数形结合思想

数形结合思想（精选12篇）

数形结合思想 篇1

北师大版数学全面使用新教材。与旧版教材相比,书中图画有增无减,仔细对比分析发现新版教材不仅增加了更多的图,重要的是应用了更为科学的教学方法,帮助学生学习、理解和掌握数学思想。

一、“数形结合”帮助学生理解概念

以四年级下册《近似数》一课为例,分析对比如下:

尽管我们一直在强调不管什么样的教材,教师都要创新教学理念,但教材的纲性特征通常束缚着教师的改变。旧版教材中,教师以讲方法和结果居多,学生通过记忆法则和大量练习能掌握四舍五入法求近似数的方法,但学生知其然而不知其所以然。例如,将204987四舍五入到万位求近似数,看万位后面千位上的数字是4,比5小,所以万位后面所有的数都舍去改写成0,得到204987四舍五入到万位的近似数200000。但喜欢思考问题的学生常会问:“4比5小,可4后面还有9、8、7,它们都比5大,为什么不向前一位进一。”老师的回答经常是这样:“让你看万位后面千位上的数字,谁让你去看其他数位上的数字。”学生只好懵懂作罢。新版教材,通过引入数线可清晰地化难为简、变抽象为直观,很好地解决了学生对重点、难点和疑点的理解困惑。

“近似数”一课有这样一类拓展题目:如“一个数的近似数是6万,那么这个数最大是多少?最小是多少?”。

旧版教材学完之后,若将题目进行变换,很多学生不能准确答出此题。分析可知,学生在缺少理解的情况下去认识更为抽象的大数,常出错误就成为必然。

新教材利用“数形结合”方法使学生比较容易在图上画出这个数的范围,既能看到最小数55000,也能容易想到最大数是64999。

学生会求一个数的近似数,更能灵活求一个数的近似数,这是显性教学效果,新版教材以及新的教学方法还增加了隐形效果,那就是增强了学生由形象思维向抽象思维转变的意识,培养了学生“数形结合”的数学思想,提高了学生的数学能力。而这些提高正是新课标所提倡和要求的,也是数学学习的终极目标。

二、“数形结合”帮助学生理解算理

学生的运算能力是新课标10个核心概念之一。运算是数学学习的重要内容。关于学生运算能力的培养和发展,新课标中写到“学生伴随着数学知识的积累和深化,正确理解相关的数学概念,是逐步形成运算技能、发展运算能力的前提,运算能力的培养和发展不仅包括运算技能的逐步提高,还应包括运算思维素质的提高和发展,运算能力的培养和发展首先要从具体到抽象”。

新教材的教学理念和教学方法是非常符合新课标要求的。对比三年级上册新旧教材“两、三位数乘一位数”一课,可窥视出新教材是如何从具体到抽象培养和发展学生运算能力的。

旧版教材的情景是生活中的购物,通过解决买4把椅子需要多少钱这一问题,教材运用了口算、加法计算(横式和竖式两种)、表格计算和竖式计算多样化的计算方法,由加法竖式计算演变成乘法竖式计算,让学生体会乘法竖式的简洁和竖式的写法。

新教材在完成12×4竖式计算终极目标的过程中,进行了两次活动。一是学生在点子图上圈一圈、算一算,直观进行口算,由于它的直观性因而学生都能完成;二是揭示乘法竖式笔算与口算之间的本质联系,学生直观理解乘法竖式的算法和算理,教材借助点子图把12×4拆分成2×4和10×4,并与竖式计算中的每一步对应起来,清晰地呈现出两位数乘一位数的乘法竖式计算过程,同时还把列表的方法和两者建立了关系,沟通了表格、竖式和点子图三者之间的内在联系,帮助学生理解每一步的具体含义。新版教材的教学方法对学生来说直观生动、易于理解、印象深刻,非常适宜于发展学生的运算思维能力。

三、“数形结合”帮助学生理解运算规律

小学阶段要求学生掌握的运算律有加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、乘法分配律,其中前四种运算律都是同级运算律。只有乘法分配律中有两级运算乘和加,因而学生掌握和运用此规律有一定的困难。新教材运用“数形结合”,很好地解决了这一难题。下面以新旧教材《乘法分配律》一课中“仿写算式”这部分内容做对比,来体会新版教材中应用”数形结合”教学方法的优势。

旧版教材在学生仿写出两个算式之后,运用计算的方法进行验证两个算式等值。而新版教材在学生仿写之后,运用的是直观的画图和乘法的意义来验证两个算式等值。特别是直观图形验证,很好地把抽象的算式与图形结合在一起,学生不需要计算很容易就能验证,同时清晰地看到数和形的一一对应。

对于三、四年级的学生而言,思考方式正处在从形象思维到逻辑思维的过渡期。运用“数形结合”方法既适应了他们的身心特点,又能较好地帮助他们理解数量关系、量的变化等包含关系符号和运算符号的重要知识点。

在小学数学教学中,如果教师能有意识地运用“数形结合”思想设计教学,那将非常有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解,提供解决问题的方法,也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略,对学生来说则是一种探究和趣味学习的动力。如果长期渗透,运用恰当,则可使学生形成良好的数学意识和思想,并长期稳固地作用于学生的数学学习生涯。

摘要：新课标修订“双基”到“四基”,增加了基本思想和基本活动经验。知识和技能是“双基”,而数学思想是数学的灵魂。在小学阶段,教师需要给学生渗透的数学思想有数形结合思想、符号表述思想、字母代数思想等,在所有这些数学思想方法中,“数形结合”思想尤为重要。

关键词：小学数学,新旧教材,数形结合思想

数形结合思想 篇2

摘要：数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在小学数学教学与解决问题中广泛应用，本文介绍相关概念并结合人教版小学数学教材，初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用，提出培养数形结合思想方法的策略。

关键词：小学数学；数形结合

1.数形结合思想方法的概念

数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和互相转化来解决问题的思想方法。1数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法，在小学数学教学与解决问题中广泛应用，包含“以形助数”和“以数解形”两个方面：前者借助形的直观性来阐明抽象的数之间的关系；后者是利用数的精确性、规范性与严密性来阐明形的某些属性。数形结合思想方法使数与形两种信息互相转换并且优势互补，从而能够将复杂的问题简单化，抽象的问题具体化。2

2.数形结合思想在各个学习领域的渗透与应用

小学数学分为“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”这四个学习领域，数形结合思想在这四个领域中都得到了广泛的应用。我通过对教材的分析，初步整理了数形结合思想方法在各教学领域的渗透与应用。

2.1数形结合思想方法在“数与代数”知识领域中的渗透与应用 数是十分抽象的，教材在编排上充分利用了数形结合，帮助孩子理解数的含义。如，一年级上册1~5的认识这一课时：

教材的内容与目标体现以下两方面：（1）体会“形”的直观性。借助各种实物图作为直观工具，帮助学生理解数字的含义。（2）了解可以用数来描述几何图形。通过让学生用相应数量的小棒摆一摆图形的过程，引导学生数一数，增强用数的量化来描述形，让学生初步感受数中有形、形中有数的思想。

除此之外，在加减法的计算学习中，利用画图来直观呈现各种信息，帮助学生分析数量关系；在乘法口诀的学习中，利用各种图形（点子图、数轴、表格）帮助学生理解乘法的意义和口诀的推导；在分数的学习中，为了让学生能够理解分数的含义，教材运用了大量的图形作为直观手段；在小数的学习中，利用尺子、线段、正方形等直观手段帮助学生理解小数的意义与性质；在方程的学习中，利用天平图作为直观手段，理解等式的性质，利用画线段图帮助学生理解数量关系……可以说，数形结合思想在“数与代数”的学习中无处不在，应用十分广泛。

2.2数形结合思想方法在“图形与几何”知识领域中的渗透与应用

王永春.小学数学与数学思想方法[M].上海:华东师范大学出版社,2014:65.毕保洪,贺家兰.数形结合思想的应用[J].中学教与学,2017,1:15-16.在探索图形的性质、特点等过程中，也需要数形结合思想方法的帮助。如：四年级下册第五单元三角形的内角和这一课时：

