近似处理

近似处理（精选7篇）

近似处理篇1

0 引言

掘进巷道是一个独头巷,通风回路不完整,稀释和排除有害气体和粉尘依靠局部风机和风筒组成的局部通风系统[1]。随着掘进巷道长度、巷道断面积等因素发生变化,掘进巷道局部需风量也发生变化,为满足工作面需风量,须在局部通风系统中选取合理通风方式及局部风机,而局部风机性能高低决定风机选择是否合理,若想了解局部风机性能,则须掌握局部风机实际特性曲线。

目前对风机特性曲线的处理方法主要有最小二乘拟合法与插值函数逼近法。文献[2,3,4,5,6]采用正交函数、正反相切抛物线法等方法对风压曲线、功率曲线及效率曲线进行整体拟合。文献[7,8,9,10,11,12,13]基于最小二乘原理对风机特性曲线进行拟合,从相关系数等角度对拟合曲线进行检验,说明拟合次数并非越高越好。目前研究大多集中在对局部风机数据的精确性检验上或在局部风机整体曲线的处理方式上,对如何处理风机稳定运行状态下实际特性曲线的研究较少,对选取局部风机型号及预测局部通风达到工作面风量的研究更少,说明本文具有一定创新性。

鉴于此,本文针对仅了解局部风机风量及风压范围这一现状,提出使用拉格朗日一次线性函数代替局部风机稳定运行区域内实际特性曲线的方法,再结合风阻曲线得到风机工况,并论述了这种方法在局部通风方式中的应用。

1 局部风机特性曲线的近似解法

1.1 特性曲线近似解法处理原则

在实际应用中,局部风机稳定工作需满足两个条件:①工作效率需在60%以上,如图1中效率曲线IV与风机特性曲线I交点n'所示以上部分;②风机工作风压应低于额定风压的90%,如图1中风机特性曲线I上的m'点。

在此区域(风机稳定工作区)内,风机特性曲线能够近似看成一条直线,因此可采用一次函数替代。由于图1中m'和n'点处的坐标值不方便准确给出,因此使用厂家提供的技术参数m和n来代替,同时采用曲线III与直线II交点(hf,Qf)代替曲线III与I的交点(hf',Qf'),接下来在已知风压的条件下求解风量并判断风量是否满足要求。

I-理论风机特性曲线;II-插值函数;III-风阻曲线;IV-效率曲线;m,n-理论参数;m'-0.9倍风压极大值;n'-效率η≥60%;(h',Q')-理论工况点;(hf,Qf)-近似工况点

设风机风压范围为(hmin,hmax),风量范围为(Qmin,Qmax),风机工况点为(hf',Qf'),根据图1,直线斜率近似等于工况点(hf',Qf')与(hmax,Qmin)连线的斜率,即

1.2 近似解法精度检验

与处理整段风机曲线不同,本文仅处理风机稳定运行区域内曲线。文献[4]提出风机特性曲线最佳拟合次数为五次,根据表1中三台风机原始数据,拟合得到风机1的五次函数(限于篇幅,风机2、3拟合函数不再列举,且在不影响结果的前提下适当处理方程有效数字)为:

式中:q为风机风量,m3/s;h为风机风压,Pa。

上述风机均稳定运行,风压满足在额定风压最大值的90%内。根据风机1风量及风压起始点,计算得到一次插值方程为(风机2、3插值函数不再例举):

已知风量可根据式(2)与式(3)分别算得两组风压值,为衡量两方程算得数据的吻合程度,求出各自结果的判定系数R2,结果如表2。

由表2可知,一次插值函数与五次拟合函数的判定系数较为接近,且都很接近1(说明拟合效果好)。文献[4]针对完整风机曲线进行拟合,结果虽更精确,但避免不了高次曲线容易发生振荡的现象。这里使用一次函数来代替风机特征曲线,仅针对风机稳定工作区域进行拟合,既简单快速又较为准确,实用性较高,且避免了高次拟合曲线出现振荡的缺陷。

1.3 局部通风机工况确定及选型原则

基于式(1)所述近似原理,对一独头掘进巷道中局部风机做实际研究,确定风机工况及给出判断风机型号是否满足条件原则。设独头掘进巷道长度为L,满足工作面需风量下的风机风压为hr,对应工况点为(hr,Qr)则

式中:α为风筒摩擦阻力系数,N·s/m4;L为风筒全长,m;d为风筒直径,mm;ρ为空气密度,kg/m3;S为风筒断面积,m2;ξin(ξbei、ξon)为风筒入口(拐弯、出口)局部阻力系数;pi为风筒漏风备用系数。

将Qf代入到式(1)中,算得风机工作风压hf,若hf>h需,则风机能力能够满足需要,反之则需更换更大能力的风机。综上,建立风机选型约束条件为:

式中:Qf为风机工作风量,m3/s;h为工作所需风压,Pa。根据式(5)进行风机选型可满足需风要求。

2 既定型号局部风机风量预测方法

2.1 风筒出口风量预测

由图1可知当风机稳定工作时,采用一次拉格朗日插值函数代替局部风机特性曲线,同样与阻力曲线存在交点,hf趋于hr,该点即为风机工况点,再分别对hf和hr联立求解,得到阻力-压能平衡方程如式(6):

式中:hf为风机工作风压,Pa;Qf为风机工作风量,m3/s;Qmax、Qmin分别为风机最大、最小工作风量,m3/s;hmax、hmin分别为风机最大、最小工作风压,Pa;R为风筒风阻,N·s2/m8;Q为工作面有效风量,m3/s。联立方程组(4),得到关于风机工作风量的特征根解,如式(7):

按照该法可以对既定风机的供风能力进行评估,在现有风机满足工作面用风需要的条件下,选择经济有效的风机,从而节约设备资源。

2.2 局部风机风量预测效果检验

现有某矿局部通风系统,风筒全长为490 m,风筒直径为800 mm,每节10 m,共48个接头,风筒有两处90°拐弯,FBDNo6/2×15 k W型局部通风机主要技术参数如表3。

