对数检测

对数检测（通用7篇）

对数检测 篇1

1功率测量功能在无线测试仪器的重要性

近年来,随着无线通信技术的发展, 射频功率测量及其应用技术已经成为无线测试仪器的技术热点之一,收到了国内外许多专家和学者的关注,出现了不少的解决方案。在目前众多的RF功率测试应用中,RF功率测量除了用于控制它本身的输入和输出功率外,更多的应用中是面向研发和生产过程的功率测试,其测试方法主要是采用矢量信号分析机接收和处理信号,然后计算信号功率谱得到信号功率,如图1所示。

可见,如何实现低成本、简单快速的功率测量以便满足上述产品生产过程中的功率测试需求,是一个亟待解决的技术问题。

图1是典型RF功率测量的在仪器中应用框图,主要涵盖仪器本身的应用。 发射信号通道由三个连贯的单元组成:基带,射频(RF) 发射,功率放大器。在发射信号到达天线之前,其中发射信号的一部分被双向耦合器采样。将采样的RF功率送到功率检测器转换为直流电压。再将功率检测器的输出电压数字化并且送到数字信号处理器(DSP)或微控制器(MCU)。一旦得到数字化的功率测量值,就可根据测量的输出功率与要求的输出功率之间的关系来调整整个系统的功率输出。

2应用

功率对数检测器件在当下射频测量中的得到广泛的应用,这类器件具有动态范围大,频率范围广,精度高和温度稳定性好的特点。因此在本文的设计中,选用对数功率检测器AD8138,配合ADC和FPGA,实现无线测试仪器测量各种测试功能。

本方法中,采用对数功率测量器件作为功率测量的核心部件。通过对数功率测量器件和高速ADC的结合,实现了宽带射频功率测量。如图2, 可应用于GSM、 CDMA、LTE和W-LAN 802.11 ( 要求频率5GHz) 等测试系统,下文给出三种典型应用。

应用1 :调制信号功率测量。WIFI和LTE的终端设备,大量使用OFDM,QPSK等调制方式。WIFI待测物发射OFDM调制信号作为输入信号,输入信号经过耦合器和射频开关输送到AD8138的输入端,AD8138将功率包络转换成电压信号, ADC采样后把OFDM的电压信号送入FPGA处理,计算信号功率。在这种情况下,并不需要昂贵的VSA设备,只要相对简单的功率测量电路,便可以快速准确地测量OFDM信号的功率。对于生产线测试,这种方法在满足生产测试需求的前提下,大大降低了测试仪器的成本。

应用2 :待测物VSWR的测量。在生产测试中,如何快速判断待测物是否有物理损坏(比如是否被静电打坏, 是否有元件掉落等),有助于加快测试进程,降低测试成本。本例中(原理如图4所示),通过测量待测物的反射信号,能够快速测量待测物是否存在损坏的情况。若检测得到待测物本身已经发生了物理损害,相应器件可以把损坏的待测物从测试中及时挑出, 节省了射频测试的时间,提高了生产线效率。具体工作原理如图2所示,当该系统和外部待测物相连接时,VSG发射信号, 待测物接收VSG发出的射频信号。第一次,开关置于1位置,得到测量仪器VSG本身的输出功率为Pm F (d Bm)。第二次,开关置于2位置,测量由待测物反射回来的功率Pm R (d Bm). 根据公式1计算得到待测物的端口反射系数(其中RLm为端口反射系数,单位为d B)。在测试软件中设置反射系数RLm的门限,通过反射系数 Γ 和门限的比较,判断待测物是否已经损坏。同时可以通过VSWR测量,避免由于匹配恶化的情况导致系统损坏等情况的发生,以便于测试者及时作出调整。

应用3 : 调制信号包络判断。在LTE或者WIFI的link测试中,一些高档的信令测试仪可以实时控制输入和输出的信号调制类型。而在生产线的仪器中,通常没有这些功能。在实际测试中,需要对输入输出信号的调制类型进行判断。通过对数功率检测器和ADC的配合,实时获取输入输出信号的功率包络,配合FPGA或者DSP,实时通过对包络时长和功率特征的实时判断,检测输入或者输出信号的调制类型。

综上所述,通过对数功率检测器件和高速ADC的结合,可以在无线系统和无线测试仪器中,低成本地实现一些原来需要昂贵仪器才能实现的功能,在简化了设计的同时带来了较好的效益。

对数检测 篇2

关键词：高中数学,对数概念,数学史,时间教学

一、数学史应用于高中数学概念教学的必要性

1. 培养学生创新意识与应用能力的需要

在传统的高中数学课堂教学中,学生之所以会对数学学习失去兴趣,是因为教师始终坚持“一言堂”、“满堂灌”以及“题海战术”等传统的教学手段.这让学生往往会产生对数学学习的误区:数学学习只是为了应付升学考试;数学在现实生活中难以产生更大的应用价值.因此,要使得学生充分认识到数学的魅力所在、引导学生掌握用数学思维来解决生活中的实际问题,就必须在教学设计中增添实际案例,融入相关的数学史思想,从而让学生能够从数学漫长的历史中探究到学习数学的重要作用和意义.将数学史引入到高中数学对数概念的教学中,引导学生用数学知识来解决生活中的实际问题,可以顺理成章地实现“知识向实践”的转移,其与高中数学对数的概念教学相结合,更加有利于培养学生的创新意识与应用能力.

