初中数学应用题解法

初中数学应用题解法（通用9篇）

初中数学应用题解法 篇1

在平行四边形abcd中，角BAD的平分线交直线BC于点E，、、、、、、、、、、、、、、、、答案如下： 第一种方法：：

第一步：：连接GE，GC交EF与点h。EC平行Gf且相等，GFCE是平行四边形，因为角ABC=120，所以角DAB=60，AE是角平分线，所以角DAE=30，即角CeF=30,、、、、所以四边形GFCE是菱形。所以 CF=CE 第二步：证明△DGC全等△BGE 延长GE到ad边交与点M。因为 角bAE=角BEA=30 所以BE=AB=CD 角BEG=角DCG=120 因为角CEG=60，EC=EG 所以△EGC是等边三角形 即EG=CG 边角边全等。

第三步：: 证明△DGC全等△BDM △AbM是等边三角形 所以BM=AB=DC mD=cE=CG 角BMD=180-60=120=角DCG 边角边全等

第四步：：因为全等所以△BDG是等边三角形。

答案选C

第二种方法：：

第一步：：连接GE，GC交EF与点h。

EC平行Gf且相等，GFCE是平行四边形，因为角ABC=120，所以角DAB=60，AE是角平分线，所以角DAE=30，即角CeF=30,、、、、所以四边形GFCE是菱形。所以 CF=CE 第二步：证明△DGC全等△BGE 延长GE到ad边交与点M。因为 角bAE=角BEA=30 所以BE=AB=CD 角BEG=角DCG=120 因为角CEG=60，EC=EG 所以△EGC是等边三角形 即EG=CG 边角边全等。

第三步：: 证明△DGC全等△BDM △AbM是等边三角形 所以BM=AB=DC mD=cE=CG 角BMD=180-60=120=角DCG 边角边全等

第四步：：因为全等所以△BDG是等边三角形。答案选C

初中数学应用题解法 篇2

例1:小明家想用34米长的篱笆, 一面靠墙, 围成一个面积是1 44平方米的鸡场, (1) 若在墙上留2米宽的门, 鸡场的长和宽各是多少米? (2) 若在篱笆上留2两米宽的门, 鸡场的长和宽各是多少米?

这道题的第一问较简单, 在这一问中, 门是留在墙上的, 与篱笆的长度无关.如图1, 设与墙垂直的篱笆长x米, 则与墙平行的篱笆长为 (34-2x) 米, 由方程x (34-2x) =144, 得x1=8, x2=9, 所以这个鸡场的长是18米, 宽是8米, 或长是16米, 宽是9米.

这道题的第二问, 正因为2米宽的门是留在篱笆上的, 有很多学生的解题思路就被这道无形的“门”给挡住了, 从而出现了很多的错误, 在解答这一问时, 考虑问题要全面, 应该分两种情况去分析.

正确的解法是:当门留在与墙平行的篱笆上时, 设与墙垂直的篱笆长是y米, 则与墙平行的篱笆长是: (34-2y+2) 米, 由方程y (36-2y) =144, 解得y1=6, y2=12, 所以当2米宽的门留在与墙平行的篱笆上时, 鸡场的长是24米, 宽是6米或长和宽都是12米.

当门留在与墙垂直的篱笆上时, 如图3, 设与墙垂直的篱笆长是z米, 则与墙平行的篱笆长是 (34-2z+2) 米, 由方程z (36-2z) =144, 解得:z1=6, z2=12, 所以当2米宽的门留在与墙垂直的篱笆上时, 鸡场的长是24米, 宽是6米或长和宽都是12米.

例2:有一个长方形的猪舍, 它的一边靠着长为14米的墙, 其他三个边用35米长的铁丝网围成, 甲同学的设计方案是长比宽多5米, 乙同学的设计方案是长比宽多2米, 问哪位同学的设计方案是可行的?

这道习题的解题思路是分别按照甲乙两名同学的设计方案求出长方形猪舍的长和宽, 把不合实际的方案舍去就可以了.

甲同学的设计方案是长比宽多5米, 若设猪舍的宽是a米, 则猪舍的长是 (a+5) 米, 根据两个宽与一个长的和是35米, 可列出方程:2a+a+5=35, 通过解方程得:a=10, 则a+5=15, 由此可知, 猪舍的长是15米, 宽是10米, 但原题中的墙是14米, 墙体是不够长的, 所以甲同学的设计方案不合实际, 应该舍去.

乙同学的设计方案是长比宽多2米, 若设猪舍的宽是b米, 则猪舍的长应该是 (b+2) 米, 因为两个宽和一个长的和是35米, 可以列出方程:2b+b+2=35, 通过解方程得b=11, 则b+2=13, 所以猪舍的长是13米, 宽是11米.在这一方案中猪舍的长是13米, 墙体的长是14米, 墙体是够长的, 所以在这个题目中乙同学的设计方案长比宽多2米, 才是可行的.

例3:甲乙两个班级共有95名学生, 现在从甲班调1人到乙班, 甲班的人数就是乙班人数的90%, 求甲乙两个班级的人数各是多少人?

在解这个题目时, 设甲班有m人, 则乙班有 (95-m) 人.根据题意可列出方程:m-1= (95-m+1) ×90%, 通过解方程得:m=46, 则95-m=49, 所以, 甲班的人数是46人, 乙班的人数是49人.学生在做这道题的时候, 出现错误最多的是:把方程列成m-1= (95-m) ×90%, 正因为这个方程的解不是整数, 从而认为这个题无解.经认真分析, 学生之所以把这个题的方程列错, 原因是他们只知道从甲班的m人中调出1人, 是 (m-1) 人, 而乙班的 (95-m) 人却没有变化, 甲班调出的那个人到哪里去了呢, 难道会蒸发吗?

通过这几道习题的解答, 可以看出, 解答数学应用题应从以下几个方面动脑分析:

1.认真审题, 多读几遍题, 把题中的数量关系分析清楚, 例如在解第一个题目的第二问时, 设与墙垂直的篱笆长是y米时, 与墙平行的篱笆长是 (34-2y+2) 米, 而不是 (34-2y) 米, 不要把2米宽的门给忽略了.

2.考虑问题要全面, 不能顾此失彼, 尽管在第一个题目的第二问中两种情况的鸡场的长和宽一样, 但这两种情况必须都要考虑到.在第三个题目中, 既要考虑到从甲班的m人, 调出1人是 (m-1) 人, 又要同时考虑到, 甲班调出的1人是调到乙班去了, 乙班 (95-m) 人就必须增加1人, 即乙班的人数是 (95-m+1) 人, 如果只考虑甲班减1人, 不考虑乙班加一人, 自然想把题解对, 是不可能的.另外还要记住, 在解和一元二次方程有关的问题时, 要考虑方程的判别式必须大于零, 或等于零.

