解答数学应用题论文

解答数学应用题论文（共12篇）

解答数学应用题论文 篇1

数学是一门工具学科, 这就决定把它用于解决实际问题作为教学的一个重点, 而运用所学数学知识解决问题的基本内容和重要途径是培养学生解答应用题的能力.但是, 在数学应用教学中, 存在着很多的问题, 应用题仍是学生数学学习中的“头痛题”.因此, 要解决这些难题, 主要有以下策略.

一、培养良好的读题习惯

培养良好的读题习惯是解决应用题的前提.面对一个题目较长, 语言文字较多, 并且较难理解的数学实际问题, 我们应该从以下几个方面去引导学生读题.

(一) 简缩问题

阅读题目时, 首先反复地读题, 以达到读懂题意的目的, 再归纳题目大意, 把与解决问题无关的文字省去, 浓缩题意, 最后用自己的语言概括题目大意.

(二) 解释科技名词或专业术语.

有的数学实际问题涉及各行各业、各个科技领域, 难免会在题目中出现一些学生不常见到的科技名词或专业术语, 一方面我们作为教师应及时给学生解释说明, 另一方面引导学生用自己的经验进行类比或想象, 淡化专业术语的背景及其本身等方法, 同时, 还应在平时的学习中强调学生多留意、多积累.

(三) 抓住关键的数学信息

在读懂题目的基础上, 理清应用题中的一些数量关系, 抓住题目中一些关键的数学信息, 抓住这些数学信息点.而且有些关系只有在你实际做题的过程中才发现要解决这个问题就必须还要知道某个数量关系, 然而如果不知道, 怎么办?这时候只有通过重新读题目, 反复读题目, 进一步咬文嚼字才能找到所需要的数量关系, 这说明有时候带着“需要”去读题目才能找到所需要的数量关系.

例如题1:要设计一本书的封面, 封面长27 cm, 宽21cm正中央是一个与整个封面长宽比例相同的长方形, 如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一, 上下边衬等宽, 左右边衬等宽, 应如何设计四周边衬的宽度?

分析:本题题目较长、较难理解, 我们首先反复读题, 借助画草图理解题目意思, 理清数量关系, 紧抓关键, 如:封面长宽之比等于中央长方形长宽之比, 为27∶21=9∶7.这样可以设中央长方形长宽分别为9a cm和7a cm, 由此可得上下边衬和左右边衬之比也为9∶7, 因此又可设上下边衬、左右边衬分别为9x cm和7x cm, 从而中央长方形的长宽可以表示出来了, 有根据要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一, 即中央长方形面积是封面面积的四分之三, 可列出方程.

二、培养学生数学建模能力

数学建模是数学走向应用的必经之路.数学建模是用数学语言描述实际问题, 通过设计数学方法解决实际问题的过程.在以上将题目理清的基础上, 把题目给出的信息翻译成数学语言, 变成数学问题, 用数学工具去解决.因此培养数学建模能力对于解决数学问题是非常有必要的.而培养和形成学生的数学建模能力是一个渐进的过程, 必须要求教师在日常的教学中注意这样几点:首先, 依据教学大纲和课本, 注重对学生“三基”的系统教学, 要正确认识纯数学与应用数学之间的关系.其次, 注重代数与几何之间的联系, 一些代数问题构建几何模型更简洁形象.第三, 将一些数学实际问题通过画草图、或做平面坐标系、构建函数去解决.

例如题2:有一架抛物线形拱桥, 某一时刻观察, 拱顶离水面2米, 水面宽4米, 水面下降1米, 水面宽度增加多少?

分析:根据信息“抛物线形拱桥”, 就想到构建二次函数模型, 为解题方便, 以抛物线的顶点为原点, 以抛物线的对称轴为y轴建立适当坐标系.

三、加强课外实践

加强课外实践对解答数学应用题有很重要的意义, 数学源于生活, 数学应用题一般用生活化语言描述生活问题.因此, 一定要加强课外实践, 了解实际生活中存在的数学问题, 用数学知识去解决这个问题, 反过来, 利用生活中的实际例子来解释数学问题或反驳数学命题, 从而提高学生学习数学的兴趣.

四、加强学科之间的交叉融合

课程内容的综合化是当前课程改革的主要方向, 数学应用题与物理、化学、生物、地理等众多的学科密切相联, 教学中应充分利用这一点.

例如题3:小伟欲用撬棍撬动一块大石头, 已知阻力和阻力臂不变, 分别为1200牛和0.5米. (1) :动力F与动力臂L有怎样的函数关系式?当动力臂为1.5米时, 撬动大石头至少需要多少力? (2) 若想使动力F不超过 (1) 所用力的一半, 则动力臂至少要加长多少?

本题就是一道数学学科与物理学科之间交叉融合的数学应用题.在解决此题之前, 学生首先要了解并掌握物理学中的“杠杆定律”.再从实际问题中抽象出函数模型.通过此题的学习, 让学生感受到学科知识的整合.

在实施素质教育的今天, 如何更好地培养学生解决实际问题的能力是每一个教师都在思考、探索的问题.

解答数学应用题论文 篇2

█3台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷?

解

(1)1台拖拉机1天耕地多少公顷?90÷3÷3=10(公顷)

(2)5台拖拉机6天耕地多少公顷?10×5×6=300(公顷)

列成综合算式90÷3÷3×5×6=10×30=300(公顷)

答：5台拖拉机6天耕地300公顷。

█5辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次?

解

(1)1辆汽车1次能运多少吨钢材?100÷5÷4=5(吨)

(2)7辆汽车1次能运多少吨钢材?5×7=35(吨)

(3)105吨钢材7辆汽车需要运几次?105÷35=3(次)

列成综合算式105÷(100÷5÷4×7)=3(次)

答：需要运3次。

归总问题

█小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书。小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》?

解

(1)《红岩》这本书总共多少页?24×12=288(页)

(2)小明几天可以读完《红岩》?288÷36=8(天)

列成综合算式24×12÷36=8(天)

答：小明8天可以读完《红岩》。

█食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天?

解

(1)这批蔬菜共有多少千克?50×30=1500(千克)

(2)这批蔬菜可以吃多少天?1500÷(50+10)=25(天)

列成综合算式50×30÷(50+10)=1500÷60=25(天)

答：这批蔬菜可以吃25天。

差倍问题

█爸爸比儿子大27岁，今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁?

解

(1)儿子年龄=27÷(4-1)=9(岁)

(2)爸爸年龄=9×4=36(岁)

答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。

█商场改革经营管理办法后，本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元?

解

如果把上月盈利作为1倍量，则(30-12)万元就相当于上月盈利的(2-1)倍，因此

上月盈利=(30-12)÷(2-1)=18(万元)

本月盈利=18+30=48(万元)

答：上月盈利是18万元，本月盈利是48万元。

█粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍?

解

由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差(138-94)。把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么，(138-94)就相当于(3-1)倍，因此

剩下的小麦数量=(138-94)÷(3-1)=22(吨)

运出的小麦数量=94-22=72(吨)

运粮的天数=72÷9=8(天)

答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。

和倍问题

█东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨?

解

(1)西库存粮数=480÷(1.4+1)=200(吨)

(2)东库存粮数=480-200=280(吨)

答：东库存粮280吨，西库存粮200吨。

█甲站原有车52辆，乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍?

解

每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站(28-24)辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数(52+32)就相当于(2+1)倍，

那么，几天以后甲站的车辆数减少为

(52+32)÷(2+1)=28(辆)

所求天数为(52-28)÷(28-24)=6(天)

答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。

█甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6，求三数各是多少?

解

乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量。

因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍;

又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍;

这时(170+4-6)就相当于(1+2+3)倍。那么，

甲数=(170+4-6)÷(1+2+3)=28

乙数=28×2-4=52

丙数=28×3+6=90

答：甲数是28，乙数是52，丙数是90。

和差问题

█长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米，求长方形的面积。

解

长=(18+2)÷2=10(厘米)

宽=(18-2)÷2=8(厘米)

长方形的面积=10×8=80(平方厘米)

答：长方形的面积为80平方厘米。

█有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克，求三袋化肥各重多少千克。

解

甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多(32-30)=2千克，且甲是大数，丙是小数。由此可知

甲袋化肥重量=(22+2)÷2=12(千克)

丙袋化肥重量=(22-2)÷2=10(千克)

乙袋化肥重量=32-12=20(千克)

答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克。

█甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐?

解

“从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数，乙车是小数，甲与乙的差是(14×2+3)，甲与乙的和是97，因此甲车筐数=(97+14×2+3)÷2=64(筐)

乙车筐数=97-64=33(筐)

答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐。

倍比问题

█今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵，照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵?

解

(1)48000名是300名的多少倍?48000÷300=160(倍)

(2)共植树多少棵?400×160=64000(棵)

列成综合算式400×(48000÷300)=64000(棵)

答：全县48000名师生共植树64000棵。

凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元?全县16000亩果园共收入多少元?

解

(1)800亩是4亩的几倍?800÷4=200(倍)

(2)800亩收入多少元?11111×200=2222200(元)

(3)16000亩是800亩的几倍?16000÷800=20(倍)

(4)16000亩收入多少元?2222200×20=44444000(元)

答：全乡800亩果园共收入2222200元，全县16000亩果园共收入44444000元。

相遇问题

█小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发，反向而跑，那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间?

解

“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。

因此总路程为400×2

相遇时间=(400×2)÷(5+3)=100(秒)

答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。

█甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米，乙每小时行13千米，两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离。

解

“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快，乙骑得慢，甲过了中点3千米，乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是(3×2)千米，因此，

相遇时间=(3×2)÷(15-13)=3(小时)

两地距离=(15+13)×3=84(千米)

答：两地距离是84千米。

数学课堂教学方法

强调提高教学效率

所谓教学效率，就是单位时间内所完成的教学任务。赞可夫曾不止一次地批评传统的教学方法是多次单调的重复，如10以内的数做了120次练习，讲了25节课，浪费很多时间。他提出教学方法要注意科学、有效，要重视理解，加强各部分知识间的联系，练习和复习要得法。在苏联，很强调要善于依据教学论、儿童心理学、教育心理学和逻辑学的基本原理选择一定条件下的最优教学方案。美国全国数学教师协会拟定的八十年代《行动计划》中第四条，明确提出：“必须把既讲效果又讲效率的严格标准应用于数学教学”。

强调发挥学生的积极性，鼓励学生独立发现和探索

传统的教学法枢输式，把学生看作容器，不注意发展学生的智力，不能适应时代的要求。因此一些教育学家、心理学家提出了新的教学理论。如皮亚杰提出：“一切真理都要由学生自己获得，或者由他重新发明，至少由他重建，而不是简单地传递给他，”布鲁纳也认为，学习重要的不是记忆事实，而是获得知识的过程。他提出“发现法”，强调“教数学……要让学生自行思考数学，参与到掌握知识的过程中去。”

重视广泛应用直观教具和现代化教学手段

浅谈小学数学应用题的解答 篇3

【关键词】 思路；精选；开拓；鼓励

数学是一门应用学科，解答数学题目不但可以培养学生的数学思维，还可以让学生学以致用，用来解答生活中的很多问题。在一份数学试卷上，或者在数学课本上，应用题都是作为重头戏出现的，它就像餐桌上的重头菜一样，不同的是，有的应用题比较难，而且解答起来步骤繁琐，很多学生都不喜欢解答数学题，针对学生的畏难情绪，教师应该积极开动脑筋，帮助学生找出顺利解答应用题的方法，我们先来看一下数学课堂上存在的问题。

一、思路僵化，不会举一反三

很多学生在学会了一种解题思路之后，并不会学以致用，在题目改头换面之后，他们就又不会解答了。比如，种树问题改为种花的时候，其实，行距、株距等都没有改变，解题的思路也不会改变。这就涉及到学生的思维的活跃度，很多学生受传统教学模式的影响，教师教一就是一，并没有进行拓展延伸，转化为自己的知识。这种情况下，看似学生掌握了解题思路，实际上只是一知半解，并没有领悟问题的精髓。

二、急于求成，没有找准切入点

许多学生在解答题目的时候，只想快速地把问题解答出来，所以，他们只是粗粗地看了一遍问题，并没有领会到这道题目将要考察什么。是考查相遇问题二人用的时间相同，还是速度与路程和时间的关系。每个问题的解答都有切入点，就像一个门的开门砖一样，找到这个切入点，学生就能顺藤摸瓜，解答出题目也就不在话下了。

