数形结合的思想方法

2024-08-07

数形结合的思想方法（精选12篇）

数形结合的思想方法篇1

数形结合是一个数学思想方法, 包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面, 其应用大致可以分为两种情形:或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系, 即以形作为手段, 数为目的, 比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质;或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性, 即以数作为手段, 形作为目的, 如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质.

恩格斯曾说过:“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学.”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系, 既分析其代数意义, 又揭示其几何直观, 使精确数量与直观空间形式巧妙、和谐地结合在一起.充分利用这种结合, 寻找解题思路, 使问题化难为易、化繁为简, 从而得到解决.“数”与“形”是一对矛盾, 宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一.在教学中, 抽象的数学只有与直观的图形结合起来, 才能使学生掌握得更扎实, 记得更清楚、牢固, 从而达到看图说话的效果.

下面分别从几个方面来说明数形结合思想方法在解题中的一些妙用.

1. 不等式证明的问题

思路分析本题用代数方法也不难获证, 但用数形结合的思想与方法则不仅简洁清晰且体现了一种创新.我们可以把表示以a, b为直角边的直角三角形的斜边, 因此, 本题可以用几何法解决.解法如下:

解如图1所示, 在单位正方图1形中,

从本题我们可以看见, 在不等式两边的表达式中我们可以看到其明显的几何意义, 因此我们可以把不等式与图形建立联系, 设法构造出图形1, 并将不等式所表达的抽象数量关系转化为图形的位置与度量关系加以解决.

2. 求最值问题

思路分析本题难度较大, 用一般方法不易求解, 且过程十分烦琐.于是考虑能否将“数”转化为“形”.

通过上面的例2, 我们看到对于难度较大, 用一般的方法不易求解且过程烦琐的问题, 用数形结合的方法却解得干净利落.这个问题获得解决的特点是数形之间的有效沟通, 把一个函数问题中带根号的表达式与解析几何中的两点的距离公式建立联想.

3. 与复数有关的问题

例3给出满足|z-1+i|+|z+a-3i|=5的复数z在复平面上对应的点的轨迹.

(1) 当|AB|<5时, 即-4

(2) 当|AB|=5时, 即a=-4或a=2, 点P在线段AB上, 故所求的轨迹为一线段AB.

(3) 当|AB|>5时, 即a<-4或a>2, 满足条件的P不存在.

此例是借助复数的几何意义进行解题的, 通过数形结合的方法, 即通过分析AB的长度来判断所求复平面上对应的点的轨迹.通过此例对开拓学生的解题思路和综合分析问题的能力有很好的作用, 能最直接揭示问题的本质, 直观地看到问题的结果, 只需稍加计算或推导, 就能得到确切的答案.

总结数形结合除了在数学解题中有着广泛的运用外, 运用“数形结合”思想方法对学生也有着非常重大的影响.数形结合的思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来, 关键是代数问题与图形之间的相互转化, 它可以使代数问题几何化, 几何问题代数化.

参考文献

[1]刘玉琏, 傅沛仁.数学分析讲义 (第三版) (下) [M].北京:高等教育出版社, 1992.

[2]汪浩, 朱煜民.数学是什么[M].长沙:湖南教育出版社, 1985.

[3]寥月友等主编.高中数学课堂导学与针对训练 (上) [M].北京:中国档案出版社, 2003.

数形结合的思想方法篇2

数学思想方法很多其中数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合是通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法，转化为图形，从图形中直观地发现数量之间存在的内在联系，解决问题。应用数形结合的思想方法，既能培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。下面就我在教学中如何渗透数形结合的思想方法的做法和体会：

一、在观察中渗透数形结合的思想。观察是学生学习活动的基础，是学生获取知识的开始。教师在低年级就应该有意识地让学生观察数与形之间的联系。如：如在教学进位加法时，“42+58= ”我通过演示42根小棒加58根小棒两次满十进一的过程使学生理解相同数位对齐、满十进一的道理。通过演示小棒的方法教学，2和8加起来时10，又是1捆，4捆加5捆再加刚刚的1捆是10捆，可以捆成一大捆即100。学生的整个观察过程展现数与形之间的内在关系，帮助学生理解的进位加法的意义。同时激发了学生的兴趣。

二、在操作中渗透数形结合的思想。小学生思维以具体形象为主，教材为学生提供了许多实践操作的机会，我们要重视学生操作，真正的放手让学生操作。让操作与思维联系起来，让知识在学生操作中产生。比如，低年级有一道题：“小兔从家出发，已经走了52米，这时看到路标上写着离商店还有21米，小兔家离学校有多少米？”我发现有的学生能列出52+21=73（米），但是他们不能清晰地解释为什么要两个数相加。于是教学时，先让学生在作业本上用笔画出整条路线，再用笔尖模仿小兔的行走路线到路边的广告牌时，停下别动。问学生：“离商店还有21米”是那一段？为什么52+21=73（米）的问题就迎刃而解了，重要的是学生在操作中体验领悟到了数形结合的思想。高年级解决问题的题型中，用线段图帮助分析题意。例如：“小强每分钟走65米，小丽每分钟走70米，经过4分钟，两人在校门口相遇，他们两家相距多远？” 我让学生画出线段图，通过画线段图帮助学生分析题中的数量关系，理清解题思路。从线段图中，可以清楚地看到他们两家相距的路程就是小强家到学校的路程加上小丽家到学校的路程。由于小强到学校用了4分钟，即4个65米，就是65×4米。小丽到学校的路程用了4分钟，每分钟70米，即4个70米，就是70×4米，他们两家的路程就是65×4＋70×4米；也可以这样看：他们两个同时走1分钟的路程是（65＋70）米，同时走4分钟的路程是（60＋70）×4米。通过了数形结合的思想方法，能轻松地让学生理解数量关系。我认为老师要分阶段、有目的地培养学生画图分析数量关系。如果从低年级到高年级，教师都注重培养学生分析已知条件和问题，从低年级的看图、说图意、画基本简单的线段图，到中高年级画稍为复杂的线段图、较复杂的线段图。学生的解题方法、解题能力都会得到提高。

数形结合的思想方法篇3

关键词：分析问题;解决问题;灵活性

在初中数学教学活动中数形结合思想方法是一个数学学科独有的教学方法，其在初中教学活动中具有独特的作用。在数学教学活动中大部分教学内容都是抽象的数学概念，这些抽象概念的直接教学对教师的讲解能力和学生的理解能力都是一个考验，借助图形将抽象的数学概念与具象的图形结合起来能够有效解决数学教学活动中的数学知识交互问题，所以对数形结合思想方法在初中数学的应用进行研究具有鲜明的现实意义。

一、渗透数形结合的思想，养成数形结合分析问题的意识

在初中的数学教学活动中，作为教学活动主体的学生自身特点是极为明显的，那就是学生因为年龄和思维方式的限制自身的抽象分析能力还处在发展完善阶段，而具象信息的分析能力处于一个相对活跃的时期。针对初中学生在分析能力上的这一特点，应用数形结合思想培养学生将数字与图形结合起来分析数学问题的能力是极为妥当的。

在数学教学活动中另一个重要的教学方式就是将教学的内容与学生的日常经验结合在一起，让学生的日常经验起到对数学知识学习的促进作用，并将课堂上学习的数学知识结合应用到生活实践中，提高学生数学知识的应用能力，保证学生数学综合素质的全面发展。

每个学生在日常生活中都具备一定的图形知识，教师在教学活动中一定要抓住初中学生展现出的这两个特点，将数学知识与图形结合起来进行教学活动。

例1：小明的父母出去散步，从家走了20分钟后到达一个离家900米的报亭，母亲随即按原路以原速度返回，父亲在看了10分钟报纸后，用了15分钟返回家，你能在下面的平面直角坐标系中画出表示父亲和母亲离家的时间和距离之间的关系么？

