数学解法

数学解法（通用12篇）

数学解法 篇1

在九宫格(如图1) 中输入九个数字,使每一行每一列以及对角线上的三个数之和都等于一个固定值s. 这就是人人皆知的九宫方阵.

这个问题答案已经家喻户晓,但如何求解却需要进一步探讨.

一、传统解法

(1)破解口诀

在电视连续剧《射雕英雄传》里有一情节,瑛姑为了这个九宫格苦思不得其解,便拿它来考黄蓉,她给出的答案就是: “戴九履一,左三右七,二四为肩,六八为足,五守中央”(如图1) .

(2)迭代法

把不同的数字组合进行迭代,直到得出最终组合为止.随着计算机技术的引入,这一方法也不难实现.

这两种方法,虽然都能得到正确的答案,但无法给出求解过程及原因,或者求解过程比较烦琐,无法窥探其中的奥秘,掌握起来比较困难. 下面介绍一种数学解析的方法.

二、数学解析法

( 一) 确定各行、列数字和 s

九宫格中的九个未知数用a,b,c,d,e,f,g,h,i代替,如图2所示. 采用数学解析法,按照以下步骤求解九宫方阵.

根据已知条件

( 二) 确定中心数字 e

根据已知条件,如图“米”字上的数列满足

( 三) 确定第二个数字位置

中心数字e(5)确定后,其他任意1个数字,按照空格相对位置关系,如图3,只有两个位置,一个是在角格里,另一个在外边中间格里. 假设先确定数字9的位置.

而除去数字1、5后,只有2 + 4 = 6.

但(b,c)和(d,g)不能同时取值(2,4),

故数字9不能在角格里,只能在外边中间格里;数字9位置确定后,数字1位置同时确定.

设b = 9,则h = 1,得到如下九宫方阵,如图4.

此求解过程,第二个数字选定9,确定其位置. 选定其他数字,求解过程同上.

( 四) 求解其他未知数

根据已知条件,

从而求解出九宫方阵中所有位置的数字,如图5所示.

求解过程中可以发现,随着数字9和1位置在外边格位置的不同及数字排列的变化,可以得到九宫方阵的其他求解结果,如图5所示,在此不再逐一赘述.

三、结 论

用数学解析法,掌握其中规律,可以容易求解出九宫方阵以及它的几种变化. 通过求解过程,也可以窥探其中的奥妙,提高学习兴趣,从而达到熟练掌握.

求解过程中,应把握以下几个关键环节:

(1)求各行、列的数字和s;

(2)确定方阵中心值e;

(3)确定任意第二个数字的位置.

数学解法 篇2

选择题因其答案是四选一，必然只有一个正确答案，那么我们就可以采用排除法，从四个选项中排除掉易于判断是错误的答案，那么留下的一个自然就是正确的答案。

方法二：赋予特殊值法

即根据题目中的条件，选取某个符合条件的特殊值或作出特殊图形进行计算、推理的方法。用特殊值法解题要注意所选取的值要符合条件，且易于计算。

方法三：通过猜想、测量的方法，直接观察或得出结果

这类方法在近年来的初中题中常被运用于探索规律性的问题，此类题的主要解法是运用不完全归纳法，通过试验、猜想、试误验证、总结、归纳等过程使问题得解。

方法四：直接求解法

有些选择题本身就是由一些填空题、判断题、解答题改编而来的，因此往往可采用直接法，直接由从题目的条件出发，通过正确的运算或推理，直接求得结论，再与选择项对照来确定选择项。我们在做解答题时大部分都是采用这种方法。

例如:商场促销活动中，将标价为200元的商品，在打8折的基础上，再打8折销售，现该商品的售价是( )A 、160元 B、128元 C 、120元 D、 88元

方法五：数形结合法

解决与图形或图像有关的选择题，常常要运用数形结合的思想方法，有时还要综合运用其他方法。

方法六：代入法

将选择支代入题干或题代入选择支进行检验，然后作出判断。

方法七：观察法

观察题干及选择支特点，区别各选择支差异及相互关系作出选择。

方法八：枚举法

列举所有可能的情况，然后作出正确的判断。

例如：把一张面值10元的人民币换成零钱，现有足够面值为2元，1元的人民币，换法有( )

(A)5种 (B)6种 (C)8种 (D)10种

分析：如果设面值2元的人民币x张，1元的人民币y元，不难列出方程，此方程的非负整数解有6对，故选B.

方法九：待定系数法

要求某个函数关系式，可先假设待定系数，然后根据题意列出方程(组)，通过解方程(组)，求得待定系数，从而确定函数关系式，这种方法叫待定系数法。

方法十：不完全归纳法

当某个数学问题涉及到相关多乃至无穷多的情形，头绪纷乱很难下手时，行之有效的方法是通过对若干简单情形进行考查，从中找出一般规律，求得问题的解决。

以上是我们给同学们介绍的初中数学选择题的答题技巧，希望同学们认真掌握，选择题的分数一定要拿下。初中数学答题技巧有以上十种，能全部掌握的最好;不能的话，建议同学们选择集中适合自己的初中数学选择题做题方法。

数学学习要养成良好的学习习惯

数学学习习惯包括课堂习惯、作业习惯、考试习惯，下面就来详细说说这三个习惯：

一、课堂习惯

课堂学习是学习活动的主要阵地，课堂效率也会直接影响学习效果，因此，课堂上，要做到“四会”，即：会思考、会提问、会笔记、会“发现”。

会思考：就是要跟着老师的思路走，这样就能让数学知识更加有条理，也更容易接受。

会提问：学习就是发现问题、解决问题的过程，所以，有疑就问，才能获得更多的数学知识。

会笔记：做课题笔记的过程就是手、眼、大脑多器官参与的过程，这样会加深知识的掌握程度，提高课堂效率。

会“发现”：通过对数学题的总结归纳，能够找到规律，这样学起来就能事半功倍。

二、作业习惯

很多学生觉得自己在课堂上已经学会了，所以，对于数学作业就是“混”，结果导致基础知识不牢，基本概念模糊不清。

好的作业习惯核心是“独立完成，积极主动”，日常作业要做到“今日事今日毕”，当天的作业一定要当天完成，这样，才能在第一时间巩固课堂知识，保证记忆效率。此外，作业要独立完成，“抄袭”是很多同学的通病，一旦养成抄袭的坏习惯，数学成绩就会一落千丈;即使遇到难题，也要请同学或者老师帮忙，共同探讨，这样才能加深印象，学习效果才越来越好。

三、考试习惯

考试是学习的一个重要环节，通过考试能够总结某一阶段的学习成果，能够发现学习中的问题。数学学科中，同学们最长犯的错误就是“粗心”，当然，粗心并非表面那么简单，实则有很多原因，后期方法君会和大家详细聊“粗心”的话题。而想要养成良好的考试习惯就要从认真复习、认真审题、认真思索、认真总结这四个过程中入手，才能让每一次考试成为进步的阶梯。

第三，做数学题要讲技巧

很多教育专家、数学老师都不建议大家采用“题海战术”，题海战术究竟可不可取呢?“题海战术”其实也是一种学习方法，只是需要加两个词“有选择”“善总结”。

我们在做题的过程中要有选择性，想好了这道题主要是考哪些知识点、以前是否遇到过类似的题目，只有精选、精做代表性的题目，才能强化对知识点的理解和掌握。

很多学生只知道做题，不懂得总结，体现不出任何的学习效果。因此在做题后要总结至关重要，只有认真总结才能不断积累做题经验，这样才能取得理想成绩。

第四，要刻苦努力

高中数学相交问题的解法探究 篇3

作为高中数学中较为重要的部分，数学老师在教学中会经常通过各类真题为学生讲解，如此做一道讲一次的方法很难让学生们真正的领悟到其中的内涵以及本质。而二十多分的分值又让同学没有放弃的理由，由此很多学生很是苦恼，慌不择路。本文将通过解读相交问题的本质以及讲述解决相交问题的基本方法，让同学们真正的领悟到相交问题的关键，从而对于相交问题能够从容应对。

