损失函数（精选4篇）
损失函数 篇1
火灾的危害程度是一个复杂系统,它具有多因素,多层次、多目标的特点。而且,火灾的发生具有不确定性、突发性、模糊性[1]。火灾损失与多种因素密切相关,包括发生起数、死亡人数、受伤人数。对于火灾的研究可以从发展趋势和规律性两个方面展开,为火灾的防护和社会发展提供帮助,具有重大意义。
1 模型的建立和求解
1.1 相关性分析
从宏观上来看,影响火灾直接财产损失的因素有很多,比如:火灾发生起数x1(起),死亡人数x2(人),受伤人数x3(人),火灾发生率x4(起数/十万人),火灾死亡率x5(死亡人数/百万人口),火灾伤人率x6(受伤人数/百万人口),次均损失x7(直接损失/火灾起数),人均损失x8(直接损失/人口),火灾损失率x9(直接损失万元/十万元国内生产总值)都是重要的因素[2]。为了能更准确的寻找出影响直接财产损失y的主要因素,利用相关分析筛选9个因素对财产损失的重要程度。
选取1987—2007年的数据,运用MATLAB软件对上述因素进行相关分析,得到9个因素和直接财产损失之间的相关系数。
取相关系数临界值为0.6,得到与直接财产损失相关关系显著的有:火灾发生起数(起),火灾发生率(起数/十万人),人均损失(直接损失/人口),火灾损失率(直接损失万元/十万元国内生产总值)。
1.2 生产函数模型的建立
利用对数运算法则对上式进行变换,将其转化成线性回归模型,在此把它称为对数线性回归模型。
用建立的生产函数对1987—2007年的直接财产损失进行预测和误差分析(见表1)。
得到平均相对误差为0.057,模型成立。
为了得到2009年和2010年的直接财产损失,我们先用灰色模型预测2009和2010年的火灾发生起数(起),火灾发生率(起数/十万人),人均损失(直接损失/人口)。
1.3 GM(1∶1)模型的原理
GM(1∶1)模型对原始因素按照时间序列进行整理,然后利用一阶微分方程进行拟合,将得到的拟合微分方程作为模型,继而对结果进行预测。
对原始数据x(0)(t)按照时间序列进行排序,假设个数为n:
将x(0)(t)累加,得到对应的向量序列:
n经过拉普拉斯变换和逆变换,GM(1∶1)将模型进行转化,得到如下形式:
1.4 GM(1∶1)模型计算
根据1987—2008年,进行灰色预测得到:(见表2)。
2 结语
该文提出了广义对数生产函数预测火灾事故直接损失的方法,提高了整个预测方法的学习能力和表达能力,为火灾事故预测开辟新的途径,取得了较好的结果。
参考文献
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[3]雷勇.柯布-道格拉斯生产函数条件下寡头竞争之策略分析[J].西南民族大学学报,2001(3):313-316.
相对差损失函数下的保费估计 篇2
大多数保费原理都具有正的安全负荷,常见的保费原理有期望值原理、指数保费原理、Esscher保费原理、修正方差原理、条件尾期望保费原理、修正条件尾期望保费原理、Kamp保费原理等。本文在相对差损失函数下得出了风险保费的信度估计和经验Bayes保费估计。
全文作如下假设,对随机变量X的函数求期望时,均假设该期望存在。
定义:对随机变量X,若用a来估计,损失函数为:
称上式为相对差损失函数。
定理1若取损失函数(*),求解最优化问题
根据定理1保证了风险随机变量X最佳的估计是在相对差损失函数下给出的最优保费P,我们通常称此种保费为聚合估计,记为H(X),此保费是在相对差损失函数下得到的。
2风险保费的估计
当n=0时,也就是索赔样本没有的情况下,这时的风险保费P(θ)我们可以通过一个实数P来估计,要让相对差损失函数(*)达到最小,也就是下面最优化的问题:
证由Bayes定理可知,最优化(1)式只需在后验分布下达到最小,
3结论
本文研究了相对差保费原理下风险保费的信度估计问题.利用了损失函数法,将相对差保费原理定义为相对差损失函数下风险的最优估计.利用保费计算原理,引入相对差损失函数得到了下一期的信度保费计算公式,从而得出Bayes保费。
参考文献
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损失函数 篇3
消声器是控制内燃机进排气噪声的主要技术措施,消声器的降噪性能很大程度上确定了内燃机的噪声水平[1]。消声器声学性能评价参数主要有插入损失、减噪量及传声损失,且由于传声损失描述了消声器的固有特性,与作用在消声器上的声源无关,因此通常被作为消声器性能分析计算及结构设计的主要评价依据[2]。准确测量消声器的传声损失对于消声器性能设计及分析验证具有重要意义。