通过操作把一个三角形的三个内角拼成了一个平角，让学生直观体验三角形的内角和时180°，通过动手操作，体验知识的生成过程，提高了学生的学习兴趣与学习效率。在知道三角形的内角和的基础上再探索四边形的内角和，让学生体会从数量的角度研究图形的性质。

除此之外，在角、长方形、正方形等平面图形的认识中，通过直观的图形，让学生发现图形的特点与性质；在长方形和正方形面积的学生中，用数量表示长方形、正方形的大小，感受“以数解形”方法的实用性；在圆柱和圆锥的学习中，通过探索圆柱的表面积、体积，圆锥的体积等方面的知识，体会从量化的角度研究圆柱和圆锥，更好地认识它们的性质……在“图形与几何”的学习中，不仅让学生通过直观了解图形，也使学生体会以数解形的作用。

2.3数形结合思想方法在“统计与概率”知识领域中的渗透与应用 统计图就是一种把数据通过直观图形的形式体现的一种方法，是数形结合思想的体现。在二年级下册，教材便设计了用简单的条形图来表示数据，让学生初步感受图形也可以表示统计数据。四年级上册第七单元条形统计图：

描述生活中的各种数据，既可以用统计表，也可以用条形统计图，在直角坐标系里画长方形来表示数据，具有直观、易比较数据之间的大小等特点，让学生体会以形助数方法的直观性。

除此之外，在集合的学习中，通过文氏图帮助学生理解相关的统计概念和计算原理；在折线统计图的学习中，让学生理解统计图是数形结合思想的体现；在扇形统计图的学习中，体会把圆作为单位“1”，然后用圆中的一些扇形表示各部分的数量与总量之间的百分比……

2.4数形结合思想方法在“综合与实践”知识领域中的渗透与应用

数形结合思想在“综合与实践”学习领域也有广泛应用。如五年级下册打电话：

直接去解决这个问题十分抽象，对学生来说难度太大，可以引导学生运用树状图作为直观手段，帮助学生归纳出最优方法。

除此之外，在学习和解决排列组合问题时，结合操作卡片、列表、树状图、线段图等手段，感受数形结合的方法；在解决优化问题和植树问题的过程中，都利用了画图的方法来帮助理解，解决数学问题；在六年级上册的教材中，运用数形结合的方法让学生理解完全平方公式。

3.数学结合思想方法的培养

3.1引导学生体会数形结合思想方法的作用

数形结合思想方法能够把看上去困难的题目简单化、明朗化，能够帮助学生理解抽象的数学问题，因此，在教学过程中，教师要有意识地渗透数形结合思想方法，利用数形之间的关系，帮助学生通过几何直观理解抽象概括，树立起学生数形结合的数学思想，培养主动运用数形结合思想方法去解决问题的意识，提高学生的数学素养与能力。

3.2培养学生画图识图的能力

运用数形结合思想方法解决问题的基本要求是通过题意画出符合的图像，利用图像来探讨数量关系。在实际教学过程中，出现了两方面的困难。一方面，多数的学生在把题目转化成图像的过程中遇到了困难，画不出符合题意的图或者画错了图导致不会解题、解错题；另一方面，对于画出的图像，学生不能看懂其含义，不能利用图去解决问题。教师必须认识到这个问题，在教学过程中重视画图和看图过程，引导学生理解，培养学生画图、看图的能力。

3.3培养学生运用数形结合思想方法的习惯 在小学中，学生在解决问题的过程中，并不会选择数形结合的方法，一方面是教师意识薄弱，不重视这样的解题方法；另一方面，学生嫌麻烦，不喜欢画图。在这样的情况下，教师应引导学生认识到数形结合思想方法的作用，坚持培养和训练，使学生形成利用数形结合思想方法的习惯，从而提高学生思维能力、分析能力和解决问题的能力。

3.4适当拓展数形结合思想的应用

在小学数学的教学中，通常采用“以形助数”，而“以数解形”在中学中的应用较多，在小学中比较常见的就是计算图形的周长、面积和体积等内容。在此基础内容上，还可以创新求变，深入挖掘“图形与几何”学习领域的素材，在学生已有的知识基础上适当拓展，丰富小学数学的数形结合思想。

4.结语

著名的数学家华罗庚说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深

3刻地揭示了数形结合的重要性。小学生的逻辑思维能力较弱，但在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题，因此，数形结合思想在小学数学中有重大意义。不管是教材的编排还是课堂的教学，我们都应使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，使学生通过直观理解抽象的数学，培养学生数形结合思维，提高学生用数形结合方法解决问题的能力，使数学的学习充满乐趣。

参考文献：

数形结合的思想方法 篇3

【 关键词 】数形结合 思想 方法

数形结合作为一类数学基本知识来考虑的，但是数形结合也可以看作一种数学思想方法，它的应用大致又分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的属性，或者借助于形的直观性来阐明数之间的关系。基本原则数形结合就是根据数与形的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题，把图形性质问题转化为数量关系问题，或者把数量关系问题转化为图形性质问题.通过“以数解形”或“以形助数”，把复杂问题简单化，抽象问题具体化，兼取了数的严谨与形的直观两方面的长处.

第一，.转换数与形的三条途径：

①通过坐标系的建立，引入数量化静为动，以动求解.

②转化，通过分析数与式的结构特点，把问题转化到另一个角度来考虑.如将a2+b2转化为勾股定理或平面上两点间的距离等.

③构造，比如构造一个几何图形，构造一个函数，构造一个图表等.

第二，运用数形结合思想解题的三种类型及思维方法：

①“由形化数”：就是借助所给的图形，仔细观察研究，揭示出图形中蕴含的数量关系，反映几何图形内在的属性.

②“由数化形”：就是根据题设条件正确绘制相应的图形，使图形能充分反映出它们相应的数量关系，揭示出数与式的本质特征.

③“数形转换”：就是根据“数”与“形”既对立，又统一的特性，观察图形的的形状，分析数与式的结构，引起联想，适时将它们相互转换，化抽象为直观及揭示隐含的数量关系.

第三、范例剖析

1，借助于数轴

例1：设命题甲为：0

A.甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件。

B.甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件。

C.甲是乙的充要条件。

D.甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件。

分析：命题乙︱x-2︱<3等价于-3

2，借助于图象

例2.方程的实根的个数是（ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

分析：用代数的方法

求解该方程是很困难的，因此考虑数形结合法，方程的解是函数与图像交点的横坐标，因此这两个函数的图象交点的个数即为方程解的个数.在同一坐标系里作出与的图象，如上图，不难看出这两个图像有三个交点，所以方程有三个解，所以正确选项为C.

3，借助于数学式或数学概念的几何意义

有很多数学表达式如：

① 表示两点间的距离；

② 表示过两点的直线斜率；

③F（sin ，cos ）表示单位圆上的点；

④ （a>0，b>0） 表示以a、b为邻边夹角为120 的三角形的第三边的平方；因此对于这类代数问题可以利用它所表示的几何意义，将代数问题转化为几何问题，然后利用几何图形的直观性得出原问题的解。

例3.已知实数x，y满足3x+4y-1=0，求 （x-1）+（y-2）的最小值。

分析：（x-1） +（y-2） 的几何意义是：点P（x，y）到点A（1，2）的距离d的平方，如右图，而点P（x，y）在直线3x+4y-1=0上移动，显然d的最小值是点（1，2）到直线3x+4y-1=0的距离，

即d=

∴d=4，因此（x-1）+（y-2）的最小值是4。

小结：数形结合，不仅是一种重要的解题方法，而且也是一种重要的思维方法，因此，它在中学数学中占有重要的地位.在高考中，充分利用选择题、填空题型的特点（这两类题型只须写出结果而无需写出解答过程），为考查数形结合的思想提供了方便，能突出考查学生将复杂的数量关系问题转化为直观的几何图形问题来解决的意识，解答题中对数形结合思想的考查则以由“形”到“数”的转化为主.

