数形思想

数形思想（共12篇）

数形思想 篇1

北师大版数学全面使用新教材。与旧版教材相比,书中图画有增无减,仔细对比分析发现新版教材不仅增加了更多的图,重要的是应用了更为科学的教学方法,帮助学生学习、理解和掌握数学思想。

一、“数形结合”帮助学生理解概念

以四年级下册《近似数》一课为例,分析对比如下:

尽管我们一直在强调不管什么样的教材,教师都要创新教学理念,但教材的纲性特征通常束缚着教师的改变。旧版教材中,教师以讲方法和结果居多,学生通过记忆法则和大量练习能掌握四舍五入法求近似数的方法,但学生知其然而不知其所以然。例如,将204987四舍五入到万位求近似数,看万位后面千位上的数字是4,比5小,所以万位后面所有的数都舍去改写成0,得到204987四舍五入到万位的近似数200000。但喜欢思考问题的学生常会问:“4比5小,可4后面还有9、8、7,它们都比5大,为什么不向前一位进一。”老师的回答经常是这样:“让你看万位后面千位上的数字,谁让你去看其他数位上的数字。”学生只好懵懂作罢。新版教材,通过引入数线可清晰地化难为简、变抽象为直观,很好地解决了学生对重点、难点和疑点的理解困惑。

“近似数”一课有这样一类拓展题目:如“一个数的近似数是6万,那么这个数最大是多少?最小是多少?”。

旧版教材学完之后,若将题目进行变换,很多学生不能准确答出此题。分析可知,学生在缺少理解的情况下去认识更为抽象的大数,常出错误就成为必然。

新教材利用“数形结合”方法使学生比较容易在图上画出这个数的范围,既能看到最小数55000,也能容易想到最大数是64999。

学生会求一个数的近似数,更能灵活求一个数的近似数,这是显性教学效果,新版教材以及新的教学方法还增加了隐形效果,那就是增强了学生由形象思维向抽象思维转变的意识,培养了学生“数形结合”的数学思想,提高了学生的数学能力。而这些提高正是新课标所提倡和要求的,也是数学学习的终极目标。

二、“数形结合”帮助学生理解算理

学生的运算能力是新课标10个核心概念之一。运算是数学学习的重要内容。关于学生运算能力的培养和发展,新课标中写到“学生伴随着数学知识的积累和深化,正确理解相关的数学概念,是逐步形成运算技能、发展运算能力的前提,运算能力的培养和发展不仅包括运算技能的逐步提高,还应包括运算思维素质的提高和发展,运算能力的培养和发展首先要从具体到抽象”。

新教材的教学理念和教学方法是非常符合新课标要求的。对比三年级上册新旧教材“两、三位数乘一位数”一课,可窥视出新教材是如何从具体到抽象培养和发展学生运算能力的。

旧版教材的情景是生活中的购物,通过解决买4把椅子需要多少钱这一问题,教材运用了口算、加法计算(横式和竖式两种)、表格计算和竖式计算多样化的计算方法,由加法竖式计算演变成乘法竖式计算,让学生体会乘法竖式的简洁和竖式的写法。

新教材在完成12×4竖式计算终极目标的过程中,进行了两次活动。一是学生在点子图上圈一圈、算一算,直观进行口算,由于它的直观性因而学生都能完成;二是揭示乘法竖式笔算与口算之间的本质联系,学生直观理解乘法竖式的算法和算理,教材借助点子图把12×4拆分成2×4和10×4,并与竖式计算中的每一步对应起来,清晰地呈现出两位数乘一位数的乘法竖式计算过程,同时还把列表的方法和两者建立了关系,沟通了表格、竖式和点子图三者之间的内在联系,帮助学生理解每一步的具体含义。新版教材的教学方法对学生来说直观生动、易于理解、印象深刻,非常适宜于发展学生的运算思维能力。

三、“数形结合”帮助学生理解运算规律

小学阶段要求学生掌握的运算律有加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、乘法分配律,其中前四种运算律都是同级运算律。只有乘法分配律中有两级运算乘和加,因而学生掌握和运用此规律有一定的困难。新教材运用“数形结合”,很好地解决了这一难题。下面以新旧教材《乘法分配律》一课中“仿写算式”这部分内容做对比,来体会新版教材中应用”数形结合”教学方法的优势。

旧版教材在学生仿写出两个算式之后,运用计算的方法进行验证两个算式等值。而新版教材在学生仿写之后,运用的是直观的画图和乘法的意义来验证两个算式等值。特别是直观图形验证,很好地把抽象的算式与图形结合在一起,学生不需要计算很容易就能验证,同时清晰地看到数和形的一一对应。

对于三、四年级的学生而言,思考方式正处在从形象思维到逻辑思维的过渡期。运用“数形结合”方法既适应了他们的身心特点,又能较好地帮助他们理解数量关系、量的变化等包含关系符号和运算符号的重要知识点。

在小学数学教学中,如果教师能有意识地运用“数形结合”思想设计教学,那将非常有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解,提供解决问题的方法,也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略,对学生来说则是一种探究和趣味学习的动力。如果长期渗透,运用恰当,则可使学生形成良好的数学意识和思想,并长期稳固地作用于学生的数学学习生涯。

摘要：新课标修订“双基”到“四基”,增加了基本思想和基本活动经验。知识和技能是“双基”,而数学思想是数学的灵魂。在小学阶段,教师需要给学生渗透的数学思想有数形结合思想、符号表述思想、字母代数思想等,在所有这些数学思想方法中,“数形结合”思想尤为重要。

关键词：小学数学,新旧教材,数形结合思想

数形思想 篇2

高考数学思想方法专题讲义3－－数形结合的思想

1．设f(x)1x2，a，bR，且a≠b，求证：f(a)f(b)ab．

2．求下列函数的最值：（1）y（2）y2x25x42x22x1的最小值； x22x26x26x13的最大值．

p4的实数p，使得x2px4xp3恒成立，求x的取值范围． 3．对于满足04．已知z1，求u2zi54i的最值．

x24a1有相异实根的个数． 5．讨论方程6．已知a1，b1，求证：ab1．

1abq），求它的第pq项和第pq项．

． 7．已知等差数列的第p项为q，第q项为P（p8．求证：2a12a2b12b22a1b1a2b29．在△ABC中，已知a＝10，c－b＝8，求证：tg10．设zC，aR，且az11．已知sinsinBC1ctg． 2290，求证：zazaz为纯虚数．

11，coscos，求tg()． 432，求zu24v21的最小值． 12．已知u，v，是正数，且uv13．求函数y14．已知m3(x2)8x的值域．

n0，求证：m2n22mnn2m．

215设定点M（－3，4），动点N在圆xy24上运动，以OM，ON为两边作□MONP，求P点的轨迹．

表示两曲线有公共点，求半径r的最值． 22x4y4,16．已知222(x4)yrx2y2217．当m，a，b满足什么条件时，椭圆221（a0，b0）与抛物线yxm有四个交点？

ab数形结合的思想参考答案

1．将，1a2，1b2分别看做两直角三角形的斜边，于是可以构造图2－1．设Rt△POA中，PO＝1，OA＝a，则 PA

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1a2．在Rt△POB中，OB＝b，则

PB1b2．在△PAB中，PAPBAB，于是可得f(a)f(b)ab（当ab结论一样成立）

2．（1）提示：配方得y557112((x)2(x)2)，可视为P（x，0）分别与A（441624，74），B（1，21）这两点的距离之和．由于A，B分别位于x轴的上方和下方，显然当P在A，B连线与x轴交点时PAPB最短，最小值为22AB230272（2）提示：配方得y(x1)252(x3)222，可视为P（x，0）分别与A（－1，5），B（3，2）的距离之差的最大值，由于A，B位于x轴的同旁，由几何知识知，P在AB与x轴交点的位置上，最大值为

APBP最大，AB5．AB，直线AB的方程为y25217．令，y0，得xx31332．故点P位于（173，0）时，ymax3．原不等式整理成(x1)P(x4x3)>0，设f(b)(x1)p(x24x3)．可视为p的一次函数，由图象

2f(0)0,x4x30,x3或x1 可知，f(p)在［0，4］恒大于零，只需用即2f(4)0,x104．u52izi22，因此，u表示单位圆

（－2，－z1上的点z与点A

52）的距离的2倍．由几何知识知，AB，AC分别是最小值、最大值，即

umax2AC2(OAOC)412，umin2AB2(OAOB)412

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5．提示：在同一坐标系中作出y同的根；当ax24和ya1的图象如图，从图象可以看出：当a1，a3时，方程有两个不3时，方程有三个不同的根；当1a3时，方程有四个不同的根；当a1时，方程没有根

ab1ab(a1)(b1)AP1ab6．设数轴上三点A，P，B的坐标分别为－1，1，则＝．∵ a1，b1，ab1ab(a1)(b1)PB11ab∴ 0．即P是AB的内分点，于是17．由等差数列的通项公式anabab1即1

1ab1ab，B（q，p）是平a1(n1)，得点（n，an）在直线ya1(x1)d上．设A（p，q）面直角坐标系中的两点，则AB的直线方程为yqpq(xp)，即ypqx．∵

点（n，an）在an这条直线上，qp∴ anpqn．于是，apq0，apq2q

8．提示：设A（a1，a2），B（b1，b2），C（b1，a2），则原式左边＝9．如图，以线段BC的中点O为原点建立直角坐标系，∵

OAOBABACBC＝右边

BC10，ABAC8,∴

A（x0，y0）在双曲线

．∵

55x2y21的右支上．从而，由焦半径公式得ABx04，ACx0444169ACcoCs5x0，＝ABcosB5x，∴

tgBCctg22

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BCBBCcos2sincos2cos222222sinB1cosCBCBCC1cosBsinCcossin2cos22sincos222225x045x0x1140 5x045x09(x01)94sinACACcosCABABcosB＝

