数形结合思想方法

数形结合思想方法（通用10篇）

数形结合思想方法 篇1

数形结合思想方法的内涵与作用

“数缺形，少直观；形缺数，难入微”，这是华罗庚教授对数形结合思想的深刻、透彻的阐释。具体地说，就是在解决数学问题时，根据问题的背景、数量关系、图形特征，或使“数”的问题，借助于“形”去观察；或将“形”的问题，借助于“数”去思考，这种解决问题的思想称为数形结合思想。

事实上，数形结合思想，就是用联系的观点，根据数的结构特征，构造出与之相适应的图形，并利用图形的性质和规律，解决“数”的问题；或将图形的部分信息或全部信息转换成“数”的信息，弱化或消除“形”的推理，从而将“形”的问题转化为数量关系来解决。

给“数”的问题以直观图形的描述，揭示出问题的几何特征，就能变抽象为直观；给“形”的问题以数的度量，分析数据之间的关系，更能从本质上深刻认识“形”的几何属性。

数形结合思想在课本中，具有突出的地位。比如：在集合运算中的应用。涉及集合的运算，常常采用文氏图，数轴等形象、直观的方式；在研究函数时，已知函数的解析式，作出函数的图象，再通过函数的图象研究函数的性质；或通过图、表的分析，抽象出变量之间的规律，再通过变量之间的规律的研究，进一步掌握图、表的变化趋势；运用数形结合思想，构出适当的图形证明不等式和解不等式往往十分简捷。

又如，笛卡儿用数形结合思想将长期对立的代数与几何有机结合，创立了数学的一大分支——解析几何，构建曲线与方程的理论，集中解决了两大问题：已知曲线求方程和通过方程研究曲线的性质。

下面举例说明数形结合的奇妙。

例1：已知实数 满足，求证：

d的几何意义是直线 ： 的点与定点M（－2，－2）的距离，由点M到直线 的距离为，根据平面几何的知识知，即。

例2：已知，且，求证：。

分析：要解决本题是很容易的，但我们从“形”的角度来认识和解决这个问题是十分有趣的。记，那么d的几何意义是在空间直角坐标系中，原点O（0，0，0）到平面 上任意一点的距离。设平面 与空间直角坐标系的x轴、y轴、z轴的交点分别为A、B、C，则OA=OB=OC=1，那么正三棱锥O—ABC的侧棱为1，侧面的顶角均为90°（如图）。由等体积法易得，点O到平面ABC（即平面）的距离为。“数”与“形”是数学研究的两个基本对象，“数”，属于数学抽象思维范畴，是人的左脑思维的产物;而“形”主要指几何图形，属于形象思维范畴，是人的右脑思维的产物。利用“数形结合”方法能使“数”和“形”统一起来，借助于“形”的直观来理解抽象的“数”、运用“数”与“式”来细致、入微地刻画“形”的特征，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利、有效地解决问题。

“数无形时少直觉，形少数时难入微”形象生动、深刻地指明了“数形结合”思想的价值，也揭示了数形结合思想的本质。

“数形结合”的方法就是把数学问题中的运算、数量关系等与几何图形与图象结合起来进行思考，从而使“数”与“形”各展其长，优势互补，相辅相成，使逻辑思维与形象思维完美的统一起来。

数形结合思想方法 篇2

恩格斯曾说过:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学.”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系, 既分析其代数意义, 又揭示其几何直观, 使精确数量与直观空间形式巧妙、和谐地结合在一起.充分利用这种结合, 寻找解题思路, 使问题化难为易、化繁为简, 从而得到解决.“数”与“形”是一对矛盾, 宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一.在教学中, 抽象的数学只有与直观的图形结合起来, 才能使学生掌握得更扎实, 记得更清楚、牢固, 从而达到看图说话的效果.

下面分别从几个方面来说明数形结合思想方法在解题中的一些妙用.

1. 不等式证明的问题

思路分析本题用代数方法也不难获证, 但用数形结合的思想与方法则不仅简洁清晰且体现了一种创新.我们可以把表示以a, b为直角边的直角三角形的斜边, 因此, 本题可以用几何法解决.解法如下:

解如图1所示, 在单位正方图1形中,

从本题我们可以看见, 在不等式两边的表达式中我们可以看到其明显的几何意义, 因此我们可以把不等式与图形建立联系, 设法构造出图形1, 并将不等式所表达的抽象数量关系转化为图形的位置与度量关系加以解决.

2. 求最值问题

思路分析本题难度较大, 用一般方法不易求解, 且过程十分烦琐.于是考虑能否将“数”转化为“形”.

通过上面的例2, 我们看到对于难度较大, 用一般的方法不易求解且过程烦琐的问题, 用数形结合的方法却解得干净利落.这个问题获得解决的特点是数形之间的有效沟通, 把一个函数问题中带根号的表达式与解析几何中的两点的距离公式建立联想.

3. 与复数有关的问题

例3给出满足|z-1+i|+|z+a-3i|=5的复数z在复平面上对应的点的轨迹.

(1) 当|AB|<5时, 即-4

(2) 当|AB|=5时, 即a=-4或a=2, 点P在线段AB上, 故所求的轨迹为一线段AB.

(3) 当|AB|>5时, 即a<-4或a>2, 满足条件的P不存在.

此例是借助复数的几何意义进行解题的, 通过数形结合的方法, 即通过分析AB的长度来判断所求复平面上对应的点的轨迹.通过此例对开拓学生的解题思路和综合分析问题的能力有很好的作用, 能最直接揭示问题的本质, 直观地看到问题的结果, 只需稍加计算或推导, 就能得到确切的答案.

总结数形结合除了在数学解题中有着广泛的运用外, 运用“数形结合”思想方法对学生也有着非常重大的影响.数形结合的思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来, 关键是代数问题与图形之间的相互转化, 它可以使代数问题几何化, 几何问题代数化.

参考文献

[1]刘玉琏, 傅沛仁.数学分析讲义 (第三版) (下) [M].北京:高等教育出版社, 1992.

[2]汪浩, 朱煜民.数学是什么[M].长沙:湖南教育出版社, 1985.

数形结合的思想方法 篇3

【 关键词 】数形结合 思想 方法

数形结合作为一类数学基本知识来考虑的，但是数形结合也可以看作一种数学思想方法，它的应用大致又分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的属性，或者借助于形的直观性来阐明数之间的关系。基本原则数形结合就是根据数与形的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题，把图形性质问题转化为数量关系问题，或者把数量关系问题转化为图形性质问题.通过“以数解形”或“以形助数”，把复杂问题简单化，抽象问题具体化，兼取了数的严谨与形的直观两方面的长处.

第一，.转换数与形的三条途径：

①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解.

②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑.如将a2+b2转化为勾股定理或平面上两点间的距离等.

③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等.