所谓相交是指直线与二次曲线或者二次曲线与二次曲线的相交。解决相交问题一般有以下几种方法，运用代数的方法；应用垂径定理以及沟股定理建立等式的方法，利用数形结合的方法，构造一元二次方程，利用根与系数之间的关系的方法。在高中的相交问题中，一般用这四种方法就可以轻松的解决问题，然而同学们在运用方法的同时要掌握方法中的内涵，从而达到活学活用，这样才能做到举一反三，应付各种类型的相交问题。

利用代数的方法解决相交问题。就是将题中给定的两个二元二次方程放在一起进行运算，从而得出二元一次方程，再由这个二元一次方程和其中任意一个二元二次方程放在一起，由此得到相交的直线方程。这种方法是巧妙的利用代数方法对两圆相交的为难题进行求解，在解题的过程中，利用了方程组同解的原理，从而不经过求解而得出经过两圆交点的直线方程。这种方法相比直接进行求解的方法要简单的多，避免了直接方法中要求出二元二次方程组的解这个繁琐的过程，同时也省略了再利用两点式求出直线方程出现的错误。

利用垂径定力和勾股定理，通过建立等式解决相交直线问题。这种方法常见于直线与圆相交或者圆与圆相交的问题。这种方法的特点就是将代数的问题进行几何化，再利用几何的方法对代数问题进行解决， 通过将代数问题几何化的过程可以使运算的过程更加简单化，避免出现运算错误，但最后还是要通过联立方程组解出最终的交点坐标。

以题为例，求直线：3X-Y-6=0被圆x2+Y2-2x-4y=0截得的弦AB的长度。这道题的解题思路就是先将该圆化成方程的标准形式，即（x-1）+（y-2）=5，由此可以看出圆心为O（1，2），半径即√5，然后过圆心做垂线OC垂直于相交线AB，得出弦心距OC=3x1-2-6|√32+12 =√10|2，最后再由勾股定理和垂径定力得出AB=2AC=√10.这种方法是先利用点到直线的距离求得弦心距，然后再利用垂径定力以及勾股定理求得弦长，这样就可以将本来很是复杂的代数问题化解成简单的几何为难题，缩短的解题时间。降低了解题难度，利用该种方法需要注意的是要通过半弦长乙级弦心距，圆的半径之间的勾股关系得出最终的长度。在运算过程中要注意细致入微，稍微马虎就会导致最终结果的失误。

第三种方法是利用数形结合的方法解决相交问题。数形结合方法是解决高中数学题常见的一种方法，不仅在解决相交问题中可以使用，在其他方面的试题也可以取得不错的效果。特别是在解答填空题时，可以利用数形结合的方法提高做题的速度。但是如果利用好这种方法需要多动脑筋，发散思维，在平时的时候要懂得活学活用，同时老师在授课的过程中要深刻的分析这种方法的内涵以及本质，能够让同学联想出数与形之间的内在关系，只有这样，才能够将一些比较高难的代数问题几何化，或者将几何问题带书画，从而得到较好的解题途径，最终解决问题。

以题为例，在平面直角坐标系XOY中，已经圆x2+y2=4上有且只有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，那么实数c的取值范围是多少。在刚开始做这道题的时候，同学一定会没有思路，因为如果利用几何方法解决的话，没有头绪，同时即使找到解决方法，运算的时候也会很麻烦，因此在遇到这种几何问题无法用几何方法解决的时候要首先想到代数方法，将几何问题代数化，在分析图之后，我们知道圆的半径为2，同时远上有且只有4个点到已经直线的距离为1，这就必须使得圆心到已知直线的距离小于1，也就是C的绝对值与√122+（-5）2的比值小于1，从而接的—13《c《13。通过解决这道题，我们可以了解到，将代数问题几何化或者将几何问题代数化，需要严格的条件限制，这种方法并不是万能的，解决此类问题需要将代数的已知条件从而画出几何图，让其中的数量关系在图中显现出来，这样才能找到解题的方法。如果想熟练掌握这种方法，就需要老师在平时的授课中能够开发同学的思维，在解题时能够让学生想到不同的解题方法，加深对每一道题的理解，这样才能够在高考中熟练的运用这种方法。

最后一种方法就是利用构造一元二次方程，利用根与系数的关系解决相交问题。这种方法经常应用在直线与圆，椭圆等几何图形的相交问题。这种方法运算量过大，一般情况下不宜采用。同时还要采取间接的求解方法，利用方程的根与系数之间的关系从而得出直线与曲线相交的条件，这样才能简化运算过程，最终达到解决问题的目的。

数学选择题解法初探 篇4

一、直接法

直接法是从已知条件出发运用定义、定理、公式, 通过准确的运算, 严密推理, 得出一个正确的结论, 再与所给选项核对, 做出正确选择的方法。这是解答选择题的最基本方法。

例1 已知:y=ax5+bx3+cx-5, 当x=-3时, y=7, 那么, 当x=3时, y的值是 ( ) 。

A.-17; B.-7; C.-3; D.7.

解析:由已知可得:y+5=ax5+bx3+cx

当x=-3时, y=7, 即有

7+5=a× (-3) 5+b× (-3) 3+c× (-3)

=- (a×35+b×33+c×3)

∴a×35+b×33+c×3=-12.

那么, 当x=3时,

y=a×35+b×33+c×3-5

=-12-5

=-17

故应选 A.

例2 一个矩形的对角线等于较短边与较长边的一半的和, 则短边与长边之比的比值为 ( ) 。

undefined;undefined;undefined; D.以上都不对。

解析:设矩形的短边为a, 长边为b, 对角线为l, 于是由已知条件和勾股定理得:

undefined

undefined

二、特例法

解某些选择题, 可用特殊图形或特殊值的办法进行验证, 判别真伪的选择方法。

例3 等边三角形的一条高为h, p点在这个三角形内, 则它到三角形三边距离之和一定是 ( ) 。

A.比undefined大, 但比h小; B.总等于h;

C.比h大, 但比undefined小; D.比undefined大。

解析:p点取在三条高的交点处, 可知p点到三角形三距离之和恰好等于h.故应选 B.

三、分析法

根据结论要求, 通过观察分析发现规律, 从而作出正确判断的方法。

例4 数32003×72004×132005的位数是 ( ) 。

A.1; B.3; C.5; D.7; E.9.

解析:∵31=3, 32=9, 33=27, 34=81, 35=243, ……

∴底数为3的正整数次幂的个位数字是成周期性变化的, 故32003的个位数是3.

同理:71=7, 72=49, 73=343, 74=2401, 75=16807, ……故底数为72004的正整数次幂的个位数字是成周期性变化的, 即知72004的个位一数是9.

131=13, 132=169, 133=2197, 134=28561,

135=371293, ……, 故底数为132005的正整数次幂的个位数字是成周期性变化的, 即132005的个位数是7.

所以数32003×72004×132005= (……3) (……9) (……7)

=……9

故应选 E.

四、代入法

运用代入的法进行检验, 从而获得正确判断的方法。

例5 若方程组

undefined

有无数多组解,

则k= ( ) 。

A.1; B.2;

C.3; D.k为任何值, 方程组都不可能有无数组解。

解析:当k=1时, 原方程组化成

undefined

, 此时方程组只有一解, 故A不是本题的应选答案。

同理可知B也不是本题的应选答案。

当k=3时, 原方程组化成

undefined

, 显然方程组有无数个解, 故D自然就不是本题的应选答案。故应选 C.

