近似模型

近似模型（共7篇）

近似模型篇1

摘要：针对使用高斯函数的Kriging模型中相关矩阵参数θ会对拟合准确性产生较大影响的问题, 本文将改进的粒子群算法运用于Kriging近似模型中。在寻优过程中参数θ会受到诸多参数的影响, 本文为减少参数的输入, 在量子粒子群算法的基础上, 以一维势垒的思想做指导, 提出成熟度参数的计算公式。最终从具体算例中得出结论, 基于改进粒子群算法的Kriging近似模型具有较高的近似精度稳健性。

关键词：Kriging近似模型,粒子群优化算法,一维势垒

1. 前言

Kriging近似方法是拟合精度较高[1~3]的算法之一, 该方法在国内外都有较为广泛的应用[4, 5]。

然而Kriging近似方法中普遍采用高斯函数构造相关矩阵, 而基于传统优化算法 (如:斐波那契法) 的相关矩阵参数θ寻优, 一方面在寻优过程中, 可能会造成相关矩阵的奇异;另一方面寻优过程对初始值依赖性较大。针对第二个方面, 游海龙[6]及陈鹏[7]等人采用随机进化算法对Kriging改进。但是游海龙[6]及陈鹏[7]的研究虽然避免了相关矩阵参数的初值, 却额外引入了的参数——游海龙引入了交叉概率及变异率等, 陈鹏引入了两个加速因子和变异率, 而参数的过多引入可能会造成计算结果再现性降低。

本文为进一步减少参数输入、提高计算效率及结果再现性, 对已舍弃加速因子的量子粒子群算法进行了改进。并将改进的量子粒子群算法运用到了Kriging模型中, 并验证这种改进了的Kriging模型。

2. 数学模型

2.1 Kriging近似模型[4]

Kriging近似方法最早由南非地质学者Krige于1951年提出, 算法经过Matheron[8]及Giunta[9]等人的理论改进, 广泛运用于诸多领域。

在Kriging模型中, 真实未知函数形式如下:

f (x) 是关于x的未知函数, Z (x) 是均值为0、方差为σ2的随机函数。f (x) 相当于对全部设计空间的全局模拟, 而Z (x) 是对全局模拟的背离。

Z (x) 的协方差矩阵为如下表示形式,

R是相关矩阵, R是相关函数常用如下形式的高斯函数:

即为相关矩阵参数, 根据式 (5) 对的寻优结果很大程度上影响了Kriging拟合的准确性。

2.2 粒子群优化算法

粒子群算法是Kennedy和Eberhart于1995年提出的[10], 然而标准的粒子群算法容易陷入早熟, 国内外针对这个问题提出过多种解决方法。Jun Sun等人以DELTA势阱为基础提出了所谓的量子粒子群算法 (QPSO) [11]。

在QPSO算法中, 粒子的速度和位置信息都归结与一个参数。为保证算法的收敛性, 每一个粒子必须收敛于各自的p点, , 是该粒子在第d维的值。

其中:是介于0和1之间的随机函数。

同时在粒子群中引入一个中值最优位置来计算粒子的下一步迭代变量, 该值定义为所有粒子的局部极值的平均值mbest。

因此可以得到粒子的进化方程:

其中:u是 (0, 1) 的随机数, 是系数创造力, 调节它的值能控制算法的收敛速度。通常情况下, 从1.0线性减小到0.5时, 算法可以达到比较好的结果

为了进一步提高QPSO的全局搜索能力, Wenbo Xu等人提出了所谓的动态适应及强化动态适应QPSO算法 (DAQPSO、EDAQPSO) [12]。DAQPSO就是将从线性变化转变成梯度变化, 而EDAQPSO则是在DAQPSO的基础上引入一个所谓的成熟度 (mutation rate, MR) , 来对粒子局部最优位置进行修改。本论文作者理解, PSO具有记忆性, 这种记忆性可以提高寻优效率, 也可能将算法带入“早熟”。Jun Sun, Wenbo Xu及Bin Feng在QPSO中通过 (1) 将速度和位置信息都归结与一个参数 (2) 引入中值最优位置这两个措施从侧面避免“早熟”现象, 对粒子的记忆性并未做过多干预, EDAQPSO恰恰合适的修改的粒子的“记忆”, 从而有助于使算法跳出局部最优。

另外针对公式 (7) , 项是一个随机项, 因此有可能会出现函数绝对值较大的问题, 本文借鉴标准PSO的内容, 称之为速度项并给定其上限, 从而保证每一次粒子的进化都能最大可能的保留“记忆”。但一味限制也可能造成算法陷入局部最优, 同时成熟度的引入增加了在参数设置上的不确定性。因此作者参考一维势垒的“隧穿”理论思想, 引入“隧穿”效应公式来求解成熟度, 从而得到计算成熟度的公式。

本文为叙述方便将这种改进的QPSO算法简称为EQPSO, 基于EQPSO寻优的Kriging模型简称为E-K模型。

3. 算法的实现

根据上文所述原理, Kriging近似方法采用C语言实现, 具体流程如图1。

图1中“值的寻优”采用EQPSO算法进行寻优;“标准化响应点矩阵”标准化过程与构建标准正态分布的方法类似;“构造相关矩阵”过程中需要使用到公式 (3) ;“计算未知点的预测值”过程中使用到了公式 (4) 。

EQPSO算法也采用C语言实现, 程序流程如图2所示。

图2中“参数设置”中需要设置计算域大小、最大迁徙速度、种群规模、粒子的维度 (反应自变量的个数) 及最大迭代次数;“个体的迁移”过程中使用公式 (14) ;“个体最优位置进化”及“种群的进化”过程, 本质上就是计算结果的比较。

为验证EQPSO算法的有效性, 本论文使用Ackley、Schaffer、Grienwank、Rastrigrin函数来验证, 其自变量的取值范围与最优点分析如下:

Ackley是一个具有大量局部最优点的多峰函数, 全局最小值为f (x) =0, 在处获得;Schaffer函数是一个非常困难的函数, 算法容易陷入位于全局最优点附近的同心圆上的局部最优点, 是优点在 (0, 0) 处取得的, 最小值为0;Griewank函数最优点为 (0, 0, …, 0) , 最优值为0;Rastrigrin函数最优点为 (0, 0, …, 0) , 最优值为0。

在验算时, 最大迭代次数设置为10000, 种群数为100 (Griewank函数的为200) , 搜索范围为[-50, 50], 除了Schaffer函数外, 其他函数维数取4。

4.2 测试结果

基于4.1中的四个测试函数, 论文对标准PSO算法 (简称PSO) 、EDAQPSO算法及本文改进得到的EQPSO算法进行比较。其中标准PSO算法中额外设置了两个加速因子及一个惯性因子, 分别为1.8、1.8及1.0;EDAQPSO算法中额外引入成熟度0.08。

4.2.1 优化结果比较

表1~表4给出了三种粒子群算法的对四个测试参数的优化结果。

从以上四个表中, 可以看出粒子群算法确实在整体上具有较强的优化能力, 但是从表2可以得出在对Griewank函数寻优时, PSO算法及EDAQPSO算法陷入了局部最优, 而EQPSO算法则没有陷入局部最优。另外从整体上看, EQPSO算法的优化精度也要好于其它两种粒子群算法。

4.2.2 收敛速度的比较

图3~图6给出了最优适应度与迭代次数的关系曲线。

从图3~图6可以看出, 量子粒子群算法的收敛速度明显快于标准PSO算法的, 而EDAQPSO的和EQPSO的收敛速度差别不明显, 图3中EDAQPSO的收敛速度快于EQPSO的, 而图4~图6中的EQPSO的要略胜一筹。

结合以上优化结果及收敛速度两个方面的比较, 可以得出本文的EQPSO算法具备一定的优势。另一方面EQPSO算法输入的参数更少, 因为参数输入的减少, 其潜在的优化结果稳定性会有不同程度的提高。

4.3 其它参数对优化结果的影响

一般优化算法在处理高维数问题时, 往往会陷入困境, 因此有必要对EQPSO算法做这方面的考察。针对Ackley、Griewank及Rastrigrin函数, 取种群数为400, 搜索范围为[-50, 50], 维数分别取10、20及50, 考察EQPSO算法在处理高维数问题的能力。

经计算一般情况下随着维数的升高算法的寻优能力有降低的趋势。计算结果指出这三种粒子群算法在处理不同高维函数时有各自的优势, 比如标准PSO算法更适合10维的Ackley函数, 而成熟度为0.08的EDAQPSO算法则适合于高维Griewank函数。

针对Ackley函数, 标准PSO算法在20维以上 (含) 陷入局部最优, EDAQPSO算法在50时陷入局部最优 (成熟度:0.02) ;针对Griewank函数PSO在20维陷入局部最优;而EQPSO算法对这两个函数都保持着较为理想的寻优结果。

另外EDAQPSO算法依赖于成熟度的取值, 可以推测标准PSO算法也依赖于加速因子及惯性因子这三个参数的取值, 因此在处理实际问题时, 参数的设置就将依赖于经验。然而EQPSO算法因没有额外的参数输入, 算法计算结果更加稳定, 虽然在个别的高维函数中并非最优秀, 但是对不同函数的普适性较好, 因此在一般的实际问题中具备较高的可信度。

5. Kriging模型的检测

5.1 算例一

本论文采用的验证函数为, 以该公式为基础设置响应点, 通过函数上的其它点来验证近似精度。比较结果如表8所示。其中EDA-K为基于EDAQPSO算法的Kriging模型。

从表5中在插值点内[点 (0.198, 1.98) , 点 (0, 3) ], E-K算法和EDA-K算法都能得到非常精确的结果, 但是插值点外[点 (0, 0) ]会存在些许误差。另外EDA-K算法中当MR设置为0.08时, 对插值点外的预测可以认为是错误的, 事实上此时对参数寻优得到的值为-0.138344, 而其它对参数的寻优值均为0.163444。参数应该是一个大于0的值, 可见EDA-K算法中当MR设置为0.08时寻优出现了错误。

