中学数学概念的讲解

中学数学概念的讲解（共6篇）

中学数学概念的讲解 篇1

在我们进行概率论与数理统计的教学中, 教材的编排往往是在进行了随机变量及其分布函数的学习之后, 立刻进入随机变量数字特征的学习, 而最先面对的数字特征就是数学期望。“数学期望”这个概念的起源源于下面这个经典典故。

早些时候, 法国有两个大数学家, 一个叫做布莱士·帕斯卡, 一个叫做费马。帕斯卡认识两个赌徒, 这两个赌徒向他提出了一个问题。他们说, 他俩下赌金之后, 约定谁先赢满5局, 谁就获得全部赌金。赌了半天, A赢了4局, B赢了3局, 时间很晚了, 他们都不想再赌下去了。那么, 这个钱应该怎么分?是不是把钱分成7份, 赢了4局的就拿4份, 赢了3局的就拿3份呢?或者, 因为最早说的是满5局, 而谁也没达到, 所以就一人分一半呢?这两种分法都不对。正确的答案是:赢了4局的拿这个钱的3/4, 赢了3局的拿这个钱的1/4。这是为什么呢?假定他们俩再赌一局, A有1/2的可能赢得他的第5局, B有1/2的可能赢得他的第4局。若是A赢满了5局, 钱应该全归他;若B赢得他的第4局, 则下一局中A、B赢得他们各自的第5局的可能性都是1/2。所以, 如果必须赢满5局的话, A赢得所有钱的可能为1/2+1/2×1/2=3/4, 当然, B就应该得1/4了。数学期望由此而来。

通过这几年的教学体会和教学经验, 笔者发现“数学期望”这一概念尽管来源于生活, 而且跟现实生活结合得非常紧密, 但因为它非常抽象, 一般同学学到这个地方就会感觉到难于理解和接受。本文对数学期望概念的讲解进行了介绍, 以期起到“抛砖引玉”的作用。

一、关于如何定义“数学期望”

首先是如何引入的问题。对于如何引入“数学期望”, 我们为了唤起学生的学习兴趣, 激发他们的学习动力, 可以举一些密切联系生活的例子, 比如上面的经典典故, 或者将上面的经典典故作稍许变动, 得到另外一个例子, 如文献[3]中就是将“赌金问题”换成了“乒乓球比赛问题”。我们也可以作这样类似的变动, 以吸引学生的课堂注意力, 加深他们对《概率论与数理统计》这门课程在解决生活实际问题的作用是非常大的印象, 唤起他们对这门课程的兴趣, 也激发他们对用数学方法处理现实问题的热情。

当然, 对于“数学期望”我们也可以从计算学生的平均成绩中直接引入。例如某一次考试考查学生的成绩为X, 设学生总人数为N, 分数分别为x1, x2, …, xn, 每一个分数出现的人数分别对应为k1, k2, …, kn, 则容易算出这次考试学生平均分为。而这里的为考试分数为xi的学生的频率。由当N很大时, 频率在一定意义上接近于概率pi, 故学生平均成绩可表示为, 我们就把表达式称为随机变量X的数学期望, 记为, 从而引出随机变量“数学期望”的概念并指出其实质是随机变量的“均值”, 即用X取值的概率作权重、作加权, 平均得出X的数学期望, 即X的数学期望就是X能取到的每个值乘以它取这个值的概率的积的和。

这种引入方法的特点是直接、简单, 节省上课时间, 如果教师认为教学任务比较繁重、教学时间比较紧张, 无法保证后续内容时间的把控, 那么可以采用这种简洁的方式进行引入工作。

由引例我们可以得到当X是离散型随机变量时, 其数学期望的定义为:设离散型随机变量X的分布律为:P{X=xk}=pk, k=1, 2, …, n, 如果级数绝对收敛, 则称级数为随机变量X的数学期望 (或均值) , 记为E (X) (在不产生混淆的情况下, 也可记为EX) , 即

此时一定要注意强调为什么这里要求级数绝对收敛呢?这是因为X分布律中的各个pk的地位是等同的, 先写哪一项与后写哪一项应该对此级数的和不产生影响, 否则我们就得不到一个确定的级数和了。因此, 我们要求级数绝对收敛, 是为了保证级数的和与级数各项次序无关。

接着可通过一个例题来求解数学期望, 从而加深学生对定义的理解和记忆。例如下面这则简单例子:掷一枚六面骰子, 已知其各面朝上的可能性是相同的, 则掷得的点数的数学期望是多少呢?

