函数解析式

函数解析式（共12篇）

函数解析式 篇1

作为一名高中数学教师, 经常会碰到给出函数的一些性质求函数的解析式问题, 如果教师能对常见的一些函数性质所确定的函数类型有清楚的认识, 在解题的过程中就有明确的思路, 消除无从下手的困惑, 提高解决抽象函数问题的能力, 帮助、指导自己的教学.

在高中阶段, 常见的抽象函数性质主要有下面几种 (下面问题中x, y都为实数) .

1.f (x+y) =f (x) +f (y) +a, x, y∈R, 求f (x) .

2.f (x+y) =f (x) +f (y) , 且f (0) =1, f′ (0) =a, 求f (x) .

3.f (xy) =f (x) f (y) , 且 f (1) =1, f′ (1) =n, 求f (x) .

4.f (xy) =f (x) +f (y) , 且f (1) =0, f′ (1) =a, 求f (x) .

5.f (x-y) +f (x+y) =2f (x) f (y) , 且f (0) =1, f′ (0) =0, f″ (0) =-1, 求f (x) .

6.f (x+y) = (f (x) +f (y) ) / (1-f (x) f (y) ) , f (0) =0, f′ (0) =1, 求f (x) .

现将以上6个问题一一解答:

问题1令x=y=0, 得f (0) =-a, 对f (x+y) =f (x) +f (y) +a

的两边分别关于x求导得

从以上解答结果可看出, 满足性质1的函数为线性函数, 给出不同初值, 可得不同一次函数.若f (0) =0, 则f (x) =cx.

问题2对f (x+y) =f (x) f (y) 两边分别关于x和y求导有

由结果可知, 符合性质2的函数为指数型函数, 这和指数的运算法则“ax+y=axay”在形式上是一致的.

问题3对f (xy) =f (x) f (y) 的两边分别关于x, y求导得

由上面结果可知, 若f′ (1) =a (a∈R) , x, y>0, 则f (x) =xa为幂函数, f (xy) =f (x) f (y) 与幂函数的运算法则 (xy) a=xaya在形式上是一致的.

问题4对f (xy) =f (x) f (y) 的两边关于x, y分别求导得

可看出性质4的结果为对数型函数, 当f′ (1) =1, x>0时, f (x) 为对数函数, 其形式和对数运算法则ln (xy) =lnx+lny (x, y>0) 是一致的.

问题5对f (x-y) +f (x+y) =2f (x) f (y) 两边关于x求导有

所以y=cosx, 知满足条件f′ (0) =0.

(ⅲ) 当p=±1时, f (x) =±x不合性质, 应舍去.

可以看出, 若去掉条件f′ (0) =0则 (ⅰ) 之结果也成立, 知给不同初值可得不同的函数, 并且f (x-y) +f (x+y) =2f (x) f (y) 在形式上和cos (x-y) +cos (x+y) =2cosxcosy是一致的.

问题6对f (x+y) (1-f (x) f (y) ) =f (x) +f (y) 的两边关于y求导得:

综上所述, 可知高中阶段所学的几种基本初等函数, 可用给出函数性质的方法定义, 而这些性质在形式上与所定义函数的某个运算法则或公式是相一致.

函数解析式 篇2

一般式：y=ax2+bx+c(a≠0)

顶点式：y=a(x－h)2+k(a≠0)，其中(h,k)是抛物线的顶点坐标

两根式：y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，其中x1、x2是抛物线与x轴的两个交点的横坐标.一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式yax2bxc，然后解三元方程组求解；

例.已知二次函数图象经过A（0，3）、B（1，3）、C（－1，1）三点，求该二次函数的解析式。

二、已知抛物线顶点坐标时和抛物线上另一点时，通常设解析式为顶点式yaxhk求解。2例.已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，－6），且经过点（2，－8），求该二次函数的解析式。

三、已知抛物线与x轴的交点的横坐标时，通常设解析式为交点式ya(xx1)(xx2)。

例．二次函数的图象经过A（－1，0），B（3，0），函数有最小值－8，求该二次函数的解析式。

综合练习：

1.已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式． 2.已知抛物线顶点坐标为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式．

3.已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式．

4.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式．

5.已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次函数的解析式．

如何求一次函数解析式？ 篇3

一、两点式

例1一次函数的图象过点M（3，2）、N（1，6）两点.

