数形结合解答应用题

数形结合解答应用题（精选7篇）

数形结合解答应用题 篇1

用数形结合法解题简单、直观, 往往使我们能迅速得到问题的正确结论, 而用此法的关键是充分利用条件, 画出与之匹配的图形, 否则容易造成错解.下面我们来“诊断”一道高考改编题的解答.

已知函数f (x) =ax2+bx+c (a>0) , α, β是方程f (x) -x=0的两个实数根, 且满足0<α<β<.若x∈ (0, α) , 则下列各式中 (1) xf (x) , (4) α>f (x) 正确的是_____.

分析题目, 我们自然想到用数形结合的方法去解决:将α, β视为y=f (x) 与y=x两函数图像的交点横坐标.由于β>α>0, 可画出图像:当x∈ (0, α) 时, 由图知f (x) >x, f (x) >α, 则选 (1) (2) .

结论看上去好像一目了然, 但是用比较法来考虑时却出现了与 (2) 截然相反的结果.

由于α, β是f (x) -x=0的两实根, f (x) -x=a (x-α) (x-β) , 则f(x)=a(x-β)(x-β)+x.

于是f (x) -α=a (x-α) (x-β) +x-α= (x-α) (ax-aβ+1) .

由于0<α<β<, x∈ (0, α) , 则aβ<1, x<α, 得f (x) <α.显然逻辑推导无懈可击, 那么数形结合法问题出在哪儿?仔细推敲条件, 不难发现0<α<β<这一条件未充分利用, 那么它对图形会产生限制吗?让我们来研究对称轴与α的大小关系.

由韦达定理知:, 于是b=1-aα-aβ, c=aαβ

比较对称轴

所以, 且f (α) -c=α-aαβ=α (1-aβ) >0, 即f (α) =α>c, 再作出图像得, 当x∈ (0, α) 时, α>f (x) .

在此基础上还可以优化为直接比较，然后正确画出图像得到结果.

由此可知, 某些数学问题的条件内涵丰富, 我们不能根据陈旧的解题经验想当然地画出图形, 而需要对条件深入探索, 抓住“弱信息”, 合理联系相关知识去剖析才能正确求解.

数形结合解答应用题 篇2

《数形结合在解题中的应用》电子教案

教材分析： 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，在解题过程中应用十分广泛，它把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。这样不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，可起到事半功倍的效果，在选择、填空中更显优越。 学情分析： 学生学习了两年，对数形结合的思想已经有了一定的认识和了解，在此基础上设置这一专题有利于学生更深刻把握这一思想方法，使它与学生的学习融为一体，受用一生。 教学目标： 1、知识与技能：通过本节数学方法的`学习，巩固所学函数、曲线的图象。 2、过程与方法：通过学生的观察、分析能将较难解决的数学问题转化成图象问题;进一步变式、探究培养学生的发散思维，“寻找规律”提高学生的归纳能力。 3、情感态度与价值观：通过“数”与“形”的联系，体会数与形的统一美，激发学生的学习兴趣，培养勇于探索的精神。 教学重难点： 教学重点：用数形结合思想解题，使学生能见“数”想“形”、以“形”助“数”、用“数”解“形”。 教学难点: 代数式与几何意义的转化。 教学策略选择与设计： 本节采用讲授法、讨论法和合作探究等方式组织教学。体现课改理念，重视知识的产生过程，充分发挥学生的主体地位和教师的主导作用。采用多媒体技术的演示功能，强化理解，突破重点、难，引导学生抓特点、有条理、层层递进地完成本节任务。 教学环境资源准备： 教学环境：多媒体教室 资源准备：交互式电子白板、数字幻灯机、自制教学课件、参考网址等等。 教学过程设计： 复习提问： 简述数形结合思想的形成过程与原理： 即：将一对有序实数与坐标平面上的点建立一一对应关系; 将方程与坐标平面上的曲线建立一一对应关系。 教学过程： 应用1、构建函数模型并结合其图形解不等式和研究量与量之间的大小关系。 [高考在线] 1.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2并且m,n是方程f(x)=0的两个实数根，则实数a,b,m,n的大小关系可能是：( ) A. m/**/

中考中“数形结合思想”的应用 篇3

甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）.

