数形结合助力课堂教学

数形结合助力课堂教学（精选12篇）

数形结合助力课堂教学 篇1

我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直觉, 形少数时难人微。数形结合百般好, 隔裂分家万事休。”可见, 数形结合法在教学过程的作用是如此之妙。那么什么是数形结合法呢?数形结合法就是根据数学问题的条件与结论之间的内在联系, 既分析其代数意义, 又揭示其几何意义, 使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来, 并充分利用这种“结合”寻找解题途径, 使问题得到解决, 它包含“以形助数”和“以数辅形”两个侧面。

数形结合法的应用是十分广泛的, 主要是体现在以下几个方面:可以解决集合问题、函数问题、方程与不等式的问题、三角函数的问题、线性规划问题、解析几何问题、数列问题、立体几何问题。在中等职业教育课程改革国家规划新教材高一上半年数学内容中, 数形结合法主要是在集合、不等式、函数中得到了推广。因此在教学中, 教师如能恰当地灵活运用数形结合法进行辅助教学, 帮助学生从感官上去理解相关的知识内容, 完全有可能达到事半功倍的效果。下面本人主要从实际例子中来谈谈如何灵活地运用数形结合法, 实现有效教学。

一、数形结合法在集合中的应用

例1.设A={x—0≤x≤5}, B={x—-1﹤x﹤4}, 求A∩B, A∪B。

分析:在学习的过程中, 交集和并集很容易混淆, 一个是符号的书写混淆, 另一个是概念的混淆。首先作一条数轴, 在数轴上分别找到A集合和B集合, 再根据交集的定义 (两集合公共部分组成的集合) 或并集的定义 (并即为“和”, 公共部分不可重复取) , 就可以直观地得到答案了。

例2.已知全集U={不大于20的质数}, M、N是是U的两个子集, 且满足M∩ (CUN) ={3, 5}, (CUM) ∩N={7, 19}, (CUM) ∩ (CUN) ={2, 17}, 求M、N。分析:此题是集合问题中一道典型的数形结合问题, 它无法通过运算求解, 只能借助于形的帮助, 方能轻松解决。根据题目条件可将各元素作在韦恩图的相应集合内, 由图可知道答案。

二、数形结合法在不等式中的应用

例3.解一元二次不等式x2-x-6>0。

分析:这种题型有几种解法, 有的教材是介绍用“同号得正, 异号得负”的思想解题, 也就是先把左边的二次三项式分解成两个因式的乘积即 (x+2) (x-3) >0, 再将此题分解成两个不等式组。但如果碰到不好因式分解的题, 计算量就有可能非常大。因此, 不如转换思维角度, 先把二次函数的草图画出来, 通过草图来观察二次函数在哪个区域的变化情况, 从而更为直观明了的求解。解题步骤是:

(1) 令y=0, 将二次函数变为一元二次方程。

(2) 解这个一元二次方程, 求得二次函数在x轴上的两个交点坐标。

(3) 由a>0 (a<0) 来判断抛物线的开口朝向。

(4) 最后利用数形结合法来求解不等式的解集。

从以上几个数形结合的实例中可以看出, 充分抓住数与形的内在去探索问题解决问题, 能起到事半功倍的效果。数与形是不可分割的, 数可以说是形的精确描述, 形也可以说是数直观体现。作为一个数学教育者, 我们应及时发现数与形中存在的联系, 并鼓励学生广泛应用之。

总而言之, 数学的基本思想就是提出问题并解决问题。而数形结合法就是高效解决数学问题的一个有力工具, 也是中学数学中解决问题的重要方法之一。若我们的学生能恰当地利用数形结合思想进行解题, 就能提高他们的分析问题解决问题的能力, 提高他们学习的兴趣, 使之乐观积极地参与到学习中来, 为未来的发展奠定一定的基础。当然, 数与形的结合方式也是多种多样的, 不同的问题往往有不同的方法。因此, 一两道例题是无法说清楚数形结合的思想的, 数形结合的思想需要渗透在学习新知识和运用知识解决问题的过程之中, 这就需要教师在教学过程中培养学生用最简单、最直观、最有效的方法来解决问题, 并使学生在潜移默化中逐步领悟并学会运用这一思想方法。

数形结合助力课堂教学 篇2

形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，让学生通过解决问题体会到数与形的完美结合，通过数与形的对应关系，相互印证结果，发现“和”都是“平方数”，再通过图形的规律理解“平方数”(即正方形数)的含义，并让学生大胆说出自己发现的其他规律，从不同角度寻找规律，例如从第一个图到第三个图，每次增加多少个小正方形，用加法怎样列式，加数都是连续奇数，这些奇数在图中什么地方，从而对规律形式更直观的认识。

二、使学生感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性

图形的直观形象的特点，决定了化数为形往往能达到以简驭繁的目的，例2中，用举例的方法求出等比数列的有限和，都不能证明无限多项相加结果为1，但是接近1，但这个无限接近于1的数是多少呢?电子白板呈现出圆形模型和线段模型来表示“1”，使学生结合分数意义，在圆上和线段上分别有规律地表示这些加数，当这个过程无止境地持续下去时，所有的扇形和线段就会把整个圆和整条线段占满，即和为“1”，用画图的方法来表示计算过程和结果，让学生感受到什么叫无限接近，什么叫直观形象，同时，一个极其抽象的极限问题，变得十分直观和便捷。

三、引导学生从不同角度探索数与形的通用模式

教学时，引导学生通过交流，学会从多样化角度探索规律，练习二十二第1题。既可以发现最外圈的小正方形个数是两个正方形中小正方形个数之差，也可以通过计算发现最外圈的小正方形，用不同方法来计算个数。

例最外圈每边有7个小正方形可以列式：7×4-4

6×4

5×4+4

7×2+5×2

如此训练，能大大提高学生发散思维能力。

四、注意引导学生掌握推理的方法

巧用数形结合，突破教学难点 篇3

关键词：以形助数；以数解形；数形结合；转化；运用

一、挖掘教材，从生活入手，将数形结合思想渗透到概念课教学中

“冰冻三尺，非一日之寒”，意识和思维的形成也是一样的，是一个长期的、潜移默化的过程。作为教师，我们应该在日常教学中，适时地向学生渗透这种思想。

例如，日常生活中的绳子和绳子上的结、刻度尺与它上面的刻度，我们走过的路线可以看作是一条线，教室里每个学生的座位等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的形与数相结合迁移到数学中来，挖掘教材，在教学中进行数学数形结合思想的渗透。例如，数与数轴、相反数、绝对值的几何意义、一对有序实数与平面直角坐标系、一元一次不等式的解集与一次函数的图象、二元一次方程组的解与一次函数图象之间的关系等，都是渗透数形结合思想的很好機会。

二、以形助数，数中思形，正确构造图形，通过几何模型反映相应代数信息

由于数和形是一种对应，有些数量比较抽象，我们难以把握，而图形具有形象、直观的优点，能表达较多的思维，起着解决问题的定性作用，因此，我们可以把数对应的形找出来，利用图形来解决问题。