（1）求函数的解析式；

（2）画出该函数的图象.

解析：（1）设函数的解析式为 =+ ，根据题意，得

由①得= 23.

由②得= 6.

所以23 = 6.

即 = 2.

将 = 2代入②，得 = 4.

所以关于的函数表达式为 = 24.

（2）图象如右图，由 = 24知，图象与轴、 轴的交点坐标分别为（2，0）、（0，4）.

二、对应值式

例2 已知函数 =+ （，是常数），当 = 1时， = 7；当 = 2时， = 16，求这个函数的解析式.

解析：由已知条件可得如下两个方程

由①得= 7.

由②得= 162. 所以7=162，解得= 9.

将 = 9代入①得= 2. 所以函数解析式为= 92.

三、图象式

例3如图，已知直线AB与轴交于点A，与轴交于点B.

（1）写出A、B两点的坐标；

（2）求直线AB的函数解析式.

解析：（1）A（2，0）、B（0，4）；

（2）设直线AB的函数解析式为 =+ .因为直线AB经过A、B两点，可得

解得 = 2， = 4.

故所求的函数解析式为 = 2 + 4.

四、图表式

例4弹簧挂上物体后伸长，测得一弹簧的长度 （cm）与所挂物体的质量 （kg）之间的数量关系如下表，试求关于的函数表达式.

解析：由图表可知，弹簧总长 （cm）与所挂物体的质量 （kg）之间为一次函数关系，故可设函数解析式为 =+ ，将任意两组对应值代入即可求出解析式.

则有

解得= 0.5.

将= 0.5代入①，得= 12.

所以弹簧总长 （cm）与所挂物体的质量 （kg）之间的函数关系式为 =+ 12（≥0）.

练习：

1.已知一次函数的图象经过点A（0，2）和B（3，1），那么这个一次函数的解析式为（）.

A. =+ 2B. =+ 2

C. = 2 D. = 2

2.若1与成正比例，且当 = 2时， = 4，那么与之间的函数关系式为__________.

3.小明是个书迷，他经常去市图书馆租书.图书管理员李叔叔告诉小明，图书馆有两种租书方式：一种是使用会员卡，一种是使用租书卡.使用这两种卡，租书费用（元）与租书天数（天）之间的关系如右图.

（1）如果小明办理租书卡，那么他租书一个月（按30天计算）应付费多少元？

（2）如果小明办理会员卡，那么他第一个月租书应付费多少元？

4.随着我国人口增长速度的减慢，小学入学儿童人数有所减少.下表中的数据大致反映了某地区入学儿童人数的变化趋势.

利用你所学的函数知识解决以下问题：

①入学儿童人数 （人）与年份 （年）的函数关系式为__________.

②如果按照此趋势，预测该地区从________年起入学儿童人数不超过1000人.

参考答案：

1.C.

2. =+ 1.

3.（1）如果办理租书卡，那么租书所付金额1与租书天数之间的函数关系式为1 = 1，∵当 = 100时，1 = 50，∴50 =1001，∴1 = 0.5，1 = 0.5.

当 = 30时，1 = 0.5×30 = 15.

∴办理租书卡，他一个月应付租书金额为15元.

（2）如果办理会员卡，那么租书所付金额2与租书天数之间的函数关系式为2 = 2 + .

∵当 = 0时， = 20；当 = 100时， = 50，

∴解得

∴2 = 0.3 + 20.

当 = 30时， = 0.3×30 + 20 = 29.

∴如果办理会员卡，他第一个月应付29元.

4.①= 2710190（1999）； ② 2008.

求函数解析式7法 篇4

例1已知f (x) =x2-2x-1, g (x) =x+1, 求f[g (x) ].

2.换元法

3.配凑法

例3已知f (x+1) =2 (x2+x+1) , 求f (x) .

4.待定系数法

例4已知函数f (x) 为二次函数, 且f (x+1) +f (x-1) =2x2-4x, 求f (x) .

分析已知函数类型求解析式, 可设表达式的一般式, 然后根据已知条件通过代入求出系数.

解设f (x) =ax2+bx+c (a≠0) , 则

5.方程消元法

例5已知3f (x) +2f (-x) =x+3, 求f (x) .

分析x, -x同时使得f (x) 有意义, 用-x代替x建立关于f (x) , f (-x) 的两个方程即可求得f (x) .

