弹性力学问题

2024-10-18

弹性力学问题（共9篇）

弹性力学问题篇1

引言

弹性力学的平面问题,在工程实践中具有重要意义,因此对于工科专业的弹性力学本科教学,平面问题是其重点,而两类平面问题的判别是关键.在常用的教科书中对两类平面问题都是从构件形状和载荷的角度去定义的,即:平面应力问题表述为:很薄的等厚度薄板,体力平行于板面且不沿厚度变化,并且只在板边受平行于板面且不沿厚度变化的面力或约束;平面应变问题表述为:等截面的长柱体,体力平行于横截面且不沿长度变化,并且柱面上受平行于横截面且不沿长度变化的面力或约束[1,2,3,4].但实际问题中,在一定条件下,长柱体也可以是平面应力问题,而薄板也可能是平面应变问题.因此给出两类平面问题的判别条件,可以使得学生从本质上理解两类平面问题的区别.

本文从弹性力学空间问题按应力求解需要满足的条件(平衡微分方程、变形协调方程及边界条件)出发,推导了平面问题按应力求解需要满足的条件;给出了连续、均匀、完全弹性、各向同性的材料在小变形情况下,平面应力问题与平面应变问题的判别条件.

1 平面应力问题的判别条件

平面应力问题中,应力分量和应变分量为x,y的函数,且σz=τxz=τyz=0.

1.1 平衡微分方程

将平面应力问题的应力分量代入弹性力学空间问题的平衡微分方程[1]中,简化得

式(1c)表明平面应力问题中要求体力是面内载荷,与z无关.

1.2 变形协调方程

由各向同性材料的广义胡克定律[1]可知平面应力问题中有εx≠0,εy≠0,γxy≠0,γxz-γyz=0,而,一般情况下εz≠0,且不为零的应变分量都为x,y的函数,因此空间问题的变形协调方程[1]可以简化为

式(2b),(2c),(2d)的解为εz=Ax+By+C,将代入,有σx+σy=ax+by+c.

因此,当同时满足变形协调方程(2a)和σx+σy=ax+by+c这个线性变化条件时为平面应力问题.但一般情况下应力、应变的线性条件较难满足,教科书[1,2,3,4]中陈述的平面应力问题是近似理论,可在近似接受的条件下成立,即“很薄的等厚度薄板,体力平行于板面且不沿厚度变化,并且只在板边受平行于板面且不沿厚度变化的面力或约束,这时即使不满足线性条件也可近似看作平面应力状态”.

1.3 几何方程

将各向同性材料的广义胡克定律推得的平面应力问题的应变分量代入空间问题的几何方程[1],简化得

由式(3a),式(3b)可分别求得平面应力问题的位移分量u,v,而由式(3c)可推出轴向位移,即,平面应力问题中有u,v,w 3个位移分量.w0(x,y)可由约束条件得到,例如取固定端或对称面处为z=0,有w0(x,y)=0.

由1.2节中的讨论可知,εz满足线性变化条件(εz=Ax+By+C),则有w=(Ax+By+C)z,即平面应力状态截面能自然地保持平面无翘曲.

1.4 边界条件

空间问题应力边界条件可由斜面应力公式得到

式中n表示边界面的外法线.

先讨论侧面(即法向与z轴垂直的面)的边界条件,对于侧面有cos(n,z)=0,在平面应力问题中,侧面上有(τxz=τyz)s=0,故式(4)可以简化为

式(5c)表明要求侧面所受的面力不能有z轴方向的分量,即侧面只能受x,y方向的载荷.

再讨论端面,平面应力问题(σz=τxz=τyz=0)要求端面自由,则有

2 平面应变问题的判别条件

对于平面应变问题,应力分量和应变分量为x,y的函数,且εz=γxz=γyz=0.

2.1 平衡微分方程

由各向同性材料的广义胡克定律[1]可知平面应变问题中有σx≠0,σy≠0,τxy≠0,τyz=τzx=0,σz=μ(σx+σy),且应力分量都为x,y的函数.将平面应变问题的应力分量代入空间问题的平衡微分方程[1],可得

式(7c)表明平面应变问题中要求体力是面内载荷,与z无关.对比式(1)发现两类平面问题应满足的平衡微分方程是相同的,并且都要求体力是面内载荷,与z无关.

2.2 变形协调方程

对于平面应变问题,有εz=γzx=γyz=0,εx≠0,εy≠0,γxy≠0,且为x,y的函数,将此条件代入空间问题的变形协调方程[1]中,得到平面应变问题的变形协调方程

与式(2)对比,平面应变问题只需要满足一个相容方程(8),而平面应力问题除了满足相容方程(2a)外还要同时满足线性变化条件σx+σy=ax+by+c.

2.3 几何方程

将γyz=γzx=0,εz=0代入空间问题的几何方程[1]中,可得

将式(9c)积分,由约束条件可确定积分常数,例如取固定端或对称面处为z=0,可得w=0,则平面应变问题有两个位移分量u(x,y),v(x,y),故平面应变状态要求约束能保证无z向位移.

2.4 边界条件

先讨论侧面(即法向与z轴垂直的面)的边界条件,对于侧面有cos(n,z)=0,在平面应变问题中,侧面上有(τxz=τyz)s=0,故式(4)可以简化为

式(10c)表明要求侧面所受的面力不能有z轴方向的分量,即侧面只能受x,y方向的载荷.对比式(5)可知两类平面问题侧面应满足的边界条件相同,都要求侧面只承受x,y方向的载荷.

再讨论端面,平面应变问题(Txz=Tyz=0,σz=μ(σx+σy))要求端面无切应力,则在端面上有

对于纯平面应变状态,要求端面的约束按(σz)s=μ(σx+σy)s分布;若约束未知,去掉约束,以力边界替代,则按(σz)s=μ(σx+σy)s分布加在构件端面时构件也为纯平面应变状态.若不是纯平面应变状态,可利用圣维南原理,即(σz)s可以不按上述分布,但端面的载荷与上述分布静力等效时,则构件端面附近是圣维南区,不是平面应变状态,而过了圣维南区,中间部分就是平面应变状态.

3 结论

通过上述讨论,可知空间问题(几何形状与z轴无关,如柱形体;约束、侧面载荷、体力与z轴无关)在下列情况下,可简化为平面问题:

(1)平面应力问题:对于薄板型构件或自由表面层,无端面约束和载荷时可视为平面应力问题;对于长柱体构件,要求端面无约束或载荷,且满足线性分布条件σx+σy=ax+by+c,即变形后截面自然地保持平面,也为平面应力问题.

(2)平面应变问题:约束能保证无z向位移时为平面应变问题;当端面受力满足(σz)s=μ(σx+σy)s的分布时也可视为平面应变问题;或当端面的载荷与(σz)s=μ(σx+σy)s静力等效时,越过构件近端的圣维南区,构件中间部分同样可视作平面应变问题.