作者针对各个状态反复进行了验算, 发现当MR设置为定值时, 寻优结果有较小概率出错, 以表8验证为例, 当MR设置为0.08时, 在 (0, 0) 处出错概率很大, 而当设置为0.2时, 出错概率明显降低, 可见MR设置成0.2更适合于这个算例。相比较而言E-K算法则始终保持近似结果健壮, 这也印证了4.3节中的讨论结果。因此可以认为参数引入越多, 近似结果的不稳定性越大。

5.2 算例二

本文将E-K算法运用于一个实际案例中, 输入的响应点为11km高度下DLR-F6的CFD计算结果。在已知攻角α和马赫数Ma情况下近似升力系数Cl及阻力系数Cd。表10给出了E-K算法得到的近似结果与CFD计算结果的比较 (测试点不是响应点) 。

从表6中可以得出E-K算法对升力系数的预测结果误差小于1%, 对阻力系数的预测有一定误差, 其原因可能在于: (1) 本文给定的响应点输入总数较少; (2) 阻力系数的数值较小, CFD的计算结果稍有偏差就会产生较大误差。

综合算例一及算例二, 经本文改进得到的E-K近似模型, 不论在对理论函数的近似拟合上还是在实际案例的运用中, 都具备较高的近似拟合精度。同时与其它算法相比, 设置的参数较少, 从而降低了案例的分析难度, 提高了近似结果的稳定性。

6. 结论

本文基于“隧穿”效应的思想, 得到了对成熟度的计算公式 (15) 及 (16) , 并改进了原来QPSO算法中的“速度项”, 得到了所谓的EQPSO算法。将该算法运用于Kriging近似算法中, 得到E-K算法。

由验算结果得出以下结论: (1) EQPSO算法在保持快速收敛速度的同时, 具备更优越的全局搜索能力; (2) Kriging模型的拟合精度严重依赖于参数, 因此在对参数的寻优的过程中, 引入的参数越多可能会导致拟合结果的差错, 而本文基于EDAQPSO算法改进的EQPSO算法则将引入参数最少化, 从而为得到了稳健的近似结果提供了可能。

参考文献

[1]Sack J., Welch W.J., Mitchell T.J.Design and analysis of computer experiments, Statistical Science.1998, 4 (4) :409-435.

[2]Simpson T.W., Mauery T.M., Korte J.J.Comparison of response surface and Kriging models for multidisciplinary design optimization, Proceeding of the7th AIAA/USAF/NASA/ISSMO symposium on multidisciplinary analysis&ptimization, 1998, St.Louis, USA.

[3]Simpson T.W., Peplinski J.D., Koch P.N.Meta-models for computer-based engineering design:survey and recommendations.Engineering with computers.2000, 17 (2) :129-150.

[4]谢延敏.基于Kriging模型和灰色关联分析的板料成形工艺稳健优化设计研究 (D) .上海交通大学.2007.4.

[5]Jakumeit J., Herdy M and Nitsche M.Parameter optimization of the sheet metal forming process using an iterative parallel Kriging algorithm (J) .Structural and Multidisciplinary Optimization, 2005, 29 (6) :498～507

[6]游海龙, 贾新章.基于遗传算法的Kriging模型构造与优化 (J) .计算机辅助设计与图形学学报.2007, 1:第19卷, 第1期.

[7]陈鹏, 李剑, 管涛.基于PSO的Kriging相关参数优化 (J) .微电子学与计算机.2009, 4:第26卷, 第4期.

[8]杜德文, 马淑珍, 陈永良.地质统计学方法综述 (J) .世界地质.1995, 14 (4) :79-84.

[9]Giunta A A.Aircraft multidisciplinary design optimization using design of experiments theory and response surface modeling[D].Virginia Polytechnic Institute and State University, 1997.

[10]Eberhart R.C, Kennedy J.A new optimizer using particles swarm theory[C].NewYork:IEEE Piscataway, 1995:39-43.

[11]Jun Sun, Bin Feng, Wenbo Xu.Particle Swarm Optimization with Particles Having Quantum Behavior (C) .IEEE Proc.of Congress on Evolutionary Computation, 2004.

[12]Wenbo Xu, Wei Fang, Jun Sun, et al.An Improved Quantum-behaved Particle Swarm Optimization and Its Application to Digital IIR Filter Design (C) .978-1-4244-4649-0/09?2009IEEE.

近似模型篇2

描述混合物固液相变的两个近似模型

提出了描述混合物固液相变的两个近似模型:混合相模型和等效物质模型.通过对304钢的`计算和比较表明,由两个模型计算得到的结果与直接利用304钢的材料参数计算得到的结果相符合.

作者：冉宪文汤文辉作者单位：国防科技大学理学院应用物理系,湖南长沙,410073刊名：高压物理学报 ISTIC EI PKU英文刊名：CHINESE JOURNAL OF HIGH PRESSURE PHYSICS年，卷(期)：17(3)分类号：O521.2关键词：混合物固液相变近似模型

农产品检测的漫射近似传输模型篇3

光学无损检测技术在农业领域有着广泛的应用, 如农作物、农产品的形态和结构成像等[1]。在辐射传输模型中, 农产品组织被抽象成一个大量散射的吸收元的集合[2], 描述组织光学特性的参数有吸收系数μa、散射系数μs、散射各项异性因子g和折射率n, 它们与生物组织的多种生理状态有关[3]。这些散射和吸收元服从统计均匀分布, 并且它们的散射和吸收特性的统计平均效应可以理解为是生物组织内的细胞膜、细胞质和细胞核等基本组成单元的散射与吸收特性的统计平均效应。要从复杂的漫射光中提取有用的组织信息, 应深入研究光在生物组织中的输运规律, 以提高检测精度[3,4]。

基于辐射传输理论, 发展了近似漫射传输理论。光粒子与散射介质中的大量粒子相互作用, 其传播规律服从漫射近似理论。

1 漫射近似传输模型

根据稳态辐射传输方程

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考虑漫散射角的分布特点, 在轴对称情况下, 漫射强度和相函数用勒让得多项式展开, 带入稳态漫射强度满足的辐射方程式。在实际计算中, 展开级数必须在1, 2, ∧, N项之后截断, 这种方法称为“pN近似”。当N=2时, 就是著名的“漫射近似”[5,6]。进而得到一个描述生物组织内漫射光通量密度变化的微分方程, 这就是“漫射方程”, 即

D∇2ϕ (r) -μaϕ (r) +Ω0 (r) =0 (2)

则含时的漫射方程为

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式中 ϕ (r, t) —辐射通量密度;

D—漫射系数, D=[3 (μa+μs (1-g) ) ]-1;

Ω0 (r, t) —光源项;

μs′—有效散射系数, μs′=μs (1-g) 。

在无限细光束照射条件下半无限生物组织内, v为生物组织内的传播速度, ρ是柱坐标中的位置半径。

漫射方程的解为

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2 分析绘图

在外推边界条件下 (简称EBC) [7,8], 即在介质表面一定距离处, 光的平均漫射强度为0, 则

R (ρ) =-D∇ϕ (ρ, z) z=0

根据漫射近似, 得出光在介质表面的漫反射光强度为

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其中, ρ为在介质表面上所考察点到光源入射点的垂直距离。

探测入射光源与探测位置如图1所示。用MATLAB编程描绘了漫反射强度与探测点位置的关系, 如图2所示。

3 结论

1) 农产品组织为强散射介质, 不同产品的介质成分、疏密度和光通量不同。图2中, 列举了散射系数与吸收系数的比值为100:1和50:1的两种情况。从图2中可以看出:在入射强度相同的情况下, 介质的散射系数越高, 出射的光通量越大, 越有利于接受光信号便于探测。

2) 在多层结构情况下, 光粒子在迁移中由于吸收和散射作用, 光粒子能量减少甚至隐灭在迁移过程中, 不同检测距离上接收的光子数目随检测距离增加而减少。由图2看出:当探测点与光源距离大于2mm时, 光通量急剧减少, 光信号减弱, 因此为便于同侧漫射测量, 光源与探测点越近越好。这就为使用光纤作为生物组织的光探测器的制作提供了理论依据。

参考文献

[1]王忠义.蒙特卡罗法仿真光在多层结构农产品中的传输及实验研究[J].农业工程学报, 2007, (23) 5:1.7.

[2]Richard C Haskell, Lars O Svaasand, et al.Boundary condi.tions for the diffusion equation in radiative transfer[J].J.Opt.Soc.Am.A, 1994, 11 (10) :2727.2741.

[3]许棠.时间分辨反射确定生物组织光学参数的研究[J].光电子.激光, 2004 (15) 1:108.112.

[4]王喜昌.光在多层匹配生物组织中的时域传输模型[J].光子报, 2006, 35 (7) :1061.1065.

[5]许棠.连续光在生物组织中能流率分布的漫反射近似和模拟[J].光子学报, 2003 (32) 5:571.575.

[6]A Ishimaru.Wave ProPagationnad seattering in random media[J].Academic Press, USA, 1978 (1) :175.182.

[7]L H Wang, S L Jacques.Monte carlo modeling of light trans.port in multi2layered tissues[C]//Ph.D.Dissertation.Houston:University of texas M.D.Anderson Cancer center, 1992.