解因为3f (x) +2f (-x) =x+3, 1用-x代替x, 得

6.奇偶性法

例6已知f (x) 是R上的奇函数, 当x>0时, f (x) =x2+x+1, 求f (x) 的解析式.

分析利用函数的奇偶性求函数的解析式要注意:求给定哪个区间的解析式就设这个区间上的变量为x, 然后把x转化为-x (另一个已知区间上的解析式中的变量) , 通过适当的推导, 求得所求区间上的解析式.

解当x<0时,

7.特殊值法

例7设f (x) 是R上的函数, 且满足f (0) =1, 并且对任意实数x, y有f (x-y) =f (x) -y (2x-y+1) , 求f (x) 的表达式.

分析如果所给函数方程含有两个变量时, 可对这两个变量交替用特殊值代入, 或使这两个变量相等代入, 再用已知条件, 可求出未知的函数.

几种典型函数解析式的求法集合 篇5

一． 换元法

题1．已知f(3x+1)=4x+3, 求f(x)的解析式.练习1．若f（1x)x

1x,求f(x).二．配变量法

题2．已知f(x1

x)x21

x2, 求f(x)的解析式.练习2．若f(x1)x2x,求f(x).三．待定系数法

题3．设f(x)是一元二次函数, g(x)2xf(x),且g(x1)g(x)2x1x2,求f(x)与g(x).练习3．设二次函数f(x)满足f(x2)f(x2),且图象在y轴上截距为1,在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的表达式.四．解方程组法

题4．设函数f(x)是定义(－∞,0)∪(0,+ ∞)在上的函数,且满足关系式

13f(x)2f()4x,求f(x)的解析式.x

x1)1x,求f(x).练习4．若f(x)f(x

五．特殊值代入法

题5．对于一切实数x,y有f(xy)f(x)(2xy1)x都成立，且f(0)1.求f(x).f(x)1练习5．设f(x)是定义在N上的函数,且f(1)2,f(x1)，求f(x)的2解析式.练习

1．设f(x)是定义在N上的函数,若f(1)1,且对任意的x,y都有：

1f(x)f(y)f(xy)xy, 求f(x).(f(x)(x21))22、已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 求f(x)的解析式。

3、求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+74、已知f(x+1)=x+2x，求f(x)的解析式

5、已知f(x-1)= x2-4x，解方程f(x+1)=06、已知f(x+1)= x2+1，求f(x)解析式。

7、设函数F(x)=f(x)+g(x)其中f(x)是x 的正比例函数，g(x)是x2的反比例函数，又F(2)= F(3)=19,求F（x)的解析式。

8、已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]=4x-1,求f(x)的解析式。

9、设f(x)=2x2-3x+1,g(x-1)=f(x),求g(x)及f [g(2)].10． 已知f(x)是一次函数，且f[f(x)]4x6，求f(x)．

（f(x)2x2或f(x)2x6）

11． 若f(1)x

x1x,求f(x)．（f(x)1

x1）

12．若f(x1

x)x21

x2，求f(x)．（f(x)x22）

13．若f(1

x)2f(x)x,求f(x)．(f(x)2x21

3x)

14．若f(3x2)x2x，求f(2)．（f(2)＝4

9）

15．已知f(x)3f(x)2x6,求f(x)．（f(x)1

浅谈函数解析式的求解策略 篇6

[关键词]函数解析式求解策略

[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058（2015）140038

函数解析式是研究函数性质的基础，其解析式的求法也综合了代数、三角函数、几何的相关知识以及相应的数学思想方法.本文仅对函数解析式的求法加以概括和归纳.

一、换元法

【例1】对所有实数x，满足条件：f（2x-3）=4x2 -2x+3，求f（x）的解析式.

解： 令 t=2x-3，则 x=t+32.

所以f（t）=4（t+32）2-2（t+32）+3=t2+5t+9，

即 f（t）=t2 +5t+9，

所以 f（x）=x2 +5x+9.

小结：能从换元后的函数方程中解出x的函数解析式问题常用此法.

二、配凑法

【例2】若f（x+1x）=x3+1x3，求f（x）.

解：∵f（x+1x）=x3+1x3=

（x+1x）（x2+1x2-1）=

（x+1x）[（x+1x）2-3]

，

∴f（x）=x（x2-3）=x3-3x.