参考文献

[1]徐芝纶.弹性力学简明教程(第3版).北京:高等教育出版社,2002

[2]王光钦.弹性力学.北京:中国铁道出版社,2008

[3]李世清.弹性力学(第2版).成都:电子科技大学出版社,2005

[4]徐芝纶.弹性力学(第4版).北京:高等教育出版社,2011

弹性力学问题篇2

一、单选题（共 30 道试题，共 60 分。）V

1. 弹性力学研究由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移

A. 弹性体

B. 刚体

C. 粘性体

D. 塑性体

满分：2 分

2. 在弹性力学中规定，切应变以直角（），与切应力的正负号规定相适应。

A. 变小时为正，变大时为正

B. 变小时为负，变大时为负

C. 变小时为负，变大时为正

D. 变小时为正，变大时为负

满分：2 分

3. 具体步骤分为单元分析和整体分析两部分的方法是（）

A. 有限差分法

B. 边界元法

C. 有限单元法的

D. 数值法

满分：2 分

4. 平面问题的平衡微分方程表述的是（）之间的关系。

A. 应力与体力

B. 应力与应变

C. 应力与面力

D. 应力与位移

满分：2 分

5. 用应变分量表示的相容方程等价于（）

A.平衡微分方程

B. 几何方程

C. 物理方程

D. 几何方程和物理方程

满分：2 分

6. 平面应力问题的外力特征是（）

A. 只作用在板边且平行于板中面

B. 垂直作用在板面

C.平行中面作用在板边和板面上

D. 作用在板面且平行于板中面

满分：2 分

7. 下面不属于边界条件的是（）。

A. 位移边界条件

B. 流量边界条件

C. 应力边界条件

D. 混合边界条件

满分：2 分

8. 利用有限单元法求解弹性力学问题时，不包括哪个步骤（）

A. 结构离散化

B. 单元分析

C. 整体分析

D. 应力分析

满分：2 分

9. 在弹性力学中规定，线应变（），与正应力的正负号规定相适应。

A. 伸长时为负，缩短时为负

B. 伸长时为正，缩短时为正

C. 伸长时为正，缩短时为负

D. 伸长时为负，缩短时为正

满分：2 分

10. 在弹性力学里分析问题，要建立（）套方程。

A. 一

B. 二

C. 三

D. 四

满分：2 分

11. 关于弹性力学的正确认识是（）

A. 计算力学在工程结构设计中的作用日益重要

B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体,因此与材料力学不同,不需要对问题作假设

C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象

D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析

满分：2 分

12. 每个单元的位移一般总是包含着（）部分

A. 一

B. 二

C. 三

D. 四

满分：2 分

13. 平面问题分为平面（）问题和平面（）问题。

A. 应力，应变

B. 切变.应力

C. 内力.应变

D. 外力，内力

满分：2 分

14. 所谓“完全弹性体”是指（）

A. 材料应力应变关系满足虎克定律

B. 材料的应力应变关系与加载时间.历史无关

C. 本构关系为非线性弹性关系

D. 应力应变关系满足线性弹性关系

满分：2 分

15. 物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为（）

A. 应变

B. 应力

C. 变形

D. 切变力

满分：2 分

16. 应力状态分析是建立在静力学基础上的，这是因为（）

A. 没有考虑面力边界条件

B. 没有讨论多连域的变形

C. 没有涉及材料本构关系

D. 没有考虑材料的变形对于应力状态的影响

满分：2 分

17. 设有平面应力状态，σx=ax+by，σy=cx+dy，τxy=?dx?ay?γx，其中a,b,c,d均为常数，γ为容重。该应力状态满足平衡微分方程，其体力是（）

A. fx=0，fy=0

B. fx≠0，fy=0

C. fx≠0，fy≠0

D. fx=0，fy≠0

满分：2 分

18. 下列材料中，（）属于各向同性材料。

A. 竹材

B. 纤维增强复合材料

C. 玻璃钢

D. 沥青

满分：2 分

19. 应力函数必须是（）

A. 多项式函数

B. 三角函数

C. 重调和函数

D. 二元函数

满分：2 分

20. 关于应力状态分析，（）是正确的。

A. 应力状态特征方程的根是确定的，因此任意截面的应力分量相同

B. 应力不变量表示主应力不变

C. 主应力的大小是可以确定的，但是方向不是确定的

D. 应力分量随着截面方位改变而变化，但是应力状态是不变的

满分：2 分

21. 所谓“应力状态”是指（）

A. 斜截面应力矢量与横截面应力矢量不同

B. 一点不同截面的应力随着截面方位变化而改变

C. 3个主应力作用平面相互垂直

D. 不同截面的应力不同，因此应力矢量是不可确定的

满分：2 分

22. 对于承受均布荷载的简支梁来说，弹性力学解答与材料力学解答的关系是（）

A. σx的表达式相同

B. σy的表达式相同

C. τxy的表达式相同

D. 都满足平截面假定

满分：2 分

23. 每个单元的应变包括（）部分应变。

A. 二

B. 三

C. 四

D. 五

满分：2 分

24. 物体的均匀性假定是指物体的（）相同

A. 各点密度

B. 各点强度

C. 各点弹性常数

D. 各点位移

满分：2 分

25. 弹性力学对杆件分析（）

A. 无法分析

B. 得出近似的结果

C. 得出精确的结果

D. 需采用一些关于变形的近似假定

满分：2 分

26. 下面哪个不是弹性力学研究物体的内容（）

A. 应力

B. 应变

C. 位移

D. 距离

满分：2 分

27. 应力不变量说明（）

A. 应力状态特征方程的根是不确定的

B. 一点的`应力分量不变

C. 主应力的方向不变

D. 应力随着截面方位改变，但是应力状态不变

满分：2 分

28. 在平面应变问题中（取纵向作z轴）（）

A. σz=0，w=0，εz=0

B. σz≠0，w≠0，εz≠0

C. σz=0，w≠0，εz=0

D. σz≠0，w=0，εz=0

满分：2 分

29. 下列对象不属于弹性力学研究对象的是（）

A. 杆件

B. 块体

C. 板壳

D. 质点

满分：2 分

30. 按应力求解（）时常采用逆解法和半逆解法。

A. 应变问题

B. 边界问题

C. 空间问题

D.平面问题

满分：2 分

二、多选题（共 10 道试题，共 20 分。）V 1. 下列问题不能简化为平面应变问题的是（）

A. 墙梁

B. 高压管道

C. 楼板

D. 高速旋转的薄圆盘

满分：2 分

2. 弹性力学与材料力学的主要相同之处在于（）

A. 任务

B. 研究对象

C. 研究方法

D. 基本假设

满分：2 分

3. 有限单元法的具体步骤分为（）两部分

A. 边界条件分析

B. 单元分析

C. 整体分析

D. 节点分析

满分：2 分

4. 对“完全弹性体”描述不正确的是（）

A. 材料应力应变关系满足胡克定律

B. 材料的应力应变关系与加载时间历史无关

C. 物理关系为非线性弹性关系

D. 应力应变关系满足线性弹性关系

满分：2 分

5. 下列材料中，（）不属于各向同性材料。

A. 竹材

B. 纤维增强复合材料

C. 玻璃钢

D. 沥青

满分：2 分

6. 关于弹性力学的不正确认识是（）

A. 计算力学在工程结构设计的中作用日益重要

B. 弹性力学从微分单元体入手分析弹性体，因此与材料力学不同，不需对问题作假设

C. 任何弹性变形材料都是弹性力学的研究对象

D. 弹性力学理论像材料力学一样，可以没有困难的应用于工程结构分析。

满分：2 分

7. 下面不属于平面应力问题的外力特征是（）

A. 只作用在板边且平行于板中面

B. 垂直作用在板面

C.平行中面作用在板边和板面上

D. 作用在板面且平行于板中面

满分：2 分

8. 不论Φ是什么形式的函数，分量在不计体力的情况下无法满足（）

A.平衡微分方程

B. 几何方程

C. 物理关系

D. 相容方程

满分：2 分

9. 下列哪种材料不能视为各向同性材料（）

A. 木材

B. 竹材

C. 混凝土

D. 夹层板

满分：2 分

10. 下列力是体力的是：（）

A. 重力

B. 惯性力

C. 电磁力

D. 静水压力

满分：2 分

三、判断题（共 10 道试题，共 20 分。）V 1. 表示应力分量与面力（体力）分量之间关系的方程为平衡微分方程。（）

A. 错误

B. 正确

满分：2 分

2. 按应力求解平面问题时常采用位移法和应力法。（）

A. 错误

B. 正确

满分：2 分

3. 位移轴对称时，其对应的应力分量一定也是轴对称的；反之，应力轴对称时，其对应的位移分量一定也是轴对称的（）

A. 错误

B. 正确

满分：2 分

4. 当物体的位移分量完全确定时，形变分量即完全确定。（）

A. 错误

B. 正确

满分：2 分

5. 对于应力边界问题，满足平衡微分方程和应力边界条件的应力，必为正确的应力分布（）

A. 错误

B. 正确

满分：2 分

6. 物体变形连续的充分和必要条件是几何方程(或应变相容方程)（）

A. 错误

B. 正确

满分：2 分

7. 在弹性力学和材料力学里关于应力的正负规定是一样的。（）

A. 错误

B. 正确

满分：2 分

8. 孔边应力集中是由于受力面减小了一些，而应力有所增大（）

A. 错误

B. 正确

满分：2 分

9. 体力作用在物体内部的各个质点上，所以它属于内力（）

A. 错误

B. 正确

满分：2 分

10. 在轴对称问题中，应力分量和位移分量一般都与极角θ无关（）

A. 错误

B. 正确

弹性力学问题篇3

区别于传统的将研究对象受力分为主动和约束力的方法,本文将弹性体系的受力划分为内力与外力,由此推出动力学问题求解方程的新形式,推导中动力学方程中的函数具有新的含义,所以新的方程形式也更方便于求解弹性体系的动力学问题。

1 弹性体系的基本方程

设质点系中第i个质点的质量为mi,矢径为ri,作用在该质点上的力分为两部分,第一部分来自于质点系之外即外力,用F $_{i}^{e}$ 表示,第二部分来自于质点系内部的其他质点即内力,用F $_{i}^{i}$ 表示。根据达朗贝尔原理 $F_{i}^{e} + F_{i}^{i} - m_{i} \ddot{r}_{i} = 0$ 。

给予该质点一虚位移δri,则上式改写为:

$(F_{i}^{e} + F_{i}^{i} - m_{i} \ddot{r}_{i}) \cdot δ r_{i} = 0$ 。

对于所有的质点运用该方程,则有:

$\sum_{i = 1}^{n} (F_{i}^{e} + F_{i}^{i} - m_{i} \ddot{r}_{i}) \cdot δ r_{i} = 0$ (1)

