遗弹性动力学问题

2025-01-31

遗弹性动力学问题（精选3篇）

遗弹性动力学问题篇1

0 引言

区别于传统的将研究对象受力分为主动和约束力的方法,本文将弹性体系的受力划分为内力与外力,由此推出动力学问题求解方程的新形式,推导中动力学方程中的函数具有新的含义,所以新的方程形式也更方便于求解弹性体系的动力学问题。

1 弹性体系的基本方程

设质点系中第i个质点的质量为mi,矢径为ri,作用在该质点上的力分为两部分,第一部分来自于质点系之外即外力,用F $_{i}^{e}$ 表示,第二部分来自于质点系内部的其他质点即内力,用F $_{i}^{i}$ 表示。根据达朗贝尔原理 $F_{i}^{e} + F_{i}^{i} - m_{i} \ddot{r}_{i} = 0$ 。

给予该质点一虚位移δri,则上式改写为:

$(F_{i}^{e} + F_{i}^{i} - m_{i} \ddot{r}_{i}) \cdot δ r_{i} = 0$ 。

对于所有的质点运用该方程,则有:

$\sum_{i = 1}^{n} (F_{i}^{e} + F_{i}^{i} - m_{i} \ddot{r}_{i}) \cdot δ r_{i} = 0$ (1)

考虑如下关系式:

$\frac{d}{d t} (\dot{r}_{i} \cdot δ r_{i}) = \ddot{r}_{i} \cdot δ r_{i} + \dot{r}_{i} \cdot δ \dot{r}_{i} = \ddot{r}_{i} \cdot δ r_{i} + δ (\frac{1}{2} \dot{r}_{i} \cdot \dot{r}_{i})$ 。

即 $\ddot{r}_{i} \cdot δ r_{i} = \frac{d}{d t} (\dot{r}_{i} \cdot δ r_{i}) - δ (\frac{1}{2} \dot{r}_{i} \cdot \dot{r}_{i})$ 。

将mi乘以上式,并求和得:

$\sum_{i = 1}^{n} m_{i} \ddot{r}_{i} \cdot δ r_{i} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \frac{d}{d t} (\dot{r}_{i} \cdot δ r_{i}) - δ Τ$ (2)

外力虚功:

$δ W^{e} = \sum_{i = 1}^{n} F_{i}^{e} \cdot δ r_{i}$ (3)

内力虚功:

$δ W^{i} = \sum_{i = 1}^{n} F_{i}^{i} \cdot δ r_{i}$ (4)

对弹性体系而言,内力虚功为负且转化为虚变形能即:

δWi=-δVε (5)

由式(1)～式(5)得:

$δ W^{e} - δ V_{ε} + δ Τ = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \frac{d}{d t} (\dot{r}_{i} \cdot δ r_{i})$ (6)

将式(6)在时间[t1,t2]内积分,有:

$\begin{array}{l} \int_{t_{1}}^{t_{2}} (δ W^{e} - δ V_{ε} + δ Τ) d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \frac{d}{d t} (\dot{r}_{i} \cdot δ r_{i}) d t \\ = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{i} \cdot δ r_{i} |_{t_{1}}^{t_{2}} 。 \end{array}$

由于δri(t1)=δri(t2)=0,则:

∫ $_{t_{1}}^{t_{2}}$ (δWe-δVε+δT)dt=0 (7)

令S=∫ $_{t_{1}}^{t_{2}}$ (L+We)dt (8)

其中,L=T-Vε。

对于完整系统,考虑到积分和变分可以交换顺序,式(7)变为:

δS=0 (9)

式(9)即为弹性体系的哈密顿原理。

2 弹性体系动力学问题求解方程新形式

设有n个质点组成的系统,其动能为:

$Τ = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \dot{r}_{i} \cdot \dot{r}_{i}$ 。

设质点的矢径是广义坐标q1,q2,…,qN和时间t的函数,即:

ri=ri(q1,q2,…,qN,t) (10)

对式(10)微分得速度向量为:

$\dot{r}_{i} = \sum_{k = 1}^{Ν} \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{k}} \dot{q}_{k} + \frac{\partial r_{i}}{\partial t}$ 。

可将动能写成如下一般形式:

$Τ = Τ (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{Ν}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dots, \dot{q}_{Ν}, t)$ 。

弹性体系应变能为:

$V_{ε} = \int_{Ω} \frac{1}{2} D_{i j k l} ε_{i j} ε_{k l} d Ω$ 。

质点位移可表示为:

u=u(x,y,z);

