数形结合思想渗透路径论文（通用12篇）
数形结合思想渗透路径论文 篇1
北师大版数学全面使用新教材。与旧版教材相比,书中图画有增无减,仔细对比分析发现新版教材不仅增加了更多的图,重要的是应用了更为科学的教学方法,帮助学生学习、理解和掌握数学思想。
一、“数形结合”帮助学生理解概念
以四年级下册《近似数》一课为例,分析对比如下:
尽管我们一直在强调不管什么样的教材,教师都要创新教学理念,但教材的纲性特征通常束缚着教师的改变。旧版教材中,教师以讲方法和结果居多,学生通过记忆法则和大量练习能掌握四舍五入法求近似数的方法,但学生知其然而不知其所以然。例如,将204987四舍五入到万位求近似数,看万位后面千位上的数字是4,比5小,所以万位后面所有的数都舍去改写成0,得到204987四舍五入到万位的近似数200000。但喜欢思考问题的学生常会问:“4比5小,可4后面还有9、8、7,它们都比5大,为什么不向前一位进一。”老师的回答经常是这样:“让你看万位后面千位上的数字,谁让你去看其他数位上的数字。”学生只好懵懂作罢。新版教材,通过引入数线可清晰地化难为简、变抽象为直观,很好地解决了学生对重点、难点和疑点的理解困惑。
“近似数”一课有这样一类拓展题目:如“一个数的近似数是6万,那么这个数最大是多少?最小是多少?”。
旧版教材学完之后,若将题目进行变换,很多学生不能准确答出此题。分析可知,学生在缺少理解的情况下去认识更为抽象的大数,常出错误就成为必然。
新教材利用“数形结合”方法使学生比较容易在图上画出这个数的范围,既能看到最小数55000,也能容易想到最大数是64999。
学生会求一个数的近似数,更能灵活求一个数的近似数,这是显性教学效果,新版教材以及新的教学方法还增加了隐形效果,那就是增强了学生由形象思维向抽象思维转变的意识,培养了学生“数形结合”的数学思想,提高了学生的数学能力。而这些提高正是新课标所提倡和要求的,也是数学学习的终极目标。
二、“数形结合”帮助学生理解算理
学生的运算能力是新课标10个核心概念之一。运算是数学学习的重要内容。关于学生运算能力的培养和发展,新课标中写到“学生伴随着数学知识的积累和深化,正确理解相关的数学概念,是逐步形成运算技能、发展运算能力的前提,运算能力的培养和发展不仅包括运算技能的逐步提高,还应包括运算思维素质的提高和发展,运算能力的培养和发展首先要从具体到抽象”。
新教材的教学理念和教学方法是非常符合新课标要求的。对比三年级上册新旧教材“两、三位数乘一位数”一课,可窥视出新教材是如何从具体到抽象培养和发展学生运算能力的。
旧版教材的情景是生活中的购物,通过解决买4把椅子需要多少钱这一问题,教材运用了口算、加法计算(横式和竖式两种)、表格计算和竖式计算多样化的计算方法,由加法竖式计算演变成乘法竖式计算,让学生体会乘法竖式的简洁和竖式的写法。
新教材在完成12×4竖式计算终极目标的过程中,进行了两次活动。一是学生在点子图上圈一圈、算一算,直观进行口算,由于它的直观性因而学生都能完成;二是揭示乘法竖式笔算与口算之间的本质联系,学生直观理解乘法竖式的算法和算理,教材借助点子图把12×4拆分成2×4和10×4,并与竖式计算中的每一步对应起来,清晰地呈现出两位数乘一位数的乘法竖式计算过程,同时还把列表的方法和两者建立了关系,沟通了表格、竖式和点子图三者之间的内在联系,帮助学生理解每一步的具体含义。新版教材的教学方法对学生来说直观生动、易于理解、印象深刻,非常适宜于发展学生的运算思维能力。
三、“数形结合”帮助学生理解运算规律
小学阶段要求学生掌握的运算律有加法交换律、乘法交换律、加法结合律、乘法结合律、乘法分配律,其中前四种运算律都是同级运算律。只有乘法分配律中有两级运算乘和加,因而学生掌握和运用此规律有一定的困难。新教材运用“数形结合”,很好地解决了这一难题。下面以新旧教材《乘法分配律》一课中“仿写算式”这部分内容做对比,来体会新版教材中应用”数形结合”教学方法的优势。
旧版教材在学生仿写出两个算式之后,运用计算的方法进行验证两个算式等值。而新版教材在学生仿写之后,运用的是直观的画图和乘法的意义来验证两个算式等值。特别是直观图形验证,很好地把抽象的算式与图形结合在一起,学生不需要计算很容易就能验证,同时清晰地看到数和形的一一对应。
对于三、四年级的学生而言,思考方式正处在从形象思维到逻辑思维的过渡期。运用“数形结合”方法既适应了他们的身心特点,又能较好地帮助他们理解数量关系、量的变化等包含关系符号和运算符号的重要知识点。
在小学数学教学中,如果教师能有意识地运用“数形结合”思想设计教学,那将非常有利于学生从不同的侧面加深对问题的认识和理解,提供解决问题的方法,也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。“数形结合”对教师来说是一种教学方法、教学策略,对学生来说则是一种探究和趣味学习的动力。如果长期渗透,运用恰当,则可使学生形成良好的数学意识和思想,并长期稳固地作用于学生的数学学习生涯。
摘要：新课标修订“双基”到“四基”,增加了基本思想和基本活动经验。知识和技能是“双基”,而数学思想是数学的灵魂。在小学阶段,教师需要给学生渗透的数学思想有数形结合思想、符号表述思想、字母代数思想等,在所有这些数学思想方法中,“数形结合”思想尤为重要。
关键词：小学数学,新旧教材,数形结合思想
数形结合思想渗透路径论文 篇2
数学思想方法很多其中数形结合是小学数学中常用的、重要的一种数学思想方法。数形结合是通过数形之间的相互转化，把抽象的数量关系，通过形象化的方法，转化为图形，从图形中直观地发现数量之间存在的内在联系，解决问题。应用数形结合的思想方法，既能培养学生的形象思维能力，又促进逻辑思维能力的发展。下面就我在教学中如何渗透数形结合的思想方法的做法和体会：
一、在观察中渗透数形结合的思想。观察是学生学习活动的基础，是学生获取知识的开始。教师在低年级就应该有意识地让学生观察数与形之间的联系。如：如在教学进位加法时，“42+58= ”我通过演示42根小棒加58根小棒两次满十进一的过程使学生理解相同数位对齐、满十进一的道理。通过演示小棒的方法教学，2和8加起来时10，又是1捆，4捆加5捆再加刚刚的1捆是10捆，可以捆成一大捆即100。学生的整个观察过程展现数与形之间的内在关系，帮助学生理解的进位加法的意义。同时激发了学生的兴趣。
二、在操作中渗透数形结合的思想。小学生思维以具体形象为主，教材为学生提供了许多实践操作的机会，我们要重视学生操作，真正的放手让学生操作。让操作与思维联系起来，让知识在学生操作中产生。比如，低年级有一道题：“小兔从家出发，已经走了52米，这时看到路标上写着离商店还有21米，小兔家离学校有多少米？”我发现有的学生能列出52+21=73（米），但是他们不能清晰地解释为什么要两个数相加。于是教学时，先让学生在作业本上用笔画出整条路线，再用笔尖模仿小兔的行走路线到路边的广告牌时，停下别动。问学生：“离商店还有21米”是那一段？为什么52+21=73（米）的问题就迎刃而解了，重要的是学生在操作中体验领悟到了数形结合的思想。高年级解决问题的题型中，用线段图帮助分析题意。例如：“小强每分钟走65米，小丽每分钟走70米，经过4分钟，两人在校门口相遇，他们两家相距多远？” 我让学生画出线段图，通过画线段图帮助学生分析题中的数量关系，理清解题思路。从线段图中，可以清楚地看到他们两家相距的路程就是小强家到学校的路程加上小丽家到学校的路程。由于小强到学校用了4分钟，即4个65米，就是65×4米。小丽到学校的路程用了4分钟，每分钟70米，即4个70米，就是70×4米，他们两家的路程就是65×4＋70×4米；也可以这样看：他们两个同时走1分钟的路程是（65＋70）米，同时走4分钟的路程是（60＋70）×4米。通过了数形结合的思想方法，能轻松地让学生理解数量关系。我认为老师要分阶段、有目的地培养学生画图分析数量关系。如果从低年级到高年级，教师都注重培养学生分析已知条件和问题，从低年级的看图、说图意、画基本简单的线段图，到中高年级画稍为复杂的线段图、较复杂的线段图。学生的解题方法、解题能力都会得到提高。
数形结合思想渗透路径论文 篇3
关键词：数形结合；思维能力；转变观念
