概念讲解

概念讲解（通用7篇）

概念讲解 篇1

小学数学概念是小学生理解和掌握数学知识的基础, 是解决问题的前提, 也是小学数学教学的一项重要内容.概念不清, 就会导致思维混乱, 也就无法正确地解决相关问题.因此, 在小学数学课堂教学中, 概念教学必须受到重视.概念的讲解是概念教学最为关键的一个阶段, 笔者试结合教学实践谈一谈概念讲解的教学策略.

一、讲清定义, 帮助学生记忆和应用概念

数学概念的定义所反映的只是最本质的属性, 概念的内涵不仅仅是定义, 还包括许多性质、定理、推论等.而概念的外延也不仅仅是几个典型的例子.教师在讲解时首先要让学生弄清概念的定义, 在这一过程中一定要把数学的科学概念与日常生活中的概念含义区别开来.讲清楚定义后, 就要讲清此概念所引出的性质、定理、推论等, 因为这样可以有效地帮助学生记忆和应用概念.比如, 平行四边形的定义是两组对边分别平行的四边形.而它的性质却包括:两组对边分别平行;两组对边分别相等;两组对角分别相等;对角线互相平分.它的判定则包括:两组对边分别平行的四边形;两组对边分别相等的四边形;两组对角分别相等的四边形;一组对边平行且相等的四边形.此外, 教师还要准确描述概念的外延, 防止不适当地扩大或缩小概念的外延.同时讲解数学概念时还要避免同一词语的反复.例如, 不能说“求两个数加在一起是多少叫做加法”.总之教师在讲解概念时既要保证讲的全面, 又要保证用词准确.

二、注重概念的连贯性, 注意概念的拓展与延伸

小学阶段数学概念的一大特点就是对许多概念的定义是初步的, 且随着年龄的增长逐步完善.从纵向上看, 许多的概念都随着学生知识的逐步积累, 认识的逐步深入, 而愈加完善.由义务教育数学课程标准研制组编制的《数学教师用书》中也指出:小学数学教材编写的特点之一是由浅入深、循序渐进、螺旋上升.教师不仅要熟悉现阶段的教学内容, 还要了解后续阶段的教学内容, 在给学生讲解概念的过程中始终注意将二者联系起来, 注重知识的连贯性.教师不能就概念论概念, 而是在讲解完概念的基本含义后, 注意概念的拓展与延伸.比如对圆的认识, 一年级的学生就接触到了, 但是当时对学生的要求只是在几何图形中能找到圆就行了;而到了五年级再认识圆时, 对学生的要求就更进一步, 不仅要求他们了解圆的各部分名称及各部分之间的关系, 还要求掌握圆的周长与面积的计算.这就要求教师在最初的教学时就应逐步渗透后续内容.

发展概念的方式很多, 除了渗透后续教学内容外, 还可讲述一些数学史的东西, 将概念的产生过程、发现此概念的数学家的生平经历、与概念有关的逸闻趣事, 筛选一些讲给学生, 这样就能使单纯的概念讲解增添了人文氛围, 使学生不仅在知识上, 更在情感上都有所得.任何课堂教学都是认知与情感的统一, 概念教学当然也不例外.

三、抽象的概念要回到具体直观的情境中

学生在获得抽象概念后还要回到具体的、直观的情境中, 以利于学生加深理解概念的意义.而如果教师在讲清概念之后不使概念具体化, 就会导致学生不会应用概念.这样由具体到抽象再到具体的过程, 正体现了人类认识的过程例如, 教学“乘法的含义”后, 给出一个乘法算式, 让学生用小棒摆出它表示的是几个几.教学“分数的意义”后, 让学生举实例说明它的含义.学生们通过动手操作, 动脑思考, 加深了对概念的理解.

四、及时巩固概念的效果

在讲清概念的含义, 突破难点以后, 要及时巩固.学生对概念的掌握不是一次就能完成的, 要由具体到抽象, 再由抽象到具体多次往复.当学生初步建立概念后还须运用多种方法促进概念在学生认知结构中的保持, 并通过不断地运用概念, 加深对概念的理解和记忆, 使新建立的概念得以巩固.

随着学生学习的深入, 他们掌握的概念不断增多, 出现的问题也越来越多.有些概念的文字表述相似, 有些概念的内涵相近, 这就非常容易使学生产生混淆, 如数位与位数、化简比与求比值、时间与时刻、比与比例, 质数与互质数、整除与除尽、偶数与合数等.因此在概念的巩固阶段, 教师就要特别注意运用对比的方法, 弄清易混淆概念之间的联系与区别, 促使概念的精确分化.针对这一问题可以采用苏格拉底式问法, 步步追问, 比如针对“质数与互质数”教师就可以问:“什么叫质数?什么叫互质数?质数的对象是几个数?互质数的对象是几个数?”教师也可直接呈现出几组数, 让学生在充分观察后从中选择.

学生是否牢固地掌握了某个概念, 不仅在于他是否能明确地说出这个概念的名称和定义, 更主要的是在于他能否正确地灵活运用, 尤其是与其他概念混在一起时的综合应用当学生对概念的内涵和外延已有充分的理解后, 教师就要引导学生将概念应用于实际情况, 解决实际问题, 因为这是我们学习概念的最终目的.其实, 解决问题的过程应该是学生亲身感受问题、寻找解题策略、实现“再创造”以及体验数学价值的过程.