2. 有利于让学生在数学家科学品质的熏陶下养成严谨治学的习惯

早在久远的古代历史时期,就有人用数学问题来思考、解决问题.随着时代的发展,数学的内涵和内容在不断地被丰富,尤其是在近代以来,我国数学界领域涌现出一大批严谨务实、品质高尚的数学家,这些科学家不仅为世界数学领域开辟了新的理论以及应用前景,而且相当多的科学家们不仅在数学研究领域不畏险阻,在生活当中也克服了许多不利因素,迎难而上,最终获得了自身发展的光辉前景,其人格魅力感染了一代又一代的学生.比如,享誉中外的伟大的数学家欧拉,虽然在晚年双目失明,但是仍然以坚强的毅力持续钻研和创造,最终利用一生的时间为后世留下530本论文和著作;还有我国的华罗庚老前辈,在数学资源极其匮乏的时代下,其凭借着自身对数学学习的执着以及不断刻苦探索的品质,通过不断的演算以及实验,先后研究发现了中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论与多元复变函数论等多种著名的理论.由此可见,数学史融入高中对数概念教学中,教师要多向学生讲述名人数学家背后的故事,在科学家们高尚品质的熏陶下,养成严谨治学的好习惯,让数学史影响学生,让学生受用一生[1].

二、通过对数概念教学引入数学史思想

如果我们直接将高中数学教材中对于对数概念的定义直接“念”给学生听,即a的x次方等于N(a>0,且a≠1),那么数x叫做以a的底N的对数(logarithm),其中,a叫做对数的底数,N叫做真数,x叫做“以a为底N的对数”,这样传统的方式不仅难以让学生对其记忆深刻,而且会增加学生的记忆负担.学生即使将对数概念背的滚瓜烂熟,其依然无法理解在数学界对数是如何发展而来的,以及对数的实际应用效能.那么,如何使得学生对于对数概念理解的更为深刻,这就要求数学教师利用一些数学史思想,做好对课堂教学设计的导入.

1. 计算引入

笔者通常按照“由浅入深、由简单到复杂”的顺序展开对数概念的导入,列举式子进行导入:等等,通过几个简单式子引导学生自主计算出结果,让学生真切体会到乘除、乘方计算的复杂性,为对数概念的引入奠定基础.

2. 对数发明背景

通过对数发明背景介绍,让学生了解其中对数由来:对数首先产生于西方商业世界,其目的是为了服务于商人贸易往来以及商业活动,伴随着对计算结果要求越来越精细,人们希望复杂的乘除、乘方运算能够被简单的加减运算所取代,在此背景下,对数应运而生.数学史思想要求学生对对数发明背景有一定的了解,对数发明之前,人们对三角运算中将三角函数的积化为三角函数的和或差的方法已很熟悉,经过对运算体系的多年研究,纳皮尔在1614年出版了《奇妙的对数定律说明书》,书中借助运动学,用几何术语阐述了对数方法.

通过背景描述的方式引导学生了解对数发明过程,有助于激起学生学习对数的积极性,见识到了对数概念的发展历程,帮助学生更好的理解和掌握概念.同时,培养学生的数学思维,必须灌输给学生数学史思想,这才是数学教学的本质所在.

3. 对数产生前奏

让学生对两个数列进行观察,并找出其中的规律所在:

通过观察,学生很快发现前一排数设为n,其后一排数可以表示为2n.

笔者对于学生的回答表示肯定,并向学生进行数学史的融入和介绍:德国数学家史蒂芬在对此两组数进行观察的时候,也发现了这样的规律,于是将上一排数称之为“指数”,一下排数称之为“原数”.史蒂芬还发现,上一排数之间的加减法运算结果,与下一排数之间的乘除运算之间具有对应关系,也就是说,假定我们想要求下一排任两个数乘积,只需要计算与其相对应的上一排数的和就可以.

根据这样的叙述,学生便可以很快完成运算:

数学题和数学史结合在一起,带给学生一种真实的感觉,让学生的运算级别难度降低.而且,此种教学方式还能够让学生的思维得到拓展,引发学生的思考能力,让学生的学习效果更好,让学生的数学应用能力更强[2].

4.对数概念产生

利用对数和指数之间的相互转换关系,笔者将对数概念升级为一种全新的理论知识,通过建构对数与指数之间的内在关系,引导学生对对数概念有个深刻的印象.对数的一般表达式为:ax=N(a>0,且a≠1)若已知a和N需要求出指数x,那么记做x=logaN,我们则把x称为以a为底的N的对数,其中a叫做底数,N叫做真数.通过这样的方式引起学生对数含义的认识,并让学生探究logaN的含义.逐步引入让学生认识到了对数与指数之间相互转化的关系,也就是

此时,笔者还讲述了纳皮尔对数学所作的贡献,布里格斯所发表的对数表,以及伽利略在此方面的建树等.对数概念已经形成,并让学生予以深刻理解.

参考文献

[1]殷伟康,唐洁琼.数学史融入高中对数概念教学中的实践与思考[J].中学数学研究,2016(4):1-4.