例1.a2-b2与（a-b）2相等吗？

这是一个非常简单的问题，但现实中是我们的一个教学难点。由我们熟悉的平方差公式和完全平方差公式可知，它们是不相等的。但很多的学生初中学了三年都分不清这两个公式，这是为什么呢？原因就是学生没有真正地理解，有些学生虽说理解，但也是从乘方公式（a+b）（a-b）=a2-b2与（a-b）（a-b）=（a-b）2的逆用来理解的，如果我们把这个公式换个形式呈现给学生，从几何图形出发来理解，就更直观、更易理解了。

解析：如图，（1）（2）（3）（4）各块的面积可计算，

从面积值的角度来说：

a2-b2=S3+S1+S4

（a-b）2=S3

显然a2-b2≠（a-b）2

在教材中关于完全平方公式、平方差公式、勾股定理等的推证中都有类似的运用。

三、以数解形，形中觅数，善于观察图形，找出图形中蕴含的数量关系

虽然图形有直观、形象的优点，但在定量方面还必须借助数的计算，特别是对于较复杂的“形”，不但要正确地把图象数字化，而且还要注意观察图形的特点，发掘题中的隐含条件，充分利用图形的性质，进行分析计算。

例2.将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第100个图形有______个小圆。

分析：这是一道典型的规律探究题，学生在解答时如果仅关注中间的小圆的变化，解答是比较困难的，但如果将图形的规律问题转化为数的规律问题，本题就不难了。

根据第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，

∴第n个图形有：4+n（n+1）个小圆，第100个图有10104个小圆。

例3.以数表形在教材中的展现，例如表示直线和圆的位置关系：

如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么：

（1）直线l和⊙O相交？圳d

（2）直线l和⊙O相切？圳d=r（如图（2）所示）；

（3）直线l和⊙O相离？圳d>r（如图（3）所示）。

教材上像类以的问题也很多，比如利用数轴、直角坐标系通过数字和数对来表示点的位置，利用面积、距离、角度等来解决几何问题，例如，利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等，几何问题中列函数关系式求最值问题等。把几何问题转化为数量关系使抽象的问题具体化，教师若注重数形结合思想方法的渗透，利于学生领悟几何图形（或图案）的规律，从而找出其中的数量关系。

四、数形结合，相互转化，利用数形结合思想提升学生解题能力

在教学中渗透数形结合思想时，应让学生了解所谓数形结合就是找准数与形的契合点，根据问题的具体条件，将数与形巧妙地结合起来，有效地相互转化，就成为解决问题的关键所在。

例4.如图所示，抛物线分别与x、y轴交于A、B、C三点，顶点为M，你能求出△MBC的面积吗？能寻找几种方法？

解析：这是一道典型的数形结合思想与函数的综合问题，结合图1中信息，可知A、B、C的坐标，由待定系数法易求得抛物线的解析式为：

通过添加适当辅助线，可以多种解法，这种问如果不借助图形，不知数与形灵活转化，学生解答也是相当困难的。但如果我们掌握数形结合的思想方法，能将点的坐标与点到坐标轴的距离进行转换，构造出一些四边形或三角形，再利用图形间的面积关系求解△MBC的面积，稍作点拨，相当部分学生并可解答。

解答方法如下：

法一：如图1，S△MBC=S梯形CODM+S△MDB-S△BOC（直接利用原图中关系求解）

法二：如图2，S△MBC=S梯形EMBO-S△EMC-S△COB

法三：如图3，S△MBC=S△MCO+S△BOM-S△BOC

法四：如图4，S△MBC==S△CMF+S△MBF（其中MF=MD-FD，可利用三角形相似求FD，△CMF、△BMF有公共边MF，高之和为5）

法五：如图5，S△MBC=S△GCB-S△GCM（其中CG=OG-OC，用M、B两点坐标求直线MB解析式，可求OG，CG.）

法六：如图6，S△MBC=S△HMB-S△HCB（求法与法五类似）

究其解答过程，思路也是非常清晰的。数形结合是直观化教学的一种重要手段，通过数形结合，数与形的相互转化，使较为抽象的数量关系通过几何图形形象地反映出来，使抽象的概念、关系得以直观化、形象化。

最后要说的是学生要真正掌握数形结合思想的精髓，还必须有深厚的基础知识和熟练的基本技巧，它不像一般数学知识那样，通过几节课的教学就可掌握，它需根据学生的年龄特征，学生在学习的各阶段的认识水平和知识特点，逐步渗透。在实际教学中，我们不能仅把数形结合看成是解题的一种手段，更要看成是一种思维品质。为了让学生具有这种品质、掌握这种方法需要我们把它落实到教学过程的各个环节中，使数形结合思想方法的教学成为一种有意识的教学活动，发挥它更多的作用。

数形结合助力课堂教学 篇4

1. 一定要计算吗?先计算, 后画图

在平面直角坐标系的框架下, 直线与圆都已经代数化为方程, 用代数的方法研究图形, 研究直线之间、圆之间包括直线与圆之间的关系, 一句话, 学习代数化, 学习解析思想, 是不容置疑的.作为解析几何开始的两个主题:直线与圆的学习, 理应把代数化和解析思想作为学习的首选.问题是, 通过初中平面几何的学习, 学生头脑中已形成处理几何问题的基本模式 (不同于解析的模式) .正如教学中出现的学生的疑问“一定要计算吗”, 老师要照顾到他的几何基础, 要巩固好他的几何知识.为此, 在用解析方法解决问题之后, 可以让学生尝试几何方法.

题1求经过点A (3, 4) 且在两个坐标轴上的截距相等的直线l的方程.

画图知直线l过原点符合题意, 且斜率为-1也满足要求, 所以直线l的方程为

题2点A (1, -2) 关于直线x+y-1=0的对称点是____.

画图知对称点为 (3, 0) , 如图1.

题3已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A (1, 3) , B (3, 1) , C (-1, 0) , 求三角形的面积.

过A作y轴的垂线, 分别过B, C作x轴的垂线, 交于点D, E, F, 如图2.

2. 为什么会这样?先画图知结果, 后推演

解析几何归根到底研究的是几何图形, 借助于几何画板, 先用几何办法呈现结果, 学生很容易接受.但随之而来的是学生心中的疑惑:为什么?在讲人教版P122例题5的时候, 笔者就遇到过类似情况.例5:已知线段AB的端点B的坐标为 (4, 3) , 端点A在圆C: (x+1) 2+y2=4上运动, 求线段AB的中点M的轨迹方程.用几何画板呈现的结果就是一个圆.下课铃声响了, 就有学生问:“为什么?”因此, 笔者教学中, 注意从图形开始, 用几何方法探寻, 以代数推演结果.

题1求点A (1, 2) 关于直线y=x+3的对称点.

画图知, 对称点为 (-1, 4) .

题2 (1) 求直线3x+y-6=0与圆x2+y2-2y-4=0的交点;

(2) 求圆x2+y2+2x+8y-8=0与圆x2+y2-4x-4y-2=0的交点.

都可以先画图 (用几何画板) 找出交点, 然后解方程组验证.

3. 换一个思路行不行?代数处理烦琐, 找几何

用代数的方法解决几何问题, 思路自然清晰, 推理严谨, 但计算量大, 运算烦琐.这个时候, 换个思路, 用几何知识、几何方法处理, 有时候会别有洞天.