图1

这一问题乍一看显得十分复杂，问题之所以复杂是因为在题目中向学生提供了太多的已知量和已知量之间的关系，导致问题如果从数学概念来理解的话学生会有无从下手的感觉，利用平面直角坐标系的图形方式，可以将问题中的已知量和已知量之间的关系细化整体出来，学生依据父亲回家的时间或者距离、母亲回家的时间或者距离就能够将题目中的数学关系理清，由此可见图形的应用极大降低了复杂数学问题的难度，提高了数学问题解决的效率。

在初中教学活动中教师要结合学生生活中的实际问题，对学生的数形结合能力进行渗透培养，强化学生的数形结合思想，让学生在数学知识的学习活动中用具象的图形细化解决抽象的数学问题，用抽象的数学概念概括解决图形问题，促进学生数学综合素质的提升。

二、应用数形结合思想，增强解决问题的灵活性

在數学教学活动中数学和图形本身是两个差别较大的概念，要想在具体的数学问题解决活动中实现二者的结合，利用二者的结合解决实际问题，就一定要解决结合点的问题。在教学活动中要结合对象的属性，将数与形巧妙结合在一起，实现数形之间有效的互相转化，这是数形结合思想在初中数学教学活动中应用的主要方法。在具体的教学活动中教师要注意引导学生对数形结合特殊性的认识和总结，让学生从数形结合的特殊性应用中总结出具有普遍指导性的数形结合原理和经验，并应用这些原理和经验在具体的数学问题解决活动中发挥数形结合的实效。

由于在初中阶段学生还没有学习等比数列，对这一问题的解决困难较大，在具体的教学实践活动中可以应用数形结合的思想方法。

数形结合思想方法是初中教学活动中重要的教学方法，其不仅能提高学生对复杂数学问题的理解能力，而且能够在此基础上大幅度提高学生数学问题解决的效率，拓宽学生的数学知识视野。本文从渗透数形结合的思想，养成数形结合分析问题的意识、应用数形结合思想，增强解决问题的灵活性两个角度对数形结合思想方法的应用进行了简要分析，以期为数形结合思想方法在初中数学应用水平的提高提供支持和借鉴。

参考文献：

[1]孔令伟.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[D].辽宁师范大学，2012.

[2]于灵.运用“数形结合思想”指导初中函数教学研究及课例分析[D].天津师范大学，2013.

浅谈数形结合思想方法的渗透篇4

一、在直观中理解数

在小学数学教学中,一些概念、性质的内容非常抽象,学生理解起来比较困难,我就借助一些直观的图形将这些抽象的概念、性质形象化,通过分析图形中呈现的数学问题情境,抽象出概念、性质的内涵和外延,最终达到帮助学生理解数学概念、性质的目标。如我在教学“认识几分之一”这节课时,就是把直观的图形和抽象的分数结合起来,帮助学生理解分数的意义的。

教学片断一:

师:今天是羊村老村长的生日,喜羊羊它们准备了一个大大的蛋糕,现在老村长想把这个蛋糕分给4只羊吃,要怎样分才算公平?

生:当然是平均分了。

师:(课件演示平均分,并把其中的一份先给了喜羊羊)喜羊羊分得的这块蛋糕是这个蛋糕的几分之几呢?谁能说说自己的想法。

生:喜羊羊分得的这块蛋糕是这个蛋糕的四分之一,因为老村长把一块蛋糕平均分成了4份,其中的一份就是这块蛋糕的四分之一。

师:(课件继续演示把其中的第二块分给了美羊羊)美羊羊分得的这块是这块蛋糕的几分之几呢?

生:也是这块蛋糕的四分之一。

师:也就是说把一个物体平均分成几份,其中的每一份都是它的几分之一。

生:点点头。

师:如果老村长现在改变主意,想把剩下的2块蛋糕全都分给沸羊羊,那沸羊羊分得的是这块蛋糕的几分之几呢?

生:我觉得应该用四分之二表示,把一个物体平均分成4份,2份就是它的四分之二。

师:吃完蛋糕,上了水果。(出示苹果图,一共4只苹果)

师:这盘苹果还是分给四只羊吃,每只羊分得这盘苹果的几分之几?说说你的理解。

生:也是四分之一,因为老村长还是把这一盘子苹果平均分成了4份的,每只羊分得其中的一份,就是这盘苹果的四分之一。

师:如果把这盘苹果平均分给两只羊吃,每只羊分得这盘苹果的几分之几呢?

生:我觉得可能是四分之二。

师:把这盘苹果平均分给两只羊吃,需要平均分成几份?谁来说说分法。

生:只要平均分成两份,其中一只羊分得的就是这盘苹果的二分之一。

(师用课件展示分法)

师:比较这两种分法,同样是一份,为什么有时用四分之一表示,有时用二分之一表示呢?

生:因为分数的分母取决于平均分的份数。

……

“认识一些物体的几分之一”是认识分数中的一次大的飞跃,学生理解起来非常困难,我在教学中借助分蛋糕、分苹果让学生的具体形象思维悄然过渡到抽象的逻辑思维,学生通过对图形的观察、分析,比较深刻地理解了分数的意义,形象化的图形给枯燥的知识增添了趣味,引发了学生的有意注意,提高了学生数学思维的能力。

二、在计算中建立形

在教学中我们发现,很多的图形推理都离不开抽象的计算,教师在组织教学活动时常常通过计算去帮助学生理解一些图形的知识,如我在教学“等底等高的平行四边形面积相等”时,我就利用了以数想形的方法。

教学片断二:

师:老师有一个问题需要同学们帮助解决,愿意帮助老师吗?

生:愿意。

师:(课件出示问题)小明打篮球时不小心把人家的一个平行四边形的玻璃打破了,想要赔给人家,却只能找到以前买玻璃的票据,上面写着30厘米×20厘米的字样,你能帮忙画出那个平行四边形的样子吗?

生:看完问题后就开始动手画起了图,有的学生还一边画一边在比画着。

这时我发现有的学生画了又擦,擦了又画,还不时皱起了眉头,就轻声问学生:“有什么问题吗?”

生:老师,我发现我能够画好多用这个式子计算的平行四边形呢。

师:这倒是一个不错的发现,继续画画看,看看你画出的这些平行四边形有什么异同点。

生继续画。

生:我发现我画的这些平行四边形因为底和高都一样,所以它们的面积都一样,不同的只是它们的形状。

师:你们真是太有才了,你们的发现就是我们数学书上介绍的平行四边形的一个非常重要的性质。(课件出示:不同形状的平行四边形只要等底等高,它的面积就相等)

生:齐读。

师:那我们仅仅根据这个数据还能不能配上和以前一样的平行四边形的玻璃呢?

生:可能性比较小,要配上完全一样的玻璃还必须提供其他的数据。

师:老师也赞同你们的观点,那我们课后再想想办法。

该片段中,我就是借助数据去引导学生画出图形的模样,这种以数想形的方法有效地帮助了学生理解了平行变形的这一重要性质,可谓是一个良策。

数形结合的思想方法篇5

“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．

一、以数助形

要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．例

1、如图，在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F.若DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB同时成立，求点D在AB上的位置.例

2、如图，△ABC三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19.过△ABC内的点P向△ABC 的三边分别作垂线PD、PE、PF（D、E、F为垂足）.若

BDCEAF27.求：BDBF的长.例

3、已知ABC的三边长分别为mn、2mn及mn（m、n为正2222整数，且 mn）。求ABC的面积（用含m、n的代数式表示）。

【海伦公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，设pabc

2，则S】 p(pa)(pb)(pc)。

例

4、将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．

例

5、如图，ABC是一块锐角三角形余料，边AD80毫米，BC120毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个定点分

别在AB,AC上，设该矩形的长QMy毫米，宽MNx毫米．当x与y

分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？

例

6、如图,点P是矩形ABCD内一点，PA3，PB=4，PC=5，求PD的长．

二、以形助数

几何图形在数学中所具有的最大的优势就是直观易懂，所以在谈到“数形结合”思想时，就更偏好于“以形助数”的方法，利用几何图形解决相关不易求解的代数问题。几何图形直观的运用于代数中主要体现在几个方面：

