供应可用度

2024-12-08

供应可用度（精选7篇）

供应可用度篇1

0 引言

对于航材需求问题,一位很优秀的航材股助理在一次转场演习后说:“我们携带了大量不需要的东西,而需要的器材却没带。但是我很清楚下一次要带的东西,那就是我们正在供应的所有器材。”他的经验也许有一定用处,但是,他对问题的理解有缺陷,没有认识到航材需求很大的随机性,如果下一次演习仅携带上一次演习有需求的航材,必定还会出现其他器材的需求。在处理随机性问题时,即使是专家的经验和直觉也往往显得无能为力。在进行采购下一项航材的决策时,不仅需求是随机的,而且平均值也可能变化,这时需求预测模型就是不可缺少的手段。可修复航材的保障费用在装备全寿命周期费用中占有很大的比例,而且其决策比较复杂,是航材保障工作的重点,本文只研究可修复航材的需求预测问题。

1 假设条件

(1)飞机所有关键器材重要程度相同,发生故障的次数相互独立。(2)基地能修理外场更换件,内场更换件有足够的库存,能满足外场更换件修理的需要。(3)无串件拼修。(4)严格按照“交旧领新”的航材发付原则供应外场航材,无外场更换件欠交情况。(5)基地保障机型相同。(6)基地一项航材的故障件可以在一定时间内进行修理,并通过均值为T的概率分布予以表述,则需求满足库存平衡公式s=OH+DI-BO[1],其中,s为库存量,OH为基地现有库存量,DI为需求量,即来自修理机构和补给部门的基地待收库存数,BO为航材短缺数。由于基地的可修件往往价格高、需求低,所以假设针对航材批量送修而确定的经济订货量Q等于1,再次订货点就是s-1,此时的库存量s就是一个常数。

2 需求预测方法

2.1 负二项分布(差均比大于1)

负二项分布由下述表达式给出

其中,r>0,0<p<1。由负二项分布的均值和差均比可导出

因此,通过均值和差均比的观察值就可以计算参数r和p,从而生成负二项概率分布。

2.2 泊松分布(差均比等于1)

根据帕尔姆定理[2],假设任意一项航材的需求服从年平均需求量为m的泊松过程,且每一故障件的修理时间相互独立,并服从平均修理时间为T年的同一分布,则在修件数的稳态概率分布服从均值为m T的泊松分布,即

泊松分布的均值为m T,差均比为1。

2.3 二项分布(差均比小于1)

二项分布由下述表达式给出

其中,n>0,0<p<1。由二项分布的均值μ=np和差均比V=1-p可导出

因此,通过均值和差均比(小于1)的观察值就可以计算参数n和p,从而生成二项概率分布。

3 需求预测模型及求解

3.1 需求预测模型

供应可用度是需求预测的评估指标,它表示机群中未因任何航材短缺而停飞的飞机架数所占百分比的期望值A,即

其中,I为航材项数,Zi为第i项外场更换件的单机安装数,N是机群的飞机架数,si为第i项航材库存量,EBOisi00为第i项外场更换件的短缺数。短缺数是指某一时间不满足供应的任一项航材需求量,只要有不能满足的一次需求,就确定为发生一件短缺,时间持续到有一件补给品或者故障件修复为止[3,4,5,6],其模型为

以供应可用度最大为目标函数,总保障经费为约束条件建立需求预测优化模型,即

其中,ci为库存第i项航材的单价,C为装备系统各项航材的保障总费用(整数值)。

由于经费的限制,完全消除航材短缺是不太可能的。而在库存量s确定以后仍存在的少量短缺可以通过紧急调拨、借用、订货等非正常供应方式得到有效降低,所以该短缺不计入下一年度的需求。因此,由库存量s、现有的库存量OH和在修件数DI可得出下一年度的需求量d,即

式(6)~(9)联立即为需求预测模型。

3.2 模型简化

需求预测模型中的式(8)不能直接用边际分析法求解,根据式(6)的特点,对其两边取对数,有

其中,式(10)最后一项的近似表达式出自幂级展开式ln(1-a)=-a-0.5a2…,若a<0.1,则a2及其以上高次幂各项的总误差只有0.005,而实际上要求供应可用度应达到90%左右,这意味着a值要比0.1小的多,因此可以用最后一项近似表示第一项,即可用度对数。由于一个函数及其对数在同一点达到最大值,所以可以寻求可用度对数表达式(10)最大,亦即总短缺数的最小值,这与寻求可用度本身最大的效果相同。因此,需求预测优化模型(8)等价于

式(6)、(7)、(9)与式(11)联立即为简化后的航材需求预测模型。

4 算例分析

某基地保障某型飞机共24架,该机型的三项关键器材从2000~2009年共10年的需求统计数据如表1所示。这三项器材2009年底的库存量分别为(1,3,4),2010年的预计总投入经费为50万元,试预测2010年的需求数、供应可用度。

计算结果是,最终的库存最优配置s为(2,8,9),短缺数BO为(0.3471,0.0336,1.6748),供应可用度为91.5529%,2010年实际需求量为(1,5,5)。

5 结论

5.1 负二项分布和二项分布是对方差超过均值和低于均值两种情况建立需求预测模型的方法,而可修复航材除了服从方差等于均值的泊松分布,还服从这两种分布,而至于采用何种分布预测可通过差均比进行判断。

5.2 边际分析法不仅可以求出某些给定经费下的需求预测结果,还可以得到中间过程中不同经费下的需求方案,这对需求决策具有良好的参考价值。但是,应用边际分析法时必须首先确保满足其使用条件。边际分析法的不足之处是它不能够求出所有整数费用值下的最优解,其迭代过程中每一步的步长由航材单价决定。但是,基地要保障的单机型关键器材有二三百项,每年保障经费高达几千万元,甚至几亿元,对航材保障人员来说,使用边际分析法足以得出全部有实用价值的解,求出针对所有整数费用值的解完全没有必要。

参考文献

[1]贺步杰,译.Craig C,Sherbrooke.装备备件最优库存建模:多级技术[M].第二版.北京:电子工业出版社,2008.

[2]刘庆华,宋宁哲,译.U Dinesh Kumar.可靠性、维修与后勤保障:寿命周期方法[M].北京:电子工业出版社,2010:177-180.

[3]付兴芳,李继军.基于单级供应关系的可修复备件存储策略模型研究[J].运筹与管理,2003,12(6):92-95.