$ε_{i j} = \frac{1}{2} (u_{i, j} + u_{j, i})$ 。

其中,i,j表示对坐标求导。

由式(10)可知:

xi=xi(q1,q2,…,qN,t);

yi=yi(q1,q2,…,qN,t);

zi=zi(q1,q2,…,qN,t)。

因此可将应变表示为如下一般形式:

ε=ε(q1,q2,…,qN,t)。

故应变能可表示为如下形式:

Vε=Vε(q1,q2,…,qN,t)。

这样,由式(8)有如下关系:

$L = L (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{Ν}, \dot{q}_{1} ‚ \dot{q}_{2} ‚ \dots ‚ \dot{q}_{Ν} ‚ t)$ 。

根据式(10):

上式代入式(3)得:

将式(11),式(12)代入式(9)并进行分部积分可得:

其中利用了

由于虚位移的任意性,故式(13)等价于:

即为弹性体系动力学问题求解方程的新形式。

3结语

1)通过将质点系受力区分为内力与外力,建立了弹性体系动力学问题的有关方程。2)拉格朗日函数由动能与应变能组成,后者属该函数的新含义部分。3)广义力仅与外力有关,外力中含有有势力时,可将外力势能计入拉格朗日函数,此时广义力仅与非有势外力有关。

摘要：将质点受力分为内力与外力,利用质点系的达朗贝尔原理,建立了相应的动力学普遍方程,对于弹性体系,内力虚功等于虚应变能,从而得到弹性体系的哈密顿原理,由此导出了弹性体系动力学问题求解方程的新形式,并赋予了拉格朗日函数新的含义。

关键词：弹性体系,达朗贝尔原理,哈密顿原理,拉格朗日方程

参考文献

[1]钟万勰.应用力学的辛数学方法[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]李宏男.结构振动与控制[M].北京:中国建筑工业出版社,2005.

[3]张雄,王天舒.计算动力学[M].北京:清华大学出版社,2007.

[4]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学(Ⅱ)[M].北京:高等教育出版社,2002.

[5]裘春航,吕和祥,蔡志勤.在哈密顿体系下分析非线性动力学问题[J].计算力学学报,2000,17(2):127-132.

遗弹性动力学问题篇2

弹性力学的平面问题,在工程实践中具有重要意义,因此对于工科专业的弹性力学本科教学,平面问题是其重点,而两类平面问题的判别是关键.在常用的教科书中对两类平面问题都是从构件形状和载荷的角度去定义的,即:平面应力问题表述为:很薄的等厚度薄板,体力平行于板面且不沿厚度变化,并且只在板边受平行于板面且不沿厚度变化的面力或约束;平面应变问题表述为:等截面的长柱体,体力平行于横截面且不沿长度变化,并且柱面上受平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束[1,2,3,4].但实际问题中,在一定条件下,长柱体也可以是平面应力问题,而薄板也可能是平面应变问题.因此给出两类平面问题的判别条件,可以使得学生从本质上理解两类平面问题的区别.

本文从弹性力学空间问题按应力求解需要满足的条件(平衡微分方程、变形协调方程及边界条件)出发,推导了平面问题按应力求解需要满足的条件;给出了连续、均匀、完全弹性、各向同性的材料在小变形情况下,平面应力问题与平面应变问题的判别条件.

1 平面应力问题的判别条件

平面应力问题中,应力分量和应变分量为x,y的函数,且σz=τxz=τyz=0.

1.1 平衡微分方程

将平面应力问题的应力分量代入弹性力学空间问题的平衡微分方程[1]中,简化得

式(1c)表明平面应力问题中要求体力是面内载荷,与z无关.

1.2 变形协调方程

由各向同性材料的广义胡克定律[1]可知平面应力问题中有εx≠0,εy≠0,γxy≠0,γxz-γyz=0,而,一般情况下εz≠0,且不为零的应变分量都为x,y的函数,因此空间问题的变形协调方程[1]可以简化为

式(2b),(2c),(2d)的解为εz=Ax+By+C,将代入,有σx+σy=ax+by+c.

因此,当同时满足变形协调方程(2a)和σx+σy=ax+by+c这个线性变化条件时为平面应力问题.但一般情况下应力、应变的线性条件较难满足,教科书[1,2,3,4]中陈述的平面应力问题是近似理论,可在近似接受的条件下成立,即“很薄的等厚度薄板,体力平行于板面且不沿厚度变化,并且只在板边受平行于板面且不沿厚度变化的面力或约束,这时即使不满足线性条件也可近似看作平面应力状态”.

