课本例题教学的发挥

2024-10-11

课本例题教学的发挥（精选8篇）

课本例题教学的发挥篇1

我在数学教学过程中发现, 一部分学生遇到难一些的实际问题时, 往往一脸茫然, 听不懂, 或勉强听进去, 但实际不知其意.鉴于我个人的经历比较丰富, 就特别喜欢琢磨, 常常想:怎样讲才能让学生听懂呢?学生之所以听不懂是因为什么原因呢?总结下来, 大致有两方面的原因, 一是读不懂题目中的一些语句, 所以对题目的理解就不到位.那么, 他们为什么读不懂呢?是哪些语句让他们费解呢?这时, 我就会把这些难懂的语句拆分了, 讲给学生以帮助理解, 或用身边的最常见、最简单的实例替换了让学生理解, 效果都非常好.二是对实际问题的背景, 压根就不知道.因为毕竟大部分初中的孩子, 见识不够多, 有些事情从未听说过, 或有些事情即使听说过, 但对生活中的一些事情的理解还不够透彻, 因此对这样的题目就无法理解.我就想:如果用类似的简单例子甚至更通俗的、学生易懂的例子讲给学生听, 不是就可以理解吗?所以, 在这样的应用题的授课上, 我做了大胆的尝试, 效果不错.现挑几例与同行交流, 且望指教.

一、七年级 (上) 第二章一元一次方程

再探实际问题与一元一次方程.

探究1:销售中的盈亏.

某商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服, 其中一件盈利25%, 另一件亏损25%, 卖出这两件衣服总的是盈利还是亏损, 或是不盈不亏?

题目出示后, 我就举例:我左右两个口袋里都有钱, 现在把左口袋里的钱的25%给学生甲, 右口袋里的钱的25%给学生乙, 看我做事很公平吧, 对谁也不偏心, 他俩得到的钱一样多呵!

这时马上就有学生反驳:那可不一定!这要看你两个口袋中的钱是否一样多, 如果不一样多的话, 他俩得到的钱肯定不一样多!

这时我会付之一笑, 对学生的这种认识表示肯定和称赞, 学生有了这样认识后, 我马上回到探究1, 到底是盈还是亏, 或是不盈不亏?

学生就会顺理成章地反应:这要看这两件衣服的进价是否一样多, 如果一样多, 那就不盈也不亏;如果不一样多的话, 还得看哪一件的进价多, 第一件进价高则盈利;第二件进价高则亏损.所以, 现在需要求出两件衣服的进价分别是多少.

利用我们学过的方程的方法, 设两件衣服的进价分别为x元、y元, 根据进价与利润的和等于售价列方程, 很容易求出x、y的值, 再算出总利润, 若总利润为正, 就盈;若总利润为负, 就亏, 这样问题就顺利地得到解决了.

二、七年级 (下) 第八章二元一次方程组

习题8.3 (综合运用) 第7题.

要用含药30%和75%的两种防腐药水, 配制含药50%的防腐药水18千克, 两种药水各需取多少?

学生第一次接触浓度的问题, 由于对百分含量不明白, 尽管题目很短, 但学生带着模糊的感觉读完不到两行字的题目后, 仍然一头雾水.

这时, 我提了一个问题, 给了一个公式, 学生就基本明白了, 然后又套举了一个例子:

问题:将一杯很甜很甜的糖水和一杯稍微有些甜味的糖水混在一起, 味道将会怎样?

举例:假设刚才很甜很甜的水含糖75%, 稍微有些甜味的水含糖30%, 混在一起的水含糖50%, 且有18千克, 问75%的糖水和30%的糖水各需多少?

让学生在已有的理解程度上解决这个问题, 此时, 可以看出已没有障碍了.

然后, 再回到第7题, 给出这题的公式, , 学生就都会做了.因为孩子往往对身边的事最感兴趣, 也最容易理解.

三、七年级 (下) 第九章不等式与不等式组

习题9.1 (拓广探索) 第12题.

