数形结合的教学案例

数形结合的教学案例（通用11篇）

数形结合的教学案例 篇1

一、在理解算理过程中渗透数形结合思想。

小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题，计算教学要引导学生理解算理。但在教学中很多老师忽视了引导学生理解算理，尤其在课改之后，老师们注重了算法多样化，在计算方法的研究上下了很大功夫，却更加忽视了算理的理解。我们应该意识到，算理就是计算方法的道理，学生不明白道理又怎么能更好的掌握计算方法呢？在教学时，教师应以清晰的理论指导学生理解算理，在理解算理的基础上掌握计算方法，正所谓“知其然、知其所以然。”根据教学内容的不同，引导学生理解算理的策略也是不同的，我认为数形结合是帮助学生理解算理的一种很好的方式。

（一）“分数乘分数”教学片段

课始创设情境：我们学校暑假期间粉刷了部分教室（出示粉刷墙壁的画面），提出问题：装修工人每小时粉刷这面墙的1/5，1/4小时可以这面墙的几分之几？

在引出算式1/5×1/4后，教师采用三步走的策略：第一，学生独立思考后用图来表示出1/5×1/4这个算式。第二，小组同学相互交流，优生可以展示自己画的图形，交流自己的想法，引领后进生。后进生受到启发后修改自己的图形，更好地理解1/5×1/4这个算式所表示的意义。第三，全班点评，请一些画得好的同学去展示、交流。也请一些画得不对的同学谈谈自己的问题以及注意事项。

这样让学生亲身经历、体验“数形结合”的过程，学生就会看到算式就联想到图形，看到图形能联想到算式，更加有效地理解分数乘分数的算理。如果教师的教学流于形式，学生的脑中就不会真正地建立起“数和形”的联系。

（二）“有余数除法”教学片段

课始创设情境：9根小棒，能搭出几个正方形？要求学生用除法算式表示搭正方形的过程。

生：9÷4

师：结合图我们能说出这题除法算式的商吗？ 生：2，可是两个搭完以后还有1根小棒多出来。师反馈板书：9÷4=2……1，讲解算理。

师：看着这个算式，教师指一个数，你能否在小棒图中找到相对应的小棒？ ……

通过搭建正方形，大家的脑像图就基本上形成了，这时教师作了引导，及时抽象出有余数的除法的横式、竖式，沟通了图、横式和竖式各部分之间的联系。这样，学生有了表象能力的支撑，有了真正地体验，直观、明了地理解了原本抽象的算理，初步建立了有余数除法的竖式计算模型。学生学得很轻松，理解得也比较透彻。

二、在教学新知中渗透数形结合思想。

在教学新知时，不少教师都会发现很多学生对题意理解不透彻、不全面，尤其是到了高年级，随着各种已知条件越来越复杂，更是让部分学生“无从下手”。基于此，把从直观图形支持下得到的模型应用到现实生活中，沟通图形、表格及具体数量之间的联系，强化对题意的理解。

（一）“植树问题”教学片段

模拟植树，得出线上植树的三种情况。

师：“ ”代表一段路，用“/”代表一棵树，画“/”就表示种了一棵树。请在这段路上种上四棵树，想想、做做，你能有几种种法？

学生操作，独立完成后，在小组里交流说说你是怎么种的？

师反馈，实物投影学生摆的情况。师根据学生的反馈相应地把三种情况都贴于黑板：

①_________两端都种

②____________或____________一端栽种 ③_______________两端都不种

师生共同小结得出：两端都种：棵数＝段数＋1；一端栽种：棵数=段数；两端都不种：棵数=段数—1。

以上片段教师利用线段图帮助学生学习。让学生有可以凭借的工具，借助数形结合将文字信息与学习基础融合，使得学习得以继续，使得学生思维发展有了凭借，也使得数学学习的思想方法真正得以渗透。

（二）连除应用题教学片段

课一开始，教师呈现了这样一道例题：“有30个桃子，有3只猴子吃了2天，平均每天每只猴子吃了几个？”请学生尝试解决时，教师要求学生在正方形中表示出各种算式的意思。学生们经过思考交流，呈现了精彩的答案。

30÷2÷3，学生画了右图：先平均分成2份，再将获得一份平均分成3份。30÷3÷2，学生画了右图：先平均分成3份，再将获得一份平均分成2份。30÷（3×2），学生画了右图：先平均分成6份，再表示出其中的1份。以上片段，教师要求学生在正方形中表示思路的方法，是一种在画线段图基础上的演变和创造。因为正方形是二维的，通过在二维图中的表达，让学生很容易地表达出了小猴的只数、吃的天数与桃子个数之间的关系。通过数形结合，让抽象的数量关系、思考思路形象地外显了，非常直观，易于中下学生理解。

三、在数学练习题中挖掘数形结合思想。运用数形结合是帮助学生分析数量关系，正确解答应用题的有效途径。它不仅有助于学生逻辑思维与形象思维协调发展，相互促进，提高学生的思维能力，而且有助于培养学生的创新思维和数学意识。

（一）三角形面积计算练习

人民医院包扎用的三角巾是底和高各为9分米的等腰三角形。现在有一块长72分米，宽18分米的白布，最多可以做这样的三角巾多少块？

有些学生列出了算式:72×18÷（9×9÷2）,但有些学生根据题意画出了示意图,列出72÷9×（18÷9）×2、72×18÷（9×9）×2和72÷9×2×（18÷9）等几种算式。

在上面这个片段中,数形结合很好地促进学生联系实际，灵活解决数学问题，而且还有效地防止了学生的生搬硬套，打开了学生的解题思路，由不会解答到用多种方法解答，学生变聪明了。

（二）百分数分数应用题练习

参加乒乓球兴趣小组的共有80人，其中男生占60%，后又有一批男生加入，这时男生占总人数的2/3。问后来又加入男生多少人？

先把题中的数量关系译成图形，再从图形的观察分析可译成：若把原来的总人数80人看作5份，则男生占3份，女生占2份，因而推知现在的总人数为6份，加入的男生为6—5=1份，得加入的男生为80÷5=16（人）。

从这题不难看出：“数”、“形”互译的过程。既是解题过程，又是学生的形象思维与抽象思维协同运用、互相促进、共同发展的过程。由于抽象思维有形象思维作支持，从而使解法变得十分简明扼要而巧妙。

数形结合的教学案例 篇2

如何把概念课上得生动、有趣、高效呢?这是每个中学教师在课改中追求的目标.本人对此问题在教学中进行了如下探究.

一、观察抽象, 通过数形结合感知概念

首先要掌握学生已有的认知结构和心理状态, 将传授知识和培养学生能力很好地结合起来.

绝对值概念的教学, 对整个初中代数的学习起着十分重要的作用.绝对值概念由于较抽象, 所以它在同学们的学习中一直是一个障碍, 尤其是刚学习代数的初一同学更感到困难.那么如何把握关键破解难点呢?要牢固掌握绝对值概念, 首先要掌握绝对值的定义, 弄清它的几何意义, 然后通过数形结合加深理解、巩固概念.

例1 a, b, c三数在数轴上的位置如图1所示, 化简:

解由图和绝对值的意义可知:a>0, b<0, c<0, a+b<0, b-c>0, c-a<0,

评注数轴上的点与实数是一一对应关系, 数轴的引入是实数内容体现数形结合思想的有力工具, 它直观形象地反映了相反数和绝对值的几何意义, 能激起学生的参与感和探究欲, 提高情趣, 在愉悦的学习环境中分解难点, 优化课堂结构.

二、数形结合图形, 升华概念

在“图形的旋转”第一节概念课教学中, 我首先通过师生互动、合作交流以及多媒体教学软件的使用, 让学生在生动形象、有意义的活动中发现图形旋转的美妙, 同学们探究活动的情趣被调动起来, 在活动中认识旋转.然后, 我利用展台展出图形的旋转动画, 在合作交流的探究活动中引导学生用自己的语言得出旋转的三要素, 然后根据观察、比较、归纳得出旋转的概念, 这样通过数形结合培养学生数学概括归纳的能力.再分组指导学生利用多媒体画板进行平移和翻折的操作, 通过观察比较探究旋转前后的两个图形形状、大小不变和旋转的性质.