五、淘汰法

利用已知条件和答案所提供的“信息”, 逐个淘汰掉所有的错误答案, 从而获得正确答案的方法。

例5 若|a|=1, |b|=2, 则a+b的值是 ( ) 。

A.不可能等于1; B.不可能大于1;

C.不可能大于2; D.可能等于-3.

解析:取a=1, b=2, 则a+b=3, 故可淘汰B、C;取a=-1, b=2, 则a+b=1, 故可淘汰A.即本题应选D.

六、逆推法

对于条件复杂而结论简单的选择题, 有时可以从结论逆推, 从而获得正确判断的方法。

例6 三个质数q、p、r, 满足p+q=r, 1

A.2; B.3; C.7; D.13.

解析:假定p=2结论正确, 要使p+q=r, 1

易得:q=3、r=5, 均满足条件, 由于正确答案只有一个,

故正确答案是2.即本题应选 A.

七、图解法

根据某种条件的几何意义, 借助图形作出正确判断的方法。

例7 方程undefined的解的个数是 ( ) 。

A.1; B.2; C.3; D.4.

解析:令undefined分别在同一坐标系内作出其图象, 如图1所示, 则观察其结果, 两函数图象有三个交点。所以原方程的解的个数是3个。

故应选 C.

八、表解法

利用已知条件借助表格, 作出正确判断的方法。

例8 不等式 (x-1) (x-2) (x-3) <0的解集

是 ( ) 。

A.2

解析:列表如下:

所以原不等式的解集是:x<1或2

数学解法 篇5

有的学生认为，要想学好高中数学，只要多做题，功到自然成。其实不然。一般说做的题太少，很多熟能生巧的问题就会无从谈起。因此，应该适当地多做题。但是，只顾钻入题海，堆积题目，在考试中一般也是难有作为的。

高中数学考前辅导

高中数学在考试前要摒弃杂念，排除干扰思绪，使大脑处于“空白”状态，创设数学情境，进而酝酿数学思维，提前进入“角色”，通过清点用具、暗示重要知识和方法、提醒常见解题误区和自己易出现的错误等，进行针对性的自我安慰，从而减轻压力，轻装上阵，稳定情绪、增强信心，使思维单一化、数学化、以平稳自信、积极主动的心态准备应考。

良好的开端是成功的一半，从考试的心理角度来说，这确实是很有道理的，高中数学考试拿到试题后，不要急于求成、立即下手解题，而应通览一遍整套试题，摸透题情，然后稳操一两个易题熟题，让自己产生 “旗开得胜”的快意，从而有一个良好的开端，以振奋精神，鼓舞信心，很快进入最佳思维状态，即发挥心理学所谓的“门坎效应”，之后做一题得一题，不断产生正激励，稳拿中低，见机攀高。

数学解法 篇6

关键词：小学数学   鸡兔同笼   解法探析

DOI：

10.16657/j.cnki.issn1673-9132.2016.02.028

“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四脚，问雉免各几何？”这就是著名算术题“鸡兔同笼”，这道源自古代《孙子算经》的趣味题经过千百年来无数算术爱好者和教育人士的研究，其解题方法得到了极大的丰富，而其内涵也不断地延伸。现代人研究“鸡兔同笼”的目的已不仅仅局限于具体的解决办法，而是通过“鸡兔同笼”实现数学思想的渗透，学会以数学的眼光看待世界、解决问题。

一、“鸡兔同笼”解题法中隐含的数学思想

解决“鸡兔同笼”的办法有很多，既有古代流行的抬脚法，也有现代人新创的猜想法、列表法、图画法、假设法、建模法、方程法等。“鸡兔同笼”的多样解题法彰显了数学思想在数学教育中的重要地位。作为教师，我们需要深入研读教材，把隐含在课本公式、习题间的数学思想准确地提炼出来，在课堂教学过程中潜移默化地引导学生感悟，促使学生尝试运用数学思想分析与解决问题。

二、“鸡兔同笼”解决法分析

（一）猜想法

也可称为凑数法，即让学生根据题目中提供的“头”的数量先猜鸡与兔的数量，再通过题目提供的“脚”的数量予以印证。在此过程中，学生会慢慢领会“若鸡与兔的脚数量猜测得多，则应该增加鸡的猜测数量而减少兔的数量。反之，若是脚的数量少了，就要增加兔的猜测数量而减少鸡的数量。在这种不断修正猜测结论的过程中，学生自主学习的积极性得到提高，慢慢变得大胆，思路也更加开阔。

（二）列表法

列表法可以看作是猜测法的延续，将猜测的数值按照一定顺序（一般是从小到大）排列为表格，根据表格数据可以发现规律“鸡的数量减少一只、兔的数量增加一只的情况下，脚的数量就会增加两只”。在现实生活中，当一些问题暂时不能找到最恰当的数学模型时，以列表的办法往往能够得到结果，这也为后面的数学建模奠定了基础。

（三）画图法

画图法是最直观形象的办法，首先画出35个头与94只脚，然后先给所有的头配上两只脚，接着将多出来的24只脚加在其中的12个头上，答案出现。通过上面画图的过程，新的解题法——假设法已经初步呈现。画图在小学生的数学学习过程中是一个十分必要也相当有用的办法，学生在动手绘图的过程中能够逐渐领悟解题思路，在一定程度上拓展想象空间，从而体会的掌握其中的数学思想。

（四）假设法

新课程标准的提示内容中有“假设笼子里全是鸡，则全部的脚的数量就应该是70只，这会多出24只脚，一只兔子比一只鸡多两条只脚，则24÷2=12，这就是兔子的数量，那么鸡就有23只”。根据这种提示，学生可以反向思维：“如果笼子里全是兔子，那就应该有140只脚，这样就少了46只脚，一只鸡比一只兔子少两只脚，46÷2=23，这是鸡的数量，那么兔子就是12只。”

假设法解题相对于之前几种解题法而言更加快捷迅速，并且有利于促进小学生创新性思考能力的发展。但假设的方向一定要正确，假设的目标对象必须顺应题目而非自相矛盾，否则不仅得不到正确答案，反而会让解题人陷入混乱。

（五）建模法

这种办法是在假设法的基础上得到的，在“假设”的过程中，学生可以得出以下规律：“鸡的数量=（所有头的数量×4-所有脚的数量）÷（4-2），兔的数量=（所有脚的数量-所有头的数量×2）÷（4-2）”。这个规律就是一个数学模型。这个模型可以解决所有与“鸡兔同笼”问题类似甚至有所扩展的问题。建模法已经是一种相对成熟的解决现实问题的常用数学思想方法，该法从“形”和“量”的角度分析现实问题，以相对简化了的抽象形式确立解题参数与参量，结合数学定理（定义）将现实问题与之关联，此时，一个数学（或现实）问题就成为一个极简的数模。小学生对于建模的问题相对难以理解，但教师应当尝试让学生初步对建模产生大致的印象，从而为后续的深入学习做好铺垫。

（六）方程式解题法

方程式的应用在四年级已有了初步的认识，这种方法也是使用最广泛和最便捷的数学思想方法之一，具体到“鸡兔同笼”的问题，可以设兔的数量为X，鸡为Y，则鸡头数量则为35-X，那么，兔子的脚就是4X，鸡脚就是2（35-X），则方程式为4X+2（35-X）=94，解X=12，Y=23。