3.有些题目要画出相应的图形, 因为从第一个题目的图形可以看出, 画图更能直观地体现出题中数量关系, 如果不画图光凭想象容易把题中的条件漏掉而出现错误.

4.列方程就是找出题中相等关系, 在第一个题目中鸡场的面积是144平方米是相等关系, 把这种相等关系用代数式表示即列出了方程.也就是说找相等关系对于列方程是最重要的.

5.解应用题必须与生活实际相结合, 求长度, 速度不能出现负值, 求人数不能出现小数, 与生活实际、与题意矛盾或不相符的应该舍去, 例如, 在第二个题目中, 给出墙的长是14米, 当猪舍的长是15米时, 墙就不够长了, 所以应该把猪舍长15米, 宽10米这种情形舍去.

6.运用知识要灵活, 不能教条, 要以点代面、触类旁通, 通过这几个习题的解题过程的分析, 教师向学生讲解这一类问题的解题思路, 能够提高学生分析问题和解决应用题的能力.

7.有些应用题, 相关的概念、含义、定义不能混淆.例如在有些经济问题中, 进价、标价、售价、利润、利润率等不能混淆.标价不一定就是售价, 售价减去成本才是利润, 求利润率的计算方法是:利润率= (利润÷成本) ×100%, 求利润和利润率都与进价有关, 如果这些量混为一谈, 想把题解对是不可能的.

8.解应用题要注意解题格式的书写.无论是设还是答, 都不要忘记写单位, 更不要把单位写错, 在解题过程中用到的各个量的来龙去脉必须要交代清楚, 例如在第一个题目中, 方程:y (36+2y) =144中的“36+2y”实际上是由34-2y+2=36-2y计算得来的, 如果不交代清楚, 别人就会出现误解.光自己懂了还不行, 必须让评卷人和看题者懂才可以.

综上所述, 如果我们在解初中数学应用题的时候, 能够综合的考虑到以上几个方面, 就能够尽可能多的避免在解题时出现这样或那样的错误或漏洞, 为正确的解决初中数学应用题打下坚实的基础.

初中数学应用题解法 篇3

例1：小明家想用34米长的篱笆，一面靠墙，围成一个面积是144平方米的鸡场，(1)若在墙上留2米宽的门，鸡场的长和宽各是多少米?(2)若在篱笆上留2两米宽的门，鸡场的长和宽各是多少米?

这道题的第一问较简单，在这一问中，门是留在墙上的，与篱笆的长度无关，如图1，设与墙垂直的篱笆长x米，则与墙平行的篱笆长为(34-2x)米，由方程x(34-2x)=144，得x1=8，x2=9，所以这个鸡场的长是18米，宽是8米，或长是16米，宽是9米。

这道题的第二问，正因为2米宽的门是留在篱笆上的，有很多学生的解题思路就被这道无形的“门”给挡住了，从而出现了很多的错误，在解答这一问时，考虑问题要全面，应该分两种情况去分析。

正确的解法是：当门留在与墙平行的篱笆上时，设与墙垂直的篱笆长是y米，则与墙平行的篱笆长是：(34-2y+2)米，由方程y(36-2r)=144，解得y1=6，y2=12，所以当2米宽的门留在与墙平行的篱笆上时，鸡场的长是24米，宽是6米或长和宽都是12米。

当门留在与墙垂直的篱笆上时，如图3，设与墙垂直的篱笆长是z米，则与墙平行的篱笆长是(34-2z+2)米，由方程z(36-2z)=144，解得：x1=6，x2=12，所以当2米宽的门留在与墙垂直的篱笆上时，鸡场的长是24米，宽是6米或长和宽都是12米。

例2：有一个长方形的猪舍，它的一边靠着长为14米的墙，其他三个边用35米长的铁丝网围成，甲同学的设计方案是长比宽多5米，乙同学的设计方案是长比宽多2米，问哪位同学的设计方案是可行的?

这道习题的解题思路是分别按照甲乙两名同学的设计方案求出长方形猪舍的长和宽，把不合实际的方案舍去就可以了。

甲同学的设计方案是长比宽多5米，若设猪舍的宽是。米，则猪舍的长是(a+5)米，根据两个宽与一个长的和是35米，可列出方程：2a+a+5=35，通过解方程得：d=-10，则a+5=15，由此可知，猪舍的长是15米，宽是10米，但原题中的墙是14米。墙体是不够长的，所以甲同学的设计方案不合实际，应该舍去。

乙同学的设计方案是长比宽多2米，若设猪舍的宽是^米，则猪舍的长应该是(b+2)米，因为两个宽和一个长的和是35米，可以列出方程：2b+b+2=35，通过解方程得b=11，则b+2=13，所以猪舍的长是13米，宽是11米，在这一方案中猪舍的长是13米，墙体的长是14米，墙体是够长的，所以在这个题目中乙同学的设计方案长比宽多2米，才是可行的。

例3：甲乙两个班级共有95名学生，现在从甲班调1人到乙班，甲班的人数就是乙班人数的90％，求甲乙两个班级的人数各是多少人?

在解这个题目时，设甲班有m人，则乙班有(95-m)人，根据题意可列出方程：m-1=(95-m+1)×90％，通过解方程得：m=46，则95-m=49，所以，甲班的人数是46人，乙班的人数是49人，学生在做这道题的时候，出现错误最多的是：把方程列成m-1=(95-m)×90％，正因为这个方程的解不是整数，从而认为这个题无解，经认真分析，学生之所以把这个题的方程列错，原因是他们只知道从甲班的m人中调出1人，是(m-1)人，而乙班的(95-m)人却没有变化，甲班调出的那个人到哪里去了呢，难道会蒸发吗?

