受旱程度相同时, 受旱历史越长, 作物减产越大, 所以导致第 (1) 阶段λ值较大;再者作物对缺水的反映存在滞后效应, 虽说存在生长补偿, 但这种补偿对滞后性影响挽救的能力视水分亏缺发生阶段、亏缺程度大小及延续时间长短不同而异, 也要视相邻阶段的关联性和敏感性而有不同[5]。本试验中由于第 (1) 阶段存在一定的滞后效应, 加之第 (2) 阶段本身的缺水敏感性较大, 因此第 (2) 阶段对缺水最敏感。而第 (3) 阶段和第 (4) 阶段因生育期时长较短, 期间含水率并未达到所设定的含水率下限, 所以λ值较小。模型相关系数为0.96以上, 因此鄱阳湖流域早稻采用Jensen模型比较合理。

(2) Blank模型中的A值, 峰值出现在第 (2) 阶段, A值从高到低的顺序为: (2) - (1) - (4) - (3) 。Blank模型表明, A值越高, 缺水后Y/Ym值就越高, 即该阶段缺水后导致的减产损失越小 (对缺水越不敏感) , 这与Jensen模型正好相反。上述A值在第 (2) 阶段最高以及高低排列顺序与水稻的水分生理特性及灌溉时间矛盾, 因此Blank模型不适合鄱阳湖流域。

(3) Stewart模型中的B值, 其变化规律与Jensen模型中的λ值相同。从该模型可知, B值越大缺水对减产越敏感, 且相关系数R=0.969 7, 故该模型亦属合理。

(4) Singh模型中的C值, 出现了负值, 表明计算出的敏感系数无法给出具体的物理意义。该模型是C值越小缺水时减产越敏感, 峰值所在的阶段与水分生理特性及灌溉实践经验不符, 因此该模型不适合鄱阳湖流域。

综上所述, 鄱阳湖流域适宜采用的早稻水分生产函数模型为Jensen模型和Stewart模型。两者的关系系数R值十分接近, 由于Jensen模型为连乘模型, 比Stewart连加模型更能反映出水稻各生育阶段相互作用对产量的影响, 因此认为选用Jensen模型更合适。即鄱阳湖流域早稻水分生产函数数学模型为:

3.1.2 晚稻水分生产函数模型

由表4可知:

(1) Jensen模型中的λ值从高到底的顺序是: (2) - (1) - (3) - (4) , 该模型中的λ值在第 (2) 阶段最高, 对缺水最敏感。南方晚稻的第 (2) 阶段气温、ETm显著高于第 (3) 阶段, 所以第 (2) 阶段缺水敏感性高于第 (3) 阶段与灌溉实际经验一致。且该品种分蘖期时间长, 生育期内气温高, 土壤含水率多次达到所设定的含水率下限, 所以第 (1) 阶段λ值高于第 (3) 阶段。其后λ值排列顺序与水稻水分生理特性理论结果与灌溉实际经验吻合, 且相关系数达到0.98以上, 所以鄱阳湖流域晚稻采用Jensen模型比较合理。

(2) Blank模型中的A值, 从高到低的顺序为: (2) - (1) - (3) - (4) 。上述A值高低排列顺序与水稻的水分生理特性矛盾, 因此Blank模型不适合鄱阳湖流域水稻区。

(3) Stewart模型中的B值, 与Jensen模型中的λ值变化规律相同。故该模型亦属合理。

(4) Singh模型中的C值, 多次出现了负值, 因此该模型不适宜。

因此, 对鄱阳湖流域晚稻, 适宜的水分生产函数模型为Jensen模型和Stewart模型。同样, 因连乘模型本身优势, 选用Jensen模型作为晚稻的水分生产函数模型, 即:

3.2 Jensen模型敏感指数累积函数

由于早、晚稻Jensen模型中敏感指数的变化规律与以往结论[3,4]有所不同, 因此本文采用敏感指数累积函数[6,7]来计算Jensen模型的λ值, 并拟合其生长曲线, 来验证最小二乘法所计算结果是否正确。另外, 前文分析表明, 由于分蘖期时间过长, 使得早、晚稻分蘖期的λ值与一般的经验相比偏大, 因此将基于Jensen模型敏感指数累积函数模型来分析各生育期天数平均情况下的λ值变化规律。

采用MATLAB编程计算得到式 (7) 和式 (9) 的拟合参数及检验值见表5, Jensen模型敏感指数累积函数曲线见图1。

从表5可以看出, Jensen模型敏感指数累积曲线精度属于合理范围内, 其相对误差很小, 拟合曲线可以采用。即鄱阳湖流域早稻Jensen模型敏感指数累积函数为:

晚稻Jensen模型敏感指数累积函数为:

采用最小二乘法得到λ值后, 将按式 (5) 计算的早、晚稻Z (t) 值与式 (12) 、式 (13) 计算Z (t) 值画图比较, 结果表明早晚稻的趋势线斜率都十分接近1, 且早稻R2=0.996, 晚稻R2=0.987。所以两种计算方法得到的结果是一致的。

从图1可以看出试验早、晚稻生长曲线符合水稻生理特性, 即前后期小、中期大。可考虑按各生育期天数平均来重新划分生育期时间, 应该可以消除分蘖期时间长带来的值排列不同, 结果见表6。

如表6中所示, 按平均天数来重新划分生育期之后, 早稻Jensen模型中的值从高到低的顺序是: (3) - (2) - (4) - (1) , 晚稻为: (2) - (3) - (1) - (4) , 皆与其他研究[3,4]结果一致。

4 结语

在位于鄱阳湖流域的江西省灌溉试验中心站开展了水稻水分生产函数试验, 比较分析了几种常用的阶段水分生产函数模型在鄱阳湖流域针对早、晚稻的适应性, 结果表明, 无论早稻还是晚稻, Jensen模型均为适宜的水分生产函数模型。给出了适合鄱阳湖流域早、晚稻Jensen模型参数及Jensen模型敏感指数累积函数模型参数。由于分蘖期过长, 使得Jensen模型中值在不同生育阶段的变化规律与其他研究结果存在差异, 如果采用各阶段等分进行值的分析, 则值在不同生育阶段的变化规律与现有研究结果一致, 这表明在水分生产函数分析时生育阶段划分合理性的重要意义。

摘要：在位于鄱阳湖流域的江西省灌溉试验中心站针对早、晚稻开展了水稻水分生产函数试验, 比较分析了几种常用的阶段水分生产函数模型在鄱阳湖流域针对早、晚稻的适应性, 结果表明, 无论早稻还是晚稻, Jensen模型均为适宜的水分生产函数模型。分析了阶段划分长短对水分生产函数模型参数变化规律的影响, 即一定条件下某一阶段过长而引起的受旱时间延长会导致该阶段对缺水更敏感, 证明相对等时间长划分阶段的重要性。给出了适合鄱阳湖流域早、晚稻Jensen模型参数及Jensen模型敏感指数累积函数模型参数。

关键词：水稻,水分生产函数,敏感指数,模型

参考文献

[1]“鄱阳湖研究”编委会.鄱阳湖研究[M].上海:上海科学技术出版社, 1988.

[2]“江西水利志”编纂委员会.江西水利志[M].南昌:江西科学技术出版社, 1995.

[3]茆智, 崔远来, 李新健.我国南方水稻水分生产函数试验研究[J].水利学报, 1994, (9) :21-31.

[4]茆智, 崔远来等.水稻水分生产函数及其时空变异理论与应用[M].北京:科学出版社, 2003.

[5]陈亚新, 于健.考虑缺水滞后效应的作物-水模型研究[J].水利学报, 1998, (4) :70-74.

[6]王仰仁, 雷志栋.冬小麦水分敏感指数累积函数研究[J].水利学报, 1997, (5) :28-35.

