脉动现象（通用2篇）
脉动现象 篇1
1 预备知识
脉动是具依赖状态脉冲的脉冲微分系统的解曲线碰撞同一脉冲面多于一次的脉动现象。脉动现象的发生在研究解的性质方面增加了困难。目前,关于脉冲微分系统的研究有很多[4,5],但在这些研究中关于脉动现象的研究还不多见。在文献[1,2,3,4]中,V.Lakshmikantham和D.D.Bainov等人分别给出了若干脉动现象发生与不发生的充分条件。同时,在实际问题中,往往需要控制脉冲[6],而在文献[7]中,作者给出了控制解曲线只碰某些给定脉冲面的充分条件。本文在文献[4]的基础上,致力于寻找保证或防止脉动现象发生的条件。在没有脉冲函数有界条件的前提下,给出了解曲线碰某个给定脉冲面若干次的充分条件;同时,给出了从某个给定脉冲面开始,依次碰且仅碰连续的脉冲面各一次的充分条件,推广且改进了文献[7]的结论。
考虑以下脉冲微分系统
undefined
式(I)中以Rn表示n维欧式空间,对∀x∈Rn,定undefined表示R中的范数,f∈C(R+×Ω,Rn),Ω⊂Rn为开集,Ik∈C(Ω,Rn)。
设:(A1) ∀k∈Z+,τk∈C′(Ω,R+),∀x∈Ω,τk+1(x)-τk(x)≥αk>0,且undefined
(A2) ∀(t,x)∈R+×Ω,∀k∈Z+,∃Mk∈L′(R+,R+),使得undefined,其中∫∞tMk(s)ds=∞。
定义1 对∀t0≥0,若函数x(t):[t0,t0+a)→Rn,a≥0,满足:
(i) 对t≠τk(x),x(t)连续可微,且满足x′(t)=f(t,x),t∈[t0,t0+a);
(ii) x(t+0)=x0,t0≥0,且对
t∈[t0,t0+a),(t,x(t))∈R+×Ω;
(iii) 对t=τk(x),t∈[t0,t0+a),Δx=Ik(x),即x(t+)=x(t)+Ik(x(t)),在t=τk(x)处,x(t)左连续,且对∀δ>0,t
则称x(t)为系统(I)的过(t0,x0)的一个解。
我们总假设系统(I)的过∀(t0,x0)的解在[t0,∞)上存在[4]。
2 主要结果
首先,在没有脉冲函数有界条件的前提下,给出一个解曲线碰某个给定脉冲面若干次的充分结果,即脉动现象发生。
定理1 假设(A1)(A2)成立,且x∈Ω时,有x+Ik(x)∈Ω,同时,对任意给定的j∈Z+,若:
undefined
undefined。
则系统(I)的满足τj-1(x0)
证明 设x(t)=x(t,t0,x0)为系统(I)过(t0,x0)的任一解,且满足τj-1(x0)
令σ(t)=t-τj(x(t)),ρ(t)=t-τj-1(x(t)),
由(A2)
undefined。
从t0～t积分,有
σ(t)≥σ(t0 ) + ∫undefinedMj(s)ds。
令t→∞,则σ(t)→∞。又
σ(t0)=t0-τj(x0)<0,所以,∃t1>t0,使σ(t1)=0,σ(t)<0,t∈(t0,t1)。
即
undefined
同理,ρ′(t)>0,而ρ(t0)>0,所以,ρ(t)>0,t∈[t0,t1]。
即:t>τj-1(x(t)),t∈[t0,t1];
从而,t=t1时,x(t)首次与脉冲面相碰,且脉冲面为Sj。
下证,
undefined
式(2)中x+1=x(t1)+Ij(x(t1)),x1=x(t1)。
由undefined。
即:τj(x+1)>t1。
同理,由(A3),τj-1(x+1)-τj-1(x1)<αj-1。
所以,由(A1),τj-1(x+1)<τj-1(x1)+αj-1≤τj-1(x1)+τj(x1)-τj-1(x1)=t1。
令x(t)=x(t,t1,x+1)为系统(I)过(t1,x+1)的解,且满足τj-1(x+1)
继续上述讨论过程,定理得证。
推论1 若将(A2)替换为(A*2),定理1仍成立。
(A*2):(a)∀k∈Z+,τk(x)关于x满足Lipschitiz条件,且Lipschitiz常数为Lk,即:
undefined
(b)∀(t,x)∈R+×Ω,∀k∈Z+,∃Mk∈L′(R+,R+),使得undefined,其中,∫∞tMk(s)ds<∞。
证明 设x(t)=x(t,t0,x0)为系统(I)过(t0,x0)的任一解,且满足τj-1(x0)
令undefined。
下面仅需证明(1)式。
由(A*2),有
undefined。
即:σ′(t)=1-Mj(t)。
从t0～t积分,有
∫tt0σ′(s)ds≥∫tt0(1-Mj(s))ds。
即:σ(t)≥σ(t0)+(t-t0)-∫tt0Mj(s)ds。
令t→∞,则由(A*2)(b)有:σ(t)→∞。
又σ(t0)=t0-τj(x0)<0。
所以,∃t1>t0,使式(1)成立。
注1 当有脉冲函数有界的条件时,定理1以及推论1分别推广且改进了文献[4]的结论。
下面,在没有脉冲函数有界条件的前提下,给出一个从某个给定脉冲面开始,依次碰且仅碰连续的脉冲面各一次的充分结果,即脉动现象不发生。
定理2 假设(A1)(A2)成立,且x∈Ω时,有x+Ik(x)∈Ω,同时,对任意给定的j∈Z+,∀k=j,j+1,…,若:
undefined
undefined。
则系统(I)的满足τj-1(x0)
证明 设x(t)=x(t,t0,x0)为系统(I)过(t0,x0)的任一解,且满足τj-1(x0)
令σ(t)=t-τj(x(t)),ρ(t)=t-τj-1(x(t))。
同定理1相同的证明方法可以知道:∃t1>t0,使t=t1时,x(t)首次与脉冲面相碰,且脉冲面为Sj。
由定理1的证明思路分析可知,下面仅需证明与式(2)类似的
undefined
