数形结合教学

2024-08-08

数形结合教学（精选12篇）

数形结合教学篇1

当“要去寻找一种包含这两种科学的好处, 而没有它们的缺点的方法”成功的时候, 笛卡尔就把“数”与“形”完美地结合了起来.但把“数形结合”作为一个数学思想方法提出来, 并要求在数学教学实践中提炼、渗透, 甚至掌握, 说起来容易, 做起来难.从问题的表征来说, “数”与“形”这两个不同表征方式之间的切换, 对学生来讲需要一个不断的学习过程.从思维的角度讲, 逆向思维本来就是一个难点.从方法的角度说, 作为一个哲学层面的方法, 如何“细化”“实化”在课堂教学实践中, 可以说是一个永恒的课题.下面结合必修1“直线和圆”的教学, 谈谈体会和思考.

1. 一定要计算吗?先计算, 后画图

在平面直角坐标系的框架下, 直线与圆都已经代数化为方程, 用代数的方法研究图形, 研究直线之间、圆之间包括直线与圆之间的关系, 一句话, 学习代数化, 学习解析思想, 是不容置疑的.作为解析几何开始的两个主题:直线与圆的学习, 理应把代数化和解析思想作为学习的首选.问题是, 通过初中平面几何的学习, 学生头脑中已形成处理几何问题的基本模式 (不同于解析的模式) .正如教学中出现的学生的疑问“一定要计算吗”, 老师要照顾到他的几何基础, 要巩固好他的几何知识.为此, 在用解析方法解决问题之后, 可以让学生尝试几何方法.

题1求经过点A (3, 4) 且在两个坐标轴上的截距相等的直线l的方程.

画图知直线l过原点符合题意, 且斜率为-1也满足要求, 所以直线l的方程为

题2点A (1, -2) 关于直线x+y-1=0的对称点是____.

画图知对称点为 (3, 0) , 如图1.

题3已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A (1, 3) , B (3, 1) , C (-1, 0) , 求三角形的面积.

过A作y轴的垂线, 分别过B, C作x轴的垂线, 交于点D, E, F, 如图2.

2. 为什么会这样?先画图知结果, 后推演

解析几何归根到底研究的是几何图形, 借助于几何画板, 先用几何办法呈现结果, 学生很容易接受.但随之而来的是学生心中的疑惑:为什么?在讲人教版P122例题5的时候, 笔者就遇到过类似情况.例5:已知线段AB的端点B的坐标为 (4, 3) , 端点A在圆C: (x+1) 2+y2=4上运动, 求线段AB的中点M的轨迹方程.用几何画板呈现的结果就是一个圆.下课铃声响了, 就有学生问:“为什么?”因此, 笔者教学中, 注意从图形开始, 用几何方法探寻, 以代数推演结果.

题1求点A (1, 2) 关于直线y=x+3的对称点.

画图知, 对称点为 (-1, 4) .

题2 (1) 求直线3x+y-6=0与圆x2+y2-2y-4=0的交点;

(2) 求圆x2+y2+2x+8y-8=0与圆x2+y2-4x-4y-2=0的交点.

都可以先画图 (用几何画板) 找出交点, 然后解方程组验证.

3. 换一个思路行不行?代数处理烦琐, 找几何

用代数的方法解决几何问题, 思路自然清晰, 推理严谨, 但计算量大, 运算烦琐.这个时候, 换个思路, 用几何知识、几何方法处理, 有时候会别有洞天.

题1已知A (-2, 0) , B (2, 0) , C (m, n) .若以线段MN为直径的圆O过点C (异于A, B) , 直线x=2交直线AC于点R, 线段BR的中点为D, 试判断直线CD与圆O的关系, 并证明你的结论.

又, 故CD⊥OC, 即直线CD与圆O相切.

或连OC, OD, ∵OD为中位线,

又∠1=∠2, ∠3=∠3,

即直线CD与圆O相切.

题2已知圆C过点P (1, 1) , 且与圆 (x+3) 2+ (y+3) 2=r2 (r>0) 关于直线x+y+3=0对称. (1) 求圆C的方程; (2) 过点P作两条直线分别与圆C相交于点A, B, 且直线PA和直线PB的倾斜角互补, O为坐标原点, 判断直线OP与AB是否平行, 并请说明理由.

解 (1) 易知点 (-3, -3) 关于直线x+y+3=0的对称点为 (0, 0) , 即圆心C为 (0, 0) , 又半径为, ∴圆C的方程为x2+y2=2.

(2) 设PA的方程为y=kx+1-k, 代入x2+y2=2得

又kOP=1, ∴OP∥AB.

或作P关于x轴的对称点Q.

设PA与x轴交于点E, 设PB与x轴交于点D.

因为直线PA和直线PB的倾斜角互补,

所以△PDE为等腰三角形.

∴∠APQ=∠DPQ, ∴弧AQ与BQ相等,

即Q为弧AB的中点.

所以OP∥AB.

4. 数形结合, 相得益彰

一个几何问题, 用代数的语言呈现, 本来就需要两种表征之间的切换.切换的熟练程度, 标志着“数形结合思想”运用自如的程度.教学中, 教师刻意展示“数”中有“形”, 追求依“形”想“数”, 做到数形结合, 引导形数转换.

题1已知圆x2+y2-2x-4y=0和点P (5, -1) , 过P作圆的切线, 切点为A, B.

(1) 求切线方程; (2) 求|AB|; (3) 求直线AB的方程.

解如图, 易知切线PA的方程为2x+y-9=0,

切线PB的方程为2x+11y+1=0.

在Rt△PAC中, |PC|=5,

设直线AB的方程为4x-3y+b=0, 则

圆心C到直线AB的距离为, 易知|CD|=1,

, 解得b=-3或b=7 (舍) , 故AB的方程为4x-3y+3=0.

题2已知直线l1:mx-y=0, l2:x+my-m-2=0, 证明:对任意m∈R, 直线l1, l2总相交, 交点P在一个圆上, 求出这个圆的方程.

代数解法

由mx-y=0有y=mx, 代入x+my-m-2=0得

几何解法

易知直线l1经过定点O (0, 0) , 直线l2经过定点A (2, 1) , 且l1⊥l2, 故交点P在以OA为直径的圆上, 圆的方程为

即直线CD与圆O相切.

题3已知圆C: (x-3) 2+ (y-4) 2=4, 直线l1经过定点A (1, 0) .若l1与圆交于P, Q两点, 线段PQ的中点为M, 又l1与直线l2:x+2y+2=0的交点为N, 求证:|AM|·|AN|为定值.

代数解法

设直线l1的方程为y=k (x-1) ,

几何解法

设直线AC与l1交于点B, 易知AB⊥l1,

∴△ABN∽△AMC.

总之, “数”与“形”既是中学数学的两个基本研究对象, 也是中学数学问题的两种基本表征方式.借助于平面直角坐标系, 学习代数化, 学习用代数的方法研究几何问题, 义不容辞.同时, 利用好学生已有认知结构, 巩固好学生的几何基础, 发展学生的几何直观, 也不能偏废.无论是先图形, 后代数推演, 还是相反, 关键是数形结合, 重在结合.