三、动画演示, 通过数形结合探究性质

如在“反比例函数的图像和性质”的教学中, 学生已经初步了解了反比例函数的有关概念, 为了探究反比例函数的性质, 我用几何画板演示的图像, 在演示的过程中让学生边观察边思考: (1) k>0时图像所在的象限及y随x的增减变化, (2) k<0时呢?接着让学生自己分组操作一下, 再让学生用自己的语言归纳发现的事实.数形结合激发了学生的情趣, 在合作交流中掌握了概念, 收到良好的教学效果.

四、数形结合指导操作, 设计图案感悟概念性质

活动1:已知点M和直线l, 画出点M关于直线l的对称点M′.

活动2:已知线段MN和直线l, 画出线段MN关于直线l的对称线段M′N′.

活动3:已知△DEF和直线l, 画出△DEF关于直线l的对称图形△D′E′F′.

以上三个操作利用数形结合层层递进, 让学生在活动中体会转化的思想, 发现作图的思路和关键, 感悟轴对称的性质.在此基础上, 让学生反思:如果是作四边形、五边形……的对称图形呢?进而把学生的创造性思维推向高潮.同学们跃跃欲试, 争着想展示自己的技能.我让学生利用数形结合作图的思路当一回小设计师, 进行创意设计, 并展示自己的作品.最后, 让学生思考制作五角星图案的方法, 学以致用, 体验到成就感, 学生情感态度得到强化, 知识结构得到优化, 提高了情趣, 加强了概念教学.

五、学以致用, 巩固概念, 提高解题能力

学生学习数学概念的根本目的在于应用, 通过应用, 一方面可以进一步帮助学生巩固和加深所学到的数学概念, 另一方面可以提高学生分析和解决问题的能力.

例如在教学“二次函数与一元二次方程”这节时, 学生对方程的“根”和函数的“零”点理解不够透彻.我首先通过画板引导学生探究二次函数y=x2-2x-3的图像与一元二次方程x2-2x-3=0的关系, 在掌握概念后, 引导学生及时进行巩固.

例2已知函数y=ax2+bx+c的图像如图2, 若|OA|=|OC|, 求a, b, c之间的关系.

由于学生事先已探究了函数的性质与根的关系、绝对值的概念和直观地图形演示, 很容易得到解法.因|OA|=|OC|, 而点C是抛物线与y轴的交点, 故OC=c>0, 又点A在x轴的负半轴上, 且已知|OA|=|OC|, 故OA=-c, 即点A的坐标为 (-c, 0) , 图像与x轴交点的横坐标就是函数的零点, 所以a· (-c) 2+b· (-c) +c=0, 即c (ac-b+1) =0.又c≠0, 所以b-ac-1=0.

数学教学中“数形结合”的应用 篇3

一、运用数形结合进行函数教学

在函数教学中,函数及其图像为数形结合的教学开辟了广阔的天地。函数的图像是从“形”的角度反映变量之间的变化规律,利用图像的直观性有助于题意的理解、性质的讨论、思路的探求和结果的验证。如二次函数、指数函数和对数函数等等,根据函数图像讨论函数的性质,借助函数图像的直观解决实际问题,能使学生学得轻松有趣,既可以提高学生的识记能力,又可以加深对函数图像和性质的理解,使数与形在学生的头脑中密切地结合起来。

例:判断下式中x的正负:2x=1.2。

分析:考察指数函数y=2x,因a=2>1,在定义域(-∞,+∞)上是增函数,故画出草图,从图中可知,该函数在区间(0,+∞)上有y>1。

因此,从2x=1.2>1可知x>0。

在数形结合思想启发下,运用抽象函数图像化、模型化策略,作出函数的图像,则问题原形显露了。通过学习数形结合的方法分析解决这类问题,可以极大地提高学生分析问题、解决问题的能力。

二、运用数形结合,发挥学生的形象思维

教学中,如果注意引导学生把抽象问题同相应的感性材料联系起来,给予具体、直观、形象的数学模型,并通过对这些模型的研究分析,就能巧妙地解决问题。这种数形结合的思想方法,对发展学生的形象思维是极其有利的。

例:函数y=|4-x|x的图像大致是()。

分析:此题若用直接法进行选择,一般先将函数分段表示,然后画出简图获得答案。其解题思维过程是聚合性思维,没有充分利用已知图像。如能把数与形结合起来考虑,即把函数式与所给函数图像结合起来分析易知:当x<0时,图像位于x轴下方;当x=0时,对应点在原点;当x>0时,图像应位于x轴上方,所以很容易作出正确选择。

可见,以数形结合的方法发展学生的形象思维,能更深刻地理解数学概念,使抽象的数学问题直观、形象化、易接受。而且对数形结合有了较为深刻的认识,在潜移默化中,学生会逐渐地养成运用数形结合思想解题的习惯。

三、运用数形结合,合理解题

教学时,要引导学生从充分利用形的直观性来揭示数学问题的本质属性;由形思数,利用数研究形的各种性质,寻找运动规律;数形结合,促进矛盾顺利转化,创造条件使对立双方达到统一。这样,有利于培养学生多角度、多方面的思考习惯,有助于训练学生思维的灵活性、广阔性、创造性和辩证性,提高学生解决问题的能力和创新能力。

1、以形辅数,较直观、快捷。

某些看似单纯的数量关系的代数问题,如果能注意到它所包含的几何意义,或者设计出一个与之相关的几何模型,则可能找到新颖别致的解法,借助“形”使我们对问题本身不但有直观的分析,且能有更深刻和实质的了解。

例:已知3x-4y+4=0,求:

z=(x-2)2+(y-15)2+(x+3)2+(y-5)2的最小值。

分析:初看此题,它是求函数最小值的代数式问题,容易想到用配凑法、消元法等代数方法来解决,但真的动手来做却比较麻烦。而采用数形结合的方法解决就会简单明了。本题所求的最小值实际上是求直线3x-4y+4=0上一点p(x,y)到两定点A(2,15)和B(-3,5)的距离之和的最小值。由几何图形显示隐含条件,合理的解题方案便形成了。

2、以数论形,能精确判断、深刻表述。

某些代数三角问题,借助于图形性质来探求思路或作出结论;而某些几何图形问题,可通过计算或数量分析的方法,能准确、深刻地表述图形的性质,获得问题的结论。

例: 求函数y=

sinx)的直线的斜率。由于点P在单位圆x2+y2=1上,如图:

显然,kP0A≤y≤KP0B,

3、数形结合,综合应用。

由数想形、由形思数是数形结合的两个方面,有时又要综合应用,既由图形寻找出数量关系,又通过学习代数方法加以解决。

例:设D为△ABC边上的一点,且BD=2DC,求证:AB2+2AC2=3AD2+6DC2。

分析:若单从几何角度看,已知条件和论证的目标相距较远,不易下手。如果我们建立如图所示的直角坐标系,可数形结合,综合应用解决。

可设四点的坐标分别是A(x,y)、B(-2a,0)、C(a,0)、D(0,0),则有:

|AB|2+2|AC|2=[(x+2a)2+y2]+2[(x-a)2+y2]=3(x2+y2)+6a2,

3|AD|2+6|CD|2=3(x2+y2)+6a2,

即可证得:AB2+2AC2=3AD2+6DC2。

数形结合在小学数学教学中的应用 篇4

“数形结合” 就是根据数量与图形之间的对应关系，把抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维和形象思维相结合，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要的数学思想，也是一种常用的数学方法。数形结合包括“以形助数”和“以数辅形” 两个方面。巧妙地应用数形结合思想解题，往往会使抽象问题直观化、复杂问题简单化，达到优化解题途径的目的。从“数” 的严谨性和“形” 的直观性两方面思考问题，拓展了解题思路，可起到事半功倍的效果。我们很欣喜地看到新的人教版教材越来越重视体现数形结合的思想方法，不仅教材中更多地体现数形结合的图片和思考过程，还在新教材六年级上册最后一单元编排了“数与形”，较集中地出现数形结合的例题。但在实际教学中，我们还是发现有些老师在数形结合的教学中存在着一些缺失，主要反映在以下几个方面：