通过这几道习题的解答，可以看出，解答数学应用题应从以下几个方面动脑分析：

1认真审题，多读几遍题，把题中的数量关系分析清楚，例如在解第一个题目的第二问时，设与墙垂直的篱笆长是y米时，与墙平行的篱笆长是(34-2y+2)米，而不是(34-2y)米，不要把2米宽的门给忽略了。

2考虑问题要全面，不能顾此失彼，尽管在第一个题目的第二问中两种情况的鸡场的长和宽一样，但这两种情况必须都要考虑到，在第三个题目中，既要考虑到从甲班的m人，调出1人是(m-1)人，又要同时考虑到，甲班调出的1人是调到乙班去了，乙班(95-m)人就必须增加1人，即乙班的人数是(95-m+1)人，如果只考虑甲班减1人。不考虑乙班加一人，自然想把题解对，是不可能的，另外还要记住，在解和一元二次方程有关的问题时，要考虑方程的判别式必须大于零，或等于零。

3有些题目要画出相应的图形，因为从第一个题目的图形可以看出，画图更能直观地体现出题中数量关系，如果不画图光凭想象容易把题中的条件漏掉而出现错误。

4列方程就是找出题中相等关系，在第一个题目中鸡场的面积是144平方米是相等关系，把这种相等关系用代数式表示即列出了方程，也就是说找相等关系对于列方程是最重要的。

5解应用题必须与生活实际相结合，求长度，速度不能出现负值，求人数不能出现小数，与生活实际、与题意矛盾或不相符的应该舍去，例如，在第二个题目中，给出墙的长是14米，当猪舍的长是15米时，墙就不够长了，所以应该把猪舍长15米，宽10米这种情形舍去。

6运用知识要灵活，不能教条，要以点代面、触类旁通，通过这几个习题的解题过程的分析，教师向学生讲解这一类问题的解题思路，能够提高学生分析问题和解决应用题的能力。

7有些应用题，相关的概念、含义、定义不能混淆，例如在有些经济问题中，进价、标价、售价、利润、利润率等不能混淆，标价不一定就是售价，售价减去成本才是利润，求利润率的计算方法是：利润率=(利润÷成本)×100％，求利润和利润率都与进价有关，如果这些量混为一谈，想把题解对是不可能的。

8解应用题要注意解题格式的书写。无论是设还是答，都不要忘记写单位，更不要把单位写错，在解题过程中用到的各个量的来龙去脉必须要交代清楚，例如在第一个题目中，方程：y=(36+2y)=144中的“36+27”实际上是由34-2y+2=36-2y计算得来的，如果不交代清楚，别人就会出现误解，光自己懂了还不行，必须让评卷入和看题者懂才可以。

综上所述，如果我们在解初中数学应用题的时候，能够综合的考虑到以上几个方面，就能够尽可能多的避免在解题时出现这样或那样的错误或漏洞，为正确的解决初中数学应用题打下坚实的基础。

高考数学题解法思想指引 篇4

在数学的知识和技能中，蕴涵着具有普遍性的数学思想，它是数学的精髓和灵魂，是知识转化为能力的桥梁，是人们对数学事实与理论，经过高度提炼概括后产生的本质认识，是数学知识和方法产生的根本源泉，是解决数学问题的指路明灯. 对数学思想的应用，是数学学习走向更深层次的一个标志. 高考试题中也蕴涵了丰富的数学思想，只有挖掘其中的思想，才能深入认识试题，透彻分析试题，顺利解答试题.

试题呈现：已知实数a，b，c满足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，则a的最大值是_______. （浙江省数学高考文科试卷第16题）

点评：此题虽小，却是亮点.看似平常，却是丰富多彩.入口宽，方法多，蕴涵着丰富的数学思想.

探究视角1 构造思想方法的应用

构造法是一种极其重要的数学思想方法，其本质特征是构造，通过观察、分析已知条件和需要解决的问题，联系已有的知识，构造出适当的数学式子或数学模型，来解决问题.

1. 构造重要不等式

x，y∈R，x2+y2≥2xy，当且仅当x=y时取等.

推论：x，y∈R，x2+y2≥，当且仅当x=y时取等.

解法1：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，

因为（b+c）2≤2（b2+c2），所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，

所以-≤a≤，所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.

解法2：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以a2=1-（b2+c2）≤1-=1-，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，当且仅当b=c时取等.

解法3：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，

所以bc==a2-. 因为b，c∈R，b2+c2≥2bc，

所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，

所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.

2. 构造柯西不等式

二维柯西不等式：任取实数x1，x2，y1，y2，（x21+x22）（y21+y22）≥（x1y1+x2y2）2，

当且仅当xi=kyi（i=1，2）时取等.

解法4：因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.

由柯西不等式可得（b2+c2）（12+12）≥（b+c）2，所以a2≤2-2a2，所以3a2≤2，所以-≤a≤，所以a的最大值是，当且仅当b=c时取等.

探究视角2 函数与方程思想方法的应用

函数与方程思想是数学本质的思想之一. 函数思想是指利用函数的概念与性质去分析问题、转化问题、解决问题.方程思想是指从问题的数量关系入手，用数学语言问题中的条件转化为数学模型，如方程、不等式、方程与不等式组等，然后通过解方程或不等式组使问题得到解决.

解法5：（构造方程）

因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，所以bc==a2-，所以b，c为一元二次方程x2+ax+a2-=0的两个分布在（-1，1）上的实根.

所以Δ=a2-4a2-≥0，1+a+a2->0，1-a+a2->0，-1<-<1，

所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.

点评：此法是将已知条件转化为一元二次方程，常用判别式来探求根的情况，但要注意根的分布.

解法6：（消元，减少变量）

因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b）.

所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-.

消掉c得，a2+b2+ab-=0.

解法7：（增量换元，构造函数）

因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2.

所以令b=-+x，c=--x，x∈R，则-+x+--x=1-a2，x∈R.所以a2=（1-2x2），x∈R，所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.

解法8：（三角换元）

因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，b=sinθ，c=cosθ，则-a=b+c=（sinθ+cosθ）=·sinθ+.

所以sinθ+= ，所以≤1.

所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.

点评：换元法又称辅助元素法、变量代换法，即通过引进新的变量，可以将分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者将条件与结论联系起来，或者变为熟悉的形式，从而将复杂的计算和证明简化.

探究视角3 数学结合思想

华罗庚先生说过：“数与形本是两依倚，焉能分作两边飞. 数缺形时少直观，形少数时难入微.” 数形结合是一种重要的数学思想，运用时关键在于数形相互转化，即用代数方法处理几何问题，或通过构图解决代数问题，数形结合在解题中的应用不仅能整合学生相关的数学知识，而且能培养学生的创新思维.

解法9：（坐标思想，直线与圆的位置关系）

因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以b+c=-a，b2+c2=1-a2，

所以点（b，c）在以原点为圆心，为半径的圆上，同时又在直线b+c+a=0上，则由直线与圆的位置关系可得：圆心距d=≤.

所以a2≤，所以-≤a≤，所以a的最大值是.