对数学作业的反思 篇3

学习过程中总要做练习, 但做完题目并非大功告成, 数学问题的解决仅仅只是完成了一半, 更重要的是解题后的回顾与反思, 表现为将知识引申、拓展、深化。因此, 反思是解题之后的重要环节, 一般来说, 作业做完后要从四个层次反思。

反思一:怎样做出来的?即在解题中反思方法, 正确解题, 这是最为重要的。有些学生只是为完成老师布置的作业而去做题, 解题过程中笼统地套用已有的结论, 不去对题目进行认真审题, 导致相配套的作业质量不高。在一次作业中出现错误, 有些学生往往不屑一顾, 不了了之。但是, 我们常常发现, 类似的错误往往一犯再犯, 一错再错, 究其根源, 是课后没有对所学内容进行反思, 没有对课堂上老师已授的例题所采用的方法进行理解和消化。

[案例1]在直线与圆的位置关系一节中有这样的一题:在Rt△ABC中, ∠ACB=90°, AC=3, BC=4, 以C点为圆心, r为半径画圆, 讨论r为何值时, 所画⊙C与线段BA的公共点的个数。

学生错误主要有两种, 一种是认知上的错误, 即对“直线”与“线段”的含义没有加以区别, 单纯套用了直线和圆的三种位置关系, 第二种是策略上的错误, 考虑不全面, 漏落了一些情形。正由于没有深度思维, 所以在另一次作业中又出现了类似的错误。

鉴于此, 教师在作业批改中应反思:为什么有些学生屡做屡错, 根源在哪里, 要进行归类统计, 找出问题所在, 思考补救措施, 在作业评讲中要注意引导学生分析问题, 确定解题思路, 复习旧知, 为学生提供一个对基本知识及其注意点重新认识或更深刻地理解知识的机会, 概括解题方法, 提炼思想方法。学生更应反思:错解的原因, 在解题中是否正确审题, 注意哪些事项, 如何克服常犯错误, 从而“吃一堑, 长一智”, 不断完善, 此外要建立起自己的错题档案, 有错必纠, 及时整理, 随时记录。

反思二:为什么这样做?即反思解题依据的原理, 题目中涉及到哪些知识点, 知识点之间的关系。

反思三:为什么想到用这种方法?即反思解题思路, 理清已知条件, 做到思路清晰, 推理有据, 定理公式运用恰当, 步骤详略得当。

反思四:有无其他方法?哪一种方法最好?比较各种方法的优劣, 优化解题。

[案例2]在《圆周角》一节有一例:如图1, △ABC的三个顶点都在圆O上, AD是△ABC的高, AE是⊙O的直径, △ABE和△ACD相似吗?为什么?

此题用了圆周角的性质, 又运用证三角形相似的方法, 学生都能证明之。

教师在课上对此题进行了了变式训练。[变式1]如图2, 条件中去掉AE是直径, 求证AB·AC=AE·AD, 出示了此题后, 学生自然联想到例题中已添加辅助线直径AE, 连AE证△ABE和△ACD相似, 运用相似三角形对应边成比例, 再将比例式改写成乘积式, 直接得到结论。故就一般而言, 例题处理结束, 但教者又进行了[变式2]如图3, AD是△ABC的高, △ABC外接圆⊙O的半径是R, (1) 求证:AB·AC=2R·AD (2) 若AB+AC=10, AD=2, 当AB等于多少时, ⊙O的面积最大。

思考之一:在图2中2R=AE, 故解决第一问题, 学生最容易想到作直径AE, 只要证明AB·AC=AE·AD就行, 教者要求学生另辟途径, 有无其他添加辅助线的方法, 作直径BE、直径CE能否证明之。学生尝试作出直径BE、直径CE分别如图4和图5。

图4中需证△BAE和△ADC相似, 图5要证△AEC和△DAB相似都能得到结论。

思考之二:在AB·AC=2R·AD中, 可化成, 如图6过点O作OE垂直于AB, 连接AO, 证△AEO和△ADC相似, 或如左图, 作OF垂直于AC证△AFO和△ADB相似。

解决本题的方法还很多, 不再一一列举。这种对例题的拓展变式实质也是一种反思。学生在反思中获得了成功, 增强了信心, 发展了思维能力, 培养了创新意识, 何乐而不为之呢?

对数定义的教学探讨 篇4

关键词：对数式,指数式,理解运用

中等职业学校的学生毕业后有一部分直接走上工作岗位, 而另一部分学生则通过成人高考等途径进入高职高专学习深造。中专的文化基础知识地学习对继续学习深造的学生来讲尤为重要。那么, 中等职业学校的数学教师怎样才能在课时很少的情况下兼顾这部分学生的后续发展呢?在数学教学中我尝试了由浅到深, 从慢到快的阶梯式教学, 下面我把中等职业学校教材———数学中“对数定义”的教学探讨作一介绍。

对数的定义:一般地, 设a>0且a≠1, 对于N∈R+, 如果实数b使得a b=N则称b是以a为底的N的对数, 并且把b记成logaN, 即logaN=b, 其中N称为真数。对数是抽象的难以理解的新概念, 一定要不惜时间把它讲透。首先要让学生有初步的表象认知。

一、形的认知

1.认对数符号的正确认识, log是拉丁文logarithm (对数) 的缩写, 不能将对数符号当做表示数的字母参与运算, 实质上logaN是不可拆分的整体, 不能把logaN看成是loga·N。