方程式作为解决现实问题最有效的数模，具有直接、简便、以易解难的优势，其在现代社会各行业均有广泛应用，此法的应用重点在于将问题中的已经量与未知量通过列方程建立起关联，最终通过已知量计算得到未知量，此即为方程式思想方法的由来。

三、通过分析“鸡兔同笼”教会学生数学思想

从上述猜想法到方程式法不难看出，这些由浅及深的数学思想方法之间存在着层层递进、由具象到抽象、由低层级往高层级发展的关联。粗看之下，“猜想、列表、画图”显得幼稚，似乎很“笨”，而且一旦头和脚的数量上了百只，那么仅在画图表上耗费的时间就已经无法想象，更遑论后续的解题措施。然而，这些略显笨拙的解题法作为小学生学习数学思想的必然过程却是必不可少的，正因有了这些“笨”办法，才为后面的假设、建模与方程式奠定了基础。教师需要通过这样循序渐进的教学方法化繁为简，进一步让学生明白所谓的“笨”办法与后面精炼简洁的数模之间其实有着千丝万缕的联系，从而让学生了解“数学思想之间并非孤立存在”的深刻内涵。

四、结束语

分析“鸡兔同笼”的目的在于让小学生掌握不同数学思想的内涵，教师应充分挖掘与延伸“鸡兔同笼”的潜在价值，引导小学生领会及掌握不同数学思想方法间的联系，为更高层级的学习奠定坚实的基础。

参考文献：

[1]谢清霖.亲历问题解决过程 深入感悟数学思想——“鸡兔同笼”问题蕴涵的一些数学思想方法教学例谈[J].小学数学教育，2013（2）.

初中数学选择题常见解法 篇7

选择题是由“题设”与“选择项”两部分组成, 它又分为多元性选择题和唯一性选择题两大类。根据同学们的特点, 此文只涉及唯一性选择题, 它具有概念性强、灵活度大、知识覆盖面广的特点。它的正确答案混在若干个“似是而非”的选项中, 设置在一个个具有诱惑力的“陷阱”旁, 因而很容易使同学们误入歧途。熟练掌握选择题的解法, 能强化基础知识的理解与基本技能的运用, 有助于培养和提高同学们的思维能力和分析判断能力。

二、选择题的常用解法

选择题的解法较多, 常用的有以下四种:直接法、特殊值法、验证法、图像法。

1.直接法就是直接从题设的条件出发, 通过合理的运算, 严格的推理, 从而得出正确的结果, 以确定哪一个是应选择的方法。

例1 化简m-n- (m+n) 的结果是 ( ) 。

A.0; B.2m; C.-2n; D.2m-2n.

解:m-n- (m+n) =-2n, 所以应选 C.

例2 反比例函数undefined的图像经过点 (2, 3) , 则n的值是 ( ) 。

A.-2; B.-1; C.0; D.1.

解:由题意可知:undefined, 解得:n=1.故应选D.

2.特殊值法是用满足题设条件的特殊数值代替有关字母, 进行演算和推理, 据此判定选项的正误的方法。特殊值法具有迅速明了的优点, 是选择题所特有的一种解题方法。

例3 若0

A.x

C.x3

解:令x=0.5, 则x2=0.25, x3=0.125.

所以0.125<0.25<0.5, 即x3

例4 如果a<0, b>0, a+b<0, 那么下列关系式中正确的是 ( ) 。

A.a>b>-b>-a; B.a>-a>b>-b;

C.b>a>-b>-a; D.-a>b>-b>a.

解:令a=-3, b=2, 则-a=3, -b=-2.所以应选 D.

3.验证法是指把备选项中给出的答案代入已知条件中验证其条件能否被满足或由题设找出合适的验证条件, 进而通过验证找出正确答案的方法。

例5 分式undefined的值为1时, m的值是 ( ) 。

A.m=2; B.m=-2; C.m=-3; D.m=3.

解:把A、B、C、D四个答案代入undefined中验证, 只有当m=-3时, undefined, 所以应选:C.

例6 方程undefined的根是 ( ) 。

A.-3; B.0; C.2; D.3.

解:把A、B、C、D四个答案代入原方程验证, 只有D答案能使方程的左右两边相等, 所以应选 D.

4.图像法就是用数形结合的思想, 根据题设条件作出图像, 然后运用有关定理、性质进而找出正确答案的方法。

例7 若A (-3, y1) , B (-2, y2) , C (-1, y3) 三点都在函数undefined的图像上, 则y1, y2, y3的大小关系是 ( ) 。

A.y1>y2>y3; B.y1

C.y1=y2=y3; D.y1

解:作出undefined的大致图像, 如图1, 由图像可知应选 B.

例8 点P1 (x1, y1) 点P2 (x2, y2) 是一次函数y=-4x+3图像上的两个点, 且

x1

A.y1>y2; B.y1>y2>0

C.y1

解:作出y=-4x+3图像, 如图2, 由图像可知应选 A.

高考数学选择题解法探析 篇8

笔者结合自己的教学实际,对近年的高考数学选择题解答方法作了一些分析研究,认为有两种基本解答思路:一是从题干出发考虑探求结果;二是从题干和选择支联合考虑或从选择支出发探求是否满足题干条件.由于选择题提供了备选答案,又不要求写出解题过程,因此,在具体解答过程中有一些特殊解答方法值得注意,若能灵活运用,对提高考生的解题能力和得分率有一定的积极作用,下面结合例题进行分析探讨.

一、直接求解法

从选择题的条件出发,直接计算、推理判断进行求解,再把求得的结果与选择支比较,得到答案的求解方法.直接法是解高考选择题的通法,也是最基本的方法.

例1 f (x)是定义在R上的以3为周期的奇函数,且f(2) =0,则方程f(x)=0在区间(0, 6)内的解的个数的最小值是( ).

A.2 B.3 C.4 D.5

解析 依题意直接进行分析.由f(2)=0,且f(x)是定义在R上的奇函数,可得f(-2)= -f(2)=0,f (x)是周期为3的函数,所以有f(-2)= f(1)= f(4)=0, f(2)= f(5)=0,所以方程f(x)=0在区间(0.6)内的解的个数的最小值是4.

二、逻辑分析法

涉及数学的有关概念、定义、运算、公式以及定理,要注意它们的内涵和外延,认识尽量全面,理解尽量深刻.尤其是从特殊性和一般性的相结合上多加思考,理清问题的逻辑关系的顺序,把握问题的包含关系,考察问题的充分性和必要性等等,你就可以做出合理的判断.

(1)若(A)真,则(B)真,则(A)必排出,否则与“有且仅有一个正确结论”相矛盾.

(2) 若(A)(B)等价,则(A)(B)均假.

(3)若(A)(B)成矛盾关系,则必有一真,可否定(C)(D).

例2 在一次运动会上有四项比赛的冠军在甲、乙、丙三人中产生,那么不同的夺冠情况共有( )种.

A.AundefinedB.43 C.34 D.Cundefined

解析 四项比赛的冠军依次在甲、乙、丙三人中选取,每项冠军都有3种选取方法,由乘法原理共有3×3×3×3=34(种).

说明 本题还有同学这样误解,甲、乙、丙夺冠均有四种情况,由乘法原理得43.这是由于没有考虑到某项冠军一旦被一人夺得后,其他人就不再有4种夺冠可能.

三、逆推验证法

所谓逆推验证法就是不按照习惯思维考向,而是从其反考点进行思维.有些数学题目,顺推不行时,可考虑逆推;正面直接求解困难时可考虑从其反面来间接求解.特别是当题目以否定形式给出,或者结论的反面比原结论更具体或更简单时,一般采用逆向思维法.在中学数学中,逆向思维的考查主要是:(1)运用反证法进行逆向思维;(2)运用补集思想进行逆向思维;(3)运用可逆原理进行逆向思维.