[4]付兴芳,李继军,李宗植.基于两级供应关系的可修复备件存储策略模型研究[J].系统工程理论与实践,2004(2):111-115.

[5]瞿红春,姜泊松.基于航材系统保障率的备件优化模型的研究[J].航空制造技术,2004(9):79-82.

[6]赵淑舫.基于维修理论基础上的航材需求预测方法研究[D].南京:南京航空航天大学,2001.

可修复人机系统的瞬时可用度分析篇2

所谓可修复系统就是指当构成系统的部件故障或劣化时能通过各种维修手段使其恢复功能的一类系统, 它是可靠性理论中研究的一个重要内容。人机系统是对作为主体的人和所控制的各种类型机器的统称。随着科技的发展, 人机系统日益庞大, 机器设备的高精度、高性能使人们所担负的工作责任更加重大, 存在着由人为失误引起的重大事故发生的可能性, 因此我们不但在实际工作中, 而且应在理论上解决人机系统的稳定性问题。文献[1]用Laplace变换研究了此模型, 给出了Laplace变换公式且指出系统稳定解的存在性;文献[2]证明了系统动态非负解是存在唯一的。文献[3]讨论了系统动态解的渐近稳定性;文献[4]利用算子半群的性质证明了系统解具有指数稳定性;文献[5]研究了单部件可修复系统的瞬时可用度的单调性问题, 本文将利用算子半群理论研究人机储备系统的瞬时可用度的单调性。

此可修复系统由一个运行部件和一个热储备部件组成, 运行部件发生故障将用储备部件替换, 故障后的部件能被及时维修, 热储备部件在不替换情况下保持良好状态。系统各状态间转换关系如图1。

此模型可用以下微分-积分方程描述:

为计算方便我们令:

则上述系统模型 (1.1) 可描述为Banach空间中一个抽象的Cauchy问题:

2系统解的稳定性

定理2.1设是相应于0本征值对应的一个非负本征向量, 且满足, 则系统的非负动态解趋向于系统的稳定解, 即, 其中为系统的初值。

定理2.2设是系统的稳态解, 满足条件, 那么对, 及任意给定的, 满足, 存在, 使得, 其中为系统算子生成的-半群。

由上述定理可知, 系统解具有渐近稳定性和指数稳定性, 稳定速度较快, 并且。但如果瞬时可用度在上不单调, 则不能保证在上总有, 此时系统的牢固可用度未必是, 系统将不可靠。

下面我们讨论瞬时可用度的单调性问题。

3系统瞬时可用度的分析

在此部分, 我们设, 其中为常数值, 则系统 (1.1) 可化为:

令

则此方程可抽象为

解 (3.4) (-3.5) 得

由此可求得, 其中依照文献[3]中的定义, 为A的特征值。

由于的特征值均为负, 易验证即单调递减。

下面我们先选取一组数据, 取不同的来模拟系统瞬时可用度 (表1) :

利用Matlab可做出以上数据对应的瞬时可用度的数值模拟图像 (Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) :

下面我们再取不同数据对比瞬时可用度 (表2) :

以上数据对应的瞬时可用度的模拟图像为 (Ⅰ) (Ⅳ) :

因此, 由于系统的瞬时可用度在上单调递减, 故总有。在此模型中, , 即牢固可用度就是稳态可用度, 系统是可靠的。

参考文献

[1]LAM Yeh.”The rule occurren of failure.”Journal of Applied Probability, 1997.34 (1) :234-247.

[2]A bbs B S, Kuo W.Stochastic effectiveness model for human-machine systems.IEEE Trans.Systems, M an, Cybernetics, 1990.20 (4) :826-834.

[3]Wang Li-Qiao, Zhang Yu-feng, Piao Dong-zhe.The Asymptotic Stability and Reliability of the Solution of a Repairable Standby Human-Machine System.Mathematics In Practice And Theory, 2007.37 (19) :118-126.

[4]Dongxu Liu, Wenyi Si, Zhe Yin.Exponential Stability Analysis of the Solution of a Repairable Human-Machine System.Scientific Journal of Control Engineering, 2014.4 (3) :86-93.

供应可用度篇3

随着现代社会经济的飞速发展, 高科技产品和高度信息化设备的广泛普及, 用户每度电的产值日益上升, 单位停供电量给用户和社会造成的经济损失越来越大。因此用户对电力系统供电可靠性的要求越来越高。配电变压器可用度是电力系统可用度的一个有机组成部分, 所以越来越为人们所关注。

配电变压器可用度评估在保证供电质量、提高经济效益和社会效益、进行电网网络建设和改造起着重要的作用。建立以经济性为基础的可用度评估程序, 研究配电变压器可用度评估的各种手段已成为当前形势所需。通过配电变压器可用度评估, 一方面可以了解电力设施可靠性, 找到其薄弱处, 对其进行检修或者更换, 保证系统的可靠运行;另一方面, 可以通过定量计算得出不同措施所带来的经济效益, 从而可以把有限的资金最大限度地增加设施的可靠性。

2 配电变压器可用度评估指标体系的构建

配电变压器的可用度就是分别对其进行可靠性、绝缘老化和经济寿命的评估分析, 将三者有机结合起来, 完成对配电变压器的可用度评估。

可靠性是指一个元件设备或系统在预定时间内在规定的条件下完成规定功能的能力。它综合反映了一种设备的耐久性、可靠性、维修性、有效性和使用经济性等, 可用各种定量指标表示。可靠性工程是一门新兴的边缘学科涉及元件失效数据的统计、元件可靠性的定量评估, 可靠性与经济性协调等方面的内容。把可靠性的一般原理和方法与电力系统中的工程问题相结合, 便形成了电力系统的可靠性这门新兴的学科。目前, 已经渗透到电力系统的规划运行设计和管理等各个方面。

3 配电变压器可用度的综合评估方法

随着电力系统电压等级的不断提高, 网络的日益复杂, 作为电力系统中变换电压、交换功率的枢纽, 变压器的作用日显重要, 其安全可靠、有效地运行直接影响到电力系统的安全水平。因此, 对以变压器为代表的电力系统重要元器件进行可用度评估, 对提高整个电力系统的可靠性水平和经济价值有着十分重要的意义。