图1为消声器传声损失的测量装置结构示意图。目前,在测量传声损失时通常将消声器上、下游侧作为2个独立声学系统,采用传递函数方法分别测量上、下游侧的垂直入射和反射系数,确定消声器上游侧的入射声波A的入射功率和下游侧的透射声波C的透射功率,进而近似确定消声器的传声损失。由于该方法未能考虑消声器下游侧反射声波D对传声损失的影响[3,4],因此从原理上就限制了测量结果精度。文献[5,6]利用阻抗管对与消声器传声损失具有一致物理意义的板件隔声量测量进行了研究,并采用互谱法开发了相应的板件隔声量测量系统;其基本思想是在2种典型终端边界条件下同时测量4个传声器位置(图1)声音信号的互谱,进而计算确定其隔声量或传声损失。由于采用4传声器同时测量,因此对测量系统的频响匹配性能要求较高。本文提出了采用基于传递函数的消声器传声损失测量改进算法,在考虑下游侧反射声波D的耦合影响的同时能够有效降低对测量系统的性能要求。
1 互谱法测量原理
传声损失测量原理为:左端的扬声器发出稳态宽带随机白噪声给整个测量系统;测试样件布置在管中间部位,从而将试验装置分割为2部分,按照相对于声音来源方向和被测试件位置分别命名为上游管和下游管;在上、下游管处分别安装2个压力场型传声器。理论上只要管足够长,则在管内只有平面波传播的假设成立,设各传声器测量位置测量得到的复声压为F1(ω)、F2(ω)、F3(ω)、F4(ω),而上、下游管在测试样件处的入射波复声压为FA(ω)、FC(ω),反射波复声压为FB(ω) 、FD(ω)。则有
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对式(1)进行变换可得
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在正常条件下,系统满足线性假设条件,有如下关系成立
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系统的传声损失定义为:在没有终端反射的情况下,即FD(ω)=0,声源侧入射到被测试件表面的平面声波幅值|FA(ω)|与透过试件的平面声波幅值之比|FC(ω)|。以分贝形式则表示为
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方程组(3)中包含2个方程,对于其中的4个未知数α11、α12、α21、α22而言,显然无法通过1次测量来确定,但考虑到方程组描述的是系统的固有特性,即在任何测试条件下,方程组(3)均成立。因此,为了确定上述4个未知数,可以分别用下标a、b表示,并进行2次不同典型边界条件测量来进行求解。则有
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求解方程组(5)可得
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对式(6)分子分母同时乘以F1(ω)aF1(ω)b,可得
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式中,G11为传声器位置1的信号自谱;G21、G31、G41分别为传声器位置2、3、4相对于传声器位置1的互谱。由于必须同时测量上述自谱和互谱,显然要想得到较好的传声损失测量结果,则测量系统必须具有4个幅值和相位匹配均很好的传声器及通道组,对测量系统的性能要求很高。
2 传递函数法测量原理
2.1 基本原理
对式(6)分子分母同时除以F1(ω)aF1(ω)b可得
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式中,H2(ω)、H3(ω)、H4(ω)分别为传声器2位置、传声器3位置、传声器4位置相对于传声器1位置的传递函数;下标a、b分别表示测量边界条件。
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公式(8)、(9)给出了基于各测量位置传递函数的传声损失计算式。显然,由于采用的传递函数是系统的固有特性,即在特定边界条件下与激励无关,因此,可采用的测量方式有:(1)对4个测量位置同时测量;(2)2通道分批次测量,即对任一边界条件,测量分3次进行,其中1个传声器固定在传声器位置1作为参考信号,分别移动其他的传声器至传声器位置2、3、4,测量相应的传递函数。与方式(1)相比,测量方式(2)可将通道数降低至2通道最低需求,这极大降低了对测量系统的要求。
2.2 传递函数修正算法
