数形结合思想中学数学

数形结合思想中学数学（精选12篇）

数形结合思想中学数学 篇1

北师大版数学全面使用新教材。与旧版教材相比,书中图画有增无减,仔细对比分析发现新版教材不仅增加了更多的图,重要的是应用了更为科学的教学方法,帮助学生学习、理解和掌握数学思想。

一、“数形结合”帮助学生理解概念

以四年级下册《近似数》一课为例,分析对比如下:

尽管我们一直在强调不管什么样的教材,教师都要创新教学理念,但教材的纲性特征通常束缚着教师的改变。旧版教材中,教师以讲方法和结果居多,学生通过记忆法则和大量练习能掌握四舍五入法求近似数的方法,但学生知其然而不知其所以然。例如,将204987四舍五入到万位求近似数,看万位后面千位上的数字是4,比5小,所以万位后面所有的数都舍去改写成0,得到204987四舍五入到万位的近似数200000。但喜欢思考问题的学生常会问:“4比5小,可4后面还有9、8、7,它们都比5大,为什么不向前一位进一。”老师的回答经常是这样:“让你看万位后面千位上的数字,谁让你去看其他数位上的数字。”学生只好懵懂作罢。新版教材,通过引入数线可清晰地化难为简、变抽象为直观,很好地解决了学生对重点、难点和疑点的理解困惑。

“近似数”一课有这样一类拓展题目:如“一个数的近似数是6万,那么这个数最大是多少?最小是多少?”。

旧版教材学完之后,若将题目进行变换,很多学生不能准确答出此题。分析可知,学生在缺少理解的情况下去认识更为抽象的大数,常出错误就成为必然。

新教材利用“数形结合”方法使学生比较容易在图上画出这个数的范围,既能看到最小数55000,也能容易想到最大数是64999。

学生会求一个数的近似数,更能灵活求一个数的近似数,这是显性教学效果,新版教材以及新的教学方法还增加了隐形效果,那就是增强了学生由形象思维向抽象思维转变的意识,培养了学生“数形结合”的数学思想,提高了学生的数学能力。而这些提高正是新课标所提倡和要求的,也是数学学习的终极目标。

二、“数形结合”帮助学生理解算理

学生的运算能力是新课标10个核心概念之一。运算是数学学习的重要内容。关于学生运算能力的培养和发展,新课标中写到“学生伴随着数学知识的积累和深化,正确理解相关的数学概念,是逐步形成运算技能、发展运算能力的前提,运算能力的培养和发展不仅包括运算技能的逐步提高,还应包括运算思维素质的提高和发展,运算能力的培养和发展首先要从具体到抽象”。

新教材的教学理念和教学方法是非常符合新课标要求的。对比三年级上册新旧教材“两、三位数乘一位数”一课,可窥视出新教材是如何从具体到抽象培养和发展学生运算能力的。

旧版教材的情景是生活中的购物,通过解决买4把椅子需要多少钱这一问题,教材运用了口算、加法计算(横式和竖式两种)、表格计算和竖式计算多样化的计算方法,由加法竖式计算演变成乘法竖式计算,让学生体会乘法竖式的简洁和竖式的写法。

新教材在完成12×4竖式计算终极目标的过程中,进行了两次活动。一是学生在点子图上圈一圈、算一算,直观进行口算,由于它的直观性因而学生都能完成;二是揭示乘法竖式笔算与口算之间的本质联系,学生直观理解乘法竖式的算法和算理,教材借助点子图把12×4拆分成2×4和10×4,并与竖式计算中的每一步对应起来,清晰地呈现出两位数乘一位数的乘法竖式计算过程,同时还把列表的方法和两者建立了关系,沟通了表格、竖式和点子图三者之间的内在联系,帮助学生理解每一步的具体含义。新版教材的教学方法对学生来说直观生动、易于理解、印象深刻,非常适宜于发展学生的运算思维能力。

三、“数形结合”帮助学生理解运算规律

小学阶段要求学生掌握的运算律有加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、乘法分配律,其中前四种运算律都是同级运算律。只有乘法分配律中有两级运算乘和加,因而学生掌握和运用此规律有一定的困难。新教材运用“数形结合”,很好地解决了这一难题。下面以新旧教材《乘法分配律》一课中“仿写算式”这部分内容做对比,来体会新版教材中应用”数形结合”教学方法的优势。

旧版教材在学生仿写出两个算式之后,运用计算的方法进行验证两个算式等值。而新版教材在学生仿写之后,运用的是直观的画图和乘法的意义来验证两个算式等值。特别是直观图形验证,很好地把抽象的算式与图形结合在一起,学生不需要计算很容易就能验证,同时清晰地看到数和形的一一对应。

对于三、四年级的学生而言,思考方式正处在从形象思维到逻辑思维的过渡期。运用“数形结合”方法既适应了他们的身心特点,又能较好地帮助他们理解数量关系、量的变化等包含关系符号和运算符号的重要知识点。

在小学数学教学中,如果教师能有意识地运用“数形结合”思想设计教学,那将非常有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解,提供解决问题的方法,也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略,对学生来说则是一种探究和趣味学习的动力。如果长期渗透,运用恰当,则可使学生形成良好的数学意识和思想,并长期稳固地作用于学生的数学学习生涯。

摘要：新课标修订“双基”到“四基”,增加了基本思想和基本活动经验。知识和技能是“双基”,而数学思想是数学的灵魂。在小学阶段,教师需要给学生渗透的数学思想有数形结合思想、符号表述思想、字母代数思想等,在所有这些数学思想方法中,“数形结合”思想尤为重要。

关键词：小学数学,新旧教材,数形结合思想

数形结合思想中学数学 篇2

函数与方程思想是最重要的一种数学思想，高考中所占比重较大，综合知识多、题型多、应用技巧多.函数思想简单，即将所研究的问题借助建立函数关系式亦或构造中间函数，结合初等函数的图象与性质，加以分析、转化、解决有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题；方程思想即将问题中的数量关系运用数学语言转化为方程模型加以解决.●重点重点难点磁场

1.（★★★★★）关于x的不等式2•32x–3x+a2–a–3＞0，当0≤x≤1时恒成立，则实数a的取值范围为

.2.（★★★★★）对于函数f(x)，若存在x0∈R,使f(x0)=x0成立，则称x0为f(x)的不动点.已知函数f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)（1）若a=1,b=–2时，求f(x)的不动点；

（2）若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若y=f(x)图象上A、B两点的横坐标是函数f(x)的不动点，且A、B关于直线y=kx+ 对称，求b的最小值.●案例探究

［例1］已知函数f(x)=logm

(1)若f(x)的定义域为［α，β］，（β＞α＞0），判断f(x)在定义域上的增减性，并加以说明；

(2)当0＜m＜1时，使f(x)的值域为［logm［m(β–1)］，logm［m(α–1)］］的定义域区间为［α,β］(β＞α＞0)是否存在？请说明理由.命题意图：本题重在考查函数的性质，方程思想的应用.属★★★★级题目.知识依托：函数单调性的定义判断法；单调性的应用；方程根的分布；解不等式组.错解分析：第(1)问中考生易忽视“α＞3”这一关键隐性条件；第(2)问中转化出的方程，不能认清其根的实质特点，为两大于3的根.技巧与方法：本题巧就巧在采用了等价转化的方法，借助函数方程思想，巧妙解题.解：（1）x＜–3或x＞3.∵f(x)定义域为［α,β］,∴α＞3 设β≥x1＞x2≥α，有

当0＜m＜1时，f(x)为减函数，当m＞1时，f(x)为增函数.（2）若f(x)在［α,β］上的值域为［logmm(β–1),logmm(α–1)］ ∵0＜m＜1, f(x)为减函数.∴

即

即α,β为方程mx2+(2m–1)x–3(m–1)=0的大于3的两个根 ∴

∴0＜m＜

故当0＜m＜ 时，满足题意条件的m存在.［例2］已知函数f(x)=x2–(m+1)x+m(m∈R)(1)若tanA,tanB是方程f(x)+4=0的两个实根，A、B是锐角三角形ABC的两个内角.求证：m≥5;(2)对任意实数α,恒有f(2+cosα)≤0，证明m≥3;(3)在(2)的条件下，若函数f(sinα)的最大值是8，求m.-1-命题意图：本题考查函数、方程与三角函数的相互应用；不等式法求参数的范围.属 ★★★★★级题目.知识依托：一元二次方程的韦达定理、特定区间上正负号的充要条件，三角函数公式.错解分析：第(1)问中易漏掉Δ≥0和tan(A+B)＜0，第(2)问中如何保证f(x)在［1,3］恒小于等于零为关键.技巧与方法：深挖题意，做到题意条件都明确，隐性条件注意列.列式要周到，不遗漏.（1）证明：f(x)+4=0即x2–(m+1)x+m+4=0.依题意：

又A、B锐角为三角形内两内角 ∴ ＜A+B＜π

∴tan(A+B)＜0，即

∴ ∴m≥5(2)证明：∵f(x)=(x–1)(x–m)又–1≤cosα≤1，∴1≤2+cosα≤3，恒有f(2+cosα)≤0 即1≤x≤3时，恒有f(x)≤0即(x–1)(x–m)≤0 ∴m≥x但xmax=3，∴m≥xmax=3(3)解：∵f(sinα)=sin2α–(m+1)sinα+m= 且 ≥2,∴当sinα=–1时，f(sinα)有最大值8.即1+(m+1)+m=8，∴m=3 ●锦囊妙计

函数与方程的思想是最重要的一种数学思想，要注意函数，方程与不等式之间的相互联系和转化.考生应做到：

（1）深刻理解一般函数y=f(x)、y=f–1(x)的性质（单调性、奇偶性、周期性、最值和图象变换），熟练掌握基本初等函数的性质，这是应用函数思想解题的基础.（2）密切注意三个“二次”的相关问题，三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系.掌握二次函数基本性质，二次方程实根分布条件，二次不等式的转化策略.●歼灭重点重点难点训练

一、选择题

1.（★★★★★）已知函数f(x)=loga［ –(2a)2］对任意x∈［ ,+∞］都有意义，则实数a的取值范围是（）A.(0，B.(0,)

C.［ ,1

D.(,）2.（★★★★★）函数f(x)的定义域为R，且x≠1，已知f(x+1)为奇函数，当x＜1时，f(x)=2x2–x+1，那么当x＞1时，f(x)的递减区间是（）A.［，+∞

B.(1，C.［ ,+∞

D.(1, ］

二、填空题

3.（★★★★）关于x的方程lg(ax–1)–lg(x–3)=1有解，则a的取值范围是

.4.（★★★★★）如果y=1–sin2x–mcosx的最小值为–4，则m的值为

.三、解答题

5.（★★★★）设集合A={x｜4x–2x+2+a=0,x∈R}.（1）若A中仅有一个元素，求实数a的取值集合B；

（2）若对于任意a∈B，不等式x2–6x＜a(x–2)恒成立，求x的取值范围.6.（★★★★）已知二次函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数，且a≠0)满足条件:f(x–1)=f(3–x)且-2-方程f(x)=2x有等根.（1）求f(x)的解析式；