10．在复平面内，z，a，－a所对应的点分别为P，A，B，∵

∴

A、B在实轴上．

z0，故P不可能在坐标原点，即AB的中点．又aR，a0，zazaAPBP动点P的轨迹为线段AB的中垂线除去AB的中点P点的轨迹为虚

16轴（除去原点）z为纯虚数．

11．设A（cos，sin），B（cos，sin，则A，B在单位圆上，连结AB．若C是AB的中点，则点C的坐标为（），∠DOC＝，1），连结OC，则OC⊥AB．设D（1，0），连结OA，OB，则有∠DOA＝，∠DOB＝812tg24832∠DOC＝，tg() 14721tg262，tg

2＝tg

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点（u，2），B（－v，－1），则

zOAOBAB，而

uv42AB(uv)2(21)2223213，v即z13，等号成立条件uv2，．即u，2133

时成立．故zmin

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13

13．令x2t，原函数为y23t10t2（t0），设vy3t，则

①v3ty, 2v10t(t0).方程①表示斜率为－3的直线，方程②表示四分之一圆．原问题转化为过圆②上的点，求①中直线截距的取值范围．如图，过圆上

30y31．解得y2∴ 10．的点（0，时，截距最小，ymin10．当直线与圆②相切时，其截距最大，即1010）

② 10y210

14．如图，在Rt△ACB中，AB＝m，BC＝n，则AC∴ 又∵

m2n2．∵

ACBCAB

m2n2nm．

①

mn0，∴

mnn2，2mn2n2，2mnn2n2，即2mnn2n ②

由①、②知，m2n22mnn2m

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16．如图，设P点所对应的复数为

xyi，M所对应的复数为34i，N所对应的复数为z1，．即

z12．∵，∴ OPOMON，∴ xyi34iziz1(x3)(y4)i，∵

z12(x3)2(y4)24．但点M，O，N

46x与x2y24，解得x1，358686868y1；x2，y2．因此，所求轨迹为圆(x3)2(y4)24，但应除去两点（，），（，）5555555共线时，不能构成平行四边形，由y

x2217．将方程x4y4化为标准形式2y1，它表示中心在（0，0），长半轴为2且在x轴上，短半轴为1的椭圆．而

222方程(x4)20）的同心圆系，如图，可知当2r6时，两曲线有公共点．即rmax6，rmin2 y2r2表示圆心在A（4，taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区

x2xm,b2b22222f(y)yymb0．要使两曲线有四个交点，方程f(y)0在（－18．由x消去x，得y22aa221,bab2b，b）内有两个不同的实根．由于函数f(y)为开口向上的抛物线，而对称轴方程为y2a2．因此，有

数形结合的思想方法 篇3

【 关键词 】数形结合 思想 方法

数形结合作为一类数学基本知识来考虑的，但是数形结合也可以看作一种数学思想方法，它的应用大致又分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的属性，或者借助于形的直观性来阐明数之间的关系。基本原则数形结合就是根据数与形的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题，把图形性质问题转化为数量关系问题，或者把数量关系问题转化为图形性质问题.通过“以数解形”或“以形助数”，把复杂问题简单化，抽象问题具体化，兼取了数的严谨与形的直观两方面的长处.

第一，.转换数与形的三条途径：

①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解.

②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑.如将a2+b2转化为勾股定理或平面上两点间的距离等.

③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等.

第二，运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：

①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，揭示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性.

②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，揭示出数与式的本质特征.

③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特性，观察图形的的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观及揭示隐含的数量关系.

第三、范例剖析

1，借助于数轴

例1：设命题甲为：0

A.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件。

B.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件。

C.甲是乙的充要条件。

D.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件。

分析：命题乙︱x-2︱<3等价于-3

2，借助于图象

例2.方程的实根的个数是（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

分析：用代数的方法

求解该方程是很困难的，因此考虑数形结合法，方程的解是函数与图像交点的横坐标，因此这两个函数的图象交点的个数即为方程解的个数.在同一坐标系里作出与的图象，如上图，不难看出这两个图像有三个交点，所以方程有三个解，所以正确选项为C.

3，借助于数学式或数学概念的几何意义

有很多数学表达式如：

① 表示两点间的距离；

② 表示过两点的直线斜率；

③F（sin ，cos ）表示单位圆上的点；

④ （a>0，b>0） 表示以a、b为邻边夹角为120 的三角形的第三边的平方；因此对于这类代数问题可以利用它所表示的几何意义，将代数问题转化为几何问题，然后利用几何图形的直观性得出原问题的解。

例3.已知实数x，y满足3x+4y-1=0，求 （x-1）+（y-2）的最小值。

分析：（x-1） +（y-2） 的几何意义是：点P（x，y）到点A（1，2）的距离d的平方，如右图，而点P（x，y）在直线3x+4y-1=0上移动，显然d的最小值是点（1，2）到直线3x+4y-1=0的距离，

即d=

∴d=4，因此（x-1）+（y-2）的最小值是4。

小结：数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此，它在中学数学中占有重要的地位.在高考中，充分利用选择题、填空题型的特点（这两类题型只须写出结果而无需写出解答过程），为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查学生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题来解决的意识，解答题中对数形结合思想的考查则以由“形”到“数”的转化为主.

【参考文献】

[1]List of Serials and Journals Covered by Zentralblatt MATH[2005-10]

[2]杨培谊，于鸿.高中数学解题方法与技巧[M].北京：北京学院出版社，1993

[3]D. A. Drennen， ed.， A Modern Introduction to Metaphysics， New York： Free Press of Glencoe， 1962。

数形结合思想及其应用 篇4

数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面:一是以形作为手段, 数作为目的, 用形象的几何图形启迪抽象的代数思维;二是以数作为手段, 形作为目的, 用严密的逻辑推理阐明直观的几何属性.

运用数形结合的基本原则: (1) 等价性原则; (2) 双向性原则———既要进行几何直观分析, 又要进行相应的代数抽象探求; (3) 简单性原则——既要考虑可行性, 又要挖掘隐含条件, 选好突破口.

运用数形结合思想解题, 通常可以从以下几个方面入手: (1) 函数与函数图象; (2) 不等式与函数图象; (3) 曲线与方程; (4) 参数本身的几何意义; (5) 代数式的结构特征; (6) 概念自身的几何意义; (7) 可行域与目标函数最值; (8) 向量的两重性.

一、以数辅形, 数形沟通

1. 解析法.

如图1建系, 则内切圆方程为 (x-2) 2+ (y-2) 2=4, 设P (x, y) , 则|PA|2+|PB|2+|PC|2=x2+ (y-8) 2+ (x-6) 2+y2+x2+y2=3[ (x-2) 2+ (y-2) 2]-4y+76=88-4y.

∵P点在圆上, 0≤y≤4, ∴所求最大值为88, 最小值为72.

2. 向量法.

例2用向量法证明三角形的三条高交于一点.

解析:已知, 如图2, 在△ABC中, AD, BE, CF分别为边BC, CA, AB上的高.

求证:AD, BE, CF交于一点.

证明:设BE, CF交于H, 则

二、以形助数, 揭示规律

1. 利用函数的图象性质解题.

例3若方程x3-3x+a=0有3个不同的实根, 则实数a的取值范围是 () .

(A) (-2, 2) %% (B) (-2, 2) %%

(C) (-∞, -1) % (D) (1, +∞)

解析:设f (x) =x3-3x, 则依题知函数y=f (x) 与y=-a的图象有3个不同的交点.

∵f' (x) =3x2-3x, 易得f (x) 在 (-∞, -1], [1, +∞) 上单调递增, 在 (-1, 1) 上单调递减, f (x) 极大值=f (-1) =2, f (x) 极小值=f (1) =-2, 且f (x) 为奇函数, 故可作出f (x) 的大致图象, 如图3.

∴依图可得-2<-a<2圯-2

2. 利用有关几何意义解题.

3. 利用已知图形的性质解题.

三、数形互助, 结合使用

数形思想 篇5

函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.●重点重点难点磁场

1.（★★★★★）关于x的不等式2•32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为

.2.（★★★★★）对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值.●案例探究

［例1］已知函数f(x)=logm

(1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；

(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目.知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.解：（1）x＜–3或x＞3.∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x1＞x2≥α，有

当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数.（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］ ∵0＜m＜1, f(x)为减函数.∴

即

即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根 ∴

∴0＜m＜

故当0＜m＜ 时，满足题意条件的m存在.［例2］已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5;(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m.-1-命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属 ★★★★★级题目.知识依托：一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式.错解分析：第(1)问中易漏掉Δ≥0和tan(A+B)＜0，第(2)问中如何保证f(x)在［1,3］恒小于等于零为关键.技巧与方法：深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列.列式要周到，不遗漏.（1）证明：f(x)+4=0即x2–(m+1)x+m+4=0.依题意：

又A、B锐角为三角形内两内角 ∴ ＜A+B＜π

∴tan(A+B)＜0，即

∴ ∴m≥5(2)证明：∵f(x)=(x–1)(x–m)又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0 即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0 ∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3(3)解：∵f(sinα)=sin2α–(m+1)sinα+m= 且 ≥2,∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8.即1+(m+1)+m=8，∴m=3 ●锦囊妙计

函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化.考生应做到：

（1）深刻理解一般函数y=f(x)、y=f–1(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.●歼灭重点重点难点训练

一、选择题

1.（★★★★★）已知函数f(x)=loga［ –(2a)2］对任意x∈［ ,+∞］都有意义，则实数a的取值范围是（）A.(0，B.(0,)

