例题的教学反思（共12篇）
例题的教学反思 篇1
例题教学是数学教学的重要组成部分和环节。通过例题教学, 让学生学会运用所学数学知识去解答数学问题, 从而达到巩固所学知识之目的。同时, 例题教学也是学生学习数学的一个重要途径, 它直接影响到学生数学解题能力和数学思维能力的培养。因此, 探讨数学例题教学很有意义。本文分析目前义务教育阶段数学例题教学中存在的一些问题及原因, 并提出相关的教学建议。
一、例题教学中存在的问题及原因
尽管素质教育的口号喊了20多年, 义务教育阶段的课程改革也有了7个年头, 但由于各种原因, 目前义务教育阶段的数学例题教学中仍存在一些与素质教育和课程改革不协调之处, 主要表现在以下方面。
1、不切实际, 拔高要求。
在数学教学中, 往往有这样的情况, 教师认识为课本上的例题太简单了、没什么可讲的, 或者说讲起来不够过隐儿, 于是不切合实际地另找综合性强的题或竞赛题作为例题。这样, 教师拔高了教学的要求, 让学生过早地陷入综合训练之中, 教师津津乐道所谓的解题技巧, 忽视解题的通法, 其结果是大多数学生听不懂, 收效甚微, 还很容易导致学生恐惧数学或讨厌数学。
主要原因:教师对新课标理解不够, 教学的随意性大, 对学生估计过高。
2、教法单一, 学生沉闷。
不践行新课程理念, 教法陈旧单一, 以讲授为主, 学生课堂上缺乏激情、思维未跟上, 从而导致课堂气氛差、学生沉闷。人们常说, 教学有法而无定法, 贵在得法。教师应因例题而异, 合理选择教法, 综合运用多种教学模式。
主要原因:新课程观念淡漠, 课改意识不强, 备课不充分或教材挖掘不够。
3、停留预设, 思维不活。
教师在备课时对例题解法有了预设, 从而形成思维定势。在课堂上表现出解题的思维缺乏灵活性, 分析例题只是把学生往自己准备好的解法上引, 思维展不开, 有的甚至三言两语就分析完了, 学生还没弄清为什么。显然, 这忽视了学生的声音和想法, 也限制了学生的数学思维, 这对学生的数学解题和数学思维的训练极为不利。
主要原因:教师受例题解法约束, 思维打不开, 不能很好地运用发散思维和归纳思维去分析问题。
4、草率应付, 照本宣科。
不备课或者备课不够充分, 例题教学只好照本宣科, 书上怎样解就怎样讲, 学生不明白为什么。这样, 学生就得不到数学思维训练, 遇到类似题还能勉强应付, 但题目稍有变化学生便无可奈何了。
主要原因:教材不熟悉, 钻研教材的力度不够。
5、就题论题, 缺乏反思。
在数学例题教学中, 往往存在这种情况, 教师把例题解答完就了事, 而不去对例题进行总结 (如题型、思想方法、表述等) , 也不对例题进行挖掘 (如一题多变、一题多解、一题多用等) 。教师解题如此, 学生就得不到解题反思的熏陶, 当然学生解完题也就没有了反思的意识。
主要原因:教师没有解题反思的习惯, 或者说缺乏反思意识, 盲目追求解题数量而忽视解题质量。
二、例题教学的思考与建议
1、注重质量, 讲好例题。
所谓讲好例题, 就是教学上通过师生、生生积极的互动和一些数学活动, 把例题分析清楚、透彻, 让学生明白为何这样解, 解答该如何表述, 等等。《全日制义务教育数学课程标准》 (实验稿) (以下简称《标准》) 强调:“数学教学是数学活动的教学, 是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。”“有效的数学学习过程不能单纯地依赖模仿与记忆, 教师应引导学生主动地从事观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动, 从而使学生形成自己对数学知识的理解和有效的学习策略。”
在例题教学中, 教师重点要教给学生分析问题的思想和方法, 让学生学会用演绎和归纳去探讨问题。东北师大校长史宁中教授在《数学与数学教育》一书中指出:“现在我们来思考数学基础教育, 思考除了知识之外还能给学生些什么。我想这就是演绎和归纳。中国50年来的数学基础教育, 一直是重演绎、轻归纳, 即给出已知条件, 求证一个结论, 这是演绎的方法。但没有让学生试着去推导出什么结论, 也就是没有教归纳的方法。这不利于培养创新型的人才, 如果在数学学科教学中教会了学生这两种方法, 那就体现了数学教学中的素质教育。”
2、钻研教材, 用好例题。
所谓用好例题, 就是挖掘例题潜在的教育价值, 在例题教学中渗透德育教育, 在例题教学中培养学生的数学情感。这也是新课程的主要教学目标之一。我国教育家叶圣陶先生早就告诫我们:“教材只能作为教课的依据, 要教得好, 使学生受到实益, 还要靠教师的善于运用。”
3、因材施教, 选好例题。
所谓选好例题, 就是必要时切合学生实际地更换课本例题或者补充例题, 但所选的例题要能体现现阶段的数学教学目标, 要蕴含数学的基本思想和方法, 而不是一味追求例题的难度和所谓的解答技巧。譬如, 几何证明题教学, 像《标准》所说的那样:“‘证明’的教学所关注的是, 对证明必要性的理解, 对证明基本方法和证明过程的体验, 而不是追求所证命题的数量、证明的技巧。”
4、教法灵活, 解好例题。
所谓解好例题, 就是多角度思维去挖掘例题的解法或者拓展例题, 把例题讲活讲透。这就要求我们教学中合理运用讲授、讨论、探究等方式, 引导学生不断地去发现新思路、寻找新解法, 从而培养学生的创新思维能力。数学家费赖登塔尔说得好:“学习数学唯一正确的方法就是‘再创造’, 也就是由学生本人把要学的东西去发现和创造出来, 教师的主要任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作, 而不是把现存的知识灌输给学生。”
5、养成习惯, 反思例题。
所谓反思例题, 就是要对例题的解答进行反思, 去反思解法是否严密、是否有新的解法, 去反思解答的表述是否清楚、简洁, 去反思此类问题的解答是否有规律, 等等。养成反思的习惯对我们学习来说十分重要。我国教育家叶圣陶先生说过:“什么是教育?简单的说教育就是培养习惯。”只有我们教师养成了解题后反思的习惯, 学生才可能有做题反思的习惯。数学教育家波利亚在其著作《怎样解题》中指出:“即便是相当优秀的学生, 在得到题目的解答, 并将整个论证简洁地写下来以后, 也会合上书本, 去找别的事做。”
事实上, 反思是开启数学智慧的钥匙, 是数学思维严密性的表现, 经常反思能够培养我们办事严谨、考虑问题周全的好习惯。因此, 教师在例题教学中要做好学生反思的表率。
例题的教学反思 篇2
本人通过对人教版义务教育教科书三年级数学上册，第三单元《吨的认识解决问题》例题9的教学，认为原编排设计中的“分析与解答”脱离了现实生活实际的特点，现将原编排设计分析如下;
原实际问题的编排设计为:用下面两辆车运煤，如果每次每辆车都装满，怎样安排能恰好运完8吨煤?小货车的载质量为2吨，大货车的载质量为3吨。
阅读与理解：“怎样派车能恰好把8吨煤运完?”
分析与解答：就是求载质量2吨的车、载质量3吨的车各安排运几次，使得这两辆车运载煤的总质量等于8吨。“可以用列表的方法，把不同的方案都列出来。”“如果只用2吨的车，正好运4次”
派车方案 载质量2吨 载质量3吨 运煤吨数
1 4次 0次 8吨
2 3次 1次 9吨
3 2次 2次 10吨
4 1次 2次 8吨
5 0次 3次 9吨
回顾与反思：“检验一下，看方案1和方案4是不是恰好可以运完8吨煤。”
答：派车方案1和4都可以恰好把煤运完。
《教师教学用书》在第74页对本实际问题进行了说明：编写意图(3)呈现完整的运用列表法解决问题的过程，突出用列表法一一列举时，需要不重复，不遗漏地进行思考，使学生感受到列表法的有序性和解决问题过程的完整性。
商榷一：数学源于生活，用于生活，《数学课程标准》中也非常强调数学与现实生活的联系。因此本题在“分析与解答”这一环节的设计中，应充分考虑现实生活实际，从学生常见的、能感受到的事物中选取事例，帮助学生分析并理解题意。如：现实生活中大载质量的车，大面额的钞票，多座位的轮船(车)给人们的生活带来的便利(特殊情况除外)。所以不应单单考虑“如果只用2吨的车，正好4次”，作为此题解决实际问题的开始，这样设计有点“顾此失彼”，脱离现实生活中的实际问题。我认为首先应考虑用3吨的大货车来运煤，才符合现实生活实际。就像在生活中，需要付比较大的一笔钱，应先想到要用大面额钞票;有多个人坐船(车)，首先选用多座位的轮船(车)一样，等等。
商榷二;反观方案3与方案4，大货车载质量为3吨的车都是运2次，小货车载质量为2吨的车;在方案3中运2次，在方案4中运1次。既然小货车在方案4中运1次可行，何必还要在方案3中运2次呢?其实方案3为多余方案。分析其原因为;原题中的方案解析只注重8除以2能够完全整除以及列表的有序性，而没有考虑到“现实生活中大载质量的车，大面额的钞票，多座位的轮船(车)给人们的生活带来的便利”。
建议一，根据原实际问题解答如下;“如果全部用3吨的大货车，最多需要运3次。”
派车方案 载质量3吨 载质量2吨 运煤吨数
1 3次 0次 9吨
2 2次 1次 8吨
3 1次 3次 9吨
4 0次 4次 8吨
回顾与反思：“检验一下，看方案2和方案4是不是恰好可以运完8吨煤。”
答：派车方案2和4都可以恰好把煤运完。
建议二，将原实际问题的运煤总量8吨改为9吨。实际问题设计为：
用下面两辆车运煤，如果每次每辆车都装满，怎样安排能恰好运完9吨煤?大货车的载质量为3吨，小货车的载质量为2吨。
阅读与理解：“怎样派车能恰好把9吨煤运完?”