（2）是否存在实数m，n(m＜n＝，使f(x)定义域和值域分别为［m,n］和［4m,4n］，如果存在，求出m、n的值；如果不存在，说明理由.7.（★★★★★）已知函数f(x)=6x–6x2，设函数g1(x)=f(x), g2(x)=f［g1(x)］, g3(x)=f ［g2(x)］, „gn(x)=f［gn–1(x)］,„

（1）求证：如果存在一个实数x0，满足g1(x0)=x0，那么对一切n∈N，gn(x0)=x0都成立；（2）若实数x0满足gn(x0)=x0，则称x0为稳定不动点，试求出所有这些稳定不动点；（3）设区间A=（–∞,0）,对于任意x∈A，有g1(x)=f(x)=a＜0, g2(x)=f［g1(x)］=f(0)＜0，且n≥2时，gn(x)＜0.试问是否存在区间B（A∩B≠），对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有gn(x)＜0.8.（★★★★）已知函数f(x)=(a＞0,x＞0).（1）求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数；

（2）若f(x)≤2x在(0,+∞)上恒成立，求a的取值范围；

（3）若f(x)在［m,n］上的值域是［m,n］(m≠n)，求a的取值范围.参 考 答 案

●重点重点难点磁场

1.解析：设t=3x，则t∈［1,3］，原不等式可化为a2–a–3＞–2t2+t,t∈［1,3］.等价于a2–a–3大于f(t)=–2t2+t在［1,3］上的最大值.答案：(–∞,–1)∪(2,+∞)2.解：（1）当a=1,b=–2时，f(x)=x2–x–3，由题意可知x=x2–x–3，得x1=–1,x2=3.故当a=1,b=–2时，f(x)的两个不动点为–1,3.（2）∵f(x)=ax2+(b+1)x+(b–1)(a≠0)恒有两个不动点，∴x=ax2+(b+1)x+(b–1)，即ax2+bx+(b–1)=0恒有两相异实根 ∴Δ=b2–4ab+4a＞0(b∈R)恒成立.于是Δ′=(4a)2–16a＜0解得0＜a＜1 故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1.（3）由题意A、B两点应在直线y=x上，设A(x1,x1),B(x2,x2)又∵A、B关于y=kx+ 对称.∴k=–1.设AB的中点为M(x′,y′)∵x1,x2是方程ax2+bx+(b–1)=0的两个根.∴x′=y′=，又点M在直线 上有，即

∵a＞0，∴2a+ ≥2 当且仅当2a= 即a= ∈(0,1)时取等号，故b≥–，得b的最小值–.●歼灭重点重点难点训练

一、1.解析：考查函数y1= 和y2=(2a)x的图象，显然有0＜2a＜1.由题意 得a=，再结合指数函数图象性质可得答案.答案：A 2.解析：由题意可得f(–x+1)=–f(x+1).令t=–x+1，则x=1–t，故f(t)=–f(2–t)，即f(x)=–f(2–x).当x＞1,2–x＜1，于是有f(x)=–f(2–x)=–2(x–)2–，其递减区间为［，+∞).答案：C-3-3.解析：显然有x＞3，原方程可化为

故有(10–a)•x=29,必有10–a＞0得a＜10 又x= ＞3可得a＞.答案： ＜a＜10 4.解析：原式化为.当 ＜–1,ymin=1+m=–4 m=–5.当–1≤ ≤1,ymin= =–4 m=±4不符.当 ＞1，ymin=1–m=–4 m=5.答案：±5

二、5.解：(1)令2x=t(t＞0)，设f(t)=t2–4t+a.由f(t)=0在(0,+∞)有且仅有一根或两相等实根，则有 ①f(t)=0有两等根时，Δ=0 16–4a=0 a=4 验证：t2–4t+4=0 t=2∈(0,+∞)，这时x=1 ②f(t)=0有一正根和一负根时,f(0)＜0 a＜0 ③若f(0)=0，则a=0，此时4x–4•2x=0 2x=0（舍去），或2x=4,∴x=2，即A中只有一个元素

综上所述，a≤0或a=4，即B={a｜a≤0或a=4}（2）要使原不等式对任意a∈(–∞,0］∪｛4｝恒成立.即g(a)=(x–2)a–(x2–6x)＞0恒成立.只须

＜x≤2 6.解：（1）∵方程ax2+bx=2x有等根，∴Δ=(b–2)2=0,得b=2.由f(x–1)=f(3–x)知此函数图象的对称轴方程为x=– =1得a=–1，故f(x)=–x2+2x.（2）f(x)=–(x–1)2+1≤1，∴4n≤1，即n≤

而抛物线y=–x2+2x的对称轴为x=1 ∴n≤ 时，f(x)在［m,n］上为增函数.若满足题设条件的m,n存在，则

又m＜n≤ ,∴m=–2,n=0，这时定义域为［–2,0］，值域为［–8,0］.由以上知满足条件的m、n存在，m=–2,n=0.7.(1)证明：当n=1时，g1(x0)=x0显然成立； 设n=k时，有gk(x0)=x0(k∈N)成立，则gk+1(x0)=f［gk(x0)］=f(x0)=g1(x0)=x0 即n=k+1时，命题成立.∴对一切n∈N,若g1(x0)=x0，则gn(x0)=x0.（2）解：由（1）知，稳定不动点x0只需满足f(x0)=x0 由f(x0)=x0，得6x0–6x02=x0,∴x0=0或x0= ∴稳定不动点为0和.(3)解：∵f(x)＜0，得6x–6x2＜0 x＜0或x＞1.∴gn(x)＜0 f［gn–1(x)］＜0 gn–1(x)＜0或gn–1(x)＞1 要使一切n∈N,n≥2，都有gn(x)＜0，必须有g1(x)＜0或g1(x)＞1.由g1(x)＜0 6x–6x2＜0 x＜0或x＞1 由g1(x)＞0 6x–6x2＞1

故对于区间()和(1,+∞)内的任意实数x,只要n≥2,n∈N，都有gn(x)＜0.8.(1)证明：任取x1＞x2＞0,f(x1)–f(x2)=

-4-∵x1＞x2＞0,∴x1x2＞0，x1–x2＞0, ∴f(x1)–f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，故f(x)在(0,+∞)上是增函数.（2）解：∵ ≤2x在(0,+∞)上恒成立，且a＞0, ∴a≥ 在（0，+∞）上恒成立，令（当且仅当2x= 即x= 时取等号），要使a≥ 在(0,+∞)上恒成立，则a≥.故a的取值范 围是［ ,+∞).(3)解：由（1）f(x)在定义域上是增函数.∴m=f(m),n=f(n)，即m2– m+1=0，n2– n+1=0 故方程x2– x+1=0有两个不相等的正根m，n，注意到m•n=1，故只需要Δ=()2–4＞0,由于a＞0，则0＜a＜.重点难点37 数形结合思想

数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合.应用数形结合思想，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决.运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征.●重点难点磁场

1.曲线y=1+(–2≤x≤2)与直线y=r(x–2)+4有两个交点时，实数r的取值范围

.2.设f(x)=x2–2ax+2,当x∈［–1,+∞)时，f(x)＞a恒成立，求a的取值范围.●案例探究

［例1］设A={x｜–2≤x≤a}，B={y｜y=2x+3，且x∈A}，C={z｜z=x2，且x∈A }，若C B，求实数a的取值范围.命题意图：本题借助数形结合，考查有关集合关系运算的题目.属★★★★级题目.知识依托：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合C.进而将C B用不等式这一数学语言加以转化.错解分析：考生在确定z=x2，x∈［–2,a］的值域是易出错，不能分类而论.巧妙观察图象将是上策.不能漏掉a＜–2这一种特殊情形.技巧与方法：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，利用数形结合的思想来解决.解：∵y=2x+3在［–2, a］上是增函数

∴–1≤y≤2a+3，即B={y｜–1≤y≤2a+3} 作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：

①当–2≤a≤0时，a2≤z≤4即C={z｜z2≤z≤4} 要使C B,必须且只须2a+3≥4得a≥ 与–2≤a＜0矛盾.②当0≤a≤2时，0≤z≤4即C={z｜0≤z≤4}，要使C B，由图可知： 必须且只需

解得 ≤a≤2 ③当a＞2时，0≤z≤a2，即C={z｜0≤z≤a2}，要使C B必须且只需

-5-解得2＜a≤3 ④当a＜–2时，A= 此时B=C=，则C B成立.综上所述，a的取值范围是(–∞,–2)∪［ ,3］.［例2］已知acosα+bsinα=c, acosβ+bsinβ=c(ab≠0,α–β≠kπ, k∈Z)求证：

.命题意图：本题主要考查数学代数式几何意义的转换能力.属★★★★★级题目.知识依托：解决此题的关键在于由条件式的结构联想到直线方程.进而由A、B两点坐标特点知其在单位圆上.错解分析：考生不易联想到条件式的几何意义，是为瓶颈之一.如何巧妙利用其几何意义是为瓶颈之二.技巧与方法：善于发现条件的几何意义，还要根据图形的性质分析清楚结论的几 何意义，这样才能巧用数形结合方法完成解题.证明:在平面直角坐标系中，点A（cosα,sinα）与点B（cosβ, sinβ）是直线l:ax+by=c与单位圆x2+y2=1的两个交点如图.从而：｜AB｜2=(cosα–cosβ)2+(sinα–sinβ)2 =2–2cos(α–β)

又∵单位圆的圆心到直线l的距离

由平面几何知识知｜OA｜2–(｜AB｜)2=d2即

∴.●锦囊妙计

应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1）集合的运算及韦恩图（2）函数及其图象

（3）数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4）方程（多指二元方程）及方程的曲线

以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图象；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法.以数助形常用的有：借助于几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合.●歼灭重点难点训练

一、选择题

1.（★★★★）方程sin(x–)= x的实数解的个数是（）A.2

B.3

C.4

D.以上均不对

2.（★★★★★）已知f(x)=(x–a)(x–b)–2（其中a＜b，且α、β是方程f(x)=0的两根（α＜β，则实数a、b、α、β的大小关系为（）A.α＜a＜b＜β

B.α＜a＜β＜b C.a＜α＜b＜β

D.a＜α＜β＜b

二、填空题

3.（★★★★★）(4cosθ+3–2t)2+(3sinθ–1+2t)2，(θ、t为参数)的最大值是

.4.（★★★★★）已知集合A={x｜5–x≥ },B={x｜x2–ax≤x–a}，当A B时，则a的取值范围是

.三、解答题

-6-5.（★★★★）设关于x的方程sinx+ cosx+a=0在（0,π）内有相异解α、β.（1）求a的取值范围；（2）求tan(α+β)的值.6.（★★★★）设A={(x,y)｜y= ,a＞0}，B={(x,y)｜(x–1)2+(y–3)2=a2,a＞0},且A∩B≠，求a的最大值与最小值.7.（★★★★）已知A（1，1）为椭圆 =1内一点，F1为椭圆左焦点，P为椭圆上一动点.求｜PF1｜+｜PA｜的最大值和最小值.8.（★★★★★）把一个长、宽、高分别为25 cm、20 cm、5 cm的长方体木盒从一个正方形窗口穿过，那么正方形窗口的边长至少应为多少？