总之, 小学数学课堂上, 为了让小学生全面掌握并熟练地应用概念, 教师要针对小学生的思维特点及认识能力, 有针对性地选择与组合相关的教学内容、教学组织形式、教学方法和技术, 并形成特定教学方案的动态过程.

概念讲解 篇2

摘要：在概率论与数理统计的学习中，“数学期望”是一个比较抽象的概念，本文阐述了“数学期望”概念讲解中比较重要的三个内容，即：如何“定义”，如何“引申”到连续型随机变量的定义，以及如何“过渡”到方差。

关键词：数学期望；概率论与数理统计；教学

中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）45-0199-03

在我们进行概率论与数理统计的教学中，教材的编排往往是在进行了随机变量及其分布函数的学习之后，立刻进入随机变量数字特征的学习，而最先面对的数字特征就是数学期望。“数学期望”这个概念的起源源于下面这个经典典故。

早些时候，法国有两个大数学家，一个叫做布莱士?帕斯卡，一个叫做费马。帕斯卡认识两个赌徒，这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说，他俩下赌金之后，约定谁先赢满5局，谁就获得全部赌金。赌了半天，A赢了4局，B赢了3局，时间很晚了，他们都不想再赌下去了。那么，这个钱应该怎么分？是不是把钱分成7份，赢了4局的就拿4份，赢了3局的就拿3份呢？或者，因为最早说的是满5局，而谁也没达到，所以就一人分一半呢？这两种分法都不对。正确的答案是：赢了4局的拿这个钱的3/4，赢了3局的拿这个钱的1/4。这是为什么呢？假定他们俩再赌一局，A有1/2的可能赢得他的第5局，B有1/2的可能赢得他的第4局。若是A赢满了5局，钱应该全归他；若B赢得他的第4局，则下一局中A、B赢得他们各自的第5局的可能性都是1/2。所以，如果必须赢满5局的话，A赢得所有钱的可能为1/2+1/2×1/2=3/4，当然，B就应该得1/4了。数学期望由此而来。

通过这几年的教学体会和教学经验，笔者发现“数学期望”这一概念尽管来源于生活，而且跟现实生活结合得非常紧密，但因为它非常抽象，一般同学学到这个地方就会感觉到难于理解和接受。本文对数学期望概念的讲解进行了介绍，以期起到“抛砖引玉”的作用。

一、关于如何定义“数学期望”

首先是如何引入的问题。对于如何引入“数学期望”，我们为了唤起学生的学习兴趣，激发他们的学习动力，可以举一些密切联系生活的例子，比如上面的经典典故，或者将上面的经典典故作稍许变动，得到另外一个例子，如文献[3]中就是将“赌金问题”换成了“乒乓球比赛问题”。我们也可以作这样类似的变动，以吸引学生的课堂注意力，加深他们对《概率论与数理统计》这门课程在解决生活实际问题的作用是非常大的印象，唤起他们对这门课程的兴趣，也激发他们对用数学方法处理现实问题的热情。

这种引入方法的特点是直接、简单，节省上课时间，如果教师认为教学任务比较繁重、教学时间比较紧张，无法保证后续内容时间的把控，那么可以采用这种简洁的方式进行引入工作。

接着可通过一个例题来求解数学期望，从而加深学生对定义的理解和记忆。例如下面这则简单例子：掷一枚六面骰子，已知其各面朝上的可能性是相同的，则掷得的点数的数学期望是多少呢？

此时可以引导学生思考：骰子的任何一面都不可能为3.5，然而最后算得的掷得的点数的数学期望却是3.5，这说明了什么问题呢？这说明了期望值并不一定等同于常识中的“期望”，“期望值”也许与每一个结果都不相等。换句话说，期望值是该随机变量取值的平均数，期望值并不一定包含于随机变量的取值集合里，这就加深了学生对数学期望定义的理解和把握。

二、关于如何“引申”到连续型随机变量期望的定义

对于连续型随机变量其值充满整个区间，且取每一特定值的概率均为0，因此不能直接利用上述离散型随机变量期望定义求其数学期望。但可将连续型随机变量离散化，再由离散型随机变量的数学期望的定义引申出连续型随机变量的数学期望的定义。

三、关于如何“过渡”到方差

因为方差本身就是一种数学期望，但是如何引出“方差”这一数学期望却是要费一点心思的。比如说现在我们面前摆放着两只手表，它们每日的走时误差（以分为单位）分别以随机变量和表示，其分布律如下。

四、结语

通过实际的教学实践，我们发现“数学期望”概念对于许多同学来说是非常抽象的，因此，对它概念的讲解就应该是我们必须注意的地方。本文是笔者对“数学期望”概念的讲解的一点经验总结，希望能对概率论与数理统计的教学起到一点“抛砖引玉”的作用。

参考文献：

[1]盛骤，谢式千，潘承毅.概率论与数理统计[M].北京：高等教育出版社，2008.[2]李正耀，周德强.大学数学――概率论与数理统计[M].北京：科学出社，2009.[3]熊欧，仇海全，武洁.数学期望的教学方法新探[J].科技信息，2010，（3）.基金项目：长江大学教研项目（JY2011023）

对数学概念讲解的认识 篇3

讲解数学概念一般要经过以下四个程序。

1. 认识概念

在讲解一个概念以前, 应围绕这个概念明了五个方面的问题: (1) 这个概念讨论的对象是什么?有何背景? (2) 概念中有哪些规定和条件?它们与过去学习的知识有什么联系?这些规定和条件的确切含义是什么? (3) 概念的名称, 术语有什么特点?与日常用语比较与其他概念, 术语比较, 有无容易混淆的地方?应当如何理解这些区别? (4) 这个概念有没有重要的等价说法?为什么等价? (5) 根据概念中的规定和条件, 能归纳出哪些基本性质?各个性质又是有概念中的哪些因素决定?这些性质在应用中有什么作用?能否派生出一些重要的数学思想方法?