三、题海战术，让学生疲惫不堪

很多数学教师认为，数学的学习就要靠多练，题海战术是他们经常为学生选择的训练模式，其实，大量重复枯燥的练习是无效的，就算做了十道相同类型的题目，得到的结果还是只是掌握了一种解答方法而已。题海战术给学生增加的只是负担和对数学的厌倦感，并容易让他们对解答题目产生畏惧感，实在是一件很得不偿失的事情。

数学课堂上，目前存在的问题，让部分老师很棘手，那么，教师应该从哪些方面进行改进，帮助学生攻克数学应用题这个难关呢？其实只要找准了兴趣，找对了方法，数学应用题只是一个纸老虎，我们可以轻松把它打败。具体来说，可以从下面几个方面来做。

一、集中审题，理清问题的提问方向

很多学生急于求成，认为时间不能浪费，看到题目之后就急于解答，有时候甚至审错了题目都不知道，正确的做法是，解答题目的时候成竹在胸，不要急躁，做题之前首先要准确地审题，知晓问题的提问的方向，考察的企图是什么，一道题目虽然只有短短的几十个字，但是，却有关键词和重点句子在向我们透漏提问者的问题意图。在解题的时候，学生不要急于求成，学会让自己慢下来，从问题出发，一步一步地从未知联系到已知条件，从而解答出题目来。

二、精选题目，让学生学会触类旁通

数学的学习是在学习一种方法，学习一种思路，数学学习最重要的是，能够举一反三，当题目换汤不换药的时候，学生能够通过敏锐的观察力，看透问题的实质。当学生表示一道题目的解题方法已经掌握了的时候，教师可以给学生布置两道类似的题目，为了考察学生对题目的理解是否深刻，教师可以更换题目中的语境，或者稍微对题目的要求做一些调整，检验学生是否能够举一反三，触类旁通。

三、巧设作业，提高学生效率

作业的目的在于对学生掌握知识的巩固和提高，如果一类题目学生确实已经掌握牢固了，就不用再搞题海战术来增加学生的额外负担了，因为这对学生丝毫起不到好处。教师应该做的是，给学生布置多种题型，让学生从每一道题目中都学有所获，获得成功的体验。另外，题目的布置难易要适中，不要挫伤学生的自信心。对于一些比较难的题目，教师可以布置下去，然后鼓励学生去做，但不强迫学生必须完成。

四、开拓思维，鼓励学生一题多解

另外，针对数学学习的特质，数学的学习主要是思维和方法的学习，教师要鼓励学生开拓自己的思维，在数学课堂上学会创新和发展，对于一道题目鼓励不同的解法提出，有的时候，教师的讲解是照本宣科，是最“墨守成规”的方法，而小学生的脑子里，则会冒出一些“简便方法”，对于有自己思想的学生，教师要积极地给予鼓励和肯定。对于小学生而言，来自教师的肯定会带给他们莫大的鼓舞和自信，那一声声赞美的语言，让他们能够初尝数学殿堂的果实，从而鼓起更大的勇气攻克数学难题。

小学数学应用题在数学课堂上占据的位置非常重要，关于学生对应用题的畏难心理，教师一方面可以通过心理疏通和鼓励来解决，另一方面可以通过对知识的剖析和具体做法上的指导来解决，总之，小学应用题不应该成为学生数学路上的拦路虎，我们一定可以克服它。

【参考文献】

[1]田军.浅谈小学数学应用题教学[J]..学周刊2014，05：169.

[2]陈加怡.浅谈小学数学应用题教学策略[J].学周刊2011，35：170.

[3]吴名君.浅谈小学数学教学中如何培养学生解答应用题的能力[J].出国与就业（就业版）2011，22：46-47.

[4]田海英.浅谈小学数学中的应用题教学策略[J].学周刊2016，04：70-71.

[5]夏珺.浅谈小学数学应用题的解决方法[J].新课程（小学）2014，02：45.

解答数学应用题论文 篇4

分析应用题的思考方法有两种,一种是综合法,另一种是分析法。综合法是从应用题的已知条件出发,逐步推算出要解决的问题,分析法是从应用题所要解决的问题出发,逐步找出要解决的问题所必需的已知条件。下面用一个例题分别说明这两种方法。

如:一个车间计划在25天内生产机器零件21600个。由于改进技术,实际比原计划提前5天完成,这个车间每天比原计划多生产多少个零件?

1.用综合法分析

由于计划25天,生产机器零件21600个这两个条件,可以求出原计划每天生产的零件个数;

由于计划25天,实际提前5天完成任务这两个条件,可以求出实际生产的天数;

由实际生产的天数和生产机器零件的总数这两个条件, 可以求出实际每天生产的个数;

由实际每天生产的个数和原计划每天生产的个数这两个条件,即可求出每天比原计划多生产的零件个数。

这个分析过程可用下图表示:

这个图叫做综合法思路图。从这个图可以看出:用综合法分析复合应用题,就是从应用题的已知条件出发,运用已学过的简单应用题知识,由已知条件逐步推出所要解决的问题。

2.用分析法分析

要求出实际每天比原计划多生产多少个,必须知道:实际每天生产的个数和原计划每天生产的个数。

要求出每天生产的个数,必须知道:生产零件总数 (21600个)和实际生产的天数。

要求出实际生产的天数,必须知道:原计划生产的天数 (25天)和实际提前的天数(5天)。题中,这两个数都是已知的。

要求出原计划每天生产的个数,必须知道:生产零件总数(21600个)和原计划生产的天数(25天)。题中,这两个数都是已知的。

经过分析,从题中找到了已知条件,问题就全部解决了。 这个分析过程可用下图表示:

这个图叫做分析法思路图。从这个图可以看出:用分析法分析复合应用题,就是从应用题的所求问题出发,运用已学过的简单应用题的知识,找出解决这个问题所需的两个条件,如果题中没有直接告诉这两个条件,就继续分析,一直到所需的条件都是已知数为止。

从以上分析中,我们可以看到,一道复合应用题,是由几个简单应用题组合成的。所以解答一般的复合应用题,关键在于分析数量关系,找到隐藏的中间量,提出中间问题,把一道复合应用题分解成几个有连续性的简单应用题,这样就可以找到解题的方法。

综合法与分析法的思考方向是完全相反的。但是这两种思考方法并不是对立的,而是相互联系的。在分析解答应用题的过程中,这两种方法经常是互相配合使用的。用综合法分析应用题时,要随时注意要解决的问题。用分析法分析时, 要随时注意题中的已知条件。这样才能提高分析问题和解决问题的能力。

解答数学应用题论文 篇5

关于培养学生解答应用题能力，《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中没有明确提出，但是在教学目的中讲到了使学生“能够运用所学的知识解决简单的实际问题”，这实质上包含了培养学生解答应用题的能力，当然在小学还是初步的。可以说，培养学生解答应用题的能力是使学生能够运用所学数学知识解决简单的实际问题的基本内容和重要途径。因为应用题反映了周围环境中常见的数量关系和各种各样的实际问题，需要用到不同的数学知识来解决。通过解答应用题，促使学生把所学的数学知识同实际生活和一些简单的科学技术知识联系起来，从而使学生既了解数学的实际应用，又初步培养了运用所学的数学知识解决实际问题的能力。另外数学作为一门工具学科，也应该把它用于解决实际问题作为教学的一个重点。这一点越来越多地被各国数学教育工作者所认识。例如，美国在80年代初就提出“解问题是80年代学校数学的重点；”在为90年代拟订的中小学数学课程标准中，再一次强调数学教育的目标之一是使学生成为“具有解数学问题能力的人”，“有效地应用数学方法解问题的人”。当然，培养学生解应用题能力的重要意义远不止于此，还可以发展学生的逻辑思维能力，培养学生良好的思维品质（如思维的灵活性、创造性）和道德品质等。而这些都是作为现代社会中具有较高的文化素养的公民所必须具备的能力和品质。

长期以来，我国的小学数学，无论从教材或从教学来说，对应用题教学是重视的，但是也存在不少问题，主要是偏重内容的教学，轻视能力的培养，加之教材的选择和编排不尽合理，教学的方法不尽适当，以致花的力量很大，收的效果较小。因此，如何提高学生解应用题能力，又使学生负担较轻，是一个值得认真研究探讨的问题。

二 解答应用题教学的改革趋势

近年来，国内外一些数学教育工作者和有经验的教师对解答应用题的教学，特别是如何培养能力进行了一些改革的尝试，取得了一些有益的经验。主要有以下几个发展趋势。

（一）应用题的内容趋于扩大

首先是加强联系实际的问题。不仅限于课本中编好的现成应用题，而是从实际生活中收集材料和数据，进行一些计算。例如，美国在进行加减计算时，让学生分类收集一些数字材料，然后进行统计和计算。英国在教学时给学生一张火车时刻表，不仅让学生能看懂某次车始发和到达的时刻，而且进行各种计算。通过一些实际作业使学生知道数学的概念和思想就存在于人们的活动当中，并且能够运用数学知识解决生活中的实际问题。我国有些教师也很注意实际生活中的数学问题。例如，一位教师出了这样一个题目：“某车间用一块长90分米、宽60分米的铁皮剪成半径是10分米的圆形铁片，该怎样下料才能使铁皮的利用率最高？”结果多数学生列成下式：90×60÷（3.14×10）≈17个；部分学生通过画图（左下

2图）得到答案是12个；还有一部分学生通过操作（如右下图）

得到答案是13个。通过讨论，使学生认识到最后一种下料方法利用率高，而第一种计算方法是脱离了这块铁皮的实际的。通过这样的问题使学生初步体会到在解决实际问题时绝不能生搬硬套所学的计算知识，还要注意对实际问题进行具体分析。

其次，运用数学知识所解的问题不限于实际生活中遇到的，还包括一些有助于培养学生运用数学知识进行探究能力的问题。例如，在下面的○里填上合适的数，使每相邻两个○里的数的和等于它们中间□里的数。让学生不仅写出不同的答案，而且找出填写的规律，并回答出能不能使开头和末尾的○里的数相同。由于解题的范围较广，很多国家不用“应用题”这个名称，直接叫做“问题”，日本原来叫做“应用题”，现改称“文章题”，以体现其范围的扩展。

（二）应用题的难度趋于降低

这个问题在多数国家已经得到解决。如日、美、英等国，解问题的面较广，较联系实际，但是难度较小。如日本课本中的文章题大多是两步计算的。有少数国家，如俄罗斯，原来应用题的难度较大，步数较多，后来难度已有所降低或适当后移。特别是在把小学三年制改为四年制以后，随着算术内容教学时间的延长，相应地应用题的教学时间也拉长了，应用题的难度也进一步降低。香港地区编订的《数学科学习目标》中规定整数四则应用题，“每题运算次数不超过两次”，分数、小数限解简易应用题。许多国家或地区采取这些措施，使应用题教学更适合小学生的年龄特点，无疑会有利于减轻学生的学习负担，更好地激发学生对解应用题的兴趣和积极性。我国在解应用题方面一直存在着偏难偏多的问题，特别是升学考试为了便于择优录取，往往出现超过大纲、课本范围的题目，给教学带来很大的压力和负担。近年来实施义务教育以后，强调全面提高民族素质，应用题教学开始注意适当降低难度，是一个可喜的现象。

（三）重视培养学生掌握解题的一般策略

这是培养学生解应用题能力的重要条件之一。它与应用题的教学目的和作用是紧密联系着的。长期以来，无论在国内或国外，都或多或少地把在小学数学课中要教会学生解答某些类型的应用题作为教学的最终目的。从这一看法出发，把教给学生应用题类型，记结语或公式作为基础知识。结果形成学生套公式的习惯，没有真正培养起解题能力。近些年来，越来越多的数学教育工作者认识到，应用题教学的最终目的，应是通过一些有代表性的问题的解答，使学生掌握解问题的一般策略或方法，从而达到真正培养学生解决简单的实际问题的能力。例如，日本伊藤武说过，过去解应用题，安于形式地机械地进行，把应用题分成若干类型，每一个类型都有一种确定的解法，结果容易使学生对确定的一些问题会解，而没学过的应用题就不会解了。前苏联弗利德曼著《中小学数学教学心理学原理》中说：“形成和发展学生解任何数学题（包括实用题）的一般技能，这是数学教学的基本职能之一”。1988年第六届国际数学教育会议也强调教学生学会使用解题的一般策略。有的代表指出，传统的教学解问题的方法往往是由教师给出一个范例，让学生模仿；教师不仅没有给学生准备真实的问题情境，也没有教给学生一般的解题策略，这样既不能提高学生解问题的能力，也不能提高他们解问题的积极性。有代表提出解数学问题的一般策略有：联系、分析、分类、想象、选择、作计划、预测、推论、检验、评价等。美国新拟订的《中小学数学课程和评价标准》中，每个学段的第一条标准就是学习和应用解问题的策略，只是要求的水平不同，体现逐步提高。目前美国的小学数学课本大都编入解题的一般策略，作为正式的教学内容。例如，一本五年级课本中出现以下一些内容：用图解，检验，有多余条件或缺少条件的，编题，多步题的解题步骤，估算得数，用表解。