参 考 答 案 ●重点难点磁场

1.解析：方程y=1+ 的曲线为半圆，y=r(x–2)+4为过（2，4）的直线.答案：（］

2.解法一：由f(x)＞a，在［–1,+∞)上恒成立 x2–2ax+2–a＞0在［–1,+∞)上恒成立.考查函数g(x)=x2–2ax+2–a的图象在［–1,+∞］时位于x轴上方.如图两种情况：

不等式的成立条件是：(1)Δ=4a2–4(2–a)＜0 a∈(–2,1)(2)a∈(–3,–2，综上所述a∈(–3,1).解法二：由f(x)＞a x2+2＞a(2x+1)令y1=x2+2,y2=a(2x+1),在同一坐标系中作出两个函数的图象.如图满足条件的直线l位于l1与l2之间，而直线l1、l2对应的a值（即直线的斜率）分别为1，–3，故直线l对应的a∈(–3,1).●歼灭重点难点训练

一、1.解析：在同一坐标系内作出y1=sin(x–)与y2= x的图象如图.答案：B 2.解析：a,b是方程g(x)=(x–a)(x–b)=0的两根，在同一坐标系中作出函数f(x)、g(x)的图象如图所示：

答案：A

二、3.解析：联想到距离公式，两点坐标为A(4cosθ,3sinθ),B(2t–3,1–2t)点A的几何图形是椭圆，点B表示直线.考虑用点到直线的距离公式求解.答案：

4.解析：解得A={x｜x≥9或x≤3}，B={x｜(x–a)(x–1)≤0}，画数轴可得.答案：a＞3

三、5.解：①作出y=sin(x+)(x∈(0,π))及y=– 的图象，知当｜– ｜＜1且– ≠

时，曲线与直线有两个交点，故a∈(–2,–)∪(– ,2).②把sinα+ cosα=–a,sinβ+ cosβ=–a相减得tan，故tan(α+β)=3.-7-6.解：∵集合A中的元素构成的图形是以原点O为圆心，a为半径的半圆；集合B中的元素是以点O′(1,)为圆心，a为半径的圆.如图所示

∵A∩B≠，∴半圆O和圆O′有公共点.显然当半圆O和圆O′外切时，a最小

a+a=｜OO′｜=2,∴amin=2 –2 当半圆O与圆O′内切时，半圆O的半径最大，即 a最大.此时 a–a=｜OO′｜=2,∴amax=2 +2.7.解：由 可知a=3,b= ,c=2，左焦点F1(–2,0),右焦点F2(2,0).由椭圆定义，｜PF1｜=2a–｜PF2｜=6–｜PF2｜, ∴｜PF1｜+｜PA｜=6–｜PF2｜+｜PA｜=6+｜PA｜–｜PF2｜ 如图：

由｜｜PA｜–｜PF2｜｜≤｜AF2｜= 知 – ≤｜PA｜–｜PF2｜≤.当P在AF2延长线上的P2处时，取右“=”号； 当P在AF2的反向延长线的P1处时，取左“=”号.即｜PA｜–｜PF2｜的最大、最小值分别为，–.于是｜PF1｜+｜PA｜的最大值是6+ ,最小值是6–.8.解：本题实际上是求正方形窗口边长最小值.由于长方体各个面中宽和高所在的面的边长最小，所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口边长尽量地小.如图：

设AE=x,BE=y, 则有AE=AH=CF=CG=x，BE=BF=DG=DH=y ∴

∴.高考数学重点难点突破 重点难点38 分类讨论思想.txt人永远不知道谁哪次不经意的跟你说了再见之后就真的再也不见了。一分钟有多长？这要看你是蹲在厕所里面，还是等在厕所外面„„

重点难点38 分类讨论思想

分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决.分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论.”

●重点难点磁场

1.（★★★★★）若函数在其定义域内有极值点，则a的取值为

.2.（★★★★★）设函数f(x)=x2+｜x-a｜+1，x∈R.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的最小值.●案例探究

［例1］已知{an}是首项为2，公比为的等比数列，Sn为它的前n项和.（1）用Sn表示Sn+1;

（2）是否存在自然数c和k，使得成立.命题意图：本题主要考查等比数列、不等式知识以及探索和论证存在性问题的能力，属★★★★★级题目.知识依托：解决本题依据不等式的分析法转化，放缩、解简单的分式不等式；数列的基本性质.错解分析：第2问中不等式的等价转化为学生的易错点，不能确定出.技巧与方法：本题属于探索性题型，是高考试题的热点题型.在探讨第2问的解法时，采取优化结论的策略，并灵活运用分类讨论的思想：即对双参数k,c轮流分类讨论，从而获得答案.解：（1）由Sn=4(1-），得

，(n∈N*)

（2）要使，只要

因为

所以，(k∈N*)

故只要Sk-2＜c＜Sk，（k∈N*）

因为Sk+1＞Sk，(k∈N*)

①

所以Sk-2≥S1-2=1.又Sk＜4，故要使①成立，c只能取2或3.当c=2时，因为S1=2，所以当k=1时，c＜Sk不成立，从而①不成立.当k≥2时，因为，由Sk＜Sk+1(k∈N*)得

Sk-2＜Sk+1-2

故当k≥2时，Sk-2＞c，从而①不成立.当c=3时，因为S1=2，S2=3，所以当k=1，k=2时，c＜Sk不成立，从而①不成立

因为，又Sk-2＜Sk+1-2

所以当k≥3时，Sk-2＞c，从而①成立.综上所述，不存在自然数c,k,使成立.［例2］给出定点A（a,0)（a＞0）和直线l：x=-1，B是直线l上的动点，∠BOA的角平分线交AB于点C.求点C的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与a值的关系.命题意图：本题考查动点的轨迹，直线与圆锥曲线的基本知识，分类讨论的思想方法.综合性较强，解法较多，考查推理能力和综合运用解析几何知识解题的能力.属★★★★★级题目.知识依托：求动点轨迹的基本方法步骤.椭圆、双曲线、抛物线标准方程的基本特点.错解分析：本题易错点为考生不能巧妙借助题意条件，构建动点坐标应满足的关系式和分类讨论轨迹方程表示曲线类型.技巧与方法：精心思考，发散思维、多途径、多角度的由题设条件出发，探寻动点应满足的关系式.巧妙地利用角平分线的性质.解法一：依题意，记B（-1，b)，(b∈R），则直线OA和OB的方程分别为y=0和y=-bx.设点C(x,y)，则有0≤x＜a，由OC平分∠AOB，知点C到OA、OB距离相等.根据点到直线的距离公式得｜y｜=

①

依题设，点C在直线AB上，故有

由x-a≠0，得

②

将②式代入①式，得y2［(1-a)x2-2ax+(1+a)y2］=0 若y≠0，则

(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)若y=0则b=0,∠AOB=π，点C的坐标为（0，0）满足上式.综上，得点C的轨迹方程为

（1-a）x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a(i)当a=1时，轨迹方程化为y2=x(0≤x＜1

③ 此时方程③表示抛物线弧段；(ii)当a≠1，轨迹方程化为

④

所以当0＜a＜1时，方程④表示椭圆弧段； 当a＞1时，方程④表示双曲线一支的弧段.解法二：如图，设D是l与x轴的交点，过点C作CE⊥x轴，E是垂足.（i）当｜BD｜≠0时，设点C(x,y)，则0＜x＜a，y≠0 由CE∥BD，得.∵∠COA=∠COB=∠COD-∠BOD=π-∠COA-∠BOD ∴2∠COA=π-∠BOD ∴

∵

∴整理，得

(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0＜x＜a)(ii)当｜BD｜=0时，∠BOA=π，则点C的坐标为(0,0)，满足上式.综合(i)、(ii)，得点C的轨迹方程为(1-a)x2-2ax+(1+a)y2=0(0≤x＜a)以下同解法一.解法三：设C(x,y)、B(-1,b)，则BO的方程为y=-bx，直线AB的方程为

∵当b≠0时，OC平分∠AOB，设∠AOC=θ，∴直线OC的斜率为k=tanθ,OC的方程为y=kx于是

又tan2θ=-b ∴-b=

① ∵C点在AB上 ∴

②

由①、②消去b，得

③ 又，代入③，有

整理，得(a-1)x2-(1+a)y2+2ax=0

④

当b=0时，即B点在x轴上时，C(0,0)满足上式：

a≠1时，④式变为

当0＜a＜1时，④表示椭圆弧段；

当a＞1时，④表示双曲线一支的弧段； 当a=1时，④表示抛物线弧段.●锦囊妙计

分类讨论思想就是依据一定的标准，对问题分类、求解，要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则.分类讨论常见的依据是：

1.由概念内涵分类.如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类.2.由公式条件分类.如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等.3.由实际意义分类.如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论.在学习中也要注意优化策略，有时利用转化策略，如反证法、补集法、变更多元法、数形结合法等简化甚至避开讨论.●歼灭重点难点训练

一、选择题

1.（★★★★）已知其中a∈R，则a的取值范围是（）

A.a＜0

B.a＜2或a≠-2

C.-2＜a＜2

D.a＜-2或a＞2

2.（★★★★★）四面体的顶点和各棱的中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有（）

A.150种

B.147种

C.144种

D.141种

二、填空题

3.（★★★★）已知线段AB在平面α外，A、B两点到平面α的距离分别为1和3，则线段AB的中点到平面α的距离为

.4.（★★★★★）已知集合A={x｜x2-3x+2=0},B={x｜x2-ax+(a-1)=0}，C={x｜x2-mx+2=0}，且A∪B=A，A∩C=C，则a的值为，m的取值范围为

.三、解答题

5.（★★★★）已知集合A={x｜x2+px+q=0}，B={x｜qx2+px+1=0},A,B同时满足：

①A∩B≠,②A∩B={-2}.求p、q的值.6.（★★★★）已知直角坐标平面上点Q（2，0）和圆C：x2+y2=1，动点M到圆C的切线长与｜MQ｜的比等于常数λ(λ＞0).求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线.7.(★★★★★)已知函数y=f(x)的图象是自原点出发的一条折线.当n≤y≤n+1(n=0,1,2,...)时，该图象是斜率为bn的线段（其中正常数b≠1），设数列{xn}由f(xn)=n(n=1,2,...)定义.（1）求x1、x2和xn的表达式；