（1）利用相关的几何图形帮助记忆代数公式，例如：完全平方公式与平方差公式；

（2）利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进而帮

助求解相关的代数问题，或者简化相关的代数运算。

例

1、在等腰ABC中,ABAC5,BC6,P是底边上任一点,求P到两腰的距离的和．例

2、已知a、b均为正数，且ab2。求a24b21的最小值。

例

3、若将数轴折叠，使得A点与－2表示的点重合，若数轴上M、N两点之间的距离为2012(M在N的左侧)，且M、N两点经过折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M:N:

例

4、数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位，点A，B，C，D分别表示整数a，b，c，d，且d－2a＝10，则原点在（）的位置

A.点AB.点BC.点CD.点D

x－a＞0例

5、已知关于x的不等式组的整数解共有2个，则a的取值范围是___________． 2－x＞0

例

6、如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．

(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；

若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为．

(2)由题(1)的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题:

一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？

1例

7、如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的正2

三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一

1块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，„，记第n(n≥3)块纸板的周长为Pn，则Pn2

－Pn－1

„

数形结合的思想方法篇6

【关键词】数形结合高中教学重要地位意义

1.前言

我们都知道，高中教学在我们的整个的教育阶段中是处于核心位置的阶段，无论是从老师的教学还是从学生的学习、接受知识的能力方面来说都是有一定的挑战和难度的。相对于其他学科来说，高中数学的难度大，知识点多，各个知识点在运用的时候又是相互联系，互为条件的。所以，这就要求老师在教学的过程中寻找到好的，浅显易懂的方法，将抽象简单化，这样学生才能更容易接受并巩固所学到的知识。数形结合法是一种常见的、简单易学的方法，具有简洁性和直接性的特点。它广泛运用在三角函数、三角公式、直线与圆锥曲线、向量、解方程（不等式方程）、求函数值域等知识点中。总之，数形结合法不仅能提高教学质量，而且能让老师的教学和学生的学习有事半功倍的效果。

2.数形结合思想方法的深远意义及优越性在高中阶段的学习中，语、数、英这三门课，是文科和理科学生都要学习的必修课程。相对于理科生来说，大部分文科学生在学习数学方面上就比理科生弱。绝大多数女生在逻辑思维上又弱于男生，所以数学的学习也并不是件简单的事。俗话说，学好数理化，走遍天下都不怕。从中可见高中数学在整个高中教学的地位是很重要的。

2.1高中教学中教师运用数形结合思想的好处高中教学中数形结合的方法就是在教学中把数和形看做成是一种对立统一的关系，在分析数学题目的同时，找出相对应的图形特点，在图形上能直观的反映出题目的解。整个高中阶段的数学知识点多而杂，通过运用这种方法，不仅可以提高教师的教学质量，学生在学习时也能“一目了然”。对于授课老师来说，教师在课堂上通过数形结合的教学方式授课，不仅能使课堂的学习氛围不枯燥，达到课堂生动、活跃的效果，还能调动学生的学习积极性，主动性。通过数形结合的思想，把抽象的数学概念，数学练习题转化为形象、直观的图形，让学生动手动笔把相应的图形画出来，这能让学生更直观的感受到不用通过某些繁杂的公式就能把题目解出来的方法，这样不仅教师的教学难度减小了，也能培养学生的学习热情。现在就拿解决集合的问题来说，不论是子集、交集、并集还是补集，又或者是这些元素的交叉，都可以运用数轴来解题。例如：全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={1，2，3，4，5，6}，B={2，4，6，7，8}，那么A∩B是多少？虽然题目简单，但运用数轴的方式，可以让学生更简洁明了的看到解题的正确答案，A∩B={2，4，6}，在解决较难的集合问题时，老师让学生能动手画数轴解题，这就是数形结合思想上一个重要的体现。当然，高中数学教学中不仅仅是解决集合问题时可以用数形结合的思想，在函数、三角函数、数列、解析几何等问题时都可以大量运用。总之，数形结合的思想是作为一名教师，特别是高中教师所应该具备的，并且是应多传授给学生的一种良好的教学修养。

2.2数形结合思想对学生学习的意义

对于逻辑思维较差的学生来说，在高中数学的学习时确实会遇到困难。但学生能接受教师在课堂上所讲的数形结合的方法，对解题是大有帮助的。数形结合思想不仅能激发学生的创新意识，还能提高他们的创造能力。高考就是万人挤过独木桥，在高考考试过程中，试卷的题量大，题目新颖，这就要求学生的应对能力要强，解题速度要快，答案要清晰准确。在解三角函数时，通过画出相应的三角函数的单调区间，比较之后获得答案，所以学生在学习时，多运用数形结合方法，能有效提高学生的解题能力，减少错误率，提高分数。学生在运用数形结合思想的过程中获得成就感，這样也就使一些学生减小或者消除对数学的恐惧感，提高学习数学的信心，从而获得自信。分数对于一个考生来说是至关重要的，在高考中，一分之差就有可能名落孙山。所以说，在考试中解题是关键，答对题就是重中之重。学生在遇到问题时，应多主动用笔试在纸上画出所要解答的具体图像，通过观察图形，或者数学式子两者之间的变化关系，得到解题的关键，从而获得最终答案。

3.结语

数形结合思想在整个高中教学中是必不可少的，虽然在现阶段这个思想实行起来还是有困难的，并且数形结合的方法不能说只是教师一个人唱独角戏就能完成的，这是需要教师和学生之间良好的配合。教师多专研，争取在教学时能把数形结合思想有效的教授给学生，学生也要乐于接受新知识，新方法。换句话说，高中数学教学是离不开数形结合思想的，老师要想教得好，学生要想学得快，做题准确，这个方法是非常有用的。高中数学的独立性，多样化等特点就需要数形结合思想这样直观、简洁的方法来分析。在学习数学的过程中，学生不会运用数形结合方法来解题，那么就说明相对于会运用的学生来说，他就落后一截。总而言之，数形结合思想方法在高中教学的地位是非常重要的，并且是灵活有效的一种思想方法。

【参考文献】

[1]卢向敏.数形结合方法在高中数学教学中的应用[D].内蒙古师范大学，2013

[2]张武.对“数形结合”解题误区的认识与思考[J].太原教育学院学报，2014（06）

数形结合的思想方法篇7

数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，把代数式的精确刻画与几何的问题代数化，从而将抽象思维与形象思维结合的一种思维方法，主要表现在用代数的方法解决几何问题，或用几何的方法解决代数的问题，以及代数和几何的综合问题的解析，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系几何形式巧妙、和谐的结合起来。“数”是“形”的高度抽象，“形”是“数”的形象表达。对抽象的数赋予直观图形的几何意义，或对直观的图形赋予严密的代数意义，通过“以形助数”或“以数解形”即抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，它从形的直观和数的严谨两方面思考问题，拓宽了解题思路，优化了解题途径，是数学的规律性和灵活性的有机结合。“识”的思想就是一种观察法，即清楚地认识问题的本质、探究解决问题的方法、判断是否运用数形结合的思想解决问题。从而有所取舍巧妙运用数形结合的思想解决问题。

二、数形结合的思想与“识”的思想的联系

二者的共同点都是研究数学本质的问题，但“识”更注重弄清数学问题本身的实质，数形结合将数学问题中抽象的数量关系表现为一定的几何图形性质，既分析其代数含义，又提示其几何意义，使数量关系的几何图形巧妙和谐的结合起来，对抽象的数赋予直观图形的几何意义，或对直观的图形赋予严密的代数意义。在解决初中数学问题时，必须先弄清问题本身的实质即先用“识”的思想考虑问题，再利用数形结合方法解决该问题，故“识”是思想，数形结合是“识”思想的工具。