2. 引进概念

数学概念本身是抽象的, 所以新概念的引入一定要从学生的知识水平出发, 密切联系实际。由于概念产生、发展的途径不同, 因此引入概念的途径也不同。

对原始概念的引入, 应通过一定数量的感性材料来引入, 使学生看得见、摸得着。但需要注意, 事例的引入一定要抓住概念的本质特征, 要着力揭示概念的真实含义。

例如, 在讲解“平面”这个概念的时候, 可以从常见的桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来, 但在讲解中一定要注意突出“无限延伸性和没有厚度”的本质特征。有些概念则可以借助生动形象的直观模型和教具, 使学生从感性认识逐步上升到理性认识, 形成清晰的概念。尤其在立体几何教学中, 由于学生的空间想象能力有限, 因此模型和教具的使用更具有重要作用。但是, 教具的使用也要得当, 要注意科学性和准确性。

对于那些由旧概念深化、发展而来的新概念, 不要将其直接教给学生, 一定要从理解上下功夫, 应精心选用引人入胜的方法。

例如, “数列极限”这个概念可这样设计:

师:0.9的循环和1是否都是有理数?

生:是。

师:哪个大?

生:1。

师:大多少?

生:……

师:看, 如果0.9取无限个循环0.99999……=3× (0.3333……) =3× (1/3) =1了!

这样再引入“数列极限”的概念, 因为0.9的循环是可以无限的, 用有限的方法无法找到它的准确值, 现在就可以自然、顺畅地引入这一新概念。

3. 形成概念

在教学中, 引入概念, 并使学生初步把握了概念的定义之后, 不等于形成了概念。要想让学生形成概念, 还必须在感性认识的基础上对概念做辨证分析, 用不同的方法揭示不同概念的本质属性。

(1) 反复练习, 巩固概念。

正面阐述概念的本质属性后, 应安排作巩固练习。

例如, 引入因式分解后, 可选择下列例题让学生回答:下列由左边到右边的变形, 哪些是因式分解?为什么?

(2) 通过变式深化理解概念。

例如, 钝角三角形的高, 我们要按照图 (1) 来建立概念, 然后再用其他的图形 (图2或3) 让学生练习, 否则以后三角形位置一变, 学生就找不到钝角三角形的高了。

(3) 用新旧概念的对比加快形成概念。

数学是一门系统的科学, 数学知识则是由概念和原理组成的体系, 每一个概念总要与其他概念发生联系, 只有学生领会了所学概念在整体中的位置后, 才能深刻理解。

(4) 继续引导分析学会运用概念。

数学概念的外延和内涵不是一成不变的, 它们在自身的发展中不断充实, 所以应将数学概念纳入到它自身的矛盾运动中去分析。

例如, “角”的概念开始局限于平面内, 且在180度内, 即:锐角, 钝角, 直角;以后发展到平角, 周角;又出现了任意角 (正角) ;规定了旋转方向后, 又有了正角、负角的概念;若在空间内, 又有了空间的两直线所成的角, 直线和平面所成的角, 平面与平面所成的角, 等等。

(5) 从角度透视消除概念混淆。

概念引入后, 还应从反面消除模糊认识, 严格区分易混淆概念。

例如, 讲“三线八角”后, 可设计一些稍复杂的图形提问 (如下图4) :

下列叙述是否正确?

∠1与∠2是同位角。

∠3与∠4是同位角。

∠5与∠6是内错角。

这样学生就能认准对象, 概念清晰。

4. 深化概念

根据学生认识规律, 不能指望一次成功, 在概念形成后, 还应采取措施加深理解。

首先, 抓住重点, 分散难点, 有计划地安排概念的形成与深化过程。

例如, 三角函数的概念, 就应先抓住正弦函数作为重点。又由于正弦函数概念涉及比的意义、角的大小、点的坐标、距离、相似三角形, 函数等概念和知识, 其中“比”是最本质的特征, 因此是正弦函数的重点, 但这个“比”的比值又是随角的大小的确定而确定的, 因而函数概念和距离是教学中的难点和关键, 考虑到要将难点分散, 可先给学生复习一下距离的有关概念, 然后紧扣函数这一基本线索, 引导学生去思考并解决:“为什么在角的终边上所取的是任意的, 而相应的比值却是确定的?”