（2）计算xn；

（3）求f(x)的表达式，并写出其定义域.8.（★★★★★）已知a＞0时，函数f(x)=ax-bx2

（1）当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2b;

（2）当b＞1时，证明：对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件是b-1≤a≤2；

（3）当0＜b≤1时，讨论：对任意x∈［0,1］,｜f(x)｜≤1的充要条件.-11-

参 考 答 案

●重点难点磁场

1.解析：即f(x)=(a-1)x2+ax-=0有解.当a-1=0时，满足.当a-1≠0时，只需Δ=a2-(a-1)＞0.答案：或a=1

2.解：(1)当a=0时，函数f(-x)=(-x)2+｜-x｜+1=f(x)，此时f(x)为偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2｜a｜+1.f(-a)≠f(a),f(-a)≠-f(a)

此时函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.（2）①当x≤a时，函数f(x)=x2-x+a+1=(x-)2+a+

若a≤，则函数f(x)在(-∞,a］上单调递减.从而函数f(x)在（-∞,a上的最小值为f(a)=a2+1

若a＞，则函数f(x)在（-∞,a上的最小值为f()=+a，且f()≤f(a).②当x≥a时，函数f(x)=x2+x-a+1=(x+)2-a+

若a≤-，则函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(-)=-a，且f(-)≤f(a)；

若a＞-，则函数f(x)在［a,+∞)单调递增.从而函数f(x)在［a,+∞］上的最小值为f(a)=a2+1.综上，当a≤-时，函数f(x)的最小值为-a；

当-＜a≤时，函数f(x)的最小值是a2+1；

当a＞时，函数f(x)的最小值是a+.●歼灭重点难点训练

一、1.解析：分a=

2、｜a｜＞2和｜a｜＜2三种情况分别验证.答案：C

2.解析：任取4个点共C=210种取法.四点共面的有三类：（1）每个面上有6个点，则有4×C=60种取共面的取法；（2）相比较的4个中点共3种；（3）一条棱上的3点与对棱的中点共6种.答案：C

二、3.解析：分线段AB两端点在平面同侧和异侧两种情况解决.答案：1或2

4.解析：A={1,2},B={x｜(x-1)(x-1+a)=0}，由A∪B=A可得1-a=1或1-a=2；

由A∩C=C，可知C={1}或.答案：2或3 3或（-2，2）

三、5.解：设x0∈A，x0是x02+px0+q=0的根.若x0=0，则A={-2,0}，从而p=2,q=0,B={-}.此时A∩B=与已知矛盾，故x0≠0.将方程x02+px0+q=0两边除以x02，得

.即满足B中的方程，故∈B.∵A∩={-2},则-2∈A,且-2∈.设A={-2,x0}，则B={}，且x0≠2（否则A∩B=）.若x0=-，则-2∈B,与-2B矛盾.又由A∩B≠,∴x0=，即x0=±1.-12-

即A={-2,1}或A={-2,-1}.故方程x2+px+q=0有两个不相等的实数根-2，1或-2，-1

∴

6.解：如图，设MN切圆C于N，则动点M组成的集合是P={M｜｜MN｜=λ｜MQ｜,λ＞0}.∵ON⊥MN,｜ON｜=1，∴｜MN｜2=｜MO｜2-｜ON｜2=｜MO｜2-1

设动点M的坐标为(x,y)，则

即（x2-1)(x2+y2)-4λ2x+(4λ2+1)=0.经检验，坐标适合这个方程的点都属于集合P，故方程为所求的轨迹方程.（1）当λ=1时，方程为x=，它是垂直于x轴且与x轴相交于点（，0）的直线；

（2）当λ≠1时，方程化为：

它是以为圆心，为半径的圆.7.解：（1）依题意f(0)=0，又由f(x1)=1，当0≤y≤1，函数y=f(x)的图象是斜率为b0=1的线段，故由

∴x1=1

又由f(x2)=2，当1≤y≤2时，函数y=f(x)的图象是斜率为b的线段，故由

即x2-x1= ∴x2=1+ 记x0=0，由函数y=f(x)图象中第n段线段的斜率为bn-1，故得

又由f(xn)=n,f(xn-1)=n-1 ∴xn-xn-1=()n-1,n=1,2,......由此知数列{xn-xn-1}为等比数列，其首项为1，公比为.因b≠1，得(xk-xk-1)=1++...+ 即xn=（2）由（1）知，当b＞1时，当0＜b＜1，n→∞, xn也趋于无穷大.xn不存在.（3）由（1）知，当0≤y≤1时，y=x，即当0≤x≤1时，f(x)=x;当n≤y≤n+1，即xn≤x≤xn+1由（1）可知 f(x)=n+bn(x-xn)(n=1,2,...),由（2）知 当b＞1时，y=f(x)的定义域为［0,);当0＜b＜1时，y=f(x)的定义域为［0,+∞).8.(1)证明：依设，对任意x∈R，都有f(x)≤1 ∵ ∴≤1 ∵a＞0,b＞0 ∴a≤2.（2）证明：必要性：

对任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1-1≤f(x），据此可以推出-1≤f(1)-13-

即a-b≥-1，∴a≥b-1

对任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1f(x)≤1.因为b＞1，可以推出f()≤1即a•-1≤1，∴a≤2,∴b-1≤a≤2

充分性：

因为b＞1，a≥b-1，对任意x∈［0,1］.可以推出ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x≥-1

即ax-bx2≥-1

因为b＞1,a≤2,对任意x∈［0,1］，可以推出ax-bx2≤2x-bx2≤1

即ax-bx2≤1,∴-1≤f(x)≤1

综上，当b＞1时，对任意x∈［0,1］，｜f(x)｜≤1的充要条件是b-1≤a≤2.(3)解：∵a＞0，0＜b≤1

∴x∈［0,1］,f(x)=ax-bx2≥-b≥-1

即f(x)≥-1

f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1

即a≤b+1

a≤b+1f(x)≤(b+1)x-bx2≤1

数形结合思想中学数学 篇3

关键词： 数学思想 数形结合思想 小学数学教学

数学是研究空间形式和数量关系的科学，而数形结合思想具体地说就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过“数”与“形”之间的对应和转换解决数学问题，因此数形结合思想是数学学习中重要的数学思想之一。

一、数形结合思想在小学数学教学中的作用

1.有利于加深学生对“数”与“形”关系的本质理解

数学是研究空间形式和数量关系的科学，“数”与“形”是数学学科研究的基本对象和基本内容。著名数学家华罗庚指出：“数缺少形时少直观，形缺少数时难入微。”这句话说明“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时又往往离不开“数”。

2.有利于实现解题策略的优化

在实际数学学习过程中，经常会遇到一些数量关系比较复杂、抽象的问题，当常规的思路和方法行不通的时候，不妨换个角度，运用数形结合思想考虑问题，或许就会有意想不到的收获。借助数形结合思想可以把复杂抽象的数学问题变得简单形象化，或者将复杂模糊的图形问题变得简明精确化，促进解题策略的优化。

3.有利于促进学生形象思维和抽象思维的共同发展

在小学阶段，学生思维的基本特点是从动作思维向直观形象思维再向初步逻辑思维过渡的，但仍然是以直观形象思维为主要形式的。为了遵循小学生的思维特点和学习规律，在实际数学教学过程中，可以引导学生采用数形结合的思想，运用“数”与“形”互相表示的方法，对抽象的数学知识进行编码和表征，通过具体形象的图形感知支撑抽象逻辑思维。

二、数形结合思想教学中常见的问题和对策

结合自身的教学实践和反思，我总结了如下一些在渗透数形结合思想时常见的问题和相应的对策。

1.教师方面

问题：急于完成教学任务，教师缺乏渗透“数形结合思想”的意识。

在小学数学教学中，对于数形结合的思想，教师通常认为没有概念和法则重要，在无意识或有意识的情况下，降低对数形结合思想教学的要求，甚至不做要求。

对策：教师加强学习“数形结合思想”的意识，仔细研读教材，运用数形结合思想设计教学。

由于数学思想大多具有隐蔽性、潜在性，因此教师在课前一定要仔细研读教材，对教材做出全面细致的解析，深刻挖掘教材中蕴含的数形结合思想，有意识地运用数形结合思想设计教学，力图使数形结合思想自然、和谐地贯穿整个教学过程中。

2.学生方面

问题：受到学生年龄特点及思维发展水平的限制。

由于受到小学生的认知发展水平和年龄特点的影响，学生对数形结合思想这一隐性知识的学习主动性不够高，学习兴趣不够浓厚，缺乏主动运用数形结合思想思考和解决问题的学习习惯。

对策1：遵循学生的认知发展规律，巧设问题情境，激发学生的学习兴趣。

遵循学生的认知发展规律是进行数学学习的首要条件，一切数学知识的学习都要以学生的认知发展水平为前提。兴趣是最好的老师，是学生主动学习最重要的内驱力，属于内部动机，教师在日常教学中要善于利用这一原理提高学生的学习主动性。为了达到这一目的，教师在日常教学中要以学生的学习兴趣为切入点，依托教材，创设符合具体知识信息相关的各种问题情境，让学生在教师所创设的各种生动有趣的情境中轻松地学习数形结合思想。

对策2：结合学生已有知识经验，紧密联系学生的生活实际，找准“数形结合”的最佳渗入点。

在渗透数形结合思想的教学过程中，任课教师在课前要进行精心的教学设计，通过巧设问题情境激发学生的学习兴趣，关于如何实施“数”与“形”在具体情境中的对应和转换，最基本的一点是结合学生的已有知识经验，紧密联系学生的生活实际，不能超出学生的已有知识范围，或者是脱离学生的生活实际。此外，教师还要善于选择适当的教学时段和教学内容进行数形结合思想的渗透，找到在一节课上，在什么时间点、讲到什么具体知识点时才是“数形结合”的最佳渗入点。

对策3：在练习和考评中运用数形结合思想，发挥运用数形结合思想解决问题的优势。

利用考试或测验的评价结果的导向功能，教师就要在一定程度上根据学生的学习反馈情况在日常教学中有意识地适时进行数形结合思想的渗透，注重指导学生利用直观图帮助他们理解抽象的数量关系和数学概念、规则等问题，使问题变得简明直观，让一些用常规思维理解起来有困难的问题迎刃而解。充分发挥评价的导向功能，通过组织各种各样的利用数形结合思想解决问题的专题考试或测验，如除了常规的列式解题外，还可以补充根据题目要求充分利用“形”的方式将题目中的数量关系形象、直观地表示出来，比如作线段图、树形图、结构图和集合图等。

浅谈初中数学数形结合思想 篇4

一﹑由数想形

1.借助数轴引导学生合理理解数学概念法则.

数轴是重要的数学学习工具, 借助其可直观表示较多数学问题, 令数形有机结合, 因此在初中数学教学中我们应合理应用数轴帮助学生整理绝对值的几何意义, 掌握数轴上任意两点间的距离等于两点所表示数的差的绝对值.

例1:已知|x-1|+|x+2|=3, 则x的取值范围为__ .