三、“识”的思想指导数形结合

初中数学“识”的思想即在解决数学问题时，必须先弄清楚问题的本质。该问题具体指的是什么，有哪些关系量，怎样根据已知数量构建图形或根据图形用代数的语言代替几何语言，也就是语言互译的过程。通过语言的互译过程以后就结合数形结合的思想和方法建立符合问题的代数模型或几何模型，充分应用代数中的方程、不等式、函数；几何中的函数图像、数轴、图形解决问题。这就体现“识”的思想是作为一种指导思想，数形结合是执行“识”的思想的指导的工具。只要在解决问题时“识”的思想考虑的非常合理充分，运用数形结合得当，那么问题就会迎刃而解。

四、运用“识”的思想与数形结合解决问题

运用“识”的思想与数形结合解决初中的数学问题必须知道数的表现形式有：实数、代数式、方程、不等式、等；形的表现形式有：直线、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等，这样运用“识”的思想就会得心应手。下面几点运用“识”的思想与数形结合解决问题。

1、解决初中数学中的实数问题

在初中数学中实数是由正实数、零、负实数的无数个数组成，而直线是由无数个点组成的集合，我们这就找到了实数与直线的本质共性。赋予实数几何意义，用直线上无数个点来表示实数，这时就把一条直线规定了原点、正方向和单位长度，把这条直线叫做数轴，建立了数与直线的点的完美结合。即数轴上的每一个点都表是一个实数，每个实数都能在数轴上找到表示它的点，建立了实数与数轴上的点的一一对应关系，由此让学生理解了相反数、绝对值的几何意义。从而学生可以利用数轴对实数的比较大小、绝对值计算等的问题的解决，更加容易理解问题，更加容易解决问题。数形结合让实数更加形象直观。

2、解决初中数学中的方程问题

方程，方程组是初中数学的重中之重，往往在中考当中占有很大的分值，有很多的同学会在这里找不到解决方程的方法而失分，且学好了方程也是解决函数的重要工具，因此用“识”的思想结合数形结合的方法解决放程问题更加形象简便也是为学好函数打下坚实的基础。

3、解决初中数学中的函数问题

平面直角坐标系是数形结合的桥梁，也是解决函数问题的重要工具，也是将数转化为形或将形转化为数的催化剂。“识”的思想在解决函数问题起到了总领全局的作用，只有清楚的认识在平面直角坐标系中怎样将点变坐标、坐标变距离形象的找出解决问题的切入点。认识坐标将几何与代数有机结合。

(1）在x轴上点A（），B（）的距离形成了AB=||坐标变距离的代数转化，y轴上点C（），D（）的距离形成了CD=||坐标变距离的代数转化。

(2）点P (x, y）的横纵坐标在图形上与x, y轴形成矩形。分别代表了点P与x, y轴的距离的几何转化，这就说明在平面直角坐标系中点到x轴的距离是纵坐标的绝对值|y|，到y轴的距离是横坐标的绝对值|x|，这就是点变坐标、坐标变距离的代数化的特征。

(3）一次函数y=kx+b中的k, b的大小决定一次函数的图像与坐标轴的交点位置（0，b）、（-），k决定了直线的倾斜情况。互相平行的直线只是b的大小发生了变化，k的值不变。

(4）反比例函数y=（x）中|k|的几何意义是点与坐标轴形成的矩形的面积，与矩形的形状无关。

(5）二次函数y=ax2+bx+c (a) 中的a决定抛物线的开口方向、大小，a与b一起决定抛物线的对称轴位置，c决定了抛物线与y轴的交点位置且与a、b一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标。抛物线的图像平移只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度来讲是b, c大小的变化。

(6）方程与函数的关系，从代数的角度看是用方程的解、根的判别式、根与系数的关系等知识来刻画函数的图像特征，从图形的角度看是函数之间位置关系，特别是交点、点的横纵坐标是联系图像和代数重要通道，即确定图像的位置大小，又是方程（组）的解。

经过了“识”的思想的过程的指引我们就可以用工具数形结合的方法进行解决有关初中数学函数的问题。这种方法解决问题势如破竹。

五、总结

从上面几个方面使我们认识到：数形结合与“识”的思想相结合是解答数学题的一种常用方法和技巧。先弄清问题的本质，进而弄清数学问题的条件与结论之间的内在联系，使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题途径，使问题得到解决。在运用数形结合与“识”的思想分析和解决问题时，要注意三点：

第一，要彻底明白一些概念和运算的几何意义，以及曲线的代数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义，又分析其代数意义；

第二，是恰当转化，合理用点变坐标、坐标变距离，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；

数形结合的思想方法篇8

一、在集合问题中的运用

例1 (2008年北京)已知全集U=R,集合A={x|-2≤x≤3},B={x|x<-1或x>4},那么集合A∩(UB)等于()

分析:不等式表示的集合通过数轴解答.

解:在数轴上先画出UB={x|-1≤x≤4},再画出集合A={x|-2≤x≤3},取其公共部分,如图1所示阴影部分就是集合A∩(UB).故选(D).

评注:对于不等式表示的集合,可在数轴上表示并进行集合的交、并、补的运算.二、在函数中的运用

例2 (2007年浙江)设g(x)是二次函数,若f[g(x)]的值域是[0,+∞),则g(x)的值域是()

(A)(-∞,-1]∪[1,+∞)

(B)(-∞,-1]∪[0,+∞)

(C)[-1,+∞)

(D)[1,+∞)

分析:本题为复合函数,g(x)相当于f(x)中的x的值,结合函数的图象,可以求得g(x)的值域.

解:作出函数f(x)的图象如图2所示.由图知当x∈(-∞,-1]∪[0,+∞)时,函数f(x)的值域为[0,+∞).而f[g(x)]为复合函数,二次函数g(x)相当于f(x)中的x的值,所以g(x)的值域只能取[0,+∞),故选(C).

评注:本题中的复合函数要转化为原函数f(x)和g(x)的信息,结合函数的图象更为直观地找到它们之间的关系,而不必探究二次函数g(x)的解析式.

例3 (2008年宁夏区银川一中)函数的零点的个数是()

(A)3个(B)2个

分析:函数的零点的个数就是方程的解的个数,要通过数形结合,画出函数的图象的交点的个数.

解:的零点,即使.作函数y=lnx的图象和函数的图象.如图3所示,有两个交点,所以函数f(x)有两个零点.故选(B).

评注:对于象本题这样的超越函数的零点个数问题常常用数形结合的思想解答.

三、在求图形面积中的运用

例4 (2008年山东省聊城市)曲线y=x2和曲线围成一个叶形图(如图4所示阴影部分),其面积是()

分析:两条曲线围成的面积用定积分求出,并且是上面的函数减去下面的函数的积分.

解:两条曲线的交点为(1,1),阴影部分的面积为

选(D).

评注:对于曲线所围成的不规则的几何图形的面积,要用微积分解答,注意积分的上限和下限,有时要看图形是否需要切分成多块部分求出.

四、在有关导数问题中的运用

例5 (2008年金华一中)函数y=f(x)的图象过原点,且它的导函数y=f'(x)的图象是如图5所示的一条直线,则y=f(x)的图象的顶点在()

(A)第一象限(B)第二象限

(C)第三象限(D)第四象限

分析:由导函数y=f'(x)的图象及求导公式,提炼出信息得到原函数的有关信息解答.

解:它的导函数y=f'(x)的图象是如图6所示的一条直线,可知原函数y=f(x)为二次函数.设解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由于函数y=f(x)的图象过原点,当x∈(-∞,m)时,f'(x)>0,f(x)递增;当x∈(m,+∞)时,f'(x)<0,f(x)递减,则y=f(x)的图象如图6所示.所以顶点在第一象限.选(B).

评注:要熟悉导函数与原函数之间的关系,对一次、二次函数关系及其图象的特点要很熟悉.