其次, 把概念教学与定理, 公式, 以及解题融为一体, 使学生在应用中加深对概念的理解。

例如, 方程的“根”和函数的“零点”, 表面上看来都很容易掌握, 在教学中如果把两个概念与根的判别式, 函数的性质, 绝对值的性质概念等有关知识割裂开来, 学生就不能熟练应用。

已知y=ax2+bx+c的图像如图 (5) , 若|OA|=|OC|, 求a, b, c之间的关系。

有的同学可能得到错误结论:b+ac-1=0。

答对的同学可能有两种解法:

解法一:因为抛物线的开口向下, 则a<0

又顶点M在第一象限, 故-b/ (2a) >0

所以b>0

由已知可得 (b-) ÷2a=c

即4ac (b-ac-1) =0, ac≠0

所以b-ac-1=0

解法二:由|OA|=|OC|点C是抛物线与Y轴的交点

所以OC=-c, 即点A的坐标为 (-c, 0)

故图像与X轴交点的横坐标就是函数的零点

所以a (-c) 2+b (-c) +c=0

所以b-ac-1=0

比较两种解法, 后者显然是最佳的。

为了讲清楚数学中的基本概念, 教师对概念的两个特性一定要把握住:一个是概念具有确定性和灵活性;一个是概念具有的本质属性。

概念的确定性是说概念的内涵与外延要确定, 不能有含糊不清, 变化无常。但是应该注意, 所谓概念的确定性是相对的, 是在一定条件下的确定, 而不是永恒不变的。由于客观事物的不断发展, 人类认识事物的不断加深, 反映客观事物本质属性的概念也在不断地发展变化, 这就反映了概念的灵活性。

例如代数学, 在开始时是计算的科学, 进而是研究方程理论的科学, 现在则是研究结构的科学。又例如“指数”概念的发展, 由正整数到零指数, 负指数, 分指数, 无理指数, 由有限运算到无限运算。

概念的确定性与灵活性的关系一定要处理好, 教师在备课时, 如果只注意确定性, 将使概念僵化, 甚至会出现前后矛盾;如果只注意灵活性, 则否定了概念的内涵与外延的区别, 也不能反映事物的本质。学生在回答问题或做题时出现的错误, 往往是对一些数学概念的本质属性没有真正地把握。因此教师在备课时, 一定要突出概念的本质属性。

例如, 讲“相似多边形”, 就必须突出“对应角相等, 对应边成比例”这两个条件。两个条件只有一个成立时就不能判定相似性。

为了加深对一些数学的基本概念的认识, 在正面说明概念本质的属性后, 接着举出一些实例让学生来辨认, 是使学生对概念懂得透彻、记得牢固、用得灵活的重要方法。

例如, 讲了指数法则后, 接着问学生:a2·a3=a6, (3n) 2=6n2都对吗?讲了对数定义后, 接着问学生:log35, log24, log21/3, log13, log04都能称为对数吗?为什么?以错订正, 从正反两方面去认识数学概念, 对正确理解数学概念会起到极好的促进作用。

综上所述, 我们可以得出这样的结论:加深对概念的理解, 是提高解题能力的基础;反过来, 只有通过解题实践, 才能加深对概念的理解。所以, 概念与解题、基础和能力都不可以偏废, 而应相辅相成, 辩证统一于教学中。

摘要：本文总结了讲解数学概念的教学程序, 即认识概念、引进概念、形成概念、深化概念, 并结合具体的例子加以佐证。

概念讲解 篇4

Lulu 上节课已经给同学们上了一节语法课，为了让同学们更好地理解课文，我再详细地讲解一下两个最基础的句子结构，上节课课堂表现不错！希望同学们加把劲完成以下练习哦~

一、先简单认识英语语法中的几个常用概念：语法、句法、句子结构、句子成分。语法：研究英语的方方面面，范围很广。语法包括了词法、句法。

句法：属于语法,句法研究句子的各个组成部分和它们的排列顺序。句法研究的对象是句子。句子结构：例如主系表、主谓宾等等。

句子成分：组成句子的成分，如：主语、系动词、表语、谓语、宾语等。

二、主 系 表

就是主语+系动词+表语

主语：句子的主角、主人公，一般在句子开头。主语一般是名词和代词（eg.Apple,I,He）系动词:是联系动词的简称,它是起到联系作用的动词，是连接主语和表语的。(eg.am,is,are)表语：表语跟在系动词后面,没有表语,就没有系动词。表语通常是来说明主语的性质、特征。

I am Lulu.He is good.They are boys.My mother is

a teacher.主

系

表

主

系

表

主

系

表

主

系

表

※练指出句子中主语、系动词、表语。试试说出主语和表语的词性(名词、形容词、短语)1 Tom is a student.2 He is fat.3 I am tired.4 We are students.5 The bag was lost.6 The boy was foolish.7 They were kind.8 She is in the room.9 The books are on the desk.10 Snow is white.三、主 谓（宾）

就是主语+谓语（+宾语）

谓语：表状态或动作。表示状态的就用“主系表”句型来表示。表示动作的就用“主谓宾”。谓语一般是动词。(eg.love,beat,teach)宾语：跟在谓语后面，是动作的对象、承受者。例句：

①I love you.I love him.I love her.I 是主语，love是谓语，you/him/her是宾语。

概念讲解 篇5

[案例]某项融资租赁资产的预计使用年限为10年,在承租人和出租人的租赁协议中规定租赁期为8年,则租赁资产的剩余期为2年。在本例中,以数字符号①、②等表示某一特定时点;以英文字母a、b等表示某一事项价值。具体说明见图1。

[分析]①代表“租赁开始日”,即租赁协议日与租赁各方就主要条款作出承诺中较早者。在该时点上需要判断租赁类型(即融资租赁还是经营租赁)以及估计确定租赁资产公允价值(g)和资产余值(e)等项目的金额,以及正式确认初始直接费用(f)。