A.甲比乙大5岁

B.甲比乙大10岁

C.乙比甲大10岁

D.乙比甲大5岁

解：不妨设甲、乙二人现在的年龄分别是x岁、），岁，显然，由题意可知x>y，我们可把甲、乙二人年龄及其转换关系，用数轴上的点表示（如图1）.

因为甲、乙二人的“年龄差”是个定值，由题意，结合数轴的图形表示，可得：

①+②，整理，得3（x-y）=15.

则x-y=5.即甲比乙大5岁.故应选A.

在上述的解答中，通过借助数轴，清晰地把甲、乙二人的年龄及其数量转换关系呈现出来，迅捷地列出方程组使问题获解，这种解决问题的思想便是我们常说的“数形结合思想”，

数形结合思想是指从几何直观的角度，利用几何图形的性质研究数量关系，寻求代数问题的解决，或利用数量关系研究几何图形的性质，解决几何问题的一种数学思想，

一、“以形助数”，即将数量关系借助于图形及其性质使之直观化、形象化，从而获得解题方法

例1 某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人.三个区顺次在同一条直线上，且A、B两区相距100 m，B、C两区相距200 m，该公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程之和最小，那么停靠点的位置应设在（）.

A.A区

B.B区

C.C区

D.A、B两区之间

分析：根据题意“A、B、C三区顺次在一条直线上”，我们可用一条直线展现三个区的位置及其距离（如图2）.

假设停靠点设在A区，则所有员工所走总路程为15×lOO+lOx300=4 500 （m）；若设在B区，则总路程为30xlOO+lOx200=5000 （m）；若设在C区，则总路程为30x300+15x200=12000 （m）；若设在A、B两区之间，不妨设在D处，则所走总路程为30.AD+15（100-AD）+10（300-AD）=（4500+5AD）（m）.

通过比较可知，停靠点设在A区，可使所有员工所走总路程最小，故应选A.

例2一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100km的B港口，巡逻艇和货轮的速度分别为100 km/h和20km/h.巡逻艇不停地往返于A、B两港口巡逻（巡逻艇调头的时间忽略不计）.

（1）货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次？

（2）出发多长时间巡逻艇与货轮第三次相遇？此时离A港口多少千米？

分析：（l）由题设条件可知，巡逻艇l小时可以往返于A、B两港，而货轮需5小时才能从A港到达B港.我们可借助“平面直角坐标系”来表示题设数量及其运动图象（如图3）.

这样，问题便转换为判断巡逻艇与货轮运动图象的交点问题，显然，由图象可知，货轮从A港口出发后直到B港口与巡逻艇一共相遇4次.

（2）设OC所在直线解析式为y=mx.由图象可知C坐标为（5，100）. 则5m=100.解之，得m=20. 故直线OC的解析式为y=20x.① 设DE所在直线的解析式为y=kx+b. 直线y=kx+b过点E（3，100），D（4，0），则有：

解之，得k=-100，b=400. 故直线DE的解析式为y=-lOOx+400. ② 联立①、②，得

解这个方程组，得.

即交点F的坐标为 ，可见，在货轮出发小时后巡逻艇与货轮第三次相遇.这时离A港口 km.

二、“以数解形”，即将几何图形问题数量化表达描述，借助代数运算获得解题路径

例3 如图4，在边长为4的正方形内部，以各边为直径分别画出4个半圆，则图中阴影部分的面积是（）.

A.3

B.4

C.5

D.6.

数形结合解答应用题 篇4

例1:现有Al C13和Fe Cl3混合液, 其中Al3+和Fe3+的物质的量之和为0.1 mol, 在此溶液中加入90 m L 4 mol·L-1的Na OH溶液, 使其充分反应, 设Al3+物质的量与金属离子总物质的量之比为x。

(1) 根据反应的化学方程式计算x=0.4时, 溶液中产生的沉淀是什么?物质的量有多少?