首先，部分教师对数形结合思想方法在教学中的作用认识不到位，重视的程度不够。没有充分挖掘教材中的思想方法，合理地教学。特别是小学高年级，虽然教材呈现的图片资料没有低中年级丰富，但实际上更需要教师去分析教材，寻求数形结合的点，帮助学生更好地理解数学。因为尽管这时的孩子抽象思维有所发展，但由于知识的难度系数增加，很大程度上还要靠形象思维来帮助理解。例如六年级的分数应用题，无论是新课的教学还是课后的拓展提升，我们都要强调和培养学生通过画线段图的方式来理解数量关系。但部分教师只是在新课教学时草草做了一下示范，他们更重视通过重点句画标数量关系，再套用数量关系解题。如求比较量就用单位“1”的量乘对应的分率，反之求单位“1”的量就用比较量除以对应的分率等等。但这种方法学生是无法真正理解题意的，一旦题目复杂些时，出错是在所难免的。

其次，部分教师在数形结合教学中只重视教师的教，忽略了学生自觉运用数形结合习惯的培养。有的教师他知道数形结合的重要性，在教学中他也努力去呈现这个过程，学生也理解了。但等到学生自己做题时，却不会做了。归根究底是学生没有自觉运用的意识，忘记了要用这种方法去解题。在小学阶段，数形结合的方法的形成和运用只是刚刚起步，小学生数形结合的意识需要教师有意识地去培养，并帮助学生养成自觉的思维习惯。在教学中，除了教师的示范外，还要引导学生动手摆一摆、画一画，更要让学生明白，遇到难题时，数形结合是一种重要的解题方法。当这种运用意识累积到一定程度时，习惯就自觉形成了。第三，部分教师过度“重形”，阻碍学生思维的发展。与对“形”的忽略相比，还有一种是对形的过度重视。不管是什么样的题目都要求学生必须摆实物、画示意图、线段图。事实上，形只是数的辅助，在新授课时，我们有必要要求学生通过数形结合的方法理解题意，找到解题方法。但随着知识的掌握，学生解题熟练度的增强，有的学生并不需要借助这种外在形式，他已经可以直接在头脑中形成表象。也就是说，这时数形结合是在头脑中完成的。那我们就不要求他一定要把这个图画出来。数形结合就是解决问题的一种手段，我们的最终目的是发展学生的抽象思维。只要学生在遇到难题时有运用数形结合的意识，能运用这种方法解题就可以了。过分强调“形”反而使学生无法摆脱形象思维，阻碍学生思维的发展。

那么在小学数学教学中，哪些地方需要数形结合，如何更好地运用数形结合的方法来为教学服务呢？

一、数形结合帮助学生理解算理。

小学数学内容中，有相当部分的内容是计算问题。算理是计算教学的难点，学生只有真正理解算理，知道为什么要这样做，才能掌握算法。因此，如何让学生更好地理解算理是每个老师在计算教学中要特别考虑的问题。算理是抽象的、难理解的，如何把它简单的呈现出来，数形结合很重要。例如分数乘分数这节课，如何让学生理解用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母呢？教学×时可以让学生用一张纸表示1公顷，先涂出这张纸的，再把这张纸的平均分成5份，涂出其中的一份，这样就是公顷的了。通过引导学生观察，把一张纸平均分成2份，再把每一份再平均分成5份，这样就把一张纸平均分成了（2×5）份，其中的一份就是。教学×时，也同样结合图形进行教学，最后再引导学生归纳出计算法则。这样让学生亲身经历、体验“数形结合”的过程，有了表象的支撑，学生才能更加有效地理解算理。

二、数形结合帮助学生理解抽象的数量关系。

数形结合应贯穿整个小学阶段所有解决问题的教学。从一年级的求比多比少问题、二年级的倍数问题到中高年级的和倍、差倍、相遇、追及、分数、比例问题，包括数学广角里面的植树问题、包容问题、鸡兔同笼问题等等都应充分运用数形结合，把抽象的数量关系，通过示意图、线段图、集合图、列表等方式表示出来。使较复杂的数量关系简单明了，丰富学生的表象，引发联想，启发思维，拓宽思路。通过数形结合，呈现较为具体直观的数学符号，有利于分析题中的数量关系，迅速找到解决问题的方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

案例1：“鸡兔同笼”的内容，在二年级有，五年级也有。如何让只有二年级的孩子们理解“鸡兔同笼”的问题呢？这里运用到的一个基本的学习方法就是让学生们动笔画一画，用一个简单的圆形来代替动物的头，用竖线来表示动物的脚，在画的过程中发现多了或少了可以马上就改。比如：鸡兔同笼，有6个头，20只脚，鸡兔各有多少只？

这样，可以直观的看到有2只鸡，4只兔。大多学生对这类题目的第一个感觉是难，通过“数形结合”的思想化抽象为直观，感觉就是有趣了。

小学低年级学生主要是凭借事物的具体形象来进行直观思维活动的，但小学应用题所明确的数量关系通常需要通过抽象思维来理解，这是在小学应用题教学中存在的突出矛盾，如把应用题中抽象的数量关系用恰当的、形象的图形表示出来，就可较好地解决这一矛盾。

三、数形结合帮助学生理解抽象的几何问题。

数形结合能够帮助小学生建立初步的几何知识体系，发展空间观念。几何直观在教学中有着非常重要的作用。课程标准指出：几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。徐利治说：几何直观是借助于见到的或想到的几何图形的形象关系产生对数量关系的直接感知。特别是小学六年级的立体图形的教学中有些题目的题意比较抽象，部分学生理解有障碍。如果能够运用数形结合的方法加以分析，则可起到化难为易的效果，再难的题目也能迎刃而解。例如：

例:明明做了这样一面小旗，如图，以BC为轴旋转一周形成一个圆柱，红色部分与绿色部分 的体积比是（）。

这样的一道题错误率是70%-80%，为什么错误率会这么高呢？因为大部分的学生只看到：在长方形里，红色部分和绿色部分的面积是相等的，所以认为旋转后的体积也是相等的。如果学生有数形结合的意识，能够把旋转后的图形画一画，就不会出现这种情况了。

通过画图，学生可以看到整个图形旋转后是一个圆柱，其中绿色部分是一个与圆柱等底等高的圆锥，它的体积是整个圆柱的，那么剩下的红色部分的体积应是整个圆柱的,红色部分与绿色部分的体积比应是2:1。

在几何教学中，如果教师能充分利用学生形象思维的特点，用“形”解释、演示，帮助理解抽象的“数”，激发学生的再造性想象，激活学生的解题思路，让学生在潜移默化中悟出画图的方法，感受到数与形结合的优点，养成根据题意画图帮助理解的习惯，从而提高学生数形转化的能力，实现形象思维和抽象思维互补互助，相辅相成，就能为学生长远的学习奠定好的学习方法。

四、数形结合，帮助学生初步感知函数思想。

小学数学中虽然没有学习函数，但已经开始渗透函数思想。例如在学习用数对表示位置时，将“座位”平面图形抽象为比较形象的“直角坐标系”，建立“数对”与平面上“点”之间的一一对应关系。在此过程中，学生初步体验到，有了坐标后，整个平面就结构化了，可以用一对有顺序的数来确定平面上的一个点。有了对直角坐标系的初步认识，学生在学习“正、反比例关系”时，就可以把具有这种关系的两个量在直角坐标系中“表示”出来，实际上就是正比例函数、反比例函数的图象，借助于形象的图象，来深入理解抽象的函数关系，例如，直观感知两个量的相依相存关系，当成正比例关系时，一个量增加另一个量也随着增加，并且是线性增加；当成反比例关系时，一个量增加，另一个量反而减少，根据图象可以直观地看出两个量变化的极限状态，一个量趋于无穷，另一个量趋于零。