例6设f'(x)是函数f(x)的导函数,y=f'(x)的图象如图7所示,则y=f(x)的图象最有可能的是()

解:由y=f'(x)的图象知当x∈(-∞,0]和[2,+∞)时,y=f(x)是递增的;当x∈[0,2],y=f(x)是递减的.故选(C).

五、在不等式表示的平面区域问题中的运用

例7 (2008年安徽)若A为不等式组,表示的平面区域,则当a从-2连续变化到1时,动直线x+y=a扫过A中的那部分区域的面积为______.

分析:作出不等式表示的平面区域,然后再作平行线x+y=-2和x+y=1,则夹在两平行线之间的部分和A的相交部分即为所求.答案为.

评注:涉及到不等式表示的平面区域问题时常常要画出图形,用数形结合解答问题.

例8 (2008年浙江)若a≥0,b≥0,且当时,恒有ax+by≤1,则以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域的面积等于_____.

_分析:本小题主要考查线性规划的相关知识,可考虑特殊情形,比如x=0,可得a=1;y=0可得b=1.所以猜测a介于0和1之间,b介于0和1之间.

解:不等式组,表示的平面区域为△AOB,如图9,0≤x≤1且0≤y≤1.

由ax+by≤1恒成立知,当x=0时,by≤1恒成立,故0≤b≤1;当y=0时,ax≤1恒成立,故0≤a≤1.

所以以a,b为坐标的点P(a,b)所形成的平面区域是一个正方形,其面积为1.

评注:线性规划的相关知识要画出图形,借助图形解答.另外对于恒成立问题,对个例一定成立,还要转为函数的最值.

六、在解析几何问题中的运用

例9 (2008年海南)已知点P在抛物线y2=4x上,那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P的坐标为()

(A)(B)

(C)(1,2)(D)(1,-2)

分析:点P到抛物线焦点的距离等于点P到准线的距离,这样就可以把点P到抛物线的焦点的距离转化为到准线的距离.

解:点Q(2,-1)在抛物线y2=4x的内部,要使点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点F的距离之和取得最小值,根据抛物线的定义知,须使点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线准线l的距离之和取得最小.如图10,可见当PQ⊥准线l时,所求值最小.此时得,故选(A).

评注:熟悉各圆锥曲线的定义,做题时常常用定义进行转化.

七、练习题

1. 已知5x+12y=60,则的最小值是______.

(A)(B)(C)(D) 1

2. 方程2x=x2+2x+1的实数解的个数是______.

(A)1 (B)2 (C)3 (D)以上都不对

3. 如果奇函数f(x)在区间[3,7]上是增

函数且最小值是5,那么f(x)在区间[-7,-,3]上是______.

(A)增函数且最小值为-5

(B)增函数且最大值为-5

(C)减函数且最小值为-5

(D)减函数且最大值为-5

4. 如果实数x、y满足等式(x-2)2+y2=3,那么的最大值是______.

(A)(B)(C)(D)

5.设实数x、y满足则的取值范围是______.

数形结合的思想方法篇9

2011年江苏省高考数学学科命题的指导思想清楚表明:“……注重知识内在联系的考查, 注重对中学数学中所蕴含的数学思想方法的考查.”而数形结合的思想方法是中学数学中所蕴藏的重要思想方法之一, 因此我们应把数形结合的思想方法渗透到数学课堂教学之中.所谓数形结合, 就是根据数与形之间的对应关系, 通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想.在数学教学中渗透和运用数形结合的思想方法, 可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化, 可以帮助学生从具体的形象思维向抽象思维过渡, 同时, 又可以用抽象思维来完善形象思维.函数问题是中学数学永恒的主题, 本文以高三函数专题复习课例谈数形结合思想方法在数学课堂教学中的渗透.

一、函数概念问题

例1 (苏教版必修1第29页第6题) 直线x=a和函数y=x2+1的图像的公共点可能有几个?

分析作出函数y=x2+1的图像和直线x=a的图像数, 形结合可知公共点有且只有一个. (本题当然可以用代数的方法代入求解, 但数形结合更为直观!)

利用坐标系数形结合求解, 使抽象的数学问题直观化!

二、函数定义域、值域 (或最值) 及含参问题

例2 求函数 $y = \sqrt{16 - x^{2}} + \sqrt{- c o s x}$ 的定义域.

分析函数 $y = \sqrt{16 - x^{2}} + \sqrt{- c o s x}$ 定义域应满足16-x2≥0且-cosx≥0, 即-4≤x≤4且 $2 k π + \frac{π}{2} \leq x \leq 2 k π + \frac{3 π}{2} (k \in Ζ)$ , 则画数轴数形结合可知 $x \in [- 4, - \frac{π}{2}] \cup [\frac{π}{2}, 4] .$

利用数轴数形结合求解, 使复杂的交集计算问题更直观简洁!

例3 求函数 $y = \frac{s i n x}{c o s x + 2}$ 的值域.

分析利用“三角函数的有界性”“判别式法”“不等式法”“导数法”等代数方法可解决, 但较繁琐.若将函数看成为单位圆上的点A (cosx, sinx) 和定点B (-2, 0) 连线的斜率, 将函数最值问题转化为斜率的最值, 只要求出过定点B (-2, 0) 且与单位圆相切的直线斜率即可.

设切线方程为y=k (x+2) , 即kx-y+2k=0.由 $\frac{| 2 k |}{\sqrt{1 + k^{2}}} = 1$ , 得 $k = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ 或 $k = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .则数形结合可知 $- \frac{\sqrt{3}}{3} \leq k \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$ , 所以值域为 $[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}] .$

联想斜率公式构造斜率, 利用直线与圆相切求出斜率, 数形结合求解, 起到了事半功倍的效果!

例4 求函数 $y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 2} + \sqrt{x^{2} - 6 x + 13}$ 的最小值.

分析函数 $y = \sqrt{x^{2} - 2 x + 2} + \sqrt{x^{2} - 6 x + 13} = \sqrt{(x - 1)^{2} + 1} + \sqrt{(x - 3)^{2} + 4}$ , 设 $A (1, 1), B (3, 2), Ρ (x, 0) ‚ \sqrt{(x - 1)^{2} + 1} + \sqrt{(x - 3)^{2} + 4}$ 的几何意义是x轴上的动点P到两定点A, B的距离之和, 设A (1, 1) 关于x轴的对称点是C (1, -1) , 画坐标系数形结合可知函数最小值为 $C B = \sqrt{13} .$

此类函数的最值问题用代数的方法来解决是非常困难的, 利用其几何意义数形结合求解直观、形象!

三、函数图像问题

例5 函数 $f (x) = 2^{| \log_{2} x |} - | x - \frac{1}{x} |$ 的大致图像为.

分析函数 $f (x) = 2^{| \log_{2} x |} - | x - \frac{1}{x} |$ 的定义域为 (0, +∞) , 又函数 $f (x) = 2^{| \log_{2} x |} - | x - \frac{1}{x} |$ 可以化简为

$f (x) = {\begin{cases} \frac{1}{x}, x \geq 1, \\ x, 0 < x < 1 ‚ \end{cases}$

则易知函数图像为D.

研究较复杂的函数的“图像” (或性质) 必须建立在严谨的“数”的基础上, 数形结合求解直观、形象!

四、函数单调性及含参问题

例6 函数f (x) =x2-2ax+3.

(1) 若函数f (x) 在 (-∞, 0) 上单调递减, 则实数a的范围为. (答案:a≥0)

(2) 若函数f (x) 的单调递减区间为 (-∞, 0) , 则实数a的值为. (答案:a=0)

(3) 研究函数f (x) 在 (1, 2) 的单调性及最小值g (a) .

分析对于前两问的处理抓住“在区间A上单调递减”和“单调递减区间B”的区别和联系 (A⊆B) , 画二次函数的图像数形结合可求.第 (3) 问是二次函数“轴动区间定”的最值问题, 分类讨论对称轴x=a与区间 (1, 2) 的位置关系 (即a与1和2的大小关系) , 数形结合 (如图1, 2, 3) 可研究其单调性, 并可求出最小值为

$g (a) = {\begin{cases} 4 - 2 a, a \leq 1, \\ 3 - a^{2}, 1 < a < 2, \\ 7 - 4 a, a \geq 2 . \end{cases}$

此类二次函数“轴动区间定”的最值问题, 数形结合求解直观、形象!