解法10：（构造三角形，利用正余弦定理来解三角形）

因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，所以c= -（a+b），

所以（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac），所以ab+bc+ac=-

消掉c得，a2+b2+ab-=0？圯a2+b2-=-ab. 以a，b，为边构造三角形，令其所对角分别为A，B，D，则由余弦定理可得，cosD==.

（1）若ab>0，则cosD===-，则D=，在△ABD中由正弦定理可得，=，则a=sinA，A∈0，，0 （2）若ab<0，则cosD===，则D=，A+B=，在△ABD中由正弦定理可得，=，则a=sinA，A∈0，，0 由（1）（2）可得a的最大值是.

探究视角4 特殊化思想的应用

根据矛盾论的基本原理，我们在认识事物和解决问题的过程中，必须坚持具体问题具体分析. 也就是在矛盾普遍性原理的指导下，具体分析矛盾的特殊性.数学问题，特别是高考试题变化无穷、深浅莫测、精彩纷呈. 在解题中，若能充分挖掘隐藏于问题之中或与之相关的特殊值、特殊点、特殊图形、特殊位置和特殊结构，则可避免烦琐的运算、作图和推理，得到意想不到的、新颖独特的最佳解法. 这种利用特殊因素，采取特殊方法，解决特殊问题的思维方法，我们称之为特殊化思想方法. 每年的高考题中（尤其是选择题和填充题）都有几道题可直接运用特殊化思想方法获解.

解法11：特殊值法

因为a+b+c=0，a2+b2+c2=1，令b=c，则a=-2b，a2=1-2b2.

所以消掉b得a2=1-2，所以a2=，所以a=±，

所以a的最大值是.

初中数学应用题解法 篇5

赛题

解法

93A非线性交调的频率设计

拟合、规划

93B足球队排名

94A逢山开路

94B锁具装箱问题

95A飞行管理问题

95B天车与冶炼炉的作业调度

96A最优捕鱼策略

96B节水洗衣机

97A零件的参数设计

97B截断切割的最优排列

98A一类投资组合问题

98B灾情巡视的最佳路线

99A自动化车床管理

99B钻井布局

00A DNA序列分类

00B钢管订购和运输

01A血管三维重建

图论、层次分析、整数规划 图论、插值、动态规划

图论、组合数学

非线性规划、线性规划

动态规划、排队论、图论

微分方程、优化

非线性规划

非线性规划

随机模拟、图论

多目标优化、非线性规划

图论、组合优化

随机优化、计算机模拟

0-1规划、图论

模式识别、Fisher判别、人工神经网络

组合优化、运输问题

曲线拟合、曲面重建

赛题

解法

01B 公交车调度问题

多目标规划

02A车灯线光源的优化

非线性规划

02B彩票问题

单目标决策

03A SARS的传播

微分方程、差分方程

03B 露天矿生产的车辆安排

04A奥运会临时超市网点设计

04B电力市场的输电阻塞管理

05A长江水质的评价和预测

05B DVD在线租赁

06A出版社书号问题

06B Hiv病毒问题

07A 人口问题

07B 最佳交通线路查询

08A 照相机问题

08B 大学学费问题

09A制动器试验台的控制方法分析

09B 眼科病房的合理安排

10A储油罐的变位识别与罐容标定

10B 2010上海世博会影响力的评价

11A城市表层重金属污染分析

整数规划、运输问题

统计分析、数据处理、优化

数据拟合、优化

预测评价、数据处理

随机规划、整数规划

整数规划、数据处理、优化

线性规划、回归分析 微分方程、数据处理、优化多目标规划、图论

非线性方程组、优化

数据收集和处理、统计分

析、回归分析

物理模型，计算机仿真

综合评价，决策与预测

微积分理论，数值计算

综合评价，统计分析

综合评价，统计分析

11B交巡警服务平台的设置与调度

图论，动态规划 12A葡萄酒的评价

综合评价，统计分析 12B太阳能小屋的设计

多目标规划

13A车道被占用对城市道路通行能力的影响

交通流理论，排队论 13B碎纸片的拼接复原

算法

14A嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

微分方程，最优化问题 14B创意平板折叠桌

微积分，几何

赛题发展的特点：

1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，需要使用计算机软件。问题的数据读取需要计算机技术，如00A（大数据），01A，13B（图象数据，图象处理的方法获得），04A，07B（数据库数据，数据库方法，统计软件包）。计算机模拟和以算法形式给出最终结果。

2.赛题的开放性增大 解法的多样性，一道赛题可用多种解法。开放性还表现在对模型假设和对数据处理上。10B 3.试题向大规模数据处理方向发展

初中数学应用题解法 篇6

知识目标：

①使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系。

②能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

能力目标：

通过学生的思考和操作,力图提示出方程与图象之间的关系,引入二元一次方程组图象解法,同时培养学生初步的数形结合的意识和能力。

情感目标：

通过学生的自主探索,提示出方程和图象之间的对应关系,加强新旧知识的联系,培养学生的创新意识,激发学生学习数学的兴趣。

重点要求：

1、二元一次方程和一次函数的关系。

2、根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解。

难点突破：

经历观察、思考、操作、探究、交流等数学活动，培养学生抽象思维能力，并体会方程和函数之间的对应关系，即数形结合思想。

【教学过程】

一、学前先思

师：请同学们思考，我们已经学过的二元一次方程组的解法有哪些?

生：代入消元法、加减消元法。

师：请你猜测还有其他的解法吗?

生：(小声议论，有人提出图象解法)

师：看来的同学似乎已经提前做了预习工作，很好!那么对于课题“二元一次方程组的图象解法”，你想提什么问题?

生：二元一次方程组怎么会有图象?它的图象应该怎样画?

生：二元一次方程组的图象解法怎么做?

师：同学们都问得很好!那你有喜欢的二元一次方程组吗?

生：(比较害羞)

师：看来大家比较害羞，那么请大家把各自喜欢的二元一次方程组留在心里。让我们带着同学们提出的问题从二元一次方程开始今天的学习。

二、探究导学

题目：

判断上面几组解中哪些是二元一次方程的解?

生：和不是，其余各组均是方程的解。

师：请在学案上的直角坐标系中先画出一次函数的图象，再标出以上述的方程的解中为横坐标，为纵坐标的点，思考：二元一次方程的解与一次函数图象上的点有什么关系?