学生在课堂中属于主体，在实际教学过程中应该培养他们的积极性和主动性，增强他们主动探究的能力，让他们学会数形结合思想在解题中的实际运用，从而能够帮助他们更好地解决问题，独立思考，让学生在知识中能够自主遨游。
一、树形结合思想形成的途径
数形结合思想形成的首要目的是为了让学生加强对问题的自我认识，在自主实践中形成自己的独特认识。教师在对学生方法的引领过程中能够将其转化为思想，从而为学生提供保证。数形结合思想的形成主要来源于教师的引领，群体之间的互动，评价机制之间的导向等环境因素。数形结合思想一旦形成，将会有效促进小学生的思维发展，改变其解决问题的方式，从而在更加广泛意义上实现数学能力的提高。
1.小学生的数形结合思维
小学生数形结合思维，实际上就是学生在解决问题的过程中，利用自己已有的直觉经验，在数学学习的过程中运用一定思维能力去解决数学问题的这一思想。数形结合思想是兼具直觉和逻辑思维的一种结合体，在小学生数学课堂运用中，需要做到以下几点：
第一，教师在利用新知识的过程中可以以一种直观的现实活动加以引用。在接受新知识时，由于学生的认知水平处于不同的发展阶段，因此，在认识数学新知识的过程中就会出现对知识概念理解不清，导致学生在记忆过程中只能依靠自己死板的记忆，但是这样收不到好的效果。因此，要求教师在引进知识时形成学生的直观体验，在理解中掌握新知。
第二，教师在数学教学过程中要能够以一些生动有趣的比喻去引导学生的思路，使优美的语言对学生思维形成的辅助效果，教师用生动的方法和例子去疏导学生的思路，有助于学生形象地理解这些数学问题。
第三，在实际数学教学过程中，要以图形来激发学生的灵感和想象，帮助学生理解图形的一系列规律和特点。例如，通过运用线段来加强学生对数量关系的理解。通过让学生养成利用图形解决问题的习惯，从而能够为学生的小学阶段打下极其重要的基础，对学生今后的数学学习具有积极作用。
2.个案探究
（1）质数和合数
首先，教师引入一组操作活动，用三个边长为1的正方形，可以拼成长方形吗？用4个、12个这样的正方形拼成的长方形是什么样子的？学生在纸上将这三组图形画出，让学生进行观察，从而能够更好地引入质数和合数的概念。当表示正方形个数只有自己和它本身时，只能拼成一个长方形，除了1和它本身还有其他的因子能够使拼成的长方形不一致时，这就形成了合数的概念。
（2）连乘问题
解决这样一个问题：班里共有6个小组，每个小组8个人。每位同学向西部地区捐书3本，这样一共向西部捐书多少本？
学生画图，使这一答案一目了然表现出来，同时也加深了学生的印象。
二、应用数形结合，提高学生思维能力
1.训练学生的直觉思维能力
在小学数学中存在着许多直觉思维思想，这就要求教师能够运用一些自己已有的知识和能力，整体上对数学知识进行想象和把握，在整体结构上对数学的结构等形成自己的判断和识别，从而能够在自己的合理猜想中进行合理有效的假设，并得出合理结论。在这一过程中具有飞跃、顿悟的意识。
2.培养学生的发散思维能力
在对同一个问题的基础上，能够形成不同的解决思路和方法，这一思维的形成就有发散思维的思想。从不同的角度和方面对一个问题进行看待，有助于学生发散意识的形成。在数学教学过程中，教师可以引导学生运用一题多解的形式，在运用过程中，通过将已知和未知之间的矛盾进行突出表现，从而来引发学生新的问题、新的方法的形成，从而在知识的灵活运用中能够激发学生的求知欲，从而进一步增强学生的应变能力。
3.培养学生的创造性思维能力
目前，随着素质教育程度的加深，对学生综合能力的培养成为当前新时期人才队伍的需要，同时也是创造人才的需要。只有具有创造性思维的学生，才能够在已有的基础上，不断在各自领域中有所创造和发明。在数学教学中，教师可以选择一些具有创造性、挑战性的题目让学生分析。在自主讨论的过程中，形成对问题本身的跨越式认识，从而进行一些探索性活动，或者在已有的知识和思维中，用不同方式进行大幅度跨越，从而找出可以解决问题的方法。
三、运用数形结合思想，转变学生观念
在小学数学教学中，通过将数和形进行结合，从而能够将形象和抽象思维很好地结合起来，通过将问题先形象再抽象，从而能够加快对问题的升华。在此基础上为学生的辩证思维创造良好的条件。
通过学生在数学的探索过程中多角度思考问题，可以加快学生形成思维发散的好习惯。教师通过引导学生将静态的思维发展到动态过程中，在此基础上形成自己独特的认识，从而能够将数与形很好地结合起来，培养学生的辩证思维，对事物的本质进行更深层次了解。
当前，客观世界是一个相互联系的整体，在此基础上各个事物都是与其他事物相对应而存在着。在小学数学的学习中，解析几何也是代数和几何的结合。在对几何图形进行研究中，要善于把握代数和方程。这样，教师就能够运用生动的例子来引导学生用普遍统一的规律对客观事物进行认识，从而能够对学生良好世界观的形成提供必要保证，帮助他们在学习中形成辩证思维的能力。
随着当前素质教育的广泛推进，学生的综合素质成为学校重视的问题之一。在小学生数学教学过程中渗透数形结合思想，有助于加快学生对问题的理解，培养学生主动参与的意识，在思维的辩证认识中形成自己独特解题的能力。
参考文献：
[1]梁月红.数形结合，让数学课堂灵动起来[J].学园，2014（27）.
浅谈数形结合思想方法的渗透 篇4
一、在直观中理解数
在小学数学教学中,一些概念、性质的内容非常抽象,学生理解起来比较困难,我就借助一些直观的图形将这些抽象的概念、性质形象化,通过分析图形中呈现的数学问题情境,抽象出概念、性质的内涵和外延,最终达到帮助学生理解数学概念、性质的目标。如我在教学“认识几分之一”这节课时,就是把直观的图形和抽象的分数结合起来,帮助学生理解分数的意义的。
教学片断一:
师:今天是羊村老村长的生日,喜羊羊它们准备了一个大大的蛋糕,现在老村长想把这个蛋糕分给4只羊吃,要怎样分才算公平?
生:当然是平均分了。
师:(课件演示平均分,并把其中的一份先给了喜羊羊)喜羊羊分得的这块蛋糕是这个蛋糕的几分之几呢?谁能说说自己的想法。
生:喜羊羊分得的这块蛋糕是这个蛋糕的四分之一,因为老村长把一块蛋糕平均分成了4份,其中的一份就是这块蛋糕的四分之一。
师:(课件继续演示把其中的第二块分给了美羊羊)美羊羊分得的这块是这块蛋糕的几分之几呢?
生:也是这块蛋糕的四分之一。
师:也就是说把一个物体平均分成几份,其中的每一份都是它的几分之一。
生:点点头。
师:如果老村长现在改变主意,想把剩下的2块蛋糕全都分给沸羊羊,那沸羊羊分得的是这块蛋糕的几分之几呢?
生:我觉得应该用四分之二表示,把一个物体平均分成4份,2份就是它的四分之二。
师:吃完蛋糕,上了水果。(出示苹果图,一共4只苹果)
师:这盘苹果还是分给四只羊吃,每只羊分得这盘苹果的几分之几?说说你的理解。
生:也是四分之一,因为老村长还是把这一盘子苹果平均分成了4份的,每只羊分得其中的一份,就是这盘苹果的四分之一。
师:如果把这盘苹果平均分给两只羊吃,每只羊分得这盘苹果的几分之几呢?
生:我觉得可能是四分之二。
师:把这盘苹果平均分给两只羊吃,需要平均分成几份?谁来说说分法。
生:只要平均分成两份,其中一只羊分得的就是这盘苹果的二分之一。
(师用课件展示分法)
师:比较这两种分法,同样是一份,为什么有时用四分之一表示,有时用二分之一表示呢?
生:因为分数的分母取决于平均分的份数。
……
“认识一些物体的几分之一”是认识分数中的一次大的飞跃,学生理解起来非常困难,我在教学中借助分蛋糕、分苹果让学生的具体形象思维悄然过渡到抽象的逻辑思维,学生通过对图形的观察、分析,比较深刻地理解了分数的意义,形象化的图形给枯燥的知识增添了趣味,引发了学生的有意注意,提高了学生数学思维的能力。
二、在计算中建立形
在教学中我们发现,很多的图形推理都离不开抽象的计算,教师在组织教学活动时常常通过计算去帮助学生理解一些图形的知识,如我在教学“等底等高的平行四边形面积相等”时,我就利用了以数想形的方法。
教学片断二:
师:老师有一个问题需要同学们帮助解决,愿意帮助老师吗?
生:愿意。
师:(课件出示问题)小明打篮球时不小心把人家的一个平行四边形的玻璃打破了,想要赔给人家,却只能找到以前买玻璃的票据,上面写着30厘米×20厘米的字样,你能帮忙画出那个平行四边形的样子吗?
生:看完问题后就开始动手画起了图,有的学生还一边画一边在比画着。
这时我发现有的学生画了又擦,擦了又画,还不时皱起了眉头,就轻声问学生:“有什么问题吗?”