例7 设a为实数, 函数f (x) =x2+|x-a|+1 (x∈R) , 求f (x) 的最小值.

分析 ①当x≤a时, f (x) =x2-x+a+1.

若 $a \leq \frac{1}{2} ‚ f (x) = (x - \frac{1}{2})^{2} + a + \frac{3}{4} .$

f (x) 在 (-∞, a]上单调递减, 从而f (x) 在 (-∞, a]上的最小值为f (a) =a2+1.

若 $a > \frac{1}{2} ‚ f (x)$ 在 (-∞, a]上的最小值为 $f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + a$ 且 $f (\frac{1}{2}) \leq f (a) .$

②当x≥a时, 函数 $f (x) = x^{2} + x - a + 1 = (x + \frac{1}{2})^{2} - a + \frac{3}{4} .$

若 $a \leq - \frac{1}{2} ‚ f (x)$ 在[a, +∞) 上的最小值为 $f (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{4} - a$ , 且 $f (- \frac{1}{2}) \leq f (a) .$

若 $a > - \frac{1}{2} ‚ f (x)$ 在[a, +∞) 上单调递增, 从而f (x) 在[a, +∞) 上最小值为f (a) =a2+1.

综上所述, 当 $a \leq - \frac{1}{2}$ 时, f (x) 的最小值是 $f (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{4} - a$ ;

当 $- \frac{1}{2} < a \leq \frac{1}{2}$ 时, f (x) 的最小值是f (a) =a2+1;

当 $a > \frac{1}{2}$ 时, f (x) 的最小值是 $f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} + a .$

求解本题的关键是去绝对值符号, 转化为二次函数, 利用二次函数图像对a进行分类讨论.

五、函数奇偶性及含参问题

例8 若f (x) 是奇函数, 且在 (-∞, 0) 上是增函数.又f (3) =0, 则x·f (x) >0的解集是.

分析由f (x) 是奇函数且f (3) =0, 可得f (-3) =0.又f (x) 是奇函数, 且在 (-∞, 0) 上是增函数知f (x) 在 (0, +∞) 上是增函数, 结合草图 (右图) 可知x·f (x) >0的解集是 (-∞, -3) ∪ (3, +∞) .

此类抽象函数的问题, 数形结合求解直观、形象!

六、函数恒成立及含参问题

例9 (2008年江苏高考14) 设函数f (x) =ax3-3x+1对于x∈[-1, 1]总有f (x) ≥0成立, 则a=.

分析由题f (x) =ax3-3x+1≥0在x∈[-1, 1]恒成立, 即等价转化为ax3≥3x-1在x∈[-1, 1]恒成立.

构造函数法一设f (x) =ax3, g (x) =3x-1, 则f (x) ≥g (x) 在x∈[-1, 1]恒成立.作出两个函数f (x) =ax3, g (x) =3x-1的图像, 易知a≤0时不合题意, 故a>0.设在P (x0, y0) 处直线g (x) =3x-1与曲线f (x) =ax3 (a>0) 相切, 则

${\begin{cases} y_{0} = 3 x_{0} - 1, \\ 3 a x_{0}^{2} = 3, \\ y_{0} = a x_{0}^{3} ‚ \end{cases}$

解得a=4.此时直线g (x) =3x-1与曲线f (x) =ax3 (a>0) 还相交于Q (-1, -4) , 若a≠4 (a>0) 时, 数形结合可知不合题意.

构造函数法二本题易知a≤0时不合题意, ax3≥3x-1还可以等价转化为 $x^{3} \geq \frac{1}{a} (3 x - 1)$ 在x∈[-1, 1]恒成立.作出两个函数 $f (x) = x^{3} ‚ g (x) = \frac{1}{a} (3 x - 1) (a > 0)$ 的图像, 同法一利用导数知识和数形结合思想可求得a=4.

本题是含参数的函数恒成立问题, 利用“分类讨论法, 结合导数知识求函数最值”或“分离参数法, 结合导数知识求函数最值”较复杂, 若利用“构造函数法, 结合导数知识数形结合”来求解可使问题迎刃而解!

七、函数交点个数、方程实数根及含参问题

例10 (2008年湖北卷文13) 方程2-x+x2=3的实数解的个数为.

分析画出y=2-x与y=3-x2的图像, 有两个交点, 故方程2-x+x2=3的实数解的个数为2个.

例11 (2008年上海卷理11) 方程 $x^{2} + \sqrt{2} x - 1 = 0$ 的解可视为函数 $y = x + \sqrt{2}$ 的图像与函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图像交点的横坐标, 若x4+ax-4=0的各个实根x1, x2, …, xk (k≤4) 所对应的点 $(x_{i}, \frac{4}{x_{i}}) (i = 1, 2, \dots, k)$ 均在直线y=x的同侧, 则实数a的取值范围是.

分析方程的根显然x≠0, 原方程等价于 $x^{3} + a = \frac{4}{x}$ , 原方程的实根是曲线y=x3+a与曲线 $y = \frac{4}{x}$ 的交点的横坐标;而曲线y=x3+a是由曲线y=x3向上或向下平移|a|个单位而得到的.若交点 $(x_{i}, \frac{4}{x_{i}}) (i = 1, 2, \dots, k)$ 均在直线y=x的同侧, 因直线y=x与 $y = \frac{4}{x}$ 的交点为 (-2, -2) , (2, 2) , 所以结合图像可得

${\begin{cases} a > 0 ‚ \\ x^{3} + a > - 2, \\ x \geq - 2 \end{cases}$

或

${\begin{cases} a < 0, \\ x^{3} + a < 2, \\ x \leq 2 \end{cases} \Rightarrow a \in (- \infty, - 6) \cup (6, + \infty) .$

此类函数的问题, 数形结合来求解可使问题迎刃而解!

美国著名数学教育家波利亚说过, 掌握数学就意味着要善于解题.数形结合是数学的本质特征, 在数学课堂的教学中渗透数形结合思想方法正是充分把握住了数学的精髓和灵魂.数学是思维的科学, 是一个高度抽象的思维王国, 而数形结合是深化思维的有力“杠杆”, 是培养学生解题能力的一种重要手段.在数学教学中, 由数想形、以形助数的数形结合思想, 具有可以使问题直观呈现的优点, 有利于加深学生对知识的识记和理解;在解答数学题时, 数形结合, 有利于学生分析题中数量之间的关系, 丰富表象, 引发联想, 启迪思维, 拓宽思路, 迅速找到解决问题的方法, 从而提高分析问题和解决问题的能力.

数形结合思想方法中数与形被自然地结合在一起, 使它不但成为解决数学问题的方法, 而且作为一种数学思想融于高中数学教学之中, 它是将知识转化为能力的“桥”.这正像华罗庚教授说过的“数缺形时少直觉, 形少数时难入微, 二者结合万般好, 倘若分离万事休”.

抓住数形结合思想教学, 不仅能够提高学生数形转化能力, 还可以提高学生迁移思维能力.因此, 作为一项教学改革, 需要我们在数学教学的每一个教学环节中, 都要重视数形结合思想方法的教学, 要把数形结合思想方法渗透到分析过程中, 让学生体会数形结合思想方法对解决问题的巨大作用, 强化应用意识, 要争取胸中有图, 见数想图, 以开拓学生的思维视野.“授之以鱼, 不如授之以渔”, 方法的掌握, 思想的形成, 才能使学生受益终生.

参考文献

[1]中华人民共和国教育部制定.普通高中数学课程标准 (实验) [M].北京:人民教育出版社, 2003.

[2][美]G.波利亚.怎样解题.阎育苏, 译.科学出版社, 1982.

