中学数学数形结合

2024-12-09

中学数学数形结合（共12篇）

中学数学数形结合篇1

北师大版数学全面使用新教材。与旧版教材相比,书中图画有增无减,仔细对比分析发现新版教材不仅增加了更多的图,重要的是应用了更为科学的教学方法,帮助学生学习、理解和掌握数学思想。

一、“数形结合”帮助学生理解概念

以四年级下册《近似数》一课为例,分析对比如下:

尽管我们一直在强调不管什么样的教材,教师都要创新教学理念,但教材的纲性特征通常束缚着教师的改变。旧版教材中,教师以讲方法和结果居多,学生通过记忆法则和大量练习能掌握四舍五入法求近似数的方法,但学生知其然而不知其所以然。例如,将204987四舍五入到万位求近似数,看万位后面千位上的数字是4,比5小,所以万位后面所有的数都舍去改写成0,得到204987四舍五入到万位的近似数200000。但喜欢思考问题的学生常会问:“4比5小,可4后面还有9、8、7,它们都比5大,为什么不向前一位进一。”老师的回答经常是这样:“让你看万位后面千位上的数字,谁让你去看其他数位上的数字。”学生只好懵懂作罢。新版教材,通过引入数线可清晰地化难为简、变抽象为直观,很好地解决了学生对重点、难点和疑点的理解困惑。

“近似数”一课有这样一类拓展题目:如“一个数的近似数是6万,那么这个数最大是多少?最小是多少?”。

旧版教材学完之后,若将题目进行变换,很多学生不能准确答出此题。分析可知,学生在缺少理解的情况下去认识更为抽象的大数,常出错误就成为必然。

新教材利用“数形结合”方法使学生比较容易在图上画出这个数的范围,既能看到最小数55000,也能容易想到最大数是64999。

学生会求一个数的近似数,更能灵活求一个数的近似数,这是显性教学效果,新版教材以及新的教学方法还增加了隐形效果,那就是增强了学生由形象思维向抽象思维转变的意识,培养了学生“数形结合”的数学思想,提高了学生的数学能力。而这些提高正是新课标所提倡和要求的,也是数学学习的终极目标。

二、“数形结合”帮助学生理解算理

学生的运算能力是新课标10个核心概念之一。运算是数学学习的重要内容。关于学生运算能力的培养和发展,新课标中写到“学生伴随着数学知识的积累和深化,正确理解相关的数学概念,是逐步形成运算技能、发展运算能力的前提,运算能力的培养和发展不仅包括运算技能的逐步提高,还应包括运算思维素质的提高和发展,运算能力的培养和发展首先要从具体到抽象”。

新教材的教学理念和教学方法是非常符合新课标要求的。对比三年级上册新旧教材“两、三位数乘一位数”一课,可窥视出新教材是如何从具体到抽象培养和发展学生运算能力的。

旧版教材的情景是生活中的购物,通过解决买4把椅子需要多少钱这一问题,教材运用了口算、加法计算(横式和竖式两种)、表格计算和竖式计算多样化的计算方法,由加法竖式计算演变成乘法竖式计算,让学生体会乘法竖式的简洁和竖式的写法。

新教材在完成12×4竖式计算终极目标的过程中,进行了两次活动。一是学生在点子图上圈一圈、算一算,直观进行口算,由于它的直观性因而学生都能完成;二是揭示乘法竖式笔算与口算之间的本质联系,学生直观理解乘法竖式的算法和算理,教材借助点子图把12×4拆分成2×4和10×4,并与竖式计算中的每一步对应起来,清晰地呈现出两位数乘一位数的乘法竖式计算过程,同时还把列表的方法和两者建立了关系,沟通了表格、竖式和点子图三者之间的内在联系,帮助学生理解每一步的具体含义。新版教材的教学方法对学生来说直观生动、易于理解、印象深刻,非常适宜于发展学生的运算思维能力。

三、“数形结合”帮助学生理解运算规律

小学阶段要求学生掌握的运算律有加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、乘法分配律,其中前四种运算律都是同级运算律。只有乘法分配律中有两级运算乘和加,因而学生掌握和运用此规律有一定的困难。新教材运用“数形结合”,很好地解决了这一难题。下面以新旧教材《乘法分配律》一课中“仿写算式”这部分内容做对比,来体会新版教材中应用”数形结合”教学方法的优势。

旧版教材在学生仿写出两个算式之后,运用计算的方法进行验证两个算式等值。而新版教材在学生仿写之后,运用的是直观的画图和乘法的意义来验证两个算式等值。特别是直观图形验证,很好地把抽象的算式与图形结合在一起,学生不需要计算很容易就能验证,同时清晰地看到数和形的一一对应。

对于三、四年级的学生而言,思考方式正处在从形象思维到逻辑思维的过渡期。运用“数形结合”方法既适应了他们的身心特点,又能较好地帮助他们理解数量关系、量的变化等包含关系符号和运算符号的重要知识点。

在小学数学教学中,如果教师能有意识地运用“数形结合”思想设计教学,那将非常有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解,提供解决问题的方法,也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略,对学生来说则是一种探究和趣味学习的动力。如果长期渗透,运用恰当,则可使学生形成良好的数学意识和思想,并长期稳固地作用于学生的数学学习生涯。

摘要：新课标修订“双基”到“四基”,增加了基本思想和基本活动经验。知识和技能是“双基”,而数学思想是数学的灵魂。在小学阶段,教师需要给学生渗透的数学思想有数形结合思想、符号表述思想、字母代数思想等,在所有这些数学思想方法中,“数形结合”思想尤为重要。

关键词：小学数学,新旧教材,数形结合思想

中学数学数形结合篇2

一、知识整合

1．数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法。数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。

2．实现数形结合，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义。

如等式(x2)2(y1)24

3．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。

4．数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域，最值问题中，在求复数和三角函数问题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野。

二、例题分析

k的取值范围。

例1.若关于x的方程x2kx3k0的两根都在1和3之间，求

分析：令f(x)x2kx3k，其图象与x轴交点的横坐标就是方程f(x)0 22f(3)0，的解，由yf(x)的图象可知，要使二根都在13，之间，只需f(1)0，f(b)f(k)0同时成立，解得1k0，故k(1，0)2a

例2.解不等式x2x

解：法

一、常规解法：

x0

原不等式等价于(I)x20x2x2x0或(II)

x20

解(I)，得0x2；解(II)，得2x0

综上可知，原不等式的解集为{x|2x0或0x2}{x|2x2}

法

二、数形结合解法：

令y1x2，y2x，则不等式x2x的解，就是使y1x2的图象

在y2x的上方的那段对应的横坐标，如下图，不等式的解集为{x|xAxxB}

而xB可由x2x，解得，xB2，xA2，故不等式的解集为{x|2x2}。

例3.已知0a1，则方程a|x||logax|的实根个数为（A.1个 B.2个

C.3个

D.1个或2个或3个)

分析：判断方程的根的个数就是判断图象ya|x|与y|logax|的交点个数，画出两个函数图象，易知两图象只有两个交点，故方程有2个实根，选（B）。

例4.如果实数x、y满足(x2)y3，则22y的最大值为(x)

A.12B.3322C.32D.3

分析：等式(x2)y3有明显的几何意义，它表坐标平面上的一个圆，圆心为(2，0)，半径r3，(如图)，而yy0则表示圆上的点(x，y)与坐 xx0标原点(0，0)的连线的斜率。如此以来，该问题可转化为如下几何问题：动点A

在以(2，0)为圆心，以3为半径的圆上移动，求直线OA的斜率的最大值，由图可见，当∠A在第一象限，且与圆相切时，OA的斜率最大，经简单计算，得最

大值为tg60°3

x2y21，求y3x的最大值与最小值

例5.已知x，y满足1625x2y21下求最值问题，常采用

分析：对于二元函数y3x在限定条件1625构造直线的截距的方法来求之。

令y3xb，则y3xb，x2y21上求一点，使过该点的直线斜率为3，原问题转化为：在椭圆162

5且在y轴上的截距最大或最小，x2y21相切时，有最大截距与最小

由图形知，当直线y3xb与椭圆1625截距。

y3xb

x2169x296bx16b24000 y216251

由0，得b±13，故y3x的最大值为13，最小值为13。x3cos(0)，集合N{(x，y)|yxb}

例6.若集合M(x，y)y3sin且MN≠，则b的取值范围为。

分析：M{(x，y)|x2y29，0y1}，显然，M表示以(0，0)为圆心，以3为半径的圆在x轴上方的部分，（如图），而N则表示一条直线，其斜率k=1，纵截

距为b，由图形易知，欲使MN≠，即是使直线yxb与半圆有公共点，显然b的最小逼近值为3，最大值为32，即3b32

x2y21上一点，它到其中一个焦点F1的距离为2，N为

例7.点M是椭圆2516MF1的中点，O表示原点，则|ON|=（）

A.32B.2C.4D.8

分析：①设椭圆另一焦点为F2，（如图），则|MF1||MF2|2a，而a5

|MF1|2，∴|MF2|8

又注意到N、O各为MF1、F1F2的中点，∴ON是△MF1F2的中位线，∴|ON|11|MF2|×84 2

2②若联想到第二定义，可以确定点M的坐标，进而求MF1中点的坐标，最后利用两点间的距离公式求出|ON|，但这样就增加了计算量，方法较之①显得有些复杂。

例8.已知复数z满足|z22i|2，求z的模的最大值、最小值的范围。

分析：由于|z22i||z(22i)|，有明显的几何意义，它表示复数z对应的

点到复数2+2i对应的点之间的距离，因此满足|z(22i)|2的复数z对应点 Z，在以(2，2)为圆心，半径为2的圆上，(如下图)，而|z|表示复数z对应的点Z到原点O的距离，显然，当点Z、圆心C、点O三点共线时，|z|取得最值，|z|min2，|z|max32，∴|z|的取值范围为[2，32]

sinx2的值域。

cosx2sinx2得ycosx2ysinx2，解法一（代数法）：则ycosx

2例9.求函数yxycosx2y2，y21sinx()2y2

sin

∴sin(x)2y2y12，而|sin(x)|1

4747y 3 ∴|2y2y21|1，解不等式得

∴函数的值域为[4747，] 33yy1sinx2 的形式类似于斜率公式y2cosx2x2x

1解法二（几何法）：y

ysinx2表示过两点P0(2，2)，P(cosx，sinx)的直线斜率

cosx2

由于点P在单位圆x2y21上，如图,显然，kP0AykP0B

设过P0的圆的切线方程为y2k(x2)