题1已知A (-2, 0) , B (2, 0) , C (m, n) .若以线段MN为直径的圆O过点C (异于A, B) , 直线x=2交直线AC于点R, 线段BR的中点为D, 试判断直线CD与圆O的关系, 并证明你的结论.

又, 故CD⊥OC, 即直线CD与圆O相切.

或连OC, OD, ∵OD为中位线,

又∠1=∠2, ∠3=∠3,

即直线CD与圆O相切.

题2已知圆C过点P (1, 1) , 且与圆 (x+3) 2+ (y+3) 2=r2 (r>0) 关于直线x+y+3=0对称. (1) 求圆C的方程; (2) 过点P作两条直线分别与圆C相交于点A, B, 且直线PA和直线PB的倾斜角互补, O为坐标原点, 判断直线OP与AB是否平行, 并请说明理由.

解 (1) 易知点 (-3, -3) 关于直线x+y+3=0的对称点为 (0, 0) , 即圆心C为 (0, 0) , 又半径为, ∴圆C的方程为x2+y2=2.

(2) 设PA的方程为y=kx+1-k, 代入x2+y2=2得

又kOP=1, ∴OP∥AB.

或作P关于x轴的对称点Q.

设PA与x轴交于点E, 设PB与x轴交于点D.

因为直线PA和直线PB的倾斜角互补,

所以△PDE为等腰三角形.

∴∠APQ=∠DPQ, ∴弧AQ与BQ相等,

即Q为弧AB的中点.

所以OP∥AB.

4. 数形结合, 相得益彰

一个几何问题, 用代数的语言呈现, 本来就需要两种表征之间的切换.切换的熟练程度, 标志着“数形结合思想”运用自如的程度.教学中, 教师刻意展示“数”中有“形”, 追求依“形”想“数”, 做到数形结合, 引导形数转换.

题1已知圆x2+y2-2x-4y=0和点P (5, -1) , 过P作圆的切线, 切点为A, B.

(1) 求切线方程; (2) 求|AB|; (3) 求直线AB的方程.

解如图, 易知切线PA的方程为2x+y-9=0,

切线PB的方程为2x+11y+1=0.

在Rt△PAC中, |PC|=5,

设直线AB的方程为4x-3y+b=0, 则

圆心C到直线AB的距离为, 易知|CD|=1,

, 解得b=-3或b=7 (舍) , 故AB的方程为4x-3y+3=0.

题2已知直线l1:mx-y=0, l2:x+my-m-2=0, 证明:对任意m∈R, 直线l1, l2总相交, 交点P在一个圆上, 求出这个圆的方程.

代数解法

由mx-y=0有y=mx, 代入x+my-m-2=0得

几何解法

易知直线l1经过定点O (0, 0) , 直线l2经过定点A (2, 1) , 且l1⊥l2, 故交点P在以OA为直径的圆上, 圆的方程为

即直线CD与圆O相切.

题3已知圆C: (x-3) 2+ (y-4) 2=4, 直线l1经过定点A (1, 0) .若l1与圆交于P, Q两点, 线段PQ的中点为M, 又l1与直线l2:x+2y+2=0的交点为N, 求证:|AM|·|AN|为定值.

代数解法

设直线l1的方程为y=k (x-1) ,

几何解法

设直线AC与l1交于点B, 易知AB⊥l1,

∴△ABN∽△AMC.

数形结合助力课堂教学 篇5

（贵州省晴隆县花贡小学

付作伦）

【摘要】“数形结合”思想是小学数学中常用的、重要的思想方法。“数行结合”即通过数与形之间的相互转化，把抽象的数量关系转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题。在小学数学中，应用“数形结合”的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观的表示出来。实践证明，数形结合与抽象思维协同运用，和谐发展，是全面提高学生素质的重要方法之一，在数学教学中有至关重要作用和地位。“数”与“形”之间密不可分，它们相互转化，相辅相成。【关键词】数形结合小学数学课堂教学

“数形结合”思想是小学数学中常用的、重要的思想方法。“数行结合”即通过数与形之间的相互转化，把抽象的数量关系转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题。在小学数学中，应用“数形结合”的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观的表示出来。实践证明，数形结合与抽象思维协同运用，和谐发展，是全面提高学生素质的重要方法之一，在数学教学中有至关重要作用和地位。“数”与“形”之间密不可分，它们相互转化，相辅相成。在课堂教学中适当地利用数形结合，把握好数形结合之度，就可以使问题化难为易，化繁为简。在引进新知、建构概念、解决问题时，还可激发学生的学习兴趣，有利于发展学生的想象力及提高学生的思维能力。

一、“以形助数”在直观中理解数。

借助图形的直观性将抽象的数学概念、运算等形象化、简单化，给学生以直观感，让学生以多种感官充分感知，在形成表象的基础上理解数学的本质，解决数学问题，形成数学思想的目的。小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理，尤其在课改之后，老师们注重了算法多样化，在计算方法的研究上下了很大功夫，却更加忽视了算理的理解。我们应该意识到，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。” 根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方法。

二、以“图助学”帮助学生理解题意，理清解题思路。

线段图是小学数学教学中常用的方法；它是学生从直观向抽象过渡的桥梁，有助于学生理解数量关系，从而找到解题方法。让学生画线段图，将数量关系直观科学地体现出来，可以提高学生的分析问题的能力，如果应用得当，会收到意想不到的效果。

例如我在教“几倍求和的应用题”时，我出示了例题：小明家养鸡24只，养的鸭是鸡的5倍，养的鸡和鸭一共有多少只？我并没有急于让学生解题，而是让他们画线段图，然后我让学生自己尝试做题，在交流时，一些学生除了用“24×5+24”这种方法，还用了“24×（1+5）”的方法。我问你们是怎么想的？他们都说是看到线段图后想到的，由此可见，线段图除了帮助学生理解数量关系外，还可以激发学生创新能力。

三、“以数想形”帮助理解各种公式。

在教学有关的数学公式时，如果只是让学生死记硬背，这样只会将知识学死。如果学生稍微碰到有变化的图形问题，就不能灵活解决。所以我在教学长方形周长公式的时候，就让学生借助图形充分理解公式的含义，求长方形周长大体有三种方法：①长+宽+长+宽，②长×2+宽×2，③（长+宽）×2，通过对学生的检测，我发现学生对于前两种方法应用的比较多，第三种应用的比较少。还有一部分学生对于第三种方法没本质上的认识，只是知道有这样一个公式可以求长方形的周长，知其然，而不知所以然。于是根据自己的检测我设计了让学生边说边摆小棒的方法介绍第三种求周长的方法。

四、以“情导学”使计算中的算式形象化，利于学生理解算理

在小学数学中计算教学占了相当一部分的内容，学生理解算理是计算教学的关键，在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，而数形结合，是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。如：在教学“分数乘分数”时，创设情境：小区铺一块绿地，每小时铺这块地的1/2，照这样计算，1/4小时能铺这块地的几分之几？在引出算式1/2×1/4后，我采用三步走的策略：第一，学生独立思考后用图来表示出1/2×1/4这个算式。第二，小组同学相互交流，优生可以展示自己画的图形，交流自己的想法，引领学困生。学困生受到启发后修改自己的图形，更好地理解1/2×1/4这个算式所表示的意义。第三，全班点评，展示、交流。这样把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解了分数乘分数的算理。

