从数学归纳法到多米诺骨牌

从数学归纳法到多米诺骨牌（共11篇）

从数学归纳法到多米诺骨牌 篇1

教学随笔

从数学归纳法到多米诺骨牌----浅谈新课程下数学教学的还原化

杨志良 2010.1

从数学归纳法到多米诺骨牌----浅谈新课程下数学教学的还原化

陕西省宝鸡中学

杨志良

721013 数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。简单的讲，数学就是在大量实际问题中进行抽象概括，从中刻画出事物的本质，形成方法和理论，然后再将方法和理论用于实践活动。然而，经过对具体事物进行抽象后所形成的数学知识，有着高度概括的特点，往往使人感到高深莫测，隐晦难懂。数学知识的学习，关键在于理解，其抽象性往往会给学习者和教学者带来一定的困难。

新课程标准指出，数学教育要使“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”，这就要求我们教师在在教学过程中时时把握数学的本质，从学生的角度考虑问题，将抽象的数学知识还原到实际生活，让学生体会数学知识生成的过程，从而达到对知识的有效理解。

下面笔者将以数学归纳法（第一数学归纳法）的教学，浅谈数学的还原化教学。数学归纳法是高中数学证明的重要方法，在北师大版教材中其概念如下：

数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法。它的基本步骤是：（1）验证：n1时，命题成立；

（2）在假设当nk(k1)时命题成立的前提下，推出当nk1时，命题成立。

根据（1）（2）可以断定命题对一切正整数都成立。初学者往往对上述定义感到困惑，而多数教师会从依次递推的思维角度解释上述方法，然后举具体的例子进行辅助理解。例如：

n(n1)(2n1)（n是正整数）。

6123证明：（1）当n1时，左边=1，右边==1，左边=右边，等式成立。（2）假设当nk时等式成立，即

k(k1)(2k1)122232k2

6则当nk1时，由假设 求证：123n2222122232k2(k1)2k(k1)(2k1)(k1)262k39k213k66(k23k2)(2k3)6(k1)(k2)(2k3)6(k1)[(k1)1][2(k1)1]6即当nk1时，等式成立，由（1）（2）知对于nN等式成立。

至此，学生大致可以明白数学归纳法为何物？能够知道使用数学归纳法分两步：先验证，然后由假设nk成立推到过渡到nk1成立即可，对于简单的命题可以模仿的去证明。但是，对为什么数学归纳法证明的问题成立，其原理是什么等问题还是一团雾水。

事实上，上述教材中的概念其实是数学归纳法的解题步骤，学生所理解得到仅仅是数学归纳法的步骤格式，认知水平仅停留在模仿的层面上。从本质上讲，数学归纳法之所以成立，依赖于归纳公理。下面我们从理论上证明数学归纳法：

数学归纳法（第一数学归纳法）设P(n)是关于正整数n的一个命题（或性质），如果：（1）当n1时，P(n)成立；

（2）由P(n)成立可以推出P(n1)成立。那么，对任意nN，P(n)都成立。

证明：先给出皮亚诺提出的关于正整数的五条公理中的第五公理，即归纳公理：

归纳公理 设S是正整数集N的一个子集，满足条件：

（1）1S

（2）如果nS，则n1S。那么，SN 下证数学归纳法，记S{n|nN,且P(n)成立}，则S为N的子集。由（1）知1S；由（2）知如果nS，则n1S。这样由归纳公理可知SN，即对任意nN，P(n)都成立。

原来，数学归纳法是以归纳公理为基础，推理证明而得的一种理论方法。我们将数学归纳法还原为其成立的公理，揭示了其本质。至此，数学归纳法的科学性已经通过理论证明了，我们可以毫无顾忌的使用数学归纳法。但对于学生来讲，以上推证也难免过于隐晦难懂，甚至连归纳公理都弄不明白。因此，我们要达到有效教学目的，还需要将以上公理在进行形象化，还原成生活中实在的事物，以帮助我们来理解。下面我们来介绍多米诺骨牌原理来帮助我们理解归纳法：

多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。其原理是第一张骨牌将要倒下，只要某一个骨牌倒了，与他相临的下一个骨牌也要倒，那么你就可以推断所有的的骨牌都将要倒。

① ② ③ ④

这样就确定出一种递推关系，只要满足两个条件就会导致所有骨牌全都倒下：

（1）第一块骨牌倒下

（2）任意两块相邻骨牌，只要前一块倒下，后一块必定倒下

这样，无论有多少骨牌，只要保证（1）（2）成立，就会全都倒下。（如图所示）

如此，对于归纳公理及数学归纳法的理解就直观多了，也能体会到归纳法的内涵所在。我们还可以这样考虑，归纳法中的（1）n1时成立其实是在验证引发递推的初始条件，其中n1可以理解为nn0（n0为初始值）；（2）由nk过渡到nk1，可以理解为递推的连续性，即前反应必须引发后一反应，是任意的前后联系，而不是简单的k和k1的联系。例如：

求证：当n为正奇数时，71能被8整除。

1证明：（1）当n1时，718能被8整除；

n（2）假设nk（k为正奇数）时，71能被8整除，k2则当nk2时，71727k7272172(7k1)48

k因为71能被8整除，且48能被8整除，所以7即当nk2时，命题成立。kk21能被8整除。

由（1）（2）知当n为正奇数时，71能被8整除。

这样，我们就对数学归纳法有一个全面的理解和体会了。我们从抽象难懂的数学定义定理中一步步寻找数学的来源，将数学的本质逐渐还原到生活中，慢慢揭开数学知识的本质，然后体会数学知识形成的过程，从中深刻理解相关原理，使我们的教学更有效果。

参考文献：

[1]严士健，王尚志.普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2[Ｍ].北京：北京师范大学出版社，2008 [2] 薛金星.中学教材全解高中数学选修2-2[Ｍ].西安：陕西人民教育出版社，2009 [3] 刘沂.多米诺骨牌游戏手册[Ｍ].北京：中国画报出版社, 2001 [4] 段志贵.归纳公理与数学归纳法探究[J].上海中学数学，2007(6)

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从数学归纳法到多米诺骨牌 篇2

一、从“奥数”说起

1.奥数的优势。奥数主要针对对数学学习感兴趣、学有余力的同学。在学生中约有10%的人智力超群, 对这些尖子学生来说, 可以引导他们挑战难度。由于奥数比课程标准要难得多, 学奥数对他们的发展是有利的, 因为这可以给予他们一个提高的机会, 充分开发这些学生的思维能力。

2.奥数的现实困惑。奥数已经成为当下家长为孩子上初中择校的重要敲门砖之一, 所以很多家长为孩子今后择校、升学的现实目标让小学孩子去学奥数。但是并不是所有孩子都适合学习奥数, 在家长逼迫之下学习的孩子不计其数, 苦不堪言, 失去很多童年的自由快乐时光, 甚至有的学生因此不喜欢数学, 产生对数学的畏惧。

现行小学奥数教材大多内容多, 难度深, 我就见过一本六年级奥数教材有九百多页, 有很多知识完全脱离现行教材, 有独特繁杂的解题思路、公式, 比如1×2+2×3+3×4+4×5+…+n (n+1) =n (n+1) (n+2) , 12+22+32+42+…+n2=n (n+1) (2n+1) , 这些知识是要到高一学习数列求和时才学习的, 提前了几年。很多类似的例子, 纷繁复杂的内容, 容易使学生对数学慢慢产生畏难情绪, 影响数学学习兴趣。而且因为与小学数学教材联系不紧密, 与平时学习关联不深, 所以不利于绝大多数学生数学兴趣的培养。

二、对趣味数学的认识与实践

传承与发展是人类不断进步的基石。我认为既要保留和发挥出奥数训练对学生有益的一面, 让学生思维的逻辑性、层次性得到好的发展, 又要保护绝大多数学生学习数学的兴趣和积极性。有没有能让绝大多数学生都能够把数学学得比较好的办法呢?有, 这就是紧扣教材, 开发教材中有利于学生思维能力、方法指引的内容, 进行拓展和延伸, 使大多数学生对数学有兴趣, 且知识内容不深涩难懂, 易于训练的“趣味数学”。