数形结合的教学案例 篇5

摘 要：本文从数形结合思想在初中数学教学中的作用入手，通过实际案例简要介绍初中数学中数形结合思想的应用措施，旨在丰富初中数学教学形式，创新数学教学方法，加强初中学生数学能力的培养，进而推动初中素质教育改革的贯彻与落实。

关键词：初中数学 数形结合 教学

初中数学新课标中明确提出，在课堂教学之中，教师需逐步渗透各项数学思想，培养学生数学思维能力，促使学生产生数学知识体系[1]。而数形结合作为数学基础思想之一，一直以来都是数学教学的重要方式，通过引入数形结合方法，有效提升学生的创新能力。

一、数形结合思想在初中数学教学中的作用

其一，数形结合促使学生未来发展。通过培养学生数形结合思想，促使学生理顺代数与几何之间的关系，使学生能够根据数学题目要求找寻解题切入点，锻炼学生的数学思维能力，对学生未来发展起到了积极作用。其二，数形结合激发学生学习兴趣。初中数学内容难度较大，其中对学生空间想象能力、逻辑能力、抽象能力等方面要求较高，而通过深入数形结合思想，降低数学学习难度，激发学生的学习兴趣与主动性，使学生主动参与到数学学习之中，有利于提高初中数学教学水平[2]。

二、初中数学教学中数形结合思想的应用措施

1.初中数学教学中数与代数方面

初中数学知识体系之中，代数是整个知识体系的基础，也是初中学生学习的难点之一，学生只有学好代数知识、掌握代数计算技能，才能应对数学其他方面的知识学习。因此，在初中数学教学之中，教师应创新代数教学方法及模式，向学生逐步渗透数形结合思想，使学生正确认识数形结合在代数学习中的重要性。尤其在函数教学之中，函数知识是数形结合最为显著的代数知识领域，在函数教学中引入数形结合思想，促使学生建立起函数数学公式与其函数图像之间的联系，从而提升学生对函数知识的掌握效果[3]。在实际教学之中，一方面，教师可将函数公式及方程转化成为图像，帮助学生直观观察函数公式及方程在数轴中的情况。另一方面，教师将函数图像转化成为方程及方程组，引导学生运用代数知识解决函数问题。上述方式是“数”与“形”的相互转换，教师应在日常教学中不断渗透这一转换思想，进而使学生具备初步的数形结合能力。

例如，?}目：求解一元二次方程mx2+nx+q=0。

对于刚刚接触一元二次方程的初中生而言，这一题目变量较多，学生难以找到解题切入点。针对这一问题，教师可采用数形结合思想进行例题讲解，引导学生将题目加以变形，引入变量y，在y=0时，该一元二次方程可写作：y=mx2+nx+q，此时，教师可要求学生画出上述一元二次方程的函数图形，该图形中方程函数抛物线与x轴两个交点即为此一元二次方程的解。通过这一方式进行教学，不仅降低了解题难度，同时帮助学生形成函数与图像之间的联系，有助于学生未来函数的学习。

2.初中数学教学中空间与图形方面

空间与图形知识属于数学几何知识体系之中，几何知识对学生空间思维能力要求较高，尤其是一些图形变化及转换知识中，学生往往无法正确理解其变化与转换的目的，从而导致学生几何学习遭遇瓶颈。鉴于此，初中数学教师可利用数形结合方法开展教学，引导学生通过代数理念，将形象化的几何题目更为具体化。在初中数学教学之中，教师需根据几何教学知识实际情况，帮助学生理顺空间与图形方面解题思路，进而培养学生的数学思维能力和抽象思维，使学生产生几何学习兴趣[4]。

例如，题目：三角形ABC三边长分别为6、8、10（如图一所示），求图中阴影部分的面积。

这一题目十分适用于数学结合思想渗透教学，教师首先引导学生认识到阴影部分面积可将图形总面积减去以AB为直径的半圆面积，而图形的总面积则需两个小半圆面积之和与三角形ABC相加获得。这一例题单纯采用数学或几何方式都无法快速求取答案，只有灵活运营数形结合的方式，找到解题切入点，才能顺利求得阴影部分面积。

3.初中数学教学中概率与统计方面

初中数学涉及简单的统计及概率学知识，这部分知识对于逻辑思维能力尚处于发育之中的初中生而言难度偏大，导致部分学生在统计及概率相关课程学习中思想压力较大，严重打击了学生的数学学习自信。针对上述现象，笔者就当前初中所涉及的统计与概率相关知识进行研究，发现其中大部分知识均可通过数形结合方式加以引导，极大降低了统计及概率知识学习难度，促使学生勤于学习、乐于学习，进一步了解统计及概率学知识、掌握统计及概率相关技能[5]。在实际教学之中，教师应根据学生数学基础情况，结合学生的兴趣特点，采用具有针对性的教学模式，在统计及概率教学中逐步渗透数形结合思想，从而培养学生良好的数学思维习惯，使学生能够在解题中融会贯通的应用各种数学知识与方法，帮助学生树立数学学习自信心。

例如，在统计教学之中，其中涉及多项统计相关概念，包括平均数、加权平均数、极差、方差等等。在以往传统教学之中，教师一般根据教材为学生举例说明上述统计概念，但这种方式过于笼统，学生难以真切了解到统计学概念的实际含义。鉴于此，教师可采用数形结合的方式，利用统计学科图形结合的天然特点，通过图形为学生阐述统计相关概念与公式，从而促使学生直观认识统计学相关知识的内涵，对学生未来统计相关学习具有重要意义。

结语

综上所述，数形结合是数学学科众多思想之一，也是数学学习中最为重要的思想，通过数形结合方法开展初中数学教学，能够培养学生数形结合能力，激发学生的学习乐趣。因此，初中数学教师应加强对数形结合思想的理解和学习，从而深入浅出的开展数学教学活动，提升学生的数学素养。

参考文献

数形结合的教学案例 篇6

浅议数形结合思想在初中数学教学中的运用 作者：刘玲

来源：《语数外学习·中旬》2013年第01期

数学作为基础性的应用学科，在长期的实践和探究问题过程，逐步形成了较为全面的解题策略和思想。数形结合思想作为数学学科问题解答的四种最常用的思想方法之一，在实际问题有着广泛的应用。教育学认为，数形结合，就是抓住“数”与“形”的特点，进行有效融合，互为补充，也就是将抽象的数学语言与直观的几何图形进行有效融合，通过“数”与“形”的有效转化进行问题解答的方法策略。我国著名的数学家华罗庚先生曾经用“数与形是两依椅，焉能分作两边飞，数缺形时少直观，形少数时难入微”的经典语言，深刻阐述了数形结合思想的内涵真谛。

一、利用数形结合思想解答函数方程问题

这是一道关于平行四边形的数学问题案例。学生解答“BD与EF互相平分”的过程中，如果直接借助于平行四边形的性质，很难求出“BD与EF互相平分”的结论。因此，在解答中学生需要运用数形结合思想，借助数学问题所给予的条件，再通过对图形的分析，从出采用“构建法”，通过添加“连接DE、BF”的辅助线，然后借助平行四边形性质，采用等量代换的形式，求得AE＝CF，EB＝DF，从而证得四边形DEBF是平行四边形，求得“BD与EF互相平分”这一结论。

三、利用数形结合思想解决不等式问题

“数形结合”在函数教学中的运用 篇7

本人就“函数”教学中如何渗透与运用“数形结合”的方法来促进学生对新知识的理解与掌握, 进而提高并培养学生的解题能力及思维能力浅谈几点感想.

一、以形助数

运用“以形助数”, 揭示“函数”的相关概念内涵, 促进学生理解、掌握新知识.在课堂教学中, 可充分利用平面直角坐标系 (“形”) 的概念, 结合点的坐标 (“数”) 的形成, 循序渐进地启发诱导学生在理解掌握平面直角坐标系的有关概念的基础上, 领悟平面内“点”的“意义”.这将为学生学好下一段函数及其图像的性质打下坚实的基础.