式(3)中,x+1=x(t1)+Ij(x(t1)),x1=x(t1)。由undefined。
即:τj(x+1)
同理,由(A6),τj-1(x+1)-τj-1(x1)>-αj。所以,由(A1),t1=τj(x1)<τj(x+1)+αj≤τj(x+1)+τj+1(x+1)-τj(x+1)=τj-1(x+1)。
令x(t)=x(t,t1,x+1)为系统(I)过(t1,xundefined)的解,且满足τj(x+1)
令σ(t)=t-τj+1(x(t)),ρ(t)=t-τj(x(t))。则∃t2>t1,使t2=τj + 1(x(t2,t1 ,x+1))。即当t=t2时,x(t)在t1之后首次与脉冲面相碰,且脉冲面为Sj+1。
继续上述讨论过程,定理得证。
推论1 若将(A2)替换为(A*2),定理2仍成立。
证明方法同推论1及定理2。
注2 当有脉冲函数有界的条件时,定理2以及推论2分别推广且改进了文献[7]的结论。
摘要：研究了一类脉冲微分系统解的脉动现象。在没有脉冲函数有界条件的前提下,给出了脉动现象发生或不发生的一些充分条件,改进了一些现有结论。
关键词：脉冲微分系统,脉动现象,脉冲面
参考文献
[1] Hu S,Lakshmikantham V,Leela S.Impulsive differential systemsand the pulse phenomenon.J Math Anal Appl1,989:137:605—612
[2] Bainov D D,Dishliev A B.Conditions for the absence of phenomenonbeating for systems of impulse differential equations.Bull Inst MathAcad Sinica,1985;13:237—256
[3] Dishliev A B,Bainov D D.Sufficient conditions for absence of“beat-ing”in systems of differential equations with impulses.Applicable A-nalysis,1984;18:67—73
[4] Lakshmikantham V,Bainov D D,Simeonov P S.Theory of impulsivedifferential Equations,World Scientific1,989
[5]傅希林,闫宝强,刘衍胜.脉冲微分系统引论.北京:科学出版社2,005
[6] Liu Xinzhi.Practical stabilization of control systems with impulseeffects.Journal of Mathematical Analysis and Applications,1992;166:563—576
[7] Fu Xilin,Li Xiaodi.New results on pulse phenomena for impulsivedifferential systems with variable moments.Nonlinear Analysis,2009;71:2976—2984
脉动现象 篇2
【注音】： mai dong
【意思】：机器或电流强度等象脉搏那样地周期性运动或变化。
1、研究团队把他们的这项工作称为“国家脉动”。
2、你将不会看到脉动，因为黑洞没有表面，它不像中子星，不存在两个热点可以。
3、抵抗这种脉动就等同于抵抗这个人。不与外界联通就相当于逃避我们的社会责任。如果发生什么事儿呢？如果有人需要你呢？
4、因此，尽管粗略，物种状态的计数让自然资源保护学家们感受到行星上生命的脉动。
5、专家们警告说，实时补偿整个电网比偶尔降低高峰需求要复杂得多，他们质疑脉动控制能否担当起这项工作。
6、不知何故，因为人们知道我们都仅仅是理论上与这些脉动发生联系，却也期待着实际真真切切地与其发生关联。
7、她的手指停了一下，似乎在感觉我的脉动，然后继续抚摸头发。
8、一瞬间，地图上的美国部分从黑色变成脉动的蓝色。
9、ERRC的科学家改进的另一种技术是利用脉动电场（PEF）杀死液体食品中的酵母菌、霉菌和繁殖性细菌。
10、我在考虑，但并不耽于深思，它的化学成分，它的每一次脉动以及它的`每一次潮汐，都跟我们有着谜一般的联系。
11、这些技术包括高压处理，脉动电场，射频电场，紫外线和辐射处理。
12、并且，更清楚的是这脉动也承载了许多好事儿。
13、轴突是一个细长的传导物质，将神经细胞的脉动传送至身体各部分，从而控制身体的动作。
14、他会感觉到这种能量在身体里脉动，给他行动的力量。
15、那所有的闪烁光标，更新和字节都代表着社会以其无法准备之速度而前进的脉动。
16、在第二次世界大战中，德军曾尝试把脉动喷射引擎管安装在飞行员身上，好让他们飞过雷区，但计划最终夭折。
17、南非正在引进脉动控制，以避免重演去年损害了国家利益的滚动停电。
18、我相信依靠我心脏的搏击，血液的脉动以及头脑中的音乐来跳舞是我的天性。
19、这种方法将使得研究人员能够探索其它促进剂的工作机制，以及如内分泌系统产生的荷尔蒙脉动等不同现象。
20、几乎能感觉到文本的脉动。
21、我们很多人都有脉动瘾。
22、这种情况可能是由恒星上的耀斑引起的，耀斑可能会给速度测量造成混乱；还有可能是恒星的膨胀和收缩（被称为恒星脉动）引起的。
23、但，如果我们自己需要些时间呢？如果我们需要零脉动场所时间不必积极管理这些脉动呢？
25、在华尔街，“这种脉动恢复了，人们重新挥动起投资的指挥棒。”
26、地核脉动在6年周期中些微改变着地球自转。