数形结合的思想方法篇10

一、“数形结合”帮助学生理解概念

以四年级下册《近似数》一课为例,分析对比如下:

尽管我们一直在强调不管什么样的教材,教师都要创新教学理念,但教材的纲性特征通常束缚着教师的改变。旧版教材中,教师以讲方法和结果居多,学生通过记忆法则和大量练习能掌握四舍五入法求近似数的方法,但学生知其然而不知其所以然。例如,将204987四舍五入到万位求近似数,看万位后面千位上的数字是4,比5小,所以万位后面所有的数都舍去改写成0,得到204987四舍五入到万位的近似数200000。但喜欢思考问题的学生常会问:“4比5小,可4后面还有9、8、7,它们都比5大,为什么不向前一位进一。”老师的回答经常是这样:“让你看万位后面千位上的数字,谁让你去看其他数位上的数字。”学生只好懵懂作罢。新版教材,通过引入数线可清晰地化难为简、变抽象为直观,很好地解决了学生对重点、难点和疑点的理解困惑。

“近似数”一课有这样一类拓展题目:如“一个数的近似数是6万,那么这个数最大是多少?最小是多少?”。

旧版教材学完之后,若将题目进行变换,很多学生不能准确答出此题。分析可知,学生在缺少理解的情况下去认识更为抽象的大数,常出错误就成为必然。

新教材利用“数形结合”方法使学生比较容易在图上画出这个数的范围,既能看到最小数55000,也能容易想到最大数是64999。

学生会求一个数的近似数,更能灵活求一个数的近似数,这是显性教学效果,新版教材以及新的教学方法还增加了隐形效果,那就是增强了学生由形象思维向抽象思维转变的意识,培养了学生“数形结合”的数学思想,提高了学生的数学能力。而这些提高正是新课标所提倡和要求的,也是数学学习的终极目标。

二、“数形结合”帮助学生理解算理

学生的运算能力是新课标10个核心概念之一。运算是数学学习的重要内容。关于学生运算能力的培养和发展,新课标中写到“学生伴随着数学知识的积累和深化,正确理解相关的数学概念,是逐步形成运算技能、发展运算能力的前提,运算能力的培养和发展不仅包括运算技能的逐步提高,还应包括运算思维素质的提高和发展,运算能力的培养和发展首先要从具体到抽象”。

新教材的教学理念和教学方法是非常符合新课标要求的。对比三年级上册新旧教材“两、三位数乘一位数”一课,可窥视出新教材是如何从具体到抽象培养和发展学生运算能力的。

旧版教材的情景是生活中的购物,通过解决买4把椅子需要多少钱这一问题,教材运用了口算、加法计算(横式和竖式两种)、表格计算和竖式计算多样化的计算方法,由加法竖式计算演变成乘法竖式计算,让学生体会乘法竖式的简洁和竖式的写法。

新教材在完成12×4竖式计算终极目标的过程中,进行了两次活动。一是学生在点子图上圈一圈、算一算,直观进行口算,由于它的直观性因而学生都能完成;二是揭示乘法竖式笔算与口算之间的本质联系,学生直观理解乘法竖式的算法和算理,教材借助点子图把12×4拆分成2×4和10×4,并与竖式计算中的每一步对应起来,清晰地呈现出两位数乘一位数的乘法竖式计算过程,同时还把列表的方法和两者建立了关系,沟通了表格、竖式和点子图三者之间的内在联系,帮助学生理解每一步的具体含义。新版教材的教学方法对学生来说直观生动、易于理解、印象深刻,非常适宜于发展学生的运算思维能力。

三、“数形结合”帮助学生理解运算规律

小学阶段要求学生掌握的运算律有加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、乘法分配律,其中前四种运算律都是同级运算律。只有乘法分配律中有两级运算乘和加,因而学生掌握和运用此规律有一定的困难。新教材运用“数形结合”,很好地解决了这一难题。下面以新旧教材《乘法分配律》一课中“仿写算式”这部分内容做对比,来体会新版教材中应用”数形结合”教学方法的优势。

旧版教材在学生仿写出两个算式之后,运用计算的方法进行验证两个算式等值。而新版教材在学生仿写之后,运用的是直观的画图和乘法的意义来验证两个算式等值。特别是直观图形验证,很好地把抽象的算式与图形结合在一起,学生不需要计算很容易就能验证,同时清晰地看到数和形的一一对应。

对于三、四年级的学生而言,思考方式正处在从形象思维到逻辑思维的过渡期。运用“数形结合”方法既适应了他们的身心特点,又能较好地帮助他们理解数量关系、量的变化等包含关系符号和运算符号的重要知识点。

在小学数学教学中,如果教师能有意识地运用“数形结合”思想设计教学,那将非常有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解,提供解决问题的方法,也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略,对学生来说则是一种探究和趣味学习的动力。如果长期渗透,运用恰当,则可使学生形成良好的数学意识和思想,并长期稳固地作用于学生的数学学习生涯。

摘要：新课标修订“双基”到“四基”,增加了基本思想和基本活动经验。知识和技能是“双基”,而数学思想是数学的灵魂。在小学阶段,教师需要给学生渗透的数学思想有数形结合思想、符号表述思想、字母代数思想等,在所有这些数学思想方法中,“数形结合”思想尤为重要。

中考中“数形结合思想”的应用篇11

甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）.

A.甲比乙大5岁

B.甲比乙大10岁

C.乙比甲大10岁

D.乙比甲大5岁

解：不妨设甲、乙二人现在的年龄分别是x岁、），岁，显然，由题意可知x>y，我们可把甲、乙二人年龄及其转换关系，用数轴上的点表示（如图1）.

因为甲、乙二人的“年龄差”是个定值，由题意，结合数轴的图形表示，可得：

①+②，整理，得3（x-y）=15.

则x-y=5.即甲比乙大5岁.故应选A.

在上述的解答中，通过借助数轴，清晰地把甲、乙二人的年龄及其数量转换关系呈现出来，迅捷地列出方程组使问题获解，这种解决问题的思想便是我们常说的“数形结合思想”，

数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决，或利用数量关系研究几何图形的性质，解决几何问题的一种数学思想，

一、“以形助数”，即将数量关系借助于图形及其性质使之直观化、形象化，从而获得解题方法

例1 某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人.三个区顺次在同一条直线上，且A、B两区相距100 m，B、C两区相距200 m，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）.

A.A区

B.B区

C.C区

D.A、B两区之间

分析：根据题意“A、B、C三区顺次在一条直线上”，我们可用一条直线展现三个区的位置及其距离（如图2）.

假设停靠点设在A区，则所有员工所走总路程为15×lOO+lOx300=4 500 （m）；若设在B区，则总路程为30xlOO+lOx200=5000 （m）；若设在C区，则总路程为30x300+15x200=12000 （m）；若设在A、B两区之间，不妨设在D处，则所走总路程为30.AD+15（100-AD）+10（300-AD）=（4500+5AD）（m）.

通过比较可知，停靠点设在A区，可使所有员工所走总路程最小，故应选A.

例2一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100km的B港口，巡逻艇和货轮的速度分别为100 km/h和20km/h.巡逻艇不停地往返于A、B两港口巡逻（巡逻艇调头的时间忽略不计）.

（1）货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次？

（2）出发多长时间巡逻艇与货轮第三次相遇？此时离A港口多少千米？

分析：（l）由题设条件可知，巡逻艇l小时可以往返于A、B两港，而货轮需5小时才能从A港到达B港.我们可借助“平面直角坐标系”来表示题设数量及其运动图象（如图3）.

这样，问题便转换为判断巡逻艇与货轮运动图象的交点问题，显然，由图象可知，货轮从A港口出发后直到B港口与巡逻艇一共相遇4次.