二、由数思形

教师可运用“由数思形”的方法, 构建“函数”章节中有效的知识网络, 培养学生联想问题及迁移知识的能力.

在二次函数y=ax2+bx+c的教学中如何让学生在“形”上理解相关知识, 如“a, b, c”的正负性以及“Δ”符号的几何意义, 还有“y=0, y﹥0或y<0”时x的解等都离不开教学中直角坐标系图形的展示.可见, 由数思形不仅揭示了知识之间的内在联系, 也充分展示了知识之间相互沟通的内在规律性.使学生追根溯源, 形成清晰的思维脉络, 获得迁移知识的途径, 将知识化“深”为“浅”.

三、数形转化

数缺形时少直观, 形缺数时难入微.数形结合, 是解决某些应用问题和综合问题的法宝.教师有效地运用“数形转化”, 可深化发展学生原有的认知水平, 提高学生的思维能力.

例2011年成都中考第28题:如图, 在平面直角坐标系x Oy中, △ABC的A, B两个顶点在x轴上, 顶点C在y轴的负半轴上.已知|OA|∶|OB|=1∶5, |OB|=|OC|, △ABC的面积S△ABC=15, 抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 经过A, B, C三点.

(1) 求此抛物线的函数表达式.

(2) 设E是y轴右侧抛物线上异于点B的一个动点, 过点E作x轴的平行线交抛物线于另一点F, 过点F作FG垂直于x轴于点G, 再过点E作EH垂直于x轴于点H, 得到矩形EFGH.则在点E的运动过程中, 当矩形EFGH为正方形时, 求出该正方形的边长.

(3) 在抛物线上是否存在异于B, C的点M, 使△MBC中BC边上的高为?若存在, 求出点M的坐标;若不存在, 请说明理由.

解 (1) ∵|OA|∶|OB|=1∶5, |OB|=|OC|, 设OA=m, 则OB=OC=5m, AB=6m.

设抛物线解析式为y=a (x+1) (x-5) , 将C点坐标代入, 得a=1, ∴抛物线解析式为y= (x+1) (x-5) , 即y=x2-4x-5.

(2) 设E点坐标为 (m, m2-4m-5) , 抛物线对称轴为x=2, 点F与点E关于对称轴对称, 由EF=EH, 得2 (m-2) =- (m2-4m-5) 或2 (m-2) =m2-4m-5, 解得m=1±槡10或m=3±槡10.

∴边长EF=2 (m-2) =2槡10-2或2槡10+2.

(3) 假设存在点M, 使△MBC中BC边上的高为7槡2,

∴M点应在与直线BC平行, 且相距7槡2的两条平行直线l1和l2上.

如图, 设l1与y轴交于P点, 过P作PQ与直线BC垂直, 垂足为点Q,

∴由勾股定理, 得

∴直线l1与y轴的交点坐标为P (0, 9) .

同理设l2与y轴交于R点, 过C作CS与直线l2垂直, 垂足为点S, 在等腰Rt△CSR中, |CR|=14, 可求得:l2与y轴交点坐标为R (0, -19) , 易知直线BC的函数表达式y=x-5.

∴直线l1和l2的函数表达式分别为l1:y=x+9, l2:y=x-19.

根据题意, 列出方程组:

由 (2) 得x2-5x+14=0.

“数形结合”在计算教学中的运用 篇8

一、案例

师：同学们，一起来看这幅点子图，个位上的“2”乘24得48，表示点子图中的哪部分？

生：2行的点子数。

师：十位上的“1”乘24得240，240表示点子图中的哪部分？

生：10行的点子数。

师：最后把48和240合起来，是288，也就是12行的点子数。

学生同桌之间互说算理

师：列竖式时，如何写呢？先用个位上的2去乘第一个乘数个位上的4，二四得八，再去乘十位上的2，二二得四。48也就是刚才点子图中的哪一部分？

生：2行的点子数。

师：再用十位上的“1”去乘第一个乘数个位上的4，一四得四，这个4写在哪里？为什么？

生：写在十位，因为它是用十位上的数去乘而得到的。

师：“1”再去乘十位上的2，一二得二。在百位上写2。240是点子图中的哪一部分？

生：10行的点子数。

师：最后把这两个积合起来，得288。

师：仔细观察点子图，回忆一下，这跟我们刚才哪种口算方法是一样的？

生：分成10行和2行。

小结：像这样的两位数乘两位数，我们一般都会把其中一个乘数分成几十和几的方法进行计算。

二、反思

1.数形结合，帮助学生理解算理

计算教学中，利用数形结合的方法，学生表象清晰，记忆深刻，对算理的理解也很透彻，既知其然又知其所以然。

由于学生第一次接触两位数乘两位数的笔算方法，对于其中的算理不是很明确。此时，引导学生借助点子图，用PPT演示笔算过程。整个笔算过程主要分三步完成，第一步用个位去乘第一个乘数，所得的积是48，通过追问：48表示哪些点子？引导学生很好地把算式和点子图联系起来，顺利地找到相应的点子图部分。第二步用十位去乘第一个乘数，所得的积是240。由于之前的经验，学生很自然地想起点子图，并找到相应的点子图部分。第三步把两部分积合起来得到288，也是就是整个点子图。有了形象、直观的点子图帮助学生梳理其中的算理，学生们学得轻松、扎实。最后通过同桌之间互相说说，进一步巩固算理。

2.数形结合，协助学生掌握算法

数学知识比较抽象，尤其是计算教学。通过梳理算理的过程，学生对于算法的掌握还是比较零散的，此时教师有必要给学生进行一次完整的算法示范。

探索笔算方法时，学生对于笔算过程如何书写感觉有点无从下手，而算法的形成不能依赖形式上的模仿，而要依靠算理的透彻理解。此环节，教师借助一个小小的教具，通过遮住第二个乘数的十位，勾起学生对于旧知的回忆，同时把新知识转化成旧知识进行教学。得到积是48后，追问：也就是点子图上哪一部分？当教具把第二个乘数的个位遮住时，学生基本上也能把接下来的计算过程写出来。通过这样的教学，使学生明白笔算两位数乘两位数时，需要分两步进行乘，很好地解决了本课的难点。对于其中十位上的数乘第一个乘数所得的积定位的问题，在此也会迎刃而解。

3.数形结合，辅助学生形成技能

所谓计算技能，就是指数学上的归纳和转化的能力，即把抽象的、复杂的数学表达式或数字通过数学方法转换为我们可以理解的数学式子的能力。

在探索完笔算方法后，让学生看着算式回忆算理，使学生在不知不觉中明白自主探索计算方法背后的道理。再结合点子图回顾之前的口算方法，沟通口算方法和笔算方法的联系，内化知识建构。

总之，点子图将“冰冷”的算法和“神秘”的算理深层次融合，让学生清楚感受到“法中见理，理中得法”。从而形成一定的计算技能。

数形结合的教学案例 篇9

教学反思

在本节课中，教学内容是给学生讲述在数学学习中数形结合的思想。数形结合是一种非常重要的数学思想，把数与形结合起来解决问题，可使复杂的问题简单化，使抽象的问题变得更加直观。

由于小学生的抽象思维程度不够高，经常需要借助一些直观的模型帮助理解。

这节课虽然属于拓展课，但是目的是希望学生初步探究数形结合的数学思想，并运用到以后的数学学习中。

我是在六年级1、2班进行授课。对于两个半，我采取了不相同的课题引入方法。1班我采取了问题引入的方法，先出示一个由两部分组成的长方形，求它的总面积，此班学生在解题的时候发现，会有两种的解决问题的方法，但是算到的面积都是相同的，两个等式相等，其实就是乘法分配律在图形中的表示。而在2班的讲授中，我采取的是回顾旧知的引入方法。从学期初刚开始的分数乘法的学习时，是运用分割一个长方形去理解分数乘分数的意义。虽然两个班的`课堂导入方法都不相同，但是都是为了让学生由浅入深，去理解，数形结合在数学中的运用，也让他们知道，数形结合的必要性，由此导入本节课的内容。 在上完之后，对于这节课，我有以下的反思。

