易变质物品（精选3篇）
易变质物品 篇1
1 引言
近年来,应用各种营销策略的库存管理问题倍受重视,研究成果不断涌现。其中,价格折扣作为一种较常用的营销策略,越来越受到企业经营者和学者们的关注。
Federgruen等[1]考虑供应商提供数量折扣且需求随时间变化的有限水平动态批量问题。Wee[2]假设供应商提供数量折扣,需求函数为关于产品价格的减函数,变质率满足Weibull分布,允许缺货且部分拖后。Yang[3]建立了基于数量折扣且需求率跟价格相关的变质产品综合定价模型,寻找最优定价和订购策略,引入谈判因素来平衡双方的利润。戴更新等[4]在有限时域内对需求为常数、无变质、不允许缺货的物品,在供应商提供信用支付期和价格折扣(与订购量无关)选择的情况下建立了订购模型。余双琪[5]对于零售商提供临时价格折扣,需求函数为单斜坡型,变质为无形变质的一类物品的库存模型进行了研究,没有对模型的最优解的存在性进行讨论。安恰等[6]对需求为常数的易腐品构建了包括分销商和零售商在内的二级供应链模型,采用直接给予价格折扣(与订购量无关)的激励方式来实现对易腐物品二级供应链库存的协作控制。曹宗宏等[7]考虑了全数量价格折扣和增量折扣条件下,需求受价格和产品陈列量影响的库存模型,其中,产品无变质,不允许缺货,瞬时补足。
上述关于价格折扣策略的库存模型研究,绝大多数是建立在需求为常数、没有变质且不允许缺货的基础上,对产品的市场需求刻画不够细致、全面。因此,本文从实际的生产销售出发,在文献[5]中《短生命周期产品的临时价格折扣模型》的基础上进行了扩展和完善,建立了在供应商提供价格折扣和零售商提供临时价格折扣条件下的短生命周期易变质物品库存模型,其中,需求率跟销售价格及时间相关且符合生命周期产品的需求模式,产品发生物理变质,变质率为常数。讨论了模型解的存在性,给出了具体算法,最后通过数值例子来验证算法和模型的有效性。
2 模型假设与符号说明
本文使用以下的符号:
(1)M为易变质物品的市场生命周期,常数;需求率是时间和价格的函数,为D(p,t)=f(p)g(t),其中:
g(t)为刻画产品生命周期的函数,且
(2)s是固定的订购费用,与订购批量无关;
(3)θ为变质率,常数;
(4)c(Q)为计划期内单位物品采购价格,满足
(5)h为单位时间单位物品的库存维持费,常数;
(6)p0为单位物品在时间[0,t1]内的销售价格;
(7)Q为计划期内订货量,Q1为时间[t1,M]内物品数量;
为了建立模型,本文给出以下假设:
(1)考虑单一变质物品,变质率为常数θ;
(2)瞬时补货,不允许缺货;
(3)零售商在t1时刻以价格P(P大于与之对应的单位物品采购价格)进行降价销售,P为决策变量。
3 模型建立
对于生命周期产品而言,当产品处于成长和平稳期时,宜采用高价策略来获得最大效益;当产品处于衰退期时,宜采用降价策略来刺激产品的销售,增加收益。本模型的最优控制可描述为:供应商在计划期内给定的降价销售时间点t1,对物品以价格P1进行降价销售,目的是确定最佳订货量Q及降价后的销售价格P1,使得计划期内产品销售总利润最大。
设库存则在[t1,M]上,库存I2(t)受顾客需求和变质影响,可用下面的微分方程表示:
解上述微分方程,由I2(M)=0,有:
所以,当t=t1时,有
在[0,t1]上,库存I1(t)可用下面的微分方程表示:
解上述微分方程,由I1(t1)=Q1(p,t1),有:
所以,在产品生命周期[0,M]上,
订购量为:
订购成本=s+c(Q(p))Q(p)
周期内总成本为:
周期内总收入为:
周期内总利润为:
其中,
综上,本文的目的是确定最优的P使得零售商在产品的整个市场生命周期中的总利润π(p)最大,库存模型为:
4 模型分析与求解
4.1解的存在性分析
设对(9)式求关于P的导数,有:
于是,有
引理3.1:对给定的t1,存在唯一的pi*≥ci≥c3(i=1,2,3)且p1*>p2*>p3*,使得πi(p)在p=p*i处取得最大值.