【参考文献】

[1]List of Serials and Journals Covered by Zentralblatt MATH[2005-10]

[2]杨培谊，于鸿.高中数学解题方法与技巧[M].北京：北京学院出版社，1993

[3]D. A. Drennen， ed.， A Modern Introduction to Metaphysics， New York： Free Press of Glencoe， 1962。

数形结合思想及其应用 篇4

数形结合包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面:一是以形作为手段, 数作为目的, 用形象的几何图形启迪抽象的代数思维;二是以数作为手段, 形作为目的, 用严密的逻辑推理阐明直观的几何属性.

运用数形结合的基本原则: (1) 等价性原则; (2) 双向性原则———既要进行几何直观分析, 又要进行相应的代数抽象探求; (3) 简单性原则——既要考虑可行性, 又要挖掘隐含条件, 选好突破口.

运用数形结合思想解题, 通常可以从以下几个方面入手: (1) 函数与函数图象; (2) 不等式与函数图象; (3) 曲线与方程; (4) 参数本身的几何意义; (5) 代数式的结构特征; (6) 概念自身的几何意义; (7) 可行域与目标函数最值; (8) 向量的两重性.

一、以数辅形, 数形沟通

1. 解析法.

如图1建系, 则内切圆方程为 (x-2) 2+ (y-2) 2=4, 设P (x, y) , 则|PA|2+|PB|2+|PC|2=x2+ (y-8) 2+ (x-6) 2+y2+x2+y2=3[ (x-2) 2+ (y-2) 2]-4y+76=88-4y.

∵P点在圆上, 0≤y≤4, ∴所求最大值为88, 最小值为72.

2. 向量法.

例2用向量法证明三角形的三条高交于一点.

解析:已知, 如图2, 在△ABC中, AD, BE, CF分别为边BC, CA, AB上的高.

求证:AD, BE, CF交于一点.

证明:设BE, CF交于H, 则

二、以形助数, 揭示规律

1. 利用函数的图象性质解题.

例3若方程x3-3x+a=0有3个不同的实根, 则实数a的取值范围是 () .

(A) (-2, 2) %% (B) (-2, 2) %%

(C) (-∞, -1) % (D) (1, +∞)

解析:设f (x) =x3-3x, 则依题知函数y=f (x) 与y=-a的图象有3个不同的交点.

∵f' (x) =3x2-3x, 易得f (x) 在 (-∞, -1], [1, +∞) 上单调递增, 在 (-1, 1) 上单调递减, f (x) 极大值=f (-1) =2, f (x) 极小值=f (1) =-2, 且f (x) 为奇函数, 故可作出f (x) 的大致图象, 如图3.

∴依图可得-2<-a<2圯-2

2. 利用有关几何意义解题.

3. 利用已知图形的性质解题.

三、数形互助, 结合使用

数形结合思想 篇5

高考数学思想方法专题讲义3－－数形结合的思想

1．设f(x)1x2，a，bR，且a≠b，求证：f(a)f(b)ab．

2．求下列函数的最值：（1）y（2）y2x25x42x22x1的最小值； x22x26x26x13的最大值．

p4的实数p，使得x2px4xp3恒成立，求x的取值范围． 3．对于满足04．已知z1，求u2zi54i的最值．

x24a1有相异实根的个数． 5．讨论方程6．已知a1，b1，求证：ab1．

1abq），求它的第pq项和第pq项．

． 7．已知等差数列的第p项为q，第q项为P（p8．求证：2a12a2b12b22a1b1a2b29．在△ABC中，已知a＝10，c－b＝8，求证：tg10．设zC，aR，且az11．已知sinsinBC1ctg． 2290，求证：zazaz为纯虚数．

11，coscos，求tg()． 432，求zu24v21的最小值． 12．已知u，v，是正数，且uv13．求函数y14．已知m3(x2)8x的值域．

n0，求证：m2n22mnn2m．

215设定点M（－3，4），动点N在圆xy24上运动，以OM，ON为两边作□MONP，求P点的轨迹．

表示两曲线有公共点，求半径r的最值． 22x4y4,16．已知222(x4)yrx2y2217．当m，a，b满足什么条件时，椭圆221（a0，b0）与抛物线yxm有四个交点？

ab数形结合的思想参考答案

1．将，1a2，1b2分别看做两直角三角形的斜边，于是可以构造图2－1．设Rt△POA中，PO＝1，OA＝a，则 PA

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1a2．在Rt△POB中，OB＝b，则

PB1b2．在△PAB中，PAPBAB，于是可得f(a)f(b)ab（当ab结论一样成立）

2．（1）提示：配方得y557112((x)2(x)2)，可视为P（x，0）分别与A（441624，74），B（1，21）这两点的距离之和．由于A，B分别位于x轴的上方和下方，显然当P在A，B连线与x轴交点时PAPB最短，最小值为22AB230272（2）提示：配方得y(x1)252(x3)222，可视为P（x，0）分别与A（－1，5），B（3，2）的距离之差的最大值，由于A，B位于x轴的同旁，由几何知识知，P在AB与x轴交点的位置上，最大值为

APBP最大，AB5．AB，直线AB的方程为y25217．令，y0，得xx31332．故点P位于（173，0）时，ymax3．原不等式整理成(x1)P(x4x3)>0，设f(b)(x1)p(x24x3)．可视为p的一次函数，由图象

2f(0)0,x4x30,x3或x1 可知，f(p)在［0，4］恒大于零，只需用即2f(4)0,x104．u52izi22，因此，u表示单位圆

（－2，－z1上的点z与点A

52）的距离的2倍．由几何知识知，AB，AC分别是最小值、最大值，即

umax2AC2(OAOC)412，umin2AB2(OAOB)412

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5．提示：在同一坐标系中作出y同的根；当ax24和ya1的图象如图，从图象可以看出：当a1，a3时，方程有两个不3时，方程有三个不同的根；当1a3时，方程有四个不同的根；当a1时，方程没有根

ab1ab(a1)(b1)AP1ab6．设数轴上三点A，P，B的坐标分别为－1，1，则＝．∵ a1，b1，ab1ab(a1)(b1)PB11ab∴ 0．即P是AB的内分点，于是17．由等差数列的通项公式anabab1即1

1ab1ab，B（q，p）是平a1(n1)，得点（n，an）在直线ya1(x1)d上．设A（p，q）面直角坐标系中的两点，则AB的直线方程为yqpq(xp)，即ypqx．∵

点（n，an）在an这条直线上，qp∴ anpqn．于是，apq0，apq2q

8．提示：设A（a1，a2），B（b1，b2），C（b1，a2），则原式左边＝9．如图，以线段BC的中点O为原点建立直角坐标系，∵

OAOBABACBC＝右边

BC10，ABAC8,∴

A（x0，y0）在双曲线

．∵

55x2y21的右支上．从而，由焦半径公式得ABx04，ACx0444169ACcoCs5x0，＝ABcosB5x，∴

tgBCctg22

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BCBBCcos2sincos2cos222222sinB1cosCBCBCC1cosBsinCcossin2cos22sincos222225x045x0x1140 5x045x09(x01)94sinACACcosCABABcosB＝

10．在复平面内，z，a，－a所对应的点分别为P，A，B，∵

∴

A、B在实轴上．

z0，故P不可能在坐标原点，即AB的中点．又aR，a0，zazaAPBP动点P的轨迹为线段AB的中垂线除去AB的中点P点的轨迹为虚

16轴（除去原点）z为纯虚数．

11．设A（cos，sin），B（cos，sin，则A，B在单位圆上，连结AB．若C是AB的中点，则点C的坐标为（），∠DOC＝，1），连结OC，则OC⊥AB．设D（1，0），连结OA，OB，则有∠DOA＝，∠DOB＝812tg24832∠DOC＝，tg() 14721tg262，tg