近似模型篇4

机械加工正在向着高效和高精度的方向发展, 磨削加工作为一种高精度加工技术, 正在发挥其不可替代的作用。高速磨削已经成为现阶段重要的精加工手段, 它是通过提高砂轮的转速和工件的速度, 来达到提高加工效率和工件表面质量的目的。然而砂轮的高速运转带来的振动又会导致加工质量的恶化, 所以对高速磨床本身的刚度和抗振性提出了更高的要求。分析高速磨床零部件的振动特性、避免共振和提高刚度已成为高速磨床在设计和改进过程中要重点考虑的问题。

目前, 国内高速磨床的零部件一般是依靠经验设计, 其几何特征为结构复杂、体积大。制造零部件样件的成本高、周期长。调用其有限元模型, 进行结构优化设计的耗时也比较长。从工程应用的角度出发, 选用拟合精度和拟合效率较高的近似模型方法[1], 对于解决高速磨床零部件的结构优化问题是一种行之有效的方法。本文将近似模型和多目标优化方法应用于高速磨床零部件的优化设计中, 建立适合于高速磨床零部件的结构优化设计方法。

1 高速磨床零部件优化设计流程

本文使用三维实体造型软件UG, 对高速磨床零部件进行三维建模。选用通用有限元分析软件MSC.Patran, 对高速磨床零部件进行有限元建模, 采用parasolid数据交换标准, 实现UG和MSC.Patran之间的数据交换。整个优化过程采用有限元模型进行仿真计算, 降低了实际样件的设计成本, 也缩短了设计周期。

对于高速磨床的零部件来说, 其动态特性和重量是两个重要的指标, 提高其固有频率可以提高其抗振性, 减小质量可以降低成本, 提高经济性, 同时对于运动零件来说, 可以减小惯性。本文以固有频率和质量为设计目标, 对高速磨床零部件的结构进行多目标优化设计, 从而得出最优的结构设计参数。基于近似模型的高速磨床零部件结构优化流程如下图1所示。

2 径向基函数近似模型的构造

2.1 最优拉丁超立方试验设计

考虑到高速磨床零部件的几何特征, 很难对其进行参数化建模, 所以建立近似模型是现阶段对其进行结构尺寸优化的一种有效的方法。为了建立高精度、高效率的近似模型, 就需要选择合适的试验设计方法, 以获取足够的、合适的响应样本点。采样点的选择不当容易造成所构建的近似模型精度低甚至错误。

本文采用最优拉丁超立方试验设计方法来选取样本点。最优拉丁超立方试验设计方法是将每个设计参数的设计空间均匀的划分N×N的方阵, 然后在其中随机生成不同行不同列的N个采样点[2]。该方法采样点的分布比较均匀, 可以获取充分的模型信息。在相对减少试验次数的情况下, 构造的近似模型精度较高。

最优拉丁超立方试验设计法是在[0, 1]之间选取样本点的, 所以必须通过设计变量的取值范围来确定样本点的实际值, 其转换关系如下:

Pi= (Pmax-Pmin) Ri+Pmin (1)

式中, Pi为设计变量的实际样本点;Pmax和Pmin分别为其取值范围的最大值和最小值;Ri为最优拉丁超立方采样法选取的样本点。

2.2 径向基函数近似模型

近似模型的基本思想是, 通过数理统计和试验设计的方法, 在设计变量和响应值之间建立一种函数关系, 用来近似复杂的实际问题。常用的近似模型有多项式响应面模型、径向基函数模型、Kriging模型等[3]。在同时考虑近似模型的精度和鲁棒性时, 径向基函数模型相对其他近似模型是相对可靠的, 所以本文选用径向基函数模型来建立高速磨床零部件的近似模型。

径向基函数模型是以径向函数为基函数, 通过线性加权插值构造出来的模型。径向函数是以待测点与样本点之间的欧氏距离为自变量的函数。选用Gauss函数exp (-αx $_{i}^{2}$ ) 为径向函数。径向基函数的解析表达式如下:

F (L) =∑n i=1δiexp (-αL2i) (2) Li=‖x-xi‖

式中, δi为权系数;Li为待测点到样本点的欧氏距离;α为给定的大于零的常数;n为样本点个数。

选定结构尺寸参数为设计变量, 采用拉丁超立方试验设计方法对这些设计变量进行采样, 获得样本点Xj (j=1, 2, …, n) 。根据这些样本点进行建模, 得到其有限元模型, 然后进行有限元分析, 得到所需要的响应值yj。利用插值条件p (Xj) =yj, 可以确定出径向基函数的权系数δi。

3 基于遗传算法的多目标优化

对于高速磨床的零部件设计来讲, 主要考虑的问题有零部件的动态特性、重量、静变形量等。这就涉及工程实际中的产品的性能和成本的问题, 既要产品的性能好, 又要考虑到降低其制造成本, 两者可能是相互矛盾的, 所以高速磨床零部件的结构设计应该属于多目标设计问题。

多目标优化问题可以用下面的表达式来简单地描述:

式中, f (x) 和g (x) 分别为优化的目标函数和不等式约束函数;m为目标函数的个数;p为不等式约束函数的个数;n为设计变量的个数, x=[x1, x2, …, xn]T又称为n维设计空间[4];xL、xU分别为设计变量的下界、上界构成的列向量。

式 (3) 中, xL≤x≤xU表明各向量相应元素之间的比较。

多目标问题的解通常是一组无法互相进行比较的有效解。在工程应用中, 需要从这些非支配解中选择出一个作为问题的最终解。求解多目标优化问题的方法主要有两种:产生式方法和基于偏好的方法。本文选用偏好结构中的权重和方法来解决高速磨床零部件结构的多目标优化问题, 这是由于偏好结构可以反映在实际工程中, 根据对问题的全面掌握, 对所有目标的折中或是对某个目标的强调[5]。权重和方法就是为每个目标函数分配加权系数, 然后将其组合成一个目标函数, 从而将多目标问题简化为单目标问题, 其表达式描述如下:

$\max F (x) = \sum_{i = 1}^{m} β_{i} f_{i} (x)$ (4)

式中, βi为目标函数的权重系数;fi (x) 为目标函数。

其中βi的确定是根据工程实际中对这些目标的价值的判断来决定的, βi的值越大, 偏好越强, 则该目标函数在结果中的影响越大。这样有利于将理论研究与工程实际相结合。

对高速磨床零部件的结构进行优化设计, 强度和刚度要求是设计时应满足的基本要求, 所以将其载荷作用下的最大应力和弹性变形量以及结构参数的变化范围作为多目标优化的约束条件。

利用罚函数方法, 将约束问题转化为无约束问题, 进而进行无约束优化, 则多目标有约束优化问题可以用如下表达式来描述:

$F (x, σ) = \sum_{i = 1}^{m} β_{i} f_{i} (x) + σ \sum_{j = 1}^{p} [\max {0, - g_{j} (x)}]^{2}$ (5)

其中, σ为罚因子。当该点满足不等式约束条件时, σ=0;当不满足约束条件时, σ取很大的值, 使其脱离可行域[6]。

遗传算法是通过父代与子代之间的遗传和变异来实现全局搜索的, 而且又因为它是一种超启发式算法, 应用很灵活, 所以遗传算法在求解多目标问题的非支配解时是很有用的[7]。

4 高速磨床主轴的优化设计

本文以某高速磨床的主轴为例, 应用该方法对其进行多目标优化。高速磨床主轴在工件表面质量以及整个磨床性能上的重要性不言而喻。提高主轴的抗振性和刚度, 同时减少其重量, 降低制造成本, 是主轴结构设计中重点考虑的问题。

4.1 主轴有限元模型

某型高速磨床的主轴是一个多阶梯带锥度的圆柱体, 使用三维实体造型软件UG对其进行三维建模。为了方便对其进行有限元分析, 需要对主轴进行适当的、对有限元分析影响不大的结构简化, 简化的原则如下:不考虑各处的小倒角;忽略空刀槽和储油槽;忽略很小的台阶和螺纹孔。

使用MSC.Patran有限元分析软件来建立主轴的有限元模型。由于六面体单元质量好, 计算精度高, 所以采用六面体单元对主轴进行网格划分。划分网格时, 在几何特征比较单一并且对分析结果影响不大的地方, 如主轴的轴肩, 网格可以稀疏一些, 这样可以减少单元数目, 缩短有限元分析时间。主轴有限元模型的单元总数为24 553, 如图2所示。主轴的材料为65Mn, 杨氏模量E=210GPa, 泊松比ν=0.3, 密度为ρ=7.81×103kg/m3, 屈服极限为430MPa, 主轴的质量为53.4kg。

主轴是通过轴肩支撑在砂轮架中的, 所以在有限元模型中约束轴肩处表面X、Y、Z三个方向的平动自由度。

使用MSC.Nastran对其进行约束状态下的模态分析。第一阶固有频率为492Hz, 振型为主轴后端部的弯曲, 如图3所示, 其模态的相对变形量为33mm。

对主轴进行强度和刚度分析。已知砂轮的线速度为90m/s, 砂轮的直径为500mm。在磨削加工中, 磨削力有三个分量:切向磨削力Ft、法向磨削力Fn、纵向进给方向的分力Fs, 其中法向磨削力最大, 所以本文只考虑在法向磨削力作用下的主轴的强度和刚度。根据以下法向磨削力的公式计算法向磨削力[8]:

式中, k为与工件材料相关的系数;b为磨削宽度;ω为有效磨粒间隔;γ为圆锥半顶角;dw为工件直径;ds为砂轮直径;n1为工件转速;n2为砂轮转速;Δ为工件每转磨削深度;ε为0.2～0.5。

取淬火45钢为工件, k=165kg/mm, dw=100mm。采用CBN砂轮, γ=60°, ω=0.5mm, 磨削宽度b=12.5mm。ds=500mm, $n_{1} = 150 r / \min, n_{2} = \frac{90 \times 60}{0.25 \times 2 π} r / \min, Δ = 0.1$ mm。将这些参数代入上述方程 (6) , 计算得出法向磨削力Fn=546N。

在主轴轴肩处施加约束, 固定X、Y、Z三个方向的平动自由度。主轴头端与砂轮是圆锥斜面连接, 所以在主轴头端建立一个MPC (多点约束, multi-point constraint) , 将法向磨削力沿X负方向施加在这个MPC上, 用以模拟主轴头端的受力, 另考虑到砂轮的重量, 将490N的力沿Z的负方向加在此MPC上。调用MSC.Nastran进行静力分析, 结果如图4所示, 其中磨削力与砂轮重力的合力为734N, 最大应力值为0.46MPa, 最大变形位移为0.243μm。

4.2 主轴结构参数近似模型

本文以高速磨床主轴的质量和第一阶固有频率为响应值, 根据主轴的振型和所在的工况, 确定以主轴的结构尺寸l1、l2和l3为设计变量, 如下图5所示。根据主轴的范围, 确定主轴尺寸的约束条件如下:l1min≤l1≤l1max, l2min≤l2≤l2max, l3min≤l3≤l3max, 其中l1min=100mm, l1max=300mm, l2min=70mm, l2max=250mm, l3min=50mm, l3max=200mm。