3.1 配电变压器可靠性评估的评估方法

采用定时截尾的寿命试验方法, 选择一定年代内的变压器作为统计分析的样本, 按年代求出失效模型和可靠性水平。一般感兴趣的是偶然失效期, 为此综合统计寿命为一年以上的不同制造厂的实效变压器台数, 所有寿命试验均终止于同一年。运用威布尔概率纸盒柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验确定失效的数学模型。

分别对每个安装年进行统计分析, 记录本安装年的变压器的统计分析数据。根据失效累积频率和寿命区间可在威布尔概率纸上进行检验并得到相应的分布参数m和t0, 由此可获得寿命的理论分布函数F (t) :

累积频率为F' (ti) , 理论分布函数值为F (ti) :

根据显著性水平α为5%时

式中n为样本数, 即变压器的安装台数, 令Dnα>ΔF (ti) =|F' (ti) -F (ti) |通过柯斯检验, 式中的参数成立。通过检验可证明配电变压器的寿命分布函数绝大多数均遵从威布尔分布。由于配电变压器的寿命分布函数遵从威布尔分布, 则相应的失效率函数为:

所以, 同样也可计算出其他安装年的失效率函数, 为便于比较, 计算了平均失效率Fr:

在电力系统里, 较流行采用下式进行失效率的计算:

式中mf为失效元件总数, ti为失效元件的寿命时间 (年) , n为元件总数。通过失效率函数, 我们可以很轻松地估算出配电变压器的可靠性。

画出配电变压器的可靠性的分布曲线, 进行配电变压器可靠性的评估, 当可靠性R<50%时, 变压器将无法可靠运行, 需要进行变压器的更新或更换。

3.2 配电变压器的绝缘老化评估

提高电力变压器的经济效益越来越依赖于有效的老化状况监测、寿命评估和寿命延长技术。从国内变压器运行历史来看, 各个阶段均有不少变压器由于各种原因提前淘汰, 而因寿命终止、正常退役的变压器数量并不多。运行人员通常从安全性和经济性方面考虑:一方面不应仅从变压器的投运年限来确定是否退役, 以免将尚可运行的变压器退役;另一方面不能因对其老化程度不明而盲目使用, 导致将已严重老化的变压器以事故方式“谢世”。近年来, 国内外专家对变压器绝缘老化、寿命评估这类问题作了大量的调查和研究, 纷纷开发和推广新技术通过全面的诊断分析, 综合考虑这类问题对整体经济效益的影响, 并提高到战略高度来定位。

3.3 配电变压器的经济性分析

在工矿企业, 使用的变压器很大一部分是旧型号的老式变压器, 它们的空载损耗和短路损耗都比较大, 效率低, 调节性能差。用损耗低、性能好的新型变压器来更新这些老旧变压器, 在技术上、经济上都是有益的。

有功损耗的计算公式:ΔP=P0+β2×PK

无功损耗的计算公式:ΔQ=Q0+β2×QK

空载无功损耗的计算公式:Q0=I0%×Se

满载无功损耗的计算公式:QK=UK%×Se

年损耗有功电量的计算公式:ΔWP=P0×t+β2×Pk×t1

变压器年运行时间t, 变压器年负荷时间t1。可得年损耗无功电量的计算公式:

在考虑配电变压器的更新问题上, 需要考虑设备更新费用Ds:

Db:新变压器出厂价格;Dc:其他费用;E:旧变压器残值, 按变压器处理中标价计算。

由于新型变压器损耗小, 如全年节电量为ΔW的计算公式:

K为无功经济当量, K=0.1 (kW/kVAR) 。

若综合电价为Z, 则年节约电费为G:

银行的贷款利率:设银行的贷款利率为r, 不考虑通货膨胀的因素, 则n年的现值系数c为:

运行n年的节约电费为Y的计算公式:

当Y大于或等于设备更新费用的时候, 说明在n年期间, 企业已经将贷款更新配电变压器的费用全部还清, 在其以后的运行时间里, 都是企业的收益所得。

通过对配电变压器的更新效益的计算, 可以为企业的设备节能和最大效益带来最直接的诠释, 为企业带来最合适的效益, 通过对配电变压器的可靠性和绝缘老化, 经济价值的评价, 进行三者的综合分析, 完成对配电变压器的可用度的综合评估。为变压器的经济有效运行, 提供保障。

4 结论

随着现代社会经济的飞速发展, 高科技产品和高度信息化设备的广泛普及, 用户每度电的产值日益上升, 单位停供电量给用户和社会造成的经济损失越来越大。因此用户对电力系统可靠性的要求越来越高。配电变压器是处于电力系统的末端, 把电源系统或输变电系统与用户设施连接起来, 向用户分配电能和供应电能的重要环节。

本文论述了运行中的配电变压器的可靠性评估, 通过对统计数据的分析, 得到配电变压器的寿命理论分布函数遵从威布尔分布, 通过对其参数的确定, 得到配电变压器的可靠性函数;绝缘老化评估, 通过实验数据的处理, 得到绝缘纸聚合度的老化函数;经济评估, 通过对配电变压器的技术参数的分析和比较, 得出更新变压器的节省电能, 根据当时的电价和银行利率, 得到配电变压器的回收年限。

参考文献

[1]彭东.城市配电网可靠性评估的研究.华北电力大学.2003.

供应可用度篇4

高性能加工设备是制造企业最重要的生产装备。随着制造技术的发展,加工设备正在向高精度、高稳定性、高复杂性等方向发展。设备在运行过程中受到内外界因素的干扰,使得设备的性能出现随机、动态的波动,造成设备性能的劣化甚至是故障。生产线上关键设备的劣化或故障将导致生产线出现阻塞、减额运行等情况[1,2]。

设备的可用度是表征设备运行性能的一个重要指标,国内外很多学者已经就这一领域的研究做出了诸多探索。Dhouib等[3]对多品种生产线在随机故障下的可用度进行了建模,并给出了含缓冲区以及不含缓冲区两种情况下的分析。Wei等[4]采用状态转移矩阵对数控机床的可用度进行了研究。王昊天等[5]利用广义随机Petri网和连续马尔可夫链建立了基本单元的软硬件可用度模型,并通过微分方程求解模块的可用度。文献[6]分析了系统可用度、可靠性以及维护性三者之间的关系。Javier等[7]利用仿真的方法对时变复杂系统的可用度进行分析和预测,分析过程中同时考虑了维修时间和维修策略。生产过程可以描述为典型的离散事件动态系统[8,9],已经有学者对离散事件动态系统的可用度的计算和预测做了探讨。Petri网[10]是描述离散事件动态系统的有力工具,可方便地描述设备运行状态的变化,其库所和变迁可表达设备处于正常工作、劣化、故障以及维修等不同的状态。文献[11]建立了基于Petri网的复杂系统可靠性模型,分析了缓冲区可用度对设备可用度的影响。