考虑如下关系式:

$\frac{d}{d t} (\dot{r}_{i} \cdot δ r_{i}) = \ddot{r}_{i} \cdot δ r_{i} + \dot{r}_{i} \cdot δ \dot{r}_{i} = \ddot{r}_{i} \cdot δ r_{i} + δ (\frac{1}{2} \dot{r}_{i} \cdot \dot{r}_{i})$ 。

即 $\ddot{r}_{i} \cdot δ r_{i} = \frac{d}{d t} (\dot{r}_{i} \cdot δ r_{i}) - δ (\frac{1}{2} \dot{r}_{i} \cdot \dot{r}_{i})$ 。

将mi乘以上式,并求和得:

$\sum_{i = 1}^{n} m_{i} \ddot{r}_{i} \cdot δ r_{i} = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \frac{d}{d t} (\dot{r}_{i} \cdot δ r_{i}) - δ Τ$ (2)

外力虚功:

$δ W^{e} = \sum_{i = 1}^{n} F_{i}^{e} \cdot δ r_{i}$ (3)

内力虚功:

$δ W^{i} = \sum_{i = 1}^{n} F_{i}^{i} \cdot δ r_{i}$ (4)

对弹性体系而言,内力虚功为负且转化为虚变形能即:

δWi=-δVε (5)

由式(1)～式(5)得:

$δ W^{e} - δ V_{ε} + δ Τ = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \frac{d}{d t} (\dot{r}_{i} \cdot δ r_{i})$ (6)

将式(6)在时间[t1,t2]内积分,有:

$\begin{array}{l} \int_{t_{1}}^{t_{2}} (δ W^{e} - δ V_{ε} + δ Τ) d t = \int_{t_{1}}^{t_{2}} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \frac{d}{d t} (\dot{r}_{i} \cdot δ r_{i}) d t \\ = \sum_{i = 1}^{n} m_{i} r_{i} \cdot δ r_{i} |_{t_{1}}^{t_{2}} 。 \end{array}$

由于δri(t1)=δri(t2)=0,则:

∫ $_{t_{1}}^{t_{2}}$ (δWe-δVε+δT)dt=0 (7)

令S=∫ $_{t_{1}}^{t_{2}}$ (L+We)dt (8)

其中,L=T-Vε。

对于完整系统,考虑到积分和变分可以交换顺序,式(7)变为:

δS=0 (9)

式(9)即为弹性体系的哈密顿原理。

2 弹性体系动力学问题求解方程新形式

设有n个质点组成的系统,其动能为:

$Τ = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{n} m_{i} \dot{r}_{i} \cdot \dot{r}_{i}$ 。

设质点的矢径是广义坐标q1,q2,…,qN和时间t的函数,即:

ri=ri(q1,q2,…,qN,t) (10)

对式(10)微分得速度向量为:

$\dot{r}_{i} = \sum_{k = 1}^{Ν} \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{k}} \dot{q}_{k} + \frac{\partial r_{i}}{\partial t}$ 。

可将动能写成如下一般形式:

$Τ = Τ (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{Ν}, \dot{q}_{1}, \dot{q}_{2}, \dots, \dot{q}_{Ν}, t)$ 。

弹性体系应变能为:

$V_{ε} = \int_{Ω} \frac{1}{2} D_{i j k l} ε_{i j} ε_{k l} d Ω$ 。

质点位移可表示为:

u=u(x,y,z);

$ε_{i j} = \frac{1}{2} (u_{i, j} + u_{j, i})$ 。

其中,i,j表示对坐标求导。

由式(10)可知:

xi=xi(q1,q2,…,qN,t);

yi=yi(q1,q2,…,qN,t);

zi=zi(q1,q2,…,qN,t)。

因此可将应变表示为如下一般形式:

ε=ε(q1,q2,…,qN,t)。

故应变能可表示为如下形式:

Vε=Vε(q1,q2,…,qN,t)。

这样,由式(8)有如下关系:

$L = L (q_{1}, q_{2}, \dots, q_{Ν}, \dot{q}_{1} ‚ \dot{q}_{2} ‚ \dots ‚ \dot{q}_{Ν} ‚ t)$ 。

根据式(10):

上式代入式(3)得:

将式(11),式(12)代入式(9)并进行分部积分可得:

其中利用了

由于虚位移的任意性,故式(13)等价于:

即为弹性体系动力学问题求解方程的新形式。

3结语

1)通过将质点系受力区分为内力与外力,建立了弹性体系动力学问题的有关方程。2)拉格朗日函数由动能与应变能组成,后者属该函数的新含义部分。3)广义力仅与外力有关,外力中含有有势力时,可将外力势能计入拉格朗日函数,此时广义力仅与非有势外力有关。

摘要：将质点受力分为内力与外力,利用质点系的达朗贝尔原理,建立了相应的动力学普遍方程,对于弹性体系,内力虚功等于虚应变能,从而得到弹性体系的哈密顿原理,由此导出了弹性体系动力学问题求解方程的新形式,并赋予了拉格朗日函数新的含义。

关键词：弹性体系,达朗贝尔原理,哈密顿原理,拉格朗日方程

参考文献

[1]钟万勰.应用力学的辛数学方法[M].北京:高等教育出版社,2006.

[2]李宏男.结构振动与控制[M].北京:中国建筑工业出版社,2005.

[3]张雄,王天舒.计算动力学[M].北京:清华大学出版社,2007.

[4]哈尔滨工业大学理论力学教研室.理论力学(Ⅱ)[M].北京:高等教育出版社,2002.

弹性力学读书报告篇4

1.弹性力学与材料力学、结构力学的综合应用，推动了工程问题的解决。弹性力学又称为弹性理论，是指被研究的弹性体由于受外力作用或由于温度改变等原因而发生的应力、应变和位移。

弹性力学的任务与材料力学、结构力学的任务一样，是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。然而，这三门学科的研究对象上有所分工，研究方法也有所不同。

弹性力学具体的研究对象主要为梁、柱、坝体、无限弹性体等实体结构以及板、壳等受力体。在材料力学课程中，基本上只研究所谓杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件。这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移，是材料力学的主要研究内容。在结构力学课程中，主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，也就是所谓杆件系统，例如桁架、刚架等。至于非杆状的结构，例如板和壳以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构，则在弹性力学课程中加以研究。如果要对于杆状构件进行深入的、较精确的分析，也必须用到弹性力学的知识。

虽然在材料力学和弹性力学课程中都研究杆状构件，然而研究的方法却不完全相同。在材料力学中研究杆状构件、除从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都还要引用一些关于构件的形变状态或应力分布的假设，这就大大简化了数学推演，但是，得出的解答有时只是近似的。在弹性力学中研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学中得出的近似解答。

虽然，弹性力学中通常是不研究杆件系统的，然而近几十年来，不少人曾经致力于弹性力学和结构力学的综合应用，使得这两门学科越来越密切地结合。弹性力学吸收了结构力学中超静定结构分析方法后，大大扩展了它的应用范围，使得某些比较复杂的本来无法求解的问题，得到了解答。这些解答虽然在理论上具有一定的近似性，但应用在工程上，通常是足够精确的。在近二十几年间发展起来的有限元法，把连续弹性体划分成有限个有限大小的单元，然后，用结构力学中的位移法、力法或混合法求解，更加显示了弹性力学与结构力学综合应用的良好效果。

此外，对同一结构的各个构件，甚至对同一构件的不同部分，分别用弹性力学和结构力学或材料力学进行计算，常常可以节省很多的工作量，并且能得到令人满意的结果。

总之，材料力学、结构力学和弹性力学这三门学科之间的界限不是很明显，更不是一成不变的。我们不应当强调它们之间的区别，而应当更多地发挥它们综合应用的威力，才能使它们更好地为我国的社会主义建设事业服务。

2.弹性力学在工程上的应用越来越深入，越来越广泛。

在工程中出现的问题习惯上有如下的一些提法，如强度、刚度、稳定性、应力集中，波的传播、振动、响应、热应力等问题，这些都是弹性力学应用研究的对象。强度问题是研究受载荷物体中的应力分布和应力水平，研究在怎样的载荷下不发生永久变形。刚度问题是研究受载荷物体在怎样的载荷下应变或位移达到规定允许的限度。稳定性问题是研究弹性结构或结构元件在静力或动力平衡时发生不稳定情况的条件。应力集中问题是研究当物体中有孔口或缺口存在时，在其附近发生应力增高现象。弹性动力学有波的传播、振动和响应等问题，由于考察的物体大小、形状，边界条件及其固有性质不同，以及所考察问题的外载荷和时间段的不同，故有上述问题的提法和分类，但本质上都和波的传播有关。在近代航天、航空、航海、海洋、机械、土木、化工等工程领域中不断地提出上述各种问题需要解决，在设计时要求高度的准确性，这都离不开弹性力学的应用，也在促进弹性力学的发展。