C.［ ,1

D.(,）2.（★★★★★）函数f(x)的定义域为R，且x≠1，已知f(x+1)为奇函数，当x＜1时，f(x)=2x2–x+1，那么当x＞1时，f(x)的递减区间是（）A.［，+∞

B.(1，C.［ ,+∞

D.(1, ］

二、填空题

3.（★★★★）关于x的方程lg(ax–1)–lg(x–3)=1有解，则a的取值范围是

.4.（★★★★★）如果y=1–sin2x–mcosx的最小值为–4，则m的值为

.三、解答题

5.（★★★★）设集合A={x｜4x–2x+2+a=0,x∈R}.（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；

（2）若对于任意a∈B，不等式x2–6x＜a(x–2)恒成立，求x的取值范围.6.（★★★★）已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)满足条件:f(x–1)=f(3–x)且-2-方程f(x)=2x有等根.（1）求f(x)的解析式；

（2）是否存在实数m，n(m＜n＝，使f(x)定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.7.（★★★★★）已知函数f(x)=6x–6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=f［g1(x)］, g3(x)=f ［g2(x)］, „gn(x)=f［gn–1(x)］,„

（1）求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n∈N，gn(x0)=x0都成立；（2）若实数x0满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；（3）设区间A=（–∞,0）,对于任意x∈A，有g1(x)=f(x)=a＜0, g2(x)=f［g1(x)］=f(0)＜0，且n≥2时，gn(x)＜0.试问是否存在区间B（A∩B≠），对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有gn(x)＜0.8.（★★★★）已知函数f(x)=(a＞0,x＞0).（1）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数；

（2）若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；

（3）若f(x)在［m,n］上的值域是［m,n］(m≠n)，求a的取值范围.参 考 答 案

●重点重点难点磁场

1.解析：设t=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］.等价于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值.答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)2.解：（1）当a=1,b=–2时，f(x)=x2–x–3，由题意可知x=x2–x–3，得x1=–1,x2=3.故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3.（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，即ax2+bx+(b–1)=0恒有两相异实根 ∴Δ=b2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立.于是Δ′=(4a)2–16a＜0解得0＜a＜1 故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1.（3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)又∵A、B关于y=kx+ 对称.∴k=–1.设AB的中点为M(x′,y′)∵x1,x2是方程ax2+bx+(b–1)=0的两个根.∴x′=y′=，又点M在直线 上有，即

∵a＞0，∴2a+ ≥2 当且仅当2a= 即a= ∈(0,1)时取等号，故b≥–，得b的最小值–.●歼灭重点重点难点训练

一、1.解析：考查函数y1= 和y2=(2a)x的图象，显然有0＜2a＜1.由题意 得a=，再结合指数函数图象性质可得答案.答案：A 2.解析：由题意可得f(–x+1)=–f(x+1).令t=–x+1，则x=1–t，故f(t)=–f(2–t)，即f(x)=–f(2–x).当x＞1,2–x＜1，于是有f(x)=–f(2–x)=–2(x–)2–，其递减区间为［，+∞).答案：C-3-3.解析：显然有x＞3，原方程可化为

故有(10–a)•x=29,必有10–a＞0得a＜10 又x= ＞3可得a＞.答案： ＜a＜10 4.解析：原式化为.当 ＜–1,ymin=1+m=–4 m=–5.当–1≤ ≤1,ymin= =–4 m=±4不符.当 ＞1，ymin=1–m=–4 m=5.答案：±5

二、5.解：(1)令2x=t(t＞0)，设f(t)=t2–4t+a.由f(t)=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有 ①f(t)=0有两等根时，Δ=0 16–4a=0 a=4 验证：t2–4t+4=0 t=2∈(0,+∞)，这时x=1 ②f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)＜0 a＜0 ③若f(0)=0，则a=0，此时4x–4•2x=0 2x=0（舍去），或2x=4,∴x=2，即A中只有一个元素

综上所述，a≤0或a=4，即B={a｜a≤0或a=4}（2）要使原不等式对任意a∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立.即g(a)=(x–2)a–(x2–6x)＞0恒成立.只须

＜x≤2 6.解：（1）∵方程ax2+bx=2x有等根，∴Δ=(b–2)2=0,得b=2.由f(x–1)=f(3–x)知此函数图象的对称轴方程为x=– =1得a=–1，故f(x)=–x2+2x.（2）f(x)=–(x–1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤

而抛物线y=–x2+2x的对称轴为x=1 ∴n≤ 时，f(x)在［m,n］上为增函数.若满足题设条件的m,n存在，则

又m＜n≤ ,∴m=–2,n=0，这时定义域为［–2,0］，值域为［–8,0］.由以上知满足条件的m、n存在，m=–2,n=0.7.(1)证明：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立； 设n=k时，有gk(x0)=x0(k∈N)成立，则gk+1(x0)=f［gk(x0)］=f(x0)=g1(x0)=x0 即n=k+1时，命题成立.∴对一切n∈N,若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0.（2）解：由（1）知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0 由f(x0)=x0，得6x0–6x02=x0,∴x0=0或x0= ∴稳定不动点为0和.(3)解：∵f(x)＜0，得6x–6x2＜0 x＜0或x＞1.∴gn(x)＜0 f［gn–1(x)］＜0 gn–1(x)＜0或gn–1(x)＞1 要使一切n∈N,n≥2，都有gn(x)＜0，必须有g1(x)＜0或g1(x)＞1.由g1(x)＜0 6x–6x2＜0 x＜0或x＞1 由g1(x)＞0 6x–6x2＞1

故对于区间()和(1,+∞)内的任意实数x,只要n≥2,n∈N，都有gn(x)＜0.8.(1)证明：任取x1＞x2＞0,f(x1)–f(x2)=

-4-∵x1＞x2＞0,∴x1x2＞0，x1–x2＞0, ∴f(x1)–f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数.（2）解：∵ ≤2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0, ∴a≥ 在（0，+∞）上恒成立，令（当且仅当2x= 即x= 时取等号），要使a≥ 在(0,+∞)上恒成立，则a≥.故a的取值范 围是［ ,+∞).(3)解：由（1）f(x)在定义域上是增函数.∴m=f(m),n=f(n)，即m2– m+1=0，n2– n+1=0 故方程x2– x+1=0有两个不相等的正根m，n，注意到m•n=1，故只需要Δ=()2–4＞0,由于a＞0，则0＜a＜.重点难点37 数形结合思想

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.●重点难点磁场

1.曲线y=1+(–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围

.2.设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围.●案例探究

［例1］设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若C B，求实数a的取值范围.命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目.知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将C B用不等式这一数学语言加以转化.错解分析：考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a＜–2这一种特殊情形.技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.解：∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数

∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3} 作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：

①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜z2≤z≤4} 要使C B,必须且只须2a+3≥4得a≥ 与–2≤a＜0矛盾.②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使C B，由图可知： 必须且只需

解得 ≤a≤2 ③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使C B必须且只需

-5-解得2＜a≤3 ④当a＜–2时，A= 此时B=C=，则C B成立.综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［ ,3］.［例2］已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证：

.命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几 何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ, sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2 =2–2cos(α–β)

又∵单位圆的圆心到直线l的距离

由平面几何知识知｜OA｜2–(｜AB｜)2=d2即

∴.●锦囊妙计

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象

（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线

以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.●歼灭重点难点训练

一、选择题

1.（★★★★）方程sin(x–)= x的实数解的个数是（）A.2

B.3

C.4

D.以上均不对

2.（★★★★★）已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为（）A.α＜a＜b＜β

B.α＜a＜β＜b C.a＜α＜b＜β

D.a＜α＜β＜b

二、填空题

3.（★★★★★）(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t为参数)的最大值是

.4.（★★★★★）已知集合A={x｜5–x≥ },B={x｜x2–ax≤x–a}，当A B时，则a的取值范围是

.三、解答题

-6-5.（★★★★）设关于x的方程sinx+ cosx+a=0在（0,π）内有相异解α、β.（1）求a的取值范围；（2）求tan(α+β)的值.6.（★★★★）设A={(x,y)｜y= ,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–3)2=a2,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值与最小值.7.（★★★★）已知A（1，1）为椭圆 =1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值.8.（★★★★★）把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？

参 考 答 案 ●重点难点磁场

1.解析：方程y=1+ 的曲线为半圆，y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线.答案：（］

2.解法一：由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立 x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立.考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方.如图两种情况：

不等式的成立条件是：(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0 a∈(–2,1)(2)a∈(–3,–2，综上所述a∈(–3,1).解法二：由f(x)＞a x2+2＞a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，故直线l对应的a∈(–3,1).●歼灭重点难点训练

一、1.解析：在同一坐标系内作出y1=sin(x–)与y2= x的图象如图.答案：B 2.解析：a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示：

答案：A

二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t)点A的几何图形是椭圆，点B表示直线.考虑用点到直线的距离公式求解.答案：

4.解析：解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得.答案：a＞3

三、5.解：①作出y=sin(x+)(x∈(0,π))及y=– 的图象，知当｜– ｜＜1且– ≠

时，曲线与直线有两个交点，故a∈(–2,–)∪(– ,2).②把sinα+ cosα=–a,sinβ+ cosβ=–a相减得tan，故tan(α+β)=3.-7-6.解：∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1,)为圆心，a为半径的圆.如图所示

∵A∩B≠，∴半圆O和圆O′有公共点.显然当半圆O和圆O′外切时，a最小

a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2 –2 当半圆O与圆O′内切时，半圆O的半径最大，即 a最大.此时 a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2 +2.7.解：由 可知a=3,b= ,c=2，左焦点F1(–2,0),右焦点F2(2,0).由椭圆定义，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜, ∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜ 如图：

由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜= 知 – ≤｜PA｜–｜PF2｜≤.当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号； 当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号.即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分别为，–.于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+ ,最小值是6–.8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值.由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.如图：