本文分析了设备运行过程中的不同状态,给出其可用度定义和计算方法;采用Petri网对设备的运行、劣化和维修过程进行建模;针对设备不同的维护策略,采用行为表达式的方法求解设备可用度和设备各个运行阶段时间之间的函数关系。

1 设备可用度定义

设备的可用度是指设备在规定工作条件下,在给定时间段内正常工作的概率,取值范围为[0,1][12]。一般而言,设备的可用度计算公式为

$U = \frac{Μ Τ B F_{i}}{Μ Τ B F_{i} + Μ Τ Τ R_{i}}$ (1)

式中,MTTRi为平均修复时间;MTBFi为平均故障间隔时间[13]。

在工程实践中,常以设备可用度定量分析其可靠性,这比用设备可靠度更合适,可反映设备的维修特性。

设备的全生命周期运行包括工作状态、维修状态、报废状态,其中工作状态同时也是设备的劣化过程。设备处于劣化状态和维修状态时均可通过维修行为使得设备回到较优工作状态。在此基础上,为了简化模型,作如下合理假设:①设备以工作状态、维修状态或报废状态存在;②设备通过维修行为后实现修复如旧,不能完全处于新部件的故障率水平,其失效率和故障率达到正常工作的范围;③设备维修时间分布是根据实际情况的任意分布,非Markov型的维修过程;④设备在正常工作过程中,其劣化过程单调递增,仅当维修行为产生才能减轻劣化程度。

将设备的运行过程视为离散事件,可定义设备的可用度是设备处于工作状态下的系统稳态概率。假设1,2,…,L为设备的不同劣化状态,最后一个劣化状态L是设备的报废状态,如进入最后的报废状态,则设备已无法通过维修复原。V1,V2,…,VL为相应处在各个劣化状态的时间。Vi为处在第i个劣化状态下维修的时间。则设备的可用度为

$U = \frac{\sum_{i = 1}^{L - 1} V_{i}}{V}$ (2)

其中,V为设备运行总时间。因为系统处在各个劣化状态的时间为扩展时间分布,所以平均可用度也可表示为

$E (U) = \frac{\sum_{i = 1}^{L - 1} E (V_{i})}{V}$ (3)

2 设备可用度建模方法

为支持复杂设备可用度的建模并充分描述设备运行过程中存在任意分布的随机过程的特点,本文在随机Petri网的基础上引入了扩展随机Petri网(extend stochastic Petri nets,ESPN)。

2.1 ESPN的定义

ESPN的特点是时间变迁对应一个任意分布的随机变量[13]。

定义1 ESPN是一个七元组,N=(P,T,I,O,H,m,FI),其中P是有限的库所集合,P=(P1,P2,…,Pn),n>0;T=(t1,t2,…,ts),s>0,T是有限的变迁集合,满足P∪T≠Ø且P∩T=Ø;I:P×T→N,I是一个输入函数,其中N={0,1,…,};O:P×T→N,O是一个输出函数;H:P×T→N,H是一个抑制函数;m:P→N,m是一个标识,标识中的第i个分量是第i个库所的托肯数,其初始标识记为m0;FI:T→R,FI是一个矢量,其分量对应扩展分布的点火时延。

点火规则如下:

(1)在标识m中,变迁t∈T被使能,当且仅当∀p∈P,t∈T,m(p)≥I(p,t)并且H(p,t)≠0,m(p)<H(p,t);

(2)若t∈T在标记m下被使能,按照如下激活规则产生新标记m′∶m′(pi)=m(pi)+O(pi,t)-I(pi,t),t=1,2,…,n。

2.2 复杂设备可用度建模

假定一个设备有L个工作状态,分别用1,2,…,L来表示。系统的劣化过程为单调递增,即从状态1经过一段时间的运行后劣化到状态2;状态2经过一段时间后,在不同的速率下可能劣化到状态3,以此类推,如图1所示。

设备进入劣化状态后,可通过维修行为使得设备通过一定的速率返回到劣化程度较轻的状态,本文采用修复如旧的策略,因此不可能回到状态1,如图2所示。

3 基于行为表达式的设备可用度分析方法

设备劣化及维修过程Petri网模型的行为表达式反映了设备的运行过程。根据行为表达式可以求得Petri网模型的传递函数,利用矩母函数思想可实现对扩展随机Petri网的性能分析。

3.1 矩母函数与传递函数

定义2 设x是一个随机变量,则esx的期望值称为x的矩母函数,记为FMG(s)=E(esx)(x为实变数)[8,13,14]。

若x为离散变量,具有概率分布函数p(xi)=P(X=xi),i=1,2,…,则矩母函数 $F_{Μ G} (s) = \sum_{i = 1}^{\infty} e^{s x_{i}} p (x_{i})$ 。

若x为连续随机变量,且概率密度函数为f(x),则x的矩母函数FMG(s)=∫+∞-∞esx·f(x)dx。

定义3 在一个任意分布的随机Petri网中,对于M∈R(M0),t∈T,令Wt(s)=pM,tFMGM,t(s),则Wt(s)为t在M下的传递函数。其中,pM,t为M下t被引发的概率,FMGM.t(s)为M下t的矩母函数。

3.2 基于行为表达式的分析方法

一个行为表达式或者是一个复合式,或者是一个幂级式。根据表达式并借助以下几个定理,可以求得Petri网的传递函数W,再利用矩母函数的相关分析方法便可对任意分布的随机Petri网进行品质分析[8,13,14]。

定理1 设α是一个单项式,α=t1,t2,…,tq,则 $W_{α} (s) = \prod_{i = 1}^{q} W_{t_{i}} (s)$ 。

定理2 设α是一个标准多项式,α=α1+α2+…+αn,则 $W (s) = \sum_{i = 1}^{n} W_{α_{i}} (s)$ 。

定理3 设α=(α)*,则 $W_{α} (s) = \frac{1}{1 - W_{α} (s)}$ 。

3.3 设备可用度分析方法

基于行为表达式的分析方法一般为:建立分析对象的ESPN网模型,给出系统的行为表达式,计算行为表达式的传递函数以及采用矩母函数进行性能指标的计算,应用到设备可用度的具体步骤如下。