例3 设命题P:关于x的不等式a1x2+b1x+c1>0与a2x2+b2x+c2>0的解集相同;命题Q:undefined.则Q是P的( ).

A.充要条件 B.必要而不充分条件

C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析 快速而准确地构造反例,是否定一个命题成立的有力手段,设x2+x+1>0与x2-x+1>0,表明必要条件不成立;又设x2+x+1>0与-x2-x-1>0,充分性也不成立.故选D.

四、特例检验法

选择题的题干或选择支中有范围限制或满足题意的情况有多种,而且答案唯一,求解这类选择题时,运用特殊化思想,通过特殊化手段,排除一些选择支,从而得到答案的方法.特殊化方法主要包括取特殊值法、取特殊图形法、取特殊位置法、取特殊函数法、取特殊数列法等.

(一)取特殊值

例4 向高H的水瓶中注水,注满为止.如果注水量V与水深h的函数关系的图像如图1所示,那么水瓶的形状是( ).

解析 取特殊值.当undefined时,undefined,其中V0为注满时的水量,故排除A,C,D,选B.

(二)取特殊点

例5 设P是△ABC内任意一点,S△ABC表示面积,undefined,定义f(P)=(λ1,λ2,λ3),若G是△ABC的重心,undefined.则( ).

A.Q在△GAB内 B.Q在△GBC内

C.Q在△GCA内 D.点Q与点G重合

解析 利用特殊的点、线进行考虑.如图2,在△ABC中,AD,AO分别为BC上的高和中线,MN为AD的中垂线,交AO于点E,则ME=NE.

由undefined可知,undefined,则Q在MN上,且undefined,只有当NQ>MQ时,S△QCA>S△QAB,所以Q在直线ME上,即Q在△GAB内,故选A.

(三)取特殊角

例6 已知undefined,则undefined的值是( ).

undefined

解析 取α=30°满足已知条件,则0

(四)取特殊函数

例7 已知y=f(x)是定义在R上的单调函数,实数undefined, 若|f(x1)-f(x2)|<|f(α)-f(β)|,则( ).

A.λ<0 B.λ=0 C.0<λ<1 D.λ≥1

解 由α,β的给出形式,不难联想到定比分点公式.若设A,B,P,Q分别是x1,x2,α,β在数轴上的对应点,则P,Q分向量undefined的比都是λ,又因为y=f(x)是单调函数,所以|f(x1)-f(x2)|<|f(α)-f(β)|⇔|x1-x2|<|α-β|,所以P是向量undefined的外分点,从而λ<0.故选A.

五、数形结合法

选择题的题设中给出函数或方程,并且函数的图像容易作出,求解这类题时,运用数形结合思想画出函数的图像,利用图像或曲线求解的方法.

例8 已知a,b∈R+且x2+ax+2b=0,x2+2bx+a=0都有实根,则a+b的最小值为( ).

A.4 B.5 C.6 D.7

解析 依题意得,a2-8b≥0,b2-a≥0,即a2≥8b,b2≥a(*),则满足(*)的点(a,b)在如图3所示的阴影区域内.设z=a+b,则z=a+b所表示的直线系中,过点A(4,2)的直线在b轴上的截距即为满足(*)的z的最小值.

所以(a+b)min=4+2=6.故a+b≥6.故选C.

高中数学二元问题的常用解法 篇9

一、相关型二元问题

相关型二元问题是指两个变量间通过等式、不等式相互关联,彼此约束的问题.此类问题通常有以下几种解法.

1.消元法.消元法是求解二元问题的最基本方法.它把二元问题转化为一元问题.能用消元法解决的二元问题一般都有一个关于两个变量之间的等量关系.

【例1】已知正实数x,y满足xy+2x+y=4,则x+y的最小值为______.

分析:这个问题的解决方法比较多,较简单的方法是把条件适当变形,运用基本不等式求解,更一般的方法则是直接消元,用导数求解.

2.换元法.换元法通常就是将两个变量看成一个整体或是应用三角换元的方法把二元问题转化为一元问题,从而使复杂的问题简单化.

【例2】设点P(x,y)在椭圆4x2+y2=4上,求x+y的最大值和最小值分别是_______.

分析:三角换元(椭圆的参数方程)可以把二元最值问题转化为一元三角函数问题.

3.构造法.当条件中有和定、积定或者和与积的关系时,可以考虑利用基本不等式来求解相关问题.在求解过程中,一定要注意是否满足“一正、二定、三相等”的条件.

【例3】设x,y为实数,若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是_______.

4.数形结合法.数形结合法可抓住两个变量所表示的图形的特征,利用几何意义来解决问题.常见模式有构造距离、斜率及线性规划的应用等.

解:不等式组表示的平面区域如右图所示,当直线z=3x-2y过点B时,在y轴上的截距最小,z最大,由B(2,2)知,zmax=4.

二、独立型二元问题独立型二元问题是指两个变量处于相互独立的状态,没有相关关系的问题.常有以下几种解法.

1.构造法.当问题所给条件是两个变量轮换对称式等形式时,对条件和结论进行逻辑处理,通过分析、类比、想象等,构造出一种熟悉的函数,把二元问题转化为一元问题来处理.

分析:x1,x2∈(0,1],x1,x2独立,彼此没有相关关系,是独立型二元问题,而条件式中出现的变量又显现出一定的对称关系,可以根据f(x)的性质,构造出合适的函数求解.

所以a≥-3.又a<0,所以a∈[-3,0).

2.主元法.问题中两个变量的主次地位可以有机变换,我们可抓住主要矛盾,把二元问题看成一元问题.

【例6】设函数f(x)=ax2+x-a,x∈[-1,1]的最大值为M(a),则对于一切a∈[-1,1],M(a)的值为________.

分析:这是一个含有参数a的函数y=f(x)在定义区间上的最值问题,如果从这个角度出发,就要对函数的类型和二次函数的开口方向进行分类讨论,比较繁琐.可以把函数看成是关于a和x的二元函数.

对于一般的二元函数,如F(x,y)=-(x+1)2-(y-2)2+5,我们有以下简单的原理:

(1)因为x与y均为变量,它是关于x与y的两个变量的二元函数,其最大值为5;

(2)先把y当作常数,以x为变量(主元),则它是关于x的一元函数,其最大值为g(y)=-(y-2)2+5.再以y为变量,则它的最大值为5;

(3)先把x当作常数,以y为变量(主元),则它是关于y的一元函数,其最大值为h(x)=-(x+1)2+5.再以x为变量,则它的最大值为5.

用上面介绍的主元思想可以很轻松地解决一类含参数函数的最值问题.

3.并元法.所谓合元,就是把两个变量合为一体当成是一个变量来解决相关问题.这种方法对数式的变形要求比较高.

分析:该题虽问是否存在点R使得两条切线互相平行,实际上是问是否存在P、Q两点使得相关切线平行,最终转化为方程有解的问题,仍是独立型二元问题.

这与(1)矛盾,假设不成立.故R点不存在.

以上几种方法是高中阶段求解二元问题的常用方法,充分体现了高中数学的基本思想.二元问题是近年来考查的一个热点,高中生应掌握上述方法.

注释

谈谈高考数学选择题的解法 篇10

把选择题引入数学试卷, 有利于扩大试卷容量以覆盖较多的知识点与数学方法;由于其表述简洁、清晰, 评分标准客观、准确, 有利于提高考试信度;选择题不需要表述解答, 重在考查学生基于数学概念分析、判断、推理的灵活性以及直觉意识, 注重训练学生的逻辑思维能力、合情推理能力以及深入探究构建算法、向着目标运算求解的能力.