(2) 计算沉淀中只有Fe (OH) 3时的x取值范围, 请在图1中画出沉淀总量 (mol) 随x (0~1) 变化的曲线。

(3) 若Al3+和Fe3+物质的量之和为A mol (A为合理数值) , 其他条件不变, 求沉淀中同时有Fe (OH) 3、Al (OH) 3时, x的取值范围和各沉淀的物质的量 (用含有A、x的式子表示) 。

分析: (1) 略。

(2) 可使沉淀中无Al (OH) 3, 至少需n (OH-) =4×0.1x (mol) , x的最大取值为0.1 (1-x) ×3+0.4x=0.0 9×4, 所以在0≤x≤0.6时, 沉淀只有Fe (OH) 3。

x=0时, Fe (OH) 3沉淀量为0.1 mol;

x=0.4时, Fe (OH) 3沉淀量为0.06 mol;

x=0.6时, Fe (OH) 3沉淀量为0.04 mol;

在0.6≤x≤1内, 总沉淀量:

n总=0.1 (1-x) +0.1x=0.04 mol。

(3) 3A (1-x) +4 Ax=0.36,

x=0.36/A-3,

0.36/A-3<x≤1。

n (Fe (OH) 3) =A (1-x) mol

n (Al (OH) 3) =A (x+3) -0.36 mol

例2:已知氨和氯气发生如下反应:

该反应按上述两反应顺序进行。在常温、常压下, 若有Cl2和NH3为a L, 其中Cl2的体积百分含量为x。混合充分反应后, 在相同条件下测得气体总体积为y L。试讨论x的取值范围不同时, 反应后气体的总体积y。

分析:根据反应原理有

由此作图如图2所示。

数形结合解答应用题 篇5

教学目标：

1．知识与技能目标：

掌握等差数列前n项和公式。

2．过程与方法目标：

经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。

3．情感、态度与价值观目标：

获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导.教学难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路.教学方法: 讲授法、发现法

教学过程：

一、问题呈现:

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝

沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶

饰，图案之细致令人叫绝。

传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石

镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。

你知道这个图案一共花了多少宝石吗？

二、探究发现:

学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段。

为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面问题。

问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？

问题2：如何求1到n的正整数之和.公式应用：123n

问题3：你能证明这个公式吗？

三、公式推导:

我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．

数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性

n(n1)

2质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．

1． 证明123nn(n1)（讲授）2

对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．

如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为

2． 小组活动：仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中 n 是正整数，你能找出几种方法（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）

简解：（1）

因为组成此平行四边形的小圆圈共有n 行，每行有[（2n －1）＋1]个，即2n 个，所以

2组成此平行四边形的小圆圈共有（n×2n）个，即2n个．

∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝

（2）

n（n1）n（n1），即1＋2＋3＋4＋…＋n＝． 22n〔（2n—1）1〕2＝n ． 2

因为组成此正方形的小圆圈共有n 行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n 个．

2∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n ．

3． 小组探究：利用数形结合的方法证明等差数列的求和公式Sn

四、知识回顾、小结:

数形结合在数学中的应用 篇6

【关键词】数形结合；数学；应用

数学发展史上，数和形都是如影随形、难以割舍的。尤其是在现代代数和几何，更是验证了数和形的相辅相成的。统观数学发展史，早期尤其科学发展受限，代数和几何孤立发展起来，携手并进的机会并不多，尤其是在16-17世纪，基本上几何在数学领域占据着主导地位。后期伟大的科学家笛卡儿创造了解析几何法——笛卡尔法，就是现代数学方法来研究几何问题，由此创造了数形结合的先河——解析几何，而其实际上就是数形结合方法在数学中的具体应用。

1.数形结合在数学应用中的重要作用

从上面的介绍来看，数形结合有着悠久的发展历史。但是，就现在这种方法在数学中的实际应用并不是很常见，造成这种问题的原因是多种多样的，加强这方面地教育更是势在必行。

其一，从数学本身特点来看，基本上现实存在的每一个数学概念都有一个与之相关联、对应的空间形式，可以说概念越抽象、越接近事物的本质，用图形就能越容易反应出来。由此，从这个角度，决定着数形结合应用于数学之中尤其存在的必然性。