一件用黄金和白银制成的首饰重a克, 商家称其中黄金含量不低于90%, 黄金与白银的密度分别是19.3 g/m3与10.5 g/m3, 列出不等式表示这件首饰的体积应满足什么条件? (提示:质量=密度×体积)

初一的学生还没有学物理, 对物质的密度没有概念, 无法理解, 需要数学老师把这个物理概念通俗化地告诉学生.

我是这样处理的:先告诉学生规范的物理概念——单位体积中物质的质量就叫做这个物质的密度.

然后举了一个通俗的例子:用两个同样大小的玻璃杯, 一个装满细砂, 一个装满小石粒, 此时哪个重?哪个轻?

学生很容易知道:装满细砂的杯子较重, 装满小石粒的杯子较轻.

师:这就是说, 装满细砂的杯子中物质的密度较大, 而装满小石粒的杯子中物质的密度较小.

这样学生对“密度”这个概念就有了初步的认识了, 然后为了让学生对和密度有关的其他量的理解, 以及质量一定的前提下, 密度发生变化, 体积将会如何变化?我又做一步一步的提问:

(1) 如果要使两个杯中物质的质量相等, 体积将会做怎样的变化? (充分理解公式:质量=密度×体积)

(2) 若先将小石粒与细砂各一半混合装入一个玻璃杯中, 装满, 称重, 记住这个质量;要想提高细砂的含量而且保证总质量不变, 还能装满吗?也就是混合装的物质的体积发生了变化, 而且变小了, 才能保证总质量不变.也就是说, 要保证总质量不变, 密度大的细砂含量越高的话, 混装物质的体积就会越小.

这时回到第12题, 黄金密度19.3 g/m3大于白银的密度10.5 g/m3, 所以黄金好比细砂, 白银好比小石粒, 黄金白银制成的首饰好比混合装物质, 当黄金含量不底于90%时, 即黄金含量大于等于90%时, 意味着首饰的体积V会随着黄金含量的逐渐增大而逐渐变小, 所以V首饰≤V黄金+V白银, 而这件首饰既然是黄金白银制成的, 就不能为纯金的, 所以V首饰>V黄金.

四、八年级 (下) 第十六章分式

16.3分式方程P31:练习第2题.

一个圆柱形容器的容积为V立方米, 开始用一根小水管向容器内注水, 水面高度达到容器高度一半后, 改用一根口径为小水管2倍的大水管注水, 向容器中注满水的全过程共用时间t分, 求两根水管各自的注水速度. (提示:要考虑大水管的进水速度是小水管进水速度的多少倍)

这里关键要解决提示中的问题, 而学生对口径、流速很难理解, 也不知道该如何求流速, 所以要逐一解释.

师: (1) 口径:直径.

(2) 流速:单位时间内流过的液体的体积.

(3) 设小水管直径为d, 则大水管直径为2d, 此时水管长度可视为一样长, 都为h, 所流时间都为T, 那么

所以, 大水管的流速是小水管流速的4倍.有了这个结论, 再设未知数, 利用和分式方程就可以解决这道题了.

在七年级 (上) 学一元一次方程时, 课堂上遇到一道补充题:

某队伍长450米, 以每秒1.5米的速度行进, 通讯员从排尾赶到排头, 并立即返回排尾, 他的速度是每秒3米.问通讯员往返需要多少时间?

行程问题是初中应用题的一大难点, 在解行程问题时, 要紧紧抓住速度、时间及路程之间的数量关系, 并善于画出示意图或列表分析题意, 这将有助于学生弄清题意, 揭示问题的实质, 找出等量关系, 解决问题.因此要要求学生会画示意图或列表分析.甚至有时把题目中的情景套在本班学生身上, 他们会非常感兴趣的.

例如, 我班学生排成一队步行去外校参观, 队伍长45米, 速度每秒1.5米, 我在队首带队, 某某某在队尾, 他有事情要请示我, 就以每秒3米的速度跑来, 说完后又返回队尾.问他往返需要多少时间?