生:老师,我发现我能够画好多用这个式子计算的平行四边形呢。
师:这倒是一个不错的发现,继续画画看,看看你画出的这些平行四边形有什么异同点。
生继续画。
生:我发现我画的这些平行四边形因为底和高都一样,所以它们的面积都一样,不同的只是它们的形状。
师:你们真是太有才了,你们的发现就是我们数学书上介绍的平行四边形的一个非常重要的性质。(课件出示:不同形状的平行四边形只要等底等高,它的面积就相等)
生:齐读。
师:那我们仅仅根据这个数据还能不能配上和以前一样的平行四边形的玻璃呢?
生:可能性比较小,要配上完全一样的玻璃还必须提供其他的数据。
师:老师也赞同你们的观点,那我们课后再想想办法。
该片段中,我就是借助数据去引导学生画出图形的模样,这种以数想形的方法有效地帮助了学生理解了平行变形的这一重要性质,可谓是一个良策。
数形结合思想渗透路径论文 篇5
——有感于《分数的初步认识》这一课
光谷四小
陈申华
听了汉铁小学校长、特级教师文昌才的《数形结合思想》一课后，对照自己的课堂教学，让我对数形结合思想在小学数学教学中具体的运用有了初步的认识。数形结合思想在小学数学教学中是一种十分重要的思想方法。由于小学生抽象思维弱的特点以及小学生对某些数学知识缺少现实生活体验的支撑，造成学生在理解数学知识的时候产生困难。因此，在教学中，如果适时渗透数形结合的思想方法，不仅可以促进学生对知识的理解，还可以让学生掌握一种有效的学习方法。在听了黄碧峰老师执教的《分数的初步认识》一课后，对如何有效渗透数形结合的思想有了更进一步的理解。
一、数形结合思想的渗透，需要教师有意识。
黄老师在上《分数的初步认识》一课中，他安排了看一看、折一折、涂一涂的环节，旨在让学生明白几分之一的意义。由于黄老师在课前有了这种意识，所以，才有了这样的教学设计环节。在这样的环节中，学生对分数意义的理解是较为顺畅的。
二、数型结合思想的渗透，需要教师落实到位。
小学生对思想方法的掌握是一个不断内化的过程，需要不断的强化，所以，数型结合思想的渗透不是一躇而就的。黄老师在这堂课上，在强化思想方面做得有些不够，主要表现在分数大小比较的这一环节。按照教材编排的意图，分数的大小比较，仍是理解意义的巩固环节。因此大小比较前，仍需结合涂一涂、看一看的环节后再进行比较。然而，黄老师却淡化了涂的环节，而是较早的引导学生去总结比较大小的方法，这样就偏离了教材的意图，也不利于数形结合思想的渗透。如果黄老师先组织学生在已给出的图上涂一涂，再比较大小，既能让学生解决问题，又能让学生感受到图形对数的理解的作用，从而体会到数形结合思想方法的重要性，效果更好。
三、数形结合思想的渗透，关键是正确建立数学模型。
数形结合思想渗透路径论文 篇6
一、以形思数，在直观中理解“数”
1.以形思数，把握概念本质
教学中运用图形创设一些问题情境，通过对图形中的情境分析，抽象出数学概念的内涵和外延，能帮助学生理解数学概念。
如在教学“分数的认识”时，运用图形创设了如下的问题情境：表示出下图中的■。
■
思考：（1）表示过程中有什么相同点？有什么不同点？
（2）为什么都是■，但表示出的每份的个数不一样？
（3）你能对这组图进行分类吗？（想以什么为标准？）
借助这些情境问题的分析、解决，学生直观、形象地理解了“部分相同、整体相同，如果分法不一样，表示的分数就不一样”这一有关分数的概念特质。
2.以形思数，理解运算性质
教学中，对于一些运算性质的教学，也可以利用图形让学生观察、分析，并组织学生结合操作来形象地理解相关性质。
如教学“积的变化规律”时，不少教师往往是先通过呈现一组组乘法算式，让学生观察、比较因数和积的变化关系，然后发现积的变化规律。实际上在教学这部分内容时，可利用长方形的模型，直观地引导学生探究出积的变化规律。教学片段如下：
呈现宽12米，长20米的长方形。
■
让学生观察思考，当长不变，宽扩大或缩小3倍时，面积是怎么变化的。
■
（12×3）×12 （12÷3）×20
通过计算长方形的面积，比较长方形的面积变化，学生很直观地看到当长不变，宽扩大3倍或缩小3倍时，它的面积也扩大3倍或缩小3倍。这里利用数形结合，让学生很直观地理解了积的变化规律。
3.以形思数，弄清数量关系
苏教版教材中的“解决问题”这一板块的内容，题目通常比较抽象复杂，有些学生较难理解其中的数量关系，从而造成解决问题的困难。要让学生清晰地发现题目中的数量关系，可以通过引导学生画线段图，或采用数形结合的方法，因为数形结合是解决问题方法的一种有效手段。
例题：“有一个长方形花圃长20米，宽16米，因修路需要将长缩短4米，如果面积不变，宽应增加几米？”
学生给出了两种方法。
方法一：[20×16-（20-4）×16]÷（20-4）=4（米）。
方法二：4×16÷（20-4）=4（米）。
在解决问题时多数学生采用第一种解法，而对第二种方法不少学生理解上有困难。
事实上可根据题意作图如下：
■
学生通过图明白了减少的面积直接除以现在的长等于增加的宽。通过数形结合，让解题数量关系以及思路更加清晰了，数形结合的方法在这里起到了化繁为简、化难为易，拓宽解题思路，优化解题方法等目的。
二、以数想形，在转换中建立“形”
1.以数想形，理解公式的内涵
数学教材中有很多的计算公式，对于这些计算公式的教学，如果省去对它的推导过程，而选择让学生死记硬背，只会令学生知其然，而不知其所以然。鉴于此，教学时要让学生经历知识形成的过程，教师可以通过让学生表达各种算式的含义，以达到深刻理解公式的内涵。
如在教学三角形面积计算公式时，在课前，部分学生已经通过自学等形式初步知道三角形的面积计算公式。根据这种情况，教学时，我首先出示下面这个图形，请学生计算这个三角形的面积。
有极少数学生列出了不一样的式子，他们用图分别表示出了各自的解法。
生1：我是把一个直角三角形剪开，拼成一个长方形，长方形的长就是三角形的底，高就是三角形高的一半.因为长方形的面积=长×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。
■
生2：生1的方法只能推导出直角三角形的面积计算公式，锐角三角形、钝角三角形呢？我把任意一个三角形剪开，拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是三角形的底，高就是三角形高的一半。因为平行四边形的面积=底×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。
■
生3：我是用折的方法推导的，折法和学习三角形内角和时一样。所以，三角形的面积=（底÷2）×（高÷2）×2。
■
最后，教师引导学生经过讨论、比较、分析，发现三角形的面积计算公式还是“底×高÷2”。这里将图形问题转化为代数问题，突出图像的形象思维，帮助学生获得了准确的结论，使学生的思维能力、情感态度等都得到了发展，还有效地培养了学生“数中有形、形中有数”的意识。
2.以数想形，明晰图形的性质
通过以数想形，还可以有效帮助学生理解图形的性质。
如，在教学“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一性质时，呈现“3×4”这个算式，让学生根据这个算式在两条平行线之间画三角形，结果学生画出了如下图形：
■
通过观察上图，学生发现了“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一图形性质。再让学生画出底为6厘米、高为2厘米的三角形，引导学生通过观察、比较，学生又能发现：“面积相等，图形的形状不一定相同”这一图形的性质。
3.以数想形，培养空间想象能力
小学生的认知规律，一般来说是“直观感知——图式表象——抽取数学知识”的过程。这里不难看出，图式表象是直观感知和抽取数学知识的桥梁，充分发挥图式表象的中介作用，有利于培养学生多角度灵活思考、大胆想象的能力。
如，看到了“4×5”你能想到哪些图形？学生想到的可能是一个长为5厘米、宽为4厘米的长方形；还可能想到是一个边长为5厘米的正方形的周长；还可能想到是一个底为4厘米，高为5厘米的平行四边形。再如，看到了“4、4、1”，“4、4、3”，“4、4、4”，“4、4、5”，“4、4、6”，你想到的是怎样的三角形？这种穿梭于图形与数字之间的学习，是一种自由游弋的学习，这种学习能实现学生对数学内容的深刻理解，同时也能有效地培养学生的空间想象能力。
教学实践表明，根据小学生思维的年龄特征，利用数形结合，能够让学生把要学的知识和方法创造出来。在这过程中需要强调的是，“以形思数”和“以数想形”这两点不是彼此独立的，而是互相联系的。教学中，教师应注意将这两种思维有机结合，扬长避短，相互补充，从而有效地提高学生学习效率和数学能力。
（责编 金 铃）endprint
数形结合思想包含两点内容。一是以形思数，在直观中理解“数”。可以根据“数”引导学生通过想象，建立清晰的图式表象，充分发挥图式表象的中介作用，以使学生顺利获得有关“数”的知识；二是以数想形，在转换中建立“形”。可以通过引导学生去让“形”与“数”之间建立起一种关系，从而沟通学生的形象思维和抽象思维，进而使问题得以解决。下面就“数形结合”思想在小学数学中如何渗透谈点实践与体会。