(一) 趣味数学的现实意义

数学是打开科学大门的钥匙, 客观世界任何事物背后都蕴藏着相关的数学知识与数学规律。通过拓展和延伸数学教材内容, 经过系统训练, 培养学生抽象数学能力, 学生的思维会更敏捷, 考虑问题的深度和广度也会优于别人, 更重要的是可以培养学生坚韧不拔的毅力, 而这是现在许多学生所缺乏的。

趣味数学的目标就是通过系统培养和训练, 进一步加深数学基础知识和基本技能, 开发学生的数学思维, 发展学生的理性精神, 能提高学生的数感和学习数学的兴趣, 培养出更多的优秀的数学学生。

(二) 开发趣味数学的优势

(1) 利于教师的专业成长。对于一线教师来说, 开展趣味数学的研究, 逼迫教师必须对教材和学生都要有透彻的了解和深入的研究, 才能在上好教材的基础上, 编制出适合的题目和训练方式。而且这个研究是既平常又频繁的, 需要教师有持久的恒心和毅力来坚持:平常是因为每一个知识点都可以有编制的内容, 所以是每天都可以进行思考的;频繁是这种训练要采用小步子的策略, 才能较好地把这些数学知识与平常的教学相渗透, 既不给学生添加过重的学习负担, 又能开发学生智能。

(2) 利于学生的数学思维发展。数学教育的主要目标之一就是培养学生数学的思维。在教学中充分挖掘教材的知识点、发展点、延伸点, 可以更好、更多地发展学生思维, 训练学生思维的发散性、敏感性、灵活性。

比如, 一年级学生虽然知识不多, 但在学1-5的数的认识和比大小之后, 我在课中练习设计让孩子们思考5> () , 括号里可以填几?可以填4、3、2、1。依次类推分别归纳出4> () 、3> () 、2> () 、1< () 、2< () 、3< () 、4< () 这样有序、全面的数的大小比较。这样的练习所花的时间极少, 很好地提升了试题的思维含量, 有效训练了学生有序思考、分类归纳、综合运用所学的知识。

(3) 对课堂教学的补充和提升。对于小学起始年级的学生和其余年级大多数学生来说, 老师应该尽最大努力开发他们的数学潜能, 提升他们的数感、数学思维和解题技能, 尽可能培养出更多的优秀学生, 并提升他们学习数学的兴趣和实力。这些学生往往在课堂上吃不饱, 需要有条件发挥他们的优势潜能。可以依据教学内容设计一些趣味作业, 让这些学生去探究, 去体会“山重水复疑无路, 柳暗花明又一村”的成就感和快乐。

(三) 趣味数学的教学实践

结合这些年的教学探索和实践, 我认为趣味数学是切实可行、可教、可评的。

(1) 趣味数学教学内容的选择。教学内容的选择很关键, 太深太难, 既不利于老师教, 也不利于学生学;太浅太易, 又没有吸引力。因此, 结合教材、发展教材、延伸教材的内容才利于学习。教材上的星号题、思考题、“你知道吗?”都是很好的训练题目, 要用好;但是毕竟有限和不够全面, 这就需要教师在知识上加深加宽, 比如计算上加一些深度和宽度, 乘法分配律学习以后, 逐次添加以下内容:一是基本练习, 比如 (40+8) ×25, 125× (8+80) , 86× (1000-2) , 75×23+25×23, 625×103-625×3, 125×81, 74×101, 43×99, 76+76×99, 98×101-98;二是综合练习, 比如48×23+48×26+51×48, 87×123-87×22-87, 32×47+32×52+32, 79×25+22×25-25;三是发展练习, 如230×13+23×70, 66×34+33×32等内容, 对乘法分配律进行加宽、加深训练, 达到深刻理解和灵活运用。

还可以在操作、制作、实践上有一些创新, 比如:制作精美、有个性的年历、钟表;统计生活中的一些数据制作统计表、统计图, 还能从统计资料中分析和得出结论。辅助家长设计并记录旅行行程消费, 并能分类统计等, 也是很有意义的。

(2) 趣味数学教学方式的选择。如果教师有足够的研究, 那么在课堂教学中渗透趣味数学, 并不一定需要太多的时间精力, 可以达到绝大多数学生有一定深度的思维训练和能力提升, 而且要注重知识的系统性, 前有孕伏, 后有发展。

从动手到感知，从生活到数学 篇3

2016年上半年，笔者执教了一节数学课──《厚薄》，课本上有两幅图：一幅图中展示了一件T恤，另一幅图中展示了一件棉袄。在备课过程中，笔者想，只要在课堂上出示这两件衣服，让学生摸一摸，学生就能感觉到衣服的厚薄，最后学生完成练习。但上课后，笔者发现，学生只知道哪件衣服是冬天穿的，哪件衣服是夏天穿的，他們对厚薄的概念很模糊。课后，笔者进行了反思：学生在课堂中形成的认识来自于生活，在生活中没有对比过衣服的厚薄，所以学生对厚薄的概念很模糊。于是，笔者决定从以下三个方面进行教学：

一、从动手操作开始，在操作中感知概念

“看到的不易记，听到的容易忘，动手做才能学得会”，实践操作是一种重要的教学手段，在动手操作中学生通过摆放、分析、折叠等活动，能感知事物的形象和表象、激发学生的学习兴趣，引导学生在自主活动中获得知识。此外，教师要引导学生对事物进行抽象地分析、比较、概括，深刻地理解知识的本质意义。针对这节课，笔者设计了两个活动让学生感知概念。

1.整理大小不一、厚薄不一的书

在生活适应课上，笔者把大小不一、厚薄不一的书放在一起，让学生整理书籍。在整理过程中，笔者发现学生，脑中先出现了大小概念，把书按大小进行分类，很少有学生按厚薄进行整理。他们脑海中先入为主的概念，影响了他们对新概念的接受。鉴于此，笔者设计了第二个活动。

2.整理大小一样、厚薄不一样的书

通过第一个活动，学生学会了按“大小”概念整理书，所以在第二个活动中，我要求学生不能按照“大小”概念进行整理。这时，学生就会主动思考：如何整理桌上的这些书？有的学生马上发现了这些书的不同之处，有的书厚，有的书薄。接着，他们把厚的书放在一起，薄的书放在一起。整理好后，我再问学生：“为什么要这样整理？”然后让学生把桌上的书放在一起比一比，看看哪本厚、哪本薄，从而帮助学生建立“厚薄”的概念。

二、扎根生活，实现从生活到数学的“蜕变”

数学来源于现实，也必须扎根于现实，应用于现实，这是数学界权威人士弗赖登塔尔的基本主张。他认为数学教育体系的内容应与现实密切联系，并能在现实中得到应用。

在数学教学中，教师应从数学教学需求出发，让学生从生活经验、生活实际中挖掘数学知识的内涵，捕捉生活中的数学现象，体现“数学源于生活，寓于生活，用于生活”，使学生体会到数学就在身边，领悟到数学的魅力，感受到数学的乐趣，实现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同发展”。

用活动作为教学基础，学生在学习数学概念“厚薄”时，会直接启动生活经验，把思维活动与动作紧密结合起来，使之成为“思维的动作”与“动作的思维”，从而真正理解知识。

三、整合数学与生活，建立生活化的数学课堂

数学知识源于生活，并最终服务于生活。心理学研究表明：当学习内容和学生熟悉的生活背景越贴近，学生自觉接纳知识的程度就越高。因此，教师要善于发现、挖掘生活中的数学资源，将学生日常生活与数学教学紧密联系起来，从学生熟悉的生活背景入手，从学生的已有知识背景出发，把生活问题数学化，数学问题生活化。

1.设置生活化的教学内容

教材中的内容并不完全适合学生学习，为充分体现适应性、实用性、可操作性的特点，教师应删改各门学科中脱离生活实际的教材内容，增加大量贴近生活的生活常识和技能训练等内容。

2.创设生活化的教学环境

生活中处处有数学知识，教师要引导学生在生活实际中学习数学，用形象、生动的方式呈现数学内容，在生活化的教学情境中进行教学，促使智障学生在轻松愉悦的氛围中学习数学，理解学习的内容。