据实测得,L=490 m,d=800 mm,S=5.03 m2,ρ=1.2 kg/m3,α=0.003 2 N·s/m4,ξbei=1.2,ξon=1,ξin=0.5,η接=0.005,计算得到pi=1.316,将上述数据带入到式(1),算得R=47.78 N·s2/m8。根据式(7)得Qf=394 m3/min,实测风筒出口风量为Q测=354 m3/min,两者较为接近。因此,该风量预测方法较为可靠,可用来估测风机送达工作面的有效风量,且能够根据式(6)近似确定风机工况。

3 一次插值在长距离掘进通风中的应用

在目前的长距离掘进通风中,避免不了粉尘、污风循环等问题(煤矿井下存在瓦斯等危害性气体),单纯增加矿用主通风机能力并不能解决这些问题。因此,钻孔通风、风库中转通风等方式开始用于长距离掘进通风中,如图2所示,其中两种通风方式均涉及到局部风机的存在[15]。

1-钻孔风机;2-密封混凝土;3-通风钻孔;4-柔性风筒;5-中转风库;6-中转风机;7-掘进工作面;8-运输斜坡道;9-地表;10-斜坡道入口;11-风库;12-局部扇风机;df-风机直径;dz-钻孔直径

而采用一次线性插值代替风机稳定运行区曲线,对于钻孔通风与风库中转通风中技术参数的确定均具有启发性作用。

3.1 钻孔位置对通风有效性的影响

为实现通风有效,即保证底部中转风机到达工作面的有效风量Q1能够满足工作面的风量需求Q2,在对钻孔位置进行调整时,应对各级风量进行估计,至少应保证Q1=λQ2,(λ一般为1.2~1.5,这里取1.2)。在钻孔通风方式中,钻孔的长度、直径均为影响送达用风地点有效风量的重要因素,在式(7)的基础上,可推论出钻孔通风上级风机有效风量随钻孔长度、直径的变化关系式(8)(上、下级相似,不再赘述):

式中:hmax-1、hmin-1为上级风机最大、最小风压值,Pa;Qmax-1、Qmin-1为上级风机最大、最小风量值,m3/s;Rz(dz,Lz)为风阻,N·s2/m8;dz为钻孔直径,m;Lz为钻孔长度,m;pi为底部中转柔性风筒漏风备用系数;Qf1为底部中转风机工作风量,m3/s。

分析式(8)可知,相对于提高风机能力和缩短通风距离,调整钻孔直径、长度更能有效的改变钻孔通风效果,更容易满足风量需求。

3.2 风库中转位置确定方法

对于风库中转合理位置的确定,前人提出在总掘进长度的2/5处构筑风库,将风库中的中转风通过局部风机送到工作面,该说法并没有给出风库位置选定的严格证明过程。为保证利用风库进行有效通风中转,上、下级风机工作风量应满足Qf1=λQf2(Qf1,Qf2为上、下级风机工作风量,λ取1.2)。在式(7)的基础上,得出风库上、下级风机风量与风筒长度关系如式(9)所示(上、下级相似,不再赘述):

式中:hmax-1、hmin-1为上级风机最大、最小风压值,Pa;Qmax-1、Qmin-1为上级风机最大、最小风量值,m3/s;R100-1为百米风阻,N·s2/m8;L1为风筒长度,m;p01为底部中转柔性风筒漏风备用系数;Qf1,上级风机工作风量,m3/s;Q1,上级风机工作达到工作面的有效风量,m3/s。

分析式(9)可知,若已知长距离掘进巷道总长度,为满足上、下级风机风量通过风库合理中转,根据上、下级风量比,能够得出上、下级风筒的长度,即得出风库(风机)的合理布置位置。

4 结论

1)对于局部风机的选型,利用一次线性插值函数代替局部风机稳定工作区域的特性曲线,在满足根据需风量计算得到的理论风压须大于该需风量对应风筒阻力值的基础上,对插值结果进行检验,结果较为精确。

2)对于既定局部风机的风量预测,经实际验证,计算得到的理论风量与实测风量相差较小,表明本文的预测方法比较可靠,可以用于已有局部风机的送风效果预测。

3)本文提出的掘进面局部风机选型及风量预测方法对于矿井局部风机通风动力的选择具有实际参考价值,特别是长距离掘进通风中的钻孔通风(直径、长度)以及风库中转通风(上、下级风筒长度),通过调整钻孔直径、长度及上、下级风筒长度等参数以达到满足通风条件下的经济最优化。

摘要：针对目前局部风机特性曲线很难得到或应用而导致局部通风研究受限问题,提出一种根据局部风机风量及风压范围近似求解风机特性曲线的方法。该方法采用一次线性插值函数代替风机特性曲线函数,结合风阻特性曲线得到风机工况。基于该方法可进行局部风机选型或预测既定型号风机工况点及风筒出口风量,同时可确定长距离掘进通风中钻孔通风有效风量与钻孔长度、直径的关系,也可确定风库中转位置与风筒长度的关系。应用分析结果表明:用一次函数代替稳定区域风机特性曲线函数不仅简单方便,结果较精确,且方法可靠、实用性高。

关键词：局部通风,特性曲线,风量预测,一次插值

浅析商标的近似性篇2

2002年10月16日实施的《最高人民法院关于审理商标民事纠纷案件适用法律问题的解释》 (法释[2002]32号) 第十条规定, 商标近似是指被控侵权的商标与原告的注册商标相比较, 其文字的字形、读音、含义或者图形的构图及颜色, 或者其各要素组合后的整体结构相似, 或者其立体形状、颜色组合近似, 易使相关公众对商品的来源产生错误或者认为其来源与原告注册商标的商品有特定的联系。2005年12月国家工商行政管理总局商标局颁布的《商标审查标准》将商标近似解释为:商标近似是指商标文字的字形、读音、含义近似, 商标图形的构图、着色、外观近似, 或者文字和图形组合的整体排列组合方式和外观近似, 立体商标的三维标志的形状和外观近似, 商标的颜色或者颜色组合近似, 使用在同一种或者类似商品或者服务上易使相关公众对商品或者服务的来源产生误认。判断商标是否近似是国家商标确权机关在商标注册申请审查、商标案件审理及商标行政执法机关进行商标侵权查处过程中经常考虑的问题。