(1)构造系统行为表达式。

根据图1、图2,产生系统的行为表达式,并将多项式化为标准多项式形式。系统的行为表达式对应了设备从开始运行到最终报废的全生命周期运行过程。

(2)求传递函数。

根据所给的分布参数以及行为表达式结构,求出各事件的引发概率及其矩母函数,再根据传递函数定义得到各事件的传递函数。

(3)重新标号行为表达式。

根据第2步的计算结果,为行为表达式重新标号,以区别表达式中具有不同传递函数的同一事件。如模型中存在并发变迁,则变迁的先后激发对应了不同的传递函数。

(4)重新计算传递函数。

根据定理1～定理3计算标号后的行为表达式的传递函数。

(5)计算系统性能。

基于上述结果和矩母函数的有关方法进行各性能指标的计算,获得系统的定量分析结果。如,设备在劣化过程中采取什么样的维修策略使得设备可用度较高。

4 实例分析

以一条盘形零件生产线的主要设备实际运行过程为例,通过建模及分析给出设备在不同维护策略下的可用度指标。

4.1 设备建模及可用度分析

通过对关键设备运行过程的统计,将设备的劣化级别分为L级,L=5。随着L的增加,设备的劣化程度单调递增。采用2.2节的建模方法对上述设备劣化过程进行ESPN建模,具有5级劣化过程的设备运行模型如图3所示。当新设备开始运行时处于状态1,经过一段时间运行磨合后,劣化到状态2;状态2和状态3分别表示良好和一般两种正常工作状态;状态4是指设备必须通过维修才能回到正常工作状态;状态5是指设备已经无法通过维修回到工作状态,即将报废。图3中的库所和变迁含义如表1和表2所示,模型中主要变量的定义如下。

(1)x是设备从状态3经过维护后回到状态2的激发速率,即t6的激发速率为x,且该维护过程符合负指数分布。

(2)y是设备从状态4经过维护后回到状态2的激发速率,即t5的激发速率为y,且该维护过程符合负指数分布。

4.2 基于行为表达式的计算

基于图3所示模型,采用行为表达式分析方法,可得总的周期函数表达式:

α=(t5t6t1+t2t3t4+t2t3t1+t2t1t4+

t2t5t1+t6t1t4+t3t5t1+t3t1t4)/(t1t2t3t4) (4)

上式表示一台设备的全生命运行周期。式(4)中的传递函数为

w1=es/t1 (5)

w2=t2/(t2-s) (6)

w3=t3/(t3+t6-s) (7)

w4=t4/(t5+t4-s) (8)

w5=t5/(t5+t4-s) (9)

w6=t6/(t3+t6-s) (10)

由定理1～定理3可知,其矩母函数为

$Μ = \frac{w_{1} w_{2} w_{3} w_{4}}{1 - w_{2} w_{6} - w_{2} w_{3} w_{5}}$ (11)

将式(5)～式(10)代入式(11),对其求偏导数可得

$\frac{\partial Μ}{\partial s} |_{s = 0} = 16 000 x y + 100 + 1200 y + 800 x$ (12)

上式是设备使用周期的表达式。

4.3 设备可用度分析

基于上述设备运行过程,根据式(3)分析其可用度。设备处于状态1、2和3的稳态概率表明设备处在可用状态,因此,为了考察设备可用度,需分别计算p1、p2和p3的稳态概率。

(1)求设备处在p1下的稳态概率。

设t1是时延变迁,其他变迁均为瞬态,则传递函数分别为

w1=es/t1 (13)

w2=1 (14)

w3=t3/(t3+t6) (15)

w4=t4/(t4+t5) (16)

w5=t5/(t4+t5) (17)

w6=t6/(t3+t6) (18)

将式(13)～式(18)代入式(11),然后对其求偏微分可得

$\frac{\partial Μ_{1}}{\partial x} |_{s = 0} = \frac{1}{t_{1}}$

(2)求设备处在p2下的稳态概率。

设t2是负指数变迁,其他变迁均为瞬态,则传递函数分别为

w1=1 (19)

w2=t2/(t2-s) (20)

w3=t3/(t3+t6) (21)

w4=t4/(t4+t5) (22)

w5=t5/(t4+t5) (23)

w6=t6/(t3+t6) (24)

将式(19)～式(24)代入式(11),然后对其求偏微分可得

$\frac{\partial Μ_{2}}{\partial x} |_{s = 0} = 16 000 (\frac{1}{20} + t_{5}) \times (\frac{1}{20} + t_{6})$

(3)求设备处在p3下的稳态概率。

设t3是负指数变迁,其他变迁均为瞬态,则传递函数分别为

w1=1 (25)

w2=1 (26)

w3=t3/(t3+t6-s) (27)

w4=t4/(t4+t5) (28)

w5=t5/(t4+t5) (29)

w6=t6/(t3+t6) (30)

将式(25)～式(30)代入式(11),然后对其求偏微分可得

$\frac{\partial Μ_{3}}{\partial x} |_{s = 0} = 20 + 400 t_{5}$

则设备的可用度为

由式(31)可知,设备可用度是关于x、y的函数,即设备在劣化过程相对稳定的情况下,其可用度取决于维修的速率以及不同的维修策略。

根据图3所示模型,设备的可能维修策略为:①设备到达状态3后,还未损坏及进行预防性维修,并维护到状态2;②设备到达状态4后,设备劣化到无法使用必须通过维修回到状态2,才能继续使用;③设备到达状态3和4后,都有一定的激发速率回到状态2。

在采取维修策略①的情况下,取x→0,则 $\lim_{x \to 0} U = \frac{\frac{4}{5} (1 + 15 y)}{1 + 12 y}$ 。随着状态4经过维修设备回到状态2的维修速率的变化,设备可用度的变化曲线如图4所示。

在采取维修策略②的情况下,取y→0,则 $\lim_{y \to 0} U = \frac{\frac{4}{5} (1 + 10 t_{6})}{1 + 8 t_{6}}$ 。随着状态3经过维修行为设备回到状态2的维修速率的变化,设备可用度的变化曲线如图5所示。