由上面的定义, 我们可以得到:

此时可以引导学生思考:骰子的任何一面都不可能为3.5, 然而最后算得的掷得的点数的数学期望却是3.5, 这说明了什么问题呢?这说明了期望值并不一定等同于常识中的“期望”, “期望值”也许与每一个结果都不相等。换句话说, 期望值是该随机变量取值的平均数, 期望值并不一定包含于随机变量的取值集合里, 这就加深了学生对数学期望定义的理解和把握。

二、关于如何“引申”到连续型随机变量期望的定义

对于连续型随机变量其值充满整个区间, 且取每一特定值的概率均为0, 因此不能直接利用上述离散型随机变量期望定义求其数学期望。但可将连续型随机变量离散化, 再由离散型随机变量的数学期望的定义引申出连续型随机变量的数学期望的定义。

设连续型随机变量为X, 它的取值范围可视为 (-∞, +∞) , 把 (-∞, +∞) 划分为无数个小区间, [x0, x1], [x1, x2], …, [xn-1, xn], (n→∞) , 则X在其中任意一个小区间[xk-1, xk]中取值的概率近似为f (xk-1) Δxk-1, 其中f (xk-1) 是X的概率密度函数在xk-1的值 (其实是在xk-1附近的值, 可近似这样认为) , Δxk-1=xk-xk-1。由离散型随机变量期望的定义:X的数学期望就是X能取到的每个值乘以它取这个值的概率的积的和, 即可引申得到连续型随机变量的数学期望为:

由此得到连续型随机变量数学期望的定义为:设连续型随机变量X的概率密度函数为f (x) , 若积分绝对收敛, 则积分的值为随机变量X的数学期望, 记为E (X) , 即:

此时, 我们要求积分绝对收敛, 是因为我们希望求得的积分值与各段积分的次序无关, 这样才能保证我们求得的数学期望是一个统一的值。

三、关于如何“过渡”到方差

因为方差本身就是一种数学期望, 但是如何引出“方差”这一数学期望却是要费一点心思的。比如说现在我们面前摆放着两只手表, 它们每日的走时误差 (以分为单位) 分别以随机变量和表示, 其分布律如下。

从图1、图2中容易看出:E (X) =E (Y) =0, 因此无法从期望评选出哪只手表质量更优。但直观可看出:第一只手表的每日走时误差X与其均值得偏离程度更小, 走时更精确, 质量更好。此时可引导学生思考:我们应该选择什么样的一个量来表示随机变量与其均值的偏离程度呢?直接用X-E (X) 显然不太好, 因为它有正负号差别, 不便于比较大小。那么用X-E (X) 好不好呢?它已经避免了正负号的讨论, 显然也不太好, 因为它涉及到如何脱去绝对值的讨论。此时我们可能想到用 (X-E (X) ) 2这个量比较好, 因为它永远是非负的, 便于比较大小, 又不用考虑脱去绝对值的问题, 但是我们又想到X的取值是随机的, 此时表示随机变量与其均值的偏离程度应该考虑X能够取到的所有的点, 而并非单一的一个点。那么怎么样才能考虑到所有的点呢?此时我们可以回顾之前期望的定义, 会发现期望正是考虑了随机变量取值的所有的点的情况。因此, 再在 (X-E (X) ) 2上加上期望符号就变成了E (X-E (X) ) 2乙乙, 这就是用来表示随机变量与其均值的偏离程度的量, 我们称它为方差, 记为:D (X) =E (X-E (X) ) 2乙乙, 由此可得到方差的定义:设X是一个随机变量, 若E (X-E (X) ) 2乙乙存在, 则E (X-E (X) ) 2乙乙为X的方差, 记为D (X) 或Var (X) , 即:D (X) =Var (X) =E (X-E (X) ) 2乙乙.

四、结语

通过实际的教学实践, 我们发现“数学期望”概念对于许多同学来说是非常抽象的, 因此, 对它概念的讲解就应该是我们必须注意的地方。本文是笔者对“数学期望”概念的讲解的一点经验总结, 希望能对概率论与数理统计的教学起到一点“抛砖引玉”的作用。

参考文献

[1]盛骤, 谢式千, 潘承毅.概率论与数理统计[M].北京:高等教育出版社, 2008.

[2]李正耀, 周德强.大学数学——概率论与数理统计[M].北京:科学出社, 2009.

[3]熊欧, 仇海全, 武洁.数学期望的教学方法新探[J].科技信息, 2010, (3) .

中学数学概念的讲解 篇2

数学美的表现形式是多种多样的——从数学的外在形象上观赏, 她有体系之美、概念之美、公式之美;从数学的思维方式上分析, 她有简约之美、无限之美、抽象之美、类比之美;从美学原理上探讨, 她有对称之美、和谐之美、奇异之美等。同时, 数学还有着完美的符号语言、特有的抽象艺术、严密的逻辑体系、永恒的创新动力等特点。本文以极限的概念讲解为例, 谈谈如何利用美学手段诱发学生的想象力学习数学, 体验数学美。

创设课堂情景美

哈代说:“数学家跟画家或诗人一样, 也是造型家, 概念也像色彩或语言一样必须和谐一致。”在数学课堂上利用诗歌、绘画营造出优美和谐的环境, 让诗歌和绘画诱发出学生的想象力, 让学生在美的潜移默化中学习抽象的数学概念。实践证明, 这是一种行之有效的教学模式。现代科学研究证明, 接受信息者如果同时使用听觉和视觉, 接受的效果更好, 并且音像信号愈强, 接受效果愈好。为此, 在教学过程中, 教师对学生就应努力强化这些信号。工整的板书、优美的图片、设计美观的多媒体都可以在课堂上创造令人赏心悦目的环境, 不但可以提高学生的学习情趣, 还可以大量减少语言的使用, 使学生对数学有更直观的了解。