证明:令πi′(p)=0,由(11)式可得:
由于pi*>ci≥c3≠0,解(12)式,得:
由于c1>c2>c3,由(12)式易知:p1*>p2*>p3*。
由1≤eθt≤eM(t∈[t 1,M]),有
0
又,πi′(p)在p=pi*处的导数为:
所以,对给定的t1,存在唯一的pi*≥ci≥c3(i=1,2,3),使得πi(p i*)最大。
由引理3.1易有
推论3.2:当i=1,2,3时,对任意的λ1∈[c i,pi*],λ2∈[p i*,+∞],有πi′(λ1)≥0,πi′(λ2)≤0,仅当λ1=λ2=pi*时,πi′(λ1)=πi′(λ2)=0.
推论3.3:当i=1,2,3时,
pi*(t 1)=b{α[A(t 1)-B(t 1)]-ci B(t 1)}/[(1-b)A(t 1)]在(0,M)内单调递增。
证明:在(0,M)内,由于g(t1)>0,B(t1)>A(t1)>0,对ip*(t 1)求一阶导数,有
所以,当i=1,2,3时,pi*(t 1)为(0,M)上的单调递增函数。
定理3.4:对给定的t1,存在p*∈(c3,p0],使得π(p)在p=p*处取得最大值。
证明:下面对π1(p),π2(p),π3(p)的最大值存在情况分别进行讨论。
情形一:c(Q)=c3,考虑(13)式中的P3。
1若Q(p3*)≥q2,则:
(1)若p3*≤p0,则由引理3.1知π3(p)只在p=p3*处有最大值,记ξ3=p3*;
(2)若p3*>p0,由Q(p)为单调递减函数,有Q(p0)>Q(p3*)≥q2;由推论3.2知,π3(p)在[c3,p0]上单调递增,所以π3(p)只在p=p0处有最大值,记ξ3=p0;
2若Q(p3*)
(1)若Q(c3)>q2,则存在ξ3′∈[c3,p3*],使得Q(ξ3′)=q2,此时若p3*≤p0,则π3(p)在p=ξ3′处有最大值,记ξ3=ξ3′;否则,π3(p)在p=min{ξ3′,p0}处有最大值,即ξ3=min{ξ3′,p0}。(保证π3(p)有意义)
(2)若Q(c3)
情形二:c(Q)=c2,考虑(13)式中的P2。
1若Q(p2*)≥q2,则Q(c 3)>Q(c2)≥Q(p2*)≥q2,所以π2(p)无意义,此时,由情形一的讨论知必唯一存在ξ3∈[c3,p0],使得π3(p)有最大值;
2若q1≤Q(p2*)
若p2*≤p0,则由引理3.1知π2(p)只在p=p2*处有最大值,记为ξ2=p2*;
若p2*>p0,则:
(1)若Q(p0)
(2)若Q(p0)≥q2,有Q(c2)>Q(p0)≥q2,此时π2(p)无意义,由情形一的讨论知必唯一存在ξ3∈[c3,p0],使得π3(p)有最大值;
3若Q(p2*)
若Q(c2)≥q1,则存在ξ2′∈[c2,p2*],使得Q(ξ2′)=q1,此时若p2*≤p0,则π2(p)在p=ξ2′处有最大值,记ξ2=ξ2′;否则,π2(p)在p=min{ξ2′,p0}处有最大值,记为ξ2=p。
若Q(c2)
情形三:c(Q)=c 1,考虑(13)式中的p1*。
1若Q(p1*)
(1)若p1*≤p0,则由引理3.1知π1(p)只在p=1p*处有最大值,记为ξ1=p1*;
(2)若p1*>p0,则:
i)若Q(p0)
ii)若Q(p0)≥q1,此时
Q(c2)>Q(c1)>Q(p)>Q(p0)≥q1,由情形二的讨论知,必唯一存在ξ2∈[c2,p0]或唯一存在ξ3∈[c3,p0],使得π2(p)或π3(p)有最大值;
2若Q(p1*)≥q1,则:
(1)若p1*≤p0,则:
i)若Q(p0)
ii)若Q(p0)≥q1,此时
Q(c2)>Q(c1)>Q(p)>Q(p0)≥q1,所以π1(p)无意义,由情形二的讨论知,必唯一存在ξ2∈[c2,p0]或唯一存在ξ3∈[c3,p0],使得π2(p)或π3(p)有最大值;
(2)若p1*>p0,由于
