期望损失模型

期望损失模型（精选3篇）

期望损失模型 篇1

引 言

进入21世纪以来, 以生产和产品为中心的管理模式已经不适应现代市场竞争的需要, 取而代之的是以顾客需求为中心的响应式供应链管理。供应链管理者对准时制、精益供应链、模块化以及敏捷制造等的追求在改善供应链绩效的同时增加了供应链系统的脆弱性。众多内外因素的共同作用使供应链面临着各种类型风险的考验, 其中违约风险是供应链风险中最重要的一种。其包含信贷违约和供货违约两个主要部分:供货违约是指供应商不能按照合约的要求按时、按质、按量的提供所承诺的货物或服务, 它产生于供应链中某一契约的双方, 但具有独特的放大效应, 不只影响到当前供货商和制造商, 而且会扰乱整个供应链的运行计划, 提高所有节点企业的运行成本, 从而造成整个供应链的竞争力下降和客户丢失。因而如何准确预测供应链供货违约发生的可能性和严重等级, 并且采取行之有效的预防措施是供应链风险管理的一个重要课题。

当前关于供应链运行过程中的违约风险的研究主要集中于中断风险, 并且绝大多数都属于宏观的、定性研究。如文献[4]定性分析了供应链管理及如何面对恐怖主义的影响;文献[5]提出由第三方管理机构构建具有柔性和稳健性的“准事制”供应链, 以抵御供应链中断风险;文献[6]提出了解决供应链脆弱问题的“3P”管理原则;文献[3]则从内外两个方面描述了中断违约形成的原因, 并用满意度模型分析了该风险对供应链绩效带来的影响。可以看出, 现有的文献缺乏定量研究。本文认为, 中断仅仅是供货违约的一个特例, 供应商供货过程只要发生延迟就会给企业带来损失, 并且这种损失可以分为若干级别, 针对不同的级别, 企业应采取不同的应对措施。因而, 若能定量识别出每次供货违约的级别将对供应链企业有效的抵御风险有着更为现实的意义。

1 供应链供货违约指标体系的构建

要对供应链供货违约进行定量识别, 首先必须分析影响供货违约的各种因素, 建立一套合理的指标体系作为识别自变量。指标体系既要能全面合理反映供应链供货违约的成因, 又要考虑可得性和可度量性。本文认为影响供货违约的因素可以从供应商自身因素、客户需求因素、双方信息协同因素以及供货渠道中发生意外的因素这4个方面。由此, 建立起包含4个一级指标, 13个二级指标的供应链供货违约指标体系, 如表1所示:

1.1 供应商自身因素

供应商自身属性是影响供货违约的最主要因素。可用财务状况, 生产能力, 存货状况以及信用状况4个方面来衡量。财务状况中资产负债率I1反映了企业的整体财务状况的综合性指标;总资产周转率I2体现了企业的经营规模和盈利能力, 是考察供应商资产运营效率的重要指标。这两项指标均可从供应商的财务报表中获得。充足的生产能力是企业持续供货的保证, 考虑到指标的可得性, 本文选取正常设备数量I3和生产工人数量I4来表示。存货周转率I5和平均存货水平I6是衡量供应商库存控制能力重要指标, 均可以从企业库存系统报表中获得。在供应链设计过程中, 供货商的信用水平I7通常是企业选择合作伙伴的首要因素, 在本文中主要指供货商及时供货的信用程度, 用在一段时间内该供应商及时保质保量供货的次数和总供货次数的比例来表示。

1.2 需求因素

在市场响应式供应链环境下, 企业目标的实现最终取决于其产品市场价值的实现, 而市场价值来源于客户的需求。因而需求因素也是影响供货违约的重要因素。一方面, 如果总需求太大超出了供应商的供应能力肯定会导致违约, 另一方面如果需求过小不能充分实现供货商的价值, 则会打击其积极性而引起违约。因此本文选取相对生产能力的需求总量I8作为一个重要指标, 该指标可以从采购合同中获得。另外, 由于供应链面对的市场是错综复杂的, 导致很多时候需求是不确定的, 企业下订单后, 一旦出现不可预料的不利因素就可能导致市场出现逆转, 销售下滑, 货物积压, 资金短缺, 企业间的正常交付就会受到影响。本文用合同修改产品数量占总合同数量的比例表示需求的不确定性I9。

