数学中的模型构造

2024-12-03

数学中的模型构造（精选5篇）

数学中的模型构造篇1

在数学解题中, 碰到用常规定向思维方法不能解决的问题时, 只要改变思维方向, 换一个角度去思考, 往往会找到一条绕过障碍的新方法, 根据已知条件的结构, 寻找它的数学模型, 挖掘其几何解释, 利用图形的直观性, 得到解题的捷径, 下面略举数例, 便可见其巧妙之处.

一、构造几何模型, 根据图形的“直觉”解函数的最值问题

例1若4x2+y2-8=0, 求函数的最小值.

分析:方程4x2+y2-8=0即:它是以原点为中心的一个椭圆.则是椭圆上动点 (x, y) 到两定点A (0, 3) , B (2, -1) 的距离之和, 作椭圆和过A、B两点的直线, 不难发现, 直线AB和椭圆相交, 设交点为M、N, 从图中可看出:

二、构造三角形, 利用面积公式证明不等式

例2设0

证明:x (1-y) +y (1-z) +z (1-x) <1

分析:因为 (x+1-y) + (y+1-z) + (z+1-x) =3

可作单位正ΔABC, 取BP=x, CR=y, AQ=z,

则AP=1-x, BR=1-y, CQ=1-z,

代入, 化简得x (1-y) +y (1-z) +z (1-x) <1

三、构造函数, 利用函数图象, 证明不等式

例3若ΔABC的三个内角是x1, x2, x3, 求证

四、利用几何作图证明问题的结论

例4若a、b、c、d>0, 求证以为边, 可以组成一个三角形.

分析:我们若用三角形的三边关系证明将是很复杂困难的, 我们设想:能不能通过几何作图作出一个满足条件的三角形, 从而解决问题.我们以a+c, b+d为边做一矩形, 令BD=d, BE=b, CE=a, CF=c, 则

所以, ΔABC就是满足条件的一个三角形, 即以为边, 可以组成一个三角形, 问题得证.

数学问题中的构造法浅谈篇2

关键词：构造；转化；变换

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）08-018-01

解决数学问题时，常规的思考方法是由已知到未知的定向思考。但有些问题按照这样的思维方式来寻求解决问题的途径却比较困难，甚至无从着手。这种情况下，经常要求我们改变思维方向，换一个角度去思考，找到一条绕过障碍的新途径。构造法就是这样的手段之一。

构造法的含义很广：一般认为，在解题过程中，为了实现条件向结论的转化，利用问题的特殊性设计一个新的关系结构系统去实现原问题的解决，这种思维活动的特点在于“构造”，所以称为构造思想。应用构造思想去发现数学理论和解决数学问题的具体方法称为构造法。构造法作为一种数学方法，它不同于一般的逻辑方法，需要一步一步地导求必要条件，直至推断出结论。它属于非常规思维，其本质特征是“构造”。用构造法解决问题，无一定之规，表现出思维的试探性，不规则性和创造性。构造解决问题的活动是一种构造性的思维活动。其关键是借助对问题特征的敏锐观察，展开丰富的联想，构造出满足问题条件的数学对象，使问题巧妙地获得解决。

一、构造函数法：

这种方法就是构造出与原命题相符合且关系密切的函数，从函数的角度观察、分析、解释命题，沟通命题中条件与结论的内在联系，从而使命题（或问题）得以解决。

例1、已知，求证：。

思路：因为与的和为，其积为1。根据这两数的结构形式，可构造函数：，与是 =0的二根。

欲证原结论，只须证即可。

二、构造恒等式：

在解某些数学问题时，需要构造一个恒等式作铺垫，架起通向解题终点的“桥梁”。使问题迅速得以解决。

例2、已知，求分式的值。

思路：待求值式实际上已暗示我们，应设法构造一个恒等式，使之能利用已有的结论：

三、构造数列：

在处理与自然数n有关的命题时，可根据题目提供的特征，通过替换，设想并构造出一个与欲解（证）问题有关的数列，并对该数列的特征进行分析，常常可以由此探寻出解决问题的途径。

例3、求证：

思路：这种类型的问题通常用数学归纳法来证，下面试用构造数列的方法来解。

由以上讨论的几种方法及例题可以看出，应用构造法时应注意以下几点：

1、构造法是一种通过构造新的数学对象使原问题得以转化，从而解决问题的一种方法，所以，构造物的结构形式应尽可能的简单，以便于问题的解决，通过构造物这一媒介，应尽可能地使复杂问题简单化。