2＝tg

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点（u，2），B（－v，－1），则

zOAOBAB，而

uv42AB(uv)2(21)2223213，v即z13，等号成立条件uv2，．即u，2133

时成立．故zmin

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13

13．令x2t，原函数为y23t10t2（t0），设vy3t，则

①v3ty, 2v10t(t0).方程①表示斜率为－3的直线，方程②表示四分之一圆．原问题转化为过圆②上的点，求①中直线截距的取值范围．如图，过圆上

30y31．解得y2∴ 10．的点（0，时，截距最小，ymin10．当直线与圆②相切时，其截距最大，即1010）

② 10y210

14．如图，在Rt△ACB中，AB＝m，BC＝n，则AC∴ 又∵

m2n2．∵

ACBCAB

m2n2nm．

①

mn0，∴

mnn2，2mn2n2，2mnn2n2，即2mnn2n ②

由①、②知，m2n22mnn2m

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16．如图，设P点所对应的复数为

xyi，M所对应的复数为34i，N所对应的复数为z1，．即

z12．∵，∴ OPOMON，∴ xyi34iziz1(x3)(y4)i，∵

z12(x3)2(y4)24．但点M，O，N

46x与x2y24，解得x1，358686868y1；x2，y2．因此，所求轨迹为圆(x3)2(y4)24，但应除去两点（，），（，）5555555共线时，不能构成平行四边形，由y

x2217．将方程x4y4化为标准形式2y1，它表示中心在（0，0），长半轴为2且在x轴上，短半轴为1的椭圆．而

222方程(x4)20）的同心圆系，如图，可知当2r6时，两曲线有公共点．即rmax6，rmin2 y2r2表示圆心在A（4，taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区

x2xm,b2b22222f(y)yymb0．要使两曲线有四个交点，方程f(y)0在（－18．由x消去x，得y22aa221,bab2b，b）内有两个不同的实根．由于函数f(y)为开口向上的抛物线，而对称轴方程为y2a2．因此，有

数形结合思想巧解热点问题 篇6

关键词：数形结合；函数图象；代数；几何

一、巧解集合问题

在数学问题中，进行集合运算中常常借助对应的数轴、文氏图来处理集合的交、并、补等运算。从而使复杂的问题得以更加简单化，使运算更加快捷、明了，更快速有效.

例1.（2008北京卷，理1）已知全集U=R，集合A={x|-2≤x≤3}，B={x|x<-1或x>4}，那么集合A∩（CUB）等于（ ）

A.{x|-2≤x<4} B.{x|x≤3或x≥4}

C.{x|-2≤x<-1} D.{x|-1≤x≤3}

分析：不等式表示的集合通过数轴解答.

解：在数轴上先画出CUB{x|-1≤x≤4}，再画出集合A={x|-2≤x≤3}，取其公共部分，如图所示阴影部分就是集合A∩（CUB），故选D.

二、在基本初等函数中的应用

在解决一类不等式或方程问题时，直接解决十分困难，因此可以通过构造函数，结合函数的图象及不等式或方程表达的几何意义，利用数形结合法解.

数形结合思想是数与形的完美结合，是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。在解决问题时我们既要考虑代数问题在形上的直观体现，又要考虑几何问题在数上的精确表示，达到“数形结合百般好，割裂分家万事非”的境界。

数形结合思想 篇7

学习工具《数形结合思想》的最大特色是动态性,能在变动状态下保持对象之间不变的几何关系。而且涉及的所有图像全部是计算所得,而不是手工绘制,保证了准确性。《数形结合思想》涉及图形的旋转、切割、函数图像的动态交点、移动同时翻转等。

1.页面直观且管理灵活

学习工具最底端是一级菜单,直观形象。另外,可根据课堂需要与学生的水平进行跳跃式自由选择。

2.可即时无限次重复

课堂教学,学生学习层次不同,需要教师分层次教学。传统教学,不可能实现,因为教师面对的是全体学生,不可能各个兼顾,再次重复时间也不允许,尤其是一些步骤很长的讲解,如画图等。而本学习工具可以很轻松地进行重复讲解。在讲解过程中,可以根据需要按“Alt+[、Alt+]”来加速或减速,以配合教学和学习进度。

3.节省了时间

数学课上与图像有关的内容大都是浪费时间而且也不够准确。传统教学课堂容量大大受限,而利用本学习工具,既准确地描绘了图形的特点,也可以在短时间完成操作,效果良好。另外,学生可以利用本学习工具自主学习、探索、再思考,以达到课堂上所不能实现的效果。

4.化抽象为形象,让运动过程一目了然

数学上的平移、旋转、切割等,只能是教师表达出来的“直观”,而学生根本没有看到这个图的运动变化过程,尤其不能全面把握图像的形成转变过程。本学习工具在这些方面做了改进。学生完全可以自己动手解决学习中的疑惑与困难,整个过程没有“盲区”。

5.便于学生自学,利于教师授课

本学习工具能够激发学生自主探讨学习的积极性。让学生不再机械地接受教师的说教,而变成主动地学习,由“要我学”变成“我要学”。当然,本学习工具也给教师的授课提供了便利。可谓教、学皆宜。

制作背景

数形结合思想,将代数式的准确与图像的直观有机地整合到一起,教师使用几何画板,使静态的图形变为动态,抽象的概念变得形象,枯燥的内容变得有趣,使课堂教学生动起来。利用几何画板,可以展示知识发生、发展的过程,更好地提示知识之间的联系。

本节课所选的所有例题均为课堂上曾经讲过的内容,在传统的课堂模式下,讲解只是限于讲解开头,展示结果,中间过程就这样被“忽悠”过去了。尤其是一些图像的运动过程,更是无从谈起,无法展现。因为中间过程是一个抽象的过程,不易表达,更无法显示。这一点一直是很多学生的“死穴”。也是很多教师的无奈。多年来,我一直想解决这一问题。信息技术的介入,使得这一过程变得容易多了。

教学内容分析与教学策略

《数形结合思想》是高三数学的复习专题。主要介绍数形结合法在不同领域的应用及联系。

在选择题目上,为了体现数形结合思想的广泛应用,我选择了一道平面解析几何例题,一道平面几何例题,两道函数例题,三道立体几何例题,另外,还有三道函数方面的练习题,以巩固所学方法,彰显学以致用的要旨。同时也让学生切身体会到方法的重要性。到了高三,绝对不是再简单地重复复习,而是把原本看上去风马牛不相及的内容进行有机整合,把原本一个个原孤立的点,联系到一起,形成一张知识网。

本学习工具在制作的时候选用数形结合思想,而没有选用数形结合法,主要是考虑到数形结合法有些狭隘,这样不利于高三复习,不利于开拓学生的思维,而数形结合思想便于学生领悟数形结合法在不同领域如立体几何、平面几何、平面解析几何、函数等方面的不同应用,使得数形结合思想的内涵更加丰富,真正体现了复习的主旨:复习并不是简单的重复,而是不同内容之间的有效整合。

设计思路及表现手法

《数形结合思想》这一节课是按授课习惯来设计,包括例题讲解、练习巩固、小结作业。整个过程符合教师的授课习惯和学生的认知规律。学习工具的设计分为一级菜单和二级菜单,按钮的功能全部写在按钮上,一目了然,所见即所得,哪怕一个新手也可以轻松操作。图1中最下面一行是一级菜单,而界面中的紫色文字部分(左侧部分)是二级菜单。根据需要也可以收起二级菜单,这样显得界面简单明了。

1.例题讲解,温故知新,一题多解,思维延伸

首先在课堂上简单复习数形结合思想的最初由来以及它的一些简单应用。再通过下面的例题讲解,体现数与形的真正结合,激发学生学习的兴趣与乐趣。下面逐一介绍。

(1)平面解析几何部分

这是一道高考题,此题解法就是运用最简单的几何法,向x轴、y轴引垂线,这样,求出这两个线段的长即得P点横、纵坐标。其实这个解法过于普通,也体现不出不同知识点的相互联系。

在讲解此题时,我讲解完上述方法之后,就给学生即时提了一个思考问题,如果让这个圆继续向右滚动,滚动到一个任意的位置,如图2中的位置C(3.86,1),此时学生会发现,原先方法虽然可用,但是费时。“那么有没有更好的解决办法呢?”这样一个不经意的提问,引导学生进入了另一个思考的空间,拓展了学生的思维空间,使得原本可以结束的思考再度被启动。

讨论之后,学生迫切希望能得一种更新的方法。这时候,教师适时插入一句:“求P点的坐标就是向量的坐标,而向量会随着P点的移动一直在变怎么办?”