1.3 双方信息集成程度

供应商和制造商之间的信息流是否通畅一直以来是供应链管理的瓶颈, 若双方能完全实现信息集成, 则供应商对复杂的终端需求变化能快速的响应, 制造商也能够对整个供货过程进行实时监督, 从而有效减少供货违约的发生。本文用单位利润信息沟通成本I10和双方信息系统共享模块数量I11来表示双方信息集成程度。其中单位利润信息沟通为上一年双方用于信息沟通的电话费、传真费、邮件费、信息系统维修维护费等的综合除以双方间业务来往实现的利润。该指标越大说明双方信息集成程度越弱。而双方信息系统共享模块的数量与信息集成程度呈正相关。

1.4 供货渠道中的意外因素

近年来, 随着全球采购的发展, 越来越多的公司认识到供货违约风险存在于供货渠道中。影响供货渠道的意外因素很多, 比如自然灾害 (地震、火山爆发、火灾等等) , 恐怖袭击、交通拥挤状况、配送中心工人怠工以及贸易制裁等。要准确预测这些意外情况的发生是不可能的, 但显然随着供应链节点数量I12和运输距离I13的增加, 这些意外发生的概率也越大。在文中, 供应链节点是指供应链各种路线、道路、联系的结合部, 包括如港口、车站、机场、仓库、配送中心等, 这些节点中即使发生微小的拥挤事件也将导致供货时间的严重延迟甚至中断。而为了便于数据收集, 运输距离即指供货商供货地到收货地的直线距离。

2 供应链供货违约等级分析

本文认为, 供货违约的严重程度可以时间、数量、质量3个维度进行衡量。据此, 把供货违约分为1、2、3、4四个等级, 分别表示供应中断, 严重违约、一般违约和不违约, 具体特征描述如表2所示:

对于制造企业来讲, 发生不同的供货违约情况将采用不同的处理措施。若不违约可以进行正常生产, 并对终端客户进行服务承诺。如发生一般违约可以通过闲置一定的生产能力以保持适度的柔性;若发生严重违约则需要重新调整生产计划, 通过CRM系统及时与终端客户沟通以减少损失;而发生供货中断则需要考虑重新寻找供货商签订采购合约, 并考虑重新设计供应链。

3 本文研究模型介绍

由于供应链供货违约指标体系中各因素对最后违约类别的影响都是非线性的, 并且各因素的权重也有差异, 故很难建立起一套精确的数学模型。基于此, 本文把广泛应用于自动化领域的模式识别技术引入供应链供货违约的判别中。模式识别以统计决策理论中的贝叶斯概率论为主要理论基础, 可以对表征事物或现象的各种形式的历史信息进行统计分析, 从而对某一具体事物进行正确的归类。本文研究模型可分为以下几个步骤。

3.1 数据预处理和主成分分析

本文所选取的指标体系中某些指标之间存在着明显的相关性, 如供应链节点数和运输距离, 整厂设备数量和生产工人数量等。为消除指标相关性给识别过程带来的干扰, 简化识别过程, 本文先用z-score变换进行无纲量化处理, 然后采用主成分分析法在保留原始数据大部分信息的基础上降低指标维数, 并消除新指标之间的相关性。

设原始数据矩阵为:

$\text{X}=\left[\begin{array}{cccc}\text{x}{}_{11}& \text{x}{}_{12}& \cdots & \text{x}{}_{1\text{p}}\\ \text{x}{}_{21}& \text{x}{}_{22}& \cdots & \text{x}{}_{2\text{p}}\\ \cdots & & & \\ \text{x}{}_{\text{n}1}& \text{x}{}_{\text{n}2}& \cdots & \text{x}{}_{\text{n}\text{p}}\end{array}\right]$