各国在相关司法中都积累了一定的判断商标相似性的概念要素。比如美国, 其第二巡回法院在Polaroida案中总结了判断商标可能混淆的8大要素:商标的强度;商标的近似程度;商品的类似程度;在先商标所有人扩大生产的可能性;实际混淆;被告采用其商标是否为善意;被告产品的质量;消费者的老脸程度。欧盟法院也在一系列判例中确立了相应的标准:综合考虑所有与双方当事人商标标识和商品或服务相关的各种因素;相关因素中包括了原告或商标申请异议人注册商标的使用性质和程度、商标的固有显著性和获得的显著性;商品或服务的相似性;必须考虑商标在音、形、义上的相似性;特别需要考虑商标的主要部分和显著因素。[1]当然, 对商标近似性的判断主要是对商标之间音、形、义的区别, 但这些区别都是立足于商标相似性本身对混淆结果的影响。一般来说, 造成混淆结果的可能性是与商标标识的外在表现形式和被请求保护商标的知名度和显著性成正比的。

二、商标近似的原则

(一) 判断商标是否近似, 以相关公众的一般注意力为标准

我国对此有相关的规定, 其中《最高人民法院关于审理商标民事纠纷案件适用法律若干问题的解释》第十条规定, 人民法院依据商标法第五十二条第 (一) 项的规定, 在判断商标近似上应以相关公众的一般注意力为标准。即判断商标是否相似时, 是以相关公众的一般注意力, 一般注意力不是相关公众的特别注意力, 即不能以相关公众特别的施加注意力或不施加注意力来判断。比较商标是否相近时, 应该考虑到消费者在实施消费或者购买商品、服务时, 消费者施加的是一般注意力, 即其精神不是高度集中的, 而是利用大部分的消费者都具有的平常注意力而不是特别用精力去注意、区别的。所以, 在判定相关的商标之间是否存在近似的可能性, 首先要考虑在购买商品或服务时, 消费者由于注意力的不集中, 即可能并不能注意到商标的某些细节, 而仅仅注意到商标整体就购买商品, 这样可能造成消费者不能够明确的区分商品, 从而可能导致商标的混淆。

(二) 判断商标是否近似, 应当采用对比主要部分和观察整体相结合的方法

对比主要部分, 是指对商标的主要部分, 即起决定性的部分进行区分, 比如对商标的图形、外语标识、汉字等主要部分进行对比。观察整体的方法, 是指对把商标看成是一个整体, 即商标的外在表现形式、外观样式等进行对商标近似的考量, 判断商标给人的整体视觉印象是否近似。对比主要部分和观察整体的方法两者要做到相互结合、不能偏废, 这样才能够比较准确的商标是否近似做出区分。《最高人民法院关于审理商标民事纠纷案件适用法律若干问题的解释》第十条规定, 人民法院依据商标法第五十二条第 (一) 项的规定, 对比商标近似时, 既要对商标的整体进行对比, 又要对于商标的主要部分进行对比。例如:当相关的商标所有人对商标是否相似存在争议时, 在异议复审裁定中, 一般来说, 汉字是应该重点进行区分的, 这是考虑到我国消费者的注意习惯, 对汉字进行重点区分时, 应该结合争议商标的整体构成和外在表现形式等, 来裁定争议商标之间是否构成近似商标。

(三) 判断商标是否近似, 应当考虑争议商标指定使用的商品是否类似

申请商标注册采用的是分类申请的原则。如果近似或者相同的商标使用在非类似的商品上, 那么一般来说不易引起相关消费者的误认混淆。因此, 对商标之间是否存在近似, 一般判断争议的商标是否使用在类似的商品上。在现实生活中, 不同商品上存在相近或相同的商标, 是个相当常见的现象, 例如公众比较熟悉的“长城”商标, 其在第4类润滑油商品、第9类计算机商品、第33类葡萄酒商品上都已经获得国家的注册, 并且都被认定为中国驰名商标。这些用在不相类似商品的相同商标之间是不存在争议的。

(四) 判断商标是否近似, 还应采取不溯及既往的原则

随着社会和经济的发展, 商标的审查标准和商品类似, 可能造成过去认为是相近似的商标, 现在却不认为是相近似的, 或者过去不认为是相似的商标, 现在就可能被认定为相近似的, 这样对商标审查来说, 其审查准则应该做出相应的调整。但是, 商标审查准则的相应调整不能过于随意和频繁, 幅度不能太大, 时间不能过短, 应当在保持商标审查准则稳定性的同时, 在其小范围内做出相应的调整, 否则就有可能造成注册商标上的有失公平。并且值得注意的是, 调整商标的审查准则不能作为商标审查中过于随意的借口。过去不能注册的商标, 现在就有可能可以注册, 而对于已经注册的商标, 原则上来说其应该不受商标审查准则调整的影响和制约。