理解:|x-1|, |x+2|分别表示数轴上表示x与1、x与-2之间的距离, 则本题就可借助数轴找x到1和-2的距离和等于3的点在-2和1之间, 所以答案为-2≤x≤1.

变式1:已知|x-1|-|x+2|=3, 则x的取值范围为__ .

由上题可知, x到1和-2的距离差等于3, 因此本题要找的是x到1和-2的距离差等于3, 借助数轴发现x只能在-2的左边, 或1的右边, 所以答案为x≤-2或x≥1.

2.借助数轴引导学生分析不等式中部分解求范围问题.

例2:若不等式x-m≤0的正整数解为1、2、3, 则m的取值范围为__ .

解不等式得:x≤m.通过画数轴可知正整数解为1、2、3, m的大致范围在3和4之间, 再讨论m=3和m=4的情况, 当m=3时符合题意, 当m=4时, 不等式有4个正整数解为1、2、3、4.所以本题的答案为3≤m<4.

3.借助抛物线图像给定自变量取值范围求因变量范围.

例3:已知函数y=-x2+2x+4 (-2

分析:由自变量范围可知二次函数有意义图像在ACB这段曲线上, 经过图像的最高点, 所以函数在自变量范围内有最大值.当x=-2时, 函数最小值为-4;当x=1时, 函数最大值为5, 所以y的取值范围为-4

4.由数结构想到构造直角三角形利用勾股定理求最值.

从上文已经知道, 以形助数是根据代数问题所蕴含的几何意义, 将代数问题转化成几何问题并加以解决, 使得代数问题变几何化, 借助于几何图形直观地得到问题的结论, 使得原本抽象而复杂的问题变得更形象化、简易化.

二、由形知数

1.初中数学教学中应利用数形结合, 引导学生用代数方式有效解决识图问题.

例5:如图1, 在梯形ABCD中, AD∥BC, ∠A=60°, 动点P从A点出发, 以1cm/s的速度沿着A→B→C→D的方向不停移动, 直到点P到达点D后才停止.已知△PAD的面积S (单位:cm2) 与点P移动的时间 (单位:s) 的函数如图2所示, 则点P从开始移动到停止移动一共用了__ 秒 (结果保留根号) .

2.用代数的方法有效地解决几何图形中的翻折问题.

(1) 求∠OAB的度数;

(2) 求当点A′在线段AB上时, S关于t的函数关系式;

(3) 当纸片重叠部分的图形是四边形时, 求t的取值范围;

(4) S存在最大值吗?若存在, 求出这个最大值, 并求此时t的值;若不存在, 请说明理由.

∴∠OAB=60°.

(2) 当点A′在线段AB上时,

∵∠OAB=60°, TA=TA′,

∴△A′TA是等边三角形, 且TP⊥AB, TA=5-t,

(3) 当纸片重叠部分的图形是四边形时, 因△A′TA是等边三角形, 所以2

(4) S存在最大值.

(3) 当0

通过几何图形的变化, 用函数表达求最值是考试中常见的问题.因此在教学中应该引导学生画图, 结合图形用函数描述几何图形的变化.数形结合思想的应用往往能使一些错综复杂的问题变得直观, 解题思路非常清晰, 步骤非常明了.另外, 还可以激发学生学习数学的兴趣.

小学数学数形结合思想研究论文 篇5

1数学中的基本概念，数形结合思想渗透，促进学生理解

小学生的思维能力处在发展时期，他们以形象思维为主，抽象思维不及形象思维，对于“数”这样一个抽象的概念可能理解起来较为困难。因此，数学教师要学会在“数”中渗透数形结合的.思想，用直观的图形加深学生对抽象概念的理解和把握，从而实现抽象认识到感性认识———感性认识到理性认识的理解，提高教学的有效性。例如，在初次接触分数的概念时，学生一时半会难以理解，此时如果教师通过直观形象的图形或者是符号来展开教学，教学效果就会明显改善。数学教师可以用与1/2启发学生，这个图形十分直观明了，中间的分割线代表了分号的涵义，学生对分数的认识也就更加清晰和准确了。当然，除了这种做法之外，教师还可以引用古人的智慧，将阿拉伯人、中国古人的分数表达方式展示给学生，学生会对分数表示方式的发展历史有一个大致的了解，通过“形”对“分数”这一概念的认识更加深刻。小学阶段有许多关于数的学习，教师要积极挖掘概念中“形”的内容，找准数学概念与图形的联结点，推进课堂教学的顺利展开。事物的规律和内在联系往往比较抽象，采用数形结合的方法，将复杂抽象的问题直观化能够获得较好的教学效果。在苏教版数学教材《乘法的初步认识》这一节的执教过程中，最初，学生对“乘法”的概念不是很理解，笔者首先用多媒体技术向学生展示了一张图片：有一条小木船，船上坐着三个人，接着后面又“划”来了第二条船、第三条船一直到第五条船，这时候再让学生用数学式子来表示，学生采取了同数相加的形式写出了式子。接着，向学生提出了一个问题：“同学们，如果现在的船增加到100条呢，你们还这样一个一个加起来吗？”学生一听到之后若有所思，都在试图找到一种简单的办法，笔者不失时机地提出了“乘法”的概念，帮助学生轻松的掌握了这一抽象的知识。在这个案例中我们充分看到了数形结合思想对学生概念形成的重要作用。

2数学运算过程中，数形结合思想渗透，提升学生运算技能

数学计算在小学数学中占了较大的比例，更是学生数学学习的重要基础，将数形结合的思想渗透在运算的过程中可以提高学生的计算能力。很多时候学生在进行两位数加两位数的计算时只是机械的计算，还未形成“以形促思”的学习习惯，无法实现算理到算法的过渡。小学数学教师必须有意识地培养学生数形结合的思想，例如，在17+16的运算中，教师先让学生拿出数棒在桌上摆一摆，接着教师再结合数棒摆出来的图形向学生解释“满十进一”，建立图与数的关联，揭示数学计算的本质。

3数学深度学习中，渗透数形结合思想，发展学生的数感

数感对于学生数学学习十分重要，在数形结合中发展学生的数感是每一个小学数学教师的职责。单纯的数字在小学生的眼里没有实际意义，因此学生容易缺乏数感，培养学生的数感对于学生后期数学的深入学习意义重大。教师可以将各种有形的实物引入课堂教学，将数字形象化，帮助学生把握数的本质，培养学生良好的数感。例如，学生最初接触数字1、2、3……教师就相应的展示与数字对应的实物如一支笔、两朵花、三张纸等，学生的数感就在这个过程中得以培养。总之，教师要吃透数学教材，仔细分析教材的内容，结合学生的实际学习情况有步骤的展开教学，渗透数形结合思想。

4数学几何图形学习中，数形结合思想渗透，拓展空间观念

在学习几何知识时，数学教师也应当渗透数形结合的思想，帮助学生准确把握几何概念，帮助学生拓展空间观念。例如，为了让学生把握三角形的特征，数学教师可以用多媒体播放现实生活中的“三角形”图片，给学生直观的视觉刺激，使学生的脑海里存储大量与三角形有关的直观图形。接下来，教师再提供大量反例图形，引起学生的认知冲突，让学生经过不断的认知冲突来加深对三角形的理解和认识，拓展学生的空间观念，强化学生的空间想象力。整个教学过程中，教师巧妙的将数形结合的思想渗透到了教学中，教师并没有不断的向学生灌输“三角形是由三条线段围成的”这一数学思想，而是引入了大量直观、形象的图形，促进学生深入的思考。

5结语

数学学习十分看重学生的数学思维，小学生的数学思维能力是小学数学课程的重要培养目标，在素质教育时代，数学教师必须摒弃过去的教学方式，让学生形成数形结合的思维能力，培养学生借助形来解决数的问题。当学生掌握了数形结合的思维方式，遇到数学问题，学生则更容易看到抽象数学问题反映的本质，而不至于被迷惑，陷入了数学的困境。总之，数学教师要以学生为本，循序渐进的将数形结合的思想渗透到教学中来，让学生在数学学习中获得成就感和满足感。

参考文献：

[1]李文玲.“数形结合”思想在小学数学教学中的应用分析[J].西部素质教育，(1):173.

寓“数形结合”思想于数学教学中 篇6

关键词：数学结合；函数；简洁直观

著名数学家华罗庚教授说过：“数与形，本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”数形结合的优越性可以概述三点：一是能够直接导出结果；二是易于寻找解题思路；三是能避免复杂的计算和推理，简化解题过程。因此，數形结合由于其解题的直观性和简捷性被广泛应用于中学数学中。

作为一名中学数学教师，在教学中要善于挖掘数形结合的例子，提炼数形结合的思想，做好“数”与“形”关系的揭示和转化，引导学生用图形直观地研究数式问题，用数式对图形性质进行更为丰富、精确、深刻的探讨。下面用一些具体例子予以说明：如何将数形结合的思想寓于教学之中。

一、用数形结合思想解决实数问题

例1.化简a+2-2a-3。分析：-2、 将数轴分为三部分，应讨论化简。

解：依题意作图，如图1所示：

①当a<-2时，a+2-2a-3=-a-2+2a-3=a-5

②当-2≤a≤ 时，a+2-2a-3=a+2-（3-2a）=3a-1

③当a> 时，a+2-2a-3=-a+2-（2a-3）=-a+5

点评：将使绝对值为0的数标示于数轴上，可将实数分为几部分，然后进行讨论。很大一部分学生对这样的题目，解题思路混乱，即使知道要讨论思路也不清晰，引入数轴以后，数轴就把所有的实数像串糖葫芦一样串起来，这样只需要根据数轴从左到右进行讨论，不重不漏，接受和理解起来也很容易。

二、用数形结合思想解决一次函数问题

例2.直线y=kx+b：经过A（-2，-1）和B（-3，0）两点，则不等式组 x解法一：把A（-2，-1）和B（-3，0）代入y=kx+b，得：

-2k+b=-1-3k+b=0，解得：k=-1b=-3

数形结合思想在数学中的应用 篇7

在数学教学中, 教师应不断地引导学生将两者巧妙地结合起来分析问题, 使学生的思维更加开阔, 能够快速、有效地解决问题。下面结合中学数学教学的现状, 阐述数形结合思想在初中数学教学中的应用。

1. 数形结合思想在有理数中的应用

从数形结合的角度出发, 借助数轴处理好绝对值的意义与不等式的解集在数轴上的表示。

例1.如解不等式│x-2│<4, 借这个不等式时, 可以根据绝对值的几何意义, 计算出-2<x<6。

在解决不等式问题时, 要结合实数与数轴上的点的对应关系, 由图得出结果。

2. 数形结合思想在函数中的应用

例2.一次函数y=kx+b的图像过A (-3, 0) , B (0, 2) 两点, 则kx+b>0的解集是 () 。

分析:由题意知, 此一次函数图像为直线, 经过点A、点B, 已知两点画出图像如下:

要使kx+b>0就是函数值y>0, 联系图像, 当x>-3时, 图像均位于x轴的上方, 即对应的y=kx+b对应值为正。所以解集是x>-3, 故答案选C。

在解决函数问题时, 可联想函数与图象的对应关系, 从而启发思维, 找到解题之路。

3. 数形结合在圆中的应用

例3.如图, ⊙C经过坐标原点, 并与坐标轴分别交于A、D两点, 点B在⊙C上, ∠B=30°, 点D的坐标为 (0, 2) , 求A、C两点的坐标。

解: (1) 连结AC, OC, 过点C分别作CM⊥OD于M, CN⊥OA于N。

∵点B在⊙C上, ∠B=30°,

∴△CAO是等边三角形。

∵CM⊥OD, 点C为圆心, 点D的坐标为 (0, 2) ,

在解决圆的问题时, 要准确作出辅助线, 利用化归的办法找到解题途径。

数形结合思想中学数学 篇8

一、数形结合思想在集合章节问题解答中的运用

在解决集合的问题中,需要利用图形符号进行有效解析.