数形结合教学篇2

形的问题中包含着数的规律，数的问题也可以用形来帮助解决，教学时，让学生通过解决问题体会到数与形的完美结合，通过数与形的对应关系，相互印证结果，发现“和”都是“平方数”，再通过图形的规律理解“平方数”(即正方形数)的含义，并让学生大胆说出自己发现的其他规律，从不同角度寻找规律，例如从第一个图到第三个图，每次增加多少个小正方形，用加法怎样列式，加数都是连续奇数，这些奇数在图中什么地方，从而对规律形式更直观的认识。

二、使学生感受用形来解决数的有关问题的直观性与简捷性

图形的直观形象的特点，决定了化数为形往往能达到以简驭繁的目的，例2中，用举例的方法求出等比数列的有限和，都不能证明无限多项相加结果为1，但是接近1，但这个无限接近于1的数是多少呢?电子白板呈现出圆形模型和线段模型来表示“1”，使学生结合分数意义，在圆上和线段上分别有规律地表示这些加数，当这个过程无止境地持续下去时，所有的扇形和线段就会把整个圆和整条线段占满，即和为“1”，用画图的方法来表示计算过程和结果，让学生感受到什么叫无限接近，什么叫直观形象，同时，一个极其抽象的极限问题，变得十分直观和便捷。

三、引导学生从不同角度探索数与形的通用模式

教学时，引导学生通过交流，学会从多样化角度探索规律，练习二十二第1题。既可以发现最外圈的小正方形个数是两个正方形中小正方形个数之差，也可以通过计算发现最外圈的小正方形，用不同方法来计算个数。

例最外圈每边有7个小正方形可以列式：7×4-4

6×4

5×4+4

7×2+5×2

如此训练，能大大提高学生发散思维能力。

四、注意引导学生掌握推理的方法

数形结合思想的教学探寻与思考篇3

教学方法思考

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）09A-

0037-02

“数”与“形”是数学的两块根基，在数学发展进程中，它们常常结合在一起，在内容上互相联系，在方法上互相交织，在思想上互相渗透。重视“数”与“形”的和谐融合，可使数学问题化难为易，化繁为简，帮助学生更好地学习数学，是每一个数学教师理应重点思考的问题。

一、“数”“形”邂逅的策略与价值

（一）在混沌处“邂逅”，让知识清晰明了

其实，有些数学问题不仅仅是简单的以“数”变“形”，或以“形”变“数”，而是“形”与“数”的互相转换，有时是“形”的直观变为“数”的严密，有时是“数”的严密联系到“形”的直观。学生在解决问题时，往往需要认真分析其内在的“形”“数”之间的联系，实现有效的互相转换。常用的方法有看“形”想“数”和见“数”思“形”两种。

为了加深学生对加法和乘法的理解，笔者在教学乘法的相关知识后设计了一组练习：13+4和13×4，让学生用手中的学具来摆一摆、说一说，这两个算式表示什么意思。

生1：13+4，先摆13根小棒，再摆4根小棒，然后把3根小棒和4根小棒先合在一起，是7根，最后和一捆合一起就是17根。

生2：13×4，先摆13根小棒，又摆13根小棒，再摆13根，还要摆13根，表示的是4个13根小棒相加，所以是52根，和上面的13+4是不同的。

师：其他同学听明白了吗？第一个表示13根和4根合起来，而13×4则表示4个13根合起来。

这样，通过学生自己摆小棒、说算理，进行了清晰地对比，让学生从加法和乘法各自意义的角度深刻地理解了为什么乘法中的一位数要与多位数的每一个数位上的数字相乘，而加法只要相同数位的数字相加。

（二）在复杂处“邂逅”，让问题简单易做

数学是关于现实世界的空间形式和数量关系的学科，学生要深刻理解这些复杂的数量关系存在的困难，这时就需要教师深入研究，找准数与形的契合点，将数与形巧妙地结合起来，引导学生画一画，借助直观图形，化复杂为简单，引发联想，促进形象思维和逻辑思维的融合。

如，苏教版五年级下册《解决问题的策略》单元第89页练一练：小军收集了一些画片，他拿出画片的一半还多1张送给小明，自己还剩25张。小军原来有多少张画片？很多学生都是这样解决的：25×2=50（张），50+1=51（张）。这样的解法明显是倒推的顺序错了，如果让学生把小军的画片变化的过程画出来（如下图），倒推就变得相对简单了。

由于画出了小军画片的变化图，学生很清楚地看出了画片变化的过程，为倒过来推想提供了有效的帮助，学生很快寻找到了解决问题的办法：先把多送的1张拿回来，25+1=26（张），再扩大2倍算出原来的张数，26×2=52（张）。

（三）在抽象处“邂逅”，让思维自然生成

在教学抽象概念时，如果能将抽象概念与形象图形联系起来，把“数”和“形”结合起来，就可以丰富学生的感性材料，为建构与理解数学概念奠定坚实的基础。

例如，在教学苏教版四年级下册《素数和合数》时，笔者改变了教材的思路，而是首先从哥德巴赫猜想引入，让学生通过阅读哥德巴赫猜想，学生发现3、5、7是素数，但不知道什么是素数。然后笔者分别用3个、5个、7个小正方形来表示3、5、7这三个数，引导学生观察拼成的长方形，理解3、5、7这三个数有什么共同点？

通过分别出示3个正方形、5个正方形和7个正方形的演示，帮助学生建立3、5、7这三个数和形的联系；通过分别将3个正方形、5个正方形和7个正方形拼成一个长方形的演示，帮助学生进一步深层次地去发掘3、5、7这三个数的联系（只能拼成一种长方形），进而找到3、5、7这三个数同为素数的联结点。形象直观的图形演示，有助于“数”的概念本质把握。

（四）在总结处”邂逅”，让学习联为一体

数学知识之间是有机联系的，具有严密性和系统性等特点。教师可以引导学生将已有知识，根据一定的统一标准分类，使之更加条理化和系统化，使所学的知识形成连续的数学知识结构。比如，在教学苏教版五年级数学上册《认识小数》后，笔者设计了这样的总结：

师：今天我们发现，当不能用整数表示时，就把1平均分成10份，每一份就是十分之一，也就是今天我们认识的0.1，这也是一个计数单位；如果这个计数单位还是太大，怎么办？再把十分之一平均分成10份，每一份是百分之一。还太大呢？再继续平均分成10份，就这样每次把计数单位平均分成10份，其中的一份就产生了更小的计数单位。

师：你们看，这样小数家族的整数部分就越来越壮大了，向左计数单位越来越大，向右计数单位越来越小。它们还是以小数点为分界点。

有了这样数和形的紧密结合，更能加深学生对小数的理解，并且对每个计数单位的大小有了直观认识，这样，让学生看“形”思“数”、见“数”想“形”，从本质上对小数有了深刻的认识。

二、“数”“形”邂逅的思考与建议

数形结合既能体现数的严谨，又能展现形的直观，是一种重要的数学思想和数学方法。小学生抽象思维能力较差，数形“嫁接”是化抽象为直观的一种很有效的方法。“数形邂逅”也要讲求契机，那教学中我们需要注意什么呢？

（一）当学生理解困难时

荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔提出：学生的学习活动，与其说是学习数学，不如说是学习“数学化”。低年级学生对于题目中的有用信息进行输入、处理是教学难点，特别是部分接受能力、理解能力较弱的学生，更是存在较大困难。此时，“数形结合”能很好地把学生的生活经验“数学化”。学生在创造他们个性化的“数学画”的同时，他们的头脑也在不断地经历“数学化”。

（二）当学生学习枯燥时

在数学教材中，数学的美无处不在。让学生把数学的美“画”出来，并及时地进行交流，学生非常喜欢这样学，非常喜欢学这样的数学。比如教学《平移和旋转》和《轴对称图形》，笔者给学生提供了很多现实生活中的花边，课后让学生设计花边。学生设计出来的那些美丽的作品让笔者不由不感叹孩子的创造力和想象力。通过这样布置作业，笔者发现学生学数学的热情高了，写作业的兴趣也高了。

（三）当学生思维受阻时

小学生的思维是由具体形象思维向抽象逻辑思维发展的关键时期，当学生的思维受阻时，通过画一画、议一议的过程，让学生在画的过程中更全面、更深入地理解问题，在合作交流中解决问题，发展数学思维。

总之，利用“数形结合”思想能使“数”与“形”有机统一起来，借助“形”的直观来理解抽象的“数”，运用“数”与“式”来概括与抽象刻画“形”的特征，直观与抽象相互配合，取长补短，从而顺利、高效地解决问题，完善数学结构。教师善于运用数形结合思想，多创造“数”与“形”的美丽邂逅，可以让学生更喜欢数学，促进学生数学思维能力的发展，提升数学素养。

利用教材,数形结合突破教学难点篇4

六年级同学为准备国庆晚会做绸花。黄花50朵, 红花比黄花多, 红花比黄花多多少朵?

