数形结合的应用（精选12篇）
数形结合的应用 篇1
数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好, 隔裂分家万事休.”“数缺形时少直观, 形缺数时难入微”.数与形, 是数学学科的表达工具和重要载体, 有着本质上的联系.数形结合可以借助图形的直观表达力来解决抽象的数学问题, 使寻求答案的过程更为简洁和清楚, 因此教师在日常教学中一定要让学生理解和掌握数形结合的妙用, 快速解决问题.以期达到教学目标, 即“以形助教”.数形结合方法是一种数学思想方法, 是根据数学问题的结论和条件之间的联系, 既揭示几何直观, 又分析代数意义, 使数量关系与直观形象和谐、巧妙地结合在一起.且利用这种结合, 找到解题思路, 化繁为简, 化难为易.下面以高中数学中的典型知识为例浅析数形结合的应用.
一、在集合问题中的应用
集合问题是高中数学的基础知识, 体现了与初中数学不同的理念, 且集合问题在外在表达式上和内在关系上都有图形意味的体现.在解决集合问题的时候, 使用数形结合, 本质上就是要把抽象的数学问题转化为直观的、形象的图形问题, 使学生能认识到集合间的包含、交叉等关系.在实际解题中, 常用的图形表达法有:数轴和韦恩图.数轴常用于处理带有模糊意义的集合问题, 例如两个或两个以上集合包含关系的判定, 会有相关的不等式运算, 可将两个或两个以上的集合关系以数轴表示, 以相应点作为代数式的标注, 这样更容易反映出每个代数式的运算关系, 可以列出不等式组来;韦恩图常用于处理比较具体化的集合问题.
例如:利用几何图形的性质解题, 已知三角形的三个顶点分别为A (2, 0) , B (-2, 0) , C (-2, 4) , 求过B点且与直线AC垂直的直线方程.
解:△ABC为等腰直角三角形, AC中点交y轴于点D, D的坐标为 (0, 2) .所以过点D与直线AC垂直的直线方程为:y=x+4
二、在不等式问题中的应用
高中数学引入了坐标系, 拓展了抽象的数学问题在图形表达上的空间, 并以函数图象为基础把数形结合推向更适用的领域, 可以用来解决不等式、方程和基本函数问题.数形结合解决不等式和方程问题, 最基本的方法是把不等式或方程两端的式子当成函数来绘制函数图象, 之后通过坐标轴与图象、以及图象间的交叉等, 来直观地解决数学问题.数形结合法在解决方程组问题中能起到重要的作用, 可以将复杂的代数运算转化成为直观的纯图形观察分析, 答案变得清楚明了.数形结合方法, 在复杂函数的模糊关系判定问题上尤为适用, 如对数函数、三角函数等等, 如解:方程sin2x=log5x, 为判断这个方程解的个数, 可以在同一坐标系画y=sin2x和y=log5x的图象, 看图象有几个交点, 就能判断它的解有几个.当然, 需要精确判断时, 这种方法不太适用, 特别是两个方程图象极为相似时不宜使用.总之, 较为复杂的不等式关系和函数方程运用数形结合法解决时, 要求学生熟悉函数图象, 否则会出现误导以致答案出错.
三、在函数问题中的应用
在高中数学中, 函数问题是重要的考察部分.涉及函数的题目, 更离不开数形结合法:因为任何函数都有与它对应的图象, 所以通过画图能够解决初中数学中代数无法解决的问题.一般说来, 函数极值问题可以借助基本不等式、数学公式等来解决;而复杂一些的函数极值问题, 就需要转化, 以图形语言展示, 数形结合法可以简化解题步骤, 尽可能避免纯数理的复杂计算, 从直观的图形关系得出答案.极值问题是重要的知识点, 在历年高考中占有一定的比重, 因此在处理此类问题时, 要引导学生进行数形转化, 化繁为简, 省去大量复杂的数学运算, 也可以节省时间.如, x2+y2+2x=0, 那么 (x-1) 2+ (y+1) 2的最小值是多少?解题时, 若以传统方法求解, 须确定xy的关系或取值范围.学生在进行这种运算时, 经常顾此失彼, 得出的答案常常扩大化, 如果利用数形结合的方法, 可将极值问题转化成图象关系问题, 这样通过简单的代数运算就能得出答案了.
对于代数与几何问题, 图象法能使有序实数组集与平面或空间一一对应, 它可将几何问题转化为代数问题, 是几何与代数问题相互转化的桥梁.数形结合还适用于复数、三角函数问题的求解.在复杂的立体几何和解析几何中, 数形结合法的应用更为普遍, 教师在教学中, 应帮助和引导学生由形思数, 由数思形, 举一反三, 使两者相互结合或转化, 从而快速解答数学问题.
参考文献
[1]李红梅.例谈数形结合在高中数学中的应用[J].新课程研究, 2010.
[2]申光娅.高中数学教学中数形结合的应用[J].数学教研, 2010.
[3]陈海燕.对立统一、相辅相成——数形结合浅谈[J].科学教育, 2010.
数形结合的应用 篇2
《数形结合在解题中的应用》电子教案
教材分析： 数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，在解题过程中应用十分广泛，它把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思索，通过“以形助数”或“以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。这样不仅直观易于寻找解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，可起到事半功倍的效果，在选择、填空中更显优越。 学情分析： 学生学习了两年，对数形结合的思想已经有了一定的认识和了解，在此基础上设置这一专题有利于学生更深刻把握这一思想方法，使它与学生的学习融为一体，受用一生。 教学目标： 1、知识与技能：通过本节数学方法的`学习，巩固所学函数、曲线的图象。 2、过程与方法：通过学生的观察、分析能将较难解决的数学问题转化成图象问题;进一步变式、探究培养学生的发散思维，“寻找规律”提高学生的归纳能力。 3、情感态度与价值观：通过“数”与“形”的联系，体会数与形的统一美，激发学生的学习兴趣，培养勇于探索的精神。 教学重难点： 教学重点：用数形结合思想解题，使学生能见“数”想“形”、以“形”助“数”、用“数”解“形”。 教学难点: 代数式与几何意义的转化。 教学策略选择与设计： 本节采用讲授法、讨论法和合作探究等方式组织教学。体现课改理念，重视知识的产生过程，充分发挥学生的主体地位和教师的主导作用。采用多媒体技术的演示功能，强化理解，突破重点、难，引导学生抓特点、有条理、层层递进地完成本节任务。 教学环境资源准备： 教学环境：多媒体教室 资源准备：交互式电子白板、数字幻灯机、自制教学课件、参考网址等等。 教学过程设计： 复习提问： 简述数形结合思想的形成过程与原理： 即：将一对有序实数与坐标平面上的点建立一一对应关系; 将方程与坐标平面上的曲线建立一一对应关系。 教学过程： 应用1、构建函数模型并结合其图形解不等式和研究量与量之间的大小关系。 [高考在线] 1.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2并且m,n是方程f(x)=0的两个实数根，则实数a,b,m,n的大小关系可能是：( ) A. m/**/
数形结合在解题中的应用 篇3
关键词：数形结合；函数图象；向量；复数；圆
著名数学家华罗庚常把数学引入诗，阐述哲理。他曾经这样写道：数形本是相倚依，怎能分作两边飞。数缺形时少直觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万岁休。几何代数统一体，永远联系莫分离。此诗把数学的具体形象——数形结合的思维方式作为载体，用节奏鲜明、生动有趣的语言，把学习数学的方法进行了辨证的阐述，体现了数形结合思想方法的重要性。以下我通过分析解决问题来体现数形结合思想的重要性。
一、以形助数
利用函数图象探讨方程的根及其分布。
在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，如图1，可直观地看出两曲线有3个交点。
二、以数辅形
利用坐标向量解决三角问题。
这题是2005年湖北的一道高考题。这题若用正弦定理或余弦定理较为复杂。利用坐标向量，使得运算更为简单。但要确保两个函数图象都易作。在中学数学中，学生的常规思路是将利用平方法将无理不等式转化为有理不等式求解，以解脱根式的纠缠与困扰。但与此同时，需严格注意不等式两边的等号，往往运算烦琐冗长。若我们细心观察，抓住题目特征，因题定法，选择合理的途径，则可避开讨论，优化解题过程，提高解题效率。
三、化数为形，以形论数
有时在解题中，就数论数，往往会受阻，这时我們可应用逆向思维，先把“数”对应的“形”画出，再结合“形”去思考“数”，就会加大透明度，找到简捷准确的解题方法。
例3.已知复数Z的模为2，求Z-i的最大值。
如果用数形结合的方法来思考这道题，由Z=2知，Z表示以原点为圆心，以2为半径的圆。Z-i表示圆上到点（0，1）的距离。由图2可知其最大值，显然是过点的最远端（0，2）到该点的距离3。
由上面的解题过程可知，数形结合是学好数学的一把钥匙。它利用直观的图形来解题，巧妙地简化了大量繁琐的计算和逻辑推理过程，解题简洁明了。
在中学数学教学中，我们应经常引导学生根据图形的直观性研究数与式之间的关系。通过运用数形结合的思想来培养学生的解决问题的能力。
参考文献：
[1]黄翔.数学方法论选论[M].重庆大学出版社，1995-04.
[2]周建凯.数形结合思想在解题中的应用[J].中学数学研究，2009（04）.
数形结合在解题中的应用 篇4
1 代数问题
很多代数问题由于变量之间的关系复杂, 用纯代数方法来解, 演算的过程可能比较冗长, 繁复, 有时还解得不周密, 而利用数形结合的思想方法来讨论, 相对来说要直观、清楚.下面就从多方面举例讨论.
1.1 求最值问题
分析函数
具有两点间的距离形式, 可理解为求点 (x, x) 到 (3, 0) 和 (4, 1) 两点的距离之和的最小值, 借助图形可得到y的最小值.
利用对称关系可知
其几何证明如下:
设O′为AB′与y=x的交点, 设C为y=x上不同于O′的任意一点, 下证
由对称性可知|BC|=|BC′|.
在△AB′C中,
1.2 解方程问题
例2求方程sin x=lg x解的个数.
分析此方程用常规方法去解则无从下手, 观察方程两边发现均为初等函数, 故可将方程解的问题化为对应函数图像交点问题.
作出函数y=sin x和y=lg x的图像 (如图2) , 并观察两图像可得共有3个交点, 因此方程有3个解.
1.3 不等式问题
例3设x, y∈R, x+y+1=0, 求证:
分析变量x, y可看成直线x+y+1=0上任意一个点的两坐标, 而不等式的左侧与距离公式相似, 故可借助于定点到直线上点的距离有最小值来解答.
解析如图3所示, 设 (x, y) 为直线x+y+1=0上任意一点, 定点 (2, 3) 到该直线的距离为
1.4 函数的值域问题
解析把原函数改写成
可把u看作定点P (-3, 2) 与动点Q (cosθ, sinθ) 连线的斜率.
由圆心到直线的距离不大于半径, 得
1.5 比较大小问题 (判断符号)
以上问题若用代数方法则难以入手或解题很繁, 但用数形结合的方法借助于代数的几何意义, 也是解决问题的一种有效方法, 可以简洁、明了地获得结论.可见, 数形结合作为一种常用的数学方法, 沟通了代数、几何之间的内在联系, 使问题得到了很好的解决.
2 几何问题
有些几何问题摆在眼前, 一下子就能知道结论, 但证明使人感到无从下手, 当我们用解析几何法, 把题目化成一个代数问题后, 问题往往会更明确, 再运用代数知识求解, 从而获得对几何问题的解答, 以下举例说明.
例6 (如图6) 已知圆O的3条弦PP1, QQ1, RR1两两相交, 交点分别为A, B, C, 且AP=BQ=CR, AR1=BP1=CQ1.求证:△ABC是正三角形.
分析此题目几何法证明需要特殊的技巧, 若将有关线段的长度用未知数表示, 再根据已知条件建立相应的关系式, 用代数中的恒等式变换成解方程问题就可得到结论.
解析设
由相交弦定理可列出方程组
化简后得
三式相加得
所以x=y=z, 所以△ABC是正三角形.
通过上面的例子说明:对于无从着手的几何问题, 如果根据已知条件转化为代数问题, 从而找到问题的突破口, 用代数知识研究几何问题是解析几何的重要内容, 在实践学习中, 要多注重数学各个分支之间的联系, 有机地结合, 更好地培养学生的思维.
数形结合的应用 篇5
教学目标：
1．知识与技能目标：
掌握等差数列前n项和公式。
2．过程与方法目标：
经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究方法，学会观察、归纳、反思。
3．情感、态度与价值观目标：
获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。教学重点：等差数列n项和公式的理解、推导.教学难点：获得等差数列前n项和公式推导的思路.教学方法: 讲授法、发现法
教学过程：
一、问题呈现:
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝
沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶
饰，图案之细致令人叫绝。
传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石
镶饰而成，共有100层（见左图），奢靡之程度，可见一斑。
你知道这个图案一共花了多少宝石吗？
二、探究发现:
学生对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但是他们对这种方法的认识可能处于模仿、记忆的阶段。
为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了下面问题。
问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？
问题2：如何求1到n的正整数之和.公式应用：123n
问题3：你能证明这个公式吗？
三、公式推导:
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．
数形结合的基本思想，就是在研究问题的过程中，注意把数和形结合起来考察，斟酌问题的具体情形，把图形性质的问题转化为数量关系的问题，或者把数量关系的问题转化为图形性
n(n1)
2质的问题，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，化难为易，获得简便易行的成功方案．
1． 证明123nn(n1)（讲授）2
对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对n的奇偶性进行讨论．
如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n 的值，方案如下：如图，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为
2． 小组活动：仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中 n 是正整数，你能找出几种方法（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）
简解：（1）
因为组成此平行四边形的小圆圈共有n 行，每行有[（2n －1）＋1]个，即2n 个，所以
2组成此平行四边形的小圆圈共有（n×2n）个，即2n个．
∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝
（2）
n（n1）n（n1），即1＋2＋3＋4＋…＋n＝． 22n〔（2n—1）1〕2＝n ． 2
因为组成此正方形的小圆圈共有n 行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n 个．
2∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n ．
3． 小组探究：利用数形结合的方法证明等差数列的求和公式Sn
四、知识回顾、小结:
数形结合的应用 篇6
关键词：分析问题;解决问题;灵活性
在初中数学教学活动中数形结合思想方法是一个数学学科独有的教学方法，其在初中教学活动中具有独特的作用。在数学教学活动中大部分教学内容都是抽象的数学概念，这些抽象概念的直接教学对教师的讲解能力和学生的理解能力都是一个考验，借助图形将抽象的数学概念与具象的图形结合起来能够有效解决数学教学活动中的数学知识交互问题，所以对数形结合思想方法在初中数学的应用进行研究具有鲜明的现实意义。
一、渗透数形结合的思想，养成数形结合分析问题的意识
在初中的数学教学活动中，作为教学活动主体的学生自身特点是极为明显的，那就是学生因为年龄和思维方式的限制自身的抽象分析能力还处在发展完善阶段，而具象信息的分析能力处于一个相对活跃的时期。针对初中学生在分析能力上的这一特点，应用数形结合思想培养学生将数字与图形结合起来分析数学问题的能力是极为妥当的。
在数学教学活动中另一个重要的教学方式就是将教学的内容与学生的日常经验结合在一起，让学生的日常经验起到对数学知识学习的促进作用，并将课堂上学习的数学知识结合应用到生活实践中，提高学生数学知识的应用能力，保证学生数学综合素质的全面发展。
每个学生在日常生活中都具备一定的图形知识，教师在教学活动中一定要抓住初中学生展现出的这两个特点，将数学知识与图形结合起来进行教学活动。
例1：小明的父母出去散步，从家走了20分钟后到达一个离家900米的报亭，母亲随即按原路以原速度返回，父亲在看了10分钟报纸后，用了15分钟返回家，你能在下面的平面直角坐标系中画出表示父亲和母亲离家的时间和距离之间的关系么？
图1
这一问题乍一看显得十分复杂，问题之所以复杂是因为在题目中向学生提供了太多的已知量和已知量之间的关系，导致问题如果从数学概念来理解的话学生会有无从下手的感觉，利用平面直角坐标系的图形方式，可以将问题中的已知量和已知量之间的关系细化整体出来，学生依据父亲回家的时间或者距离、母亲回家的时间或者距离就能够将题目中的数学关系理清，由此可见图形的应用极大降低了复杂数学问题的难度，提高了数学问题解决的效率。
在初中教学活动中教师要结合学生生活中的实际问题，对学生的数形结合能力进行渗透培养，强化学生的数形结合思想，让学生在数学知识的学习活动中用具象的图形细化解决抽象的数学问题，用抽象的数学概念概括解决图形问题，促进学生数学综合素质的提升。
二、应用数形结合思想，增强解决问题的灵活性
在數学教学活动中数学和图形本身是两个差别较大的概念，要想在具体的数学问题解决活动中实现二者的结合，利用二者的结合解决实际问题，就一定要解决结合点的问题。在教学活动中要结合对象的属性，将数与形巧妙结合在一起，实现数形之间有效的互相转化，这是数形结合思想在初中数学教学活动中应用的主要方法。在具体的教学活动中教师要注意引导学生对数形结合特殊性的认识和总结，让学生从数形结合的特殊性应用中总结出具有普遍指导性的数形结合原理和经验，并应用这些原理和经验在具体的数学问题解决活动中发挥数形结合的实效。
由于在初中阶段学生还没有学习等比数列，对这一问题的解决困难较大，在具体的教学实践活动中可以应用数形结合的思想方法。
数形结合思想方法是初中教学活动中重要的教学方法，其不仅能提高学生对复杂数学问题的理解能力，而且能够在此基础上大幅度提高学生数学问题解决的效率，拓宽学生的数学知识视野。本文从渗透数形结合的思想，养成数形结合分析问题的意识、应用数形结合思想，增强解决问题的灵活性两个角度对数形结合思想方法的应用进行了简要分析，以期为数形结合思想方法在初中数学应用水平的提高提供支持和借鉴。
参考文献：
[1]孔令伟.数形结合思想方法在高中数学教学与解题中的应用[D].辽宁师范大学，2012.
[2]于灵.运用“数形结合思想”指导初中函数教学研究及课例分析[D].天津师范大学，2013.
数形结合思想在数学中的应用 篇7
在数学教学中, 教师应不断地引导学生将两者巧妙地结合起来分析问题, 使学生的思维更加开阔, 能够快速、有效地解决问题。下面结合中学数学教学的现状, 阐述数形结合思想在初中数学教学中的应用。
1. 数形结合思想在有理数中的应用
从数形结合的角度出发, 借助数轴处理好绝对值的意义与不等式的解集在数轴上的表示。
例1.如解不等式│x-2│<4, 借这个不等式时, 可以根据绝对值的几何意义, 计算出-2<x<6。
在解决不等式问题时, 要结合实数与数轴上的点的对应关系, 由图得出结果。
2. 数形结合思想在函数中的应用
例2.一次函数y=kx+b的图像过A (-3, 0) , B (0, 2) 两点, 则kx+b>0的解集是 () 。
分析:由题意知, 此一次函数图像为直线, 经过点A、点B, 已知两点画出图像如下:
要使kx+b>0就是函数值y>0, 联系图像, 当x>-3时, 图像均位于x轴的上方, 即对应的y=kx+b对应值为正。所以解集是x>-3, 故答案选C。
在解决函数问题时, 可联想函数与图象的对应关系, 从而启发思维, 找到解题之路。
3. 数形结合在圆中的应用
例3.如图, ⊙C经过坐标原点, 并与坐标轴分别交于A、D两点, 点B在⊙C上, ∠B=30°, 点D的坐标为 (0, 2) , 求A、C两点的坐标。
解: (1) 连结AC, OC, 过点C分别作CM⊥OD于M, CN⊥OA于N。
∵点B在⊙C上, ∠B=30°,
∴△CAO是等边三角形。
∵CM⊥OD, 点C为圆心, 点D的坐标为 (0, 2) ,
在解决圆的问题时, 要准确作出辅助线, 利用化归的办法找到解题途径。
浅析数形结合方法的应用技巧 篇8
一、以形助数
根据数学问题中“数”的结构特征, 构造出与之相应的几何图形, 并利用几何图形的特征、规律来研究解决问题, 可以化抽象为观, 易于显露出问题的内在联系。借助几何直观解题, 还可以避免一些复杂的计算。
例1:已知向量⊥a= (c osθ, s inθ) , 向量⊥b= (姨3, -1) 则|2⊥a-⊥b|的最大值、最小值分别是 (D) 。A.4姨2, 0、B.4, 4姨2、C.16, 0、D.4, 0。分析:此题是一道选择题, 可利用向量的运算性质求解, 也可以利用三角不等式求解, 但计算量都较大。应该注意到, 将A (cosθ, sinθ) 可以看做单位圆上的一点, B (姨3, -1) 为平面内的一点, 如图1所示。显然, 当O⊥⊥A=⊥a与O⊥⊥B=⊥b反向时, |2⊥a-⊥b|有最大值4;当O⊥⊥A=⊥a与O⊥⊥B=⊥b同向时, |2⊥a-⊥b|有最小值0。故选D。
例2:已知x, y, z, r都是正数, 并且求证:rz=xy。分析:本题看上去是代数证明题, 但由式子x2+y2=z2, 很容易使人联想起勾股定理;由式子又会使人联想到射影定理。于是只要以x, y为直角边, z为斜边作出直角三角形以及斜边上的高, 如图2所示, 则结论的正确性就一目了然。
二、以数助形
根据数学问题中几何图形的特征, 联想到与之相关的一些数量关系, 然后借助代数运算、三角运算或向量运算, 化难为易, 从而获得简单易行的解题方案。
例3:如图3, 圆的三条弦AB, CD, EF分别交于点P, Q, R, 且AP=EQ=DR, CP=FR=BQ。求证:△PQR为等边三角形。分析:可以根据题设中的数量关系, 证明△PQR的三边相等。设PQ=x, p R=y, QR=z, AP=EQ=DR=a, CP=FR=BQ=b, 根据相交弦定理有 (b+x) a= (a+y) b; (b+z) a= (a+x) b; (b+y) a= (a+z) b, 即a x=b y…… (1) 、az=by…… (2) 、ay=bz…… (3) , 由上三式相加得 (1) + (2) + (3) 得a (x+y+z) =b (x+y+z) , 由x+y+z≠0可得a=b, 分别代入 (1) (2) (3) 得x=y=z, 因此△PQR为等边三角形。
例4:在四面体ABCD中, 如图4所示, 已知AB⊥CD, AD⊥BC。
求证:AC⊥BD。分析:本题可用两个非零向量垂直的充要条件是加以证明。设则因为AB⊥CD所以即比较 (1) , (2) 式, 有即所以即AC⊥BD。虽然本题也可以依据三垂线定理及其逆定理进行证明, 但是不及向量证法, 既直观, 又简洁。
三、数形互助
根据数学问题中数、式的特征, 建立适当的坐标系, 通过直角坐标系用代数的方法借助于数量的计算和分析来研究一些曲线的几何性质。反过来, 某些代数问题也存在一定的几何意义, 在解题过程中, 也借助其几何意义探求解题思路, 获得最优的解题方案。
例5:已知4x-3y+12=0, 求的最小值。分析:这是一道在对x, y进行约束的条件下求解含有根式的函数最值的问题。如图5。通过对函数解析式及约束条件的分析, 我们很快就可以得到:的最小值的几何含义是:直线l:4x-3y+12=0上的任意一点A (x, y) 与点B (1, -2) 间的距离的最小值。因此函数的最小值也就是点B到直线的距离, 即
例6:求函数的最大值和最小值。分析:如图6.含有三角函数的分数形式的函数通常是去分母, 然后将其转化成函数sin (x+φ) =f (y) 的形式, 再通过正弦 (余弦) 函数的有界性, 从而求出y的取值范围, 求解出函数的最大值和最小值。但是此方法较复杂, 并且运算量较大。于是我们联想到平面解析几何中, 由两点坐标求直线斜率的公式, 那么问题就转化为求两点A (3, 2) 与B (cosx, sinx) 所确定的直线的斜率的最大值与最小值的问题, 又因为cos2x+sin2x=1, 所以点在以原点为圆心的单位圆的圆周上。由点斜式可以求解出过A点的直线方程为:y-2=k (x-3) , 代入方程x2+y2=1得: (k2+1) x2+ (4k-6k2) x+ (2-3k) 2-1=0, 由△=0可得出
通过以上几个习题, 我们看到有些复杂数学问题, 如果用数形结合的思想来求解的话, 不但可以使问题的解答简单明了化, 同时也可以极大地拓宽我们的解题思路。因此, 在习题的处理中, 教师应该引导学生仔细分析数学问题的条件和结论之间的内在联系, 看能否将数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来, 并且通过以形助数、以数助形、数形互助三种常见技巧寻求解决问题的最佳方法。
参考文献
[1]张顺燕.数学思想、方法和应用[M].北京:北京大学出版社, 2003.
数形结合在中学化学中的应用 篇9
一、图象题是化学平衡中的常见题型之一, 也是化学反应速率、化学平衡等知识在直角坐标系中最为直观的反映题型
分析:化学平衡中的v-t图与物理学中的匀变速直线运动中的v-t图有异曲同工之处, 唯一不同的是“位移”被“物质的量浓度”所代替, 故阴影部分是对应反应物 (或生成物) 的物质的量浓度减少值 (或增大值) , 根据催化剂同等程度加快反应速率, 但并不影响化学平衡的特性, 分析选项, 唯有 (A) 正确.
二、有机物中烃的分子式的确定有多种方法, 而对于其中所含“C”原子和“H”已经有确定范围关系的可借助“坐标法”来讨论, 将更为直观、形象
分析:由题意可知烃完全燃烧后生成的H2O将被全部吸收, 而原混合气体则可能恰好完全反应或剩余氧气,
设烃的分子为CxHy, V L的混合气体反应了A L, 则:
讨论:令x=1, 则y=4, 即CH4;令x=2, 则y=4或6, 即C2H4或C2H6;令x=3, 则y=8, 即C3H8.
显见:满足条件的单一气态烃有CH4、C2H4、C2H6和C3H8, (D) 正确.
延伸:若该烃为一混合物, 则题设分子式CxHy为该混合烃的平均分子式, 满足条件的x和y的取值应为图3阴影部分对应的所有x和y:
以上可见, 化学“坐标”中的两曲线间或曲线与坐标轴所围成的面积, 往往有着特定的含义.在解决此类问题时, 要深化对所围成面积的含义的理解, 以此为抓手, 一定有豁然开朗的感觉.
摘要：数学思想在解决化学问题时常有借鉴, 本文从三个方面体现了数形结合在化学中的应用.
数形结合思想在解题中的应用 篇10
一、集合中的数形结合
1.利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题
如:当几个集合的解集是不等式形式, 要求它们的交集或并集时, 经常借助于数轴, 把不等式的解集在数轴表示出来, 通过数轴观察它们的交集或并集, 这样比较直观.
例1. (2010·福建高考文科·T1) 若集合A={x|1≤x≤3}, B={x|x>2}, 则A∩B等于 ()
(A) {x|2<x≤3} (B) {x|x≥1} (C) {x|2≤x<3} (D) {x|x>2}
【思路点拨 】画出数轴, 数形结合求解, 注意临界点的取舍.
选A.如图:
由数轴可知:A∩B={x|2<x≤3}.
例2. (2010·浙江高考理科·T1) 设P={x—x<4}, Q={x—x2<4}, 则 ()
【思路点拨】可先化简集合Q, 再求P与Q的关系.
选B.Q={x|-2<x<2}, 画出数轴, 数形结合求解, 如图所示, 则
2.利用韦恩图法解决集合之间的关系问题
例: (2012·大纲版全国卷高考文科·T1) 已知集合A={x|x是平行四边形}, B={x|x是矩形}, C={x|x是正方形}, D={x|x是菱形}, 则 ()
【解析】选B.这四个集合之间的关系可用Venn图表示为
由图易知, 选B.
通过以上几个例题可以看出, 准确把握元素的特征性质, 把集合用数轴、几何图形、韦恩图等直观表示, 可方便地获得问题的解决.
二、数形结合在函数相关题型中的应用
1.利用数形结合法求函数的值域
例1. (2010·天津高考文科·T10) 设函数g (x) =x2-2 (x∈R) , , 则f (x) 的值域是 ()
【思路点拨 】 利用函数的图像与性质及数形结合的思想, 先根据特设求分段函数中各段的x的范围, 再求函数的值域.
【 规范解答 】 选D. 由x<g (x) 可得x<-1 或x>2, 由x≥g (x) , 即-1≤x≤2时,
如图, 由f (x) 得图像可得:
当x<-1或x>2时, f (x) >2,
当-1≤x≤2时,
所以f (x) 的值域为, 故选D.
例2:求函数的值域.
分析:很明显, 函数的形式类似于斜率公式表示过两点P0 (2, -2) , P (cosx, sinx) 的直线斜率.
由于点P在单位圆x2+y2=1上 (图18) , 显然,
设过P0的圆的切线方程为y+2=k (x-2) ,
∴函数值域为
2.数形结合法在求函数零点及根上的应用
例1:函数的零点个数为 ()
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
【思路点拨 】作出分段函数的图像, 利用数形结合解题.
【规范解答 】选A.绘制出图像大致如图所示, 所以零点个数为2.
例2.设方程|x2-1|=k+1, 试讨论k取不同范围的值时其不同解的个数的情况.
分析:我们可把这个问题转化为确定函数y1=|x2-1|与y2=k+1图像 ( 如图) 交点个数的情况, 因函数y2=k+1表示平行于x轴的所有直线, 从图像可以直观看出:
1当k<-1时, y1与y2没有交点, 这时原方程无解;
2当k=-1时, y1与y2有两个交点, 原方程有两个不同的解;
3当-1<k<0时, y1与y2有四个不同交点, 原方程不同解的个数有四个;
4当k=0时, y1与y2有三个交点, 原方程不同解的个数有三个;
5当k>0时, y1与y2有两个交点, 原方程不同解的个数有三个.
例3.直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点, 则a的取值范围是______.
【思路点拨 】将函数y=x2-|x|+a中的绝对值符号去掉变成两个函数, 然后根据自变量x的范围画出相应的图像, 根据图像特征确定a的取值范围.
【规范解答 】如图, 在同一直角坐标系内画出直线y=1与曲线y=x2-|x|+a, 观图可知, a的取值必须满足, 解得1<a<5/4.
【答案 】1<a<5/4
综上所述, 函数的图像可以形象地反映函数的性质.数形结合借助于图像与函数的对应关系研究函数的性质, 应用函数的性质. 应用图像或抓住函数的图像性质特征是解答与函数有关的问题的常用方法, 应注意积累这方面的解题经验.
三、利用数形结合解决不等式的相关问题
在线性规划中, 绝大多数的题型都可借助数形结合球的最优解, 一些不等式问题的求解也可转化为线性规划问题进行解决.例如以下例题:
例1.若x, y∈R, 且, 则z=x+2y的最小值等于 ()
(A) 2 (B) 3 (C) 5 (D) 9
【思路点拨 】先画出不等式组表示的线性区域, 再作出直线l0:x+2y=0, 平移l0, 其截距越小, z的值越小.
【规范解答 】选B.不等式组所表示的平面区域如图阴影所示:
作l0:x+2y=0, 平移l0至点A (1, 1) 位置时, z取得最小值, 即zmin=3.
例2.满足线性约束条件的目标函数z=x+y的最大值是 ()
(A) 1 (B) 3/2 (C) 2 (D) 3
【思路点拨 】作出满足线性约束条件的可行域, 移动目标函数z=x+y, 观察取得最大值的位置, 最后代入点的坐标求最大值.
【规范解答 】选C.作出可行域如图, 作直线x+y=0, 当直线经过点A时z=x+y有最大值,
由可得点A的坐标为A (1, 1) ,
此时z=1+1=2.
【方法技巧】解决线性规划问题的步骤:
(1) 画出可行域.
(2) 确定目标函数的斜率.
(3) 画出过原点, 斜率与目标函数斜率相同的直线.
(4) 平移直线, 确定满足最优解的点.
(5) 求满足最优解的点的坐标.
(6) 代入目标函数求解.
四、数形结合在解析几何中的应用
《解析几何》的基本思想是转化思想、数形结合的思想、用代数的方法解决几何问题的思想, 对称问题贯穿于整个《解析几何》, 数形结合更是贯穿于《解析几何》的大多数题目中.
例:如图, 已知椭圆 (a>b>0) 过点, 离心率为, 左、右焦点分别为F1, F2.点P为直线l:x+y=2上且不在x轴上的任意一点, 直线PF1和PF2与椭圆的交点分别为A, B和C, D, O为坐标原点.
(1) 求椭圆的标准方程;
(2) 设直线PF1, PF2的斜率分别为k1, k2.
1证明:
2问直线l上是否存在点P, 使得直线OA, OB, OC, OD的斜率kOA, kOB, kOC, kOD满足kOA+kOB+kOC+kOD=0?
若存在, 求出所有满足条件的点P的坐标;若不存在, 说明理由.
【思路点拨 】 (1) 根据离心率和已知点构造含有a, b, c的方程组, 可求出椭圆的方程. (2) 1方法一:将点P的坐标用k1, k2表示出来, 再将点P的坐标代入直线l:x+y=2进行化简;方法二:设出点P的坐标, 再将k1, k2用点P的坐标表示, 并利用点P在直线上进行化简;2利用根与系数的关系将kOA+kOB用k1表示出来, 将kOC+kOD用k2表示出来, 再由kOA+kOB+kOC+kOD=0可得关于k1, k2的方程, 再联立结论 (1) 可求出k1, k2, 最终可求出点P的坐标.
【规范解答 】 (1) 因为椭圆过点, 所以.又因为a2=b2+c2, 所以, b=1, c=1,
故所求椭圆方程为
(2) 1方法一:由于F1 (-1, 0) , F2 (1, 0) , PF1, PF2的斜率分别为k1, k2, 且点P不在x轴上, 因此k1≠0, k2≠0, k1≠k2.
又直线PF1, PF2的方程分别为y=k1 (x+1) , y=k2 (x-1) , 联立方程组得
由于P在直线x+y=2上, 因此
因此
2k1k2+3k1-k2=0, 即结论成立.
方法二:设P (x0, y0) , 则, 因为点P不在x轴上, 所以y0≠0,
又x0+y0=2, 所以结论成立.
2设A (xA, yB) , B (xB, yB) , C (xC, yC) , D (xD, yD) .
联立直线PF1与椭圆的方程得化简得
由于OA, OB的斜率存在, 因此xA≠0, xB≠0, 因此k12≠0, 1.
相似地可以得到
若kOA+kOB+kOC+kOD=0, 则有k1+k2=0或k1·k2=1.
当k1+k2=0时, 结合1的结论可得k2=-2, 所以解得点P的坐标为 (0, 2) ;
当k1·k2=1时, 结合2的结论可得k2=3或k2=-1 (此时k1=-1, 不满足k1≠k2, 舍去) , 此时直线CD的方程为y=3 (x-1) , 联立方程x+y=2得, 因此点P的坐标为
综上所述, 满足条件的点P的坐标分别为 (0, 2) , (5/4, 3/4) .
【方法技巧】解析几何中的存在判断型问题
1.基本特征: 要判断在某些确定条件下的某一数学对象 (数值、图形) 是否存在或某一结论和参数无关.
2. 基本策略: 通常假定题中的数学对象存在 ( 或结论成立) , 然后在这个前提下进行逻辑推理, 若由此导出矛盾, 则否定假设;否则, 给出肯定结论.其中反证法在解题中起着重要作用. 或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角式证明该式是恒成立的.
五、数形结合在有关三角函数问题中的应用
例1.设定义在区间上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像交于点P, 过点P作x轴的垂线, 垂足为P1, 直线PP1与函数y=sinx的图像交于点P2, 则线段P1P2的长为_______.
【思路点拨 】图像相交, 即三角函数值相等, 建立关系式, 求出, 结合图像, 采用数形结合的思想分析P1P2的值即可.
【规范解答 】
如图, 由题意得6cosx=5tanx,
解得sinx=2/3, 结合图像分析得:sinx=P1P2=2/3.
【答案】2/3
例2.如图, 图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C, 各段弧所在的圆经过同一点P (点P不在C上) 且半径相等.设第i段弧所对的圆心角为αi (i=1, 2, 3) , 则
【思路点拨 】 第i段弧所对的圆心角转化为与它同圆的劣弧所对的圆心角, 再根据三个圆心确定的正三角形求解.
【 规范解答 】 作三段圆弧的连心线, 连接一段弧的两个端点, 如图所示, △O1O2O3是正三角形, 点P是其中心,
根据圆的有关性质可知∠AO1B= (2/3) π,
第i段弧所对的圆心角为αi都是 (4/3) π,
【答案】-1/2
综上所述, 数形结合思想贯穿于整个数学学习中, 将其利用得好能有效简化数学运算过程, 轻松获得解题思路, 提高解题能力.
应用数形结合思想, 就是要充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系, 既分析其代数意义又揭示其几何意义, 将数量关系和空间形式巧妙结合, 寻找解题思路, 使问题得到解决.
那么, 怎样才能更好地利用数形结合进行数学解题呢? 我认为主要应做到以下几点.
1.深刻领会数学概念, 熟练掌握数学基础知识.
2.认真审题, 最大限度地挖掘题目中存在的各种条件.
3.必须准确作图.准确作图往往是良好思路的开端, 有时候甚至直观地给我们正确的答案, 而不精准的作图有时会对解题造成某种误导.
4.注意培养各种解题能力.
要在解题中很好地利用数形结合不是简单地记住数学概念与作用便能达到要求, 必须在平常的解题中注意各种数学能力的培养.比如:运算能力, 逻辑推理能力, 空间想象能力, 以及良好的记忆力.只有各种数学解题能力提高了, 才能在数学解题中真正灵活地利用数形结合思想.
参考文献
[1]傅学府.“数形结合”在中学数学解题中的应用.中国科教创新导刊, 2010 (06) .
[2]徐迅.浅析数形结合思想在高考解题中的应用.数学学习与研究, 2010 (01) .
[3]年四云.浅谈数形结合思想在解题中的应用.数学学习与研究, 2012 (05) .
数形结合思想在解题中的应用 篇11
关键词：数形结合；以数助形；以形助数
数形结合既是一个重要的数学思想，又是一种常用的数学方法。使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简单。所谓“数形”结合就是通过数（数量关系）与形（空间形式）的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。它可将抽象的数学语言与直观的图形相结合，使抽象思维与形象思维相结合，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。有些数量关系，借助于图形的性质，可以使抽象的概念和关系直观化、形象化、简单化；而图形的一些性质，借助于数量的计量和分析，得以严谨化，能从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。
用数形结合的思想解题可分两类：
类型之一 “数”到“形”的思想应用（以形助数）
题型一：数形结合思想在不等式组中的应用
例1（实数与数轴上的点的对应关系）求不等式组的整数解。
解析：解不等式1得x<2
解不等式2得x≥-1
∴原不等式组的解集为：-1≤x<2
结合数轴，直接可以读出不等式组的整数解为-1，0， 1
题型二：数形结合思想在逻辑推理题中的应用
例2：某班共30人，其中15人喜欢篮球运动，10人喜欢乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球却不喜欢乒乓球的人有
解：画出韦恩图
此题可以利用韦恩图，通过数形结合的思想使得题目更加直观形象化，简单化，便于解题。
题型三：数形结合思想在函数中的应用
例3：“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m A . m 解析：根据题目中的要求，可以得出：若m、n（m 二次函数也好，一次函数也好，甚至是反比例函数，都可以结合图形使问题直观化，复杂问题简单化，体现了数形结合思想和转化思想。 题型四：数形结合思想在恒等证明中的应用 例4：已知x、y、z都是正数，且x2+y2=z2， z= x2 求证：rz=xy 解析：可以构造直角三角形，如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高 不妨设AB=y，BC=x，AC=z，BD=r，利用勾股定理可以得出AB2+BC2=AC2，即x2+y2=z2 ，结合射影定理BC2=AC·CD，即 z= x2 ，再结合三角形的面积计算方法，可以得出结论rz=xy，从中说明很多恒等式可以结合几何图形，能使问题的数量关系变得明显，推理变得轻松，书写变得简洁。（涉及到与平方有关的恒等证明，可以构造出与之对应的三角形或者圆。） 类型之二 “形”到“数”的思想应用（以数助形） 题型五：数形结合思想在几何证明题中的应用 例5：如图，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，求证：∠A=2∠E 解析：此题可以用代数的方法解决几何问题，设∠ABE=∠EBD=a ， ∠ACE=∠ECD=b ，∠A=y，∠E=x，列出方程组得出y=2x，即∠A=2∠E，本题通过三角形的外角构造方程组，不是求方程组的解，而是利用未知数之间的关系达到解决问题的目的，从而使问题简单化。 数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，它是数学的规律性与灵活性的有机结合。用我国著名的数学家华罗庚的一首词来总结就是： 数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。 数缺形时少知觉，形少数时难入微。 数形结合百般好，隔离分家万事非。切莫忘，几何代数统一体， 永远联系，且莫分离。 数形结合在中学数学中的具体应用实例分析。 中学数学的数形结合的具体应用, 可以帮助学生们尽快地学习知识, 能够更加深刻地理解数学中的知识点, 也能更加快速地达到应用的程度。下面将对一些具体的实例进行讲解, 方便大家理解数形结合的具体应用。 1 数形结合思想在函数的中的应用 一次函数y=kx+b的图形经过一、二、三象限, 则k_____, b_____。 这道题我们仅从数的角度考虑是比较抽象、难以理解的, 所以在解题时, 引导学生先画出符合题意的图象, 如图1所示, 再复习k, b与函数图象的联系, 通过k确定函数的增减性, b确定函数与y轴交点的位置这一性质, 可很快得出k<0, b>0。 2 数形结合思想在运算中应用 圆与圆的位置关系, 设两圆的半径分别为R、r (R>r) , 圆心距为d, 则当d>R+r<=>两圆外离 (如图1) , 则当d=R+r<=>两圆外切 (如图2) , 当R-r<d<R+r<=>两圆相交 (如图3) , 当d=R-r<=>两圆内切 (如图4) , 当d<R-r<=>两圆内含 (如图5) 。这样的描述, 既明白又清晰的让大家明白了圆与圆之间的关系, 更是通过数形结合来揭示本质特征。 3 数形结合思想在三角形方面的具体应用 如图3, 南北向MN以西为我国的领海, 下午3时40分, 我军船只A发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海驶来, 便立即通知正在MN线上巡逻的我军反走私艇B, 已知, A, C两艇的距离为13海里, A, B两艇的距离为5海里;反走私艇测得离C艇的距离是12海里。若走私艇C的速度不变, 最早会在什么时间进入我们领海? 分析:为减少思考问题的“难度”, 可将原来的问题分解成下列几个“子问题”: (1) △ABC是什么类型的三角形? (2) 走私艇C进入我领海的最近距离是多少? (3) 走私艇C最早会是什么时间进入?经过这样的拆解, 原来复杂的问题, 现在就变得很简单了。 解:设MN交AC于E, 则∠BEC=90°, 又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2, 所以△ABC是直角三角形, ∠ABC=90°;又因为MN⊥CE, 所以走私艇C进入我国领海的最近距离是CE, 则CE2+BE2=144, (13-CE) 2+BE2=25, 得26CE=288, 所以CE=144/13, 144/13÷13=144/169≈0.85 (小时) , 0.85×60=51 (分) , 3时40分+51分=4时31分。 答:走私艇最早在4时31分进入我国领海。 4 利用数形结合的思想, 巧解函数方面的问题 求一元二次不等式的解集时, 只要联想对应的二次函数的图像, 确定抛物线的开口方向和与X轴的交点情况, 便可直观地看出所求不等式的解集。 例:解不等式x2-x-6>0 分析:我们可先联想对应的二次函数y=x2-x-6的图像, 从x2-x-6=0解得x1=-2, x2=3知该抛物线与x轴交点横坐标为-2、3, 当x取交点两侧的值时, 即x<-2或x>3时, y>0, 即x2-x-6>0。故可得不等式x2-x-6>0的解集为:{x︱x<-2或x>3}。 5 结语 数学中的很多概念、法则、公式、定理都与一定的空间形式密切联系, 曲线与方程、区域与不等式、函数与图像、三角函数与单位圆中的三角函数都有内在的联系, 而数形结合则是具体与抽象、感知与思维的结合, 是发展形象思维与抽象思维一并使之相互转化的力量。教师应在数学教学中尽量发掘“数”与“形”的本质联系, 借助数形结合的“慧眼”, 探索分析问题和解决问题的方法, 让学生变学会为会学, 提高学生的数学素养, 在数学的教学中真正实现素质教育。 摘要：在中学的数学教学中, 数和形是数学中两个最基本的概念, 它们既是对立, 又是统一的。每一个数量关系, 都能通过生动形象的几何图形来直观地表达和描述;而每一个图形中都蕴含着与他们的形状、大小、位置密切相关的数量关系。数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来, 使抽象的思维和形象思维结合起来, 在解决代数问题时, 想到它的几何图形, 从而启发思维, 找到解题之路;或者在研究图形时, 利用代数的性质, 解决几何的问题。实现抽象概念与具体形象的联系和转化, 化难为易。 关键词：中学数学,数形结合,应用 参考文献 [1]曹才翰, 章建跃.中学数学教学概论[M].2版.北京师范大学出版社, 2009. [2]涂荣豹.中学数学教学案例探究[M].北京师范大学出版社, 2011.初中数学教学数形结合的应用 篇12