例如, “孤帆远影碧空尽, 唯见长江天际流”——一句优美的诗配以滚滚长江的水墨画引入新一章的学习内容——极限。“孤帆远影碧空尽, 唯见长江天际流”是李白在《送孟浩然之广陵》中的名句。学生齐颂李白《送孟浩然之广陵》拉开极限学习的序幕, 而学生也在诗与画中沉浸在一种和谐的氛围里。这首诗让学生在脑海中勾勒出一幅“一叶孤舟随着江流远去, 帆影在逐渐缩小, 最终消失在水天一色之中”的图景, 这时无穷小的数学概念也就融合在这美的诗意中去了。

再如, 讲解无穷大的概念时, 学生不能理解无穷大的那个预设的边界“M”时, 我们引用“抽刀断水水更流”来解释“抽刀断水”与“M”的神似之处。讲解完无穷大, 我们用陈子昂的《登高》配以一副意味浓浓的摄影作品对其作小结。“前不见古人, 后不见来者, 念天地之悠悠, 独怆然而涕下”——从数学上看来, 这是一首阐发时间和空间感知的佳句。前两句表示时间可以看成是一条直线 (一维空间) 。作者以自己为原点, “前不见古人”指时间可以延伸到负无穷大, “后不见来者”则意味着未来的时间是正无穷大。后两句则描写三维的现实空间:天是平面, 地是平面, 悠悠地张成三维的立体几何环境。全诗将时间和空间放在一起思考, 感到自然之伟大, 产生了敬畏之心, 以至怆然涕下。这样的意境, 让学生对无穷有了更深刻的理解。

课堂气氛和谐美

教师的教态和仪表向学生传递着课堂气氛的信息。亲切自然的教态、凝练朴素的语言、抑扬顿挫的语调, 让学生感受到最直接的美学教育, 让学生身心轻松地投入学习。风趣幽默的问题, 在一问一答中建立起和谐的师生关系。数学课是思维的演练场, 教师的任务之一就是要引导学生不断地思考, 而提问是引导学生主动思维的有效手段。有人说, 数学问题都是抽象和严肃的, 怎么能让学生积极愉快地思考?这就关系到提问的技巧。首先, 问题的表述要简单明了, 语气要幽默, 问题还要典型。例如, 刚刚介绍完极限的概念后, 提出一个问题:判断下列式子是否成立?

1=0.9觶

我们可以这样问:如果上式成立, 1与0.9觶之间相差的那个数到哪里去了?由此引入极限史上的一个故事:“消逝的鬼魂”与无穷小量的产生。

故事的讲解不但让学生体会到极限是一个无穷变化的从量变到质变的过程, 也体会到科学发展的曲折和艰辛, 科学家永无止境的探索精神及对真理不懈追求的勇气。

数学思想深刻美

极限概念的引入是从单位圆面积的计算开始的。问题这样提出:让我们回到刘徽所处的魏晋时代, 我们怎样计算单位圆的面积?学生在笑声中想象自己是刘徽, 怎样来计算圆面积。

这个问题解决后, 我们概括了三点内容。 (1) 逼近问题是一个与“变化”有关的问题。如果希望逼近一个不能直接计算的量, 可以采用近似计算的技巧, 而计算的精确度往往依赖于计算的次数。微积分 (极限) 可以解答精确度与计算次数之间的关系问题。如果增加计算次数, 近似会无限接近某个数值, 这正是逼近 (或变化) 的结果。 (2) 某些“量”的计算需要从变化的角度来处理, 并通过“极限”过程来进行, 这正是微积分的基本思想。 (3) “以直代曲, 逐步求精”的手段, 是微积分中常用的方法。

随后, 我们将这三点内容进行了拓展讲解, 指出“化整为零, 积零为整”就是在工作中拿到复杂的工作或任务时学会分解任务、分解难点、各个击破、再进行整合的方法。“以直代曲, 逐步求精”就是在解决复杂问题时先用简单的模型代替实际问题, 再逐步深入, 逐步求精的方法。而这些方法可以用在我们工作的各个领域, 是一种普适的解决问题的方法, 从中也让学生体会到数学思想的深刻性和普适性。

数学思想是数学教学中的精华, 是最能体现数学本质的东西。微积分中包含着丰富的数学思想。上面谈到的“极限思想”, “在微小局部‘以匀代非匀’, ‘以直代曲’”的思想都是数学思想中的精髓。在讲授数学思想的课程中, 笔者主要采用具体——抽象——具体的方法, 通过典型实例引出问题, 通过科学的抽象体现思想, 再通过利用思想发现问题、解决问题的实例让学生领会思想。数学思想教育在培养学生创造力和独立思考问题的能力方面有着独到的价值。