第二，运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：

①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，揭示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性.

②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，揭示出数与式的本质特征.

③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特性，观察图形的的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观及揭示隐含的数量关系.

第三、范例剖析

1，借助于数轴

例1：设命题甲为：0

A.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件。

B.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件。

C.甲是乙的充要条件。

D.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件。

分析：命题乙︱x-2︱<3等价于-3

2，借助于图象

例2.方程的实根的个数是（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

分析：用代数的方法

求解该方程是很困难的，因此考虑数形结合法，方程的解是函数与图像交点的横坐标，因此这两个函数的图象交点的个数即为方程解的个数.在同一坐标系里作出与的图象，如上图，不难看出这两个图像有三个交点，所以方程有三个解，所以正确选项为C.

3，借助于数学式或数学概念的几何意义

有很多数学表达式如：

① 表示两点间的距离；

② 表示过两点的直线斜率；

③F（sin ，cos ）表示单位圆上的点；

④ （a>0，b>0） 表示以a、b为邻边夹角为120 的三角形的第三边的平方；因此对于这类代数问题可以利用它所表示的几何意义，将代数问题转化为几何问题，然后利用几何图形的直观性得出原问题的解。

例3.已知实数x，y满足3x+4y-1=0，求 （x-1）+（y-2）的最小值。

分析：（x-1） +（y-2） 的几何意义是：点P（x，y）到点A（1，2）的距离d的平方，如右图，而点P（x，y）在直线3x+4y-1=0上移动，显然d的最小值是点（1，2）到直线3x+4y-1=0的距离，

即d=

∴d=4，因此（x-1）+（y-2）的最小值是4。

小结：数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此，它在中学数学中占有重要的地位.在高考中，充分利用选择题、填空题型的特点（这两类题型只须写出结果而无需写出解答过程），为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查学生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题来解决的意识，解答题中对数形结合思想的考查则以由“形”到“数”的转化为主.

【参考文献】

[1]List of Serials and Journals Covered by Zentralblatt MATH[2005-10]

[2]杨培谊，于鸿.高中数学解题方法与技巧[M].北京：北京学院出版社，1993

[3]D. A. Drennen， ed.， A Modern Introduction to Metaphysics， New York： Free Press of Glencoe， 1962。

高考数学专题复习：数形结合思想 篇4

编稿：林景飞

审稿：张扬

责编：辛文升 热点分析 高考动向

数形结合应用广泛，不仅在解答选择题、填空题中显示出它的优越性，而且在解决一些抽象数学问题中常起到事半功倍的效果。高考中利用数形结合的思想在解决选、填题中十分方便，而在解答题中书写应以代数推理论证为主，几何方法可作为思考的方法。数形结合的重点是研究“以形助数”，但“以数解形”在近年高考试题中也得到了加强，其发展趋势不容忽视。历年的高考都有关于数形结合思想方法的考查，且占比例较大。

知识升华

数形结合是通过“以形助数”（将所研究的代数问题转化为研究其对应的几何图形）或“以数助形”（借助数的精确性来阐明形的某种属性），把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，也就是将抽象思维与形象思维有机地结合起来，是解决问题的一种数学思想方法。它能使抽象问题具体化，复杂问题简单化，在数学解题中具有极为独特的策略指导与调节作用。

具体地说，数形结合的基本思路是：根据数的结构特征，构造出与之相应的几何图形，并利用图形的特性和规律，解决数的问题；或将图形信息全部转化成代数信息，使解决形的问题转化为数量关系的讨论。

选择题，填空题等客观性题型，由于不要求解答过程，就某些题目而言，这给学生创造了灵活运用数形结合思想，寻找快速思路的空间。但在解答题中，运用数形结合思想时，要注意辅之以严格的逻辑推理，“形”上的直观是不够严密的。1．高考试题对数形结合的考查主要涉及的几个方面：

（1）集合问题中Venn图（韦恩图）的运用；

（2）数轴及直角坐标系的广泛应用；

（3）函数图象的应用；

（4）数学概念及数学表达式几何意义的应用；

（5）解析几何、立体几何中的数形结合。

2．运用数形结合思想分析解决问题时，要遵循三个原则：

（1）等价性原则。要注意由于图象不能精确刻画数量关系所带来的负面效应；

（2）双方性原则。既要进行几何直观分析，又要进行相应的代数抽象探求，仅对代数问题进行几何分

析容易出错；

（3）简单性原则。不要为了“数形结合”而数形结合，具体运用时，一要考虑是否可行和是否有利；

二要选择好突破口，恰当设参、用参、建立关系，做好转化；三要挖掘隐含条件，准确界定参变

量的取值范围，特别是运用函数图象时应设法选择动直线与定二次曲线为佳。

3．进行数形结合的信息转换，主要有三个途径：

（1）建立坐标系，引入参变数，化静为动，以动求解，如解析几何；

（2）构造成转化为熟悉的函数模型，利用函数图象求解；

（3）构造成转化为熟悉的几何模型，利用图形特征求解。4．常见的“以形助数”的方法有：

（1）借助于数轴、文氏图，树状图，单位圆；

（2）借助于函数图象、区域(如线性规划)、向量本身的几何背景；

（3）借助于方程的曲线，由方程代数式，联想其几何背景，并用几何知识解决问题，如点，直线，斜

率，距离，圆及其他曲线，直线和曲线的位置关系等，对解决代数问题都有重要作用，应充分予

以重视。

5．常见的把数作为手段的数形结合：

主要体现在解析几何中，历年高考的解答题都有这方面的考查.经典例题透析

类型一：利用数形结合思想解决函数问题 1．(2010全国Ⅰ·理)已知函数a+2b的取值范围是

A．

解析：画出

由题设有，B．的示意图.，若，且，则

C．

D．

∴，令，则

∵

∴，∴ 在，.上是增函数.∴

举一反三：

【变式1】已知函数

.选C.在0≤x≤1时有最大值2，求a的值。

解析：∵

∴抛物线，的开口向下，对称轴是，如图所示：

（1）

（2）

（3）

（1）当a＜0时，如图（1）所示，当x=0时，y有最大值，即

∴1―a=2。即a=―1，适合a＜0。

（2）当0≤a≤1时，如图（2）所示，当x=a时，y有最大值，即

。

∴a―a+1=2，解得

2。

∵0≤a≤1，∴不合题意。

（3）当a＞1时，如图（3）所示。

当x=1时，y有最大值，即

综合（1）（2）（3）可知，a的值是―1或2

【变式2】已知函数

（Ⅰ）写出

（Ⅱ）设的单调区间；，求

在[0，a]上的最大值。

。∴a=2。

解析：

如图：

（1）的单调增区间：

，；单调减区间：（1，2）

时。

（2）当a≤1时，当

当

【变式3】已知

()