其协方差矩阵为P, 其特征根从大到小为λ1, λ2, …, λp, 对应的特征向量分别为a1, a2, …, ap, 则可以证明第k个主成分yk的表达式为:

yk=ak1x1+ak1x2+……+akpxp (1)

该主成分的方差贡献率为:

$\text{α}(\text{k})=\text{λ}{}_{\text{k}}/{\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{p}}\text{λ}}{}_{\text{i}}(2)$

本文采用平均数法选择主成分。设$\overline{\text{λ}}=\frac{1}{\text{p}}{\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{p}}\text{λ}}{}_{\text{i}}$, 则若满足λk>$\overline{\text{λ}}$, 则把主成分yk选入新的指标体系。由于原始数据经过了标准化处理, 故有$\overline{\text{λ}}=1$, 因而新指标体系中的指标为特征根大于1的所有主成分。

3.2 多维正态贝叶斯分类模型

用模式识别方法进行分类的基本思想是根据某种类别的先验概率以及分类样本在该类别中的条件概率来计算出该样本属于该类别后验概率, 根据最小错误原则进行分类决策的方法。由于多元正态分布物理上具有普遍的适用性且数学上实现比较方便, 因而本文把多维正态贝叶斯分类模型作为供货违约分类的基本模型。

设X= (x1, x2, …, xk) T为主成分分析生成的k维指标向量, W=[ω1?ω2?…?ωp]为类别空间, 则X属于类别ωi的条件概率联合正态分布的函数形式为:

$\text{Ρ}(\text{X}/\text{ω}{}_{\text{i}})=\frac{1}{2\text{π}{}^{\text{n}/2}\left|\text{Σ}{}_{\text{i}}^{1/2}\right|}\exp$$-\frac{1}{2}(\text{X}-\text{μ}{}_{\text{i}})\text{Σ}{}_{\text{i}}^{-1}(\text{X}-\text{μ}{}_{\text{i}}){}^{\text{Τ}}$ (3)

其中, μ (μ1, μ2, …, μk) T是ωi类中所有k维样本向量的均值向量。Σi是不同指标向量之间的协方差矩阵, 即

由主成分的特性可知:

故:。

供应链违约属于多类问题, 某类的先验概率可定义为该类样本出现的频率, 即:

$\text{Ρ}(\text{ω}{}_{\text{i}})=\frac{\text{Ν}{}^{\text{i}}}{{\displaystyle \sum _{\text{m}=1}^{\text{p}}\text{Ν}}{}^{\text{m}}}$, 其中Nm分别为各类的样本数。

由前论述可知未知样本属于某类的后验概率计算如下:

$\begin{array}{l}\text{Ρ}(\text{x}/\text{ω}{}_{\text{i}})\text{Ρ}(\text{ω}{}_{\text{i}})=\left(\frac{1}{2\text{π}{}^{\text{n}/2}|\text{Σ}|{}^{1/2}}\exp \left(-\frac{1}{2}(\text{X}-\text{μ}{}_{\text{i}})\text{Σ}{}^{-1}(\text{X}-\text{μ}{}_{\text{i}}){}^{\text{Τ}}\right)\right)\text{Ρ}(\text{ω}{}_{\text{i}})\\ =\exp \left(\ln \left(\frac{1}{2\text{π}{}^{\text{n}/2}|\text{Σ}|{}^{1/2}}\exp \left(-\frac{1}{2}(\text{x}-\text{μ}{}_{\text{i}})\text{Σ}{}^{-1}(\text{x}-\text{μ}{}_{\text{i}}){}^{\text{Τ}}\right)\right)\text{Ρ}(\text{ω}{}_{\text{i}})\right)\\ =\exp \left(-\frac{1}{2}(\text{X}-\text{μ}{}_{\text{i}})\text{Σ}{}^{-1}(\text{X}-\text{μ}{}_{\text{i}}){}^{\text{Τ}}-\frac{1}{2}\ln |\text{Σ}|-\frac{\text{n}}{2}\ln (2\text{π})+\ln \frac{\text{Ν}{}^{\text{i}}}{{\displaystyle \sum _{\text{m}=1}^{\text{p}}\text{Ν}}{}^{\text{m}}}\right)\\ =\exp \left(-\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{\text{j}=1}^{\text{k}}\frac{(\text{x}{}_{\text{j}}-\text{μ}{}_{\text{i}\text{j}}){}^2}{\text{λ}{}_{\text{j}}}}+\ln \frac{\text{Ν}{}^{\text{i}}}{{\displaystyle \sum _{\text{m}=1}^{\text{p}}\text{Ν}}{}^{\text{m}}}+\text{C}\right)(5)\end{array}$