数学哲学情操美

德育教育中有一种教育法叫无痕教育。无痕教育是指在教育过程中教育者通过创设有教育意义的情境和活动, 既达到教育目的, 又不留下让学生感到教育者在教育他们的一种方法。这种方法没有明显说理教育, 而是把理寓于情境和活动之中, 使学生在一种自然、轻松、愉快、美好的环境中心灵受到感化, 自觉自愿地形成良好的思想品德。心理学研究表明:人们总有一种不太愿意整天被人教育的天性。前苏联著名教育家苏霍姆林斯基说过:“造成教育青少年困难的最重要的原因, 在于教育目的在学生面前以赤裸裸的形式进行。”把教育目的隐藏起来, 然后通过各种活动形式对学生进行“润物细无声”的无痕教育, 会使学生在不知不觉中提高认识、净化心灵、规范行为。

微积分中饱含的深刻的人生哲学, 对学生就是一种“润物细无声”的教育。例如, 微积分讨论的连续函数绝大多数都是蜿蜒曲折的, 有时上升有时下降, 有极大值, 有极小值。千姿百态的函数曲线像极了芸芸众生的命运, 有时顺利有时曲折, 有高峰时也有低谷时, 这是人生的常态。所以, 当我们处于人生佳境时不要骄傲, 随时保持一颗谦恭之心;处于人生低谷时也不要气馁, 只要我们继续努力, 我们的人生曲线还能逐步上扬。

计算直线的长度比计算一条曲线的长度要容易得多。为了求得一条曲线的长度, 把这条曲线无限细分, 细分成若干条细小的直线, 再把这些直线的长度加起来, 就求得了曲线的长度。这就是学习极限时学过的“以直代曲”的思想, 这也是微积分的基本思想。

我们可以将微积分的这种基本精神映射到人的一生。人的一生是在分分秒秒中度过, 而这分分秒秒就是微分。人的一生不管有多长, 都是这微小的分分秒秒的时间之和, 这就是人生的积分。积分曲线的形态取决于微分函数。人生的积分曲线则取决于我们如何利用我们的分分秒秒——人生的微分函数。要想获得充实而有意义的人生, 我们就必须抱有积极向上的人生态度, 让我们在分分秒秒的努力中不断积累, 收获我们丰盈的人生。

参考文献

[1]张奠宙.微积分赏析漫谈[J].高等教育研究, 2009 (3) .

[2]杨忠泰.数学美学思想的历史演变[J].自然辩证法研究, 2000 (12) .

对数学概念讲解的认识 篇3

讲解数学概念一般要经过以下四个程序。

1. 认识概念

在讲解一个概念以前, 应围绕这个概念明了五个方面的问题: (1) 这个概念讨论的对象是什么?有何背景? (2) 概念中有哪些规定和条件?它们与过去学习的知识有什么联系?这些规定和条件的确切含义是什么? (3) 概念的名称, 术语有什么特点?与日常用语比较与其他概念, 术语比较, 有无容易混淆的地方?应当如何理解这些区别? (4) 这个概念有没有重要的等价说法?为什么等价? (5) 根据概念中的规定和条件, 能归纳出哪些基本性质?各个性质又是有概念中的哪些因素决定?这些性质在应用中有什么作用?能否派生出一些重要的数学思想方法?

2. 引进概念

数学概念本身是抽象的, 所以新概念的引入一定要从学生的知识水平出发, 密切联系实际。由于概念产生、发展的途径不同, 因此引入概念的途径也不同。

对原始概念的引入, 应通过一定数量的感性材料来引入, 使学生看得见、摸得着。但需要注意, 事例的引入一定要抓住概念的本质特征, 要着力揭示概念的真实含义。

例如, 在讲解“平面”这个概念的时候, 可以从常见的桌面、黑板面、平静的水面等物体中抽象出来, 但在讲解中一定要注意突出“无限延伸性和没有厚度”的本质特征。有些概念则可以借助生动形象的直观模型和教具, 使学生从感性认识逐步上升到理性认识, 形成清晰的概念。尤其在立体几何教学中, 由于学生的空间想象能力有限, 因此模型和教具的使用更具有重要作用。但是, 教具的使用也要得当, 要注意科学性和准确性。

对于那些由旧概念深化、发展而来的新概念, 不要将其直接教给学生, 一定要从理解上下功夫, 应精心选用引人入胜的方法。

例如, “数列极限”这个概念可这样设计:

师:0.9的循环和1是否都是有理数?

生:是。

师:哪个大?

生:1。

师:大多少?

生:……

师:看, 如果0.9取无限个循环0.99999……=3× (0.3333……) =3× (1/3) =1了!

这样再引入“数列极限”的概念, 因为0.9的循环是可以无限的, 用有限的方法无法找到它的准确值, 现在就可以自然、顺畅地引入这一新概念。

3. 形成概念

在教学中, 引入概念, 并使学生初步把握了概念的定义之后, 不等于形成了概念。要想让学生形成概念, 还必须在感性认识的基础上对概念做辨证分析, 用不同的方法揭示不同概念的本质属性。

(1) 反复练习, 巩固概念。

正面阐述概念的本质属性后, 应安排作巩固练习。

例如, 引入因式分解后, 可选择下列例题让学生回答:下列由左边到右边的变形, 哪些是因式分解?为什么?