传递函数的测量精度决定了传声损失的测量精度,而传递函数的测量误差主要来源于测量通道之间的频响失配,特别是相位失配误差,这些频响失配主要来源于传声器及其前置放大器、信号调理等,它亦是传声损失测量系统下限测量频率的决定因素。任意2个测量通道之间必然存在相应的频响失配。为了尽可能地消除频响失配,一方面,采用具有良好相位匹配的传声器组,保证测量系统自身的物理性能匹配;另一方面,利用传声器位置交换法进行传递函数修正,其原理如图2所示。
利用传声器A、传声器B进行了2次测量,测量中分别交换传声器测量位置。假设1#测量得到的传递函数为Hundefined,2#测量得到的传递函数为Hundefined,则2个传递函数均由2部分组成:声场在不同传声器位置1、2之间引起的传递函数Hfield;由于传声器A、传声器B之间频响不匹配引起的传递函数Hcouple。显然,Hfield、Hcouple与Hundefined、Hundefined有如下关系
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式中,|Hfield|为Hfield的幅值;φfield为Hfield的相位;|Hcouple|为Hcouple的幅值;φcouple为Hcouple的相位。即有
式中,|Hundefined|为Hundefined的幅值;φ1为Hundefined的相位;|Hundefined|为Hundefined的幅值;φ2为Hundefined的相位。
求解方程组(12)可得
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3 实例分析
以典型扩张式消声器为对象进行试验分析,其主要结构尺寸如表1所示。测量时采用终端开口及增加吸附声材料的终端这2种典型边界条件。为了确保试验精度,整个测量过程在消声室内进行。试验系统由B&K的声学材料测试系统改装而成(图3),包括含任意波形信号发生器的PULSE 3560C型硬件采集前端、2716C立体声功率放大器、4260T阻抗管、频响匹配精度较高的4187型1/4英寸传声器等。测量时PULSE输出稳态高斯白噪声信号至2716C功率放大器,信号经过发大后驱动4206T内置扬声器发出声音,在相应传声器测量位置利用4187传声器拾取声音信号并输入至PULSE硬件采集前端,同时测量并计算得到相应的传声器位置2、3、4相对于传声器位置1的修正传递函数,最终计算得到总体传声损失TLall。其中上、下游管的传声器间距均为20 mm。值得一提的是,由于试验中采用4个传声器同时测量,因此,此时互谱法结果与未修正的传递函数方法结果一致。
为了消除连接管接头、阻抗管本身及消声器出、入口管空气摩擦引起的传声损失,亦用与消声器等长、与出入口管等直径的直管测量了管本身的传声损失TL0,并利用式(14)进行近似计算得到消声器本身的传声损失TL。
TL=TLall-TL0 (14)
消声器的传声损失试验分析结果如图4所示。分析频率范围为100～4 000 Hz,频率分辨率为4 Hz。由修正传递函数的分析结果可见:消声器的消声特性在2 140 Hz以内基本满足一维平面波理论结果,峰值消声频率出现在170 Hz的奇数倍附近,第1峰值频率对应的消声量约为15 dB;谷值消声频率出现在170 Hz的偶数倍附近,接近于0;而在2 140 Hz以上的结果与一维平面波理论差别很大,这主要是由于在该频率范围内声波频率较高、波长较短,声波以束波形式通过扩张腔,极大幅度降低了扩张腔的消声效果。由于100 Hz以下频率范围传声器对相位失配与传声器间距引起的相位差具有可比性(>0.2),造成测量结果误差较大,因此图中未给出。
进一步对比传递函数修正前后的分析结果可知:在100 Hz附近的低频区域,修正前的分析结果相比于修正后存在较大误差,且变化趋势也与经典理论不一致,这主要是由于在该频率区域,传声器之间的相位失配误差相对于不同传声器位置之间的声场相位差比值较大,因此测量结果精度较低,随着频率的增加,声场引起的相位差增加,相位失配误差相对于声场引起的相位差比值减小,测量精度逐渐提高,修正前后的误差减小;在2 140 Hz以上的高频区域,由于上述传声器之间的相位失配误差相对于不同传声器位置之间的声场相位差较小,因此,修正前后的测量结果基本一致;在100～2 140 Hz区域,修正前后的测量结果在对应于消声量峰值频率区域的误差通常比对应于谷值频率区域误差大,且具有越接近峰值位置误差越大、越接近谷值位置误差越小的变化趋势,这主要是由于对应峰值频率位置,消声器下游侧的声压较低,传递函数的幅值较小,信噪比低,测量误差大,从而进一步造成传声损失误差大。