设AE=x,BE=y, 则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y ∴

∴.高考数学重点难点突破 重点难点38 分类讨论思想.txt人永远不知道谁哪次不经意的跟你说了再见之后就真的再也不见了。一分钟有多长？这要看你是蹲在厕所里面，还是等在厕所外面„„

重点难点38 分类讨论思想

分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”

●重点难点磁场

1.（★★★★★）若函数在其定义域内有极值点，则a的取值为

.2.（★★★★★）设函数f(x)=x2+｜x-a｜+1，x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的最小值.●案例探究

［例1］已知{an}是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和.（1）用Sn表示Sn+1;

（2）是否存在自然数c和k，使得成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出.技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由Sn=4(1-），得

，(n∈N*)

（2）要使，只要

因为

所以，(k∈N*)

故只要Sk-2＜c＜Sk，（k∈N*）

因为Sk+1＞Sk，(k∈N*)

①

所以Sk-2≥S1-2=1.又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c＜Sk不成立，从而①不成立.当k≥2时，因为，由Sk＜Sk+1(k∈N*)得

Sk-2＜Sk+1-2

故当k≥2时，Sk-2＞c，从而①不成立.当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，c＜Sk不成立，从而①不成立

因为，又Sk-2＜Sk+1-2

所以当k≥3时，Sk-2＞c，从而①成立.综上所述，不存在自然数c,k,使成立.［例2］给出定点A（a,0)（a＞0）和直线l：x=-1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点.错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：依题意，记B（-1，b)，(b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx.设点C(x,y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y｜=

①

依题设，点C在直线AB上，故有

由x-a≠0，得

②

将②式代入①式，得y2［(1-a)x2-2ax+(1+a)y2］=0 若y≠0，则

(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)若y=0则b=0,∠AOB=π，点C的坐标为（0，0）满足上式.综上，得点C的轨迹方程为

（1-a）x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x＜1

③ 此时方程③表示抛物线弧段；(ii)当a≠1，轨迹方程化为

④

所以当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足.（i）当｜BD｜≠0时，设点C(x,y)，则0＜x＜a，y≠0 由CE∥BD，得.∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD ∴2∠COA=π-∠BOD ∴

∵

∴整理，得

(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)(ii)当｜BD｜=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为(0,0)，满足上式.综合(i)、(ii)，得点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a)以下同解法一.解法三：设C(x,y)、B(-1,b)，则BO的方程为y=-bx，直线AB的方程为

∵当b≠0时，OC平分∠AOB，设∠AOC=θ，∴直线OC的斜率为k=tanθ,OC的方程为y=kx于是

又tan2θ=-b ∴-b=

① ∵C点在AB上 ∴

②

由①、②消去b，得

③ 又，代入③，有

整理，得(a-1)x2-(1+a)y2+2ax=0

④

当b=0时，即B点在x轴上时，C(0,0)满足上式：

a≠1时，④式变为

当0＜a＜1时，④表示椭圆弧段；

当a＞1时，④表示双曲线一支的弧段； 当a=1时，④表示抛物线弧段.●锦囊妙计

分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：

1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.●歼灭重点难点训练

一、选择题

1.（★★★★）已知其中a∈R，则a的取值范围是（）

A.a＜0

B.a＜2或a≠-2

C.-2＜a＜2

D.a＜-2或a＞2

2.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）

A.150种

B.147种

C.144种

D.141种

二、填空题

3.（★★★★）已知线段AB在平面α外，A、B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为

.4.（★★★★★）已知集合A={x｜x2-3x+2=0},B={x｜x2-ax+(a-1)=0}，C={x｜x2-mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，则a的值为，m的取值范围为

.三、解答题

5.（★★★★）已知集合A={x｜x2+px+q=0}，B={x｜qx2+px+1=0},A,B同时满足：

①A∩B≠,②A∩B={-2}.求p、q的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与｜MQ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1(n=0,1,2,...)时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,...)定义.（1）求x1、x2和xn的表达式；

（2）计算xn；

（3）求f(x)的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a＞0时，函数f(x)=ax-bx2

（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2b;

（2）当b＞1时，证明：对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件是b-1≤a≤2；

（3）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件.-11-

参 考 答 案

●重点难点磁场

1.解析：即f(x)=(a-1)x2+ax-=0有解.当a-1=0时，满足.当a-1≠0时，只需Δ=a2-(a-1)＞0.答案：或a=1

2.解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+｜-x｜+1=f(x)，此时f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2｜a｜+1.f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a)

此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x≤a时，函数f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+

若a≤，则函数f(x)在(-∞,a］上单调递减.从而函数f(x)在（-∞,a上的最小值为f(a)=a2+1

若a＞，则函数f(x)在（-∞,a上的最小值为f()=+a，且f()≤f(a).②当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+

若a≤-，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(-)=-a，且f(-)≤f(a)；

若a＞-，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增.从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当a≤-时，函数f(x)的最小值为-a；

当-＜a≤时，函数f(x)的最小值是a2+1；

当a＞时，函数f(x)的最小值是a+.●歼灭重点难点训练

一、1.解析：分a=

2、｜a｜＞2和｜a｜＜2三种情况分别验证.答案：C

2.解析：任取4个点共C=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种.答案：C

二、3.解析：分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决.答案：1或2

4.解析：A={1,2},B={x｜(x-1)(x-1+a)=0}，由A∪B=A可得1-a=1或1-a=2；

由A∩C=C，可知C={1}或.答案：2或3 3或（-2，2）

三、5.解：设x0∈A，x0是x02+px0+q=0的根.若x0=0，则A={-2,0}，从而p=2,q=0,B={-}.此时A∩B=与已知矛盾，故x0≠0.将方程x02+px0+q=0两边除以x02，得

.即满足B中的方程，故∈B.∵A∩={-2},则-2∈A,且-2∈.设A={-2,x0}，则B={}，且x0≠2（否则A∩B=）.若x0=-，则-2∈B,与-2B矛盾.又由A∩B≠,∴x0=，即x0=±1.-12-

即A={-2,1}或A={-2,-1}.故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根-2，1或-2，-1

∴

6.解：如图，设MN切圆C于N，则动点M组成的集合是P={M｜｜MN｜=λ｜MQ｜,λ＞0}.∵ON⊥MN,｜ON｜=1，∴｜MN｜2=｜MO｜2-｜ON｜2=｜MO｜2-1

设动点M的坐标为(x,y)，则

即（x2-1)(x2+y2)-4λ2x+(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故方程为所求的轨迹方程.（1）当λ=1时，方程为x=，它是垂直于x轴且与x轴相交于点（，0）的直线；

（2）当λ≠1时，方程化为：

它是以为圆心，为半径的圆.7.解：（1）依题意f(0)=0，又由f(x1)=1，当0≤y≤1，函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1的线段，故由

∴x1=1

又由f(x2)=2，当1≤y≤2时，函数y=f(x)的图象是斜率为b的线段，故由

即x2-x1= ∴x2=1+ 记x0=0，由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为bn-1，故得

又由f(xn)=n,f(xn-1)=n-1 ∴xn-xn-1=()n-1,n=1,2,......由此知数列{xn-xn-1}为等比数列，其首项为1，公比为.因b≠1，得(xk-xk-1)=1++...+ 即xn=（2）由（1）知，当b＞1时，当0＜b＜1，n→∞, xn也趋于无穷大.xn不存在.（3）由（1）知，当0≤y≤1时，y=x，即当0≤x≤1时，f(x)=x;当n≤y≤n+1，即xn≤x≤xn+1由（1）可知 f(x)=n+bn(x-xn)(n=1,2,...),由（2）知 当b＞1时，y=f(x)的定义域为［0,);当0＜b＜1时，y=f(x)的定义域为［0,+∞).8.(1)证明：依设，对任意x∈R，都有f(x)≤1 ∵ ∴≤1 ∵a＞0,b＞0 ∴a≤2.（2）证明：必要性：

对任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1-1≤f(x），据此可以推出-1≤f(1)-13-

即a-b≥-1，∴a≥b-1

对任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1f(x)≤1.因为b＞1，可以推出f()≤1即a•-1≤1，∴a≤2,∴b-1≤a≤2

充分性：

因为b＞1，a≥b-1，对任意x∈［0,1］.可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1

即ax-bx2≥-1

因为b＞1,a≤2,对任意x∈［0,1］，可以推出ax-bx2≤2x-bx2≤1

即ax-bx2≤1,∴-1≤f(x)≤1

综上，当b＞1时，对任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要条件是b-1≤a≤2.(3)解：∵a＞0，0＜b≤1

∴x∈［0,1］,f(x)=ax-bx2≥-b≥-1

即f(x)≥-1

f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1

即a≤b+1

a≤b+1f(x)≤(b+1)x-bx2≤1

数形结合思想巧解热点问题 篇6

关键词：数形结合；函数图象；代数；几何

一、巧解集合问题

在数学问题中，进行集合运算中常常借助对应的数轴、文氏图来处理集合的交、并、补等运算。从而使复杂的问题得以更加简单化，使运算更加快捷、明了，更快速有效.

例1.（2008北京卷，理1）已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x<-1或x>4}，那么集合A∩（CUB）等于（ ）

A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4}

C.{x|-2≤x<-1} D.{x|-1≤x≤3}

分析：不等式表示的集合通过数轴解答.

解：在数轴上先画出CUB{x|-1≤x≤4}，再画出集合A={x|-2≤x≤3}，取其公共部分，如图所示阴影部分就是集合A∩（CUB），故选D.

二、在基本初等函数中的应用

在解决一类不等式或方程问题时，直接解决十分困难，因此可以通过构造函数，结合函数的图象及不等式或方程表达的几何意义，利用数形结合法解.