(2) 通过变式深化理解概念。

例如, 钝角三角形的高, 我们要按照图 (1) 来建立概念, 然后再用其他的图形 (图2或3) 让学生练习, 否则以后三角形位置一变, 学生就找不到钝角三角形的高了。

(3) 用新旧概念的对比加快形成概念。

数学是一门系统的科学, 数学知识则是由概念和原理组成的体系, 每一个概念总要与其他概念发生联系, 只有学生领会了所学概念在整体中的位置后, 才能深刻理解。

(4) 继续引导分析学会运用概念。

数学概念的外延和内涵不是一成不变的, 它们在自身的发展中不断充实, 所以应将数学概念纳入到它自身的矛盾运动中去分析。

例如, “角”的概念开始局限于平面内, 且在180度内, 即:锐角, 钝角, 直角;以后发展到平角, 周角;又出现了任意角 (正角) ;规定了旋转方向后, 又有了正角、负角的概念;若在空间内, 又有了空间的两直线所成的角, 直线和平面所成的角, 平面与平面所成的角, 等等。

(5) 从角度透视消除概念混淆。

概念引入后, 还应从反面消除模糊认识, 严格区分易混淆概念。

例如, 讲“三线八角”后, 可设计一些稍复杂的图形提问 (如下图4) :

下列叙述是否正确?

∠1与∠2是同位角。

∠3与∠4是同位角。

∠5与∠6是内错角。

这样学生就能认准对象, 概念清晰。

4. 深化概念

根据学生认识规律, 不能指望一次成功, 在概念形成后, 还应采取措施加深理解。

首先, 抓住重点, 分散难点, 有计划地安排概念的形成与深化过程。

例如, 三角函数的概念, 就应先抓住正弦函数作为重点。又由于正弦函数概念涉及比的意义、角的大小、点的坐标、距离、相似三角形, 函数等概念和知识, 其中“比”是最本质的特征, 因此是正弦函数的重点, 但这个“比”的比值又是随角的大小的确定而确定的, 因而函数概念和距离是教学中的难点和关键, 考虑到要将难点分散, 可先给学生复习一下距离的有关概念, 然后紧扣函数这一基本线索, 引导学生去思考并解决:“为什么在角的终边上所取的是任意的, 而相应的比值却是确定的?”

其次, 把概念教学与定理, 公式, 以及解题融为一体, 使学生在应用中加深对概念的理解。

例如, 方程的“根”和函数的“零点”, 表面上看来都很容易掌握, 在教学中如果把两个概念与根的判别式, 函数的性质, 绝对值的性质概念等有关知识割裂开来, 学生就不能熟练应用。

已知y=ax2+bx+c的图像如图 (5) , 若|OA|=|OC|, 求a, b, c之间的关系。

有的同学可能得到错误结论:b+ac-1=0。

答对的同学可能有两种解法:

解法一:因为抛物线的开口向下, 则a<0

又顶点M在第一象限, 故-b/ (2a) >0

所以b>0

由已知可得 (b-) ÷2a=c

即4ac (b-ac-1) =0, ac≠0

所以b-ac-1=0

解法二:由|OA|=|OC|点C是抛物线与Y轴的交点

所以OC=-c, 即点A的坐标为 (-c, 0)

故图像与X轴交点的横坐标就是函数的零点

所以a (-c) 2+b (-c) +c=0

所以b-ac-1=0

比较两种解法, 后者显然是最佳的。

为了讲清楚数学中的基本概念, 教师对概念的两个特性一定要把握住:一个是概念具有确定性和灵活性;一个是概念具有的本质属性。

概念的确定性是说概念的内涵与外延要确定, 不能有含糊不清, 变化无常。但是应该注意, 所谓概念的确定性是相对的, 是在一定条件下的确定, 而不是永恒不变的。由于客观事物的不断发展, 人类认识事物的不断加深, 反映客观事物本质属性的概念也在不断地发展变化, 这就反映了概念的灵活性。

例如代数学, 在开始时是计算的科学, 进而是研究方程理论的科学, 现在则是研究结构的科学。又例如“指数”概念的发展, 由正整数到零指数, 负指数, 分指数, 无理指数, 由有限运算到无限运算。

概念的确定性与灵活性的关系一定要处理好, 教师在备课时, 如果只注意确定性, 将使概念僵化, 甚至会出现前后矛盾;如果只注意灵活性, 则否定了概念的内涵与外延的区别, 也不能反映事物的本质。学生在回答问题或做题时出现的错误, 往往是对一些数学概念的本质属性没有真正地把握。因此教师在备课时, 一定要突出概念的本质属性。

例如, 讲“相似多边形”, 就必须突出“对应角相等, 对应边成比例”这两个条件。两个条件只有一个成立时就不能判定相似性。

为了加深对一些数学的基本概念的认识, 在正面说明概念本质的属性后, 接着举出一些实例让学生来辨认, 是使学生对概念懂得透彻、记得牢固、用得灵活的重要方法。

例如, 讲了指数法则后, 接着问学生:a2·a3=a6, (3n) 2=6n2都对吗?讲了对数定义后, 接着问学生:log35, log24, log21/3, log13, log04都能称为对数吗?为什么?以错订正, 从正反两方面去认识数学概念, 对正确理解数学概念会起到极好的促进作用。