2.写对数符号的书写要准确, 底数与真数的位置有区别——底数右下字体偏小, 而真数居中正常字体的大小, 一个对数的底数与它的真数及对数符号的位置不可偏移、重叠、错位和交换。

3.记以a为底N的对数记为logaN。

学生有了正确的认知还不够, 还要在教学中巧设一些出乎意料比较隐蔽难以发现的错误, 当学生用智慧发现纠正了这些时, 他们会收到意想不到的效果。

如判断下列运算是否正确, 为什么? (1) log21=2×1=2; (2) logax·logay=loga (xy) (x>0, y>0) ; (3) logax+logay=loga (x+y) (x, y>0) 。这三种表示都不正确, 其中 (1) 式中的2与1分别是对数log21的底数和真数, 不是乘积关系; (2) 和 (3) 把对数的真数拆开运算是错的, 对数logax是一个整体, logay是另一个整体不能用多项式思想去理解。有了对数的抽象认识, 具体对数要满足什么条件呢?

二、质的理解

logaN成立的条件是: (1) a>0且a≠1; (2) N>0。这就是说: (1) 上式中a和N可以是满足条件的数还可能符合条件的代数式, 如logax2 (a>0且a≠1, x≠0) 中真数是代数式x2。 (2) 对数值可以运算如logax·logax= (logax) 2 (a>0且a≠1, x>0) 。 (3) 当对数值符合真数条件时也可以作为真数用如logalogax (a>0且a≠1, x>1) 。 (4) 我们说logaN中a是对数的底数, 不能说a是任何一个对数的底数, 又如logba (b>0且b≠1, a>0) 中b是它的底数而a是它的真数。

有了对数的术语符号的正确表述和初步理解后, 又怎样深入理解和掌握它的本质含义呢?

三、揭示概念的本质含义

1.数学源于生产实际, 对数也不例外, 我们用实例激发同学们的学习兴趣。

例:存入银行1 000万元, 按年复利率8%计算, 多少年后, 本利和为1 500万元?

解:设x年后本利和为1500万元, 则1000 (1+8%) x=1500, 1.08x=1.5, 由对数的定义得x=log1.081.5, 由此得知, 已知底数和幂求指数我们用对数, 对数的实质就是求指数。

2.用指数式与对数式对比、互化加深理解对数的本质含义。

例:根据定义, 把下列指数式写成对数式, 对数式写成指数式

改写时首先要弄清谁是真数 (即幂) , 谁是对数值 (即指数) 。

3.运用是学习的目的又是学习的方法, 怎样灵活运用对数式与指数式的关系呢?一般的, 对数问题难以用对数本身的知识解决时, 将其转化为指数问题;反之, 则将指数问题转化为对数问题。

解: (1) 这个式子中, x是对数的真数不能用对数求出, 把它转化成指数 (2) 在这个式子中x是对数的底数不能用对数的知识解决, 同理将它转化成指数式:x3=125, x3=53, x=5。

再如, 已知logax=2, logbx=3, logcx=4, 求logabcx。

解:同理, 由logbx=3得由logcx=4可得这里先将对数式转化为指数式进行去处再把指数式转化成对数式得出结果。

四、探究延伸

为了培养学生观察、归纳、猜想等抽象思维能力, 也为参加成人高考作准备, 我们作一些研究。

1.为今后学习对数函数作铺垫

例:求log39, log327, log381, log3243的值, 并由此推测log33n的值。解:∵32=9, 33=27, 34=81, 35=243, ∴log39=2, log327=3, log381=4, log3243=5, 观察上述结论可推断到log33n=n。观察、归纳上述对数得知其共同点是它们的底数都是常数3, 而真数是变化的, 若把真数用x表示即有y=log3x。

2.由对数的定义引申到复合函数

观察下列对数式:log381=4, log44=1, log61=0, log4log381=1, log6log4log381=0, 推而广之有logalogax是复合而成进而引申至复合函数求导数。

3.由对数的定义渗透至隐函数的求导

例:由公式求y=xx的导数。

解:y=xx中变量既是幂底数又是幂指数需将它转化为对数, 将y=xx两边取自然对数, lny=lnxx, lny=x·lnx, 两边求导

对数学概念讲解的认识 篇5

讲解数学概念一般要经过以下四个程序。

1. 认识概念

在讲解一个概念以前, 应围绕这个概念明了五个方面的问题: (1) 这个概念讨论的对象是什么?有何背景? (2) 概念中有哪些规定和条件?它们与过去学习的知识有什么联系?这些规定和条件的确切含义是什么? (3) 概念的名称, 术语有什么特点?与日常用语比较与其他概念, 术语比较, 有无容易混淆的地方?应当如何理解这些区别? (4) 这个概念有没有重要的等价说法?为什么等价? (5) 根据概念中的规定和条件, 能归纳出哪些基本性质?各个性质又是有概念中的哪些因素决定?这些性质在应用中有什么作用?能否派生出一些重要的数学思想方法?