此时, 学生特别有劲头, 主动讨论起来, 边讨论边动手画示意图.

本来按照别的老师的经验, 应提示学生:通讯员从排尾赶到排头或从排头返回排尾时, 队伍仍在向前行进.

(1) 通讯员赶到排头是个“追及问题”, 画出示意图.

(2) 通讯员返回排尾是个“相遇问题”, 画出示意图.

结果经学生一讨论, 这些提示都可以省略了, 问题解决得很圆满.所以, 以后只要遇到稍难一些的题, 我常常拿学生说事, 有时还现身说法, 自行表演, 效果都很好.

课本例题教学的发挥篇2

【案例】已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

解答本题并不难，教师通过引导启发学生分析题目的已知和所求，较容易找到解题方法.但是，当解完此题后感到意犹未尽，于是作如下变式.

变式1已知线段AB的端点B的坐标是（0，0），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

变式2已知线段AB的端点B的坐标是（1，0），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

[反思]可以观察出不论B点在圆外、圆内、圆上，线段AB的中点M的轨迹方程还是圆.这一问题是否可以引申推广？能否找到一般化的解决方法呢？

引申1已知线段AB的端点B的坐标是（a，b），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

此问题可归结为：已知线段AB的端点B的坐标是（a，b），端点A在圆x2+y2=r2上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.不难得出M的轨迹方程是（x-a12）2+（y-b12）2=r214.

于是可以得出：

结论1已知线段AB的端点B的坐标是（a，b），端点A在圆x2+y2=r2上运动，线段AB的中点M的轨迹方程是（x-a12）2+（y-b12）2=r214.

有了以上的思路，于是又可得如下变式：

变式3已知定点B（3，0），点A在圆x2+y2=1上

（1）菱形的四条边都相等；

（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每

一条对角线平分一组对角；

（3）菱形的面积等于对角线相乘再除于2；

（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形.endprint

笔者在多年的教学实践和研究中发现，许多高考试题都反映了相关数学知识的本质，蕴含了数学的重要思想方法和一般的解题规律.对于这类问题，可通过课本例题的挖掘，从简单开始，从特殊入手，由浅入深，循序渐进，采用合理猜想、推理等方法探究新问题并加以解决.本文以《普通高中课程标准实验教科书·数学》（必修2）第122页的例5来进行探究.

【案例】已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

解答本题并不难，教师通过引导启发学生分析题目的已知和所求，较容易找到解题方法.但是，当解完此题后感到意犹未尽，于是作如下变式.

变式1已知线段AB的端点B的坐标是（0，0），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

变式2已知线段AB的端点B的坐标是（1，0），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

[反思]可以观察出不论B点在圆外、圆内、圆上，线段AB的中点M的轨迹方程还是圆.这一问题是否可以引申推广？能否找到一般化的解决方法呢？

引申1已知线段AB的端点B的坐标是（a，b），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

于是可以得出：

结论1已知线段AB的端点B的坐标是（a，b），端点A在圆x2+y2=r2上运动，线段AB的中点M的轨迹方程是（x-a12）2+（y-b12）2=r214.

有了以上的思路，于是又可得如下变式：

变式3已知定点B（3，0），点A在圆x2+y2=1上

（1）菱形的四条边都相等；

（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每

一条对角线平分一组对角；

（3）菱形的面积等于对角线相乘再除于2；

（4）菱形既是中心对称图形又是轴对称图形.endprint

【案例】已知线段AB的端点B的坐标是（4，3），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

解答本题并不难，教师通过引导启发学生分析题目的已知和所求，较容易找到解题方法.但是，当解完此题后感到意犹未尽，于是作如下变式.

变式1已知线段AB的端点B的坐标是（0，0），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

变式2已知线段AB的端点B的坐标是（1，0），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

[反思]可以观察出不论B点在圆外、圆内、圆上，线段AB的中点M的轨迹方程还是圆.这一问题是否可以引申推广？能否找到一般化的解决方法呢？

引申1已知线段AB的端点B的坐标是（a，b），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动.求线段AB的中点M的轨迹方程.