在此过程中,学生会不断发现“新大陆”,激发了兴趣,也培养了他们的观察力及创新力。整个课堂气氛活跃而不滞怠,环环相扣,有序进行。

最终,教师点明方法:变化过程中,如果不变得越多,变化就越小,可以本着这个原则,利用,将这个变量转变成一个常量和另一个变量,而这个变量可以平移到原点,利用平面向量、三角函数的知识来进行解决。

在这个过程中,我们不得不说,原本这道题目是一个平面解析几何,但是,经过延伸之后,就巧妙地把平面解析几何的问题转化为平面解析几何、平面向量、三角函数相结合、相联系的问题,一举数得,将连点成线,连线成网。

(2)平面几何部分

看到这个题目时(如图3),我们最容易想到的就是求出S1、S,这样就可以求出S1∶S。但是,本题纯粹利用了图形的分割,通过观察不得不说,数形结合思想应用得非常巧妙而精到。

由图像可知,此法形象直观,不做过多陈述。

(3)函数部分

看到3f(x)=x这个公式(如图4),很容易让人想到要先化简,但是,首先f(x)是分段函数,其实,这是分段函数的第一段还含有一个参数m。

这样首先把3f(x)=x化成f(x)=x/3,而求交点问题就转变成了求函数y=f(x)与y=x/3的交点问题。而由于y=f(x)含有一个参数m,而m会影响图像,故而可以借助于函数的图像来研究交点问题,进一步可以观察m的变化如何影响函数y=f(x)的图像,这样就可以求出参数m的图像了。

如图4所示,当第一次相切时,恰好四个公共点。如图5所示,当第二次相切时,恰好五个公共点。而参数m的变化就会导致半个椭圆拉长还是缩短,故而由图像可知,求出参数m的取值范围。

(4)立体几何部分

本题是立体几何中的最小值问题(如图6),最常见的处理方式就是将一个弯曲或变折的平面铺平在一个平面上(如图7),根据两点间线段最短,求出折线段的和的最小值(如图8)。整个过程非常自然,学生看到整个演示过程,不再有任何疑问。

一个四棱锥五个面,一个四面体四个面,这两个几何体的所有棱长均相等,这样四面体的任何一个面都与四棱锥的侧面全等(如图9),这样当将它们平移(如图10),然后重叠之后(如图11),很容易这样考虑:5+4-2=7。但是,实际如何呢?我让学生根据本学习工具自己动手演示。

学生发现,先把原来的四棱锥向右平移一个,这样显然紫色的平面与红色的平面是在一个平面上(如图12),而中间空出的部分正好是正四面体的形状。根据图示可以发现紫色的平面与绿色的平面实际上是一个平面,这样最终形成的几何体就是5个平面。

看来数学不能只通过眼睛来学习,而要通过眼睛去观察、大脑去思考,全方位的联系才能真正找到答案。在这一过程中,学生的学习兴趣与信心倍增。将一个枯燥的学习过程,变得轻松自然。而且最为主要的是学生自己发现、探讨、解决问题,体现了教师为主导,学生为主体的思想。

教师在讲解这一几何问题时,在黑板上擦了画,画了擦,仅凭教师说,学生完全看不到切割之后的形状。学生根本想象不出,切割完后,到底是一个什么样的几何体。但是,本学习工具把整个切割过程完全展现在学生眼前,拟物性非常强。

原先的几何体(如图13),移开左边的几何体(如图14),移开右边的几何体(如图15),左右两边的几何体手动调整,可以自由拖动(如图16)。这样,最终几何体的表面是什么样,就一清二楚了。

2.自主练习,巩固提高,举一反三,思维提升

练习的设计层层递进,让学生在不知不觉中突破了难点。整个过程跨度自然,由一个层级跃到另一个层级,而不是让学生感到遥不可及,也并不是随意而为,需要思考才能解决问题。思维量增大,学生的学习能力也随之提高。

本题所设计的题目,也是数形结合题型中的“熟面孔”,平常学生只能看到一些固定的程式,但用手拖动“用手拖动改变a的大小”,就可以轻松改变对数函数的底,进一步改变对数函数,这样这两个函数在区间(1,2)上的交点问题就一目了然了,在复习了对数函数的底数变化的同时,也完全可以看到对数函数因为底的变化而改变的过程。学生如果掌握熟练,可以自己点击按钮,如果嫌演示的速度太快,可以手动拖动,直观形象,就好像把这两个函数的图像“玩于股掌之间”(如图17)。

本题目的设置如果用代数法,非常麻烦,因为方程两边的式子中均含有参数a,而且不容易分离,这样,可以代数式与图像并举,让学生观察a的变化如何改变两边函数y=x|x-a|与y=a的位置关系,进一步明确如何改变它们的交点的问题(如图18)。

这是一个函数图像的交点问题。这样,我们就可以很轻松地看出它们的交点,问题迎刃而解(如图19)。

3.提纲挈领,汇总提升,浓缩精华,融会贯通

让学生快速掌握本节课的内容框架,可以让学生复述本节课学习重点内容,使学生能够全面掌握《数形结合思想》的精髓,为课余的复习、练习、巩固、提高做好了知识储备。

内容结构与艺术布局

《数形结合思想》这一节课,完全按照由浅入深、化抽象为具体的思路来进行。利用学习工具节省了大量时间。而且每一个页面都可以根据学生的掌握情况进行重复,使再现讲课过程等成为现实,真正实现了分层施教。

考虑到学生的基础情况、对知识的掌握情况等,学习工具在设计内容上非常灵活,根据课堂内容可以随意选择例题练习,而有些不必要讲或者来不及讲的内容可以直接不用显示。这样不会使整堂课有残缺感。学习工具在制作时也充分考虑了色彩对学生的影响,背影颜色柔和大气,图形颜色也是清晰醒目,调动了学生的多种感官。

组件要素与技术处理

一节课,教师不管讲解得如何详尽,总会有一些学生不太明白,或者是当时有些个别原因(如走神)而不能完全掌握一节课内容。在制作学习工具时,我想到了这一点,随时可以给学生再现刚刚结束的讲解过程。

在讲解《数形结合思想》时,传统的教学方法无法把首尾之间的过程讲解清楚。几何画板把图像的变化过程完全展现出来,而且每一次图形的变化过程,都清晰地显示了它们的相对的位置关系。

在平移加旋转的设计时,我把这个运动过程分解成平移和旋转,各自运动,然后将它们组合到一起,这样就会出现图形一边平移一边旋转的效果,逼真而直观。

评价与反思

决赛的整个过程,我一直在现场,说实话,可以说是高手如云,没有哪个人敢说自己的学习工具是完全优于别人的。因为大家都是各有所长,而且不同软件做的学习工具各有精彩之处。我对我自己的学习工具进行如下总结评价:1学习工具页面管理灵活;2可以无限次重复;3大大节省时间;4化抽象为形象;5运动变化,相对位置不变;6准确率高。

但是,多媒体归根结底是一个辅助工具,在使用过程中,也难免会有这样那样的问题:1学习工具的驻留性差,在使用过程中,用到下一页,就无法看到上一页。尤其是教师授课时,学生有时候无法及时回顾自己不会的内容;2醒目的颜色会刺激学生,也有可能诱使学生转移注意力,把学习工具的展示当成“热闹”而偏离了课堂的主题,达不到预期的效果。3学习工具准备时间太长,有时候很难跟上快节奏的高中课程。

幕前幕后

比赛过程中,选手们显然都做了精心的准备。数学化学习工具,突出的是工具的特点,平时的学习过程中,尤其是现在的高中学习,节奏普遍偏快,这就要要求学习工具不宜做得过大,能够对教育有所辅助,能够激发学生的兴趣,提高教师的授课的科学性,而且能够再次开发利用就足够了,而不是为了比赛而纯粹赶制这个“视频”。