2. 引进概念

数学概念本身是抽象的, 所以新概念的引入一定要从学生的知识水平出发, 密切联系实际。由于概念产生、发展的途径不同, 因此引入概念的途径也不同。

对原始概念的引入, 应通过一定数量的感性材料来引入, 使学生看得见、摸得着。但需要注意, 事例的引入一定要抓住概念的本质特征, 要着力揭示概念的真实含义。

例如, 在讲解“平面”这个概念的时候, 可以从常见的桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来, 但在讲解中一定要注意突出“无限延伸性和没有厚度”的本质特征。有些概念则可以借助生动形象的直观模型和教具, 使学生从感性认识逐步上升到理性认识, 形成清晰的概念。尤其在立体几何教学中, 由于学生的空间想象能力有限, 因此模型和教具的使用更具有重要作用。但是, 教具的使用也要得当, 要注意科学性和准确性。

对于那些由旧概念深化、发展而来的新概念, 不要将其直接教给学生, 一定要从理解上下功夫, 应精心选用引人入胜的方法。

例如, “数列极限”这个概念可这样设计:

师:0.9的循环和1是否都是有理数?

生:是。

师:哪个大?

生:1。

师:大多少?

生:……

师:看, 如果0.9取无限个循环0.99999……=3× (0.3333……) =3× (1/3) =1了!

这样再引入“数列极限”的概念, 因为0.9的循环是可以无限的, 用有限的方法无法找到它的准确值, 现在就可以自然、顺畅地引入这一新概念。

3. 形成概念

在教学中, 引入概念, 并使学生初步把握了概念的定义之后, 不等于形成了概念。要想让学生形成概念, 还必须在感性认识的基础上对概念做辨证分析, 用不同的方法揭示不同概念的本质属性。

(1) 反复练习, 巩固概念。

正面阐述概念的本质属性后, 应安排作巩固练习。

例如, 引入因式分解后, 可选择下列例题让学生回答:下列由左边到右边的变形, 哪些是因式分解?为什么?

(2) 通过变式深化理解概念。

例如, 钝角三角形的高, 我们要按照图 (1) 来建立概念, 然后再用其他的图形 (图2或3) 让学生练习, 否则以后三角形位置一变, 学生就找不到钝角三角形的高了。

(3) 用新旧概念的对比加快形成概念。

数学是一门系统的科学, 数学知识则是由概念和原理组成的体系, 每一个概念总要与其他概念发生联系, 只有学生领会了所学概念在整体中的位置后, 才能深刻理解。

(4) 继续引导分析学会运用概念。

数学概念的外延和内涵不是一成不变的, 它们在自身的发展中不断充实, 所以应将数学概念纳入到它自身的矛盾运动中去分析。

例如, “角”的概念开始局限于平面内, 且在180度内, 即:锐角, 钝角, 直角;以后发展到平角, 周角;又出现了任意角 (正角) ;规定了旋转方向后, 又有了正角、负角的概念;若在空间内, 又有了空间的两直线所成的角, 直线和平面所成的角, 平面与平面所成的角, 等等。

(5) 从角度透视消除概念混淆。

概念引入后, 还应从反面消除模糊认识, 严格区分易混淆概念。

例如, 讲“三线八角”后, 可设计一些稍复杂的图形提问 (如下图4) :

下列叙述是否正确?

∠1与∠2是同位角。

∠3与∠4是同位角。

∠5与∠6是内错角。

这样学生就能认准对象, 概念清晰。

4. 深化概念

根据学生认识规律, 不能指望一次成功, 在概念形成后, 还应采取措施加深理解。

首先, 抓住重点, 分散难点, 有计划地安排概念的形成与深化过程。

例如, 三角函数的概念, 就应先抓住正弦函数作为重点。又由于正弦函数概念涉及比的意义、角的大小、点的坐标、距离、相似三角形, 函数等概念和知识, 其中“比”是最本质的特征, 因此是正弦函数的重点, 但这个“比”的比值又是随角的大小的确定而确定的, 因而函数概念和距离是教学中的难点和关键, 考虑到要将难点分散, 可先给学生复习一下距离的有关概念, 然后紧扣函数这一基本线索, 引导学生去思考并解决:“为什么在角的终边上所取的是任意的, 而相应的比值却是确定的?”

其次, 把概念教学与定理, 公式, 以及解题融为一体, 使学生在应用中加深对概念的理解。

例如, 方程的“根”和函数的“零点”, 表面上看来都很容易掌握, 在教学中如果把两个概念与根的判别式, 函数的性质, 绝对值的性质概念等有关知识割裂开来, 学生就不能熟练应用。

已知y=ax2+bx+c的图像如图 (5) , 若|OA|=|OC|, 求a, b, c之间的关系。

有的同学可能得到错误结论:b+ac-1=0。

答对的同学可能有两种解法:

解法一:因为抛物线的开口向下, 则a<0

又顶点M在第一象限, 故-b/ (2a) >0

所以b>0

由已知可得 (b-) ÷2a=c

即4ac (b-ac-1) =0, ac≠0

所以b-ac-1=0

解法二:由|OA|=|OC|点C是抛物线与Y轴的交点

所以OC=-c, 即点A的坐标为 (-c, 0)

故图像与X轴交点的横坐标就是函数的零点

所以a (-c) 2+b (-c) +c=0

所以b-ac-1=0

比较两种解法, 后者显然是最佳的。

为了讲清楚数学中的基本概念, 教师对概念的两个特性一定要把握住:一个是概念具有确定性和灵活性;一个是概念具有的本质属性。

概念的确定性是说概念的内涵与外延要确定, 不能有含糊不清, 变化无常。但是应该注意, 所谓概念的确定性是相对的, 是在一定条件下的确定, 而不是永恒不变的。由于客观事物的不断发展, 人类认识事物的不断加深, 反映客观事物本质属性的概念也在不断地发展变化, 这就反映了概念的灵活性。