全国高考数学试卷中通常有12道选择题, 每道5分, 共计60分, 占试卷总分值的40%.因此, 研究、总结高考数学选择题的解法, 给考生提供应对策略十分必要.

高考数学试卷中的选择题由题干与4个选项组成4个命题, 解答选择题就是按指令判明其中的真命题或假命题, 即从4个选项中辨别出正确选项.这使得选择题既有着与填空题相同的直接解法, 也存在独特的间接解法, 甚至可以猜测选项.笔者基于检测训练, 构建出选择题的求解策略:直接求解与间接求解.前者基于推理与计算直击目标, 后者有极大的灵活性, 它基于不同选项之间的差异, 经历逻辑推理、合情推理、探究构建等数学技能, 肯定一支或否定三支, 辨别出正确选项.

教学检测统计表明, 对于较容易的选择题, 算法熟悉, 学生普遍视选择题为填空题, 不会顾忌选项之间的差异而采用直接法;遇到较难的殧选择题, 考生则普遍注重分析选项之间的差异, 基于特例, 甚至猜测否定三个选项, 合理找出正确选项.当然, 求解选择题也应基于审题灵活决策, 尤其要重视题干陈述的条件、选项之间的差异, 通过逻辑分析、数形结合、活用概念、善用结论、以极端思维方法 (特殊值、特殊点、极限趋势等) , 在验算、估算、活算、巧算、速算、少算、不算上多思考、多下功夫.

一、直接求解方法

直接方法的根本特点在于基于题设经历推理、计算, 直击正确选项, 不需考虑其他三个干扰项为什么错.

1.运算求解

由题干到目标求解的算法很熟悉, 可以运算求解, 直击目标.

例1 (2013年安徽卷) 在平面直角坐标系中, O是坐标原点, 两定点A, B满足, 则点集, λ, μ∈R}所表示的区域的面积是 () .

解析:本题计算一个定义区域的面积, 选项正误难于辨别, 也不存在特例可构造;目标求解对图形的依赖比较明显, 这时, 通常不顾选项, 构图计算, 再对比选项, 作出选择.

如图1, 当λ+μ=1 时, 由定义的点P在线段AB上.结合对称性, 当|λ|+|μ|=1时, 点P的轨迹是矩形ABA′B′ (其中;满足|λ|+|μ|≤1的所有点P构成的点集是矩形ABA′B′的内部 (含边界) 区域.所以, 平面点集R的面积, 选 D.

2.分类追踪

例2实数a, d, q满足{a, a+d, a+2d}={a, aq, aq2}, 则q的值是 () .

(A) 0, 1, -1 (B) -1/2, 1/2

(C) -1/2 (D) 1/2

解析:首先, 由集合元素的互异性可知, ad≠0且q≠-1, 0, 1, 所以否定A;其次, 除a外, 元素还有两种对应相等的情形, 以下分两类追踪q的值.

当时, 消去d, 得到a=a (2q-q2) , 再消去a, 得q=1, 舍去.

综上所述, 正确选项是C.

评注:遇到不确定情形, 应以分类追踪 目标, 但是作为选择题, 其选项之间的互斥性以及唯一正确性, 既不必像解填空题那样彻底追踪 (这里未验证q=1/2是否存在相应的实数a, d满足集合等式) , 也不一定要像解填空题那样对各种情形予以全面追踪, 只需就其某些情形求解, 达到筛选出正确选项的目的即可.读者还可以继续探究上述解析中未尽的部分, 此略.下面的例3进一步表明, 只求解其中一种情形即可找到正确选项, 无需再多浪费宝贵时间.因此, 解选择题还应坚持“反分类求解”.

例3已知F是抛物线y2=x的焦点, A, B是该抛物线上的两点, |AF|+|BF|=3, 则线段AB的中点到y轴的距离为 () .

(A) 3/4 (B) 1

(C) 5/4 (D) 7/4

解析:本题情境算法学生比较熟悉, 但是A, B, F三点存在共线与不共线两种情况, 具有不确定性, 以分类讨论能够完全求解;但由于选项是互斥的, 只要按其中一种情况搜寻出答案即可排除三个, 肯定一个, 做到合理避免讨论, 节约时间.

令A, F, B三点共线, 记线段AB的中点为M, 分别自点A, M, B向抛物线的准线l:x=-1/4引垂线, 垂足分别记作A1, M1, B1.

由抛物线的定义以及MM1是直角梯形AA1B1B的中位线, 可得

所以, 点M到y轴的距离是, 选 C.

读者可以继续探究:在A, F, B不共线时, 目标的求解方法.

3.逻辑推理

例4椭圆上到直线x+y=0的距离是的点共有 () .

(A) 4个 (B) 3个

(C) 2个 (D) 1个

解析:由直线x+y=0过椭圆的对称中心O (0, 0) 可知, 满足题设的点应该是偶数个, 排除B, D;再由椭圆的右顶点A (2, 0) 到直线x+y=0的距离为以及椭圆在右顶点A处的切线是直线x=2, 直线x+y=0不是该椭圆的切线, 可以选定A.

评注:按题干基本特性作简单计算与推理分析, 排除干扰, 选定目标.

4.数形结合

例5 (2013年天津卷) 函数f (x) =2x|log0.5x|-1的零点个数为 () .

(A) 1 (B) 2

(C) 3 (D) 4

解析:函数的零点是指满足f (x0) =0的x0∈ (0, +∞) , 也就是方程2x|log0.5x|-1=0的解x=x0;面对超越代数方程, 我们无法通过运算求解得到零点的个数, 但通过方程变换, 可以重塑零点的意义, 应用数形结合方法直接求得零点个数.

方程等价于, 作出两个函数的图象可知, 这两个函数图象恰有2个交点, 所以, 选B.

例6方程x2-2asin (cosx) +a2=0 (a>0) 仅有一解, 则a的值是 () .

(A) 2sin1

(B) 2cos1

(C) 2sin (cos1)

(D) 2cos (sin1)

解析:由于偶函数f (x) =x2-2asin (cosx) +a2图象关于y轴对称, 结合题意该函数有唯一零点x=0, 所以, 正数a=2sin1, 选A.

评注:遇到超越函数零点问题应多考虑函数性质, 结合图象求解.

二、间接求解方法

间接求解方法不同于直接求解方法, 不直接确认哪个是正确的, 重在辨别出其中三个干扰选项;基于正确选项的唯一性, 否定三个选择一个, 不需要顾忌被选项是否正确.

1.筛选法

例7 (2013年北京卷) 设关于x, y的不等式组表示的平面区域内存在点P (x0, y0) , 满足x0-2y0=2, 则m的取值范围是 () .

(A) (-∞, 4/3)

(B) (-∞, 1/3)

(C) (-∞, -2/3)

(D) (-∞, /5/3)

解析:各选项表示的实数m范围存在差异, 基于这种差异, 以m的值也容易验证题干.

取m=0, 得到可行域但其中不含直线x-2y=2上的点P (x0, y0) , 所以排除A, B.

再取m=-1, 得可行域其中含直线x-2y=2上的点P (1/2, -3/4) , 所以排除D.只有C正确, ∴选C.

2.验证法

例8 (2013年四川卷) 函数f (x) =2sin (ωx+φ) (ω>0, -π/2<φ<π/2) 的部分图象如图2所示, 则ω, φ的值分别是 () .

(A) 2, -π/3 (B) 2, -π/6

(C) 4, -π/6 (D) 4, π/3

解析:从图中数据看容易先求出周期, 从而先得到ω的值, 排除两个选项;然后在另两个选项中筛选出正确选项.