我个人以为,今后在教学过程中,学习工具的制作得考虑到授课的进度和需要,如有些难点不易突破,可以作一个片段,让学习工具也微课化!这样可以节省时间,同样可以解决重点、难点,一举两得。期待下一次会有更好的学习工具“面世”。

评委印象

《数形结合思想》是一节高三复习专题课,数形结合思想在高考中占有非常重要的地位,它主要是把抽象的数学与直观的图形结合起来,本节课内容对提高学生的思维能力和数学素养很有帮助。在传统的课堂模式下,教师基本是在黑板上绘制一个静态的图像,然后通过手势比划进行讲解,教学效果不好,教学效率不高。展老师用几何画板所制作的《数形结合思想》学习工具,就能很好的突破这个难点。该学习工具有以下的一些优点。

印象一:化抽象为形象,让运动过程一目了然

通过学习工具使学生看到图形的运动变化过程,尤其是图像的形成转变过程。例如,学习工具中将三视图化为直观图,就很好地把图形的变化过程完整的展示在学生眼前,把原本只能“凭空捏造”的过程变得直观形象。

印象二:课堂教学容量大,效率高

在传统教学中,因为在绘制图形的环节就占了课堂的很多时间,所以教师一节课只能讲解4道左右的数形结合习题,这使得课堂的教学容量小、效率低。而本课的例题加练习达到了10道题目,使得课堂容量很大,从而实现高效课堂。

印象三:学习工具使用方便灵活。该学习工具既可以作为教师的课堂展示工具,也可以作为学生一对一的自学学习工具,使用方式非常灵活。

不过,本课也有一些地方值得商榷。例如,课堂容量太大,对学生的要求较高,基础差的学生可能跟不上;课堂比较传统,主要以教师讲授为主,不是很符合新课标中的以学生为主体,教师为主导的要求等。总的来说,无论是对教师还是对学生,《数形结合思想》仍不失为是一个优秀的数字化学习工具。

例谈数形结合思想的运用 篇8

数学结合是根据数量与图形之间的关系，认识研究对象的数字特征，寻找解决问题的方法的一种数学思想。在中学数学中，数学思想从渗透到形成和运用，经历了三个主要阶段：一是数形对应，二是数形转化，三是数形分工。下面笔者举例说明数形结合思想的应用。

一、数形对应

例1.如图1, AB是平面的α斜线段，A为斜足，若点P在平面α内运动，使△ABP的面积为定值，则动点P的轨迹是%%%。

分析：如图2，点P可看作是以AB为中轴，底面为以定值为半径的圆柱的侧面与平面的交线，又AB为平面α的斜线段，故交线为椭圆。即点P的轨迹是椭圆。

例2.(08全国卷一2)汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s看作时间t的函数，其图像可能是_____。

分析：本题是稍难的数形对应题目。汽车启动后是加速行驶阶段，速度变化率越来越大，即该段切线斜率越来越大，到匀速行驶阶段是斜率不为零的线段，而减速行驶阶段速率的变化率越来越小，只有图像(1)符合。本题是典型的数形对应题目，借助图形求解参数的取值范围是高考数学的常考题型之一。

二、数形转化

例3.(08湖北卷13)方程2-x+x2=3的实数解的个数为___。

分析：方程的解的个数和方程的实根分布问题通常是借助函数的图像来解决。本题就是将方程转化成2-x+x2=3，方程的解的个数就是函数y=2-x与函数y=-x2+3的图像的交点个数，由右图可知交点有2个，故原方程的解有2个。

例4.(08江苏卷6)在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则落入E中的概率%%%。

分析：这是考查苏教版新教材中增加的内容———几何概型的题目。几何概率经常转化成长度、面积、体积、角度等的比值来求解。这是新课标中数形结合思想的又一重要应用。

解：设P (x, y)，由题意知若P在区域D中则|x|≤2，|y|≤2，即区域D是如图所示的正方形，边长为4，若P在区域E中，则x2+y2≤1，则区域E是如图所示阴影部分的单位圆面，所求概率等于单位圆的面积与正方形的面积的比值，即。

例4.若α，β，γ都是锐角，且满足cos2α+cos2β+cos2γ+1=0，求cosα·cosβ·cosγ的最大值。

分析：本题求三角函数的最值，依靠纯三角运算，解题过程十分冗长，构造一个几何体，问题解决容易多了。

解：由条件cos2α+cos2β+cos2γ+1=0可知：cos2α+cos2β+cos2γ=1，构造长方体如图所示，令AB=a, BC=b, B1B=c，对角线D1B与BC, AB, B1B分别成α，β，γ角, 则

当且仅当a=b=c时取等号，也即当且仅当有最大值为。

三、数形分工

例5.(07浙江卷)不等式|2x-1|-x<1的解集是_________。

分析：本题由代数方法求解，要分类讨论去掉绝对会值，步骤繁且费时。借助图像解则直观简捷，将原不等式等价于|2x-1|<1+x，设y1=|2x-1|，y2=|1+x|，两函数图像如图所示，令y1=y2，解得两图像的交点为x1=2, x2=0, y1

以上例题反映数形结合思想在中学数学中的应用十分广泛，形是数的直观表现，数是形的精确反映。以数助形，可使抽象问题形象化;以数解形，可把复杂图形中的关系转化为数量关系来处理。深刻理解数形结合思想并合理应用，可以较好地优化解题思路，提高分析问题，解决问题的能力，希望大家不要得“意”忘“形”。

摘要：数形结合是每年高考常考查的重要数学思想之一, 形是数的直观表现, 数是形的精确反映。以数助形, 可使抽象问题形象化;以数解形, 可把复杂图形中的关系转化为数量关系来处理。深刻理解数形结合思想并合理应用, 可以较好地优化解题思路。本文通过几个典型例子说明数形结合思想的应用。

数形结合思想 篇9

一、使数学概念直观化,理解概念本质

回顾人类发展史,我们会发现人类一开始是用小石子、贝壳记事, 慢慢地发展成为用形象的符号记事, 最后才有了数字。这与小学生学习数学的阶段和过程有着很大的相似之处。学生在进入小学学习之前, 他们的知识基本上是建立在现实生活中客观事物上的。其知识特点是直观形象,看得见,摸得着。一年级小学生的数学学习是从具体的物体开始认数的。很多知识都是从具体形象逐步向抽象逻辑思维过渡。但这时还是以具体形象为主,逻辑思维只是初步的。教师如果运用数形结合引入新知、建构概念、解决问题,就相当于在原有的知识体系上添砖加瓦,新知识的学习就变得更简单。这样新学知识就会具有较强的稳定性和牢固性,而我们也达到了预期的教学效果,也就是所谓的深入浅出。

例如:在学生刚学习数学知识时,首先是通过数与物的对应关系,初步建立起数的基本概念,让学生认识数的本质,学习数的加减法; 通过具体的物帮助学生建立起初步的比较长短、多少、高矮等较抽象的数学概念;通过对图形的认识与组拼,培养学生初步的空间观念,同时也初步培养学生的数形结合的思想,帮助学生把数与形有机结合起来,更好地理解数学知识。在以后的数学学习中,随着学生年龄的增长,思维能力的不断提高,数形结合思想将会得到更广泛而深入的运用。

教学实践证明:在教学中运用数形结合,把抽象的数学概念直观化,找到了概念的本质特征,激发了学生学习数学的兴趣,增强了学生的求新、求异意识。

二、以形助数,揭示数量关系,帮助学生理解算理

如果从图形上抽象出符号, 只能代表人们的认知事物的过程,还不能体现其在数学中的独特作用,那么以形助数,善于在图形的分析中快捷地解决问题,思维层次就会不断上升。这就充分体现了“数形结合”在小学数学中的用处了。