3.弹性力学的基础知识是正确利用有限元的基础。

目前，有限单元法已经在航空、造船、机械、冶金、建筑等工程部门广泛应用，并取得显著效果，它是一种行之有效的偏微分方程数值解的计算方法。现在各行各业都已经拥有了一定数量的商业有限元程序。如何使这些程序为更多的人掌握和应用，极大限度地发挥和应用这些程序解决工程问题，是非常重要的。但是有限元商业程序不是一个“傻瓜”式的应用程序，它是基于一定的基础理论知识，如用有限元求解结构的应力、应变问题就是基于弹性力学的知识建立起来的，对弹性力学知识的掌握和理解程度直接关系到有限元程序应用的效果。

二．弹性力学在常用坐标系下的基本方程

归纳从静力平衡，变形几何，应力应变三个方面的条件求得的基本方程有：

2.1直角坐标系中的基本方程： 2.1.1平衡微分方程：

其中，作用于物体体积上的应力为： A={，，，}，作用于微元体上的体力三个分量为：。

本式表示了应力分量与体力分量之间的关系，称为平衡微分方程，又成纳维叶（Navier）方程。2.1.2几何方程：其中，，，，为6个应变分量；

，为3个位移分量。

2.1.3物理方程：

，以上公式就是各向同性材料的广义Hooke定律，表示了线性弹性应力与应变间的关系。

为横向变形系数（泊松比），E为拉压弹性模量，为剪切弹性模量，且。

2.2极坐标系中的基本方程： 2.2.1平衡微分方程：

图中所示即为极坐标系下扇形微单元体PACB的应力及应变分析，得到以下的平衡微分方程：

2.2.2几何方程：

在极坐标系中，通过对物体内一点P的两个正交线元（PA=dr,PB=）的变形几何分析，得到相应的几何方程。用

和分别表示线元PA和PB的相对伸长，即正向和切向正应变，用表示该两个正交线元直角的变化，即剪应变。用，分别表示P点的径向和环向位移。它的平面问题几何方程如下：

2.2.3本构方程: 只需将直角坐标系下本构方程的x,y用r, 替换即可得到极坐标系的本构方程，如下：

2.2.4边界条件：

力的边界条件：这里的外法向方向余弦（l，m）是对局部标架定义的，沿着r和方向的给定面力分量。

位移边界条件：

表示。

三．弹性力学解题的主要方法

3.1位移解法

以位移作为基本未知量，将基本方程化为用位移表示的控制方程，边界条件也化为用位移表示；在给定的边界条件下求解控制方程，从而求得位移解，然后将位移代入几何方程求导得到应变，再将应变代入本构方程得到应力解。此法的关键在于导出位移表示的控制方程，其方程如下：

通常称为拉姆（Lame）方程,即位移法求解的控制方程。

位移边界条件：。

3.2应力解法

以应力为基本未知量，将基本方程化为用应力表示的控制方程，边界条件也用应力表示，在给定的边界条件下求解控制方程得到应力解，将应力解代入本构方程得到应变解，再运用几何方程积分可以求得位移解。应力法的控制方程如下：

（1）平衡方程

（2）相容方程

应力法的边界条件如下：

由上面的公式可以看出：如果问题是常体力，单连通，应力边值问题，由于在控制方程和边界条件中都不含材料常数，因此应力解与材料无关。

四．例题

4.1如图所示单位厚度平板，两端受均布压力P作用下，上，下边界刚性约束，不考虑摩擦，不计体力，用位移法求解板的应力和位移。

解：由对称性及上，下边界的刚性约束条件可设： u=u(x),v=0（a）

代入拉姆方程式，第2式称为恒等式，第1式成为

（b）

解之得: u=ax+b(c)位移边界条件：由对称性

已自动满足。

（d）

将（c）式代入（d）式得： b=0 从而有 u=ax(e)待定系数a可以由位移表示的应力边界条件确定，为此将(e)式代入边界条件式得：右边界：

第二个方程式为恒等式。

左边界结果相同。上，下边界，(f)，代入(f)式的第1式得

(g)，第一个方程式为恒等式；因为y方向已提位移边界条件，故第二个方程不能作为边界条件引入。

将(g)式代回（e）式得位移

再将（h）式及v=0代入以下方程：

（h）

得到应力分量：4.2 用应力法求解例4.1给出问题的应力和位移。

解：根据边界上的受力情况，我们试取。

（a）

显然，对于解(a)式，（1）已满足左右两侧的边界条件及上，下两侧无摩擦的已知条件；（2）满足了平衡方程式和相容方程式。本体为混合边值问题，待定常数A只能由位移边界条件（b）式确定。

（b）为此，必须由解（a）式解出相应的应变和位移。

将（a）式代入本构方程式得：

利用几何方程式得第1,2式积分

代入几何方程的第3式，并注意到（c）式得第3式，得

所以，其解为于是

c）

（d）

e）

f）

（（（利用对称性条件

和

可得

再利用边界条件（b）式可解得

从而有应力和位移解：

（g）

4.3写出图中所示悬臂梁上边界和右端面的边界条件。

解：上边界（负面）上面力应面力上的负值，故有

弹性力学问题篇5

1 弹性力学著作中外力势的表达式

研究范围界定在纯力学过程的弹性静力学,基本假定同文献[1],且弹性体所受的外力均是保守力.文献[1,2]给出的二维问题外力功表达式为

并指出,“外力在实际位移上做的功称为外力功”.并进一步指出,“取位移或形变为零的自然状态下外力功和势能为零,弹性体的外力势能是V=-W”.

由此可见,以上表述是把W当作真实功的.但笔者认为该式不是弹性体的真实功,否则它不能保证弹性体在加载过程实时处于静止状态,从而与弹性静力学的“静”相矛盾.具体理由在第2节中进行详细分析.此外,文献[3,4]等许多其他著作中也均是这样的表达式.

2 外力功/外力势表达式的讨论

从热力学知道,真实的力学过程中无论载荷怎样施加,由于弹性体的弛豫时间[5]无论如何小都不会是零,从而不能与外力保持同步.这就使得实际加载过程都是动态的.但对于载荷从零逐渐无限缓慢地增加施加时,可近似为静态问题,称为准静态.上述观点程昌钧教授在文献[3]中介绍总势能的物理意义时也有类似的表述.

弹性静力学归结为微分方程边值问题,如位移解法的拉梅方程.拉梅方程与时间无关,因而容易让初学者认为:具有一定位移约束的弹性体在外力作用下“立即”处于平衡状态.但必须强调拉梅方程边值问题描述的只是弹性体的最终平衡状态,这个最终状态的外力在物理上应理解为准静态地(从零逐渐增加、无限缓慢地)施加上去的,这样才能保证是弹性静力学.有此共识,我们来讨论弹性力学著作中外力功和外力势能表达式.

首先来看一维无体力的情形.以一个直观的、不考虑自重且仅受边界力f的线弹性弹簧(或一维线弹性压杆)为例进行说明,证明式(1)在一维情形下不是真实功.如图1所示,弹簧受压前的初始位置为O点,建立坐标系OX.为保证弹簧在加载过程中时时处于准静态,让外力f从零逐渐缓慢线性加载直至最终值f0,位移为Δl,加载曲线如图2所示。

取初始位置自然状态的外力功和外力势能为零,考虑到最终位置处有f0=kΔl,则外力在总位移上做的真实功为

根据外力势能的定义[1],在加载至最终位置处真实的外力势能为

但式(1)所显示的外力所做功却为

比较式(4)和(2)可知,对一维无体力弹性静力学问题,外力做的真实功是式(1)定义的外力功的二分之一,因而利用式(4)再来定义外力势能也自然不是真实的了.

再来看一般三维弹性静力学情形.我们用应变能定理加以说明.克拉比埃龙最早给出的应变能定理指出[6]:在外力不变、弹性体各点从原有位置经过一位移到达平衡位置时所做的功,在这样的突加外力上所做的功为应变能的二倍.钱伟长等[6]对应变能定理进行了重新表述,指出,在微小变形的条件下,“弹性体在外力作用下平衡时,变形的弹性能或应变能等于外力对弹性体各点从原有位置经过一位移到达平衡位置时所做的功,假如所加的外力是由零变到指定的值,而且在过程进行之中的每一步,物体都处在平衡状态”.所给的弹性体达到最终平衡状态时的外力功为

其中,XN,YN,ZN为微元体表面上的面力.式(5)就是整个弹性体的真实外力功,它与式(1)(不考虑维数差别)显然是差个系数1/2.

至此可以认定,式(1)的表述就是应变能定理中所言的突加外力在最终位移上做的功.但这个功不是该力的真实功,而是一种“虚功”.进而利用该功定义的外力的势能V也就不是真实的.