②代表“租赁期开始日”,即承租人有权行使其使用租赁资产权利的日期,表明租赁行为的开始。①与②可以是相同点,也可以是不同点;当二者是不同点时,①向②渐近。在该时点上,承租人需要对租入资产入账价值、最低租赁付款额、未确认融资费用进行初始确认;出租人需要对最低租赁收款额、未担保余值(d)、未实现融资收益进行初始确认。

③代表“租赁期满日”,是承租人对租赁资产进行返还、优惠续租以及留购的选择时点。②与③之间的距离为“租赁期”,本例中为8年。

④代表“使用年限满日”,是该项资产不再提取折旧的终结点。③与④之间的距离为“剩余期”,本例中为2年;②与④之间的距离为“预计使用年限”,本例中为10年。

f代表“初始直接费用”,是指租赁谈判和签订协议的过程中发生的可直接归属于租赁资产的费用。该项费用是在①时点(即租赁开始日)上发生的,出租人和承租人都有可能承担。

g代表“租赁资产公允价值”,是指在租赁开始日(即①时点)确定的某项租赁资产在租赁期开始日(即②时点)估计确认的公允价值,即租赁期开始日(即②时点)租赁资产的公允价值。

a代表“租金”,是指在租赁期间内(在②与③的时段内),出租人应收回的或者承租人应支付的相当于分期销售或者分期购买租赁资产的本金和利息之和。

e代表“资产余值”,是指在租赁开始日,估计租赁期满时(即③时点)租赁资产的公允价值。其数值可分解为b+c+d或者h+d。

b代表“承租人担保余值”,是指针对承租人而言的,由承租人或与其有关的第三方担保的资产余值。

c代表“第三方担保余值”,是指与承租人和出租人均无关,但在财务上有能力担保的第三方担保的资产余值。

d代表“未担保余值”,是指在资产余值(即e)中扣除就出租人而言的担保余值(h)的金额。在数值上等于e-h或者e-(b+c)。

h代表“出租人担保余值”,是指针对出租人而言的,承租人的担保余值(b)与第三方担保余值(c)之和。即数值上等于b+c。

“担保余值”概念是指针对承租人而言的“承租人担保余值”(b),或者指针对出租人而言的“出租人担保余值”(h)。

k代表“优惠购买价款”,是指在租赁开始日,承租人在租赁期满时(即③时点)预计将会行使购买租赁资产的选择权,所订立的购买价款(k)参照于资产余值(e),并远低于资产余值(e)。

“最低租赁付款额”,是指在租赁期内,承租人应支付或可能被要求支付的各种款项(不包括或有租金和履约成本),加上由承租人或与其有关的第三方担保的资产余值。在数值上等于a+b,也是承租人作为应付融资租赁款的计量金额(注:如果存在优惠购买租赁资产的选择权,其数值等于a+b+k)。

“最低租赁收款额”,是指最低租赁付款额加上独立于承租人和出租人的第三方对出租人担保的资产余值,在数值上等于a+b+c或者a+h。出租人的应收融资租赁款也是以最低租赁收款额为计价依据,即在租赁期开始日,租赁开始日最低租赁收款额与初始直接费用之和作为应收融资租赁款的入账金额,在数值上等于a+b+c+f或者a+h+f。

“出租人的租赁内含利率”,是指在租赁开始日,使最低租赁收款额的现值与未担保余值的现值之和等于租赁资产公允价值与出租人的初始直接费用之和的折现率。以租赁开始日(即①)为折现时点,将最低租赁收款额(a+h)和未担保余值(c)进行折现,其现值之和等于租赁开始日的估计确定租赁资产公允价值(g)和正式确认初始直接费用(f)之和,该折现率就是出租人的租赁内含利率。即PV(a+h)+PVc=g+f,求得的折现率。

“承租人的租赁折现率”,当承租人以租赁资产公允价值作为租入资产的入账价时,未确认融资费用的分摊率是以承租人的租赁折现率为依据,该折现率是指在租赁期开始日(②),使最低租赁付款额的现值等于租赁资产公允价值的折现率。即PV(a+b)=g,求得的折现率。

“租入资产的入账价值”,在租赁期开始日(②),租赁资产的公允价值(g)与最低租赁付款额(a+b)的现值两者中较低者。即min[g,PV(a+b)]。

“未确认融资费用”,是指在租赁期开始日(②),承租人的最低租赁付款额与租入资产的入账价值之间的差额。即(a+b)-min[g,PV(a+b)]。

“未实现融资收益”,是指在租赁期开始日(②),以租赁开始日(即①)为折现时点,将出租人的最低租赁收款额、初始直接费用及未担保余值之和与其现值之和的差额,作为未实现融资收益。即[(a+h)+f+d]-[PV(a+h)+PVf+PVd]。

概念讲解 篇6

早些时候, 法国有两个大数学家, 一个叫做布莱士·帕斯卡, 一个叫做费马。帕斯卡认识两个赌徒, 这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说, 他俩下赌金之后, 约定谁先赢满5局, 谁就获得全部赌金。赌了半天, A赢了4局, B赢了3局, 时间很晚了, 他们都不想再赌下去了。那么, 这个钱应该怎么分?是不是把钱分成7份, 赢了4局的就拿4份, 赢了3局的就拿3份呢?或者, 因为最早说的是满5局, 而谁也没达到, 所以就一人分一半呢?这两种分法都不对。正确的答案是:赢了4局的拿这个钱的3/4, 赢了3局的拿这个钱的1/4。这是为什么呢?假定他们俩再赌一局, A有1/2的可能赢得他的第5局, B有1/2的可能赢得他的第4局。若是A赢满了5局, 钱应该全归他;若B赢得他的第4局, 则下一局中A、B赢得他们各自的第5局的可能性都是1/2。所以, 如果必须赢满5局的话, A赢得所有钱的可能为1/2+1/2×1/2=3/4, 当然, B就应该得1/4了。数学期望由此而来。