建立二次函数模型教学设计 篇5

一、教学目标：

（一）知识与技能

1.掌握二次函数的概念。

2.能根据实际情况列出二次函数表达式，并确定自变量的取值范围。

（二）过程与方法

1.经历探索和表示二次函数关系的过程。2.体验如何用二次函数表示变量之间的关系。

（三）情感态度与价值观

1.积极参与探索活动、乐于和同伴交流与合作，敢于在交流中发表意见，并能听取别人的不同见解。

2.体验二次函数模型是描述实际生活的有效工具。二.重点、难点： 1.教学重点： 二次函数的概念。2.教学难点：

根据实际问题建立二次函数的数学模型，并确定二次函数自变量的范围

三．教学方法：

目标教学法 四．教学用具： 多媒体

五、教学过程

（一）激趣导入

篮球在空中运行的路线、美丽的桥孔、迷人的彩虹、欢腾的喷泉都是什么曲线呢？你能建立一个函数模型来刻画这些曲线吗？这就是本章要学习的二次函数图像。

（二）探究新知

1、二次函数的定义

(Ⅰ)由实际生活中的两例问题，引入二次函数的定义，从而指出二次函数自变量的取值范围。(Ⅱ)典型例题：

【例1】下列函数中（x,t是自变量），哪些是二次函数？(1)y=-0.5+3x² ,(2)y=x(x+1)-x2 +2(3)y=22+2x,(4)s=1+t+5t²(5)y=(m-1)x2+3x(m为任意实数）(6)y=-3x2(Ⅲ)变式练习一

2、建立二次数学模型(Ⅰ)典型例题：

【例2】 某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，若设每件降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出 y与x的函数关系式.(Ⅱ)变式练习二

三、拓展延伸

在例2中，我们求出了 y与x的函数关系式y=-20x2+100x+6000.若你是该商场的经理，请你运用所学知识，决策降价多少元时，能获取最大利润？最大利润是多少？

四、小结： 本节课你有什么收获？

五、课堂检测

1、二次函数的一般形式是y=________________

2y(mn)xmxn是二次函数的条件是（）

2、函数A．m、n是常数，且m≠０ B．m、n是常数，且m≠n C．m、n是常数，且n≠０ D．m、n可以为任何常数

3、下列不是二次函数的是（）

x2y2y3(x1)12 A． B．2yx5 D．y(x1)(x1)C．

4、下列函数关系中，可以看作二次函数模型的是（）A．在一定距离内，汽车行驶的速度与行使的时间的关系 B．电压一定时，电流也电阻之间的关系

C．矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系 D．圆的周长与半径之间的关系

探究一次函数模型的应用 篇6

[关键词] 一次函数；模型应用；地铁票价；盈利；亏损

在学习某一数学知识的过程中，学生经常会提出这样的问题：老师，学了这个知识有什么用？如果我们回答：为了解题，为了考试. 显然没有说服力. 就目前我们所学的知识，难道真的找不到它的用武之地吗？本文以笔者所上的一节“一次函数模型应用”课为例来说明函数的应用.

在本次课之前，笔者所教授的班级已经学习了正比例函数与一次函数，教学片段展示如下.

问题1：你能用我们学过的函数模型近似地描述“某地铁线路的盈利额与乘客量之间的关系”吗？

生：首先应确定票价，设票价为a，设盈利额为y，乘客量为x，则可用正比例函数模型，即y=ax来描述.

师：大家同意该生的观点吗？

生：结合实际情况来看，地铁运营要有固定的成本，所以当乘客数x=0时，利润y应为负值，所以它应该是一次函数模型，即y=ax+b.

师：好，我们来回顾一下一次函数的相关知识.

生：一次函数的关系式是y=kx+b，其图像是一条直线. 当k>0时，y随x的增大而增大. 若b>0时，则直线过第一、二、三象限，如图1所示；若b<0时，则直线过第一、三、四象限，其图像如图2所示.

当k<0时，y随x的增大而减小，若b>0时，则直线过第一、二、四象限，如图3所示；若b<0时，则直线过第二、三、四象限，其图像如图4所示.

师：在这里k起到什么作用？

生：反映了直线的倾斜程度，当k>0时，k越大，直线越陡峭；k越接近于0，直线越平缓. 当k<0时，k越小，直线越陡峭；k越接近于0，直线越平缓.

师： 那么这个函数的图像大致形状是什么样的？

生：如图2所示.

师：同学们是否有异议？

生：函数是有定义域限制的，乘客量应是正整数，而且是有限的，所以该函数的图像应为在某条线段上的一些整点.

师：非常好！为了研究方便，我们就近似地用直线来表示这个函数的图像.

评析：通过问题的引入，引导学生联系所学知识与生活问题建立关联. 但要注意生活问题因有其实际意义，故不能直接套用所学数学模型，应根据实际问题对函数模型进行相应的调整. 将生活中的数学问题构造出的模型，大多为一种符号模型，即把题目中的已知量、未知量、常量、变量分别列出，再添加题目的各种约束条件，进而得出相应的数学结论.

问题2：如果目前这条线路处于亏损状态，你们有什么办法令其扭亏为盈吗？

生：提高票价.

师：虽然简单粗暴，但确实是行之有效的办法. 如果提高了票价，那么函数的图像有什么变化？

生：提高票价，即直线的倾斜程度变得更陡峭，如图5所示.

师：当然，票价提高多少，还需要做科学的调查，我们在此先不做深入研究. 还有没有其他的办法？

生：降低成本.

师：你很有奉献精神. 如果降低了成本，函数的图像又会有什么变化？

生：票价不变，说明直线的倾斜程度不变，直线向上平移，如图6所示.

师：当然实际情况可能不像我们所想象的那样简单，地铁公司可能有更科学的定价方案.

评析：通过对问题1进行变式，由函数模型与实际问题的关系，利用函数模型实现对实际问题的处理，从而提出有针对性的策略.

问题3：请同学们思考一下，如果我们也近似用一次函数模型来表示，那么随着票价的增加，乘客量会有什么变化？

生：票价越高，乘坐地铁的人就会越少. 设票价为x，乘客量为y，则y=kx+b（k<0）.

师：若票价与乘客量之间的关系如图7所示，则票价为多少时，盈利额最大？

生：由图知，当票价x=1时，y=10；x=5时，y=2.将其代入直线方程y=kx+b，得k+b=10，5k+b=2， 解得k=-2，b=12.所以函数关系式为y=-2x+12.

师：能否求出盈利额的最大值？以及当盈利额最大时，票价应定为多少？

生：设盈利额为L，成本为B，则有L=x（-2x+12）-B. 因此当票价x=3时，盈利额最大，最大值为18-B.

师：函数模型确定以后，我们就可以用于决策方案的确定. 当然具体问题的处理不像我们所设想的这样简单.

评析：把生活问题转化为相应的数学模型后，再根据要求对该模型进行求解.通常情况下，把实际应用问题数学化之后，生活问题便成为普通的数学问题了.

问题4：该地铁公司决定实行按照乘车里程分段计价. 方案如下：

乘坐地铁方案6公里（含）内3元；

6公里至12公里（含）4元；

12公里至22公里（含）5元；

22公里至32公里（含）6元；

32公里以上部分，每增加1元可乘坐20公里（含）.

已知在某段线路上，任意一站到A站的票价不超过5元，现从那些只乘坐该线路地铁，且在A站出站的乘客中随机选出120人，他们乘坐地铁的票价统计如图8所示. 如果从那些只乘坐该线路地铁，且在A站出站的乘客中任选1人，试估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率.

生：记事件A为“此人乘坐地铁的票价小于5元”. 由统计图可知，得120人中票价为3元、4元、5元的人数分别为60，40，20.

nlc202309082257

所以票价小于5元的有60+40=100（人）.

故120人中票价小于5元的频率是=.？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

所以估计此人乘坐地铁的票价小于5元的概率P（A）=.

师：使用市政交通一卡通刷卡，每自然月内每张卡支出累计满100元以后的乘次，价格给予8折优惠；满150元以后的乘次，价格给予5折优惠；支出累计达到400元以后的乘次，不再享受打折优惠.

某同学上学，需要乘坐地铁15.9公里到达学校，每天上下学共乘坐两次，每月按上学22天计算. 如果该同学每次乘坐地铁都使用市政交通一卡通，那么他每月第21次乘坐地铁里时，他刷卡支出的费用是________元；他每月上下学乘坐地铁的总费用是_______元.

生：该生每天的上下学的费用分别为5元，即每天10元. 10天后花费100元，第21次乘坐地铁时，价格给予8折优惠，此时花费5×0.8=4元.