3 总势能、外力势能及外力功的关系

3.1 保守力,外力功与外力势能

然而外力势能的确切定义是什么?外力势能和外力功是什么关系?我们先来看外力势能是如何引入的.对保守力f(r),在力作用点路径上做功为

其中,函数F(r)在数学上为力f的势函数,称力f是有势的,或称f为有势力,而力f有势的条件是fdr存在全微分.但上式还看不出物理内涵.引入新的函数E=-F,则上式可以写成

从式(7)可以看出,保守力f(r)所做的功A是力的作用点位置的某个函数的减少量,函数E(r)+c就定义为力f(r)的势能函数.c则表示表示势能是相对的,和势能零点的选取有关.不妨令c=0.

上式表示,势能的定义取决于外力是否有势及势能的零点,与力作用对象的性质、运动状态无关.对弹性体,我们进一步让初始r0位置对应外力开始加载时,亦即弹性体处于自然状态时外力的功和势能为零,则E(r)=-A,这就是说,外力势能等于外力功的负值.而在其他情况下,外力功和外力的势能是不同的.尤其需要强调,这个势能的定义基础(6)是真实功,而文献[1]中相应的外力势能所依赖的式(1)不是真实功.

3.2 总势能定义之理由

最小势能原理是弹性力学最重要的变分原理之一.弹性力学著作中一般将弹性系统的总势能定义为[6]

或

即[2,3]

显然,根据前文关于外力功表达式的介绍,式(11)是真实应变能和非真实的外力功之和.现在的问题是,能否将总势能中外力势能取为真实值?即定义为

但这样的定义没有实际意义.因为根据应变能定理,显然有∏=0,这就是说,弹性系统在平衡状态时真实总势能为零.这样一来,显然无法继续探讨弹性力学的最小势能原理了.但如果采用式(11)的方式定义系统的总势能,则存在最小势能原理,而且可进一步得出在函数可微性满足的条件下,最小势能原理等价于系统的平衡方程.

仍然以一维弹簧为例来说明,按式(11),弹簧系统的总势能为,利用最小势能原理可知,kx=f,这恰好是其任一位置处的平衡方程.但若定义,则得到.因此,总势能必须定义为式(11)的形式才存在最小势能原理.

但式(11)又确实不是系统的真实势能.这样一来,就会令初学者产生困惑.因此笔者认为称式(11)为系统的总势能是不妥的,但给系统的总势能重新取个新名字也已不现实,因此我们建议,在介绍系统总势能的同时,明确指出它不是系统的真实总势能,并补充介绍这样定义总势能之理由.因为根据经验,许多初学者在接触总势能这一概念时立刻就会询问总势能为什么这么定义.

4 结论

(1)弹性静力学边值问题中的外力不是瞬间施加的,在物理上应理解为从零逐渐准静态施加到最终状态的值.

(2)弹性静力学能量原理中的外力功不是真实功,而是一种“虚功”,从而外力势能也不是真实的.

(3)弹性系统的总势能是真实的应变能和非真实的外力势能之和.

(4)弹性系统的总势能的定义形式是为了最小势能原理的成立.

(5)为了避免导致初学者混乱,在给系统总势能重取新术语不现实的条件下,建议在介绍系统总势能的同时明确指出它不是系统的真实总势能,并补充介绍这样定义总势能之理由.

摘要：外力功、势能等概念是弹性力学能量原理的重要内容.但笔者发现,经典弹性理论著作中给出的外力功、势能的表达式并非真实的功、真实势能值.本文根据弹性静力学的基本假定和应变能定理对此进行了论证,并以一维弹簧受压问题进行了说明.对总势能、外力势能、外力功及保守力的定义及其相互关系进行了详细分析,建议在介绍系统总势能定义的同时,应一方面说明它不是系统的真实总势能,另一方面要补充介绍这样定义总势能的原因是保证最小势能原理与平衡方程等价.通过厘清上述概念之间的关系,以期给弹性力学的初学者以明晰的概念.

关键词：弹性静力学,外力功,势能,应变能,保守力

参考文献

[1]徐芝纶.弹性力学简明教程(第三版).北京:高等教育出版社, 2002

[2]徐芝纶.弹性力学(第四版).北京:高等教育出版社,2006

[3]程昌钧,朱媛媛.弹性力学(修订版).上海:上海大学出版社, 2005

[4]刘润星.弹性力学基础.北京:人民交通出版社,2009

[5]龚昌德.热力学与统计物理.北京:人民教育出版社1979

油菜茎秆弹性力学特性试验研究篇6

关键词：油菜,茎秆,力学特性

0引言

近年来,随着稻麦机械化收获技术的日益成熟和油料作物重要性的日益凸显,油菜的机械化联合收获受到了越来越多的重视。然而,现对于稻麦而言,由于受到油菜特殊的生物力学特性的制约,油菜的机械化联合收获尚存在一些困难需要克服,这些困难在中国的油菜机械化联合收获进程中表现得尤为明显。例如,由于收获期的油菜含水率比较高导致在连续的机械化收获时清选部分出现油菜脱出物粘附堵塞筛面的问题［1 － 3］。此外,一些涉及油菜物料颗粒运动的研究中也需要一些相应的油菜生物力学特性做支撑［4］。因此,开展油菜的生物力学特性研究十分必要。

典型材料的力学特性研究一般包括材料的拉、压、弯、扭等方面。近年来,生物材料的力学特性研究受到普遍的重视,相关的研究工作也日益增多［5 － 7］。虽然生物材料有别于常见的工程材料( 如金属、固体塑料等) ,但目前常规的生物材料力学特性研究在研究手段和研究思路上仍然遵循着经典的力学特性研究方式。油菜茎秆属于生物材料,是油菜物料颗粒运动研究中需要涉及到的重要成分。文献检索表明: 很多农作物材料都具有较为鲜明的粘弹特性,但目前尚无有关油菜的粘弹特性研究; 另一方面,材料的粘弹性往往可以通过拉压试验的办法加以观察判断和量化研究。因此,本文将着重通过垂直加压试验的方法对油菜茎秆的力学特性进行研究和分析,希望能为其它相关研究提供基础性支撑。

1材料与方法

1. 1试验设备与材料

试验所采用仪器是英国产的TA - XT2i型质构仪( 见图1) ,由电脑、控制键盘、加载试验台和探头组件等组成,能执行的移动距离范围为0. 1 ~ 295mm,力传感器的解析精度0. 025% ,可设置的移动速度范围为0. 1 ~ 10mm / s,可装配的加载探头夹具有针状、柱状和球状等多种形态。本试验中,经过预备试验,选择铝制的直径为3mm的圆柱形探头夹具作为试验中的施压探头。

试验中所用的油菜茎秆均采集于收获期,油菜为甘蓝型油菜,栽植方式为移栽。试验所用油菜茎秆均取自油菜植株的中部,含水率约74% 。收获期的油菜茎秆呈现内外两层的结构,外层为弹性强度较大且较为致密的茎秆壳体,内层为结构松散的白色棉絮状海绵体,如图2所示。试验所用油菜试样分为两种: 一种是圆柱状的油菜茎秆,长约3cm,直径范围为9. 28 ~ 12. 49mm,用于油菜茎秆整体的径向力学试验和油菜茎秆内部海绵体的力学试验( 沿茎秆轴向加载) ; 另一种是去除海绵体后的片状油菜茎秆壳体,用于油菜茎秆壳体的力学试验,如图3所示。

1. 2试验方法

试验分别以油菜茎秆整体、油菜茎秆内部海绵体和油菜茎秆壳体为试验对象,并分别设置3种不同的加载深度作为试验的考察因素( 见表1) 分别测试其力学特性。试验时,先将测试对象置于载物台的中央位置( 见图4) ,然后再将圆柱形探头快速下移到测试对象上方附近位置,再通过程序设置使圆柱形探头以0. 5mm / s的速度开始加载到指定深度,并保时180s, 最后按照程序设置圆柱形探头以2. 0mm /s的速度上移卸载。每次试验均采用新鲜的油菜茎秆试样。

2结果分析

2. 1加载阶段的油菜茎秆弹性

考虑到一阶多项式中一阶项系数( 即斜率) 能直接反应材料弹性系数这一直观物理意义,在接下来对加载阶段的曲线拟合中,本文均采用最简单的一阶多项式进行多项式拟合,有

其中,F表示加载力( N) ; d表示加载深度( mm) ; c1和c0为拟合待定系数。在拟合过程中,均以95% 的置信区间给出c1和c0的拟合值,同时计算出拟合结果的和方差( SSE - The sum of squares due to error) 、决定系数( R - square - Coefficient of determination) 、校正后的决定系数( Adjusted R - square - Degree - of - freedom adjusted coefficient of determination ) 和标准差( RMSE - Root mean squared error) 。