通过拉丁超立方试验设计方法, 获取30个样本点, 即30组结构尺寸参数。根据这些参数, 分别建立主轴的几何模型, 计算出其质量, 然后导入MSC.Patran中建立其有限元模型, 调用Nastran分别对其进行模态分析, 得出其第一阶固有频率值。

根据样本点, 主轴的质量及其一阶固有频率, 构造出两个径向基函数模型, 即质量径向基函数模型和一阶固有频率径向基函数模型。两者可同时用如下表达式描述:

$F (L) = \sum_{i = 1}^{n} δ_{i} \exp (- α L_{i}^{2})$ (7)

经过反复计算, 确定α=0.01, 对于质量径向基函数F1 (L) , 权系数δ= (582.92, -604.56, 326.81, 706.63, 1428.74, -17.46, 1116.22, 502.86, 401.03, 1440.2, 267.78, -3346.15, 341.30, -334.40, 199.40, 14149.40, -499.50, -82.251430, 445.635895, -2055.3, -519.5, 976.5, 452.16, 339.3, -23.5, 665.26, -50.1, -940.5, -746.7, 424.1, -13156.8) 时, 径向基模型与采样点拟合最好。对于一阶固有频率径向基函数F2 (L) , 权系数δ=[80.2, -86.3, 32.27, 23.6, 188.56, 8.5, 146.85, 53.74, 35.2, 287.7, 59.93, -251.5, 39.28, -56.69, 27.32, 1447.68, -62.2, -14.24, 33.8, -288.42, -76.56, 58.56, 62.16, 17.14, -66.03, 72.24, 10.64, -39.1, -72.5, 85.1, -1525.53) 时, 模型的精度比较高。

同样, 根据样本点, 主轴在载荷作用下的最大应力值和弹性变形量, 可以构造出主轴强度径向基函数模型g1和刚度径向基函数模型g2。主轴强度径向基函数模型g1的权系数为δ= (0.86, 1.46, -0.25, -2.79, 1.12, 0.21, 2.33, 0.22, 0.43, -0.46, 3.92, 5.95, -2.62, -2.09, -1.38, 57.29, 4.62, -0.94, -2.47, -6.06, -0.72, -0.5, -0.26, -2.31, -1.17, 1.32, 1.42, 3.44, 1.69, 1.23, 52.21) 。刚度径向基函数模型g2的权系数为δ= (0.81, 0.63, 0.036, -1.05, 0.92, -0.08, 1.5, -0.07, 0.75, 3.39, 2.23, -0.09, -0.34, -1.38, 0.43, -7.08, 0.95, 0.07, -0.57, -3.63, -0.73, 0.26, -0.68, -1.62, -1.84, 0.39, 0.18, 1.32, 0.56, 0.88, 4.68) 。

4.3 遗传算法多目标优化

使用权重和方法, 将多目标优化问题转化为单目标优化问题, 给质量径向基函数和一阶固有频率径向基函数附上权系数β1和β2, 其表达式如下:

$F (L) = \sum_{i = 1}^{2} β_{i} F (L)_{i} + σ \sum_{j = 1}^{2} [\max {0, - g_{j} (L)}]^{2}$ (8)

由于质量和一阶固有频率是一对相互矛盾的目标, 而我们最终的目标是在提高主轴的动态性能基础上尽量减小其质量, 所以在质量径向基函数前乘以-1, 使其取负值, 从而使质量径向基函数和一阶固有频率径向基函数作为适应度函数时都取最大值。根据工程实际的经验, 本文取β1=0.65, β2=0.35。

以上述函数F (L) 为目标函数, 结构尺寸参数l1、l2和l3为设计变量, 以其取值范围和原主轴在载荷作用下的最大应力值及最大弹性变形量为约束条件, 即根据主轴强度径向基函数模型g1和刚度径向基函数模型g2计算出来的应力值和弹性变形量不能超过原主轴的最大应力值和最大弹性变形量。

优化设计的目的是取目标函数F (L) 达到最大时设计变量的取值, 即结构尺寸参数l1、l2和l3的取值。使用遗传算法优化程序对该目标函数进行优化, 其中交叉概率Pc=0.5, 变异概率Pm=0.02, 每代中染色体的个数为6。经过300代的优化计算, 优化数值已经趋于稳定。

最后的优化结果为, 当l1=150mm, l2=160mm, l3=74.5mm时, 第一阶固有频率为652Hz, 质量为44.99kg。根据优化的结果, 建立主轴的有限元模型, 对其进行模态分析, 得出其第一阶固有频率为649.3Hz, 主轴的质量为45.02kg, 对比近似模型的优化结果, 质量径向基函数模型的误差为0.07%, 一阶固有频率径向基函数模型的误差为0.4%。优化后的主轴比原主轴, 在固有频率上提高了32%, 质量方面减少了15.7%, 可见该方法对高速磨床主轴的结构设计在提高主轴动态性能和降低成本上是非常有意义的。

5 结论

本文引入近似模型方法和多目标优化方法建立基于近似模型的高速磨床零部件结构设计优化方法。该方法首先根据设计者的设计目标, 确定相应的结构尺寸参数为设计变量, 通过有限元计算得到所需的响应值, 构建多个径向基函数模型, 然后依据对不同目标问题的认识和偏好, 采用权重和方法将这些径向基函数加权组合在一起, 并利用惩罚函数法, 使多目标有约束问题转化为单目标无约束问题, 利用遗传算法进行优化, 最后得出最优的结构尺寸参数。该方法以近似模型代替复杂的实际模型进行多目标优化计算, 显著减少了求解实际模型的计算时间和计算次数, 提高了结构设计的效率, 降低了生产成本, 优化结果对于高速磨床零部件这种复杂结构的优化具有指导意义。

摘要：将近似模型方法和多目标优化方法引入高速磨床零部件设计中, 建立基于近似模型的高速磨床零部件优化设计方法。以结构尺寸为设计变量, 利用拉丁超立方试验设计方法选取样本点, 建立径向基函数近似模型。在遗传算法的基础上, 采用权重和方法求解多目标优化问题。以高速磨床主轴为例, 运用该方法, 对其质量和一阶固有频率进行优化, 整个过程采用有限元模型进行仿真计算。结果表明, 基于近似模型的高速磨床零部件优化设计方法可以有效地提高高速磨床零部件设计的效率, 为其结构改进提供理论依据, 降低生产成本。

关键词：近似模型,高速磨床,零部件,结构优化,多目标优化

参考文献

[1]Myers R H, Montgomery D C.Response SurfaceMethodology:Process and Product Optimization U-sing Designed Experiments[M].2ed.New York:John Wiley&Sons, 2002.

[2]郑刚, 李光耀, 孙光永, 等.基于近似模型的拉延筋几何参数反求[J].中国机械工程, 2006, 17 (19) :1988-1992.

[3]穆雪峰, 姚卫星, 余雄庆, 等.多学科设计优化中常用代理模型的研究[J].计算力学学报, 2005, 22 (5) :608-612.

[4]刘桂萍, 韩旭, 姜潮.基于微型多目标遗传算法的薄板冲压成形变压边力优化[J].中国机械工程, 2007, 18 (21) :2614-2616.

[5]陈宝林.优化理论与算法[M].北京:清华大学出版社, 2005.

[6]玄光男, 程润伟.遗传算法与工程优化[M].北京:清华大学出版社, 2004.

[7]刘桂萍.基于微型遗传算法的多目标优化方法及应用研究[D].长沙:湖南大学, 2007.

近似模型篇5

信息社会对信道容量的需求急剧增长,光通信承担着大容量传输信息的重要作用,密集波分复用(DWDM)已成为现在的主流技术,随着信道容量的增大,信道数目的增多,输入信道的功率迅速增长,信道间功率转移的受激喇曼散射(SRS)效应将成为影响通信质量不可忽视的重要因素。

熔石英的喇曼增益谱如图1所示[1],为了更好地计算受激喇曼散射(SRS)效应所产生信道间的功率转移,人们提出了各种对图1所示特性的近似计算模型。R.G.Smith模型采用矩形近似[2],A.R. Chraplyvy模型采用三角形近似[3],巩稼民模型采用分段直线近似[4]。这些不同的模型都不同程度地存在近似误差。本文使用分段二次函数对熔石英喇曼增益谱进行了最小二乘拟合[5,6,7,8,9,10],提出新的熔石英喇曼增益谱的计算模型,提高了计算精度。

1二次函数最小二乘拟合原理

通过测量熔石英的喇曼增益谱(见图1)得到一系列数据,如表1所示,xi为频移(单位为THz),yi为喇曼增益系数(单位为10-13 m/W),i为测量次数。

设所求最小二乘拟合的二次函数为:

$y = φ (x) = a_{1} x^{2} + a_{2} x + a_{3} (1)$

式中a1,a2,a3分别为x的二次函数的系数。

设A为xi矩阵:

$A = [\begin{matrix} 1 & x_{1} & x_{1}^{2} \\ 1 & x_{2} & x_{2}^{2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 1 & x_{n} & x_{n}^{2} \end{matrix}] (2)$

Y为喇曼增益系数矩阵:

$Y = [\begin{matrix} y_{1} & y_{2} & y_{3} & \dots & y_{n} \end{matrix}]^{Τ} (3)$

系数矩阵为:

$a = [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \end{matrix}]^{Τ} (4)$

由式(2)～式(4)得到:Aa=Y。

利用法方程:

$\begin{array}{l} A^{Τ} A a = A^{Τ} Y \\ a = (A^{Τ} A)^{- 1} A^{Τ} Y (5) \end{array}$

可得系数矩阵a。

拟合函数误差平方和为:

$δ^{2} = Y^{Τ} (Y - A a) (6)$

最佳拟合时误差平方和为最小。

均方误差为:

$E = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} [φ (x_{i}) - y_{i}]^{2}$

2 使用分段二次函数对熔石英喇曼增益谱最小二乘拟合

根据图1实测曲线形状及拐点分布,可以将图1实测曲线分成四段,对每一段分别采用最小二乘拟合法。横坐标Δ $\tilde{v}$ 为频移(单位:THz),纵坐标g(Δ $\tilde{v}$ )为喇曼增益系数(单位:10-13m/W),如图2所示。