数形结合助力课堂教学 篇6

[关键词]低年级数学 数形结合 概念教学 策略

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）23-085

“数形结合”是数学课堂中的一种数學思想方法，它能帮助学生把数和形统一起来，借助直观可见的形来理解抽象的数，运用数和式详尽入微地描绘形，不但有利于学生把握题目的核心内涵，还能提高学生解决问题的能力。

一、图形演示，注重概念引入

小学低年级的数学中囊括了很多数学概念，教师若能在教学中把数学概念最核心的属性用恰当的图形表示出来，就可以帮助学生更好地理解数学概念。给学生感性的素材，为建构数学概念奠定根基。

【案例】1-5的认识

师：（课件展示情境“农家小院”）今天我们到美丽的农家小院逛一逛。看看那里有些什么？

生：那里有老奶奶、向日葵、鹅、小鸡、小狗……

师：真棒！那我们一起来数一数图上有几只小狗。

生：1只。

师：那你还能找到可以用“1”来表示的其他物体吗？

生1：1个老奶奶、1座房子、1串玉米。

……

师：真厉害，数学上有1个物体就用数字“1”来表示。

该案例中，“农家小院”里的人和物帮助学生抽象出1到5这些数，且每个数都是在数人或数物的基础上抽象出来的。如“1”是在数1个老奶奶、1只小狗、1座房子、1串玉米等基础上抽象出来的；“2”是在数2只鹅、2个食盘、2个筐等基础上抽象出来的，将抽象出的数让学生用相应根数的小棒摆成自己学过的几何图形，帮助学生完成由具体到抽象，再从抽象回到具体的认识过程。

二、动静结合，探究形成过程

数形结合的“数”是数学学习的知识，具体体现在前因后果、层层递进的问题上；其中的“形”是问题的背景，教师借助学生熟悉且能观察到的物体，作为问题的情境，增强问题的形象性，方便启迪学生的数学思维。

【案例】100以内数的认识

师：今天，我们一起去大草原上看一看。瞧，草原上来了两群羊，有多少只呢？

生：20只。

师：请你告诉老师，你是怎么数的？

生1：我是1只1只数的，1、2、……19、20。

师：我们一起拿出小棒来摆一摆。1、2、3……、19、20。是的，19再加1就是20了。

生2：我是5只5只数的，5、10、15、20。

生3：我是10只10只数的，10、20。

师：请小朋友把刚才的10根小棒绑成1捆，20根就有2捆了。

教师在教学中让学生自己动手摆一摆，使学生在动静结合的摆小棒活动中，清晰地建立19再加1就是20的数感，这对孩子们以后理解100、1000等更大的数字有很大的帮助。

三、画图体验，揭示概念本质

低年级学生由于缺少生活经验，往往不能通过联系生活经验来理解数学概念。因此教师要根据具体教学内容，引导学生动手作图，帮助学生建立表象，从画图体验中领悟概念。这样可以发展学生的空间观念，培养学生分析、综合、抽象、概括的能力。

【案例】比多少练习课

题目：有11个同学排队吃饭，从左边数小红排第5个，从右边数小红排第几？

师：同学们，请你用自己的方式来算一算从右边数小红排第几。（教师巡视并指导）

生1：11-5=6个，小红排第6。

生2：我通过画图，得出从右边数小红排第7个。

师：还有谁有不一样的想法吗？

生3：我用○代表小红，△代表其他9个小朋友，知道了小红排第7个。

△△△△○△△△△△△

师：大家真厉害，那小红是排第6个还是第7个呢？

生：第7个。

师：是的，小红是排在第7个，我们一起来数一数。

由于低年级学生年龄小，理解、分析能力都有限，通过画图不但能帮助学生读懂并理解题意，还能使题目中的数量关系更清晰、直观。其实画图体验最关键的是要引导学生把题目中具体的关系用形象的图形来表示，在作图过程中重新梳理题意，让学生在“再发现”中学会“再创造”。

数形结合提高概念教学的情趣 篇7

如何把概念课上得生动、有趣、高效呢?这是每个中学教师在课改中追求的目标.本人对此问题在教学中进行了如下探究.

一、观察抽象, 通过数形结合感知概念

首先要掌握学生已有的认知结构和心理状态, 将传授知识和培养学生能力很好地结合起来.

绝对值概念的教学, 对整个初中代数的学习起着十分重要的作用.绝对值概念由于较抽象, 所以它在同学们的学习中一直是一个障碍, 尤其是刚学习代数的初一同学更感到困难.那么如何把握关键破解难点呢?要牢固掌握绝对值概念, 首先要掌握绝对值的定义, 弄清它的几何意义, 然后通过数形结合加深理解、巩固概念.

例1 a, b, c三数在数轴上的位置如图1所示, 化简:

解由图和绝对值的意义可知:a>0, b<0, c<0, a+b<0, b-c>0, c-a<0,

评注数轴上的点与实数是一一对应关系, 数轴的引入是实数内容体现数形结合思想的有力工具, 它直观形象地反映了相反数和绝对值的几何意义, 能激起学生的参与感和探究欲, 提高情趣, 在愉悦的学习环境中分解难点, 优化课堂结构.

二、数形结合图形, 升华概念

在“图形的旋转”第一节概念课教学中, 我首先通过师生互动、合作交流以及多媒体教学软件的使用, 让学生在生动形象、有意义的活动中发现图形旋转的美妙, 同学们探究活动的情趣被调动起来, 在活动中认识旋转.然后, 我利用展台展出图形的旋转动画, 在合作交流的探究活动中引导学生用自己的语言得出旋转的三要素, 然后根据观察、比较、归纳得出旋转的概念, 这样通过数形结合培养学生数学概括归纳的能力.再分组指导学生利用多媒体画板进行平移和翻折的操作, 通过观察比较探究旋转前后的两个图形形状、大小不变和旋转的性质.

三、动画演示, 通过数形结合探究性质

如在“反比例函数的图像和性质”的教学中, 学生已经初步了解了反比例函数的有关概念, 为了探究反比例函数的性质, 我用几何画板演示的图像, 在演示的过程中让学生边观察边思考: (1) k>0时图像所在的象限及y随x的增减变化, (2) k<0时呢?接着让学生自己分组操作一下, 再让学生用自己的语言归纳发现的事实.数形结合激发了学生的情趣, 在合作交流中掌握了概念, 收到良好的教学效果.

四、数形结合指导操作, 设计图案感悟概念性质

活动1:已知点M和直线l, 画出点M关于直线l的对称点M′.

活动2:已知线段MN和直线l, 画出线段MN关于直线l的对称线段M′N′.

活动3:已知△DEF和直线l, 画出△DEF关于直线l的对称图形△D′E′F′.

以上三个操作利用数形结合层层递进, 让学生在活动中体会转化的思想, 发现作图的思路和关键, 感悟轴对称的性质.在此基础上, 让学生反思:如果是作四边形、五边形……的对称图形呢?进而把学生的创造性思维推向高潮.同学们跃跃欲试, 争着想展示自己的技能.我让学生利用数形结合作图的思路当一回小设计师, 进行创意设计, 并展示自己的作品.最后, 让学生思考制作五角星图案的方法, 学以致用, 体验到成就感, 学生情感态度得到强化, 知识结构得到优化, 提高了情趣, 加强了概念教学.