数形结合思想是数与形的完美结合，是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在解决问题时我们既要考虑代数问题在形上的直观体现，又要考虑几何问题在数上的精确表示，达到“数形结合百般好，割裂分家万事非”的境界。

数形思想 篇7

学习工具《数形结合思想》的最大特色是动态性,能在变动状态下保持对象之间不变的几何关系。而且涉及的所有图像全部是计算所得,而不是手工绘制,保证了准确性。《数形结合思想》涉及图形的旋转、切割、函数图像的动态交点、移动同时翻转等。

1.页面直观且管理灵活

学习工具最底端是一级菜单,直观形象。另外,可根据课堂需要与学生的水平进行跳跃式自由选择。

2.可即时无限次重复

课堂教学,学生学习层次不同,需要教师分层次教学。传统教学,不可能实现,因为教师面对的是全体学生,不可能各个兼顾,再次重复时间也不允许,尤其是一些步骤很长的讲解,如画图等。而本学习工具可以很轻松地进行重复讲解。在讲解过程中,可以根据需要按“Alt+[、Alt+]”来加速或减速,以配合教学和学习进度。

3.节省了时间

数学课上与图像有关的内容大都是浪费时间而且也不够准确。传统教学课堂容量大大受限,而利用本学习工具,既准确地描绘了图形的特点,也可以在短时间完成操作,效果良好。另外,学生可以利用本学习工具自主学习、探索、再思考,以达到课堂上所不能实现的效果。

4.化抽象为形象,让运动过程一目了然

数学上的平移、旋转、切割等,只能是教师表达出来的“直观”,而学生根本没有看到这个图的运动变化过程,尤其不能全面把握图像的形成转变过程。本学习工具在这些方面做了改进。学生完全可以自己动手解决学习中的疑惑与困难,整个过程没有“盲区”。

5.便于学生自学,利于教师授课

本学习工具能够激发学生自主探讨学习的积极性。让学生不再机械地接受教师的说教,而变成主动地学习,由“要我学”变成“我要学”。当然,本学习工具也给教师的授课提供了便利。可谓教、学皆宜。

制作背景

数形结合思想,将代数式的准确与图像的直观有机地整合到一起,教师使用几何画板,使静态的图形变为动态,抽象的概念变得形象,枯燥的内容变得有趣,使课堂教学生动起来。利用几何画板,可以展示知识发生、发展的过程,更好地提示知识之间的联系。

本节课所选的所有例题均为课堂上曾经讲过的内容,在传统的课堂模式下,讲解只是限于讲解开头,展示结果,中间过程就这样被“忽悠”过去了。尤其是一些图像的运动过程,更是无从谈起,无法展现。因为中间过程是一个抽象的过程,不易表达,更无法显示。这一点一直是很多学生的“死穴”。也是很多教师的无奈。多年来,我一直想解决这一问题。信息技术的介入,使得这一过程变得容易多了。

教学内容分析与教学策略

《数形结合思想》是高三数学的复习专题。主要介绍数形结合法在不同领域的应用及联系。

在选择题目上,为了体现数形结合思想的广泛应用,我选择了一道平面解析几何例题,一道平面几何例题,两道函数例题,三道立体几何例题,另外,还有三道函数方面的练习题,以巩固所学方法,彰显学以致用的要旨。同时也让学生切身体会到方法的重要性。到了高三,绝对不是再简单地重复复习,而是把原本看上去风马牛不相及的内容进行有机整合,把原本一个个原孤立的点,联系到一起,形成一张知识网。

本学习工具在制作的时候选用数形结合思想,而没有选用数形结合法,主要是考虑到数形结合法有些狭隘,这样不利于高三复习,不利于开拓学生的思维,而数形结合思想便于学生领悟数形结合法在不同领域如立体几何、平面几何、平面解析几何、函数等方面的不同应用,使得数形结合思想的内涵更加丰富,真正体现了复习的主旨:复习并不是简单的重复,而是不同内容之间的有效整合。

设计思路及表现手法

《数形结合思想》这一节课是按授课习惯来设计,包括例题讲解、练习巩固、小结作业。整个过程符合教师的授课习惯和学生的认知规律。学习工具的设计分为一级菜单和二级菜单,按钮的功能全部写在按钮上,一目了然,所见即所得,哪怕一个新手也可以轻松操作。图1中最下面一行是一级菜单,而界面中的紫色文字部分(左侧部分)是二级菜单。根据需要也可以收起二级菜单,这样显得界面简单明了。

1.例题讲解,温故知新,一题多解,思维延伸

首先在课堂上简单复习数形结合思想的最初由来以及它的一些简单应用。再通过下面的例题讲解,体现数与形的真正结合,激发学生学习的兴趣与乐趣。下面逐一介绍。

(1)平面解析几何部分

这是一道高考题,此题解法就是运用最简单的几何法,向x轴、y轴引垂线,这样,求出这两个线段的长即得P点横、纵坐标。其实这个解法过于普通,也体现不出不同知识点的相互联系。

在讲解此题时,我讲解完上述方法之后,就给学生即时提了一个思考问题,如果让这个圆继续向右滚动,滚动到一个任意的位置,如图2中的位置C(3.86,1),此时学生会发现,原先方法虽然可用,但是费时。“那么有没有更好的解决办法呢?”这样一个不经意的提问,引导学生进入了另一个思考的空间,拓展了学生的思维空间,使得原本可以结束的思考再度被启动。

讨论之后,学生迫切希望能得一种更新的方法。这时候,教师适时插入一句:“求P点的坐标就是向量的坐标,而向量会随着P点的移动一直在变怎么办?”

在此过程中,学生会不断发现“新大陆”,激发了兴趣,也培养了他们的观察力及创新力。整个课堂气氛活跃而不滞怠,环环相扣,有序进行。

最终,教师点明方法:变化过程中,如果不变得越多,变化就越小,可以本着这个原则,利用,将这个变量转变成一个常量和另一个变量,而这个变量可以平移到原点,利用平面向量、三角函数的知识来进行解决。

在这个过程中,我们不得不说,原本这道题目是一个平面解析几何,但是,经过延伸之后,就巧妙地把平面解析几何的问题转化为平面解析几何、平面向量、三角函数相结合、相联系的问题,一举数得,将连点成线,连线成网。

(2)平面几何部分

看到这个题目时(如图3),我们最容易想到的就是求出S1、S,这样就可以求出S1∶S。但是,本题纯粹利用了图形的分割,通过观察不得不说,数形结合思想应用得非常巧妙而精到。

由图像可知,此法形象直观,不做过多陈述。

(3)函数部分

看到3f(x)=x这个公式(如图4),很容易让人想到要先化简,但是,首先f(x)是分段函数,其实,这是分段函数的第一段还含有一个参数m。

这样首先把3f(x)=x化成f(x)=x/3,而求交点问题就转变成了求函数y=f(x)与y=x/3的交点问题。而由于y=f(x)含有一个参数m,而m会影响图像,故而可以借助于函数的图像来研究交点问题,进一步可以观察m的变化如何影响函数y=f(x)的图像,这样就可以求出参数m的图像了。

如图4所示,当第一次相切时,恰好四个公共点。如图5所示,当第二次相切时,恰好五个公共点。而参数m的变化就会导致半个椭圆拉长还是缩短,故而由图像可知,求出参数m的取值范围。

(4)立体几何部分

本题是立体几何中的最小值问题(如图6),最常见的处理方式就是将一个弯曲或变折的平面铺平在一个平面上(如图7),根据两点间线段最短,求出折线段的和的最小值(如图8)。整个过程非常自然,学生看到整个演示过程,不再有任何疑问。

一个四棱锥五个面,一个四面体四个面,这两个几何体的所有棱长均相等,这样四面体的任何一个面都与四棱锥的侧面全等(如图9),这样当将它们平移(如图10),然后重叠之后(如图11),很容易这样考虑:5+4-2=7。但是,实际如何呢?我让学生根据本学习工具自己动手演示。

学生发现,先把原来的四棱锥向右平移一个,这样显然紫色的平面与红色的平面是在一个平面上(如图12),而中间空出的部分正好是正四面体的形状。根据图示可以发现紫色的平面与绿色的平面实际上是一个平面,这样最终形成的几何体就是5个平面。

看来数学不能只通过眼睛来学习,而要通过眼睛去观察、大脑去思考,全方位的联系才能真正找到答案。在这一过程中,学生的学习兴趣与信心倍增。将一个枯燥的学习过程,变得轻松自然。而且最为主要的是学生自己发现、探讨、解决问题,体现了教师为主导,学生为主体的思想。

教师在讲解这一几何问题时,在黑板上擦了画,画了擦,仅凭教师说,学生完全看不到切割之后的形状。学生根本想象不出,切割完后,到底是一个什么样的几何体。但是,本学习工具把整个切割过程完全展现在学生眼前,拟物性非常强。

原先的几何体(如图13),移开左边的几何体(如图14),移开右边的几何体(如图15),左右两边的几何体手动调整,可以自由拖动(如图16)。这样,最终几何体的表面是什么样,就一清二楚了。

2.自主练习,巩固提高,举一反三,思维提升

练习的设计层层递进,让学生在不知不觉中突破了难点。整个过程跨度自然,由一个层级跃到另一个层级,而不是让学生感到遥不可及,也并不是随意而为,需要思考才能解决问题。思维量增大,学生的学习能力也随之提高。

本题所设计的题目,也是数形结合题型中的“熟面孔”,平常学生只能看到一些固定的程式,但用手拖动“用手拖动改变a的大小”,就可以轻松改变对数函数的底,进一步改变对数函数,这样这两个函数在区间(1,2)上的交点问题就一目了然了,在复习了对数函数的底数变化的同时,也完全可以看到对数函数因为底的变化而改变的过程。学生如果掌握熟练,可以自己点击按钮,如果嫌演示的速度太快,可以手动拖动,直观形象,就好像把这两个函数的图像“玩于股掌之间”(如图17)。