此题是“求一个数的几分之几是多少”类型的分数乘法应用题, 分析数量关系并利用数量关系解题是本课的重难点。学生往往将数量关系理解为“黄花的朵数×=红花的朵数”。而这个例题的这种关系式的理解也是分数乘法单元学习中的重点与难点。

在听课中我发现许多老师侧重从“单位‘1’的量×分率=分率的对应量”来引导学生得出数量关系, 但经过反复讲解, 学生解题中的错误率仍然高达30%。这种逻辑思维的训练使学生不能很好地理解与红花比黄花多的朵数之间的对应关系, 从而导致错误。

拿出教材, 我们会发现教材利用长条分别表示黄花与红花的朵数。为什么呢?编者的意图很明显———希望教师利用“数形结合”, 借助形象思维, 帮助理解, 突破难点, 强化学生记忆, 从而举一反三, 较好地完成教学任务。

教师可以利用下面的程序进行教学:

(1) 让学生指出红花比黄花多所表示的部分, 说出所表示的含义。

(2) 教师用色笔涂出红花比黄花多的朵数所占的部分。提问:求红花比黄花多的朵数就是求什么? (就是求黄花朵数的是多少)

(3) 教师提问:求红花比黄花多的朵数可用什么数量关系? (黄花的朵数×=红花比黄花多的朵数)

(4) 在此基础上引导学生观察与红花比黄花多的朵数的对应关系, 从而进一步理解“单位1的量×分率=分率的对应量”。

(5) 引导学生在解决类似的题目时可在头脑中或草稿纸上作简图, 找出其对应关系。

实践证明, 这样做学生理解得较好, 错误率较低。

心理学研究表明, 儿童接受具体性图表中的信息比学习抽象性文字中的信息容易得多。而新课程教材编者就借助了大量的感性材料, 使学生置身于具体的情境中, 以“形”辅“数”, 使学生更易于理解概念、发现规律、获得解题思路, 更好地使学生能够科学地提炼、运用数学语言。而有许多老师认为教材“花里胡哨”, 不如以前“薄薄的一本”来得精炼, 教学时往往更多地从逻辑推理角度让学生理解新知, 忽视了形象思维对学生学习积极性的作用, 从而造成了学生运用新知识解决问题能力下降的问题, 降低了教材编者所希望达成的目标。

数形结合在小学教学中的应用范文篇5

数学思想有许多，数形结合思想就是其中一种重要的思想。“数”和“形”是紧密联系的。我们在研究“数”的时候，往往要借助于“形”，在探讨“形”的性质时，又往往离不开“数”。

新课标的修订，从原来的“双基”拓展到“四基”，即增加了基本思想、基本活动经验。知识和技能是数学的“双基”，而数学思想方法则是数学的灵魂。以数与形相结合的原则进行教学，这就要求我们切实掌握数形结合的思想方法，以数形相结合的观点钻研教材，努力挖掘教材中可以进行数形结合思想方法渗透的各种因素,都要考虑如何结合具体内容进行数形结合思想方法渗透。小学数学中虽然不像初中数学那样,将数形结合的思想系统化, 但作为学习数学的启蒙和基础阶段，数形结合的思想已经渐渐渗透其中，为更好的学习数与代数、空间与图形两方面的知识做铺垫，同时也在培养抽象思维，解决实际问题方面起了较大的作用。

一、运用图形，建立表象，理解本质

在低年级教学中学生都是从直观、形象的图形开始入门学习数学。从人类发展史来看，具体的事物是出现在抽象的文字、符号之前的，人类一开始用小石子、贝壳、木棍、骨头记事，慢慢的发展成为用形象的符号记事，最后才有了数字。这个过程和小学生学习数学的阶段和过程有着很大的相似之处。一年级的小学生学习数学，也是从具体的物体开始认数，很多知识都是从具体形象逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。

如小学应用题中常常涉及到“求一个数的几倍是多少”，学生最难理解的是“倍”的概念，如何把“倍”的数学概念深入浅出地教授给学生，使他们能对“倍”有自己的理解，并内化称自己的东西？我认为用图形演示的方法是最简单又最有效的方法。就利用书上的主题图。在第一行排出3根一组的红色小棒，再在第二行排出3根一组的绿色的小棒，第二行一共排4组绿色小棒。结合演示，让学生观察比较第一行和第二行小棒的数量特征，通过教师启发，学生小组合作讨论和交流，使学生清晰地认识到：绿色小棒与红色小木棒比较，红色小棒是1个3根，绿色小棒是4个3根；把一个3根当作一份，则红色小棒是1份，而绿色小棒就有4份。用数学语言：绿色小棒与红色小棒比，把红色小棒当作1倍，绿色小棒的根数就是红色小棒的4倍。这样，从演示图形中让学生看到从“个数”到“份数”，再引出倍数，很快就触及了概念的本质。

这方面的例子很多，如低年级开始学习认数、学习加减法、乘除法，到中年级的分数的初步认识、高年级的认识负数等都是以具体的事物或图形为依据，学生根据已有的生活经验，在具体的表象中抽象出数，算理等等。

在小学中高年级的教学中，我们要注重运用直观图形，巧妙地把数和形结合起来，把抽象的数学概念直观化，帮助学生形成概念。

例如：如，教学“体积”概念。教师可以借助形象物体设问，引导学生分析比较。首先观察物体，初步感知。让学生观察一块橡皮和铅笔盒，提问：哪个大，哪个小？又出示一个魔方和一个骰子，提问：那个大，那个小？通过观察物体，让学生对物体的大小有个感性认识。接着在一个盛有半杯水的玻璃杯里慢慢加入一块石头，学生可以观察到，随着石头的投入，杯中的水位不断上升。问：玻璃杯里的水位为什么会上升？学生从这一具体事例中获得了物体占有空间的表象。在教师的引导下，对“为什么玻璃杯里的水位会随着石头放入而升高”这一问题进行深入讨论，通过讨论交流学生能够很自然地领悟“物体所占空间的大小叫体积”

这一概念。为了进一步使概念在应用中得到巩固，继续在盛满水的玻璃杯里放石子，学生观察到水溢了出来，教师启发学生：从观察到的现象中你们发现了什么问题？学生思考后提出：杯里溢出的水的多少与放进去的石子有什么关系？经过讨论得出：从杯里溢出水的体积等于石子的体积。至此，学生不仅认识了概念，而且能够应用概念。

在利用实物创设问题情境时，教师要特别注意数与形的有机结合，以问题引导学生观察，不仅要用诱导性问题，更要用一些启发性问题，激疑性问题，让学生在观察中发现问题，自己提出问题和解决问题。教师除了提供充分的形象感性材料让学生形成鲜明的表象外，还必须在此基础上，引导学生分析和比较，及时抽象出概念的本质属性，使学生在主动参与中完成概念的建构。