分析与解答：就是求载质量3吨的车、载质量2吨的车各安排运几次，使得这两辆车运载煤的总质量等于9吨。“可以用列表的方法，把不同的方案都列出来。”“如果只用3吨的车，正好运3次”
派车方案 载质量3吨 载质量2吨 运煤吨数
1 3次 0次 9吨
2 2次 2次 10吨
3 1次 3次 9吨
4 0次 5次 10吨
回顾与反思：“检验一下，看方案1和方案3两种方案是不是恰好可以运完9吨煤。”
答：派车方案1和3都可以恰好把煤运完。
荷兰数学教育家费赖登塔尔提出了“数学现实”的教学原则，即数学教学应源于现实，扎根于现实。《数学课程标准》指出：要重视从学生的生活经验和已有知识中学习数学和理解数学。所以，在方案的选择具体内容的编排上，不仅要考虑和具体知识的结合，还要考虑现实生活实际的特点，通过合理，恰当的内容设置与编排，更好地实现培养学生分析解决问题的能力，经历和体验用列表法一一列举解决问题的全过程，达到“不重复，不遗漏，不多余”地列举各种方案的目的，感受这一策略的特点和价值。
联系地址：襄阳市南漳县巡检镇完全小学
例题的教学反思 篇3
效率。
关键词：反思性教学；初中数学；例题讲解
例题作为组成初中数学课堂教学的重要内容，将反思性教学方法合理应用到初中数学例题讲解中，能够让老师所讲的教学内容更具针对性，从根本上提升初中数学课堂的教学水平。因此，初中数学教师应重视例题教学的作用，积极进行例题教学反思，提高自身的教学水平，从而保证初中数学例题讲解的效果。
一、在思维模式的遗漏与局限处反思
学生由于思维方式、知识背景以及情感体验等各方面较之成人有着较大的差异，想表达可能又不太准确。对此，引导学生对容易出错的地方进行反思，帮助学生寻找“病根”。其中，学生在解题过程中，之所以会觉得困难，其根本原因是未能形成正确的解题思路。影响学生正确解题思路形成的原因主要有以下两点：一是学生的思维有着一定的局限性或思考方式存在漏洞；二是未能找准问题的关键。对此，教师应积极引导学生反思思维模式遗漏与局限处，帮助学生找到正确的解题思路，以保证习题教学的效果。
例如，mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-5=0均为与x相关的一元二次方程，请问，当m满足怎样的条件时，该方程的根为整数。
解：基于一元二次方程的相关原则，得出二次项系数必定不为0，即m2≠0，m≠0，同理可得Δ2≥0，因此得出m≥-，所以-≤m≤1且mm≠0，加之m为整数。因此，m的值为-1或1。
（1）当m=-1时，mx2-4x+4=0的根为x=-2±2，该数为非整数，因此舍去。（2）当m=1时，mx2-4x+4=0和x2-4mx+4m2-5=0的根均为整数。因此，m的取值范围应该是：m-1≠0Δ≥0，即m≤且m≠1。
要想顺利解答这样的问题，要求学生具备分类讨论的思想。若只是笼统的讨论问题，不仅会让原本的问题变得更加复杂化，且对问题的解决也不够透彻。由此可见，要提高学生的解题能力，首要任务便是培养学生形成良好的数学思维。
二、在解题方法与解题规律上的反思
初中数学教师在开展例题教学时，应着重向学生讲授思考问题的方法。让学生学会思考问题远比解决问题本身来得更有实际意义。在实际的例题教学时，教师可让学生按照如下步骤思考问题：（1）首先思考问题的本质；（2）思考解决该问题应从何处入手；（3）哪些方法能解决这种类型的问题；（4）该方法能解决该问题，其理论根据为何？（5）在众多解题方法中，哪种方法最为便捷；（6）该方法还适用于哪些问题类型？（7）该问题主要运用哪一知识点？（8）你在解决问题过程中获得了怎样的启发？若学生能养成这样的思维习惯，则会对数学问题产生浓厚的兴趣，有效提升学生的解题能力。正所谓“例题千百道，解后抛九霄”，若尚未养成良好的思维习惯，其解题能力与思维也难以得到有效提高。最后，教师还可在此基础上，针对同一例题进行一题多变、一题多解等形式的训练，以拓宽例题的深度与广度，进一步提升学生的思维能力。例如，在如下一题中：同样的任务，若甲工人单独进行，其完成需20小时，而乙工人单独进行则需12小时。若甲先工作4小时后乙加入，那么还需多少小时才能完成任务？教师可基于此题进行拓展。如变式1：同样的任务，若甲工人单独进行，其完成需20小时，而乙工人单独进行则需12小时。若甲先工作4小时后乙加入，那么还需多少小时才能完成任务的。变式2：同样的任务，若甲工人单独进行，其完成需20小时，而乙工人单独进行则需12小时。若甲先工作4小时后由乙接替，还需多少小时才能完成任务的；变式3：同样的任务，甲单独进行需20小时，甲乙合作需7.5小时，问乙单独做需多少小时；变式4：同样的任务，甲单独进行需20小时，甲乙合作需7.5小时，甲单独进行5小时后乙加入，还需多少小时？通过调整已知条件，以训练学生的变式思维。
三、反思题目的一题多解
在完成一道例题的讲解后，教师要有意识地引导学生反思题目的一题多解，让学生思考一个题目的多种解答方法。如，在此例题中运用了哪些数学知识？该题是否有其他更简便的解答方法等。
总之，在初中数学例题教学过程中，积极运用反思性的教学思想，不仅能让学生在学习中收获快乐，还能培养学生养成良好的独立思考学习习惯。因此，初中数学教师在进行例题讲解过程中，应积极采取反思性教学方法，促使学生形成良好的学习习惯，有效增强学生的数学能力，从而为学生今后的学习打下坚实的
基础。
参考文献：
[1]周宁.对反思性数学学习的教学探索[J].中学生数理化（教与学），2009（4）.
一道例题的教学实录与反思 篇4
2014年12月12日，我校成功举行苏州市对外公开课交流活动，笔者所在教研组的一位青年教师参加了此次活动．为此，展示前一个星期，笔者作为教研组核心成员参与了课堂的打磨，课堂中学生和教师的表现无不体现了新课改理念，但也有一些环节设置值得商榷，其中一道例题的处理过程让笔者感触颇深．现将教学实录与课后反思写出来，供同仁们参考．
2 课堂实录
这是一节高一“三角函数应用”的新授课，在讲解完例1简谐振动的问题后，教师出示例2:
一半径为3m的水轮如图1所示，水轮圆心O距离水面1.5 m，已知水轮每分钟逆时针转动4圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P0）开始计算时间．
(1）将点P距离水面的高度z(m）表示为时间t(s）的函数；
(2）点P第1次到达最高点大约要多长时间？
(3）在水轮转动的1周内，有多长时间点P距离水面超过3m.
（几分钟后，教师开始提问）
师：同学们，接下来我们重点研究水轮问题，先请生1说说，水轮每分钟逆时针转动4圈是什么意思．
生1：我觉得转1圈需要秒，旋转的速度是.
师：很好，水轮旋转1圈的时间就是周期T=15s，这里的旋转速度，也就是物理中的角速度，所以t秒后点P旋转.