三、商标近似的标准

判断相关商标是否近似一般应从形、音、图、义四个方面去考量, 其分别指的是商标的形状、发音、图形、含义。商标的形状近似, 是指相关商标组成文字之间的形状相近似或者是组成商标的词组中的部分字母或者文字近似或相同。例如:“老糟坊”和“老槽房”中“糟”和“槽”形状相似, 容易被消费者误认, 所以构成商标的近似。商标的发音近似:是指相关商标之间, 虽然文字的形状有所不同, 但是商标的文字发音却相近似。这是由于我国文字的特性。相对于世界上的其他文字, 比如字母组成的文字, 我国的文字属于象形文字, 近似的发音或者相同的发音对应许多完全不同的文字。如“和”和“合”字, 尽管在形状上有所不同, 但是发音相似, 在商标的认定上, 很大程度上可能被认定为近似商标。商标的图形近似, 是指作为组成商标的图形近似。详细来说是指, 判断图形商标的近似, 主要是考查图形的主体结构及整体两个方面, 即构成图形的主体结构及整体是否近似或相同, 如果近似或相同, 则相关商标之间就可能构成近似。如果商标的局部不相似, 但是作为整体却构成相似, 则争议商标仍然有可能被认定为近似商标。商标的含义相似, 是指商标文字之间所表达的意义近似, 主要是用于不同文字之间的近似比较。在认定含义近似时, 虽然相关商标之间的发音、形状等不相同, 但是所表达的意义却近似, 那么相关商标通常也被认定为近似商标。例如:“蓝”与“BLUE”应当认定为近似, 但是应该注意的是, 由于一种文字的含义对其本身来说只有一种意义, 但是对应令一种文字来说往往有多种含义。“BLUE”对应的英文有“蓝色”、“天蓝色”、“布鲁斯”等多重含义。如果一个商标在一种语言文字中有多重含义, 就武断的排斥其它含义, 而从这一个单一的含义上认定为与另一种语言文字所表达的商标含义近似, 那么这样范围容易扩大, 有失公平性。所以, 一种文字商标对另一种文字商标的含义排斥, 应当严格的限制在相关文字之间的主要含义上, 而不是过度的引申。

四、区别商标近似性的意义

对相关商标近似性的认定是有显著意义的。在市场经济中, 消费者区分商品、认定商品的好坏等主要是用商标来实现区分的。商标在某种意义上来说, 是商品或服务的名片, 是经营者表达身份信誉的良好载体。商标标识与经营者的商品或者服务有着密切的联系, 特定的商标是和特定的商品和服务相联系的, 商标在一定程度上代表着经营者的商品质量和信誉。良好的商标能够给经营者带来巨大的利益, 也能够能消费者带来一定的安慰感, 是区别与其他同种商品或服务的最显著的外在表现。如果相关商品或服务的商标之间发生近似, 那么经营者不仅其利益会得到损失, 消费者也会在某种程度上被欺骗, 从而扰乱市场经济的秩序, 不利益经济和社会的发展。商标最显著的功能就是商品与商品之间的识别性, 法律对区分近似商标, 对商标进行保护, 并不是赋予商标权人对商标上的文字或符号等进行垄断的权利, 而是国家保护商标标识所具有的识别性功能的义务。

参考文献

[1]邓宏光.商标法的理论基础——以商标显著性为中心[M].北京:法律出版社, 2008.

从“估算”就是“近似计算”谈起篇3

其实, “大约”和“估算”是不完全相同的两个概念。

《辞海》中阐述:“估计是指对事物的价值, 数目等大概的推断。”著名学者杜玉文这样解释:“估算并不一定要接近准确值, 它其实是表达人类对事物的渴求罢了。”可以看出, 估算是带有解题者主观意愿的, 对问题的结果所做出的大致推算。

我们可以通过下面的例子来理解解题者的“主观意愿”。

比如这样一个生活情境:小明买4件单价为6.2元的商品。

站在小明的角度, 他考虑的问题是:应该准备多少钱?小明是一个消费者, 他应考虑准备足够的钱。所以, 他应将“6.2元”估大为“7元”, 准备的钱为“4×7=28 (元) ”比较合理。

站在营业员的角度, 考虑的问题是:一共收多少钱?这时, 就需要精确计算为“4×6.2=24.8 (元) ”。

如果这一题是一道单纯的练习题, 问题为;“总价大约是多少钱?”那解题者就应将“6.2元”四舍五入看作“6元”, 总价大约为“4×6=24 (元) ”。

从这一例中, 我们可以感受到, 同样的生活情境, 由于解决者所担任的角色不同, 解决问题的心理状态就会不一样, 那么出于“主观需求”而采用的解题策略则不一样。

再如, 同一算式, 由于解题情境的不同, 所采取的估算策略也不同。

比如这样的两个情境:

第一个情境:小东每天写32个大字, 他一周大约写多少个大字?

第二个情境:全班一共32人去参观科技馆, 每张门票7元, 大约要准备多少元?

解决这两题, 所列的算式应都为“32×7”。但在第一个情境中, 则应将“32”看成30来估算小东一周写大字的个数;而在第二个情境中, 则要将“32”看成“40”来估, 或将“7”看成“10”来估。

可见, 不同的情境需求, 同一算式的解决策略则不一样。郜舒竹教授就曾这样指出:“运用估算解决的大部分问题都是‘可以准确’表达或计算的, 但鉴于计算者的主观意愿以及为了使得计算简单、快捷的目的, 有意把准确的数据或运算改变了。虽然作为结果的数据是不准确的, 但是可以满足计算者的主观意愿。”

而“近似计算”, 很多发生在“无法准确”的情况下。

比如:圆周率∏是一个无限不循环小数, 但在求圆的周长、面积之类的问题中都要用到这一数量, 为了计算方便的需求, 一般情况下, 都把∏看作3.14来参与计算。这时, 求出的相关结果就是一个近似值。

再如, 世界上最小的鸟是蜂鸟, 大约只有2克重。世界上最大的鸟是鸵鸟, 大约有100千克重。试问:所有的蜂鸟都是2克吗?所有的鸵鸟都是100千克吗?显然不是。这里, 取“2克”、“100千克”这两个数量, 代表了某一类动物的一个共同属性, 也是一个近似值。

又如:小丽每分钟走60米, 从学校到家走了15分钟, 小东家到学校大约有多少米?在小丽15分钟走的过程中, 不可能是匀速前进的, 这里的“60千米”只能是对这一运动变化的数量的一个近似描述, 所以, 求得的总路程应是一个近似值。

在这些例子中, 我们可以感受到, 解决相关问题时, 人们的主观意愿是尽量去追求更准确些, 但由于客观原因, “无法准确”的情况下, 不得已而为之的采用“近似计算”。

此外, 在题中明确要求“保留”、“精确”等, 对计算结果有客观要求, 不带做题者主观意识时, 也要用到近似计算 (例题选自苏教版教材)

此题中, 明确指出:“除不尽时, 保留三位小数。”所以, 最后的结果应为近似值。

由此, 可以看出, “估算”与“近似计算”的区别有:

1.估算与解题者的主观需求有很大的关系, 估算的过程是为了满足人的主观需要而出现的。而近似计算, 则更多的带有“客观性”。

2.估算往往是可以准确计算而不去准确计算, 为了简便、快捷的目的去求大约值。而近似计算往往是因为无法准确。

3.估算需要经过观察、分析、判断、推理等认知过程, 通过一定的估算策略, 获得的一种概略化结果的过程。这一过程, 不仅有策略的选择, 还有数学思维的体现, 对于提高学生的观察、分析、处理、解决问题等能力具有十分重要的价值。而近似计算, 则往往是一种运算技巧。

学习近似数五注意篇4

我们以往研究的数大多数是理想化的数,所谓理想化是指许多数字和数据都是虚拟的,目的是减少计算量,使人明算理、懂算法,培养逻辑思维能力及分析问题和解决问题的能力.然而,在我们的日常生活中,既存在着大量的准确数(如某班的学生人数、课桌上书本数等),更存在大量的近似数(如地球的半径、课本的长度等).学习近似数的意义可从两方面来认识:一方面,在实际生活中,有时不可能把某些数搞得真正准确.例如到菜市场买2千克菜, 用秤去称,不可能真正准确,如2.03千克或1.98千克就算2千克了.另一方面,在实际生活中没有必要把数搞得那么准确,只需一个粗略数字即可. 例如统计一个城市的人口,我们常说大约是多少人,小明的身高大约是多少米.可见,在实际生活中,准确数与近似数都是必需的.

二、切实弄清近似数的“精确度”概念

我们知道,21/2=1.414…,计算中我们需要对21/2取近似数:

如果结果只取整数,那么四舍五入后应为1,就叫做精确到1(精确到个位);如果结果取一位小数,那么四舍五入后应为1.4,就叫做精确到0.1(精确到十分位);……

一般地,一个近似数四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.如近似数3.6精确到十分位,近似数3.8万精确到千位.注意:3.8万不是精确到十分位,需将它转化为38000,即可知道8在千位上, 它精确到千位而不是十分位.

三、正确进行近似数的取舍

对一个精确数用四舍五入法按要求取近似值时,要注意从要求精确到的数位的下一位(即右边一位)开始进行四舍五入, 切忌从最后一位开始采用四舍五入法.如把数0.146取近似值精确到十分位,则应从百分位4开始四舍五入. 由于百分位上的数字是4,因此由四舍五入可得0.146≈ 0.1,而不能这样求:0.146≈0.15≈0.2.

对于一些大数取近似数时,要先将它用科学记数法a×10n表示出来,再按照要求进行取舍.

四、明白近似数1.6与1.60的不同点

近似数1.6与1.60的不同点主要有两个方面:(1)精确度不同. 近似数1.6精确到十分位,而近似数1.60精确到百分位. (2)范围不同.近似数1.6与准确数的误差不超过0.05,它所代表的准确值在1.55到1.65之间,即小于1.65而大于或等于1.55; 1.60与准确数的误差不超过0.005,它所代表的准确值在1.595到1.605之间,即小于1.605而大于或等于1.595.用数学式子来表示,即: 若设a ≈1.6,b ≈1.60,则1.55≤a<1.65,1.595≤b<1.605.由此可见,1.60比1.6的精确度高,因此,近似数末尾的 “0”不能随便去掉!

五、能熟练进行近似数的计算

在进行近似数的计算时,应注意中间过程的各数应取比题目要求的精确度多一位的小数来计算,最后结果再用四舍五入法取近似值.

例如,计算26.5-3.678-0.247+8.25(精确到0.1),应该这样来解:原式≈26.5-3.68- 0.25+8.25=30.82≈30.8.

对数应变张量的近似计算公式篇5

在大变形理论中, 对数应变比工程应变更能真实地反映变形的积累过程, 也称真实应变。所以它在理论研究[1,2]、工程计算和数值模拟[3,4,5]中被广泛采用。

当变形梯度给定时, 对数应变可以通过多种方法得到其精确表达式, 如谱分解或表示定理等[6]。但是这些方法都需借助特征值和特征向量的计算得到, 特别是当存在重复的特征根时处理更为困难。

本文利用各向同性张量函数在不同点进行泰勒展开, 选取不同项数, 得到近似程度较好的对数应变张量的近似表示公式。并结合简单实例, 对近似计算结果的精度和计算时间与精确解进行比较。

1对数应变的两种表示

设变形梯度为F, 右Cauchy-Green应变张量为C=FTF, 其特征根为Λi, 特征方向为Ni, 则由谱分解定理[6]

C=∑iΛiNi⨂Ni (1)

其主不变量为

$Ι_{1} = t r C, Ι_{2} = \frac{1}{2} [(t r C)^{2} - t r$ C2], I3=detC若对数应变张量定义为

$Η = \frac{1}{2} \ln C$ (2)

则

$Η = \frac{1}{2} \sum_{i} \ln Λ_{i} Ν_{i} ⨂ Ν_{i}$ (3)

对于对称各向同性张量函数H, 由表示定理可知[6]

H=ϕ0 I+ϕ1 C+ϕ2C2 (4)

1.1当C有三个不同的特征根时

(4) 式系数有唯一解为

(5) 式中 (i, j, k) 为 (1, 2, 3) 的偶排列。

1.2当C有两个特征根相等时

设Λ1 (t) ≠Λ2 (t) =Λ3 (t) , 利用

C=Λ2I+ (Λ1-Λ2) N1⨂N1 (6)

则H的表示退化为

$Η = \bar{ϕ}_{0} Ι + \bar{ϕ}_{1} C$ (7)

(7) 式中

1.3三个特征根相等时

令Λ1 (t) =Λ2 (t) =Λ3 (t) =Λ (t) , 则

C=ΛI (9)

和

$Η = \frac{1}{2} \ln Λ Ι$ (10)

2对数应变张量的级数表达式

由于对数应变张量H是C的各向同性函数, 因此可泰勒展开表示为

$\begin{array}{l} Η = \frac{1}{2} \ln [(C - α Ι) + α Ι] = \\ \frac{1}{2} (\ln α) Ι + \end{array}$