小结：不能从换元后的函数方程中解出x的函数解析式问题常用此法.

三、待定系数法

【例3】已知f （x）是二次函数，且f（x+1）+f（x-1）=2x2-4x+4，则f （x）=.

小值点，

∴f（43）=

8×43+16

1+43-1+169

=40

，当x=ba=43时，结合已知求得a=10，b=403.

方法三：联想几何意义，构造三角函数求最值

将1a+2b=14

转化为4a+8b=1，联想到直线截距式方程xa+yb=1.

问题转化为：过定点P（4，8）的直线l分别交x，y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，求△ABO周长的最小值.

解：设直线l的倾斜角的补角为θ，0<θ<π2，过P作y轴的垂线，垂足为D，过P作x轴的垂线，垂足为C，如右图.

如图可知，PB=4cosθ，BD=4tanθ，

PA=8sinθ，AC=8tanθ.

则△ABO周长

l=a+b+a2+b2

=12+4cosθ+

4tanθ+8sinθ+8tanθ

=12+4cosθ+

4sinθcosθ+

8sinθ+

8cosθsinθ

=12+8（1+cosθ）sinθ+

4（1+sinθ）cosθ=

=12+8×2cos2θ22sinθ2cosθ2+

4（sinθ2+cosθ2）2

cos2θ2-sin2θ2

=

12+8·cosθ2sinθ2+

4（sinθ2+cosθ2）cosθ2-sinθ2

=12+8tanθ2+

4（tanθ2+1）1-tanθ2

.

令tanθ2=x（0

则l（x）=12+8x+4（x+1）1-x.

∴l′（x）=-8x2+8（x-1）2.

令l′（x）=0，则-8x2+8（x-1）2=0

，解得x=12.

易求l（12）=40，所以△ABO周长的最小值为40.

即a+b+a2+b2的最小值为40.

方法四：联想几何意义，利用几何性质求最值

（利用方法三中的假设）如图2⊙M是的旁切圆，由圆的切线长性质知，BE=BD，AE=AC，所以的周长为OC+OD=2OC（四边形OCMD为正方形），OC为旁切圆的半径，因此，要使的周长最小，就要使的旁切圆的直径最小.又当仅当点（4，8）是直线AB与⊙M相切的切点时，旁切圆的半径最小.设⊙M的圆心为（m，m）， 则半径为m， ⊙M的方程为（x-m）2+（y-m）2=m2，将（4，8）代入方程得：（4 -m）2+（8 -m）2=m2 ，解方程得m=20. 所以周长的最小值为40. 即的最小值为40.

综上所述，最值问题作为高中数学中的难点和热点问题之一，我们只要把握了思维方向，就能从不同角度分析问题，寻求到解决问题的方法.

[参考文献]

[1] 张国定.含参不等式恒成立问题的解法研究综述[J]. 数学教学研究，2013（6）.

[2] 王耀.多方位审视多策略解题[J].数学教学研究，2013（8）.

[3] 龚海滨.二次函数逆向最值问题的优化策略[J].高中数学教与学，2014（9）.

[4] 张婷婷.一道最值问题的多视角求解[J]，高中数学教与学，2014（10）.

求解抽象函数解析式六法 篇7

【例1】已知，求f(x).

【例2】已知f(3x+1)=4x+3，求f(x）的解析式．

二、凑合法：在已知f(g(x））的条件下，把h(x）拼凑成以g(u）表示的代数式，再利用代换即可求f(x)

∴f(x)=x(x2-3)=x3-3x（|x|≥1).

【例4】已知，求f(x）的解析式．

三、待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件确定出关系式中的未知系数

【例5】已知f(x）为二次实函数，且f(x+1)=x2+2x+4，求f(x).

解：设f(x)=ax2+bx+c，则f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c=x2+2x+4比较系数得解得a=1,b=0,c=3.

∴f(x)=x2+3.

四、利用函数性质法：主要利用函数的奇偶性，求分段函数的解析式

【例6】已知y=f(x）为奇函数，当x>0时，f(x)=lg(x+1），求f(x).

解：∵f(x）为奇函数，∴f(x）的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表达式．

∵-x>0，∴f(-x)=lg(-x+1)=lg(1-x).

∵f(x）为奇函数，∴lg(1-x)=f(-x)=-f(x),

∴当x<0时，f(x)=-lg(1-x).