10天后的费用为100元，再过6天后花费8×6=48元，此时合计花费148元.

第17天上午累积花费148+4=152元，从第17天的下午开始车费为5×0.5=2.5元. 此时到22天结束还需要要乘车11次，需要花费2.5×11=27.5元.

故合计152+27.5=179.5元.

答案为4；179.

评析：通过仔细审视题目信息，弄清题目中的每一个词语的含义，深入挖掘其中所涉及的隐含信息；再将题目中生活、生产中的语言准确地用我们所学数学语言表达出来，分清条件和结论，理顺题目中各种数量之间的关系，联想归结为自己所熟悉的某种基本数学关系.

总之，应用函数模型解决实际问题时可遵从如下步骤：首先，对实际问题进行模型概括：探究实际生活问题中各变量间的关系，并用x，y分别表示问题中的变量；其次，确立函数模型：将变量y表示为x的函数，建立的函数模型即为函数的解析式；最后，求解函数模型：根据实际生活问题所需要解决的目标及函数式的结构特点，准确选择相应的函数知识求模型的解，并将所得结论应用到实际问题中.

当然，数学模型的应用不仅局限于此. 数学来源于生活，应用于生活，我们要善于观察身边的事物，用所学的知识去解决生活中的问题，让数学变得不再枯燥. 笔者在此抛砖引玉，希望对读者有所启发，共同探究应用数学知识解决生活问题，真正实现学有所用、学以致用.

生产函数模型 篇7

很多学者针对我国资本和劳动的产出弹性、替代弹性和技术进步差异等问题做了大量的研究。郑照宁等[1]通过构建了包括资本、劳动和技术投入的超越对数生产函数, 结果表明, 技术进步快慢为资本大于劳动, 且它们之间的差异逐渐缩小。孙中栋等[2]研究发现, 我国东部地区和西部地区的资本和劳动的替代弹性, 在1978年-1992年, 均小于1, 而在1993年-2004年, 均不小于1。史红亮等[3]构建了一个我国钢铁行业的超越对数生产函数模型, 结果表明资本与劳动的替代弹性在1左右, 因而资本可以有效地与劳动进行相互替代。李红松[4]指出我国资本对劳动存在过度替代, 使得经济高增长未能带来相应的就业增长。陈晓玲等[5]研究发现, 多数东部省区的资本和劳动是替代关系, 多数中西部省区的资本和劳动是互补关系, 多数省区的技术进步是资本偏向型的。王军等[6]采用贝叶斯方法估计出CES生产函数假设下的上海市一、二、三产业的替代弹性, 估计结果分别为1.0、1.6、0.9。雷钦礼[7]构建了一套系统测算要素偏向性技术进步的方法, 结果表明, 我国劳动的生产效率逐年提升, 而资本的生产效率在1995年以后逐年下降, 技术进步表现为资本使用和劳动节约型。

由于我国区域经济发展存在着发展不平衡性, 东部、中部、西部的生产函数很有可能会存在区域异质性问题。由于在不同时期, 经济政策、宏观和微观背景、市场化程度、对外开放程度等的差异性, 往往会使得某个区域内的生产函数存在着时期异质性问题。另外, 在我国, 农业、工业、服务业的发展并非同步, 而且资本投入的量差异很大以及劳动人员的熟练程度差异也很大, 因而我国的生产函数会存在着产业异质性问题。以往的很多研究大多是关注了区域异质性、时期异质性和产业异质性的一个方面或两个方面。在这样的背景下, 本文构建了包括资本、劳动和技术投入的超越对数生产函数面板模型, 以我国中部十省工业部门为研究对象, 采用似不相关回归进行分阶段估计, 有效地解决了生产函数所存在的区域异质性、时期异质性和产业异质性问题。

本文的贡献:一是考虑并在一定程度上解决了生产函数的区域异质性、时期异质性和产业异质性问题;二是构建了超越对数生产函数的面板模型, 并用似不相关估计方法进行估计;三是研究了中部十省资本和劳动的边际生产率规律、产出弹性、替代弹性和技术进步差异等问题, 为中部地区经济的崛起、区域经济政策的制定等提供了较为可靠的依据。

2 模型建立、数据说明以及模型估计

2.1 模型建立

Christensen et al[8]提出了超越对数生产函数, 之后其成为分析公司、企业、部门生产结构的常用工具。超越对数生产函数具有变要素产出弹性、变要素间的替代弹性、变规模弹性等很多优点, 因而在实证分析中有了非常广泛的运用。另外, 超越对数生产函数也可以被视为对生产函数的二阶泰勒展开。在有资本、劳动和技术三种要素投入和一种对应的产出时, 可以将超越对数生产函数设定为如等式 (1) 所示的面板模型, 其中Y、K、L、T分别表示产出、资本投入量、劳动投入量、技术投入, i、t、ε表示分别表示截面个体、时间点、随机误差项, α0、αK、αL、αT、βKK、βLL、βKL、βKT、βLT、βTT均为待估参数。

根据式 (1) 可以推导出资本产出弹性公式、劳动产出弹性公式、资本和劳动的替代弹性公式、技术进步差异公式, 分别如式 (2) 、式 (3) 、式 (4) 、式 (5) 所示。

2.2 样本选择和数据说明

在我国存在着区域经济发展不平衡性的现象, 即东部沿海地区率先发展, 中部地区处于崛起中, 西部地区发展缓慢。若将东部、中部、西部放在一个框架下进行估计, 存在着很多难以控制的变量。鉴于此, 本文选择中部地区的十个省份作为截面个体。这十个省份分别是:山西省、内蒙古自治区、吉林省、黑龙江省、安徽省、江西省、河南省、湖北省、湖南省和海南省。对于同一个区域内部, 农业、工业、第三产业的很有可能存在生产函数的异质性问题。又因为, 改革开放以来, 我国工业部门发展迅速而且近期还面临着产能过剩的问题。鉴于此, 本文选择中部地区的工业部门为研究对象。

从《新中国六十年统计年鉴》可搜集到1988-2007我国中部地区十个省份以现价表示的GDP、GDP指数、第二产业就业人员数;从中经网可搜集到1988-2007我国中部地区十个省份以现价表示的工业增加值、制造业就业人员数。根据GDP和GDP指数可以构造出GDP平减指数;然后用现价表示的工业增加值除以GDP平减指数可以得到以1988年价格表示的实际工业增加值 (工业部门产出Y) 。用第二产业就业人员数减去制造业就业人员数来表示工业部门的劳动投入L。Szirmai等[9]对我国工业部门生产性资本存量进行了估计, 由此可以获得我国中部十省1988年-2007年工业部门生产性资本存量K。用T=t-1988来近似替代真实的技术投入。

2.3 模型估计

1992年我国进入了市场经济时期, 2001年我国加入了世贸组织, 尤其是2000年以来, 通讯、交通、市场化程度等加速发展。若设定等式 (1) 中的待估参数在样本区间1988-2007都为相同的常数很有可能是不合理的, 即生产函数存在着时期异质性问题。为了减弱生产函数的这种时期异质性的影响, 有必要对时间区间进行时段划分。依据1988-1997年间我国市场化程度较低, 而1998-2007我国市场化程度加深的现实情况, 将样本区间分为两段, 即时段I (1988年-1997年) 和时段II (1998年-2007年) 。考虑到截面个体可能还受到一些共同的不可观测因素的影响 (若区域经济政策、区域内的资源禀赋、经济景气情况等) , 即存在着截面相关问题, 本文选择似不相关回归对等式 (1) 所示的面板模型进行估计。借助EViews6.0软件对等式 (1) 进行估计, 估计结果如表1所示。[10]

注:判定系数分别为0.999 26、0.999 96。

由表1可知, 大多数参数的估计在1%的显著性水平下都是统计显著的 (除了时段I内的βTT和时段II内的βKT以外) 。而且时段I内的判定系数为0.999 26, 时段II内的判定系数为0.999 96, 这说明模型的总体拟合效果很好。因而, 从统计上来说, 模型估计的结果是令人满意的。βKK和βLL在两个时段内都是小于0的, 这说明了模型满足资本的边际生产率递减和劳动的边际生产率递减规律的经济规律。βKL在两个时段内都是大于0的, 这说明了增加资本的投入会使得劳动的边际生产率增加或者增加劳动的投入也会使得资本的边际生产率增加, 即资本和劳动具有互补性。βTT在两个时段内都大于0, 这说明了技术投入的边际生产率具有递增的规律。因而, 从经济意义上来说, 模型估计的结果是较有说服力的。