问题: 已知有两个集合A,B,如果现在知道A = { x| x2+ 4x = 0} ,B = { x | x2+ 2( a + 1) x + a2- 1 = 0} ,其中x∈R,并且A∩B = B,试求出实数a的取值范围是多少.

分析: 此问题是关于集合方面的数学解析题. 通过问题条件以及解题要求,可以发现,主要是考查对集合的包含关系判断及应用等知识内容. 在解析过程中,根据集合的包含关系定义以及性质,可以通过以形助数的方式,借助于数形结合解题思想进行分析研析. 通过问题条件,画出图形,求出集合A,然后再根据A∩B = B这一条件,通过图形表示,从而导出集合B的可能结果,得出一元二次方程组,根据根的判别式与系数之间的内在关系,综合考虑,确定实数a的取值范 围是a = 1, a≤ - 1.

点评: 上述集合问题案例,主要是考查学生对集合的包含关系的判断和应用等方面的运用能力,应该通过数形结合的解题思想进行研究分析,较为直观形象.

二、数形结合思想在三角函数问题解答中的运用

在解析三角函数方面问题时,解析关于函数单调性、奇偶性、值域等问题时,可结合图像内容,借助图形符号进行直观形象的展示,从而让高中生能够借助直观、明晰的函数图像内容, 实现对三角函数问题的有效解析[2].

问题: 已知有一个函数,它的函数为f( x) = sinxcosx + sin2x. 试求出这个函数f( x) 的值域以及最小正周期; 如果现在已知 α ∈( 0,π) ,并且函数f( α) 的值为1,试求出 α 此时的值为多少?

分析: 该问题主要考查三角函数的图像和性质中,正弦函数的定义域和值域、三角函数的化简求值、三角函数的周期及其求法等内容的掌握运用能力,解析此类型问题案例时,通过可以采用“以形补数”的方式,画出符合题意的三角函数图像, 进行认知和分析. 通过三角函数图像性质以及所揭示的问题条件,在求函数f( x) 的值域以及最小正周期时,可以先利用二倍角公式和两角和公式知识点内容,开展函数解析式化简整理工作,然后根据正弦函数的性质从而求得该函数的最大和最小值, 根据函数图像显著的值域范围,借助于三角函数的周期公式性质内容,最终求得这一函数的最小正周期. 在求 α 的值为多少时,根据三角函数图像内容可以发现,实际只要利用函数f( x) 的解析式,将x为 α 这一情况,代入到方程式中,得到 α 值为.

三、数形结合思想在不等式问题解答中的运用

在面对解不等式、不等式恒成立、证明不等式问题以及不等式最值问题以及简单的线性规划问题等案例内容,通常需要借助于数形结合教学思想,利用图形符号的直观性和形象性特征, 进行观察、分析、解答不等式问题活动.

问题: 已知有一个函数z = x + y,其中变量x和y之间,满足其约束条件为1) 试确定出这一函数可行域的面积为多少. ( 2) 利用不等式的相关性质内容,求出这一函数中的所有最优解的值.

分析: 通过对上述问题条件及解题要求的分析,可以发现,该问题实际是不等式章节中,关于解决简单的线性规划方面的问题案例. 要求函数的可行域面积时, 应该先要作出该函数的可行域图像( 如图1所示) ,然后根据作出的可行域的图象进行分析,即可求出这一函数的可行域的面积; 要求出函数的所有最优解,应利用函数z所具有的几何意义,结合数形结合解题思想,确定平移直线的方程为y = - x + z,分析图像,可知如果平行直线经过点O,此时直线y = - x + z截距最小,而经过点C( 4,2) 时,则直线y = - x + z截距最大,因此,得到线性规划问题中,该函数的最优解为( 4,2) ,( 0,0) . 此时z最大为z = 4 + 2 = 6,故该线性规划问题中所有的最优解为( 4,2) ,( 0,0) . 直线利用数形结合即可求出该线性规划问题中所有的最优解.

摘要：高中数学是抽象的数字语言与直观的图像模型有效结合的“统一整体”.本文作者就高中阶段数学问题解析中“数形结合”解题思想的运用,进行了简要论述.

数形结合思想中学数学 篇9

一、通过渗透数形结合, 培养学生解决问题的能力

知识源于生活, 在日常生活中存在许多数学现象和数学问题, 学生对生活中的数形知识也有所了解, 例如, 绳子上的小结、温度计上的数字、每位学生在教室的座位等。初中数学教师可以充分利用学生对数形知识的基本认识, 将数学知识与生活中的有关现象结合起来, 在数学教学中渗透数形结合的思想, 培养学生运用数形结合解决数学问题的能力。例如, 存在许多数量关系的代数问题, 若将这些抽象概念和解析式赋予几何意义, 用几何图形表现出来, 可以使数学问题变得直观而形象, 达到事半功倍的教学效果。

二、通过学习数形结合, 锻炼学生解决问题的灵活性

在运用数形结合思想解题时, 首先要让学生了解数形结合思想的关键是找准数与形的契合点, 并结合对象的属性巧妙结合并转化, 最终解决数学问题。在解决代数问题的时候, 可以根据其图形意义启发思维, 寻找解题的思路;研究图形问题的时候, 可以利用代数的性质进行解决, 从而实现抽象的概念和具体的形象相结合, 化复杂为简单, 化困难为容易, 化抽象为直观。数学家华罗庚先生说过:“数缺形时少直观, 形少数时难入微;数形结合百般好, 隔裂分家万事非。”因此数形结合占据数学思想方法的核心地位, 对解决数学问题具有重要作用。

例如, 在一段线段AD上有两点B和C, AB线段的中点是点M, CD线段的中点是点N, 如果已知线段AD长为a, BC长为b, 求线段MN的值是多少。

分析:该例题可以运用数形结合的思想进行解题, 一方面图形表述可以更清晰地表达数字计算, 另一方面数字计算可以更加精确地表达图形的意义, 实现数与形的优势互补。

解:将例题中的各个点在线段上表示出来, 并画出各个点之间的位置关系, 如图2所示。

三、巧妙运用数形结合, 利于学生感受数学的唯美性

数学这门学科也存在许多形式上的美感, 例如三角函数公式存在轮换之美、直线图形的简洁之美、椭圆和双曲线的对称之美以及圆形的和谐之美, 等等。在初中数学教学中, 教师可以引导学生感受数学的唯美性, 从而提高学生的审美意识, 培养学生的审美情操。例如, 在运用数形结合思想解决数学问题的时候, 必须考虑数学图形的完整性, 不仅要对解题的局部图形进行考虑, 更要对整体图形进行全盘思考。

例:二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 的图象如图3所示, 根据图象有下列判断, 其中错误的是 ()

A.a<0 B.b<0 C.c<0 D.b2-4ac<0

通过分析可以有两种解法,

解法一:利用图象排除。

因为根据二次函数图形得知开口向下, 所以a<0正确, 当x=0时, y=c<0, 即C正确, 因为图中抛物线和x轴没有交点, 所以b2-4ac<0, D也是正确的选项, 所以答案为B。

解法二:根据图形直接判断。

因为抛物线是向下开口, a<0, 所以b>0, 所以选择B。

由上述解题思路的讲解, 可以使初中学生更加理解数形结合思想, 凭借对数学图形的审美思维, 加深对数学问题的本质的理解, 并在对数学图形的整体考虑中得到答案, 有效提升学生的逻辑思维能力。

数形结合思想在高考数学中的运用 篇10

数形结合思想是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题的思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图像进行结合和相互转化, 以寻找解题思路. 在解数学题中, 利用数形结合思想可优化解题过程, 使复杂问题简单化, 快速准确解决问题. 著名数学家华罗庚也曾说: “数形本是两依倚, 焉能分作两边飞. 数缺形时少直观, 形少数时难入微. ”可见, 数学中的数和形要紧密结合, 不可分离.

2014年高考考试大纲明确指出要重视数学思想方法的考查, 而数形结合思想就成了高考中的重要考点. 高考中数形结合思想的考查主要集中在选择题、填空题中. 因此, 灵活巧妙的运用数形结合思想可有针对性的在解决高考选择题、填空题中发挥奇特的功效, 能在提高数学解题正确率的同时, 大大提高解题速度, 为简答题以及检查试卷争取时间, 为得高分奠定基础. 数形结合常包括以形助数、以数助形、数形互助三个方面.下面就以2014年高考数学试卷为例, 分别就这三个方面对数形结合思想进行说明.

一、以形助数

以形助数就是通过由形到数的转化, 通过研究直观的图像性质来帮助解决数的问题, 以达到数形结合, 解决问题的目的.在高考选择题、填空题中, 考查数形结合思想主要考查的即是以形助数.

例1 (2014年辽宁) 已知a = 2-1/3 , b = log21/3, c = log1/21/3, 则 ( )

( A) a > b > c ( B) a > c > b

( C) c > a > b ( D) c > b > a

解析: 这是“数”比较大小的问题, 有一定的难度, 但考虑到将数转化成形, 以形助数, 问题就变的简单了. 由题意画出三个函数y = 2-x, y = log2x, y = log 1/2x的图像, 如图1, 由图像可得当x =1/3时, c > a > b.

注: 对于函数比较大小的问题, 借助函数的图像进行观察分析, 以形助数, 可更直观更快速地解决问题.

例2 (2014年全国) 若函数f ( x) = cos2x + asinx在区间 (π/6, π/2) 是减函数, 则a的取值范 围是_______.

解析: 观察到函数f ( x) 可先化为只关于sinx的函数f ( x) = cos2x+ asinx = - 2sin2x + asinx + 1. 下面令t = sinx进行换元, 则f ( x) 可转化为函数f ( t) = - 2t2+ at + 1 ( 0≤t≤1) , 这是一个关于t的二次函数.这里还要注意t的取值范围是0≤t≤1. 现在问题就转化成了二次函数的性质问题. 即得到f ( t) = - 2t2+at + 1 ( 0≤t≤1) 在区间 (1/2, 1) 上是减函数. 画出f ( t) 图像, 如图, 开口向下, 对称轴为t =a/4, 由图像可得a/4≤1/2, 所以x∈ ( - ∞, 2], 故a的取值范围是 ( - ∞, 2].