（1）若，在上的最大值为，最小值为，求证：；

（2）当]时，都

，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x∈[0，有|f(x)|≤5，问a为何值时，M(a)最大？并求出这个最大值。

解析：

（1）若a=0，则c=0，∴f(x)=2bx

当-2≤x≤2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，∴a≠0；

若a≠0，假设，∴区间[-2,2]在对称轴的左外侧或右外侧，∴f(x)在[-2，2]上是单调函数，（这是不可能的）

（2）当，时，∵，所以，（图1）

（图2）

(1)当

所以

即是方程，时（如图1），则的较小根，即

(2)当

所以

即是方程，时（如图2），则的较大根，即

（当且仅当

时，等号成立），由于，因此当且仅当时，取最大值

类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题 2．若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。

思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。

解析：画出

和的图象，当直线过点，即时，两图象有两个交点。

又由当曲线

与曲线

相切时，二者只有一个交点，设切点

又直线，则过切点，即，得，解得切点，∴当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。

误区警示：作图时，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。

总结升华：

1．解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。

2．用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把

方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两

个函数的图象，由图求解。

3．在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点：

①要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征；

②要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化；

③要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏；

④精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解.举一反三：

【变式1】若关于x的方程在（－1，1）内有1个实根，则k的取值范围是。

解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。

设（x∈－1，1）

如图：当内有1个实根。

或时，关于x的方程在（－1，1）

【变式2】若0＜θ＜2π，且方程取值范围及这两个实根的和。

有两个不同的实数根，求实数m的解析：将原方程

与直线

转化为三角函数的图象

有两个不同的交点时，求a的范围及α+β的值。

设，在同一坐标中作出这两个函数的图象

由图可知，当

或

时，y1与y2的图象有两个不同交点，即对应方程有两个不同的实数根，若，设原方程的一个根为，则另一个根为.∴.若，设原方程的一个根为，则另一个根为，∴.所以这两个实根的和为或.且由对称性可知，这两个实根的和为或。

类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答

3．(北京2010·理)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点，则函数的最小正周期为________；

在其两个相邻的轨迹方程是零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为________.解析：为便于观察，不妨先将正方形PABC向负方向滚动，使P点落在x轴上的点，此点即是函数的一个零点（图1）.（一）以A为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点B位于x轴上，顶点P画出了A为圆心，1为半径的个圆周（图2）；

（二）继续以B为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时顶点C位于x轴上，顶点P画出B为圆心，为半径的个圆周（图3）；

（三）继续以C为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90°，此时，顶点P位于x轴上，为点，它画出了C为圆心，1为半径的个圆周（图4）.为又一个零点.∴ 函数的周期为4.相邻两个零点间的图形与x轴围成的图形由两个半径为1的圆、半径为的圆和两个直角边长为1的直角三角形，其面积是

.举一反三：

2【变式1】已知圆C：(x+2)+y=1，P（x，y）为圆C上任一点。

（1）求的最大、最小值；

（2）求的最大、最小值；

（3）求x―2y的最大、最小值。

解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。

（1）

表示点（x，y）与原点的距离，由题意知P（x，y）在圆C上，又C（―2，0），半径r=1。

∴|OC|=2。的最大值为2+r=2+1=3，的最小值为2―r=2―1=1。

（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率，设Q（1，2），过Q点作圆C的两条切线，如图：

将整理得kx―y+2―k=0。

∴，解得，所以的最大值为，最小值为。

（3）令x―2y=u，则可视为一组平行线系，当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围，最值必在直线与圆C相切时取得。这时

∴

。，最小值为

。，∴x―2y的最大值为

【变式2】求函数

解析：的最小值。

则y看作点P（x，0）到点A（1，1）与B（3，2）距离之和

如图，点A（1，1）关于x轴的对称点A＇（1，－1），则 即为P到A，B距离之和的最小值，∴

【变式3】若方程x+(1+a)x+1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则值范围是（）

2的取

A．

B．或

C．

D．或

解析：如图

由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，则，即

下面利用线性规划的知识，则斜率

数形结合思想方法 篇5

在数学教学中，教师如果能灵活地借助数形结合思想，会将数学问题化难为易，帮助学生理解数学问题。那么，如何在初中数学教学中挖掘数形结合思想并适时地加以应用呢？下面笔者根据日常的教学实践谈谈自己的见解。

一、从有理数开始就让中学生及早体会数形结合思想

在七年级开始，数轴的引入就大大丰富了有理数的内容，对学生认识有理数、相反数、绝对值以及有理数的运算都有很大的帮助，由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是有理数，但我们要求学生时刻牢记它的形：数轴上的点。通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。

例如:

1、比较两个数的大小方法：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大，正数大于零，负数小于0，正数大于负数；

2、比2℃低5℃的温度是_______；

3、若|a|=2，则a=______；

4、七年级《数学》(上)的习题，一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小彬家，继续走了1.5千米到达小颖家，然后向西走了9.5千米到达小明家，最后回到超市。在习题中也常出现这类题目。

这些内容如果适当应用数形结合的思想就很容易理解掌握了。

二、不等式(组)内容蕴藏着数形结合思想

在进行 “一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的重要思想方法，在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效，如：在分析不等式组的解集情况时，如果老师利用数轴把数转化为“形”从而找出两个不等式的公共解，教学效果会事倍功半。如果老师能结合数轴，画图表示各个不等式的解集，就很容易写出不等式组几种类型的解集。

三、应用题的内容也隐含丰富的数形结合思想。

数形结合思想方法 篇6

摘 要：本文从数形结合思想在初中数学教学中的作用入手，通过实际案例简要介绍初中数学中数形结合思想的应用措施，旨在丰富初中数学教学形式，创新数学教学方法，加强初中学生数学能力的培养，进而推动初中素质教育改革的贯彻与落实。

关键词：初中数学 数形结合 教学

初中数学新课标中明确提出，在课堂教学之中，教师需逐步渗透各项数学思想，培养学生数学思维能力，促使学生产生数学知识体系[1]。而数形结合作为数学基础思想之一，一直以来都是数学教学的重要方式，通过引入数形结合方法，有效提升学生的创新能力。

一、数形结合思想在初中数学教学中的作用

其一，数形结合促使学生未来发展。通过培养学生数形结合思想，促使学生理顺代数与几何之间的关系，使学生能够根据数学题目要求找寻解题切入点，锻炼学生的数学思维能力，对学生未来发展起到了积极作用。其二，数形结合激发学生学习兴趣。初中数学内容难度较大，其中对学生空间想象能力、逻辑能力、抽象能力等方面要求较高，而通过深入数形结合思想，降低数学学习难度，激发学生的学习兴趣与主动性，使学生主动参与到数学学习之中，有利于提高初中数学教学水平[2]。