则有|2k2|k211，解得k4±73即kP0A4747，kP0B

33∴47474747，] y

∴函数值域为[3333例10.求函数u2t46t的最值。

分析：由于等号右端根号内t同为t的一次式，故作简单换元2t4m，无法转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，将会把问题复杂化，因此该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元。

解：设x2t4，y6t，则uxy

且x22y216(0x4，0y22)

所给函数化为以u为参数的直线方程yxu，它与椭圆x22y216在第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图）

umin22

相切于第一象限时，u取最大值

yxu22

23x4ux2u160 2x2y16

解，得u±26，取u26

∴umax26

三、总结提炼

数形结合思想是解答数学试题的的一种常用方法与技巧，特别是在解决选择、填空题是发挥着奇特功效，复习中要以熟练技能、方法为目标，加强这方面的训练，以提高解题能力和速度。

四、强化训练

见优化设计。【模拟试题】

一、选择题：

1.方程lgxsinx的实根的个数为（）

A.1个 B.2个

C.3个

D.4个

2.函数ya|x|与yxa的图象恰有两个公共点，则实数a的取值范围是（）

A.(1，)

B.(1，1)

D.(，1)(1，)

C.(，1][1，)

3.设命题甲：0x3，命题乙：|x1|4，则甲是乙成立的（）

A.充分不必要条件

C.充要条件

B.必要不充分条件 D.不充分也不必要条件

4.适合|z1|1且argz

A.0个

4的复数z的个数为（）

C.2个

D.4个 B.1个

5.若不等式xax(a0)的解集为{x|mxn}，且|mn|2a，则a的值为（）

A.1 B.2

C.3

D.4

6.已知复数z13i，|z2|2，则|z1z2|的最大值为（）

A.10

2B.5

C.210

2D.222

7.若x(1，2)时，不等式(x1)logax恒成立，则a的取值范围为（）

A.（0，1）B.（1，2）

C.（1，2]

D.[1，2]

8.定义在R上的函数yf(x)在(，2)上为增函数，且函数yf(x2)的图象的对称轴为x0，则（）

A.f(1)f(3)

C.f(1)f(3)

二、填空题：

9.若复数z满足|z|2，则|z1i|的最大值为___________。

210.若f(x)xbxc对任意实数t，都有f(2t)f(2t)，则f(1)、f(3)、B.f(0)f(3)D.f(2)f(3)

f(4)由小到大依次为___________。

11.若关于x的方程x24|x|5m有四个不相等的实根，则实数m的取值范围为___________。

12.函数yx22x2x26x13的最小值为___________。

13.若直线yxm与曲线y1x2有两个不同的交点，则实数m的取值范围是___________。

三、解答题：

14.若方程lg(x23xm)lg(3x)在[0，3]上有唯一解，求m的取值范围。

15.若不等式4xx2(a1)x的解集为A，且A{x|0x2}，求a的取值范围。

16.设a0且a≠1，试求下述方程有解时k的取值范围。

log((xa)axak)loga222【试题答案】

一、选择题

1.C

提示：画出ysinx，ylgx在同一坐标系中的图象，即可。

2.D

提示：画出ya|x|与yxa的图象

情形1：a0a1 a1

情形2：

3.A

4.C

提示：|Z－1|=1表示以（1，0）为圆心，以1为半径的圆，显然点Z对应的复数满足条a0a1

a1件argz，另外，点O对应的复数O，因其辐角是多值，它也满足argz，故满足44条件的z有两个。

5.B

提示：画出yxayx的图象，依题意，ma，na，aaaa0或2。

6.C

提示：由|z2|2可知，z2对应的点在以（0，0）为圆心，以2为半径的圆上，而|z1z2||z2(z1)||z2(3i)|

表示复数z2与3i对应的点的距离，结合图形，易知，此距离的最大值为：

|PO|r(30)2(10)22102

7.C

提示：令y1(x1)2，y2logax，若a>1，两函数图象如下图所示，显然当x(1，2)时，从而

要使y1y2，只需使loga2(21)2，即a2，综上可知

当1a2时，不等式(x1)2logax对x(1，2)恒成立。

若0a1，两函数图象如下图所示，显然当x(1，2)时，不等式(x1)2logax恒不成立。

可见应选C

8.A

提示：f(x+2)的图象是由f(x)的图象向左平移2个单位而得到的，又知f(x+2)的图象关于直线x=0（即y轴）对称，故可推知，f(x)的图象关于直线x=2对称，由f(x)在（，2）上为增函数，可知，f(x)在(2，)上为减函数，依此易比较函数值的大小。

二、填空题：

9.22

提示：|Z|=2表示以原点为原心，以2为半径的圆，即满足|Z|=2的复数Z对应的点在圆O上运动，（如下图），而|z+1－i|=|z－（－1+i）|表示复数Z与－1+i对应的两点的距离。

由图形，易知，该距离的最大值为22。

10.f(1)f(4)f(3)

提示：由f(2t)f(2t)知，f(x)的图象关于直线x=2对称，又f(x)x2bxc为二次函数，其图象是开口向上的抛物线，由f(x)的图象，易知f(1)、f(3)、f(4)的大小。

11.m(1，5)

提示：设y1x24|x|5y2m，画出两函数图象示意图，要使方程x24|x|5m有四个不相等实根，只需使1m5

12.最小值为13

2提示：对x2x2(x1)1(x1)2(10)2，联想到两点的距离公

(x3)2(13)2表示点（x，2式，它表示点（x，1）到（1，0）的距离，x6x131）到点（3，3）的距离，于是yx22x2x26x13表示动点（x，1）到两个定点（1，0）、（3，3）的距离之和，结合图形，易得ymin13。

13.m(2，1]

提示：y=x－m表示倾角为45°，纵截距为－m的直线方程，而y1x2则表示以（0，0）为圆心，以1为半径的圆在x轴上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，显然，欲使直线与半圆有两个不同交点，只需直线的纵截距m[1，2)，即m(2，1]。

三、解答题：

x23xm0x23xm03x0

14.解：原方程等价于 0x30x3x24x3mx23xm3x

令y1x24x3，y2m，在同一坐标系内，画出它们的图象，其中注意0x3，当且仅当两函数的图象在[0，3）上有唯一公共点时，原方程有唯一解，由下图可见，当m=1，或3m0时，原方程有唯一解，因此m的取值范围为[－3，0]{1}。

注：一般地，研究方程时，需先将其作等价变形，使之简化，再利用函数图象的直观性研究方程的解的情况。

15.解：令y14xx2，y2(a1)x，其中y14xx2表示以（2，0）为圆心，以2为半径的圆在x轴的上方的部分（包括圆与x轴的交点），如下图所示，y2(a1)x表示过原点的直线系，不等式4xx2(a1)x的解即是两函数图象中半圆在直线上方的部分所对应的x值。

由于不等式解集A{x|0x2}

因此，只需要a11，∴a2

∴a的取值范围为（2，+）。

16.解：将原方程化为：loga(xak)loga

∴xakx2a2，x2a2，且xak0，x2a20

令y1xak，它表示倾角为45°的直线系，y10

令y2（a，0）的等轴双曲线在x2a2，它表示焦点在x轴上，顶点为（－a，0）x轴上方的部分，y20

∵原方程有解，∴两个函数的图象有交点，由下图，知

aka或aak0

∴k1或0k1

巧用数形结合破解数学难题篇3

关键词：巧用数形;破解数学

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）22-191-01

高中数学四大数学思想：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归。其中数形结合是贯穿于数学发展的一条主线，使数学在实践中的应用更加广泛和深远。一方面，借助于图形的性质将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观感;另一方面，将图形问题转化为代数问题，可以获得准确的结论。“数”和“形”的信息转换、相互渗透，不仅使解题简洁明快，还开拓解题思路，为研究和探求数学问题开辟了一条重要的途径。数形结合是连接“数”和“形”的“桥”，它不仅是一种重要的解题方法，更是一种重要的数学思想。

一、研究的目的和意义

数是形的抽象概括，形是数的直观表现，华罗庚教授说：“数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非”数形结合就是充分运用数的严谨和形的直观，将抽象的数学语言与直观的图形语言结合起来，使抽象思维和形象思维结合，通过图形的描述、代数的论证来研究和解决数学问题的一种数学思想方法，数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。