近年来，我国一些数学教研人员和教师也开始注意研究如何教给学生一般的解题思路和方法，特别重视分析题里的数量关系。有的实验教材中也加强理解题意，摘录应用题条件，补充应用题的条件，检验应用题的解答等的训练。这对于提高学生解答应用题能力有很大的帮助。

（四）加强方程解法使之与算术解法相辅相成

从60～70年代的数学教育现代化运动开始，许多国家的小学数学增加了简易方程和列方程解应用题。但是列方程解应用题教学的起始期以及深度、广度，差异很大。例如，前苏联教学方程解法从小学二年级就开始了，而且有两步的应用题要求用方程解。这就涉及算术解法与方程解法之间的关系问题。近年来逐渐趋于一致。一方面，较多的国家或地区，如日本、俄罗斯、香港等，小学教学列方程解应用题限两、三步计算的，另一方面是在用算术方法解应用题有了一定基础再逐步出现列方程解应用题，这样可以使两种解法起到相辅相成的作用。

在我国，自80年代初小学开始增加列方程解应用题，一直有不同的看法。十多年的实践表明，增加简易方程和列方程解应用题，的确有助于发展学生的抽象思维，减少解应用题的难度，培养学生灵活解题的能力，并有利于中小学数学的衔接。但是在实际教学时还存在着不同的处理方法。特别是涉及分数除法应用题的教学，很多教师把用方程解作为向算术解法的过渡，最后还是强调算术解法，忽视方程解法。这样仍不能达到降低难度减轻学生负担的目的。近年来有些改革实验，强调算术解法与方程解法并重，相辅相成，取得较好的效果。例如，据《小学数学教师》1989年第3期载上海虹口区教育学院等按上述方法试验情况，第一次测试，试验班与控制班差异不明显，第二年秋追踪到中学进行测试，结果试验班成绩明显优于控制班，只学算术解法的学生到了中学产生了负迁移。另据《小学数学教师》1992年第2期载无锡市教委教研室等使用课程教材研究所编的实验教材，也取得类似的结果。两个实验班采取加强算术解法与方程解法的联系，并且两者并重，而两个对照班仍教给解题模式。结果单元教学完了，测试实验班和对照班成绩没有显著差异，但是寒假后再测试差异明显，实验班和对照班的成绩分别为87.3分和78.7分。但是根据北京一所小学的实验，单元教学完了在测试3步题和灵活解应用题时，实验班和普通班的成绩就出现明显差异。

三 义务教育《小学数学教学大纲（试用）》对提高解应用题能力采取的措施

《九年义务教育小学数学教学大纲（试用）》为了适应义务教育的性质和需要，切实提高小学生解答应用题的能力，根据国内外应用题教学改革的趋势，结合我国的实际情况，采取以下一些具体的改革措施。

（一）降低应用题的难度

《大纲（试用）》明确规定：整数、小数应用题最多不超过三步；分数、百分数应用题以

一、两步计算的为主，最多不超过三步（只限比较容易的）。删去了原大纲中的稍复杂的应用题以及综合性的不太繁难的应用题。由于全国各地的条件不平衡，作为义务教育，提出的统一要求不能太高，这样修改就使全国大多数学校大多数学生经过努力都能达到规定的要求，而且有利于学生的全面发展，为升入初中打下更好的基础。考虑到各地的条件不平衡，《大纲（试用）》中也注意有些弹性，规定四步应用题（比较容易的）作为选学内容，以便使少数条件较好的学校能充分发挥学生的积极性，更好地提高解题能力。

（二）加强联系实际

这比原大纲有明显加强。一方面增加了联系实际的内容，如百分数的应用中明确提出利息的计算，把求平均数问题与统计紧密结合起来等。另一方面在说明中强调“要引导学生了解数学知识的实际应用，从当地实际出发，进行调查，收集数据，在教师的帮助和指导下，编成数学问题，进行计算、解答，或作一些简单的统计，逐步培养学生这方面的兴趣、意识和解决实际问题的能力”。这对于培养学生具有自觉地把数学应用于实际的意识和态度，使数学真正成为学生手中的有用的工具，起着重要的作用。

（三）注意体现教给学生解题的一般策略

在《大纲（试用）》的说明中提出：“要引导学生分析数量关系，掌握解题思路。”这实际体现了培养学生掌握解题的一般策略。为了使之更加落实，在各年级的教学要求中还明确提出分阶段要求。例如，在五年制一年级要求学生知道题目中的条件和问题，二年级要求初步学会口述应用题的条件和问题，三年级把常见的数量关系作为知识点列入大纲，要求初步学会口述解题思路，进一步培养检查和验算的习惯，四年级要求掌握解应用题的一般步骤，五年级要求会有条理地说明解题思路。这样安排要求，有利于循序渐进地培养学生掌握解题的一般策略，逐步提高学生解应用题的能力。与此同时，《大纲（试用）》中还注意适当让学生掌握解题的特殊策略或方法。例如，说明和教学要求中都提到会按照题目的具体情况选用简便的解答方法。这样有利于培养学生思维的敏捷性和灵活性。

（四）适当加强方程解应用题及其与算术解法的联系

首先，在教学简易方程时增加了ax±bx=c这一类型，相应地扩展了用方程解应用题的范围。这不仅可以用来解答较多的整数、小数应用题，而且可以用来解答一些分数、百分数应用题（需用逆思考的）。这样还降低了所解的分数、百分数应用题的难度。例如，“饲养小组养白兔和黑兔共18只，学生接受，而且符合代数列方程解应用题的一般思路，从而为初中的学习做更好的准备。其次，《大纲（试用）》中强调五年级进一步提高用算术方法和用方程解应用题的能力，体现了加强两者间的联系以及灵活合理地运用两

知道方程解法和算术解法是密切联系着的，不是各自孤立的。也只有这样教学才能提高学生用两种方法解应用题的能力，从而进步发展学生在解题中的思维的灵活性和创造性。

四 对培养学生解答应用题能力的几点教学建议

下面根据近年来国内外改革的经验以及个人参加实验工作中的体会，对培养学生解答应用题能力提几点教学建议。

（一）抓好简单应用题的教学

大家都知道，解简单应用题是解复合应用题的基础，无论整数应用题或分数应用题都是一样，它们有共同的教学规律。打好整数、分数简单应用题的基础就为解复合应用题做好了准备。

怎么叫做打好解答简单应用题的基础？个人体会主要是使学生初步理解和掌握四则运算的意义，会分析简单应用题里的数量关系，然后能根据题里的数量关系正确选择运算方法，并养成检验的良好习惯。下面做一些具体的分析。

1.初步理解和掌握四则运算的意义。这是学习解答一切应用题的重要基础。正像有的教师所讲的，虽然应用题的内容是千变万化的，但都是四则运算在实际中的应用。往往有些学生不理解四则运算的意义，解答简单应用题时乱猜算法，或者根据题里的某个词语选定运算方法，这样是不能真正培养起解答应用题的能力的。关于四则运算的意义，要根据儿童不同年龄的认知特点分成不同的层次来教学。低年级要通过操作直观使学生理解每种运算的含义。例如减法，只要通过摆物品和图画等使学生懂得是从一个数里去掉一部分求剩下的部分是多少；高年级再进一步抽象，使学生懂得减法是已知两数和与其中一个加数求另一个加数是多少。高年级教学分数除法也是从乘法的逆运算的角度来理解的，这样就便于在解应用题时实际应用。

2.使学生学会分析数量关系。这是解答应用题的一项基本功。即使是简单应用题也存在着一定的数量关系，绝不能因为应用题简单而忽视对数量关系的分析。分析清楚题里已知条件和问题之间存在着什么样的数量关系，才好确定解决问题的方法。有些简单应用题的数量关系是明显的，学生容易弄清的。例如，“有5只黑兔，又跑来3只白兔，一共有几只兔？”学生很容易弄清，把原有的5只和跑来的3只合并起来，就可以知道一共有几只兔。但是有些简单应用题，学生分析数量关系就困难一些。例如，“有5只黑兔，白兔比黑兔多3只，白兔有多少只？”有些学生往往不清楚题里的数量关系，简单地看到“多3只”就判断用加法，结果与遇到求白兔比黑兔多几只的题发生混淆。因此，教学时最好通过操作、直观使学生弄清题里的数量关系。如下图，引导学生根据题里的条件分析出：白兔的只数多，可以分成两部分，一部分是和黑兔同样多的5只，另一部分是比黑兔多的3只，要求白兔的只数就要把这两部分合并起来，从而要用加法计算。由于通过操作和直观，在学生的头脑中对所学的应用题的数量关系形成了表象，经过多次练习，就能初步形成概括性的规律性的认识。这样教学，学生对每种应用题的数量关系都有一定的分析思路，就不容易发生混淆，也就不需要再教什么计算公式。

还可以举一道分数应用题。例如，“果园里有梨树480棵，占

还有一个判断哪个量是单位1的问题。通过线段图，学生容易理解，梨树的要把总棵数看作单位1。进一步再分析，题里没有告诉总棵数是多少，知道

用题的数量关系，并且可以防止学生根据一些关键词来机械地判断单位1和套用数量关系式。

3.紧密联系运算的意义来选择运算方法。在分析数量关系的基础上紧密联系运算的意义（或含义），把对运算的意义（或含义）的理解与应用直接联系起来，很容易确定运算方法。例如，当学生分析出要把两个数合并（结合应用题内容具体分析，如上面求白兔的只数的应用题），就联想到用加法；当分析出要从一个数里去掉一部分，就联想到用减法；当分析出要求几个几是多少，就联想到用乘法；当分析出要把一个数平均分成几份求一份是多少或者求一个数里有几个另一个数，就联想到用除法。对于分数应用题也是一样，当分析出要求一个数的几分之几是多少，联想到一个数乘以分数的意义，可以确定用乘法；反过来当分析出一个数（未知数）的几分之几等于多少（已知），要求未知的数（如上面求果树的总棵数的应用题），联想到可直接列方程解，或联想到分数除法的意义，可确定用除法。由于运算的意义（或含义）与分析应用题的数量关系建立起直接联系，学生在解答应用题的过程中一方面加深对运算意义（或含义）的理解，一方面学会应用运算的意义（或含义）来解题，从而提高学生自觉地应用所学的数学知识正确地解决实际问题的能力。

4.培养检验的良好习惯。解答简单应用题同进行四则计算一样，也要注意培养检验的习惯，这样一方面可以提高解题的正确率，另一方面可以为培养检验复合应用题的能力打下初步基础。检验应用题要比检验四则计算复杂一些，首先要重新读题，分析已知条件和所求的问题之间的关系是否正确，然后再看列式、计算、答案是否正确。较高年级还可以通过改编应用题并解答来进行检验。通过检验还可培养学生思维的深刻性，对解答结果的负责态度和自信心。

实践表明，很多城乡的教师按照上述原则和方法教学，收到良好的效果，学生容易接受，解题的正确率高，灵活应用知识的能力较强。但是也有一些教师采用另一种教学方法，即教给学生区分应用题类型，运用解题公式，结果给学生增加了学习难度，出现死记硬套的现象。目前对这个问题还有争论，下面谈谈个人的一点看法：