在采取维修策略③的情况下,随着x5和x $_{6}^{}$ 激发速率的变化,设备可用度的变化情况如图6所示。

随着维修速率的增大,设备可用度显著增大。但是当x5的激发速率达到0.18次/天、x6的激发速率达到0.15次/天后,设备可用度的增大幅度变得缓慢,即大幅度提高维护的效率对设备可用度的影响有限。

通过上述分析可知,企业应该根据特定情况,通过图6找到设备维护效率和可用度之间的平衡点,这样既可保持合理的维修水平又能得到满意的设备可用度。

5 结论

(1)提出了基于ESPN的设备劣化模型,可完整地描述设备的全生命周期运行过程。ESPN能描述任意分布的动态离散系统,与传统的将设备劣化过程描述为Markov过程相比,本文描述方式可以更加准确和真实地反映建模对象。

(2)Petri网的重要分析方法可达图存在状态空间爆炸的问题,为了克服这一分析方法的缺点,采用了行为表达式的分析方法。行为表达式可方便地得到系统各个性能指标之间的函数关系及相应的趋势图。

(3)针对一个实例,采用基于ESPN的模块化建模方法建立了设备劣化模型,并采用行为表达式对系统性能进行了分析,针对不同的维修策略定量地给出了设备可用度与不同维修策略和维修速率之间的函数关系,为设备的稳定、高效运行提供了理论上的分析方法。

供应可用度篇5

复杂成套设备朝着智能化、网络化、集成化、超微精密化的技术方向发展, 广泛采用软件代替传统的硬件, 导致机械结构趋于简化。同时设备因故障造成的停产损失, 远大于清理故障和维修设备的直接损失且企业对很多引进设备的大修能力明显不足。

复杂成套设备特征决定了其故障表现。设备故障一般由3类故障的迭加而成, 特征表现见图1 (香蕉曲线, 区别于传统设备的浴盆曲线) 。一类是电气系统故障, 分为强电路故障和数控系统故障, 其中数控系统故障具有复杂、不确定性的特点;二类是机械系统故障, 这类故障与传统机械故障较为相似, 具有机械系统磨损的特征;三类是气 (液) 压系统故障, 这类故障形成原因复杂, 与环境因素、气 (液) 品质、操作因素、保养水平以及零件老化等高度相关。

由于复杂成套设备对企业生产乃至企业的竞争力有重大影响, 其维修策略应当具备满足可靠、快速、选择、经济和先进性的要求。

卷烟企业传统上仍然按照基于浴盆曲线, 采用以时间基轴的计划预修制, 制定了设备大修、中修、项修、轮保和故障维修等一系列工作安排。虽然计划预修制与单纯事后维修相比是一大进步, 它可以把部分故障消灭在萌芽状态, 以避免大量严重的故障或事故的发生, 但这一体制也存在明显的不足。一方面, 该策略较适用于以磨损为主的简单机械设备, 而非复杂成套设备。另一方面, 由于计划的不准确, 形成维修过剩或维修不足两大问题。前者浪费了维修资源, 后者易留下故障隐患。总之二者都会导致设备可用度降低。

二、提高可用度的复杂成套设备维护策略

复杂成套设备从安装开始到设备老化报废的生命周期可分为早期磨合阶段、中期稳定运行阶段和晚期故障多发3个阶段。稳定运行阶段与其他两个阶段相比, 持续时间相当长且是设备充分发挥作用的阶段, 提高设备可用度的主要举措是降低设备非计划停机和减少维修时间。

为提高设备可用度, 在设备不同的使用期, 采用不同的维修策略: (1) 在稳定运行阶段, 采用可变周期的定期维修策略和状态维修的组合维修策略, 在其他两个阶段, 主要采用改善的维修策略; (2) 用先进的信息系统, 支持稳定运行期的设备维护。维修策略的分析与选择见表1。

在重点关注的设备稳定运行阶段, 故障率维持在一个均衡水平, 平均故障间隔较长, 并呈偶发态势。采用状态维修和定期维修相结合的维修方式, 最大程度减少故障停机, 提升设备的可用度, 如图2所示。一是可以有效降低维修停机时间, 二是有效改善非规律性原因引起的非计划停机。复杂成套设备的电气系统一般都具备计算机系统的接口, 这为采集设备状态提供了便利。

1. 定期维修策略的应用

定期维修的关键是确定维修周期。根据复杂成套设备的特点建立以下维修模型:

式中ED (T) ———预防维修间隔期为T, 单位时间内总的停机时间期望值

df———故障平均停机时间

ENt (T) ———在间隔期Tmw发生故障次数的期望值

dp———在维修活动停机检查时间的平均值。

上述模型的建立及求解, 可以根据以往的维修数据记录统计分析并计算得出。定期维修策略的工作流程如图3。一是运用统计方法来制定维修间隔时间, 克服以往凭经验确定维修间隔时间, 造成维修计划不准确的弊端。二是采用流动计划法制定维修计划。即按近细远粗的原则, 在一个计划期终了时, 根据统计方法确定出维修间隔期, 综合考虑本期计划执行结果和生产情况等条件的变化, 对原计划周期进行修改和调整, 并应用到下一期维修中。

2. 基于状态的维修策略的应用

设备状态监测通常是通过测定设备的一个或几个特征参数 (如振动、温度等) , 检查其状态是否正常, 若参数值或由参数的组合特征将要达到某个限定的值时, 就应判定安排停机检修。为了达到这个目的, 在对设备进行定期或连续监测时, 必须及时掌握并记录故障发展趋势, 对使用寿命进行预测、预报, 实现状态监测的要求, 做好故障趋势分析。状态监测的维修工作流程如图4所示。

三、典型应用案例分析

卷烟企业生产组织呈现明显的计划特性, 在产品计划量和销售价格确定的情况下, 企业的经济效益着重体现在生产成本的控制中。包装工序为整个生产的瓶颈工序, 其可用度对产能、生产工时的影响很大。以宁波卷烟厂的GD-03#包装机组的停机、故障及维修进行研究, 以验证维修策略的有效性。该设备是从意大利引进, 电控系统已采用西门子S7-400 PLC控制进行改造, 并在改造后稳定运行两年以上, 处于偶发故障期。之前, 该设备采用周期性“轮保”制和故障维修策略。通过对该设备2010年1~2月内的停机原因、停机次数、停机时间分析, 得出该设备的关键停机及故障维修所占时间, 见图5。周期内可用时间1200 h, 周期内总停机时间196.3 h, 设备可用度83.6%。