师：本题所要求的是什么？你能在图中画出来吗？
生2：过点P作水面的垂线PH，则高度z=PH即为所求．
师：如何求PH呢？请大家相互交流一下．（给学生几分钟的讨论时间）
生3：以O为原点，平行于水面的直线为x轴建立如图所示的直角坐标系，我认为这儿的PH应看作一个有向线段，它可取正也可取负，这样当点P转到水面以下时距离水面的高度就是一个负值了，接下来我就不会了．
（还未等生3坐下，生4就迫不及待的举起了手，教师面带微笑的示意她发表看法）
生4：我觉得可以先取一些特殊点（t,z）如表1所示，然后在同一直角坐标系中画出它的大致图像，如图2所示，根据图像确定解析式的形式，再用待定系数法来求出解析式中的参数．
师：好！生4为我们提供了一个思路，接下来请大家动手做做看．
在生生、师生互动的基础上，10分钟后展示了大家的劳动成果：
师：生4你来说说，根据图像能得出高度z和时间t应满足怎样的函数关系式．
生4：因为这是一个类似正弦函数的图像，所以我认为
师：生4的回答有道理吗？是否有错，错在那里？
生5：没有道理，连接这些特殊点的不一定是曲线，也有可能是直线，或者既有曲线也有直线，所以画不出高度z和时间t之间的函数图像．
师：生5的说法对吗？（教师略显紧张）
学生（齐，包括生4）：对！
师：看来我们还得寻找其它解题途径了．
………（此时离下课仅剩几分钟了）
课后，与上课教师的交流让笔者感到很惊讶．他说：例2的整个分析过程完全是由学生自主进行的，原本以为生4的思路可以快速解决本题，没想到半路杀出个“程咬金”，这些学生欠灵活，本节课是三角函数的应用，因此，本题肯定也是三角函数模型了，应用待定系数法求出参数就行了，看来只能等下节课“炒冷饭”了．
教师的课堂表现及内心的真情流露，让笔者陷入了深思．
3 课后反思
3.1 课堂中教师要准确定位自身角色
新课程强调课堂上学生的主体性和教师的主导性，然而真实的课堂中学生的主体性会常常过界，教师会将整个课堂完全教给学生，任由其天马行空，自由发挥，自己却作为旁观者站在一边，严重影响课堂效率和教学效果．如上所述，例题出示后整个课堂是在师生的共同配合下稳步向前推进的，当生4说出自己的思路后，其实教师只要将展示图表后的问题前置于此，引导学生判断思路的可行性，生4的思路自然被否定，于是师生便可节约这宝贵的10分钟去另寻解题的其它途径．然而教师却顺着生4的思路，不加干预地将整个课堂交给学生任其发展，这种看上去是尊重了学生的主体地位，其实是教师的不作为，没有准确定位自己在课堂中的角色：教师不仅是课堂的组织者，也是参与者、引导者和调控者．我们知道，学生由于数学知识、数学经验和生活阅历都比较缺乏，课堂上难免出现思路和运算上的错误，在这种情况下，教师如不及时调控，我们的课堂将会走入歧途、后患无穷．正如文[1]所说，教师要全程参与其中，时刻关注事态的发展，不断启发引导学生，完成一系列的探究过程．去帮助学生顺利的完成分析问题和解决问题的过程，促成他们对知识的理解，让他们品尝到成功解题后的喜悦．
3.2 课堂中教师要主动践行三个“理解”
“理解数学、理解学生、理解教学”是课改的三大基石，是文[2]中提出的重要理念．它给我们一线教师的教学指明了方向，只有真正落实好这三点，才能谈得上课堂的“三效”．因此教师首先要理解数学，才能准确地制定教学目标，根据学生的实际进行合理预设和精心设计，从而实现双方的发展．本节课由于教师对数学理解的缺失（本节课的教学目标是：会用三角函数解决一些简单的实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要数学模型），导致例2在建模过程中出现了教学事故．教师受例1已知数学模型逆求参数问题的影响，认为例2亦如此（殊不知物理中简谐振动的数学模型就是形如y=Asin（ωt+φ）的函数），从而造成了问题处理的简单化．理解学生的缺失是本题处理的另一大败笔，一线教师都知道，例2从实际问题中建立三角函数模型是学生的难点，高度z=PH与时间t的关系更是学生难以突破的“瓶颈”，因此，课堂上教师不能将这个探索过程完全交给学生来处理，而应设计出有针对性的问题串来展示解决问题的思考与探索过程去突破难点．为此在例题出示之前，有经验的教师会帮助学生先回忆一下任意角三角函数的定义，为学生建系和找到P点纵坐标与时间t的关系提供先行组织者，然后再通过小组讨论，教师点拨等活动让学生参与整个解题过程得出z与t的函数关系，从而真正体会到数学学习的过程是探究数学本真的过程．因此，教师只有真正的践行了三个“理解”，才能对如何将课堂教给学生，课堂交给学生后如何进行调控等一系列问题的处理做到心中有数．
3.3 课堂中教师要提高课堂驾驭能力
新课程数学课堂内容的组织形式为：问题情境→学生活动→意义建构→数学理论→数学运用→回顾反思，学生活动是学生自我建构知识的重要环节，也是教师课堂驾驭能力的重要体现，本案例中学生活动是在师生的一问一答中有序展开的，对于如何求PH，考虑到这个问题的难度，教师给足了学生思考的时间这是值得肯定的，但教师在生4发言后的表现和当其意识到生4方法是错误后的表情，可见其课堂驾驭能力还有待提高．因此在数学题目出示后，教师不必急着让学生去做，而是要引导学生去分析用什么方法来解决，帮助学生养成做题的前瞻性，克服其做题的盲目性，当学生给出解决方案后首先自己要迅速判断其可行性，然后组织学生讨论，以师生、生生互动的形式让学生自我决定其可行性，随即展开解题活动；若学生同时呈现多种解法，则需要教师引导学生通过对多种方法的比对，确定最优解法以此来优化学生的思维．这就要求我们的教师要不断充实自己的专业底气，使自己的教学更娴熟、更自然、更给力．在信息化高速发达的今天，我们可以通过订阅数学杂志、观看名师授课视频和参加名师讲座等途径来学习和品味名师、专家们的优秀教学案例，零距离走进他们的课堂去感受他们驾驭课堂的大师风范，为提高自己的课堂驾驭能力打下坚实的基础．
参考文献
[1]渠东剑.启发思维重于诱导结果[J].中学数学教学参考(上旬),2013,(10):5-8.
例题的教学反思 篇5
例题教学不仅是初中数学教学中的重要组成，例题教学中存在的各类问题也能够反应出学生们非常实际的知识掌握情况。本文将借助实例分析当下例题教学中存在的一些问题，并且提出有针对性的改善策略。
一、基础知识不扎实
从过往例题教学的经验来看，不少学生们在解题过程中仍然存在一些问题，这些普遍存在的问题中最根本的一点便是学生的基础知识掌握的不够扎实。初中阶段的数学课程中学生们开始慢慢接触到几何，数学学习也在逐渐变得更为复杂，代数与几何的交汇也让课程变得综合性更强。然而，真正在面对具体的题目时并不是每一道题都是综合性的大题，仍然有许多题目是考察学生的基础知识的小题，也有一些考察学生们对于一些最为基本也非常重要的数学规律的掌握情况的习题。从学生们实际的解题效果来看，并不是每一个学生基础都足够牢固，仍然有许多学生会在最基本的题目上犯错。这也直观地反应出当下例题教学中存在的一类问题。因此，例题教学中夯实学生的基础显得尤为重要。
在二次函数中有这样一类题目，给出某抛物线（a≠0）中a、b、c的符号，要求判断抛物线的开口方向、抛物线与轴交点的位置、对称轴在轴的左侧还是右侧、抛物线与x轴有无交点等这些基本信息。这类题目非常常见，正确确立这些要素也是在解答抛物线问题时首先需要做的。然而，不少学生对于这些问题的把握并不好，很多学生会将相关规律相互混淆，对于抛物线开口、对称轴方位的判断等也会出错。这充分显示出学生的基础知识掌握的不够牢固，也是例题教学中教师们应当有意识改善的一点。对于这类问题在解题过程中首先应当画出草图，再归纳综合它的基本规律性，规律型例题是培养学生能力的一座桥梁。同时，在解答规律型例题教学中，必须培养学生们善于采用比较、分析、归纳、综合的方法来揭示相关的解题规律。这些都应当是这类习题教学中要凸显的要点，只有这样才能够让学生们对于基础知识的掌握更牢固。
二、解题技巧不娴熟
对于那些难度有所提升，在一定程度上考察学生的思维能力与解题技巧的题目，从这类题目的教学中可以看到，学生们对于一些经典的解题技巧的掌握并不是太娴熟，许多学生在碰到稍微复杂的题目后思维都会十分混乱，很难在短时间内准确地找到问题的突破口。这一方面显示出学生的综合解题技能较为欠缺，这也体现了在习题教学中教师没有很好地做到让学生们灵活掌握各类好的解题技能与解题方式。因此，在后续的教学中教师要在这一点上不断加强，要让学生们对于好的解题技巧与解题思想有更好地掌握，并且能够在实际问题中更为娴熟地运用。
例题1：如图，已知△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点。如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动。若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由。