由图示数据可知, , 所以ω=2, 从而否定选项C, D.

若选项B正确, 则所以, 与图示数据矛盾!

故选项B不正确, 所以选择A.

评注:上述解法以直接法与间接法综合应对选项.后半部继续应用直接方法也很快捷, 取一个与f (x) =2sin (2x+φ) 有相同周期的函数y=2sin2x, 按照图示函数y=f (x) 图象在y轴右侧与x轴最左边的交点是 (π/6, 0) , 所以把y=2sin2x的图象向右平移π/6个单位, 即得到函数y=f (x) 的图象, 所以, 正好与选项A吻合.

3.极端性

具体表现为特例法、特殊值法、极限法等.

例9 (2013年辽宁卷) 已知函数以及;定义H1 (x) =max{f (x) , g (x) }以及H2 (x) =min{f (x) , g (x) } (其中maxp{, q}表示p, q中的较大值, min{p, q}表示p, q中的较小 值 ) , 记H1 (x) 得最小值 为A, H2 (x) 得最大值为B, 则A-B= () .

(C) -16

(D) 16

解析:本题用特殊值法快捷.

4.数形结合法

例10 (2013年广东卷) 设整数n≥4, 集合X={1, 2, 3, …, n}.令集合S={ (x, y, z) |x, y, z∈X, 且三条件x<y<z, y<z<x, z<x<y恰有一个成立}.若 (x, y, z) 和 (z, w, x) 都在S中, 则下列选项正确的是 () .

(A) (y, z, w) ∈S, (x, y, w) S

(B) (y, z, w) ∈S, (x, y, w) ∈S

(C) (y, z, w) S, (x, y, w) ∈S

(D) (y, z, w) S, (x, y, w) S

解析:本题高度抽象, 当以图示数, 化抽象为具体.S中的每个三元数组 (x, y, z) 本质上可以将x, y, z以逆时针方向构成一个圆排列恰好体现出其从小到大的顺序, 如图3;再由 (z, w, x) ∈S可知, w位于z, x之间, 如图4;按图4, 由S的定义, 选B.

5.归纳猜想

例11 (2013年全国卷) 设的三边长分别为的面积为Sn, n=1, 2, 3, ….若, 则 () .

(A) {Sn}为递减数列

(B) {Sn}为递增数列

(C) {S2n-1}为递增数列, {S2n}为递减数列

(D) {S2n-1}为递减数列, {S2n}为递增数列

6.极限思想

例12椭圆E: (a>b>0) 的左、右焦点分别记作F1, F2, 如果E上存在一点P使得线段PF1的中垂线过点F2, 则E的离心率取值范围是 () .

(A) (0, 1/3) (B) (1/3, 1/2)

(C) [1/3, 1) (D) [1/3, 2/3)

解析:按题意, 得记线段PF1的中点为K;如图5, ∠F1KF2 =90° (含K与F2重合 ) , 必有, 即a-c≤2c, 即1/3≤e<1, 否定 A.

另外, 如图6, 越是e→1, 越支持题设条件“椭圆上存在点P使得线段PF1的中垂线过点F2” (事实上, 当PF1⊥x轴时, 线段PF1的中垂线与x轴平行, 认为它与x轴正方向交于无穷远点;将PF1绕点F1以顺时针方向连续转动, 则交点向左连续移动, 并且交点可以发生在点F2左侧, 从而必有一个点P, 使得线段PF1的中垂线过右焦点F2) , 所以, 否定B, D.

故正确选项是C.

评注:上述解法基于极限方法否定选项B, D, 我们也可以如下作直接推证否定B, D.

任取e∈ (1/3, 1) , 都有, 即∠F1KF2 > ∠F1F2K, 当点P移动时, ∠F2F1K由0°变到180°, ∠F1KF2 也随着从180°到0°, 其中必有一点P使得∠F1KF2=90°, 此点P即满足线段PF1的中垂线过点F2, 所以否定B, D.

三、珠联璧合

选择题的解答策略的练就和掌握, 重在平时, 抓住每一次检测训练的机会, 切实提升自己求解选择题的速度与准确性.一个有效的方法是对一个题多动脑筋, 多探究其间接解法, 追求快捷、准确与巧妙的求解水平.

例13 (2013年江西卷) 如图7, 半径为1的半圆O与等边三 角形ABC夹在两平 行线l1, l2之间, l∥l1, l与半圆相交于F, G两点, 与三角形ABC两边相交于E, D两点, 设弧的长为x (0<x<π) , y=EB+BC+CD, 若l从l1平行移动到l2, 则函数y=f (x) 的图象大 致是 () .

分析:本题函数与自变量依赖关系稍微复杂一些, 但其单调递增性是明确的.

解法一:按函数y=f (x) 的严格递增性直接否定B;记平行线l与l1之间的距离为h, 则y与h之间是一次函数关系, 不难看出x与h之间是三角函数关系, 从而否定A;很明显, 当h=1/2时, 有x=2π/3以及, 所以, 函数y=f (x) 的图象过点, 从 C, D两个选项看, 当否定C, 选定D.

解法二:记平行线l与l1之间的距离为h, 由消去h, 可得, 其中x∈ (0, π) , 从而选D.

评注:解法一是间接方法, 基于函数的基本性质与选项之间的差异性否定干扰项, 确认正确选项, 其中特殊点在最后起到关键性作用;解法二是直接解法, 应用参数h实现变量y与x之间的联系, 经过消元构建出目标函数, 化为按三角函数式选择图形, 直接找到正确选项.

例14 (2013年全国卷) 已知函数, 若|f (x) |≥ax, 则 a的取值范围是 () .

(A) (-∞, 0] (B) (-∞, 1]

(C) [-2, 1] (D) [-2, 0]

分析:一方面, 4个选项之间数据差异明显, 适宜用筛选法否定干扰项;另一方面, 所给函数图象容易作出, 因此, 也适宜应用数形结合法直接找出正确选项.

解法一 (筛选法) :取a=1, 则应有|f (x) |≥x, x∈R, 但|f (1) |=ln2<1, 矛盾!所以a≠1, 从而否定B, C;下面区分A与D.

取a=-3, 则应有|f (x) |≥-3x, x∈R, 但, 所以a≠-3, 从而否定A, 故选择D.

解法二 (数形结合) :如图8, 当x>0时, 恒有|f (x) |≥ax, 即ln (x+1) ≥ax, x>0, 但函数y=ln (x+1) 图象向上凸, 其图象位于点 (0, 0) 处切线y=x下方, 所以a≤0;再由|f (x) |≥ax, x≤0, 即x2-2x≥ax, x≤0, 但函数y=x2-2x图象向下凸, 其图象位于点 (0, 0) 处的切线y=-2x上方, 所以a≥-2.

综上所述, 得-2≤a≤0, 选D.

评注:解法一从选择支的差异, 采取特殊值策略, 巧妙地否定三个干扰项, 快捷地找出正确答案D;解法二基于熟知的函数图象, 直接找出出正确选项D;本题还可以分离参数求解, 留给读者自行探究.

例15 (2013年辽宁卷) 设函数f (x) 满足则当x>0时, f (x) () .

(A) 有极大值, 无极小值

(B) 有极小值, 无极大值

(C) 既有极大值又有极小值

(D) 既无极大值也无极小值

令, 则, 从而δ (x) 在区间 (0, 2]上递减, 在[2, +∞) 上递增, 所以, x∈ (0, +∞) , 其中仅f′ (2) =0.这就证明了f (x) 在区间 (0, +∞) 上递增, 既没有极大值也没有极小值.