【例7】设f(x）是偶函数，当x>0时，f(x)=e·x2+ex，求当x<0时，f(x）的表达式．

解：由x>0时，f(x)=e·x2+ex，则f(-x)=e·（-x)2+e-x=ex2+e-x.

由f(x）为偶函数，得f(x)=f(-x）．

当x<0时，f(x)=ex2+e-x.

五、赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出f(x）的表达式

【例8】已知f(0)=1，对于任意实数x、y，等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1）恒成立，求f(x).

解：对于任意实数x、y，等式f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1）恒成立，

不妨令x=0，则有f(-y)=f(0)-y(-y+1)=y2-y+1,

再令-y=x得函数解析式f(x)=x2+x+1.

【例9】函数f(x）对一切实数x,y均有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x成立，且f(1)=0．求f(x）的解析式．

解：令x=1,y=0，代入得f(1+0)-f(0)=(1+2×0+1）×1，整理得f(0)=2.

令y=0，得f(x+0)-f(0)=(x+0+1)x，

所以f(x)=x2+x+2.

六、方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式

【例10】设f(x）满足

显然x≠0，将x换成，得

函数解析式求法例析 篇8

一、拼凑法

已知f[g (x)]的解析式，要求f (x)时，可从f[g (x)]的解析式中拼凑出“g (x)”，即用g (x)来表示，再将解析式的两边的g (x)用x代替的方法叫做拼凑法。

二、换元法

对于已知f[g (x)]的表达式，求f (x)的解析式这类问题，总可以令t=g (x)，解出x=φ-1 (t)，代入f[g (x)]的表达式，推导出f (t)的解析式，最后将t改写成x得到f (x)的解析式，这种方法即为换元法。

如上例2，还可以如下解：

注：对以上两种方法，在求完解析式后，要注意函数的准确定义域，这是容易忽略的。

三、定义法

结合函数的结构特征，即利用其对应法则得出解析式。

四、待定系数法

已知f (x)的函数类型，要求f (x)的解析式时，可根据类型设其解析式，从而确定其系数的方法。

例6：已知函数f (x)是一次函数，且f[f (x)]=4x+3，求f (x)。

分析：依题意可设f (x)=ax+b (a≠0),

∴函数为f (x)=2x+1或f (x)=-2x-3。

例7：已知f (x-2)=2x2-9x+13，求f (x)。

分析：观察条件易知f (x)是一个一元二次函数。

注：我们学过的函数还有正比例函数y=k/x，反比例函数y=xk (k≠0)，以及指数函数y=ax，对数函数y=logax，幂函数y=xa等，我们都要相应学会应用。

五、解方程组法

一般而言，若条件中同时出现f[φ(x)]与f[ψ(x)]，这里或ψ(x)=φ(x)，可先用换元法，令t=φ(x)，解得x=φ-1 (x)，再用1/t或-t代替x，得到f (t)和f (1/t)或f(-t)为元的方程组，消去f (1/t)或f(-t)，解出f (t)的解析式，最后将t改写成x得到f (x)的解析式，这种方法即为解方程组法。

六、赋值法（亦称特殊值法）

一般而言，若已知条件是一个含有n个变量的等式，且该等式对变量允许范围内的任何值都成立，则可考虑适当取一些特殊的数值，使等式变得简易或能够用上其他已知条件，并结合换元法，从而求出函数解析式，这种方法即为特殊值法。使用该方法的关键是能够有针对性地、巧妙地选取若干特殊值，从而达到解题的目的。

例10：设f (x)是R上的函数，且满足f (0)=1，并且对于任意实数x, y，有f (x-y)=f (x)-y (2x-y+1)，求f (x)。

分析：由f (0)=1, f (x-y)=f (x)-y (2x-y+1)。

设x=y，得f (0)=f (x)-x (2x-x+1)，即f (x)=x2+x+1。

七、叠加法

以上介绍的是几种常见的求解函数解析式的方法，其中有些解法是相互联系的。一个题目可能需要运用多种以上的方法才能获解，因此，我们要多锻炼综合应用所掌握的方法，准确解决相关问题的能力，只有这样，才能做到“对症下药”，使问题迎刃而解。

参考文献

根据已知条件求函数的解析式 篇9

一、待定系数法

已知函数类型，假定函数的解析式，由题设条件列方程，求待定系数值。

例1：求一个实数的一次函数F (x)，使得F{F}=8x+7。

解：设F (x)=ax+b (a, b∈R)