数形结合思想方法是中学数学基础知识的精髓之一，是把许多知识转化为能力的“桥”，在高中数学教学中，许多抽象问题学生往往觉得难以理解，如果教师能灵活地引导学生进行数形结合，转化为直观、易感知的问题，学生就易理解，就能把问题解决，从而获得成功的体验，增强学生学习数学的信心，尤其是对于较难问题，学生若能独立解决或在老师的启发和引导下把问题解决，心情更是愉悦，这样，就容易激发学生学习数学的热情、兴趣和积极性，同时，学生一旦掌握了数形结合法，并不断进行尝试、运用，许多问题就能迎刃而解。

二、数形结合在提高学生解题能力中的作用

作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，或者借助形的几何直观性来阐明数之间某种关系，即数形结合包括两个方面：第一种情形是“以数解形”，而第二种情形是“以形助数”，其中数形结合的重点是研究“以形助数”，根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种数形结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到顺利解决，在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义;第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化;第三是正确确定参数的取值范围，

三、数形结合的几种类型

1、几何图形与数量关系相结合

几何中的计算与证明问题，常常根据几何图形的特点挖掘蕴涵的数量关系;一些数量关系的比较问题，常常构造出由数量关系反映出的几何图形，根据图形的直观性寻求解决。

2、函数图象与数量关系相结合

数轴使实数与数轴上的点建立起一一对应的关系，平面直角坐标系使有序实数对与平面上的点建立起一一对应的关系，为数形结合创造了充分的条件函数图象在直角坐标系的位置及变化趋势，为研究函数的性质提供了直观、形象的依据，反过来，依据函数的性质又能推断函数图象在直角坐标系屮的位置及变化情况，数形结合成为研究解决函数问题的重要思想方法。

数学学习贯穿着两条主线，即数学知识和数学思想方法，通性通法蕴涵着丰富的数学思想和方法，更贴近学生的认知水平，符合常人的思维习惯，同样也有利于培养学生的数学能力。在初中数学中，常用的数学思想有函数和方程思想、数形结合思想分类讨论论思想、化归转化思想、整体处理思想等，上面教学片断的探究题，教者通过引导学生从数和形的角度来解决问题，很好地发展了学生的方程思想和数形结合思想，同时也渗透了数学分类的思想方法。在平时的教学中，我们应在解决问题的过程中，对这些数学思想加以揭示、运用和提炼，以提高学生的思维水平和解题能力。

四、数学教学中渗透数形结合思想

数形结合是高中数学新课程所渗透的重要思想方法之一，新教材中的内容能很好地培养和发展学生的数形结合思想，教材中这一思想方法的渗透对发展学生的解题思路、寻找最佳解题方法有着指导性的作用，可对问题进行正确的分析、比较、合理联想，逐步形成正确的解题观，还可在学习中引导学生对抽象概念给予形象化的理解和记忆，提高数学认知能力，并提升对现实世界的认识能力，从而提高数学素养，不断完善自己。

新课标的教学内容早已全面实施，按新课标的教学大纲要求与知识点传授的层次性来看，数形结合法教学主要经历三个阶段：第一阶段是数形对应，它是数形结合基础，主要是通过平时概念的教学逐步渗透，让学生通过学习、训练、体会、逐步领悟和握，一方面，实数与数轴上的点的对应，平面上点与有序实数对间的对应，函数与图象的对应，曲线与方程的对应等，以及以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如向量、三角函数等等都为数形结合创造了条件，提供了理论支撑，另一方面，高中数学概念具有较强的抽象性、概括性，学生在理解时有较大的难度，可以借助形的几何直观性来达到帮助学生理解的目的，例如，将函数与图象结合起来，用几何方法表述函数关系来帮助学生理解函数的抽象。

第二阶段是数形转化，它体现了数与形关系在解决问题过程中，如何作为一种方法而得到运用，数学问题是开展数学思维的前提，解决问题的过程，本质上就是一个思维训练的过程，

第三阶段是数形分工，这是把应用数形结合思想作为解决问题中的一种策略，例如，高三复习中重点开设数形结合思想方法专题，以达到系统巩固的目的。

中学数学数形结合篇4

关键词：数学,数形结合,核心素养,实效

学科核心素养既能对人的核心素养发展起到作用, 又是学科独特教育价值在学生身上的体现和落实。学科核心素养是学科本质观和学科教育价值观的反映。总之, 只有抓住学科核心素养, 才能抓住学科教育的根本。对于数学学科而言, 其核心素养的体现在于数学思想的渗透与发展, 2011版《数学课程标准》, 把“双基”调整为“四基”, 即在基础知识和基本技能的基础上, 又提出了基本思想和基本活动经验。通过数形结合思想在数学教学中的运用, 可以优化数学解题的过程, 提高学生对数学的理解能力, 使数学教学的效果达到最佳的状态, 进而提升学生数学核心素养, 发展学生的综合能力。

一、“以形助数”———直观再现

以形助数就是指教师在进行小学数学教学的过程当中, 有时只利用数字进行讲解很难让学生理解, 因采取结合几何图形的方法将所要讲解的知识点直观地呈现给学生, 能够使抽象的问题具体化。我国著名数学家华罗庚曾说过:“数缺形时少直观, 形少数时难入微;数形结合百般好, 隔离分家万事休。”数学中, 数和形是两个最主要的研究对象, 他们之间有着十分密切的联系, “以形助数”可以让学生的创新素养得到提升, 可以让数学课堂焕发生命力。在苏教授的《分数的初步认识》一课中, 4次把圆片形状和其所表示的数字结合起来, 借“圆形”助“数字”, 小步子推进, 让孩子能形象地掌握本课知识。如当学生在理解“半圆”时, 学生的发散性能力便能得到发展。老师适时引导:孩子们, 现在切成了两个半圆, 要怎么来表示呢?”借助图形, 孩子的语言素养得到发展:一一得一、一二得二、一分半个, 一刀两半、一分为二……诸类答案虽非“稳妥之语”, 但能切入其本质特性———平均分。这就是数形结合的奥妙所在, 也是数学生命力之所在, 这时的学生对于“半个怎么表示”更是妙语连珠, 数学小博士站起来说:“可以用分数表示”……“数形结合百般好”, 孩子们借形成数, 孩子们用形助数, 让数形相生相长, 让孩子们的语言表达素养得到提升, 让数学课堂生命力得到不断延展。

二、“以数现形”———生长焕发

形具有直观形象的优势, 但也有其粗略烦琐和不便于表达的劣势, 只有以简洁的数学描述形式化的模型表达形的特点, 才能更好地体现数学抽象化与形式化的魅力, 使学生更准确地把握形的特点。以数现形, 以数提形, 让形更加地直观, 让教学更加高效, 让素养得以提升与发展。如在教学《一吨有多重?》时, 当学生对于吨有了初步认知后, 教师适时引导学生把数加以延展, 以数提形, 让课堂充满浓浓的数学味。在生活化环节, 教师引导说:“同学们, 生活与数学是紧密结合的。你还能说说生活中哪些物体的质量也是用吨作单位的吗?”在数的世界中, 有了数的直观导入, 形的显性出现更是明了形象。吴×同学站了起来说:“老师, 我认为汽车的质量用吨来作单位。”数而上形, 明了直接。教师加以评价:“很有生活经验的同学。哪位同学也来说。”李×同学说:“一架飞机的重量可以用吨来作单位。”平时少言的李××也举手说:“火车的质量可以用吨来作单位。”教师适时回答:“说得很完整。火车也是个大的物件, 所以它的质量也用吨来作单位。”是的, 正因为“以数现形”让平时寡言的李××同学也能举“火车”之例来解答, 这正是提升学生思维素养的重要呈现。又如在“快乐的校园”一课中, 当1出现时, 孩子们以数解形, 以数举形, 说出了“教室里有1位老师、家中有一台冰箱、爸爸有一部手机……”等妙言妙语。这种以数到形的过渡, 是一种让课堂焕发生命力的重要载体。

三、“数形相融”———思维发散

在小学数学概念教学中, 有些概念比较抽象, 教师为了教学简便只是让学生死记概念定义, 而不注重概念教学中的知识建构过程, 因而导致学生学习知识过于死板, 生搬硬套的现象大量存在, 要想改变这种现状, 教师在教学时应根据教学内容的特点, 巧妙地将概念通过直观的图形逐步渗透给学生, 以帮助学生形成概念。同时“数形相融”是一种提升, 是一种有效的表达, 是孩子所喜闻乐见的方式, 是一种高效的渗透方式。如在教学《图形中的规律》一课时, 教师幽默地说:“同学们, 大家喜欢做游戏吗?下面让我们一起来做两个小游戏, 好吗?”伴着孩子们响亮的回答声音。教师引导说:“声音真响亮, 现在老师写一个数字你想到了什么 (写5) ?”这时同学们说:“想到5把尺子”“想到5个人”……教师加以评价:“想象力真丰富, 刚才还有同学很小声地说5个三角形, 看来数字还能让我们想到图形。再请看一下老师这个手势 (表示2) , 你想到了什么?”这时班长站起来给出了一个完美回答:“我想到了表示胜利的手势, 我还想到了数字2。”教师加以总结:“孩子们, 这两个小游戏告诉我们, 数形结合魅力无穷, 今天请让我们一起走进‘数形结合’的趣味课堂。”课伊始, 趣已生, 数形相融, 让孩子的思维得以发散, 让孩子的创新素养得到提升。在前经验的导入、在前思想的融入后, 教师适时引导:“哪位同学画的是第6个点阵, 有什么规律?”同学头头是道地回答:“因为 (1) 号点阵的点数是1×1, (2) 号点阵的点数是2×2, 所以6号点阵的点数是6×6。”在小学数学教学中, 巧妙运用“数形相融”的数形结合思想可以使抽象概念直观化, 隐性规律形象化, 复杂问题简单化, 在教学中, 教师要充分利用数形结合的优势, 充分激发学生的数学兴趣, 达到高效教学的目的。