二、初中数学教学中数形结合思想的应用措施

1.初中数学教学中数与代数方面

初中数学知识体系之中，代数是整个知识体系的基础，也是初中学生学习的难点之一，学生只有学好代数知识、掌握代数计算技能，才能应对数学其他方面的知识学习。因此，在初中数学教学之中，教师应创新代数教学方法及模式，向学生逐步渗透数形结合思想，使学生正确认识数形结合在代数学习中的重要性。尤其在函数教学之中，函数知识是数形结合最为显著的代数知识领域，在函数教学中引入数形结合思想，促使学生建立起函数数学公式与其函数图像之间的联系，从而提升学生对函数知识的掌握效果[3]。在实际教学之中，一方面，教师可将函数公式及方程转化成为图像，帮助学生直观观察函数公式及方程在数轴中的情况。另一方面，教师将函数图像转化成为方程及方程组，引导学生运用代数知识解决函数问题。上述方式是“数”与“形”的相互转换，教师应在日常教学中不断渗透这一转换思想，进而使学生具备初步的数形结合能力。

例如，?}目：求解一元二次方程mx2+nx+q=0。

对于刚刚接触一元二次方程的初中生而言，这一题目变量较多，学生难以找到解题切入点。针对这一问题，教师可采用数形结合思想进行例题讲解，引导学生将题目加以变形，引入变量y，在y=0时，该一元二次方程可写作：y=mx2+nx+q，此时，教师可要求学生画出上述一元二次方程的函数图形，该图形中方程函数抛物线与x轴两个交点即为此一元二次方程的解。通过这一方式进行教学，不仅降低了解题难度，同时帮助学生形成函数与图像之间的联系，有助于学生未来函数的学习。

2.初中数学教学中空间与图形方面

空间与图形知识属于数学几何知识体系之中，几何知识对学生空间思维能力要求较高，尤其是一些图形变化及转换知识中，学生往往无法正确理解其变化与转换的目的，从而导致学生几何学习遭遇瓶颈。鉴于此，初中数学教师可利用数形结合方法开展教学，引导学生通过代数理念，将形象化的几何题目更为具体化。在初中数学教学之中，教师需根据几何教学知识实际情况，帮助学生理顺空间与图形方面解题思路，进而培养学生的数学思维能力和抽象思维，使学生产生几何学习兴趣[4]。

例如，题目：三角形ABC三边长分别为6、8、10（如图一所示），求图中阴影部分的面积。

这一题目十分适用于数学结合思想渗透教学，教师首先引导学生认识到阴影部分面积可将图形总面积减去以AB为直径的半圆面积，而图形的总面积则需两个小半圆面积之和与三角形ABC相加获得。这一例题单纯采用数学或几何方式都无法快速求取答案，只有灵活运营数形结合的方式，找到解题切入点，才能顺利求得阴影部分面积。

3.初中数学教学中概率与统计方面

初中数学涉及简单的统计及概率学知识，这部分知识对于逻辑思维能力尚处于发育之中的初中生而言难度偏大，导致部分学生在统计及概率相关课程学习中思想压力较大，严重打击了学生的数学学习自信。针对上述现象，笔者就当前初中所涉及的统计与概率相关知识进行研究，发现其中大部分知识均可通过数形结合方式加以引导，极大降低了统计及概率知识学习难度，促使学生勤于学习、乐于学习，进一步了解统计及概率学知识、掌握统计及概率相关技能[5]。在实际教学之中，教师应根据学生数学基础情况，结合学生的兴趣特点，采用具有针对性的教学模式，在统计及概率教学中逐步渗透数形结合思想，从而培养学生良好的数学思维习惯，使学生能够在解题中融会贯通的应用各种数学知识与方法，帮助学生树立数学学习自信心。

例如，在统计教学之中，其中涉及多项统计相关概念，包括平均数、加权平均数、极差、方差等等。在以往传统教学之中，教师一般根据教材为学生举例说明上述统计概念，但这种方式过于笼统，学生难以真切了解到统计学概念的实际含义。鉴于此，教师可采用数形结合的方式，利用统计学科图形结合的天然特点，通过图形为学生阐述统计相关概念与公式，从而促使学生直观认识统计学相关知识的内涵，对学生未来统计相关学习具有重要意义。

结语

综上所述，数形结合是数学学科众多思想之一，也是数学学习中最为重要的思想，通过数形结合方法开展初中数学教学，能够培养学生数形结合能力，激发学生的学习乐趣。因此，初中数学教师应加强对数形结合思想的理解和学习，从而深入浅出的开展数学教学活动，提升学生的数学素养。

参考文献

数形结合思想方法 篇7

一、在集合问题中的运用

例1 (2008年北京)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},那么集合A∩(UB)等于()

分析:不等式表示的集合通过数轴解答.

解:在数轴上先画出UB={x|-1≤x≤4},再画出集合A={x|-2≤x≤3},取其公共部分,如图1所示阴影部分就是集合A∩(UB).故选(D).

评注:对于不等式表示的集合,可在数轴上表示并进行集合的交、并、补的运算.二、在函数中的运用

例2 (2007年浙江)设g(x)是二次函数,若f[g(x)]的值域是[0,+∞),则g(x)的值域是()

(A)(-∞,-1]∪[1,+∞)

(B)(-∞,-1]∪[0,+∞)

(C)[-1,+∞)

(D)[1,+∞)

分析:本题为复合函数,g(x)相当于f(x)中的x的值,结合函数的图象,可以求得g(x)的值域.

解:作出函数f(x)的图象如图2所示.由图知当x∈(-∞,-1]∪[0,+∞)时,函数f(x)的值域为[0,+∞).而f[g(x)]为复合函数,二次函数g(x)相当于f(x)中的x的值,所以g(x)的值域只能取[0,+∞),故选(C).

评注:本题中的复合函数要转化为原函数f(x)和g(x)的信息,结合函数的图象更为直观地找到它们之间的关系,而不必探究二次函数g(x)的解析式.

例3 (2008年宁夏区银川一中)函数的零点的个数是()

(A)3个(B)2个

(C)1个(D)0个

分析:函数的零点的个数就是方程的解的个数,要通过数形结合,画出函数的图象的交点的个数.

解:的零点,即使.作函数y=lnx的图象和函数的图象.如图3所示,有两个交点,所以函数f(x)有两个零点.故选(B).

评注:对于象本题这样的超越函数的零点个数问题常常用数形结合的思想解答.

三、在求图形面积中的运用

例4 (2008年山东省聊城市)曲线y=x2和曲线围成一个叶形图(如图4所示阴影部分),其面积是()

分析:两条曲线围成的面积用定积分求出,并且是上面的函数减去下面的函数的积分.

解:两条曲线的交点为(1,1),阴影部分的面积为

选(D).