教学引入

师：教材在《四边形》这一章《引言》里有这样一句话：把一个长方形折叠就可以得到一个正方形。现在请同学们拿出一个长方形纸条，按动画所示进行折叠处理。

动画演示：

场景一：正方形折叠演示

师：这就是我们得到的正方形。下面请同学们拿出三角板(刻度尺)和圆规，我们来研究正方形的几何性质—边、角以及对角线之间的关系。请大家测量各边的长度、各角的大小、对角线的长度以及对角线交点到各顶点的长度。

[学生活动：各自测量。]

鼓励学生将测量结果与邻近同学进行比较，找出共同点。

讲授新课

找一两个学生表述其结论，表述是要注意纠正其语言的规范性。

动画演示：

场景二：正方形的性质

师：这些性质里那些是矩形的性质?

[学生活动：寻找矩形性质。]

动画演示：

场景三：矩形的性质

师：同样在这些性质里寻找属于菱形的性质。

[学生活动;寻找菱形性质。]

动画演示：

场景四：菱形的性质

师：这说明正方形具有矩形和菱形的全部性质。

及时提出问题，引导学生进行思考。

师：根据这些性质，我们能不能给正方形下一个定义?怎么样给正方形下一个准确的定义?

[学生活动：积极思考，有同学做跃跃欲试状。]

师：请同学们回想矩形与菱形的定义，可以根据矩形与菱形的定义类似的给出正方形的定义。

学生应能够向出十种左右的定义方式，其余作相应鼓励，把以下三种板书：

“有一组邻边相等的矩形叫做正方形。”

“有一个角是直角的菱形叫做正方形。”

“有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形叫做正方形。”

[学生活动：讨论这三个定义正确不正确?三个定义之间有什么共同和不同的地方?这出教材中采用的是第三种定义方式。]

师：根据定义，我们把平行四边形、矩形、菱形和正方形它们之间的关系梳理一下。

生：我发现二元一次方程的解就是相对应的一次函数图象上的点的坐标。

师：很好!反过来，请问：一次函数图象上的点的坐标是否是与其相对应的二元一次方程的解呢?

生：是的。并且二元一次方程的解中的、的值就是相对应的一次函数图象上点的横、纵坐标的值。

三、巩固基础

师：非常好!那下面的`题目你会解吗?

(学生读题)题目：方程有一个解是，则一次函数的图象上必有一个点的坐标为______.

生：(2，1)

(学生读题)题目：一次函数的图象上有一个点的坐标为(3，2)，则方程必有一个解是_________.

生：

师：你能把下面的二元一次方程转化成相应的一次函数吗?

(学生读题)把下列二元一次方程转化成的形式：

(1)(2)

生：第(1)题利用移项，得到，所以

第(2)题利用移项，得到，两边同时除以2，所以

四、感悟提升

师：如果将和组成二元一次方程组，你能用代入消元法或者加减消元法求出它的解吗?

生：能，我算出

师：很好!你能在同一直角坐标系中画出一次函数与的图象吗?

生：可以。(动手在学案上画图)

师：观察两条直线的位置关系，你有什么发现?

生：我发现这两条直线相交，并且交点坐标是(2，1)。

师：通过以上活动，你能得到什么结论?

生：我发现刚刚求出的二元一次方程的解刚好就是一次函数与的图象的交点坐标(2，1)。

师：很好!你能抽象成一般的结论吗?

生：如果两个一次函数的图象有一个交点，那么交点的坐标就是相应的二元一次方程组的解。

师：非常好!用一次函数的图象解二元一次方程组的方法就是我们今天要学习的二元一次方程组的图象解法。

师：你能学以致用吗?

y=2x-5

y=-x+1

题目：如图，方程组的解是___________.

生：根据图象可知：一次函数与的图象的交点是(2，-1)，因此，方程组的解是。

师：回答得真棒!

五、例题教学

例题：利用一次函数的图象解二元一次方程组。

师：请大家在学案的做中感悟栏内上大胆地写出解题过程。

生：(投影展示解题过程)略。

师：很好!让我们一起来看一下老师准备的解题过程(略)

师：你能就此归纳出二元一次方程组的图象解法的一般步骤吗?

生：先将二元一次方程组中的方程化成相应的一次函数，然后画出一次函数的图象，找出它们的交点坐标，就可以得出二元一次方程组的解。

师：非常好!我们可以用12个字的口诀来记住刚才同学的步骤：变函数，画图象，找交点，写结论。

师：接下来请同学们在学案上的巩固强化栏内利用图象解法求出你心里埋你所喜欢的二元一次方程组的解。

生：(各自动手操作，教师展示学生求解过程)

师：观察你作的图象，你有什么发现吗?

生：我发现有些一次函数图象的交点比较容易看出来，而有些一次函数图象的交点不容易看出来是多少。

师：是的，所以在这里老师需要说明的是我们用图象法求解一元二次方程组的解得到的是近似解。

师：请大家比较一下，二元一次方程组的图象解法和我们以前学过的代数解法——代入消元法、加减消元法相比，那种方法简单一些?

生：代入消元法、加减消元法简单。

师：二元一次方程组的图象解法既不比代数解法简单，且得到的解又是近似的，为什么我们还要学习这种解法呢?原因有以下几个方面：一是要让我们学会从多种角度思考问题，用多种方法解决问题;二是说明了“数”与“形”存在着这样或那样的密切联系，有时我们要从“数”的角度去考虑“形”的问题，有时我们又要从“形”的角度去考虑“数”的问题，这里是从“形”的角度来考虑“数”的问题;三是为了以后进一步学习的需要。

师：看来大家都很爱动脑筋，那么接下来我们将例题加以变化。

六、例题变式

题目：用图象法求解二元一次方程组时，两条直线相交于点(2，-4)，求一次函数的关系式。

师：请一位同学来分析一下。

生：由两条直线的交点坐标(2，-4)可知，二元一次方程组的解就是，把代入到二元一次方程组中，可得：，解得，所以一次函数的关系式为。

师：非常好!

七、感悟归纳

师：再请同学们思考，如果二元一次方程组转化成的一次函数的图象没有交点，那么所对应的二元一次方程组的解是什么呢?

生：我想如果二元一次方程组转化成的一次函数的图象没有交点，那么所对应的二元一次方程组应该无解。

八、拓宽提升

题目：不画函数的图象，判断下列两条直线是否有交点?它们的位置关系如何?每组一次函数中的有什么关系?

(1)与

(2)与

师：你会怎样分析这道题?

生：我们只要求解一下由这两个一次函数所组成的二元一次方程组的解的情况就可以判断两条直线的位置关系。如果方程组有解，那么相应的两条直线就是相交，如果方程组无解，那么相应的两条直线就是平行的位置关系。

师：很好!抽象成一般结论怎样叙述?