二、画出图形，表达数量，揭示本质小学生由于生活经历少，常常不能借生活经验把实际问题转化为数学问题，从而来理解数学概念。因此教师要根据教学内容的实际情况，引导学生利用直尺、三角板和圆规等作图工具画出已学过的图形，通过动手作图，帮助学生建立表象，从画图体验中领悟概念。通过作图观察、比较分析，可以发展学生的空间观念，培养学生分析、综合、抽象、概括的能力。例如，在教学“学校六月份用水210吨，比五月份节约了。五月份用水多少吨？”这一例题时，笔者没有急着和学生一起画线段图，而是让学生在认真读题和初步思考后汇报算式并说明列式的理由。这样做的目的有：一，注重学生的直觉思维，学生的直觉思维是学生真实水平的体现，根据学生的回答教师可以随时调整教学方案；二，在没有教师的任何提示下，学生的汇报与交流是学生逻辑思维水平发展的重要手段；三，当学生交流出现矛盾时，迫使学生产生验证的需要。当学生有需要时，教师就要及时引导学生画线，当线段图完成的时候，学生的争论也就戛然而止了。因为有了线段图的合理支撑，学生对210÷ 这一算式已坚信不疑了。可见，通过画线段图即数形结合的方法能有效将题目中抽象的数量关系直观形象地表示出来，从而降低解题难度。而根据学生的实际情况适当采取先数后形的策略，可以使学生的学习主动性大大增强，同时使学生的逻辑思维能力不断得到锻炼。

三、数形结合，为建立函数思想打好基础。

在实际教学中，数和形往往是紧密结合在一起，相互并存的。因此，在实际教学中教师要把数和形结合起来考察，根据问题的具体情形，把图形的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，使数与形相得益彰。

用形的直观来分析数据中的关系,体现了数形结合思想方法的优点,在数学整个发展过程中,人们也总是利用数形结合或数形的转化来研究数学问题，可见数形结合思想的重要性。

数形结合在中段教学中的探究篇6

以“课例研讨”为研究载体

作为小学生来讲，年龄小，想象能力不够丰富，大部分的数学知识依靠教师的传授和讲解，但是这样的填鸭式的教学方式随着孩子年龄的增长又抹杀了孩子们的想象力、创造力，因此，在教学中，作为一名数学教师，笔者试着从课堂中来改变传统的教学模式，让孩子进行探究式学习。因此，在第一轮的研讨中，笔者所在学校数学教师以“课例研讨”作为一个载体展开了研究。

在北师大版教材教学分数的认识《分一分》中，就充分体现了“数形结合”在学生知识产生的过程中发挥着重要作用，《分一分》这节课是在认识了整数和小数后，学生第一次接触分数，对分数的意义不易理解。在听了第一轮的教师上课后，深刻感受到了本课时的重难点及不容易把握之处。本课时的教学重点与难点是探索和发现把一个物体或一个图形平均分，其中的一份可以用分数几分之一来表示，认识几分之一，并能正确表示出一个物体或一个图形的几分之一。在和本组教师们在进行深入研讨之后，把本课时的环节重点设计在了“认识平均分”，取部分和整体之间的关系之上。

认识数产生的过程的必要性在第一次试讲之中，笔者以生活中简单的事例：苹果的一半，半杯水，月饼的一半，绳子的一半，来导入，然而，在过渡到一半可以用什么符号表示的时候，有学生直接告诉了二分之一，紧接着，很多孩子受到启发式的放弃了画图，符号等自创的表示方法，在突破了教案预设之外，孩子们的表现不在笔者的预设之内，于是笔者直接跳过了交流的过程，直接由“一半”过渡到了二分之一。然而，在后面的练习中，孩子们虽然能够完成从形到数的练习，但是由一个分数来涂色和设计图形的问题比较多。教师们在课后也提出了建议，在环节设计中，笔者自己认为简单的丢掉了一个无所谓的环节，实际上这个环节对于认识分数的必要性是非常重要的，孩子们没有一个由形到数的过程，自然在后面的练习中会出现无法由数到形的反扣。

充分动手，让孩子成为学习的主人在第二次的试讲中，笔者鉴于前期经验，把环节牢记心中，由“一半”的引入到二分之一的产生，一切看似非常顺利。在后面的环节中，笔者重视了学生的动手操作，在操作中让学生思考、讨论、交流、提升。在认识1/2这一环节中，每一位学生都动手折一折、涂一涂，感悟1/2，在认识分数这一环节中，全体学生又一次通过折一折、涂一涂创造出新的分数，了解2/4、3/4、4/4的意义。在活动中进一步感悟分数。在活动中，学生不仅充分感受到了分数的由来和学习分数表示部分和整体的关系，而且还让全班学生在动手操作中得到了思维的提升和创造性思维的发展。

重视数学与生活之间的联系本节课的引入，笔者由“一半”苹果到半杯水、半个字、半条绳子等。在探究活动之后，笔者除了切合图形的练习之外，还在学习周刚老师的基础上延续了他的教学设计中的最后一个环节：广告欣赏。由一个知名广告引入分数的应用，不仅让学生学习了分数和生活中无处不在，还鼓励孩子在自己的身边去寻找分数，创造性的使用分数解决问题。激发学生学习数学的兴趣与动机，吸引他们开展学习活动的延伸。

让学生自创办法展示

在上一课例的基础之上，笔者充分认识到孩子的形象思维对抽象思维的促进作用，因此，在吸取上一课时的经验之上，笔者在原来的计算教学的基础之上，开始大胆的尝试让孩子自己动手操作，让孩子们感知由“形”到“数”的知识的产生，发展的过程。

在教学五年级小学数学“一个数乘分数的意义和分数乘分数的计算法则”中，通过操作、演示、观察、比较等活动，即先形象具体，后抽象概括，帮助学生理解分数乘法的意义和算理，让孩子们感受“平均分”。平均分在整数的除法中，学生就有了充分的感知。因此，在分数的除法中，笔者大胆地让孩子们自己自创办法进行展示，收到了意想不到的惊喜，孩子们基于教材进行再创造，为课堂生成了无限和丰富的资源。

课堂教学有效性是指通过课堂教学活动，学生在学业上有收获、有提高、有进步。具体表现在：学生在认知上，从不懂到懂，从少知到多知，从不会到会；在情感上，从不喜欢到喜欢，从不热爱到热爱，从不感兴趣到感兴趣。因此，在数形结合这个经典而又抽象的领域中，笔者作为一名一线的青年教师，在这个领域摸索着，并带领学校及周边的老师们在分享着笔者所在学校全体教师的研修成果，在研讨中不断调整、改进……为了发展孩子的空间观念，为了孩子的今后学习奠定坚实的基础！

数形结合教学篇7

数形结合法的应用是十分广泛的, 主要是体现在以下几个方面:可以解决集合问题、函数问题、方程与不等式的问题、三角函数的问题、线性规划问题、解析几何问题、数列问题、立体几何问题。在中等职业教育课程改革国家规划新教材高一上半年数学内容中, 数形结合法主要是在集合、不等式、函数中得到了推广。因此在教学中, 教师如能恰当地灵活运用数形结合法进行辅助教学, 帮助学生从感官上去理解相关的知识内容, 完全有可能达到事半功倍的效果。下面本人主要从实际例子中来谈谈如何灵活地运用数形结合法, 实现有效教学。

一、数形结合法在集合中的应用

例1.设A={x—0≤x≤5}, B={x—-1﹤x﹤4}, 求A∩B, A∪B。

分析:在学习的过程中, 交集和并集很容易混淆, 一个是符号的书写混淆, 另一个是概念的混淆。首先作一条数轴, 在数轴上分别找到A集合和B集合, 再根据交集的定义 (两集合公共部分组成的集合) 或并集的定义 (并即为“和”, 公共部分不可重复取) , 就可以直观地得到答案了。

例2.已知全集U={不大于20的质数}, M、N是是U的两个子集, 且满足M∩ (CUN) ={3, 5}, (CUM) ∩N={7, 19}, (CUM) ∩ (CUN) ={2, 17}, 求M、N。分析:此题是集合问题中一道典型的数形结合问题, 它无法通过运算求解, 只能借助于形的帮助, 方能轻松解决。根据题目条件可将各元素作在韦恩图的相应集合内, 由图可知道答案。