（1）从数学本身看，把简单应用题划分的类型以及概括的解题公式是否科学，还值得研究。简单应用题的内容范围很广，从科学的角度说，研究它的分类是完全可以的，实际上美、日等国也有些数学教育工作者对简单应用题进行分类。但是如何分类差异较大，目前国内流行的分类也不完全一致，因此这还是一个有待深入研究的问题。例如现代数学用笛卡尔积定义乘法，有些实际问题就不好区分被乘数和乘数。而这类问题就没有包括在目前流行的分类之中。把求一个数的几分之几是多少作为一个类型题也欠妥当，因为一个数乘以分数的意义就是求一个数的几分之几是多少，这样的应用题不过是分数乘法的意义的直接应用，根本没有什么分类型的问题。至于有些解题公式是否正确地全面地反映实际也值得研究。例如，所谓“标准量×分率=部分量”，容易使学生误解“部分量”都是小于“标准量”的，从而导致判断哪个量是“标准量”的错误。而且遇到这样的问题只要应用一个数乘以分数的意义就能解决，因此这种公式是多余的。

（2）从唯物辩证观点来看，应用题的数量关系是有内在联系的，分类型、套公式，往往把本来有联系的问题人为地割裂开来，不利于学生掌握。例如，有这样两道应用题：“食堂每天吃20千克面粉，3天吃多少千克面粉？”“食堂每天吃20千克面粉，吃的大米是面粉的3倍，每天吃大米多少千克？”如果分析两题的数量关系，都是求3个20千克是多少，因此要用乘法算。如果要把它们划分为两种不同类型的题，就割断了它们在数量关系上的内在联系，从而不利于学生以简驭繁地掌握应用题的分析和解答方法。

（3）从学生的认知特点来看，也值得研究。低年级学生的认知特点是以具体形象思维为主，教学解应用题同教学其它数学知识一样，也应结合操作、直观，使学生掌握应用题的分析和解答方法，而不宜教给抽象类型、公式，否则学生不理解，就容易死记硬套。在教学实践中常常看到，学生会解答一道应用题，却说不出是“部分数+部分数=总数”，还是“总数-部分数=部分数”。遇到两步应用题就更加困难。例如，“同学们做了30件玩具，自己留下6件，剩下的平均送给幼儿园的3个班，每班分得几件？”第一步是“总数-部分数=部分数”，有些好学生还能说出，而第二步就很难说出“求出的部分数变成了总数”。这些违反儿童认知规律的做法给学生增加了不必要的学习负担。

（4）从现代数学论的原则看，要教学生理解基本概念、基本原理，才能实现最大迁移；强调思维过程，要从以记忆为主的教学方法转到以思维为主的教学方法；注意发挥学生的主体作用，培养学生探究能力。而以教分类型、记公式为主的教学方法正好与上述的原则相违背，妨碍学生对数学基本概念、基本原理的理解和掌握，束缚学生的思维。

当然，提出简单应用题教学不宜分类型记公式的问题，并不意味着在任何情况下都不能教给学生公式。对某些内容在适当的时候教给学生必要的公式，如面积、体积计算公式等，还是可以的，但教学时也要注意使学生理解公式的来源，防止机械的记忆。

总之，简单应用题教学生分类型记公式，涉及培养什么人的问题以及如何提高民族素质的问题，从理论和实践上进行一些深入的探讨，是十分必要的。

关于抓好简单应用题教学还有其它一些问题，将在下面论述。

（二）加强应用题之间的联系

从实质上说，这是应用题的组织结构问题。应用题的组织是否合理，结构是否恰当，对于培养学生的解题能力具有十分重要的意义。过去的数学课本，由于对这个问题处理得不够好，给应用题教学造成一定的困难，直接妨碍学生解题能力的提高。经过近年来的实验研究，比较深刻地认识到，应用题的内容和解法虽然千变万化，但其内在联系十分紧密。只要根据应用题的内在联系，合理地组织教学，可以使学生较好地理解应用题的结构，较快地掌握应用题的分析和解答方法。

1.简单应用题的内在联系。即使简单应用题之间，也有着紧密的联系。下面以两组加减法简单应用题为例加以分析。

①有5只黑兔，8 ②黑兔和白兔一共有 ③黑兔和白兔一共有

只白兔，一共有

13只，有5只黑兔，13只，有8只白兔，多少只兔？

有多少只白兔？

有多少只黑兔？

④有5只黑兔，白兔 ⑤有5只黑兔，8

⑥有8只白兔，黑兔

比黑兔多3只，有

只白兔，白兔比

比白兔少3只，有

多少只白兔？

黑兔多几只？

多少只黑兔？

从上面6道题中，很容易看出①②③为一组，①是原型题，②③是①的逆思考；④⑤⑥为一组，⑤是原型题，④⑥是⑤的逆思考。同时第一组题与第二组题也有联系。例如，①④的条件和问题虽不相同，但分析数量关系时却要把两个已知数合并，从而要用加法解答。①⑤的条件都相同，但问题不同，数量关系不同，解答方法也不同。编写教材和教学时，不宜把重点放在分类型上，而要逐步地揭示它们的内在联系和区别，使学生更好地掌握题里的数量关系和解答方法。

分数应用题之间、分数应用题与整数应用题之间也有其内在联系。例如，教学分数乘、除法应用题之后，可与整数应用题进行联系。

通过联系对比，可以看出①②③是一组整数应用题，①是原型题；④⑤⑥是一组分数应用题，⑤是原型题。分数应用题分别与整数应用题相对应，数量关系相反，但解答方法是一致的，因为分数乘法的意义扩展了。教学时如能引导学生发现和总结规律，就会加深对两组应用题的理解。

2.复合应用题与简单应用题之间的联系。一般地说，复合应用题都是由几个简单应用题组合而成的，或者说是在简单应用题的基础上扩展起来的。因此它们之间有着密切的联系。但从简单应用题扩展到复合应用题又是个质的飞跃。以两步应用题为例，它们同简单应用题比较，不仅是已知条件增多，而且数量关系也复杂了。一般地说，简单应用题的问题是和两个已知条件直接联系和相对应着的，从两个已知条件可以判断所求的问题就是题里的问题；反过来，问题所需要的条件就是题里所给的条件。而在两步应用题中，问题是和题里所有的已知条件联系着的，是对所有的条件提出来的。这样就形成了问题和所需要的直接条件之间的“分离”现象，也可以说一个直接条件被隐藏起来，而需要根据问题和已知条件的关系把这个所需的条件找出来。从解答的角度说就是要提出一个中间问题。而要解答这个中间问题还要正确地选择已知条件。因此这比解答简单应用题需要较为复杂的分析和综合，需要进行间接的推理（即从两个判断推出一个新的判断）。

例如，两步应用题，“小明画5张画，小华比小明多画3张，他们一共画多少张？”要求两人一共画多少张，必须先知道小明和小华各画多少张，而题里没有直接告诉小华画多少张，所以要先求小华画多少张。这样的分析、推理显然比简单应用题复杂。

至于三步或更多步数的应用题，已知条件就更多，数量关系更复杂，分析推理的步骤也就更多。但分析推理的方法与两步应用题的基本相同。下面着重谈教学两步应用题如何加强与简单应用题的联系。主要有以下两点：

（1）解答一些连续两问的应用题。为了给学习两步应用题做好准备，除了打好简单应用题的基础（包括提问题、填条件）外，适当出现一些连续两问的应用题很有好处。这种应用题在向两步应用题过渡方面起着桥梁的作用。在这样的应用题中，关键在第二问，有时缺少一个已知条件，需要到前面的简单应用题里去找，往往正好是前面一题的计算结果；有时第二问中一个已知条件也没有，都要到前面一题里去找。例如，“学校里有8棵杨树，柳树比杨树多3棵，有多少棵柳树？两种树一共有多少棵？”第二问所需的两个已知条件，一个是前面一题的一个已知条件，另一个是前面一题的计算结果。由于适当进行这样的练习，就为两步应用题的分析和解答做了一定准备。

（2）教学两步应用题时由简单应用题引入，然后把它扩展成两步应用题。例如，“①学校买来20张颜色纸，用去14张，还剩多少张？②学校买来12张红色纸和8张黄色纸，用去14张，还剩多少张？”通过比较，使学生看出两步应用题与简单应用题的联系和区别，从而初步体会到两步应用题的结构，明确解答两步应用题必须分两步计算，先提出一个问题，进行计算，再解答原题里的问题。这样学生不仅容易掌握，还有利于激发学生的思考，培养学生分析问题的能力。以后还要经常做一些对比练习。

3.复合应用题之间的联系。这一点更为重要。通过复合应用题间的联系对比，可以加深学生对新学的应用题的结构、分析推理方法等的理解，从而较快地掌握复合应用题的解答方法，产生迁移的效果。复合应用题间的联系是多种多样的，需要进行认真的分析，选取适当的联系的途径，才能收到良好的效果。下面举出加强联系的几个方面的例子。

（1）纵向联系的：有些应用题是由已学的步数较少的应用题扩展而成的。教学时由已学的应用题引入，通过联系比较，很容易看出新的应用题的条件或问题有哪些变化，如何在已学的基础上进一步分析推理，获得新的应用题的解答方法。例如，“①汽车从甲地开往乙地，3小时行135千米。照这样计算，一共行了5小时，甲乙两地相距多少千米？②汽车从甲地开往乙地，3小时行135千米，照这样计算，还要行2小时才能到达乙地，甲乙两地相距多少千米？”

（2）横向联系的：有些应用题基本数量关系相同，只是已知条件有些变化，学生容易在已学的基础上类推出来，不需要作为新内容来讲，这样既调动学生思维的积极性，又可减少教学时间，收到举一反三的效果。例如，“①学校先买10瓶墨水，又买来8瓶。用去14瓶，还剩多少瓶？②学校买来3盒墨水，每盒6瓶。用去14瓶，还剩多少瓶？”

（3）联系对比的：有些应用题的条件问题相似，解法容易混淆，可以通过联系对比使学生区分它们的异同，从而提高解题的正确率。例如，“①

（三）重视教学解题的一般策略

这是培养学生解题能力的关键性问题。正如前边所讲的，会解答所学的应用题并不是最终的教学目的，而是通过所学的有代表性的应用题达到使学生掌握解题的一般策略。这在现今的信息社会尤为重要，要使学生成为能够处理信息的人，通过解答应用题培养学生解题的一般策略是一个重要途径。关于解题的一般策略，主要有以下几个方面：

1.条件和问题的收集。

为了解一道题首先要弄清楚题里给了哪些已知条件，要求解决什么问题。识别或收集条件和问题的过程也就是收集信息的过程，也是理解信息的过程。在低年级往往要求学生口述已知条件和问题，到高年级也可以教给学生用图（如线段图）或表解来表示已知条件和问题。学生清楚地表述和表示一道题的已知条件和问题是解题的重要前提。一般地说，题里的问题和所需的已知条件都已直接给出。但是为了更好地培养学生正确收集必要的信息的能力，在适当年级也可适当出现信息不完全的题目。例如有的题目可以缺少问题或一两个已知条件，让学生从实际中收集，加以补充；也可以适当出现一些有多余信息的题目，使学生能在较多的已知条件中，正确选择有用的和必需的来进行计算。实验表明，有能力的学生看到题很快指出不需要的数据，而能力较差的学生则需要教师的帮助，有的甚至在教师的帮助下也很难找到多余的数据。经常练习对于培养学生这方面的能力很有好处。

2.分析数量关系。

这是对所收集的信息进行加工的开始，也是解题的一个重要步骤。无论解简单应用题或复合应用题，都要认真分析题里的已知条件和已知条件之间，已知条件和问题之间的数量关系，才好确定解答的方法。分析数量关系一般有两种方法：一种是从条件入手，通称综合法；另一种是从问话入手，通称分析法。综合法比较容易掌握，但其缺点是学生往往看到前面相邻的两个已知条件就进行计算，而忽略后面的已知条件，未从整体考虑。提出的中间问题不一定是解这道题所需要的。从问话入手稍难一些，但能使学生从整体出发，根据所解的问题提出所需的条件，从而较正确地确定中间问题。实验表明，开始教学解两步应用题，宜于从条件入手，即使采取了这种分析的方法，也还会有部分中、差生难以提出中间问题，需要经过一段训练逐步掌握。但是逐步要转到训练学生从问话入手，这对提高学生解多步应用题的分析能力很有帮助。至于学生自己解题时用哪种方法分析，不必加以限制。考虑到进行分析需要一定的训练时间，课堂上解应用题时要给学生口头分析的机会，除了教师指定某个学生分析外，要让同桌的学生互相练习分析。不宜过早地让学生书面分析，这样费时间，会减少解答应用题的数量。学生有了口头分析的基础，可在课外安排少量的书面分析作业。此外，订正时也要重视让学生进行口头分析。