于是可以得出：

结论1已知线段AB的端点B的坐标是（a，b），端点A在圆x2+y2=r2上运动，线段AB的中点M的轨迹方程是（x-a12）2+（y-b12）2=r214.

有了以上的思路，于是又可得如下变式：

变式3已知定点B（3，0），点A在圆x2+y2=1上

（1）菱形的四条边都相等；

（2）菱形的对角线互相垂直平分，并且每

一条对角线平分一组对角；

（3）菱形的面积等于对角线相乘再除于2；

课本例题教学的发挥篇3

教材是高考命题的重要依据, 教材中的例、习题都是专家精选、设计出来的, 它们的背景深刻, 或是某个重要的结论, 或是体现某种数学思想方法, 或者是某个一般数学命题的具体形式.在教学中, 引导学生对课本例、习题进行延伸、拓广、联想、探究, 沟通知识间内在联系, 认真挖掘题目中丰富的内涵, 对于提高教学质量、发展智力、开启学生数学思维都至关重要.

下面以一道高考题为例来说明:

例1 (2006年全国高考山东卷理14题) 已知抛物线y2=4x, 过点P (4, 0) 的直线与抛物线相交于A (x1, y1) , B (x2, y2) 两点, 则yundefined+yundefined的最小值是.

1.题目探源

如图, 直线y=x-2与抛物线y2=2x相交于A, B两点, 求证:OA⊥OB (全日制普通高中教材数学第二册 (上) (人教版) P30例2) .

2.总结规律

结论1 已知抛物线y2=2px (p>0) 上有两动点A (x1, y1) , B (x2, y2) , 满足OA⊥OB.求证:

(1) y1·y2=-4p2, x1·x2=4p2;

(2) 直线过定点 (2p, 0) .

证明 (1) ∵A, B两点在抛物线上,

∴yundefined=2px1, yundefined=2px2.

而undefined,

由OA⊥OB得kOA·kOB=-1, 即

undefined

(2) 设直线AB方程为y=kx+b, 与抛物线方程联立得消去x, 得

而由 (1) 知y1·y2=-4p2, ∴b=-2pk.

∴y=kx-2pk=k (x-2p) ,

∴直线AB经过定点 (2p, 0) .

特别地直线AB斜率不存在时, 直线AB也经过定点 (2p, 0) .

结论2 已知抛物线y2=2px (p>0) 有两动点A (x1, y1) , B (x2, y2) 满足y1·y2=-4p2.

求证: (1) OA⊥OB; (2) 直线AB经过定点 (2p, 0) .

(证明略)

结论3 已知抛物线y2=2px (p>0) , 过定点 (2p, 0) 的直线与抛物线相交于A (x1, y1) , B (x2, y2) 两点.

求证: (1) y1·y2=-4p2, x1·x2=4p2; (2) OA⊥OB.

(读者自己证明)

由上述结论可以看到有三个信息:

①y1·y2=-4p2;②OA⊥OB;③直线AB经过定点 (2p, 0) , 将这三个信息当中的任何一个当成条件, 均可以推得另外两个结论, 说明它们之间是互为充要的.

通过上述研究, 再反过来看文中开始的2006年山东卷, 显然过定点P (4, 0) 应该为结论3的情形, 由结论3马上得到y1·y2=-16, 然后用均值不等式得

yundefined+yundefined=|y1|2+|y2|2≥2|y1|·|y2|=32.

∴yundefined+yundefined的最小值是32.

当然, 读者不难判断, 前文中涉及的课本例2也归类于结论3.

3.延伸应用

根据上述三个结论, 如果一道题中有上述结论中的某个信息, 就立即能挖掘出其余两个相应信息, 进而有助于解决本题的其他问题.

例2 (2000年北京安徽高考春季招生数学卷理·22) 如图, 设点A和点B为抛物线y2=4px (p>0) 上原点以外的两个动点, 已知OA⊥OB, OM⊥AB, 求点M的轨迹方程, 并说明它表示什么曲线.