Q(c2)>Q(c1)>Q(p0)>Q(p1*)≥q1,此时π1(p)无意义,由情形二的讨论知,必唯一存在ξ2∈[c2,p0]或唯一存在ξ3∈[c3,p0],使得π2(p)或π3(p)有最大值;
综上,当情形三无解时,由情形二1)、2)或情形一的讨论知,情形二或一必有解;若情形二无解,则情形一必有解。所以,对给定的1t,有p*∈(c3,p0],使π(p)只在p=p*处取得最大值,其中maxπ(p)={π(ξ1),π(ξ2),π(ξ3)}(若ξ1,ξ2,ξ3存在),与之对应的价格P即为P*。
4.2 具体算法
第一步:计算λ1,λ2;
第二步:由(13)式计算出pi*(i=1,2,3);
第三步:若λ1≤p0,则:(1)若p1*≤p0,则代入(9)式计算π1(p1*);(2)若p1*>p0,则令p1*=p0,代入(9)式计算π1(p1*);
若λ1>p0,则π1(p)无意义,标记π1(p1*);
第四步:若λ2≤p0,则:(1)若p2*≤min(λ1,p0),则代入(9)式计算π2(p2*);(2)若p2*>min(λ1,p0),令p2*=min(λ1,p0),代入(9)式计算π2(p2*);
若λ2>p0,则π2(p)无意义,标记π2(p2*);
第五步:若p3*≤min(λ2,p0),则代入(9)式计算π3(p3*);否则,令p3*=min(λ2,p0),代入(9)式计算π3(p3*);
第六步:确定时间[0,M]内最佳销售策略:
最大利润:maxπ(p)=max{π1(p1*),π2(p2*),π3(p3*)},与之对应的P即为最优降价销售价格P,将P代入(6)式可得最优订货量Q。
5 数值实验
某公司产品投放市场,需求率变化趋势用D(p,t)=f(p)g(t)来拟合,其中f(p)=12004 p-4,g(t)=25t(M-t)(函数图像见图1、2)。现已知该产品其它数据经测算如下:M=3,s=150,θ=0.02,h=1.1,
c1=900(Q<70),c2=850(70≤Q<140),c3=800(140≤Q),p=1400,t1=2,其中时间单位为月,价格单位为元。
计算结果为:对于进货价为C1的情况,由于降价后剩余时间充裕,降价促进销售效果显著,所以订货量超过q1,故不考虑;当进货价为C2时,降价后最佳销售价格为p=1191.60,最大利润为π2(p)=32535.32,最佳订购量Q=77.52;当进货价为C3时,降价后最佳销售价格为p=906.42,最大利润为π1(p)=31738.63,最佳订购量Q=71.11。所以在整个生命周期[0,M]内,最佳销售策略为:
降价后最佳销售价格为p*=1191.60,最大利润为maxπ(p)=π2(p)=32535.32,最佳订购量Q*=77.52。
观察表1可知,随降价时间t1的往后推延,销售商通过降价促销所获利润将逐渐减少,通过订购数量来享受供应商提供价格折扣的能力减弱。因此,销售商可在产品投放市场初期,根据市场实际采用高价策略,然后尽可能早的进行降价促销,以获取更大的收益。可以预计,对于需求函数为双斜坡型的短生命周期的产品而言,在其需求的转折点(成长期到平稳期,平稳期到衰退期)分别进行降价销售,可以取得更好的产品信誉及更好的销售收益。
注:表中“——”为不合要求的项。
6 结论
本文从实际出发,建立了在供应商提供价格折扣和零售商提供临时价格折扣的条件下的短生命周期易变质物品库存模型,讨论了模型生命周期内发生降价后的销售价格,证明了模型最优解的存在性,给出了最优销售价格和最优订购量的求解步骤,并进行了数值实验。根据本文的讨论方式,可以很容易的将价格折扣策略推广到具有多个价格折扣分段点的情形,因此具有广泛的应用价值。进一步的研究方向,可以考虑变质率跟时间相关或有临时订货的情形。
参考文献
[1]Federgruen A.and Lee C.Y.The dynamic lot size model with quantitydiscount[J].NavalResearchLogistics.1990,37:707-713.