其二，采用数形结合解决数学问题，可以更加直观、直接的解决问题，发现问题解决的结果，尤其适用于解填空题和选择题，可以说如果知道某一问题图形背后蕴含的集合涵义，只要稍加推导就可彻底解决，得出确切的答案。由此，这种方法常常被应用于数学之中。

其三，从数学教学的内容来看，数学领域涉及的问题无外乎“数”和“形”。运用“数”、“形”结合的策略解决数学问题，可以有效发展学生思维的灵活性，提高学生解决问题的思路，对于素质教育倡导培养学生“分析问题”、“解决问题”的能力可谓是有着异曲同工之妙。

综合上述介绍，将数形结合应用于数学之中，有着重要的现实意义。

2.数形结合在数学中应用的原则

（1）简单性原则

（2）双向性原则

（3）等价性原则

3.数形结合在数学中的具体应用

（1）数形结合在函数问题中的应用

函数图形能够形象的描述各变量之间的变化关系，通过研究图形变化的分析，可以更好地理解函数的性质，便于学生分析问题、解决问题。

（2）数形结合在方程或者是不等式中的应用

方程或者是不等式所表达的数字意义较为抽象，采用数形结合的方法，可将其表达的意义具体化，使要解决的问题更便于理解。

比如求方程x2+4x+6=■解的个数，通过绘制函数y=x2+4x+6与y=■的图象，可明显看到两个方程在图象中只有一个交点，即方程x2+4x+6=■的解的个数，即函数x2+4x+6，y=■的图象的交点个数，根据图象得交点个数是1，故原方程有1个解。

（3）数形结合在几何问题中的应用

几何实际上就是数形结合的体现，将数形应用点、线、曲线性质及相互关系的研究中是非常重要的应用方法。

比如说：△ABC是一块锐角三角形余料，边AD=80毫米，BC=120毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个定点分别在AB，AC上，设该矩形的长QM=y毫米，宽MN=x毫米.

（1）求证：y=120-■x；

（2）当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？

分析：

第一问：通过绘制图形，可明显由△APN∽△ABC得■=■，即■=■，y=120-■x。

第二问：设矩形PQMN的面积为S，则S=xy，即s=x（120-■x）=-■x2+120x

当x=40时，S有最大值为2400，此时y=60.

∴当x=40毫米时，y=60毫米时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为2400平方毫米.

4.结论

总之，数形结合在数学中的应用有着悠久的发展历史，无论是从数学本身特点、数学教学的内容，还是从采用数形结合解决数学问题，可以更加直观、直接解决问题，发现问题解决的角度考虑，加强这方面地教育都是势在必行。而在实际的应用中，还应该注意如下几方面问题：

第一，保证“数”的准确性

数学中几何图形最大的优点在于其直观性，但是，数学问题的解决仅靠直观性的凭空猜测显然是无法得到解决的，由此，还必须要借助着“数”的准确性得出最终的答案。

第二，注意考虑问题的全面性

在实际问题的解决中，一个数学问题所对应的图形可能不止一个。这个时候，就需要根据实际情况，划出可能存在的图形，并针对这些图形分情况讨论。

第三，注意数形间转化的可行性

在数学问题的解答中，将复杂的问题转换为简单的、熟知的问题，从而将问题得到解决，就是所谓的转化思想。但是，在实际数形转化过程中，一定要注意相互转化间是否具有可行性。

第四，注意数形结合的时效性

虽然说将数形结合应用于数学问题的解答中是一种较为重要的解题策略，但是，数形结合也有一定的时效性，换句话说，这种方法只有在特定的条件才可使用，如果条件改变适用性可能就会改变。

【参考文献】

[1]黄忠顺.数形结合思想在初中数学教学中的应用.学科教育研究[J].