小学数学内容中,有相当部分的内容是计算问题,计算教学要引导学生理解算理。但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理,尤其在课改之后,老师们注重了算法多样化,在计算方法的研究上下了很大的工夫,却忽视了算理的理解。我们应该意识到,算理就是计算方法的道理,学生不明白道理又怎么能更好地掌握计算方法呢? 在教学时,教师应以清晰的理论指导学生理解算理,在理解算理的基础上掌握计算方法,正所谓“知其然,更知其所以然。”根据教学内容的不同,引导学生理解算理的策略也是不同的, 我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。

数与形的有机结合,确实能为解题带来方便,它能使抽象的问题形象化、直观化,复杂的问题简单化,两者之间的互助与联通能开辟出解题捷径,是一种有效的解题策略,同时也能发展学生的思维。

三、应用数形结合,促进能力培养

目前,推行素质教育已成为教育发展的主流。对学生进行综合素质和能力的培养, 是建立新世纪创新型人才队伍的需要。对大脑的科研成果表明,大脑的两半球具有不同的功能,左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维, 讲究规范严谨, 稳定封闭,如数的运算、代数式的运算、逻辑推理、归纳演绎等。右半脑功能则偏听偏重于形象思维,讲究直觉想象,自由发散,如猜想、假设、构思开拓、奇异创造等。左、右半脑的功能各有特征,如果互相补充就会使大脑功能更健全和发达。“数形结合”同时运用了左、右半脑的功能,在培养形象思维能力的同时,也促进了逻辑思维能力的发展。

以上各例从不同侧面展现了数形结合的巧妙、新颖和简捷有效, 充分说明了数与形之间的交替和互助作用。由此可见,在解题过程中巧妙地将数与形有机结合起来,往往能使问题的解答简明、直观和有趣。将数形结合的数学思想方法渗透到课堂教学及解题训练中,对培养学生思维的广阔性、层次性及能力的提高都是十分有益的。

数形结合思想与解题教学研究 篇10

解题是实现中学数学教学的一种手段, 是教学活动的重要形式。解题教学是教师对学生运用知识进行独立思考活动的指导过程, 也是使学生掌握数学基础知识, 培养基本技能, 提高数学能力和发展智力的必要途径。通过解题, 我们还可以培养学生辩证唯物主义世界观, 以及刻苦钻研精神和独立工作能力等优良品质。

数学在其漫长的发展过程中, 不仅建立了严密的知识体系, 而且形成了一套行之有效的方法。一般认为数学思想方法的概括, 是贯穿于该类数学方法中的基本精神、思维策略和调节原则。它制约着数学活动中主观意识的指向, 对方法的取舍具有规范和调节作用。形和数这两个概念, 是数学的两块基石。数学大体上都是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而展开的。在数学发展过程中, 形与数常常结合在一起, 在内容上互相联系, 在方法上互相渗透, 在一定条件下互相转化。

早在数学的萌芽时期, 人们在度量长度、面积和体积的过程中, 就把数和形联系起来了。我国宋元时期, 系统引进了几何问题代数化的方法, 用代数式描述某些几何特征, 圆形中的几何关系表达成代数之间的代数关系。17世纪, 法国数学家笛卡尔, 通过建立坐标系, 建立了形与数之间联系, 创立了解析几何学。后来, 几何学中许多长期没有解决的问题, 如尽规作圆三大不能问题, 最终也都借助代数方法得到解决。形与数的内在联系, 也使许多代数学和数学分析课具有鲜明的直观性, 而且往往由于借用了几何术语或运用了几何的类比从而开拓了新的发展方向。例如, 线性代数正是借用了几何空间、线性等概念与类比方法, 把自己充实起来, 从而获得迅猛的发展。形与数的结合正是在上述背景下逐步形成的。它在数学数学与数学发展中的重要意义, 正如在《数学发展史》中法国数学家拉格朗日所指出:“只要代数同几何分道扬镳, 它们的发展就缓慢, 它们的应用就狭窄, 但是两门科学结合成伴侣的, 它们就互相吸取新鲜的活力, 从那以后, 就以快速的步伐走向完善。”因此, 在教学中我们必须重视形与数相结合思路的应用。

在现实世界中, 形与数不可分离地结合在一起。这是直观与抽象相结合、感知与思维相结合的体现。形与数相结合不仅是数学自身发展的需要, 而且是加深对数学知识的理解、发展智力、培养能力的需要。从表面上看, 中学数学内容可分为形与数两大部分, 中学代数是研究数和数量关系的学科, 中学几何是研究形和空间形式的学科, 中学解析几何是数与形结合的内容。从以下几例便能说明其数形结合妙之所在。

1.研究数与数轴相结合。在中学所学的实数中, 把每一个数与相应的点对应, 把这些点按顺序构成一条直线。又由数与数轴上的点反映了二者之间的“一一对应”关系, 能直观地通过数轴反映数之数之间的连续性、稠密性, 使得中学数学更加具体、生动。

2.当在平面上建立了坐标系后, 平面上的点与有序实数对之间建立起一一对应的关系, 任何一条直线都可以写成关于X、Y的二次方程, 任何X、Y的二元一次方程都表示一条直线。这样我们就可以利用直线的方程讨论两直线的位置关系、两条直线所成的角、点到直线的距离, 这种通过方程研究图形性质的方法提示了“数”与“形”的内在联系。首先根据图形特点, 建立适当的直角坐标系 (所谓适当, 就是保证题目的解证过程中运算简便, 过程简单, 结果明确) ;其次根据已知条件, 标出已知点坐标, 给出已知直线或曲线的方程, 然后由题设或图形的几何性质, 已知的点或曲线方程, 推导出要求或要证结果。由上题可看出, 用这样的方法解证题目, 思维流畅, 方法灵活, 几何问题完全通过代数方法得到解决。

“横看成岭侧成峰, 远近高低各不同”。“数形结合”仿佛神来之笔, 为问题的解决提供了探索途径, 其独到的思维风格给人以享受, 并且带给人以成功的巨大喜悦。

3.研究函数与其图像相结合。函数是数学的概念之一。函数是贯穿整个数学的一个重要的、抽象的概念, 函数作为两个集之间的特殊关系贯穿整个数学课程。函数作为运算出现, 例如两个数的和与这个数对应;在初中代数中, 函数表示两个数量之间的关系:在几何中函数表示下一个点集到它的象集的变换 (平移、对称、旋转等) 。如研究二次函数y= (x+a) 2+b, 根据作图法画函数的图像, 是一个由数到形的变化。对学生来说, 图像性质是最难掌握的, 尤其二次函数的图像的变化, 需要高度的数形结合的思路, 包括“看图算数”与“以数想图”两方面。前面作图时已有了数到形的变化。如果改变图形的形状、大小、位置后, 函数式中的系数又随之怎样变化呢?

通过图形, 我们就可以总结出有关结论。这又是形到数的变化, 再如指数函数的有关教学通过图解, 充分说明了这又是一个数形结合思路贯穿于始终。有关数形结合的思路在数学学习中随处可见:代数方程可表示各种关系, 它可解决有关长度、面积等问题;一元一次方程、二元一次方程分别表示平面直线、二次曲线等。

关于数形结合思想方法的认识 篇11

一、对数形结合思想的认识

数形结合思想是对数学问题规律的认识，是无数前人在多少年的数学研究和教学过程中总结出来的根本方法。数与形是不可分离的，只有当它们共同存在时，才会使人更加方便地研究数学。我国著名的数学家华罗庚说得好：“数缺形时少直觉，形少数时难入微”“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，他还幽默地告诉大家不要“得意忘形”。由此说明，在解决问题的过程中，数形结合是多么的重要。

（一）以“数”化“形”

以数化形，实际上就是根据定理公理把有关数量的问题图形化，一般有以下的几种情况：应用平面几何知识解决问题，应用解析几何知识解决问题，应用立体几何知识解决问题。有些数量是比较抽象的，不容易理解或者运算，例如无理数和一些复杂的有理数。当我们在运算解题的过程中无法算出精确的结果时，就需要借助其他的工具来辅助运算，而这个工具就是图形。而数和形在数学问题中是存在着某种相对应的关系的，我们就根据这些关系转化。因此，在课堂上渗透数形结合思想时，教师可以适当地多准备一些类型题，让学生通过训练把和具体的数相对应的形找出来，再联系之前学过的知识，根据它们之间存在的数量关系解决问题。