4 结论
(1) 传递函数在线性条件下与系统受到的激励无关、与测量时刻无关,基于传递函数法的传声损失测量可以分批进行,最大限度地降低测量系统的构建成本。
(2) 基于传声器位置互换的传递函数理论修正算法抑制了测量传递函数中传声器对自身频响失配引起的误差,提高了传递函数测量结果对由于声场位置变化引起的传递函数的描述精度。
(3) 传递函数修正后的传声损失分析结果与基于一维平面波的理论结果具有良好一致性,测量精度更加准确,更能真实反映实际消声器的降噪性能。
参考文献
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损失函数 篇4
Pareto分布是意大利经济学家Pareto (1897) 首先提出的, 并被应用到个人收入研究问题中。随着越来越多学者对此分布的关注和研究, Pareto分布已广泛存在于物理学、生物学、人口统计学、社会科学与经济学等众多领域中。随着研究的深入和更多学者的加入, 更多改进和推广的Pareto分布被提出。本文研究的广义Pareto分布 (Generalized Pareto Distribution, 简称GPD) 是Piekands (1975) 首次提出的, 并被广泛应用于金融、保险、自然灾害等领域[1]。针对GPD分布参数的统计推断得到了很多学者的关注和研究。很多估计方法被提出, 如极大似然估计[2]、矩估计法[3]、概率加权矩[4]、L矩估计法[5]和广义有偏概率加权矩法[6] (Generalized Partial Probability Weighted Moments, 简称GPPWM) 等。以上这些方法都是在经典统计下进行研究的。在Bayes统计推断程序下进行研究的还很少。为此, 本文将在平方误差损失函数下研究广义Pareto分布参数的Bayes统计推断问题。
本文所研究的两参数GPD分布函数为[7]:
式 (1) 中, β>0, 且当ξ≥0时, x∈[0, ∞];当ξ<0时, x∈[0, -β/ξ]。
本文接下来的研究中只考虑参数ξ<0的情况, 令, 则此时两参数GPD分布函数变为:
式 (2) 中, θ, σ>0为参数。
本文将在已知σ的情况下, 基于参数θ的先验分布为逆伽玛先验分布条件下, 研究平方误差损失下广义Pareto分布式 (2) 的参数的Bayes估计问题。
1 Bayes估计
在Bayes统计推断中, 先验分布和损失函数的选择是两个最重要的部分。本文设X1, X2, …, Xn的参数θ的先验分布为逆伽玛分布IГ (α, β) , 相应的概率密度函数为:
采用的损失函数为平方误差损失函数:
在平方误差损失函数下, 参数θ的Bayes估计为:
定理设X1, X2, …, Xn为来自总体服从GPD分布 (2) 的容量为n的样本, x1, x2, …, xn为相应的样本观察值, 并记X= (X1, X2, …, Xn) , 。如前假设参数θ的先验分布为逆伽玛分布IГ (α, β) , 则在平方误差损失函数下, 参数θ的Bayes估计为:
证明由 (2) 得到GPD分布的概率密度函数为:
从而在给定X= (X1, X2, …, Xn) 的样本观察值下x= (x1, x2, …, xn) , 参数θ的似然函数为:
式 (8) 中, 的样本观测值。
由Bayes定理得到参数θ的后验概率密度函数为:
故θ的后验分布为逆伽玛分布IГ (n+α, t+β) 。即后验概率密度函数为:
则在平方误差损失函数下, 参数θ的Bayes估计为其后验均值, 即θ的Bayes估计为:
2 数值模拟例子和结论
利用Monte Carlo数值模拟生成容量为n=20的来自广义Pareto分布 (2) 的简单随机样本, 其中σ=1.0, θ=1.0。重复试验N=5000次, 将估计的平均值即作为参数θ的估计值, 利用均方误差来考察估计的优良性:
式 (12) 中, 为第i次试验的参数θ的估计值。参数的MLE、Bayes估计值见表一。
从表一及大量的数值模拟试验我们得到如下结论:
(1) Bayes估计虽受两个超参数的影响, 但影响不太大, 得到的Bayes估计的均方误差较极大似然估计的小, 因此再有先验信息可以利用时, 建议采用Bayes估计值作为参数估计值。
(2) 当样本容量n较大时, 两类估计均较接近真实值且均方误差也基本相等, 此时两类估计值都可以作为参数的估计值。
参考文献
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