总而言之，在数学教学中，教师应让学生通过动手操作感知要学习的内容，运用生活化手段创造适合智障学生的数学课堂。

从数学0基础到数三144 篇4

-先介绍一下吧，本科学的文科类，根本没有开数学课，今年一战跨考经济类，也没有报辅导班，数学144。很早就在想如果我有机会成功，我一定要写出自己的体会，方便后来人，让以后的人找到最适合自己的学习方式，拿下考研中数学这半壁江山。最近很悲剧地发现，考研的好多内容我都忘得差不多了，如果等到复试之后、录取之后再写，可能我自己题都不会做了，更难谈什么经验了。12年的考生也是现在开始准备了，所以，那就现在吧。今年数三并不难，144并不算太高的分，我写的东西不能尽信，大家作为参考就好，以后应该会有满分的大牛介绍经验的。

现在也想不大起来我学习数学的细节和技巧了，主要分三块随便谈谈吧。

一、关于教材

数学基础不是太好的一定要好好看几本基础的教材，不能直接上考研辅导书。高等数学（同济版）线性代数（同济版）概率统计（浙大版）。其中很多内容是数三不要求的，大家可以下载11年的数三大纲对着复习，以前也有专门划出范围的帖子。

考研的辅导教材我都用的最常规的，可见用什么书并不重要，关键是自己要好好利用，学好。用公认的书有这一点好，不用去担心自己的书内容是不是不够好、偏门等等，然后想换书。

《复习全书》李永乐老师的，怎么说呢，这本书500多页，第一遍啃是很痛苦的，我每天只能10页。都说它很基础，但是我并不觉得，而且对于考研来说这本书完全够了。很多例题很有难度，我第三遍都还啃不下来，这种题考研也是明显不会考的，但是对自己的要求要高一点，一定要动笔做，要求自己理解，做难一点的题对锻炼思维很重要。后面的习题还好，比例题简单，但是第一遍做仍然有我不会的。总的来说，高数的题我自己能解决的可能是60%左右，线代概率80%吧。

《基础过关660》也是李永乐老师的，很多人说没必要专门练选择填空，但是我觉得反正选择填空做来快就买来练了，我觉得这书很不错。之后模拟真题时选择填空都能40分钟左右搞定，每次也最多错一两个吧，而且大多是因为粗心。

《历年真题详解》还是李永乐老师的，晕了，我都怀疑我是不是托儿了。这书可以说分两部分吧。一部分是套题，也就是按年份编的，大家可以用来模拟。它的答案解析又是按专题编的，也就是说你模拟完套题要对答案要按照题目下面的页码翻。虽然稍稍有点麻烦，但是这样的好处是，在你第二遍做真题时，按着答案解析的专题做，你能知道这一个知识点有哪些题型，自己需要掌握到什么程度、掌握哪些题型。

《经典400题》仍然永乐大帝，这本有点难，其实我现在都不知道这本书对我的帮助到底有多大。计算量很大，但是题目的解题方法并不奇怪，我做题挺慢，没有掐时间严格模拟，每套题都用4小时左右做吧。平均分110多，4套120多。要说对我有帮助也只是在思维的训练上吧。

《陈文灯15题》后期时间很紧，我只做了4套，怎么说呢，简单的题太简单了，难的题很难下笔，高数的大题难题不少，而且是明显考研题不可能考查的，线代和概率太常规常规常规，好像有两套是130多。比400题简单一点，但是同样是跟真题差距大。

《合工大最后五套题》由于前面3套没有答案，我就做了4、5两套，总的感觉是很新颖、很灵活，跟真题很接近，考查内容差不多，题型分布也差不多，但是比真题稍难。有神人说它今年有几道题跟11年真题类似，我没认真做前3套，不能证实。

二、时间安排

这个其实没有硬性的规定，大家根据自己的实际情况安排。

我之前有看过入门的视频，蔡高厅老师的高等数学，讲得很细致，像高中老师一样一边讲一边写黑板。这是完全的入门视频，几乎就是对着课本照本宣科，不是考研辅导，0基础的可以考虑，大学开过数学课的可以直接跳过，太费时，而且我建议0基础如果自己能看懂书的都最好不要看视频，节约时间，后期才能主动一点。

5月之前是打基础的阶段，最好把几本基础的教材吃透，看1-2遍，选择性地做一半课后题，虽然这些题跟考研题不是一挂，但是学数学不能不动笔，不动笔你就不能知道自己是不是真懂了。看教材时定义、定理证明等等要注意，数学的精髓就是由定义和已知定理推未知定理，掌握了这些对于建立数学体系和掌握数学各个知识点之间的联系非常重要。

6、7月完成第一遍复习全书吧，一定要每题都好好思考、尽量自己动手做。

8月完成第二遍复习全书+660

9月第三遍，可以将定义、定理、公式、错题等等总结到一个小本上，后期就不随时翻复习全书大厚本了，要翻公式定义什么的，小本子很方便。而且总结一遍对自己的理解和记忆也很有好处。

10月可以开始做套题，做模拟题吧，400题什么的。前期大家可能会有种感觉，就是学了线代忘了高数，学了概率又忘了线代，现在就是建立数学整体框架和感觉的时候了。

11月要开始模拟真题，严格按照考试要求进行，在纸上写下答案和所有步骤。考研数学我没有扣步骤分也许也是因为我平时做题步骤就很严谨。两天一套就好。

12月按照永乐大帝的专题再做第二、三遍的真题吧。找一些接近真题的模拟题严格模拟。

最后半个月仍然要保持做题的手感，并且要复习错题、熟悉公式，不能因为记不住公式定理而丢分。

以上时间安排并不绝对，我后期数学花的时间较少，分给了专业课，但是大概顺序应该这样，每一样任务所处的时间段可以后移的。但是前期打好数学基础的好处就在于后期你会因为你的数学对你的考研充满信心，也可以分出更多时间给记忆性的政治和专业课。

三、各种注意的东西

这一块可能比较杂，我随便说说，大家将就看看。

第一，就是也许大家都听烦了的话了，一定要动手做。数学的不足一定要在做题中才能发现。很多人都觉得数学看着哪都懂，一提笔做题不是思路不对就是算不出结果。如果你动笔了，你就会有很多体会，比听别人说、比只看书上讲来得真实多了。

第二，做各种辅导书的方法，我做复习全书时有多种记号。N代表没有思路，H代表很难，K代表有一点思路但是在某一步卡住了，W代表思路大体都对了，但是因为粗心有错误。T代表第二次做还是不会。第一遍我用铅笔、第二遍用蓝色中性笔、第三遍用红笔，第三遍还有问题就红笔标记了。做好标记直接影响你第二三遍做辅导书的效率。

另外，大家在做题的过程中可以在旁边写上自己的一些想法，比如说该题的思路有什么特点，跟哪种题类似。比如自己为什么没做出来，是哪里不到位，然后好好解决这些问题。这样做的好处是在整个学习过程中目的都很明确，不是像蒙头看书一样盲目。

所以啦，我的复习全书被我用得很花了，我想卖二手书都不会有个好价钱了吧。

第三，关于套题，我建议先做模拟题，用模拟题建立数学的体系，用模拟题将高数、线代、概率三块联系起来。因为模拟题很多，是浪费得起的。如果分块复习之后直接上真题，可能会感觉到对各个部分有一些生疏，这样起不到练习实战的目的。真题只有一份，虽说有的真题在复习全书中已经见过了，但是仍然会有遗忘，往年真题是最好的模拟题，只有模拟真题才能有真实感。

模拟真题时，拿一张纸，像考试一样，大题要一步步地写步骤，严格对答案评分。如果有错，就在该题旁边写上为什么错了，要注意些什么让下次不要错。如果从某一步错了，可以在这一步下面画箭头，表明怎么错了。评完一套卷子，可以在最后的空白处总结一下，为什么没有得满分，要加强哪方面概念、公理的巩固，思维上有什么欠缺，是不是哪类题粗心问题非常需要注意。

最后这些纸一定好好保存，在考前来出来系统看一遍你就会发现自己的问题。然后总结出易错点、注意事项。

第四，关于考前的准备，这应该是在最后半个多月，之前不是总结了定义、定理、公式吗，现在就是要拿出来复习了。翻自己模拟的真题，找出常犯错误，总结几条注意事项。比如我的就有，线代求逆一定要非常细心（因为我老是算错），求完倒回去检查，不要马上跳到下一步。还有考场上遇到一时没有思路的题不要慌，数三一般来说只有小转弯的题，不会有难找思路的题，而且每年真题都较新颖的题已是必然。还要纵向对比各年真题的特点，发现一点对今年考试有用的规律。