3 产出弹性、替代弹性和技术进步差异经济分析

3.1 产出弹性、替代弹性和技术进步差异计算结果

根据计量估计结果和式 (2) —式 (5) 可以计算出资本产出弹性、劳动产出弹性、资本和劳动的替代弹性、技术进步差异, 结果如表2所示。

注:I表示1993-1997时段, II表示1998-2002时段, III表示2003-2007时段;pj表示一个时段内对应指标的平均值;bv表示每个时段内的标准差。

3.2 资本的产出弹性分析

资本的产出弹性是指同一时期内, 在其他影响因素保持不变的条件下, 当资本的投入增加1%, 会使得产出增加多少个百分点。它可以用来衡量资本投入的使用效率。资本的产出弹性越高, 则表明此时若其他因素不变, 仅增加一单位资本投入会使得产出增加很多;也能表明资本的使用效率越高。

由表2可以看出, 江西省的资本产出弹性呈现逐段下降, 海南省的资本产出弹性则逐段上升, 而其他八个省份的资本产出弹性则是先增后降低。这表明, 江西省的资本利用效率在不断下降, 海南省的资本利用效率在不断上升, 其他八个省份的资本利用效率在先上升后下降。其中, 资本产出弹性最高的四个省份依次为江西、湖南、安徽和河南 (数值大小均在0.8以上) 。另外, 山西、内蒙古、吉林、黑龙江和湖北这五个省份的资本产出弹性大致相同 (数值大小范围在三个时段分别为:0.60~0.75、0.82~0.89、0.72~0.77) 。这表明, 江西、湖南、安徽和河南资本使用效率高, 而山西、内蒙古、吉林、黑龙家和湖北这五个省份资本使用效率较低。从标准差大小来看, 最大为0.06, 最小为0.01, 而且大多数在0.02~0.05之间, 说明每个时段内的稳定性较好 (各个省份在各个时段内资本产出弹性变异性比较小) 。

3.3 劳动的产出弹性分析

劳动的产出弹性是指同一时期内, 在其他影响因素保持不变的条件下, 当劳动的投入增加1%, 会使得产出增加多少个百分点。它可以用来衡量劳动投入的使用效率。劳动的产出弹性越高, 则表明此时若其他因素不变, 仅增加一单位劳动投入会使得产出增加很多, 也能表明劳动的使用效率越高。

由表2可以看出, 所有省份在由时段I至时段II的过程中, 劳动的产出弹性均出现了较大幅度的下降;在由时段II至时段III的过程中, 劳动的产出弹性基本上都是呈较小幅度的下降。这表明中部地区劳动的使用效率在不断下降, 且下降速度减慢。其中, 安徽、江西、河南、湖北和湖南五省的劳动的使用效率较低, 在时段III内, 甚至均不高于0.22;劳动使用效率较高的省份依次为海南、内蒙古、吉林、黑龙江和山西, 数值大小均在0.30以上。这表明劳动在海南、内蒙古、吉林、黑龙江和山西工业部门产出的增长中发挥了很大的作用。而劳动在安徽、江西、河南、湖北和河南工业部门产出的增长中所发挥的作用有限。从标准差大小来看, 最大为0.04, 最小为0.01, 而且大多数在0.02~0.03之间, 说明每个时段内的稳定性较好 (各个省份在各个时段内劳动产出弹性变异性比较小) 。

3.4 资本和劳动的替代弹性分析

资本和劳动的替代弹性是指在产出不变时, 当资本和劳动的相对边际生产率变化1%, 会使得资本和劳动的投入比例变化多少个百分点。当资本和劳动的替代弹性值较高时, 若资本的价格相对于劳动的价格有了较大的提高, 则可以通过增加一单位的劳动减少更多单位的资本投入来保持产出不变。

由表2可以看出, 山西、吉林、黑龙江、安徽、江西和海南的资本和劳动的替代弹性均表现为先逐段增加后逐段减小, 而河南、湖北和湖南的资本和劳动的替代弹性表现为逐段下降, 而内蒙古的资本和劳动的替代弹性则呈现不断上升的趋势。这说明, 除内蒙古以外, 资本和劳动的替代弹性在不断下降。这表明, 当劳动的价格相对于资本的价格上升时, 试图通过制定减少劳动的投入而增加资本的投入的措施来改善经济效益是有困难的。这也表明了, 当劳动的价格相对于资本的价格上升时, 对劳动投入的减少所产生的作用是有限的, 即相对劳动工资的上升不会对现有就业产生较大不利影响。另外, 资本和劳动的替代弹性较高的三个省份是内蒙古、吉林和海南, 数值大小在0.65~0.83之间, 而资本和劳动的替代弹性较小的三个省份是江西、河南和湖南, 数值大小在0.40~0.1之间。这表明了内蒙古、吉林和海南三个省份的单位劳动资本的投入对资本相对于劳动的价格反应更为敏感, 而江西、河南和海南的反应则较为不敏感。从标准差大小来看, 最大为0.04, 最小为0.01, 而且大多数在0.02~0.03之间, 说明每个时段内的稳定性较好 (各个省份在各个时段内资本和劳动的替代弹性变异性比较小) 。

3.5 技术进步差异分析

由表2可以看出, 在时段I内, 各个省份的技术进步差异水平大多数在0.18~0.19之间, 而在时段II和时段III内, 安徽、江西、河南、湖北和湖南的技术进步差异水平较高, 在0.07~0.16之间, 而其余五省的技术进步差异较低, 在0.02~0.06之间。总的来看, 技术进步差异先大幅度下降, 后又略微上升。从标准差大小来看, 最大为0.03, 最小为0.00, 而且大多数在0.01~0.02之间, 说明每个时段内的稳定性较好 (各个省份在各个时段内技术进步差异变异性比较小) 。

陈晓玲等[8]指出有偏技术进步可分为要素增强型技术进步和要素偏向型技术进步, 并给出了界定标准和分类标准。由表1可知, 所有省份在每个时段内BIASKL均大于0。这表明了技术进步使得资本效率水平提高得更快, 即技术进步总体表现为资本增强型技术进步。从表1中也可知, 所有省份在所有时段内的资本和劳动的替代弹性数值均小于1, 因而资本增强型技术进步同时也是劳动偏向型技术进步, 从而生产中会使用更多的劳动。

4 结论

本文在考虑生产函数的区域异质性、时期异质性、产业异质性的基础上, 构建了一个包含资本、劳动和技术投入的超越对数生产函数的面板模型, 并用似不相关回归对中部十省工业部门的面板模型分两阶段分别进行了估计, 通过实证分析, 得出了以下结论。

第一, 资本和劳动的边际生产率具有递减的特征, 这说明了, 在其他因素不变的条件下, 继续增加资本 (或劳动) 的投入会使得资本 (或劳动) 的边际生产率减小。资本和劳动具有互补性, 这说明了, 在其他因素不变的情况下, 增加资本 (或劳动) 的投入会使得劳动 (或资本) 的边际生产率增加。技术的边际生产率具有递增的特征。这说明在其他因素不变的情况下, 继续增加技术投入, 会使得技术的边际生产率增加。

第二, 除江西和海南以外, 其他八个省份的资本利用效率在样本期先上升后下降。其中, 江西、湖南、安徽和河南资本使用效率较高。劳动的利用效率则是不断下降, 但下降速度越来越慢。其中, 湖南、安徽和河南的劳动使用效率较低。因而一般来说, 资本的使用效率提高了, 则劳动的使用效率降低了。

第三, 除内蒙古以外, 资本和劳动的替代弹性的数值大小具有缓慢下降的趋势。其中, 内蒙古、吉林和海南的资本和劳动的替代弹性较高, 而江西、河南和海南的资本好劳动的替代弹性较低。另外, 资本和劳动的替代弹性数值大小均小于1。

第四, 技术进步差异 (数值大小均大于0) 先较大幅度下降后又较小幅度上升, 维持在较低水平上。其中, 在1998年-2007年, 技术差异水平较高的省份是安徽、江西、河南、湖北和湖南。技术进步总体表现为资本增强型技术进步和劳动偏向性技术进步。

参考文献

[1]郑照宁, 刘德顺.超越对数生产函数及对中国的应用[C]//中国运筹学会.第六届中国青年运筹与管理学者大会论文集.2004:4.