例如代数学, 在开始时是计算的科学, 进而是研究方程理论的科学, 现在则是研究结构的科学。又例如“指数”概念的发展, 由正整数到零指数, 负指数, 分指数, 无理指数, 由有限运算到无限运算。

概念的确定性与灵活性的关系一定要处理好, 教师在备课时, 如果只注意确定性, 将使概念僵化, 甚至会出现前后矛盾;如果只注意灵活性, 则否定了概念的内涵与外延的区别, 也不能反映事物的本质。学生在回答问题或做题时出现的错误, 往往是对一些数学概念的本质属性没有真正地把握。因此教师在备课时, 一定要突出概念的本质属性。

例如, 讲“相似多边形”, 就必须突出“对应角相等, 对应边成比例”这两个条件。两个条件只有一个成立时就不能判定相似性。

为了加深对一些数学的基本概念的认识, 在正面说明概念本质的属性后, 接着举出一些实例让学生来辨认, 是使学生对概念懂得透彻、记得牢固、用得灵活的重要方法。

例如, 讲了指数法则后, 接着问学生:a2·a3=a6, (3n) 2=6n2都对吗?讲了对数定义后, 接着问学生:log35, log24, log21/3, log13, log04都能称为对数吗?为什么?以错订正, 从正反两方面去认识数学概念, 对正确理解数学概念会起到极好的促进作用。

综上所述, 我们可以得出这样的结论:加深对概念的理解, 是提高解题能力的基础;反过来, 只有通过解题实践, 才能加深对概念的理解。所以, 概念与解题、基础和能力都不可以偏废, 而应相辅相成, 辩证统一于教学中。

摘要：本文总结了讲解数学概念的教学程序, 即认识概念、引进概念、形成概念、深化概念, 并结合具体的例子加以佐证。

近代对数教育历史之研究 篇6

一、清末对数教育情况

清末从同治元年( 1862)京师同文馆设立起,至辛亥革命( 1911) 推翻清政府止,数学教育近代化经历了近五十年的历程。 在此过程中,前期表现为数学课程普遍设置并进行了教学方法的改革,后期主要是学制的颁布与实施及教育行政机构的设立。 1867年,京师同文馆增设天算馆。 由于没有颁布相应的教学大纲或课程标准,但根据《 同文馆题名录》 所载课程( 1876) 及同文馆活字本《 算学课艺》 的内容可推断其课程包括代数学、平三角、弧三角等。 据《 同文馆算学课艺》( 1880)卷二中涉及对数题目1道。 第46题“ 瓜豆共生”,该题与《 九章算术》 中的“ 蒲莞共生”,“ 两鼠对穿”同类,但解法却不是应用盈不足术求解,而改用指数与对数求解[4]46。 此足可说明对数已成为京师同文馆的教学内容。

清末,教会学校盛行。 由传教士组织的“ 学校教科书委员会”编译了大量数学教科书,其中《 笔算数学》、《 代数备旨》、《 形学备旨》、 《 八线备旨》 、《 代形合参》 等书流传甚广,且编有细草,编者又不止一人。 《 八线备旨》四卷,原著美国罗密士,美国传教士潘慎文选译,谢洪赉校录,1894年出版, 美华书馆铅印本。 该书流传版本较多,以1898年益智书会石印本为例,其凡例称:原本更有论对数与航海法各一卷都为六卷,但对数已经别译,而航海又嫌过略,不足以备学者观览,姑且从删;原本后对数、八线、弦切对数等以便检查[5]1。 此书共四卷,含平三角、量法、测地、弧三角形,是当时的三角学课本,多次重印,影响极大。

清代末期是中西数学的融合时期,数学的发展表现出两个方向: 一是西方变量数学的传入和研究;二是中国传统数学的继续研究。 这种情形在诸多算学课艺中有所反映, 其内容中不仅有中国传统数学的天元术、勾股术,也有西方传入的几何、平面三角、球面三角、指数、 对数等。而对数部分内容教学分别散落于代数与三角教学中。即先从代数部分习得对数的相关概念及其运算法则,后由三角部分再习,主要是用于解三角形,以简化运算。 如《 平面三角法新教科书》所言,凡关于三角形问题之解决,而欲得其便捷之计算,莫若用对数[6]78。

三角学教科书方面,《 新撰平面三角法教科书》[7]33中第三编,对数之性质及用法。 介绍了对数定义,对数之性质,对数之指标之定义,对数之假数之定义,对数表之形,比例差,以对数算直角三形之法。《 平面三角法讲义》[8]86中第六编对数,第七编三角函数真数表及对数表。 虽采用了从左至右横排版,但其中的未知数x,y,z用甲、乙、 丙代替,字母A用呷代替,字母B用口字旁加乙字代替,字母C用口字旁加丙字代替。 正弦等三角函数名称用正弦、余弦、正切等代替。 如tan A用正切呷代替。 全书用手写版,读起来似为天书。 依此看来, 数学符号的现代化进程也不是一蹴而就的, 其间也有反复。 《 三角法教科书》[9]1全书七编。 第六编三角形之解法将正弦定理直接改为对数式,没有介绍对数的相关知识。 而在第七编之后专设“ 附录”重点介绍了对数、对数表用法,三角函数对数表用法,三角函数表用法。 附录之后是附表,给出了1- 2000之五位对数表,十分飛三角函数对数表,十分飛三角函数表。 代数教科书方面,《 中学校数学教科书———代数之部》该书上卷五编,下卷九篇共十四编。其中第十二编为对数。分两章,第一章为对数,第二章为复利算,年利算。书中原序提到:“ 要目列对数于最后然實有须使早学者故置于级数之后”。“ 学对数表之用法期间甚短若使学者另购对数表殊有未便乃附至5000之对数表于卷末而5000以上之对数表可依自500至1000之对数表求得之故使学其用法足矣”[10]1。