评注:对于曲线所围成的不规则的几何图形的面积,要用微积分解答,注意积分的上限和下限,有时要看图形是否需要切分成多块部分求出.

四、在有关导数问题中的运用

例5 (2008年金华一中)函数y=f(x)的图象过原点,且它的导函数y=f'(x)的图象是如图5所示的一条直线,则y=f(x)的图象的顶点在()

(A)第一象限(B)第二象限

(C)第三象限(D)第四象限

分析:由导函数y=f'(x)的图象及求导公式,提炼出信息得到原函数的有关信息解答.

解:它的导函数y=f'(x)的图象是如图6所示的一条直线,可知原函数y=f(x)为二次函数.设解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由于函数y=f(x)的图象过原点,当x∈(-∞,m)时,f'(x)>0,f(x)递增;当x∈(m,+∞)时,f'(x)<0,f(x)递减,则y=f(x)的图象如图6所示.所以顶点在第一象限.选(B).

评注:要熟悉导函数与原函数之间的关系,对一次、二次函数关系及其图象的特点要很熟悉.

例6设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图7所示,则y=f(x)的图象最有可能的是()

解:由y=f'(x)的图象知当x∈(-∞,0]和[2,+∞)时,y=f(x)是递增的;当x∈[0,2],y=f(x)是递减的.故选(C).

五、在不等式表示的平面区域问题中的运用

例7 (2008年安徽)若A为不等式组,表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为______.

分析:作出不等式表示的平面区域,然后再作平行线x+y=-2和x+y=1,则夹在两平行线之间的部分和A的相交部分即为所求.答案为.

评注:涉及到不等式表示的平面区域问题时常常要画出图形,用数形结合解答问题.

例8 (2008年浙江)若a≥0,b≥0,且当时,恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于_____.

_分析:本小题主要考查线性规划的相关知识,可考虑特殊情形,比如x=0,可得a=1;y=0可得b=1.所以猜测a介于0和1之间,b介于0和1之间.

解:不等式组,表示的平面区域为△AOB,如图9,0≤x≤1且0≤y≤1.

由ax+by≤1恒成立知,当x=0时,by≤1恒成立,故0≤b≤1;当y=0时,ax≤1恒成立,故0≤a≤1.

所以以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域是一个正方形,其面积为1.

评注:线性规划的相关知识要画出图形,借助图形解答.另外对于恒成立问题,对个例一定成立,还要转为函数的最值.

六、在解析几何问题中的运用

例9 (2008年海南)已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为()

(A)(B)

(C)(1,2)(D)(1,-2)

分析:点P到抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离,这样就可以把点P到抛物线的焦点的距离转化为到准线的距离.

解:点Q(2,-1)在抛物线y2=4x的内部,要使点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点F的距离之和取得最小值,根据抛物线的定义知,须使点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线准线l的距离之和取得最小.如图10,可见当PQ⊥准线l时,所求值最小.此时得,故选(A).

评注:熟悉各圆锥曲线的定义,做题时常常用定义进行转化.

七、练习题

1. 已知5x+12y=60,则的最小值是______.

(A)(B)(C)(D) 1

2. 方程2x=x2+2x+1的实数解的个数是______.

(A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都不对

3. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增

函数且最小值是5,那么f(x)在区间[-7,-,3]上是______.

(A)增函数且最小值为-5

(B)增函数且最大值为-5

(C)减函数且最小值为-5

(D)减函数且最大值为-5

4. 如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2=3,那么的最大值是______.

(A)(B)(C)(D)

5.设实数x、y满足则的取值范围是______.

数形结合思想方法 篇8

数形结合思想是学习数学最为广泛和常用的一种数学思想方法，它能够将抽象问题直观化，利于教师的教和学生的学。在当今生活化教育的背景下，运用数形结合思想方法显得更为重要，因此有必要对数形结合思想进行研究，以下是从国外和国内两方面搜集到的有关数形结合思想的研究资料，整理如下：

一、国外有关数形结合思想方法的研究

早在毕达哥拉斯时代，数形结合思想就萌芽了。此后便以跳跃式步伐快速向前发展。恩格斯认为：“‘数与‘形是数学的基本研究对象，他们之间存在着对立统一的辩证关系。”他的这一观点指出了“数”和“形”这一矛盾双方是相互依存，相辅相成的。“数”与“形”的配合运用为解决数学问题提供了方向，有利于将抽象的数学符号同直观形象的图形结合起来，实现由抽象到具体的转化。美国数学家斯蒂恩也指出了“数”和“形”之间相互配合发展的重要性，他谈道：“若一个特定问题，可以被转为一个图形，则思想就整体地把握了问题，而且是创造性地思索了问题的解法。”足见“数”与“形”结合的重要性。拉格朗日也认为：代数和几何的发展是相互依存不可分离的，抛弃或忽视任何一方，它们的发展就会变得缓慢，应用范围就会缩小，“但是如果这两门科学结为伴侣，那么它们就能互相吸取新鲜活力，从此便以快速的步伐走向完善。”这就为数形结合思想的发展提供了有力的证词。进入17世纪上半叶，法国数学家笛卡尔通过直角坐标系建立了“数”与“形”之间的联系，数轴的建立使人们对“数”与“形”的统一有了新的认识，“把实数集与数轴上的点集一一对应起来，数可以视为点，点也可以视为数，点在直线上的位置可以数量化，而数的运算也可以几何化。”从而真正实现了“数形结合”。当今，有关国外数形结合思想研究还在不断发展，杨彦在他的《英国初中代数课程“数形结合”思想研究》中提到：“在英国初中的代数课程中要求对某些特定内容（如：函数、不等式解集等）了解它的几何形式。”其次，“英国的数学教育重视实用性，‘用数学的意识和能力的培养贯穿课程始终”。教材的设计上也很用心，大量选取了来自现实生活和跨学科的内容，将数形结合思想贯穿于解决复杂问题的始终。潜移默化地影响学生的数学学习。罗寿兰对日本高中数学教材研究后指出“日本的很多数学问题与生活实际联系紧密，书本图文并茂。形象直观，便于学生理解，有些内容学生可以通过自学获取知识。”从这一点上来看，对我国数学教育具有很大的借鉴价值。但从梳理的国外文献来看，其研究主要是从“数”和“形”的关系进行的，很少从中小学数学教学的角度进行阐释，而且研究多以初高中为主，小学的研究甚少。

二、 国内有关数形结合思想方法研究

数形结合思想在我国的研究比国外起步晚。“数形结合”一词正式出现是在华罗庚撰写的《谈谈与蜂房结构有关数学问题》中提到“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。” “数形结合”一词推出后不久，立即获得了教育界的广泛认可，此后研究“数形结合”的学者越来越多。通过对搜集到的文献分析，发现国内对数形结合思想的研究主要是从“以形助数”、“以数解形”、“数形互助”三个方面着手的，以下是从三方面分别梳理的文献：