使用matlab ( R2008a) 的拟合工具箱,按照公式( 1) 对试验所得的加载阶段力值F和加载深度d进行一阶多项式拟合,并将拟合曲线与试验数据点列在一起,如图5、图6和图7所示。同时,将拟合评价参数值和多项式系数拟合值( 及其置信区间) 列在一起,如表2、表3、表4所示。

2. 2油菜茎秆整体

在3种加载深度条件下,将油菜茎秆整体径向加载阶段的拟合曲线与试验数据点列在一起,如图5所示。同时,将分析所得拟合评价参数值和拟合系数值列在一起,如表2所示。

由图5及表2可见: 拟合相关系数R2均大于0. 94,这说明,在3种加载深度条件下,用一阶多项式拟合出的直线均能较好地反映出试验数据在加载阶段的线性关系,从而也说明油菜茎秆整体在径向加载阶段显示出了较明显的弹性特征。同时,还可以看出: 在加载深度分别为1. 5、2. 0、2. 5mm的条件下,根据试验值拟合出的一阶项系数c1值分别为29. 52、27. 48、22. 16; 这说明,随着加载深度的增加,油菜茎秆整体的弹性系数在不断下降,反映出油菜茎秆整体的弹性特征随着加载深度的增加而逐渐削弱。

2. 3油菜海绵体

在3种加载深度条件下,将油菜茎秆内海绵体加载阶段的拟合曲线与试验数据点列在一起,如图6所示; 同时,将分析所得拟合评价参数值和拟合系数值列在一起,如表3所示。

由图6可见,在3种加载深度条件下所得到的实测加载F - d数据点整体上并不呈现直观上的线性关系,仅在加载的初始阶段( d < 2mm时) 显示出一定的线弹性,但随后F就随着加载深度的线性增加而波动性地增加( 尤其是在加载深度d = 6mm和d = 9mm的条件下) ,这说明油菜茎秆内海绵体在外力加载过程中出现了较为明显的应力屈服现象。考虑到油菜茎秆内海绵体结构的松散,在连续加载时出现应力屈服的情况并不意外。

尽管如此,本文还是使用一阶多项式拟合出了油菜茎秆内海绵体在全部加载阶段的趋势线,用来直观地反映油菜茎秆内海绵体在受到加载力时的全程宏观力学特征。结合表3和图6可见,虽然相对于油菜茎秆整体的力学特性拟合结果而言,对3种加载深度条件所得油菜茎秆内海绵体的力学试验数据进行一阶多项式拟合的确定系数0. 74 < R2< 0. 8,但是拟合结果的和方差SSE则更小( 小于10) 。这说明该拟合能够用来反映整体加载阶段的宏观力学特征。另一方面,由图6和3种情况下的拟合结果可见,随着加载深度的增加( 由3mm增加至9mm) ,拟合直线的斜率显著降低( 由0. 603 6降低到0. 129 7) ,这主要是由于在加载的后续阶段出现了应力屈服所致。

2. 4油菜茎秆外壳

在3种加载深度条件下,将油菜茎秆外壳加载阶段的拟合曲线与试验数据点列在一起,如图7所示; 同时,将分析所得拟合评价参数值和拟合系数值列在一起,如表4所示。

由图7可见: 当对油菜茎秆外壳的加载深度设定分别为d = 0. 5mm和d = 1. 0mm时,所得测试数据显示出了较明显的线性增加特征; 当加载深度设定为d = 1. 5mm时,所得测试数据显示F在d > 0. 5mm之后迅速增加,这主要是由油菜茎秆外壳的厚度较薄所致( 仅为2. 1 ~ 2. 8mm) 。但结合图7和表4可见: 对这3种加载深度条件下所得的数据进行一阶多项式拟合之后,拟合方程的决定系数均较高( R2> 0. 92 ) ; 同时, 随着设定的加载深度由0. 5mm增大为1. 5mm,拟合直线的斜率从9. 42增大到了26. 54,也从宏观上说明了油菜茎秆外壳在加载阶段的弹性特征随着加载深度的增加而增强。

3结论

本文以加载保持深度为考察因素,通过弹性加压试验和拟合分析研究了油菜茎秆整体、油菜茎秆内海绵体和油菜茎秆外壳的生物力学特征。研究发现: 在加载阶段,油菜茎秆整体和油菜茎秆外壳的受力均随着加载深度的增加而增加,显示出较明显的弹性特征,但油菜茎秆内海绵体则由于其松散的结构在加载深度超过2mm后出现应力屈服现象。

弹性力学问题篇7

弹性力学是土木工程、采矿工程等专业的专业基础课, 与土木工程专业相比, 采矿工程专业具有其独有的专业特点, 因为土木工程专业是用钢筋、混凝土等材料创建一个稳定的结构, 而采矿工程却是要通过掘巷、采煤等工作打破亿万年来一直稳定的地层, 然后开采人类所需的资源[1]。掘巷、采煤就是要打破原有稳定岩层的平衡, 而煤矿井下作业又需要平衡空间, 因此就要防止冒顶、片帮等危险现象的发生, 用锚杆、锚索、喷射混凝土、充填等等方法去维护它, 至少在煤炭回采期间保持一个平衡的空间。因此, 采矿的力学背景是如何打破平衡和建立一个新的平衡空间。

弹性力学具有理论性强、概念多、结构严谨等特点, 往往需要学生具有很强的数学物理基础[2]。采矿工程专业学生在学习弹性力学时, 往往感到困惑、很难学, 而且上课能听懂一些理论、记住一些公式, 但是遇到具体问题时, 还是不知道怎么去解决。因此, 笔者在采矿工程专业《弹性力学》课程教学过程中, 应尽量少列大套公式、避开数学难点、多举与采矿工程密切相关的例题进行教学。

2 采矿工程专业弹性力学教学实践

弹性力学现有内容多是与土木工程、水利工程相关的例子, 与采矿工程相关的例子很少, 但采矿工程中有许多地方涉及到弹性力学的内容, 比如采场中顶板的受力破坏机理、立井井壁的受力及强度分析、直接顶的受力分析等, 因此在弹性教学过程中多引用此类工程实例, 既能提高学生的学习兴趣, 又能提高学生对本课程的学习效果。 (图1)

在平面问题直角坐标这一章中, 可以取老顶给定变形下直接顶的受力、变形情况[3]为例, 直接顶的力学模型如图2所示。由于只研究直接顶的悬伸部分, 直接顶的左边界可简化为固定边界, 右边界假设为无载荷作用的临空面, 上边界为老顶施加给定变形的边界, 给出的是位移边界条件, 而下边界受支撑作用, 给出的是应力边界条件。因此在老顶给定变形情况下直接顶的响应是个复杂的应力与位移混合边界条件的力学问题。

在讲授平面问题极坐标解答及温度应力这两章时, 可以举冻结法施工的立井井壁为例[4]。采用冻结法施工的立井中, 井壁浇筑之后其强度的增长一般是在-10℃的温度环境下完成的, 此时内、外壁的温度几乎相等, 不存在温差, 但在冻结管拔出之后, 尤其在矿井的通风系统运转以后, 内、外壁的温差就明显起来, 一般情况下, 表土温度恢复至5~7℃, 而井筒内气温随着季节的变化一般在10~30℃, 井壁的内、外壁温差也可达15℃, 因此, 由此而产生的井壁温度应力便成为一个不可忽视的因素。如图3所示, 此种状态下的井筒, 其径向面上的温度是关于轴线对称分布的, 因此属轴对称平面应变问题, 通过弹性力学知识可以求解得到其应力表达式。

在薄板理论这一章时, 可以以基本顶的受力破裂为例。一般假设坚硬基本顶岩层是一种层状连续弹性介质, 将上覆顶板岩层自重引起的作用看作为均布荷载, 则在煤层开采后的悬露结构可以看作是“弹性薄板”结构。根据开采情况及支护的条件, 可以将基本顶岩层初次断裂前假设为以下四种情况[5]:a.四边固支;b.三边固支, 一边简支;c.两边固支, 两边简支;d.一边固支, 三边简支, 如图4所示。可以根据弹性薄板小挠度的理论进行求解计算的, 对矩形顶板岩层的初次垮落和周期垮落的变形破坏规律进行定量分析。

3 结论

弹性力学是土木工程、采矿工程等专业的专业基础课, 与其它专业相比, 采矿工程专业具有其独有的专业特点, 采矿的力学背景是在地下如何打破原有平衡和建立一个新的平衡空间。弹性力学具有理论性强、概念多、结构严谨等特点, 往往需要学生具有很强的数学物理基础。因此, 笔者在采矿工程专业《弹性力学》课程教学过程中, 通过尽量少列大套公式、避开数学难点、多列举与采矿工程密切相关的例题进行教学, 实践证明此举取得了很好的教学效果。

摘要：弹性力学是土木工程、采矿工程等专业的专业基础课, 与其它专业相比, 采矿工程专业具有其独有的专业特点, 结合《弹性力学》课程教学中存在的问题, 对《弹性力学》的教学内容和教学方法进行了改革。

关键词：弹性力学,采矿工程,教学

参考文献

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[2]杨桂通.弹性力学[M].北京:高等教育出版社, 2010.