(1) 第一段

Δ $\tilde{v}$ 的取值范围为Δ $\tilde{v}$ ∈[0,1.0]。实测曲线的测量数据如表2所示。

将表2中数据代入式(2),式(3),式(5),可得拟合系数矩阵为:

$a = [0.027 5 0.041 4 - 0.000 2] (7)$

代入式(1)得Δ $\tilde{v}$ ∈[0,1.0]第一段的拟合曲线方程为(如图2曲线A至B段):

$g (Δ \tilde{v}) = 0.027 5 (Δ \tilde{v})^{2} + 0.041 4 Δ \tilde{v} - 0.000 2 (8)$

(2) 第二段

Δ $\tilde{v}$ 的取值范围为Δ $\tilde{v}$ ∈[1.0,3.6]。实测曲线的测量数据如表3所示。

将表3 中数据代入式(2),式(3),式(5)得拟合系数矩阵为:

$a = [- 0.021 0 0.165 3 - 0.075 8] (9)$

代入式(1)得Δ $\tilde{v}$ ∈[1.0,3.6]第二段的拟合曲线方程为(如图2曲线B至C段):

$\begin{array}{l} g (Δ \tilde{v}) = - 0.021 (Δ \tilde{v})^{2} + 0.165 3 Δ \tilde{v} - 0.075 8, \\ Δ \tilde{v} \in [1.0, 3.6] (10) \end{array}$

(3) 第三段

$\tilde{v}$ 的取值范围为Δ $\tilde{v}$ ∈[3.6,9.0]。实测曲线测量数据如表 4所示。

将表4中数据代入式(2),式(3),式(5)得拟合系数矩阵为:

$a = [0.007 9 - 0.036 3 0.282 7] (11)$

代入式(1)得Δ $\tilde{v}$ ∈[3.6,9.0]第三段的拟合曲线方程为(如图2曲线C至D段):

$\begin{array}{l} g (Δ \tilde{v}) = 0.007 9 (Δ \tilde{v})^{2} - 0.036 3 Δ \tilde{v} + 0.282 7, \\ Δ \tilde{v} \in [3.6, 9.0] (12) \end{array}$

(4) 第四段

Δ取值范围为Δ∈[9.0,14.0]。实测曲线测量数据如表5所示。

将表5 中数据代入式(2),式(3),式(5)得拟合系数矩阵为:

$a = [- 0.017 8 0.482 9 - 2.312 5] (13)$

代入式(1)得Δ $\tilde{v}$ ∈[9.0,14.0]第四段的拟合曲线方程为(如图2曲线D至E段):

$\begin{array}{l} g (Δ \tilde{v}) = - 0.017 8 (Δ \tilde{v})^{2} + 0.482 9 Δ \tilde{v} - 2.312 5, \\ Δ \tilde{v} \in [9.0, 14.0] (14) \end{array}$

3熔石英的喇曼增益谱拟合及误差分析

基于上节给出的拟合式(8),式(10),式(12),式(14),给出了如图3～图6所示的四段拟合曲线。由图2可知,拟合结果比Chraplyvy模型(即三角模型k=1.80×10-16 m·cm/W)精度明显提高。

(1) 当Δ $\tilde{v}$ ∈[0,1.0]时,第一段的拟合曲线如图3所示。

误差平方和为:δ2=0.000 110 60。

均方误差为:E=0.000 027 650。

该段拟合值与测量值之差的最大绝对值为:

0.0147-0.014=0.000 7×10-13 m/W

最大相对误差为:

[(0.014 7-0.014)/0.014]×100%=5%

(2) 当Δ $\tilde{v}$ ∈[1.0,3.6]时,第二段的拟合曲线如图4所示。

误差平方和为:δ2=0.335 9。

均方误差为:E=0.067 2。

该段拟合值与测量值之差的最大绝对值为:

0.231 1-0.224=0.007 1×10-13m/W

最大相对误差为:

[(0.16-0.153 7)/0.16]×100%=3.94%

(3) 当Δ $\tilde{v}$ ∈[3.6,9.0]时,第三段的拟合曲线如图5所示。

误差平方和为:δ2=49.209 4。

均方误差为:E=5.467 71。

该段拟合值与测量值之差的最大绝对值为:0.014 8×10-13 m/W。

最大相对误差为:

[(0.55-0.535 2)/0.55]×100%=2.69%

此段拟合精确。

(4) 当Δ $\tilde{v}$ ∈[9.0,14.0]时,第四段的拟合曲线如图6所示。

误差平方和为:δ2= 280 8.7。

均方误差为:E= 280.87。

当Δ $\tilde{v}$ ∈[9.0,12.0],该段拟合值与测量值之差的最大绝对值为:0.017 1×10-13 m/W。最大相对误差为:

[(0.7-0.682 9)/0.7]×100%=2.44%

当Δ $\tilde{v}$ ∈[12.0,14.0],该段拟合值与测量值之差的最大绝对值为:0.033 9×10-13 m/W,最大相对误差为:

[(0.98-0.946 1)/0.98]×100%=3.46%

由以上分析可以看出,本文使用分段二次函数对熔石英喇曼增益谱进行了最小二乘拟合,有效地提高了熔石英的喇曼增益谱模型计算精度。此模型在Δ $\tilde{v}$ ∈[0,12.0]范围内,误差绝对值不超过0.017 1。当Δ∈[12.0,14.0]时,虽然误差也较大,但比三角模型精度高,误差绝对值不大于0.033 9,相对误差可控制在3.46%以内。

4结语

本文对熔石英的喇曼增益谱,采用分段最小二乘法,得到受激喇曼散射(SRS)增益谱的近似计算模型,极大地提高了当Δ $\tilde{v}$ ∈[0,14.0]时的模型精度,对研究在密集波分复用系统中喇曼非线性效应对光纤通信质量的影响有重要意义。

参考文献

[1]AGRAWA Govind P.Fiber-optic communication system[M].New York:[s.n.],1997.

[2]SMITH R G.Optical power handling capacity of low lossoptical fibers as determined by stimulated Raman and bril-louin scattering[J].Applied Optics,1972,11(11):2489-2494.

[3]CHRAPLYVY A R.Optical power limits in multi-channelwavelength-division-multiplexed systems due to stimulatedRaman scattering[J].Electronics Letters,1984,20(2):58-59.

[4]巩嫁民,方强,刘娟,等.密集波分复用石英光纤传输系统中受激喇曼散射的稳态分析模型[J].物理学报,2000,49(7):1287-1291.

[5]刘毓,孙亚尼,方立杰,等.DWDM系统中受激喇曼效应的数值解[J].光通信研究,2009(5):4-7.

[6]李红.数值分析[M].武汉:华中科技大学出版社,2010.

[7]SINGH M L,HUDIARA I S.A piece wise linear solutionfor nonlinear SRS effect in DWDM fiber optic communica-tion systems[J].Journal of Microwaves and Optoelectron-ics,2004,3(4):29-38.

[8]YAMAMOTO Toshiaki,NORIMATSU Seiji.Statisticalanalysis on stimulated Raman crosstalk in dispersion-managed fiber links[J].Lightwave Technol.,2003,20(10):2229-2239.

[9]VILLARROEL J,GRANDPIERRE A G.On statisticaleffects on stimulated Raman cross-talk[J].Journal ofPhysics B:Atomic,Molecular and Optical Physics,2005,53(12):2601-2612.

近似模型篇6

关键词：内燃机,共轨柴油机,喷射系统,近似模型,优化设计,响应曲面

0 概述

高压共轨电控燃油喷射技术,是目前提高柴油机经济性、改善柴油机排放的重要手段之一,其喷射系统参数对柴油机燃烧排放性能有着决定性的影响[1]。对于定型式的燃烧室,要提高柴油机的各项性能就必须对喷射系统参数按照运行工况的不同进行最优设计。

喷射系统参数间存在着复杂的交互作用和制约关系,即某个参数对柴油机工作过程及性能的影响并非独立的,因此要得出最优的燃油系统参数需要进行大量的方案试制和配试工作,费时费力且代价很高。采用CFD工作过程专业软件可以比较准确地模拟喷射系统参数对高压共轨柴油机燃烧和排放性能的影响,但要得到最优方案,则计算成本较高。目前基于统计学理论的计算量小,在一定程度上可以保证设计准确性的近似模型开始得到关注。在CFD优化设计过程中,用近似模型取代耗时的高精度的计算流体动力学分析,可以加快设计过程,降低设计成本,有效地平衡了CFD计算成本和计算准确性这一矛盾[2]。

本文以MWMTBD234V6型柴油机为目标机,以经济性、排放性和燃烧噪声为指标,对喷射始点、喷孔个数、喷孔直径、喷射夹角、喷孔长径比和喷嘴伸出高度6个喷射系统参数进行了优化研究,得到了喷射系统参数的最优组合,大幅度减少了共轨柴油机喷射系统参数设计试验的工作量。

1 试验用机及其喷射系统参数优化设计流程

试验用机为MWMTBD234V6型柴油机,其基本技术参数见表1。优化设计流程如图1所示。

2 柴油机喷雾与燃烧仿真模型建立与验证

2.1 柴油机工作过程多维模型的建立

柴油机的喷雾混合过程是一个伴随传热传质多维瞬变的复杂气液两相流动过程,燃烧是发生在高温高压环境下可压缩的、复杂多相的流动过程,因此只有多维模型才能较为准确地反应喷雾混合和燃烧过程的本质及变化规律[3]。本文利用AVL公司的发动机专用CFD软件FIRE进行高压共轨柴油机喷雾与燃烧过程的模拟,主要使用的物理化学子模型见表2。

2.2 喷雾与燃烧模型的验证

在KH-RT模型中,油滴第一次的破碎时间由模型中经验常数C2决定,C2与初始射流的湍流程度相关联,取决于喷嘴结构和喷射压力,C2越大,则喷雾的破碎时间越长,液滴的平均直径越大,油束的贯穿距越大,从而影响缸内混合气的形成和燃烧过程。