2、构造方法解决问题的过程比较直观，构造物必须是熟悉的，通过熟悉的构造物将难以入手的问题转化为熟悉的问题。

3、构造法解决问题具有很大的灵活性，针对某一问题如何进行构造，必须有很扎实的数学基础知识和数学经验。

参考文献：

[1] 陈晨.构造法证不等式的思考途径 [J].数学教学与研究2001.3

[2] 石珂.构造图形解竞赛题[J]数学通讯.2001.9

[3] 戴冉平.数学方法与解题研究[M]高等教育出版社.1996

对构造数学模型解题的探究篇3

问题转换的操作程序大致为：

问题的核心是：根据条件、结论的性质和特征，将题设和结论联系起来，构造一个恰当的数学模型，通过对模型的研究，以达到简洁解题的目的。下面举例说明。

一、构造函数模型

有些代数问题给出一个或几个关系式，求另一个式子满足一定条件，这时可把关系式中的字母与某个函数的对应方程的根联系起来。

例1.三个整数a, b, c满足关系a+b+c=0，求证：2 (a4+b4+c4)是一个完全平方数。

分析：由条件a+b+c=0，猜测：若a, b, c为某一个三次函数对应方程的三个根，由韦达定理知，二次项系数为0，然后研究根与2 (a4+b4+c4)的关系。

证明：设a, b, c是函数f (x)=x3+px2+qx+r的三个根，由韦达定理知p=-(a+b+c)=0, q=ab+bc+ac，从而f (x)=x3+qx+r

上述三式分别乘以2a, 2b, 2c，相加

二、构造三角模型

例2.任给7个实数，求证：其中至少有两个数x、y满足

分析：特征式颇似三角公式

三、构造组合模型

例3.求证：(Cn1) 2+2 (Cn2) 2+…+n (Cnn) 2=nCn-12n-1。

证明：构造组合模型如下：从n个男同学及n个女同学中，选出n个同学组成一个代表团，其中男同学至少要一名，并在其中选择一名男同学为团长，问有多少种不同的选法?

按选出的男同学人数k分类，男同学选法有Cnk种，女同学选法有Cnn-k=Cnk种，团长的选法有k种，故完成这一类的选法有kCnkCnn-k=k (Cnk) 2种，令k=1, 2，…，n，则符合条件的选法总数是：

另一种解法：从n个男同学中选出团长有n种方法，然后在剩下的2n-1个同学中选出n-1个团员有Cn-12n-1种，由乘法原理共有nCn-12n-1种选法，比较上述两种结果得：(Cn1) 2+2 (Cn2) 2+…+n (Cnn) 22n-1=nCn-12n-1。

四、构造复数模型

分析：此题乘方的次数非常高，引入“共轭复数”模型，会出人意料得简单。

将以上三式相加，再利用1+ω+ω2=0，得3A=3100，则A=399。

五、构造向量模型

例5.一个人要带一只狗、一只鸡和一棵白菜过河，而船除人外，每次只能带一样东西，问该如何运它们，才能使鸡吃不掉白菜，而狗吃不掉鸡。

解：如果把人、鸡、狗和白菜依次用一个四维向量表示，当一物在此岸，记为1，否则记为0。如(1, 0, 1, 0)表示人和鸡都在此岸。按题意(1, 0, 1, 0)是一个允许状态，而(0, 0, 1, 1)是一个不允许状态，因为鸡可以吃白菜。把所有允许状态记为集合S，共有10个元素，分别是

可以把每次运载情况也用一个四维向量表示。如用(1, 1, 0, 0)表示人和狗在船上。这样的允许的运载状态记为集合D，有元素4个

规定S和D中的元素相加时按二进制法则进行。一次渡河就是一个循序状态向量与一个允许运载向量相加。渡河问题就转化为：求dk∈D，使sk∈S按照运算规律，从状态(1, 1, 1, 1)经过多少次才能变成(0, 0, 0, 0)。

一个结果若是可取的记T。否则记F，虽然可取但已重复就记F。问题用穷举法按(图1)方式运算。通过运算知，经过7次运载可安全地完成。过程可以描述为：去(人，鸡)，回(人);去(人，狗(或菜))，回(人，鸡);去(人，菜(或狗))，回(人);去(人，鸡)。

参考文献

[1]数理化学习[J].哈尔滨师范大学.

构造法在高中数学解题中的应用篇4

[关键词]高中数学构造法解题应用

构造法是指为了解决数学问题而构造的一种数学形式，可以是数学图形、代数式、方程、函数等，利用构造出的形式寻求构造与问题之间的深层联系，从而起到简化求解过程、转化数学思路等目的.数学构造法包含化归、类比、推理等众多数学思想，常常对数学问题的解决有创造性的建议.在本文中，我们将从数列构造、图形构造、方程构造等高中数学问题出发，探究构造法在数学解题中的应用.

一、构造法在数列中的应用

在高中数列教学中，数列的通项公式如同函数的解析式一样重要.一旦我们求得了数列的解析式，那么该数列的任一项以及前n项和都可以被我们求得.可以说，数列的通项公式是解决一切数列问题的根本.在处理一些关于自然数n的数列问题时，我们常常可以利用替换、假设等方式，构造出与题设相关的数列，从而起到帮助解题的作用.

【例1】已知数列{an}满足a1=14，an=an-1（-1）n·an-1-2（n≥2，n∈N*），试求通项an.