3.拟订解答计划。

这是对信息进行加工的继续。就解决一般的问题来说，它是必不可少的步骤。但在小学数学中，解答简单应用题时则没有必要，只在解答复合应用题时才有必要，而且有时边分析边拟订解答计划边解答，往往与上一步的分析数量关系或下一步的解答合并起来。从掌握解题的一般策略来说，还是单把它划为一个阶段为好。拟订解答计划是在理解题意、分析数量关系的基础上确定解答需要分成几步，每步要解答什么问题。这是分析、推理的直接成果。正确地拟订解答计划，表明学生对所解的题目有了整体上的理解，同时又对解决问题的具体步骤做出了合乎逻辑的规划。能否在解答之前正确地拟订解答计划也是考察学生能力的重要的标志之一。实验表明，好的学生一般能在解答之前订好解答计划，而较差的学生往往能正确解答，却不一定能正确地提出每一步所要解决问题。因此，教学时在这方面适当加以训练，对培养学生的逻辑思维有一定的好处。

4.解答。

这是对信息进行加工的最后阶段。如果说前面各阶段主要是思维的过程，那么这个阶段要产生思维的结果。当然这个阶段也是有思维过程的。例如解答每一步要选择哪两个已知数，进行哪种运算，如何使计算正确等，都要深思熟虑，这样才能达到最终的正确结果。教学的任务就是要引导学生既重视思维的过程，也重视思维的结果，达到正确解答应用题的目的。这里需要提出的是，往往学生把算法选对了，但把得数算错了；或者竖式里的得数算对了，最后抄错了数。因此这个阶段特别要注意培养细心认真的良好习惯。

5.检验与评价。

对应用题的解答的检验与评价实质上是对信息的检验与评价。这一步教学不仅对提高应用题解答的正确率有帮助，而且有助于培养学生良好的检验习惯，对信息的正确评价的能力。有经验的教师对这方面的教学比较重视，收到较好的效果。但是也常常遇到教师虽然重视了，但有少数学生仍没有养成良好的检验习惯，甚至有少数好的学生做得很快，但是检查不出错误。因此在培养检验习惯的同时，还要适当教以检验的方法。检验方法有多种，通常低年级只要教学生从审题到解答逐一检查。中、高年级有些题可以逐步教给学生用不同解法来检验。例如，原来应用题是用连减计算的，检验时可以把两个减数相加，再从被减数里减，去，看两次算得的结果是否相同。以后还可以适当教学生把求得的结果作为已知条件，把另一个已知的量作为未知的，然后倒推求出结果看是否与已知的相符。这只作为一种检验方法教给学生在解答中练习应用，不宜作为考试要求。通过检验要培养学生对自己的解答具有负责态度和自信心。检验之后还要能对自己的解答进行评价。为了培养学生评价能力，可以开展相互评价，或教师给学生一些案例让学生练习评价。有条件的话，还可以教给学生估算得数。

解题的一般策略除上述几方面外，还有预测、解释等。这里从略。总之，今后应用题教学要真正做到培养学生的解题能力，不是在加深应用题的难度上下功夫，而是要通过有代表性的又为学生容易接受的题目，着重培养学生解题的一般策略，使学生能够产生迁移，这样即使遇到一些未解过的题目，学生经过自己的分析、推理也能找出解答的方法。

（四）重视变式练习

练习在培养解答应用题能力中起着重要的作用。但是练习要合理地组织，才能收到良好的效果。其中特别是适当安排一些变式练习，对于克服简单的机械重复，提高解题效率，培养灵活的解题能力，具有十分重要的意义。实验表明，通过变式练习，很多学生能够排除应用题中非本质特征的干扰，正确地分析题里的数量关系和选择运算方法，求得正确的答案。应用题的变式练习从低年级起就要做一些安排。主要有以下几个方面：

1.改变叙述的顺序。例如，乘法应用题，第一个已知条件不仅有需做被乘数的，还要有需做乘数的。复合应用题，有些相邻的两个已知条件可以进行计算的，也要有些不可以进行计算的，使学生能在真正理解题里的数量关系的基础上正确地选配已知数进行计算。

2.改变叙述的方式。例如，加法应用题，不宜每题的问题都出现“一共”，已知条件中也可以出“飞走”“跑掉”等词语，以防学生简单地根据个别词语错误地判断运算方法。在高年级教学分数应用题更要注意适当变化叙述方

这样可以防止学生死记“相当于”后面就是“单位1”，而加强分析数量关系。

3.有多余的条件。在解题的一般策略中已经谈过。也可以把它看作是一种变式练习。由于有多余的条件，对原来所解的正常的题目来说，在内容和形式上都有了一些非本质的变化，这就促使学生更认真地分析数量关系，正确地选择已知数和运算方法，而不受这些非本质特点的干扰，从而有利于发展学生的思维。例如，教学两步应用题后出现这样的应用题：“同学们做了8朵红花，7朵黄花。送给幼儿园3个班，一共送了10朵，还剩多少朵？”实验表明，如果去掉“3个班”，绝大多数学生都能做对；加上“3个班”后，出现了各种各样的错误，其中按三步计算的达30％。

4.改变个别已知条件或问题，使其具有不同的或特殊的解法。例如，教学正比例之后出现这样的应用题，“果园里有梨树100棵，桃树与梨树的棵数比是4∶5，有桃树多少棵？”学生很容易用比例解答出来。如果把第二

棵数的比才能用比例解答。又例如，“玩具厂原计划每天生产玩具42件，8天完成。实际只用6天。实际每天比原计划多生产多少件？”学生一般都能列成算式：42×8÷6—42。如果把“6天”改为“7天”，虽然仍可照上面方法列式解答，但是还有特殊解法，有的学生会列成简便算式：42÷7。因此它有利于发展学生的直觉思维。

解答应用题的变式练习是多种多样的，这里只选常见的有代表性的几个方面举例说明。由此也能看出它们在提高学生灵活的解题能力，发展学生思维方面的作用。

（五）适当增加探究性的题目

如前所述，国外应用题教学改革的一个趋势是扩展应用题的范围，其中增加探究性的题目又是重点。我国应用题教学要进行改革，也应突破传统的应用题的范围，适当增加探究性的题目，以利于提高学生的解题能力，发展学生思维的创造性。初步考虑，可以注意以下几个方面：

1.适当出一些开放性的题目。

所谓开放性的题目就是题目的答案可以有多个。长期以来我们教学应用题的答案都是唯一的，这样把学生的思维束缚得很死，不利于培养学生的探究能力，如前面第二部分所举在○里填数的题目就是一个开放性的题目。第一个○里可以填不同的数，但是也有一定的范围限制。即最小是3，最大是13。又例如，周长是12厘米的长方形，长和宽都是整数，它的长、宽可能各是多少厘米？

2.适当出一些探索规律性的题目。

通过探索规律可以培养学生抽象概括的能力，发展思维的创造性。出题目时要注意具有多层次，以便于区分学生的不同思维水平。例如，下面的题有3个层次，第1小题是通过直观进行计算，第2小题离开直观进行计算，第3小题脱离具体计算概括公式。

（l）照下图的样子用小棒连着摆正方形。

□□ 摆2个用（）根

□□□ 摆3个用（）根

□□□□ 摆4个用（）根

（2）连着摆6个正方形，要用（）根小棒。写出算式。

（3）如果不数小棒，你能找出一般的计算公式吗？

实验表明，学生的答案呈现不同的思维水平。例如，有的学生第2小题就做错了，有的学生第2题虽然做对，但不会在此基础上概括出一般计算公式。

3.适当出一些非常规的题目。

上面举的一些例子有开放性、探索规律等特点，但是还与常规计算有较密切的联系。这里则指的是不一定用到常规计算的题目。例如，“有甲、乙、丙、丁4个学生赛跑，结果可能排出不同的名次。算一算一共可以排成多少种不同的名次。”这道题就不能利用常规计算而要借助图表找出正确答案。

以上探究性题目可都不作为教学要求，也不作为考试内容。

小学数学是随着社会、科学技术、生产和生活的发展需要不断变化的，其中的应用题教学必然也要随着发生变革。目前，无论从教材或教学来看，对应用题进行了一些改革，但是还很不够，需要进一步实验、探索，使其更加完善，以适应社会发展的需要，为培养人才打下更好基础做出贡献。

结合数学教学，浅谈培养学生良好的学习习惯

当今教育，正在进行新一轮课改。以培养创新精神和实践能力为重点，促进每个学生身心健康发展，培养良好的品德，强调基础教育要满足每个学生终身发展的需要，培养学生终身学习的愿望和能力。笔者结合常年数学教学实践认为，培养学生良好的学习习惯仍是一个很重要的环节。

学习习惯是指学习活动中形成的固定态度和行为。学习习惯对学生的学习有直接的影响，良好学习习惯是促进学生取得较好学习成绩的重要因素。良好的学习习惯养成了，学生将受用终生，而良好习惯要从小培养，“从娃娃抓起”。不良习惯一旦形成再纠正，那将是件很困难的事情。

结合数学教学，培养良好的习惯，包括那些内容呢？《小学数学教学义务大纲》指出“在教学过程中，要注意培养学生认真、严格、刻苦砖研的学习态度，独立思考，克服困难的精神，认真仔细、书写整洁，自觉检查的习惯”。以及学生乐于课前准备、活于课堂探究、勇于课后延伸；及时复习和独立完成作业等习惯。新课标还要求转变学生的学习方式，`培养学生合作学习、探究学习等综合学习方法，转变学生的学习态度，变“要我学”为“我要学”养成良好的学习习惯，培养学生对学习的责任心和终身学习的能力。

那么怎样结合数学教学培养学生良好的学习习惯呢？笔者认为应从以下六点做起：

第一、贯彻新理念、实施新教法，改进学生学习方式，改善学生学习状态。倡导发现学习，探究性学习及研究性学习，使学生积极参与到学习过程中来。变“要我学”为“我要学”，培养良好的学习习惯。教师在课堂教学中一方面要创设教学情境，激发学生的学习兴趣，使学生养成认真听讲的习惯；另一方面要根据数学课堂教学的特点，采用适当方法，培养学生自主探究、合作交流、自信学习、不断反思的学习习惯。

第二、让学生懂得为什么要培养这种学习习惯，使学生明确要这样做的意义。让学生明白怎样做才算好，怎样做才能做得好；让学生明白要这样做的意义。例如，要求学生计算四则混合运算式题时，必须要先认真审题。这样做不但能从整体上把握好运算顺序，寻找简便计算方法，而且还能避免因看错抄错数据、运算符号而产生错误。学生明白了，就会认真审题，逐渐形成认真审题的学习习惯。再如学生写字时老师要经常告诉学生正确的写字姿势，即头要端正，不要歪斜甚至伏在手臂上，眼睛离笔尖一尺左右；腰要正直稍有前倾，不要俯向桌面；双臂要撑开些，保持一定距离，如果两臂缩拢，会书写不灵便；双足放平，脚踏实地，不要一前一后，或交叠一起。对于写字姿势不好的学生随时纠正，同时讲一些危害性。学生就会逐渐形成良好的写字姿势习惯。

第三、紧密结合教学过程，严格要求，认真检查。培养良好的学习习惯是一个长期的细致的过程，必须结合教学过程进行。从小抓起，长抓不放。例如，独立完成作业的习惯，教师要提出具体要求。学生做作业时，老师不仅要注意学生做得是否正确，还要检查学生是否按老师提出的要求来做，是否独立完成作业，按要求做的，及时表扬。做得好的，再加奖励一个“笑脸”或是一朵“小花”，示范给其他同学看。让做得好的学生体验成就感，从而激励其向更好的方面发展。同时牵引写的不好学生向好的方面发展。对有抄袭作业等有坏毛病的学生，应以鼓励性语言教育为主。如：“你如果独立完成，思路肯定是最独到的，相信自己！”、“如果你用心去写，肯定会把字写的最漂亮！”，随时反馈学生信息，对于学生点滴的进步以及时表扬，耐心帮助他们，使其逐渐养成良好的作业习惯。