[2]孙中栋, 李辉文.要素替代弹性与地区经济增长差异[J].统计与决策, 2007 (14) :77-78.

[3]史红亮, 陈凯, 闫波.我国钢铁行业能源-资本-劳动的替代弹性分析——基于超越对数生产函数[J].工业技术经济, 2010 (11) :110-116.

[4]李红松.资本—劳动替代的技术特征及其对扩大就业的启示[J].武汉科技大学学报:社会科学版, 2010 (1) :72-75.

[5]陈晓玲, 连玉君.资本—劳动替代弹性与地区经济增长——德拉格兰德维尔假说的检验[J].经济学 (季刊) , 2013 (1) :93-118.

[6]王军, 刘兰娟.上海市三大产业CES生产函数弹性估计[J].上海经济研究, 2012 (5) :106-112.

[7]雷钦礼.偏向性技术进步的测算与分析[J].统计研究, 2013 (4) :83-91.

[8]LAURITS R CHRISTENSEN, DALE W JORGENSON, LAWRENCE J LAU.Transcendental Logarithmic Production Frontiers[J].The Review of Economics and Statistics, 1973, 55 (1) :28-45.

[9]LILI WANG, ADAM SZIRMAI.Capital inputs in the Chinese economy:Estimates for the total economy industry and manufacturing[J].China Economic Review, 2012, 23 (1) :81-104.

生产函数模型 篇8

在新经济增长理论中, 以研究与开发为基础的内生增长模型 ( R&D Based Growth Model) 从技术内生化视角, 强调技术进步是经济增长的长期源泉[1 -3]。在发达经济国家中, 企业作为技术创新的主体, 自主研发能力强, 能够 “自觉”地进行技术创新活动。而在我国, 企业技术能力薄弱, 缺乏自主创新所需的人才、资金、技术等资源, 高校作为基础研究的发源地, 则更多地在区域技术进步中发挥作用。1992年, 国家经贸委、国家教委和中科院共同提出实施 “产学研联合开发工程”。近年来, 我国产学研合作模式和机制不断完善, 其在区域创新系统中扮演的角色也越来越重要。创新本质上是系统行为, 是社会多因素协同作用的结果[4]。然而, 在我国区域创新系统中, 各创新主体技术溢出效应有多大? 企业、高校、产学研合作研发在不同地区的创新溢出有何区别? 不同主体创新溢出效应取决于何种因素? 对此类问题的研究, 有助于全面认识我国各区域创新系统的创新主体及影响因素, 进而因地制宜地制定创新政策, 进一步推动区域技术进步。

2理论模型与数据

2. 1理论模型

本文的模型从C - D函数出发, Yit= AKαitLβitRγit。 由于由此得到的 γ 为产出对R&D投入的弹性系数, 并不能完全代表R&D投入对生产率的影响, 因此借助 “索洛余值法”, 将引入模型, 得到

为了研究区域中各创新主体的技术溢出效应, 将公式中的R分解为高校自主研发、企业自主研发及产学研合作三个部分。考虑到R&D投入对产出影响的滞后性, 取其滞后一期的变量, 并对等号两边取对数, 得模型 ( 1) 。

其中CRDit - 1、LNQRDit - 1、GRDit - 1分别为第i地区第t -1年产学研合作经费、企业自主研发经费、 高校自主研发经费。

吸收能力对技术溢出效应的调节效应已被许多研究所证明, Cohen and Levinthal ( 1990) 指出企业创新活动增长了自身的知识存量, 进而也增强其对外部知识溢出的吸收能力[5]。Agrawal ( 2000) 实证得出产业间知识溢出取决于吸收者的知识认识、吸收与利用能力[6]。在区域创新系统中, 不同创新主体研发投入对区域技术进步的影响必然也将受吸收能力的调节。为验证这一假说, 将区域吸收能力变量引入模型, 做交叉项。同时, 为避免过度引入自变量而导致的模型自由度受损, 引起模型估计偏差, 将区域吸收能力变量Z分布分别引入模型 ( 1) 中, 分别与高校自主研发、企业自主研发和产学研合作做中介效应验证, 进而得到模型 ( 2) 、 ( 3) 、 ( 4)

2. 2变量与样本

在变量的具体定义上, 如表1所示。

本文选取2000—2011年地区层面的数据为样本, 由于西藏地区部分数据不全, 分析中暂不考虑, 故研究对象为我国30个省级行政区。回归所需的数据来自于2001—2012年 《中国科技统计年鉴》、《高等学校统计资料汇编》。同时, 为剔除价格因素的影响, 本文涉及的资金变量均通过商品零售价格指数进行平减。

3回归结果及分析

3. 1模型检验

面板数据模型包括固定效应模型 ( Fixed Effect Model, FE) 和随机效应模型 ( Radom Effect Model) 两种, 不同的模型设定可能导致参数估计的偏差, 为此, 首先需进行模型的检验。在计量经济学中, 普遍采用Hausman检验来判别, 其零假设为模型存在随机效应, 若p < 0. 05, 则拒绝原假设, 选择固定效应模型, 反之亦然。本文利用Eivews 6. 0软件分别对全国和三大地区模型进行检验, 结果如表2所示。

3. 2回归结果及分析

基于Hausman检验的结果, 分别设定相应的模型进行回归。同时, 为了研究不同地区间各创新主体技术溢出效应的差异, 分别在全国、东中西部三大地区层面对模型 ( 1) 、 ( 2) 、 ( 3) 、 ( 4) 进行回归, 结果如表3、4、5、6所示。

注: 括号内为 p 值, ***、**、*分别表示在 1%、5%、10% 的显著性水平。

由表3可知, 在全国层面, 高校自主研发投入、 企业研发投入和产学研合作研发投入均对地区技术进步产生影响, 在四个模型中, 三类研发的系数均至少在10% 的显著性水平上通过检验。具体而言: ( 1) 企业研发部分 ( LNQRD) 对区域技术进步 ( LNTEP) 的影响最大, 产学研合作研发部分 ( LN- CRD) 其次, 高校研发部分 ( LNGRD) 相对最低。 以模型 ( 1) 的回归结果为例, 企业研发部分 ( LN- QRD) 的系数为0. 084470, 是产学研合作研发部分 ( LNCRD) 0. 055749的1. 52倍, 是高校研发部分 ( LNGRD) 0. 044816的1. 88倍。这主要由于与企业创新活动相比, 目前我国高校科学研究仍以 “供给型”模式为主, 较少考虑市场需求的作用, 科技成果转化率普遍较低。而且, 在高校科研评价体制中, 往往偏重研究的学术价值而忽视其经济价值, 以发表论文数、参与科研项目数等为主要标准, 导致研究通常仅考虑技术的先进性和合理性, 实际开发的可行性却不一定高。即高校服务社会意识和能力整体偏低, 限制了其研究成果对区域技术进步的溢出。 ( 2) 与此相对, 企业的技术研发投入对区域技术进步能产生较大溢出弹性, 但目前我国大部分企业仍缺少研发所必需的创新资源, 自主创新能力薄弱, 与资本 ( LNK) 和人力要素 ( LNL) 相比, 其对区域技术进步的影响仍有待提高。 ( 3) 我国高校研发、企业研发和产学研研发对区域技术进步的影响受区域吸收能力的调节, LN ( Z* CRD) 、LN ( Z* QRD) 、LN ( Z* GRD) 的系数为正, 且均通过显著性检验, 说明高校自主研发投入、企业研发投入和产学研合作研发投入对区域技术进步发挥影响的一个重要途径就是与人力资本结合, 地区人力资本水平越高, 其对创新知识的吸收能力就越强, 创新主体的知识溢出效应也就越容易显现。然而, 各创新主体对区域技术进步产生影响的首要前提也是要地区吸收能力跨越最低限度的 “门槛”, 否则技术溢出将无法实现。