当0<x<2时, 有

∴f′ (x) ≥0, x>0ex-2x2f (x) ≥0,

上述 (1) 和 (2) 明显成立, 结合f′ (2) =0可知, f′ (x) 在 (0, +∞) 上不变号.

故函数y=f (x) 在 (0, +∞) 上无极值.

评注:本小题作为2013年高考辽宁卷压轴选择题, 以2013年最难选择题著称.

高考数学选择题的解法不拘一格, 大体上分为直接解法与间接解法两大类别, 巧妙快捷之法来自对题目的深入探究.高考数学试卷中, 选择题数量多, 分值大, 能否考出理想的成绩, 选择题的得分很是关键.因此, 考前抓住检测模拟的机会, 切实向着目标努力训练, 力争快捷、准确地做好选择题.

高中数学函数单调性的解法分析 篇11

关键词：高中数学；函数单调性；解法

【分类号】G634.6

前言：在近几年的高考当中，对于函数单调性、单调区间、最值和极值等方面知识的考察十分的重视，数学试卷中关于函数单调性的题目所占比例也在不断的增加。由于高考对于函数单调性的考察多种多样、十分灵活，所以学生在平常的学习中，一定要充分理解函数单调性的概念和特点，掌握扎实、牢固的函数相关基础知识。同时教师在课堂教学中要对相关知识点进行深入的剖析和详尽的讲解，尽量的让学生掌握更多的函数单调性解题方法，从而应对高考中的各类相关试题。

1.函数单调性的定义和应用

1.1函数单调性的定义

高中数学教材中，对函数单调性的定义是：设函数y=f（x）的定义域为A，且区间I?A。对于区间I内的任意两个值x1和x2，如果当x1f（x2），那么y=f（x）在区间I中就是单调减函数，区间I就是函数y=f（x）的单调减区间。如果y=f（x）在区间I中是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f（x）在区间I中具有单调性。在函数的单调区间内，如果是單调增函数，其函数图像是上升的，如果是单调减函数，则其图像是下降的。

1.2函数单调性的作用

在初中时，我们学过一次函数和二次函数，通过对其图像的分析，对函数的增减性有了一个初步的了解。进入高中之后，系统的对函数单调性的知识进行了学习，通过数形结合的方式进一步了解了函数单调性的含义[1]。函数单调性是对自变量变化的研究，学生在以后学习不等式和导数等其它数学知识的时候，都会用到运用函数单调性的相关知识，在考试做题中，也会大量的用到函数单调性。

2.函数单调性的解法

2.1利用函数单调性的定义的解法

利用函数单调性的定义是一种比较直接、有效的解题方法。要想解析函数的单调性，首先就要确定其区间范围。其次要注意对于带有无理式的函数，在利用定义解题的过程中，要注意无理式的有理化。

例如：已知函数f（x）=根号下（x2+1）-ax（a>0），证明当a=1时，函数f（x）在R上是减函数。在解答这道问题的时候，就要用到无理式的有理化。由题可知，当a=1时，f（x）=根号下（x2+1）-x=（根号下（x2+1）-x）*（根号下（x2+1）+x）/（根号下（x2+1）+x）=1/（根号下（x2+1）+x）。当x递增时，f（x）递减，因此，函数f（x）在R上是减函数。

2.2利用函数图像数形结合的解法

在函数的图形中，在特定区间内，如果y随着x的增加而增加，那么函数在此区间内单调递增。如果y随着x的增加而减少，那么函数在此区间内单调递减。试题当中对于函数单调性的考察虽然比较灵活，但究其根本也只是对一些简单的基础知识进行结合[2]。因此，高中生在平时的学习当中，要充分的理解和掌握函数单调性相关的基础知识，并且学会将其融合在一起进行分析和理解。

对于函数f（x）=5/x，它的函数图像是关于原点对称的奇函数图像，因此，在对称区间内，其单调性是一致的。而函数f（x）=x2，由于其是偶函数，因此，在对称区间内，其单调性是相反的。

例如：已知函数f（x）=x（1/（2x-1）+1/2）且x>0，判断函数f（x）的奇偶性并求证f（x）>0。在解答这道题的时候，通过画出函数图像，可以简单的判断出该函数为偶函数。在求证f（x）>0时，因为x>0，所以2x>1，所以2x-1>0。由此可以得出1/（2x-1）+1/2>0，又因为x>0，所以x（1/（2x-1）+1/2）>0，因此可得出当x>0时，函数f（x）>0。

2.3利用复合函数的解法

在高中数学当中，对于复合函数的定义是：函数y=f（g（x））是由函数y=f（t）和函数t=g（x）两部分组成的。其中t=g（x）是其内层函数，y=f（t）是其外层函数。根据定义，如果内层函数和外层函数的单调性不一致，该复合函数就单调递减[3]。如果内层函数和外层函数的单调性一致，该复合函数就单调递增。

例如：判断函数f（x）=3的（x2+1）次平方的单调性。在解题时，应先将该复合函数分解成外层函数f（t）=3t和内层函数t=x2+1。由于内层函数t=x2+1的是关于y轴对称的偶函数，因此在区间（-∞，0）中单调递减，在区间（0，+∞）中单调递增。而由于外层函数f（t）=3t是指数函数，因此其在（-∞，+∞）中单调递增。根据复合函数的定义，可知，在区间（-∞，0）中，函数f（x）=3x2+1为单调递减。在区间（0，+∞）中，函数f（x）=3x2+1为单调递增。

2.4利用导数的解法

导数是解决函数单调性问题的一个十分有效的数学工具，它为解答函数单调性问题提供了很多新的思路。如果函数y=f（x）在区间（a，b）中可导，且其导函数大于0，就可得出函数y=f（x）在区间（a，b）中单调递增。如果其导函数小于0，就可得出函数y=f（x）在区间（a，b）中单调递减[4]。

在实际应用中，利用导数法解决函数单调性的问题，可以做到步骤明确、思路清晰，十分简便和容易。例如：设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数。如果f（x）在区间（1，+∞）中单调递减，且g（x）在区间（1，+∞）中存在最小值，求实数a的取值范围。这道题在解题时，由题目可知，f（x）=1/x-a=（1-ax）/x。由于函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）在区间（1，+∞）中单调递减，可以得出a>0。设f（x）<0，则x>1/a，因此f（x）在（1/a，+∞）中单调递减。又因为f（x）在（1，+∞）中单调递减，所以（1，+∞）?（1/a，+∞），可得出1/a≤1，因此a≥1。设g（x）=0，可得出x=lna。如果xlna，g（x）>0，g（x）单调递增。由于g（x）在区间（1，+∞）中存在最小值，所以lna>1，可得出a>e。综上所述，可得出a的取值范围为（e，+∞）。

总结：高中数学离不开函数单调性，对函数单调性的研究和解析更是高考当中的重点。对于函数单调性的解法有很多，只有充分的掌握函数单调性的基础知识，熟知其各种解法，才能在实际中应用，应当根据题目的特点，有针对性的选择合适的解法，从而轻松解决函数单调性的问题。

参考文献：

一道高三数学调研试题的解法探究 篇12

一、解法的缘由

因第( 1) 问题求出由余弦定理得( * ) ,求△ABC面积最大值转化为求ac的最大值. 从而引发多种思考.

二、多种不同的解法

解法1: ( 运用辅助角公式法) 由得

解法2: ( 运用基本不等式法) 由( * ) 得由基本不等式

解法3: ( 运用判别式法) 由( * ) 得

由判别式

解法4: ( 运用参数法) 由( * ) 得

三、多种解法后对教学的反思