1.有关“以形助数”的研究

数学是研究数量关系和空间形式的科学，毋庸置疑，“数”和“形”是數学研究的对象。但有的数量关系抽象，学生在把握上有一定难度，而“形”具有形象直观的优点，恰恰在帮助学生理解上起到了很好的促进作用，即“以形助数”，也就是借助图形的直观帮助学生理解抽象的数和数量关系。由于小学阶段的数学知识大部分来自实际生活，再从实际生活中抽象出数学知识，小学生由于受思维发展不成熟等因素的限制，这些概念会阻碍学生的理解，使学生难以接受和掌握。基于这一点，有些学者认为“教师借助以形助数的思想与方法呈现相关概念，会使这些概念以清晰明了的方式呈现在学生面前，因而易于被小学生所理解、接受和掌握。”通过“以形助数”在教学中的运用，能够帮助学生将抽象问题变具体，复杂问题变简单，为学生更好地学习数学知识提供了便利。“要让学生掌握抽象的数学知识，就必须具有丰富的感性材料作支撑。”正如宋英海在他的论文《数形结合思想在初中数学解题中的应用》中提到；“‘形能映射更多的具体思维，在解决问题时起关键的定性作用。”只有在学生面前呈现大量的感性材料，让学生自己去观察、发现和探索，学生才能够从中提炼出相关的数学知识，其思维的发展才不会受限制。张兴广也在他的论文《以形思数，使数学问题具体化》中指出：如果学生在做题过程中能够结合直观的图形，分析出问题所给的数量关系，将数量关系和图形结合起来，发现其中隐含的规律和运算法则等，总结出做题的方法，使抽象复杂的问题变得简单易解，从而激发学生学习的兴趣，提高学生分析问题和解决问题的能力。可见，“以形助数”的运用能够帮助学生将图形的性质和图形直观的优点结合起来研究数学问题，将抽象化为直观，为更好地学习数学知识打基础。就梳理的文献来看，他们的研究有一个共同之处，即都是通过借助图形形象、直观的特点解决代数问题，帮助学生获得理解知识的方法和途径，调动学生学习的兴趣。但遗憾的是有关“以形助数”的研究在函数方面研究得较多，且以初中和高中的研究为主，在其他方面的研究少之又少。

2.有关“以数解形”的研究

有关“以数解形”这一表现形式说法不一，主要有“以数解形”、“以数助形”、“以数想形”。但无论其如何表述，始终是为了弥补“以形助数”的不足，借助代数知识解决较为抽象复杂的几何问题。“以形助数”虽然能根据给出的“数”的结构特点构造出与之相应的几何图形，用几何方法解决代数问题，使抽象的概念变得直观、具体，利于学生理解，但“以形助数”在解决数学问题中不具有普遍性，因此，能不能通过数的运算把几何图形的问题转化为代数方法解决？即“以数解形”。杨锋泼在他的论文《初中学生数形结合思想培养的探究》中指出：“以数助形”能够弥补“以形助数”的不足之处，是解决数学问题的有效手段。 “恰当地利用‘以数助形能够使问题直观显现，省去大量的理论分析过程。”借助代数演算的方法解决数学问题，将复杂问题简单化，达到轻松学习。蔺月薇在她的《浅析数形结合思想在小学数学课堂中的应用》也谈道：“‘形具有直观形象的优势，但也有其粗略和不便于表达的劣势。”“‘以数解形能够借助数的精确性和严密规范性来阐明形的某些属性，将形向数的层面上进行转化和沟通。”因此，在教学过程中，要结合数学学习的特点，以简洁准确的数学描述加上题目中适用和隐含的公式、定理或运算法则等全面理解“形”的特点，才能更好地衬托出数学抽象性与严密性的特征，使学生理解更为准确和全面。专家指出：在学习中，合理的运用数与形相结合的观点，将几何问题转化为代数方法解决，“通过数的运算和变式求出相应的结果，则解题方法容易寻找。”宋英海在他的《数形结合思想在初中数学解题中的应用》中也谈道：初中数学中，“形”具有直观、形象的优点不可否认，但看待任何事物都要采用一分为二的眼光，“‘形的缺点就是它不很精确。”有些图形的表示虽然简单，但它其中蕴含的规律抑或是答案却未必能一眼看出来，在这种情况下就需要借助代数方法来分析和计算，以确保问题研究的缜密性和精确性。曾鹏在他的《“数与形”教学实践与反思》中指出：当学生面对复杂图形时，要发现其中“形”的规律显得困难，因此“教师要引导学生从‘数的角度揭示‘形的规律，帮助学生辩证地思考‘数与形的问题，体会以数解形的好处。”在数学中，有关代数三角问题，在研究的过程中可以借助图形看出它的对称轴、对称中心、周期等基本性质，而对于较复杂的几何图形需要通过计算和对题目中条件的挖掘和分析，才能准确判断图形的变化和性质，最终获得解决问题的思路和方法。足以见得“以数解形”在数学运用中的重要性。

3.有关“数形互助”的研究

在数学中，有些问题可以通过“以形助数”的方式解决，有些用“以数解形”获得答案，还有的需要两者互相配合运用。即“数形互助”。“数形互助”指在解决数学问题时同时利用“以形助数”和“以数解形”，达到“数形互译”，将问题中的数量关系以图形表现出来，再利用图形将抽象的数量关系变得具体，接着对图形进行观察、分析和联想，再慢慢将图形译成算式，从而解决问题。 “数”和“形”是紧密联系的，在研究“数”的时候，往往会借助于“形”的直观，在探索“形”的特征时，往往又会联系“数”的简洁。有学者指出：在数学问题中需要“数”和“形”的互相变换，看问题时要想到用“形”的直观变为“数”的准确，还要由“数”的精确联系到“形”的直观。他认为解决这些问题的关键就在于需要从已知和结论同时出发，认真分析找出内在的“形”“数”互变。苏文旭在他的论文《数形互助相约函数浅识》中指出：依形判数，以数助形，直观形象。因此，在教育教学中，要善于运用“数形结合”的方法思考问题，注重观察和挖掘图形蕴涵的数量关系，正确绘制图形反映数量关系，切实把握“数与形”的对应关系等能力。只有在运用“数形结合”过程中找准“数与形”之间的联系，才能在最大限度上发挥数形结合思想的好处。于灵在她的《运用“数形结合思想”指导初中函数教学研究及课例分析》中也提到了：“数形转换”则是根据数形对立统一的特性，由图形分析数与式的结构，展开丰富联想，将其进行适当的相互转换，化抽象为具体，找到内在联系。他的这一观点对解决函数问题提供了思路。在解决有关函数问题时，我们不可能只关注题目中给出的数量关系，还需要结合函数图像的性质和特征分析隐含在题目中的条件，将图形和数量关系建立联系，将数量关系和图像配合研究，从而整理出一套逻辑清晰且合理的解决方案。这一方法对解决解析几何问题同样适用，胡继松在他的论文《数形结合思想及其应用》中谈到了：解几何图形背景题的关键是运用数形结合思想，理清图形中的数量关系，寻找数据之间的联系。他的观点为学生解决有关解析几何的问题指明了方向，能够帮助学生在以后解决有关解析几何问题时找准有关图形中蕴含的数量关系，分析出数据之间的联系，从而获得解决问题的最佳办法。将“数”与“形”结合起来看问题，能够使问题更加清晰和易于理解，也有利于学生对知识的掌握，拓宽学生的解题思路，还能为学生今后更为系统地学习更高层次的数学知识奠定良好的基础。