二、数形结合法在不等式中的应用

例3.解一元二次不等式x2-x-6>0。

分析:这种题型有几种解法, 有的教材是介绍用“同号得正, 异号得负”的思想解题, 也就是先把左边的二次三项式分解成两个因式的乘积即 (x+2) (x-3) >0, 再将此题分解成两个不等式组。但如果碰到不好因式分解的题, 计算量就有可能非常大。因此, 不如转换思维角度, 先把二次函数的草图画出来, 通过草图来观察二次函数在哪个区域的变化情况, 从而更为直观明了的求解。解题步骤是:

(1) 令y=0, 将二次函数变为一元二次方程。

(2) 解这个一元二次方程, 求得二次函数在x轴上的两个交点坐标。

(3) 由a>0 (a<0) 来判断抛物线的开口朝向。

(4) 最后利用数形结合法来求解不等式的解集。

从以上几个数形结合的实例中可以看出, 充分抓住数与形的内在去探索问题解决问题, 能起到事半功倍的效果。数与形是不可分割的, 数可以说是形的精确描述, 形也可以说是数直观体现。作为一个数学教育者, 我们应及时发现数与形中存在的联系, 并鼓励学生广泛应用之。

数形结合思想与解题教学研究篇8

解题是实现中学数学教学的一种手段, 是教学活动的重要形式。解题教学是教师对学生运用知识进行独立思考活动的指导过程, 也是使学生掌握数学基础知识, 培养基本技能, 提高数学能力和发展智力的必要途径。通过解题, 我们还可以培养学生辩证唯物主义世界观, 以及刻苦钻研精神和独立工作能力等优良品质。

数学在其漫长的发展过程中, 不仅建立了严密的知识体系, 而且形成了一套行之有效的方法。一般认为数学思想方法的概括, 是贯穿于该类数学方法中的基本精神、思维策略和调节原则。它制约着数学活动中主观意识的指向, 对方法的取舍具有规范和调节作用。形和数这两个概念, 是数学的两块基石。数学大体上都是围绕这两个概念的提炼、演变、发展而展开的。在数学发展过程中, 形与数常常结合在一起, 在内容上互相联系, 在方法上互相渗透, 在一定条件下互相转化。

早在数学的萌芽时期, 人们在度量长度、面积和体积的过程中, 就把数和形联系起来了。我国宋元时期, 系统引进了几何问题代数化的方法, 用代数式描述某些几何特征, 圆形中的几何关系表达成代数之间的代数关系。17世纪, 法国数学家笛卡尔, 通过建立坐标系, 建立了形与数之间联系, 创立了解析几何学。后来, 几何学中许多长期没有解决的问题, 如尽规作圆三大不能问题, 最终也都借助代数方法得到解决。形与数的内在联系, 也使许多代数学和数学分析课具有鲜明的直观性, 而且往往由于借用了几何术语或运用了几何的类比从而开拓了新的发展方向。例如, 线性代数正是借用了几何空间、线性等概念与类比方法, 把自己充实起来, 从而获得迅猛的发展。形与数的结合正是在上述背景下逐步形成的。它在数学数学与数学发展中的重要意义, 正如在《数学发展史》中法国数学家拉格朗日所指出:“只要代数同几何分道扬镳, 它们的发展就缓慢, 它们的应用就狭窄, 但是两门科学结合成伴侣的, 它们就互相吸取新鲜的活力, 从那以后, 就以快速的步伐走向完善。”因此, 在教学中我们必须重视形与数相结合思路的应用。

在现实世界中, 形与数不可分离地结合在一起。这是直观与抽象相结合、感知与思维相结合的体现。形与数相结合不仅是数学自身发展的需要, 而且是加深对数学知识的理解、发展智力、培养能力的需要。从表面上看, 中学数学内容可分为形与数两大部分, 中学代数是研究数和数量关系的学科, 中学几何是研究形和空间形式的学科, 中学解析几何是数与形结合的内容。从以下几例便能说明其数形结合妙之所在。

1.研究数与数轴相结合。在中学所学的实数中, 把每一个数与相应的点对应, 把这些点按顺序构成一条直线。又由数与数轴上的点反映了二者之间的“一一对应”关系, 能直观地通过数轴反映数之数之间的连续性、稠密性, 使得中学数学更加具体、生动。

2.当在平面上建立了坐标系后, 平面上的点与有序实数对之间建立起一一对应的关系, 任何一条直线都可以写成关于X、Y的二次方程, 任何X、Y的二元一次方程都表示一条直线。这样我们就可以利用直线的方程讨论两直线的位置关系、两条直线所成的角、点到直线的距离, 这种通过方程研究图形性质的方法提示了“数”与“形”的内在联系。首先根据图形特点, 建立适当的直角坐标系 (所谓适当, 就是保证题目的解证过程中运算简便, 过程简单, 结果明确) ;其次根据已知条件, 标出已知点坐标, 给出已知直线或曲线的方程, 然后由题设或图形的几何性质, 已知的点或曲线方程, 推导出要求或要证结果。由上题可看出, 用这样的方法解证题目, 思维流畅, 方法灵活, 几何问题完全通过代数方法得到解决。

“横看成岭侧成峰, 远近高低各不同”。“数形结合”仿佛神来之笔, 为问题的解决提供了探索途径, 其独到的思维风格给人以享受, 并且带给人以成功的巨大喜悦。

3.研究函数与其图像相结合。函数是数学的概念之一。函数是贯穿整个数学的一个重要的、抽象的概念, 函数作为两个集之间的特殊关系贯穿整个数学课程。函数作为运算出现, 例如两个数的和与这个数对应;在初中代数中, 函数表示两个数量之间的关系:在几何中函数表示下一个点集到它的象集的变换 (平移、对称、旋转等) 。如研究二次函数y= (x+a) 2+b, 根据作图法画函数的图像, 是一个由数到形的变化。对学生来说, 图像性质是最难掌握的, 尤其二次函数的图像的变化, 需要高度的数形结合的思路, 包括“看图算数”与“以数想图”两方面。前面作图时已有了数到形的变化。如果改变图形的形状、大小、位置后, 函数式中的系数又随之怎样变化呢?

通过图形, 我们就可以总结出有关结论。这又是形到数的变化, 再如指数函数的有关教学通过图解, 充分说明了这又是一个数形结合思路贯穿于始终。有关数形结合的思路在数学学习中随处可见:代数方程可表示各种关系, 它可解决有关长度、面积等问题;一元一次方程、二元一次方程分别表示平面直线、二次曲线等。

数形结合教学篇9

一、“数形结合”的思想内涵

数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。“数量关系”常看作“数”, 进一步扩展为抽象的、形式化的数学对象, 如代数中的一切内容包括数、式、方程、函数、不等式等。“空间形式”常看作“形”, 进一步扩展为数学中有形的、可视的东西, 如图形、图像、曲线等。

“数”构成了数学的抽象化符号语言, “形”构成了数学的直观化图形语言。“数”与“形”各有优势, 数学上常利用两者的优势互补来解决问题, 这就是人们所熟悉的“数形结合”思想方法。

二、“数形结合”的理性认识

从教育学、心理学的角度来看, 小学生天真活泼, 对学习充满了好奇与想象, 他们学习的积极性很高, 但由于心理和年龄的特点, 学习中注意力维持时间较短, 自控能力较弱。而“数形结合”正好是符合他们特点的学习方式, 它借助图形, 把纯文字的数学问题变得直观明了, 其中的数量关系基于图形也便于学生理解。

从数学学科的角度来看, “数”与“形”是数学研究的两个基本对象, 利用“数形结合”方法能使“数”和“形”统一起来, 借助“形”的直观来理解抽象的“数”, 运用“数”与“式”来细致入微地刻画“形”的特征, 直观与抽象相互配合, 取长补短, 从而顺利、有效地解决问题。