二、换元法

已知F[g (x)]是关于x的函数，即F[g (x)]=F (x)。

求F (x)的解析式，通常令g (x)=t, x=Φ(t)，代入F[g (x)]=F (x)中，求得F (t)的解析式，再用x替换t便得F (x)的解析式。

例2： (1)已知F (x-2)=3x-5，求F (x);

(2)已知F (1-cosx)=sin2x，求F (x)。

解：(1)令t=x-2，则x=t+2, t∈R

由已知有f (t)=3 (t+2)-5=3t+1，故f (x)=3x+1。

三、消去法

在题设条件中，已含有所需函数的隐式，充分利用已知条件消去其余部分。

例3：设f (x)满足，求f (x)的解析式。

∴将x换成，原方程为

联立 (1) (2) 消去，得f (x)=

四、特殊值法

将适当变量取特殊值，使问题具体化、简单化，从而找出规律，求出解析式。

例4：已知f (0)=1, f (a-b)=f (a)-b (2a-b+1)，求f (x)。

解：令a=0，则f(-b)=f (0)-b(-b+1)=1+b2-b。

再令-b=x，即得f (x)=1+x (x+1)=x2+x+1。

五、分段函数的解析式

对分段函数应分别求出各区间内的函数关系，再组合在一起。

反比例函数解析式的“三副面孔” 篇10

一、指数式常用来确定正、反比例函数的解析式

例1已知函数y= (m-2) xm2-5m+5+ (m-1) (m-3) (m是常数) 。

(1) 当m取什么值时, 它是正比例函数?它的图像在哪几个象限?

(2) 当m取什么值时, 它是反比例函数?它的图像在哪几个象限?

分析:函数y=kxn+b为正、反比例函数的条件分别是k≠0, b=0, n=1和k≠0, b=0, n=-1。

解: (1) 由正比例函数的概念可知:m-2≠0, 且m2-5m+5=1, (m-1) (m-3) =0, 解得m=1。

当m=1时, 函数为:y=x, 所以其正比例函数的图像在第一、三象限;

(2) 由反比例函数的概念可知:m-2≠0, 且m2-5m+5=-1, (m-1) (m-3) =0, 解得m=3。

当m=3时, 函数为:y=x-1, 所以其反比例函数的图像分别在第一、三象限。

二、乘积式常用来区分正、反比例函数

例2 (1) 已知y与z成正比例, z与x成反比例, 问y与x成什么关系?

(2) 已知三角形的底边为x, 底边上的高为y, 其面积为5, 问y与x成什么关系?

分析判断两变量是正比例函数还是反比例函数, 主要是看它们是两变量的积为常数, 还是两变量的比为常数。若两变量的积为常数, 这两变量是反比例的关系;若两变量的比为常数, 这两变量是正比例的关系。

解 (1) ∵y与z成正比例, ∴y=k1z (k1≠0的常数) ,

∵k1k2≠0的常数, ∴y是x的反比例函数。

(2) 由题意得:所以y是x的反比例函数。

三、一般式可以用来判断图像、求函数值等

例3正比函数y=2kx与反比例函数在同一坐标系中的图像不可能是 ()

分析一般式也叫定义式, 它的用途很广, 可以用它解决正反比例的一切问题, 特别是函数的图像判断, 这是因为函数的性质是用一般式归纳出来的。

解A、B、C都有可能, 但是D不可能, 这是因为其正比例函数的图像在第二、四象限, 2k应小于零。k-1也应小于零, 此时的反比例函数的图像不会在第一、三象限。

新说二次函数解析式的求法 篇11

【关键词】二次函数；解析式；交点型

我们知道，二次函数的解析式有三种形式，第一种是一般式： ，它反映了二次函数的式子特点；第二种是顶点式： ，它反映了抛物线的对称轴及顶点坐标；第三种是交点式： ，它反映了抛物线与 轴交点的坐标.在具体求二次函数解析式的问题中，怎样选择合适的方法解决问题是需要我们认真思考的，方法选择得好，可以事半功倍.

下面，我们通过一个实例来说明如何灵活运用这几种函数形式来解决求二次函数解析式的问题.

引例：若一条抛物线经过点 ， ， ，求此抛物线的解析式.

