浅析数学方法之换元法

浅析数学方法之换元法（精选2篇）

浅析数学方法之换元法 篇1

换元法

解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题得到简化，这叫换元法。换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

换元法又称辅助元素法、变量代换法。通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。

它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。

换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。局部换元又称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现。例如解不等式：4 ＋2 －2≥0，先变形为设2 ＝t（t>0），而变为熟悉的一元二次不等式求解和指数方程的问题。

三角换元，应用于去根号，或者变换为三角形式易求时，主要利用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。如求函数y＝ ＋ 的值域时，易发现x∈[0,1]，设x＝sin α，α∈[0, ]，问题变成了熟悉的求三角函数值域。为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去根号的需要。如变量x、y适合条件x ＋y ＝r（r>0）时，则可作三角代换x＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。

均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设x＝ ＋t，y＝ －t等等。

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有利于标准化的原则，换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原变量的取值范围，不能缩小也不能扩大。如上几例中的t>0和α∈[0, ]。

例：

1.y＝sinx?cosx＋sinx+cosx的最大值是_________。

2.设f(x ＋1)＝log(4－x)（a>1），则f(x)的值域是_______________。

3.已知数列{a }中，a ＝－1，a ?a ＝a －a，则数列通项a ＝___________。

4.设实数x、y满足x ＋2xy－1＝0，则x＋y的取值范围是___________。

5.方程 ＝3的解是_______________。

6.不等式log(2 －1)?log(2 －2)〈2的解集是_______________。

【简解】1小题：设sinx+cosx＝t∈[－ , ]，则y＝ ＋t－，对称轴t＝－1，当t＝，y ＝ ＋ ；

2小题：设x ＋1＝t(t≥1)，则f(t)＝log [-(t-1)＋4]，所以值域为(－∞,log 4]； 3小题：已知变形为 － ＝－1,设b ＝，则b ＝－1,b ＝－1＋(n－1)(-1)＝－n，所以a ＝－ ；

4小题：设x＋y＝k，则x －2kx＋1＝0, △＝4k －4≥0,所以k≥1或k≤－1；

5小题：设3 ＝y，则3y ＋2y－1＝0,解得y＝，所以x＝－1；

6小题：设log(2 －1)＝y，则y(y＋1)<2，解得－2

浅析数学方法之换元法 篇2

关键词 化高次为低次 化无理式为有理式 化超越式为代数式 等价变换

我们在解数学题时,常把某个式子看成一个整体,用一个新的变量来代替它,从而使问题得以解决,这种数学解题方法叫做换元法。它的实质是转化,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化。

换元法可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式等。具体方法有:局部换元、三角换元、均值换元、增量换元、和真分式换元等。

一、局部换元

局部换元就是在题目的条件或者结论中,某个代数式多次出现,用一个字母来代替它,问题就能得到简化,当然有时候要通过变形才能发现。

二、三角换元

对于某些代数问题,如果能充分利用题设所给的已知条件,通过联想类比,将代数形式转化为三角形式,再利用三角函数的性质,往往能使问题中原来繁琐、复杂的代数运算变成了简单、灵活多变的三角运算获得顺利和简捷的解答。

三、均值换元

在解题过程中,如果出现条件 ,则我们常令 ,这种换元称为均值换元。

【例1】已知 且 ,求证:

【证明】因为且所以设。

则:

即原不等式得证。

四、增量换元

若一变量在某一常量附近变化时,可设这一变量为该常量加上另一个变量。

【例1】 已知 ,求证: 。

【证明】设

五、真分式换元

对于形如等式 ,可作变换:令 ,我们称这种代换为真分式换元。

【例1】设 。

【证明】设(),则

换元法作为一种数学解题方法,其解题思想不只局限于中学数学解题中,对其他学科,生活实际问题的解决也行之有效。因为这种思想蕴含着辩证唯物主义中,“事物在一定条件下可以相互转化”的思想。因此,在大力推行素质教育的今天,我们应将数学思想方法的教育渗透到解题教学中,培养学生分析问题、解决问题的能力及学生的数学素养,达到素质教育的真正目的。

参考文献:

[1]高慧明.数学思想应用纵横谈[J].中学数学教与学,2007(8):17-22.

[2]殷堰工.数学解题思维策略例说[J].中学数学月刊,2007(7):30-31.

[3]何元国.三角代换可解的代数问题[J].中学数学月刊,2007(10):28-29.