从儿童的思维特点来看, 小学生的思维是从具体形象思维为主要形式逐步向抽象逻辑思维过渡, 但这时的逻辑思维是初步的, 且在很大程度上仍具有具体形象性。“数形结合”充分融合了“抽象”和“具体”、“运算”和“逻辑”, 使需要较大思维空间的“抽象思维”转化为需要较小思维空间的“形象思维”。

三、“数形结合”对提升数学思维的价值体现

首先, “数形结合”有利于直观动作思维的提高。直观动作思维又称实践思维, 是凭借直接感知, 伴随实际动作进行的思维活动。儿童的思维活动往往是在实际操作中, 借助触摸、摆弄物体而产生和进行的。“数形结合”有效地促进了学生的动手操作, 使手、眼、脑协调运作, 思维不断提升。

其次, “数形结合”有利于具体形象思维的提高。具体形象思维是运用已有表象进行的思维活动, 表象便是这类思维的支柱。“数形结合”使得教学更加直观形象, 为学生提供了足够的感性材料, 让学生调动多种感官充分感知, 丰富了学生的表象储备, 提高了表象的概括力。

第三, “数形结合”有利于抽象逻辑思维的提高。表象是形象思维的“细胞”, 又是过渡到抽象思维的“桥梁”。抽象逻辑思维是以概念、判断、推理的形式达到对事物的本质特性和内在联系认识的思维。小学阶段的概念、法则、公式相对来说都非常抽象。“数形结合”以实物或图形为感知基础, 结合对数量关系的理解, 不断丰富表象, 最终形成抽象逻辑思维。

四、“数形结合”在课堂教学中的实践意义

1.数形结合, 把握数学本质, 使概念认知形象直观

对小学生而言, 数学概念的学习是枯燥的, 掌握也是很困难的, 因此小学数学的学习中数形结合成为必要。例如我在教学“分数的初步认识”时, 对分数的理解教学每一步都借助了“形”的支撑。先是在直观的图面“分蛋糕”中, 让学生感受到分数这一概念产生的需要。接着让学生对一个图形“长方形”的操作中, 形象感知1/2的由来。紧接着让学生自由操作一个图形, 去创造一个几分之一, 再让学生通过比较, 形成对分数概念的初步认识, 把一个图形平均分成几份, 每一份就是它的几分之一。

2.数形结合, 化解教学难点, 使知识呈现由浅入深

“数形结合”不仅是一种数学思想, 也是一种很好的解决问题的方法。在小学生数学学习的过程中, 对于一些难以理解和掌握的数学知识, 教师可以充分利用“形”来帮助学生理解, 使得数学知识形象、直观, 使得知识呈现由浅入深。如特级教师徐斌在执教“9加几”时的做法, “凑十法”是教学的重点, 如何把一个数合理分拆进行凑十是教学的难点。出于这样的思考, 在教学9加4时, 徐老师把鲜明的具有数学结构的桃子图张贴在黑板上, 学生借助这样的“形”, 很容易想到从右边4个桃子中取一个放到左边的盒子里, 这样左边盒子满了, 正好是10个。让学生上台演示可移动教具, 边逐步对应板书, 不断追问学生:为什么从4里面先拿1个放盒子里?那么, 刚才我们先算什么?再算什么?学生很快得出:先算9加1得10, 再算10加3得13。

3.数形结合, 厘清数量关系, 使数学方法理解深刻

在解决问题的过程中, 让学生厘清数量关系, 这对提高解决问题的能力尤为重要。在教学中, 教师可以通过数形结合的训练, 让学生在解决问题时能自觉想到数形结合, 能够去画一画线段图、示意图, 或者是在脑海里想象一下相关情境来帮助解决问题。在数形结合中应强化数形对应, 把复杂的问题简单化、明朗化, 把抽象的问题具体化、形象化。显然, 形象化的图形表达了抽象化的数量关系, 为学生在实际问题与算式之间, 在分析数量关系与解决问题之间架设了一座桥梁。长此以往, 学生分析比较、综合运用知识解决问题的能力必然会大大提高。

4.数形结合, 探索数学规律, 使学习过程生动活泼

数学学习过程不仅是一个接受知识、积累知识的过程, 也是一个探索知识、创造知识的过程。运用数形结合, 有助于学生探索数学规律, 让学生经历一个生动活泼的探索、思考过程。

如教学“解决问题的策略:转化”时, 为了让学生感受到数形结合在计算中的价值时, 我出示了这样一道计算题:1/2+1/4+1/8+1/16。我适时引导学生用画图的方法去思考, 用一个正方形表示数量“1”, 然后依次在图中表示出1/2、1/4、1/8和1/16, 这下学生的思维一下子得到启发, 马上想到这四个数的和其实就是涂色部分, 而涂色部分恰好可以转化成1与空白部分1/16的差, 所以可以直接列出算式1-1/16。

在数形结合教学中训练学生思维篇10

1. 利用直观性, 激发兴趣, 培养思维的简洁性

问题是数学的心脏, 解决问题的数学思想和方法是数学的灵魂。数形结合能使复杂的问题简单化, 抽象问题形象化, 寻找简便易行、出乎意料、别开生面的解题方案, 以调动学生的学习兴趣, 提高学生学习自觉性, 从而使学生从题海中解决出来, 真正减轻教与学的沉重负担。凭借图形能反映并思考客观事物的空间形状与位置关系, 为学生学习减轻许多负担, 即运用形象思维去研究问题。美国数学家斯蒂恩说:“如果一个数学问题可以转化为一个图形, 那么思想就全体地把握了问题, 并能创造性地思考问题的解法。”

例1.已知集合A={x|lg (x2-2ax+a2+1) 0}, 若A∪B=R, 求a的范围。

分析:按不等式知识解就必须分a<2, a=2, a>2分别求B集, 再用A∪B=R分别求出a的范围, 最后求这些范围的并集, 而用数形结合就不必讨论。

解:集合A可简化为A={x|a-10,

如图1, 不论y=f (x) 的判断式>0还是=0, 要使A∪B=R, 等价为使f (a-1) >0、f (a+1) >0同时成立。由得10f (a+1) >>0,

2. 渗透美育, 唤醒学生的直觉联想

数学本身是美的科学。数学上的对称美、轮换美、简洁美、和谐美、奇异美的特点在图形上体现得更为直观动人。教师利用数形结合能不断培养学生审美情趣, 感受审美体验, 提高审美意识和审美能力, 以激起学生学好数学的激情, 动力和追求解题的艺术美, 唤醒学生的直觉联想, 促进全面素质的提高。解题时可以观察图形的特征及其数量关系, 运用几何意义探求数量关系, 还可以构造几何图示显示数量关系。下面举个例子说明。

例2.正数a、b、c、A、B、C满足条件a+A=b+B=c+C=K。

求证:aB+bc+CA

分析:正方形DEFG, 取点M、N、P、Q使MD=EN=B, QG=A, ME=NF=b, Gp=C, PF=c。显然:S1+S2+S3

笛卡尔认为:“美是一种恰到好处的协调、适中。”上述解法正体现了这一观点。“创新是一个民族的灵魂”, 培养创造性思维能力是数学学科的基本任务。没有想象和直觉, 创造就失去了源泉。想象、直觉很多时候建筑在“几何直观”的基础上, 但是数与形是数学的双翼, 没有数与形就会迷失方向, 只有双翼多羽, 数学才会显示其无穷的生命力。