一、以形思数，在直观中理解“数”
1.以形思数，把握概念本质
教学中运用图形创设一些问题情境，通过对图形中的情境分析，抽象出数学概念的内涵和外延，能帮助学生理解数学概念。
如在教学“分数的认识”时，运用图形创设了如下的问题情境：表示出下图中的■。
■
思考：（1）表示过程中有什么相同点？有什么不同点？
（2）为什么都是■，但表示出的每份的个数不一样？
（3）你能对这组图进行分类吗？（想以什么为标准？）
借助这些情境问题的分析、解决，学生直观、形象地理解了“部分相同、整体相同，如果分法不一样，表示的分数就不一样”这一有关分数的概念特质。
2.以形思数，理解运算性质
教学中，对于一些运算性质的教学，也可以利用图形让学生观察、分析，并组织学生结合操作来形象地理解相关性质。
如教学“积的变化规律”时，不少教师往往是先通过呈现一组组乘法算式，让学生观察、比较因数和积的变化关系，然后发现积的变化规律。实际上在教学这部分内容时，可利用长方形的模型，直观地引导学生探究出积的变化规律。教学片段如下：
呈现宽12米，长20米的长方形。
■
让学生观察思考，当长不变，宽扩大或缩小3倍时，面积是怎么变化的。
■
（12×3）×12 （12÷3）×20
通过计算长方形的面积，比较长方形的面积变化，学生很直观地看到当长不变，宽扩大3倍或缩小3倍时，它的面积也扩大3倍或缩小3倍。这里利用数形结合，让学生很直观地理解了积的变化规律。
3.以形思数，弄清数量关系
苏教版教材中的“解决问题”这一板块的内容，题目通常比较抽象复杂，有些学生较难理解其中的数量关系，从而造成解决问题的困难。要让学生清晰地发现题目中的数量关系，可以通过引导学生画线段图，或采用数形结合的方法，因为数形结合是解决问题方法的一种有效手段。
例题：“有一个长方形花圃长20米，宽16米，因修路需要将长缩短4米，如果面积不变，宽应增加几米？”
学生给出了两种方法。
方法一：[20×16-（20-4）×16]÷（20-4）=4（米）。
方法二：4×16÷（20-4）=4（米）。
在解决问题时多数学生采用第一种解法，而对第二种方法不少学生理解上有困难。
事实上可根据题意作图如下：
■
学生通过图明白了减少的面积直接除以现在的长等于增加的宽。通过数形结合，让解题数量关系以及思路更加清晰了，数形结合的方法在这里起到了化繁为简、化难为易，拓宽解题思路，优化解题方法等目的。
二、以数想形，在转换中建立“形”
1.以数想形，理解公式的内涵
数学教材中有很多的计算公式，对于这些计算公式的教学，如果省去对它的推导过程，而选择让学生死记硬背，只会令学生知其然，而不知其所以然。鉴于此，教学时要让学生经历知识形成的过程，教师可以通过让学生表达各种算式的含义，以达到深刻理解公式的内涵。
如在教学三角形面积计算公式时，在课前，部分学生已经通过自学等形式初步知道三角形的面积计算公式。根据这种情况，教学时，我首先出示下面这个图形，请学生计算这个三角形的面积。
有极少数学生列出了不一样的式子，他们用图分别表示出了各自的解法。
生1：我是把一个直角三角形剪开，拼成一个长方形，长方形的长就是三角形的底，高就是三角形高的一半.因为长方形的面积=长×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。
■
生2：生1的方法只能推导出直角三角形的面积计算公式，锐角三角形、钝角三角形呢？我把任意一个三角形剪开，拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是三角形的底，高就是三角形高的一半。因为平行四边形的面积=底×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。
■
生3：我是用折的方法推导的，折法和学习三角形内角和时一样。所以，三角形的面积=（底÷2）×（高÷2）×2。
■
最后，教师引导学生经过讨论、比较、分析，发现三角形的面积计算公式还是“底×高÷2”。这里将图形问题转化为代数问题，突出图像的形象思维，帮助学生获得了准确的结论，使学生的思维能力、情感态度等都得到了发展，还有效地培养了学生“数中有形、形中有数”的意识。
2.以数想形，明晰图形的性质
通过以数想形，还可以有效帮助学生理解图形的性质。
如，在教学“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一性质时，呈现“3×4”这个算式，让学生根据这个算式在两条平行线之间画三角形，结果学生画出了如下图形：
■
通过观察上图，学生发现了“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一图形性质。再让学生画出底为6厘米、高为2厘米的三角形，引导学生通过观察、比较，学生又能发现：“面积相等，图形的形状不一定相同”这一图形的性质。
3.以数想形，培养空间想象能力
小学生的认知规律，一般来说是“直观感知——图式表象——抽取数学知识”的过程。这里不难看出，图式表象是直观感知和抽取数学知识的桥梁，充分发挥图式表象的中介作用，有利于培养学生多角度灵活思考、大胆想象的能力。
如，看到了“4×5”你能想到哪些图形？学生想到的可能是一个长为5厘米、宽为4厘米的长方形；还可能想到是一个边长为5厘米的正方形的周长；还可能想到是一个底为4厘米，高为5厘米的平行四边形。再如，看到了“4、4、1”，“4、4、3”，“4、4、4”，“4、4、5”，“4、4、6”，你想到的是怎样的三角形？这种穿梭于图形与数字之间的学习，是一种自由游弋的学习，这种学习能实现学生对数学内容的深刻理解，同时也能有效地培养学生的空间想象能力。
教学实践表明，根据小学生思维的年龄特征，利用数形结合，能够让学生把要学的知识和方法创造出来。在这过程中需要强调的是，“以形思数”和“以数想形”这两点不是彼此独立的，而是互相联系的。教学中，教师应注意将这两种思维有机结合，扬长避短，相互补充，从而有效地提高学生学习效率和数学能力。
（责编 金 铃）endprint
数形结合思想包含两点内容。一是以形思数，在直观中理解“数”。可以根据“数”引导学生通过想象，建立清晰的图式表象，充分发挥图式表象的中介作用，以使学生顺利获得有关“数”的知识；二是以数想形，在转换中建立“形”。可以通过引导学生去让“形”与“数”之间建立起一种关系，从而沟通学生的形象思维和抽象思维，进而使问题得以解决。下面就“数形结合”思想在小学数学中如何渗透谈点实践与体会。
一、以形思数，在直观中理解“数”
1.以形思数，把握概念本质
教学中运用图形创设一些问题情境，通过对图形中的情境分析，抽象出数学概念的内涵和外延，能帮助学生理解数学概念。
如在教学“分数的认识”时，运用图形创设了如下的问题情境：表示出下图中的■。
■
思考：（1）表示过程中有什么相同点？有什么不同点？
（2）为什么都是■，但表示出的每份的个数不一样？
（3）你能对这组图进行分类吗？（想以什么为标准？）
借助这些情境问题的分析、解决，学生直观、形象地理解了“部分相同、整体相同，如果分法不一样，表示的分数就不一样”这一有关分数的概念特质。
2.以形思数，理解运算性质
教学中，对于一些运算性质的教学，也可以利用图形让学生观察、分析，并组织学生结合操作来形象地理解相关性质。
如教学“积的变化规律”时，不少教师往往是先通过呈现一组组乘法算式，让学生观察、比较因数和积的变化关系，然后发现积的变化规律。实际上在教学这部分内容时，可利用长方形的模型，直观地引导学生探究出积的变化规律。教学片段如下：
呈现宽12米，长20米的长方形。
■
让学生观察思考，当长不变，宽扩大或缩小3倍时，面积是怎么变化的。
■
（12×3）×12 （12÷3）×20
通过计算长方形的面积，比较长方形的面积变化，学生很直观地看到当长不变，宽扩大3倍或缩小3倍时，它的面积也扩大3倍或缩小3倍。这里利用数形结合，让学生很直观地理解了积的变化规律。
3.以形思数，弄清数量关系
苏教版教材中的“解决问题”这一板块的内容，题目通常比较抽象复杂，有些学生较难理解其中的数量关系，从而造成解决问题的困难。要让学生清晰地发现题目中的数量关系，可以通过引导学生画线段图，或采用数形结合的方法，因为数形结合是解决问题方法的一种有效手段。
例题：“有一个长方形花圃长20米，宽16米，因修路需要将长缩短4米，如果面积不变，宽应增加几米？”
学生给出了两种方法。
方法一：[20×16-（20-4）×16]÷（20-4）=4（米）。
方法二：4×16÷（20-4）=4（米）。
在解决问题时多数学生采用第一种解法，而对第二种方法不少学生理解上有困难。
事实上可根据题意作图如下：
■
学生通过图明白了减少的面积直接除以现在的长等于增加的宽。通过数形结合，让解题数量关系以及思路更加清晰了，数形结合的方法在这里起到了化繁为简、化难为易，拓宽解题思路，优化解题方法等目的。
二、以数想形，在转换中建立“形”
1.以数想形，理解公式的内涵