分析：这是典型的动点问题，这类题目的灵活度也非常高。在处理这类问题时学生要首先能够敏锐的找到问题的突破口。此外，这个题目中涉及到两个动点，且两个动点同时运动，所以学生的思路必须非常清晰，不能将这些条件弄混淆。只有这样才能够很清晰地将问题得以证明。
三、开放性问题难度大
随着学生们接触的知识越来越多，掌握的相关解题规律与解题技能越来越全面，学生们会慢慢开始接触到一些开放性问题。这类问题通常会和实际生活有较为紧密的联系，且非常灵活。从实际教学情况来看，在处理这类问题时学生们面临的难度较大，不仅在于这类题目综合性较高，且对于学生的思维能力也提出了更高的要求。想要提升学生们处理这类问题的能力，在平时的教学中教师应当引导学生们对于这些问题有更深入的剖析，让大家能够透过问题看到实质。经过这样的训练后学生们在今后再次遇到这类问题时也会更有信心。
例题2：某单位计划十月份组织员工到H地旅游，人数估计在10～25人之间，甲、乙两旅行社的服务质量相同，且组织到H地旅游的价格都是每人200元。该单位联系时，甲旅行社表示可给予每位游客七五折优惠；乙旅行社表示可免去一位游客的旅游费用，其余旅客八折优惠，问该单位应怎样选择，使其支付的旅游总费用较少？
课本例题教学的发挥 篇6
一、善于把课本例题多方位拓开
在数学教学中，知识点多，表现形式也不同，但它们之间却存在着内在的联系。教学中要善于把课本例题从基本问题多方位进行横向、纵向拓展，使学生由点到面，由整体的认识，从中获得更多的知识。
例1 （高中数学选修4-1P35例1）：如图1，AB是⊙O的直径，AC是弦，直线CE和⊙O切于点C，AD CE，垂足为D。求证：AC平分∠BAD。
评注：这是一道较简单的题目，有好几种方法：可以连结BC利用直径所对圆周角是直角，再利用互余算式、弦切角定理等从而得证；也可以连结OC 利用切线的性质得证。
1.把原题横向拓展
（1）把原题中的切线向上平移改为⊙O的割线，其它条件不变（如图2），求证：∠FAB=∠GAD。评注：此题仍可利用原题的证明，
连结BG，则∠AGB=90°，又∠AFD=∠B，可得证。
（2）把原题中的切线继续向下平移，变为与圆相离，在直线ED上找一点C使∠BAC=∠CAD。评注：此题的解法由前2小题的解法得到启发：（如图3）作OH⊥ED交⊙O于F，连结AF并延长交ED于C，则点C即为所要找的点C（证明略）。
2.把原题纵向拓展
（1）若原题条件不变，可以增加结论，求证：AC2=AB·AD
评注：只要证△ABC∽△ACD即可。
（2）若将原题中条件稍加变化，可改为AB为⊙O直径，ED为⊙O切线，C为切点，AD⊥ED，BE⊥ED
求证：AD+BE=AB，OE=OD （如图4）
评注：连结OC，证AD+BE=2OC=AB。
（3）若将CD向上移动与⊙O相交于E、F，则可得到AB为⊙O直径，直线CD交⊙O于E、F，AD⊥CD于D，BC⊥CD于C。求证：CE=DF。（如图5）
评注：作OH⊥CD于H，由CH=DH，EH=FH，可得证。
二、善于把课本例题多层深入
在学生对章节知识已有一定认识的基础上，应有意识地把课本例题的基本问题多层次地纵向深入，把问题讲深讲透，使学生对数学知识有深刻的认识，培养学生灵活运用数学知识的能力。
例2 （高中数学选修2-1P74例4）：
如图6，斜率为1的直线L经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点，求线段AB的长。
评注：利用数形结合的方法，结合抛物线的定义求解。
【深入1】 把原题改为一般性题目：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点的直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2），则AB的长为|AB| =x1+x2+p。
评注：（如图6）点A到准线的距离为 ，
即 。同理可得 所以 =x1+x2+p。
【深入2】 过抛物线y2=2px的焦点F任意作一条直线交抛物线于A、B两点，求证：以AB为直经的圆和这个抛物线的准线相切。
评注：运用抛物线的定义和平面几何知识来证比较简捷．（如图7）
设AB的中点为E，过A、E、B分别向准线L引垂线AD，EH，BC，垂足为D、H、C，则|AF|=|AD|，|BF|=|BC|
∴|AB|=|AF|+|BF|=|AD|+|BC|=2|EH|
所以EH是以AB为直径的圆E的半径，且EH⊥L，因而圆E和准线L相切．
【深入3】 联想到椭圆与双曲线的定义和性质，变换（2）中条件则有：①将【深入2】中的抛物线改为椭圆，则以AB为直径的圆与准线相离；②将【深入2】中的抛物线改为双曲线，则以AB为直径的圆与准线相交。
三、善于把课本例题多角度探索
虽然课本例题只反映了一个基本问题，但如果我们能从不同角度广泛探索，重一题多解、一题多变，加强知识联系、训练，拓广学生思维，对培养学生的创造性思维能力极为有益。
例3 （北师大版数学必修5 P118例8）求z=4a-2b在约束条件 下的最大值和最小值。
【解法一】 按课本利用线性规划问题求解。
【解法二】 设 。则
∵ ∴
∵
∴ 即 。
∴ 。
【解法三】 设 。由已知得
又 。
设存在实数x，y，使得 ，
即 ，
∴ 即 ，
∵
∴ 。
∴ 。
即 。
通过一题多解，联系到较多的知识点，使学生加强了对各知识点的理解，认识了各知识点间的区别与联系；开阔了思路，激发了思维，能收到事半功倍的教学效果。
例题的教学反思 篇7
一、问题启发,难题化解
古人云:“智者千虑,必有一失。”尽管课前对教案做了精心的设计,但是仍会存在一些课前没有考虑到的因素,课堂教学中仍会有突发事件产生。这时如果我们觉得学生未按自己设计的思路走,强行打断,处理不当,急于推出自己的思路,就会造成学生思维能力得不到发展,又因心中的疑问没有解决,影响下面的学习,使学生的学习热情降低,学生没有主见,更谈不上创新,失去个性,只会被动接受。如:我曾经上过一节与三角形中位线的应用有关的课,这是一堂练习课,本堂课以下面一道证明题(课本中的一道习题)为例。证明:顺次连接四边形各边中点所得的四边形是平行四边形。一上课,我既不对三角形中位线的性质进行复习, 又不回顾特殊四边形的有关判断,而是单刀直入地写出上面的命题,我想学生该不会觉得太难吧。谁知这只是我的一厢情愿,几分钟后,我发现情况不妙,学生愁眉未展,这时我才意识到这道题对学生来说不简单。该怎么办呢? 教案上可没有备这种情况啊,怎么办呢? 为了解决学生无从下手的情况,当时我试图提出几个问题:
(1)要证明一个命题应有那些步骤 ?
(2)平行四边形有哪些判定方法 ?
(3) 题目中已知线段中点 , 会让你想到哪些方面的知识吗?
(4)从这道题的条件看 ,你觉得判定平行四边形从边、角还是对角线考虑更合适?
经过一番引导,分解了问题的难度,很快就有学生解答出来,我想大家要完成这道题只是举手之劳。
二、例题变式,活用教材
接着我按照教案的设计进行变式训练,学生动手实践、自主学习和合作探究的学习方式落实到位。在探索特殊四边形的中点四边形特征时,我对特殊四边形进行分类变式。
变式一:四边形分成了平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形六种情况,进行变式;
变式二: 顺次连接怎样的四边形各边中点所得的四边形是菱形、矩形、正方形?
采取小组合作探究的形式进行, 要求画出图形、作出判断、给出证明。为了小组的利益,同学们的积极性很高,小组同学一起画图、思考……最后由小组汇报探索的结果,大部分小组都能得出正确的结果,老师只需作适当的补充和完善。
两组变式训练都是由学生互相讨论、共同探究结论的。变式一的设计目的在于以习题为前提进行变式, 借一题变多题熟练对三角形中位线的应用;变式二是通过变式一进行探索、总结规律。我设计这堂再平常不过的练习课的初衷是尝试活用教材、把常规题改为开放题, 为学生创造更广阔的探索空间,由于当时感觉课堂气氛还不错,我也就不太在意。过了一段时间,终于有机会检查这节课的效果时,我才愰然大悟:原来,当时的气氛是在个别尖子生的带动下而随声附和的结果。真正能从这节课中受益的只是极少数学生,真是太失败了。我很想知道这节课存在的问题在哪里。
三、电脑辅助,形象直观
带着问题,我的脑中反复重现这节课当时的情景,经过细心分析,我终于找到这堂课的不足之处:首先开头太难,有想置学生于死地之势。虽说发现学生不能顺利完成时,我以步步设问来做补救,但这时候学生参与的积极性已受打击,他们只是被老师牵着鼻子走,非常被动。我想如果当时先设计一些不同层次的问题,为这道题做好铺垫,由浅入深,让更多的同学有能力参与到课堂活动中,效果应该会更好。其次在变式训练时,未能真正给学生留下深刻的印象,没有机会让学生更仔细地观察图形的变化而产生的结果。我想如果当时利用电脑演示,顺次连接形状、大小不断变化的四边形各边中点,提出两个问题:
(1)所得的四边形是怎样的特殊四边形 ?
(2)这些四边形随着什么变化而变化 ?