四、“数形相接”———素养提升

在小学教材中, 对于几何知识的学习, 要求学生具备一定的空间想象能力, 然而小学生的空间想象能力显然是不够的, 仅从几何图形来理解相关概念知识确实有些难度。这时便可以从“形中辨数”, 从“数中提形”, 通过“数形相接”, 用数字或数量的计算来解密几何图形的本质特征及内在关系, 从而学习好基本的知识, 为日后中学阶段的学习打下扎实的基础。通过把抽象的数和具体的形相接, 可由“数—形—数”或“形—数—形”反复相接的形式, 把数学内容直观地展示给学生, 让学生对数学当中的概念形成初步的认识。在数形结合思想的渗透过程中, 学生的形象思维和抽象思维都得到了发展, 同时学生的数学素养得到了进一步的提高。如在教学《图形中的规律》的运用环节, 教师由知识经验进而“由形导数”:“孩子们, 数形结合, 让我们的课堂教学更加简约。我们在四年级就已经学过了三角形个数与边数的规律了, 请你按刚才的方法说说其中不变的规律。请小组展开讨论, 相信大家通过讨论一定会有精彩的发现的。”数学小能手吴×说得头头是道:“我发现了其中的1是不变的, 每次都增加2。可以用1+2n来表示。”在由形导数的过程中, 教师适时“由数导形”, 教师顺时导学:“聪明的孩子们, 按上面的排列规律, 如果有2001条边, 那么它是由几个三角形组成的呢?”紧接着, 结合学生的回答, 教师再加以评价:“分析得头头是道, 原来你是先去掉不变的1, 再除以不断累积的2, 最后得到了1000。佩服!”通过数形结合, 能够提高学生的解题能力和思维能力。因此在教学时, 教师要多让学生动手动脑, 激活学生的思维, 开阔学生的思路。

中学数学数形结合篇5

（贵州省晴隆县花贡小学

付作伦）

【摘要】“数形结合”思想是小学数学中常用的、重要的思想方法。“数行结合”即通过数与形之间的相互转化，把抽象的数量关系转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题。在小学数学中，应用“数形结合”的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观的表示出来。实践证明，数形结合与抽象思维协同运用，和谐发展，是全面提高学生素质的重要方法之一，在数学教学中有至关重要作用和地位。“数”与“形”之间密不可分，它们相互转化，相辅相成。【关键词】数形结合小学数学课堂教学

“数形结合”思想是小学数学中常用的、重要的思想方法。“数行结合”即通过数与形之间的相互转化，把抽象的数量关系转化为适当的图形，从图形的结构直观地发现数量之间存在的内在联系，解决数量关系的数学问题。在小学数学中，应用“数形结合”的思想，充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观的表示出来。实践证明，数形结合与抽象思维协同运用，和谐发展，是全面提高学生素质的重要方法之一，在数学教学中有至关重要作用和地位。“数”与“形”之间密不可分，它们相互转化，相辅相成。在课堂教学中适当地利用数形结合，把握好数形结合之度，就可以使问题化难为易，化繁为简。在引进新知、建构概念、解决问题时，还可激发学生的学习兴趣，有利于发展学生的想象力及提高学生的思维能力。

一、“以形助数”在直观中理解数。

借助图形的直观性将抽象的数学概念、运算等形象化、简单化，给学生以直观感，让学生以多种感官充分感知，在形成表象的基础上理解数学的本质，解决数学问题，形成数学思想的目的。小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理，尤其在课改之后，老师们注重了算法多样化，在计算方法的研究上下了很大功夫，却更加忽视了算理的理解。我们应该意识到，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。” 根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方法。

二、以“图助学”帮助学生理解题意，理清解题思路。

线段图是小学数学教学中常用的方法；它是学生从直观向抽象过渡的桥梁，有助于学生理解数量关系，从而找到解题方法。让学生画线段图，将数量关系直观科学地体现出来，可以提高学生的分析问题的能力，如果应用得当，会收到意想不到的效果。

例如我在教“几倍求和的应用题”时，我出示了例题：小明家养鸡24只，养的鸭是鸡的5倍，养的鸡和鸭一共有多少只？我并没有急于让学生解题，而是让他们画线段图，然后我让学生自己尝试做题，在交流时，一些学生除了用“24×5+24”这种方法，还用了“24×（1+5）”的方法。我问你们是怎么想的？他们都说是看到线段图后想到的，由此可见，线段图除了帮助学生理解数量关系外，还可以激发学生创新能力。

三、“以数想形”帮助理解各种公式。

在教学有关的数学公式时，如果只是让学生死记硬背，这样只会将知识学死。如果学生稍微碰到有变化的图形问题，就不能灵活解决。所以我在教学长方形周长公式的时候，就让学生借助图形充分理解公式的含义，求长方形周长大体有三种方法：①长+宽+长+宽，②长×2+宽×2，③（长+宽）×2，通过对学生的检测，我发现学生对于前两种方法应用的比较多，第三种应用的比较少。还有一部分学生对于第三种方法没本质上的认识，只是知道有这样一个公式可以求长方形的周长，知其然，而不知所以然。于是根据自己的检测我设计了让学生边说边摆小棒的方法介绍第三种求周长的方法。

四、以“情导学”使计算中的算式形象化，利于学生理解算理

在小学数学中计算教学占了相当一部分的内容，学生理解算理是计算教学的关键，在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，而数形结合，是帮助学生正确理解算理的一种很好的方式。如：在教学“分数乘分数”时，创设情境：小区铺一块绿地，每小时铺这块地的1/2，照这样计算，1/4小时能铺这块地的几分之几？在引出算式1/2×1/4后，我采用三步走的策略：第一，学生独立思考后用图来表示出1/2×1/4这个算式。第二，小组同学相互交流，优生可以展示自己画的图形，交流自己的想法，引领学困生。学困生受到启发后修改自己的图形，更好地理解1/2×1/4这个算式所表示的意义。第三，全班点评，展示、交流。这样把算式形象化，学生看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解了分数乘分数的算理。

数形巧结合，构建实效数学课堂篇6

【关键词】小学数学数形结合有效引导提高效益

【中图分类号】G4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）22-0270-02

数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。在新课程理念下，教学中我注重运用“数形结合”的思想方法，借助数与形的相互转化来促进学生对知识的理解和掌握，培养学生解决问题的能力，使学生的数学思维能力得到了提升，提高了课堂实效。

一、数形结合思想在概念学习中的促进作用

概念学习对三年级学生来说，不仅深奥，枯燥，更是抽象的。因为概念一般是直接给出的，是学生以前没有接触的，但这些知识都要学生记忆，理解并会运用。这对学生的抽象思维能力是一个巨大的挑战，也是能力培养的契机。

㈠分数概念教学

《分数的初步认识》是在小学数学范围内，教材安排的从整数到分数是数概念的一次扩展，借助图形，培养学生的几何直观能力，同时也让学生清楚的看到，分数是在平均分的基础上学习的，体现的是部分与整体的关系。

为了突破分数教学的难点，进一步利用数形结合思想，通过以数示形的教学——在图形中表示出分数。

比如：

这里，十分直观形象的考察了学生是否掌握分数的概念，以填图的方式让学生明确，分数的本质就是整体与部分的关系。

因此，在分数概念教学中渗透数形结合思想，图形的直观表现很好的这一知识点的难点，有利于培养学生的几何直观能力和抽象思维能力。更难得的是，学生掌握了以形助数，以数示形两种思维方式，并实现两者的融会贯通。

㈡余数概念教学

学生之前接触到的都是整除的情况，对于有余数的出现，学生显得懵懂茫然，不知所措，所以，这个知识点又是对学生的一次挑战。

由于学生抽象思维能力及其薄弱，因此填鸭式的教学无法帮助学生理解余数，更无法让学生明确余数与除数的关系。这时，利用数形结合思想的指引，引导学生在实际情境中摆，让学生真切的看到最后剩下的物体不能再分，再给出余数的概念，学生能容易接受。同时，学生也在直观的物体中，理解了余数是怎样产生的，进而让他们发现除了之前学的整除，还有余数的除法。通过继续引导，学生还会进一步发现，余数一定比除数小。相信，有了直观的经验，学生在计算中更会注重余数和除数的关系，从而提高学生的计算能力。

当然，如果只是停留再摆的阶段，那么学生的思维能力不会有更大的进步。当学生发现，有的情况摆不了时，他们会发现画图的方法，更简洁，清楚。比如：把红、黄、白三种颜色的花插入花瓶中，红花插5朵，黄花插3朵，白花插2朵，现在红花27朵，黄花19朵，白花10朵，一共可以插多少个花瓶？