生：对于直线与，当时，两直线平行;当时，两直线相交。

九、例题再探

题目：利用一次函数的图象解二元一次方程组

问：

(1)这两条直线有什么特殊的位置关系?

(2)这两个一次函数的有何特殊的关系?

(3)由此，你能得出怎样的结论?

师：哪位同学来尝试一下?

生：

(1)这两条直线是垂直的位置关系;

(2)这两个一次函数的相乘的结果等于-1;

(3)仿照刚才的结论，我得出的结论是：对于直线与，当时，两直线垂直。

师：太棒了!那下面的这一题你会做吗?

题目：已知直线和直线

(1)若，求的值;

(2)若，求垂足的坐标。

师：谁来试一下?

生：由前面的结论我们可以得出，如果，则，解得：;如果，则，解得，将代入二元一次方程组，可得，求出方程组的解就可以得出垂足的坐标。

十、学会创新

师：请你根据这节课中的例题(或习题)在学案中编(或出)一道题。看谁出的题新颖、精妙!

生：(畅所欲言，踊跃尝试)

十一、小结与思考

师：(1)这节课你学到了什么?

(2)你还存在哪些疑问?

生：(分组讨论，代表发言总结)

【设计说明】

本节课的两个知识点：二元一次方程和一次函数的关系，二元一次方程组的图象解法对于学生来说都是难点。就本节课而言，前者较为重要，后者难度较大。确定本节课的重点为前者，是因为学生必须首先理解二元一次方程和一次函数在数与形两方面的联系，在此基础上才能解决好后面的难点。在重难点的处理上，为了解决学生对重点的理解，用一组二元一次方程组串起一节课，加以变式，既使得学生理解了重点内容，又为后面的难点突破留下了一定的时间和空间。本节课的教学，主要以问题为线索，注重引导学生仔细观察、独立思考、认真操作、分组讨论、合作交流、师生互动，这对本节课的重难点的突破还是有效的，同时也体现了新课改提倡的学生的“自主、合作、探究”的学习方式的培养。另外，对利用二元一次方程组的解判断直线的位置关系作为补充，渗透数形结合思想，也对教学目标中的情感态度和价值观的又一方面体现。

【教学反思】

这节课以“回顾、先思”为先导，以“操作、思考”为手段，以“数、形结合”为要求，以“引导探究，变式拓宽”为主线，从旧知引入，自然过渡、不落痕迹。首先提出学生所熟知的二元一次方程并讨论其解的情况，为后面探究二元一次方程与一次函数之间的关系作了必要的准备，结构安排自然、紧凑。在操作中，提出问题、深化认识。一切知识来自于实践。只有实践，才能发现问题、提出问题;只有实践，才能把握知识、深化认识。先让学生画出一次函数的图象，在画图的过程中发现：“以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上。”在应用结论探索一元二次方程组的图象解法时，也是在操作中来发现问题。这样，就给了学生充分体验、自主探索知识的机会;使他们在自主探索、合作交流中找到了快乐，深化了认识。以能力培养为核心，引导探究为主线，数、形结合为要求。能力培养，特别是创新能力的培养是新课程关注的焦点。能力培养是以自主探究为平台。“自主”不是一盘散沙，“探究”不是漫无边际。要提高探究的质量和效益必须在教师的引导下进行。为达到这一目的，教案中设计了“探究导学”、“例题变式”、“例题再探”、“学会创新”和“拓展提升”。新课程理念指出：教师是课程的研究者和开发者。这就要求我们：在新课程标准的指导下，认真研究教材，体会教材的编写意图。在此基础上，设计出既体现课程精神，又适合本班学生实际的教学案例。本节课前半部分时间有些慢，后半部分例题再探和学会创新时间不够。建议有针对性的学生板演多一点，进一步加强双基的落实。

【同伴点评】

本节课教师创设问题情境，引导学生观察、思考、操作、探究、合作交流。问题的设计层层递进，通过问题的逐一解决，师生最终形成共识，达到了揭示二元一次方程组与一次函数的图象关系的目的。

在例题教学及学生动手尝试时，教师在学生大胆尝试之后给出解题过程，强调了解题的规范性，有利于培养学生的严谨认真的学习态度。同时强调了由于二元一次方程组的图象解法得到的解往往是近似的，因此必须检验。教师对学习二元一次方程组的图象解法的必要性的解释，是非常有必要的，这一解释解决了学生的疑惑，同时也渗透了数形结合思想，也是教学目标中的情感态度和价值观的体现。对于这一解释，相当一部分教师在这一节课中并没有很好解决。这一处理方法值得他人借鉴。

小学数学应用题基本解法分析 篇7

1. 分析与综合法

由应用题最终提出的问题开始, 依照数量之间的关系正确选取能够求出最终答案的两个由题目获知的数量, 接着将题目中提到的一个或是两个无法获知的条件当做是需要求解问题, 然后再合理选取能够解决这个问题的已知数值, 通过一步步推理, 直至解答出应用题最终提出的问题为止, 这一系列方法称之为分析法。

从题目所给条件可以得到一定的数量值, 依照数量之间的关系正确选取两个由题目获知的数量, 并适时提出能够合理解决的问题, 接着将题目要求解答的数量当做是新给出的已知条件, 然后把这个新给出的已知条件和由题目获知的已知条件相互结合起来, 成功解决题目新提出的问题, 根据这个演算过程做逐步推理, 直至解决应用题最后提出的问题, 这一系列方法称之为综合法。

例题:某大型服装工厂正筹划做1500条裤子, 最开始3天每天共完成150条, 自此以后为了提高实际工作效率, 每天共完成175条, 如果要完成筹划的所有数量需要多少天时间?

从综合法的角度解题, 如图所示:

计算公式: (1500-150×3) ÷175+3=9 (天)

答:如果要完成筹划的所有数量需要9天时间。

2. 假设法

如果题目给出的数量关系呈隐蔽状态, 暂时无法快速找出解答题目提出问题的有效途径, 那么可以采用本质无任何变化, 但具体表现形式发生改变的办法, 根据实际情况合理调整题目所给出的未知条件与已知条件, 有利于突显数量之间的关系。

例题:有一个农户饲养着若干只鸡兔, 已知有30个头, 80只脚, 那么这个农户总共有多少只鸡?多少只兔?