1.3 几何方程

将各向同性材料的广义胡克定律推得的平面应力问题的应变分量代入空间问题的几何方程[1],简化得

由式(3a),式(3b)可分别求得平面应力问题的位移分量u,v,而由式(3c)可推出轴向位移,即,平面应力问题中有u,v,w 3个位移分量.w0(x,y)可由约束条件得到,例如取固定端或对称面处为z=0,有w0(x,y)=0.

由1.2节中的讨论可知,εz满足线性变化条件(εz=Ax+By+C),则有w=(Ax+By+C)z,即平面应力状态截面能自然地保持平面无翘曲.

1.4 边界条件

空间问题应力边界条件可由斜面应力公式得到

式中n表示边界面的外法线.

先讨论侧面(即法向与z轴垂直的面)的边界条件,对于侧面有cos(n,z)=0,在平面应力问题中,侧面上有(τxz=τyz)s=0,故式(4)可以简化为

式(5c)表明要求侧面所受的面力不能有z轴方向的分量,即侧面只能受x,y方向的载荷.

再讨论端面,平面应力问题(σz=τxz=τyz=0)要求端面自由,则有

2 平面应变问题的判别条件

对于平面应变问题,应力分量和应变分量为x,y的函数,且εz=γxz=γyz=0.

2.1 平衡微分方程

由各向同性材料的广义胡克定律[1]可知平面应变问题中有σx≠0,σy≠0,τxy≠0,τyz=τzx=0,σz=μ(σx+σy),且应力分量都为x,y的函数.将平面应变问题的应力分量代入空间问题的平衡微分方程[1],可得

式(7c)表明平面应变问题中要求体力是面内载荷,与z无关.对比式(1)发现两类平面问题应满足的平衡微分方程是相同的,并且都要求体力是面内载荷,与z无关.

2.2 变形协调方程

对于平面应变问题,有εz=γzx=γyz=0,εx≠0,εy≠0,γxy≠0,且为x,y的函数,将此条件代入空间问题的变形协调方程[1]中,得到平面应变问题的变形协调方程

与式(2)对比,平面应变问题只需要满足一个相容方程(8),而平面应力问题除了满足相容方程(2a)外还要同时满足线性变化条件σx+σy=ax+by+c.

2.3 几何方程

将γyz=γzx=0,εz=0代入空间问题的几何方程[1]中,可得

将式(9c)积分,由约束条件可确定积分常数,例如取固定端或对称面处为z=0,可得w=0,则平面应变问题有两个位移分量u(x,y),v(x,y),故平面应变状态要求约束能保证无z向位移.

2.4 边界条件

先讨论侧面(即法向与z轴垂直的面)的边界条件,对于侧面有cos(n,z)=0,在平面应变问题中,侧面上有(τxz=τyz)s=0,故式(4)可以简化为

式(10c)表明要求侧面所受的面力不能有z轴方向的分量,即侧面只能受x,y方向的载荷.对比式(5)可知两类平面问题侧面应满足的边界条件相同,都要求侧面只承受x,y方向的载荷.

再讨论端面,平面应变问题(Txz=Tyz=0,σz=μ(σx+σy))要求端面无切应力,则在端面上有

对于纯平面应变状态,要求端面的约束按(σz)s=μ(σx+σy)s分布;若约束未知,去掉约束,以力边界替代,则按(σz)s=μ(σx+σy)s分布加在构件端面时构件也为纯平面应变状态.若不是纯平面应变状态,可利用圣维南原理,即(σz)s可以不按上述分布,但端面的载荷与上述分布静力等效时,则构件端面附近是圣维南区,不是平面应变状态,而过了圣维南区,中间部分就是平面应变状态.

3 结论

通过上述讨论,可知空间问题(几何形状与z轴无关,如柱形体;约束、侧面载荷、体力与z轴无关)在下列情况下,可简化为平面问题:

(1)平面应力问题:对于薄板型构件或自由表面层,无端面约束和载荷时可视为平面应力问题;对于长柱体构件,要求端面无约束或载荷,且满足线性分布条件σx+σy=ax+by+c,即变形后截面自然地保持平面,也为平面应力问题.