通过这几年的教学体会和教学经验, 笔者发现“数学期望”这一概念尽管来源于生活, 而且跟现实生活结合得非常紧密, 但因为它非常抽象, 一般同学学到这个地方就会感觉到难于理解和接受。本文对数学期望概念的讲解进行了介绍, 以期起到“抛砖引玉”的作用。

一、关于如何定义“数学期望”

首先是如何引入的问题。对于如何引入“数学期望”, 我们为了唤起学生的学习兴趣, 激发他们的学习动力, 可以举一些密切联系生活的例子, 比如上面的经典典故, 或者将上面的经典典故作稍许变动, 得到另外一个例子, 如文献[3]中就是将“赌金问题”换成了“乒乓球比赛问题”。我们也可以作这样类似的变动, 以吸引学生的课堂注意力, 加深他们对《概率论与数理统计》这门课程在解决生活实际问题的作用是非常大的印象, 唤起他们对这门课程的兴趣, 也激发他们对用数学方法处理现实问题的热情。

当然, 对于“数学期望”我们也可以从计算学生的平均成绩中直接引入。例如某一次考试考查学生的成绩为X, 设学生总人数为N, 分数分别为x1, x2, …, xn, 每一个分数出现的人数分别对应为k1, k2, …, kn, 则容易算出这次考试学生平均分为。而这里的为考试分数为xi的学生的频率。由当N很大时, 频率在一定意义上接近于概率pi, 故学生平均成绩可表示为, 我们就把表达式称为随机变量X的数学期望, 记为, 从而引出随机变量“数学期望”的概念并指出其实质是随机变量的“均值”, 即用X取值的概率作权重、作加权, 平均得出X的数学期望, 即X的数学期望就是X能取到的每个值乘以它取这个值的概率的积的和。

这种引入方法的特点是直接、简单, 节省上课时间, 如果教师认为教学任务比较繁重、教学时间比较紧张, 无法保证后续内容时间的把控, 那么可以采用这种简洁的方式进行引入工作。

由引例我们可以得到当X是离散型随机变量时, 其数学期望的定义为:设离散型随机变量X的分布律为:P{X=xk}=pk, k=1, 2, …, n, 如果级数绝对收敛, 则称级数为随机变量X的数学期望 (或均值) , 记为E (X) (在不产生混淆的情况下, 也可记为EX) , 即

此时一定要注意强调为什么这里要求级数绝对收敛呢?这是因为X分布律中的各个pk的地位是等同的, 先写哪一项与后写哪一项应该对此级数的和不产生影响, 否则我们就得不到一个确定的级数和了。因此, 我们要求级数绝对收敛, 是为了保证级数的和与级数各项次序无关。

接着可通过一个例题来求解数学期望, 从而加深学生对定义的理解和记忆。例如下面这则简单例子:掷一枚六面骰子, 已知其各面朝上的可能性是相同的, 则掷得的点数的数学期望是多少呢?

由上面的定义, 我们可以得到:

此时可以引导学生思考:骰子的任何一面都不可能为3.5, 然而最后算得的掷得的点数的数学期望却是3.5, 这说明了什么问题呢?这说明了期望值并不一定等同于常识中的“期望”, “期望值”也许与每一个结果都不相等。换句话说, 期望值是该随机变量取值的平均数, 期望值并不一定包含于随机变量的取值集合里, 这就加深了学生对数学期望定义的理解和把握。

二、关于如何“引申”到连续型随机变量期望的定义

对于连续型随机变量其值充满整个区间, 且取每一特定值的概率均为0, 因此不能直接利用上述离散型随机变量期望定义求其数学期望。但可将连续型随机变量离散化, 再由离散型随机变量的数学期望的定义引申出连续型随机变量的数学期望的定义。

设连续型随机变量为X, 它的取值范围可视为 (-∞, +∞) , 把 (-∞, +∞) 划分为无数个小区间, [x0, x1], [x1, x2], …, [xn-1, xn], (n→∞) , 则X在其中任意一个小区间[xk-1, xk]中取值的概率近似为f (xk-1) Δxk-1, 其中f (xk-1) 是X的概率密度函数在xk-1的值 (其实是在xk-1附近的值, 可近似这样认为) , Δxk-1=xk-xk-1。由离散型随机变量期望的定义:X的数学期望就是X能取到的每个值乘以它取这个值的概率的积的和, 即可引申得到连续型随机变量的数学期望为:

由此得到连续型随机变量数学期望的定义为:设连续型随机变量X的概率密度函数为f (x) , 若积分绝对收敛, 则积分的值为随机变量X的数学期望, 记为E (X) , 即:

此时, 我们要求积分绝对收敛, 是因为我们希望求得的积分值与各段积分的次序无关, 这样才能保证我们求得的数学期望是一个统一的值。

三、关于如何“过渡”到方差

因为方差本身就是一种数学期望, 但是如何引出“方差”这一数学期望却是要费一点心思的。比如说现在我们面前摆放着两只手表, 它们每日的走时误差 (以分为单位) 分别以随机变量和表示, 其分布律如下。