3. 数形互补, 促进知识融会贯通, 培养思维的深刻性

华罗庚说过:“数形本是两相依, 怎能分作两边飞。数缺形时少直观, 形少数时难入微。”集合中的韦恩图将枯燥繁琐的知识清晰、准确、生动地展示在学生面前, 帮助学生牢固地掌握集合之间的包含、交、并、补等关系、运算。图形语言是认识、理解其他语言的基础, 是形象思维向抽象思维过渡的纽带, 帮助我们理顺方程解的一些逻辑关系, 在划分计数方面也有广泛应用。如平移、旋转各函数图象, 三角函数y=Asin (ωx+Φ) 的图像变化与函数解析式的对应关系。复数的几何意义, 复数运算的几何解释, 将较抽象的概念具体地在复平面上表达出来, 起到“深入浅出”的作用, 使学生不必死记硬背, 又减少了繁琐的计算。我们在教学中仔细挖掘教材中抽象概念的直观成分, 不断渗透数形结合思想, 简单明了, 既能收到深刻理解基础知识, 促进能力发展, 且不易遗忘之功效;又能提高学生自觉运用形数贯通, 联系的解题能力, 收到事半功倍的教学效果, 从而提高学生数学素养。

4. 开拓思路, 培养思维灵活性, 敏捷性

数形结合是研究解题的基本思想, 无论是以形想数, 还是以数助形都能沟通知识联系, 开拓思路, 使问题变得简单化, 形象化, 从而使问题快捷正确地得到解决, 训练学生思维敏捷性、灵活性。

例3.解不等式

分析:函数y=2x+a的图像是直线l, 而的图像是圆O的上半部分, 由此易知当0

5. 检验理论, 培养学生思维的严密性, 批判性

解题反思, 对过程和结果进行检验, 一方面能提高解题的效果, 另一方面也是在进行思维的训练, 形数结合不单具有直观联系, 而且有严密的逻辑性。数形结合还能有助于找出解题的漏洞, 从而加强学生思维的主动性、严谨性、批判性。

例4.已知椭圆系与连结A (1, 1) , B (2, 3) 两点的线段没有公共点, 求a的取值范围。

错解:由线段AB及椭圆方程联列消去y, 得6x2-4x+1-2a2=0, 因为AB与椭圆无公共点所以△<0解为

通过作图, 尽管直线AB与椭圆相切或相交, 但线段AB与椭圆还是无公共点, 因此方程无解。

正确解:将分别过A, B点的两个椭圆中的a值, 求出 (AB在椭圆外) 和 (AB在椭圆内) , 所以时, AB与椭圆无公共点。

6. 发掘知识内在联系, 培养辩证思维的能力

数形结合教学篇11

[关键词] 高中数学；数形结合；数学教学

数学是研究数与形的科学，数学教学的对象就是数与形.在高中数学教学的编排中，数与形既有区别又有联系，而数形结合作为数学教学的优秀传统，一直是高中数学教学的热点. 从教学实际来看，高中数学教学常常容易受高考的影响，一个重要的表现就是数学教师在课堂上呈现给学生的数学问题，一般来讲都是来自于最近两三年的高考试卷，这样的策略显然具有实际意义. 而从培养学生数学思维的角度来看，事实上也存在一些经典试题，在这些试题身上所表现出来的价值，可以让学生在解决过程中收获数学素养. 数形结合就是其中之一！

数形结合有双重理解：从数学知识的角度来看，数与形就是内容不同的两种数学研究对象；而从学生的思维加工来看则有着更大的启发意义：数是什么？数是对生活世界的抽象，最初的数是计数的产物，后来随着数学的发展，数还成为数学公式加工的对象. 抽象是数的最大特征，高中数学教学中凡是涉及数的加工的，都是高度抽象的，自然也就是学生比较头疼的；而形是什么，纵观学生的数学学习过程，可以看出基础数学学习过程中的形就是生活对象的简单化处理，后来的形成为数学构造的产物，比如说函数的图象等. 但显而易见的是，在形的学习中如果暂不考虑数量关系，那学生的思维对象要直观、形象得多，因而相对而言，对形的学习与研究也是学生更容易接纳的范畴. 做出这样的对比，是想对当前高中数学教学提出更有意义的思考，那就是高中数学教学过程中，如何实现有意义的数形结合，从而让学生可以在形象与抽象的加工对象之间实现顺利的转换，最终实现数学的有效学习. 下面通过一则例子来说明.

一道“不起眼”的数学习题

在向量教学中，笔者给学生呈现了这样的一道题目：若a=1，b=2，c=a+b且c⊥a，求a与b的夹角.

这道题目有其不起眼的地方，作为提供的两个向量a和b，形式简单、数字简洁，而给出的第三个向量与原先两个向量之间所存在的关系，则是一种大小与方向的关系，而这在向量问题当中这也再平常不过.因此要求原先给出的两个向量的夹角，不过是已有数学知识的相对直接运用而已. 具体在解本题时，可以从纯粹的向量计算角度给出这样的求解思路：因为c⊥a，所以可知c和a两向量相乘的结果必然是0，也就是说a和b两向量之和与a向量的乘积也是0. 这样就可以得出a和b两个向量的乘积结果为-1，而这也就意味着a和b两个向量的余弦值为-，从而可以得出夹角为120度.

但多年的教学经验也让笔者认识到，即使最为简单的数学题背后，都是存在可发掘的价值的.这道向量试题因为简单，实际上也就具有了相当的代表性，类似于c=a+b以及c=a-b等向量的计算，实际上都是建立在这种类型的题目的基础之上的，因此，发掘这种代表性，应当成为培养学生在数学问题解决中发散性思维的重要教学思路. 更重要的是，在实际教学中，如果能够让学生有所生成，并且在学生生成的基础上获得新的认识，那源于本题的教学价值就彰显得非常充分了.

一个很正常的解题直觉

在实际教学中，有三分之二左右的学生能够如上面的解题思路一样给出答案，这说明笔者起初的预设还是正确的. 在此基础上，笔者思考如何将学生的思维进一步引向深入. 在这个时候，笔者注意到一个学生的解题可能存在着发掘价值.

这个学生是这样想的：既然是向量题目，那就可以结合向量的定义来进行. 笔者追问他是什么意思的时候，他回答：对于向量的计算不应当拘泥于纯粹的代数的运算，也可以从图形的角度来考虑，因为向量原本就应当是图形，向量就是有向线段.

这样的回答在课堂上引起了热烈的讨论，相当一部分学生的思维都从数开始向形进行转换. 而在笔者看来，这个学生（数学基础中游的一个学生）的思维其实也很符合数学学习的直觉，因为这一类学生在数学学习中，形象思维往往总能够在关键时刻发挥作用，尤其是抽象思维能力相对较弱的学生而言，认知的特点决定了他们往往会在问题解决中选择形象思维. 而这意味着数与形之间的转换，可以成为数学教学的重头戏，而数形结合则可以成为数学教学的更高指向.

结合本题，如果将问题解决的思路由数转向形，那具体可以如何求解呢？分析原题可知，如果已经知道了向量a和b的大小以及c与a的关系，那么就可以借助于图形来构建这样的关系，而这一点对于学生来说并不是一件难事，因为建立在向量概念基础之上的关于向量大小与方向关系，对于学生来说通过作图来表示，还是比较简单的. 而有了这样的思路，学生就可以通过图形来表征原题所给出的信息，这样就实现了由数向形的转换.

事实上笔者在课堂上还做了一个工作，那就是对提出这一思路的学生大加赞扬，强调其思维在由数向形的转换过程中，表现出很好的数形结合思想. 对于这位学生来说，这样的表扬是激励性的，而对于其他学生来说，这样的表扬则是引导性的，可以从点与面两个角度对数形结合的思想予以强调.

一步有价值的解题延伸

在进行了上述挖掘之后，笔者在教学中做出了适当的调整，对于原来准备的另一个关于向量计算的题目进行了适当的改编. 原题是这样的：已知非零向量a，b，则a=b=a-b=2，则a+b=________，a+b与b夹角为________.

在学生有了上述数形结合的思路之后，笔者提高了解题要求：不只是求出结果，而是分别用数与形两种思路来进行求解.