综上所述, 我们可以得出这样的结论:加深对概念的理解, 是提高解题能力的基础;反过来, 只有通过解题实践, 才能加深对概念的理解。所以, 概念与解题、基础和能力都不可以偏废, 而应相辅相成, 辩证统一于教学中。

摘要：本文总结了讲解数学概念的教学程序, 即认识概念、引进概念、形成概念、深化概念, 并结合具体的例子加以佐证。

让历史概念的讲解简明通透起来 篇4

关键词：历史教学,概念,通透

历史离我们是遥远的, 通透的历史教学是拉进历史与我们距离的桥梁;历史概念是生涩的, 教师人性化温暖的讲解能让学生感觉历史重现的生动。通透温暖的历史教学是我们所提倡的。

一、引经据典说明概念

“神话”“传说”这样的概念用以下材料说明较为恰当, 《淮南子天文训》中说:“昔者, 共工与颛顼争为帝, 怒而触不周之山, 天柱折, 地维绝。天倾西北, 故日月星辰移焉;地不满东南, 故水潦尘埃归焉。”共工一怒之下撞折擎天柱不周山, 真正不可想象。可我国地势西高东低、日月星辰自转公转是真正的事实, 据此说明“神话”“传说”不是真实的历史, 但透着历史的真实, 同时也反映了远古祖先对宇宙奥秘的探索。《山海经》中的“女娲补天”“盘古开天”也是如此。

在历史课堂上学习《诗经》, 只要把经典句子示范出来, 风格、价值、地位也就在其中了。比如, 拥有305首诗歌的《诗经》中第一篇就是《关雎》, 第一句是:“关关雎鸠, 在河之洲, 窈窕淑女, 君子好逑。”编订者孔子说:“诗三百, 一言以蔽之, 曰:‘思无邪’。”从中我们也可更好地了解孔子的爱情观、审美观、价值观, 不是吗?又如诗曰:“死生契阔, 与子成说, 执子之手, 与子偕老。”如此坚贞、美好的爱情是每个时代所不能超越的, 更是每个时代的人们都衷心向往的。

二、顾名思义通俗概念

如老子, 前人对有学识有修养的人称“子”, 对“老”亦是尊称, 通常把长者、尊者称“老”。“子”前加“老”, 更加深、加重、加强了尊重的内涵。因而从称谓上可感觉到此“老子”的不一般, 从而我们增加了对这样一个人了解的内心渴望。又如察举和科举, 举是自下而上, 察是看, 科是考, 察重道德修养, 考重文学修养, 两种选官制度的基本特点也就显而易见了。

三、分析、透视、理解概念

如“1929年~1933年的资本主义世界的经济危机”达4年之久, 可谓时间特别之“长”, 如此长的时间所波及的范围和所造成的和影响破坏也必定“广”而“大”“大危机”的特点跃然而出。又如, 英国资产阶级革命 (1640~1688年) 长达48年之久, 近半个世纪的革命历程, 充分说明其曲折性、艰巨性、复杂性。其最终的成功即得出且印证了一个哲理:新生事物的诞生, 其道路是曲折的, 前途是光明的。

四、利用人们的评说去认定概念

邓小平同志被称之为中国人民的儿子;林肯也被称之为美国人民的儿子;美国人民评说华盛顿是“战争时期第一人, 和平时期第一人, 他同胞心坎上的第一人”。面对这样的人物, 我们又怎能不尊之、敬之、忆之、念之呢?!

五、聆听伟人话语来感悟概念

拿破仑说:“不想当将军的士兵, 不是好士兵。”拉伯雷说:“生活是一面镜子, 你哭它就哭, 你笑它就笑。”伏尔泰说:“快乐和让他人快乐, 学习和让他人学习。”让历史课收获一份感动, 成为一种享受, 在欣赏和感动中学习, 进而升华成一种反思。我们如何对待自己的学习和学习生活呢?已经是不言而喻的了。

六、从目录着眼, 使得概念融会贯通

我们常常忽视了目录的重要性, 匆匆翻过, 直奔主要内容, 学了一大堆知识点, 而又忽略了本章本节的标题是什么, 因而导致脉络模糊, 知识混乱。一位大家说, 他的学问是书皮学, 每本书从书皮目录研读开始, 我们不妨也试试。以人教版 (选修) 《世界近现代史》上册为例, 学习一开始就把目录作为阅读材料的形式展现在同学面前, 以加深其视觉记忆, 并提出问题以刺激思维活动:找出前四章标题中相同的中心词———资本主义, 再比较兴起、发展、形成三个词, 自然就得出我们现在将要学习的是一部“资本主义发展史”的结论。每章学完都要回首目录来作总结, 全部学完后, 把除阅读课外的18节内容让学生合并“同类项”, 如两陆“走险”, 两次资产阶级的思想解放运动, 两次工业革命, 两梯队的资产阶级的革命和改革, 两个“主义”的诞生, 三个阶段的亚、非、拉反殖民斗争等等。这样, 慢慢地就使学生的学习变得收放自主、游刃有余起来。

中学数学概念的讲解 篇5

[案例]某项融资租赁资产的预计使用年限为10年,在承租人和出租人的租赁协议中规定租赁期为8年,则租赁资产的剩余期为2年。在本例中,以数字符号①、②等表示某一特定时点;以英文字母a、b等表示某一事项价值。具体说明见图1。