数学教材中有很多的计算公式，对于这些计算公式的教学，如果省去对它的推导过程，而选择让学生死记硬背，只会令学生知其然，而不知其所以然。鉴于此，教学时要让学生经历知识形成的过程，教师可以通过让学生表达各种算式的含义，以达到深刻理解公式的内涵。
如在教学三角形面积计算公式时，在课前，部分学生已经通过自学等形式初步知道三角形的面积计算公式。根据这种情况，教学时，我首先出示下面这个图形，请学生计算这个三角形的面积。
有极少数学生列出了不一样的式子，他们用图分别表示出了各自的解法。
生1：我是把一个直角三角形剪开，拼成一个长方形，长方形的长就是三角形的底，高就是三角形高的一半.因为长方形的面积=长×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。
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生2：生1的方法只能推导出直角三角形的面积计算公式，锐角三角形、钝角三角形呢？我把任意一个三角形剪开，拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是三角形的底，高就是三角形高的一半。因为平行四边形的面积=底×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。
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生3：我是用折的方法推导的，折法和学习三角形内角和时一样。所以，三角形的面积=（底÷2）×（高÷2）×2。
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最后，教师引导学生经过讨论、比较、分析，发现三角形的面积计算公式还是“底×高÷2”。这里将图形问题转化为代数问题，突出图像的形象思维，帮助学生获得了准确的结论，使学生的思维能力、情感态度等都得到了发展，还有效地培养了学生“数中有形、形中有数”的意识。
2.以数想形，明晰图形的性质
通过以数想形，还可以有效帮助学生理解图形的性质。
如，在教学“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一性质时，呈现“3×4”这个算式，让学生根据这个算式在两条平行线之间画三角形，结果学生画出了如下图形：
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通过观察上图，学生发现了“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一图形性质。再让学生画出底为6厘米、高为2厘米的三角形，引导学生通过观察、比较，学生又能发现：“面积相等，图形的形状不一定相同”这一图形的性质。
3.以数想形，培养空间想象能力
小学生的认知规律，一般来说是“直观感知——图式表象——抽取数学知识”的过程。这里不难看出，图式表象是直观感知和抽取数学知识的桥梁，充分发挥图式表象的中介作用，有利于培养学生多角度灵活思考、大胆想象的能力。
如，看到了“4×5”你能想到哪些图形？学生想到的可能是一个长为5厘米、宽为4厘米的长方形；还可能想到是一个边长为5厘米的正方形的周长；还可能想到是一个底为4厘米，高为5厘米的平行四边形。再如，看到了“4、4、1”，“4、4、3”，“4、4、4”，“4、4、5”，“4、4、6”，你想到的是怎样的三角形？这种穿梭于图形与数字之间的学习，是一种自由游弋的学习，这种学习能实现学生对数学内容的深刻理解，同时也能有效地培养学生的空间想象能力。
教学实践表明，根据小学生思维的年龄特征，利用数形结合，能够让学生把要学的知识和方法创造出来。在这过程中需要强调的是，“以形思数”和“以数想形”这两点不是彼此独立的，而是互相联系的。教学中，教师应注意将这两种思维有机结合，扬长避短，相互补充，从而有效地提高学生学习效率和数学能力。
数形结合思想在小学数学中的渗透 篇7
关键词：数形结合,小学数学,特点,运用
在数学的学习中, 有许多数学思想方法, 其中数形结合法是一种重要的数学思想方法。在数形结合方法中, 需要通过对数以及形进行对应和转化以解决数学问题。在数形结合的思想方法中就会涉及以数解形, 也会涉及以形助数。通过数形结合思想的运用, 可以使复杂的数学问题变得简单, 抽象的数学问题变得具体。通过数形结合思想在数学教学中的运用, 可以优化数学解题的过程, 提高学生对数学的理解能力, 使数学教学的效果达到最佳的状态。
小学是系统学习数学知识的起始阶段, 在小学阶段对学生进行数形结合思想的渗透, 可以更好地为学生学习数学知识服务, 同时也有助于学生能力的培养和学生问题解决能力的提高。
笔者在小学数学教学的过程中对数形结合思想的运用进行了相关的探索和实践, 现结合具体的教学活动, 就数形结合思想在小学数学中的渗透, 谈谈自己的看法。
一、何为数形结合思想
数形结合思想是对数学问题进行思考和研究的一种重要方法, 数形结合既涉及了“数”, 又涉及了“形”。数形结合是一个双边的过程, 要想运用好数形结合思想, 就要在充分考虑学生情况以及教学内容的基础之上, 对数和形进行有效的结合。
在数形结合思想的运用上具有会涉及两种情况: (1) “以数解形”, 这是一种利用数的精确性对形进行探究的过程; (2) “以形助数”, 这是一种利用形的直观性对数进行阐明的研究过程。通过数形相互转化进行数学问题的探究, 可以把学生的抽象思维能力和形象思维能力有机结合起来, 提高数学学习的效率。
二、数形结合思想运用的特点
数形结合是一种有效的数学学习方法, 但是在运用时也要考虑具体的情况, 只有充分考虑各方面的影响因素, 才能发挥出数形结合的有效性。
在进行数形结合思想的运用时, 教师要考虑教学内容的因素。对于比较新颖、比较难的数学知识教师可以运用以形助数的教学方式。对在数学学习上比较困难的学生进行数学教学时, 也宜采用以形助数的教学方式。在其他的情况之下, 采用以数解形的教学方法比较适宜。
在进行数形结合思想的运用时, 教师还要考虑学生自身的因素。由于学生不同年龄阶段的身心发育情况不同, 在进行教学时只要做到教学和学生实际特征相结合, 才更有利于学生学习情况的发展。由于低年级的学生形象思维能力较强, 抽象思维能力发展不足, 因此, 在教学时应该采用以形助数的教学方法, 让学生从形中去获取数学信息, 提高学生对数学知识的理解力和对问题的解决能力。由于高年级的学生抽象思维能力得到了一定的发展, 在进行数学教学时, 应该逐步进入到以数解形的教学方法当中。
三、数形结合思想在小学数学教学中的运用
(一) 深入研究教材, 挖掘其中所包含的数形结合内容
教师在数学教学中要运用好数形结合思想, 向学生渗透数学结合思想, 首先自己要对数学教材中的相关内容进行研究, 挖掘出其中所含有数形结合思想的教学内容。在小学数学学习的各个领域当中都会涉及数学结合思想的运用。例如, 在“数与代数”教学领域, 可以通过小棒认识数;在“空间与图形”领域, 可以通过数量关系的知识进行图形面积等的计算。通过教师挖掘数形结合教学内容, 可以引领学生通过运用数形结合思想, 提高学生的分析问题、解决问题能力。
(二) 在教学中灵活运用“以数解形”“以形助数”, 做到数形的有效结合
通过把抽象的“数”和具体的“形”相结合, 可以把数学内容直观地展示给学生, 让学生获得更多的形象思维知识, 通过形象知识的获得, 学生对数学当中的概念形成了初步的认识。在数形结合思想的渗透过程中, 学生的形象思维和抽象思维都得到了发展, 学生在数学方面的学习能力得到了进一步的提高。
例如, 在学习“公倍数”的知识时, 教师可以充分发挥数形结合的特点。教师可以在课前准备好长是2厘米、宽是3厘米, 以及边长为6厘米以及8厘米的正方形。然后利用图形让学生发现规律:准备好的长方形能够铺面边长为6厘米的正方形, 而不能铺面边长是8厘米的正方形, 从而引导学生得出结论:6是2和3的公倍数, 8不是2和3的公倍数。
(三) 教师教给学生数形结合的学习方法
数形结合是一种重要的学习方法, 在课堂教学中, 教师在向学生渗透数形结合思想的同时, 还要对学生利用数形结合学习数学知识的方法进行指导, 只有对数形结合思想有了了解, 掌握了数形结合学习方法, 才能促进学生数学学习效率的提高。
在运用数形结合方法进行数学学习时, 要做到形中有数, 数中有形。只有以形思数才能有助于学生对知识的理解和记忆;通过数形结合, 能够提高学生的解题能力和思维能力。在教学时, 教师要多让学生动手动脑, 激活学生的思维, 开阔学生的思路。通过不断的学习, 让学生对数形结合学习方法有所感悟, 对数形结合学习方法产生兴趣。
数形结合思想渗透路径论文 篇8
一、实践教学中须重视数形结合思想渗透
综观小学教材的各个学段和各个领域,适合渗透“数形结合”思想方法的教材内容可谓比比皆是。这对我们实施渗透教学是大为有利的,也可以有助于孩子的新知学习和复习巩固,同时也对教师提出要求,要求我们在平时备课中要做到心中有数。
二、小学数学教学进行数形结合思想渗透的策略
小学数学教学中,我们应根据小学生的实际情况,采取分学段分层次选择适当的方式,逐步实施数学结合思想渗透。