注: 括号内为 p 值, ***、**、* 分别表示在 1%、5%、10% 的显著性水平下

注: 括号内为 p 值, ***、**、*分别表示在 1%、5%、10% 的显著性水平下。

注: 括号内为 p 值, ***、**、* 分别表示在 1%、5%、10%的显著性水平。

由表4、5、6可知, 在三大地区层面, 大部分变量的系数能够至少在10% 的显著性水平上通过检验, F值也均通过检验, 说明方程整体显著。具体而言: ( 1) 高校自主研发投入、企业研发投入和产学研合作研发投入均对区域技术进步产生正向的影响, 一般而言, 企业研发投入 ( LNQRD) 对区域技术进步TFP的影响最大, 产学研合作研发投入 ( LNCRD) 其次, 高校研发投入 ( LNGRD) 的影响最小。 ( 2) 三大地区相比较而言, 东部地区企业LNQRD研发投入对区域技术进步的影响最大, 中部地区其次, 西部地区最小。以模型 ( 1) 的回归结果为例, 东部地区的系数为0. 206080, 分别是中部地区 ( 0. 083456) 、西部地区 ( 0. 038067) 系数的2. 47倍和5. 41倍。作为我国最早进行改革开放的地区, 东部地区企业数量高、规模大, 经济活跃度高, 市场经济体制相对完善, 企业开展自主创新的积极性更高, 将逐步发展成为地区创新的主体。

4结论与启示

本文以2000—2011年我国30个省市的数据为基础, 定量研究高校、企业及产学研合作研发投入对区域技术进步的影响, 得出在全国和三大地区层面, 企业自主研发投入对区域技术进步的影响最大, 产学研合作研发投入次之, 高校自主研发投入对区域技术进步的影响最小。这反映出了我国高校 “供给式”研发模式的弊端, 过分强调研究成果的先进性和科学性, 而忽视其经济价值的实现, 导致科技成果转化率偏低, 而以学术论文、科研课题数量为主的基础研究成果对区域技术进步的影响有限。此外, 企业研发投入对区域技术进步的贡献率较资本要素的贡献率偏小, 说明目前我国地区经济的发展仍以资本推动为主, 技术推动经济发展的模式有待进一步深化。同时, 区域知识吸收能力是调节各类创新主体研发投入对区域技术进步影响的中介变量, 其中介效应显著。

区域创新的实质是通过系统内各要素的互动, 推动地区知识、人才等资源的流动, 不断采用新工艺、催生新产品并取得巨大投资回报率, 有效实现创新目标[7]。而目前, 我国各地区创新主体仍存在 “各自为战”的现状, 虽然产学研合作的数量和规模不断发展, 但企业、高校间的知识流动与技术协同仍非常有限, 未能充分发挥合作产生的 “1 + 1 > 2” 的作用。此外, 高校作为我国基础研究的主力军, 集中着全国2/3左右的科技人才资源, 其研究导向偏离经济主战场、科技成果转化率低等问题有待进一步解决。企业自主研发活动对区域技术进步的影响最大, 但目前我国大部分地区的企业尤其是中西部地区仍缺乏独立创新所需的资源和能力, 自主研发的可能性不高, 需进一步加强与高校科研院所的合作, 积极获取外部创新资源, 提升技术能力, 推动地区技术进步。

摘要：以2000—2011年我国30个省市的面板数据为基础, 定量研究在全国及东中西部三大地区层面, 高校独立研发、企业独立研发及产学研合作研发对区域技术进步的影响, 及区域吸收能力的调节作用。

关键词：创新主体,溢出效应,地区对比C-D生产函数

参考文献

[1]ROMER P M.Endogenous Technological Change[J].Journal of Political Economy, 1990, 98 (5) :71-102

[2]GROSSMAN G, HELPMAN E.Innovation and Growth in the Global Economy[M].Cambridge MIT Press, 1991

[3]AGHION P, HOWITT P.A Model of Growth through Creative Destruction[J].Econometrica, 1992, 60 (2) :323-351

[4]王成军.官产学三重螺旋创新系统模型研究[J].科学学研究, 2006 (2) :315-320

[5]COHEN W M, LEVINTHAL D A.Absorptive Capacity:A New Perspective on Learning and Innovation[J].Administrative Science Quarterly, 1990, 35:128-152

[6]AGRAWAL A.Specificity of Induced Resistance in Wild Radish:Causes and Consequences for two Specialist and two Generalist Caterpillars[J].Oikos, 2000, 89:493-500

生产函数模型 篇9

考试源于课本而不拘泥于课本，教材上的例习题都是很典型的，要求学生不断挖掘教材中例习题的多种功能，在函数模型中，对增长率的应用由表及里，能培养学生思维的深刻性。

心理学家研究表明：人的认识总是由浅入深、由表及里、由具体到抽象、由简单到复杂的。因而所设计的尝试学习问题必须遵循人的认识规律，采取低起点、小步子、多训练、快反馈的方法，使学生认识活动划分为由易到难、由简到繁的若干递进层次，使学生逐步地多次地获得成功，保护学生的旺盛的学习积极性，培养思维的深刻性。如在讲指数函数的定义及应用时，可根据教材设计如下。

题组一：巩固型题组，为熟悉基本知识、方法而设置。

问题1：根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我国发展前景分析》判断，未来20年，我国GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3%，那么，在2001—2020年，各年的GDP可望为2000年的多少倍?(人教版A版必修1P48引例)

如果我们把2000年的GDP看成是1个单位，2001年为第一年，那么：

1年后(即2001年)我国的GDP可望为2000年的(1+7.3%)倍;

2年后(即2002年)我国的GDP可望为2000年的(1+7.3%)2倍;

3年后(即2003年)我国的GDP可望为2000年的____倍;

4年后(即2004年)我国的GDP可望为2000年的____倍;

……

设x年后我国GDP为2000年的y倍，那么

即从2000年起，x年后我国的GDP为2000年的1.073x倍。

该题虽然简单，但学生的理解还处于一知半解的状态，为了使学生掌握其通性通法，举一反三，达到触类旁通的境界，我作了如下变式：

问题2：某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林____。

A.14400亩%%B.172800亩%%C.17280亩%%D.20736亩

问题3：某山区加强环境保护，绿色植被的面积每年都比上一年增长10.4%，那么，经过x年，绿色植被面积可增长为原来的y倍，则函数y=f (x) 的大致图像为_____。

既补充和延伸了课堂教学，消除了学生的疑虑，排除了干扰，又培养了学生的质疑精神、科学的批判精神和锲而不舍的学习精神，我们何乐而不为呢?

题组二：提高型题组，为提高运用知识，方法的能力而设置。

教材往往只是研究问题的基本形式，并用与之相应的习题让学生训练，这样即使把有关问题做遍了，也只能是把握问题的某个方向。因此，教师要挖掘例习题深层次的知识点，纵横联系，多角度地考虑问题，使思维呈现辐射状展开，开阔视野，拓展思维。

问题1：某蛋糕厂生产某种蛋糕的成本为40元/个，出厂价为60元/个，日销售量为1000个。为适应市场需求，计划提高蛋糕档次，适度增加成本，若每个蛋糕成本增加的百分率为x (0

(1)写出y与x的关系式;

(2)为使日利润最大，问x应取何值?解：(1)由题意得：

问题2：某人2010年1月1日到银行存入一年期存款a元，若按年利率为x，并按复利计算，到2015年1月1日可取回款%%%%。

问题3：某种放射性元素，100年后只剩原来质量的一半，现有这种元素1克，3年后剩下。

题组三：发展型题组，为使思维灵活变通、强化创新意识而设置。

问题1：截止到1999年底，我国人口约13亿。如果今后能将人口年年平均增长率控制在1%，那么经过20年后，我国人口数最多为多少(精确到亿)?