五、学以致用, 巩固概念, 提高解题能力

学生学习数学概念的根本目的在于应用, 通过应用, 一方面可以进一步帮助学生巩固和加深所学到的数学概念, 另一方面可以提高学生分析和解决问题的能力.

例如在教学“二次函数与一元二次方程”这节时, 学生对方程的“根”和函数的“零”点理解不够透彻.我首先通过画板引导学生探究二次函数y=x2-2x-3的图像与一元二次方程x2-2x-3=0的关系, 在掌握概念后, 引导学生及时进行巩固.

例2已知函数y=ax2+bx+c的图像如图2, 若|OA|=|OC|, 求a, b, c之间的关系.

由于学生事先已探究了函数的性质与根的关系、绝对值的概念和直观地图形演示, 很容易得到解法.因|OA|=|OC|, 而点C是抛物线与y轴的交点, 故OC=c>0, 又点A在x轴的负半轴上, 且已知|OA|=|OC|, 故OA=-c, 即点A的坐标为 (-c, 0) , 图像与x轴交点的横坐标就是函数的零点, 所以a· (-c) 2+b· (-c) +c=0, 即c (ac-b+1) =0.又c≠0, 所以b-ac-1=0.

运用数形结合思想,设计课堂教学 篇8

几何是数形的结合体。数与形如影随形,形是数的外在表现,而数是形的内在本质。数与形总是相辅相成的,既可“以形变数”,也可“以数化形”“形数互变”,数与形具有一定的对应性。

在一次数学活动课上,笔者以图为载体,通过一题多解,发散思维,训练学生数形结合的思想方法,培养他们的创新精神与探究能力。

一、找“朋友”,初步感知数形结合思想

用直线将下列可能相关的算式与图形连起来,并说出理由。

10×6(8+6)×h÷2=42 12.56÷3.14÷2 30×AC÷2=45 AB2

二、以形求数,用代数法解答

出示例题,“如图1,正方形ABCD的边长为4厘米,EF//BC,△CEH的面积为6平方厘米,求GF的长。”

先让学生同位或前后四人为一组,讨论解题策略。

如果用算术法解答,有一定的难度,先启发他们用代数法思考,尝试解答。

一生这样做:

设:△EGH的高为a厘米,△CEG的高为b厘米。所列代数式如下:

解得:EG=6×2÷4=3 GF=4-3=1。

另一生得到另一种结果:

设:△EGH的高为x厘米,面积为S平方厘米。所列代数式为:

还有一生是这样解答的:

设:△EGH的高为x厘米。列出代数式:

解得:EG=6÷2=3,GF=4-3=1。

在集体评议时,大家一致认为前者和后者解答正确,而对第二种解法的评价是:“一个没有结果的算式”而已,甚至连解题者本人对这种做法也感觉莫名其妙,难以自圆其说。笔者首先肯定第二种解题方法求EG长也是可以的,它抓住了△EGH与△CEG共底的等量关系列式。再让大家将此解法的最后算式对照△EGH,分析算式“”表示的意义。学生理解了算式的含义,这才明白了算式中的“3”就是△EGH的底(EG的长),x是高,S=是△EGH的面积计算,大家终于悟出了答案就隐藏在算式中。教师在此有意识地引导学生运用数形结合思想,将算式与图形(△EGH)作对照,强调数形的对应性。如果学生没有数形结合思想,就无法理解算式中的答案“3”。

因势利导,教者又进一步告知学生,几何图形的数与形总是相互依存的,往往有什么样的图形就会列出怎样的算式,而何种算式也可以折射它是一个什么样的图形,数与形就是这种形与影的关系。以上这三种解答方法都是由“形”求出“数”,特别是第二种解法,数形完全相符,即清楚地显示出△EGH的面积计算。

三、由数化形,用算术法解答

引导学生观察分析第一种解法最后的代数计算结果所呈现出的算术式:“6×2÷4=3”,第三种解法的最后解答结果所呈现的算术式:“6÷2=3”,将它们分别对照图1中的△CEH,看看这两种解答方法的数(算式)与形是否完全相符。经过一番思考与讨论,大家觉得这两种解法结果所呈现的算术式与图1均不相符。此刻,教师明确指出:在正常情况下,算式与图形总是相对应的。既然有这样的算式,就必然有与之相对应的图形,肯定可以通过“等积变形”的方法,达到图形与算式相一致,那就可以直接用算术方法解答了。

先观察第一种解法的算式GE=6×2÷4,分析算式的含义,让学生推想变形后的三角形应是面积为6平方厘米,底为4厘米,GE应该是高。

于是,让学生结合算式与图形的关系,动脑动手,尝试等积变形,用算术方法求EG。

几分钟后,有一组学生是这样做的(如图2):

首先,连接AG、BG,得到△ABG。

因为,△AEG=△EGH(同底等高),△BEG=△CEG(同底等高)。

所以,△ABG=△CEH=6。这样,就把△CEH转化成△ABG,其面积依然为6平方厘米,底是正方形边长4厘米,EG是这个三角形的高。

因此,EG=6×2÷4=3,FG=4-3=1。

充分肯定该组“等积变形”的研究成果,同时进一步强调算式与图形对应一致。再用上述方法猜想第三种解法EG=6÷2=3的对应图形,应怎样等积变形?学生很容易地说出,应该是一个面积为6平方厘米,宽为2厘米的长方形。

告诉学生,距离成功只有一步之遥了。只要能将△ABG转化成长方形,与上面的算式EG=6÷2=3相符合,鼓励学生在图2的基础上继续探究。

在距离下课时间只有几分钟的时候,终于有学生成功地解决了这个问题。

其解题思路为(如图3):

作长方形ADFE的平分线XY,再作长方形BCFE的平分线JK,过G点作CD的平行线NM。将图3中的1移往2,将3移往4,正好拼成了一个宽为2厘米,面积为6平方厘米的长方形XPq J,而EG相当于这个长方形的长。

所以,EG=6÷2=3,FG=4-3=1。

这个学生的解答完全正确。在此基础上,教师再次引导学生印证代数法的最后算式EG=6÷2=3与推想出来的图3是否完全吻合。

教师小结:就这道题,我们由“形”列式求数,再由算式推想图形,数形相互转化,让我们用算术法又一次解决了问题。这种解题策略就是运用了“数形结合”思想。最后,屏幕上显示著名数学家华罗庚画像及其诗句,以“数形结合百般好,隔离分家万事休”的名句结束本节课。