1. 第一学段:感悟体会,做好铺垫。
第一学段知识难度小,小学低年级学生处于抽象思维的萌芽阶段,思维方式以直觉思维和形象思维为主。学生学习的经验比较少,在遇到问题时,若没有教师的提示,只有极少的人会将问题转化为图形来思考,这也表明了低段学生目前的图形意识较为薄弱。要让孩子掌握并运用“数形结合”的思想方法解决问题是有一定的难度的。但教师必须重视图形直观能力在日常教学中的有机渗透。将无形的数学思想方法贯穿于有形的图形直观之中,才能有利于学生数学能力的提升。
这一阶段的渗透目标是让学生感悟“数形结合”的思想方法,并通过学习体会到“数形结合”的思想方法对于解决问题的妙用就行了,不可求胜心切,贪多激进。教师在教学中要引导学生主动、有效的利用课本中的图形,从图中读懂重要信息,并提出问题,分析问题,解决问题,即让学生通过形找数。
例如,在教学三年级下册《数学广角—有趣的互换》时,我设计了这样一道练习题:首先请学生在第一排摆2个星星,第二排摆的个数是第一排的4倍,当学生汇报摆的结果时,引导学生说明为什么这样摆。通过学生动手操作,动口表述,使学生对“倍”的概念以及“一个数的几倍”有了深入的理解;紧接着,教师又设计了一道开放题:让学生拿出星星,自己喜欢摆几个就摆几个,接着让学生摆三角形图片,使三角形的个数是星星的3倍。学生摆的结果多种多样。当学生汇报了自己的摆法后,我没有就此作罢,而是提出问题:“为什么都是3倍,而你们摆的三角形图片的个数却不同?”引起大家的思考。通过观察、比较,学生发现因为星星的个数不同,所以,当摆它个数的3倍时,三角形图片的个数就不相同,进而体会到“一份的数量不同,所得到的结果———三角形图片的个数也就不同。”生动明了的图形,再加上老师画龙点睛的几句话,就让三年级的孩子充分感受和体验到“数形结合”的妙用,为学生今后能自觉运用“数形结合”的思想方法解决问题做好了铺垫。
2. 第二学段:自觉运用,关注方法。
第二学段的许多知识点抽象性更强,学生在解决问题的过程中,如果单凭想象、思考较难找到解决问题的突破口,这时孩子们如果能自觉地运用“数形结合”的思想方法,帮助自己理解和思考,那必将为解决问题指明方向。
在教学中我们发现,学生在解决问题的过程中经常会出现面对问题时无从下手的状况,这时,如果学生能充分运用“数形结合”的方法,就能很快找到解决问题的窍门。比如:练习中经常会出现这样的一种题目:电影院扩建,原来每排坐30人,有35排,现在每排增加6个座位,增加6排,一共增加了多少个座位?学生解题时往往出现这样的错误:6×6=36(人)。其实只要孩子们稍微有些“数形结合”的意识,动手画个草图,就不会出现这样的错误了。
从图中一眼就能看出:6×6=36(人)实际只是增加人数中的一小部分(涂色部分)。从而就能迅速找到正确的解决问题的办法。因此,学生是否有“数形结合”的意识,是否能在解决问题时主动养成动手画一画的习惯,这对于学生后续的学习是非常重要的。教学中教师如果能够结合教学内容,为学生渗透“数形结合”的思想方法,必将为学生的终身学习奠定坚实的基础。
总之,数形结合是数学中的一种重要的思想方法,它其实是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来,使代数问题几何化,几何问题代数化,从而巧妙地解决貌似困难、复杂的问题,达到事半功倍的目的。在小学数学教学中教师要有意识地沟通数、形之间的联系,帮助学生逐步树立起“数形相结合”的观点,并使这一观点扎根到学生的认知结构中去,使学生学会正确思维的方法,从而促进学生数学思维能力的提高。
摘要：数学是数与形结合的学科。在小学数学中,运用数形结合的思想,充分利用“形”把题中的数量关系形象、直观的表示出来,如通过作线段图、树形图、长方形面积图、集合图、数轴等,帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念,使问题简明直观,甚至使一些较难的问题迎刃而解。作为教师我们在教授数学知识的同时更应重视数学思想方法的渗透。
例谈数形结合思想在解题中的渗透 篇9
一、“数”与“形”有机结合
数形结合是一种比较重要的数学思想.在中学数学解题中, 若能渗透数形结合思想, 将“数”与“形”有机结合, 可使题目直观, 易于理解.在初中数学的各章节中, 很多内容都体现了数形结合的思想, 比如:
1. 以数轴上的点表示数.
2. 以数轴上的点与原点的距离表示数的绝对值.
3. 利用数轴比较数的大小.
4. 用有序实数对表示坐标平面内的点.
5. 以平面上的直线表示二元一次方程的解集.
6. 通过学习坐标法, 使用代数的方法解决几何问题或研究几何图形的性质.
7. 借助图象研究函数的性质等.
分析:这类题目的解法可以归纳为四句口诀“大大取大, 小小取小, 大小取中, 大小无中解不了”.如果能借助数轴表示不等关系 (如图1) , 问题将变得更加直观、清晰.
因此, 将这四句口诀与数轴结合, 不难看出, 其解集为x≥7.
例2两个边长为2a的正方形, 其中一个的顶点是另一个的中心, 求它们重叠部分的面积.
分析:如图2, 将第二个正方形置于虚线的特殊位置上, 即进行面积割补, 立即得到所求的面积为a2.
美国科学家斯佩里等人对人脑的研究表明, 人的右半脑的主要职责是形象思维, 发出解决问题的各种指令;左半脑的主要职责是抽象思维, 确定解决问题的多项方案.数形结合有助于协调大脑功能, 完善形象思维和抽象思维的转化与结合, 并发展升华为辩证思维.
代数和几何是数学的两个分支, 代数研究的主要是“数”, 几何研究的主要是“形”.虽然二者在研究方法上存在一定的差异, 但也不乏千丝万缕的联系.解题及学习中, 只要能找准它们之间的衔接点, 借助这座桥梁, 就能使复杂的问题简单化.一般情况下, 几何图形比较直观, 代数问题比较抽象.抽象的代数问题一旦与几何图形结合, 往往就易于理解和记忆;而几何中的难题, 一旦转化为代数问题, 就如同“山重水复疑无路, 柳暗花明又一村”, 让人茅塞顿开, 顷刻间难题迎刃而解.
二、由数思形, 代数问题几何化
许多问题直接从“数”的角度求解往往难以突破, 但若能从“形”的角度入手, 挖掘几何特征, 构造几何图形, 借助其性质将抽象的、难理解的东西直观化、形象化, 使隐含的条件“曝光”, 那么往往会令人豁然开朗.具体做法就是根据题意, 画出几何图形, 把数量关系转化为几何图形的性质, 实现数形结合.
y可看作是点 (x, 0) 到点A (1, 2) 与点B (-3, 4) 距离之和 (如图3) .可先求出点B关于x轴的对称点B′ (-3, -4) , 则线段AB′的长即为所求.
本题利用式子的几何意义, 数形结合, 把抽象的函数关系转化为直观的两点间距离, 化繁为简, 从几何角度得出了结果.
从例3可看出, 如果单纯从代数的角度求解, 则比较困难, 而一旦转化成几何图形 (数形结合) , 问题就变得非常直观, 易于理解.解决很多数学问题时, 如能巧妙地进行数形结合, 不仅可以使思路明了, 有效检验计算结果, 有时还可以直接导出结果.如下例:
例4设a∈Z, 关于x的方程||x-1|-2|=a只有三个不同的整数解, 那么这三个解是_____________.
分析:作y=|x-1|的图象, 然后向下平移2个单位, 再把x轴下方图象翻折到x轴上方, 便可得到y=||x-1|-2|的图象, 如图4.
若直线y=a与上述图象只有三个交点时, 则a=2 (当且仅当a=2时, 有三个交点) .且这三点的横坐标分别为x1=-3, x2=1, x3=5, 即为原方程的三个整数解.
三、依形想数, 几何问题代数化
在错综复杂的几何图形中, 如能通过精确的数学运算, 确定题目中的边角关系, 从直观到精确, 充分展示了抽象的数学语言的魅力.在解决题目时充分发挥数学语言的精确性, 也是解决疑难的一条思路.具体做法为根据图形性质把问题转化为代数运算.
例5已知AB是Rt△ABC的斜边, 中线AD=7, 中线BE=4, 求AB的长度.
分析:应用数形结合思想, 画出图形.设CE=x, CD=y.
例5借助勾股定理将图形中的边长关系转化为方程组, 通过求解方程组, 再结合勾股定理, 即可得到边AB的长度.
例6正方形ABCD中, E、F、G、H分别为各边中点, 且四边形EFGH的面积为25, 求正方形ABCD的面积.
分析: (1) 本题首先证明四边形EFGH为何图形, 由三角形全等可证此四边形为正方形. (2) 计算.
数形结合就是把抽象的数学语言与直观的几何图形结合起来, 促使抽象思维与形象思维和谐共生.“数”与“形”是一对孪生兄弟, 是数学问题的两个内在要素.我国数学家华罗庚指出:“数与形相倚, 焉能分作两边飞, 数缺形时少直观, 形少数时难入微.数形结合百般好, 隔离分家万事休, 几何、代数统一体, 永远联系, 切莫分离.”因此, 在解决问题时, 应当充分渗透数形结合的思想, 使问题简捷、直观.
四、在用数形结合解题时应注意的问题
1. 将代数问题转化为几何问题时一般需要作图, 作图时必须遵循以下五条原则:
(1) 规范性原则 (如, 虚、实线区别画出) .