如果已知的30个头全部属于兔子, 那么就总共有30×4=120只脚, 明显超过了题目已知数值的80只脚, 这是因为把题目给出的30个头全算成了兔子, 没有计算到鸡的头。兔子共有4只脚, 鸡共有2只脚, 兔比鸡多4-2=2只脚, 所以只要求出30×4-80中共有多少个4-2, 就可以知道有多少只鸡。

计算公式:

鸡: (30×4-80) ÷ (4-2) =20 (只)

兔:30-20=10 (只)

倘若30个头全部属于鸡, 那么计算公式如下:

兔: (80-30×2) ÷ (4-2) =10 (只)

鸡:30-10=20 (只)

答:这个农户总有有20只鸡, 10只兔子。

3. 类比法

比较两个或是两个以上相互类似的事物, 称之为类比法。类比法是人们吸收知识、实践创新以及解决问题的重要思维活动途径。

例题:小兰总共有20张纸币, 分别为2角与5角, 所有纸币的总价值为604元, 那么小兰一共有多少张2角纸币?多少张5角纸币?

这个题目提出的问题和鸡兔题目提出的问题大致相同, 所以可以运用解答鸡兔问题的计算方式来求出该道题目的答案。

如果题目给出的20张纸币全部属于2角纸币, 那么所有纸币的总价值为2×20=40角, 从题目给出数值已知所有纸币的总价值为604元, 40角明显低于所有纸币的总价值, 这主要是因为把20张纸币全当做是2角, 没有将5角置入其中进行计算, 所以现在先取出一张2角纸币, 再取出一张5角纸币, 这样就能够合理抵消5-2=3角纸币, 若想把24角纸币全部抵消完, 就要将5角纸币放回。

计算公式:

5角: (64-2×20) ÷ (5-2) =8 (张)

2角:20-8=12 (张)

答:小兰一共有12张2角纸币, 8张5角纸币。

4.归一法

归一法主要指的是在解题过程中, 先把一份数量合理求出, 再将题目最后提出的问题合理求出。归一法基本数量之间的关系表现为以下几个方面: (1) 每份数×份数=总数; (2) 总数÷份数=每份数; (3) 总数÷每份数=份数。

综上所述, 在应用题解题教学中, 教师应在实际工作中不断完善教学方法, 善于总结教学经验。然后根据学生具体学习情况进行有针对性的指导教学, 使学生能更快的接受教师传授的知识, 从而提高教学质量。

摘要：应用题作为小学数学教学的重要组成部分, 是小学生学习的重点和难点, 所以教师在展开教学活动时, 一定要从全方位的角度出发, 从旁协助学生解答应用题, 并详细分析应用题的基本解法, 有利于强化学生的解题能力, 达到全面发展的目的。本文主要针对小学数学应用题的基本解法进行探讨与分析。

关键词：小学数学,应用题,解法分析

参考文献

[1]杨海芹.新课标下应用题教学策略思考[J].考试周刊, 2008 (44) .

高考数学应用题解法探求 篇8



一、 与数列、不等式有关的应用问题

【背景材料】 企业利润，技术改造，经济转型是时下社会经济生活中的热点话题。

【命题分析】 利用等差数列和等比数列求和最终建立函数模型。

【试题设计】 某企业2011年的纯利润为500万元，因设备老化等原因，企业的生产能力将逐年下降．若不能进行技术改造，预测从今年(2012年)起每年比上一年纯利润减少20万元，今年初该企业一次性投入资金600万元进行技术改造，预测在未扣除技术改造资金的情况下，第n年(今年为第一年)的利润为5001+12n万元．

（1） 设从今年起的前n年，若该企业不进行技术改造的累计纯利润为An万元，进行技术改造后的累计纯利润为Bn万元（须扣除技术改造资金），求An、Bn的表达式；

（2） 依上述预测，从今年起该企业至少经过多少年，进行技术改造后的累计纯利润超过不进行技术改造的累计纯利润？

解析 （1） 依题设，A1=480,d=－20.

An=480n+nn－12－20=490n－10n2.

Bn=5001+12+1+122+…+1+12n－600=500n－5002n－100．

（2） Bn－An=500n－5002n－100 －(490n－10n2)

=10n2+10n－5002n－100

=10n(n+1) －502n－10．

∵ 函数y = x (x+1)－502x－10在（0，+∞）上为增函数，

∴当1≤n≤3时，

n(n+1)－502n－10≤12－508－10<0；

当n≥4时，

n(n+1)－502n－10≥20－5016－10>0．

∴仅当n≥4时，Bn>An，故至少经过4年，该企业进行技改后的累计纯利润超过不进行技改的累计纯利润．

点拨 本题的两个数学模型分别是：不进行技术改造的纯利润为等差数列，进行技术改造后的纯利润为等比数列，注意到，An，Bn分别是等差数列与等比数列的前n项的和，第（2）问解题时，能观察到关于n的函数10nn+1－502n－10是一个增函数是解题的关键。

二、 与解析几何有关的应用问题

【背景材料】 工程作业中如何操作最省时省力是较有现实意义的问题。

【命题分析】 将实际问题转化为距离差值为定值的双曲线问题。

【试题设计】 某工程要挖一个横断面为半圆的柱形的坑，挖出的土只能沿道路AP、BP运到P处（如图所示）．已知PA=100 m，PB=150 m，∠APB=60°，试说明怎样运土最省工．

解析 以AB所在直线为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系xOy，

设M（x，y）是沿AP、BP运土同样远的点，则|MA|+|PA|=|MB|+|PB|，

∴|MA|－|MB|=|PB|－|PA|=50．



在△PAB中，由余弦定理得|AB|2=|PA|2+|PB|2－2|PA||PB|cos60°=17 500，且50＜|AB|．

由双曲线定义知M点在以A、B为焦点的双曲线右支上，设双曲线方程为x2a2－y2b2=1 (a＞0，b＞0)．

∵2a=50,4c2=17 500,c2=a2+b2 解之得a2=625,b2=3 750,

∴M点轨迹是x2625－y23 750=1在半圆内的一段双曲线弧．

∴ 运土时将双曲线左侧的土沿AP运到P处，右侧的土沿BP运到P处最省工．

点拨 本题是不等量与等量关系问题，涉及到分类思想，通过建立直角坐标系，利用点的性质，构造圆锥曲线模型（即分界线）从而确定出最优化区域。

三、 与概率分布、数学期望有关的应用问题

【背景材料】 随着私家车的不断增多，与车辆有关的问题迅速多了起来，比如保险问题。

【命题分析】 本题主要考查独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望，考查学生分析问题、解决问题的能力。

【试题设计】 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．

(1) 求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

(2) X表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望． 

解析 记A表示事件: 该地的1位车主购买甲种保险；

B表示事件: 该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险；

C表示事件: 该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种；

D表示事件: 该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买．

(1) P(A)＝0.5，P(B)＝0.3， C＝A＋B,

∴ P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.