[2]Wee H.M.Deteriorating inventory model with quantity discount:pricing and partial backordering.International Journal of Production Research.1999,59:511-518.
[3]P.C Yang.Pricing strategy for deteriorating items using quantity discount when demand is price sensitive[J].European Journal of Operational Research.2004,157:389-397.
[4]戴更新,刘天亮,王炬香.定期信用支付影响价格折扣的最优订购模型[J].科学技术与工程,2006,6,(19):3158-3161.
[5]余双琪.短生命周期产品的价格折扣问题研究[D].武汉:华中科技大学:保存单位,2006.
易变质物品 篇2
从20世纪60年代起,许多学者开始关注变质物品的研究,Hadley&Whitin[1]是最早考虑到库存会发生腐蚀现象的学者。Dave和Patel[2,3]考虑需求随时间线性递增以及商品腐蚀的特性,进而求得固定订购周期与不允许缺贷时的最佳订购批量。Wee[4]提出“允许部分补货”的观念,他将缺货期间的补货率假设为0-1之间的固定常数,考虑变质物品在生命周期处于衰退期的库存模型。Chakrabarti和Chaudhuri[5]则提出在SFI定购策略下,考虑需求随时间呈指数递减的变质物品的库存模型。
但是有关变质物品的研究中考虑数量折扣的模型还不是很多见,Wee[6]在购买价格不变的前提下,讨论了需求随价格和时间变化的条件下零售商在一定计划期内各周期的最优库存策略。Wee和yu[7]注意到数量折扣对零售商库存策略的影响,讨论了供应商给予暂时折扣时零售商的库存策略,但是假定需求在整个计划期内是不变的。Monahan[8]首次从供应商的角度研究了数量折扣的问题。L[9]等考虑了一个供应商和多个零售商的数量折扣问题,并给出了供应商给予数量折扣的一个算法。
而对于临时价格折扣的研究,大多是研究零售商在面对供应商的优惠政策时如何订货和定价,Tersine[10]首先研究了临时价格折扣,并提出了OTOS(one time only sale),随后他和Price[11]、Ardalan[12]讨沦了没有供应商特别订货量限制的临时价格折扣的存贮模型,然后Tersine[13]提出了一个基于临时价格折扣的一般化EOQ模型。
然而上面关于临时价格折扣的研究都是假设供应商提供价格折扣,然后零售商决定最优订货量或者最优订购周期。而本文是从零售商的角度出发,考虑临时价格折扣的制定问题,研究的是零售商做出的面向顾客的临时价格折扣,这在现实中也是零售商经常采用的一种促销手段,尤其是在销售变质物品时。文章通过建立相应的数学模型及对其求解,决策出零售商应该在什么时候给多大的折扣价格,使得他的利润会最大,即决策变量是折扣开始时间和临时价格折扣系数,决策条件是利润最大。同时文章也考虑了零售商做出价格折扣决策后对需求的影响,所以本文所开展的研究有一定的现实意义。
1 符号说明及假定
为了便于建立模型,本文给出以下假定:(1)只考虑一个销售周期;(2)不允许缺货,周期结束时,库存为零;(3)物品变质不是从入库开始,而是有一个拖后时间td,且0<td<T;(4)物品售价受物品质量状态影响;(5)零售商采取折扣策略后需求率的变化没有拖后。
模型中的符号含义:T——销售周期长度I (t)——物品在t时刻的库存水平h——单位时间单位物品的库存费用p0——零售商每单位物品的购买价格p——零售商每单位物品的售价,p>p0D t--——物品在t时刻的需求率,且D t--=a--bt-p-k,a>0,b>0,k为常数β——临时价格折扣系数,为决策变量,且0<β<1t1——零售商采取临时折扣开始时间,为决策变量,且0<t1<Tθ——物品的变质率,为常数E——零售商单位时间内的平均总利润HR——一个周期内零售商的销售收入HY——一个周期内零售商的库存成本HC——一个周期内零售商的购买成本A——零售商每订购一次物品的固定订购成本