[2]徐国央.数形结合思想在数学解题中的应用.宁波教育学院学报[J].2009年第11卷第一期：115

[3]任志鸿，徐明.三年高考两年模拟[M].北京：学苑出版社，2006.23.45.

（作者单位：包头铁道职业技术学院）

【摘 要】数形结合在数学中的应用有着悠久的发展历史，无论是从数学本身特点、数学教学的内容，还是从采用数形结合解决数学问题，可以更加直观、直接解决问题，发现问题解决的角度考虑，加强这方面地教育都是势在必行。本文在分析数形结合在数学应用中的重要作用及原则的基础上，就这种方法的具体应用及注意事项进行了详细地论述。

【关键词】数形结合；数学；应用

数学发展史上，数和形都是如影随形、难以割舍的。尤其是在现代代数和几何，更是验证了数和形的相辅相成的。统观数学发展史，早期尤其科学发展受限，代数和几何孤立发展起来，携手并进的机会并不多，尤其是在16-17世纪，基本上几何在数学领域占据着主导地位。后期伟大的科学家笛卡儿创造了解析几何法——笛卡尔法，就是现代数学方法来研究几何问题，由此创造了数形结合的先河——解析几何，而其实际上就是数形结合方法在数学中的具体应用。

1.数形结合在数学应用中的重要作用

从上面的介绍来看，数形结合有着悠久的发展历史。但是，就现在这种方法在数学中的实际应用并不是很常见，造成这种问题的原因是多种多样的，加强这方面地教育更是势在必行。

其一，从数学本身特点来看，基本上现实存在的每一个数学概念都有一个与之相关联、对应的空间形式，可以说概念越抽象、越接近事物的本质，用图形就能越容易反应出来。由此，从这个角度，决定着数形结合应用于数学之中尤其存在的必然性。

其二，采用数形结合解决数学问题，可以更加直观、直接的解决问题，发现问题解决的结果，尤其适用于解填空题和选择题，可以说如果知道某一问题图形背后蕴含的集合涵义，只要稍加推导就可彻底解决，得出确切的答案。由此，这种方法常常被应用于数学之中。

其三，从数学教学的内容来看，数学领域涉及的问题无外乎“数”和“形”。运用“数”、“形”结合的策略解决数学问题，可以有效发展学生思维的灵活性，提高学生解决问题的思路，对于素质教育倡导培养学生“分析问题”、“解决问题”的能力可谓是有着异曲同工之妙。

综合上述介绍，将数形结合应用于数学之中，有着重要的现实意义。

2.数形结合在数学中应用的原则

（1）简单性原则

（2）双向性原则

（3）等价性原则

3.数形结合在数学中的具体应用

（1）数形结合在函数问题中的应用

函数图形能够形象的描述各变量之间的变化关系，通过研究图形变化的分析，可以更好地理解函数的性质，便于学生分析问题、解决问题。

（2）数形结合在方程或者是不等式中的应用

方程或者是不等式所表达的数字意义较为抽象，采用数形结合的方法，可将其表达的意义具体化，使要解决的问题更便于理解。

比如求方程x2+4x+6=■解的个数，通过绘制函数y=x2+4x+6与y=■的图象，可明显看到两个方程在图象中只有一个交点，即方程x2+4x+6=■的解的个数，即函数x2+4x+6，y=■的图象的交点个数，根据图象得交点个数是1，故原方程有1个解。

（3）数形结合在几何问题中的应用

几何实际上就是数形结合的体现，将数形应用点、线、曲线性质及相互关系的研究中是非常重要的应用方法。

比如说：△ABC是一块锐角三角形余料，边AD=80毫米，BC=120毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个定点分别在AB，AC上，设该矩形的长QM=y毫米，宽MN=x毫米.

（1）求证：y=120-■x；

（2）当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？

分析：

第一问：通过绘制图形，可明显由△APN∽△ABC得■=■，即■=■，y=120-■x。

第二问：设矩形PQMN的面积为S，则S=xy，即s=x（120-■x）=-■x2+120x

当x=40时，S有最大值为2400，此时y=60.