解 (分析) 本题解法很多, 但最简单的解法显然是由已知OA⊥OB符合上面结论1的条件, 然后根据结论1的结果得直线AB经过定点N (4p, 0) .

∵OM⊥AB, 即OM⊥MN,

∴由圆的知识得点M的轨迹是以ON为直径的圆 (除去原点) , 其轨迹方程为 (x-2p) 2+y2=4p2 (x≠0) .

启示通过上面的分析, 沟通知识间内在联系, 组成知识链条, 从而有目的、有意识地解决相关问题.

4.引申推广

结论4 过抛物线y2=2px上一定点M (非原点) 引抛物线两条动弦MA, MB, 满足MA⊥MB.证明:直线AB过一定点.

解析显然这是上述结论1的推广.读者不难证出结果.

总之, 根据上面的探究, 我们还可以在学生力所能及的情况下, 再适当提出问题供学生思考:椭圆和双曲线是否有相应的结论?

课本例题教学的发挥篇4

苏科版七(下)154页例2:

已知:如图1,AC、BD相交于点O.

求证:∠A+∠B=∠C+∠D.

评析本题比较简单,利用三角形内角和定理、对顶角相等即可解决问题.

【证明】∵在△AOB中,∠A+∠B+∠AOB=180°(三角形三个内角的和等于180°),

∴∠A+∠B=180°-∠AOB(等式的性质).

在△COD中,同理可得:

∠C+∠D=180°-∠COD.

∵∠AOB=∠COD,(对顶角相等)

∴∠A+∠B=∠C+∠D. (等量代换)

感悟本题的图形比较简单,所以比较容易解决,如果把这个问题放到较复杂的图形中呢?通过例题的证明我们发现:其实图1是一个基本图形,我们可以把它称为“8”字形,今后在复杂的图形中,我们只要能抓住这个“8”字形,既可达到化繁为简的目的,又能为图形性质的推理提供方向和基础. 而要识别“8”字形这一基本图形,必须做到两点:一是熟悉并理解“8”字形及其性质;二是具备从复杂图形中“分离”出“8”字形的技能.

深入探究

变式1:如图2,∠A=35°,∠B=40°,∠C=25°.

求:∠D的度数.

评析直接利用“8”字形的性质解答.

解【解】由题意,得【解由题意,得

∠A+∠B=∠C+∠D,

∴35°+40°=25°+∠D,

∴∠D=50°.

变式2:已知:如图3,线段AC、BD相交于点O,连接AB、CD,我们把形如图3的图形称之为“8字形”. 如图4,在图3的条件下,∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P,并且与CD、AB分别相交于点M、N.试解答下列问题:

(1) 仔细观察,在图4中“8字形”的个数:________个;

(2) 在图4中,若∠D=40°,∠B=36°,试求∠P的度数;

(3) 如果图4中∠D和∠B为任意角时,其他条件不变,试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系. 请直接写出结果.

评析本题的图4比较复杂,对于第(1)小问,大家要能熟练抓住“8”字形的特征,才能迅速而准确地找出,而第(2)、(3)小问需要根据你找到的“8”字形的性质解决问题.

解 (1) 6个.

(2) 由图找出两个“8字形”,得

∠DAP+∠D=∠P+∠DCP.1

∠PCB+∠B=∠P+∠PAB. 2

1+2,得

∠PCB + ∠DAP + ∠B + ∠D =2 ∠P +∠PAB+∠DCP.

又∵∠DAP=∠PAB,∠PCB=∠DCP.

∴2∠P=∠B+∠D=36°+40°=76°.

∴∠P=38°.