[3]高峰, 钱鸣高, 缪协兴.老顶给定变形下直接顶受力变形分析[J].岩石力学与工程学报, 2000, 02:145-148.

[4]经来旺.表土沉降对井壁强度的影响[J].山东科技大学学报 (自然科学版) , 2000, 02:104-108.

弹性力学问题篇8

我国高等学校理工科的众多专业, 诸如力学、水利、土木、机械等都开设弹性力学课程, 弹性力学是一门重要的专业基础理论课程, 是固体力学的一个重要分支。弹性力学课程特点在于问题求解往往归结为求解满足一定边界条件的偏微分方程组, 因此弹性力学的教学特点是通过系统的数学与力学公式的推演, 使学生掌握应力、应变、位移计算的基本知识和基本技能。

有限元法是一种离散化的数值计算方法, 以电子计算机为手段, 可以计算各种复杂的工程问题, 是解决诸如结构分析、流体力学、电磁学、热学、弹性力学问题的有力工具。经过力学和计算数学工作者不断的努力, 目前这一方法的应用已渗透到土木、水利、机械、航空航天、兵器、材料、电磁学等研究领域。

弹性力学与有限单元法本是两门相互独立的课程。无论是弹性力学还是有限单元法课程, 它们都有丰富、深刻的知识体系。但随着近几年高校专业的调整和教学改革的深入, 也为满足我校宽口径、厚基础的教学要求, 基础理论课程课时减少, 教学内容也有较大精简。受课时限制, 我校采用将弹性力学与有限单元法两门基础课程合而为一的思路, 开设弹性力学与有限单元法课程, 总学时为40学时。这一课程是我校土木专业的一门主要的技术基础课程之一, 起着连接力学等基础理论课程与后续专业课程的桥梁作用。弹性力学与有限单元法课程内容如何取舍, 做到在40 ~ 60 学时范围内, 既能阐述清楚抽象的弹性力学的基本理论及有限元理论和方法, 又能结合具体的工程实际案例, 使学生掌握好利用有限元软件解决具体工程实际问题的能力, 达到理想的教学效果, 一直是该课程教学过程中的值得深思的问题。现有有限学时下如何保证教学的基本要求和基本内容, 对教学内容和形式作相应的探索, 研究用什么教学方法和手段达到在少量的学时内完成对学生能力培养的要求, 是摆在从事该课程教学的广大教育教学工作者面前的一个咫待解决的现实问题。笔者经过该课程近十年的教学经验, 并借鉴前辈和同行一些成功的经验, 提出以下一些措施, 以期能起到抛砖引玉的作用。

正确定位课程的教学理念, 制订相应教学方案

随着社会的进步和科学技术日新月异的发展, 工程领域的诸多行业对有限元分析应用人才的需求日益增大。高校本科教育应适应社会发展的需求, 满足不同岗位对各类人才培养的要求。各种不同工作岗位的人才培养应该有不同的教育培养体系。弹性力学的基础理论发展至今已有几百年的历史, 有限单元法的理论及应用从上个世纪四五十年代开始发展到今天, 应该说是相当严谨与完善的, 它有着严密的逻辑推理与数学推导。笔者认为, 对于农林院校工科专业弹性力学与有限单元法的教学, 教学重点不应放在公式的推导上, 而在于教会学生怎么去用这些公式和方法来解决工程问题。基于此, 教学上重点应当是阐述相关原理、公式的物理意义, 使学生理解的原理、公式的前提下通过适当的例题讲解它们的应用。

对于应用型本科《弹性力学与有限单元法》课程的教学应定位在通过该课程学习, 帮助学生建立有限元分析中将连续系统离散化的基本思想, 掌握利用单元节点位移值构造简单多项式位移插值函数逼近单元真实位移的基本原理。使学生掌握利用有限元分析软件解决各种实际工程问题的步骤, 达到能够利用有限元软件求出工程问题的近似解 (有限元解) 的能力, 为以后学习和工作打下良好的基础, 因此, 在教学方案的制订上, 也要围绕这一理念。根据学生的实际情况, 结合专业要求制定教学方案, 这样才能增强学生的参与意识。克服以往的教学中以教师为中心, 学生只能被动接受知识从而缺乏创造力的“填鸭式”教育模式。

教材建设与改革

按照目前课程教学大纲的要求, 学生应掌握弹性力学应力应变分析、平面问题的基本理论, 掌握有限单元法的基本原理和弹性力学平面问题、空间轴对称等问题的离散化模型的建立过程和方法, 达到能初步运用有限元方法解决静力分析等简单工程问题的目标。在本课程的教学实践中, 教材的选择是一个突出的问题。目前弹性力学与有限单元法课时偏少, 授课内容不易取舍, 合适的教材并不多见。有的教材突出了有限元的基本原理, 但弹性力学部分层次感不强, 跳动较大, 使学生对课程知识体系有些茫然, 不易找到弹性力学基本理论与有限元分析之间的联系。有的教材则有限元部分内容过于简单, 有限元工程应用方面的实例少, 不太适合本专业 (方向) 的教学内容与要求。以前使用过的一些教材, 教学过程中, 学生反映课程理论内容抽象, 不易理解和掌握, 学习兴趣不浓。例如学生对虚功原理、变分原理等基本原理不易理解与接受。因此编写一本既能反映弹性力学的基本原理, 又将这些原理与弹性力学问题数值求解的有限单元法相结合的, 既反映基本理论, 又强调适用的应用型本科教材, 是这门课程教学效果好坏的最直接的决定因素。针对这种情况, 结合笔者多年的教学与科研实际, 编写了《弹性力学与有限单元法简明教程》, 教材内容简单, 取材丰富, 力图贯彻“注重理论、强调实用”的原则, 经过在教学实践中的应用, 取得了一定的成效。

课程教学内容的探索和改革

弹性力学与有限元理论涉及数值分析、力学、矩阵论、程序设计等众多学科, 内容广且深, 在实际教学过程中内容深度不易把握。完备掌握好该课程需要具备广泛的数学、力学等知识。课堂教学不宜过多地集中在深而枯燥的理论上, 应强调工程实践能力的应用, 否则会适得其反, 对应用型人才培养是不利的。针对本科生已有的知识结构, 将授课的知识重点放在弹性力学基本概念的理解和掌握, 从应力、应变分析及本构关系入手, 使学生理解掌握后续弹性力学问题求解及有限元分析中用到的平衡方程、几何方程、物理方程、协调方程及边界条件这些基本概念。以弹性力学平面问题位移法求解为重点, 建立这一问题求解的思路和后续弹性力学平面问题有限元分析过程之间的联系, 使得弹性力学与有限单元法有机结合。从“数值方法”入手, 使学生深刻理解“有限元方法是解决工程问题的数值方法”的含义。精心组织最新的应用成果, 使学生了解该方法在工程中最新进展, 激发学生的求知欲望。笔者深刻体会到, 如何在教学实践活动中寻找弹性力学与有限单元法二者内容的平衡点, 使二者融会贯通、相互促进对于提升教学效果有着十分重要的作用。

教学方法的改革与实践

“授人以鱼不如授人以渔”。然而, 就本科生的知识结构而言, 要在有限的教学课时内领会和掌握弹性力学与有限单元法的庞大而复杂的理论体系是完全不可能的。弹性力学与有限元课程教学的目的重在应用, 通过教学, 使学生能应用相关软件解决工程实际问题。通过实际案例的分析应用, 使学生掌握有限元方法及相应软件的应用, 达到激发学生兴趣的目的是教学的关键, 为以后学生从事相关工作提供入门性的指导。因此, 课程教学过程中应该以有限元法为重点, 通过讲解一些简单的弹性力学平面问题有限元实例求解, 指导学生解决若干比较简单的工程实际问题, 并在此基础上达到对有限元法的基本原理和公式的理解, 这样可大大激发学生的学习兴趣。目前, 计算机辅助教学已经成为现代教育的重要组成部分, 它为学科教学体系、教学内容和教学结构改革乃至整个教育体制的改革提供了物质基础和改革思路。在引进多媒体和现代教学方法的基础上, 运用一些影视、展示高质量的三维图形和动画, 配以动听的音乐和解说, 将学生们的求知欲和好奇心及各种潜能最大程度的激发出来, 有效的吸引住学生们的注意力, 活跃课堂气氛, 扩大课堂信息量, 增加趣味性, 从而丰富课堂内容。