2 模型的建立
由模型假设可以知道,物品在0≤t1≤t时间段,需求函数为:
从t1时刻开始由于实施价格折扣策略,且折扣系数为β,所以在t1≤t≤T时间段,需求函数为:
因为变质不是从入库开始的,而是有一个拖后时间td,所以零售商库存的减少在变质之前是由于销售影响,在变质之后是由于销售和变质同时影响,同时在t1时刻零售商实施了价格折扣策略,由此零售商的库存水平是分为三阶段的,下面分A,B两种情况讨论:
A.当0<td<t1时,可以知道库存水平分三种情况,即在0≤t≤td为I1t--,在td≤t≤t1为I2t--,在t1≤t≤T为I3t--,并且可知道库存水平的变化率为:
由库存变化的边界条件、零售商在临时价格折扣时库存不变的条件和物品开始变质时库存不变的条件,即:
可以求出零售商分别在0≤t≤td、td≤t≤t1和t1≤t≤T时间段内的库存水平,即在0≤t≤td时间段内,库存水平为:
在td≤t≤t1时间段内,存存水平为:
在t1≤t≤T时间段内,库存水平为:
所以零售商一开始的订货量I1-0-为:
从而可以得到:(1)零售商的销售收入为:
(2)零售商的库存成本为:
其中:
(3)零售商的购买成本为:
所以,由(9)、(10)、(11)可得零售商在单位时间内的平均总利润=-销售收入-库存成本-购买成本-固定订货成本-/T,即:
B.当t1<td<T时,可以知道库存水平也分三种情况,即在0≤t≤t1为I1t2 2,在t1≤t≤td为I2t2 2,在td≤t≤T为I3t2 2,并且可知道库存水平的变化率为:
同A,即由库存变化的边界条件、零售商在临时价格折扣时库存不变的条件和物品开始变质时库存不变的条件,即:
可以求出零售商分别在0≤t≤t1、t1≤t≤td和td≤t≤T时间段内的库存水平,即,在0≤t≤t1时间段内,库存水平为:
在t1≤t≤td时间段内,库存水平为:
在td≤t≤T时间段内,库存水平为:
用同A的方法可以建立出B种情况下零售商的平均总利润模型为:
综合上述可以知道零售商在单位时间内的平均总利润为:
3 模型求解
对于A种情况,所建立的模型是关于β和t1的二元函数,通过求偏导可以解出β和t1,进而求出零售商的最大平均利润,即:
由(20)式可得
把(21)式代入(19)式中,可以得到一个关于t1的一元方程,进而可以解出t1,再把t1代入(21)式,就可以解出β,最后把β和t1代入(12)式中就可以求出零售商的最大平均利润。
对于B种情况,可以用同样的方法求出解。
然后对不同的物品开始变质时间td,可以分别代入(12),(18)式求出最优策略,在从它们两个结果中选择出零售商利润最大的一个策略,即为模型的最优解。
在具体求解模型的过程中,可以通过常用的数学软件matlab优化工具箱求出最优解。
4 算例分析
为了说明模型的实用性,下面给出应用例子。
(1)假设a=100,b=10,T=5,p=4,p0=2,k=1,h=0.05,A=10,td=0(即物品的变质从入库开始),当物品变质率不同时,通过matlab计算可以得到表1中的数值计算结果。
从表1中可以看出,若物品变质从入库开始,当物品变质率增大时,实施折扣的时间越要提前,折扣系数也越来越小。而当物品变质率接近时,零售商的平均利润也很接近,但是当变质率忽然变大时,零售商的平均利润也会减少很多,可见变质率对折扣开始时间,临时折扣系数和利润的影响是非常显著的。在实际问题中,也往往是物品越容易变质,零售商越担心变质影响销售,也越会提早采取折扣,这和计算结果相符合。从表中也可以看出,当物品变质率变化时,零售商的订货量基本不变,从而可以说明零售商在适当的时间给合适的折扣价格是很又必要的。当θ=0.0005时,E=33.3733,当θ=0.1时,E=23.2398,平均利润减少了33.36%。