∴当x=40毫米时，y=60毫米时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为2400平方毫米.

4.结论

总之，数形结合在数学中的应用有着悠久的发展历史，无论是从数学本身特点、数学教学的内容，还是从采用数形结合解决数学问题，可以更加直观、直接解决问题，发现问题解决的角度考虑，加强这方面地教育都是势在必行。而在实际的应用中，还应该注意如下几方面问题：

第一，保证“数”的准确性

数学中几何图形最大的优点在于其直观性，但是，数学问题的解决仅靠直观性的凭空猜测显然是无法得到解决的，由此，还必须要借助着“数”的准确性得出最终的答案。

第二，注意考虑问题的全面性

在实际问题的解决中，一个数学问题所对应的图形可能不止一个。这个时候，就需要根据实际情况，划出可能存在的图形，并针对这些图形分情况讨论。

第三，注意数形间转化的可行性

在数学问题的解答中，将复杂的问题转换为简单的、熟知的问题，从而将问题得到解决，就是所谓的转化思想。但是，在实际数形转化过程中，一定要注意相互转化间是否具有可行性。

第四，注意数形结合的时效性

虽然说将数形结合应用于数学问题的解答中是一种较为重要的解题策略，但是，数形结合也有一定的时效性，换句话说，这种方法只有在特定的条件才可使用，如果条件改变适用性可能就会改变。

【参考文献】

[1]黄忠顺.数形结合思想在初中数学教学中的应用.学科教育研究[J].

[2]徐国央.数形结合思想在数学解题中的应用.宁波教育学院学报[J].2009年第11卷第一期：115

[3]任志鸿，徐明.三年高考两年模拟[M].北京：学苑出版社，2006.23.45.

（作者单位：包头铁道职业技术学院）

【摘 要】数形结合在数学中的应用有着悠久的发展历史，无论是从数学本身特点、数学教学的内容，还是从采用数形结合解决数学问题，可以更加直观、直接解决问题，发现问题解决的角度考虑，加强这方面地教育都是势在必行。本文在分析数形结合在数学应用中的重要作用及原则的基础上，就这种方法的具体应用及注意事项进行了详细地论述。

【关键词】数形结合；数学；应用

数学发展史上，数和形都是如影随形、难以割舍的。尤其是在现代代数和几何，更是验证了数和形的相辅相成的。统观数学发展史，早期尤其科学发展受限，代数和几何孤立发展起来，携手并进的机会并不多，尤其是在16-17世纪，基本上几何在数学领域占据着主导地位。后期伟大的科学家笛卡儿创造了解析几何法——笛卡尔法，就是现代数学方法来研究几何问题，由此创造了数形结合的先河——解析几何，而其实际上就是数形结合方法在数学中的具体应用。

1.数形结合在数学应用中的重要作用

从上面的介绍来看，数形结合有着悠久的发展历史。但是，就现在这种方法在数学中的实际应用并不是很常见，造成这种问题的原因是多种多样的，加强这方面地教育更是势在必行。

其一，从数学本身特点来看，基本上现实存在的每一个数学概念都有一个与之相关联、对应的空间形式，可以说概念越抽象、越接近事物的本质，用图形就能越容易反应出来。由此，从这个角度，决定着数形结合应用于数学之中尤其存在的必然性。

其二，采用数形结合解决数学问题，可以更加直观、直接的解决问题，发现问题解决的结果，尤其适用于解填空题和选择题，可以说如果知道某一问题图形背后蕴含的集合涵义，只要稍加推导就可彻底解决，得出确切的答案。由此，这种方法常常被应用于数学之中。

其三，从数学教学的内容来看，数学领域涉及的问题无外乎“数”和“形”。运用“数”、“形”结合的策略解决数学问题，可以有效发展学生思维的灵活性，提高学生解决问题的思路，对于素质教育倡导培养学生“分析问题”、“解决问题”的能力可谓是有着异曲同工之妙。