三、综上所述，这些研究，对本文的借鉴价值与启发意义主要有：

一是总体上概括了数形结合思想方法在国内外目前的研究概况，从而为我们的研究提供了依据。二是揭示了数形结合思想中包含的基本内容和情形，从而使我们的研究更具有针对性。但在梳理文献中不难发现：

1.研究数形结合思想三种情形的文献较多，但其研究多以个例呈现，其研究粗浅。“数形结合”是数学发展的需要，是学习数学常用的数学思想方法，是解决数学问题不可或缺的工具。因此，数形结合思想方法的运用需要引起广大教育工作者的重视，并努力将数形结合思想贯穿于自身教学的始终。然而，在研读了大量的有关数形结合思想的资料分析得出：有关数形结合思想在“以形助数”、“以数解形”、“数形互助”方面的研究较多，但其研究只是针对个别的知识点以例题的方式呈现，提出了自己的教学方法和建议，没有从教材本身出发，全面分析教材内容中包含的数学思想，从而导致提出的教学建议在一定程度上具有特殊性，不具備普遍性。

（1）研究初高中关于数形结合思想在教学中应用的文献多，而研究小学的较少。数形结合思想是一种重要的普遍的学习数学的思想方法，无论是在小学抑或是初高中，都是学生在学习和解题过程中所要用到的，是值得学生掌握的一种思想方法。但就阅读的文献来看，大部分以研究初高中为多，只有极少篇目的论文是研究小学数学中有关数形结合思想的应用，虽然在查看文献的过程中发现期刊类研究小学方面的较多，但都是笼统的，宽泛之谈。

在小学数学教学中，合理运用数形结合思想方法，既符合小学生学习认知规律，也是对新课程教学理念的落实与实施。因此，对数形结合思想进行研究有利于教师更好地开展教学活动，提高学生的数学思维能力。

数形结合思想方法 篇9

初中阶段的数学教学除了要将数学知识传授给学生外，更为主要的是要引导学生掌握一定的数学思想方法，这样才能够逐步改变学生学习吃力的问题，也能够促进学生数学思维的完善和发展。数形结合思想对于学生解题能力的发展和数学素质的提高具有重要意义，促进数形结合思想在数学教学中的渗透要求教师优化教学方法，更好地满足学生数学学习需求

1 加强思想引导，激发学习兴趣

初中数学教师在实际教学中要注重有意识的将数形结合思想渗透其中，加强对学生的思想引导，激发学生学习兴趣，奠定数学知识学习的基础。首先，在学生刚刚接触有理数、无理数的初衷数学入门知识开始教师就要逐步引导学生更多的接触、吸纳以及运用数形结合思想方法，强化教学初期的解题和学习方法指导，先让学生熟悉对数形结合思想的运用，掌握数形结合思想运用的步骤、适用问题等，引导学生将数形结合思想的运用变成一种主动自觉地意识，让学生对这一方法的应用产生兴趣。其次，教师要善于挖掘初中数学教学中有助于培养学生学习兴趣的因素，因为数学学科本身就是一门趣味性极强的课程，与现实生活紧密相关，大量的数学趣味游戏、伟大数学家的探索故事、理财、银行业务处理等都和数学有不可分割的关系，当学生感受到数学学习的乐趣之后，会更加积极主动的参与各项数学学习活动，教师在教学数形结合思想的应用时也会更加顺利。最后，初中数学教学中大量知识都具有其自身规律，如函数图像往往对称分布，在利用数形结合方法学习时能够更好的呈现数学美感，对于培养学生学习兴趣也是大大有益的。例如，在讲解不等式组的解题一课时，教师可以有意识的引导学生采用数形结合思想用画图的方式绘制出解集和数轴之间的关联，分要求学生分别计算不等式并得出各自的结果，最后通过在数轴上画图表示的方式找到不等式的共同解集。

2 运用记忆概念，推动方法形成

初中数学中有大量需要理解和记忆的公式定理，在学习这些知识时还需要在记忆基础上发现、分析和解决问题，这就需要教师运用记忆概念，引导学生根据学习需求找到恰当的记忆方法，让学生在记忆和理解中自己总结数形结合数学思想方法，帮助学生养成良好的学习习惯，促使学生将数学知识内化成自己的能力。数学概念、公式定理的推导证明等知识会占用大量的数学教学时间，如果学生不能抓住关键的学习时期提高学习效率很容易形成知识缺口或者基础知识掌握不牢固的问题，逐渐丧失数学学习兴趣，甚至产生厌学心理。数学知识主要是由数学符号和图形组成的，那么为了帮助学生记忆知识和促进抽象知识形象化就可以采用数形结合记忆的方法，同时提高记忆的准确度。除此以外，教师也可以鼓励学生有效运用联想法、情境法、讨论法等提高记忆有效性，确保学习效率。例如，在讲解《三角函数》这个章节时，函数变化规律是其中的`概念学习难点，对此可以运用数形结合思想方法画出函数图像，轻松准确的判断函数正负，提高学生对三角函数特殊性的认识。

3 优化教学案例，重视数形结合

数学教师仅仅依靠通过日常教学就让学生有效掌握数形结合思想的含义和运用知识是远远不够的，只有通过反复训练和强化才能真正应用这一数学思想方法解题。因此，教师要重视典型案例的选择，并着重对教学案例进行分析讲解，根据教学重点、学生的学习需求、数学教学目标等综合设计教学方案，优化和创新教学设计，在其中适时渗透数形结合思想，可以让学生亲自动手演算、画图、讨论、探究等，鼓励学生在解题中发现和解决问题，还可以根据教学主题和数学思想方法渗透的实际需要收集趣味数学游戏、故事等，激发学生求知欲和学习动机。例如，在讲解二次函数的应用题时，教师要先引导学生对教学案例进行深入分析和探究，并掌握判断问题真实意图和问题考查知识点的技巧与方法，接下来要求学生画出响应图像，按照题目给定要求确定几个重点坐标点，最后再准确判断函数图像的定点、开口等。如学校要举办歌唱比赛，需要搭造一个面积是256平方米的舞台，舞台必须是正方形，那么舞台边长长度应该是多少?具体的解题过程中，首先需要让学生明确这道题目需要运用哪个方程和解题方法，如果必要的话还可以让学生自主探究或者合作学习来找到多种解题方法，最终通过数形结合思想的运用和搭建空间结构的方法算出舞台长度是16米。