[分析一]知抛物线上三点求二次函数解析式是非常典型的二次函数问题，很自然我们会想到运用二次函数的一般式，将三点代入得到一个三元一次方程组解之可得.

（法一）解：设所求抛物线解析式为： 则

点 ， ， 在此抛物线上

解之得

故所求抛物线解析式为： .

[分析二]在这个问题中，用一般式求此抛物线解析式是很典型的解法，不过，如果我们仔细看这三个点不难发现，有两个点纵坐标均为2，这个特点是否一定程度反映了此抛物线的一个什么特点呢？我们可以思考一下，要是 、 两点纵坐标是 该有多好呀！那样，我们就可以运用交点式来求此抛物线的解析式了.想到这里，我们可以从动态的角度来看待这个问题，可以看成这条抛物线刚开始经过点 ， ，后又整体向上平移2个单位得到.这样，我们就可以设此抛物线解析式为： ，将 点代入得到 即可.我们试试看能否得到该抛物线解析式.

（法二）解：设此抛物线解析式为： 则

点 在此抛物线上

故所求抛物线解析式为： .

以上解答过程所得到的抛物线解析式与第一种方法得到的解析式是吻合的，说明我们的思考是正确的.

由此，我们可以得到这样一个结论：

若一抛物线经过点 ， ，则可设此抛物线解析式为： .

这一形式的得到是类比交点式得到的，我们不妨称之为交点型.事实上，交点式 是交点型的一种特殊情况，特殊在 .

[分析三]换一个视角，我们知道，每一条抛物线都关于一条对称轴对称，对称体现在哪里呢？事实上，除顶点外，其余点都是成双成对出现的，每对对称点纵坐标均相等，对称轴是每对对称点所连线段的垂直平分线，因此，只要有抛物线上一对对称点，就可以找到对称轴.

在这个具体的问题中，由于点 ， 的纵坐标均为2，显然是一组对称点，如图，连接 ，取线段 的中点 ，由中点坐标公式可得： 点坐标为 ，过点 作线段 的垂线，所得直线 即是所求抛物线的对称轴，恰好 点坐标为 ，说明 点是抛物线与对称轴的交点，由此可见： 点就是所求抛物线的顶点，这样，我们还可以运用顶点式来求此抛物线的解析式.

（法三）解： 点 ， 关于直线 对称

点 是所求抛物线的顶点

设所求抛物线解析式为： 则

点 在此抛物线上

故所求抛物线解析式为： .

通过法三的思考，我们可以得到这样一个结论：

若一抛物线过点 ， ，则此抛物线的对称轴为： .

我们这个问题可以运用顶点式带有一定的偶然性，因为刚好点 就是此抛物线的顶点.有些时候，我们可以运用这个结论快速解决抛物线对称轴的问题，例如：

若一抛物线过点 ， ， ，则此抛物线的对称轴为.

[分析]点 ， 由于纵坐标相等，均为3，故A、B是抛物线上一组对称点，则此抛物线的对称轴为： ，故应填： .

有了这个结论，在这样的问题中就可以快速找到对称轴，省去了求抛物线解析式的麻烦.

通过运用三种方法解决上面知抛物线上三点求抛物线解析式的问题，我们发现：用一般式求抛物线解析式是通法，所有知三点求抛物线解析式的问题均可以用一般式解决，但是，解三元一次方程组时运算量较大，容易出错；当有两点纵坐标相等时，我们就可以采用交点型，将第三点代入确定二次项系数，化为一般式即可，较一般式，计算过程简单得多；至于第三种方法，利用顶点式，由于很偶然，我们只需要掌握如何通过一组对称点快速寻找对称轴即可.

综上可得：在知抛物线上三点求抛物线解析式的问题中，运用一般式求抛物线解析式是通法，当有两点纵坐标相等时，运用交点型可达到事半功倍的效果.

巧用对称性求函数解析式 篇12

一、关于原点对称

证明一条曲线关于原点对称

设P (x, y) 是曲线上任意一点, 则P' (-x, -y) 是P关于原点的对称点, 若点P' (x, y) 满足曲线的方程, 则称该曲线关于原点对称.

例1求证:曲线x2+y2=25关于原点对称.

证明设P (x, y) 是曲线上任意一点, 则P关于原点的对称点的坐标是P' (-x, -y) , 把P'点的坐标代入方程得 (-x) 2+ (-y) 2=x2+y2=25, 方程成立, ∴曲线x2+y2=25关于原点对称.