(2) 准确性原则 (指构造的图形必须准确地反映题目条件中的位置关系与数量关系) .
(3) 完整性原则 (与解题有关的图形必须完整画出) .
(4) 直观性原则 (构造图形要选取适当的位置, 让图形中主要的边角以及它们之间的数量关系能清楚直观地体现出来) .
(5) 简单化原则 (一个问题若可以构造不同的图形, 应选择最简单的图形) .
2.几何问题转化为代数问题时, 必须准确地使用符号和数量关系来表示几何图形, 以便求解, 否则将使问题复杂化, 甚至错误地解决问题.
数形结合思想渗透路径论文 篇10
一、利用数轴对学生进行数形结合思想的启蒙教育
进入初中不久,学生将会学习数轴。数轴作为一种重要的数学工具,应让学生重点理解、掌握。也正是因为有了数轴,数和形才得到了初步结合。从严格意义上讲,数轴是学生接触“数形结合思想”的第一次完美体现,渗透恰当、到位,将十分利于培养学生数形结合解决问题的意识和能力。(1)在教材本身中充分挖掘数轴“数形结合”的功能。在学习数轴时,要引导学生在“由点说数、由数描点”的多次训练中,深刻理解点与有理数之间的对应关系,再引导学生利用数轴比较有理数的大小,初步感受“形”的直观性。接下来,学习“绝对值”“相反数”时,充分利用数轴帮助学生建立它们的几何形象,使抽象的概念形象化,在此基础上给出代数定义,数形两方面结合理解,使学生多次感受“数形结合”的简洁性,从而学得轻松、愉快。(2)选择一些有一定难度、挑战性的例题,加强“数形结合意识”的培养。比如:1)写出绝对值不大于6且不小于3的所有整数( )。2)已知x、y为有理数,且x<0,y>0,︳x誆>︳y誆,比较x、y、-x、-y的大小。3)当x取什么数时,︳x-1誆+︳x-3誆的值最小?引导学生借助数轴,依题意,在数轴上找到给出的数所对应的点,问题便可在直观具体中迎刃而解。几次一练,学生感悟到“数形结合”的巧妙快捷,自然会萌发出“我要会用”的意识。
二、利用教材的各章内容对学生进行数形结合思想的渗透
几乎任何代数的知识,都有其几何意义。初中数学的每一章、每一节乃至每一节课,无不体现着数与形的结合。这就要求我们教师每时每刻要有数形结合意识,充分挖掘,利用一切机会进行逐步渗透。请看下例:若关于x的不等式组x<m+1、x>2m-1无解,则m的取值范围是( )。此题,让学生感受到一定程度上利用“数形结合”是必要的。教学该题时,我先让学生独立思考方法,大部分学生都感到束手无策,只有少数几个数学能力比较好的学生能从理论上说说思路,但大都漏掉了等号。显然,学生都已认为这是一道难题。这时,老师给予提示:“借助图形试试看呢?”学生在提示下,不一会儿,又几乎都找到了答案,个个脸上都露出了笑容。这一章中,类似思想方法的题很多。教学中发现,经过几次训练后,学生都能自觉地借助数形结合解决,在问题的解决过程中,抽象思维水平也得到了发展。后来,大部分学生已不需再画图了,对“数形结合的思想”的感悟得到了升华。
三、利用函数教学进行数形结合思想的重点渗透
函数及其图像,为数形结合的教学开辟了广阔的天地。借助函数图像的直观解决实际问题,使学生学得轻松有趣。比如,反比例函数课题学习“猜想、证明、拓广”中,有这样的问题:“任意给定一个矩形,是否存在另一个矩形,它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍?”探究时,我先引导学生设未知数,建立方程(组),从而把图形是否存在问题转化为方程(组)是否有解问题,以数论形,精确判断。又引导学生从形的角度去分析,把方程(组)转化为函数,画出它们的图像。这样就给了原问题一个非常直观的解释——两函数图像是否有交点。借助“形”,使学生对这一复杂的问题有了深刻了解。反复经历这样的解题过程后,学生自然就领悟出了数形结合思想方法的精髓:由形思数———充分利用形的直观性来揭示数学问题的本质属性,以数论形———通过计算或数量分析的方法,准确、深刻地表述图形的性质,数形结合——促使矛盾顺利转化,创造条件使双方达到统一。
四、数形结合教育中值得重视的两个问题
第一,要用理性思维看待数形结合思想方法。任何一种思想方法都不是万能的,学习中不可牵强附会,认为只要画个几何图形就是数形结合思想方法的体现。必须要求学生进入更高的理性思维阶段,充分运用辩证思维区分哪些适合数形结合思想方法,哪些不是数形结合思想方法。第二,培养数形结合思想要有扎实的基础知识。要真正掌握数形结合思想方法的精髓,必须有扎实的基础知识和熟练的基本技巧,那种只依赖于几个典型习题的理解就认为可以领会数形结合思想方法的做法,只能是一种舍本逐末的短视之举。为此,要认真上好每一堂课,深入学习教材的系统知识,理解各种几何图形的性质。只有这样,数形结合思想方法才能应运而生,才能不断深化提高。
五、结束语
“数形结合”是一种重要的数学思想,也是一种常用的数学方法。数和形是研究数学的两个侧面。利用数形结合,常常可以使要研究的问题化难为易。
摘要：数和形是研究数学的两个侧面。利用数形结合,常常可以使要研究的问题化难为易。要重视利用数轴对学生进行数形结合思想的启蒙教育,利用教材的各章内容对学生进行数形结合思想逐步渗透,利用函数教学进行数形结合思想渗透。
数形结合思想渗透路径论文 篇11
关键字：数形结合 理解题意 对应关系 数理关系
解决问题是发展学生数学综合能力的重要载体，在解决问题的过程中，已知条件的理解、数量关系的理清对提升学生的问题解决能力至关重要，特别是高年级数学，问题、数量关系比较复杂。数形结合能将抽象的问题化为学生易于感知的形象问题，从而助力学生正确解题。那么，教师如何结合问题解决的过程巧妙渗透数形结合思想呢？
一、运用数形结合，理解题目意义
解决问题是小学数学的一个难点，让学生理解题目的意思是解决问题的基础。一般情况下，理解题目的意思包含了三个方面：已知条件、问题、数量关系。如何让学生通过读题快速理解三者之间的关系是有效解题的第一步。但在实际读题过程中，有些题目条件比较多，问题又比较抽象，学生在理解时容易出现思维混乱、解题思路模糊的情况，这对学生正确解题将会有很大的影响。在培养解题能力时，理解题目的意义是至关重要的一步，而理解题目除了让学生认真读题、理解基本条件外，运用辅助手段帮助理解题意也是一种重要策略。而数形结合就是帮助学生理解题意、理清数量关系的重要方法，教师要结合不同的题目，巧妙渗透数形结合的方法，从而助力学生理清关系，找到问题解决的突破口。
如在教学人教版数学六年级下册“百分数”后，学生经常会遇到这样的问题：有一桶白色漆，第一次用掉了整桶的1/2，第二次再用掉全桶的30%，还剩下40升。这桶白色漆原来有多少升？此类题目是六年级学生经常会遇到的典型题，学生想正确解题，必须有效理清各个已知条件的关系，并找到对应的突破口。本题解决的突破口应该是剩下的40升，学生必须知道40升对应了整桶白色漆的几分之几。但在实际的解题过程中，学生单纯依靠字面理解题意，思路容易混乱，因为以学生的想象力要理清40升占几分之几还是有难度的。如果教师能巧妙引入线段图，就能为学生的思路找到突破口。将整桶漆看作单位“1”并画出一条线段，然后第一次用掉了整桶的1/2，给线段图直接作上记号；第二次再用掉全桶的30%，给线段图再作上记号，此时，学生容易发现剩下的几分之几就是40升所对应的量。可以说，数形结合为抽象问题的解决找到了突破口，学生容易借直观图形将抽象的问题简单化，从而有效理解题目的意义，轻松解决问题。
二、运用数形结合，正确理解对应关系
分数是小学阶段重要的内容，在解决分数问题时，量率对应是一个重要概念，但人教版教材并没有直接出现“量率对应”这组关键词，而在实际的分数问题解决过程中，量率对应却有着广泛的应用，它影响着学生解题能力和解题思维的发展。什么是量率对应？在分数解决问题中，一般都存在两种意义不同的量来表示同一个物体的大小，其中一个量表示为单位“1”的几分之几，通常这个几分之几叫“率”，另一量表示实际数量是多少，这两个量是相互对应的，一般把它们叫做量率对应。虽然教材没有出现量率对应的名词，但教师要抓住分数应用题的特点，有效渗透量率对应的知识，使学生能够更好地解决问题。在引导学生理解量率对应的问题时，数形结合是一个重要的辅助策略，它能帮学生更好地亲历量率对应的数量关系，并借图形更好地找到实际量和“率”之间的关系，从而快速找到解决方法。