第一，在讲授例1时，过于快地展示三个正方形，没有依次呈现，没能够让学生充分发现，三个图形之间的规律，分别是“1”、“1+3”、“1+3+5”的增长规律。除此之外，在用平方数表示的时候，没能很好地引导学生，用平方去表示小正方形的个数，而是老师直接给学生平方数，没能很好地认识学生的认知水平，其实对于六年级的学生来说，是能够很好地运用平方数去表示个数的。

第二，对于例二的讲授，我是运用自己制作的面积为“1”的正方形去帮助学生理解，我认为这是做的比较满意的地方，学生对这题的理解也比较充分，都能理解这个算式的意义和结果。但是我认为不足的地方是讲完例2的时候，书本上并没有相关的例题给学生，我自己也没能够上网找到相关的练习。使得学生对于画图解决抽象问题的思维不能得到充足的锻炼。

数形结合的教学案例 篇10

小学数学教学论文-例谈“数形结合”在数学教学中的应用人教版新课标 数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学，数学中的数和形关系非常密切。在小学数学教学中运用数形结合，符合儿童的认知规律。笔者在教学中深深地体会到在数学教学中用“数形结合”的思想引导学生思考，用“数形结合”的技巧去训练学生解题，能够促进学生学习数学的兴趣，提高学生的思维能力。

一、应用“数形结合”，激发学生的学习兴趣

学生对学习的需要和兴趣是调动学生积极学习的动力。数形结合，创设与知识信息相关的各种情景，可激活学生学习的内驱力，产生学习热情。例如：在教学“比例尺”时，老师先出示一张我们国家的地图，指出我国面积约有960万平方千米，从东到西最长的距离有5500千米，还有辽阔的海域，是世界上的大国。正当学生为祖国疆域的广大而感到自豪时，老师话锋一转：“这么广大的疆域怎样才能画在一张纸上呢?”学生强烈的好奇心和求知欲被调动起来，教学过程在轻松愉快的气氛中自然而然地继续。

二、应用“数形结合”，提高学生的能力

科研表明，大脑的两半球具有不同的功能。“数形结合”就同时运用了左、右半脑的功能，在培养形象思维能力的同时，也促进了逻辑思维能力的发展。

l.“数形结合”有助于对数学知识的理解记忆

教学中运用形象记忆的特点，使抽象的数学尽可能地形象化，有利于学生在脑海中形成数学的模型，有利于学生对数学知识的理解和记忆。例如在异分母分数加减法的教学中，利用直观图使学生从中领会异分母分数加减法的2.应用“数形结合”，训练学生直觉思维能力

在数学里，存在着大量的直觉思维。这就是人们在求解数学问题时，运用已有的知识，从整体上对数学对象及其结构迅速识别、判断，进而作出大胆的猜想，合理的假设，并作出试探性的结论。它具有顿悟、飞跃的特征。例如：计算图中阴影部分的面积（单位：厘米）。

直觉告诉学生面积一定与4厘米和6厘米有关，很有可能就是24平方厘米。根据长方形对角线的性质，可以看出图中阴影部分的面积与新构的长方形面积是相等的，所以阴影部分的面积是24平方厘米。

3.应用“数形结合”，培养学生的发散性思维能力

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在教学中要常借助于“一题多解”、“一题多变”的形式来引发学生提出新的思想、新的方法、新的问题，提高解决问题的应变能力。

例：大球、小球共100个，取出大球的75%，取出小球的一半，还剩30个球，大球、小球各有几个? 一般的学生用方程或假设法来做。大正方形ABCD的面积表示大、小球的总个数，小正方形EFGH的面积表示小球的个数，于是，大、小正方形的面积差则表示大球的个数。用阴影部分的面积表示取出的个数，很显然如果都取75％，应剩下25个，30-25＝5（个）是小球的“75％-50％”，则小球的个数是5÷（75％-50％）＝20（个），大球的个数是100-20＝80（个）。

4.应用“数形结合”，培养学生的创造性思维能力

在数学教学中，教师可通过编选一些探索性的题目，让学生去研究，去探讨，去发现，让他们不是从头脑中已有的思维形式和思维方法中去找答案，而是从问题的本身进行具体的分析，将已有的思维方式大跨度地迁移，从可供选择的途径中筛选出解决问题的方法。例：一个筑路队原计划20天修完一条公路。实际每天比原计划多修45米，提前5天完成任务。原计划每天修路多少米? 这道题的数量关系比较隐蔽，可以借助长方形来帮助分析、理清思路。AB表示原计划修路的天数，AD表示原计划每天修路的米数，AE表示实际修路的天数，EB就是实际比原计划提前完成的天数，AG表示实际每天修路的米数，DG就是实际每天比原计划多修的米数，因为修路的总米数不变，所以“原计划每天修路的米数×原计划修路的天数=实际每天修路的米数×实际修路的天数”，即长方形ABCD的面积等于AEFG的面积，由此可推出长方形EBCH的面积等于长方形DHFG的面积，即BC×EB=DH×DG，也就是AD×EB=AE×DG，AD=AE×DG÷EB，因此，原计划每天修路的米数是：（20-5）×45÷5=135（米）。

数形结合的教学案例 篇11

一、以形思数，在直观中理解“数”

1.以形思数，把握概念本质

教学中运用图形创设一些问题情境，通过对图形中的情境分析，抽象出数学概念的内涵和外延，能帮助学生理解数学概念。

如在教学“分数的认识”时，运用图形创设了如下的问题情境：表示出下图中的■。

■

思考：（1）表示过程中有什么相同点？有什么不同点？

（2）为什么都是■，但表示出的每份的个数不一样？

（3）你能对这组图进行分类吗？（想以什么为标准？）

借助这些情境问题的分析、解决，学生直观、形象地理解了“部分相同、整体相同，如果分法不一样，表示的分数就不一样”这一有关分数的概念特质。

2.以形思数，理解运算性质

教学中，对于一些运算性质的教学，也可以利用图形让学生观察、分析，并组织学生结合操作来形象地理解相关性质。

如教学“积的变化规律”时，不少教师往往是先通过呈现一组组乘法算式，让学生观察、比较因数和积的变化关系，然后发现积的变化规律。实际上在教学这部分内容时，可利用长方形的模型，直观地引导学生探究出积的变化规律。教学片段如下：

呈现宽12米，长20米的长方形。

■

让学生观察思考，当长不变，宽扩大或缩小3倍时，面积是怎么变化的。

■

（12×3）×12 （12÷3）×20

通过计算长方形的面积，比较长方形的面积变化，学生很直观地看到当长不变，宽扩大3倍或缩小3倍时，它的面积也扩大3倍或缩小3倍。这里利用数形结合，让学生很直观地理解了积的变化规律。

3.以形思数，弄清数量关系

苏教版教材中的“解决问题”这一板块的内容，题目通常比较抽象复杂，有些学生较难理解其中的数量关系，从而造成解决问题的困难。要让学生清晰地发现题目中的数量关系，可以通过引导学生画线段图，或采用数形结合的方法，因为数形结合是解决问题方法的一种有效手段。

例题：“有一个长方形花圃长20米，宽16米，因修路需要将长缩短4米，如果面积不变，宽应增加几米？”

学生给出了两种方法。

方法一：[20×16-（20-4）×16]÷（20-4）=4（米）。

方法二：4×16÷（20-4）=4（米）。

在解决问题时多数学生采用第一种解法，而对第二种方法不少学生理解上有困难。

事实上可根据题意作图如下：

■

学生通过图明白了减少的面积直接除以现在的长等于增加的宽。通过数形结合，让解题数量关系以及思路更加清晰了，数形结合的方法在这里起到了化繁为简、化难为易，拓宽解题思路，优化解题方法等目的。

二、以数想形，在转换中建立“形”

1.以数想形，理解公式的内涵

数学教材中有很多的计算公式，对于这些计算公式的教学，如果省去对它的推导过程，而选择让学生死记硬背，只会令学生知其然，而不知其所以然。鉴于此，教学时要让学生经历知识形成的过程，教师可以通过让学生表达各种算式的含义，以达到深刻理解公式的内涵。

如在教学三角形面积计算公式时，在课前，部分学生已经通过自学等形式初步知道三角形的面积计算公式。根据这种情况，教学时，我首先出示下面这个图形，请学生计算这个三角形的面积。

有极少数学生列出了不一样的式子，他们用图分别表示出了各自的解法。

生1：我是把一个直角三角形剪开，拼成一个长方形，长方形的长就是三角形的底，高就是三角形高的一半.因为长方形的面积=长×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。

■

生2：生1的方法只能推导出直角三角形的面积计算公式，锐角三角形、钝角三角形呢？我把任意一个三角形剪开，拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是三角形的底，高就是三角形高的一半。因为平行四边形的面积=底×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。

■

生3：我是用折的方法推导的，折法和学习三角形内角和时一样。所以，三角形的面积=（底÷2）×（高÷2）×2。

■

最后，教师引导学生经过讨论、比较、分析，发现三角形的面积计算公式还是“底×高÷2”。这里将图形问题转化为代数问题，突出图像的形象思维，帮助学生获得了准确的结论，使学生的思维能力、情感态度等都得到了发展，还有效地培养了学生“数中有形、形中有数”的意识。

2.以数想形，明晰图形的性质

通过以数想形，还可以有效帮助学生理解图形的性质。

如，在教学“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一性质时，呈现“3×4”这个算式，让学生根据这个算式在两条平行线之间画三角形，结果学生画出了如下图形：

■

通过观察上图，学生发现了“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一图形性质。再让学生画出底为6厘米、高为2厘米的三角形，引导学生通过观察、比较，学生又能发现：“面积相等，图形的形状不一定相同”这一图形的性质。

3.以数想形，培养空间想象能力

小学生的认知规律，一般来说是“直观感知——图式表象——抽取数学知识”的过程。这里不难看出，图式表象是直观感知和抽取数学知识的桥梁，充分发挥图式表象的中介作用，有利于培养学生多角度灵活思考、大胆想象的能力。

如，看到了“4×5”你能想到哪些图形？学生想到的可能是一个长为5厘米、宽为4厘米的长方形；还可能想到是一个边长为5厘米的正方形的周长；还可能想到是一个底为4厘米，高为5厘米的平行四边形。再如，看到了“4、4、1”，“4、4、3”，“4、4、4”，“4、4、5”，“4、4、6”，你想到的是怎样的三角形？这种穿梭于图形与数字之间的学习，是一种自由游弋的学习，这种学习能实现学生对数学内容的深刻理解，同时也能有效地培养学生的空间想象能力。

教学实践表明，根据小学生思维的年龄特征，利用数形结合，能够让学生把要学的知识和方法创造出来。在这过程中需要强调的是，“以形思数”和“以数想形”这两点不是彼此独立的，而是互相联系的。教学中，教师应注意将这两种思维有机结合，扬长避短，相互补充，从而有效地提高学生学习效率和数学能力。

（责编 金 铃）endprint

数形结合思想包含两点内容。一是以形思数，在直观中理解“数”。可以根据“数”引导学生通过想象，建立清晰的图式表象，充分发挥图式表象的中介作用，以使学生顺利获得有关“数”的知识；二是以数想形，在转换中建立“形”。可以通过引导学生去让“形”与“数”之间建立起一种关系，从而沟通学生的形象思维和抽象思维，进而使问题得以解决。下面就“数形结合”思想在小学数学中如何渗透谈点实践与体会。

一、以形思数，在直观中理解“数”

1.以形思数，把握概念本质

教学中运用图形创设一些问题情境，通过对图形中的情境分析，抽象出数学概念的内涵和外延，能帮助学生理解数学概念。

如在教学“分数的认识”时，运用图形创设了如下的问题情境：表示出下图中的■。

■

思考：（1）表示过程中有什么相同点？有什么不同点？

（2）为什么都是■，但表示出的每份的个数不一样？

（3）你能对这组图进行分类吗？（想以什么为标准？）

借助这些情境问题的分析、解决，学生直观、形象地理解了“部分相同、整体相同，如果分法不一样，表示的分数就不一样”这一有关分数的概念特质。

2.以形思数，理解运算性质

教学中，对于一些运算性质的教学，也可以利用图形让学生观察、分析，并组织学生结合操作来形象地理解相关性质。

如教学“积的变化规律”时，不少教师往往是先通过呈现一组组乘法算式，让学生观察、比较因数和积的变化关系，然后发现积的变化规律。实际上在教学这部分内容时，可利用长方形的模型，直观地引导学生探究出积的变化规律。教学片段如下：

呈现宽12米，长20米的长方形。

■

让学生观察思考，当长不变，宽扩大或缩小3倍时，面积是怎么变化的。

■

（12×3）×12 （12÷3）×20

通过计算长方形的面积，比较长方形的面积变化，学生很直观地看到当长不变，宽扩大3倍或缩小3倍时，它的面积也扩大3倍或缩小3倍。这里利用数形结合，让学生很直观地理解了积的变化规律。

3.以形思数，弄清数量关系

苏教版教材中的“解决问题”这一板块的内容，题目通常比较抽象复杂，有些学生较难理解其中的数量关系，从而造成解决问题的困难。要让学生清晰地发现题目中的数量关系，可以通过引导学生画线段图，或采用数形结合的方法，因为数形结合是解决问题方法的一种有效手段。

例题：“有一个长方形花圃长20米，宽16米，因修路需要将长缩短4米，如果面积不变，宽应增加几米？”

学生给出了两种方法。

方法一：[20×16-（20-4）×16]÷（20-4）=4（米）。

方法二：4×16÷（20-4）=4（米）。

在解决问题时多数学生采用第一种解法，而对第二种方法不少学生理解上有困难。

事实上可根据题意作图如下：

■

学生通过图明白了减少的面积直接除以现在的长等于增加的宽。通过数形结合，让解题数量关系以及思路更加清晰了，数形结合的方法在这里起到了化繁为简、化难为易，拓宽解题思路，优化解题方法等目的。

二、以数想形，在转换中建立“形”

1.以数想形，理解公式的内涵

数学教材中有很多的计算公式，对于这些计算公式的教学，如果省去对它的推导过程，而选择让学生死记硬背，只会令学生知其然，而不知其所以然。鉴于此，教学时要让学生经历知识形成的过程，教师可以通过让学生表达各种算式的含义，以达到深刻理解公式的内涵。

如在教学三角形面积计算公式时，在课前，部分学生已经通过自学等形式初步知道三角形的面积计算公式。根据这种情况，教学时，我首先出示下面这个图形，请学生计算这个三角形的面积。

有极少数学生列出了不一样的式子，他们用图分别表示出了各自的解法。

生1：我是把一个直角三角形剪开，拼成一个长方形，长方形的长就是三角形的底，高就是三角形高的一半.因为长方形的面积=长×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。

■

生2：生1的方法只能推导出直角三角形的面积计算公式，锐角三角形、钝角三角形呢？我把任意一个三角形剪开，拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是三角形的底，高就是三角形高的一半。因为平行四边形的面积=底×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。

■

生3：我是用折的方法推导的，折法和学习三角形内角和时一样。所以，三角形的面积=（底÷2）×（高÷2）×2。

■

最后，教师引导学生经过讨论、比较、分析，发现三角形的面积计算公式还是“底×高÷2”。这里将图形问题转化为代数问题，突出图像的形象思维，帮助学生获得了准确的结论，使学生的思维能力、情感态度等都得到了发展，还有效地培养了学生“数中有形、形中有数”的意识。

2.以数想形，明晰图形的性质

通过以数想形，还可以有效帮助学生理解图形的性质。

如，在教学“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一性质时，呈现“3×4”这个算式，让学生根据这个算式在两条平行线之间画三角形，结果学生画出了如下图形：

■

通过观察上图，学生发现了“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一图形性质。再让学生画出底为6厘米、高为2厘米的三角形，引导学生通过观察、比较，学生又能发现：“面积相等，图形的形状不一定相同”这一图形的性质。

3.以数想形，培养空间想象能力

小学生的认知规律，一般来说是“直观感知——图式表象——抽取数学知识”的过程。这里不难看出，图式表象是直观感知和抽取数学知识的桥梁，充分发挥图式表象的中介作用，有利于培养学生多角度灵活思考、大胆想象的能力。

如，看到了“4×5”你能想到哪些图形？学生想到的可能是一个长为5厘米、宽为4厘米的长方形；还可能想到是一个边长为5厘米的正方形的周长；还可能想到是一个底为4厘米，高为5厘米的平行四边形。再如，看到了“4、4、1”，“4、4、3”，“4、4、4”，“4、4、5”，“4、4、6”，你想到的是怎样的三角形？这种穿梭于图形与数字之间的学习，是一种自由游弋的学习，这种学习能实现学生对数学内容的深刻理解，同时也能有效地培养学生的空间想象能力。

教学实践表明，根据小学生思维的年龄特征，利用数形结合，能够让学生把要学的知识和方法创造出来。在这过程中需要强调的是，“以形思数”和“以数想形”这两点不是彼此独立的，而是互相联系的。教学中，教师应注意将这两种思维有机结合，扬长避短，相互补充，从而有效地提高学生学习效率和数学能力。

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数形结合思想包含两点内容。一是以形思数，在直观中理解“数”。可以根据“数”引导学生通过想象，建立清晰的图式表象，充分发挥图式表象的中介作用，以使学生顺利获得有关“数”的知识；二是以数想形，在转换中建立“形”。可以通过引导学生去让“形”与“数”之间建立起一种关系，从而沟通学生的形象思维和抽象思维，进而使问题得以解决。下面就“数形结合”思想在小学数学中如何渗透谈点实践与体会。

一、以形思数，在直观中理解“数”

1.以形思数，把握概念本质

教学中运用图形创设一些问题情境，通过对图形中的情境分析，抽象出数学概念的内涵和外延，能帮助学生理解数学概念。

如在教学“分数的认识”时，运用图形创设了如下的问题情境：表示出下图中的■。

■

思考：（1）表示过程中有什么相同点？有什么不同点？

（2）为什么都是■，但表示出的每份的个数不一样？

（3）你能对这组图进行分类吗？（想以什么为标准？）

借助这些情境问题的分析、解决，学生直观、形象地理解了“部分相同、整体相同，如果分法不一样，表示的分数就不一样”这一有关分数的概念特质。

2.以形思数，理解运算性质

教学中，对于一些运算性质的教学，也可以利用图形让学生观察、分析，并组织学生结合操作来形象地理解相关性质。

如教学“积的变化规律”时，不少教师往往是先通过呈现一组组乘法算式，让学生观察、比较因数和积的变化关系，然后发现积的变化规律。实际上在教学这部分内容时，可利用长方形的模型，直观地引导学生探究出积的变化规律。教学片段如下：

呈现宽12米，长20米的长方形。

■

让学生观察思考，当长不变，宽扩大或缩小3倍时，面积是怎么变化的。

■

（12×3）×12 （12÷3）×20

通过计算长方形的面积，比较长方形的面积变化，学生很直观地看到当长不变，宽扩大3倍或缩小3倍时，它的面积也扩大3倍或缩小3倍。这里利用数形结合，让学生很直观地理解了积的变化规律。

3.以形思数，弄清数量关系

苏教版教材中的“解决问题”这一板块的内容，题目通常比较抽象复杂，有些学生较难理解其中的数量关系，从而造成解决问题的困难。要让学生清晰地发现题目中的数量关系，可以通过引导学生画线段图，或采用数形结合的方法，因为数形结合是解决问题方法的一种有效手段。

例题：“有一个长方形花圃长20米，宽16米，因修路需要将长缩短4米，如果面积不变，宽应增加几米？”

学生给出了两种方法。

方法一：[20×16-（20-4）×16]÷（20-4）=4（米）。

方法二：4×16÷（20-4）=4（米）。

在解决问题时多数学生采用第一种解法，而对第二种方法不少学生理解上有困难。

事实上可根据题意作图如下：

■

学生通过图明白了减少的面积直接除以现在的长等于增加的宽。通过数形结合，让解题数量关系以及思路更加清晰了，数形结合的方法在这里起到了化繁为简、化难为易，拓宽解题思路，优化解题方法等目的。

二、以数想形，在转换中建立“形”

1.以数想形，理解公式的内涵

数学教材中有很多的计算公式，对于这些计算公式的教学，如果省去对它的推导过程，而选择让学生死记硬背，只会令学生知其然，而不知其所以然。鉴于此，教学时要让学生经历知识形成的过程，教师可以通过让学生表达各种算式的含义，以达到深刻理解公式的内涵。

如在教学三角形面积计算公式时，在课前，部分学生已经通过自学等形式初步知道三角形的面积计算公式。根据这种情况，教学时，我首先出示下面这个图形，请学生计算这个三角形的面积。

有极少数学生列出了不一样的式子，他们用图分别表示出了各自的解法。

生1：我是把一个直角三角形剪开，拼成一个长方形，长方形的长就是三角形的底，高就是三角形高的一半.因为长方形的面积=长×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。

■

生2：生1的方法只能推导出直角三角形的面积计算公式，锐角三角形、钝角三角形呢？我把任意一个三角形剪开，拼成一个平行四边形，平行四边形的底就是三角形的底，高就是三角形高的一半。因为平行四边形的面积=底×宽，所以三角形的面积=底×（高÷2）。

■

生3：我是用折的方法推导的，折法和学习三角形内角和时一样。所以，三角形的面积=（底÷2）×（高÷2）×2。

■

最后，教师引导学生经过讨论、比较、分析，发现三角形的面积计算公式还是“底×高÷2”。这里将图形问题转化为代数问题，突出图像的形象思维，帮助学生获得了准确的结论，使学生的思维能力、情感态度等都得到了发展，还有效地培养了学生“数中有形、形中有数”的意识。

2.以数想形，明晰图形的性质

通过以数想形，还可以有效帮助学生理解图形的性质。

如，在教学“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一性质时，呈现“3×4”这个算式，让学生根据这个算式在两条平行线之间画三角形，结果学生画出了如下图形：

■

通过观察上图，学生发现了“不同形状的三角形只要等底等高，它的面积就相等”这一图形性质。再让学生画出底为6厘米、高为2厘米的三角形，引导学生通过观察、比较，学生又能发现：“面积相等，图形的形状不一定相同”这一图形的性质。

3.以数想形，培养空间想象能力

小学生的认知规律，一般来说是“直观感知——图式表象——抽取数学知识”的过程。这里不难看出，图式表象是直观感知和抽取数学知识的桥梁，充分发挥图式表象的中介作用，有利于培养学生多角度灵活思考、大胆想象的能力。

如，看到了“4×5”你能想到哪些图形？学生想到的可能是一个长为5厘米、宽为4厘米的长方形；还可能想到是一个边长为5厘米的正方形的周长；还可能想到是一个底为4厘米，高为5厘米的平行四边形。再如，看到了“4、4、1”，“4、4、3”，“4、4、4”，“4、4、5”，“4、4、6”，你想到的是怎样的三角形？这种穿梭于图形与数字之间的学习，是一种自由游弋的学习，这种学习能实现学生对数学内容的深刻理解，同时也能有效地培养学生的空间想象能力。

教学实践表明，根据小学生思维的年龄特征，利用数形结合，能够让学生把要学的知识和方法创造出来。在这过程中需要强调的是，“以形思数”和“以数想形”这两点不是彼此独立的，而是互相联系的。教学中，教师应注意将这两种思维有机结合，扬长避短，相互补充，从而有效地提高学生学习效率和数学能力。