比如我发现线代题型很固定，解题方法很死，只是读题后需要找到一个切入点，之后就很简单了。概率要读懂题，找到已知和所求的内在联系。

很多题的解题方法很死，我考前总结了各种题的解题“模式”，但是现在那个我的随身笔记本仍在了家里，想不起来啊。其实我后期有这样一种感觉，你要问我数学每一块有哪些内容，我真想不起来，但是拿题来做，几乎没有不会的，所以大家要问我什么，估计我真的答不上来。

考前要做新颖和陌生的题也很重要，因为10年和11年的高数部分都出现了往年真题中没有雷同的题型。合工大的五套题我觉得是适合最后阶段严格模拟的。

第五，关于总结，虽然数学很灵活，但是考研数学很有规律。我后期已经很清楚考研数学的高数、线代、概率可能考的题型，然后经常有问题的题型总结出了一套模式。比如 证明、二重积分、无穷级数等。其他的我真的想不起来了。说说证明吧，之前这个真的让我很头疼，但是在我总结之后几乎没有不会的证明题。

证明主要可以分为等式证明、不等式证明、存在一点的证明。

恒等式证明的永恒方法就是构造辅助函数求导，导数为0。

不等式证明很多方法，单调性是最常用的。

存在一点的思路有，介值定理、罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理、泰勒公式。介值定理通常所证里不含导数，罗尔定理一般所证等式里有一阶导数和一点，通常要把等式两端的式子移到等式一端处理。泰勒公式适用时一般等式里存在高阶导数（二阶及以上）。这些里面构造辅助函数或者从哪一点展开是个技术活，但是也有规律。

我觉得我的记忆力太差了，这么快都要忘光了，没有那个本子我不能一一列举，为大家解决证明的难题。以后有时间再补充啊。

总结一下吧，无论大家要学的是哪科，始终要记得的是我们的最终目标是高分。所以当你们要做任何一项学习上的努力时，你们要问自己，这样做的目的是什么，对于提高我的解题能力或者分数有帮助吗。或者你们要想，我要提高的的分数需要做哪些工作，其实一句话，就是了解自己和考研，不做无用功。。

另外论坛上的总总经验只能参考，主线就是按照高分的目的行事，选择最适合自己的复

习方式，别人就算考150，那种方法也只是适合别人的而不是适合自己的。

数三的学习并不难，只要高中基础还好，对数学有几分兴趣，并且相信自己的毅力，再加上注意方法，0基础要考130是不难的。

七年级数学从算式到方程说课稿 篇5

一、教材分析

（一）教材的地位和作用

方程是初等数学的基本知识，也是进一步学习一元一次方程，二元一次方程组，一元一次不等式及一元二次方程的基础．方程在实际问题中的应用，是中学阶段应用数学知识解决实际问题的重要开端，也是增强学生学习数学、应用数学意识的重要题材．本节教材主要起着承前启后的作用，可以说是小学与中学内容上的衔接点，方法上的分水岭．

（二）教学内容

“从算式到方程”新教材与原教材的显著区别：方程这一部分内容不是按照由定义到解法最后讲应用的纯数学体系编排，而是首先从实际问题出发，通过比较算术方法与方程求解的区别，体会方程的优越性，让学生认识到从算式到方程是数学的一大进步．然后再通过具体实际问题所列方程，介绍方程等概念．新教材的编写更加体现了数学的应用价值．

（三）教学重点难点

由于学生在小学阶段已习惯用算术方法解决实际问题，对列方程不太熟练，为了防止学生仍停留在列算式解题的低层上，所以本节重点确定为：让学生在讨论问题、解决问题的过程中，比较列算式与列方程在分析数量关系上的区别及列方程时相等关系的建立．而本节中学生可能感到困难的仍是实际问题相等关系的建立．

二、目标分析

依据课程标准的要求，确定以下目标：

（一）知识与技能目标

1．了解方程等基本概念．

2．会根据具体问题中的数量关系列出方程．

（二）过程与方法目标

经历从具体问题中的数量相等关系列出方程的过程，体会并认识方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型，渗透数学建模的思想．

（三）情感目标

让学生进一步认识到方程与现实世界的密切关系，感受数学的价值．培养学生获取信息，分析问题，处理问题的能力。

三、教法与学法分析

根据本节内容与现实生活联系较紧密的特点，教学中选取学生熟悉的、感兴趣的背景材料，充分调动学生的学习热情．并恰当设计各种问题，让学生在教师的引导下，通过小组讨论、相互交流、动手操作、自主探索等活动，获得知识，积累经验，体验成功，积极推行自主学习、合作学习、探究学习等新的学习方式，努力完成教师和学生在教与学活动中角色的转变．

四、教学过程分析

教学目标①进一步理解用等式的性质解简简单的（两次运用等式的性质）一元一次方程

②初步具有解方程中的化归意识；

③培养言必有据的思维能力和良好的思维品质．

教学重点用等式的性质解方程。

知识难点需要两次运用等式的性质，并且有一定的思维顺序。

教学过程（师生活动）设计理念

复习引入 解下列方程：（1）x＋7=1.2;（2）

在学生解答后的讲评中围绕两个问题：

①每一步的依据分别是什么？

②求方程的解就是把方程化成什么形式？

这节课继续学习用等式的性质解一元一次方程。由于这一课时也是学习用等式的性质解方程，所以通过复习来引入比较自然。

探究新知 对于简单的方程，我们通过观察就能选择用等式的哪一条性质来解，下列方程你也能马上做出选择吗？

例1 利用等式的性质解方程：

（）0.5x－x=3.4（2）

先让学生对第（1）题进行尝试，然后教师进行引导：

①要把方程0.5x－x=3.4转化为x=a的形式，必须去掉方程左边的0.5，怎么去？

②要把方程－x=2.9转化为x=a的形式，必须去掉x前面的“－”号，怎么去？

然后给出解答：

解：两边减0.5，得0.5－x－0.5=3.4－0.5

化简，得

－x=－2．9，、两边同乘－1，得l

x=－2.9

小结：（1）这个方程的解答中两次运用了等式的性质（2）解方程的目标是把方程最终化为x=a的形式，在运用性质进行变形时，始终要朝着这个目标去转化．

你能用这种方法解第（2）题吗？

在学生解答后再点评．

解后反思：

①第（2）题能否先在方程的两边同乘“一3”？

②比较这两种方法，你认为哪一种方法更好？为什么？

允许学生在讨论后再回答．

例2（补充）服装厂用355米布做成人服装和儿童服装，成人服装每套平均用布3．5米，儿童服装每套平均用布1．5米．现已做了80套成人服装，用余下的布还可以做几套儿童服装？

在学生弄清题意后，教师再作分析：如果设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5x米，根据题意，你能列出方程吗？

解：设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5米，根据题意，得

80x×3.5＋1.5x＝355．

化简，得

280＋1.5x＝355，两边减280，得

280＋1.5x－280＝355－280，化简，得

1.5x＝75，两边同除以1.5，得x＝50．

答：用余下的布还可以做50套儿童服装．

解后反思：对于许多实际间题，我们可以通过设未知数，列方程，解方程，以求出问题的解．也就是把实际问题转化为数学问题．

问题：我们如何才能判别求出的答案50是否正确？

在学生代入验算后，教师引导学生归纳出方法：检验一个数值是不是某个方程的解，可以把这个数值代入方程，看方程左右两边是否相等，例如：把x=50代入方程80×3.5＋1.5x=355的左边，得80×3.5＋1.5×50=280＋75=355

方程的左右两边相等，所以x=50是方程的解。

你能检验一下x=－27是不是方程 的解吗？不同层次的学生经过尝试就会有不同的收获：一部分学生能独立解决，一部分学生虽不能解答，但经过老师的引导后，也能受到启发，这比纯粹的老师讲解更能激发学生的积级性。