第四、赞赏学生独特性和富有个性化的理解与表达，培养学生勇于创新的良好习惯。课堂上或是作业中，对于同一道题，不同学生思路不同，方法不同却“殊途同归”，自然包含着学生各自不同的独创因素，即创新意识，对于学生敢于另辟蹊径的做法、想法教师应该及时给予肯定、表扬。甚至是不成熟的、或是错误的见解。教师都应从不同侧面赞赏学生独特性和富有个性化的理解与表达。让情感在这里交融，知识在这里增值。切忌抹杀学生的独到思维。另外课后练习适当增加拓展创新性的题目。引导学生勇于探索钻研一题多解，以题简意深的题目激发学生的学习兴趣，求得新颖、独到、变通的回答。从而培养学生勇于创新的良好学习习惯。

第五、教师以身作则，起表率作用。如教师工整合理的板书，就会直接影响学生，学生也会像老师那样字迹工整地认真书写。即教育无小事，事事皆教育，教师无小节，节节皆楷模。因此，教师要在培养学生良好的学习习惯上，言传身教，起楷模作用。

第六、良好的学习习惯的形成决非一朝一夕能够形成，我们每个老师都应对学生以高度负责的精神，主动、努力地耐心培养。同时要与学生家长保持经常性的联系。了解学生在家学习情况，和家长一起研究、探讨、合作，寻找最佳方法，帮助学生养成良好的学习习惯。

对新数学课程教学的探讨

本学期我们使用了北师大出版的《数学》（七年级上册），感觉新的教学理念下，教学内容、教学方法都有很大的变化。我们对教材、教学方式、教学效果进行了一些初步的探讨。

几乎每一节的引入都创设了一个实际生活情景，如第一节的用火柴摆正方形，分析正方形的个数与火柴根数关系；第四节的矩形娱乐场的面积问题。这些能较好的体现出数学来源于生活，又运用于生活的哲理。

在习题中设置了以人体体重估计人体血液质量的问题，说明人体健康指数是人体质量（千克）与人体身高（米）平方的商。这些习题特别贴近生活，学生回家后都饶有兴趣地测量爸爸妈妈的身高体重，计算双亲的健康指数和血液质量，学生们反映：父母普遍对此感兴趣，并纷纷夸奖自己的孩子。显然，这是一次激发学生学习兴趣，并让学生尝试成功的良好机遇，也在老师与家长之间架起了一座沟通的桥梁。在接下来的一次家长会上，我第一句话就说：“虽然我们没见过面，但你们的身高、体重、健康指数我都知道”，这一句话使会场的气氛顿时活跃起来，后面的话就好谈多了。

在新教材中，多项式、单项式的概念；多项式按降幂或升幂排列已经没有了踪影；添括号法则也不见了。而这恰是旧教材细、繁、难的地方，去的干净利落，不免人人欢喜。新增的代数式与实际意义的转化问题，可培养学生的创新精神，如有同学在解释8a3的意义时写到：有八个房间，每个间房有a个大箱子，每个大箱子中有a个小箱子，每个小箱子中有a瓶水，八个房间共有8a3瓶水。这种想法非常有新意。新一轮课程改革就是要改革教学过程中过分注重接受、记忆、模仿学习的倾向，倡导学生主动参与，交流、合作、探究等多种学习活动，改进学习方式，使学生真正成为学习的主人；成为具有发现、分析和解决实际问题能力的人。要使学生形成科学态度，学会科学方法；具有独立思考、自主探究的精神与求实创新的意识。

在初一数学教学第三章《字母能表示什么》中，我们要学生自主去探索、去发现用火柴棍摆成的各种图案与用火柴的总数的规律；用桌子椅子摆成的图案与用椅子的总数的规律；还鼓励学生去探索简单数列的通项公式。由此激发了学生自主探究的热情，促进了学生主体意识的觉醒。从而他们主动去寻找各种规律。其中一个典型的事例就是初一（8）班的孔秋强同学一天他来到老师办公室，兴匆匆地对我说：“老师我发现了一个规律：2的质数次方减去1是一个质数。”我进行了一些计算和验证，结论的确如此。

当时我不能证明结论的正确，也不能否定结论。这下可把我难住了。但我心里依然是高兴的。如果这结论真的成立，我的学生就发现了一个重要的定理，如果不成立，他也是进行了积极的探究。对质数的知识他掌握的比我还多了，他教给了我检验一个质数的方法。但是这个规律能否成立呢？这可真成了一个难题!我说你：“你再上网查一查，我也再想一想，不行的话，过两天珠海有个全国数学课程试验研讨会，我参加时，再请教有关专家。”在珠海的会议上一位来自山东的专家解开了我的谜团，他说：“早在17世纪，巴黎的僧侣马林?梅森(Marin Mersenne)曾断言267－１是质数，这就是著名的梅森猜想，在其后的２５０年内未曾引起过异议。时间到了１９０３年，在美国数学会的一次会议上，哥伦比亚大学的弗兰克?纳尔逊?科尔（Frank Nelson Cole）以＂论大数的因式分解＂为题作了一场报告，只用计算的方法就推翻了这个猜想，搞垮了这座２５０年的数学大厦。”这说明孔秋强也有与梅森类似的猜想。著名的梅森猜想历经250年才被否定，虽然孔秋强的发现如同梅森猜想一样最终被否定，但是他在数学学习中主动探索的精神是多么可贵！他能自主经历一场与数学大家一样的思维探索过程又是多么令人惊喜！

在这个问题的探索中，不但孔秋强同学增长了质数的知识，也促进了我的学习，我发现学生主体在推动我前进。不学习、不探究、不创新我将落后于学生，落后于时代，我感到活动教学的巨大威力。

在代数式与实际意义转化部分，有些题配的太难，如解释（a+b）(a-b)的实际意义，在没学平方差公式的前提下，学生很难想到它是两个正方形的面积差。

建议将第90页摆火柴的例子归到第111页探索规律中，而用116页的第4题引入“字母能表示什么”，效果会更好。建议增加合并同类项、代数式求值、去括号的课时量。代数式的意义的要求要明确，说明意义包括指实际意义和算法意义两个方面，强调实际意义的代数式形式不应过难，否则学生很难找规律。

建议老师在小结时可按数列和图形分类研究。关于数列找规律主要观察三种关系：前项、后项关系；相隔项（奇、偶项）的关系；找到的规律是否与各项内容相符。关于图形，无论是摆火柴，还是摆桌子都可分头、身、尾等部分观察发现规律。给学生一个观察研究的方法，找规律就不难了。

第111页随堂练习折纸求几条折痕问题，学生很难发现规律。按教参上建议折痕数与分裂后细胞数比较，学生越听越糊涂。后来我把这个题重新编排了一下：将一张长方形的纸对折，如图（用书上原图）可得到一条折痕。继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，问：

（1）对折1次后折痕可将原长方形分成多少个小长方形？对折2次后呢？对折3次后呢？对折n次后呢？

（2）折痕数与小正方形数有关吗？

（3）对折n次后折痕是多少条?

设置问题的层次后，大部分学生能听懂了。我讲起来也轻松了！

第133页习题4.4中的第2题最好加问这些角中哪个是锐角、那些是钝角、那些是直角？可一题多用。

解答数学应用题论文 篇6

关键词：小学数学； 应用题解答

人们对学生的数学能力加强了重视，因此，数学问题得到了世界各地教育界的广泛关注，其中美国和日本是重视学生数学教育的典型代表，在数学领域做出了伟大的贡献。数学应用题的解答需要从心理学，教育写以及计算机等相关的学科来寻求解答的技巧和方法。另外，现如今一对多的教学模式，使得教师很难关注到学生的基本需求，在实际的教学中无法实现教学的最终目的。但是一对一的个性化教学有很难实现，所以，找到切实可行的解题方法迫在眉睫。

一、强化学生解答应用题的基本训练

通过对应用题解答的基本训练进行强化，可以让学生掌握转化思想，转化思路得到了拓展，在对陌生以及繁杂的问题进行解决时，学生运用转化思想让其变得简单，更好地解答。

1、数学语言训练在日常的教学活动中，需要用数学语言来转化日常语言，用比较简单明朗的数量关系语言来转化那些复杂和隐晦的数量关系语言，这样才可以有效解答应用题。

2、联想训练借助于联想训练，可以有效地培养学生转化思路的灵活性。首先是结论联想训练，联想的开展，是借助于题目中的结论来实现的。比如，题目中提出的是对用去多少元进行求解，我们就需要联想到剩下了多少元？题目中讲到推迟了多少天，我们就需要联想到计划的时期和实际用的时间。其次，条件联想训练，也就是将题目中的条件作为联想依据，让学生学会逆转思维，对题目进行分析，将存在的条件与条件之间或者条件与结论之间的数量关系给找出来，这样转化目的就可以得到实现。

3、选择条件训练在日常的教学过程中，教师给出一些已知条件，然后对问题进行设计，学生结合教师的问题，结合相应条件，对问题进行解答。如果某些问题无法解答，就需要让学生联想，缺少了哪些条件，这样可以对学生的转化思维进行拓展，让学生独立思考和判断。

二、由简到繁，逐步深入，着重培养学生学习数学的兴趣

兴趣是学生学习最好的老师，有了学习的兴趣，学生就会主动的去学习，主动的去探索。老师首先要从简单应用题入手，抓好简单应用题的教学，使学生初步理解和掌握四则运算的意义，会分析简单应用题。虽然应用题的内容是千变万化的，但都是四则运算在实际中的应用。以两、三步应用题为例，它们同简单应用题比较，不仅是已知条件增多，而且数量关系也复杂了。因此比解答简单应用题需要较为复杂的分析和综合，需要进行间接的推理，就要引导学生把复杂的应用题分解成两个或几个简单应用题来解答。这样学生就会逐渐的喜欢上数学，喜欢上解答数学应用题。

三、加强联系生活实际，掌握必要的数量关系

小学数学课标中提出，数学是来自于生活，又是服务于生活的。那么，我们学习的数学应用题也是来自我们的生活。使学生学会解答应用题，掌握必要分析数量关系是解答应用题的一项基本功。即使是简单应用题也存在着一定的数量关系，绝不能因为应用题简单而忽视对数量关系的分析。分析清楚题里已知条件和问题之间存在着什么样的数量关系，才好确定解决问题的方法。有些简单应用题的数量关系是明显的，学生容易弄清的。

四、數学教师应当注意灵活运用多种策略培养学生的解题技巧

在数学应用题教学过程中，数学教师应当充分激发学生的自主能动性，让学生通过自主学习与合作学习的方式培养自身能力。教师在授课过程中，应当采取设问和提问的方式充分调动学生的思维与想象，对一些解题方式只讲解其解题基础，而具体的解题步骤则交给学生独立探讨。数学教师在应用题讲解过程中要尽量摒弃传统的教学模式与讲解套路，采用生动的语言与灵活的教授方式充分激发学生的学习兴趣与课堂学习积极性。教师可以采取由学生讲授代替教师讲授的方式，锻炼学生的解题技巧。在应用题讲解过程中，教师应当从审题、分解、合理联想和结果验算等方面培养学生的应用题解题缜密性，提高解题效率与质量。

五、数学教师在教学内容的基础上引进一些接近生活实际的应用题类型

传统的数学教学模式过于僵化，在数学应用题教授、联系与讲解等方面存在着诸多问题。比如应用题本身单一化的结构形式和规范划一的解题思路，这种现象的存在往往使学生的思路得不到开拓，影响了学生思维能力与创新能力的提升。因此，数学教师应当广泛考查数学应用习题的来源，在教学内容的基础上引进一些贴近生活实际的应用题类型。这样既可以增加应用题教学的趣味性，又可以让学生充分联系数学与生活，能收到更好的学习效果。

六、结语

解答数学应用题论文 篇7

当今社会对于应用型人才迫切需求,在这样的大背景下我国各级教育部门也更重视学生应用能力的培养, 在数学学科中应用题是培养学生实际应用能力的关键内容, 同时也是数学教学的一大难点, 很多学者认为数学教学与心理学有着密切联系,这是非常有道理的。在进行数学应用题解题时,教师可以充分结合心理学、教育学的相关知识寻找解题的技巧和答案。目前我国小学数学教育中,一对一的教学方式是无法实现的,因此针对应用题自动解答问题的研究一直未曾停止,小学数学应用题自动解答特征分析及路线研究, 对于我国小学数学教育来说具有非常大的现实意义。