人教版将分数乘法安排在了六年级数学上册，分数应用题有着自己的特点，单位“1”是重要的指标，它是学生正确解决问题的基础。在学生学习了分数除法后，学生接触到的分数应用题就会比较复杂，此时，数形结合能帮助学生更好地理清题意，并正确理解对应关系。如工程队在修建一条公路，第一天修了全程的1/2少35米，第二天修了全程的1/2多5米，两天正好修了全程的4/5。请问：这条公路全长是多少米？在此题中，分数代表的是“率”，35米和5米代表的是实际的量，而全程是单位“1”不知道，要求全程的突破口在于实际的量对应的是全程的几分之几，同时，此题中第一天修了全程的1/2少35米和第二天修了全程的1/2多5米中两个实际的量存在“复杂”的关系，如何理清？实际量对应的几分之几容易求，因为两天正好修了全程的4/5，容易用1减4/5得1/5，但实际量是多少却是一个难点。如果教师能引导学生结合题意画线段图，通过线段图帮助学生理清对应量的关系。第一天修的路不到1/2，还差35米；第二天修的超过了1/2还多修了5米，因此，第一天和第二天合起来应该是35米减5米，也就是全程还剩下30米没有修。可以说，线段图能有效帮助学生理清对应量的关系，使学生快速找到量率之间的数量关系，从而借数形结合找到问题解决的突破口。
三、运用数形结合，理解基本数量关系
分数比较抽象，分数乘除法应用题被安排在人教版小学数学六年级。此阶段的学生已具备了一定的运算基础和问题解决能力，但在分数应用题中，不少学生还是会出错，究其原因，是学生对分数中的数量关系不理解导致的。在分数问题的解决过程中，理解和弄清基础的数量关系是正确解题的关键。在分数问题解决中，基本的数量关系就是标准量、比较量和分率之间的关系，即标准量×分率=比较量，在解决问题过程中，教师要根据三个基本量之间的出现而合理运用数量关系。由于基本的数量关系比较复杂，教材并没有直接出现三个量之间关系的公式，它渗透于问题解决之中。数形结合是帮助学生理清分数基本数量关系的重要策略，它能化抽象的数量关系为可感知的图形，使学生在具体的问题解决中逐步建构数量关系。
如“华东小学组织学生开展植树活动，六年级1班种了200棵树，五年级1班种的棵数是六年级1班的4/5，五年级1班种了多少棵树？”在此题中，六年级1班是单位“1”，即标准量，五年级1班种的棵数是六年级1班的4/5即分率；要求五年级1班种了多少棵即求比较量。如果教师用这样的方式为学生解答，或者让学生直接用公式去解题，势必会让学生产生混乱，太抽象了。数形结合作为一种重要的解题思想，对理解抽象的知识有着重要的作用。标准量即单位“1”，用一条线段表示，然后将线段平均分成5份，五年级1班占了4份，4/5即分率；要求五年级1班种了多少棵数，数量关系非常明显，学生直接200乘4/5得160棵。以上解题过程中，虽然教师并没有刻意将抽象的数量关系呈现给学生，但是数形结合有助于学生理解其中的数量关系，教师再适当地渗透数量关系中的公式，学生的理解就会加深，即使学生在初学时不理解，但在不断解题过程中就会逐渐地理解、内化，这也是数形结合所要达到的目的。在分数的数量关系中，单位“1”不知道，即标准量不知道时，就要用对应量除以分率，教师同样可以利用数形结合的策略辅助学生解题，使学生借助“有形”图去理解抽象的数量关系，并在不断的实践中逐渐建构知识。
总之，数形结合作为数学解题重要的思想策略，影响着学生数学解题知识结构的发展。在问题解决的过程中，数形结合抓住了抽象知识和形象手段的契合点，巧妙将抽象的知识化为学生易感知的形象问题，使学生的逻辑思维训练有可支撑的载体，从而有效亲历知识的形成过程，获得解题能力的发展。
参考文献：
[1]袁艳梅.数形结合思想在小学数学教学中的渗透[J].小学教学参考，2011年20期.
[2]林世平.让“数”与“形”和谐交融[J].才智，2011年21期.
例谈数学教学中渗透数形结合思想 篇12
数形结合的思想方法, 是提高学生的数形转化能力和迁移思维能力的有效途径。正如“数无形, 少直观, 形无数, 难入微”。利用数形结合, 常常可以使所要研究的问题化难为易, 使复杂问题简化、抽象问题具体化。因此, 在教学中, 有意识地渗透数形结合思想, 有利于学生掌握知识与形成能力。下面以梯形面积公式“开拓”为例说明数形结合思想如何在教学中进行渗透。
梯形面积公式对小学高年级以上的学生来说并不陌生, 而利用公式求梯形面积也是轻而易举的事情。然而, 学生能够正确迅速解答知识范围较广、难度较大、层次较深而且有规律的数学问题却不是很容易的事情。这就要求教师善于引导学生如何抓住事物的本质特征进行思考、分析、推理, 从中找出规律, 用“已知”代“未知”的方法, 把一些有规律的数学问题简化、形象化, 从而使学生掌握解决此类有规律问题的数学方法。
一、对梯形面积进行“开拓”
如图:一堆木材, 它的横截面是个梯形, 求这堆木材有多少根?
由于这堆木材的横截面是一个梯形, 因此求这堆木材的根数, 可以用梯形面积公式来计算。即: (2+6) ×5÷2=20 (根) 。
此外, 求这堆木材的根数还可以用加法来计算:2+3+4+5+6, 观察这个加法算式可以发现, 这是一列有规律数字的的和:即后一个数总比前它的一个数多1, 比较加法算式和这堆木材, 不难发现, 第一个数2就相当于梯形的上底, 最后一个数6就相当于它的下底, 加数的个数5就相当于梯形的高。因此, 求这个加法算式的和, 就可以利用梯形面积公式来计算, 即:2+3+4+5+6= (2+6) ×5÷2=20 (根) 。通过对梯形面积公式进行这样的“开拓”, 打开了学生的思维, 拓宽了解题思路, 可使学生很容易的掌握解决一类有规律数字和的运算方法:1.这一类有规律数字和必须是后一个数与前一个数的差都相同;2.第一个加数和最后一个加数分别相当于梯形的两个底;3.加数的个数相当于梯形的高。
二、利用“开拓公式”进行计算
(一) 求有规律数字的和
同样地, 利用公式解决其他类有规律数字的和可带来很大方便。如3+6+9+…+27+30=;10+15+…+105+110=.
(二) 求图中线段的条数
此图以A为左端点的线段有三条, 以B为左端点的线段有2条, 以C为左端点的线段有1条。图中线段的总条数为:3+2+1=6 (条) , 而利用公式便知, 1相当于梯形的上底, 端点的总个数4与1的差“3”相当于梯形的下底, 端点的总个数4与1的差为梯形的高。即3+2+1= (1+3) ×3÷2=6 (条) 。同样地, 若一条线段上有n个端点, 如图, (n∈N) , 用“开拓公式”便可求出线段总条数为:n-1+…+3+2+1=[1+ (n-1) ]× (n-1) ÷2
(三) 求连接两点线段的条数
如图:
在平面内, 两点可以连成1条线段;三个点可以连成3条线段:1+2=3 (条) ;4个点可以连成6条线段:1+2+3= (1+3) ×3÷2=6 (条) ;5个点可以连成多少条线段:1+2+3+4= (1+4) ×4÷2=10 (条) ;
同样地, 求在不同一条直线上的n个点可以连成多少条线段?
(四) 求相交直线的交点个数
在一个平面上, 两条直线相交, 只有1个交点;三条直线相交, 最多有3个交点;四条直线相交最多有6个交点;那么20条直线在一个平面上相交, 最多有多少个交点?
设直线条数为a, 相交的点为b.
(五) 求角的个数
如图, 在∠AOB内, 有三条从O发出的射线, 这里一共有几个角?将角的计数与线段的计算进行对比, 方法类似。角的总个数为:
同样地, 要求在角∠AOB内, 有n条从O发出的射线, (如图) 图中一共有多少个角?利用公式可得:n+1+…+3+2+1=[1+ (n+1) ]× (n+1) ÷2.
(六) 求三角形的个数
1.如图, 求此图中三角形的个数。解决问题前, 首先引导学生发现规律, 把新问题转化成旧知识, 从而达到解题的目的。由于BC上共有五个分点与A相连, 便组成了多个三角形, 故求图中的三角形个数就是求BC上线段的条数。
即4+3+2+1= (1+4) ×4÷2=10 (个)
2.如图, 求此图中三角形的个数。借上题中的思路, 学生解决这个问题也就迎刃而解了。即 (5+4+3+2+1) ×2= (1+5) ×5÷2×2=30 (个)
(七) 求长方形的个数
如图, 求此图中长方形的个数。求解这道题, 仍然可以把它转化为利用公式求线段条数的问题。
1.求出一条边上的线段条数。
AD边上:4+3+2+1= (1+4) ×4÷2=10 (条)
故, 图形中长方形的个数为10个
2.分别求出长方形的长和宽的线段条数, 再相乘即可得到图中长方形的总个数。
AD边上:3+2+1= (1+3) ×3÷2=6 (条)
AB边上:2+1= (1+2) ×2÷2=3 (条)
图中共有长方形总个数6×3=18 (个)
同样的, 对于长上有n个端点, 宽上有m个端点 (n, m∈N) 。
如图:用梯形面积公式仍可求出图中长方形的总个数: