高考数学思想方法专题讲义3--数形结合的思想

高考数学思想方法专题讲义3--数形结合的思想（共10篇）

高考数学思想方法专题讲义3--数形结合的思想 篇1

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高考数学思想方法专题讲义3－－数形结合的思想

1．设f(x)1x2，a，bR，且a≠b，求证：f(a)f(b)ab．

2．求下列函数的最值：（1）y（2）y2x25x42x22x1的最小值； x22x26x26x13的最大值．

p4的实数p，使得x2px4xp3恒成立，求x的取值范围． 3．对于满足04．已知z1，求u2zi54i的最值．

x24a1有相异实根的个数． 5．讨论方程6．已知a1，b1，求证：ab1．

1abq），求它的第pq项和第pq项．

． 7．已知等差数列的第p项为q，第q项为P（p8．求证：2a12a2b12b22a1b1a2b29．在△ABC中，已知a＝10，c－b＝8，求证：tg10．设zC，aR，且az11．已知sinsinBC1ctg． 2290，求证：zazaz为纯虚数．

11，coscos，求tg()． 432，求zu24v21的最小值． 12．已知u，v，是正数，且uv13．求函数y14．已知m3(x2)8x的值域．

n0，求证：m2n22mnn2m．

215设定点M（－3，4），动点N在圆xy24上运动，以OM，ON为两边作□MONP，求P点的轨迹．

表示两曲线有公共点，求半径r的最值． 22x4y4,16．已知222(x4)yrx2y2217．当m，a，b满足什么条件时，椭圆221（a0，b0）与抛物线yxm有四个交点？

ab数形结合的思想参考答案

1．将，1a2，1b2分别看做两直角三角形的斜边，于是可以构造图2－1．设Rt△POA中，PO＝1，OA＝a，则 PA

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1a2．在Rt△POB中，OB＝b，则

PB1b2．在△PAB中，PAPBAB，于是可得f(a)f(b)ab（当ab结论一样成立）

2．（1）提示：配方得y557112((x)2(x)2)，可视为P（x，0）分别与A（441624，74），B（1，21）这两点的距离之和．由于A，B分别位于x轴的上方和下方，显然当P在A，B连线与x轴交点时PAPB最短，最小值为22AB230272（2）提示：配方得y(x1)252(x3)222，可视为P（x，0）分别与A（－1，5），B（3，2）的距离之差的最大值，由于A，B位于x轴的同旁，由几何知识知，P在AB与x轴交点的位置上，最大值为

APBP最大，AB5．AB，直线AB的方程为y25217．令，y0，得xx31332．故点P位于（173，0）时，ymax3．原不等式整理成(x1)P(x4x3)>0，设f(b)(x1)p(x24x3)．可视为p的一次函数，由图象

2f(0)0,x4x30,x3或x1 可知，f(p)在［0，4］恒大于零，只需用即2f(4)0,x104．u52izi22，因此，u表示单位圆

（－2，－z1上的点z与点A

52）的距离的2倍．由几何知识知，AB，AC分别是最小值、最大值，即

umax2AC2(OAOC)412，umin2AB2(OAOB)412

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5．提示：在同一坐标系中作出y同的根；当ax24和ya1的图象如图，从图象可以看出：当a1，a3时，方程有两个不3时，方程有三个不同的根；当1a3时，方程有四个不同的根；当a1时，方程没有根

ab1ab(a1)(b1)AP1ab6．设数轴上三点A，P，B的坐标分别为－1，1，则＝．∵ a1，b1，ab1ab(a1)(b1)PB11ab∴ 0．即P是AB的内分点，于是17．由等差数列的通项公式anabab1即1

1ab1ab，B（q，p）是平a1(n1)，得点（n，an）在直线ya1(x1)d上．设A（p，q）面直角坐标系中的两点，则AB的直线方程为yqpq(xp)，即ypqx．∵

点（n，an）在an这条直线上，qp∴ anpqn．于是，apq0，apq2q

8．提示：设A（a1，a2），B（b1，b2），C（b1，a2），则原式左边＝9．如图，以线段BC的中点O为原点建立直角坐标系，∵

OAOBABACBC＝右边

BC10，ABAC8,∴

A（x0，y0）在双曲线

．∵

55x2y21的右支上．从而，由焦半径公式得ABx04，ACx0444169ACcoCs5x0，＝ABcosB5x，∴

tgBCctg22

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BCBBCcos2sincos2cos222222sinB1cosCBCBCC1cosBsinCcossin2cos22sincos222225x045x0x1140 5x045x09(x01)94sinACACcosCABABcosB＝

10．在复平面内，z，a，－a所对应的点分别为P，A，B，∵

∴

A、B在实轴上．

z0，故P不可能在坐标原点，即AB的中点．又aR，a0，zazaAPBP动点P的轨迹为线段AB的中垂线除去AB的中点P点的轨迹为虚

16轴（除去原点）z为纯虚数．

11．设A（cos，sin），B（cos，sin，则A，B在单位圆上，连结AB．若C是AB的中点，则点C的坐标为（），∠DOC＝，1），连结OC，则OC⊥AB．设D（1，0），连结OA，OB，则有∠DOA＝，∠DOB＝812tg24832∠DOC＝，tg() 14721tg262，tg

2＝tg

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，设点（u，2），B（－v，－1），则

zOAOBAB，而

uv42AB(uv)2(21)2223213，v即z13，等号成立条件uv2，．即u，2133

时成立．故zmin

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13

13．令x2t，原函数为y23t10t2（t0），设vy3t，则

①v3ty, 2v10t(t0).方程①表示斜率为－3的直线，方程②表示四分之一圆．原问题转化为过圆②上的点，求①中直线截距的取值范围．如图，过圆上

30y31．解得y2∴ 10．的点（0，时，截距最小，ymin10．当直线与圆②相切时，其截距最大，即1010）

② 10y210

14．如图，在Rt△ACB中，AB＝m，BC＝n，则AC∴ 又∵

m2n2．∵

ACBCAB

m2n2nm．

①

mn0，∴

mnn2，2mn2n2，2mnn2n2，即2mnn2n ②

由①、②知，m2n22mnn2m

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16．如图，设P点所对应的复数为

xyi，M所对应的复数为34i，N所对应的复数为z1，．即

z12．∵，∴ OPOMON，∴ xyi34iziz1(x3)(y4)i，∵

z12(x3)2(y4)24．但点M，O，N

46x与x2y24，解得x1，358686868y1；x2，y2．因此，所求轨迹为圆(x3)2(y4)24，但应除去两点（，），（，）5555555共线时，不能构成平行四边形，由y

x2217．将方程x4y4化为标准形式2y1，它表示中心在（0，0），长半轴为2且在x轴上，短半轴为1的椭圆．而

222方程(x4)20）的同心圆系，如图，可知当2r6时，两曲线有公共点．即rmax6，rmin2 y2r2表示圆心在A（4，taoti.tl100.com 你的首选资源互助社区

x2xm,b2b22222f(y)yymb0．要使两曲线有四个交点，方程f(y)0在（－18．由x消去x，得y22aa221,bab2b，b）内有两个不同的实根．由于函数f(y)为开口向上的抛物线，而对称轴方程为y2a2．因此，有

b2f(2)0,2ab2a2,22bb22b2b,b2即两曲线有四个交点的充要条件为b2a，且bma4a222abma2.4af(b)0,f(b)0

高考数学思想方法专题讲义3--数形结合的思想 篇2

数形结合思想是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题的思想, 其实质是将抽象的数学语言与直观的图像进行结合和相互转化, 以寻找解题思路. 在解数学题中, 利用数形结合思想可优化解题过程, 使复杂问题简单化, 快速准确解决问题. 著名数学家华罗庚也曾说: “数形本是两依倚, 焉能分作两边飞. 数缺形时少直观, 形少数时难入微. ”可见, 数学中的数和形要紧密结合, 不可分离.

2014年高考考试大纲明确指出要重视数学思想方法的考查, 而数形结合思想就成了高考中的重要考点. 高考中数形结合思想的考查主要集中在选择题、填空题中. 因此, 灵活巧妙的运用数形结合思想可有针对性的在解决高考选择题、填空题中发挥奇特的功效, 能在提高数学解题正确率的同时, 大大提高解题速度, 为简答题以及检查试卷争取时间, 为得高分奠定基础. 数形结合常包括以形助数、以数助形、数形互助三个方面.下面就以2014年高考数学试卷为例, 分别就这三个方面对数形结合思想进行说明.

一、以形助数

以形助数就是通过由形到数的转化, 通过研究直观的图像性质来帮助解决数的问题, 以达到数形结合, 解决问题的目的.在高考选择题、填空题中, 考查数形结合思想主要考查的即是以形助数.

例1 (2014年辽宁) 已知a = 2-1/3 , b = log21/3, c = log1/21/3, 则 ( )

( A) a > b > c ( B) a > c > b

( C) c > a > b ( D) c > b > a

解析: 这是“数”比较大小的问题, 有一定的难度, 但考虑到将数转化成形, 以形助数, 问题就变的简单了. 由题意画出三个函数y = 2-x, y = log2x, y = log 1/2x的图像, 如图1, 由图像可得当x =1/3时, c > a > b.

注: 对于函数比较大小的问题, 借助函数的图像进行观察分析, 以形助数, 可更直观更快速地解决问题.

例2 (2014年全国) 若函数f ( x) = cos2x + asinx在区间 (π/6, π/2) 是减函数, 则a的取值范 围是_______.

解析: 观察到函数f ( x) 可先化为只关于sinx的函数f ( x) = cos2x+ asinx = - 2sin2x + asinx + 1. 下面令t = sinx进行换元, 则f ( x) 可转化为函数f ( t) = - 2t2+ at + 1 ( 0≤t≤1) , 这是一个关于t的二次函数.这里还要注意t的取值范围是0≤t≤1. 现在问题就转化成了二次函数的性质问题. 即得到f ( t) = - 2t2+at + 1 ( 0≤t≤1) 在区间 (1/2, 1) 上是减函数. 画出f ( t) 图像, 如图, 开口向下, 对称轴为t =a/4, 由图像可得a/4≤1/2, 所以x∈ ( - ∞, 2], 故a的取值范围是 ( - ∞, 2].

注: 三角函数是一类特殊的函数, 在研究其单调性时, 一般采用的是研究三角函数的性质, 但若得到的三角函数式是一个二次函数时, 则就需换元, 通过研究二次函数的图像来解决问题.

例3 (2014年山东) 已知函数f ( x) =| x -2| +1, g ( x) =kx. 若方程f ( x) = g ( x) 有两个不相等的实根, 则实数k的取值范围是 ()

( A) (0, 1/2) ( B) (1/2, 1) ( C) (1, 2) ( D) (2, +∞)

解析: 注意到f ( x) 含有绝对值, 先分类讨论, 当x - 2≥0, 即x≥2时, f ( x) = x -2 +1 = x -1, 当x -2 < 0, 即x < 2时, f ( x) = 2 - x + 1 = 3 - x. 在坐标轴中作出f ( x) 的图像, 如图3, f ( x) 的图像最低点是 ( 2, 1) , g ( x) = kx过定点 ( 0, 0) . 所以通过图形可看出g ( x) 过原点和 ( 2, 1) 时斜率最小为1/2, 斜率最大时g ( x) 的斜率与f ( x) = x - 1的斜率一致, 即k= 1. 故k的取值范围为 (1/2, 1) , 选 ( B) .

注: 方程的解的问题, 可通过方程所表示的几何意义与图形建立联系, 以形助数, 将方程所表达的抽象数量关系转化为图形的位置关系来解决.

二、以数助形

涉及到图形的问题, 大多数都借助数的知识, 转化为数的关系进行研究, 这就是以数助形的方法. 运用代数知识研究几何问题, 以数助形, 是数形结合思想的另一方面.

例4 (2014年福建) 若函数y =logax ( a > 0且a≠1) 的图象如图4所示, 则下列函数图像正确的是 ( )

解析: 由题目所给图像可知, 函数过点 ( 3, 1) , 即loga3 = 1, 所以得到a = 3. 将a = 3依次带入 ( A) ( B) ( C) ( D) 四个选项中, 并观察 ( A) ( B) ( C) ( D) 中函数表达式所对应的图像, 很显然 ( A) ( C) ( D) 错误, 故选 ( B) .

注: 数与形相互对应, 把图形中隐藏的数量关系找出来, 将“形”的问题转化为“数”的问题, 以数助形, 是解决图形问题的一个好做法.

三、数形互助

在常规解题中, 有时会将上述两种形式结合起来, 既以形助数, 又以数助形, 灵活转化, 这就是数形互助.

例5 (2014年山东) 已知函数y = loga ( x + c) ( a, c为常数, 其中a > 0, a≠1) 的图像如图5, 则下列数, 其中a > 0, a≠1) 的图像如图5, 则下列结论成立的是 ( )

( A) a > 0, c > 1

( B) a > 1, 0 < c < 1

( C) 0 < a < 1, c > 1

( D) 0 < a < 1, 0 < c < 1

解析: 这是“形”和“数”灵活互化的问题, 形中隐数, 数中有形. 看到对数函数, 首先会想到对数函数y = logax ( a > 0且a≠1) 的两种图像, 0 < a < 1时, 图像单调递减, a > 1时, 图像单调递增, 并且两种图像都经过点 ( 1, 0) , 以数助形. 由题目所给图像是单调递减的性质, 可得0 < a < 1, 又注意到y = logax的函数图像向左平移小于1个单位, 故0 < c < 1, 故选 ( D) . 这里又以形助数, 进行数形相互转化, 从而数形互助, 解决问题.

例6 (2014年新课标卷) 不等式组的解集记为D, 有下面四个命题: ( )

其中真命题是 ( )

( A) p2, p3 ( B) p1, p2 ( C) p1, p4 ( D) p1, p3

解析: 在直角坐标系中画出不等式组表示的平面区域, 如图6, 并分别画出p1, p2, p3, p4不等式所表示的区域, 由图像可看出p3, p4为假, p1, p2为真, 故选 ( B) .

注: 不等式组解的问题可用图像中平面区域来表示, 即由数转化为形, 然后通过观察平面区域的范围来确定命题的真假, 即由形再转化为数, 数形互助, 相互转化, 从而解决问题.

中学数形结合的数学思想方法 篇3

关键词：数学思想方法；挖掘；数形结合

中图分类号：G633.6文献标识码：A文章编号：1002－7661(2011)08－089－01

在中学数学教学中，教师除了基础知识和基本技能的教学外，还应重视数学思想方法在教学中的挖掘与渗透，注重对学生进行数学思想方法的培养，这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。

在初中阶段常见的数学思想方法有：方程思想、整体思想、分类讨论思想、化归转化思想、函数思想、数形结合思想、统计思想等。这在教学中要充分挖掘数学思想方法，让学生充分感受数学思想方法的作用。以下就其中的数形结合思想方法在教学中的作用及在教学中如何挖掘谈谈我自己的看法。

一般地，人们把代数称为“数”，而把几何称为“形”，数与形表面看是相互独立，其实在一定条件下它们可以相互转化。数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使问题的数量关系巧妙地结合起来，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。

挖掘与渗透数形结合思想，能培养思维的逻辑性和创造性。数学最本质的东西是抽象的，然而数学教学要把抽象的东西形象化，又要通过直观的形象来深化抽象的内容，这种抽象中的形象正是数学教学的真谛。

例如，直线与圆的位置关系，在教学时也可以通过数形结合比较圆心到直线的距离与圆半径两者的大小来确定。即可设00的半径为r，圆心0到直线1的距离为d，利用d与r之间的关系即可判断直线与圆的位置关系。如下图，

当d>r时，圆心O到直线1的距离d大于半径r，因而直线1上的所有点到圆心的距离都大于半径r，说明直线1在圆的外部，与圆没有公共点，因此

(1)当d>r时，直线与圆的位置关系是相离；

(2)当d=r时，直线与圆的位置关系是相切；

(3)当d

同样，圆与圆的位置关系，也可以通过数形结合比较两圆圆心的距离与两圆半径之和(或之差)的大小来确定。

又如，勾股定理结论的论证、函数的图象与函数的性质也是通过数形结合来研究得出结论。例如，研究一次函数y=kx+b(k≠O)的性质时，其性质与k的正负有关，应分两种情况研究，如下图，

由图象可以看出：

(1)当k>0时，y随x的增大而增大，函数图象从左到右上升；

(2)当k<0时，y随x的增大而减小，函数图象从左到右下降。

又如，用三角函数解直角三角形等等都是典型的数形结合的体现。再如不等式组的解集的确定都是利用数轴或其它实图归纳总结出来的。

在数学教学中，由数想形，以形助数的数形结合思想，具有可以使问题直观呈现的优点，有利于加深学生对知识的识记和理解；在解答数学题时，数形结合，有利于学生分析题中数量之间的关系，丰富表象，引发联想，启迪思维，拓宽思路，迅速找到解决问题的方法，从而提高分析问题和解决问题的能力。抓住数形结合思想教学，不仅能够提高学生数形转化能力，还可以提高学生迁移思维能力。

高考数学思想方法专题讲义3--数形结合的思想 篇4

“数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位．

一、以数助形

要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例

1、如图，在正△ABC的三边AB、BC、CA上分别有点D、E、F.若DE⊥BC，EF⊥AC，FD⊥AB同时成立，求点D在AB上的位置.例

2、如图，△ABC三边的长分别是BC=17，CA=18，AB=19.过△ABC内的点P向△ABC 的三边分别作垂线PD、PE、PF（D、E、F为垂足）.若

BDCEAF27.求：BDBF的长.例

3、已知ABC的三边长分别为mn、2mn及mn（m、n为正2222整数，且 mn）。求ABC的面积（用含m、n的代数式表示）。

【海伦公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，设pabc

2，则S】 p(pa)(pb)(pc)。

例

4、将如图的五个边长为1的正方形组成的十字形剪拼成一个正方形．

例

5、如图，ABC是一块锐角三角形余料，边AD80毫米，BC120毫 米，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，其余两个定点分

别在AB,AC上，设该矩形的长QMy毫米，宽MNx毫米．当x与y

分别取什么值时，矩形PQMN的面积最大？最大面积是多少？

例

6、如图,点P是矩形ABCD内一点，PA3，PB=4，PC=5，求PD的长．

二、以形助数

几何图形在数学中所具有的最大的优势就是直观易懂，所以在谈到“数形结合”思想时，就更偏好于“以形助数”的方法，利用几何图形解决相关不易求解的代数问题。几何图形直观的运用于代数中主要体现在几个方面：

（1）利用相关的几何图形帮助记忆代数公式，例如：完全平方公式与平方差公式；

（2）利用数轴及平面直角坐标系将一些代数表达式赋予几何意义，通过构造几何图形，进而帮

助求解相关的代数问题，或者简化相关的代数运算。

例

1、在等腰ABC中,ABAC5,BC6,P是底边上任一点,求P到两腰的距离的和． 例

2、已知a、b均为正数，且ab2。求a24b21的最小值。

例

3、若将数轴折叠，使得A点与－2表示的点重合，若数轴上M、N两点之间的距离为2012(M在N的左侧)，且M、N两点经过折叠后互相重合，则M、N两点表示的数分别是：M:N:

例

4、数轴上标出若干个点，每相邻两点相距一个单位，点A，B，C，D分别表示整数a，b，c，d，且d－2a＝10，则原点在（）的位置

A.点AB.点BC.点CD.点D

x－a＞0例

5、已知关于x的不等式组的整数解共有2个，则a的取值范围是___________． 2－x＞0

例

6、如图一根木棒放在数轴上，木棒的左端与数轴上的点A重合，右端与点B重合．

(1)若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到B点时，它的右端在数轴上所对应的数为20；

若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到A点时，则它的左端在数轴上所对应的数为5（单位：cm），由此可得到木棒长为．

(2)由题(1)的启发，请你能借助“数轴”这个工具帮助小红解决下列问题:

一天，小红去问曾当过数学老师现在退休在家的爷爷的年龄，爷爷说：“我若是你现在这么大，你还要40年才出生；你若是我现在这么大，我已经125岁，是老寿星了，哈哈！”，请求出爷爷现在多少岁了？

1例

7、如图，图①是一块边长为1，周长记为P1的正三角形纸板，沿图①的正2

三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形纸板（即其边长为前一

1块被剪掉正三角形纸板边长的）后，得图③，④，„，记第n(n≥3)块纸板的周长为Pn，则Pn2

－Pn－1

„

高考数学思想方法专题讲义3--数形结合的思想 篇5

1、渗透数形结合的思想,养成用数形结合分析问题的意识

每个学生在日常生活中都具有一定的图形知识，如刻度尺与它上面的刻度，温度计与其上面的温度，教室里每个学生的坐位，行政地图等等，我们利用学生的这一认识基础，把生活中的形与数相结合迁移到数学教学中来，在教学中进行数形结合思想的渗透。如数与数轴，一对有序实数与平面直角坐标系，一元一次不等式的解集与一次函数的图象，二元一次方程组的解与一次函数图象之间的关系等，都是渗透数形结合思想的很好机会。让学生理解数形结合思想在解决问题中的应用。为下面进一步学习数形结合思想奠定基础。

高考数学思想方法专题讲义3--数形结合的思想 篇6

在数学教学中，教师如果能灵活地借助数形结合思想，会将数学问题化难为易，帮助学生理解数学问题。那么，如何在初中数学教学中挖掘数形结合思想并适时地加以应用呢？下面笔者根据日常的教学实践谈谈自己的见解。

一、从有理数开始就让中学生及早体会数形结合思想

在七年级开始，数轴的引入就大大丰富了有理数的内容，对学生认识有理数、相反数、绝对值以及有理数的运算都有很大的帮助，由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是有理数，但我们要求学生时刻牢记它的形：数轴上的点。通过渗透数形结合的思想方法，帮助学生正确理解有理数的性质及其运算法则。

例如:

1、比较两个数的大小方法：数轴上两个点表示的数，右边的数总比左边的大，正数大于零，负数小于0，正数大于负数；

2、比2℃低5℃的温度是_______；

3、若|a|=2，则a=______；

4、七年级《数学》(上)的习题，一辆货车从超市出发，向东走了3千米到达小彬家，继续走了1.5千米到达小颖家，然后向西走了9.5千米到达小明家，最后回到超市。在习题中也常出现这类题目。

这些内容如果适当应用数形结合的思想就很容易理解掌握了。

二、不等式(组)内容蕴藏着数形结合思想

在进行 “一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的重要思想方法，在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效，如：在分析不等式组的解集情况时，如果老师利用数轴把数转化为“形”从而找出两个不等式的公共解，教学效果会事倍功半。如果老师能结合数轴，画图表示各个不等式的解集，就很容易写出不等式组几种类型的解集。

三、应用题的内容也隐含丰富的数形结合思想。

高考数学思想方法专题讲义3--数形结合的思想 篇7

关键词：数形结合,思想方法,数学学习

一、数学思想方法的含义

数学家和数学教育工作者从不同的角度论述了数学思想方法,其中最有影响力的是基于哲学的角度。所谓数学思想,是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中,经过思维活动而产生的结果,它是对数学事实与数学理论的本质认识。数学思想比一般的数学概念具有更高的抽象和概括水平,后者比前者更具体、丰富,而前者比后者更本质、深刻。数学方法则是指在从数学的角度提出问题、解决问题的过程中所采用的各种方式、手段、途径等。

数学思想、观点、方法三者相互关联、密不可分:如果人们站在某个位置,从某个角度运用数学去观察和思考问题,那么数学思想也就成了一种观点;而对于数学方法来说,思想是其相应方法的精神实质和理论基础,方法则是践行某种思想的技术手段。运用数学方法来解决问题都包含了数学思想,数学思想则通过方法来体现。

二、中学数学中常用的数学思想方法

在中学数学教学体系中,一些重要、典型的数学思想方法较为常见,常用的有如下几种:转换化归的思想方法、函数与方程的思想方法、数形结合思想方法、极限思想方法。其中,数形结合思想方法最为常用,下面将对数形结合思想方法进行简要说明。

三、数形结合思想方法

1. 数形结合思想方法的涵义

数形结合思想方法中的“数”可以广义地理解为数学文字表征,即数字、文字、式子、数学概念、数学结构、数学性质、数学定理等概念和命题;相应地,“形”可以理解为图形表征,即实物、图象、图形、符号等。

数学问题中常常出现“数”和“形”的形态,两者为研究对象的不同侧面,通过数形结合可以将数学问题简单化、具体化,可以通过数量关系和图形性质之间的彼此转化或者综合起来分析、解决问题。数形结合思想方法不仅对其所含的数学意义进行了分析,还揭示了其所蕴含的几何直观,实现了空间形式直观形象与数量关系精确刻画的有机结合。

2. 采用数形结合思想方法的意义

“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中,是数学知识和方法在更高层次上的抽象和概括,如归纳、演绎、抽象、转化、分类、模型、数形结合、随机等。”由此可见,新课标把数形结合思想方法放在很重要的位置上。数与形贯穿中学数学的整个知识体系,这两者的结合是教学的重点、难点。例如,有理数可以用数轴上的点来表示,有理数的相反数、绝对值等都具有一定的几何意义。再如,针对列方程解应用题,解题的有效方法就是找到等量关系列方程,但通过文字表述来寻找等量关系具有一定的难度,此时,较为有效的方法就是结合题意画出示意图,并充分利用图形的形象化、直观性、简单化等优势,将问题化繁为简,化难为易。

而在高中数学课程中,数形结合的问题则更为普遍,所以数形结合的思想也就显得尤为重要。例如,在解集合题时,就可以通过图示法直观、形象地展现集合与元素以及集合之间的关系。实践证明,数形结合在解决二次、对数、指数、三角函数部分问题时发挥着重要作用:可以通过图象直观地表示函数关系,从而更高效、准确地展示函数的单调性、奇偶性等,最终达到分析、解决问题的目的。

3. 数形结合思想方法在中学数学学习中的具体应用举例

在数形结合思想方法中,“数”研究的主要是代数元素,“形”研究的则是几何元素,它们之所以有对应关系,源于研究的是同一个问题,只是研究角度不同而已。对于一个问题,我们从几何角度认识,能获得几何解法;而从代数角度认识,则能够获得代数的解决方案。

笔者认为,数形结合具体可以体现为“以数助形”“以形助数”。其中,“以数助形”是以“数”为手段,以“形”为目的,充分利用数的精确性、严密性等优势,来表述形的特性内容,如应用曲线方程来精确地阐明曲线的几何性质等;而“以形助数”则以“形”为手段,以“数”为目的,它利用形的生动性、直观性来表明数之间的联系。

(1)以数助形。学生在研究几何问题时,需要通过分析图形中的数量关系来探讨图形的结构和性质。经常用到的方法是通过建立坐标系,化几何问题为代数问题,即坐标法。另外,比较常用的方法还有三角法和向量法。

第一,利用坐标法解决几何问题。在研究几何问题时利用坐标系,可以对几何图形建立适当的坐标系,把几何图形转化成代数方程,从而用代数的方法解决几何问题。用坐标法求解几何问题的步骤是:①建立图形(立体图形)与空间向量的联系,用坐标表示问题中所涉及的点、线、面,把几何问题转化为代数问题;②通过坐标运算,研究点、线、面之间的位置关系;③根据运算结果的几何意义来解释相关问题。

实践证明,利用坐标系解决几何问题,可以使复杂的问题简单化。因此,在解决几何问题时,如果找不到直接的解决思路,那就可以把它放在直角坐标系中,从而实现顺利解题。笔者认为,在利用坐标系解决几何问题的过程中,建立坐标系是最关键的一步。对于平面几何问题,只需使用平面直角坐标系就可以解决,而对于空间立体几何问题,则需要建立空间直角坐标系。值得注意的是,在确定坐标轴时,要尽量使图形中的各边、各顶点都落在坐标轴上,这样既能很方便地表示出各顶点坐标,而且求解的过程也很简便,数据相对较小,更容易计算。

第二,利用三角法解决几何问题。学生在解决实际问题时,时常会遇到一些“不能到达的距离问题”“不能触及的高度问题”“测量工具不够的情况下测量角度的问题”,或者是“航海问题”“计算面积问题”等,此时是不能直接从原模型中计算出来的,对此,教师就可以引导学生建立数学模型,将它们转化为三角形,用正弦定理、余弦定理等三角形的工具来解决。解决这一类题的步骤是:①分析题意,分清已知与未知,画出示意图;②把题目中的已知量和未知量都放在三角形中,建立解三角形的模型;③利用正弦和余弦定理,把所要求解的目标解出来。

第三,利用向量法解决几何问题。向量是既有大小又有方向的量,大小是代数方面的表现,方向是几何方面的表现,所以向量本身是一个数形结合的产物。用向量解决平面几何问题的步骤如下:①建立平面几何与向量之间的联系,用向量表示问题中涉及的几何元素,将平面几何问题转化为向量问题。例如两条直线相互垂直,就可以用两条直线的方向向量a·b=0来表示;②通过向量运算,研究几何元素之间的关系;③把运算结果“翻译”成几何关系。例如a=λb,表示以a和b为方向的两条直线相互平行。用向量研究平面几何问题,是向量的一个重要应用,也是高考的热点,主要考查应用向量的数量积和线性运算去解决平面几何中的长度、夹角、平行、垂直等问题。

(2)以形助数。在思考和解决代数问题时,对于某些从表面上看来与几何毫不相关的概念和问题,有时可以从某些特定的角度出发,画出一个图形或者是示意图,把所要讨论的问题进行几何直观的描述,这样就会对问题的求解提供很多有益的启示。由此可见,借助图形可以把代数问题中的数量关系揭示得更加直观、形象。

我们常用的运用几何思想解决代数问题的方法有:利用函数的图象解决函数问题;把函数图象与轴的交点看成是方程的根,从而解决方程和不等式问题;通过画出约束条件表示的区域,然后求出目标函数的最优解,从而解决线性规划问题等。

第一,利用函数图象来解决函数问题。函数的图象和性质是利用数形结合思想方法解决问题的良好载体。在平时的函数学习中,我们常见的函数图象与函数性质的对应主要有以下几个方面:函数的定义域、值域与坐标轴全部或者是部分对应;函数的最大值和最小值与函数图象的最高点和最低点对应;函数的单调性表现为函数图象的走向;函数的奇偶性表现在函数图象是关于原点对称还是关于y轴对称;函数的周期性表现在函数图象是否有规律地重复出现或是重叠。学生知道函数图象与性质的以上对应,那就可以充分利用数形结合的数学思想方法来解决函数问题。

第二,利用函数图象解决方程和不等式问题。方程的根和函数的零点(函数图象与x轴交点的横坐标)是一一对应的,解方程时如果遇到一些不能用求根公式的方程,这时我们就可以利用函数图象来找出函数的零点,即方程的根。此外,还有一类题目可以把方程的左右两边看成是两个函数,在同一个坐标系中做出两个函数的图象,这两个图象的交点个数就是函数的共同解的个数,交点的横坐标就是方程的根。

不等式问题同理,因为不等式就是把方程中的等号换成不等号。在方程中,方程的根可以看成是函数的零点,即函数图象与x轴交点的横坐标。在不等式中,不等式的解集和方程也是相似的:当不等式大于零时,就代表着函数图象在x轴上方时对应的x的值;当不等式小于零时,代表着函数图象在x轴下方时所对应的x的值。所以在解不等式时,把函数图象画出来,可以通过观察函数图象从而得到不等式的解集。特别地,在解决高次不等式问题时,首先把不等式分解成一次式乘积的形式,使用穿针引线法把标在数轴上的各个根连接起来,注意奇过偶不过的原则,然后把数轴上方或下方对应的x的值表示出来就是不等式的解集。

第三,利用函数图象解决线性规划问题。线性规划问题是高考中的常考题目,这类问题一般是先给出一个不等式组,称之为约束条件,然后给出一个函数(目标函数),来求目标函数的最大值或最小值问题。解决这类问题的一般步骤是:①在平面直角坐标系中做出可行域(约束条件所表示的区域);②在了解目标函数几何意义的基础上,通过一系列方法将目标函数进行变形;③确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直线,从而得到最优解;④求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值。

有时候题目不会直接给出目标函数和约束条件,而是给出一个应用题的形式,这时,我们就需要分析里边的数据关系,列出目标函数和约束条件,然后再根据求解典型线性规划问题的步骤去解答。

第四,利用函数图象解决数列的问题。我们可以把数列看成是一类特殊的函数,它的图象就是一些孤立的点。特别是对于等差数列,它的图象就是一条直线上孤立的点,它的通项公式是一次函数,它的前N项和公式是常数项为零的二次函数。既然数列是一类特殊的函数,当然可以利用函数图象来解决数列的问题。但是,要注意的是数列的定义域和函数的定义域是不一样的,数列的定义域是不连续的,它只有一些离散的点。比如说等差数列{an}的前N项和为Sn,通项公式为an,那么若要求满足an≥Sn时n的取值,就可以通过画出对应的一次函数和二次函数的图象来求解。

但不是所有数列的题目都可以用数形结合的方法,只有当函数图象很容易画出时求解类似的问题才比较简单。所以运用数形结合的思想方法来解决数列问题最常见的问题是等差数列的问题。

除了以上4种以形助数的情况外,还有很多可以运用数形结合思想方法来解决的数学问题。例如,利用韦恩图或数轴的方法表示集合,这样利用数形结合的方法,可以使得某些复杂的集合之间的关系变得非常简单明了。此外,利用函数图象还可以求方程的近似解的问题,这与求方程的解的个数所使用的方法是类似的。

从上述内容可以看出,数形结合的思想方法是解决问题非常重要的一种思想方法。所以,教师教学时不能只满足于教会学生某一个问题,还应该通过某一类型的问题引导学生领悟藏在问题里面的数学思想方法,这样,学生在学习过程中不断受到该数学思想方法潜移默化的影响,才能将该数学思想方法迁移到解决类似问题的过程中。只有这样,学生才能学会数学,最终学好数学。

参考文献

[1]陈婉华.在数学教学中提高学生的多种能力[J].青年探索,2005,(6).

[2]钟志华,宁莲花,白金平.例谈数学思想方法的教学策略[J].数学教育学报,2007.

[3]周述岐.数学思想与数学哲学[M].北京:中国人民大学出版社,1993.

[4]朱成杰.数学思想方法教学研究导论[M].北京:高等教育出版社,2007.

高考数学思想方法专题讲义3--数形结合的思想 篇8

关键词：数形结合 高中数学教学 应用

数学是一门具有较强逻辑性的学科，也是研究数量关系及空间图像的学科，对于高中生而言，数学知识非常枯燥，在学习的时候，难度比较大。为此，在高中数学教学中，教师一定要根据数学知识，采取有效的教学方法，加强学生对数学知识的理解与学习，进而取得良好的教学效果。

一、数形结合思想方法概述

（一）概念

在高中数学中，数、形是两个非常重要的元素，数指的就是数量关系，形指的就是空间图像。高中数学中的一些数量关系可以转变成图形，进行求解，当然一些图形问题也可以转变为数量关系，进行求解，实际上，就是利用数、形互换方式进行求解。数形结合求解就是将数学中的图像转变为数学语言，通过抽象与形象思维的结合，利用形象图像解决抽象问题，实现化难为易的效果，提高学生的解题能力。

（二）原则

1.双向性原则

双向性原则指的就是对几何图形进行直观分析的同时，还要对其代数抽象性进行分析。代数语言的逻辑性、精确性非常强，可以避免几何直观的约束性，充分突出了数形结合的优势。

2.等价性原则

等价性原则指的就是“数”的代数性质和“形”的几何性质在进行转化的时候，应该是等价的。因为图形局限性，导致在画图的时候，容易出现准确性不好的问题，影响了解题效果。为此，在数形结合应用过程中，一定要重视等价性原则。

二、高中数学教学中数形结合思想方法的应用

（一）数转形

图形的形象性、直观性非常强，相对于数学语言来说，具有很强的优势。所以，在高中数学教学中，可以将一些抽象的、难以求解的代数问题，利用数形结合思想方法转变为图形问题，这样就可以启发学生的思维，明确解题思路，进而实现有效解题，提高学生的解题能力。比如，设方程|x2-1|=k+1，讨论k取值不同时，方程解的个数。解题分析：在实际解题的时候，可以将方程转变为两个函数：y1=|x2-1|、y2=k+1，之后画出相应的图示，对方程进行求解。因为函数y2=k+1表示的和x轴平行的直线，为此，其图像如下所示。

解析：当k<-1的时候，两个函数没有交点，也就表示原方程没有解；当k=-1的时候，两个函数有两个交点，也就表示原方程有两个解；当k在（-1，0）之间的时候，两个函数有四个交点，也就表示原方程有四个解；当k=0的时候，两个函数有三个交点，也就表示原方程有三个解；当k>0的时候，两个函数有两个交点，也就表示原方程有两个解。

通过此道例题可以看出，在探讨方程求解或者函数零点个数问题的时候，可以利用数形结合思想方法进行解题，可以有效激发学生的解题思路，有助于学生的快速解题。同时，通过直观图形的展示，可以培养学生的观察能力，对拓展学生的思维也有着一定的作用。

（二）形转数

虽然图形具有很强的形象、直观优势，但是也存在着一些局限性，缺少计算的精准性与推理的逻辑性，特别是在解决一些数学问题的时候，弊端非常明显，无法单独依靠图形予以解题，并且还容易发生一些错误。所以，在面对此种情况的时候，可以通过数形结合思想方法，将图形转变为代数语言，扩展解题思路，对问题进行有效解决。比如，设f（x）=x2-2ax+2，当x在[-1，+∞）间取值的时候，f（x）>a恒成立，对a的取值范围进行求取。

解析：当x在[-1，+∞）间取值的时候，f（x）>a恒成立，得知x2-2ax+2-a>0在此范围是恒成立的。所以，g（x）=x2-2ax+2-a在此范围中处在x轴上方。如下图形式。保证不等式成立的条件包括两点：一是，△=4a2-4（2-a）<0，求得a的取值范围在（-2，1）之间；二是，△≥0，g（-1）>0，a<-1，求得a的取值范围在（-3，1）之间。

通过此例题可以看出，一些求取具体值的数学问题，无法利用图形进行准确求值，此时可以将图形问题转换为代数问题，这样就可以快速求解。在此过程中，学生一定要进行充分考虑，不要漏掉任何已知条件，考虑各种可能，这样才可以保证求解完全，正确解题。

（三）数、形的结合应用

在高中数学教学过程中，数、形解题都存在着一定的缺陷，却又是相辅相成的。在很多数学问题中，需要充分利用数、形的优势，通过两者的共同运用，解决问题。比如，在解决一些静态函数问题的时候，可以通过坐标系-图像的动态表达，对问题进行阐述，进而予以有效解决。图像能够形象、直观的表达函数的不足，而函数解析式具有计算精准的特点，可以弥补图像精准性不高的缺陷，通过两者的结合运用，可以有效解决问题。一般而言，在高中数学教学中应用数形结合思想方法，主要在一次函数、二次函数、三角函数等解题应用，同时，直线、圆锥曲线图形可以充分表达一些代数变化，对解题有着一定的帮助作用。比如，点M（x，y）是圆（x-2）2+y2=3上的任意一点，对（x-y）的最小值与最大值进行求取。

解析：设x-y=b，可以将此方程转变为y=x-b，将直线与圆相切，那么-b就是直线在y轴上的截距，如下图所示，b1就是（x-y）的最小值，b2就是（x-y）的最大值。

通过此例题的可知，在高中数学教学中，通过数形结合思想方法的运用，可以为解题提供便利条件，并且能够实现抽象知识与形象知识的有效转换，不仅培养了学生的数学思维，也增加了解题思路，对提高学生的数学成绩有着积极作用。

总而言之，在高中数学教学中，要想有效提高学生的数学成绩与解题能力，就要重视解题方法的运用。所以，在教学中，教师一定要向学生传授一些有效的解题方法，而数形结合思想方法就是一种非常适合的方法，可以拓展学生的解题思路，发散学生的解题思维，对培养学生的数学思维有着重要的意义，值得相关人士进行深入研究。

参考文献：

[1]范粤.高中数学教学中渗透数形结合思想应注意的几个问题[J].数理化学习，2014，（07）.

基于数形结合思想的数学教学 篇9

一、数形结合思想的初步认识

只有数据而缺乏图示的信息，显得不够形象直观；只有图形而没有数据的描述，难以细致全面地深入分析信息.因此，教学中，我们提倡抽象与直观因素的有机结合，也就是数学中常用到的“数形结合”思想.其实质是代数与几何的巧妙融合和灵活转化.数形结合思想指导我们在抽象数学思维和形象图形思维之间进行合理转化，把精确的代数刻画与形象的几何描绘统一起来，这样便能够凸显数学问题的本质所在，很多问题的解决也变得简单快捷.在初中数学教学中，教师要积极引导学生学会利用数形结合思想方法分析问题.在数形结合思想的教学中，教师可以从几个主要的角度入手.建立不等式、方程、函数等代数模型；通过几何图形或函数图像等几何模型来解决方程和函数问题；解决与函数有关的代数和几何的综合性题目；用适当的图像呈现题目的数学信息.数形结合思想的关键是准确找出数与形的结合点，学生要善于借助归纳类比法、观察分析法、综合概括法等其他方法，发现题目中数与形的结合点.

二、数形结合思想的深层渗透

在初中数学教学中，教师要学会通过对数学基本概念的深入分析，将数形结合思想深入到整个数学体系当中.数学概念反映的是一类对象的属性，是对一类知识点本质的高度概括，同时也是进行数学推断，建立数学定理、法则和公式的依据.因此，将数学概念作为扩展数形结合思想的立足点，不仅能够反映事物在数量以及空间层面的本质属性，还有利于思想方法在同类知识中的大范围扩散.数形结合思想全面渗透到每一个数学概念之中，能够帮助学生进一步把握概念的本质，同时也为数形结合这一抽象的思想方法寻到了一个具体有效的载体.在对渗透了数形结合思想的数学概念进行理解的基础上，再进一步运用数形结合思想解决具体题目.此时，教师要发挥例题的作用，通过分析典型例题来明确运用数形结合思想的具体思路.

在实数内容的学习中，我们将实数直观的定义为和数轴上的点一一对应的数，这很好地凸显出了数形结合思想的应用.直线是无限多个点的集合，实数也包含了正实数、零和负实数在内的无数个数字.两者在数量上存在共性，因此，直线上的点可以表示实数.由此，我们引入了数轴——规定了原点、正方向和单位长度的直线就是数轴.建立了数轴上的点与实数一一对应的关系.今后在学习绝对值、相反数、有理数等内容的时候，也可以利用数轴做更为直观的理解.除此之外，在学习一元一次不等式和一元一次不等式组的相关内容时，在数轴上表示不等式的解集，学生就能够更加直观地理解不等式的解集问题.“数轴”所蕴含的“数形结合”思想，即是数学概念与数形结合思想的有机渗透，有助于学生进一步强化对数形结合思想的全面掌握.

函数及其图像也是初中数学教学中的一个重点.在直角坐标系中，有序实数对（x，y）与点P存在着一一对应的关系，因此，函数与其图像必然符合数形结合思想.在解题过程中，我们可以将已知函数用其对应的图像来表示，从而分析出函数的性质，研究函数的变化趋势、对称特点、增减性，以及对应方程的解的情况等问题.下面我们就这一问题进行分析.

【例1】已知抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴的交点是点（0，3）.

（1）求m的值，并画出抛物线的图像；

（2）求抛物线图像与x轴的交点坐标、抛物线顶点的坐标；

（3）确定x的取值范围，使得抛物线位于x轴的上方；

（4）确定x的取值范围，使得y值能够随着x的增大而减小.

解析：（1）由抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴相交于点（0，3）可以计算出m的值为3，所以得出抛物线为y=-x2+2x+3.图像略.

（2）由-x2+2x+3=0可解得x1=-1，x2=3.所以，抛物线与x轴相交于点（-1，0）和（3，0）.

又因为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4）.

（3）由抛物线图像可知，当-1

（4）观察抛物线的图像，得出x>1，使得y值随着x的增大而减小.

在学习圆这一章的知识时，点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系突出表现了数形结合思想.在解直角三角形这一章当中，三角函数概念、推导三角形的解法，都与数形结合思想相关联.下述例题考查的是解三角形问题和直线与圆的位置关系.

【例2】已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC

为了培养学生的创新意识，打造适应现代化建设的新型人才，国家逐步加大了素质教育体制和课程改革的推进力度.素质教育以理论知识和灵活分析问题、处理问题的能力来考查学生的综合素质.在初中数学教学中，教师也要意识到学生创新思维和探索能力的培养.数形结合是一种应用广泛的重要思想方法，有利于拓展学生的思维空间，激发学生的求知欲望.因此，应该将数形结合思想有效地与课堂教学相互渗透，将数形结合思想的具体应用加以升华.本文结合了具体的数学例子对基于数形结合思想的初中数学教学展开了讨论.

一、数形结合思想的初步认识

只有数据而缺乏图示的信息，显得不够形象直观；只有图形而没有数据的描述，难以细致全面地深入分析信息.因此，教学中，我们提倡抽象与直观因素的有机结合，也就是数学中常用到的“数形结合”思想.其实质是代数与几何的巧妙融合和灵活转化.数形结合思想指导我们在抽象数学思维和形象图形思维之间进行合理转化，把精确的代数刻画与形象的几何描绘统一起来，这样便能够凸显数学问题的本质所在，很多问题的解决也变得简单快捷.在初中数学教学中，教师要积极引导学生学会利用数形结合思想方法分析问题.在数形结合思想的教学中，教师可以从几个主要的角度入手.建立不等式、方程、函数等代数模型；通过几何图形或函数图像等几何模型来解决方程和函数问题；解决与函数有关的代数和几何的综合性题目；用适当的图像呈现题目的数学信息.数形结合思想的关键是准确找出数与形的结合点，学生要善于借助归纳类比法、观察分析法、综合概括法等其他方法，发现题目中数与形的结合点.

二、数形结合思想的深层渗透

在初中数学教学中，教师要学会通过对数学基本概念的深入分析，将数形结合思想深入到整个数学体系当中.数学概念反映的是一类对象的属性，是对一类知识点本质的高度概括，同时也是进行数学推断，建立数学定理、法则和公式的依据.因此，将数学概念作为扩展数形结合思想的立足点，不仅能够反映事物在数量以及空间层面的本质属性，还有利于思想方法在同类知识中的大范围扩散.数形结合思想全面渗透到每一个数学概念之中，能够帮助学生进一步把握概念的本质，同时也为数形结合这一抽象的思想方法寻到了一个具体有效的载体.在对渗透了数形结合思想的数学概念进行理解的基础上，再进一步运用数形结合思想解决具体题目.此时，教师要发挥例题的作用，通过分析典型例题来明确运用数形结合思想的具体思路.

在实数内容的学习中，我们将实数直观的定义为和数轴上的点一一对应的数，这很好地凸显出了数形结合思想的应用.直线是无限多个点的集合，实数也包含了正实数、零和负实数在内的无数个数字.两者在数量上存在共性，因此，直线上的点可以表示实数.由此，我们引入了数轴——规定了原点、正方向和单位长度的直线就是数轴.建立了数轴上的点与实数一一对应的关系.今后在学习绝对值、相反数、有理数等内容的时候，也可以利用数轴做更为直观的理解.除此之外，在学习一元一次不等式和一元一次不等式组的相关内容时，在数轴上表示不等式的解集，学生就能够更加直观地理解不等式的解集问题.“数轴”所蕴含的“数形结合”思想，即是数学概念与数形结合思想的有机渗透，有助于学生进一步强化对数形结合思想的全面掌握.

函数及其图像也是初中数学教学中的一个重点.在直角坐标系中，有序实数对（x，y）与点P存在着一一对应的关系，因此，函数与其图像必然符合数形结合思想.在解题过程中，我们可以将已知函数用其对应的图像来表示，从而分析出函数的性质，研究函数的变化趋势、对称特点、增减性，以及对应方程的解的情况等问题.下面我们就这一问题进行分析.

【例1】已知抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴的交点是点（0，3）.

（1）求m的值，并画出抛物线的图像；

（2）求抛物线图像与x轴的交点坐标、抛物线顶点的坐标；

（3）确定x的取值范围，使得抛物线位于x轴的上方；

（4）确定x的取值范围，使得y值能够随着x的增大而减小.

解析：（1）由抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴相交于点（0，3）可以计算出m的值为3，所以得出抛物线为y=-x2+2x+3.图像略.

（2）由-x2+2x+3=0可解得x1=-1，x2=3.所以，抛物线与x轴相交于点（-1，0）和（3，0）.

又因为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4）.

（3）由抛物线图像可知，当-1

（4）观察抛物线的图像，得出x>1，使得y值随着x的增大而减小.

在学习圆这一章的知识时，点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系突出表现了数形结合思想.在解直角三角形这一章当中，三角函数概念、推导三角形的解法，都与数形结合思想相关联.下述例题考查的是解三角形问题和直线与圆的位置关系.

【例2】已知△ABC是直角三角形，∠C=90°，AC

为了培养学生的创新意识，打造适应现代化建设的新型人才，国家逐步加大了素质教育体制和课程改革的推进力度.素质教育以理论知识和灵活分析问题、处理问题的能力来考查学生的综合素质.在初中数学教学中，教师也要意识到学生创新思维和探索能力的培养.数形结合是一种应用广泛的重要思想方法，有利于拓展学生的思维空间，激发学生的求知欲望.因此，应该将数形结合思想有效地与课堂教学相互渗透，将数形结合思想的具体应用加以升华.本文结合了具体的数学例子对基于数形结合思想的初中数学教学展开了讨论.

一、数形结合思想的初步认识

只有数据而缺乏图示的信息，显得不够形象直观；只有图形而没有数据的描述，难以细致全面地深入分析信息.因此，教学中，我们提倡抽象与直观因素的有机结合，也就是数学中常用到的“数形结合”思想.其实质是代数与几何的巧妙融合和灵活转化.数形结合思想指导我们在抽象数学思维和形象图形思维之间进行合理转化，把精确的代数刻画与形象的几何描绘统一起来，这样便能够凸显数学问题的本质所在，很多问题的解决也变得简单快捷.在初中数学教学中，教师要积极引导学生学会利用数形结合思想方法分析问题.在数形结合思想的教学中，教师可以从几个主要的角度入手.建立不等式、方程、函数等代数模型；通过几何图形或函数图像等几何模型来解决方程和函数问题；解决与函数有关的代数和几何的综合性题目；用适当的图像呈现题目的数学信息.数形结合思想的关键是准确找出数与形的结合点，学生要善于借助归纳类比法、观察分析法、综合概括法等其他方法，发现题目中数与形的结合点.

二、数形结合思想的深层渗透

在初中数学教学中，教师要学会通过对数学基本概念的深入分析，将数形结合思想深入到整个数学体系当中.数学概念反映的是一类对象的属性，是对一类知识点本质的高度概括，同时也是进行数学推断，建立数学定理、法则和公式的依据.因此，将数学概念作为扩展数形结合思想的立足点，不仅能够反映事物在数量以及空间层面的本质属性，还有利于思想方法在同类知识中的大范围扩散.数形结合思想全面渗透到每一个数学概念之中，能够帮助学生进一步把握概念的本质，同时也为数形结合这一抽象的思想方法寻到了一个具体有效的载体.在对渗透了数形结合思想的数学概念进行理解的基础上，再进一步运用数形结合思想解决具体题目.此时，教师要发挥例题的作用，通过分析典型例题来明确运用数形结合思想的具体思路.

在实数内容的学习中，我们将实数直观的定义为和数轴上的点一一对应的数，这很好地凸显出了数形结合思想的应用.直线是无限多个点的集合，实数也包含了正实数、零和负实数在内的无数个数字.两者在数量上存在共性，因此，直线上的点可以表示实数.由此，我们引入了数轴——规定了原点、正方向和单位长度的直线就是数轴.建立了数轴上的点与实数一一对应的关系.今后在学习绝对值、相反数、有理数等内容的时候，也可以利用数轴做更为直观的理解.除此之外，在学习一元一次不等式和一元一次不等式组的相关内容时，在数轴上表示不等式的解集，学生就能够更加直观地理解不等式的解集问题.“数轴”所蕴含的“数形结合”思想，即是数学概念与数形结合思想的有机渗透，有助于学生进一步强化对数形结合思想的全面掌握.

函数及其图像也是初中数学教学中的一个重点.在直角坐标系中，有序实数对（x，y）与点P存在着一一对应的关系，因此，函数与其图像必然符合数形结合思想.在解题过程中，我们可以将已知函数用其对应的图像来表示，从而分析出函数的性质，研究函数的变化趋势、对称特点、增减性，以及对应方程的解的情况等问题.下面我们就这一问题进行分析.

【例1】已知抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴的交点是点（0，3）.

（1）求m的值，并画出抛物线的图像；

（2）求抛物线图像与x轴的交点坐标、抛物线顶点的坐标；

（3）确定x的取值范围，使得抛物线位于x轴的上方；

（4）确定x的取值范围，使得y值能够随着x的增大而减小.

解析：（1）由抛物线y=-x2+（m-1）x+m与y轴相交于点（0，3）可以计算出m的值为3，所以得出抛物线为y=-x2+2x+3.图像略.

（2）由-x2+2x+3=0可解得x1=-1，x2=3.所以，抛物线与x轴相交于点（-1，0）和（3，0）.

又因为y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，所以抛物线的顶点坐标为（1，4）.

（3）由抛物线图像可知，当-1

（4）观察抛物线的图像，得出x>1，使得y值随着x的增大而减小.

在学习圆这一章的知识时，点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系突出表现了数形结合思想.在解直角三角形这一章当中，三角函数概念、推导三角形的解法，都与数形结合思想相关联.下述例题考查的是解三角形问题和直线与圆的位置关系.

高考数学思想方法专题讲义3--数形结合的思想 篇10

应用解析几何的观点，数对应着形，形也必然可以完美地表示數。解析几何的本质，是用代数研究几何问题，有了代数学的帮助，几何的推理与证明便可以完全用代数运算来完成，在简化逻辑思维的同时，也使数学的高度更加凸显。从另一方面说，用几何观点来研究代数问题，是否也应是人类更智慧的作品呢？将代数问题几何化，或者干脆说具备了几何意义，将繁琐的代数运算转化为简洁优美的图形，不也是一种更高层次的创造吗？

数学是统一、纯粹的学科，其驾驭其它学科的领袖地位，早已决定它必然是卓尔不群、清丽脱俗的。随着社会的飞速发展，其对数学的依赖越来越强，把目前这个社会叫做数学社会一点都不为过。数与形的相伴相生，早已把社会的各个角落作为点编制进去了。数学，作为基础学科，从小便伴随着我们成长，包括数的运算、图的绘制。从小学、初中代数与几何的分别研究到高中二者的完美统一，感觉这个世界真的很小，只不过就是数字与点的不同结合而已。

对于几何问题，构建一个恰当的坐标系，使其具有了代数的背景，繁琐臃肿的线条便就简化为几个数字的运算，很高妙、很神奇。平面解析几何、空间解析几何，都毫不例外地充当了这个重要的角色。代数问题的核心是方程，求解方程问题是人类最杰出的工作。在初中一直对方程的解、方程组的解困惑，学过解析几何后才真正的明白，方程不过是直线或曲线，解方程也就是在求直线或者曲线与x轴交点的横坐标。方程更是如此，也就是求两条或几条曲线的交点坐标，所谓解的个数，不过就是曲线交点的个数。二元二次方程组最多四组解，其实质原来就是两条曲线最多四个交点。代数与几何原来可以这样完美的结合，互相解释，那么这个世界真的可以叫做数学的世界。

看着飞船在天上绕着地球运转，你大可不必担心飞船会绝尘而去。它永远要恪守人类为之绘制的曲线，一条封闭的曲线——椭圆。这条曲线的绘制，绝不是简单或杂乱无章的美术，它需要成百上千甚至上亿次的方程运算。代数与几何对人类的贡献，已不仅仅是停留在纸面上展示智慧的玩具，更是造福社会、征服宇宙的基石。认识到数形结合的价值，我们才是一个数学的人，这个社会才是一个数学的社会，这个宇宙才是一个数学的宇宙。