一、小学数学应用题的特征分析

1.小学数学应 用题的典型 类型

小学数学应用题的题型是非常关键的内容, 学生和教师对于这个问题一向非常重视,数学应用题的题型不同,其解答方式必然也不同。在小学阶段最常见的题型有鸡兔同笼问题、归一问题、追问问题等。这些题目虽然在解题方式上存在巨大差异,却有着一个共同之处,那就是全部都是整数运算。除此之外,不同的教学阶段,应用题题型也不同。比如一年级、二年级的数学应用题,基本都是两数之间的求和,相同加数求和、倍数、加减等。针对这类问题的解决方式,一般都是匹配法,在计算过程中基本用不到推理。高年级的数学应用题,相对来说就比较复杂,必须根据教学经验及典型例题的综合,确定应用题数据类型,进而找到问题的根本所在。应用题中的相关知识几乎都是进行传化的,如果将小学应用题进行分类,其类型如下图所示:

将应用题中的相关问题向通用知识转化,能够简化问题,提供解题效率和准确率。不同的题型,解题方式也不同,教师在授课的时候,注意设置与之相对应的总体教学目标,然后逐步进行子目标的设定,实现解题的循序性。

2.小 学 数学 应 用题 的 语 言 特点

对于小学生来说,应用题的语言形式非常关键,它是描述数量关系的载体。首先,小学数学应用题的语言表述必须明确,学生通过对题目进行阅读,能够充分了解到题目的含义,如果语义不够明确,那么往往会产生歧义。数学用语必须是严谨的,并且极少使用采用主观色彩的词句,简洁、明确的语言对于学生理解题意有很大的帮助。其次,在数学应用题中,语言的表达形式属于复句,因此会存在一定数量的小句。有的数学题目中就存在很多小句,而且主语、谓语、宾语的形式也没有严格地依据标准设定。这种题目学生阅读起来容易出现问题,审题难度比较大。可见,找到应用题的结构层次性是解答应用题的关键。

二、小学数学应用题自动解答的关键技术

1.分 词 错误 自 动发现 和 修 正

小学数学应用题中有这样的题:(1) 朵朵有6个大头梨,2个水晶梨,一共有多少个梨子? (2)朵朵有六个大头梨,2个水晶梨,大头梨比水晶梨多几个? 针对题目,系统地分析,就是应该将两种梨子分割称为“大头+梨”“水晶+梨”,然后结合生活常识得知,大头梨、水晶梨都属于梨子,那么这个问题就可以实现问题的转化,也就是表达多个数量之间的数学关系公式,进而实现解答。

2.小 学 数学 应 用题语 句 类 别 识 别 及分 布 特 征 分 析

基于对小学数学应用题语句特征的分析, 可以发现小学数学应用题语句主要分为关系命题、赋值命题、问旬命题和事实信息,通过借鉴中文信息处理领域中的问题分类研究方法、汉语言学句模研究并结合人工分析标注。

3.小 学 数学 应 用题 自 动 解 答 的 研 究 路 线

路线一:引导学生从自然语言的角度对题目进行理解,分析高频词的用法, 小学数学中应用题基本都是采用自然语言进行描述的,因此在解题的时候,学生不可避免要对这些语言进行分析、理解。目前,自然语言领域本身还存在分词率不能达到100%等瓶颈,因此需要在分析小学数学应用题题目文本的基础上制定处理分词歧义的标准,再采取相应的处理策略。

路线二:从汉语语言入手,根据汉语语言的词语特征,研究与其相匹配的方法。简单来说,表述某一类特征的词语,其本身就具备了某种类型题的特点, 因此针对这些词语进行深入分析,研究其成本、特征等,对于建立解题思路有明显帮助,这也是从特殊到一般原则的有效体现。建立这样的解题思维,有助于日后的词句成分、特征及策略的研究分析。

结语

小学数学中应用题是非常重要的内容, 为了提高学生解题能力,教师应该运用多元化的教学方法,实现学生自动解答。应用题自动解答是个比较复杂的问题,教师应该不断学习、研究,才能提高教学效率与质量。本文针对应用题自动解题的问题进行讨论,希望能够为我国小学数学教育工作者提供建议和参考。

摘要：现阶段,数学教育问题已经成为世界各国所争相关注的教育问题之一。小学数学教师在传授应用题解答方法的过程中,会遇到很多阻碍,学生的学习兴趣、智力因素等都会影响其解题能力。由于小学阶段学生思维还不够完善,智力发育也不健全,因此教师在培养学生自动解答的过程中,需要从应用题特征出发,结合学生个体差异,逐步深入并取得成果。目前针对小学数学应用题自动解答的研究是非常热门的课题,文章针对这个问题进行研究分析。

如何解答高考数学题 篇8

一、解题思维的理论依据

美国著名的数学教育家波利亚的名著《怎样解题》里, 把数学解题的一般思维过程划分为:弄清题意→拟定计划→实现计划→回顾。这是数学解题的有力武器, 对怎样解答高考数学题有直接的指导意义.

二、解题思维的实践案例

例1.已知函数f (x) =sinx+tanx, 项数为27的等差数列{an}满足an∈ () 且公差d≠0, 若f (a1) +f (a2) +f (a3) +……+f (a27) , 则当k等于何值时, f (ak) =0.

【思维过程】:

第一步:弄清题目条件是什么, 解题目标是什么?

第二步:探究问题已知和未知, 条件与目标之间的联系, 构思解题的过程.

第三步:形成书面的解题程序、书写规范的解题过程.

【反思与回顾】

第四步:反思解题思维过程的入手点、关键点、易错点, 用到的数学思想方法, 以及考查的知识、技巧、基本活动经验等.

例2.若cosα+2sinα=, 则tanα= ( )

解:∵ (cosα+2sinα) 2=5, 即

例3.求函数的最大值和最小值

解法一:有界性

解法二:数形结合, 如图, 图中直线PA的斜率, AQ的斜率为式子的最值

例4.x, y, z∈R+, x-2y+3z=0, 则的最小值为 ()

解析:基本不等式法

思维导图:消y得x、z的代数式变换为能够使用基本不等式的形式, 由

当且仅当即x=3z时, 取等号.

例5.定义在R上的函数f (x) 满足f (x+y) =f (x) +f (y) +2xy (x, y∈R) , f (1) =2则

解析:令y=1, x=n, 得f (n+1) -f (n) =2n+2→叠加法求出f (n)

以上各式相加得f (n) =n (n+1)

用裂项相消法求和, 故

例6. (2008全国1理10) 若直线通过点M (cosα, sinα) , 则 ()

解析:点M (cosα, sinα) 在圆x2+y2=1上, 直线过M点意味着直线和圆有公共点, 即

例7. (2009全国1理22) 在数列{an}中,

(2) 求数列{an}的前n项和

解析: (1) 由

(2) 由 (1) 知:

例8.焦点为F1、F2, 点Q为双曲线左支上除顶点外的任意一点, 过F1作∠F1QF2的平分线的垂线, 垂足为P, 则点P的轨迹是 ( )

A.椭圆的一部分

B.双曲线的一部分

C.抛物线的一部分

D.圆的一部分

解析:如图

延长F1P交QF2于R, 则

∴P点的轨迹是圆的一部分

三、解题思维中的通性通法

数学是关于数与形的科学, 数与形的有机结合是数学解题的基本思想.数学是关于模式的科学, 这反映了在数学解题时, 需要进行“模式识别”, 需要构建标准的模型.往往遇到的问题是标准模型里的参数是需要待定的, 这说明待定系数法属于解题的通性通法.数学是一种符号, 引入符号可以将自然语言转换为符号语言, 通过中间量的代换, 就能将复杂问题简单化.数学解题就是一系列连续的化归与转化, 将复杂问题简单化、陌生问题熟悉化, 其消元、减少参变元的个数是常用的方法.在代数式的变形中, 则往往要分离出非负的量, 配方技术是经常使用且很奏效的方法.

高考数学解答题解题策略 篇9

一、数列问题

数列解答题在高考中的考查主要为通项公式与前n项和公式,其中,第一问一般设置通项公式问题,可直接考查等差、等比数列的通项公式,也可以an与Sn的关系的形式给出;第二问相对比较综合,主要考查数列求和或数列与不等式、函数等知识结合的综合问题.

例1(2014年江西卷·理) 已知首项都是1的两个数列{an},{bn}(bn≠0,n∈N*)满足anbn+1-an+1bn+2bn+1bn=0.

(1)令cn=an/bn,求数列{cn}的通项公式;

(2)若bn=3n-1,求数列{an}的前n项和Sn..

二、三角问题

三角在高考中命题类型主要有:(1)三角与平面向量的交汇考查,一般将函数的解析式以平面向量的坐标形式的数量积的运算的形式给出,设置求周期与最值或单调区间类型的问题;(2) 三角与解三角形知识的交汇,主要是利用正、余弦定理解决三角形的面积;三角形内角的计算以及数量关系的证明等;(3)解三角形的一些实际应用问题.

例2(2014年安徽卷·理)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c=1,A=2B.

(1)求a的值;

(2)求sin (A+π/4)的值.

三、概率与统计问题

在近几年的高考中,解答题对概率与统计的考查主要有以下几种类型:统计与统计案例型、概率型、统计与概率相结合型,难度一般不大,只要掌握相关的基础知识即可顺利解答.

例3(2014年天津卷·理)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院. 现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).

(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;

(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列和数学期望.

随机变量X的数学期望E(X)=6/5.

四、立体几何问题

立体几何一般第一问考查空间中点、线、面的位置关系,第二问设置可以用性质、定理来定性解决,也可以用空间向量定量计算来解决的问题,多考查空间角或空间距离.

例4 (2014年新课标全国卷Ⅰ·理)如图 , 三棱柱ABC-A1B1C1中 , 侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.

(1)证明:AC=AB1;

(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,AB=BC,求二面角A-A1B1-C1的余弦值.

解:(1)证明略.

五、平面解析几何问题

圆锥曲线在高考中的主要命题形式为:给出曲线方程,讨论曲线的基本元素和简单的几何性质;给出曲线满足的条件,判断(或求)其轨迹; 给出直线与曲线、曲线与曲线的位置关系,讨论与其有联系的有关问题(如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参数的取值范围等);讨论直线与曲线、曲线与曲线的关系;考查圆锥曲线与其它知识的综合(如与函数、数列、不等式、三角函数、向量、导数等).

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若动点P(x0,y0)为椭圆外一点,且点P到椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.

解答数学应用题论文 篇10

一、他人的经验及方法

把一定数量的物品平均分给一定数量的人, 每人少分, 则物品有余 (盈) ;每人多分, 则物品不足 (亏) 。已知所盈和所亏的数量及两次每人所分的数量, 求人数的应用题叫盈亏问题。

盈亏问题的基本解法是:份数= (盈+亏) ÷两次分配数的差;

物品总数=每份个数×份数±盈亏数。

解答盈亏问题的关键是要求出总差额和两次分配的数量差, 然后利用基本公式求出分配人数, 进而求出物品的数量。

趣味数学之《木长几何》——《孙子算经》里有这样一道题:今有木, 不知长短。引绳度之, 余绳四尺五, 屈绳量之, 不足一尺。木长几何? (屈绳的意思是把绳子对折, 度是量的意思, 四尺五是4.5 尺)

分析:用绳量木, 绳子多出4.5 尺, 把绳对折再量, 绳子又短1 尺, 可推出单股绳子比对折起来长5.5 尺, 多出的5.5 尺正好是绳子的一半 (如图) 。

解答:绳子的长度: (4.5+1) ×2=11 (尺)

木料的长度:11-4.5=6.5 (尺)

答: (略)

分析中, “用绳量木, 绳子多出4.5 尺, 把绳对折再量, 绳子又短1 尺, 可推出单股绳子比对折起来长5.5 尺。”这里用到了一点点“盈亏问题”。为什么这样说呢?遇到类似问题还能用这种方法解答吗?请关注下面的内容。

二、建立数学模型

他人的方法及经验看似简单易行, 可事实并非如此。学生机械地套用公式, 并不完全理解解题思路, 题目稍加变化, 他们又束手无策了。

笔者引导学生先分析并找出“盈亏问题”的特点———它就是两种有余数的除法, 再根据有余数除法各部分间的关系, 建立“盈亏问题”总的数学模型:

“盈亏问题”总的数学模型中两次被平均分的总数——被除数是一定 (不变) 的;平均分的标准不同, 我们归纳为两种, 即除数1和除数2;分得的结果中的份数———商也是一定 (不变) 的, 分得的结果中的余数———盈亏数则不同, 我们把它们分别定义为余数1和余数2。当被除数和商不变时, 除数变大, 余数则会变小, 反之。