解：设今后人口年年平均增长率为1%，经过x年后，我国的人口为y亿。

1999年底，我国的人口为13亿;

经过1年(即2000年)，人口数为13+13×1%=13×(1+1%)(亿);

经过2年(即2001年)，人口数为13×(1+1%)+13×(1+1%)×1%=13×(1+1%)2(亿);

经过3年(即2002年)，人口数为13×(1+1%)2+13×(1+1%)2×1%=13×(1+1%)3(亿);

……

所以, 经过x年, 人口数为y=13× (1+1%) x (亿) .

当x=20时, y=13× (1+1%) 20≈16 (亿) .

所以，经过20年，我国人口数最多为16亿。

在实际问题中，经常会遇到类似问题的指数增长模型：设原有量为N，每次的增长率为P，经过x次增长，该量增长到y，则y=N (1+p) x (x∈N)。形如y=kax (k∈R，且k≠0;a>0，且a≠1)的函数是一种指数型函数，这是非常有用的函数模型。

问题2：某工厂生产总值月平均增长率为p，则年平均增长率为%%%%。

问题3.2010年我国工农业总产值为a亿元，到2030年工农业总产值实现翻两番的战略目标，年平均增长率至少要达到%%%%。

问题4.某商品2010年零售价比2009上涨25%，欲控制2011年比2009年只上涨10%，则2011年应比2010年降价____。

对增长率的函数模型，由浅入深，层层递进，环环相扣，把思维逐渐引向深入，使学生在轻松中品尝成功的喜悦，既掌握了基础知识，又充分认识了问题的本质，训练了学生的数学思维。

学生解题的实质是基本问题的各种各样的变化形式，对教材中的增长率进行变式，使之貌似原题，又不同于原题，并拾级而上，让学生从不同角度、不同侧面去思考和探索问题，加深对知识内涵、外延的理解，以求在变化中拓宽思想激发思维;使学生感到轻松、愉快，在学生的脑海中留下了深刻印象，既分清了问题的变化类型，又把所学知识系统地运用，从中获得概括的知识，把握了基本题中所衍生出的不同类型，使之从单一化、固定化模式中转入多棱化、多角化和多面化模式，从而获得上升性思维能力。

在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望自己是一个发现者、探索者。教师应该鼓励学生大胆探究与猜想，深刻领悟新课程改革精神，认真研究教学要求，以学生为本，精心设计例习题，以培养学生的合作能力和创新素质为己任，给学生一片自主探索的天空，使学生的创新能力得到培养，个性品质得到和谐发展。

二次成本函数模型及其运用 篇10

一、二次成本函数的数学模型

从财会管理角度来看, 一元二次成本函数在工业企业中主要有三种情况产生:

1. 追加生产量超过一定相关范围时 (即

由原来的限度生产量X0追加到X) , 固定成本总额增加a′, 单位变动成本也随产量每增加m%而上升n%, 这样产量 (X) 与单位成本 (Y) 就存在一元二次函数关系:

2. 确定经济生产批量。

在生产任务一定下, 分批量组织生产时, 使总成本达到最低的生产批量, 就称为经济生产批量。在一定时期内, 企业生产量 (X0) 一定, 每批生产准备费用 (a) , 单位产品储存费用 (b) , 试确定投产批量 (x) 为多少时, 产品单位成本 (y最低。这就需要建立一元二次成本函数。由于产品入库是完工后一次进行, 而出库是根据销售等情况陆续进行, 因而库存经常占用的产成品只能用平均数, 通常是假设为生产量的一半, 即x/2。这样, 就可以建立单位成本的一元二次成本函数如下:

3. 确定经济采购批量。

经济采购批量是指可使企业在存货上所花费用最低的每次采购量。企业在需要采购的原材料等存货一定时 (x0) , 每次采购量 (x) 所需的采购成本 (a) , 单位存货的仓储保管等费用 (b) , 且采购的物料平均库存量为x/2, 则单位成本函数为:

上述三种表达式的地元二次函数, 可以用一般表达式反映:

从纯数学角度上讲, ⑷式为一次有理分式函数, 但业务量x>0。⑷式可以整理为二次函数式:yx=A+Bx2+Cx。建立二次成本函数的目的在于:通过解方程式求业务量x的值, 使成本y达到最低。由于各种不同情况下建立的二次成本函数关系式构成因素不同, 按数学程序逐步求解十分麻烦, 就有必要预先求出x解的简便实用模式。但是, 在一般的管理会计和技术经济教材中, 都只是直接给予结果x= (A/B) 1/2, 没有列出求解的推导过程, 这对教学和实际运用都带来盲然:只知其然, 不知其所以然。马克思曾经指出:“一种科学, 只有成功地应用数学时, 才算达到成功的地步。”现从数学角度并结合经济含义, 证明一元二次成本函数x的最优解如下:

证明一:根据抛物线性质证明。

∵x>0, 将⑷式两边同乘以x后移项得:

配方并整理得:

(5) 式属于“ (x-h) 2=2p (y-k) ”型抛物线方程, 这类抛物线的性质是开口向上, 顶点坐标 (h, k) , 即x=h时, y的最小值为k。根据这一性质, ⑸式中B>0, 当x= (yC) ÷2B时, y有极小值, 代入 (4) 式得:

也就是说, 当x= (A/B) 1/2时, Y有极小值2 (A/B) 1/2+C

证明二:根据不等式的性质证明。

∴ (5) 式左边≥0, 则右边也必然≥0, 即

只要y取最小值, 就有y=2 (AB) 1/2+C。把y=2 (AB) 1/2+C代入 (4) 式, 有:

证明三:根据绝对不等式性质证明。

根据绝对不等式 (a+b) /2≥ (ab) 1/2 (a>0, b>0) , 可知 (5) 式有:

只有A/x=Bx, 即x= (AB) 1/2时 (x>0) , 不等式中的等号才成立。所以, 当x= (A B) 1/2时, y有极小值2 (AB) 1/2+C。

证明四:根据一元二次方程的判别式证明。

由 (4) 式整理为标准的一元二次方程为:

根据一元二次方程判别可知, 要使该方程有实数解, 则必须有:

y=2 (AB) 1/2+C时有极小值, 将其代入 (4) 式有:

证明五:根据函数的导数与极值的关系来证明。

函数具有极值的必要条件是一阶导数等于零, 充要条件是二阶导数小于零有极大值、大于零有极小值。所以, 对 (4) 式求导数得:

从上述证明说明, 只要成本与产量的关系符合y=A/x+Bx+C的一元二次成本函数, 就可以直接用x= (A/B) 1/2数学模式来求成本最低的解, 这样比根据方程式来解要简便得多。一元二次成本函数中的C是常数, 对产量 (x) 没有影响, 只对成本 (y产生影响, 因而在确定最佳生产量时, 可以不考虑。在使用本数学模型时, 对那些复杂的二元一次成本函数, 必须先化简成为标准形式, 否则不能直接使用。

二、二次成本函数应用举例

例一:某厂生产一种甲产品, 年产量为10 000件时, 单位变动成本为20元, 年固定成本为200 000元。由于该产品属于供不应求, 且企业又有扩大生产的能力, 因而企业决定追加生产量。根据实际测定:产量每增加10%, 单位变动成本上升5%, 年固定成本增加10 000元。试确定企业年生产时为多少时, 单位成本最低?

设:单位成本为y, 单位成本最低时的年产量为x, 则有成本函数:

验算:⑴假设年产量安排14492件, 则单位成本

假设年产量安排14490件, 则单位成本

由此看出, 企业年生产量为14491件时, 单位成本最低:38.98275349元。

例二:设某企业生产中需要S零件的年产量为10 000件, 该零件由辅助生产车间自制, 每件生产成本1.50元 (企业规定辅助生产费用按计划成本分配, S零件计划单位成本为1.50元) , 一批零件投入生产需花准备费用15元, 零件单位储存费用为生产成本的20%。在生产期内, 每天生产量为领用量的4/3倍。问一次投产的最优批量应为多少?