采用前文给出的维修策略, 一是优化定期点检的时间跨度, 以降低故障停机的概率及停机时间。根据对该设备故障历史数据的分析可知, 当前设备平均停机时间为3.9 h/天, 停机检查的平均时间为0.6 h/次。结合维修模型, 利用计算机仿真技术确定定期预检周期为5天 (仿真过程略) 。二是以企业生产执行系统平台为基础, 建立一套状态监测及预警系统, 并与设备运维体系对接, 以减少其他非计划停机。由于设备本身具备数据采集, 从设备电控系统中提取各种现场数据, 在不外加任何传感器的前提下, 实现了设备主要产耗数据、设备状态数据、故障原因、烟包剔除等多种现场数据的实时采集, 采集数据齐全, 具有较强的实时性。

采用新策略并在信息系统的支持下, 仍对该设备2011年1~2月内同比数据进行分析, 得出该设备的关键停机及故障维修所占时间, 见图6。周期内可用时间1176 h, 周期内总停机时间153 h, 设备可用度87.0%。

同期对比分析发现, 采用新策略后可以有效提升可用度3.4%, 即月增加可用时间24.4 h。其中最为显著的变化是减少了故障维修的次数 (图7) 。

四、结束语

供应可用度篇6

维修策略是指在特定条件下, 对设备或零件所进行的维修方式和程度的规定[1]。预防维修是指在规定的时间对系统进行检查性维修, 把故障扼杀在萌芽阶段。针对具体的系统, 预防维修时间太长发生故障的可能性就会提高;预防维修时间太短, 就会造成维修成本的提高, 造成浪费。此外, 不论预防维修时间过长还是过短, 都会影响系统的可用度。

随着经济社会与建筑科技的发展, 塔机的应用给建筑施工带来了巨大的方便, 但与此同时, 塔机的安全问题也越来越凸显。顶升液压系统在顶升机构的运动和控制中占据核心地位, 其运行是否安全可靠直接影响到顶升作业的安全, 适时的预防维修是减少其故障发生的有效手段。所以, 从塔机的安全性、可靠性、可用度、经济性等角度考虑, 找到一种顶升液压系统基于可用度的预防维修策略, 既能保证塔机具有高安全性, 又能保证高可用度, 是十分必要的。

1 塔机顶升机构液压系统故障树及概率分布

以16 000k Nm动臂塔机为例, 其液压系统如图1所示。液压站由负载敏感带压力补偿的柱塞泵1供油;吸油过滤器2确保液压系统油液的清洁度;回油过滤器3可确保流回油箱的液压油的清洁度;手动切换阀4可实现顶升和冷却油路的切换;换向阀5的3个工作位置分别控制顶升油缸的顶升、停止和缩回;换向阀6、7对2个顶升油缸的顶升和回缩分别进行启闭和速度的调节;溢流阀8、11分别设定有杆腔和无杆腔最高工作压力;单向节流阀9用来控制活塞杆的回缩速度;背压阀10产生一定的回油阻力, 改善油缸运动的平稳性;平衡阀12在顶升油缸停止运动时起锁止作用, 将油缸中的油液锁住。

1-柱塞泵;2-吸油过滤器;3-回油过滤器;4-手动切换阀;5、6、7-换向阀;8-溢流阀;9-单向节流阀;10-背压阀;11-溢流阀;12-平衡阀

根据实际情况对液压系统进行故障树建模, 为了简化模型, 作如下假设: (1) 各元器件故障和失效概率相互独立; (2) 各元器件只有正常和故障两种状态; (3) 不考虑人为因素和外界干扰的影响。建立的故障树模型如图2所示。

故障树中各个符号的含义如表1所示, 每个元件的基本失效率如表2所示, 在仿真过程中需要将元件基本失效率乘以环境系数转化为元件应用失效率, 再将元件应用失效率通过元件记数法转化为底事件失效率。采用蒙特卡洛算法对液压系统进行可靠性仿真, 仿真流程图如图3所示。

运行仿真10 000次, 其中给定时间内故障9 998次, 地面固定设备的液压元件失效环境系数为5~20, 在此仿真过程中取值10。

通过可靠性仿真可以得出系统寿命的概率分布, 设在时间段ti内系统发生故障的次数为p (ti) , 则系统寿命的分布函数为

2 建立顶升机构液压系统维修模型

系统的维修模型通常有两种, 一种是完全修复模型, 即认为修复以后的设备和新的完全一样;一种是基本修复模型, 即认为设备在刚刚修理后的失效率和刚修理前的失效率是相同的。维修到底属于完全修复还是基本修复并不是有人主观决定的, 而是取决于现阶段的维修机制、维修内容以及设备本身的固有特性。对于液压系统而言, 显然完全修复是不恰当的, 应该属于基本修复。

下面我们按照基本修复的定义来推导基本修复模型。设备的寿命服从失效分布F (t) , 可靠度为R (t) , 失效率为 (t) 。在t1时刻建立一个新的坐标系, 自变量为T′ (T′=t-t1) , 并定义设备在新坐标系中的失效函数为F′ (T′) , 可靠度函数R′ (T′) , 失效率为′ (T′) 。由基本修复的定义可知, 设备在t1时刻发生故障并修复以后, 失效率保持维修以前的水平, 即有

由失效率与可靠度函数的关系和式 (2) 得

由T′=t-t1得d T′=dt, 并带入式 (3) 得

对式 (4) 进行积分ln并整理得

由于设备在t1 (T′=0) 时刻刚刚修好, 所以有R′ (0) =0。将t=t1、T′=0、R′ (0) =1带入到式 (5) 得常数CR (t1) , 故有

又有R+F=1, 带入式 (6) 并整理得

即为基本修复模型。

以上是对失效分布函数为连续型函数时基本修复定义的推导, 当寿命的失效分布函数为离散型时, 该模型依然成立。

为表述明确, 对离散型失效分布做如下定义: (1) 一个事件发生的代表随机数集为A=[a, b) , 含义为当随机数η落入[a, b) 时, 事件发生; (2) 代表随机数集的中间值, 含义为当代表随机数集中随机数的个数n为奇数时, ;当n为偶时