两次分得的余数之间的差, 我们把它定义为“总差”, 两次平均分的标准之间的差, 我们把它定义为“小差”。正因为有分得的结果之一“商”那么多个“小差”才汇成最后结果之二“余数”间的“总差”, 即“小差×商=总差”。于是, 关键问题“商”就得到解决:商=总差÷小差。

如“幼儿园买来一些玩具, 如果每班分7 个玩具, 则多出2 个玩具;如果每班分10 个玩具, 则差13 个玩具, 幼儿园有几个班?这批玩具有多少个?”的数学模型:

三、进行数学分析

根据建好的数学模型, 我们进行“盈亏问题”的数学分析:

从上面的模型中可以看出:

第二种分法的总个数比第一种分法的总个数多 (2+13) 个为“总差”, 第二种分法比第一种分法每班多分 (10-7) 个为“小差”, 每班多分的“小差”乘班数就等于最后的“总差”。由此可以求出幼儿园共几班这个关键问题。

这个幼儿园有 (2+13) ÷ (10-7) =5 (班)

求出了模型中的商, 再根据有余数的除法中“被除数=商×除数+余数”就可求出这批玩具共有多少个了。

这批玩具有7×5+2=37 (个) 或10×5-13=37 (个)

答: (略)

四、适时推广应用

我们通过建立数学模型和进行数学分析, 掌握了“盈亏问题”的解题方法, 适当增加难度, 加以推广应用。

1.用一根长绳测量井的深度, 如果绳子两折时, 多5 米, 如果绳子三折时, 差1 米。求绳子长度和井深。 (提示:绳子两折即把绳子平均分成两份, 三折即三股。)

很明显, 该题不能用“他人的经验及方法”之《木长几何》的方法来进行解答。而《木长几何》题目却能用“盈亏问题”的模型来进行分析和解答。

2.小宏从家到校上学, 出发时他看看表, 发现如果每分钟步行80 米, 他将迟到5 分钟;如果先步行10 分钟后, 再改成骑车每分钟行200 米, 他就可以提前1 分钟到校。问小宏从家出发时离上学时间有几分钟?

观察分析, 这两题都属“盈亏问题”, 只是题中的“盈亏 (余数) ”不是现成的, 需要首先求出。

第1 题的数学模型及数学分析:

井深: (5×2+1×3) ÷ (3-2) =13 (米)

绳长:2×13+5×2=36 (米) 或 (13+5) ×2=36 (米)

答: (略)

《木长几何》数学模型及数学分析:

木长: (4.5×1+1×2) ÷ (2-1) =6.5 (尺)

绳长:6.5+4.5=11 (尺) 或 (6.5-1) ×2=11 (尺)

答: (略)

通过比较《木长几何》的两种方法, 我们发现, 他人的经验及方法具有局限性, 只能用于特例;而我们的“盈亏问题”模型具有通用性, 只要是“盈亏问题”都能用它来解答。

第2 题的数学模型及数学分析———

“余数1”:80×5=400 (米)

求“余数2”步骤多一些。

①10 分钟的步行改成骑车要提前:10-80×10÷200=6 (分)

②假如他骑车一直骑到上学时间到时会多行:200× (6+1) =1400 (米)

“余数2”也可: (200-80) ×10+200×1=1400 (米)

小宏从家出发时离上学有: (400+1400) ÷ (200-80) =15 (分)

答: (略)

我相信, 只要坚持让学生按数学模型来读题、抄题, 数学分析就更加容易和明了, 他们就会更好地解决各种数学难题。

参考文献

解答数学应用题论文 篇11

【关键词】小学数学 自动解题 解决方式

小学数学教育是数学教育的基础，为学生打下良好的应用数学的底子，而初级的应用题教学内容更是培养学生应用数学基础思维的重要方式，但就当下的教育发展方式来看，接受教育的学生太多，而教师的人手配备却不够，达不到最理想的一对一式教学，使得小学教育内容显现不出相应的优质结果。但是小学数学应用体自动解答系统的出现则恰好能够解决这一问题，并且能够有效地培养学生解决问题、分析问题、渗析问题的能力。

一、 小学数学应用题特征

要想使小学应用题自动解答系统能够发挥出其应用的良好教学作用，我们就得先着手分析小学数学应用题的基本特征有哪些，找准这些基本特征才能使自动数学解答装置更具实用性。据以往的教学经验分析，小学的数学应用题特点主要包括经典题型和语言方式两个基础特征。

（一）小学数学应用题之所以能够被通用做自动解题系统之中，主要是因为小学数学的应用题解答模式较为简单，应用题种类较少，这样自动解题系统的分支结构就不会过多、过于复杂，也能提高自动解题系统对应用题的识别率。小学一至三年级主要是以基础的加减法运算、乘除法运算以及对整数、自然数等基础数学知识的学习为主，而在三到六年级才开始接触到一些简单的应用题类型，如追及问题、鸡兔同笼问题、归一问题等简单应用题类型，而运算过程中所用到运算也不过是加减乘除、二元一次方程等简单运算方式。

（二）小学数学应用题中所具有的语言特点也是小学数学题能够用于自动解题系统的一个重要因素，小学应用题的语言特点可以概括为两点：其一，句式较为简单，多数是“流水账”形式，达意即可，不需要掌握太有深度的语法构成和识别，这大大降低了自动解题系统的编程难度，另外小学数学应用题的长度不长，一般十几个字到几十个字就能够解决，这也降低了自动解题程序的编程难度。其二，应用语境简单明了，中文是一种表意的语言形式，自动系统对中文语言控制难度较大，而小学应用题的表述较为简单，语法、句型的构成也较为简单，因此小学应用题的语言特征也是其能够被用于自动解答系统致之中的重要原因之一。

二、 小学数学应用题自动解答的主要技术分析

小学数学应用题自动解答的主要技术可以分成三个大的模块：

（一）自动查找、修正错位的分词

自动解题软件同样存在一些亟待解决的问题，和任何一款软件一样，自动解题也存在这类似词语混淆的问题，这里举个例子来具体分析：案例一：张红有黄球7个，红球4个，问黄球比红球多多少个？案例二：张红有黄球7个、红球4个，问张红一共有多少个球？针对案例二中的问题，在编程时可以将“球”作为一个整体的总概念，而“红、球”“黄、球”作为分词概念设置，这样就可以在结果输出时将红、黄球做求和处理；但是这种方法不适用于案例一，案例一中在编程时用采用红、黄球分别作为两个独立概念而存在，这样才能在结果中体现出差值。就这两种情况的比较结果分析，就出现了分词混乱的现象。

（二）准确把握小学数学应用题的语言模式

通过对小学应用题类型的分析，掌握正确的小学数学题组成语法和关键位置用词，根据经验总结，小学应用数学题的语法组成分为赋值命题型、关系命题型、问句命题型、事实阐述型，在自动解题模块中准确将这几大数学应用题模式进行处理，构成框架，在日后出题时只需根据要求进行填充组合即可。

（三）对小学数学基础知识点、题库的扩充

在自动解题系统中要完善小学数学应用题中的基础知识点、概念点，如距离=速度*时间、鸡兔同笼问题二元一次方程的构件模式等等，小学数学应用题具有统一模式，尤其是要抓住典型题、基本知识点等等这些基础的应用题概念，然后通过系统的分析编排形成一个系列题型。要使小学自动解题发挥出其重要的作用就一定要加强自动解题数据库的完善和灵活应用的能力。

总 结

小学数学自动解题是信息化时代中教育发展的新的可能，做好小学应用题的自动解题能够使学生得到一对一式的教育，并且可以有效地提高基础教育的结果，针对小学应用题自动解题仍存在的问题要认真对待，结合教学操作实践对其进行合理的解决和完善。

【参考文献】

[1]张天孝，唐彩斌.美、日、德小学数学教材的共性特征及启示[J].比较教育研究，2005（01）：178-181.

[2]綦春霞.数学问题解决在中国的研究历史及其影响[J].课程·教材·教法，2007，27（12）：132-135.

浅谈如何做好数学解答题 篇12

一、解答题大体可分为三个层次

(1) 基础题, 一般来说, 相当于教材中的习题和复习题。

(2) 小型综合题, 相当或略高于教材的总复习题, 由于题设至结论有一定的跨度, 这个层次的试题占分比例大。

(3) 大型综合题, 跨度大, 难度高, 借以发挥最优秀考生的潜力。

二、解题思路可从以下“三位一体”的过程中获得

(1) 在理解题意中获得有用的信息, 主要是从题目的语言叙述中获取“符号信息”, 从题目的图形中获取“形象信息”。

(2) 从记忆储存中提取有关的信息, 主要是定义、公式、定理、基本模式等解题凭借或解题依据。

(3) 将以上两组信息组合、加工成一个和谐的逻辑结构。

三、提高解题能力

1. 理解题意

解题的关键是要弄清题意, 明确已知是什么, 求证、求解是什么, 从何处下手, 向何方向前进。因为从条件得出的信息预示可知并启发解题手段, 从结论发出的信息预告并诱导解题方向。所以, 为了从中得到最有价值的信息, 我们要逐字逐句地分析条件、结论、条件与结论之间的关系, 以求得目标与手段的统一。

由于有的学生没有养成认真分析题意的良好习惯, 没弄清题意就匆忙做答, 结果是:有的推导着就推不下去了, 怎么变换形式都不行, 哪个公式、哪条定理都用不上, 回头看题目才发现, 还有一个已知条件未使用;有的推着推着, “因为, 所以”都挺顺利, 但推了半天还不知道往哪里推———未真正弄清楚推什么, 缺乏目标意识;有的结果是出来了, 但不符合题意。

2. 模式识别

在理解题意的过程中, 我们获得了大量的信息, 它们一开始是孤立的、零乱的, 经过初步筛选便可以确定哪些有用、哪些无用, 同时努力追忆过去在什么地方、什么情况下曾经历过类似的题目, 来个信息的对比与借鉴, 这是解决中考题的基本策略;如果问题不属于某个基本模式, 那么就可以将题目加以分解或转化, 也可以将基本模式加以重组、深化。

3. 差异分析

我们解决问题时, 常会发现条件与结论之间存在差异, 如果把这种差异称作“目标差异”, 那么解题策略就在于设计一个目标差不断减少的过程。这就要求我们: (1) 如果一旦出现, 目标差就自动作出相关的反应; (2) 减少目标差的调节要反复地发挥作用, 使得目标差的逼近能积累起来。

4. 层次解决

通过解题发现, 人们在创造性地处理一个新问题时, 思维是按层次展开的, 先粗后细, 先宽后窄。就是说, 先对问题作一个大致的思考, 然后逐步深入细节与实质;或者先作较大范围的探索, 然后逐步收缩包围圈。

例如:27题的第 (3) 问求圆环面积, 先给出策略圆环面积S=π (R2-r2) , 再分析几何中 (R2-r2) 出现在直角三角形中, 构造R和r所在的直角三角形, 最后指出 (R2-r2) 的结果就是另一直角边的平方, 而另一直角边由第 (3) 问的已知数据结合第 (2) 问的结论很容易算出。

5. 数形结合

数学家总是用数的抽象性质来说明图形的特征, 同时, 又用直观图形的性质来说明数量的关系。数学解题中的数形结合, 就是对题目中的条件和结论既分析代数含义又分析几何含义, 力图在代数与几何的结合上找出解题思路。有人比喻为“双面的刀刃”。经验显示, 进行数形结合有三个重要的途径:

(1) 建立直角坐标系。将几何图形中的线段长度用函数中点的坐标表示, 然后用函数的思路解决。如28题, 横断面为抛物线的公路隧道问题, 支撑架的总长先用抛物线上点的横坐标和纵坐标之和表示, 再用二次函数的最值解决。

(2) 转化。如第25题的 (3) (4) 两问, 学生猛一看, 全是字母系数的方程与不等式, 怎么解?但再仔细分析方程与不等式中式子的形式, 一部分为y1, 另一部分为y2, 因而方程就可转化为y1=y2, 不等式就可转化为y1

(3) 构造。如27题的第 (3) 问, 圆环面积S=π (R2-r2) , 根据平时经验, 括号内的式子刚好可以构造到直角三角形中, 对应为斜边的平方减一直角边的平方, 则最终的结果为另一直角边的平方。