综合上述介绍，将数形结合应用于数学之中，有着重要的现实意义。

2.数形结合在数学中应用的原则

（1）简单性原则

（2）双向性原则

（3）等价性原则

3.数形结合在数学中的具体应用

（1）数形结合在函数问题中的应用

函数图形能够形象的描述各变量之间的变化关系，通过研究图形变化的分析，可以更好地理解函数的性质，便于学生分析问题、解决问题。

（2）数形结合在方程或者是不等式中的应用

方程或者是不等式所表达的数字意义较为抽象，采用数形结合的方法，可将其表达的意义具体化，使要解决的问题更便于理解。

比如求方程x2+4x+6=■解的个数，通过绘制函数y=x2+4x+6与y=■的图象，可明显看到两个方程在图象中只有一个交点，即方程x2+4x+6=■的解的个数，即函数x2+4x+6，y=■的图象的交点个数，根据图象得交点个数是1，故原方程有1个解。

（3）数形结合在几何问题中的应用

几何实际上就是数形结合的体现，将数形应用点、线、曲线性质及相互关系的研究中是非常重要的应用方法。

比如说：△ABC是一块锐角三角形余料，边AD=80毫米，BC=120毫米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个定点分别在AB，AC上，设该矩形的长QM=y毫米，宽MN=x毫米.

（1）求证：y=120-■x；

（2）当x与y分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？

分析：

第一问：通过绘制图形，可明显由△APN∽△ABC得■=■，即■=■，y=120-■x。

第二问：设矩形PQMN的面积为S，则S=xy，即s=x（120-■x）=-■x2+120x

当x=40时，S有最大值为2400，此时y=60.

∴当x=40毫米时，y=60毫米时，矩形PQMN的面积最大，最大面积为2400平方毫米.

4.结论

总之，数形结合在数学中的应用有着悠久的发展历史，无论是从数学本身特点、数学教学的内容，还是从采用数形结合解决数学问题，可以更加直观、直接解决问题，发现问题解决的角度考虑，加强这方面地教育都是势在必行。而在实际的应用中，还应该注意如下几方面问题：

第一，保证“数”的准确性

数学中几何图形最大的优点在于其直观性，但是，数学问题的解决仅靠直观性的凭空猜测显然是无法得到解决的，由此，还必须要借助着“数”的准确性得出最终的答案。

第二，注意考虑问题的全面性

在实际问题的解决中，一个数学问题所对应的图形可能不止一个。这个时候，就需要根据实际情况，划出可能存在的图形，并针对这些图形分情况讨论。

第三，注意数形间转化的可行性

在数学问题的解答中，将复杂的问题转换为简单的、熟知的问题，从而将问题得到解决，就是所谓的转化思想。但是，在实际数形转化过程中，一定要注意相互转化间是否具有可行性。

第四，注意数形结合的时效性

虽然说将数形结合应用于数学问题的解答中是一种较为重要的解题策略，但是，数形结合也有一定的时效性，换句话说，这种方法只有在特定的条件才可使用，如果条件改变适用性可能就会改变。

【参考文献】

[1]黄忠顺.数形结合思想在初中数学教学中的应用.学科教育研究[J].

[2]徐国央.数形结合思想在数学解题中的应用.宁波教育学院学报[J].2009年第11卷第一期：115

[3]任志鸿，徐明.三年高考两年模拟[M].北京：学苑出版社，2006.23.45.

高中数学中数形结合思想的应用 篇7

关键词：高中教学；数形结合；应用教学

中图分类号：G633.6文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）07-031-1

数形式组合是常用的数学解题的思维方式，形成数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观、生动，可以改抽象思维为形象思维，掌握数学问题的本质。此外，数形相结合方法的使用，很多问题都解决了，而且解决方法很简单。