这样的要求引发了部分学生的异议，他们认为只要能够求出结果就行了，不需要用两种方法，更有部分基础较好的学生认为自己能够一下子选出最好的方法，就没有必要再用繁杂的方法了. 针对这些想法，笔者力排众议，明确要求不仅需要两种方法，还要那些基础较好的学生去比较两种方法，并发现两者之间的优缺点.

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由于要求的提高，因此不同层次的学生都有了自己不同的任务. 这样的任务驱动加上分层教学的思想，使得全体学生都能够在较长时间内沉浸在本题的解决过程当中. 事实上，无论是数的思路，还是形的方法，本题的解决都不算特别困难，绝大多数学生都能在预定时间内给出两种方法. 但笔者需要的是在此基础上对两种方法的对比，这样的教学要求实际上是为了学生在数形结合的过程中多一份理性思考，即不仅知道有两种方法的存在，还需要知道两种方法的不同. 而当学生在比较的过程进行讨论合作之后，他们也确实发现了：在向量问题的解决过程中，数的思路需要较强的逻辑思维能力，一旦有了这样的能力支撑，那解题过程就比较简洁，逻辑性也强；而用形的思路去解题，实际上既需要将原题由数转换成形，也离不开数的运算，只不过运算起来没那么复杂而已.

说这样的教学设计存在价值，还是因为在此比较的过程中，学生可以收获更为高级的数学学习认识. 学生为什么感觉基于图形时计算就没有那么复杂，那是因为学生此时的思维对象有形象的图像支撑，而数学基础好的为什么有时又不需要这样的过程，那是因为他们的逻辑思维强，思维时能够以抽象的数以及数的运算法则为对象. 这就是思维能力不同的高中学生在数学学习过程中的不同表现，也提醒我们，即使是最简单的数学题目，即使是同样都得到了正确的结果，但学生的思维仍然是不同的，而因材施教也就有了存在的必要.

一节需进一步总结的课

从本课的教学来看，本课的预设与生成其实都是围绕一个主题来进行的，那就是向量问题解决中的数形结合. 而事实上高中数学的学习中，数形结合本来就是常态，但为什么很多时候学生的思维中往往只有数而没有形，或者只有形而没有数呢？这可能与学生的学习方式有关，也与教师的教学方式有关.

数形结合原本是重要的数学思想，基于形而去理解数（包括数的运算规则），基于数而去构建形，应当成为数学学习的一种良好直觉. 如果需要进一步总结，笔者以为关键有三：一是数形结合的依托是什么；二是数形结合意识的培养；三是数形结合思想的建立. 对于第一、二两个问题，笔者以为答案在于数学问题解决，因为这是一个综合性最强、指向性最强的教学过程，可以有效激活学生数形结合的意识；而对于第三个问题，笔者以为则需要引导学生对数形结合类的数学问题进行归类，并从中概括出基本的分析思路与数形结合办法. 事实上，数形结合不仅是数学的，更是生活的，在生活中很多时候都是在形的思维基础上去进行数的思考. 基于数学与生活联系的思考，数形结合也应当在高中数学教学中获得更广泛的存在.

运用数形结合思想,设计课堂教学篇12

几何是数形的结合体。数与形如影随形,形是数的外在表现,而数是形的内在本质。数与形总是相辅相成的,既可“以形变数”,也可“以数化形”“形数互变”,数与形具有一定的对应性。

在一次数学活动课上,笔者以图为载体,通过一题多解,发散思维,训练学生数形结合的思想方法,培养他们的创新精神与探究能力。

一、找“朋友”,初步感知数形结合思想

用直线将下列可能相关的算式与图形连起来,并说出理由。

10×6(8+6)×h÷2=42 12.56÷3.14÷2 30×AC÷2=45 AB2

二、以形求数,用代数法解答

出示例题,“如图1,正方形ABCD的边长为4厘米,EF//BC,△CEH的面积为6平方厘米,求GF的长。”

先让学生同位或前后四人为一组,讨论解题策略。

如果用算术法解答,有一定的难度,先启发他们用代数法思考,尝试解答。

一生这样做:

设:△EGH的高为a厘米,△CEG的高为b厘米。所列代数式如下:

解得:EG=6×2÷4=3 GF=4-3=1。

另一生得到另一种结果:

设:△EGH的高为x厘米,面积为S平方厘米。所列代数式为:

还有一生是这样解答的:

设:△EGH的高为x厘米。列出代数式:

解得:EG=6÷2=3,GF=4-3=1。

在集体评议时,大家一致认为前者和后者解答正确,而对第二种解法的评价是:“一个没有结果的算式”而已,甚至连解题者本人对这种做法也感觉莫名其妙,难以自圆其说。笔者首先肯定第二种解题方法求EG长也是可以的,它抓住了△EGH与△CEG共底的等量关系列式。再让大家将此解法的最后算式对照△EGH,分析算式“”表示的意义。学生理解了算式的含义,这才明白了算式中的“3”就是△EGH的底(EG的长),x是高,S=是△EGH的面积计算,大家终于悟出了答案就隐藏在算式中。教师在此有意识地引导学生运用数形结合思想,将算式与图形(△EGH)作对照,强调数形的对应性。如果学生没有数形结合思想,就无法理解算式中的答案“3”。

因势利导,教者又进一步告知学生,几何图形的数与形总是相互依存的,往往有什么样的图形就会列出怎样的算式,而何种算式也可以折射它是一个什么样的图形,数与形就是这种形与影的关系。以上这三种解答方法都是由“形”求出“数”,特别是第二种解法,数形完全相符,即清楚地显示出△EGH的面积计算。

三、由数化形,用算术法解答

引导学生观察分析第一种解法最后的代数计算结果所呈现出的算术式:“6×2÷4=3”,第三种解法的最后解答结果所呈现的算术式:“6÷2=3”,将它们分别对照图1中的△CEH,看看这两种解答方法的数(算式)与形是否完全相符。经过一番思考与讨论,大家觉得这两种解法结果所呈现的算术式与图1均不相符。此刻,教师明确指出:在正常情况下,算式与图形总是相对应的。既然有这样的算式,就必然有与之相对应的图形,肯定可以通过“等积变形”的方法,达到图形与算式相一致,那就可以直接用算术方法解答了。

先观察第一种解法的算式GE=6×2÷4,分析算式的含义,让学生推想变形后的三角形应是面积为6平方厘米,底为4厘米,GE应该是高。

于是,让学生结合算式与图形的关系,动脑动手,尝试等积变形,用算术方法求EG。

几分钟后,有一组学生是这样做的(如图2):

首先,连接AG、BG,得到△ABG。

因为,△AEG=△EGH(同底等高),△BEG=△CEG(同底等高)。

所以,△ABG=△CEH=6。这样,就把△CEH转化成△ABG,其面积依然为6平方厘米,底是正方形边长4厘米,EG是这个三角形的高。

因此,EG=6×2÷4=3,FG=4-3=1。

充分肯定该组“等积变形”的研究成果,同时进一步强调算式与图形对应一致。再用上述方法猜想第三种解法EG=6÷2=3的对应图形,应怎样等积变形?学生很容易地说出,应该是一个面积为6平方厘米,宽为2厘米的长方形。

告诉学生,距离成功只有一步之遥了。只要能将△ABG转化成长方形,与上面的算式EG=6÷2=3相符合,鼓励学生在图2的基础上继续探究。

在距离下课时间只有几分钟的时候,终于有学生成功地解决了这个问题。

其解题思路为(如图3):

作长方形ADFE的平分线XY,再作长方形BCFE的平分线JK,过G点作CD的平行线NM。将图3中的1移往2,将3移往4,正好拼成了一个宽为2厘米,面积为6平方厘米的长方形XPq J,而EG相当于这个长方形的长。