这里补充一个例题的目的一是解方程的应用，二是前两节课中已学到了方程，在这里可以进一步应用，三是使后面的“检验”更加自然。

解题的`格式现在不一定要学生严格掌握。

课堂练习①教科书第73页练习第（3）（4）题。

②小聪带了18元钱到文具店买学习用品，他买了5支单价为1.2元的圆珠笔，剩下的钱刚好可以买8本笔记本，问笔记本的单价是多少？（用列方程的方法求解）

建议：采用小组竞赛的方法进行评议

小结与作业

课堂小结建议：①先让学生进行归纳、补充。主要围绕以下几个方面：

（1）这节课学习的内容。

（2）我有哪些收获？

（3）我应该注意什么问题？

②教师对学生的学习情况进行评价。

③思考题 用等式的性质求x:－2x=－5x＋7引发竞争意识，提高自我评价和自我表现的机会，以达到激发兴趣，巩固知识的目的。评价包括对学生个人、小组，对学生的学习态度、情感投入及学习的效果方面等。

本课作业①必做题：教科书第73页第4（1）、（2）、（4）题；补充：用等式的性质解方程：①3＋4x=17;②4－ =3

②选做题：教科书第73页第4（3）题，第74页第10题。

本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）

1、力求体现新课程理念：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知

识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会……学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．本设计从新课的引人、例题的处理（包括解题后的反思）、反馈练习及小结提高等各环节都力求充分体现这一点．

2、在传统的课堂教学中，教师往往通过大量地讲解，把学生变成任教师“灌输”的“容

器”，学生只能接受、输入并存储知识，而教师进行的也只不过是机械地复制文化知识．新

课程的一个重要方面就是要改变学生的学习方式，将被动的、接受式的学习方式，转变为动手实践、自主探索与合作交流等方式．本设计在这方面也有较好的体现．

3、为突出重点，分散难点，使学生能有较多机会接触列方程，本章把对实际问题的讨论作为贯穿于全章前后的一条主线．对一元一次方程解法的讨论始终是结合解决实际问题进行的，即先列出方程，然后讨论如何解方程，这是本章的又一特点．本设计充分体现了这一特点．

【七年级数学从算式到方程说课稿】相关文章：

1.《从算式到方程》教学反思

2.从算式到方程的评课稿

3.数学《从算式到方程》测试题

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5.七年级数学从算式到方程的练习题

6.从算式到方程达标练习题

7.初一数学从算式到方程达标练习题

8.有趣的算式的说课稿

从数学归纳法到多米诺骨牌 篇6

一、教学目标：1.了解普查的意义.2.结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性.

二、重难点：结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性.

三、教学方法：阅读材料、思考与交流

四、教学过程

(一)、普查

1、【问题提出】 P7

通过我国第五次人口普查的有关数据，让学生体会到统计对政府决策的重要作用DD统计数据可以提供大量的信息，为国家的宏观决策提供有关的支持.教科书通过对人口普查的有关新闻报道，让学生体会人口普查的规模是何等的宏大与艰辛.

教科书提出了三个有代表性的问题.第一个问题主要是针对人口普查的作用，人口普查可以了解一个国家人口全面情况，比如，人口总数、男女性别比、受教育状况、增长趋势等.人口普查是对国家的政府决策实行情况的一个检验，比如，国家计划生育政策，经济发展战略，国家“普及九年义务教育”政策，人民群众的生活水平等.第二个问题是针对普查本身存在的问题提出的，以加深学生对于普查的理解.学生可能有一个误解，普查就是100%的准确，其实不然，即使是最周全的调查方案，在实际执行时都会产生一个误差.教科书通过这个问题，目的是让学生理解在人口普查中出现漏登是正常情况，调查方案的设计是尽可能让这个误差降低到最小.同时，也要让学生理解人口普查的工作，即使出现漏登现象，人口普查的数据对国家的宏观决策依然具有重要的作用.第三个问题是针对人口普查工作的艰辛而提出的，让学生体会人口普查数据得来不易，要尊重人口普查人员的劳动，对人口普查工作要大力支持.

2、【阅读材料】 P4

“阅读材料”是课堂阅读，目的是让学生了解普查工作的特点和重要性，以及我国目前主要的一些普查工作.进而，总结出普查的主要不足之处，这是从一个方面说明了抽样调查的必要性.

普查是指一个国家或一个地区专门组织的一次性大规模的全面调查，目的是为了详细地了解某项重要的国情、国力.

普查主要有两个特点：(1)所取得的资料更加全面、系统;(2)主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量.

普查是一项非常艰巨的工作，它要对所有的对象进行调查.当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式.

(二)、抽样调查

【例1和其后的“思考交流”】 P8～9

紧接着，教科书通过例1和“思考交流”的两个问题，让学生了解普查有时候难以实现.这主要有两个方面的原因，其一，被调查对象的量大;其二，普查对被调查对象本身具有一定的破坏性.这从另一个方面说明了抽样调查的必要性.然后，教科书通过抽象概括总结出抽样调查的两个主要优点.

【例2和其后的“思考交流”】 P9～10

主要是讨论在抽样调查时，什么样的样本才具有代表性.在抽样时，如果抽样不当，那么调查的结果可能会出现与实际情况不符，甚至是错误的结果，导致对决策的误导.在抽样调查时，一定要保证随机性原则，尽可能地避免人为因素的干扰;并且要保证每个个体以一定的概率被抽取到;同时，还要注意到要尽可能地控制抽样调查中的误差.

由于检验对象的量很大，或检验对检验对象具有破坏性时，通常情况下，所以采用普查的方法有时是行不通的.通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查.其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本.

抽样调查的优点：抽样调查与普查相比，有很多优点，最突出的有两点： (1)迅速、及时;(2)节约人力、物力和财力.

例1为了考察某地10 000名高一学生的体重情况，从中抽出了200名学生做调查.这里统计的总体、个体、样本、总体容量、样本容量各指什么?为什么我们一般要从总体中抽取一个样本，通过样本来研究总体?

解：统计的总体是指该地10 000名学生的体重;个体是指这10 000名学生中每一名学生的体重;样本指这10 000名学生中抽出的200名学生的体重;总体容量为10 000;样本容量为200.若对每一个个体逐一进行“调查”，有时费时、费力，有时根本无法实现，一个行之有效的办法就是在每一个个体被抽取的机会均等的前提下从总体中抽取部分个体，进行抽样调查.

例2 为了制定某市高一、高二、高三三个年级学生校服的生产计划，有关部门准备对180名初中男生的.身高作调查，现有三种调查方案：

A.测量少年体校中180名男子篮球、排球队员的身高;

B.查阅有关外地180名男生身高的统计资料;

C.在本市的市区和郊县各任选一所完全中学，两所初级中学，在这六所学校有关年级的小班中，用抽签的方法分别选出10名男生，然后测量他们的身高.

为了达到估计本市初中这三个年级男生身高分布的目的，你认为采用上述哪一种调查方案比较合理，为什么?

解： 选C方案.理由：方案C采取了随机抽样的方法，随机样本比较具有代表性、普遍性，可以被用来估计总体.

例3 中央电视台希望在春节联欢晚会播出后一周内获得当年春节联欢晚会的收视率.下面三名同学为电视台设计的调查方案.

甲同学：我把这张《春节联欢晚会收视率调查表》放在互联网上，只要上网登录该网址的人就可以看到这张表，他们填表的信息可以很快地反馈到我的电脑中.这样，我就可以很快统计收视率了.

乙同学：我给我们居民小区的每一份住户发一个是否在除夕那天晚上看过中央电视台春节联欢晚会的调查表，只要一两天就可以统计出收视率.

丙同学：我在电话号码本上随机地选出一定数量的电话号码，然后逐个给他们打电话，问一下他们是否收看了中央电视台春节联欢晚会，我不出家门就可以统计出中央电视台春节联欢晚会的收视率.

请问：上述三名同学设计的调查方案能够获得比较准确的收视率吗?为什么?

解： 综上所述，这三种调查方案都有一定的片面性，不能得到比较准确的收视率.