$\sum_{n = 1}^{\infty}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n} α^{- n} C_{α}^{n} = ϕ_{0} Ι + ϕ_{1} C_{α} + \\ ϕ_{2} C_{α}^{2} (11) \end{array}$

(11) 式中, α为任意标量, Cα=C-αI, ICα, IICα, IIICα为其不变量, 则

$\begin{array}{l} ϕ_{0} = \frac{1}{2} [\ln α + \frac{1}{3} α^{- 3} Ι Ι Ι_{C_{α}} - \frac{1}{4} α^{- 4} Ι_{C_{α}} Ι Ι Ι_{C_{α}} + \\ \frac{1}{5} α^{- 5} (Ι_{C_{α}}^{2} - Ι Ι_{C_{α}}) Ι Ι Ι_{C_{α}} - \dots] ； \end{array}$

$\begin{array}{l} ϕ_{1} = \frac{1}{2} [α^{- 1} - \frac{1}{3} α^{- 3} Ι Ι_{C_{α}} - \frac{1}{4} α^{- 4} (Ι Ι Ι_{C_{α}} - Ι_{C_{α}} Ι Ι_{C_{α}}) + \\ \frac{1}{5} α^{- 5} (Ι_{C_{α}} Ι Ι Ι_{C_{α}} - Ι_{C_{α}}^{2} Ι Ι_{C_{α}} + Ι Ι_{C_{α}}^{2}) - \dots] ； \end{array}$

$\begin{array}{l} ϕ_{2} = \frac{1}{2} [- \frac{1}{2} α^{- 2} + \frac{1}{3} α^{- 3} Ι_{C_{α}} - \frac{1}{4} α^{- 4} (Ι_{C_{α}^{2}} - Ι Ι_{C_{α}}) + \\ \frac{1}{5} α^{- 5} (Ι_{C_{α}^{3}} - 2 Ι_{C_{α}} Ι Ι_{C_{α}} + Ι Ι Ι_{C_{α}}) - \dots] 。 \end{array}$

当α=1时, 文献[7]曾给出公式 (11) 的表示, 若只取前四项和前三项, 即n=3和n=2时, 对数应变张量H的近似表达式分别为

$Η = \frac{1}{2} [(\frac{Ι_{3}}{3} - \frac{11}{6}) Ι + (3 - Ι_{2}) C + (Ι_{1} - \frac{3}{2}) C^{2}]$ (12)

$Η = - \frac{3}{4} Ι + C - \frac{1}{4} C^{2}$ (13)

为了提高近似公式的精度, 即级数收敛的速度, 关键是看f (α) =tr (C $_{α}^{2}$ ) =tr (C-αI) 2这个标量值函数在α为何值时能够取得极值, 由

f (α) =trC2-2αtrC+3α2。

可知当 $α = \frac{Ι_{1}}{3}$ 时, f (α) 存在极小值, 公式 (11) 得到的级数展开公式收敛速度较快, 即展开相同项数误差最小。

设 $\bar{C} = C - \frac{Ι_{1}}{3} Ι ‚ (11)$ 式表示为

$Η = \frac{1}{2} (\ln \frac{Ι_{1}}{3}) Ι +$ $\sum_{n = 1}^{\infty}$

$\begin{array}{l} \frac{1}{2} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n} (\frac{Ι_{1}}{3})^{- n} \bar{C}^{n} = \\ ϕ_{0} Ι + ϕ_{1} \bar{C} + ϕ_{2} \bar{C}^{2} (14) \end{array}$

$\bar{C}$ 的主不变量J1、J2和J3为

$J_{1} = 0, J_{2} = Ι_{2} - \frac{1}{3} Ι_{1}^{2}, J_{3} = \frac{2}{27} Ι_{1}^{3} - \frac{1}{3} Ι_{1} Ι_{2} + Ι_{3}$ 。

则 (14) 式中不变量ϕ0、ϕ1和ϕ2为

${\begin{cases} ϕ_{0} = \frac{1}{2} [\ln \frac{Ι_{1}}{3} + 9 Ι_{1}^{- 3} J_{3} - \frac{243}{5} Ι_{1}^{- 5} J_{2} J_{3} + \dots] ； \\ ϕ_{1} = \frac{1}{2} [3 Ι_{1}^{- 1} - 9 Ι_{1}^{- 3} J_{2} - \frac{81}{4} Ι_{1}^{- 4} J_{3} + \frac{243}{5} Ι_{1}^{- 5} J_{2}^{2} + \dots] ； \\ ϕ_{2} = \frac{1}{2} [- \frac{9}{2} Ι_{1}^{- 2} + \frac{81}{4} Ι_{1}^{- 4} J_{2} + \frac{243}{5} Ι_{1}^{- 5} J_{3} + \dots] 。 \end{cases}$

若只取 (14) 式前四项, 即n=3时, 对数应变张量H的近似表达式为

$\begin{array}{l} Η = \frac{1}{2} [(\ln \frac{Ι_{1}}{3} + 9 Ι_{1}^{- 3} J_{3}) Ι + \\ (3 Ι_{1}^{- 1} - 9 Ι_{1}^{- 3} J_{2}) \bar{C} - \frac{9}{2} Ι_{1}^{- 2} \bar{C}^{2}] (15) \end{array}$

当n=2时, 对数应变张量H的近似表达式为

$Η = \frac{1}{2} [(\ln \frac{Ι_{1}}{3} - \frac{3}{2}) Ι + 6 Ι_{1}^{- 1} C - \frac{9}{2} Ι_{1}^{- 2} C^{2}$ (16)

由此可见, 即使有相同特征根情况, 公式 (11) -式 (16) 仍成立。

3计算实例

下面通过计算实例, 分别说明通过级数展开得到对数应变张量的近似表达式, 在不同α时的近似程度, 以及与两种精确计算时间进行比较。这里关于对数应变张量的精确表达式分别采用公式 (3) 和式 (4) 。