二、关于x轴对称

证明一条曲线关于x轴对称

设P (x, y) 是曲线上任意一点, 则P' (x, -y) 是P关于x轴的对称点, 若点P' (x, -y) 满足曲线的方程, 则称该曲线关于x轴对称.

例2求证:曲线y2=4x关于x轴对称.

证明设P (x, y) 是曲线上任意一点, 则P关于x轴的对称点的坐标是P' (x, -y) , 把P'点的坐标代入方程得 (-y) 2=y2=4x, 方程成立, ∴曲线y2=4x关于x轴对称.

三、关于y轴对称

证明一条曲线关于y轴对称

设P (x, y) 是曲线上任意一点, 则P' (-x, y) 是P关于y轴的对称点, 若点P' (-x, y) 满足曲线的方程, 则称该曲线关于y轴对称

例3求证:曲线y=x2-4关于y轴对称.

证明设P (x, y) 是曲线上任意一点, 则P关于y轴的对称点的坐标是P' (-x, y) , 把P'点的坐标代入方程得y= (-x) 2-4=x2-4, 方程成立, ∴y=x2-4关于y轴对称.

四、关于直线y=x对称

证明一条曲线关于y=x对称

设P (x, y) 是曲线上任意一点, 则P' (y, x) 是P关于y=x的对称点, 若点P' (y, x) 满足曲线方程, 则该曲线关于y=x对称.

例4求证:曲线关于y=x对称.

证明设P (x, y) 是曲线上任意一点, 则P关于y=x的对称点的坐标是P' (y, x) , 把P'点的坐标代入方程得x=, 方程成立, ∴关于y=x对称.

求和已知函数图像关于y=x对称的函数图像的解析表达式:原式中的x与y互换

例5求和函数y=3x-5关于y=x对称的函数图像的解析表达式.

解所求解析式为:x=3y-5, 即:

五、关于直线y=-x对称

证明一条曲线关于y=-x对称

设P (x, y) 是曲线上任意一点, 则P' (-y, -x) 是P关于y=-x的对称点, 若点P' (-y, -x) 满足曲线的方程, 则称该曲线关于y=-x对称

例6求证:曲线关于y=x对称.

证明设P (x, y) 是曲线上任意一点, 则P关于y=-x的对称点的坐标是P' (-y, -x) , 把P'点的坐标代入方程得, 方程成立, ∴关于y=-x对称.

求和已知函数图像关于y=-x对称的函数图像的解析表达式:原式中的x换为-y, 原式中的y换为-x

例7求和函数y=3x-5关于y=-x对称的函数图像的解析表达式.

解所求解析式为:-x=3 (-y) -5, 即:

六、关于直线x=a对称

1. 证明一条曲线关于x=a对称

设x是函数定义域内的任意一个值, 若函数总有f (a+x) =f (a-x) 或f (x) =f (2a-x) , 则称函数f (x) 的图像关于直线x=a对称.

例8求证:曲线y=x2-2x+3关于x=1对称.

证明设x是函数定义域内的任意一个值, 则f (1+x) = (x+1) 2-2 (x+1) +3=x2+2, f (1-x) = (x-1) 2-2 (1-x) +3=x2+2, ∴f (1+x) =f (1-x) , ∴曲线y=x2-2x+3关于x=1对称.

2. 求和已知函数图像关于x=a对称的函数图像的解析表达式:原式中的x换为2a-x

例9求和函数y=3x-5关于x=1对称的函数图像的解析表达式.

解所求解析式为:y=3 (2-x) -5, 即:y=1-3x.

诸如此类的题目还有很多, 在此就不一一列举, 但凡是和对称有关的题目, 都可以考虑利用对称的特性来求函数的解析式.以上是本人关于对称性的浅显的思索, 请各位专家多加指正.

摘要：在中学阶段对于对称性的概念总是提得模模糊糊, 但是在解题过程中又经常应用, 本文试图从直接应用的角度来探讨对称性的相关知识.

关键词：对称,证明,应用

参考文献

[1]叶苗芬.三种函数的综合问题例析[J].初中数学教与学, 2011 (7) .

[2]杭磊.一道习题的几种解法[J].中学生数理化 (高中版·学研版) , 2011 (6) .