由一道课本例题引起的思考篇5

用图象法解方程组

undefined

一、课本的解法

解:在直角坐标系中画出两条直线, 如图所示

因为两条直线的交点坐标是 (2, -1) , 所以方程组的解为

undefined

二、我的想法

1.若画图不准确, 得到的解会有很大误差;

2.若交点坐标是一组较大的数或无理数, 通过作图可能得不到交点坐标甚至得到的是错误答案;

3.若画出函数图象, 用解方程组的方法求交点坐标, 不但使简单问题复杂化, 而且会使学生对利用函数图象解方程 (组) 或不等式的方法产生怀疑, 增加了学生的畏难情绪, 挫伤学生学习的积极性.

三、我的思考

在数学课堂教学中, "解题"是最基本的数学活动形式.无论是概念教学, 还是数学技能、数学思想方法教学, 或是思维能力的培养, 都离不开例题.要减轻学生负担, 向四十五分钟的课堂教学要质量、要效率, 设计好的例题, 是非常关键的因素.

1.设计有针对性例题, 贴近学生的"最近发展区"

要针对不同的教学目标和教学意图, 设置不同的例题, 做到有的放失.我们设计例题, 有时为了帮助学生正确理解和巩固基本知识、基本技能, 有时为了强调某个重点问题或突破某个难点问题, 有时为了纠正学生中普遍存在的某种错误, 有时为了展示某种数学思想方法, 有时为了培养某种思维能力或应用能力, 有时为了下一堂课作铺垫……要达到不同的目的, 例题的设计在难度、深度, 广度等方面也应有所不同.

例如:对于在应用一元二次方程的解这个概念时, 在判断是不是某个方程的解这种常规题型的基础上, 我设计了如下例题:

例1 (1) 请你写出一个解为-2的一元二次方程.

(2) 当m时关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个解是2.

(1) 小题变封闭性问题为开放性问题, (2) 小题变顺向思维问题为逆向思维问题, 这样既考查了学生对基础知识的掌握, 又让枯操的概念性问题转化为具有一定应用性的问题.

2.设计有层次性例题, 满足学生多样化的学习需求

由于学生在学习能力和认知水平等方面存在不同差异.新课标要求我们"尊重学生的个体差异, 满足多样化的学习需要."因此在设计例题时, 要把握好例题的难度, 由浅入深, 由易到难, 层层递进, 把学生的思维逐步引向深入, 让不同水平的学生都有所收获.例如:笔者在听《实数》这节市属级公开课中, 施教者为了满足不同学生的需求.设计了如下例题:

例undefined

(1) 求上面各数的相反数和绝对值.

(2) 上面各数中, 哪些是有理数, 哪些是无理数?

(3) 在数轴上表示上面各数.

利用第 (1) 小题, 让学生知道数从有理数扩充到实数以后, 有理数中的相反数和绝对值的概念同样适用, 第 (3) 小题, 由于学生往往对于undefined的长度的取定比较难把握, 通过让学生自己探究如何截取undefined这个长度, 用数形结合的思想来解决问题, 从而深化概念.

3.设计类化式例题, 引导学生提炼数学思想方法

课本中往往配置有许多典型的例题, 但在课堂教学中, 切忌每次照搬照抄课本例题, 切忌同一问题以同一形式多次重复出现, 以免学生觉得单调乏味、没有新意.如果某一问题重要且难以掌握, 可以用判断题、填空题、选择题、比较题, 解答题等不同形式变题, 或从不同角度、不同层次变题.例如:在利用轴对称的知识解决实际问题时, 是学生难以掌握的, 为了解决这个问题我设计了以下的例题.

例3 如图1, 要在燃气管道L上修建一个泵站, 分别向A、B两地供气, 泵站修在管道的什么地方, 可使所用的输气管线最短?为了解决这个问题, 我设计了一个引例, 如图2把A、B两地供气放在管道l的两侧, 此题有引例做铺垫, 通过转化, 得到一个新的模型及其解法.在复习课中我又作了点改动, 题目变为:如图3, 一个港湾内停留了M、N两艘轮船.由于种种原因, M船的船长需要先到OA岸接一个人, 再到N船, 问M船的船长应如何行驶, 才能使M船所行的航线最短?