本文所有的计算结果均使用CPU 1.51 GHz, 736 MB内存计算机并循环10万次获得。

3.1小变形中等转动情况

若设变形梯度具有分量

利用对数应变张量近似公式 (12) 和式 (13) 分别进行计算, 比较结果见表1, 各种方法所用的时间见表2。

对于此例从表1可以看出, 无论是n=3或是n=2时, 对数应变张量在 $α = \frac{Ι_{1}}{3}$ 时展开的的结果总是小于α=1时展开的误差。小变形时所有近似计算结果均能满足工程需要, 但计算时间远远少于精确计算。

3.2任意变形情况

若设变形梯度具有分量

对对数应变张量进行近似计算结果见表3, 每种方法所用的时间见表4。

因此可以看出, 在大变形情况下, α=1得到的近似表达式的误差已经很大, 已不能将此作为近似表达式, 而当 $α = \frac{Ι_{1}}{3}$ 时展开得到的近似表达式 (15) 和式 (16) 的近似程度仍很好, 适用范围更加广泛。

4结论

通过级数展开的方式获得了对数应变张量的近似表达, 给出了级数收敛速度较快的级数展开的形式, 与谱分解和张量表示定理得到精确表达式的计算速度进行了对比。通过简单的实例对比, 发现在 $α = \frac{Ι_{1}}{3}$ 时展开级数得到的近似表达式不但近似程度较好, 计算对数应变张量的速度较快, 而且表达式简洁, 系数求解简单, 适用范围广。本文方法得到的近似表达为工程上计算对数应变张量提供了一个简单而实用的计算方法。

摘要：基于泰勒展开给出对数应变张量的级数表示, 利用选取不同的项数和不同的展开点, 得到对数应变张量的误差最小近似表达式。结合简单实例, 对近似计算结果的精度和计算时间与精确解进行比较。结果表明, 获得的对数应变张量近似表达式不但简单, 而且计算时间短、精度高、适用范围也相当广泛。

关键词：连续介质力学,对数应变,谱分解,表示定理,泰勒展开

参考文献

[1] Hencky H. Uber die form fes elastizitatsgesetzes bei ideal elastischen soffen. Z Tekhn Phys, 1928;9:214—223

[2] Heiduschke K. The logarithmic strain space description. International Journal of Solids and Structutres 1995;32:1047—1062

[3] Heiduschke K. Computational aspects of the logarithmic strain space description. International Journal of Solids and Structures, 1996;33:747—760

[4]Criscione J C.Direct tensor expression for natural strain and fast, ac-curate approximation.Computers and Structures, 2002;80:1895—1905

[5]Plesek J, Kruisova A.Formulation, validation and numerical proce-dures for Hencky’s elasticity model.Computers and Structures, 2006;84:1141—1150

[6]Ogden R W.Non-linear elastic deformations.Ellis Horwood:Chich-ester, 1984

“三策略”助学近似数例谈篇6

1. 妙创情境明晰近似数, 唤醒估算意识

生活中一些事物的数量, 有时不需要或无法用精确的数表示, 而只用一个与它比较接近的数来表示, 这样的数就是近似数。近似数的出现是生活的需要, 它和生活紧密相关, 因此, 要结合生活情境来认识近似数。

教学时, 我首先为学生创设了一个身边的情境:我们学校2013年有学生2685人, 随着我区工业的发展, 吸引了更多的外来务工人员来我区就业, 也带来了我校学生人数的增长, 2014年我校学生人数近3000人, 为了满足大家学习的需要, 学校图书馆又购进3850册图书, 现在藏书总量接近60000册。接着, 我让各合作小组从情境中找出并写下所有的数量, 讨论在这些数中哪些是精确数, 哪些不是精确数, 在各小组充分讨论后请小组代表汇报讨论结果, 学生对精确数能清楚作出判断, 一下子找出“2013年”“2685人”“2014年”“3850册”这四个精确数, 认为剩下的“3000人”“60000册”不是精确数。“你们的判断理由是什么?”我进一步提出疑问。另一个小组代表回答:“因为2013年、2685人、2014年和3850册反映的是学校真实、准确的情况, 所以它们是精确数。3000人和60000册表达的不是准确情况, 只是一个大概情况, 因此不是精确数。”我趁机向学生介绍“近似数”。“那么, 你们又是如何判断3000人和60000册就是近似数的呢?”我追问道。“因为题目中说学生人数近3000人, 也就是说学生数不正好3000人, 而是和3000人比较接近, 所以3000是近似数。”“藏书总量接近60000册, 说明藏书总量比60000多一点或少一点, 而不恰好就是60000册, 因此60000是一个大约数, 也就是近似数。”两个学生的发言再次明晰了近似数的含义。在情境中比较, 学生对近似数有了更清晰的认识, 懂得生活中的有些事物的数量有时不需要用精确的数表示, 我们就可以根据需要用近似数来表示, 从而唤醒学生的估算意识。

2. 妙用方法求取近似数, 培养估算技能

估算讲究一定的方法技巧, 常用的估算方法有“四舍五入”法、去尾法、进一法等, 而求取近似数的方法是“四舍五入”法。在学生了解并学会准确判断近似数后, 我组织学生通过“分级—定位—求取”的方法步骤, 巧妙学习如何求近似数, 培养学生的估算技能。

出示例题7之后, 让学生自主探究, 在集体汇报讨论阶段, 我先在直线图上描出点来表示384204和386685, 然后找到385000所在的点, 将这两个数分别与38万和39万正中间的385000比较, 发现384204在385000的左边, 和38万比较接近, 所以384204≈38万;386685在385000的右边, 接近39万, 所以386685≈39万。在引导学生通过直观图形理解近似数的内涵后, 我把教学重点放在用“四舍五入”法求近似数。我组织阅读理解了教材中的有关“四舍五入”法求近似数的说明材料后, 让学生说说对“四舍五入”的理解, 由于学生以前对“四舍五入”已经有过接触, 所以理解很轻松, 接着我让学生尝试将例题中的三个多位数改写成用“万”作单位的近似数。在学生交流求近似数的思考过程之后, 我和学生归纳总结出一种巧妙而有效的方法步骤:先将多位数分级, 再确定找准万位, 最后看万位后面的千位数, 用四舍五入法省略尾数, 求出近似数。