本题目的设置如果用代数法,非常麻烦,因为方程两边的式子中均含有参数a,而且不容易分离,这样,可以代数式与图像并举,让学生观察a的变化如何改变两边函数y=x|x-a|与y=a的位置关系,进一步明确如何改变它们的交点的问题(如图18)。

这是一个函数图像的交点问题。这样,我们就可以很轻松地看出它们的交点,问题迎刃而解(如图19)。

3.提纲挈领,汇总提升,浓缩精华,融会贯通

让学生快速掌握本节课的内容框架,可以让学生复述本节课学习重点内容,使学生能够全面掌握《数形结合思想》的精髓,为课余的复习、练习、巩固、提高做好了知识储备。

内容结构与艺术布局

《数形结合思想》这一节课,完全按照由浅入深、化抽象为具体的思路来进行。利用学习工具节省了大量时间。而且每一个页面都可以根据学生的掌握情况进行重复,使再现讲课过程等成为现实,真正实现了分层施教。

考虑到学生的基础情况、对知识的掌握情况等,学习工具在设计内容上非常灵活,根据课堂内容可以随意选择例题练习,而有些不必要讲或者来不及讲的内容可以直接不用显示。这样不会使整堂课有残缺感。学习工具在制作时也充分考虑了色彩对学生的影响,背影颜色柔和大气,图形颜色也是清晰醒目,调动了学生的多种感官。

组件要素与技术处理

一节课,教师不管讲解得如何详尽,总会有一些学生不太明白,或者是当时有些个别原因(如走神)而不能完全掌握一节课内容。在制作学习工具时,我想到了这一点,随时可以给学生再现刚刚结束的讲解过程。

在讲解《数形结合思想》时,传统的教学方法无法把首尾之间的过程讲解清楚。几何画板把图像的变化过程完全展现出来,而且每一次图形的变化过程,都清晰地显示了它们的相对的位置关系。

在平移加旋转的设计时,我把这个运动过程分解成平移和旋转,各自运动,然后将它们组合到一起,这样就会出现图形一边平移一边旋转的效果,逼真而直观。

评价与反思

决赛的整个过程,我一直在现场,说实话,可以说是高手如云,没有哪个人敢说自己的学习工具是完全优于别人的。因为大家都是各有所长,而且不同软件做的学习工具各有精彩之处。我对我自己的学习工具进行如下总结评价:1学习工具页面管理灵活;2可以无限次重复;3大大节省时间;4化抽象为形象;5运动变化,相对位置不变;6准确率高。

但是,多媒体归根结底是一个辅助工具,在使用过程中,也难免会有这样那样的问题:1学习工具的驻留性差,在使用过程中,用到下一页,就无法看到上一页。尤其是教师授课时,学生有时候无法及时回顾自己不会的内容;2醒目的颜色会刺激学生,也有可能诱使学生转移注意力,把学习工具的展示当成“热闹”而偏离了课堂的主题,达不到预期的效果。3学习工具准备时间太长,有时候很难跟上快节奏的高中课程。

幕前幕后

比赛过程中,选手们显然都做了精心的准备。数学化学习工具,突出的是工具的特点,平时的学习过程中,尤其是现在的高中学习,节奏普遍偏快,这就要要求学习工具不宜做得过大,能够对教育有所辅助,能够激发学生的兴趣,提高教师的授课的科学性,而且能够再次开发利用就足够了,而不是为了比赛而纯粹赶制这个“视频”。

我个人以为,今后在教学过程中,学习工具的制作得考虑到授课的进度和需要,如有些难点不易突破,可以作一个片段,让学习工具也微课化!这样可以节省时间,同样可以解决重点、难点,一举两得。期待下一次会有更好的学习工具“面世”。

评委印象

《数形结合思想》是一节高三复习专题课,数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,它主要是把抽象的数学与直观的图形结合起来,本节课内容对提高学生的思维能力和数学素养很有帮助。在传统的课堂模式下,教师基本是在黑板上绘制一个静态的图像,然后通过手势比划进行讲解,教学效果不好,教学效率不高。展老师用几何画板所制作的《数形结合思想》学习工具,就能很好的突破这个难点。该学习工具有以下的一些优点。

印象一:化抽象为形象,让运动过程一目了然

通过学习工具使学生看到图形的运动变化过程,尤其是图像的形成转变过程。例如,学习工具中将三视图化为直观图,就很好地把图形的变化过程完整的展示在学生眼前,把原本只能“凭空捏造”的过程变得直观形象。

印象二:课堂教学容量大,效率高

在传统教学中,因为在绘制图形的环节就占了课堂的很多时间,所以教师一节课只能讲解4道左右的数形结合习题,这使得课堂的教学容量小、效率低。而本课的例题加练习达到了10道题目,使得课堂容量很大,从而实现高效课堂。

印象三:学习工具使用方便灵活。该学习工具既可以作为教师的课堂展示工具,也可以作为学生一对一的自学学习工具,使用方式非常灵活。

不过,本课也有一些地方值得商榷。例如,课堂容量太大,对学生的要求较高,基础差的学生可能跟不上;课堂比较传统,主要以教师讲授为主,不是很符合新课标中的以学生为主体,教师为主导的要求等。总的来说,无论是对教师还是对学生,《数形结合思想》仍不失为是一个优秀的数字化学习工具。

例谈数形结合思想的运用 篇8

数学结合是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数字特征，寻找解决问题的方法的一种数学思想。在中学数学中，数学思想从渗透到形成和运用，经历了三个主要阶段：一是数形对应，二是数形转化，三是数形分工。下面笔者举例说明数形结合思想的应用。

一、数形对应

例1.如图1, AB是平面的α斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是%%%。

分析：如图2，点P可看作是以AB为中轴，底面为以定值为半径的圆柱的侧面与平面的交线，又AB为平面α的斜线段，故交线为椭圆。即点P的轨迹是椭圆。

例2.(08全国卷一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是_____。

分析：本题是稍难的数形对应题目。汽车启动后是加速行驶阶段，速度变化率越来越大，即该段切线斜率越来越大，到匀速行驶阶段是斜率不为零的线段，而减速行驶阶段速率的变化率越来越小，只有图像(1)符合。本题是典型的数形对应题目，借助图形求解参数的取值范围是高考数学的常考题型之一。

二、数形转化

例3.(08湖北卷13)方程2-x+x2=3的实数解的个数为___。

分析：方程的解的个数和方程的实根分布问题通常是借助函数的图像来解决。本题就是将方程转化成2-x+x2=3，方程的解的个数就是函数y=2-x与函数y=-x2+3的图像的交点个数，由右图可知交点有2个，故原方程的解有2个。

例4.(08江苏卷6)在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率%%%。

分析：这是考查苏教版新教材中增加的内容———几何概型的题目。几何概率经常转化成长度、面积、体积、角度等的比值来求解。这是新课标中数形结合思想的又一重要应用。

解：设P (x, y)，由题意知若P在区域D中则|x|≤2，|y|≤2，即区域D是如图所示的正方形，边长为4，若P在区域E中，则x2+y2≤1，则区域E是如图所示阴影部分的单位圆面，所求概率等于单位圆的面积与正方形的面积的比值，即。

例4.若α，β，γ都是锐角，且满足cos2α+cos2β+cos2γ+1=0，求cosα·cosβ·cosγ的最大值。

分析：本题求三角函数的最值，依靠纯三角运算，解题过程十分冗长，构造一个几何体，问题解决容易多了。

解：由条件cos2α+cos2β+cos2γ+1=0可知：cos2α+cos2β+cos2γ=1，构造长方体如图所示，令AB=a, BC=b, B1B=c，对角线D1B与BC, AB, B1B分别成α，β，γ角, 则

当且仅当a=b=c时取等号，也即当且仅当有最大值为。

三、数形分工

例5.(07浙江卷)不等式|2x-1|-x<1的解集是_________。

分析：本题由代数方法求解，要分类讨论去掉绝对会值，步骤繁且费时。借助图像解则直观简捷，将原不等式等价于|2x-1|<1+x，设y1=|2x-1|，y2=|1+x|，两函数图像如图所示，令y1=y2，解得两图像的交点为x1=2, x2=0, y1

以上例题反映数形结合思想在中学数学中的应用十分广泛，形是数的直观表现，数是形的精确反映。以数助形，可使抽象问题形象化;以数解形，可把复杂图形中的关系转化为数量关系来处理。深刻理解数形结合思想并合理应用，可以较好地优化解题思路，提高分析问题，解决问题的能力，希望大家不要得“意”忘“形”。

摘要：数形结合是每年高考常考查的重要数学思想之一, 形是数的直观表现, 数是形的精确反映。以数助形, 可使抽象问题形象化;以数解形, 可把复杂图形中的关系转化为数量关系来处理。深刻理解数形结合思想并合理应用, 可以较好地优化解题思路。本文通过几个典型例子说明数形结合思想的应用。

数形结合思想与解题教学研究 篇9

解题是实现中学数学教学的一种手段, 是教学活动的重要形式。解题教学是教师对学生运用知识进行独立思考活动的指导过程, 也是使学生掌握数学基础知识, 培养基本技能, 提高数学能力和发展智力的必要途径。通过解题, 我们还可以培养学生辩证唯物主义世界观, 以及刻苦钻研精神和独立工作能力等优良品质。

数学在其漫长的发展过程中, 不仅建立了严密的知识体系, 而且形成了一套行之有效的方法。一般认为数学思想方法的概括, 是贯穿于该类数学方法中的基本精神、思维策略和调节原则。它制约着数学活动中主观意识的指向, 对方法的取舍具有规范和调节作用。形和数这两个概念, 是数学的两块基石。数学大体上都是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而展开的。在数学发展过程中, 形与数常常结合在一起, 在内容上互相联系, 在方法上互相渗透, 在一定条件下互相转化。