从图1、图2中容易看出:E (X) =E (Y) =0, 因此无法从期望评选出哪只手表质量更优。但直观可看出:第一只手表的每日走时误差X与其均值得偏离程度更小, 走时更精确, 质量更好。此时可引导学生思考:我们应该选择什么样的一个量来表示随机变量与其均值的偏离程度呢?直接用X-E (X) 显然不太好, 因为它有正负号差别, 不便于比较大小。那么用X-E (X) 好不好呢?它已经避免了正负号的讨论, 显然也不太好, 因为它涉及到如何脱去绝对值的讨论。此时我们可能想到用 (X-E (X) ) 2这个量比较好, 因为它永远是非负的, 便于比较大小, 又不用考虑脱去绝对值的问题, 但是我们又想到X的取值是随机的, 此时表示随机变量与其均值的偏离程度应该考虑X能够取到的所有的点, 而并非单一的一个点。那么怎么样才能考虑到所有的点呢?此时我们可以回顾之前期望的定义, 会发现期望正是考虑了随机变量取值的所有的点的情况。因此, 再在 (X-E (X) ) 2上加上期望符号就变成了E (X-E (X) ) 2乙乙, 这就是用来表示随机变量与其均值的偏离程度的量, 我们称它为方差, 记为:D (X) =E (X-E (X) ) 2乙乙, 由此可得到方差的定义:设X是一个随机变量, 若E (X-E (X) ) 2乙乙存在, 则E (X-E (X) ) 2乙乙为X的方差, 记为D (X) 或Var (X) , 即:D (X) =Var (X) =E (X-E (X) ) 2乙乙.

四、结语

通过实际的教学实践, 我们发现“数学期望”概念对于许多同学来说是非常抽象的, 因此, 对它概念的讲解就应该是我们必须注意的地方。本文是笔者对“数学期望”概念的讲解的一点经验总结, 希望能对概率论与数理统计的教学起到一点“抛砖引玉”的作用。

参考文献

[1]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社, 2008.

[2]李正耀, 周德强.大学数学——概率论与数理统计[M].北京:科学出社, 2009.

概念讲解 篇7

数学美的表现形式是多种多样的——从数学的外在形象上观赏, 她有体系之美、概念之美、公式之美;从数学的思维方式上分析, 她有简约之美、无限之美、抽象之美、类比之美;从美学原理上探讨, 她有对称之美、和谐之美、奇异之美等。同时, 数学还有着完美的符号语言、特有的抽象艺术、严密的逻辑体系、永恒的创新动力等特点。本文以极限的概念讲解为例, 谈谈如何利用美学手段诱发学生的想象力学习数学, 体验数学美。

创设课堂情景美

哈代说:“数学家跟画家或诗人一样, 也是造型家, 概念也像色彩或语言一样必须和谐一致。”在数学课堂上利用诗歌、绘画营造出优美和谐的环境, 让诗歌和绘画诱发出学生的想象力, 让学生在美的潜移默化中学习抽象的数学概念。实践证明, 这是一种行之有效的教学模式。现代科学研究证明, 接受信息者如果同时使用听觉和视觉, 接受的效果更好, 并且音像信号愈强, 接受效果愈好。为此, 在教学过程中, 教师对学生就应努力强化这些信号。工整的板书、优美的图片、设计美观的多媒体都可以在课堂上创造令人赏心悦目的环境, 不但可以提高学生的学习情趣, 还可以大量减少语言的使用, 使学生对数学有更直观的了解。

例如, “孤帆远影碧空尽, 唯见长江天际流”——一句优美的诗配以滚滚长江的水墨画引入新一章的学习内容——极限。“孤帆远影碧空尽, 唯见长江天际流”是李白在《送孟浩然之广陵》中的名句。学生齐颂李白《送孟浩然之广陵》拉开极限学习的序幕, 而学生也在诗与画中沉浸在一种和谐的氛围里。这首诗让学生在脑海中勾勒出一幅“一叶孤舟随着江流远去, 帆影在逐渐缩小, 最终消失在水天一色之中”的图景, 这时无穷小的数学概念也就融合在这美的诗意中去了。

再如, 讲解无穷大的概念时, 学生不能理解无穷大的那个预设的边界“M”时, 我们引用“抽刀断水水更流”来解释“抽刀断水”与“M”的神似之处。讲解完无穷大, 我们用陈子昂的《登高》配以一副意味浓浓的摄影作品对其作小结。“前不见古人, 后不见来者, 念天地之悠悠, 独怆然而涕下”——从数学上看来, 这是一首阐发时间和空间感知的佳句。前两句表示时间可以看成是一条直线 (一维空间) 。作者以自己为原点, “前不见古人”指时间可以延伸到负无穷大, “后不见来者”则意味着未来的时间是正无穷大。后两句则描写三维的现实空间:天是平面, 地是平面, 悠悠地张成三维的立体几何环境。全诗将时间和空间放在一起思考, 感到自然之伟大, 产生了敬畏之心, 以至怆然涕下。这样的意境, 让学生对无穷有了更深刻的理解。

课堂气氛和谐美

教师的教态和仪表向学生传递着课堂气氛的信息。亲切自然的教态、凝练朴素的语言、抑扬顿挫的语调, 让学生感受到最直接的美学教育, 让学生身心轻松地投入学习。风趣幽默的问题, 在一问一答中建立起和谐的师生关系。数学课是思维的演练场, 教师的任务之一就是要引导学生不断地思考, 而提问是引导学生主动思维的有效手段。有人说, 数学问题都是抽象和严肃的, 怎么能让学生积极愉快地思考?这就关系到提问的技巧。首先, 问题的表述要简单明了, 语气要幽默, 问题还要典型。例如, 刚刚介绍完极限的概念后, 提出一个问题:判断下列式子是否成立?