（二）以“形”变“数”

我们总说数学是抽象的，是因为它是由具体的事物中提取出来的关于量的方面的属性或关系，而数和形是量的最基本的两个概念。大家都很清楚图形的特点，很直观，能够形象的表达出已知条件，有些小的结论更是显而易见。学生面对复杂的图形，不能一见到图就脑袋疼，更加不能自暴自弃，一定要仔细观察图形的特点，发觉题目中隐含的条件或者结论，再联系之前学过的知识，准确地把图形数字化，最后对问题进行分析运算，这样理清了思路之后，做题才会更加舒畅，也大大地减少了做题的时间。

图形作为一种重要的数学工具，能够生动形象地将抽象问题转化成简单熟悉的问题，使学生对数学本质的把握更加有保障，使我们对问题的解决方法的掌握更加熟练。要想做到胸中有图，就需要教师在日常课堂教学中，逐渐地渗透数形结合思想，锻炼学生应用数形结合思想解决问题，才能发展学生的数学思维，进一步加强解题能力。

（三）“形”“数”互变

实质上就是以数化形和以形变数的结合。学生的创新思维能否广阔的发展，就要看他对数形结合的思想方法是否能够熟练掌握。事实上，数形结合思想背后是符号语言和图像语言在支撑。只有当学生在这方面的词汇积累越加丰富时，解决问题可能产生的思路才会越加广阔，解决方法才会越多，更加灵活。在定量方面，图形并不能帮助我们算出具体的数值，这时就需要借助代数的运算。

从数与形两个方面对问题进行分析，在教师的引导下，学生逐步地探索出解题思路，找到问题的结论。我们把这样的解题思路称为“利用图形探路子，结合图形找式子”。

在日常的教学活动中，教师应该有意识地加强锻炼学生利用几何图形的意义解决问题，熟悉了几何意义才能更加巧妙地把数和形结合起来解决复杂的数学问题。

数形结合的思想方法非常重要，需要我们学习。我们要根据代数、几何各自的独有特点对一些典型的例题进行剖析和归纳。数形结合思想方法的运用帮助学生准确地解决数学问题，有助于学生对解题技巧的把握。

二、对数形结合思想的教学建议

运用数形结合的思想方法教学时，应注意以下几点。

1.教师在课堂上给学生渗透数形结合思想，一定要先把数和形的概念讲清楚，再将方法分成几类来讲。

2.数和形是数学的两大基本概念，我们把它们比作为数学的双翼，没有数与形，失去了双翼，数学的发展也就迷失了方向。

3.把有关几何学的问题通过某种方式的变换，转化成代数的问题，再利用一些代数学的方法对它进行解析、说明，使数与形结合起来，有时可以得出一些重要的结果。

4.把相对应的的数与形统一起来，仔细观察，把曲线与代数方程结合在一起考虑。不要放过任何小的细节，通过已知条件或隐含的知识，找到解题的关键。

总之，只有当代数与几何结合在一起，相互促进地创新发展，羽翼丰富，数学才会显示出强大的生命力和无穷的魅力，才会展现数学的美丽风采，给我们带来美的享受。

浅谈数形结合思想方法的渗透 篇12

一、在直观中理解数

在小学数学教学中,一些概念、性质的内容非常抽象,学生理解起来比较困难,我就借助一些直观的图形将这些抽象的概念、性质形象化,通过分析图形中呈现的数学问题情境,抽象出概念、性质的内涵和外延,最终达到帮助学生理解数学概念、性质的目标。如我在教学“认识几分之一”这节课时,就是把直观的图形和抽象的分数结合起来,帮助学生理解分数的意义的。

教学片断一:

师:今天是羊村老村长的生日,喜羊羊它们准备了一个大大的蛋糕,现在老村长想把这个蛋糕分给4只羊吃,要怎样分才算公平?

生:当然是平均分了。

师:(课件演示平均分,并把其中的一份先给了喜羊羊)喜羊羊分得的这块蛋糕是这个蛋糕的几分之几呢?谁能说说自己的想法。

生:喜羊羊分得的这块蛋糕是这个蛋糕的四分之一,因为老村长把一块蛋糕平均分成了4份,其中的一份就是这块蛋糕的四分之一。

师:(课件继续演示把其中的第二块分给了美羊羊)美羊羊分得的这块是这块蛋糕的几分之几呢?

生:也是这块蛋糕的四分之一。

师:也就是说把一个物体平均分成几份,其中的每一份都是它的几分之一。

生:点点头。

师:如果老村长现在改变主意,想把剩下的2块蛋糕全都分给沸羊羊,那沸羊羊分得的是这块蛋糕的几分之几呢?

生:我觉得应该用四分之二表示,把一个物体平均分成4份,2份就是它的四分之二。

师:吃完蛋糕,上了水果。(出示苹果图,一共4只苹果)

师:这盘苹果还是分给四只羊吃,每只羊分得这盘苹果的几分之几?说说你的理解。

生:也是四分之一,因为老村长还是把这一盘子苹果平均分成了4份的,每只羊分得其中的一份,就是这盘苹果的四分之一。

师:如果把这盘苹果平均分给两只羊吃,每只羊分得这盘苹果的几分之几呢?

生:我觉得可能是四分之二。

师:把这盘苹果平均分给两只羊吃,需要平均分成几份?谁来说说分法。

生:只要平均分成两份,其中一只羊分得的就是这盘苹果的二分之一。

(师用课件展示分法)

师:比较这两种分法,同样是一份,为什么有时用四分之一表示,有时用二分之一表示呢?

生:因为分数的分母取决于平均分的份数。

……

“认识一些物体的几分之一”是认识分数中的一次大的飞跃,学生理解起来非常困难,我在教学中借助分蛋糕、分苹果让学生的具体形象思维悄然过渡到抽象的逻辑思维,学生通过对图形的观察、分析,比较深刻地理解了分数的意义,形象化的图形给枯燥的知识增添了趣味,引发了学生的有意注意,提高了学生数学思维的能力。

二、在计算中建立形

在教学中我们发现,很多的图形推理都离不开抽象的计算,教师在组织教学活动时常常通过计算去帮助学生理解一些图形的知识,如我在教学“等底等高的平行四边形面积相等”时,我就利用了以数想形的方法。

教学片断二:

师:老师有一个问题需要同学们帮助解决,愿意帮助老师吗?

生:愿意。

师:(课件出示问题)小明打篮球时不小心把人家的一个平行四边形的玻璃打破了,想要赔给人家,却只能找到以前买玻璃的票据,上面写着30厘米×20厘米的字样,你能帮忙画出那个平行四边形的样子吗?

生:看完问题后就开始动手画起了图,有的学生还一边画一边在比画着。

这时我发现有的学生画了又擦,擦了又画,还不时皱起了眉头,就轻声问学生:“有什么问题吗?”

生:老师,我发现我能够画好多用这个式子计算的平行四边形呢。

师:这倒是一个不错的发现,继续画画看,看看你画出的这些平行四边形有什么异同点。

生继续画。

生:我发现我画的这些平行四边形因为底和高都一样,所以它们的面积都一样,不同的只是它们的形状。

师:你们真是太有才了,你们的发现就是我们数学书上介绍的平行四边形的一个非常重要的性质。(课件出示:不同形状的平行四边形只要等底等高,它的面积就相等)

生:齐读。

师:那我们仅仅根据这个数据还能不能配上和以前一样的平行四边形的玻璃呢?

生:可能性比较小,要配上完全一样的玻璃还必须提供其他的数据。

师:老师也赞同你们的观点,那我们课后再想想办法。

该片段中,我就是借助数据去引导学生画出图形的模样,这种以数想形的方法有效地帮助了学生理解了平行变形的这一重要性质,可谓是一个良策。