4.设计探索性例题, 培养学生发现问题和分析问题的能力

探究是人类认识客观世界过程中最生动、最活跃的一种思维活动, 探究型问题存在于一切学科领域中, 在数学学科领域中则尤为普遍.根据新课标"学生不仅能主动地获取知识, 而且能不断丰富数学活动的经验, 学会探索, 学会学习"的要求, 我们在课堂中要给学生提供大量探索数学奥秘的内容, 给学生提供充分从事数学活动和探究数学问题的时间和空间, 给学生"做数学"的机会, 促进学生数学知识和方法的掌握和提高.为了能更好的理解和应用勾股定理, 笔者设计了如下问题串例题.

例4 问题1:如图1有一消防云梯长25米, 把它的脚端放在离墙根2米处, 问该云梯能够得着20米高的墙顶吗?

问题2在 (1) 小题的条件下, 若云梯顶端够得着墙顶, 那么超出墙顶多少米?若够不着, 那么云梯的顶端离墙的顶端有多少米?

问题3如图2若使云梯的顶端刚好架在外墙顶上, 那么云梯的底端应向外 (或内) 移动多少米?

"问题"是数学的心脏, 数学教学应当从问题开始, 通过问题引导学生学会主动探究, 对学生的思维将起到积极的作用.因此, 在课堂教学中应努力揭示数学思维活动的过程, 指导、调控学生的思维活动, 使之能模拟数学家的思维方式, 逐步形成"数学头脑".

5.设计联系学生已有经验的例题, 提升学生的数学应用水平

数学知识不仅来源于数学内部系统, 还来源于社会生活实际, 同时又被应用于实践.关注数学与生活现实的联系有助于提高学生学习的积极性, 有助于培养学生的应用意识与解决问题的能力, 有助于增进他们对数学的理解与认识, 是《课程标准》所倡导的基本理念.所以教师要有意识的设计数学与学生生活现实相联系的例题.例如:利用相似三角形的有关性质解决实际问题时, 为了使更多的同学有自己的想法, 施教者设计了如下例题. (市属公开课)

例5 位于城市广场的大善塔始建于南宋, 已有1400多年的历史, 虽经过多次修缮, 塔基本上保持原有风貌.小聪、小明两位同学想利用所学的知识测量大善塔的高度.

①小聪在星期天上午来到城市广场, 如图1, 他在地面上量得大善塔的影子长80米, 此时1.6米的杆子在地上的影长是3.2米, 根据以上数据, 请你帮小聪计算大善塔的高度.

②小明来到城市广场已是傍晚时分, 他发现大善塔的一部分影子落在马路对面营业房的墙上, 如图2, 他在地面上量得大善塔的影子长108米, 落在墙上部分的影长为4米, 此时1.6米的杆子在地上的影长是4.8米, 请你帮助小明计算大善塔的高度.

本例题从学生熟悉的名胜古迹--绍兴市区城市广场的大善塔, 老师能将教学目标外化为一个学生容易接受的情境, 让学生身临其境, 激发了他们学习的兴趣, 并让学生深切感受到"数学知识来源于生活, 并服务于生活".

初中数学课本例题的引申讨论篇6

例题的组成都是由已知条件、求解结论、求解过程 (解法) 三部分组成, 所以它的引申可以从这三部分入手。

第一, 已知条件的引申, 我们可将已知条件增减、图形变换 (特殊图形变为一般或反之) 。看在变化后结论、解法将有何变化, 并找出这些变化之间的内在联系, 得出规律。例如, 已知ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F。求证:四边形AFCE是菱形。如图1。

第三, 解法引申, 它就是经常说的一题多解。这对培养学生的发散性思维、创新能力、解题能力具有不可低估的作用。如在解决梯形的有关问题时, 常常要做辅助线。而辅助线不外于有a.过上底两顶点做两条高, 将梯形转化为直角三角形和矩形的有关问题。b.过上底的顶点做一腰的平行线, 将梯形转化为平行四边形与三角形的有关问题。c.延长下底, 过上底一个顶点做一对角线的平行线。d.连接上底顶点和另一腰上的中点并延长于下底的延长线相交。如图6~图9四种情况。

一道课本例题的探究与思考篇7

例O为直角坐标系中的坐标原点, A, B是抛物线y2=2px (p>0) 上异于顶点的两动点且OA⊥OB, OM⊥AB并与AB相交于点M, 求M点的轨迹方程.