学生在已有基础上，对于一种颜色的花朵分配有了数量关系的认知：花朵总数，每份数量，份数。但在这样的实际问题中，让学生直接解答很有难度，即使学生列式解决了，也不一定能真正理解。而这里，采用以形助数的思维方式，可以帮助学生理解，同时在这道题中渗透符号意识，以数形结合思想方法为载体，培养学生的符号意识，有利于学生数学能力的培养。

二、数形结合思想对学生数量分析能力提高的促进作用

数量关系的分析一般是学生解决实际问题的前提，而三年级学生数学成绩容易下滑的一个重要原因就是学生在解决实际问题部分失分过多。因此，提升学生的数量分析能力有利于提高学生的数学思维能力，培养学生爱数学的兴趣。

㈠分数比大小

比大小是最常见的数量关系，也是数量关系建立的基础。三年级上册将比大小由整数扩展到了分数。在整数范围内，学生已经熟练了以形助数的思维方式比大小，所以在分数比大小的内容里，学生又可以延续这种思维方式。

比如：

学生借助图形理解数量大小，将复杂的问题简单化，直观化，这是一种解决问题的策略，提高学生的数学学习能力。

㈡倍数关系

一、二年级的教材中，对于多多少和少多少的问题，学生会借助线段图来帮助自己理解题意。对于倍数关系，学生在二年级“倍的认识”中有所了解，但并没有涉及到应用。

但三年级上册安排了：路程问题，工作总量问题以及价格问题。三年级学生的生活经验不够丰富，如何帮助学生寻找到这些问题的内在联系，是提升学生数学学习能力的一个关键。

借助学生已有的知识经验，利用画线段图，达到简化数学语言的目的，同时也有利于学生排除多余信息，明确题中的数量关系。利用数形结合思想，学生将倍数问题化难为易，化抽象为直观，对于学生解决实际问题的能力提升有着显著的帮助。

三、数形结合思想学生思维能力培养的促进作用

㈠培养学生有序，有条理、全面的思考问题

无论是在学习还是生活中，培养学生有序、全面思考是促进学生思维发展的体现。《数学广角》作为新增单元，对学生的思维能力提出了更高要求。如何将生活中的原形问题数学化，这是对学生的挑战。通过分析，学生运用符号化的思想，将搭配问题在纸上一一呈现，在这个过程中，学生就要考虑搭配什么，怎么表示，搭配的先后顺序，如何表示搭配，怎样搭配有序，全面，而不遗漏。正是这个数形结合的过程，培养学生有序，有条理、全面的思考问题，体现了学生思维能力的提升。

⑵培养学生简洁直观地表达思考的过程与结果

对于简单的排列组合，学生可能通过枚举法能一一呈现出来，可当组合对象越来越多时，如何简洁而直观的反应出学生的思维过程和最后的结果？

数学提倡简洁、明了。因此利用数形结合思想，将搭配问题用画图连线的方式表达，借助符号简化实物，将复杂的问题简单化，抽象问题直观化，进而达到利用计算的方式思考。这个过程不仅提高了学生的几何直观能力，同时也增强了学生的符号意识。让学生在后续的学习中有更好的发展。

“数形结合”走进数学概念课篇7

我尝试在数学概念的抽象性和学生思维的形象性之间寻找结合点,认为“数形结合”是它们比较好的疏通纽带.数形结合的思想,其实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,化难为易,化抽象为直观.通过数形结合,巧妙找寻学生现实起点;数形结合,促进学生理解概念的本质;数形结合,让学生感受数学之美感.从而为建构数学概念奠定扎实的基础.

一、数形结合,巧妙找寻学生现实起点

影响学习的最重要因素是学生已经知道了什么,我们应当根据学生原有的知识状况去教学.——奥苏贝尔

学生走进课堂,大脑并不是一张“白纸”.学生是一个活生生的人,周围的环境每时每刻影响着他,他必定会“与时俱进”,具有一定的生活经验、学习经验,具有一定的知识储备和交往能力.他们是带着自己的兴致和需求、思考和灵感来参与课堂学习的.因此,在课堂教学中,教师应当深入了解学生的现实起点,充分利用形象、直观的“形”来切入,从而丰富了学生的表象,引发思考,理解概念.

●链接:(小数的初步认识引入片段)

1. 从元角分中引出小数

1角=()元=()/()元

6角=()元=()/()元

7角、9角呢?(生交流师板书)接着出示:

7分=()/()元=()元

师再用电脑出示不同分币的格子图让学生探讨,如1分=()/()元=()元,()分=()/()元=0.15元,()分=()/()元=0.68元

2. 从长度单位中认识小数

出示米尺图让生观察,并完成3分米=()/()米=()米,8厘米=()/()米=()米

这时师引导生尝试归纳:一位小数跟怎样的分数有关系?两位小数跟怎样的分数有关系?

在“小数的认识”教学中,最符合他们的数学现实还是货币单位中接触到的小数,如果离开了这个背景讨论分数和小数的关系,无疑放弃了学生已有的数学现实.先通过购物经验直接引出小数,帮助学生认识、理解小数;接着通过格子图,引导学生把货币单位中的小数用分数的形式表示出来,沟通小数与分数之间的联系.再引出米尺,认识长度单位上的小数.由于有前面的元、角、分的小数认知基础,学生就比较顺利地在米尺图上找到小数、分数的对应关系.

借助直观形象、栩栩如生的人民币等量替换图和格子图,把小数置于现实情境图中,以“形”引入,为学生认识小数搭建很好的桥梁,既生动形象又浅显易懂,突破了知识难点有利于促进学生认知经验同化,使数学思维得到提升,建立系统的数学认识结构,从而形成知识的意义建构.

二、数形结合,促进学生理解概念的本质

如果一个特定的问题可以转化为一个图形,那么思想就整体地把握了问题,并创造性地思索解法.——斯蒂恩

由于小学生的认知特点,形象思维占主导优势,学生熟悉的直观的“形体”无疑是最容易让学生接受的素材,它将抽象的数学语言与直观的图形相结合,化抽象为形象,化难为易.借助于图形的性质,可以使抽象的概念直观化、形象化、简单化,从而让学生理解数学实质.通过“数形结合”把抽象的数学概念与形象的图形联系起来,把数学概念中最本质的属性用恰当的图形演示出来,使学生建立清晰的表象,丰富学生的感性材料,为建构数学概念奠定扎实的基础.

●链接:(小数的意义探索片段)

1. 认识一位小数的意义

(1)认识0.1

师:关于0.1,你知道些什么?

师:(师呈现一张正方形纸)如果这张纸用“1”来表子,如果老师想涂出“0.1”那么大小的一块,请你估计一下大约应涂多少大?你能准确地分一分,涂一涂吗?(生涂然后展示,共同交流学生的不同涂法)

(2)师用课件展示(把1平均分成10份,涂出其中的1份)演示一次.

师:那0.1到底什么意思呢?

(3)师指着课件上的图形问:除了看到0.1以外,你还看到了什么?

生:我还看到了0.9.

课件分别演示涂不同格数的阴影格子图,问:“你现在又看到了哪些小数?”

师结合板书内容问:这些一位小数都有什么特点?你有什么发现吗?

2. 认识两位小数的意义

教师提出问题:如果要表示出0.01那样大的一块,你会用纸来表示吗?

生:把这张正方形纸平均分成100份,涂其中的1份就是0.01.

教师用课件进行演示.

师:仔细观察这张正方形纸,你还能看到别的小数吗?(生答略)

师提出问题:自己先想好一个小数,然后在方格纸上涂一涂.学生热火朝天地进行了创作,然后组织学生进行汇报.

小结:大家创造的小数都有什么共同特点?这是为什么?

3. 认识三位数、四位数……小数的意义

师:我们已经知道了一位小数表示十分之几,两位小数表示百分之几,那么三位小数呢?四位小数呢?

4. 动态演示拓展延伸

电脑动态演示:如果把一个立方体看成“1”,那么它的一个面就是“0.1”,“0.01”可以看成是一条线,“0.001”看成是一个点,这里利用了直观模型从体面线点就把小数计数单位之间的十进制关系展现的淋漓尽致,同时使学生能够系统的联系的看待小数.数与形有机的结合在一起,也拓展了学生的空间观念.

正方形纸是学生最喜闻乐见的物品之一,借助正方形分割为条、块的形式,让学生自主涂一涂,从格子图中找到小数以及相应的分数,由此帮助学生理解十进分数与小数的关系,通过直观模型数形结合的方式,把小数的最本质的属性用恰当的图形演示出来,促进学生对小数含义的理解的意义建够,同时也有助于学生建立数感,为后续学习奠定必要的基础.

以“形”助“数”突出图的形象思维,促进学生形象思维与抽象思维的有机结合,让学生用多种感觉器官充分感知,在形成表象的基础上进行想象、联想,使抽象的数学概念直观化、形象化,最终理解概念的实质意义.用“形”来理解它们的变化,从而再用数来表示,达到用“形”来理解“数”,用“数”来表示“形”.

三、数形结合,让学生感受数学之美感

数学,如果正确地看它,不但具有真理,而且也有至高的美,正像雕刻的美,是一种冷而严肃的美.——罗素

数学是美的!这是我几年来大量涉猎数学专著、数学学科文化所得到的结论之一.数学独具的简洁美(抽象美、符号美、统一美)、和谐美(对称美、形式美等)、奇异美(有限美、神秘美等)深深地震撼了我的心灵.数学学习的过程让我自由地漫步美的境界,数学所揭示的美学规律又使我对美的鉴赏更为深刻,而对美的追寻正引领着我的数学学习不断深入,这一切即为美的力量.“爱美之心,人皆有之.”许多课程内容,我们都可以尽情展现数学的美,并把这种美带进课堂,与学生一起分享,使其感悟数学美的真谛.