解析：本题已经明确要求我们求出数列通项，这是典型的给出首项和关系式，要求通项的题型.对此，教师必须引导学生明确解题思路：欲求通项，可以构造新的首项和等差、等比关系.在本题中，给出的通项关系式是解决该题的核心条件，也是唯一条件.那么，在明确解题思路之后，接下来就是构造关系数列的过程.由已知条件可得： 1an=（-1）n-2an-1 ，观察等式两端，寻找相同部分构造类似结构.于是，等式两端同时加上（-1）n，并提取公约数-2，可得 1an+（-1）n=（-2） [1an-1+（-1）n-1]. 此时，我们便实现了对等比数列的构造，从该等比数列的形式可以看出，该等比数列是以 1a1+（-1）=3 为首项，以-2为公比的等比数列.于是，结合等比数列的通项公式，我们可以得到 1an+（-1）n =3·（-2）n-1，通过简单的化简后，我们可以得到通项an=13·（-2）n-1-（-1）n.在本例中，难点在于构造出等比数列的形式，将学生未曾见过的等式关系转变成他们所熟知的等比、等差的形式.学生需要考虑到拼凑、提取、化归的思路，最终才能构造出解题所需的等比数列.在实际教学过程中，教师可以为学生总结出常见的数列求解类型，将构造方法总结给学生，实现数列教学的举一反三.

二、构造法在几何图形中的应用

传统的高中数学包含几何与代数两个部分，但随着数学的发展进步，教师逐渐发现这两者难以分割，更别说进行分开式的教学了.从日常的数学教学中，教师不难发现，很多问题不仅仅可以利用代数的方法求解，也可以利用几何的方法求解.有时，通过构造几何图形的方法，往往还能起到出乎意料的作用，可以极大地简化解题过程.

【例2】已知函数f（x）=x2+4 +x2+2x+2 ，求该函数的最小值.

图1 解析：对于本题，学生拿到手的第一想法就是化简、去根号.当然，这样的方法也是可行的，但需要学生具备较强的函数处理能力和推导能力.对此，我们不妨换个角度看问题，从该函数的几何意义出发，寻求图形化的解决策略.首先，由f（x）= x2+4+x2+2x+2 可以得到f（x）=x2+22+（x+1）2+12 .然后，我们进一步分析该式的几何意义，即是平面内一点P（x，0）到平面内定点A（0，2）和B（-1，-1）的距离之和.从点P我们不难看出，该点在x轴上.A、B点则分别是位于y轴正半轴上的点与位于第三象限的点，直线AB与x轴交于C点.于是，可知当P点与C点重合时，该函数取得最小值，即线段AB的长度.于是可知f（x）min= |AB|=（0+1）2+（2+1）2=10 .通过构造图形的方法，原本复杂的代数求解与证明过程就被简化成直线图形与直线长度问题，实现了求解过程的简化.

图2 【例3】（2010年江苏卷）已知函数f（x）= x2+1，x≥0

1，x<0 ，则满足不等式f（1-x2）>f（2x）的x的取值范围是什么？

解析：该函数类型属于分段函数，学生可以想到用分段讨论的方法进行求解.但这样的分段讨论过程过于复杂，且很容易出现错误.对此，我们不妨利用该分段函数的图形进行构造法求解.作出如图2的

函数图像，欲使f（x1）>f（x2），必须保证x1>x2，同时x1>0.于是，我们便可以得到x取值范围的判断条件为 1-x2>2x

1-x2>0 ，最终可以求出x的取值范围为（-1，2-1）.在本题中，通过构造出的分段函数图像，我们将原本纯粹的取值范围的求解转化成了图像阅读与函数分析的综合，简化了求解思路，提高了求解的准确性.

三、构造法在方程中的应用

方程是高中数学的重要考点之一，常常与数学函数之间有着紧密的联系.在数学高考中，方程问题往往是作为压轴大题，与不等式、数学函数、解析几何等内容综合起来考查的.在实际的解题过程中，数学方程根的构造常常需要结合题中所给的数量关系和结构特征进行妥善选择，实现数学解题方法上的最简化.

【例4】已知实数x、y、z满足x+y=5，z2=xy+y-9，试求x+2y+3z的值.

解析：从方程形式上来看，该题属于三元二次的形式，而只有两个关系式，必然难以求解.从已知的两式中，我们可以得到（x+1）+y=6

（x+1）y=z2+9 .于是，我们可以将y与x+1视为方程的两个根，则上式就类似于方程的韦达定理.此时，我们可以得到构造函数m2-6m+z2+9=0.结合已知条件我们可以确定，该方程含有实根，得到Δ=-4z2≥0.由于x、y、z是实数，故有Δ=z=0.利用方程的根的性质可知，该方程含有两个相等的实根，即m1=m2.将z=0代入方程m2-6m+z2+9=0，可以求出m1=m2=3.结合题中给出的已知形式，有x+1=y=3，最终我们可以解出x=2、y=3、z=0，再将它们的值代入代数式x+2y+3z，得到其值为8.从本题的解题过程中，我们不难发现，在高中数学方程中，构造法的使用有着举足轻重的作用，当遇到利用常规方法难以求解的题型时，学生必须及时联想到构造法，如：方程的根的构造、方程的Δ值的构造、方程局部的构造等.构造法往往会对我们的求解起到显著的简化作用.