早在数学的萌芽时期, 人们在度量长度、面积和体积的过程中, 就把数和形联系起来了。我国宋元时期, 系统引进了几何问题代数化的方法, 用代数式描述某些几何特征, 圆形中的几何关系表达成代数之间的代数关系。17世纪, 法国数学家笛卡尔, 通过建立坐标系, 建立了形与数之间联系, 创立了解析几何学。后来, 几何学中许多长期没有解决的问题, 如尽规作圆三大不能问题, 最终也都借助代数方法得到解决。形与数的内在联系, 也使许多代数学和数学分析课具有鲜明的直观性, 而且往往由于借用了几何术语或运用了几何的类比从而开拓了新的发展方向。例如, 线性代数正是借用了几何空间、线性等概念与类比方法, 把自己充实起来, 从而获得迅猛的发展。形与数的结合正是在上述背景下逐步形成的。它在数学数学与数学发展中的重要意义, 正如在《数学发展史》中法国数学家拉格朗日所指出:“只要代数同几何分道扬镳, 它们的发展就缓慢, 它们的应用就狭窄, 但是两门科学结合成伴侣的, 它们就互相吸取新鲜的活力, 从那以后, 就以快速的步伐走向完善。”因此, 在教学中我们必须重视形与数相结合思路的应用。

在现实世界中, 形与数不可分离地结合在一起。这是直观与抽象相结合、感知与思维相结合的体现。形与数相结合不仅是数学自身发展的需要, 而且是加深对数学知识的理解、发展智力、培养能力的需要。从表面上看, 中学数学内容可分为形与数两大部分, 中学代数是研究数和数量关系的学科, 中学几何是研究形和空间形式的学科, 中学解析几何是数与形结合的内容。从以下几例便能说明其数形结合妙之所在。

1.研究数与数轴相结合。在中学所学的实数中, 把每一个数与相应的点对应, 把这些点按顺序构成一条直线。又由数与数轴上的点反映了二者之间的“一一对应”关系, 能直观地通过数轴反映数之数之间的连续性、稠密性, 使得中学数学更加具体、生动。

2.当在平面上建立了坐标系后, 平面上的点与有序实数对之间建立起一一对应的关系, 任何一条直线都可以写成关于X、Y的二次方程, 任何X、Y的二元一次方程都表示一条直线。这样我们就可以利用直线的方程讨论两直线的位置关系、两条直线所成的角、点到直线的距离, 这种通过方程研究图形性质的方法提示了“数”与“形”的内在联系。首先根据图形特点, 建立适当的直角坐标系 (所谓适当, 就是保证题目的解证过程中运算简便, 过程简单, 结果明确) ;其次根据已知条件, 标出已知点坐标, 给出已知直线或曲线的方程, 然后由题设或图形的几何性质, 已知的点或曲线方程, 推导出要求或要证结果。由上题可看出, 用这样的方法解证题目, 思维流畅, 方法灵活, 几何问题完全通过代数方法得到解决。

“横看成岭侧成峰, 远近高低各不同”。“数形结合”仿佛神来之笔, 为问题的解决提供了探索途径, 其独到的思维风格给人以享受, 并且带给人以成功的巨大喜悦。

3.研究函数与其图像相结合。函数是数学的概念之一。函数是贯穿整个数学的一个重要的、抽象的概念, 函数作为两个集之间的特殊关系贯穿整个数学课程。函数作为运算出现, 例如两个数的和与这个数对应;在初中代数中, 函数表示两个数量之间的关系:在几何中函数表示下一个点集到它的象集的变换 (平移、对称、旋转等) 。如研究二次函数y= (x+a) 2+b, 根据作图法画函数的图像, 是一个由数到形的变化。对学生来说, 图像性质是最难掌握的, 尤其二次函数的图像的变化, 需要高度的数形结合的思路, 包括“看图算数”与“以数想图”两方面。前面作图时已有了数到形的变化。如果改变图形的形状、大小、位置后, 函数式中的系数又随之怎样变化呢?

通过图形, 我们就可以总结出有关结论。这又是形到数的变化, 再如指数函数的有关教学通过图解, 充分说明了这又是一个数形结合思路贯穿于始终。有关数形结合的思路在数学学习中随处可见:代数方程可表示各种关系, 它可解决有关长度、面积等问题;一元一次方程、二元一次方程分别表示平面直线、二次曲线等。

浅谈初中数学数形结合思想 篇10

一﹑由数想形

1.借助数轴引导学生合理理解数学概念法则.

数轴是重要的数学学习工具, 借助其可直观表示较多数学问题, 令数形有机结合, 因此在初中数学教学中我们应合理应用数轴帮助学生整理绝对值的几何意义, 掌握数轴上任意两点间的距离等于两点所表示数的差的绝对值.

例1:已知|x-1|+|x+2|=3, 则x的取值范围为__ .

理解:|x-1|, |x+2|分别表示数轴上表示x与1、x与-2之间的距离, 则本题就可借助数轴找x到1和-2的距离和等于3的点在-2和1之间, 所以答案为-2≤x≤1.

变式1:已知|x-1|-|x+2|=3, 则x的取值范围为__ .

由上题可知, x到1和-2的距离差等于3, 因此本题要找的是x到1和-2的距离差等于3, 借助数轴发现x只能在-2的左边, 或1的右边, 所以答案为x≤-2或x≥1.

2.借助数轴引导学生分析不等式中部分解求范围问题.

例2:若不等式x-m≤0的正整数解为1、2、3, 则m的取值范围为__ .

解不等式得:x≤m.通过画数轴可知正整数解为1、2、3, m的大致范围在3和4之间, 再讨论m=3和m=4的情况, 当m=3时符合题意, 当m=4时, 不等式有4个正整数解为1、2、3、4.所以本题的答案为3≤m<4.

3.借助抛物线图像给定自变量取值范围求因变量范围.

例3:已知函数y=-x2+2x+4 (-2

分析:由自变量范围可知二次函数有意义图像在ACB这段曲线上, 经过图像的最高点, 所以函数在自变量范围内有最大值.当x=-2时, 函数最小值为-4;当x=1时, 函数最大值为5, 所以y的取值范围为-4

4.由数结构想到构造直角三角形利用勾股定理求最值.

从上文已经知道, 以形助数是根据代数问题所蕴含的几何意义, 将代数问题转化成几何问题并加以解决, 使得代数问题变几何化, 借助于几何图形直观地得到问题的结论, 使得原本抽象而复杂的问题变得更形象化、简易化.

二、由形知数

1.初中数学教学中应利用数形结合, 引导学生用代数方式有效解决识图问题.

例5:如图1, 在梯形ABCD中, AD∥BC, ∠A=60°, 动点P从A点出发, 以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动, 直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S (单位:cm2) 与点P移动的时间 (单位:s) 的函数如图2所示, 则点P从开始移动到停止移动一共用了__ 秒 (结果保留根号) .

2.用代数的方法有效地解决几何图形中的翻折问题.

(1) 求∠OAB的度数;

(2) 求当点A′在线段AB上时, S关于t的函数关系式;

(3) 当纸片重叠部分的图形是四边形时, 求t的取值范围;

(4) S存在最大值吗?若存在, 求出这个最大值, 并求此时t的值;若不存在, 请说明理由.

∴∠OAB=60°.

(2) 当点A′在线段AB上时,

∵∠OAB=60°, TA=TA′,

∴△A′TA是等边三角形, 且TP⊥AB, TA=5-t,

(3) 当纸片重叠部分的图形是四边形时, 因△A′TA是等边三角形, 所以2

(4) S存在最大值.

(3) 当0

通过几何图形的变化, 用函数表达求最值是考试中常见的问题.因此在教学中应该引导学生画图, 结合图形用函数描述几何图形的变化.数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得直观, 解题思路非常清晰, 步骤非常明了.另外, 还可以激发学生学习数学的兴趣.

关于数形结合思想方法的认识 篇11

一、对数形结合思想的认识

数形结合思想是对数学问题规律的认识，是无数前人在多少年的数学研究和教学过程中总结出来的根本方法。数与形是不可分离的，只有当它们共同存在时，才会使人更加方便地研究数学。我国著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直觉，形少数时难入微”“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，他还幽默地告诉大家不要“得意忘形”。由此说明，在解决问题的过程中，数形结合是多么的重要。

（一）以“数”化“形”

以数化形，实际上就是根据定理公理把有关数量的问题图形化，一般有以下的几种情况：应用平面几何知识解决问题，应用解析几何知识解决问题，应用立体几何知识解决问题。有些数量是比较抽象的，不容易理解或者运算，例如无理数和一些复杂的有理数。当我们在运算解题的过程中无法算出精确的结果时，就需要借助其他的工具来辅助运算，而这个工具就是图形。而数和形在数学问题中是存在着某种相对应的关系的，我们就根据这些关系转化。因此，在课堂上渗透数形结合思想时，教师可以适当地多准备一些类型题，让学生通过训练把和具体的数相对应的形找出来，再联系之前学过的知识，根据它们之间存在的数量关系解决问题。

（二）以“形”变“数”

我们总说数学是抽象的，是因为它是由具体的事物中提取出来的关于量的方面的属性或关系，而数和形是量的最基本的两个概念。大家都很清楚图形的特点，很直观，能够形象的表达出已知条件，有些小的结论更是显而易见。学生面对复杂的图形，不能一见到图就脑袋疼，更加不能自暴自弃，一定要仔细观察图形的特点，发觉题目中隐含的条件或者结论，再联系之前学过的知识，准确地把图形数字化，最后对问题进行分析运算，这样理清了思路之后，做题才会更加舒畅，也大大地减少了做题的时间。