(2)假设a=100,θ=0.05,T=5,p=4,p0=2,k=1,h=0.05,A=10,当物品的变质开始时间不同时(即td不同时),可以得到表2是数值计算结果。
从表2中可以看到,当物品变质开始时间越来越晚时,即物品越不容易变质,临时折扣开始的时间也就越来越晚,这和实际很相符合。而对于不同的变质开始时间,代入模型中通过分析比较可以决策出最优的促销策略,所以零售商在适当的时候打折扣对其利润是有一定影响的,这从表中可以很明显的看出。
5 结束语
本文分析了需求随时间和价格变化条件下,零售商在销售易变质物品时面向顾客做出的临时价格折扣,决策变量是临时折扣系数和折扣开始时间,决策条件是零售商的利润最大化,通过本模型零售商可以决策出折扣开始时间和临时折扣价格。其实还可以结合变质物品的质量状况,考虑多个折扣开始时间和折扣系数,使得零售商的平均利润最大。其中,发生价格折扣的时间及多大的折扣价格对需求变化都有一定的影响。本文研究中的一些不足:(1)我们只是从零售商的角度考虑,如果能从整个供应链的角度出发,设计出一个临时折扣价格和折扣开始时间的模型,使得整个供应链的利润最大,同时零售商的利润也达到最大。(2)本文考虑的是一个销售周期,实际上还可以考虑有限计划期内多个销售周期的情况,在此情况下零售商的最大利润模型应该如何确定?这些问题均有待进一步研究。
摘要：变质物品的销售策略是商家制定销售计划的重点。价格折扣是目前商家最为常用的策略,但大都是供应商面对零售商的价格折扣。文章结合实际情况,研究了在需求和价格随时间同时变化条件下,零售商面对顾客时如何制定变质物品的临时价格折扣策略,并发现临时价格折扣会影响物品的销售速度。通过建立模型及对模型求解,得出使零售商利润最大时的最优折扣价格和实施临时价格折扣的最佳时刻,实例分析表明零售商采用最优的临时价格折扣策略后利润会有明显的增大。
易变质物品 篇3
变质是库存中常见的现象,比如食品水果的衰变、物品的磨损、挥发性物品的挥发等,这类变质商品一般为物理性变质,会直接影响库存商品的变化,零售商需要在有限的时间内售出一定量的该类物品,以使利润达到最大化。然而在竞争激烈的社会条件下,除了产品本身的变质特性外,多变的市场环境也是零售商不容忽视的重要因素,当市场行情不景气,产品出现滞销时,零售商就要降价销售商品以便回笼资金,避免进一步的损失。
从已有的研究来看,大部分研究者仅从库存成本的角度出发,在假定市场需求稳定的前提下,求得库存成本最小化的补货周期以及相应的补货量。其中Chang[1]研究了延期支付情况下允许缺货的库存管理模型,并引入双参数韦布尔函数描述变质情况;文晓巍[2]研究了在通货膨胀下允许延期支付,并且变质率和需求率均为非常数的商品库存模型,提出了变质商品的最优库存补充决策;许立俭[3]给出了单一变质物品的存储模型,并研究了带有价格折扣时变质物品的最优订货策略。然而上述文献仅仅考虑了库存成本最小化时的订货策略,没有从零售商利润收入的角度考虑其订货和定价决策。黄河[4]分析了短生命周期产品动态定价下的供应链协调问题,考虑到了零售商的期望收入,但是没有考虑商品库存成本对零售商利润的影响;徐贤浩[5]构建了短生命周期产品的临时价格折扣模型,研究了零售商采取价格折扣后的利润变化,然而该模型没有讨论商品的物理性变质对零售商定价决策的影响。覃毅延[6]研究了在弹性需求和易变质物品条件下,供应商和零售商独立决策时,零售商如何确定最优定价的问题,然而文中未考虑市场变化对商品价格的影响。
本文不仅考虑了商品的物理性变质,同时考虑商品受到市场冲击后价值贬值的情况,并假设:(1)在商品受到市场影响前零售商能够准确预知市场发生变化的时刻,并能及时采取措施,对产品降价销售;(2)在市场发生变化前消费者需求曲线没有变化;(3)产品受到市场冲击后价值为零(类似于超过保质期的商品)。