[分析]①代表“租赁开始日”,即租赁协议日与租赁各方就主要条款作出承诺中较早者。在该时点上需要判断租赁类型(即融资租赁还是经营租赁)以及估计确定租赁资产公允价值(g)和资产余值(e)等项目的金额,以及正式确认初始直接费用(f)。

②代表“租赁期开始日”,即承租人有权行使其使用租赁资产权利的日期,表明租赁行为的开始。①与②可以是相同点,也可以是不同点;当二者是不同点时,①向②渐近。在该时点上,承租人需要对租入资产入账价值、最低租赁付款额、未确认融资费用进行初始确认;出租人需要对最低租赁收款额、未担保余值(d)、未实现融资收益进行初始确认。

③代表“租赁期满日”,是承租人对租赁资产进行返还、优惠续租以及留购的选择时点。②与③之间的距离为“租赁期”,本例中为8年。

④代表“使用年限满日”,是该项资产不再提取折旧的终结点。③与④之间的距离为“剩余期”,本例中为2年;②与④之间的距离为“预计使用年限”,本例中为10年。

f代表“初始直接费用”,是指租赁谈判和签订协议的过程中发生的可直接归属于租赁资产的费用。该项费用是在①时点(即租赁开始日)上发生的,出租人和承租人都有可能承担。

g代表“租赁资产公允价值”,是指在租赁开始日(即①时点)确定的某项租赁资产在租赁期开始日(即②时点)估计确认的公允价值,即租赁期开始日(即②时点)租赁资产的公允价值。

a代表“租金”,是指在租赁期间内(在②与③的时段内),出租人应收回的或者承租人应支付的相当于分期销售或者分期购买租赁资产的本金和利息之和。

e代表“资产余值”,是指在租赁开始日,估计租赁期满时(即③时点)租赁资产的公允价值。其数值可分解为b+c+d或者h+d。

b代表“承租人担保余值”,是指针对承租人而言的,由承租人或与其有关的第三方担保的资产余值。

c代表“第三方担保余值”,是指与承租人和出租人均无关,但在财务上有能力担保的第三方担保的资产余值。

d代表“未担保余值”,是指在资产余值(即e)中扣除就出租人而言的担保余值(h)的金额。在数值上等于e-h或者e-(b+c)。

h代表“出租人担保余值”,是指针对出租人而言的,承租人的担保余值(b)与第三方担保余值(c)之和。即数值上等于b+c。

“担保余值”概念是指针对承租人而言的“承租人担保余值”(b),或者指针对出租人而言的“出租人担保余值”(h)。

k代表“优惠购买价款”,是指在租赁开始日,承租人在租赁期满时(即③时点)预计将会行使购买租赁资产的选择权,所订立的购买价款(k)参照于资产余值(e),并远低于资产余值(e)。

“最低租赁付款额”,是指在租赁期内,承租人应支付或可能被要求支付的各种款项(不包括或有租金和履约成本),加上由承租人或与其有关的第三方担保的资产余值。在数值上等于a+b,也是承租人作为应付融资租赁款的计量金额(注:如果存在优惠购买租赁资产的选择权,其数值等于a+b+k)。

“最低租赁收款额”,是指最低租赁付款额加上独立于承租人和出租人的第三方对出租人担保的资产余值,在数值上等于a+b+c或者a+h。出租人的应收融资租赁款也是以最低租赁收款额为计价依据,即在租赁期开始日,租赁开始日最低租赁收款额与初始直接费用之和作为应收融资租赁款的入账金额,在数值上等于a+b+c+f或者a+h+f。

“出租人的租赁内含利率”,是指在租赁开始日,使最低租赁收款额的现值与未担保余值的现值之和等于租赁资产公允价值与出租人的初始直接费用之和的折现率。以租赁开始日(即①)为折现时点,将最低租赁收款额(a+h)和未担保余值(c)进行折现,其现值之和等于租赁开始日的估计确定租赁资产公允价值(g)和正式确认初始直接费用(f)之和,该折现率就是出租人的租赁内含利率。即PV(a+h)+PVc=g+f,求得的折现率。

“承租人的租赁折现率”,当承租人以租赁资产公允价值作为租入资产的入账价时,未确认融资费用的分摊率是以承租人的租赁折现率为依据,该折现率是指在租赁期开始日(②),使最低租赁付款额的现值等于租赁资产公允价值的折现率。即PV(a+b)=g,求得的折现率。

“租入资产的入账价值”,在租赁期开始日(②),租赁资产的公允价值(g)与最低租赁付款额(a+b)的现值两者中较低者。即min[g,PV(a+b)]。

“未确认融资费用”,是指在租赁期开始日(②),承租人的最低租赁付款额与租入资产的入账价值之间的差额。即(a+b)-min[g,PV(a+b)]。

“未实现融资收益”,是指在租赁期开始日(②),以租赁开始日(即①)为折现时点,将出租人的最低租赁收款额、初始直接费用及未担保余值之和与其现值之和的差额,作为未实现融资收益。即[(a+h)+f+d]-[PV(a+h)+PVf+PVd]。