注: 三角函数是一类特殊的函数, 在研究其单调性时, 一般采用的是研究三角函数的性质, 但若得到的三角函数式是一个二次函数时, 则就需换元, 通过研究二次函数的图像来解决问题.

例3 (2014年山东) 已知函数f ( x) =| x -2| +1, g ( x) =kx. 若方程f ( x) = g ( x) 有两个不相等的实根, 则实数k的取值范围是 ()

( A) (0, 1/2) ( B) (1/2, 1) ( C) (1, 2) ( D) (2, +∞)

解析: 注意到f ( x) 含有绝对值, 先分类讨论, 当x - 2≥0, 即x≥2时, f ( x) = x -2 +1 = x -1, 当x -2 < 0, 即x < 2时, f ( x) = 2 - x + 1 = 3 - x. 在坐标轴中作出f ( x) 的图像, 如图3, f ( x) 的图像最低点是 ( 2, 1) , g ( x) = kx过定点 ( 0, 0) . 所以通过图形可看出g ( x) 过原点和 ( 2, 1) 时斜率最小为1/2, 斜率最大时g ( x) 的斜率与f ( x) = x - 1的斜率一致, 即k= 1. 故k的取值范围为 (1/2, 1) , 选 ( B) .

注: 方程的解的问题, 可通过方程所表示的几何意义与图形建立联系, 以形助数, 将方程所表达的抽象数量关系转化为图形的位置关系来解决.

二、以数助形

涉及到图形的问题, 大多数都借助数的知识, 转化为数的关系进行研究, 这就是以数助形的方法. 运用代数知识研究几何问题, 以数助形, 是数形结合思想的另一方面.

例4 (2014年福建) 若函数y =logax ( a > 0且a≠1) 的图象如图4所示, 则下列函数图像正确的是 ( )

解析: 由题目所给图像可知, 函数过点 ( 3, 1) , 即loga3 = 1, 所以得到a = 3. 将a = 3依次带入 ( A) ( B) ( C) ( D) 四个选项中, 并观察 ( A) ( B) ( C) ( D) 中函数表达式所对应的图像, 很显然 ( A) ( C) ( D) 错误, 故选 ( B) .

注: 数与形相互对应, 把图形中隐藏的数量关系找出来, 将“形”的问题转化为“数”的问题, 以数助形, 是解决图形问题的一个好做法.

三、数形互助

在常规解题中, 有时会将上述两种形式结合起来, 既以形助数, 又以数助形, 灵活转化, 这就是数形互助.

例5 (2014年山东) 已知函数y = loga ( x + c) ( a, c为常数, 其中a > 0, a≠1) 的图像如图5, 则下列数, 其中a > 0, a≠1) 的图像如图5, 则下列结论成立的是 ( )

( A) a > 0, c > 1

( B) a > 1, 0 < c < 1

( C) 0 < a < 1, c > 1

( D) 0 < a < 1, 0 < c < 1

解析: 这是“形”和“数”灵活互化的问题, 形中隐数, 数中有形. 看到对数函数, 首先会想到对数函数y = logax ( a > 0且a≠1) 的两种图像, 0 < a < 1时, 图像单调递减, a > 1时, 图像单调递增, 并且两种图像都经过点 ( 1, 0) , 以数助形. 由题目所给图像是单调递减的性质, 可得0 < a < 1, 又注意到y = logax的函数图像向左平移小于1个单位, 故0 < c < 1, 故选 ( D) . 这里又以形助数, 进行数形相互转化, 从而数形互助, 解决问题.

例6 (2014年新课标卷) 不等式组的解集记为D, 有下面四个命题: ( )

其中真命题是 ( )

( A) p2, p3 ( B) p1, p2 ( C) p1, p4 ( D) p1, p3

解析: 在直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域, 如图6, 并分别画出p1, p2, p3, p4不等式所表示的区域, 由图像可看出p3, p4为假, p1, p2为真, 故选 ( B) .

注: 不等式组解的问题可用图像中平面区域来表示, 即由数转化为形, 然后通过观察平面区域的范围来确定命题的真假, 即由形再转化为数, 数形互助, 相互转化, 从而解决问题.

基于数形结合思想的数学教学 篇11

一、数形结合思想的初步认识

只有数据而缺乏图示的信息，显得不够形象直观；只有图形而没有数据的描述，难以细致全面地深入分析信息.因此，教学中，我们提倡抽象与直观因素的有机结合，也就是数学中常用到的“数形结合”思想.其实质是代数与几何的巧妙融合和灵活转化.数形结合思想指导我们在抽象数学思维和形象图形思维之间进行合理转化，把精确的代数刻画与形象的几何描绘统一起来，这样便能够凸显数学问题的本质所在，很多问题的解决也变得简单快捷.在初中数学教学中，教师要积极引导学生学会利用数形结合思想方法分析问题.在数形结合思想的教学中，教师可以从几个主要的角度入手.建立不等式、方程、函数等代数模型；通过几何图形或函数图像等几何模型来解决方程和函数问题；解决与函数有关的代数和几何的综合性题目；用适当的图像呈现题目的数学信息.数形结合思想的关键是准确找出数与形的结合点，学生要善于借助归纳类比法、观察分析法、综合概括法等其他方法，发现题目中数与形的结合点.

二、数形结合思想的深层渗透

在初中数学教学中，教师要学会通过对数学基本概念的深入分析，将数形结合思想深入到整个数学体系当中.数学概念反映的是一类对象的属性，是对一类知识点本质的高度概括，同时也是进行数学推断，建立数学定理、法则和公式的依据.因此，将数学概念作为扩展数形结合思想的立足点，不仅能够反映事物在数量以及空间层面的本质属性，还有利于思想方法在同类知识中的大范围扩散.数形结合思想全面渗透到每一个数学概念之中，能够帮助学生进一步把握概念的本质，同时也为数形结合这一抽象的思想方法寻到了一个具体有效的载体.在对渗透了数形结合思想的数学概念进行理解的基础上，再进一步运用数形结合思想解决具体题目.此时，教师要发挥例题的作用，通过分析典型例题来明确运用数形结合思想的具体思路.

在实数内容的学习中，我们将实数直观的定义为和数轴上的点一一对应的数，这很好地凸显出了数形结合思想的应用.直线是无限多个点的集合，实数也包含了正实数、零和负实数在内的无数个数字.两者在数量上存在共性，因此，直线上的点可以表示实数.由此，我们引入了数轴——规定了原点、正方向和单位长度的直线就是数轴.建立了数轴上的点与实数一一对应的关系.今后在学习绝对值、相反数、有理数等内容的时候，也可以利用数轴做更为直观的理解.除此之外，在学习一元一次不等式和一元一次不等式组的相关内容时，在数轴上表示不等式的解集，学生就能够更加直观地理解不等式的解集问题.“数轴”所蕴含的“数形结合”思想，即是数学概念与数形结合思想的有机渗透，有助于学生进一步强化对数形结合思想的全面掌握.

函数及其图像也是初中数学教学中的一个重点.在直角坐标系中，有序实数对（x，y）与点P存在着一一对应的关系，因此，函数与其图像必然符合数形结合思想.在解题过程中，我们可以将已知函数用其对应的图像来表示，从而分析出函数的性质，研究函数的变化趋势、对称特点、增减性，以及对应方程的解的情况等问题.下面我们就这一问题进行分析.

【例1】已知抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴的交点是点（0，3）.

（1）求m的值，并画出抛物线的图像；

（2）求抛物线图像与x轴的交点坐标、抛物线顶点的坐标；

（3）确定x的取值范围，使得抛物线位于x轴的上方；

（4）确定x的取值范围，使得y值能够随着x的增大而减小.

解析：（1）由抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴相交于点（0，3）可以计算出m的值为3，所以得出抛物线为y=-x2+2x+3.图像略.

（2）由-x2+2x+3=0可解得x1=-1，x2=3.所以，抛物线与x轴相交于点（-1，0）和（3，0）.

又因为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4）.

（3）由抛物线图像可知，当-1

（4）观察抛物线的图像，得出x>1，使得y值随着x的增大而减小.

在学习圆这一章的知识时，点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系突出表现了数形结合思想.在解直角三角形这一章当中，三角函数概念、推导三角形的解法，都与数形结合思想相关联.下述例题考查的是解三角形问题和直线与圆的位置关系.

【例2】已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC

为了培养学生的创新意识，打造适应现代化建设的新型人才，国家逐步加大了素质教育体制和课程改革的推进力度.素质教育以理论知识和灵活分析问题、处理问题的能力来考查学生的综合素质.在初中数学教学中，教师也要意识到学生创新思维和探索能力的培养.数形结合是一种应用广泛的重要思想方法，有利于拓展学生的思维空间，激发学生的求知欲望.因此，应该将数形结合思想有效地与课堂教学相互渗透，将数形结合思想的具体应用加以升华.本文结合了具体的数学例子对基于数形结合思想的初中数学教学展开了讨论.

一、数形结合思想的初步认识

只有数据而缺乏图示的信息，显得不够形象直观；只有图形而没有数据的描述，难以细致全面地深入分析信息.因此，教学中，我们提倡抽象与直观因素的有机结合，也就是数学中常用到的“数形结合”思想.其实质是代数与几何的巧妙融合和灵活转化.数形结合思想指导我们在抽象数学思维和形象图形思维之间进行合理转化，把精确的代数刻画与形象的几何描绘统一起来，这样便能够凸显数学问题的本质所在，很多问题的解决也变得简单快捷.在初中数学教学中，教师要积极引导学生学会利用数形结合思想方法分析问题.在数形结合思想的教学中，教师可以从几个主要的角度入手.建立不等式、方程、函数等代数模型；通过几何图形或函数图像等几何模型来解决方程和函数问题；解决与函数有关的代数和几何的综合性题目；用适当的图像呈现题目的数学信息.数形结合思想的关键是准确找出数与形的结合点，学生要善于借助归纳类比法、观察分析法、综合概括法等其他方法，发现题目中数与形的结合点.

二、数形结合思想的深层渗透

在初中数学教学中，教师要学会通过对数学基本概念的深入分析，将数形结合思想深入到整个数学体系当中.数学概念反映的是一类对象的属性，是对一类知识点本质的高度概括，同时也是进行数学推断，建立数学定理、法则和公式的依据.因此，将数学概念作为扩展数形结合思想的立足点，不仅能够反映事物在数量以及空间层面的本质属性，还有利于思想方法在同类知识中的大范围扩散.数形结合思想全面渗透到每一个数学概念之中，能够帮助学生进一步把握概念的本质，同时也为数形结合这一抽象的思想方法寻到了一个具体有效的载体.在对渗透了数形结合思想的数学概念进行理解的基础上，再进一步运用数形结合思想解决具体题目.此时，教师要发挥例题的作用，通过分析典型例题来明确运用数形结合思想的具体思路.