(三)、课堂小结：1、普查是一项非常艰巨的工作，它要对所有的对象进行调查.当普查的对象很少时，普查无疑是一项非常好的调查方式.普查主要有两个特点：(1)所取得的资料更加全面、系统;(2)主要调查在特定时段的社会经济现象总体的数量.2、通常情况下，从调查对象中按照一定的方法抽取一部分，进行调查或观测，获取数据，并以此调查对象的某项指标做出推断，这就是抽样调查.其中，调查对象的全体称为总体，被抽取的一部分称为样本.抽样调查的优点：抽样调查与普查相比，有很多优点，最突出的有两点： (1)迅速、及时;(2)节约人力、物力和财力.

(四)、作业： P10练习题; P10【习题1D2】

从数学归纳法到多米诺骨牌 篇7

重视课前导学, 让学生学会预习

进入五年制高职学习的学生, 大部分在初中时既没有养成良好的预习习惯, 也未掌握有效的预习方法。他们在预习时, 往往把将要学习的教材通读一遍, 内容上虽有个模糊的印象, 自己却没有思维过程。这样的预习只是流于形式, 不能达到理想的效果。因此, 为了减少学生预习的盲目性, 教师在学生预习之前有必要为他们列一个导学提纲, 其中既包括新内容的重点、要点, 也包括学习建议, 如“了解知识背景”、“熟悉概念定理”等。

一开始, 导学提纲可列得详细些, 以逐步提高学生的预习能力, 慢慢地可适当精简导学提纲, 等到学生养成了良好的预习习惯, 则可放手让学生自己设计预习提纲。这样, 学生就能掌握有效的预习方法。经过这样有效的预习, 在课堂教学中, 学生常常会有大胆的质疑、精彩的辩论和独到的见解。

巧妙设置问题, 让学生学会探求

在教学中, 如果教师只让学生被动地接受知识、掌握知识, 不给他们留下思索和探求的空间, 就会造成学生思维僵化。这种教学方式不仅在培养学生学习能力方面有严重的缺陷, 而且还会让学生产生厌倦心理。因此, 笔者尝试在数学教学中层层设疑, 围绕一个个问题的提出和解决展开课堂教学, 以培养学生的学习兴趣和探求能力。例如, 在学习直线的点斜式方程时, 笔者就设置了如下一系列问题: (1) 已知直线上两点, 怎样求直线的斜率? (2) 已知直线l过点 (l, Z) , 斜率为姨3, 则直线l上任一点满足什么条件? (3) 已知直线l过点 (x1, y2) , 斜率为k, 怎样求直线的方程 (将问题2一般化) ?

上述几个问题层层深入, 让学生自己来探求答案, 教师所起的作用则是巧妙点拨、适时引导, 为学生进一步探索搭桥铺路。这种巧妙设置问题, 让学生自主探索的学习方式, 对学生掌握探求新知识的方法极有帮助。

详说解题策略, 让学生学会分析讨论

学生解题能力的提高不是一朝一夕可以做到的, 要经过长期潜移默化、严格规范的训练。笔者在教学中尝试让学生来“说数学”, 经常要求学生用简洁严密的数学语言来分析、讲述解题思路和解题方法。有时, 还通过变式训练, 引导学生进行讨论, 发现正确的解题策略, 从而培养学生分析问题、讨论问题、解决问题的能力。比如:解一元二次不等式x2+2x+1=0。这个题目在学生掌握一元二次不等式的一般解法后, 完全有能力独立解出, 笔者就要求学生不但要会解题, 还要求学生用严密的语言说出解题过程和解题依据。然后笔者引入含有字母的参数a, 把题目演变成不同类型。

变化1:解关于x的不等式x2+ax+1>0。

变化2:解关于x的不等式ax2+2x+1>0。

变化3:已知x2+ax+1>0的解集为全体实数, 求a的取值范围。

变化4:已知x2+ax+1>0当x缀[0, 1]时恒成立, 求a的取值范围。

其中变化1、2是解含有参数的不等式, 变化3是已知不等式的解集, 求参数a的范围, 变化4是已知不等式成立的条件, 求参数a的范围。参数a的引入, 不但“激活”了不等式, 也激发了学生的探究热情, 学生讨论非常热烈, 大胆表达自己的观点。如果学生在讨论过程中, 由于概念模糊、考虑不周或判断推理错误, 致使在探求解题方法的途中走入岔道, 这时教师应适时引导, 并让学生深入讨论, 剖析产生错误的原因。总之, 让学生探求解题途径, “详说”解题策略, 有助于提高学生的探求能力、分析问题能力和语言表达能力。

积极创设矛盾, 让学生学会反思质疑

反思质疑不仅是发现真知的起点, 也是发明创造的开端。教师在教学中, 可以通过呈现与学生原有知识相矛盾的现象, 设置悬念, 或提供几个相互矛盾的解答, 使学生产生认知上的冲突, 引发学生反思质疑。比如, 在学习抛物线的定义时, 教材指出:平面上与一个定点和一条定直线距离相等的点的轨迹叫做抛物线。笔者引导学生讨论得出:假如定点在定直线上, 那么到定点和定直线距离相等的点的轨迹是过该定点垂直于该定直线的一条直线。对此, 学生疑虑顿生:这与抛物线的定义不是矛盾了吗?教材所述抛物线定义有什么不足呢?矛盾的产生顺理成章地引发学生对抛物线定义进行更深层次的探讨。在学习的过程中, 有疑问才能引发学生深入思考;在教学过程中, 教师要努力培养学生勇于质疑、善于质疑的思维品质。

善用对比小结, 让学生学会鉴别比较

一些数学知识比较容易混淆, 容易引发知识的负迁移。教师可以在容易发生负迁移的知识之间, 引导学生通过对比小结, 让学生找出它们的区别, 这样不但可以有效防止负迁移, 也能让学生学会比较, 善于鉴别。比如, 在学习了不等式的性质之后, 笔者没有将一一列举不等式的性质作为课堂小结, 而是提出了这样一个问题:不等式的性质与等式的性质有哪些主要区别?这个问题虽然有些难度, 但更能引发学生深入思考, 使学生对不等式性质的条件和结论的理解更加清晰。再如, 在学习数列的概念之后, 让学生思考:数列中的数与集合中的元素有何区别?在学习了复数的有关概念后, 提出问题:复平面 (高斯平面) 与一般的坐标平面 (笛卡儿平面) 有何区别?通过这些问题的讨论, 不但可使学生加深对所学知识的理解, 也可让学生学会如何通过比较来区分易混淆知识之间的异同。

突出知识间的联系, 让学生学会梳理

每学完一部分内容, 教师要指导学生及时对所学的知识进行归纳梳理, 形成知识网络, 并将知识要点、主要思路及方法技巧等转化成自己的实际技能。笔者在教学中常常指导学生用表格和知识网络图的形式来梳理所学知识。比如, 在学习了立体几何直线与平面这部分知识之后, 由于这部分内容涉及的概念、公理、定理、推论较多, 笔者指导学生就两直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面的位置关系设计了三张表格, 其中包括位置关系、图像及符号表示、公共点的个数及相关概念等内容, 同时以线与线、线与面、面与面的平行与垂直关系为主线, 抓住知识之间的联系, 构建了知识网络图。这些表格和网络图几乎涵盖了所有相关的知识点, 有助于学生弄清空间点、线、面的各种位置关系。通过这样的训练, 不仅有助于学生理清知识脉络, 更能让学生学会梳理知识的方法, 将所学知识系统化。

学会数学是前提和基础, 而会学数学则是一种质的飞跃。学生必须迈出从“学会”到“会学”这一步, 不仅要掌握知识, 更要掌握获取知识的方法。这样, 才能适应终身学习的需要。

参考文献

[1]朱慕菊.走进新课程——与课程实施者对话[M].北京:北京师范大学出版社, 2002.

[2]孙德菊, 李淑文.让学生想学、乐学、会学数学[J].现代中小学教育, 2005, (9) .

[3]侯建军.高职数学教学改革的思考[J].职业教育研究, 2006, (4) .