灵活巧妙的方法有助于学生估算技能的提高, 让我们在数学教学中发挥教学智慧, 妙用科学方法, 提升教学效果。

3. 妙设形式应用近似数, 助提估算能力

学生技能的提高需要在丰富的练习中实践、历练、提升, 新颖多变的练习形式不仅能够吸引学生的注意力, 激发学生的学习兴趣, 而且能够拓宽学生的数学思维, 提高学生的综合能力。在本课练学环节, 我巧妙设计了不同形式的习题, 让学生应用所学知识解决有关近似数的问题, 进一步提升了学生的估算能力。

首先, 设计了“我是小法官”活动, 通过练习训练学生判断“近似数”的能力。“小警官”寻找出判断近似数的“关键词”, 如“大约”“约”“近”“大概”等词所表达的含义是“近似数”, 进一步提高了辨认近似数的技巧。其次, 让学生“自编近似数”, 在自我编写过程中创编情境和数据, 应用近似数。再次, 设计了“用万或亿作单位写出各数的近似数”“省略万或亿后面的尾数写出近似数”等题型, 重点练习巩固近似数的求法。最后, 设计了稍具开放性的题目“括号里可以填哪些数字”:39 () 260≈40万, 502 () 890≈502万, 99 () 0786400≈100亿, 1 () 0000000≈1亿。这一组带有开放性和一定挑战性的题目不仅激活了学生的思维, 训练了学生思维的发散性和灵活性, 而且提升了学生的估算能力。

教无定法, 贵在得法, 我们在小学数学教学中要巧思妙想, 提升教学艺术, 让我们在“三妙”策略下力助学生有效学习近似数, 提高估算能力。

摘要：教无定法, 贵在得法, 只有通过多种形式的练习应用, 才能让学生更加深刻体验近似数的内涵, 灵活掌握求近似数的方法, 有效提升学生的估算能力。笔者采用妙创情境、妙用方法、妙设形式的“三妙”策略实施教学, 帮助学生理解、求取近似数, 提高了教学效率。

实数与近似数错例剖析篇7

例1写出一个有理数和一个无理数, 使它们都是小于-1的数:_______、_______.

【错解】-2和21/2或-21/2和-51/2等.

【剖析】本题对写出的数有两个要求: 一是有理数和无理数各一个,二是它们都小于-1.错解中前者忽视了第二个要求,后者忽视了第一个要求.

【正解】如-2和-21/2或-9/2和1-51/2等等.

【点评】解答这类开放题,答案不唯一, 一定要看清题意,弄清要求,这样才能正确作答.

例2判断下列各数哪些是准确数, 哪些是近似数.

(1)一双没洗过的手带有80 000万个各种细菌.()

(2)王明同学的身高为1.62米.()

(3)杯子里有水30 ml.()

【错解】都是准确数.

【剖析】认为没有“大概、大约、左右”这样字眼的数据就是准确数,没有考虑数据的实际意义,导致错误.

【正解】都是近似数.

【点评】解此类题,不应简单地去找表示近似数的字词,而应仔细读题,理解题目的背景,结合实际意义来确定数据是否近似数.

例3判断下列说法是否正确,正确的打“√”,错误的打“×”.

(1)近似数3 000万和3千万的精确度相同.()

(2)近似数1.5×104精确到十分位.()

(3)长城总长约为6 700 010米,精确到1 000米结果是6 700米.()

【错解】(1)√;(2)√;(3)√.

【剖析】对于用科学记数法表示的数以为精确到哪一位就是看乘号前面的最后一位;对于带有单位的数考虑了精确到哪个位置,但把后面的数位遗忘掉了,从而导致出错.

【正解】(1)×;(2)×;(3)×.

【点评】近似数3 000万应该是精确到万位,3千万应该是精确到千万位,对于这类数,不能只看最后一个数在哪个数位,应结合单位来确定精确到哪个数位;1.5×104应是精确到千位,对于这类数可先将数据还原,然后看乘号前面的数最后一位位于还原后的数据中的哪一位,就是所精确到的数位;6 700 010米精确到1 000米的结果应是6 700 000米或者6 700千米,这类数是求整数近似数,不能将精确到的那个数位后面的0省略掉.

例4有一个数值转换器,原理如图, 则当输入的x为64时,输出的y是().

A.8 B.2 (2)1/2

【错解】当x=64时,算术平方根是8, 故选A.

【剖析】输入x后,取其算术平方根,若结果为无理数,则可输出;若结果为有理数,则不可输出,需将这个结果再输入,直至是无理数为止,才可输出.现在输入的x为64时,其算术平方根是8,是有理数,不能作为结果;再输入,其算术平方根是2(2)1/2,是无理数,符合要求,可输出.

【正解】选B.

【点评】本题通过数值转换器给出计算程序,考查实数的运算.解题的关键是弄清图形中给出的有关信息,正确判断运算的结果是否符合输出数的要求,若不符合,还需再次输入,直至满足要求后才能输出.

【剖析】符号“”代表开平方,也起着括号的作用,对于这类被开方数是加减运算形式的计算题,要先进行根号内的运算.

例6在数轴上找到表示101/2的点.

【错解】∵101/2≈3.16,∴ 在数轴上表示101/2的点如图1所示.

【剖析】未审清题意,将无理数取了近似数后在数轴上标出大致位置,导致出错.

【正解】在数轴上以3和1为直角边作直角三角形,如图2,则斜边为101/2,再以0点为圆心,101/2为半径画弧交数轴于点A, 则点A就是数轴上表示数101/2的点.

【点评】解这类题,要先考虑被开方数是哪几个完全平方数的和,例如本题被开方数10等于1和9的和,就能以它们的算术平方根1和3为边构造直角三角形,根据勾股定理可知斜边即为101/2,再借助圆规画弧,在数轴上找到要求的点的位置, 解题时要注意保留作图痕迹.