图形作为一种重要的数学工具，能够生动形象地将抽象问题转化成简单熟悉的问题，使学生对数学本质的把握更加有保障，使我们对问题的解决方法的掌握更加熟练。要想做到胸中有图，就需要教师在日常课堂教学中，逐渐地渗透数形结合思想，锻炼学生应用数形结合思想解决问题，才能发展学生的数学思维，进一步加强解题能力。

（三）“形”“数”互变

实质上就是以数化形和以形变数的结合。学生的创新思维能否广阔的发展，就要看他对数形结合的思想方法是否能够熟练掌握。事实上，数形结合思想背后是符号语言和图像语言在支撑。只有当学生在这方面的词汇积累越加丰富时，解决问题可能产生的思路才会越加广阔，解决方法才会越多，更加灵活。在定量方面，图形并不能帮助我们算出具体的数值，这时就需要借助代数的运算。

从数与形两个方面对问题进行分析，在教师的引导下，学生逐步地探索出解题思路，找到问题的结论。我们把这样的解题思路称为“利用图形探路子，结合图形找式子”。

在日常的教学活动中，教师应该有意识地加强锻炼学生利用几何图形的意义解决问题，熟悉了几何意义才能更加巧妙地把数和形结合起来解决复杂的数学问题。

数形结合的思想方法非常重要，需要我们学习。我们要根据代数、几何各自的独有特点对一些典型的例题进行剖析和归纳。数形结合思想方法的运用帮助学生准确地解决数学问题，有助于学生对解题技巧的把握。

二、对数形结合思想的教学建议

运用数形结合的思想方法教学时，应注意以下几点。

1.教师在课堂上给学生渗透数形结合思想，一定要先把数和形的概念讲清楚，再将方法分成几类来讲。

2.数和形是数学的两大基本概念，我们把它们比作为数学的双翼，没有数与形，失去了双翼，数学的发展也就迷失了方向。

3.把有关几何学的问题通过某种方式的变换，转化成代数的问题，再利用一些代数学的方法对它进行解析、说明，使数与形结合起来，有时可以得出一些重要的结果。

4.把相对应的的数与形统一起来，仔细观察，把曲线与代数方程结合在一起考虑。不要放过任何小的细节，通过已知条件或隐含的知识，找到解题的关键。

总之，只有当代数与几何结合在一起，相互促进地创新发展，羽翼丰富，数学才会显示出强大的生命力和无穷的魅力，才会展现数学的美丽风采，给我们带来美的享受。

初中数学数形结合思想的探究 篇12

一、数形结合思想的重要性———提升初中数学教学水平

在数学学习过程中, 图形是学生常常接触而又相对抽象的数学现象。如何将数学问题与各类图形相关联呢?这就用到了上文提到的“数形结合”的概念。教师需要首先对学生的意识进行培养, 对数形结合的概念进行渗透, 逐渐灌输学生在解题中用图形说明问题的思路和概念。其次, 在实际教学中教师应适当地讲授一些生活中的图形知识, 例如:中考中折纸、扇形与圆锥之间的联系, 图形的镶嵌等。在教学中多设计一些数形结合的问题, 让学生将理论知识应用于解决问题中, 锻炼学生的逻辑思维, 增强学生的自信, 更有利于学好数学。

二、初中数学中数形结合思想的广泛应用

1. 借助数轴引导学生合理理解数学概念的法则。

数轴是数学中重要的学习工具, 它能将许多数学问题直观化, 教学中我们应合理利用数轴辅助学生学习相反数、绝对值等数学知识。在实数轴上, 到原点距离相等且在原点的两侧的两个点是相反数, 而表示这个数的点到原点的距离是绝对值。通过数轴这个形, 学生很容易理解有关数的概念。

2. 数形结合是初中数学中用代数方法解决几何问题的桥梁。

初中数学中, 几何学习离不开代数的计算, 例如在角、线段、平行线的教学中, 除了要求学生会认角、会表述角、会看线段、表述线段、会认平行线中的同位角、内错角等几何知识外, 还要求学生对其中的角、线段进行正确计算。又如在直角三角形教学中, 代数中的勾股定理、三角函数知识是解决几何问题的重要手段。因此, 灵活变通地利用数形结合思想能有效地解决几何难点问题。

3. 在坐标系中, 利用函数图像得出函数性质, 并解决实际问题, 从而提高学生能力。

函数的知识贯穿整个初中数学的教学, 在初中数学中占很重要的部分, 从七年级的反比例函数、八年级的一次函数到九年级的二次函数, 在知识由浅入深的学习中, 数形结合思想始终在逐步渗透。在教学中, 从图像到性质, 再到解决实际问题, 都体现数与形的完美结合。尤其是二次函数是整个初中教学的难点, 中考最后一道大题就是二次函数的综合应用, 是数形结合思想的最充分的体现之处。从二次函数的图像中可判断出a、b、c的符号及对称轴和顶点坐标。在抛物线的平移、旋转的过程中可看出对称轴及顶点坐标的变化情况, 继而可求出变换后的抛物线解析式。只有熟练掌握a、b、c在图像中的作用, 并且对图像在坐标系中与X轴Y轴交点, 对称轴、顶点坐标等代数知识熟练掌握, 才能对二次函数活学、活用。只有在平时的教学中逐步引导学生空间的形与抽象的数巧妙结合, 才能真正提高学生分析问题、解决问题的能力。

4. 利用数形结合使得应用题由复杂到简单, 充分体现数形结合思想的应用起到事半功倍的作用。

应用题在初中数学中应用广泛, 并且难度较大, 许多学生解决起来较棘手, 在七年级一元一次方程的实际应用中, 行程问题是重点也是难点, 教会学生仔细读题, 从给的已知中找出重点信息画出线段图, 分析时间、速度、路程的关系, 便可容易地找出等量关系, 从而准确列出方程, 解决问题。在八年级, 解决手机收费哪种便宜的应用题时, 如果能在同一坐标系准确画出两个函数图像, 学生就能从图像中清晰地比较出结果。从图像入手, 可使较复杂的应用题变得浅显易懂, 让学生对数学充满信心, 也对数学产生兴趣, 感觉数学不再枯燥。

三、数形结合的教学实例在初中数学中的应用

数形结合思想在初中数学教学中应用非常广泛, 我们首先应让学生意识数与形的密切关系, 其次培养学生根据具体题目具备以下能力。

1. 学会在代数中巧妙构造几何图形, 从而顺利用几何图形解决代数问题。

例1:已知抛物线与x轴交于A、B两点, 与y轴交于C点, 则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数有 () 条。此题直接用代数方法求解比较困难, 但是如果能画出图形, 把抽象的代数问题转化为直观的图像, 从所画的等腰三角形入手, 通过对出现的各种可能的等腰三角形的仔细分析, 最终才能得出正确的答案, 因此, 只有找到正确的方法, 才能使复杂问题简单化。

2. 学会巧妙从所给的几何图形中观察并分析出内含的代数关系, 从而解决实际问题。

在一些函数问题中, 可根据函数图像, 直观地观察出点的坐标、线段的长度及图像与X轴Y轴的交点情况等, 较容易的将几何问题转化为代数问题, 通过计算求解。例2:已知关于x的二次函数y=-x2+bx+c (c>0) 的图像与x轴相交于A、B两点 (点A在点B的左侧) , 与y轴交于点C, 且OB=OC=3, 顶点为M。 (1) 求出二次函数的关系式; (2) 点P为线段MB上的一个动点, 过点P作x轴的垂线PD, 垂足为D, OD=m, △PCD的面积为S, 求S关于m的函数关系式, 并写出m的取值范围。这是一道几何与函数的综合题, 题中设计的问题由简单到复杂。此题是借助图像探索由形到数的密切联系, 我们要让学生深切体会到形数转换的美妙之处, 形与数密不可分。能把图形信息正确转为代数信息是学生能顺利解决问题的关键。

3. 掌握数与形的对应关系, 以图识性, 以性识图。

数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象。将抽象的数与直观的形双向联系与沟通, 可使抽象思维与形象思维有机地结合起来, 化抽象为形象, 从而达到化难为易的目的。例3:一次函数y1=k1x+2与反比例函数的图像交于点A (4, m) 和B (-8, -2) , 与y轴交于点C。 (1) 根据图像可知, 当y1>y2时, x的取值范围是; (2) 过点A作AD⊥x轴于点D, P是反比例函数在第一象限图像上一点, 直线OP与线段AD交于点E, 当S四边形ODAC∶S△ODE=3∶1时, 求P的坐标。此题需要学生具备从图中获取信息, 并通过这些信息进行综合分析的能力, 从给出的图形中寻找隐含条件, 是顺利解决此题的关键。

由以上对初中数学数形结合思想的探讨, 我深刻感受到在整个中学阶段对学生深入渗透数形结合思想对提高解题能力极为重要。在平时的日常教学中, 指引学生从形中觅数、在数中思形, 借助坐标系、几何图形、折纸、实物教具等, 时时渗透数形思想在解决实际问题中的美妙所在, 真正做到让学生灵活掌握, 使问题得以简单化, 从而达到优化解题过程的目的。总之, 在初中数学教学中, 结合教材内容, 把数形结合思想作为一种提高学生解决问题的基础工具, 在整个初中阶段持之以恒的渗透, 不但我们的教学水平能得以提高, 学生也能在中考中取得优异成绩。

摘要：在数学教学中应锻炼学生利用“数形结合”的方法去分析、解决问题。首先, 在课堂教学中给学生讲授数形结合的思想;其次, 介绍其在初中数学中的应用;最后, 利用生活实例证明数形结合思想在教学中的用途。