数学课堂—从有效到高效 篇8

关键词： 新课程理念;中学数学;课堂教学;有效性

《数学课程标准》提出：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。”[1]近年来，数学教育工作者对新课程理念下的数学高效课堂教学进行了不断的探索与尝试，并取得了一定的成效。笔者结合自己多年的教学经验，谈谈如何提高数学课堂教学的有效性，从而实现高效课堂的一些肤浅认识。

一、新课程理念下课堂教学有效性的范畴和意义

课堂教学有效性的范畴是指通过教师在课堂教学过程中所进行的教学活动，让学生在能力和知识上有所收获、有所提高，相应的学科情感也得到一定的提升。在课堂教学过程中，学生是学习的主体，提高课堂教学有效性的关键在于学生。因此，教师在设计课堂教学时，应该注重结合学生所处的年龄阶段特点和认知规律设计教学流程，充分发挥学生的主体作用。

要想实现中学数学高效课堂教学，就必须提高课堂教学有效性。提高课堂教学有效性的意义在于让学生能在最短的时间内获得最多的知识，最大程度地激发学生的潜能。在传统的数学教学中，教师主要采用“满堂灌”、“题海战术”等教学方式，使学生机械地获取知识，最终使学生思维产生定势，无视数学知识的形成过程，课堂效率降低，严重影响了学生数学素质的培养，与社会发展对人才的需求相悖。因此，改革课堂教学内容和形式，提高课堂教学的有效性是新课程实施的必然要求，更是目前中学数学课堂教学中迫切需要解决的问题。

二、课堂教学有效性的实施原则

学习兴趣原则。兴趣是学生学习任何学科的基本动力，中学生每天处于考试的压力之中，对学习本身失去了兴趣，尤其中学数学知识复杂、繁琐，很容易让学生对其产生厌倦和疲乏的情绪。学生的学习兴趣没有得到充分的激发，再好的教学方案也无法在课堂教学中得到充分的发挥。

课堂教学的开放性原则。新课程理念强调课堂教学中学生的主体性，只有开放性的教学，学生的主体性才能够得到充分的发挥。[2]开放性的课堂对活跃课堂氛围有着重要意义，在开放性的课堂中，学生有一定的自主权，生生之间、师生之间能够进行有效的沟通和交流，便于教师及时了解学生的掌握程度，从而及时地调整教学方案。

三、提高数学课堂教学有效性的途径与方法

（一）创设生动的教学情境，激发学生的学习兴趣

1.借用生活问题创设教学情境。数学源于生活，许多数学概念都是来自生活实际，反过来，数学又服务于生活，人们可以利用数学将生活打理得井井有条。因此，数学教学必须密切联系学生的生活实际，将教材上的数学问题灵活地抽象成生活中熟悉的事例，以情境的方式展示给学生，以此消除学生对数学的陌生感和厌倦情绪，充分调动其学习的积极性。例如，在讲“合并同类项”这一节时，我们利用最常见的“钱”来创设这样的情境：有多张面值为100元的、50元的、10元的、5元的、1元的混在一起，要数一数这些钱，你会怎样数？根据生活经验，学生就会想到先分类再数，进而教师就可以轻松地引出同类项的概念。

2.借用游戏或故事创设教学情境。将数学知识融入趣味性的游戏或故事中，容易调动学生的积极性。通过影响非认知因素对数学学习起到推动的作用，可以增强学生对数学的认识。例如，在平面直角坐标系的教学过程中，可以讲述数学家欧拉发明坐标系的故事：欧拉躺在床上静静地思考怎样确定物体的位置，偶然间发现一只苍蝇粘在了蜘蛛网上，蜘蛛迅速的爬过去把它捉住。欧拉恍然大悟：“啊，可以像蜘蛛一样用网格来确定物体的位置啊！”通过一个鲜活的故事引入新课，说明如何用网格来表示位置，既形象又生动地调动学生的学习兴趣。[3]

（二）渗透数学思想，提升学生的思维品质

在中学阶段，学生需要了解的数学思想有：分类讨论的思想、数形结合的思想、化归的思想、方程和函数的思想等。数学思想是数学的灵魂，它隐含在数学知识当中，伴随数学思维的发展，会被学生逐步理解和接受。[4]因此课堂教学时，教师应该以例题为载体，有机地向学生渗透数学思想，逐步提升学生的思维品质。在课堂教学中，渗透数学思想，是一项长期细致的工作，教师必须结合教学的内容和进度自然潜移默化地进行，达到润物细无声的教学效果。

（三）精心设计课堂练习，提高学生解题的能力

《数学课程标准》明确规定：应使学生初步学会应用所学数学知识解决简单的生活实际问题。所以，练习是学生学习过程中的重要环节，教师有目的、有计划地精心设计课堂练习，能有效地提高学生灵活解题的能力。[4]在教学中，对于一些易混易错知识，不但要注意引导学生进行比较分析，而且要有针对性地设计一些习题，让学生通过练习、讨论来区分、掌握。例如：学习了“二次函数顶点式解析式”后，学生容易把y=a（x+h）2+k中k的值理解成二次函数图像与y 轴交点的横坐标。教学时笔者对学生进行对比引导，加强 y=a（x+h）2+k中的k与y=ax2+bx+c中的c之间的意义不同这一易错点，紧接着给出跟踪习题对其进行记忆强化。这样不仅能让学生进一步区分两种解析式的不同点，而且能大大降低出错率。

（四）注重情感培养，提高课堂有效教学的内驱力[4]

教师首先要尊重学生、宽容学生，对学习上遇到困难的学生要帮助他们从自身寻找原因，鼓励其迎头赶上。其次教师在课堂教学过程中，要适时地对学生进行肯定和表扬，使学生感受成功的愉悦。在课堂评价中可以考虑多采用类似“很棒”等真诚的言语鼓励评价，当学生回答问题较精彩时，教师应毫不吝啬地竖起大拇指对他进行肯定。

从数学归纳法到多米诺骨牌 篇9

学习难点：

分析与确定问题中的等量关系，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。教学过程：

一、创设情境，引入新课 问题一：

甲、乙两城市间的铁路经过技术改造,列车在甲乙两城市间的运行速度从80千米/时 提高到100千米/时，运行时间缩短了3小时.甲、乙两城市间的路程是多少千米?

変式1: 甲、乙两列车都从A市驶向B市，甲车用了3小时，乙车用了2小时。已知乙车的速度是甲车速度的2倍少40千米，甲、乙两车的速度分别是多少？

変式2: 甲、乙两列车都从A市驶向B市，甲车用了3小时，乙车用了2小时。已知乙车的速度是甲车速度的2倍少40千米，A、B两城市间的路程是多少？

二、合作质疑，探索新知

问题二： 小明用50 元钱购买了面值为1元和2元的邮票共30张，他买了多少张面值为1元的邮票？

如果设面值为1元的邮票买了x张,那么面值为2元的邮票买了_______张.买面值为1元的邮票的钱+买面值为2元的邮票的钱=50元.可得方程____________________

问题三： 某通讯公司有两种手机话费付费方式：第一种方式不交月租费，每分钟付话费0.6元；第二种方式每月交月租费50元，每分钟付话费0.2元.一个月通话多少分钟时，两种付费方式费用相同？

三、自主归纳，形成方法

1、学生自主归纳：如何从问题到方程？

2、自主归纳一元一次方程的特点，并举例说明

四、巩固练习：

根据实际问题的意义列出方程

1.甲车的速度为60km/h,乙车的速度80km/h,两车同时同地出发，反向而行，经过多长时间两车相距280km?.小丽花50元钱买了面值为1元和2元的两种邮票，如果面值为2元的邮票比面值为1元的邮票少5张，那么，这两种面值的邮票各买了多少张？

3.一个长方形足球场的周长是300m,它的长比宽多30m,求这个足球场的长.五、课堂小结，感悟收获

1、从实际问题到方程，一般要经历哪些过程？

从农村穷孩子到杰出数学字 篇10

王梓坤1929年出生于湖南零陵,7岁时回到家乡江西吉安县枫墅村。在村里跟私塾先生学完初级小学课程后,11岁便到离家十里外的中心小学走读。他家境极其困苦,特别勤奋好学,一面帮家里插秧、割稻、放牛、车水,一面刻苦学习。

有一天,老师来到他家,当面出了一道数学题考他:“树高20尺,一只蚂蚁白天向上爬2尺,晚间向下爬1尺,问第几天就可爬到树梢?”王梓坤稍加思索便答道:“第19天。”老师听了非常高兴,连连点头称赞。这道题很有些迷惑性,一不小心就会算成20÷(2-1)=20(天)。其实,这样算是错的。因为第18天晚间,蚂蚁已位于离地18尺处,到第19天白天,即可再上升2尺而到树梢了。冰冻三尺,非一日之寒。王梓坤即席答题的成功,正是他平时勤于思考的结果。也正是凭借这种过人的勤奋,王梓坤的数学多次得120分,语文在全县会考中名列第一。