(2) D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2,

X～B(100，0.2),即X服从二项分布,

∴期望E(X)＝100×0.2＝20．

点拨 概率与数学期望是理科加试中的常考题，考查保险背景下的概率问题，要求考生熟练掌握独立事件的概率、对立事件的概率、互斥事件的概率及二项分布的数学期望。

牛刀小试

1． 某贫困乡为提高当地群众的生活水平，由政府投资兴建了甲、乙两个企业，2007年该乡从甲企业获得利润320万元，从乙企业获得利润720万元．以后每年上交的利润是：甲企业以1.5倍的速度递增，而乙企业则为上一年利润的23．根据测算，该乡从两个企业获得的利润达到2 000万元时可以解决温饱问题，达到8 100万元时可以达到小康水平．

（1） 若以2007年为第一年，则该乡从上述两个企业获得利润最少的一年是那一年，该年还需要筹集多少万元才能解决温饱问题？ 

（2） 试估算2015年底该乡能否达到小康水平？为什么？

2． 如图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高4.5 m，隧道全长2.5 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状．

（1） 若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？

（2） 若最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S=π4lh，柱体体积为底面积乘以高．本题结果均精确到0.1 m）

3． 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多．某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为每车每小时2元（不足1小时的部分按1小时计算）．甲乙两人独立来该租车点租车骑游，各租一车一次．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为0.25，0.5；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为0.5，0.25；两人租车时间都不会超过四小时．

（1） 求甲、乙所付租车费用相同的概率；

（2） 设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量X，求X的分布列与数学期望E(X)．

【参考答案】

1. （1） 设第n年该乡从两企业获得总利润为y万元．

y＝320×1.5n－1+720×23n－1

≥2320×32n－1×720×23n－1

＝960.

当且仅当n＝2时，即2008年总利润最少为y＝960万元，故还需筹集2 000－960=1 040万元才能解决温饱问题．

（2） 2015年时，n=9，此时y=320×1.58+720×238＝8 201.25＋28.09＞8 100,

即2015年底该乡能达到小康水平． 

2． （1） 如图建立直角坐标系，则点P（11，4.5），

椭圆方程为x2a2+y2b2=1．将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a=4477，此时l=2a=8877≈33.3．

因此隧道的拱宽约33.3 m．

（2） 由椭圆方程x2a2+y2b2=1，得112a2+4.52b2=1．

因为112a2+4.52b2≥2×11×4.5ab，即ab≥99，且l=2a，h=b，所以S=π4lh=πab2≥99π2．

当S取最小值时，有112a2=4.52b2=12，得a=112，b=922．此时l=2a=222≈31．1，

h=b≈6．4.

故当拱高约为6.4 m、拱宽约为31.1 m时，土方工程量最小．

3. （1） 所付费用相同即为0，2，4元．设付0元为P1=14•12=18，付2元为P2=12•14=18，付4元为P3=14•14=116，则所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=516.

(2) X＝0，2，4，6，8,P(X＝0)＝18，

P(X＝2)＝14•14+12•12＝516，

P(X＝4)＝14•14+12•14+12•14＝516，

P(X＝6)＝14•14+12•14＝316，

P(X＝8)＝14•14＝116.

分布列为：X02468

P18516516316116

E(X)＝58+54+98+12=72.

初中数学应用题解法 篇9

教学内容：4.2（2）一元二次方程的解法（2）

课 型：新授课 学生姓名：______ 学习目标：

1、掌握用配方法解数字系数的一元二次方程；

2、掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程；

3、在配方法的应用过程中体会 “转化”的思想，掌握一些转化的技能。

教学重点：掌握配方法，解一元二次方程 教学难点：把一元二次方程转化为xhk

2教学过程：

一、复习提问

1、解下列方程，并说明解法的依据：

2（1）32x1（2）x160（3）x210

这三个方程都可以转化为以下两个类型：、。

2、请写出完全平方公式。

（1）__________________________（2）__________________________

二、探索

2如何解方程x6x40？ 点拨：如果能化成xhk的形式就可以求解了

2解： 步骤：（1）移项（2）配方（方法：方程两边同时加上_________________）．．

（3）将方程写成xhk的形式（4）用直接开平方法解方程

小结：由此可见，只要把一个一元二次方程变形为xhk的形式（其中h、k都是常数）如果k______0，可通过直接开平方法求方程的解；如果k______0，则原方程无解。

这种解一元二次方程的方法叫配方法。．．．

三、例题

例

1、解下列方程：

（1）x4x30（2）x3x1（3）x

内容：4.2（2）一元二次方程的解法（2）

22211x0 63口答：

（1）x2x_____(x___)（2）x8x_____(x___)（3）x5x_____(x___)（4）x2板演练习：

（1）x2x30（2）x10x200（3）xx1（4）x22x40

例

2、（1）利用配方法证明：无论x为何值，二次三项式x2x2恒为负；

（2）根据（1）中配方结果，二次三项式x2x2有最大值还是最小值？最值是多少？

练习：求代数式x6x10的最值。

四、拓展提高：

用配方法解方程：(x1)10(x1)90

四、小结收获

利用配方法可以解决三类问题：（1）_______________________（2）________________________（3）_________________________

五、课堂作业：（见作业纸14）22222223x_____(x___)2 22222222内容：4.2（2）一元二次方程的解法（2）

南沙初中初三数学课堂作业（14）

（命题，校对：王

猛）

班级__________姓名___________学号_________得分____________

1、填空：

（1）x10x_____(x___)

（2）x5x_____(x___)；

（3）x222223x_____(x___)2 ；（4）x2bx_____(x___)2。

22、若x2ax4是完全平方式，则a_____。

3、把方程x23mx8的左边配成一个完全平方式，则方程的两边需同时加上的式子是_____。

4、代数式x22x4有最________值，最值是________。

5、已知直角三角形一边长为8，另一边长是方程x8x200的根，则第三边的长为______。

6、用配方法解下列方程：

（1）x2x20

（2）x6x160

（3）x4x（4）x5x507、已知直角三角形的三边a、b、c，且两直角边a、b满足等式22222(a2b2)22(a2b2)150，求斜边c的值。

8、把方程x3xp0配方，得到xm221。2（1）求常数p与m的值；（2）求此方程的解。