由贝叶斯定理可得,

$\text{Ρ}(\text{ω}{}_{\text{i}}/\text{X})=\frac{\text{Ρ}(\text{X}/\text{ω}{}_{\text{i}})\text{Ρ}(\text{ω}{}_{\text{i}})}{{\displaystyle \sum _{\text{p}=1}^{\text{m}}\text{Ρ}}(\text{X}/\text{ω}{}_{\text{p}})\text{Ρ}(\text{ω}{}_{\text{p}})}\propto \text{Ρ}(\text{X}/\text{ω}{}_{\text{i}})\text{Ρ}(\text{ω}{}_{\text{i}})\propto \frac{\text{Ν}{}^{\text{i}}}{{\displaystyle \sum _{\text{m}=1}^{\text{p}}\text{Ν}}{}^{\text{m}}}\cdot \exp \left(-\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{\text{j}=1}^{\text{k}}\frac{(\text{x}{}_{\text{j}}-\text{μ}{}_{\text{i}\text{j}}){}^2}{\text{λ}{}_{\text{j}}}}\right)(6)$

其中, P (ωi/X) 即为某未知样本属于ωi类的后验概率, μij为ωi类中第j个指标的均值。把未知样本X识别为后验概率最大的类可以使错分的可能性最小。

3.3 基于最小期望损失的识别决策

按正态分布贝叶斯模型计算出来的后验概率进行决策可以使错误的可能性达到最小。但是在供应链供货违约识别过程中, 如何控制风险比错判更为重要, 风险是和损失联系在一起的。虽然按某次供货各项指标计算出该次供货不违约、一般违约、严重违约、中断的可能性分别为80%, 10%, 9%, 1%, 由于把本来将中断供货错判为不违约产生的损失是把不违约错判为中断的100倍, 基于最小风险考虑, 我们还是把此次供货判为中断。

为了使错判产生的损失最小, 首先需要构建合理的损失矩阵, 形式如下:

其中lij表示真实类别为ωj而采取的决策为ωi所产生的损失。如l41表示本来应该是中断供货而错判为不违约所产生的损失。本文认为, 损失矩阵的构造应该满足以下几条原则:

(1) lii=0。即决策类别与实际类别相符, 则不会产生损失。

(2) 若i<j, 则必有lij<lji。即把低违约类别判为高违约类别产生的损失要小于把高违约类别判为低违约类别产生的损失。这是因为若发生后者, 则对于企业来讲意味着整个生产计划的打乱, 可能引起失信于终端客户, 整条供应链绩效下降等后果, 需要采取一系列成本很高的紧急措施才能弥补;而发生前者所产生的损失仅仅是这些紧急措施的沉没成本。

(3) 若i1<j1, i2<j2, 且i1-j1<i2-j2, 则必有li1j1<li2j2。即决策类别与实际类别之间的差距越大, 则产生的损失也越大。

在引入损失矩阵的概念后, 在决策时应该考虑所采取的决策是否使损失最小。对于给定的X, 若决策时把其判别为ωi, 由于真实情况可能是m=1, 2, …, p类种的任何一种, 故期望损失R (αi/X) 为:

$\text{R}(\text{α}{}_{\text{i}}/\text{X})=l{}_{1\text{i}}\text{Ρ}(\text{ω}{}_1/\text{X})+l{}_{2\text{i}}\text{Ρ}(\text{ω}{}_2/\text{X})+\cdots +l{}_{\text{p}\text{i}}\text{Ρ}(\text{ω}{}_{\text{p}}/\text{X})={\displaystyle \sum _{\text{m}=1}^{\text{p}}l}{}_{\text{m}\text{i}}\text{Ρ}(\text{ω}{}_{\text{m}}/\text{X})(8)$