这动起来的图形更能刺激学生通过观察寻找到答案,不但节约了时间,还为学生创造了发挥观察力、想象力的机会,我想这样效果会更好。
在这段课后反思,让我感到只把教案写得详细,然后拿着教案去上课,布置作业,改完作业就是完成教学任务的想法实在是太幼稚了。课后对所得、所失、不足,只有常思才能不断更新自我,才能使新课标的要求不只是一句空话。我相信教学反思应该让每个人都能从中学到一些有益的东西。
例题的教学反思 篇8
关键词：例题教学,反思习惯,解题能力
一、引导学生反思“解题为何失败”
解题为何失败?学生在学习基础知识时往往不求甚解, 满足于一知半解; 在解题时又审题不清、粗心大意、眼高手低, 分析问题不严密、不全面等等, 这些都是造成解题失败的原因. 从心理学、教育学的角度分析:由于学生受生理、心理特征及认知水平的限制, 出错是不可避免的. 俗话说: " 失败乃成功之母" , 因此, 当学生解题失败时, 一方面要引导学生不必过分自责; 另一方面, 更应以此为契机, 让学生反思" 解题为何失败" , 引导学生回顾自己的思路, 推敲每步的逻辑依据, 分析出错的地方和成因, 正确的解法是什么, 以后需要从哪些方面重视等等. 引导学生反思自我思维认知缺陷, 并从中吸取失败的教训, 总结好解题经验, 这不仅有助于其对基础知识和基本概念的重新理解和认识, 同时也有助于其开阔解题思维, 增强思维的批判性, 从而有助于提升解题能力.
例1已知A = {x | k + 1 ≤ x ≤ 2k}, B = {x | 1≤ x ≤ 3}, 且, 求实数k的取值范围?
学生错解:由可知, A中x的取值范围应比B中x的取值范围小或相等, 所以有从而可知0≤k≤3/2.
引导学生反思对“子集”及不等式解集等概念作深刻理解和准确把握. 当学生发现还有这种情况需要分析求解时, 继续引导学生思考在时, 此不等式组有没有列对; 如果列错, 还应增加什么条件?
正解: ( 1) 当时, k < 1; ( 2) 当时, 解得1 ≤ k ≤3/2, 综上可知: k ≤3/2.
通过这样的纠错反思, 不仅使学生深刻理解了基本概念、基础知识, 而且有利于其克服思维定势负迁移对解题的影响, 培养思维的严谨性, 优化思维的品质, 提高元认知能力.
例2已知, 求4x+2y取值范围.
学生错解: 由 ① + ② 得: 0 ≤ 2x ≤ 4, 即0 ≤ 4x ≤8 ③; ② × ( - 1) , 得- 1 ≤ y - x ≤ 1 ④; 由 ① + ④ 得:0 ≤ 2y ≤ 4⑤; ③ + ⑤, 得0 ≤ 4x + 2y ≤ 12. 许多学生认为应用不等式性质来求解此题无懈可击, 怎么会出错呢[1]?
在此情况下, 可引导学生思考: 由该解法得到的范围的两个端点能取到吗?马上有学生发现: 当x取最大值2 时, 代入 ① 式, 得- 1 ≤ y ≤ 1, 与 ⑤ 矛盾, 从而0≤ 4x + 2y ≤ 12 中的12 取不到, 即范围放大了.
接着可继续引导学生反思: 该解法是利用什么知识解决的, 该解法能保证问题的等价性吗?那么, 能否从上面错解中获得启示, 得到正确解法呢?为此, 教师再继续引导学生自主讨论, 想方设法去得出正解.
正解1:设x+y=m, x-y=n, 得1≤m≤3, -1≤n≤1, 则.4x+2y=3m+2n, 从而2≤4x+2y≤10.
正解2: 用线性规划的知识加以处理, 原不等式表示的平面区域如图1 的阴影部分, 作出目标函数直线t= 4x + 2y, 易知过点 ( 0, 1) 时tmin= 2, 过点 ( 2, 1) 时tmax= 10, 从而2 ≤ 4x + 2y ≤ 10. 此时也就进一步明晰了错解中得到的0 ≤ x ≤2, 0 ≤ y ≤2 表示的平面区域是包含阴影的正方形, 故范围扩大了.
教师引导学生及时进行解题反思, 寻找错解根源, 让学生自己去辨别真伪, 质疑思辨, 并顺势借此探索问题的正解, 使学生思维的批判性得到一次有效训练, 有助于提升其解题能力.
二、引导学生反思“解法是否最优”
对于同一问题, 若从不同的角度去分析, 可能会得到不同的启示, 从而引出多种不同的解法, 这个过程便可以很好地培养发散思维能力. 但多数学生往往为完成任务而解题, 解题完成后, 沾沾自喜, 而对自己解题方法的优劣却从未加以评价. 不少学生的解法过程单一、思路狭窄、逻辑不清、运算繁杂, 其实在时间允许的情况下, 不妨想一想, 此题还有否其它解法?哪种解法最优?这个过程其实就是“一题多解”, 在平常例题教学中, 若能适当引导学生从不同的角度去观察、分析、思考, 联想不同知识和方法, 让所学知识融会贯通, 可使学生的解题思维逐渐朝着灵活、精细和新颖的方向发展, 使思维空间更为广阔, 从而有助于其较快形成一个系统性强的数学认知结构.
例3 ( 2013 年高考浙江理7) 设 △ABC, P0是边AB上一定点, 满足, 且对于边AB上任一点P, 恒有, 则 ()
(A) ∠ABC=90° (B) ∠BAC=90°
(C) AB=AC (D) AC=BC
正解1: 根据向量投影概念, 对选项逐一验证排除不符合的选项, 不妨设AB = 4, 则P0B = 1, P0A = 3. 对于选项 (A) , 若∠ABC=90°, , 当点p落在点p0的右侧时, , 不符合;对于选项 (B) , 若∠BAC=90°, 则, 当点P为AB的中点时, , 不符合;对于选项 (C) , 若AB=AC, 假设∠BAC=120°, 则可推出, 当点P落在点A时, , 所以, 也不符合;故选 (D) [2].
上述逐一验证法, 过程显得繁琐, 思路不是很清晰, 为此可引导学生讨论能否优化解法.
正解2:, 当有最小值, 由题意得:, 所以BC2=AC2, 即AC=BC, 故选 (D) .
正解3: 可先建立合适的直角坐标系, 设A ( a, 0) , B ( b, 0) , C ( 0, c) , P ( x, 0) , 所以, 当x =b/2时有最小值, 所以, 所以a + b =0, 所以AC=BC, 故选 (D) .
本题考查平面向量数量积运算, 是一个常规考题, 但由于涉及动点变化的不等式恒成立, 使得难度有所增加. 但万变不离其宗! 正解1 采用逐一验证排除法, 过程繁琐; 正解2 直接利用数量积的定义转化为二次函数进行分析求解; 正解3 建立合适的直角坐标系, 引进坐标, 将向量的数量积运算转化为代数运算, 对比以上三种解法, 正解3 应是最佳解决方案.
证明1: 注意到不等式两边都是绝对值, 于是可通过平方去绝对值, 使问题简化.
上述解法需要分类讨论, 且容易遗漏1 + ab ≤0 的情况, 此时引导学生反思从避免讨论的角度来分析, 是否可以从其它方向加以突破?事实上, 本题突破口较多, 有理化、图象特征等不同角度都是可以突破的方向, 此时就需要及时引导学生进行思考和探究, 来寻求问题的较优解法.
证明3:因为, 则化得y2-x2=1 (y>0) , 图像为双曲线的上一支, 如图2所示.设A (a, f (a) ) , B (b, f (b) ) , 则, 易见AB连线斜率介于两渐近线之间, 从而得|kAB|<1.
教师引导学生尝试从不同的角度, 用不同的策略去分析、探究相关问题, 不但可使相关知识得到梳理巩固, 同时也培养了学生的举一反三, 触类旁通的思维能力, 长此以往, 必将很快提升其解题能力.
三、引导学生反思“改变条件后怎样解”
有很多数学问题都是“型似质异”. 在平常的例题教学中, 可多引导学生考虑: 如果适当地改变原题中的条件 ( 即对条件进行加强或弱化) , 所求问题又将会出现什么新的情况. 这种富有创造性的全方位思考, 常是学生发现新问题、收获新知识的有效途径.
例5已知O是△ABC所在平面内一点, 动点P满足, 则动点P的轨迹一定过△ABC的 ()
( A) 重心 ( B) 垂心 ( C) 内心 ( D) 外心
正解: 设h为边BC上的高, , 所以, 而与边BC的中线共线, 所以动点P的轨迹一定过 △ABC的重心.
变式1:已知O是△ABC所在平面内一点, 动点P满足:, 则动点P的轨迹一定过△ABC的 ()
( A) 重心 ( B) 垂心 ( C) 内心 ( D) 外心
正解:, 故表示垂直于的向量, 即点P在过点A且垂直于BC的直线上, 所以动点P的轨迹一定过△ABC垂心.
变式2: 已知O是 △ABC所在平面内一点, 动点P满足:, 则动点P的轨迹一定过△ABC的 ()
( A) 重心 ( B) 垂心 ( C) 内心 ( D) 外心
正解:过边BC的中点, 又由变式1解答过程可知为垂直于的向量, 所以点P在边BC的中垂线上, 所以动点P的轨迹一定过△ABC的外心.
例6已知函数f ( x) = ( log2x) 2+ 2log2x + 1, g ( x) = x2- ax + 1, 若对任意x1∈[1 /8, 2], 总存在x2∈[- 1, 2], 使得f ( x1) = g ( x2) 成立, 求实数a的取值范围.
正解:先求得f (x) = (log2x) 2+2log2x+1在[1/8, 2]的值域为[0, 4].下求g (x) =x2-ax+1在[-1, 2]上的值域: (1) 当a/2≤-1, 即a≤-2时, gmin (x) =g (-1) =2+a, gmax (x) =5-2a, 所以g (x) 值域为[2+a, 5-2a], 因为, 所以.所以a≤-2. (2) 当-1<a/2≤1/2, 即-2<a≤1时, , 所以.a≤-2舍去. (3) 当1/2<a/2<2, 即1<a<4时, , 所以.a≥2, 所以2≤a<4. (4) 当a/2≥2, 即a≥4时, gmin (x) =g (2) =5-2a, gmax (x) =g (-1) =2+a, 所以所以a≥5/2, 所以a≥4.综上, a≤-2或a≥2.
变式: 已知函数f ( x) = ( log2x) 2+ 2log2x + 1, g ( x) = x2- ax + 1, 若对任意x1∈[1/8, 2], 总存在唯一x2∈[- 1, 2], 使得f ( x1) = g ( x2) 成立, 求实数a的取值范围.
正解:先可解得f (x) = (log2x) 2+2log2x+1在[1/8, 2]值域为[0, 4].若对任意x1∈[1/8, 2], 总存在唯一x2∈[-1, 2], 使得f (x1) =g (x2) 成立, 下分析g (x) =x2-ax+1在[-1, 2]上函数值的取值情况: (1) 当a/2≤-1, 即a≤-2时, gmin (x) =g (-1) =2+a, gmax (x) =g (2) =5-2a, 所以.所以a≤-2. (2) 当-1<a/2≤1/2, 即-2<a≤1时, .a≤-2舍去. (3) 当1/2<a/2<2, 即1<a<4时, , 所以5/2<a<4. (4) 当a/2≥2, 即a≥4时, .所以a≥5/2, 所以a≥4.综上:a≤-2或a>5/2.一般地, 分别定义在区间[a, b]和[c, d]上的函数f (x) 、g (x) , 若x1∈[a, b], , 使f (x1) =g (x2) 成立.
变换题中的有关条件, 不局限于某一方面的思考, 多角度、多方位分析问题、解决问题, 这不仅有利于培养学生的创造性思维, 更有利于培养他们的发散性思维, 从而有助于较快提升其解题能力.
四、引导学生反思“问题能否变换”
如果就题论题, 学生的思维层面终归还是局限于一个题目, 而要让思维完全放开, 一石激起千层浪, 就需要进一步研究问题, 引导学生反思: 如果改变设问问题, 又该怎样求解. 通过变换问题, 由一题发散成多题, 对学生进行一题多变式训练, 不仅能强化其对基础知识的理解和记忆, 而且能够拓宽、深化解题思路, 探索出解题规律, 达到举一反三, 触类旁通的解题境界; 同时也能培养其创新能力, 优化思维品质.
例7 ( 2013 年高考广东理19) 设{an} 的前n项和为求{an} 的通项公式.
正解:由题得, 所以当n≥2时, , 又由①-②得:2Sn-2Sn-1=nan+1- (n-1) an-n (n+1) , 所以2an=nan+1- (n-1) an-n (n+1) , n≥2, 所以, 又当n=1时, .所以是一个以首项为1, 公差为1的等差数列, 所以, 所以{an}的通项公式为an=n2, n∈N*[4].
变题:设{an}的前n项和为, 求Sn.
正解:由题得, 整理得, 所以, 所以数列是一个以首项为S1/2, 公差为1/3的等差数列.所以, 即.
这是一道高考题, 原问题是求通项, 先采用退位相减法, 再构造等差数列求解; 变式中问题改为求Sn, 方法是构造等差数列求解.
例8求函数的最值.
正解:因为, 观察此函数的结构特征, 不难发现, 它与斜率公式相似, 于是想到式子即为圆x2+y2=1上的动点P (x, y) 与定点A (13/4, 0) 连线的斜率, 故可先求kPA的最值.
变题:求函数的最值.
正解1:因为, 接下去可结合“对勾函数”有关知识和此函数的奇偶性求出最值.
正解2:类比例7, 可把和斜率公式联系起来, 即可看成是点M (4sin2x+9, sinx) 与原点O连线的斜率, 则有下面的解法:动点M (4sin2x+9, sinx) 的轨迹是抛物线段, 其对应轨迹方程为, 下面数形结合可求出函数最值如下:.[5]
一题多解, 侧重训练了思维的广阔性; 一题多变, 侧重训练了思维的递进性; 多题一解, 侧重训练了思维的深刻性; 条件和结论的换位, 侧重训练了思维的变通性. 引导学生进行这些合理反思, 例题教学可以达到事半功倍的效果.
参考文献
[1]刘绍学.高中数学教材必修5[M].阅读与思考.北京:人民教育出版社, 2007 (1) :91-92.
[2]薛金星.2013年全国及各省市高考试题全解.数学卷[G].西安:陕西人民教育出版社, 2013 (6) .57, 58.
[3]刘绍学.高中数学教材选修4-5[M].北京:人民教育出版社, 2007 (1) :26.
[4]薛金星.2013年全国及各省市高考试题全解.数学卷[G].西安:陕西人民教育出版社, 2013 (6) :166.
注重例题反思提高课堂效率 篇9
一、反思解题是否正确
例题解完后首先要检查解题过程中有无计算错误, 是否有无忽略的条件、有无漏解等。解数学题目时, 有时由于审题不清楚, 已知条件理解不透彻、考虑问题不周全、计算太粗心等, 常常会产生这样或那样的错误。如讲运动型问题时, 一定要看清点在直线、还是在线段或射线上运动。再如计算时遇到分式或根式时, 要让学生养成检验的好习惯;讲解等腰三角形时, 一定要结合分类讨论的思想等。教学中我们经常会遇到很多学生解题时不能一次解对, 所以有必要让学生在解题结束后进行反思, 解题时把题目看清看完整后再下手, 把平时的作业当做考试来做, 因为只有平时课堂上训练到位, 才能在考场上步步为营。
二、反思有无其他解法
反思例题有无其他解法, 能促使学生从多方面多角度观察事物、理解事物并深究问题, 寻找不同的方法来解决问题, 同时并不满足于常规的解决方法。这样有利于学生创新思维的培养, 有利于学生创新能力的形成。一题多解是拓宽学生思维的重要途径, 通过对多种解法的探索, 可以促进学生展开思维, 广泛联想, 同时也有利于学生对基础知识、基本方法的融会贯通, 而且还可以通过对各种解法的比较, 增强学生的求简意识, 优化思维品质。培养学生的创新能力是时代的要求, 教育目的的所在。在解题教学时, 对一题多解、多题一解的研究能调动学生学习的积极性, 同时也能培养学生的创新思维与发散思维。
三、反思解题的方法、规律
例题解完后应对本例中出现的知识点的回顾, 更重要的是要反思例题中存在的思想、方法。很多数学问题不是孤立的, 有其产生的背景, 能体现知识间的相互联系。要想真正减轻学生负担, 使学生从题海中解脱出来, 教师就必须要有目的地引导学生对所做的习题进行分析归类总结, 既要掌握一类问题基本的解题规律, 又要能够分析具体方法中包含的数学思想方法, 以达到举一反三的目的。同一类型的问题, 解题方法往往有其规律性, 因此当一个问题解决后, 要不失时机地引导学生反思解题方法, 认真总结解题规律, 力图从解决问题中找出新的普遍适用的东西, 以现在解决问题的经验帮助今后的问题解决, 提高解题能力。例如遇到综合题时, 要善于挖掘隐含条件, 搞清楚要求的几个问题间有无联系, 如有联系, 要善于使用前一问题的方法和结论;遇到复杂的图形要能从中找出基本图形, 观察图中有无全等形、相似形。只有在不断的反思过程中, 学生才能提炼方法, 找出规律。
四、反思解题的易错处
在教学过程中, 我们往往有这样的体会, 一道题目讲过好几遍, 结果做起来还是有不少学生做错。而且我们在题目易错处虽多次强调, 但总有学生注意不到。如在求弦所对圆周角时, 学生在解题时往往会产生漏解。因此, 教师在评讲例题时要带领学生进行总结反思哪些地方易错, 易错的原因是什么?如何防止?并对易错点进行分类, 让学生弄清错误的出处, 是审题不清还是计算错误, 是解题方法不对还是考虑问题不周全等。同时要对易错处及时加强训练巩固, 使学生通过反思例题加深对教材的理解和知识的掌握。
五、反思例题的迁移
在解完例题后, 教师可让学生思考此题能否进行推广与引申, 也可把例题的条件和结论适当改变拓展后让学生进一步思考。这样, 学生能解决的就不再是一道题, 而是一串题目了, 他们的思维也能够得到发展。适当的引申, 不仅有助于学生进一步理解题目的数量关系, 掌握解题规律, 而且有利于训练学生思维的变通性。实际证明, 例题的变式迁移能引起学生的思维欲望和最佳思维定向。变式训练是创造性思维的关键。教师在教学中要善于运用变式启发学生多角度、多方向、多层次思考问题, 鼓励学生大胆假设, 求新求异。
六、反思师生的合作交流
教学过程是师生共同合作交流的过程, 学生的课堂参与度决定了课堂效益的高低。当前有不少的数学课堂, 教师为了让学生动起来, 让学生成为课堂的主人, 整堂课的教学内容几乎都以问题的形式出现, 教学时教师频频发问, 学生一问一答, 表面上教学顺利、课堂气氛活跃, 但这种没有让学生思考、缺乏智慧挑战的问题对学生的发展起到了不良的影响。反思例题讲解过程可以进一步激发学生的学习兴趣, 培养学生的探究合作精神。当学生遇到困难时, 教师要及时给予帮助和鼓励;学生在课堂上有新的发现和好的表现时, 教师要及时给予肯定和表扬。教师要反思在课堂上有没有做好主导作用, 学生有没有成为课堂的主体, 学生能自己解决的问题教师不要包办代替。数学家波利亚曾说过:“学习任何知识的最佳途径, 都是自己去发现。因为这种发现理解最深刻, 也最容易掌握其中的内在规律、性质和联系。”因此, 反思师生的合作交流有利于增强学生的学习信心, 培养学生的创新能力。
反思例题是数学课堂活动的核心和动力。例题解后带领学生进行反思应成为一种习惯, 这样能使解后的反思方法、规律得到及时的小结归纳, 能使我们拨开迷雾, 看清问题的本质, 反思解题过程的正确性, 反思解题过程的多样性, 反思题目的引申和推广。解题后反思可使所学知识浑然一体, 达到知识的再现与重组, 使方法最优化。反思是巩固和深化所学知识的有效途径, 也是提高课堂效率的重要方法。
例题的教学反思 篇10
例题 已知a, b, m都是正数, 并且a<b, 求证:
1从糖水浓度引出例题
师:已知b克糖水中有a克糖, 糖水中又加m克糖 (b>a) , 问此时糖水的味道有什么变化?为什么有这样的变化?