4 综合归纳应用，鼓励探究学习

初中数学题目的规律性、开放性、发散性的特征十分显著，数学教师需要从解题的基本思维着手，首先让学生了解解题方法及技巧增强学生对数学知识点的掌握和应用方法，数形结合思想的渗透也同样如此。教师要根据教学内容的实际要求创设相应的教学情境，并在学习中不断提出和发现问题，引导学生进行自主探究学习和合作学习，帮助学生归纳总结规律和方法，让学生逐步掌握数形结合思想的运用情境，提高学生的综合归纳能力和应用能力，同时促进学生探究能力的发展。例如，在讲解《多边形》时，教师可以首先让学生发散思维举例说出日常生活以及学习当中看到的由线段组成的图形，如路标、广告牌、房屋结构等，从思想上让学生认识到多边形无处不在，接下来可以仿照对三角形定义的阐述方法描述多边形，引导学生先画出多种不同的多边形，然后观察它们的共同特征和差异，通过数形结合思想的应用归纳总结出多边形的概念、性质等深层次知识。

数形结合教学片断 篇10

小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理，尤其在课改之后，老师们注重了算法多样化，在计算方法的研究上下了很大功夫，却更加忽视了算理的理解。我们应该意识到，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。”根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。

（一）“分数乘分数”教学片段

课始创设情境：我们学校暑假期间粉刷了部分教室（出示粉刷墙壁的画面），提出问题：装修工人每小时粉刷这面墙的1/5，1/4小时可以这面墙的几分之几？

在引出算式1/5×1/4后，教师采用三步走的策略：第一，学生独立思考后用图来表示出1/5×1/4这个算式。第二，小组同学相互交流，优生可以展示自己画的图形，交流自己的想法，引领后进生。后进生受到启发后修改自己的图形，更好地理解1/5×1/4这个算式所表示的意义。第三，全班点评，请一些画得好的同学去展示、交流。也请一些画得不对的同学谈谈自己的问题以及注意事项。

这样让学生亲身经历、体验“数形结合”的过程，学生就会看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解分数乘分数的算理。如果教师的教学流于形式，学生的脑中就不会真正地建立起“数和形”的联系。

（二）“有余数除法”教学片段

课始创设情境：9根小棒，能搭出几个正方形？要求学生用除法算式表示搭正方形的过程。

生：9÷4

师：结合图我们能说出这题除法算式的商吗？ 生：2，可是两个搭完以后还有1根小棒多出来。师反馈板书：9÷4=2……1，讲解算理。

师：看着这个算式，教师指一个数，你能否在小棒图中找到相对应的小棒？ ……

通过搭建正方形，大家的脑像图就基本上形成了，这时教师作了引导，及时抽象出有余数的除法的横式、竖式，沟通了图、横式和竖式各部分之间的联系。这样，学生有了表象能力的支撑，有了真正地体验，直观、明了地理解了原本抽象的算理，初步建立了有余数除法的竖式计算模型。学生学得很轻松，理解得也比较透彻。

二、在教学新知中渗透数形结合思想。

在教学新知时，不少教师都会发现很多学生对题意理解不透彻、不全面，尤其是到了高年级，随着各种已知条件越来越复杂，更是让部分学生“无从下手”。基于此，把从直观图形支持下得到的模型应用到现实生活中，沟通图形、表格及具体数量之间的联系，强化对题意的理解。

（一）“植树问题”教学片段

模拟植树，得出线上植树的三种情况。

师：“ ”代表一段路，用“/”代表一棵树，画“/”就表示种了一棵树。请在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法？

学生操作，独立完成后，在小组里交流说说你是怎么种的？

师反馈，实物投影学生摆的情况。师根据学生的反馈相应地把三种情况都贴于黑板：

①_________两端都种

②____________或____________一端栽种 ③_______________两端都不种

师生共同小结得出：两端都种：棵数＝段数＋1；一端栽种：棵数=段数；两端都不种：棵数=段数—1。

以上片段教师利用线段图帮助学生学习。让学生有可以凭借的工具，借助数形结合将文字信息与学习基础融合，使得学习得以继续，使得学生思维发展有了凭借，也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。

（二）连除应用题教学片段

课一开始，教师呈现了这样一道例题：“有30个桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了几个？”请学生尝试解决时，教师要求学生在正方形中表示出各种算式的意思。学生们经过思考交流，呈现了精彩的答案。

30÷2÷3，学生画了右图：先平均分成2份，再将获得一份平均分成3份。30÷3÷2，学生画了右图：先平均分成3份，再将获得一份平均分成2份。30÷（3×2），学生画了右图：先平均分成6份，再表示出其中的1份。以上片段，教师要求学生在正方形中表示思路的方法，是一种在画线段图基础上的演变和创造。因为正方形是二维的，通过在二维图中的表达，让学生很容易地表达出了小猴的只数、吃的天数与桃子个数之间的关系。通过数形结合，让抽象的数量关系、思考思路形象地外显了，非常直观，易于中下学生理解。

三、在数学练习题中挖掘数形结合思想。运用数形结合是帮助学生分析数量关系，正确解答应用题的有效途径。它不仅有助于学生逻辑思维与形象思维协调发展，相互促进，提高学生的思维能力，而且有助于培养学生的创新思维和数学意识。

（一）三角形面积计算练习

人民医院包扎用的三角巾是底和高各为9分米的等腰三角形。现在有一块长72分米，宽18分米的白布，最多可以做这样的三角巾多少块？

有些学生列出了算式:72×18÷（9×9÷2）,但有些学生根据题意画出了示意图,列出72÷9×（18÷9）×2、72×18÷（9×9）×2和72÷9×2×（18÷9）等几种算式。

在上面这个片段中,数形结合很好地促进学生联系实际，灵活解决数学问题，而且还有效地防止了学生的生搬硬套，打开了学生的解题思路，由不会解答到用多种方法解答，学生变聪明了。

（二）百分数分数应用题练习

参加乒乓球兴趣小组的共有80人，其中男生占60%，后又有一批男生加入，这时男生占总人数的2/3。问后来又加入男生多少人？

先把题中的数量关系译成图形，再从图形的观察分析可译成：若把原来的总人数80人看作5份，则男生占3份，女生占2份，因而推知现在的总人数为6份，加入的男生为6—5=1份，得加入的男生为80÷5=16（人）。