所有识别决策的期望风险写成以下矩阵形式:

$\begin{array}{l}\text{R}(\text{X})=\text{L}{}^{\text{Τ}}\text{Ρ}=\left[\begin{array}{cccc}l{}_{11}& l{}_{21}& \cdots & l{}_{\text{p}1}\\ l{}_{12}& l{}_{22}& \cdots & l{}_{\text{p}2}\\ \cdots & & & \\ l{}_{1\text{p}}& l{}_{2\text{p}}& \cdots & l{}_{\text{p}\text{p}}\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}\text{Ρ}(\text{ω}{}_1/\text{X})\\ \text{Ρ}(\text{ω}{}_2/\text{X})\\ \cdots \\ \text{Ρ}(\text{ω}{}_{\text{p}}/\text{X})\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{c}\text{R}(\text{α}{}_1/\text{X})\\ \text{R}(\text{α}{}_2/\text{X})\\ \cdots \\ \text{R}(\text{α}{}_{\text{p}}/\text{X})\end{array}\right](9)\end{array}$

显然, 根据最小风险原则, 最后做出的识别决策应为:

$\text{R}(\text{α}{}_{\text{k}}/\text{X})=\underset{\text{i}=1‚\cdots ‚\text{p}}{{\displaystyle \min }}\text{R}(\text{α}{}_{\text{i}}/\text{X})$ (10)

4 实例研究

4.1 数据的获取和标准化处理

本文选取苏南地区某市某家著名中型棉纺织企业为研究对象。本人曾在该企业进行了近3年ERP项目的实施。为方便研究, 选取了该企业3年中25条具有代表性原纱采购合同的执行情况作为统计历史数据。其中, I8～I13六个指标数据直接来源于供应链系统中的重要报表“采购合同执行情况明细表”, I1、I2、I5、I6四个指标数据来源于合同供应商合同执行当月的财务报表, I3和I4来源于对供应商企业的实地调研, I7来源于对“采购合同执行情况明细表”中违约数据的统计。限于篇幅, 原始数据省略。

现有一新供货合约, 采得各指标数据构成的待识别样本为X=[0.63 0.73 20 230 6.2 116 0.76 75 0.06 52 4 7 155], 对该供货合约将会属于哪种违约等级进行识别。

对所有数据用公式 (1) 进行标准化处理, 消除指标纲量和数量级的影响。各指标的均值、标准差以及标准化后的数据如表3所示 (按违约等级从小到大排序) :

把待识别样本也用zcore变换进行标准化处理。处理后的识别样本为:

X′=[0.180 0.637 0.097 0.024 0.194 -1.516 -0.395 -0.840 -0.259 -0.950 -0.787 0.860 0.537]

4.2 主成分分析

对标准化后的数据求出相关系数矩阵, 再用雅科比方法计算R的特征根及特征向量, 其特征根及特征向量如表4 (按特征根从大到小排列) :

由3.2所述, 根据λk>1的原则选取主成分。可知本文共选取4个主成分。其中Y1的构成中各指标系数绝对值相差不大, 表示该指标可以理解为供货违约综合指标;Y2构成中I10′和I11′的系数要明显大于其它指标, 且对供货违约起着相反的作用, 故可以理解为信息集成程度指标;Y3构成中I8′和I9′前的系数明显大于其它指标, 可以理解为需求指标;Y4构成中I12′和I3′前的系数明显大于其它指标, 应为供货渠道意外因素指标。

由主成分分析表可以计算出待识别样本的各主成分:

y1′=-0.467

同理可求出:y2′=0.381, y3′=-0.976, y4′=-0.575

故主成分分析降维后的待识别样本为:

Y′=[-0.467 0.381 -0.976 -0.575]

4.3 计算识别样本属于各违约级别的后验概率

由公式 (7) 可知, 未知样本属于各类别的后验概率与先验概率以及该样本到各类中心的距离有关, 故必须先对各类别中心做主成分分析。

(1) 由表1数据可先求出各类中心标准化后的数据:

μ4=[-0.725 0.747 0.756 0.773 0.837 -0.886 0.806 0.107 -0.496 -0.305 0.235 -0.588 -0.709]

μ3=[-0.050 0.104 0.047 0.012 -0.032 0.303 -0.303 -0.381 -0.318 -0.487 0.417 0.177 0.461]

μ2=[1.143 -0.673 -1.113 -1.060 -1.072 1.081 -0.728 0.793 1.593 0.631 -0.787 0.462 0.468]

μ1=[1.251 -2.085 -1.401 -1.449 -1.565 1.100 -1.912 -0.560 0.437 1.415 -0.787 1.126 0.899]

(2) 对各类中心数据用主成分分析降低维数:

μ4′=μ4* (a1, a2, a3, a4) T=[-2.341 0.232 0.225 0.155]

μ3′=μ3* (a1, a2, a3, a4) T=[-0.067 -0.616 -0.569 0.400]

μ2′=μ2* (a1, a2, a3, a4) T=[3.150 0.375 1∝117 -0.021]

μ1′=μ1* (a1, a2, a3, a4) T=[4.541 0.088 -0.986 0.393]

(3) 计算各等级后验概率

由表1可知:N4 =11, N3=7, N2=4, N1=3

故由公式 (7) 可得:

$\text{Ρ}(\text{ω}{}_4/{\text{Y}}^{\prime })\propto \frac{\text{Ν}{}^4}{{\displaystyle \sum _{\text{m}=1}^4\text{Ν}}{}^{\text{m}}}\cdot \exp \left(-\frac{1}{2}{\displaystyle \sum _{\text{j}=1}^4\frac{(\text{y}{}_{\text{j}}-\text{μ}{}_{4\text{j}}){}^2}{\text{λ}{}_{\text{j}}}}\right)=0.1520$

同理, 计算出P (ω3/Y′) ∝0.1878, P (ω2/Y′) ∝0.0103, P (ω1/Y′) ∝0.0151

归一化后得到:P (ω4/Y′) =0.4162, P (ω3/Y′) =0.5142, P (ω2/Y′) =0.0283, P (ω1/Y′) =0.0412

4.4 计算各类决策损失并做出决策

首先根据3.4节所述原则构建损失矩阵如下:

$\text{L}=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1.5& 3\\ 4& 0& 1.2& 2\\ 7& 3.5& 0& 1.6\\ 10& 4.5& 2.5& 0\end{array}\right]$

然后由公式 (10) 计算出各种识别决策的期望损失:

$\begin{array}{l}\text{R}({\text{Y}}^{\prime })=\text{L}{}^{\text{Τ}}\text{Ρ}=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1.5& 3\\ 4& 0& 1.2& 2\\ 7& 3.5& 0& 1.6\\ 10& 4.5& 2.5& 0\end{array}\right]\times \left[\begin{array}{c}0.0412\\ 0.0283\\ 0.5142\\ 0.4162\end{array}\right]\\ =\left[\begin{array}{c}0.6804\\ 1.7813\\ 4.7793\\ 6.5470\end{array}\right]\end{array}$

最后, 根据原则 (11) 判断该样本的违约级别为ω1, 即该次供货合约将发生中断。

由以上分析过程可以看出, 若仅仅考虑最小化识别错误, 我们应该把本次供货的违约级别判为ω3, 因为该类的后验概率最大为5.142%, 而发生供货中断的可能性仅有4.12%。但由于一旦发生供货中断产生的损失将比其他违约类别的损失大得多, 因而我们宁可把它当作中断来处理, 及早布置好周密的防范措施把这种损失降到最低。可见, 在本次识别过程中“损失”起到了主导作用。

5 结 论

本文把基于最小风险的模式识别技术引入供应链供货违约级别的识别, 定量的解决了供应链供货违约损失的度量和识别问题, 具有较强的理论意义。在数据处理工程中采用主成分分析降低了指标维度, 大大简化了计算过程, 并且在识别过程中考虑了错判率和错判损失两个关键因素, 使得结果具有较强的可靠性。供应链中各节点企业可以根据该模型对某一具体合约的执行结果作出预测, 预先制定相应的防范策略。