本文设计了8套不同喷嘴结构的非轴对称喷嘴,并建立喷雾闪光摄影台架,得到了各喷嘴的雾束形态和喷雾发展过程,从而以喷雾贯穿距试验数据为验证标准,经过对不同C2值的计算比较,确定了每一个喷嘴方案各喷孔喷雾仿真计算C2的取值。由此可以推导出C2与喷嘴结构参数的关系式,准确模拟不同结构喷嘴的喷雾发展过程。构造C2与喷孔数、孔径、长径比和喷射夹角的函数关系式为:

C2=a1×da2×(l/d)a3×(1+cos α)a4 (1)

式中,ai为公式系数;d为喷孔直径;l/d为喷孔长径比;α为喷孔与喷油器轴线的夹角,其计算式为:

cos α=cos γ×cos (δ/2)-sin (δ/2)

×sin γ×cos θ (2)

式中,γ为喷油器的安装夹角;δ为喷射夹角;θ为计算孔与喷孔出口平面横坐标间的夹角,与喷孔数有关。

公式(1)是一个非线性数学模型,可以通过给定模型中待定参数的初始值以后,采用最小二乘迭代的方法回归求解方程,由此建立变量参数与目标参数之间的具体数学模型。在Matlab中利用lsqcurvefit函数进行最小二乘法非线性曲线拟合,得到C2计算方程的最佳拟合系数为:a1=31.241 9,a2=-0.180 6,a3=0.179 6,a4=0.376 1。

对方案a(喷孔数为8、孔径0.13 mm、长径比为5.4和喷射夹角140 °的喷嘴在80 %标定工况,喷射始点为10 °CA BTDC)和方案b(喷孔数为6、孔径0.2 mm、长径比为4.5和喷射夹角110 °的喷嘴在14 °CA BTDC)两种工况的缸内工作过程进行了仿真,并与试验结果进行了比较验证。图2为两种工况下缸内压力曲线及燃烧百分数的仿真与测试结果的比较。由图2可见:修正后的喷雾模型对不同喷嘴结构的燃烧过程均有较高的仿真精度。

3 优化参数与目标函数

本文主要通过对共轨喷射系统参数进行优化使柴油机的NOx排放、碳烟排放、燃油消耗率及燃烧噪声在标定负荷时达到较优水平。喷射系统参数主要包括喷油参数(喷射压力、喷射始点等)、喷嘴结构参数及喷油器安装位置。本文选取优化的喷射系统参数主要有:喷射始点φ、喷孔个数n、喷孔直径d、喷射夹角δ、喷孔长径比l/d、喷嘴伸出高度h。

本文对喷射系统参数优化的主要目标是降低燃油消耗率、提高效率,同时保持较低的NOx和碳烟排放及燃烧噪声。根据多变量处理方法中的目标达到法[4,5]设计的目标函数f为:

undefined

式中,(NOx)0、(Soot)0、(dp/dφ)0、(BSFC)0分别为NOx、碳烟、压力升高率和燃油消耗率的目标值。

4 仿真试验设计(DoE)

选用中心复合法(center complex divisor,CCD)进行试验设计,中心复合法设计由2n全因子设计扩展而来。由于在2n试验设计中没有足够的信息来反映最小二乘法中二次模型的纯二次项系数,为了获得这方面的足够信息,通过附加的中心和轴点(在中心点再增加1个设计变量值±α)来减少设计点,α通常取值为1或undefined,本文取值为1。试验次数为2n+2n+1,n为因子数。使用中心复合法能保证在应用响应面模型寻优时在各个方向均能得到较精确的解。本文设计了6个因素,77种试验方案。各因素的水平设置见表3。

根据试验设计方案,应用Pro/Engineer进行不同喷嘴结构喷油器内部流通区域的三维几何造型,再生成.stl文件导入FIRE软件生成计算网格并进行两相流计算,得到各喷孔的流量系数、喷油规律及nozzle文件;与喷雾和燃烧模型进行耦合计算,在FIRE软件2Dresult中可以得到NOx排放、碳烟排放和缸内压力随曲柄转角的变化曲线;对p-φ图进行处理可以得出压力升高率和燃油消耗率。

5 响应面近似模型的建立

近似模型是利用已知点的响应信息来预测未知点响应值的一类模型,其实质是一个以拟合精度和预测精度为约束,利用近似方法对离散数据进行拟合的数学模型。多项式响应面模型是以统计方法和数学方法为基础,通过近似构造一个具有明确表达形式的多项式(不限于多项式)来表达隐式功能函数。从本质上而言,响应面法是一种统计方法,用来寻找考虑了输入变量值的变异或不确定性之后的最佳响应值。本文选用二次多项式响应面模型来构造近似模型,其数学表达式为:

undefined

式中,n为设计变量个数;xi,j为设计变量,i,j=1,2,…,n;a0、ai、aji分别为多项式系数。

由仿真试验的计算结果,利用iSIGHT软件的Approximation模块构造的目标函数f与喷射系统参数间的二阶多项式响应面近似模型公式为:

f(x)=-473+7.89×δ+3 638×d-137×h

-22×(l/d)+5.37×n+2.64×φ

-0.006×δ2-8 252×d2+11.2×h2

+3.28×(l/d)2-17.58×δ×d+0.056

×δ×h-0.036 2×δ×(l/d)-0.33

×δ×n+0.024×δ×φ+61.2×d (5)

×n-28.64×d×(l/d)+102.735×d

×n-21.55×d×φ+1.008 9×h×(l/d)

+3.368×h×n+0.157×h×φ

-0.508×(l/d)×n-0.007 4×(l/d)

×φ-0.4×n×φ

在iSIGHT中,利用模型的决定系数R2和调整决定系数Rundefined的值判断其响应的有效性,R2和Rundefined越接近于1时,说明近似模型拟合得越好。本模型的R2和Rundefined的值分别为0.974 39和0.912 81,表明近似模型拟合效果较好。

6 喷射系统参数优化与结果分析

6.1 DoE优化

对仿真试验结果进行分析可得到灵敏度图(Pareto图)和主效应图等结果,从主效应图上可以得到喷射系统参数的优化方案。图3为喷射系统参数及各参数间的交互作用对目标函数f的灵敏度和主效应图。由图3可见:对目标函数f影响最大的两个主要因素是喷孔直径和喷射夹角。由主效应图可以得出,以目标函数f为评价指标时,喷射系统参数的最优组合方案见表4。

DoE优化结果为试验水平范围内的近似解,而非全局最优解;优化参数是一些离散的点,而非连续的空间。因此,有必要进行全局优化。

6.2 基于近似模型的全局优化

根据TBD234柴油机燃烧系统结构特点确定了喷射始点、喷孔个数、喷孔直径、喷射夹角、喷孔长径比和喷嘴伸出高度的约束条件,定义共轨系统喷射参数的优化问题的数学表达式为:

undefined

在近似模型的基础上,采用多岛遗传算法(multi-island genetic algorithm)结合顺序二次规划算法(NLPQL)的优化方案,对喷射系统参数进行了优化。本次优化计算了6 080步,最终优化结果见表5。

对于本文以经济性为主的目标函数f,最终优化结果是选择小的喷孔直径、较多的喷孔及较小的喷孔长径比,来提高油束的雾化质量;大的喷射夹角和小的喷嘴伸出高度可以保证油束在燃烧室有较合理的落点,提高燃烧室内空气的利用率;混合气形成质量好,再配合8 °CA BTDC的喷射始点,保证在上止点附近充分燃烧,提高燃烧效率。这些均能有效地降低燃油消耗率,又能合理控制排放和噪声水平。

6.3 优化结果分析

利用遗传算法结合顺序二次规划算法得到的优化结果和利用DoE方法优化得到的结果,各参数值还是有一定的差别。方案a为DoE方法优化方案,方案b为遗传算法优化方案。针对2种方案的喷射过程和缸内工作过程进行了仿真计算,具体比较结果见表6。通过对两种优化方案进行了对比分析,最终选定并加工了方案b的喷嘴,并在试验台架上进行配机试验,验证了优化效果及整个优化过程的正确性。

从2种方案的计算结果及目标函数f的计算值看出,2种方案的碳烟排放量相差不大,且方案b的燃油消耗率较低,但其综合性能指标(目标函数f)却比方案a还小一些。这主要是由于方案a的NOx排放较低,但从制定目标函数f的初衷来看,方案a并不可取。

图4为方案a和b的仿真结果与配机试验结果对比。由图4可见:缸内压力、温度及燃烧百分数曲线均取得了较好的一致。表7为方案b与原机试验的测试数据对比。由表7可见:柴油机燃油消耗率为192 g/(kW·h),比原机降低了5 %;NOx和碳烟排放分别比原机降低10 %和18 %,空气噪声略高,但也在允许范围内。由此可见,本文利用遗传算法结合顺序二次规划算法的优化方法进行喷射系统参数的优化设计是可取的,它能够快速地进行优化空间的全局寻优,且能得到可信的优化结果,相比单纯的应用DoE设计方法进行单点分析更可取。

7 结论

(1) 系统地给出了高压共轨柴油机基于近似模型的喷射系统参数全局优化设计流程。

(2) 根据喷雾试验结果,利用最小二乘法非线性曲线拟合方法得到了KH-RT喷雾破碎模型参数C2与喷嘴结构参数的关系式,提高了仿真模型对不同喷嘴结构柴油机工作过程模拟的精确度。

(3) 优化结果的仿真值与配机试验值对比表明:缸内压力、温度及燃烧百分数曲线均取得了较好的一致;NOx和碳烟排放仿真和试验所反映出的趋势基本一致。经过优化的柴油机燃油消耗率为192 g/(kW·h),比原机降低了5 %,NOx和碳烟排放分别比原机降低10 %和18 %,说明利用遗传算法结合顺序二次规划算法的优化方法能够快速地进行优化空间的全局寻优,且能达到预期的效果。

参考文献

[1]蒋德明.内燃机燃烧与排放学[M].西安:西安交通大学出版社,2001.

[2]Seneeal P K.Multi-odegenetieal genetic algorithm optimizationof combustion chamber geometry for low emissions[C]//SAE2002-01-0958,2002.

[3]邵利民.高压共轨柴油机喷射系统参数优化研究[D].武汉:海军工程大学,2010.