此题可谓是有关抛物线问题的一道经典例题, 进一步研究发现, 以此题为背景, 可以得出一系列与圆锥曲线有关的定值定点问题.

结论1A, B是抛物线y2=2px (p>0) 上异于顶点的两动点, O为坐标原点, 则

1) 若kOAkOB=t (常数) , 则直线AB过定点 (-2p/t, 0) ;

2) 若kOA+kOB=t (常数) , 则直线AB过定点 (0, 2p/t) .

注巧构关于y/x的一元二次方程, 利用韦达定理是降低本题计算量的关键所在.

对于上述结论1中的条件, 若点O不是坐标原点, 而是抛物线上一动点, 我们还可以得到类似的结果吗?答案是肯定的.事实上, 我们仍然可以将结论1中的结果作进一步的推广.

结论2A, B是抛物线y2=2px (p>0) 上异于顶点的两动点, M (x0, y0) 为抛物线上一定点, 过M作两条弦MA, MB:

1) 若kMAkMB=m (非0常数) , 则直线AB过定点;

2) 若kMA+kMB=n (非0常数) , 则直线AB过定点;

3) 若直线MA, MB的倾斜角分别为α, β, 且α+β=θ (0<θ<π) 为定值, 当α, β变化时, 则直线AB过定点.

事实上, 对于上述条件, 对一般的圆锥曲线依然有些类似的结论.

结论3若点A (x0, y0) 是双曲线C:上任意一点, M, N是C上异于A点的两点, 若, 则直线MN过定点 ([λa2-b2]/[a2λ+b2] (x0) , [λa2-b2]/ (-a2λ-b2) (y0) ) .

类似地, 我们可以得到如下结论:

对课本一些例题解法的探讨篇8

例7已知4x2+8 (n+1) x+16n是一个关于x的完全平方式, 求常数n的值。

已知4x2+8 (n+1) x+16是一个完全平方式, 则–4 (n+1) 2+16n=0

化简, 得n2-2n+1=0,

解得n=n=1

所以常数n的值为1

本题已经说明n为常数, 代数式4x2+8 (n+1) x+16n是关于x一个完全平方式, 也就是说它是关于x的一个二次三项式, 二次项系数为4, 一次项系数为8 (n+1) , 常数项为16n, 那么, 这个二次三项式可以化为4 (a±b) 2的形式。而4=22, 那么x2+2 (n+1) x+4n一定是一个完全平方式, 一个二次三项式是一个完全平方式应该满足: 一次项系数一半的平方等于常数项, 即 (n+1) 2=4n。

笔者有以下解法:

∴x2+2 (n+1) x+4n也是一个关于x的二次三项式

∴ (n+1) 2=4n (一次项系数一半的平方等于常数项)

化简, 得n2-2n+1=0,

解得n1=n2=1

又如课本P36对一元二次方程求根公式是基于配方法的基础上进行推导, 在这个过程中应当要进行两次讨论, 具体过程如下:

很明显, 当b=c=0时, x=0;当c=0时, x1=0;x2=ba;当b=0时, 且a、c同号时, 此方程无实数根, a、c异号时, 此方程的解为。

其实, 对一元二次方程求根公式的推导也可以从完全平方公式入手, 比如:

在ax2+bx+c=0 (a≠0) 两边同乘以4a, 得到4a2x2+4abx +4ac=0 (a≠0) , 移项, 得

4a2x2+4abx=-4ac, 两边同时加上b2, 得

4a2x2+4abx+b2=b2-4ac

∴ (2ax+b) 2=b2-4ac