(2)平面应变问题:约束能保证无z向位移时为平面应变问题;当端面受力满足(σz)s=μ(σx+σy)s的分布时也可视为平面应变问题;或当端面的载荷与(σz)s=μ(σx+σy)s静力等效时,越过构件近端的圣维南区,构件中间部分同样可视作平面应变问题.

参考文献

[1]徐芝纶.弹性力学简明教程(第3版).北京:高等教育出版社,2002

[2]王光钦.弹性力学.北京:中国铁道出版社,2008

[3]李世清.弹性力学(第2版).成都:电子科技大学出版社,2005

遗弹性动力学问题篇3

1 弹性力学著作中外力势的表达式

研究范围界定在纯力学过程的弹性静力学,基本假定同文献[1],且弹性体所受的外力均是保守力.文献[1,2]给出的二维问题外力功表达式为

并指出,“外力在实际位移上做的功称为外力功”.并进一步指出,“取位移或形变为零的自然状态下外力功和势能为零,弹性体的外力势能是V=-W”.

由此可见,以上表述是把W当作真实功的.但笔者认为该式不是弹性体的真实功,否则它不能保证弹性体在加载过程实时处于静止状态,从而与弹性静力学的“静”相矛盾.具体理由在第2节中进行详细分析.此外,文献[3,4]等许多其他著作中也均是这样的表达式.

2 外力功/外力势表达式的讨论

从热力学知道,真实的力学过程中无论载荷怎样施加,由于弹性体的弛豫时间[5]无论如何小都不会是零,从而不能与外力保持同步.这就使得实际加载过程都是动态的.但对于载荷从零逐渐无限缓慢地增加施加时,可近似为静态问题,称为准静态.上述观点程昌钧教授在文献[3]中介绍总势能的物理意义时也有类似的表述.

弹性静力学归结为微分方程边值问题,如位移解法的拉梅方程.拉梅方程与时间无关,因而容易让初学者认为:具有一定位移约束的弹性体在外力作用下“立即”处于平衡状态.但必须强调拉梅方程边值问题描述的只是弹性体的最终平衡状态,这个最终状态的外力在物理上应理解为准静态地(从零逐渐增加、无限缓慢地)施加上去的,这样才能保证是弹性静力学.有此共识,我们来讨论弹性力学著作中外力功和外力势能表达式.

首先来看一维无体力的情形.以一个直观的、不考虑自重且仅受边界力f的线弹性弹簧(或一维线弹性压杆)为例进行说明,证明式(1)在一维情形下不是真实功.如图1所示,弹簧受压前的初始位置为O点,建立坐标系OX.为保证弹簧在加载过程中时时处于准静态,让外力f从零逐渐缓慢线性加载直至最终值f0,位移为Δl,加载曲线如图2所示。

取初始位置自然状态的外力功和外力势能为零,考虑到最终位置处有f0=kΔl,则外力在总位移上做的真实功为

根据外力势能的定义[1],在加载至最终位置处真实的外力势能为

但式(1)所显示的外力所做功却为

比较式(4)和(2)可知,对一维无体力弹性静力学问题,外力做的真实功是式(1)定义的外力功的二分之一,因而利用式(4)再来定义外力势能也自然不是真实的了.

再来看一般三维弹性静力学情形.我们用应变能定理加以说明.克拉比埃龙最早给出的应变能定理指出[6]:在外力不变、弹性体各点从原有位置经过一位移到达平衡位置时所做的功,在这样的突加外力上所做的功为应变能的二倍.钱伟长等[6]对应变能定理进行了重新表述,指出,在微小变形的条件下,“弹性体在外力作用下平衡时,变形的弹性能或应变能等于外力对弹性体各点从原有位置经过一位移到达平衡位置时所做的功,假如所加的外力是由零变到指定的值,而且在过程进行之中的每一步,物体都处在平衡状态”.所给的弹性体达到最终平衡状态时的外力功为

其中,XN,YN,ZN为微元体表面上的面力.式(5)就是整个弹性体的真实外力功,它与式(1)(不考虑维数差别)显然是差个系数1/2.

至此可以认定,式(1)的表述就是应变能定理中所言的突加外力在最终位移上做的功.但这个功不是该力的真实功,而是一种“虚功”.进而利用该功定义的外力的势能V也就不是真实的.