[4]黄豪中,苏万华,裴毅强,等.复合燃烧系统多次脉冲喷油控制参数的优化研究Ⅱ:5次脉冲喷油控制参数的优化[J].内燃机学报,2009,27(4):289-297.Huang H Z,Su W H,Pei Y Q,et al.Optimization study onmulti-pulse injection parameters of MULINBUMP compoundcombustion systemⅡ:optimization of five-pulse injection pa-rameters[J].Transactions of CSICE,2009,27(4):289-297.

近似模型篇7

悬架的分析优化是一个复杂的动力学问题,国内外学者针对前悬架对整车的平顺性和操纵稳定性的影响做了大量的仿真优化研究[1,2,3,4],但他们

对悬架的优化大多属于确定性优化,即对悬架动特性进行优化时,车辆其他结构参数和动力学参数都是固定不变的。不确定性分析与优化是近年来国内外工程领域的研究热点问题。文献[5]对清扫车车架静动态响应进行了不确定性的区间分析。文献[6]对不确定优化问题的若干模型以及算法进行了研究。文献[7]在考虑不确性的条件下对U形件冲压变压边力设计问题进行了不确定优化,取得了明显的效果。文献[8]就区间参数不确定稳态和动态优化问题提出了相应的确定化数学描述形式,并应用主从式并行遗传算法求解确定化后的非线性规划问题,与此同时将其应用到某炼油厂的汽油调和问题中。但将不确定优化应用到车辆动力学领域的例子尚不多见。

车辆在行驶中,由于路面不平和车轮垂直载荷的变化,车轮定位参数随之变化,从而影响汽车的操纵稳定性及轮胎的磨损程度。一般希望所设计的车轮定位参数在车轮上下跳动过程中变化尽量小且变化趋势合理[9]。另外,悬架刚度和轮胎径向刚度等参数随着汽车行驶环境和工况的改变而在一定范围内不确定性变动,会影响悬架系统的功能,从而会使车辆悬架系统优化过程中引入难以忽略的系统参数不确定性[10,11]。鉴于此,本文以前轮定位参数在车轮跳动过程中的变化量最小为优化目标,考虑悬架螺旋弹簧刚度和轮胎径向刚度的不确定性变化,优化改进相关悬架设计参数,对某轿车悬架定位参数进行不确定性多目标优化。

1 区间数不确定性优化及算法

1.1 不确定性优化模型描述

实际工程问题中,材料、几何特性、边界条件、制造和装配误差、使用环境等因素造成的误差互相耦合,可能使系统响应产生较大的偏差。研究表明,使用过程中轮胎变形程度、充气压力、激励频率、磨损及使用温度的变化等因素对轮胎径向刚度的影响较大[12]。螺旋弹簧的热处理硬度在HRC43～HRC48之间,由于硬度和刚度存在较强的线性关系,厂家通常给出其名义刚度值及其允许的变化范围[13]。本文在某轿车前悬架优化过程中,将螺旋弹簧刚度和轮胎径向刚度看作是不确定量,其变动范围通过区间表示,只需知道参数的上下界,这种描述称为区间数描述[14],其目标函数和约束都是关于设计变量和不确定变量的函数。

利用区间描述参数的不确定性,一般形式的非线性区间数优化问题的数学表达式为

$\begin{array}{l} \min (f_{1} (X, U), f_{2} (X, U), \dots, f_{l} (X, U)) \\ s . t . g_{j} (X, U) \leq b_{j}^{Ι} = [b_{j}^{L}, b_{j}^{R}] \\ j = 1, 2, \dots, l, X \in Ω^{n} \\ U \in U^{Ι} = [U^{L}, U^{R}], U_{i} \in U_{i}^{Ι} = [U_{i}^{L}, U_{i}^{R}] \\ i = 1, 2, \dots ‚ q \end{array}} (1)$

式中,X为n维设计向量,其取值范围为Ωn。U为q维不确定向量,其不确定性用一个q维区间向量UI描述;f和g分别为目标函数和约束,它们是关于X和U的连续函数;bIj为第j个不确定约束的允许区间,实际问题中可以为实数。

因为函数是关于U的连续函数且U的波动范围属于一个区间矢量,所以对于任意确定的X,目标函数f(X,U)或第j个约束gj(X,U)由不确定性造成的可能取值都将构成一个区间。所以,上述问题无法通过传统的确定性优化方法进行求解,因为确定性优化方法中,决策的判断都是基于目标函数和约束在各个设计向量处的具体数值进行的。

本文将不确定性优化转化为确定性优化的主要内容是将不确定性目标函数转化为确定性目标函数。针对任一设计向量X,因为不确定向量U的存在且f为U的连续函数,故f(X,U)的可能取值范围为一区间,即

fI(X)=[fL(X),fR(X)]=[fc(X),fw(X)] (2)

$\begin{array}{l} f^{c} (X) = \frac{f^{L} (X) + f^{R} (X)}{2} \\ f^{w} (X) = \frac{f^{R} (X) - f^{L} (X)}{2} \end{array}$

可以通过目标函数的中点和半径值来判断不同设计向量之间的优劣:设计向量X1优于X2,则X1处的目标函数区间优于X2处的目标函数区间,即

fc(X1)≤fc(X2),fw(X1)≤fw(X2)

则式(1)中的不确定目标函数可以转化为如下的确定性多目标优化函数问题:

$\min_{X} (f^{c} (X), f^{w} (X)) (3)$

1.2 不确定优化算法

运用区间数将不确定性优化目标函数转化为确定性优化问题后是两层嵌套优化问题,其中外层优化用于设计向量的寻优,内层优化用于计算不确定目标函数和约束的区间。由于嵌套优化的存在,转化后的优化问题通常是非连续和不可导的[15],所以传统的基于梯度的优化方法难以有效地对其进行求解。本文中,外层优化算法选用非支配排序遗传算法,内层优化算法选用随机搜索的遗传算法。

转化后的模型为多目标优化问题,目前解决多目标优化的方法主要有矢量评价遗传算法、基于权重的遗传算法、采用小生镜技术的Pareto遗传算法以及非支配排序遗传算法(NSGA-Ⅱ)等[16,17]。由于NSGA-Ⅱ具有求解Pareto解集准确性及分散性较好的优点[18],故本文外层优化采用NSGA-Ⅱ搜索架构并加入精英保持策略;同时,由于遗传算法在子代个体中会出现重复个体而加大选优的工作量,故在本文外层优化程序中又加入了去除重复个体算法的程序。这样,本文采用的外层优化方法可以更好地保持解的多样性,同时提高全局寻优能力和收敛速度。

内层优化算法采用隔代遗传算法(IP-GA),它是小种群遗传算法μGA的改进形式。μGA从传统的遗传算法扩展而来,它不会过早收敛,搜索能力比传统的遗传算法更强。由于这些优点,μGA近年来被广泛地应用于工程实践。由于μGA种群个数少,能快速收敛到一局部最优点,所以,为保证基因多样性,使用重启策略替代变异操作,一旦当前代满足收敛度的要求,则随机产生一个相同规模的种群,并且此种群中将包含上一代的最优个体。IP-GA在μGA算法中加入了IP操作算子,通过对连续两代中的最优个体进行算术交叉以获得更优的个体,从而大大提高了收敛速度。假设pbj和pbj-1分别为当前代和上一代的最优个体,则IP算子将通过下面的公式分别获得3个新的子代个体c1、c2、c3[19]:

c1=pbj+α(pbj-pbj-1) (4)

c2=pbj-1+β(pbj-pbj-1) (5)

c3=pbj-γ(pbj-pbj-1) (6)

0≤α≤1,0≤β≤1,0≤γ≤1

α、β、γ为3个非负的搜寻参数,其取值范围一般在0.3至0.7之间,α、β、γ用于控制新产生的3个个体与pbj和pbj-1之间的距离,新的个体将替代下一代3个最差的个体。文献[20]对6个测试函数进行了分析,结果表明IP-GA具有突出的全局优化性能。

2 前悬架参数分析

2.1 建立前悬架动力学模型

根据某乘用车前悬架分析参数,在多体动力学软件ADAMS/Car中建立该车带转向系统的麦弗逊悬架多体动力学仿真模型,见图1。

2.2 定位参数灵敏度分析

车轮定位参数的变化会影响到车辆直线行驶稳定性、转向轻便性、回正性及轮胎的磨损速度,所以要保证车辆在行驶过程中车轮定位参数变化尽量小,在建立优化模型前首先要对设计参数进行灵敏度分析,把灵敏度高的参数确定为设计变量,然后再建立优化数学模型。首先在ADAMS/Car中进行前悬架两侧车轮同向跳动试验(parallel wheel travel),设置跳动量为±50mm(正号表示上跳,负号表示下跳),然后以此为基础在ADAMS/Insight模块中以二阶响应面的D优化设计方法进行试验设计,设置每个因子的变化量在-5～5mm之间,最后再返回到Car模块进行迭代仿真。图2～图5为灵敏度分析结果界面图。

由图2～图5可知:下控制臂外支点(lca-outer)、减振器上安装点(upper-strunt)的坐标lca-outer-x、lca-outer-y、lca-outer-z、upper-strunt-y、upper-strunt-z硬点值对目标变量的影响程度相对较大,所以将这些硬点坐标作为优化因子,并分别记作x1、x2、x3、x4、x5,以这5个参数为设计因子在ADAMS/Insight中再次进行试验设计。

3 近似模型的建立与可靠性验证

Kriging最优内插法是基于最小估计方差的无偏估计方法,是由南非地质学家Krige提出来的一种运用于地质领域的预测方法,用来预测矿产储存分布。近年来,这种方法在工程优化领域方面引起了广泛的关注,许多文献证实了该方法在工程结构近似分析中的有效性和可靠性[21]。Kriging模型有两方面的主要优点:一是运用已知信息的动态构造为基础,而不是用所有的信息对未知信息进行模拟;二是同时具有局部和全局统计特征。

本文将前悬架定位参数不确定优化问题转化为确定性优化问题后,得到的是一个双层嵌套的优化问题,对于每一个设计变量的迭代步,都要通过两次遗传算法优化确定目标函数区间的上下界。如果每次都调用ADAMS仿真模型(即真实模型)来求解,则计算效率过低。鉴于此,本文构建了Kriging近似模型来代替真实模型进行优化计算,基本过程如下:

(1)采用拉丁超立方实验设计,对选定的5个设计变量和2个不确定变量进行50次采样。

(2)将采样值代入ADAMS仿真模型进行仿真计算,得到前轮各个定位参数的响应,作为模型所对应的输出响应值。

(3)通过MATLAB-DACE工具箱分别建立前轮主销内倾角响应近似模型、主销后倾角响应近似模型、车轮外倾角响应近似模型与车轮前束角响应近似模型。

(4)在设计变量和不确定变量空间,随机选取若干个采样点(本文选择2个采样点),分别对真实模型和近似模型进行求解,并计算两者的相对误差。如果满足给定精度要求(设定为5%),则终止迭代,获得Kriging近似模型的具体参数;否则将这采样点加入采样点集,转步骤(3)重新构建近似模型。

通过本文算法构建的Kriging近似模型的相对误差如表1所示,从工程应用角度看,该模型的精度已经足够,可以用于后续的优化设计。

4 前悬架不确定性优化

4.1 目标函数的建立

本文优化的目的是减小车轮定位参数在车轮跳动过程中的变化量,从而增加整车的操纵稳定性和减小轮胎的磨损。在前轮的4个定位参数中,主销内倾角及主销后倾角的主要作用是产生回正力矩即减小车轮转向过程中的操纵力。车轮的前束角是为了适应车轮的外倾角而设定的,以便减小车轮磨损。根据以上各个参数之间关系的分析,把前轮定位参数分为2组,主销内倾角与主销后倾角为一组,车轮外倾角与车轮前束角为一组,通过加权组合的方法把每组整合为一个目标函数,以简化优化过程,其形式如下:

f1=w1y1+w2y2 (7)

f2=w3y3+w4y4 (8)

其中,wi(i=1,2,3,4)为各个目标函数的权重系数,某一目标函数的权重是指该指标在整体评价中的相对重要程度。为了方便本次优化计算,考虑各分目标函数对操纵稳定性及轮胎磨损速度的影响,本文采用直接加权法选取权重系数,选取方法如下。

若已知某项设计指标(分目标函数)yi的变动范围为

αi≤yi≤βii=1,2,3,4 (9)

则称

$Δ y_{i} = \frac{β_{i} - α_{i}}{2} i = 1, 2, 3, 4 (10)$

为该指标的容限,于是可取该指标的权重为

wi=1/(Δyi)2i=1,2,3,4 (11)

采用这种取权重系数的方法,当某项设计指标的数值变化范围愈宽时,其目标的容限愈大,权重系数就取较小值;而当数值变化范围愈窄时,目标的容限就愈小,权重系数就取较大值。这种取权重的方法可以达到平衡各分目标数量级的作用。

根据前面的仿真实验分析,确定各个目标函数的取值范围(表2),再运用式(9)～式(11)计算各个目标函数的容限及权重系数,可得车轮各目标定位参数的权重系数,具体结果如表2所示。

根据表2确定的各个分目标函数的权重系数可以得到目标函数为

f1=5.25y1+2.91y2 (12)

f2=18.01y3+7.71y4 (13)

经过加权组合后,车轮的4个定位参数优化问题转化为对车轮的转向节定位及主销定位2个目标的优化问题,系统的优化模型可表示为

$\begin{array}{l} \min_{X} f_{1} (X, U) \\ \min_{X} f_{2} (X, U) \\ s . t . g_{j} (X, U) \leq b_{j}^{Ι} = [b_{j}^{L}, b_{j}^{R}] \\ j = 1, 2, \dots, l, X \in Ω^{n} \\ U \in U^{Ι} = [U^{L}, U^{R}], U_{i} \in U_{i}^{Ι} = [U_{i}^{L}, U_{i}^{R}] \\ i = 1, 2, \dots, q \end{array}} (14)$

4.2 决策变量及不确定性变量的选取

通过2.2节中的灵敏度分析,把下控制臂外支点x、y、z坐标(lca-outer-x)、(lca-outer-y)、(lca-outer-z),减振器上安装点的y、z坐标(upper-strunt-y),(upper-strunt-z)硬点值作为优化因子,并分别记作x1、x2、x3、x4、x5,同时考虑悬架的螺旋弹簧刚度和轮胎径向刚度等参数随使用环境和工况的改变而在一定不确定性的范围内变动会影响悬架系统的功能,因此,把悬架螺旋弹簧的刚度和轮胎的径向刚度选取为不确定性量。

考虑硬点位置空间布置的要求及整车行驶平顺性和操作稳定性对硬点位置的要求,得到优化变量的范围如表3所示。

悬架螺旋弹簧的刚度和轮胎的径向刚度等参数随着使用环境和工况的改变而在不确定性的范围内变动,根据相关实验和资料,前螺旋弹簧的刚度由于制造误差和行驶工况条件的瞬时变化的不确定性水平选为5%,轮胎的径向刚度由于使用过程中温度的改变和轮胎气压的不稳定等因素选取不确定性水平为10%,分别记为x6、x7,各不确定变量取值范围为:x6∈[52.60,57.54]mm,x7∈[213.66,261.14]mm。

4.3 计算流程

本文将加入精英保持策略和去除重复个体的非支配排序遗传算法(NSGA-Ⅱ)和隔代遗传算法(IP-GA)结合起来,在近似模型的基础上,以式(14)为目标函数,对前轮定位参数进行不确定性优化。首先,外层优化算法NSGA-Ⅱ在悬架各硬点参数组成的设计空间内寻优,然后对于外层所取的每个设计向量执行内层优化算法IP-GA,在螺旋弹簧刚度和轮胎径向刚度组成的不确定参数空间内搜索,通过计算近似模型确定目标函数响应的上下界,进而得到目标函数响应的平均值。把内层优化结果反馈给外层优化算法,以帮助外层算法继续寻优,直到满足停止准则,输出最后的Pareto最优解集。优化流程如图6所示。

根据优化流程得到该多目标优化问题的Pareto最优解集如图7所示。由图7可见,A点和D点分别是f1和f2的极小点,在AB段,f1的极小变化会引起f2的很大变化;在CD段,f2的极小变化就会引起f1的很大变化。这对决策者来说这两个区间都不是很好的选择区间,一般决策者从变化平缓的BC段选择最好的点。

对于多目标优化问题,往往不可能使得各目标同时达到最优,只能在各目标之间进行协调权衡与折中处理,尽可能满足各目标达到最优。为了使f1和f2尽可能最优,本文取B点和C点的中点:

f*=(f1,f2)=(59.0346°,32.8325°)

对应的响应的设计变量为

X*2=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7)=(-10.62,-813.87,

-242.58,-634.93,540.22,52.68,236.34)

4.4 确定性优化

忽略不确定因素的影响,用同样的算法对前轮定位参数进行确定性优化,多目标优化的Pareto最优解集如图8所示。

取B点和C点的中点:

f*=(f1,f2)=(59.0228°,32.6154°)

响应的设计变量为

X*1=(x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7) =

(-10.38,-812.98,-247.64,-636.76,

542.20, 54.80,237.40)

4.5 优化结果分析

把确定性优化和不确定性优化得到的最优硬点值重新代入ADAMS中进行仿真分析,得到各优化目标优化前后的曲线对比图,见图9～图12。

两种优化方法优化前后,前轮定位参数的变化情况如表4所示。

由图9～图12及表5可知,确定性和不确定性优化后,前束角、主销内倾角、主销后倾角及车轮外倾角在车轮跳动过程中的变化量有所减小,主销后倾角及车轮外倾角的优化效果不明显。总体而言,前悬架经过优化后整车的操纵稳定性得到了改善,而确定性优化的结果略优于不确定性优化结果,这是因为在不确定性优化过程中考虑了螺旋弹簧刚度和轮胎径向刚度不确定性的影响,采用目标函数区间中间值来判断设计变量的优劣。但当不确定性参数由于某种因素引起变化时,确定性优化后的悬架模型可能存在性能不稳定的现象。

以前束角为例(图13),曲线1表示确定性优化后,前束角随车轮跳动过程的变化曲线,曲线2表示确定性优化后,实际运行过程中两个不确定性因素引起的前束角最大变化(最坏情况曲线),曲线1、曲线2间的区域表示确定性优化后实际前束角随车轮跳动过程中可能的取值区间;曲线3表示考虑不确定性因素进行不确定性优化后,在车轮跳动过程中前束角只能沿此曲线变化。通过结果的对比可知,虽然确定性优化结果优于不确定性优化结果,但在考虑螺旋弹簧刚度和轮胎径向刚度不确定性影响下的不确定性优化结果对设计参数的波动不敏感,因此不确定性优化比确定性优化具有更好的鲁棒性,也更能反映真实的情况。

5 结论

(1)通过灵敏度分析,可以对影响车轮定位参数的设计变量进行筛选,以灵敏度较大的参数作为优化对象。

(2)将Kriging法引入到悬架结构的优化改进中,可以建立设计变量与不确定性变量和目标变量的函数关系,进而可以保证近似模型的精度,该方法避免在优化过程中多次调用多体动力学仿真模型,使系统能简单快捷地求解最优解。

(3)利用区间优化转换模型将不确定性优化转化为确定性优化,转换后的确定性优化是双层嵌套优化,其中外层优化用于设计向量的寻优,内层优化用来计算不确定目标函数和约束的区间,外层优化运用NSGA-Ⅱ算法,内层优化运用IP-GA算法,通过此两种算法的组合,能快速计算出两层嵌套的多目标Pareto最优解集,然后由决策者参与选择最优点。

(4)通过对悬架系统设计参数的不确定性优化,减小了车轮定位参数在车轮跳动过程中的变化量,从而既保证了车辆在行驶过程中的操纵稳定性又减小了轮胎的磨损速度。考虑实际工况中的不确定因素,借助双层遗传算法对前轮定位参数进行不确定性优化,并将优化结果与确定性优化结果进行比较,结果表明,利用不确定性优化方法进行优化设计时,可以建立更真实的优化模型,具有更好的鲁棒稳定性。

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