（2）设OC所在直线解析式为y=mx.由图象可知C坐标为（5，100）. 则5m=100.解之，得m=20. 故直线OC的解析式为y=20x.① 设DE所在直线的解析式为y=kx+b. 直线y=kx+b过点E（3，100），D（4，0），则有：

解之，得k=-100，b=400. 故直线DE的解析式为y=-lOOx+400. ② 联立①、②，得

解这个方程组，得.

即交点F的坐标为，可见，在货轮出发小时后巡逻艇与货轮第三次相遇.这时离A港口 km.

二、“以数解形”，即将几何图形问题数量化表达描述，借助代数运算获得解题路径

例3 如图4，在边长为4的正方形内部，以各边为直径分别画出4个半圆，则图中阴影部分的面积是（）.

A.3

B.4

C.5

D.6.

初中数学数形结合思想的探究篇12

一、数形结合思想的重要性———提升初中数学教学水平

在数学学习过程中, 图形是学生常常接触而又相对抽象的数学现象。如何将数学问题与各类图形相关联呢?这就用到了上文提到的“数形结合”的概念。教师需要首先对学生的意识进行培养, 对数形结合的概念进行渗透, 逐渐灌输学生在解题中用图形说明问题的思路和概念。其次, 在实际教学中教师应适当地讲授一些生活中的图形知识, 例如:中考中折纸、扇形与圆锥之间的联系, 图形的镶嵌等。在教学中多设计一些数形结合的问题, 让学生将理论知识应用于解决问题中, 锻炼学生的逻辑思维, 增强学生的自信, 更有利于学好数学。

二、初中数学中数形结合思想的广泛应用

1. 借助数轴引导学生合理理解数学概念的法则。

数轴是数学中重要的学习工具, 它能将许多数学问题直观化, 教学中我们应合理利用数轴辅助学生学习相反数、绝对值等数学知识。在实数轴上, 到原点距离相等且在原点的两侧的两个点是相反数, 而表示这个数的点到原点的距离是绝对值。通过数轴这个形, 学生很容易理解有关数的概念。

2. 数形结合是初中数学中用代数方法解决几何问题的桥梁。

初中数学中, 几何学习离不开代数的计算, 例如在角、线段、平行线的教学中, 除了要求学生会认角、会表述角、会看线段、表述线段、会认平行线中的同位角、内错角等几何知识外, 还要求学生对其中的角、线段进行正确计算。又如在直角三角形教学中, 代数中的勾股定理、三角函数知识是解决几何问题的重要手段。因此, 灵活变通地利用数形结合思想能有效地解决几何难点问题。

3. 在坐标系中, 利用函数图像得出函数性质, 并解决实际问题, 从而提高学生能力。

函数的知识贯穿整个初中数学的教学, 在初中数学中占很重要的部分, 从七年级的反比例函数、八年级的一次函数到九年级的二次函数, 在知识由浅入深的学习中, 数形结合思想始终在逐步渗透。在教学中, 从图像到性质, 再到解决实际问题, 都体现数与形的完美结合。尤其是二次函数是整个初中教学的难点, 中考最后一道大题就是二次函数的综合应用, 是数形结合思想的最充分的体现之处。从二次函数的图像中可判断出a、b、c的符号及对称轴和顶点坐标。在抛物线的平移、旋转的过程中可看出对称轴及顶点坐标的变化情况, 继而可求出变换后的抛物线解析式。只有熟练掌握a、b、c在图像中的作用, 并且对图像在坐标系中与X轴Y轴交点, 对称轴、顶点坐标等代数知识熟练掌握, 才能对二次函数活学、活用。只有在平时的教学中逐步引导学生空间的形与抽象的数巧妙结合, 才能真正提高学生分析问题、解决问题的能力。

4. 利用数形结合使得应用题由复杂到简单, 充分体现数形结合思想的应用起到事半功倍的作用。

应用题在初中数学中应用广泛, 并且难度较大, 许多学生解决起来较棘手, 在七年级一元一次方程的实际应用中, 行程问题是重点也是难点, 教会学生仔细读题, 从给的已知中找出重点信息画出线段图, 分析时间、速度、路程的关系, 便可容易地找出等量关系, 从而准确列出方程, 解决问题。在八年级, 解决手机收费哪种便宜的应用题时, 如果能在同一坐标系准确画出两个函数图像, 学生就能从图像中清晰地比较出结果。从图像入手, 可使较复杂的应用题变得浅显易懂, 让学生对数学充满信心, 也对数学产生兴趣, 感觉数学不再枯燥。

三、数形结合的教学实例在初中数学中的应用

数形结合思想在初中数学教学中应用非常广泛, 我们首先应让学生意识数与形的密切关系, 其次培养学生根据具体题目具备以下能力。

1. 学会在代数中巧妙构造几何图形, 从而顺利用几何图形解决代数问题。

例1:已知抛物线与x轴交于A、B两点, 与y轴交于C点, 则能使△ABC为等腰三角形的抛物线的条数有 () 条。此题直接用代数方法求解比较困难, 但是如果能画出图形, 把抽象的代数问题转化为直观的图像, 从所画的等腰三角形入手, 通过对出现的各种可能的等腰三角形的仔细分析, 最终才能得出正确的答案, 因此, 只有找到正确的方法, 才能使复杂问题简单化。

2. 学会巧妙从所给的几何图形中观察并分析出内含的代数关系, 从而解决实际问题。

在一些函数问题中, 可根据函数图像, 直观地观察出点的坐标、线段的长度及图像与X轴Y轴的交点情况等, 较容易的将几何问题转化为代数问题, 通过计算求解。例2:已知关于x的二次函数y=-x2+bx+c (c>0) 的图像与x轴相交于A、B两点 (点A在点B的左侧) , 与y轴交于点C, 且OB=OC=3, 顶点为M。 (1) 求出二次函数的关系式; (2) 点P为线段MB上的一个动点, 过点P作x轴的垂线PD, 垂足为D, OD=m, △PCD的面积为S, 求S关于m的函数关系式, 并写出m的取值范围。这是一道几何与函数的综合题, 题中设计的问题由简单到复杂。此题是借助图像探索由形到数的密切联系, 我们要让学生深切体会到形数转换的美妙之处, 形与数密不可分。能把图形信息正确转为代数信息是学生能顺利解决问题的关键。

3. 掌握数与形的对应关系, 以图识性, 以性识图。

数与形是数学中两个最古老而又最基本的对象。将抽象的数与直观的形双向联系与沟通, 可使抽象思维与形象思维有机地结合起来, 化抽象为形象, 从而达到化难为易的目的。例3:一次函数y1=k1x+2与反比例函数的图像交于点A (4, m) 和B (-8, -2) , 与y轴交于点C。 (1) 根据图像可知, 当y1>y2时, x的取值范围是; (2) 过点A作AD⊥x轴于点D, P是反比例函数在第一象限图像上一点, 直线OP与线段AD交于点E, 当S四边形ODAC∶S△ODE=3∶1时, 求P的坐标。此题需要学生具备从图中获取信息, 并通过这些信息进行综合分析的能力, 从给出的图形中寻找隐含条件, 是顺利解决此题的关键。

由以上对初中数学数形结合思想的探讨, 我深刻感受到在整个中学阶段对学生深入渗透数形结合思想对提高解题能力极为重要。在平时的日常教学中, 指引学生从形中觅数、在数中思形, 借助坐标系、几何图形、折纸、实物教具等, 时时渗透数形思想在解决实际问题中的美妙所在, 真正做到让学生灵活掌握, 使问题得以简单化, 从而达到优化解题过程的目的。总之, 在初中数学教学中, 结合教材内容, 把数形结合思想作为一种提高学生解决问题的基础工具, 在整个初中阶段持之以恒的渗透, 不但我们的教学水平能得以提高, 学生也能在中考中取得优异成绩。

摘要：在数学教学中应锻炼学生利用“数形结合”的方法去分析、解决问题。首先, 在课堂教学中给学生讲授数形结合的思想;其次, 介绍其在初中数学中的应用;最后, 利用生活实例证明数形结合思想在教学中的用途。

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