中学数学概念的讲解 篇6

一、案例讲解应体现双向特点，采用互动式教学活动

教育运动学认为，教学实践的过程，就是双边互动的发展进程，教师与学生借助于教学介质进行双边互动、共同合作的双向活动．案例讲解是高中数学课堂教学的重要活动形式，但部分高中数学教师在案例讲解的过程中，忽视案例讲解过程的双向特点，采用教师向学生的单边教学方式，高中生难以融入到案例讲解活动之中，难以全身心投入解析案例活动，难以遥相呼应双边互动活动．这就要求，高中数学教师案例讲解同样要遵循教学活动双边特性，将讲解案例过程变为师生交流探讨的过程，在教师与学生的深入交流、学生与学生的合作互助中，有序探知数学案例，有效探析数学问题，深入判断归纳，主体特性得到展现，数学技能获得提升．

如在“空间几何体的表面积与体积”案例教学中，教师围绕找寻该案例的解题思路这一“任务”，组织高中生开展互动式教学活动，与高中生进行对话沟通，共同互动等活动，让高中生在教师的教学语言引导下和点拨下，对空间几何体的表面积与体积方面案例条件进行深刻的研究和分析，找出条件中展示的内容以及解题要求与所揭示条件之间的联系，从而对解题途径和推导过程有深刻认识和掌握，促进解题思路教学的进程．

二、案例讲解应延长探究过程，采用探究式教学活动

教育实践学认为，案例讲解就其本质而言，实际就是探索、研究的实践过程．这一过程中，既离不开教师的悉心指导，又离不开学生的深入探析，二者之间是一个相互融合、相互促进的有机统一过程．实践证明，学习对象在动手实践探析获取的策略技能比教师直接告知的解题策略技能的认知度和掌握度更为深刻和显著．因此，案例讲解过程要摒弃教师直接告知的讲解模式，将高中生引入到探究研析解决问题思路方法的实践之中，组织高中生开展探知问题条件、推导解题过程、确定解题思路以及总结解题方法等实践活动，让高中生在循序渐进的渐进式、递进式探索研究、分析思考中，对解题策略方法有本质性的理解和掌握．

如“直线和圆的方程的应用”案例课教学中，本节课的教学目标之一为:“理解并掌握直线和圆的方程的应用的解题方法策略”．高中数学教师根据这一教学目标要求，利用高中生主体特性所呈现出来的主体能动特性，采用学生探究、教师指点的探究式教学方式，组织高中生感知“已知直线l经过点，倾斜角，圆C的极坐标方程为(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程;(2)设l与圆C相交于两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积”案例活动，高中生在自主阅读和研析问题案例内容中，认识到:“本题主要考查对直线与圆的方程的应用，点的极坐标和直角坐标之间的互化问题”．此时，教师要求高中生根据案例解答要求，结合条件关系，开展问题解答过程的推导过程，高中生通过思考分析，共同研析，通过推导活动认识到:“第一小题解答时，需要运用直线参数方程的定义，再利用两角差的余弦公式;第二小题需要根据直线方程和圆的方程，建立方程式，再根据韦达定理求得答案”．教师根据分析活动强调指出:“要准确理解直线参数方程中参数的几何意义”．高中生经过小组共同合作探析，归纳得到其解题策略．在此过程中，教师没有直接告知解析案例的方法，而是将解析方法融入到案例讲解活动之中，通过实时点拨，学生探析等活动，实现高中生对探析案例的深刻认知和掌握．

三、案例讲解应注重知识延伸，采用拓展式教学活动

数学案例是数学学科知识内涵的生动概括和集中体现，案例具有鲜明的典型性、丰富性和深刻性．通过数学案例这一“镜子”，可以举一反三，看到许多、丰富的数学知识点内容以及他们之间深刻的内在联系．数学案例的这些特性，为高中数学教师培养高中生综合应用能力提供了“条件”．因此，高中数学教师讲解案例，不能停留在现有案例表面之上，而应深刻深刻挖掘案例所隐含的深刻丰富数学知识点内容，引导高中生进行探知和找寻，并设置出典型问题，进行讲解和训练，以此提升高中生数学知识素养和综合运用数学技能．如在“已知一个函数，如果函数f(x)在区间上是增函数，试求出实数a的取值范围”案例讲解中，教师在讲解案例活动后，根据该案例所隐含的“利用导数求取函数的极值”、“函数的单调性”、“函数值的取值范围”的知识点，引导学生思考所隐含的相关知识点之间的内在联系，并设置类似案例进行巩固练习，切实提高了高中生的综合思维和运用能力．

总之，高中数学教师在案例讲解中，应时刻遵循新课改目标要求，将数学知识素养以及解析技能培养等融入其中，通过科学施教，精心讲解，锻炼和提升高中生数学学习技能素养．

摘要：数学学科需要案例教学,教师教学活动,要借助于数学案例这一载体,综合多方面教学因素,借助行之有效、灵活多变的教学方式,开展数学案例讲解活动.本文作者结合案例讲解亲身感悟,对高中数学案例讲解活动开展阐述自己的点滴认识.