1942年,王梓坤考取了吉安中学,初中毕业后,又考上了国立十三中,享受公费。1948年暑假,全国有五所大学在长沙设立了招生点,王梓坤都报了名,而且全都考取了。最后他选择了武汉大学数学系,而且获得全系仅有的两个奖学金名额之一。

1952年大学毕业后,王梓坤就被分配到南开大学任教。1955年,他又考取留苏研究生,去莫斯科大学数学力学系攻读概率论,他的导师是近代概率论的奠基者柯尔莫哥洛夫和才华横溢的年轻专家达布鲁辛。王梓坤用三年时间就完成了苏联同专业的研究生五年的课程。三年里,他的大部分星期天都是在教室和图书馆度过的。假期里,也放弃了到伏尔加河沿岸旅游的机会,留在学校里刻苦攻读。1958年,他的毕业论文《随机过程论》在莫斯科大学的学术答辩会上顺利通过,并获得副博士学位。

回国后,王梓坤仍回到南开大学工作,直到1984年,调任北京师范大学校长。这年年底,他和北京师范大学的教授们建议设立“教师节”,获国务院批准,1985年9月10日,我国庆祝了第一个教师节。

从数学归纳法到多米诺骨牌 篇11

一、序数构造方法等介绍

(一) 外构造方法与外部类Z

通俗而言, 序数的外构造方法如下:首先, 序数0为自然数0, 序数1为自然数1, 序数2为自然数2, …;然后, 因…之后启用虚拟终点, 故序数w (0) 为虚拟终点的位置;接着, 虚拟终点之后启用新的对象, 序数w (0) +1为这个对象的位置;等等。

定义:若一个集合调整元素顺序之后, 其所有元素位置组成自然数集, 则这个集合叫可数集。补充说明, 若这个集合的元素无顺序, 则分配元素位置。定义:集合A调整元素顺序所得的集合叫A的调整。定义:设x, α都是序数, 若{x|x<α}是可数集, 则α叫可数序数。定义外构造方法的所有可数序数 (及自然数) 组成最小不可数集Z, 也叫外部类Z, 即{0, 1, 2, …, w (0) , w (0) +1, w (0) +2, ……}, 其元素顺序从小到大。

(二) 内构造方法与内部类Z

通俗而言, 序数的内构造方法如下:首先, 序数0为自然数0, 序数1为自然数1, 序数2为自然数2, …;然后, 因…之后禁用虚拟终点, 故{0, 1, 2, …}改写为{1, 2, …, 0}, 序数w (0) 为其中0的位置;接着, {1, 2, …, 0}改写为{2, 3, …, 0, 1}, 序数w (0) +1为其中1的位置;等等。

定义:若内构造方法的一个序数可以模拟外部类Z的元素, 则这个序数叫模拟序数。定义:所有模拟序数组成可数集Z, 也叫内部类Z, 即{0, 1, 2, …, w (0) , w (0) +1, w (0) +2, ……}, 其元素顺序从小到大。性质:若内构造方法的所有可数序数 (及自然数) 组成可数集X, 则内部类Z是X的真子集。

(三) 集合的位置个数与sup

定义:设集合X的所有元素位置从小到大组成序型A, 则sup (A) 叫A的上界, 表示X的位置个数。约定, sup () =0, sup (X) =sup (A) 。补充说明, 若X的元素无顺序, 则分配元素位置。定义:元素位置个数简称元数。定义:设x, α都是序数, 则{x<α}表示序型{x|x<α}, 其元素顺序从小到大。定义:设x, α都是序数, 则{x≤α}表示序型{x|x≤α}, 其元素顺序从小到大。定义:w (0) 的非零倍数叫极限序数。定义:设x, α都是序数, 当外构造方法时, 若α是极限序数, 则sup ({x≤α}) =α, sup ({x<α}) =sup ({x≤α}) , 否则sup ({x≤α}) =α。定义:设x, α都是序数, 当内构造方法时, 若α是极限序数, 则sup ({x<α}) =α, sup ({x≤α}) =sup ({x<α}) , 否则sup ({x≤α}) =α。性质:设x, α都是序数, 当外构造方法与内构造方法混淆时, 若α是极限序数, 则sup ({x<α}) =sup ({x≤α}) , 否则sup ({x<α}) ≠sup ({x≤α}) 。

二、退火法构造可数集Y与内部类Z

(一) 退火法的设计目标

序数的内构造方法预言了内部类Z的存在。特别, 在构造过程中, 每经过一步, 内部类Z的每个元素必须绝对动态 (重新构造或等待构造) 。那么, 在构造过程中, 每经过一步, 内部类Z的一个元素可以相对静态 (完成构造或等待构造) 吗?为解决这个问题, 退火法横空出世。此外, 退火法使得, 序数的内构造方法走得很远。

(二) 退火法构造Y与Z

设A是可数集。下面用退火法构造可数集Y与内部类Z。

初始化:变量A (0) =A, 变量J={0}, 变量K={0}, 变量t=2, 变量Y=Φ, 变量X={0}。

现在, J、K、Y、X沿着Z的元素顺序进行扩张。

标记s:j=sup (J) , J=J并{j}, k=sup (K) , K=K并{k};当j=k>0时, x=sup (X) , X=X并{x}, t=j, 先令j*满足x≤j*<j, 再j=j*, J=J (j) , K=K (j) , Y=Y (j) , X=X并{x+1}, 跳回标记s;J (j) =J, K (j) =K, Y (j) =Y;A (j) =若干B (i) 的并 (B (i) 是两两互不相交的可数集, k≤i<k+t或i=j) , 每个B (i) 另记A (i) (新符号A (i) 覆盖旧符号A (i) , 每个符号B (i) 被清除) ;从A (j) 中取一个元素, 记作a (j) ;Y=Y并{a (j) }, J=J并{j+1}, K=K并{i|k<i≤k+t}, 跳回标记s。

最后, 可得集合Y={a (0) , a (1) , a (2) , …, a (w (0) ) , a (w (0) +1) , a (w (0) +2) , ……}。

因为Y是可数集A的无穷子集, 所以Y是可数集。此外, Y的所有元素位置 (用内构造方法来解释) 组成一个可数集, 叫内部类Z。

(三) 退火法的细微改进

对文献[2]的退火法做了细微改进, 引入X与x, 完全保证当第x次“j=k>0”时内部类Z的第x个元素a (x) 构造完毕。

三、集合论的一个关键矛盾

康托尔提出等势定义:若两个集合一一映射, 则它们的元素个数相等。

因为, 内部类 (可数集) Z与外部类 (最小不可数集) Z满足一一映射。所以, 可数集与最小不可数集满足一一映射。这是等势定义的例外。

为什么?一方面, 按照等势定义, 元素个数即元数 (元素位置个数) ;可数集的调整的所有元素位置不妨组成自然数集, 最小不可数集的调整的所有元素位置不能组成自然数集;于是, 可数集与最小不可数集的元数不等。另一方面, 可数集与最小不可数集满足一一映射, 按照等势定义, 可数集与最小不可数集的元数相等。产生矛盾。

那么, 等势定义出了什么问题?忽视了元数, 遗漏了一条性质:同一个无穷集合的元数往往有多种, 即一个无穷集合同时拥有多种元数。按照等势定义, 元素个数即元数;设集合A有多个元数, 则A的元素多少用A的哪个元数来衡量;哪个元数不是常量而是变量, 不具唯一性、确定性, 具有多样性、模糊性。

四、结束语

第四次数学危机像一棵小草, 悄悄地来。然而, 塞翁失马焉知非福。现在, 连续统问题、选择公理等将获得解释。预知详情, 自己分解。

摘要：首先, 介绍了序数构造方法等。然后, 论述了退火法。接着, 阐述了集合论的一个关键矛盾。最后, 第四次数学危机带来希望。

关键词：集合,矛盾,外构造,内构造,退火法,数学危机

参考文献

[1]华莱士.跳跃的无穷[M].长沙:湖南科学技术出版社, 2009.