●链接:(圆的认识沟通联结与审美延展片段)

在学生区分圆是曲线图形,探求圆的基本特征后.把圆与其他直线图形进行沟通联结,打通了“直”和“曲”的界限,对圆具有同长无限性的特性进行阐述.

1. 沟通联结,由直化曲

师:是半径的长度都相等.在一个圆里有无数条半径,长度都相等,所以才使圆看起来光滑饱满匀称,圆的美通过研究终于在这里找到了.有人会说在同一个图形中,具有等长线段的又不是只有圆一个,你们相信吗?我们来看一下,这是一个正三角形,从中心出发,连接三个顶点,这三条线段一样长,这样的线段有三条.正方形有几条?(生:四条)

课件不断演示从正三角形一直到正八边形让生观察从中心点出发等长的线段有几条.

师:难怪有人说圆是一个正无数边形.

我们会发现随着正三角形,正四边形,正五边形,正六边形,正八边形,更多边形的边数越来越多的时候,这个图形越来越接近圆形.看一看这个正十六边形,正三十二边形,和刚才的正八边形相比,更接近圆,但不是圆.有时思维需要跳跃一下,现在看看正100边形,更接近了,这才正100边形,想象一下,如果正1000边形,正10000边形,1亿,10亿,直到无穷无尽,直线图形居然在它最遥远的地方和曲线图形圆交融在一起.

2. 审美延展,旋转成圆

师:回顾一下,今天我们一起认识了圆,又近一步感受了圆的特别,其实圆还有一个更特别的地方,我们一起来看大屏幕:这是一个正三角形,现在我们把它的中心点稍微选中一下,绕着中心旋转,结果发现和原来的三角形没有完全吻合.现在来看看圆,绕着中心旋转,随便怎样转,都能吻合,数学上我们把圆的这个特点叫做旋转不变性.那三角形有旋转不变性吗?

生:没有.

师:如果我们照这样的角度继续转下转,你会发现什么奇怪的现象?

生:近似一个圆.

师:想一想,刚才我们旋转的是什么呀?

生:中心.

师:如果不用中心旋转,就不行吗?这里有一个正方形,绕这个顶点来旋转,知道行还是不行?一边观察,一边思考,能转成一个近似的圆吗?所以可以知道正方形,三角形,绕着一边,随便旋转,都可以得出一个近似的圆.一条线段绕中点旋转,请同学们仔细盯着线段的两个端点,看它的运动结束以后,成了一个什么?

生:圆.

师指着又一图形:这是由什么图形旋转而成的?(生:椭圆.)

师:其实就是特定的点运动的轨迹.今天我们还接触了平行四边形,梯形,甚至是任意的多边形,等等,那么它们绕某一点旋转,能出现圆吗?回家去试试,也许一幅一幅美轮美奂的图形就在你们的手下诞生了.

在直线图形与圆沟通联结时,利用电脑动态的“图形变换”,让学生惊奇的感受到边数越多越接近圆,由“直”到“曲”,联系了圆与正多边形之间的关系.虽然径都相等,但多边形的边数越多越接近圆,这是圆的形成又一美丽的延伸圆是所有正平面图形最后的一个,让学生在这一系列图形的变化中体验到美感,生动形象揭示了圆具有同长无限性的特性,同时灌输了极限的思想.

通过电脑动态演示,利用生动美妙的“图形旋转”,拓展了对圆的认识,明白了圆经过旋转的不变性,而其他直线图形经过旋转将形成怎样的美丽图形,这再一次让学生感受圆与直线图形的联系,体会圆与旋转的内在关联,深刻揭示圆具有无限的同长的特性,同时丰富对圆这一曲线图形的内在美感的认识.

由于数形结合具有形象直观、易于接受的优点,它对于沟通知识间的联系,活跃课堂气氛,开阔学生的思路,发展学生的潜能,提高学生的创造性思维能力和开拓精神,使学生充分张扬个性,真正实现个体的最优化发展都有很大的帮助

我国著名数学家华罗庚对“数”与“形”之间的密切联系有过一段精彩的描述:“数与形本是相依,焉能分作两边飞,数缺形少直觉,形少数难入微,数形结合百般好,隔裂分家万事休.”让我们有一双发现的眼睛,敢于开创先河,敢于创新,走在时代的前列,不断探索新方法、好方法,让概念课不再枯燥,让我们的课堂彰显生命活力.

参考文献

[1]夏俊生主编.数学思想方法与小学数学教学.河海大学出版社,1998(12).

[2]张顺燕.数学的思想方法和运用.北京大学出版社,2000(10).

[3]孔企平.近年来国际数学课程改革的若干趋势.外国教育资料,2000(6).

数形结合在中学数学中的应用篇8

数形结合是一种非常重要的学习思路, 就是根据数和形之间一一对应的关系, 把抽象的数学语言和数学关系与直观的、容易理解的几何图形和位置关系相互联系, 将学习中遇到的数学难点具体化和简单化, 通过应用数形结合法, 能够有利于日常数学知识的学习。

2 数形结合概念

数形结合指的是根据数与形之间的对应关系, 将数与形进行相互转化, 以此解决数学学习中遇到的各种难点。通过应用数形结合思想, 有利于我们掌握数学问题的条件和结论之间的关系, 将其中的内在联系在图形或者数轴上表示, 使之转化为求解几何或者代数问题, 从而对难点进行细致分析, 在具体的应用过程中, 不仅需要详细了解代数的意义, 而且还需要揭示出问题的几何意义, 通过将数量关系和空间形式相结合, 寻求解题思路。

3 数形结合在中学数学中的应用方式

3.1 数与代数的数形结合

在中学数学学习过程中, 代数的学习是重点, 也是难点, 我们在解答代数问题时, 如果仅仅应用代数解题方法, 则在具体的解题过程中, 需要处理比较复杂的假设等问题。对此, 我们可以将抽象的代数与形象的函数图像相结合, 并将代数以坐标、数轴的方式表现出来, 这样便于我们更好的理解题目本身。通过应用坐标, 能够处理很多内容, 包括二元一次方程组、函数、平移变换、对称变换等等, 在数轴上, 可以将数与代数图形化, 通过数形结合, 简化数学难题。

3.2“空间与图形”中的数形结合

在中学数学学习中, 几何知识是十分重要的学习内容, 在几何学习过程中, 通过图形图像进行解题, 更加直观。但是, 我们在学习几何图形的空间变化时, 往往很难理解几何图形的变化思路, 对此, 可以采用空间与图形相结合的办法, 更加直观和深刻的了解几何知识, 提高自己的空间思维能力。

3.3“概率和统计”中的数形结合

在中学数学学习中, 概率学习难度较大。概率的抽象性较强, 因此, 我们在理解概率或计算概率的过程中, 如果仅仅根据题目中所给出的提示, 一般需要耗费大量的思考时间, 容易造成思维混乱, 对此, 我们可以根据题目中所给的提示信息, 通过统计图表的方式展现出来, 这样有利于我们对概率的整体情况进行分析判断, 提高解题效率。

4 数形结合在中学数学解题中的应用实例

4.1 数形结合在抽象函数上的应用

将数形结合的方法合理灵活地运用有助于将数学问题形象化、具体化, 在实际问题的解答过程中非常有效。

例题:如果一直f (x) 为一个二次函数, 且其在f (0) 的时候取最小值。现已知f (a) <f (2) , 求a的取值范围是多少?

解题方法:如果直接进行借到的时候会发现难度比较大, 但是如果可以根据已知条件画出如图1所示的几何示意图, 则可以解决问题。由于f (x) 为二次函数, 且开口向上, 那么a的取值一定是 (-2, 2) 。

4.2 利用数形结合思想讨论方程的根

在同一直角坐标系中作出的图象如图2所示。

消y得x2+ (3-a) x+a=0, 故Δ=a2-10a+9>0,

且x1+x2=a-3<2, x1x2=a<1, 联立可得0<a<1;

当4个交点横坐标有两个小于1, 两个大于1时:

消y得x2+ (3-a) x+a=0, 故Δ=a2-10a+9>0,

且x3+x4=a-3>2, x3x4=a>1, 联立可得a>9,

综上, 0<a<1或a>9。

4.3 利用图象解决函数问题

数是贯穿中学学习一条基本主线, 中学数学的基础是平面直角坐标系和实数。

例题:已知函数y=3x+3和反比例函数, 问这两个函数的交点在第几象限?

解题方法:分别画出函数y=3x+3的图象和反比例函数的图象, 如图3所示, 可以直接看出它们的交点所在的位置, 即交点分别在第一象限和第三象限。

5 结语

综上所述, 数形结合思想在中学数学学习和解题过程中发挥着十分重要的作用, 我们在日常解题过程中, 可以将抽象的数学语言和直观的图形结合起来, 将结合问问题代数化, 将代数问题几何化, 这样就能够便于我们对疑难问题进行透彻分析, 并且掌握基本的数学概念和知识点, 因此为了提高数学成绩, 我们必须认真学习并熟练掌握数形结合思想的应用方式。

参考文献

[1]陈建花, 沈有建.初高中学生数学学习衔接存在的问题与对策[J].数学通报, 2013, 52 (3) :15~17.