总之,清末时期的对数教育,主要是先从代数中讲授,继之以三角中讲授。 代数主要讲授对数、常用对数的定义,如何求一个数的对数,对数的运算法则,对数表的用法,用比例法求一个数的对数。 三角教科书在引入对数时主要基于以下理由:一是“ 凡数过大,演算时甚为困难,若用对数,则较为便利,用对数可实现加法代乘法,减法代除法,乘法代自乘,除法代开方”[11]98。 二是“ 以对数解三角,大可省实算之劳,故须省对数之性质”[12]38。“ 解三角之问题,便于计算,莫对数若。 对数之法,学者于代数学虽已知之。 然为应用计,兹再述其大略”[13]78。

二、民国对数教育情况

1912年,中华民国成立。 同年9月颁布《 中学校令》 规定中学校修业年限为四年。 12月公布《 中学校令施行规则》,规定数学宜授以算术、代数、几何及三角法,女子中学校可减去三角法。 1913年3月 《 中学校课程标准》 中规定第一至三学年习代数,第四学年习平面三角大要。 1922年颁布《 学校系统改革案》,规定中学校修业六年,分为初高两级,初级三年,高级三年。 1923年《 新学制课程标准纲要》 中规定,代数中习对数。三角中有边角互求,三角应用大意。《 高级中学第二组必修的三角课程纲要》 中里面有对数与对数造表法,航海术等。《 高级中学第二组必修的高中代数课程纲要》中规定要学习对数、对数方程式、对数级数。 此后的1929年亦要求初中三年级代数课学习对数,三角中使用对数。 高中仍如1923年。 1932年《 初级中学算学课程标准》中规定初中第三学年代数部分学习对数检查表及应用。将三角部分移至几可,并要求“ 三角之正式教授,宜移至高中,但三角应用极广,初中亦不可不知。故宜就实例入手,讲授三角函数定义,及三直角三角形解法,简易测量,余可从略”[14]231。 1932年《 高级中学算学课程标准》 规定第一学年三角部分习对数,测量及航海方面之应用题。 第二学年代数中习对数,特性和应用。 应用题,造表法略论,表之精确度。 1936年情形亦如上。

1941年颁布的《 修正初级中学数学课程标准》 由于要“ 适应抗战建国之需要”,教学时数有所减少,内容略有调整。 初中不再学习三角,代数也不再学习对数。 同年的《 修正高级中学数学课程标准》 第一学年三角中学习对数理论及应用、三角函数表及三角函数对数表用法。 第二学年代数中习对数。 同年9月,颁布《 六年制中学数学课程标准草案》,规定六年制中学,不分初高中,各科全部课程,均采直径一贯之编配,并选成绩优良学校试点。 教材大纲中第三学年代数要求学习对数之特性及其应用,对数表。 第五学年习解任意三角形,测量及航海方面之应用题。

通过梳理近代以来对数教学情况可以得出以下结论。

一是对数作为数学知识引入中国课堂, 主要是学习外国的结果。从京师大学堂到癸卯学制,主要是传教士和中国数学家的贡献。 这一时期,学习、研究的是西方传入的对数知识。 1904年后,主要是学习日本。日本通过明治维新,国力日盛,并在甲午战争中获得了胜利。 晚清政府和国人意识到了科学教育的重要。 大量的留学生赶赴日本,学成之后回国,或著书立说,或投身教育,使得作为“ 西学”的对数顺利进入中国课堂,并被大量学生学习。

二是对数运算知识主要在代数中学习,对数应用主要在三角中学习,并且初级中学和高级中学均有对数,直到1941年才全部移至高中,初中不再学习。翻阅大量的近代代数和三角教科书,我们会发现从对数的定义、性质到对数的使用,教科书的叙述和呈现方式基本相同,似有重复之感。 主要是近代的数学课程标准没有明确学习的程度,所以教学内容更多地依赖于教科书。 而教科书编写者秉承循环圆周法编辑教科书,宁可大而全也不肯少而精,主要是一本教科书往往要自成体系,同一知识多次出现在不同级别、不同种类教科书中也就可以理解了。

对数学教学方法的思考 篇7

一、根据学生的特点培养学生的数学学习兴趣

1. 抓住学生“好奇”的心理特征,创设最佳的学习环境,提高学生的学习兴趣。

在数学课上教师要善于利用新颖的教学方法,引起学生对新知识的好奇,诱发学生的求知欲,激发学生学习数学的兴趣。在教学的进行中,教师应根据教材的重点、难点和学生的实际,在知识的生长点、转折点设计有趣的提问,以创设最佳的情境,抓住学生的好奇心,激发学生的兴趣,提高课堂的教学效果。