生:糖增多了, 糖水就变甜了, 说明糖水的浓度增大了.
师:你们说得很对, 大家能不能根据这一现象提炼出一个数学命题?
生:原来b克糖水中有a克糖, 浓度为
师:大家说得非常好, 这就是糖水浓度提炼出的一个数学命题, 它的实质就是已知a, b, m都是正整数, 并且a<b, 求证
2由合作探索证明例题
生1: (比较、求差法) 因为
师:很好. (教师投影展示学生1的证明) 大家还有其它证法吗?
生2: (比例法) 因为b>a>0, 设b=a+r, 则r>0, 所以
师:这个方法也不错.
生3:我们构造了一个函数, 利用函数的单调性证明.
师:你们构造了一个怎样的函数?
生3:先将
生4:我们用平面几何法证明, 如图1, 作△ABC和△ADE使边AD=AE=m, BD=a, CE=b (b>a>0) ;作EF//BC交AB于点F, 则
生5:我们是用解析几何法证明的, 如图2, 设定点A (b, a) , M (-m, -m) (b>a>0, m>0) , 则直线AM的斜率为
师:以上大家的证明都很精彩.此题证法较多, 如作商法、放缩法、反证法等等, 同学们在课外探讨完成.
3从实际建模应用例题
师:谁再能举出一个符合上述数学命题的实际例子?
生6:学校去年招生a人, 全校总人数为b人, 今年扩招m人, 试比较今年与去年新生比例哪个大?
师:谁给咱们说出这个例子的数学命题?
生7:今年新生的比例大.因为去年新生的比例为
4再挖掘潜能拓展例题
师:以上我们从糖水浓度的实例引出命题, 接着论证和应用了命题.下面大家根据命题模型的特点, 能否推导出一些类似的新命题?请各小组探讨.
生8: (命题1) 因为a, b, m>0, 且a<b, 所以
生9: (命题2) 如果a, b, m>0, 并且m<a<b, 那么
生10: (命题3) 已知a, b, m>0, 并且a<b, 那么
师:有两杯浓度不同的糖水, 一杯较浓, 一杯较淡, 将两杯糖水混合到第3只杯里后, 所得的糖水浓度, 一定比淡的浓, 而又比浓的淡, 大家能写出相关的数学命题吗?
生11:如果在b1克糖水中有a1克糖, b2克糖水中有a2克糖, 那么混合后, 得到 (b1+b2) 克糖水中有 (a1+a2) 克糖.故得到: (命题4) 已知a1, b1, a2, b2>0, 并且
生12:老师, 如果当有n杯浓度不同的糖水, 混合后有什么结果?它的数学命题如何?
师:你的这个问题非常好, 请大家讨论.
生13:和上面的命题一样, 混合后的糖水比最浓的淡, 比最淡的浓, 所以得到: (命题5) 已知a1, a2, …, an>0, b1, b2, …, bn>0且
师:本节课是我们教材中的一个例题, 它不但在日常生活中有广泛的应用, 而且在中小学数学中也有很广泛的用途, 如比较分数的大小, 写出介于两个分数之间的数等等, 所以是一个很重要的数学命题, 希望同学们课后继续探讨.
5教学反思
本节课就教材本身的知识内容来说较为简单, 但从教学结果的走向过程中却折射出不凡的魅力.应该承认我们以往教给学生的是风平浪静的、一帆风顺的“客观真理”, 学生只是熟悉了一些现成的结论, 并形成对这些结论确定无疑的信心, 这实际上是对学生个性的压抑和扼杀.基础课程改革的基本理念是以人为本, 以学生的全面发展为教育的出发点和归宿.基于这样的理念, 本课在总体设计上, 努力克服数学教材严肃、呆板、枯燥、抽象的面孔, 以生活中学生熟知的糖水浓度为背景, 充分激发和调动学生学习的“胃口”, 从学生已有的知识和经验出发, 有计划、有目的的设计了一个个供能探究的问题情境, 挖掘了例题的潜在功能, 展示了知识的产生、形成、发展和创新的过程, 进而培养了学生的数学素养和创新精神, 努力实现教学目标.
在具体步骤上, 首先, 创设情境.因为从现实生活中的糖水浓度出发, 故同学们表现兴奋异常, 思维活跃, 积极参与搜集实际浓度中的数学信息, 最后形成数学命题.这不仅仅是找到了一个数学命题, 而是让学生真正体验了一次数学源于生活, 从实际生活到数学命题形成的过程.其次, 论证命题、点出课题后, 采用师生互动的模式, 鼓励学生根据已有的数学知识对搜集到的数学命题给出证明, 并在组内交流, 这一过程不仅让学生学会了从多角度思考、论证命题, 而且更重要的是培养了学生合作、交流、探究问题方法和向他人学习的精神.其三, 回归实践.学会对数学命题的证明以后, 学生自己列举学校招生人数的实例, 又一次体验数学应用于生活的哲理;学会用数学的眼光看待问题, 用数学的思想和方法来观察、尝试、猜想、思考和处理问题;体现了数学知识的“人性化”, 渗透在问题解决过程中, 做到科学性与思想性的高度统一.其四, 拓展提高.学生虽然体验了数学命题的形成过程, 掌握了命题的多种证法, 会用此命题解决一些简单实际问题, 但并不等于形成了相应的知识体系和完整的知识结构, 教学中力求引导学生按照已有的知识结构和认知规律对命题进行变形与推广, 使之产生质的飞跃, 形成较为完整的理论体系, 深化知识结构, 开发学生思维的潜在能力, 提高他们的数学观念和数学素养.同时, 培养了学生良好的个性品质和严谨的科学态度、顽强的创新精神和辩证唯物主义世界观.