在实数内容的学习中，我们将实数直观的定义为和数轴上的点一一对应的数，这很好地凸显出了数形结合思想的应用.直线是无限多个点的集合，实数也包含了正实数、零和负实数在内的无数个数字.两者在数量上存在共性，因此，直线上的点可以表示实数.由此，我们引入了数轴——规定了原点、正方向和单位长度的直线就是数轴.建立了数轴上的点与实数一一对应的关系.今后在学习绝对值、相反数、有理数等内容的时候，也可以利用数轴做更为直观的理解.除此之外，在学习一元一次不等式和一元一次不等式组的相关内容时，在数轴上表示不等式的解集，学生就能够更加直观地理解不等式的解集问题.“数轴”所蕴含的“数形结合”思想，即是数学概念与数形结合思想的有机渗透，有助于学生进一步强化对数形结合思想的全面掌握.

函数及其图像也是初中数学教学中的一个重点.在直角坐标系中，有序实数对（x，y）与点P存在着一一对应的关系，因此，函数与其图像必然符合数形结合思想.在解题过程中，我们可以将已知函数用其对应的图像来表示，从而分析出函数的性质，研究函数的变化趋势、对称特点、增减性，以及对应方程的解的情况等问题.下面我们就这一问题进行分析.

【例1】已知抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴的交点是点（0，3）.

（1）求m的值，并画出抛物线的图像；

（2）求抛物线图像与x轴的交点坐标、抛物线顶点的坐标；

（3）确定x的取值范围，使得抛物线位于x轴的上方；

（4）确定x的取值范围，使得y值能够随着x的增大而减小.

解析：（1）由抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴相交于点（0，3）可以计算出m的值为3，所以得出抛物线为y=-x2+2x+3.图像略.

（2）由-x2+2x+3=0可解得x1=-1，x2=3.所以，抛物线与x轴相交于点（-1，0）和（3，0）.

又因为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4）.

（3）由抛物线图像可知，当-1

（4）观察抛物线的图像，得出x>1，使得y值随着x的增大而减小.

在学习圆这一章的知识时，点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系突出表现了数形结合思想.在解直角三角形这一章当中，三角函数概念、推导三角形的解法，都与数形结合思想相关联.下述例题考查的是解三角形问题和直线与圆的位置关系.

【例2】已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC

为了培养学生的创新意识，打造适应现代化建设的新型人才，国家逐步加大了素质教育体制和课程改革的推进力度.素质教育以理论知识和灵活分析问题、处理问题的能力来考查学生的综合素质.在初中数学教学中，教师也要意识到学生创新思维和探索能力的培养.数形结合是一种应用广泛的重要思想方法，有利于拓展学生的思维空间，激发学生的求知欲望.因此，应该将数形结合思想有效地与课堂教学相互渗透，将数形结合思想的具体应用加以升华.本文结合了具体的数学例子对基于数形结合思想的初中数学教学展开了讨论.

一、数形结合思想的初步认识

只有数据而缺乏图示的信息，显得不够形象直观；只有图形而没有数据的描述，难以细致全面地深入分析信息.因此，教学中，我们提倡抽象与直观因素的有机结合，也就是数学中常用到的“数形结合”思想.其实质是代数与几何的巧妙融合和灵活转化.数形结合思想指导我们在抽象数学思维和形象图形思维之间进行合理转化，把精确的代数刻画与形象的几何描绘统一起来，这样便能够凸显数学问题的本质所在，很多问题的解决也变得简单快捷.在初中数学教学中，教师要积极引导学生学会利用数形结合思想方法分析问题.在数形结合思想的教学中，教师可以从几个主要的角度入手.建立不等式、方程、函数等代数模型；通过几何图形或函数图像等几何模型来解决方程和函数问题；解决与函数有关的代数和几何的综合性题目；用适当的图像呈现题目的数学信息.数形结合思想的关键是准确找出数与形的结合点，学生要善于借助归纳类比法、观察分析法、综合概括法等其他方法，发现题目中数与形的结合点.

二、数形结合思想的深层渗透

在初中数学教学中，教师要学会通过对数学基本概念的深入分析，将数形结合思想深入到整个数学体系当中.数学概念反映的是一类对象的属性，是对一类知识点本质的高度概括，同时也是进行数学推断，建立数学定理、法则和公式的依据.因此，将数学概念作为扩展数形结合思想的立足点，不仅能够反映事物在数量以及空间层面的本质属性，还有利于思想方法在同类知识中的大范围扩散.数形结合思想全面渗透到每一个数学概念之中，能够帮助学生进一步把握概念的本质，同时也为数形结合这一抽象的思想方法寻到了一个具体有效的载体.在对渗透了数形结合思想的数学概念进行理解的基础上，再进一步运用数形结合思想解决具体题目.此时，教师要发挥例题的作用，通过分析典型例题来明确运用数形结合思想的具体思路.

在实数内容的学习中，我们将实数直观的定义为和数轴上的点一一对应的数，这很好地凸显出了数形结合思想的应用.直线是无限多个点的集合，实数也包含了正实数、零和负实数在内的无数个数字.两者在数量上存在共性，因此，直线上的点可以表示实数.由此，我们引入了数轴——规定了原点、正方向和单位长度的直线就是数轴.建立了数轴上的点与实数一一对应的关系.今后在学习绝对值、相反数、有理数等内容的时候，也可以利用数轴做更为直观的理解.除此之外，在学习一元一次不等式和一元一次不等式组的相关内容时，在数轴上表示不等式的解集，学生就能够更加直观地理解不等式的解集问题.“数轴”所蕴含的“数形结合”思想，即是数学概念与数形结合思想的有机渗透，有助于学生进一步强化对数形结合思想的全面掌握.

函数及其图像也是初中数学教学中的一个重点.在直角坐标系中，有序实数对（x，y）与点P存在着一一对应的关系，因此，函数与其图像必然符合数形结合思想.在解题过程中，我们可以将已知函数用其对应的图像来表示，从而分析出函数的性质，研究函数的变化趋势、对称特点、增减性，以及对应方程的解的情况等问题.下面我们就这一问题进行分析.

【例1】已知抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴的交点是点（0，3）.

（1）求m的值，并画出抛物线的图像；

（2）求抛物线图像与x轴的交点坐标、抛物线顶点的坐标；

（3）确定x的取值范围，使得抛物线位于x轴的上方；

（4）确定x的取值范围，使得y值能够随着x的增大而减小.

解析：（1）由抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴相交于点（0，3）可以计算出m的值为3，所以得出抛物线为y=-x2+2x+3.图像略.

（2）由-x2+2x+3=0可解得x1=-1，x2=3.所以，抛物线与x轴相交于点（-1，0）和（3，0）.

又因为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4）.

（3）由抛物线图像可知，当-1

（4）观察抛物线的图像，得出x>1，使得y值随着x的增大而减小.

在学习圆这一章的知识时，点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系突出表现了数形结合思想.在解直角三角形这一章当中，三角函数概念、推导三角形的解法，都与数形结合思想相关联.下述例题考查的是解三角形问题和直线与圆的位置关系.

数形结合思想在高中数学中的运用 篇12

一、什么是数形结合思想方法

所谓数形结合方法是将抽象的数学语言与直观的几何图形联系起来,或借助书的精确性来阐明形的某些性质,或借助形的直观性来阐明数量之间的某些关系。其中这里的“数”多指数量关系式,“形”多指图形和图象。

华罗庚先生曾经说过:“数形本是两相依,焉能分作两边飞?数缺形时少直觉,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休,几何代数统一体,永远联系莫分离。”虽然只是简短的几句话,却很好地说出了数形结合的妙处。在数学中数与形相互依存,互为补充。代数与几何的统一说明了数形结合这一思想方法在数学中运用广泛。

数学有三种语言形式:符号语言,文字语言,图形语言。这三种语言之间的相互转化是从无形到有形,又从有形到无形的过程。而在解数学题中,必须会灵活地转化这三种语言形式。才能够透彻地理解题目传达出来的信息,从而快速高效地将问题解决!

二、数形结合思想方法在中学数学中的运用

(一)数形结合之三角函数的运用。

例1已知a,b,c,x,y,z均为正数,且a+x=b+y=c+z=1.求证:bx+cy+az<1。

证明:这一题的题目给出的条件是等于1的三个关系式,而要求证的是一个式子小于1。我们很容易用代入法用条件给出的式子代入1的位置,这样只会使问题复杂化。由于a,b,c,x,y,z均为正数,单从题目上难以找到突破口,可以转变一下思路,从图形上入手。作边长为1的正三角形ABC,在其三边AB,BC,AC上分别作三点D,E,F。连接这三点,设BD,AF,CE分别为a,b,c.AD,CF,BE分别为x,y,z得到如下图所示的图形 :

评析:该题的题目很短,题目条件也比较简单。从所给的信息中很难打开思路,认真思考之后发现题目条件已知的是三个恒等于1的代数式,可联系到正三角形。要证的结果可与三角形的面积联系起来。构建出如上图所示的图形,将符号语言转化为图形语言。把抽象的符号得到了具体的体现,思路一下开阔了。只需运用三角形的面积公式即简单的几何知识便可将这一题证明出来。

(二)不等式中的数形结合思想。

例1解不等式|x+2| +| x-2| >x+4。

解:令y=| x+2| + |x-2| ,则y1=2x,x≥2.y1=-2x,x<-2,y1-4-2≤x<2。

令y2=x+4,如下图可知y1与y2相交于两点(0,4),(4,8)。

当x>4时,折线落在直线的上方;当x<0时,折线也落在直线的上方;当0≤x≤4时,折线落在直线的下方。

所以,原不等式的解为x>4或x<0,即(-∞,0)(4,+∞)。

例2求满足条件的点组成图形的面积。

所以在直角坐标系中,A,B,C三点组成的三角形的面积即为所求图形的面积。观察上图可知三角形ABC的面积等于四边形CDOB的面积减去三角形AOB的面积,再减去三角形CDA的面积。即:

评析:由以上例子可以得出,用数形结合的方法解不等式的问题,可以让复杂的问题简单化,让本来十分抽象的问题具体化,将符号语言转化为图象语言,解题过程也变得比较简明。

(三)数形结合思想在函数上的运用

例3已知函数f(x)的图象是如下图所示的两条线段(如图,不含端点),则f(f(1/4))=__ 。

评析:该题解题的关键在于能够理解函数图象传达出来的信息,并能够将这些信息与所学的函数知识结合起来解出题中隐含着的函数表达式,这样题目就变得简单了。所以能够很好地理解图形对解题十分重要,能够快速抓住题目传达出来的信息,方便于解题。