运用数形结合思想,可将人们引入一个数学新天地,让人进一步领略数学的美妙与情趣,这对培养学生的创新思维具有积极作用。

参考文献

数形结合提高小学数学课堂效率 篇9

1.数形结合, 使学生更牢固的掌握数学概念

小学生在刚刚接触数学知识时很难理解抽象的数学概念, 教师可以采用数形结合的教学方法展开概念教学, 通过运用图形, 创设一定的数学问题情境, 化抽象为具体, 有效地帮助学生理解数学概念。例如, 在教学小学一年级“100 以内数的认识”时, 发现许多学生能够流利地顺背、倒背100 以内的数, 但问到87 是接近90 还是接近80 时, 许多学生都答不上来。分析其原因:原来大多数学生只是对这些数字机械记忆, 并不理解这些数的顺序、大小意义。为了让学生进一步认识和理解这些数字, 我在黑板上画了一条数轴, 用点在数轴上表示相应的数, 在数轴左右端分别标上80 和90, 并各画了一幢房子, 然后对学生说:“如果你在87 这个位置, 你觉得去谁家比较近呀”?学生们异口同声地回答:“去90 家比较近, 因为87 接近90”。通过数与形的合理结合, 在学生的头脑中形成了一个直观的几何表象。“形”的创设, 不仅提升了学生对于“数”的思考, 而且极大地增强了学生的数感, 激发了学生的学习兴趣, 同时, 也促进了学生数学思维水平的提高。

2.数形结合, 让学生更透彻的理解数学算理

数形结合的教学方式, 不仅可以促进学生更牢固地掌握数学概念, 还可以帮助学生更透彻地理解数学算法。在计算教学中灵活运用数形结合, 就能使学生走出对许多算理还模棱两可的境地, 起到事半功倍的效果。我在教小学数学“30 以内的进位加法”时, 就采用了数形结合的方式, 为学生创设生活情境, 引导学生加深对于数学算理的理解和记忆。如教师在桌子上放了两个透明的盒子, 一个盒子装8 个面包, 一个盒子装6 个面包, 继而问学生:“学校带领小朋友们去春游, 老师分给小朋友每人一个面包, 分完后剩余的面包装在这两个盒子里, 还剩几个, 你们用什么方法能够很快地计算出正确结果?”此时, 学生你一言我一语地答道:可以列出8+6 的算式, 也可以列出6+8 的算式。教师这时将一只盒内的几个面包移动到另一只盒子里, 盒子装满后正好是10 个面包。其实这就是数学的“凑十法”, 就是把一个盒子里的面包凑到10 个, 余下的个数就很容易知道了。 这样的教学设计, 把抽象的“凑十法”形象地表达出来。通过数形结合, 借助图示使学生更容易理解9 加几的算法, 算理也更加清晰, 教学中的重点和难点得到突破, 课堂教学效果也有所提高。

3.数形结合, 帮助学生厘清解题思路

小学数学的教学内容中计算问题较多, 许多教师往往注重算法的多样化, 而忽视了学生对算理的理解。其实, 算理就是计算过程中的道理, 算理为计算提供了正确的思维方式, 保证了计算的合理性和正确性。在教学时, 教师应根据教学内容指导学生在理解算理的基础上掌握计算方法。数形结合对于学生理解算理有很大的帮助。

例如在教学过程中让学生画线段图, 借助线段图来解题, 帮助学生准确找出数量间的对应关系, 化难为易、化繁为简, 将抽象化为具体、形象和直观, 帮助学生理解数量关系, 理解计算过程中的道理。在讲“几倍求和的应用题”时教师出示例题:小丽妈妈在市场上买了21 个苹果, 买的橘子是苹果的4 倍, 问苹果和橘子共买了多少个。此时, 教师先让学生画出线段图后再尝试做题, 一些学生列出了“21×4+21”的计算式, 还有学生用了21× (1+4) 的式子计算出答案。当教师问他们是如何思考解题思路的, 许多学生都说是画出线段图后得到的启发。可见, 数形结合对帮助学生厘清解题思路非常有效。

小学三年级数学有这样一道题:买笔花了22 元钱, 买书花的钱是买笔钱的4 倍, 一共花了多少钱?这道题其实是可以用两种方法来解答, 但一般情况下, 学生不容易想到用“倍比”的方法解答, 因为这种方法即使教师用语言来解释, 学生也很难理解, 如果引导学生画出线段图, 一切问题就变得清晰起来。结果这道题的计算式就迎刃而解了:1+4=5, 5×22=110 (元) 。又如有一道题:佳佳有一些画片, 她送给了圆圆一半还多1 张, 自己余下了23 张, 佳佳原来有多少张画片?针对这道题, 给学生了解用什么方法整理题中的条件是个难点, 我先用列表和文字整理, 结果大多数学生还是一脸茫然, 随后又选择了实物操作, 结果也不尽如人意, 最后选择了数形结合, 根据题意画示意图, 原本模糊的数量关系通过转化为线段图后变得一目了然, 学生也很快的理解了题目的意思。所以在数学学习过程中, 如果学生遇到复杂问题往往不知所措时, 采用数形结合的方式, 可以帮助学生快速理清解题思路。如借助线段图, 教师不需要过多的讲解而是帮助学生建立数学模型, 让学生运用线段图来解决实际问题, 特别是学习有困难, 对应用题的数量关系模糊不清的学生, 更有必要引导他们利用线段图来理清自己的解题思路。

数形结合思想与解题教学研究 篇10

解题是实现中学数学教学的一种手段, 是教学活动的重要形式。解题教学是教师对学生运用知识进行独立思考活动的指导过程, 也是使学生掌握数学基础知识, 培养基本技能, 提高数学能力和发展智力的必要途径。通过解题, 我们还可以培养学生辩证唯物主义世界观, 以及刻苦钻研精神和独立工作能力等优良品质。

数学在其漫长的发展过程中, 不仅建立了严密的知识体系, 而且形成了一套行之有效的方法。一般认为数学思想方法的概括, 是贯穿于该类数学方法中的基本精神、思维策略和调节原则。它制约着数学活动中主观意识的指向, 对方法的取舍具有规范和调节作用。形和数这两个概念, 是数学的两块基石。数学大体上都是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而展开的。在数学发展过程中, 形与数常常结合在一起, 在内容上互相联系, 在方法上互相渗透, 在一定条件下互相转化。

早在数学的萌芽时期, 人们在度量长度、面积和体积的过程中, 就把数和形联系起来了。我国宋元时期, 系统引进了几何问题代数化的方法, 用代数式描述某些几何特征, 圆形中的几何关系表达成代数之间的代数关系。17世纪, 法国数学家笛卡尔, 通过建立坐标系, 建立了形与数之间联系, 创立了解析几何学。后来, 几何学中许多长期没有解决的问题, 如尽规作圆三大不能问题, 最终也都借助代数方法得到解决。形与数的内在联系, 也使许多代数学和数学分析课具有鲜明的直观性, 而且往往由于借用了几何术语或运用了几何的类比从而开拓了新的发展方向。例如, 线性代数正是借用了几何空间、线性等概念与类比方法, 把自己充实起来, 从而获得迅猛的发展。形与数的结合正是在上述背景下逐步形成的。它在数学数学与数学发展中的重要意义, 正如在《数学发展史》中法国数学家拉格朗日所指出:“只要代数同几何分道扬镳, 它们的发展就缓慢, 它们的应用就狭窄, 但是两门科学结合成伴侣的, 它们就互相吸取新鲜的活力, 从那以后, 就以快速的步伐走向完善。”因此, 在教学中我们必须重视形与数相结合思路的应用。

在现实世界中, 形与数不可分离地结合在一起。这是直观与抽象相结合、感知与思维相结合的体现。形与数相结合不仅是数学自身发展的需要, 而且是加深对数学知识的理解、发展智力、培养能力的需要。从表面上看, 中学数学内容可分为形与数两大部分, 中学代数是研究数和数量关系的学科, 中学几何是研究形和空间形式的学科, 中学解析几何是数与形结合的内容。从以下几例便能说明其数形结合妙之所在。