1=0.9觶

我们可以这样问:如果上式成立, 1与0.9觶之间相差的那个数到哪里去了?由此引入极限史上的一个故事:“消逝的鬼魂”与无穷小量的产生。

故事的讲解不但让学生体会到极限是一个无穷变化的从量变到质变的过程, 也体会到科学发展的曲折和艰辛, 科学家永无止境的探索精神及对真理不懈追求的勇气。

数学思想深刻美

极限概念的引入是从单位圆面积的计算开始的。问题这样提出:让我们回到刘徽所处的魏晋时代, 我们怎样计算单位圆的面积?学生在笑声中想象自己是刘徽, 怎样来计算圆面积。

这个问题解决后, 我们概括了三点内容。 (1) 逼近问题是一个与“变化”有关的问题。如果希望逼近一个不能直接计算的量, 可以采用近似计算的技巧, 而计算的精确度往往依赖于计算的次数。微积分 (极限) 可以解答精确度与计算次数之间的关系问题。如果增加计算次数, 近似会无限接近某个数值, 这正是逼近 (或变化) 的结果。 (2) 某些“量”的计算需要从变化的角度来处理, 并通过“极限”过程来进行, 这正是微积分的基本思想。 (3) “以直代曲, 逐步求精”的手段, 是微积分中常用的方法。

随后, 我们将这三点内容进行了拓展讲解, 指出“化整为零, 积零为整”就是在工作中拿到复杂的工作或任务时学会分解任务、分解难点、各个击破、再进行整合的方法。“以直代曲, 逐步求精”就是在解决复杂问题时先用简单的模型代替实际问题, 再逐步深入, 逐步求精的方法。而这些方法可以用在我们工作的各个领域, 是一种普适的解决问题的方法, 从中也让学生体会到数学思想的深刻性和普适性。

数学思想是数学教学中的精华, 是最能体现数学本质的东西。微积分中包含着丰富的数学思想。上面谈到的“极限思想”, “在微小局部‘以匀代非匀’, ‘以直代曲’”的思想都是数学思想中的精髓。在讲授数学思想的课程中, 笔者主要采用具体——抽象——具体的方法, 通过典型实例引出问题, 通过科学的抽象体现思想, 再通过利用思想发现问题、解决问题的实例让学生领会思想。数学思想教育在培养学生创造力和独立思考问题的能力方面有着独到的价值。

数学哲学情操美

德育教育中有一种教育法叫无痕教育。无痕教育是指在教育过程中教育者通过创设有教育意义的情境和活动, 既达到教育目的, 又不留下让学生感到教育者在教育他们的一种方法。这种方法没有明显说理教育, 而是把理寓于情境和活动之中, 使学生在一种自然、轻松、愉快、美好的环境中心灵受到感化, 自觉自愿地形成良好的思想品德。心理学研究表明:人们总有一种不太愿意整天被人教育的天性。前苏联著名教育家苏霍姆林斯基说过:“造成教育青少年困难的最重要的原因, 在于教育目的在学生面前以赤裸裸的形式进行。”把教育目的隐藏起来, 然后通过各种活动形式对学生进行“润物细无声”的无痕教育, 会使学生在不知不觉中提高认识、净化心灵、规范行为。

微积分中饱含的深刻的人生哲学, 对学生就是一种“润物细无声”的教育。例如, 微积分讨论的连续函数绝大多数都是蜿蜒曲折的, 有时上升有时下降, 有极大值, 有极小值。千姿百态的函数曲线像极了芸芸众生的命运, 有时顺利有时曲折, 有高峰时也有低谷时, 这是人生的常态。所以, 当我们处于人生佳境时不要骄傲, 随时保持一颗谦恭之心;处于人生低谷时也不要气馁, 只要我们继续努力, 我们的人生曲线还能逐步上扬。

计算直线的长度比计算一条曲线的长度要容易得多。为了求得一条曲线的长度, 把这条曲线无限细分, 细分成若干条细小的直线, 再把这些直线的长度加起来, 就求得了曲线的长度。这就是学习极限时学过的“以直代曲”的思想, 这也是微积分的基本思想。

我们可以将微积分的这种基本精神映射到人的一生。人的一生是在分分秒秒中度过, 而这分分秒秒就是微分。人的一生不管有多长, 都是这微小的分分秒秒的时间之和, 这就是人生的积分。积分曲线的形态取决于微分函数。人生的积分曲线则取决于我们如何利用我们的分分秒秒——人生的微分函数。要想获得充实而有意义的人生, 我们就必须抱有积极向上的人生态度, 让我们在分分秒秒的努力中不断积累, 收获我们丰盈的人生。

参考文献

[1]张奠宙.微积分赏析漫谈[J].高等教育研究, 2009 (3) .

[2]杨忠泰.数学美学思想的历史演变[J].自然辩证法研究, 2000 (12) .