由于损失矩阵对决策结果将产生非常重要的结果, 因而如何构造合理的损失矩阵显得尤为关键。虽然文中提出了一些构建原则, 但仍然具有很大的主观性。因而下一阶段的工作重点是如何定量的进行损失矩阵的构造, 使结果更具客观性。

参考文献

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[2].王传民, 彭志忠.供应链环境下的供应商评价应用研究[J].生产力研究, 2009, 16:164-166

[3].杜京义, 等.基于最小风险的SVM及其在故障诊断中的应用[J].振动、测试与诊断, 2006, 6 (26) :108-111

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[6].马士华, 林勇.供应链管理 (第2版) [M].北京:机械工业出版社, 2005:107-138

[7].谢忠秋.营销系统工程[M].北京:科学出版社, 2006

[8].杨淑莹.模式识别与智能计算:Matlab实现[M].北京:电子工业出版社, 2008

期望损失模型 篇2

滑坡灾害破坏损失综合评价模型及应用

滑坡灾害破坏损失评估是滑坡灾害风险评价的`重要研究内容,但目前滑坡灾害破坏损失评价指标体系与模型还不够完善,为此提出了滑坡灾害破坏损失综合评价方法.该方法通过系统分析,建立了滑坡灾害破坏损失综合评价指标体系,在此基础上,运用模糊数学理论,建立了滑坡灾害破坏损失综合评价模型,并通过实例详细分析了滑坡灾害破坏损失综合评价方法的应用.

作 者：谢全敏 李道明 陈立文 丁保艳 XIE Quan-min LI Dao-ming CHEN Li-wen DING Bao-yan 作者单位：武汉理工大学土木工程与建筑学院,武汉,430070刊 名：武汉理工大学学报 ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF WUHAN UNIVERSITY OF TECHNOLOGY年，卷(期)：28(11)分类号：P208关键词：滑坡灾害 损失评估 综合评价模型

基于数学期望的决策模型 篇3

关键词：随机变量,数学期望,决策模型

一、数学期望的基本知识

定义1 (离散型随机变量的数学期) :设离散型随机变量的分布律为

若级数

定理:若随机变量X的分布用分布列P (Xi) 或用密度函数P (X) 表示, 则X的某一函数g (X) 的数学期望为:

定义3 (方差和标准差) :若随机变量X2的数学期望E (X2) 存在, 则称偏差平方 (X-E (X) ) 2的数学期望E[X-E (X) ]2为随机变量 (或相应分布) 的方差, 记为:

二、以数学期望为基础建立的各种决策模型

1. 最优存储决策

已知一商家在一展销活动期间供应一种商品, 正常进价50元/件, 售价56元/件, 若销售势头良好, 很快销售一空, 需紧急从其他渠道调货, 调货价格52元/件, 若货物供应量过大, 活动结束后造成货物积压, 每件需在现有价格上降价10元出售。已知该商品的需求量X服从[2000-6000]上的均匀分布, 商家应该准备多少货源才能获得最佳收益?

因为需求量X服从[2000-6000]上的均匀分布, 故需求量X的概率密度函数为

不妨设存储量为y, 则2000≤y≤6000

储量为y时利润为

期望利润为

取近似值y≈2700 (件)

即储存量大约是2700件时, 期望利润最大且最大期望利润为

从上述的计算可知由于一旦造成商品积压, 将有损失, 所以不是进货越多利润越大。

2. 商业营销决策

作为一种营销策略, 厂家经常推出一些有奖销售活动, 以扩大销售量, 现有一儿童食品生产厂家欲采用将印有各种图案的小卡片作为赠券放入每一包装袋中, 集齐一套有奖作为促销模式。这里假设每套张且装有各种不同类型的卡片的袋子出厂时是均匀混合的。为了使该方案可行, 厂家事先必须推算出顾客搜集齐这些卡片的难易程度, 即平均需买多少袋能集齐, 然后才能决定设置的奖项应该多大。