1 模型
1.1 模型假定
除了引言中考虑的三点假定外,其他假定如下:
(1)只考虑一种商品,不考虑联合订货;
(2)需求率随零售商出售价格的降低而增大;
(3)零售商不允许缺货;
(4)只有物品进入库存时才考虑变质;
(5)变质的物品不能替代及不可修复;
(6)物品完好时才考虑库存成本;
(7)提前期为零;
(8)商品变质率不变。
1.2 符号说明
p———商品降价前的销售价格;p1———商品降价后的销售价格;D———降价前商品的需求率,D=a-bp,a1>b>01;D1———降价后商品的需求率,D1=a-bp1,a1>b>01;E———商品降价前零售商单位时间的利润值;E1———商品降价后零售商获得的总利润值;T———零售商的订货周期;M———单位产品的购买成本;N———零售商单位时间单位商品的库存成本;I t1 1———t时刻零售商的库存量;C0———零售商的订货成本;F———零售商在商品降价前的总成本;F1———零售商在商品降价后的总成本;t1———零售商预测市场发生变化的时刻,同时也是采取价格折扣的时刻;T1———市场对商品产生冲击的时刻;θ———产品的变质率;τ———单位时间单位商品的变质费用。
1.3 模型的建立和分析
零售商在预知市场变动前,会依照惯例制定订货策略,库存水平的变化量dI t1 1是需求率D 1p 1和变质率θ的函数,描述如下:
在订货周期T的末期,t=T时,库存水平I=0;用分离变量法求解式(1),得
对于每个订货周期T,t=0时的库存水平
零售商在周期T的总成本
式中,第二项是采购成本,第三项是库存成本,第四项是由于变质受到的损失。
零售商在单位时间的利润等于收入减去平均总成本
根据泰勒公式,当θT≠1,式(5)中的eθT可以用代替,且当p给定时,零售商的最优订货周期可以由得到,零售商的最优订货周期
当零售商在t1时刻预测出市场将在时刻T1对商品产生冲击时,会立即采取降价措施,使得在T1时刻前利润收入达到最大化。一般情况下,决策的准则采用单位时间的平均利润,但是由于零售商的预测时刻t1和市场发生变动的时刻T1均为确定值,所以可以根据在t1至T1时刻之间零售商利润最大化做决策准则。这时从时刻t1到时刻T1之间的库存变化量为
由于I1(t1)=I(t1)1,可以得到
零售商在时刻t1到时刻T1之间的总成本为
零售商在时刻t1到时刻T1之间单位时间的利润可以用下式表示
因为θ值较小,可以将式(10)中关于ex的泰勒展式n>2的所有项忽略,即,因此由式(10)可以得出:
性质1当零售商自主决定销售价格时,零售商的单位出售价格为
证明:对式(11)求偏导,
式(14)表明零售商在单位时间的平均利润函数是p1的凹函数,零售商的最优定价值可以由
证毕。
2 数值举例
设价格折扣前商品的需求D=80-4p,市场价格为p=12,买进价格M=5,每次订货成本C0=2,单位时间单位库存成本N=1,商品变质率θ=0.01,单位商品的变质费用τ=5。不存在价格折扣时,经计算零售商的最优运营政策为T*=0.337。
当零售商在时刻t1预测到市场将在时刻T1对产品产生冲击,并及时采取降价措施,对应不同的时刻t1和T1零售商的利润如下。
由表1给出的数据,可以看出在一般情况下,零售商预测并采取措施的时刻越早,所获利润越高,所受到的市场冲击也越小。然而当采取措施时刻较晚时,损失将难以避免,因此零售商出现负盈利,即亏损的状况。
3 结束语
本文分析了零售商面向顾客做出临时价格折扣,商品存在物理性变质的同时受市场影响下的最优定价策略,模型中顾客的需求状况和市场变化情况均为已知,决策条件是在商品受到市场冲击前零售商利润最大化。文中仅仅考虑需求随价格变化而变化的情况,其实还可以考虑顾客需求率与商品变质率及生命周期有关的情况,这是文中有待改进的地方。
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