1.研究数与数轴相结合。在中学所学的实数中, 把每一个数与相应的点对应, 把这些点按顺序构成一条直线。又由数与数轴上的点反映了二者之间的“一一对应”关系, 能直观地通过数轴反映数之数之间的连续性、稠密性, 使得中学数学更加具体、生动。

2.当在平面上建立了坐标系后, 平面上的点与有序实数对之间建立起一一对应的关系, 任何一条直线都可以写成关于X、Y的二次方程, 任何X、Y的二元一次方程都表示一条直线。这样我们就可以利用直线的方程讨论两直线的位置关系、两条直线所成的角、点到直线的距离, 这种通过方程研究图形性质的方法提示了“数”与“形”的内在联系。首先根据图形特点, 建立适当的直角坐标系 (所谓适当, 就是保证题目的解证过程中运算简便, 过程简单, 结果明确) ;其次根据已知条件, 标出已知点坐标, 给出已知直线或曲线的方程, 然后由题设或图形的几何性质, 已知的点或曲线方程, 推导出要求或要证结果。由上题可看出, 用这样的方法解证题目, 思维流畅, 方法灵活, 几何问题完全通过代数方法得到解决。

“横看成岭侧成峰, 远近高低各不同”。“数形结合”仿佛神来之笔, 为问题的解决提供了探索途径, 其独到的思维风格给人以享受, 并且带给人以成功的巨大喜悦。

3.研究函数与其图像相结合。函数是数学的概念之一。函数是贯穿整个数学的一个重要的、抽象的概念, 函数作为两个集之间的特殊关系贯穿整个数学课程。函数作为运算出现, 例如两个数的和与这个数对应;在初中代数中, 函数表示两个数量之间的关系:在几何中函数表示下一个点集到它的象集的变换 (平移、对称、旋转等) 。如研究二次函数y= (x+a) 2+b, 根据作图法画函数的图像, 是一个由数到形的变化。对学生来说, 图像性质是最难掌握的, 尤其二次函数的图像的变化, 需要高度的数形结合的思路, 包括“看图算数”与“以数想图”两方面。前面作图时已有了数到形的变化。如果改变图形的形状、大小、位置后, 函数式中的系数又随之怎样变化呢?

通过图形, 我们就可以总结出有关结论。这又是形到数的变化, 再如指数函数的有关教学通过图解, 充分说明了这又是一个数形结合思路贯穿于始终。有关数形结合的思路在数学学习中随处可见:代数方程可表示各种关系, 它可解决有关长度、面积等问题;一元一次方程、二元一次方程分别表示平面直线、二次曲线等。

数形结合助力课堂教学 篇11

关键词： 数形结合    小学数学    概念教学

大脑在空间形式及数量关系方面所形成的概念，即数学概念。对数学概念进行准确掌握与合理运用，可以为小学生以后的数学知识学习奠定坚实的基础，是小学生实现综合发展的必要前提。数形结合即对实际事物与数学知识进行互相转化，帮助小学生正确理解数学知识，是小学数学教学过程中教师普遍应用的一种教学手段。本文主要分析了数形结合思想在小学数学概念教学中的重要意义。

一、帮助学生对数学概念进行直观体验

小学教师在教授学生数学基础知识《生活中的数》时，首先应帮助学生理解数所具备的含义，然后让学生在实际生活中寻找数的存在。例如，教师让学生以小组为单位，给每个小组分发一定数量的铅笔，教师可以随意提出一个10以内数字，让学生用铅笔表示。学生在摆弄铅笔的过程中，会思考如何简单明了地表示数，这时教师可以在旁加以引导：“表示六需要六个铅笔，如果将五个铅笔绑在一起，再加一支铅笔便是六，那么如何简单地表示十呢？”这时学生会说：“铅笔绑成两捆，一捆是五，两捆便是十。”这种设定单位的方式可以将数的含量清晰体现在学生的眼前，使学生准确掌握数的意义。教师继续提问：“生活中需不需要数？什么时候需要数？”学生会发现，与父母一起看逛超市、商场或是在家看电视，都需要数，数与实际生活紧密相连。通过直观体验的方式对学生进行数概念讲解，有利于提高学生该知识的认知程度。

二、帮助学生针对数学概念进行类比联想

联想是一种心理现象，指人类通过某种信息情境，将思维发散到其他信息情境中，是人类认识活动的推动力。例如，小学数学教师在教授学生《元、角、分与小数》概念时，常常会利用人民币进行讲解。教师在黑板上写下1.00，学生便会联想到1元钱，教师告诉学生从右到左分别表示分、角、元，中间的点是小数点，教师可以向学生提问：“这表示一元，那以元为单位的话，小数点左边表示的是什么？”学生会答：“元。”教师继续提问：“小数点右边首个数字表示什么？”学生答：“角。”“如果以米为单位，小数点左边的数字表示什么？”“米。”“那右边首位呢？”“分米。”通过人民币与米这两种生活中常见的量的类比联想方式，解释《元、角、分与小数》概念，学生不仅能准确了解小数点在数字表示中所代表的具体含义，还能提高自身的思维发散能力。

三、有利于优化数学课堂教学效果

学生只有拥有浓厚的数学学习兴趣，才能激发学习动力，取得优异成绩。小学数学教师在授课过程中，采取数形结合的模式，根据数学知识为学生创设生活情境，可以对抽象的数学概念进行具象化转变，降低数学知识学习在学生认知中的难度系数，激发学生学习兴趣。

例如，教师在教授学生《青蛙吃害虫》这一课程时，可以向学生提问：荷叶上有一只青蛙，荷塘水面上有10只害虫，如果青蛙吃一只害虫需要2秒钟，那青蛙需要多久时间才能吃完所有害虫？学生会针对这个问题进行讨论，这时教师可以组织学生进行游戏，一个同学扮演青蛙，另一个同学扮演害虫，青蛙抓一个害虫是2秒钟。学生在游戏过程中查数所花费的时间，最终得到正确结果。利用数形结合模式，可以为学生创造良好的课堂教学氛围，有效提高学生的课堂积极性、主动性与参与性。学生实时掌握并了解了课堂教学知识，在很大程度上强化了课堂教学效果。

四、提高学生的知识理解能力

人有两个大脑，分为左脑、右脑，右脑的主要功能是对信息进行图像化转变，左脑的功能是帮助人进行思考、判断与学习。在小学数学概念教学过程中应用数形结合模式，便是对小学生的双脑进行有效开发。将生活实际中的具体形象作为数学概念的模型，学生可以准确掌握数学概念的本质并形成深刻记忆。

例如，教师在教授《小兔请客》知识时，可以向学生提问：森林里搬来了一只小白兔，它非常友善热情。第一天，它请了8个动物去家里玩，第二天它请了5个动物，其中有2个动物这两天都来小白兔家做客了，那小白兔两天一共请了多少动物？数字比较小，学生通过简单的逻辑推理，便可以得到正确答案，但数字较大时，学生便难以获取准确结果，因此教师要帮助学生掌握解题方法。教师可以在黑板上绘制出韦恩图，在左边图形中填入第一天参加宴会的动物数，在右边图形中填入第二次添加的数量，中间重叠部分，是两次均参加的动物数量，如下图所示：

图1    动物参加小白兔宴会的数量示意图

通过韦恩图，学生可以对动物参加宴会得人数情况进行准确把握，从而掌握正确解题方式。

结语

在小学数学概念教学过程中，教师利用数形结合的方式对学生进行知识讲解，不仅能集中学生注意力，激发学生数学学习兴趣，提高学生的课堂参与度、积极性与主动性，还能帮助学生将数学知识紧密连接，准确了解数学概念，并合理运用于实际，为学生的未来学习与发展奠定坚实的基础。

参考文献：

[1]程苗英.浅析如何提高小学数学概念教学的有效性[J].学周刊，2014（14）.