数形结合,让数学课堂灵动起来篇9

关键词：数形结合,数学课堂,灵动

小学数学以数形相结合的方法进行教学, 要求教师切实掌握数形结合的思想, 以数形相结合的观点研读教材, 深度挖掘教材中可以进行数形结合思想方法渗透的各种因素, 合理结合具体内容进行数形结合思想方法渗透。

一数形结合在小学数学学习中的意义

小学数学教学中, 运用数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化, 能变抽象思维为形象思维, 有助于把握数学问题的本质, 为更好地学习数与代数、空间与图形的知识服务, 同时也在培养抽象思维、解决实际问题方面起了较大的作用, 最终使学生数学素养的全面提升。

二数形结合在小学数学中的应用

1.通过数形结合, 帮助学生学会认数

在小学阶段, 学生最先接触的数学知识就是认数, 从最简单的1、2、3、4……认起。实践证明, 通过数形结合, 学生能够更快地记忆数字。因此, 教师要根据教学的要求, 将所教授的数字与实际图形相对应, 并利用图形表现自己所教的数字。在实际教学中, 教师可以采取如下办法:在黑板上画出不同个数的三角形、四边形、圆等, 让不同的学生写出自己读出来的数, 教师在学生写出答案后, 还要对错误的观点进行纠正, 这样可以加深学生的记忆。家长也可以利用数形结合, 帮助学生识数, 如通过生活中现有的资源如木棒、石子、叶片等, 将它们一堆一堆地进行分类, 然后让学生认数, 学生借助实物能较轻松地完成对新知的掌握。

2.通过数形结合, 促进学生学会比较数的大小

在小学数学的学习中, 学生面临的一大难点就是数与数之间的比较, 在教师日常的教学中, 也对此感到头疼。针对这种现象, 教师可以在教学的过程中引入数形结合思想, 并利用数轴对学生进行教学。比如, 在比较数字-2, 2, 4的大小时, 教师可以先在黑板上画出数轴, 再将数字标注在数轴上, 学生就可以在数轴上直观地比较数字之间的大小关系。此外, 在小学阶段, 分数之间的比较也十分重要, 为将抽象的问题具体化, 让学生更易理解, 教师在讲授分数的对比时, 可以利用数学图形教学。

3.通过数形结合, 培养学生的解题能力

在课堂教学中, 我们发现由于年龄、知识、能力等多方面因素的影响, 小学生在解决问题的时候, 往往会遇到这样或那样的困难或障碍。如何突破障碍和困难呢?可以引导小学生充分利用直观的“形”, 把抽象的数量关系形象具体地表示出来。通过一些看得见、摸得着的集合图、线段图等, 抽取出实际问题中的数量, 帮助小学生理清数量关系, 使复杂的数学问题直观化, 为列式建造了一座“桥”。比如:小明和小华从家出发步行到学校, 小明每小时走4千米, 小华每小时走6千米, 经过半小时后, 两人在学校相遇, 问两人共走了多少千米。此时, 结合问题, 通过把题中的已知条件和问题, 以线段图的形式出示, 学生借助对线段的观察, 理解了题目中的数量关系, 即:“小明走的路程+小华走的路程=总路程”, 把握了问题的本质, 找到了解决问题的思路, 从而提升了学生的解题能力。教师在教学中, 要鼓励学生用自己创造的图形方法解释数学, 用原汁原味的构思、丰富多彩的图画、独特的视角, 展示儿童富有创造的思维过程, 从而实现对问题的有效解决。

4.通过数形结合, 加深学生对数学公式的理解

数学公式对于学生来说是比较抽象的, 学生只有在理解的基础上才能记住公式, 通过数形结合, 学生能更快地记住公式。如在计算长方形的周长时, 教师可以罗列出不同的计算公式: (1) 长+宽+长+宽; (2) 长×2+宽×2; (3) (长+宽) ×2。通过实践, 发现学生对第三种计算没有本质上的认识, 实际操作中应用 (1) 、 (2) 两种计算方式的居多, 这使得学生计算难度增大。因此, 老师可以让以学生边说边摆小棒的方法介绍第三种求周长的方法, 这样, 在提高学生学习兴趣的同时, 加深学生对数学公式的理解, 并为学生灵活运用公式解决问题打下扎实的基础。

总之, 在小学数学教学中, 数形结合思想的合理运用, 能为学生提供丰富的形象材料, 将抽象的数量关系具体化, 把无形的解题思路形象化, 促进学生智力的开发、思维能力的增强及解决问题能力的提高, 使数学教学充满乐趣, 让数学课堂在灵动中走向高效。

参考文献

[1]张卫星.小学数学教学中数形结合方式探索[J].内蒙古教育, 2009 (8)

[2]董文丹.让数学课堂充满数学思想——“数形结合”在低年级教学中的运用与反思[J].小学教学参考 (数学版) , 2010 (11)

数形结合提高小学数学课堂效率篇10

1.数形结合, 使学生更牢固的掌握数学概念

小学生在刚刚接触数学知识时很难理解抽象的数学概念, 教师可以采用数形结合的教学方法展开概念教学, 通过运用图形, 创设一定的数学问题情境, 化抽象为具体, 有效地帮助学生理解数学概念。例如, 在教学小学一年级“100 以内数的认识”时, 发现许多学生能够流利地顺背、倒背100 以内的数, 但问到87 是接近90 还是接近80 时, 许多学生都答不上来。分析其原因:原来大多数学生只是对这些数字机械记忆, 并不理解这些数的顺序、大小意义。为了让学生进一步认识和理解这些数字, 我在黑板上画了一条数轴, 用点在数轴上表示相应的数, 在数轴左右端分别标上80 和90, 并各画了一幢房子, 然后对学生说:“如果你在87 这个位置, 你觉得去谁家比较近呀”?学生们异口同声地回答:“去90 家比较近, 因为87 接近90”。通过数与形的合理结合, 在学生的头脑中形成了一个直观的几何表象。“形”的创设, 不仅提升了学生对于“数”的思考, 而且极大地增强了学生的数感, 激发了学生的学习兴趣, 同时, 也促进了学生数学思维水平的提高。

2.数形结合, 让学生更透彻的理解数学算理

数形结合的教学方式, 不仅可以促进学生更牢固地掌握数学概念, 还可以帮助学生更透彻地理解数学算法。在计算教学中灵活运用数形结合, 就能使学生走出对许多算理还模棱两可的境地, 起到事半功倍的效果。我在教小学数学“30 以内的进位加法”时, 就采用了数形结合的方式, 为学生创设生活情境, 引导学生加深对于数学算理的理解和记忆。如教师在桌子上放了两个透明的盒子, 一个盒子装8 个面包, 一个盒子装6 个面包, 继而问学生:“学校带领小朋友们去春游, 老师分给小朋友每人一个面包, 分完后剩余的面包装在这两个盒子里, 还剩几个, 你们用什么方法能够很快地计算出正确结果?”此时, 学生你一言我一语地答道:可以列出8+6 的算式, 也可以列出6+8 的算式。教师这时将一只盒内的几个面包移动到另一只盒子里, 盒子装满后正好是10 个面包。其实这就是数学的“凑十法”, 就是把一个盒子里的面包凑到10 个, 余下的个数就很容易知道了。这样的教学设计, 把抽象的“凑十法”形象地表达出来。通过数形结合, 借助图示使学生更容易理解9 加几的算法, 算理也更加清晰, 教学中的重点和难点得到突破, 课堂教学效果也有所提高。

3.数形结合, 帮助学生厘清解题思路

小学数学的教学内容中计算问题较多, 许多教师往往注重算法的多样化, 而忽视了学生对算理的理解。其实, 算理就是计算过程中的道理, 算理为计算提供了正确的思维方式, 保证了计算的合理性和正确性。在教学时, 教师应根据教学内容指导学生在理解算理的基础上掌握计算方法。数形结合对于学生理解算理有很大的帮助。

例如在教学过程中让学生画线段图, 借助线段图来解题, 帮助学生准确找出数量间的对应关系, 化难为易、化繁为简, 将抽象化为具体、形象和直观, 帮助学生理解数量关系, 理解计算过程中的道理。在讲“几倍求和的应用题”时教师出示例题:小丽妈妈在市场上买了21 个苹果, 买的橘子是苹果的4 倍, 问苹果和橘子共买了多少个。此时, 教师先让学生画出线段图后再尝试做题, 一些学生列出了“21×4+21”的计算式, 还有学生用了21× (1+4) 的式子计算出答案。当教师问他们是如何思考解题思路的, 许多学生都说是画出线段图后得到的启发。可见, 数形结合对帮助学生厘清解题思路非常有效。

小学三年级数学有这样一道题:买笔花了22 元钱, 买书花的钱是买笔钱的4 倍, 一共花了多少钱?这道题其实是可以用两种方法来解答, 但一般情况下, 学生不容易想到用“倍比”的方法解答, 因为这种方法即使教师用语言来解释, 学生也很难理解, 如果引导学生画出线段图, 一切问题就变得清晰起来。结果这道题的计算式就迎刃而解了:1+4=5, 5×22=110 (元) 。又如有一道题:佳佳有一些画片, 她送给了圆圆一半还多1 张, 自己余下了23 张, 佳佳原来有多少张画片?针对这道题, 给学生了解用什么方法整理题中的条件是个难点, 我先用列表和文字整理, 结果大多数学生还是一脸茫然, 随后又选择了实物操作, 结果也不尽如人意, 最后选择了数形结合, 根据题意画示意图, 原本模糊的数量关系通过转化为线段图后变得一目了然, 学生也很快的理解了题目的意思。所以在数学学习过程中, 如果学生遇到复杂问题往往不知所措时, 采用数形结合的方式, 可以帮助学生快速理清解题思路。如借助线段图, 教师不需要过多的讲解而是帮助学生建立数学模型, 让学生运用线段图来解决实际问题, 特别是学习有困难, 对应用题的数量关系模糊不清的学生, 更有必要引导他们利用线段图来理清自己的解题思路。