3 总势能、外力势能及外力功的关系

3.1 保守力,外力功与外力势能

然而外力势能的确切定义是什么?外力势能和外力功是什么关系?我们先来看外力势能是如何引入的.对保守力f(r),在力作用点路径上做功为

其中,函数F(r)在数学上为力f的势函数,称力f是有势的,或称f为有势力,而力f有势的条件是fdr存在全微分.但上式还看不出物理内涵.引入新的函数E=-F,则上式可以写成

从式(7)可以看出,保守力f(r)所做的功A是力的作用点位置的某个函数的减少量,函数E(r)+c就定义为力f(r)的势能函数.c则表示表示势能是相对的,和势能零点的选取有关.不妨令c=0.

上式表示,势能的定义取决于外力是否有势及势能的零点,与力作用对象的性质、运动状态无关.对弹性体,我们进一步让初始r0位置对应外力开始加载时,亦即弹性体处于自然状态时外力的功和势能为零,则E(r)=-A,这就是说,外力势能等于外力功的负值.而在其他情况下,外力功和外力的势能是不同的.尤其需要强调,这个势能的定义基础(6)是真实功,而文献[1]中相应的外力势能所依赖的式(1)不是真实功.

3.2 总势能定义之理由

最小势能原理是弹性力学最重要的变分原理之一.弹性力学著作中一般将弹性系统的总势能定义为[6]

或

即[2,3]

显然,根据前文关于外力功表达式的介绍,式(11)是真实应变能和非真实的外力功之和.现在的问题是,能否将总势能中外力势能取为真实值?即定义为

但这样的定义没有实际意义.因为根据应变能定理,显然有∏=0,这就是说,弹性系统在平衡状态时真实总势能为零.这样一来,显然无法继续探讨弹性力学的最小势能原理了.但如果采用式(11)的方式定义系统的总势能,则存在最小势能原理,而且可进一步得出在函数可微性满足的条件下,最小势能原理等价于系统的平衡方程.

仍然以一维弹簧为例来说明,按式(11),弹簧系统的总势能为,利用最小势能原理可知,kx=f,这恰好是其任一位置处的平衡方程.但若定义,则得到.因此,总势能必须定义为式(11)的形式才存在最小势能原理.

但式(11)又确实不是系统的真实势能.这样一来,就会令初学者产生困惑.因此笔者认为称式(11)为系统的总势能是不妥的,但给系统的总势能重新取个新名字也已不现实,因此我们建议,在介绍系统总势能的同时,明确指出它不是系统的真实总势能,并补充介绍这样定义总势能之理由.因为根据经验,许多初学者在接触总势能这一概念时立刻就会询问总势能为什么这么定义.

4 结论

(1)弹性静力学边值问题中的外力不是瞬间施加的,在物理上应理解为从零逐渐准静态施加到最终状态的值.

(2)弹性静力学能量原理中的外力功不是真实功,而是一种“虚功”,从而外力势能也不是真实的.

(3)弹性系统的总势能是真实的应变能和非真实的外力势能之和.

(4)弹性系统的总势能的定义形式是为了最小势能原理的成立.

(5)为了避免导致初学者混乱,在给系统总势能重取新术语不现实的条件下,建议在介绍系统总势能的同时明确指出它不是系统的真实总势能,并补充介绍这样定义总势能之理由.

摘要：外力功、势能等概念是弹性力学能量原理的重要内容.但笔者发现,经典弹性理论著作中给出的外力功、势能的表达式并非真实的功、真实势能值.本文根据弹性静力学的基本假定和应变能定理对此进行了论证,并以一维弹簧受压问题进行了说明.对总势能、外力势能、外力功及保守力的定义及其相互关系进行了详细分析,建议在介绍系统总势能定义的同时,应一方面说明它不是系统的真实总势能,另一方面要补充介绍这样定义总势能的原因是保证最小势能原理与平衡方程等价.通过厘清上述概念之间的关系,以期给弹性力学的初学者以明晰的概念.

关键词：弹性静力学,外力功,势能,应变能,保守力

参考文献

[1]徐芝纶.弹性力学简明教程(第三版).北京:高等教育出版社, 2002

[2]徐芝纶.弹性力学(第四版).北京:高等教育出版社,2006

[3]程昌钧,朱媛媛.弹性力学(修订版).上海:上海大学出版社, 2005

[4]刘润星.弹性力学基础.北京:人民交通出版社,2009

[5]龚昌德.热力学与统计物理.北京:人民教育出版社1979

【遗弹性动力学问题】推荐阅读：

弹性力学问题10-18

弹性力学平面问题解法的探讨读后感05-31

弹性力学读书报告09-06

弹性力学教学改革研究09-02