2. 抓住学生“好胜”的特点,创设“成功”的情境,激发学生的学习兴趣。

学生对数学的学习兴趣是在每一次主动学习活动中形成和发展的。教师要善于掌握有利时机,利用学生的好胜心鼓动、诱导、点拨帮助学生获得成功,让学生从中获得喜悦和快乐,再从乐中引趣,从乐中悟理,更进一步增强学生学习数学的兴趣。浓厚的学习兴趣可以激发学生的学习积极性,促使学生勤奋学习,有效地发展学生的智力,从而使教学质量得到很大的提高。托尔斯泰说过:“成功的教学所需要的不是强制,而是激发学生的兴趣。”使学生在愉悦的气氛中学习,唤起学生强烈的求知欲望是教学成功的关键。

二、改革课堂教学结构,发挥学生的主体作用

长期以来,许多学校的课堂教学存在一个严重问题,即只注重教师与学生之间的“教”与“学”,而忽视了学生与学生之间的交流和学习,从而导致学生的自主学习空间萎缩,表现为:教师权威高于一切,对学生要求太严太死;课堂气氛紧张、沉闷,缺乏应有的活力;采用教师教多少、学生学多少,教师“主讲”、学生“主听”的单一教学模式。这违背了“教为主导、学为主体”的原则。久而久之,学生在学习上依赖性增强,缺乏独立思考问题和解决问题的能力,最终导致厌学情绪,致使学习效率普遍降低。因此,要充分发挥学生的主体作用,教师就必须做到:1.在课堂上多给学生留出一些让他们自主学习和讨论的空间,使他们有机会进行独立思考、相互讨论,并发表各自的意见。2.利用自身的主导作用,引导学生积极主动地参与教学过程。教学过程中数学教学的本质是数学思维活动的展开,数学课堂上学生的主要活动是通过动脑、动手、动口参与数学思维活动,教师的主导作用主要在于教学生去学,既要帮助学生学会,又要帮助学生会学;不仅要鼓励学生参与,而且要引导学生主动参与,这样才能使学生主体性得到充分的发挥和发展,进而不断提高数学教学效果。3.运用探究式教学。在教学中,教师要坚持学生是探究的主体,引导学生对知识的发生、形成、发展全过程进行探究活动,让学生学会发现问题、提出问题,并逐步培养他们分析问题、解决问题的能力,从而激起他们强烈的求知欲和创造欲,从思想上产生由“要我学”到“我要学”的转变,真正实现主动参与。

三、重视学生数学能力的培养

数学能力实际上是学生在数学学习活动中听、说、读、写、想等方面的能力,它们是数学课堂学习活动的前提和不可缺少的学习能力,也是提高数学课堂学习效率的保证。

在数学教学活动中,“听”就是学生听课,同时教师也要听学生对数学知识的理解和课后的感受,这就需要有“听”的技能。因此,教师要随时了解学生对数学课知识要点的理解及听课的效果,也可以向学生传授一些听课技能。例如:1.在听课过程中怎样保持注意力高度集中,思路与教师同步。2.怎样才能更好地领会教师的讲解。3.怎样学会归纳要点、重点。4.遇到不懂的地方怎么办。5.别的学生回答问题时,也要注意听,并积极参与讨论等。

“说”就是学生对所学的数学知识能够用自己的语言进行描述,对数学中的概念能够作出解释,与同学进行讨论,向教师提出问题,使得自己的见解和提出的问题易于被别人理解。

“读”就是学生的阅读能力,从某种层面上讲,也是为今后“说”的技能打基础。学生通过阅读课本和课外资料,既能丰富知识面,又能养成自学的习惯,从而增强学生学习过程中的独立性。

“写”就是学生将学到的知识具体运用到学习活动中去。它是学生学习知识、巩固知识的重要途径。如数学中的一些证明题,有很多学生都知道它的证明方法,知道其中考查的知识点,但总不能够很好地以“写”的形式将其证明过程展现出来。即使写了,各知识点之间的逻辑关系也较为混乱,推理过程也不够严密。这些都是教学中学生普遍存在的问题,从某一侧面也体现了培养学生“写”能力的重要性。“写”的能力直接影响他们对数学思想、数学方法和数学知识的理解和掌握,并决定着他们数学思维能力的发展。

“想”就是要发挥学生思维的“自由想象”。

四、培养学生的解题能力

如何培养学生的解题能力,是一个较复杂的问题。从理论上看,解题能力涉及逻辑学、心理学、教育学等学科的问题。从内容上看,解题能力包括对应用题、文字题、计算题等各类问题处理的能力。从学生解题的行为实际看,学生解题主要存在的问题是难以养成思维习惯,常常盲目解题,解题不求灵活简洁,错误百出。心理学认为:智力的核心是思维能力。从素质教育的观点来看,发展思维、提高智力,是提高素质的重要内容。要提高学生的解题能力,教师首先要提高学生的智力,发展他们的思维。语言和思维密切相关,语言是思维的外壳,也是思维的工具。在教学实践中,不少教师只强调“怎样解题”,而忽视了“如何说题(说题意、说思路、说解法、说检验等)”,这看似是重视解题,实则忽略了解题能力的培养。由于缺少对解题的思维习惯、思维品质的培养,学生的解题能力只囿于题海战术、死记硬背的机械记忆中,这与当前的素质教育格格不入。