一、“数形结合思想”在代数问题上的求解应用

在高中数学的教学中，使用“数形结合”、“由形到数”解题，我们需要研究图形的特征和它们的数量关系。“数”、“形”、“数形结合”思想不仅能使学生系统地掌握知识，且也是一种提高思维与训练的过程。函数的单调性解决不等式、函数与数列、函数的思想对于解决方程根的分布问题、函数与解析几何等等都会应用到。然而在传统教学中，对表层知识的学习极为重视，忽视了数学学科是作为一种抽象思维而存在的，它和语言学科不同，不会感性化，也不会被打上严谨与理性的印记。数学作为一种体系思维，是抽象性的，是理性严谨的知识体系，倘若不进行思维能力的培养，当然无法达到既定的教学目标和教学效果，更无法提高数学学科的学习效率。

二、“数形结合思想”在实际生活中的应用

用数形结合的思想去解决问题，有助于将实际问题进行简单转化。抽象的问题可以用“数形结合”思想帮助体会和解决。教学中用“数形结合”的思想来解决是普遍存在的，现实生活中的问题利用数形结合的思想来解决也是有案可稽的。例如：解析几何是数形思想相结合的产物。其中用以使数与形结合在一起的工具——古老的坐标法，今天仍被广泛地应用于地质、地理学等领域。再如，各式各样的地图的绘制，都是以坐标法为基础的杰作。现在人们可以通过在一个平面上，画上许多条线，纵的叫经线，横的叫纬线，交叉的经纬线就可以确定任何一个地方在地球上的位置。例如，用东经116°，北纬30°这两个数据，就可以确定地球上江苏省的位置。

三、在解决方程与不等式问题中的应用

方程f（x）-g（x）=0的解情况，可化为f（x）=g（x）的解情况，也可看作函数y=f（x）与y=g（x）图像的交点的横坐标的情况，所以只要我们准确地画出这两个函数的图像，再根据图像就能很容易地看出它们有几个交点，及交点大致的位置或坐标，还有一些其他的重要信息，这样我们就可以根据这些信息来解题，特别是选择题。对于计算题，我们也可以用数形结合这种方法为自己提供一种思考问题的思路，也可以用来检查自己到底有没有做错。

例：求方程lgx-sinx=0的解的个数。

分析：此方程解的个数为y=lgx的图象与y=sinx的图象的交点个数。

因为sinx≤1，lgx≤1

所以0

在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图，形中觅数，可直观地看出两曲线有3个交点。

不等式f（x）>g（x）解的问题可以转化为y=f（x）的图象在y=g（x）图象上方的那部分点的横坐标的取值范围。

例：不等式ax+2a<4-x2的解集是（-2，2），则a的取值范围是。

由y1=a（x+2）是过定点的直线，y2=4-x2是圆在y≥0时的半圆。

则只有a<0满足条件。

四、运用数形结合思想帮助解题

数形结合可以促进学生的动手能力，让他们可以在无聊乏味的数学课堂中找到乐趣，动手过程中经过数和形的两大步骤，可以更加巩固所学习的数学知识。在数学学习中经常会有很多概念、公理、定理及公式等，其中大多数都很抽象，学生很难理解和记忆。但是若借助图形来学习，就事半功倍了，不仅可以激发学生的学习兴趣，并且更加直观形象有效，便于学生理解和加以记忆，从而提高了学生的学习积极性。所以，高中数学教师要多用这个方法来引导和教导学生，在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化。在高中数学教学中合理应用数形结合可以加深学生对数学知识的理解，培养学生良好的思维习惯，提高学生的解题能力。

总之，数形结合思想“数”和“形”相互渗透的结合，直观几何图形和代数的描述相结合，使代数、几何问题互相转化，使抽象思维和形象思维结合起来；应用数形结合思想，充分研究这两种意义上的条件和结论的数学问题有着内在的何种联系，揭示了代数和几何意义，把形式和空间之间的关系进行组合，以找到解决问题的思路，让问题得到解决。在教学过程中，揭示转换的数形间的关系，将有助于激发学生深刻理解数学知识和数学问题的精华，使学生可以利用数形结合的思维来解决数学问题，从而提升能力。

[参考文献]

[1]党红红.数形结合思想在中学数学中巧用[J].山西师范大学学报（自然科学版）研究生论文专刊，2011（06）.

[2]贺云昊.数形结合思想在高中数学教学中的应用[J].中国校外教育，2013（05）.