然而事物都有两面性, 虽然在视觉形式上多媒体和传统的板书相比有革命性的变革, 可以给学生带来清新愉悦的视觉感受, 可以大大节省老师的板书时间, 但多媒体往往难以将分析和推导过程演绎出来, 常常只是显示最后的结果, 而对过程很难兼顾。如果在教学过程中过多的依赖多媒体, 带来的后果可能就是学进度太快, 学生们力不从心, 跟不上进度, 而且由于幻灯片每一版幅显示的内容有限, 有时一个版面不可能显示前后逻辑紧密相连的所有知识点, 这时需要不断的在前后画面之间来回的切换, 这样容易分散学生注意力, 扰乱学生的视线, 难以让学生将前后的内容联系起来形成一个知识总线。因此, 笔者的建议是采用传统板书和多媒体教学手段相结合的方法, 虽然笔者不强调公式的推导, 但在重要的理论公式的推导上, 还是采用传统的板书的方式比较好。

教学过程是一个传递知识的过程, 可以说它是一门行为艺术, 要达到良好的教学效果, 应该使教师和学生心灵沟通, 达到和谐共鸣的一种境界。教学过程中, 强调以学生为中心, 注重学生已有的知识能力以及接收知识的程度, 教师讲课过程中, 应时刻注意师生间的互动, 切忌不顾学生感受的满堂灌, 如果教师上课过程中做不到这点, 就会大大挫伤学生对课程的学习兴趣和动力。

课程改革的思路

本课程是一门理论与实践结合紧密的课程, 要求学生较高的理解、分析和思维能力, 还需要有较强的动手能力。因此在教学理念上如何准确定位, 才能够使学生较好地掌握该课程的理论和方法, 具备独立分析解决问题的能力, 从而达到本课程教学的目的。具体措施上笔者提议。

强化学生的数学和力学基础知识

矩阵论、数值分析等课程是全面深入掌握好有限元理论的基础, 可以适当增加这方面的选修课, 使学生可以有针对性的进行选修, 以便提高学生的数学和力学基础, 使学生学习有限元分析时不会感觉太深、太难。

加强实践性环节的练习

注重理论讲授的同时要加强学生上机练习。在上机练习时使学生掌握软件基本的操作过程以及一些必要的操作技巧。笔者在教学过程中, 利用ANSYS12.0 教学软件, 将有限元的建模、求解和后处理直观、形象地展现在学生面前, 使学生觉得生动形象, 感受到有限元软件解决工程实际问题的强大的功能和操作的简单, 不再对有限元软件使用望而生畏, 激发了学习兴趣, 同时也增强了学生利用所学理论知识解决实际问题的能力。

鼓励提倡自学模式

弹性力学与有限元课程有着庞大、复杂的知识体系。俗话说“师傅领进门, 修行在个人”本科生要熟练掌握有限元的分析方法并熟练用于工程实践, 必须在以后的一个相当长的时间里进行循序渐进的学习, 通过理论学习-实践的不断反复达到这一目的。

开展科研, 教研互动, 以研促教

弹性力学问题篇9

传统的气体静压轴承都采用小孔、狭缝等节流阻抗固定的节流器, 其承载能力和刚度的提高非常有限。为使气体轴承的刚度提高有新突破, 根据气膜间隙变化或相应的压力分布变化改变均压槽的表面积, 是目前气体轴承研究的一个热点。近十几年来国内外开展了不少这方面的研究[1], 但是, 在高刚度气体静压轴承的应用方面进展并不明显。在承载面采用弹性薄板实现可变截面均压槽的推力轴承是一种很有应用前景的新型高刚度推力轴承[2,3], 本文对这种空气静压轴承弹性均压槽的力学性能进行了数值分析和仿真研究。

1轴承的工作原理

采用弹性薄板实现可变截面均压槽径向轴承的结构见图1。制造过程中轴承内的轴向气腔中充满压力为p1的气体, 使承载面上轴向弹性薄板外凸。在平面加工完成后的自然状态下, 轴承的承载面上的弹性变形部分就出现了凹下去的初始轴向均压槽, 槽宽与轴承内的轴向气腔宽度一致, 槽深与p1的大小及位置有关, 均压槽内均布两个环 (柱) 面节流孔。

轴承工作时, 轴承内的轴向气腔中供气压力为ps (ps>p1) , 这样就在轴承气腔的内、外表面形成了一个压力差。轴承工作时, 压力差产生变化, 弹性薄板的形变也跟着发生变化, 导致轴承气膜间隙发生改变, 从而承载力的变化明显, 刚度得到提高。

2弹性薄板变形的控制方程及边界条件

以如图1所示的利用可变均压槽实现轴承刚度的气体径向轴承为应用对象, 取其中任意一个薄板为研究对象, 弹性薄板结构示意图见图2。图2中:a=90mm;b=10mm;厚度h=0.5mm;d1=d2=Φ1.3mm;c1=c2=15mm;b1=5mm;材料为铜;弹性模量E=112GPa;泊松比υ=0.35;大气压力pa=0.1MPa;供气压力ps=0.4MPa。

根据板壳理论[4]的相关知识, 在直角坐标系下, 弹性薄板计算区域内的控制方程为:

undefined。 (1)

其中:w为弹性薄板的形变;q为薄板各点处所受到的压力;D为板的弯曲刚度, undefined。

相应的边界条件如下:

固定边:undefined或undefined。

自由边:横向剪力Q=0, 弯矩M=0。

3利用有限差分法对弹性薄板变形进行数值分析

对于如图3所示的计算节点 (i, j) , 运用有限差分法, 采用二次精度的差分格式, 列出如下所需的差分格式:

undefined。

其中:Δx、Δz分别是x、z方向网格线的间隔距离。

将上述差分格式代入圆形薄板弹性变形控制方程式 (1) 中, 整理后得到区域内节点 (i, j) 处的差分方程为:

undefined。 (2)

其中:

undefined;

undefined。

采用逐次超松弛 (SLOR) 法求解式 (2) , 其迭代公式如下:

undefined。 (3)

其中:α是加速收敛系数, 1<α<2, 本文取α=1.6。

这只是区间内部的迭代算式, 对于边界上的节点, 根据其边界类型, 采用不同的方式进行离散化处理。对于固定边界, 各节点的形变量为0。对于节流孔自由边界, 由于孔径很小, 小孔附近除了应力集中外, 有无小孔对薄板的挠度影响不大, 所以计算时忽略小孔的存在, 且认为小孔处的弹性薄板载荷为零。

根据以上分析, 在VB编程环境下进行编程运算, 得出弹性薄板各节点处的形变量, 运用MATLAB将所得的数据进行仿真, 得到的结果见图4。

4利用ANSYS软件对弹性薄板变形进行仿真

本文利用ANSYS10.0商业软件对弹性薄板变形进行仿真研究。在求解的过程中, 单元类型选择壳体, 薄板的实体模型及其网格划分见图5, 求解得到的仿真结果见图6。

忽略小孔, 其它各参数相同时得到的仿真结果见图7。

5运用解析法对弹性薄板变形进行求解

由以上ANSYS的仿真分析结果可知, 当小孔的孔径很小时, 近似计算时候可以忽略小孔的存在。无小孔时, 本文所研究的弹性薄板为四边固定的均匀矩形板, 根据板壳理论[4], 采用伽辽金法, 可以得到薄板变形的挠曲面表达式为:

undefined。 (4)

根据式 (4) , 可以得到薄板各点处的弹性形变量, 同样利用MATLAB进行仿真, 得到的结果见图8。

6计算结果对比分析

(1) 对比利用有限差分法自编程运算与利用ANSYS商业软件分析得到结果, 可以发现其结果具有较好的一致性。这说明在本文所研究的对象中, 采用二阶精度的差分格式来处理四阶偏微分方程是可行的, 其精度能达到计算要求。但从计算效率来说, 商业软件具有明显的优越性, 其中商业软件只需要几秒钟就满足了本文的计算要求, 而利用有限差分进行数值运算所耗费的时间是前者的数十倍。

(2) 从ANSYS商业软件分别对有、无小孔的薄板进行分析得到的仿真结果可知:当小孔很小时, 其对计算结果的影响也是很小的。故在分析的过程中可以忽略小孔的存在, 这样就可以在满足工作要求的同时大大减少工作量。

(3) 对比以上3种分析结果可以看出, 无论是利用有限差分法计算还是利用ANSYS商业软件进行分析, 其结果都与解析法存在一定的差异, 其差异大小约在15%左右, 这在一般的工程计算中是允许的。差异产生的原因还在进一步的探讨之中。

7结束语

各种计算结果表明, 均压槽的变形与设计要求一致, 进一步证明了本文建立的弹性薄板变形控制方程和数值分析方法是正确的。计算结果同时表明, 均压槽的变形与轴承的结构和材料特性存在密切的关系, 根据这些条件对轴承进行优化, 有待于进一步研究。

参考文献

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