设:一次投产最优批量为x件, 在最优批量下全年准备费用和储存费用为y。根据题意有:

产品生产入库量为:x (1-3÷4) =0.25x

平均库存量为:0.25x÷2=0.125x

单位变动成本b=1.50×20%=0.30 (元)

这就是说, 每批按2000件 (即全年分5批) 组织生产, 准备费用和储存费用可达最低150元。

验算:按4批组织生产 (x=10000÷4) , 准备费用为60元 (4×15) , 储存费用为93.75元 (2500×0.0375) , 总费用为153.75元;按6批组织生产 (x=10000÷6) , 准备费用为90元, 储存费用为62.50元, 总费用为152.50元。

例三:某企业产品生产中需要某种外购半成品全年1000件, 单位订货成本为20元, 储存费用中变动成本每件0.25元。问经济订货量应为多少?最低单位成本为多少?

设:最低成本为y, 经济订货量为x, 假设库存平均占用量为购入量的一半, 则

验算:假设每次订货量为500件, 则单位成本为102.50元 (20000÷500+0.125×500) ;如果每次订货量为200件, 则单位成本为125元 (20000÷200+0.125×200) 。所以, 最优订货量为每次400件, 最低单位成本可达100元。

参考文献

[1]Harold Bierman, Jr./Thomas.P.Dy-cbman《Managerial Cost Accounting》Col-lier Macmillan Publishers1971.

[2]吴敬业等译.生产经济学──理论与应用[M], 农业出版社, 1984.

[3]沈达尊主编.实用农业技术经济学[M].农村读物出版社, 1987.

[4]谭文峰.介绍一个简捷实用的数学模式[J].安徽财会, 1986 (10) .

[5]回忆马克思恩格斯[M].人民出版社, 1959.

生产函数模型 篇11

关键词：高中物理；三角函数

中图分类号：G633 文献标识码：A 文章编号：1671-864X（2016）07-0257-01

高中物理对数学的应用模型可以简单地概括为函数模型、三角模型、图像模型、不等式模型等。三角及余弦函数普遍应用于解决物理问题。

一、三角函数的基本应用

例题1 如图1所示，质量为m的小球静止于斜面与竖直挡板之间，斜面倾角为θ，求小球对挡板和对斜面的压力大小分别是多少？[2]

解析：小球受到的重力产生的效果是压紧挡板和使球压紧斜面，重力的分解如图2所示。

二、三角函数求物理极值

（一）利用辅助角三角函数公式求物理极值。

小结

物理试题的求解过程就是一个将物理问题转化为数学问题经过求解还原为物理结论的过程。因此在进行高考物理复习的同时，要特别注意数学模型在物理问题中的应用。

中国投资函数模型的研究及实证 篇12

在西方经济学中, 投资函数模型主要为加速模型、利润决定的投资函数模型和新古典投资函数模型。他们的建模分别依据国民收入、固定资产和投资之间的关系、资本存量的预期值与利润水平之间的关系、以利润最大为目标以新古典生产函数为约束条件求解极值问题。在中国, 大规模的投资主要是政府主导, 政府作为一只看的见的手和市场合力调节着经济的发展, 因此中国的投资函数离不开往期的资本存量和投资。

回首过往三十多年, 1978年十一届三中全会提出中国对内改革对外开放、1992年南巡讲话指出中国改革进入新的阶段、2013年十八大决定中国进入全面深化改革, 可见不同历史阶段中国的国势兴旺、资本积累、产业格局、管理水平都有所不同, 那么我们该如何衡量我们国家改革发展的效率, 全社会的固定投资尤其是政府主导下的拉动经济增长的投资值得我们尤为关注。

秦朵、宋海岩2003年利用生产函数投资需求模型分析认为资本的使用成本不影响投资需求, 政府刺激需求、拉动经济增长的政策往往导致资源配置的低效率。郭庆旺、贾俊雪2005年利用向量自回归和脉冲响应分析认为我国持续不断的财政投资明显促进了经济增长, 并且强力拉动了民间的投资, 我国财政投资对产出影响基本上1年后达到最大, 财政基建投资对产出影响可以持续8年的时间。吴海英2006年利用动态投入产出去模型认为上、下游行业投资增长速度在同一期存在线性关系, 下一期总投资增长速度与本期地产行业投资增长速度成线性关系。薄文广2006年利用面板数据分析认为1992年前是FDI挤入国内投资, 1992年后对国内投资为挤出效应, 以出口导向和劳动密集的珠江三角地区比以进口替代和资本深化的长江三角地区更明显。何改平2009年利用回归模型认为国内生产总值、居民储蓄、总投资增量绝对值的自然对数存在正相关。

二、投资、消费、产出、资本存量的关系分析

投资, 对特定产业投入资本使产出社会和财务的回报, 政府、机构、个人的投资构成了全社会的总投资。消费, 使用社会产品来满足人们各种需要的过程。产出, 生产过程中创造的用于消费、进一步生产的产品和服务。资本存量, 企业用于生产的各种资本的总和。

投入、产出之间存在天然因果关系, 华西里·W·里昂惕夫基于此提出投入产出分析方法, 用于研究各个生产部门在一段时间内的平衡比例关系。投资是一种增量资本投入的形式, 当投资完成时, 增量资本便转为资本存量, 本期的投资流量在下一期变为资本存量。作为资本存量两种主要形式的资本和劳动在一定条件下结合可以转化为产出, 因此资本存量和产出存在一定关系。

三、中国投资函数模型及时政

由投资和产出、资本存量和往期投资、产出与资本存量的关系有,

其中, It表示t期投资函数、It-1表示t-1期投资函数、Kt表示t期资本存量、Kt-1表示t-1期资本存量、Yt表示t期产出函数。整理 (1) (2) (3) , 得到 (4) ,

(4) 式中资本存量K使用永续盘存法, 计算公式有,

其中, Pt表示t期固定资产投资价格指数、δt表示t期折旧率。

依据中国投资模型, 从中华人民共和国国家统计局的数据库中查询1990——2014年全社会资产投资、资本存量数据、通货膨胀水平。折旧率根据经验选取7%。对数据进行处理消除历年通货膨胀带来的影响。对源数据及取对数后的数据作图观察, 使用取过对数的数据更好。对取过对数的数据分别进行单位根检验有, 发现Ln I和Ln K都是零阶单整。对Ln I、Ln K基于中国投资模型的回归, 分别测试Ln I滞后各期的情况。当测试时, 发现L n I (-2) 二阶滞后项系数不显著。所以模型只取到Ln I (-1) 一阶滞后。所以, 中国投资模型1990——2014年为,

四、中国投资函数模型的改进及时政

2014年5月, 网文《一位!丝基金经理写给儿子的信》中指出, 中国的消费和投资增长率不像西方发达国家那样相关性很高, 事实上两者并不稳定, 并且与人均收入、人口总量等关联度都不大, 却与投资有极高的相关性。

花钱买入某种东西并且预期该东西在未来可以更高的价格卖出属于 “ 投资” 行为, 花费的金额只是转移进入该东西中, 钱并没有真的花出去。 花钱买入某种东西并且以特定的损耗为代价享受该东西带来的便利属于 “ 消费” 行为, 花费的金额支付给了别人, 钱是真正的花出去了。 综上, 投资和消费是具有此消彼长的关系的, 所以模型可以改进为, , 其中, C表示消费。

从国家统计局的数据库中查询最终消费的历年数据, 对数据进行处理消除通货膨胀带来的影响, 对数据取对数作单位根检验有, 发现Ln C为零阶单整。对投资和消费做格兰杰因果检验, 在滞后5年的情况下, 发现他们可以相互解释。基于中国投资模型的改进, 对Ln I、Ln K和Ln C回归, 分别测试Ln I滞后各期的情况。

当测试L n I (-2) 二阶滞后项系数时发现其不显著。所以模型只取到L n I (-1) 一阶滞后。R方较中国投资模型的时政进一步提高。综上, 中国投资函数改进模型1 9 9 0——2 0 1 4年为,

五、结论

在我国, 无论是国家、公司和个人, 对于投资、消费以及储蓄的观念都不同于西方国家, 所以经济学上的模型会有些差异, 需要根据中国实际进行改进。投资的高峰对应了政府干预的高峰, 政府干预的高峰对应了一些潜在的消费问题与特定分配行为的高峰, 所以投资函数模型在我国1990——2014年时政引入消费变量可以获得更好的效果。

参考文献

[1]高铁梅.计量经济分析方法与建模:EViews应用及实例.清华大学出版社.2009-05-01.