[2]单媛媛.浅谈“数形结合”在小学第一学段“数概念”教学中的运用策略[J].科教文汇（下旬刊），2014（04）.

[3]孙红梅.数形结合思想在小学数学教学中的实践运用[J].黑龙江教育（理论与实践），2014（Z1）.

数形结合助力课堂教学 篇12

一、“数形结合”的思想内涵

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。“数量关系”常看作“数”, 进一步扩展为抽象的、形式化的数学对象, 如代数中的一切内容包括数、式、方程、函数、不等式等。“空间形式”常看作“形”, 进一步扩展为数学中有形的、可视的东西, 如图形、图像、曲线等。

“数”构成了数学的抽象化符号语言, “形”构成了数学的直观化图形语言。“数”与“形”各有优势, 数学上常利用两者的优势互补来解决问题, 这就是人们所熟悉的“数形结合”思想方法。

二、“数形结合”的理性认识

从教育学、心理学的角度来看, 小学生天真活泼, 对学习充满了好奇与想象, 他们学习的积极性很高, 但由于心理和年龄的特点, 学习中注意力维持时间较短, 自控能力较弱。而“数形结合”正好是符合他们特点的学习方式, 它借助图形, 把纯文字的数学问题变得直观明了, 其中的数量关系基于图形也便于学生理解。

从数学学科的角度来看, “数”与“形”是数学研究的两个基本对象, 利用“数形结合”方法能使“数”和“形”统一起来, 借助“形”的直观来理解抽象的“数”, 运用“数”与“式”来细致入微地刻画“形”的特征, 直观与抽象相互配合, 取长补短, 从而顺利、有效地解决问题。

从儿童的思维特点来看, 小学生的思维是从具体形象思维为主要形式逐步向抽象逻辑思维过渡, 但这时的逻辑思维是初步的, 且在很大程度上仍具有具体形象性。“数形结合”充分融合了“抽象”和“具体”、“运算”和“逻辑”, 使需要较大思维空间的“抽象思维”转化为需要较小思维空间的“形象思维”。

三、“数形结合”对提升数学思维的价值体现

首先, “数形结合”有利于直观动作思维的提高。直观动作思维又称实践思维, 是凭借直接感知, 伴随实际动作进行的思维活动。儿童的思维活动往往是在实际操作中, 借助触摸、摆弄物体而产生和进行的。“数形结合”有效地促进了学生的动手操作, 使手、眼、脑协调运作, 思维不断提升。

其次, “数形结合”有利于具体形象思维的提高。具体形象思维是运用已有表象进行的思维活动, 表象便是这类思维的支柱。“数形结合”使得教学更加直观形象, 为学生提供了足够的感性材料, 让学生调动多种感官充分感知, 丰富了学生的表象储备, 提高了表象的概括力。

第三, “数形结合”有利于抽象逻辑思维的提高。表象是形象思维的“细胞”, 又是过渡到抽象思维的“桥梁”。抽象逻辑思维是以概念、判断、推理的形式达到对事物的本质特性和内在联系认识的思维。小学阶段的概念、法则、公式相对来说都非常抽象。“数形结合”以实物或图形为感知基础, 结合对数量关系的理解, 不断丰富表象, 最终形成抽象逻辑思维。

四、“数形结合”在课堂教学中的实践意义

1.数形结合, 把握数学本质, 使概念认知形象直观

对小学生而言, 数学概念的学习是枯燥的, 掌握也是很困难的, 因此小学数学的学习中数形结合成为必要。例如我在教学“分数的初步认识”时, 对分数的理解教学每一步都借助了“形”的支撑。先是在直观的图面“分蛋糕”中, 让学生感受到分数这一概念产生的需要。接着让学生对一个图形“长方形”的操作中, 形象感知1/2的由来。紧接着让学生自由操作一个图形, 去创造一个几分之一, 再让学生通过比较, 形成对分数概念的初步认识, 把一个图形平均分成几份, 每一份就是它的几分之一。

2.数形结合, 化解教学难点, 使知识呈现由浅入深

“数形结合”不仅是一种数学思想, 也是一种很好的解决问题的方法。在小学生数学学习的过程中, 对于一些难以理解和掌握的数学知识, 教师可以充分利用“形”来帮助学生理解, 使得数学知识形象、直观, 使得知识呈现由浅入深。如特级教师徐斌在执教“9加几”时的做法, “凑十法”是教学的重点, 如何把一个数合理分拆进行凑十是教学的难点。出于这样的思考, 在教学9加4时, 徐老师把鲜明的具有数学结构的桃子图张贴在黑板上, 学生借助这样的“形”, 很容易想到从右边4个桃子中取一个放到左边的盒子里, 这样左边盒子满了, 正好是10个。让学生上台演示可移动教具, 边逐步对应板书, 不断追问学生:为什么从4里面先拿1个放盒子里?那么, 刚才我们先算什么?再算什么?学生很快得出:先算9加1得10, 再算10加3得13。

3.数形结合, 厘清数量关系, 使数学方法理解深刻

在解决问题的过程中, 让学生厘清数量关系, 这对提高解决问题的能力尤为重要。在教学中, 教师可以通过数形结合的训练, 让学生在解决问题时能自觉想到数形结合, 能够去画一画线段图、示意图, 或者是在脑海里想象一下相关情境来帮助解决问题。在数形结合中应强化数形对应, 把复杂的问题简单化、明朗化, 把抽象的问题具体化、形象化。显然, 形象化的图形表达了抽象化的数量关系, 为学生在实际问题与算式之间, 在分析数量关系与解决问题之间架设了一座桥梁。长此以往, 学生分析比较、综合运用知识解决问题的能力必然会大大提高。

4.数形结合, 探索数学规律, 使学习过程生动活泼

数学学习过程不仅是一个接受知识、积累知识的过程, 也是一个探索知识、创造知识的过程。运用数形结合, 有助于学生探索数学规律, 让学生经历一个生动活泼的探索、思考过程。

如教学“解决问题的策略:转化”时, 为了让学生感受到数形结合在计算中的价值时, 我出示了这样一道计算题:1/2+1/4+1/8+1/16。我适时引导学生用画图的方法去思考, 用一个正方形表示数量“1”, 然后依次在图中表示出1/2、1/4、1/8和1/16, 这下学生的思维一下子得到启发, 马上想到这四个数的和其实就是涂色部分, 而涂色部分恰好可以转化成1与空白部分1/16的差, 所以可以直接列出算式1-1/16。