实际上, 该问题与下列问题同属一个模型, 即:

有一个盒子装有标号为1-n的n张不同卡片, 每次独立的从盒子中取一张, 看后放回, 并记录取出卡片的标号, 问题是平均需抽多少次才能抽齐这张不同的卡片。

引入随机变量Xk (k=1, 2, 3, …, i…) :表示已经取得k-1张不同花色的卡片后为获得第k张卡片所需的抽检次数, 若设每次抽取成功率为Pk, 则易得Xk服从参数为Pk的几何分布, 且相互独立。

下求E (Xk) (k=1, 2, 3, …, i…)

只需先求Xk的分布列

设A={收集到第k张卡片}则

所以Xk的分布列为:P (Xk=i) = (1-Pk) i-1Pk (i=1, 2, ……)

即取得第k张型卡片所需的平均抽取次数为

故取到n张不同卡片的平均次数

建立了数学模型后我们可知

当n=10时E (X) =10In10=23.03≈23

当n=15时E (X) =15In15=40.62≈41

当n=20时E (X) =20In20=59.91≈60

当n=30时E (X) =30In30=102

当n=50时E (X) =50In50=195.6≈196

当n=100时E (X) =100In100=460.51≈461

当n=200时E (X) =200In200=1059.67≈1060

由此可知, 期望次数随着n的增大而快速增加, 即使厂家没有故意让某些卡片少一些。但只要n足够大, 要收集到整套的卡片还是相当困难的。比如, 厂家若设置水浒108将作为一整套卡片, 为集齐该套卡片顾客需平均购买大约

食品。依据该数学模型的计算结果厂家制定营销计划, 对后期的营销成果做到心中有数。

3. 经济方案决策

在商业活动中偷税漏税可非法获益, 造成国家财政损失。国家为了防止税收流失, 通常对偷税者除补交税款外还要处以偷税额n倍的罚款。统计发现, 偷漏税者被查出的概率为0.2。这时罚款额度n至少多大才能起到惩罚作用, 让我们为决策者提供决策依据。

引入随机变量X, X表示偷税时商家的收益数, x为假设偷税额, 则X的数学期望为

要使处罚行之有效, 必须使逃税者无利可图, 即平均收益E (X) <0

由上式知3-n<0

也就是说一旦查出有偷税行为, 执法者至少要对偷税者处以3倍以上的罚款, 才能起到防止偷税漏税现象发生的作用。

4. 项目投资决策

现有一企业拟投资两个项目, 分别生产甲产品与乙产品, 其收益与市场状态相关。若把该项目生产的产品未来市场销售形势列为好、中、差3个等级, 根据市场调查研究发现其发生概率均分别为0.3、0.5、0.2, 但相应收益不同。详见下表:

根据这些信息该企业投资哪一个项目好呢?

我们先考虑一下平均收益, 即其数学期望值:

从平均收益上看, 生产甲产品比生产乙产品要多赢利15万元。

我们知道方差、标准差越大, 收益的波动就越大, 从而风险越大。因此, 在已知该项目的数学期望后还应考察其方差、标准差这些指标才能进行进一步的评估。

从方差标准差来看, 生产乙产品减少风险约32%, 但收入相应减少15万。

这类问题是根据期望利润最大的原则进行决策, 是建立在风险中性的基础上, 也是风险决策的前提。如果有两个方案都能使期望收益达到最大, 那么就应该比较收益的方差 (风险) , 风险较小较优。所以, 在风险投资决策中, 应综合考虑收益的期望和方差, 将超额收益 (超过无风险收益的部分) 作为承担风险的补偿。选择最优方案才是最合理的, 这是我们为决策者提供的决策理论依据。

参考文献

[1]张少华.数学期望在农业生产中的应用[J].安徽农业科学, 2011 (8) .

[2]黄旭玲.利用随机变量的和式分解计算数学期望[J].玉林师范学院学报 (自然科学) , 2003 (4) .

[3]盛骤, 等.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社, 2001, 12.