探讨初中数学中的数形结合篇11

【关键词】初中数学数形结合方法

前言：

在初中数学教学中，提高学生的综合素质，培养学生数学逻辑思维，提升学生的创新精神，培养学生主动学习，主动研究数学的习惯是教育的目标。在初中数学教学中，更为看重的是对学生学习方法的培养。在当下素质教育的大背景下，学生对于数学知识的掌握不再是唯一的评判标准，学生能力有效利用掌握的数学理论知识来解决问题才是评判学生数学水平的重点。基于此，作为现代数学中重要的解题思想，数形结合这一方法在初中数学中的应用与教学也就成为了重要的课题。

1、数形结合的概念

作为一种最为直观的教学方式，在初中数学教学中，数形结合可以把抽象的数学理论知识进行图形化的处理。在教学中，老师可以利用板书和多媒体教学设备直接把图形化的数学知识展示给学生，学生的学习效率提升很快。在初中数学教学中，数形结合可以把数量关系，数学语言等，直接转化成为几何图形。学生在直观的几何图形上可以快速地掌握数学理论知识，理解数学问题。在整个初中数学教学过程中，几何图形没有数学理论的知识是难以体现数学逻辑思想的，而数学理论知识缺少几何图形直观的展示也是无法得到快速的体现的。可以说，在整个数学教学过程中，数形结合是一种重要的数学思想，也是重要的解题思维。

数形结合的思想重点是把形与数两者进行衔接，通过数学语言来体现直观图形，以直观图形来阐述抽象的数学语言。数形结合不仅可以实现形象思维与抽象思维的互通，同时还可以打开解题思路，实现代数问题的几何化表示。几何图形是对空间的一种体现，而代数关系则是数量的一种逻辑关系。在整个数学研究的过程中，数与形的研究是整个研究的重点。图形问题变成代数问题，从数量关系上分析几何问题，可以有效提高研究的效率。另一方面，以数量关系的形象化来解决代数问题也可以有效地提高解题速度。数形结合方便迅速地打开了解题的思路，有利于数学思想的培养。

2、初中数学中的数形结合

2.1例题讲解

在初中数学教学中，对例题的讲解是引入新数学知识的基本环节。在例题讲解中，老师可以对数学思想进行说明和运用。而数形结合在例题讲解中的作用主要是考验例题教学的质量。老师在进行例题讲解时，应在分析例题时就引入数形结合的思想，把数形结合点出来，重点讲解。把几何建模和代数转化两者引入到解题过程中去，从分析题意开始，用几何图形来表示题干中的代数关系，用代数形式来直接表达几何图形的关系。在数与形的转化中，培养学生分析题意的能力，培养学生良好的解题能力。

2.2概念分析

对于学生来说，数学概念的分析可以通过图形进行。在教学中，可以利用学生对图形的基本认识，如温度剂上的温度显示，时钟上的时间显示等等，把数形结合运用初中数学教学中去，由浅入深地提高学生对于数形结合的认识。在整个初中数学教学过程中，学生会遇到很多数量关系的概念，会碰到很多较为抽象的数学理论。如果老师在教学中能利用数形结合的知识，用几何图形把其直观化，简单化，那么学生在数学知识的掌握上就更为快捷，对数学的理解能力和应用能力也能得到提高。当然，也要意识到，并不是所有的数学概念教学中都可以用到数形结合。这个需要初中数学老师根据学生的学习水平，思维习惯进行调整和优化。特别是在以形定数，还是以数定形方面，应考虑到学生的实际理解水平，不要为了数形结合而去数形结合。要意识到，初中数学教育的根本目的是提高学生对数学知识的掌握水平，数形教学是一种良好的教学分析方法，但并不是唯一的教学分析方法。

2.3应用情况

利用数形结合可以在初中数学教学中有效提高学生对题目的理解程度，提高学生对数学的兴趣。众所周知，数学这一门严谨的学科，在出题和解题过程中所使用的数学语言都是精炼而抽象的。很多初中学生在数学解题时都会对这些抽象的数学语言产生畏难情绪，甚至由于情绪上的起伏而理解错题意。使用数形结合可以直接解决一些综合代数与几何实践操作的数学题。还可以在解题中应用数形结合以图像的形式表现题目中的代数关系。而在方程式等数学问题的研究中，可以用几何和函数图像来解决问题。使用数形结合可以有效提高学生对数学问题的理解能力，提高学生对代数关系的理解，对几何图形的内涵掌握程度。而在整个初中数学教学过程中，老师应利用数形结合的思想把题意复杂的数学题进行直观的展示，利用几何图形把解题思路和解题过程进行推导，让学生“拨开云雾见青天”，培养学生的数学思维。在初中数学教学中，要让学生了解题目的题意，数形互换，相互推导，解决数学问题。如在初中数学教学中，二次方程就可以用函数和图像结合的方式来求解。当然，老师也要在教学中让学生利用直尺，三角板，量角器去解释题中的代数关系，用图形来表达题意。如数轴的应用，如平面直角坐标系的使用等等。如三角函数是整个初中数学的重点，老师可以把函数的讲解与三角形的应用结合起来，把数形结合思想运用到教学中去，提高学生对函数的认识。

3、结束语

综上所述，在初中数学教学中，数形结合的教学应从题意分析时做起。让学生更为直观地了解数学知识，体会数与形的关系。引导学生分析数学问题，提高学生解决数学问题的能力。

【参考文献】

[1]沈凌云.初中数学教学中数形结合思想的培养[J].数学教学通讯.2014（31）

[2]杜远堂.数形结合思想在初中数学教学中的应用[J].语数外学习（初中版下旬）.2014（07）

浅谈初中数学数形结合思想篇12

一﹑由数想形

1.借助数轴引导学生合理理解数学概念法则.

数轴是重要的数学学习工具, 借助其可直观表示较多数学问题, 令数形有机结合, 因此在初中数学教学中我们应合理应用数轴帮助学生整理绝对值的几何意义, 掌握数轴上任意两点间的距离等于两点所表示数的差的绝对值.

例1:已知|x-1|+|x+2|=3, 则x的取值范围为__ .

理解:|x-1|, |x+2|分别表示数轴上表示x与1、x与-2之间的距离, 则本题就可借助数轴找x到1和-2的距离和等于3的点在-2和1之间, 所以答案为-2≤x≤1.

变式1:已知|x-1|-|x+2|=3, 则x的取值范围为__ .

由上题可知, x到1和-2的距离差等于3, 因此本题要找的是x到1和-2的距离差等于3, 借助数轴发现x只能在-2的左边, 或1的右边, 所以答案为x≤-2或x≥1.

2.借助数轴引导学生分析不等式中部分解求范围问题.

例2:若不等式x-m≤0的正整数解为1、2、3, 则m的取值范围为__ .

解不等式得:x≤m.通过画数轴可知正整数解为1、2、3, m的大致范围在3和4之间, 再讨论m=3和m=4的情况, 当m=3时符合题意, 当m=4时, 不等式有4个正整数解为1、2、3、4.所以本题的答案为3≤m<4.

3.借助抛物线图像给定自变量取值范围求因变量范围.

例3:已知函数y=-x2+2x+4 (-2

分析:由自变量范围可知二次函数有意义图像在ACB这段曲线上, 经过图像的最高点, 所以函数在自变量范围内有最大值.当x=-2时, 函数最小值为-4;当x=1时, 函数最大值为5, 所以y的取值范围为-4

4.由数结构想到构造直角三角形利用勾股定理求最值.

从上文已经知道, 以形助数是根据代数问题所蕴含的几何意义, 将代数问题转化成几何问题并加以解决, 使得代数问题变几何化, 借助于几何图形直观地得到问题的结论, 使得原本抽象而复杂的问题变得更形象化、简易化.

二、由形知数

1.初中数学教学中应利用数形结合, 引导学生用代数方式有效解决识图问题.

例5:如图1, 在梯形ABCD中, AD∥BC, ∠A=60°, 动点P从A点出发, 以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动, 直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S (单位:cm2) 与点P移动的时间 (单位:s) 的函数如图2所示, 则点P从开始移动到停止移动一共用了__ 秒 (结果保留根号) .

2.用代数的方法有效地解决几何图形中的翻折问题.

(1) 求∠OAB的度数;

(2) 求当点A′在线段AB上时, S关于t的函数关系式;

(3) 当纸片重叠部分的图形是四边形时, 求t的取值范围;

(4) S存在最大值吗?若存在, 求出这个最大值, 并求此时t的值;若不存在, 请说明理由.

∴∠OAB=60°.

(2) 当点A′在线段AB上时,

∵∠OAB=60°, TA=TA′,

∴△A′TA是等边三角形, 且TP⊥AB, TA=5-t,

(3) 当纸片重叠部分的图形是四边形时, 因△A′TA是等边三角形, 所以2

(4) S存在最大值.

(3) 当0