试论小学的例题教学 篇11
一、明确例题的价值，变“教”为“用”
“教材无非是一个例子。”（叶圣陶语）对于教材中的例题，教师绝不能生搬硬套，应该在深入钻研教材的基础上，遵循课程改革的新理念，对例题进行教学法的加工，形成科学的例题观。
1.例题的“权力观”
例题，不是教师的专利，它应该成为学生学习的范例，成为“教”“学”交流的平台。教学例题，应该是在学生尝试、交流的过程中完成对知识的渗透。
2.例题的“正确率”
教学中应该允许学生出错，如果能够将学生学习过程中曾经出现或可能出现的错误整合于例题教学中，那么教学无疑更加有的放矢，更加有效。
3.例题的“典型性”
例题确实具有典型性，但例题教学需要打破思维定势，“举一反三”。要围绕例题的基本结构，引领学生灵活领会条件所蕴含的信息；要围绕例题已知、未知的信息，组织变式、拓展。解决一个例题，应该达到辐射一类知识、方法以及类似问题的目的。
二、借助“例题”的平台，多重理解
自学能力、创新能力、探究能力是新课程强调的三种能力。在实际教学中，笔者经常采用“例题预习——例题改编——例题新授”的模式，借助“例题”这一平台，使学生多层次理解例题，提高课堂教学的有效度。
1.例题预习
教材是课程标准的具体体现，是进行教与学的依据。在例题教学中，预习是必不可少的重要环节。要求学生预习，必须要求其理解例题的意思，了解解题的步骤，思考教材提出的问题，阅读教材给出的结论。不必强求学生完全弄懂，但要知道各自在预习的过程中理解了什么知识，做对了哪些题目，遇到了什么困难。只有清楚自己的所得、所惑，才能在课堂上有针对性地加强薄弱环节的理解，搭建正确的新知框架。如教学“认识千米”前，可以让学生完成一组预习题：向体育老师询问一下，我们学校的操场一圈大约是（ ）米，（ ）圈就是1000米；向爸爸妈妈了解一下，从校门口出发往（ ）面走，走到（ ）大约是1千米；联系以前的学习想一想，（ ）个1米等于1千米。
2.例题改编
俗话说：“万变不离其宗。”例题改编，训练的是学生举一反三、触类旁通、联系实际的能力。编题，必然要对例题的结构有所了解；解题，必然要对例题的解答过程有所理解。经常组织学生编写题目，学生的自学能力、解题能力会大大提高。
3.例题新授
教学中，教师应根据学生的实际水平，“创造性地使用教材，设计适合学生发展的教学过程” 。在例题新授过程中，教师不妨也出示一些改编后的例题。
（1）一字千金。将例题中的一个条件、一个字甚至一个标点符号改变，往往就能改变题目的原意。学生在这种“差之毫厘”的例题解答中，接受的是火眼金睛的训练，掌握的是数学思维的方法。如“黄花有50朵，红花比黄花多1/10，红花比黄花多多少朵”，将题目中的“多”改为“少”，就能考查学生对新知的预习情况，便于及时调整教学预设，提高教学针对性。
（2）制造“粗心”。教师在例题板书时故意漏掉一个重要的条件或一个数据，让学生补充条件分析解答，使不同解法应运而生，学生的创新思维得到训练；或者故意多给一个条件，训练学生分析处理信息的能力，防止滥用题目条件。在这样的例题教学过程中，学生能够养成一种善于思考、勇于提出自己想法的习惯，这对学生学习新内容、研究新问题是非常重要的。
（3）转化情境。从学生熟悉的生活背景入手创设学习数学的问题情境，学生在学习的同时感受到数学就在身边，体验学习数学的价值。教师要为学生提供参与各种数学活动的机会，创设学生理解数学、探索数学的情境，增强课堂教学的趣味性，调动学生的学习积极性。
三、挖掘例题的资源，拓展功能
1.例题的教学过程是一種可利用资源
例题的教学目的应该是把知识与方法同时教给学生，既让学生掌握解题所需的知识，又让学生学会分析和总结。解答一道题后，可引导学生思考：用到什么知识？关键在哪里？还有其他解法吗？最优解法是什么？怎样找到解题思路的？久而久之，学生就会从中学到怎样去分析，怎样去归纳，培养独立探索的学习能力。
2.例题的材料背景是一种教育资源
一道例题的教学思考 篇12
一、教学过程
新人教版初中数学教材七年级上册第43页的例4是一道数字类的探索规律题,这道题要求学生具有较强的观察能力和创新意识,勇于探索,敢于发现问题,并解决问题.
例4观察下面三行数:
(1)第(1)行数按什么规律排列?
(2)第(2)(3)行数与第(1)行数分别有什么关系?
(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和.
1. 引导学生讨论
(1)第①行数按什么规律排列?
这一行数字正负相间,因此,教师可以引导学生从符号和绝对值两方面探寻规律.首先,不考虑符号,从绝对值的角度看,第一个数是2,第二个数是4,第三个数是8,第四个数是16,第五个数是32,第六个数是64.仔细观察,我们不难发现,后面一个数正好是与它相邻的前一个数的两倍.结合我们所学的乘方的知识,不难得出,这一行数字正好成指数增长,其中2是底数,第几个数的“几”恰好是指数.然后,考虑符号时,因为它们正负相间,所以,我们会想到负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数.这样,综合考虑符号与绝对值,我们就会发现第①行数可以表示为如下形式:
(2)第(2)(3)行数与第(1)行数分别有什么关系?
对比(1)(2)两行中位置对应的数,可以发现:
第(2)行数正好是第(1)行相应的数加2,即
那么,第(2)行数就是:
对比(1)(3)两行中位置对应的数,可以发现:
第(3)行数正好是第(1)行相应的数的0.5倍,即
那么,第(3)行数就是:
(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和.
每行数中的第10个数的和是
2.教师评析解题过程
(2)第(2)行的数比第(1)行中对应的数大2,第(3)行的数是第(1)行中对应的数的一半.也就是说:
(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和.由上面的规律就有:
二、教学思考
这道题目是新人教版初中数学第一章第五小节的例题,七年级的学生刚开始接触有理数的各种运算,而乘方运算在小学又不曾涉及.因此,对于学生来说,这是一个陌生的知识点,对于教师而言,这是有理数部分的教学难点.而这道题目不仅要求学生掌握乘方的运算,学会确定符号,深刻理解乘方的意义,而且还要求学生通过观察,寻找行、列之间的规律.对于一个初学者而言,这确实是一道难题.这样的题目,可以作为探究题,让学生通过小组合作学习讨论,再由教师指导来加以解决,不宜通过大班教学来完成,否则,容易让学生产生畏难情绪,影响后续数学课程的学习.
1. 学生的学习情况
(1)由于学生刚接触初中代数,尚未熟练掌握乘方的知识,加之认知水平有限,理解能力有待提高,所以,虽然学生积极探索,并展开了激烈的讨论,但由于缺乏逆向思维能力,多数学生在探寻规律时,无法联系刚学的乘方知识,如,-2=(-2)1,4=(-2)2,-8=(-2)3,16=(-2)4,最终无法找到规律,更不会用表达式准确地表示规律.也有一部分同学对正负相间的问题比较困惑,无所适从,暴露出学生对“负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数”这一规律理解不足.
(2)在寻找第②③行数与第①行数分别有什么关系时,很多学生不知道该如何对两行数字进行比较,更没想到对第①②两行,或者第①③两行中位置对应的数进行纵向比较,因此,一筹莫展,完全不知道该从什么地方入手解题.
2. 教学反思
在解题过程中,学生主要暴露出以下问题:第一,学生对题目理解不到位,属于审题失误;第二,学生普遍缺乏数学思维,面对题目,无从下手;第三,解题过程中,学生无法灵活运用所学知识.
这个题目是学生刚学完“有理数的乘方”之后的例题,学生对乘方的知识尚且不熟悉,更谈不上灵活运用了,这就直接导致学生在学习该例题时困难重重.因此,在教学过程中,首先,教师应给学生提供足够的时间内化新知识,同时安排跟进练习,力求稳扎稳打,夯实基础.其次,教师应注重培养学生的阅读理解能力,并结合具体的题目,传授审题技巧,同时,布置练习,力求通过实践,真正提高学生的审题能力.再次,教师应注重培养学生的数学思维能力,在教学中循序渐进地渗透各种数学思想,并不断地给学生创造思考问题的机会.同时,提供足够的思考时间,充分挖掘学生的潜力,引导学生积极探究,提高数学学习能力.
结合学生在学习过程中存在的种种问题,笔者认为,讲解这道例题之前,可以先安排一节习题课,帮助学生巩固“有理数的乘方”这部分知识.一方面,教师可以通过习题,重温乘方的定义,引导学生清楚地认识乘方与乘法之间的关系,学会从乘法的角度理解乘方的概念,用已有的知识去探索、理解新知.在此基础上,学生解答这个例题时,就很容易联想到用乘方表示一组数字的规律.同时,教师还应引导学生观察底数为负数的乘方的符号规律,例如,教师可以设置如下例题:
例1求解(-1)1,(-1)2,(-1)3,(-1)4.并观察结果的符号,你会发现什么规律?
通过这个例题,学生很快就能发现,负数的奇次幂为负数,负数的偶次幂为正数.当乘方的底数为负数时,它的一次幂,二次幂,三次幂,四次幂等,呈现正负相间的规律.通过这样一个例题,学生就能认识到,一组数字若恰好正负相间,那么,这组数字一般都含有(-1)n这个因子.
另一方面,教师可以通过有关乘方的计算题,在帮助学生熟悉乘方的运算法则的同时,促进学生借助乘法运算,强化乘方的定义.尤其要着重训练底数为负数的乘方的计算.例如,在习题课上,教师可设置如下习题:
例2 计算(-3)3,(-1.5)2,53.
通过计算,教师可引导学生总结出计算乘方的方法:第一步,根据指数和底数确定结果的符号,落实结果究竟是正数还是负数;第二步,计算结果的绝对值.这样,在习题课上,教师利用一道简单的计算题,让学生意识到乘方的结果应由两部分组成,即符号和绝对值.
在此基础上,学生面对这道找规律的例题时,就能首先根据每一项乘以2即可得到后一项这个特点,联想到乘方运算;然后,再根据正负相间的特点,可以推知底数应该为负数;最后,分别从符号和绝对值两个方面确定底数和指数,得到第①行数字的规律.而学生一旦理解了第①行数字的规律,那么,对于例题的后续部分,教师只要稍作引导,学生就能顺利解答了.
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