3 基于可用度的预防维修策略仿真

根据工程经验可以得到液压系统进行一次预防维修所需时间和进行一次事后维修所需时间的概率分布。基于蒙特卡洛算法编写程序进行预防维修策略的仿真, 仿真的流程图如图4所示。

假设预计在累计正常工作T时间后进行预防维修, 则在特定的预防维修时间T下有

总工作时间=NT;

总事后维修时间

总预防维修时间

则塔机顶升液压系统的可用度可表示为

根据上述仿真方法, 对16 000k Nm动臂塔机的液压顶升系统的预防维修策略进行仿真, 仿真得出顶升系统的预防维修时间与其可用度之间的关系, 如图5所示。

4 结论

1) 通过分析塔机液压顶升系统各元件的功能, 找到各种可能的故障, 并建立故障树模型。然后根据已知的各底事件的故障率, 采用蒙特拉罗法对系统进行仿真, 得出整个顶升系统的故障分布。

2) 建立的可修系统的基本修复模型, 能够真实合理的反应可修系统的维修性。

3) 根据结论2中建立的修复模型对塔机顶升系统的维修策略进行仿真, 由图5中的预防维修时间与可用度关系曲线可知, 在基本修复模型下, 存在一个最佳时刻t0使得可用度A最高。

4) t0的值约为150h, 考虑到仿真过程使用的液压元件的失效系数10与实际情况可能不完全相符, 所以建议提前10~20h进行全面的检修以平衡安全性和可用度。根据市场调查, 该型号塔机每50天顶升一次, 顶升20m, 需要5h, 4年顶升机构使用140h。所以仿真结果满足GBT5031-2008《塔式起重机》中“每使用4年就要进行一次全面检查”的规定, 可以对塔机实际应用过程中的检修时间起到一定的指导作用。

参考文献

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供应可用度篇7

关键词：随机Petri网,瞬时可用度,系统建模,计算机仿真

1 系统模型的构建和转化

1.1 获得马尔科夫状态转移模型

SPN需要一些改进以满足求解系统瞬时可用度是系统建模的要求, SPN模型的变迁 (transition) 可以和服从负指数分布的部件失效概率和部件修复概率相关联, 为了标识这种特殊模型, 称它为R-SPN (Reliability System SPN) 。LS-SPN描述如下:

定义1设R-SPN={P, T, Fl, W, λ, μ, K, M0}, 其中, P={p1, p2, …, pn}是库所的有限集合, n为库所的个数, 且n>0;T={t1, t2, …, tm}是变迁的有限集合, m表示变迁的个数, 且m>0;P∪T=Φ;Fl⫅ (P·T) ∪ (T·P) (·为笛卡儿积) ;dom (Fl) ∪cod (Fl) =P∪T, 其中dom (Fl) ={x|∃y: (x, y) ∈Fl}, cod (Fl) ={y|∃x: (x, y) ∈Fl}即它们分别是Fl的定义域和值域;W:Fl→N称为N上的权函数, 对 (x, y) ∈Fl, W (x, y) =W ( (x, y) ) 称为 (x, y) 上的权;λ={λ1, λ2, …, λm}与T中元素一一对应, λ为各变迁的失效率;μ={μ1, μ2, …, μm}为各变迁的修复率, 在SPN的运行过程中不变; K={k1, k2, …, kn}定义为P→N∪{∞}为P上的容量函数, M0为系统初态。

对于一个R-SPN, 由于变迁相关参数的指数分布引发的无记忆特性, R-SPN系统的可达图同构与马尔科夫链。可用以下算法1获得其状态转移模型:

(1) 根结点r由M0标注。

(2) 一个标注M0的结点x是一个叶结点, iff不存在t∈T:t在M是可实施的或者在从r到x的路上存在一个结点y≠x, 但结点y也是由M标注的。

(3) 如果一个标注M的结点x不是一个叶结点, 那么对于所有t∈T使得在M下可实施的t实施而产生一个新的结点y, 且在从x到y新产生的弧上标注t, y结点标注的标识M″可由M′1来计算, M′1满足于M[t>M′1, 即对任一s∈S, M′1 (s) = M1 (s) -W (s, t) +W (t, s) 。M′的计算可区别为两种情况:

①在从r到y的路上, 如果存在标注M′的结点z≠y且对任一s∈S:M′1 (s) = M″ (s) , 那么

undefined

②其他情况, M′=M′1。

(4) 上面构造图的结点是等价的iff它们有相同的标注M。

(5) 可达图的结点是上面构造图的结点的等价类。从结点Y到结点Z的弧线标注为t, iff存在y∈Y且z∈Z, 使得在可达树中从y到z有弧线t。

1.2 微分方程组的构建

系统在t时刻的状态概率分布为:pi (t) =P{X (t) =i}, i∈E。初始时刻各状态的概率分布为:pi (0) =P{X (0) =i}, i∈E, 并且undefined。

可知X (t) 是一个随机连续齐次马尔科夫过程, 极限undefined存在且有限, 速率函数qij构成速率矩阵Q= (qij) N×N。速率函数具有以下性质:qij≤0, i∈E;qij≥0, i≠j, i, j∈E;undefined。令

E, aij构成转移率矩阵A= (aij) N×N。在充分小的时间Δt内转移概率函数满足:

Pij (Δt) =aijΔt+o (Δt) , i, jE, i≠j (1)

Pii (Δt) =1-∑j≠i, jEPij (Δt) =1-∑j≠i, jEaij (Δt) +o (Δt) =1+aiiΔt+o (Δt) (2)

由全概率公式, 以及式 (1) 、式 (2) 得

undefined

再令Δt->0, 得:

undefined (3)

式 (3) 是关于pi (t) 的微分方程组, 包含 (N+1) 个方程。如果aij已知, 附加上初始条件pi (0) , 就可以解出pi (t) , i∈E。将式 (3) 写成矩阵形式

其中P (t) = (P0 (t) , P1 (t) , …, PN (t) ) , P′ (t) 表示对每个分量分别求微商, 矩阵A为转移率矩阵。系统的瞬时可用度为:

undefined (5)

所以对于给定初始状态分布以及转移概率的系统, 只要求解微分方程组 (4) , 再根据式 (5) 就可以计算出系统在给定时刻的瞬时可用度。

2 瞬时可用度解算

式 (4) 中, 矩阵A为一个常量矩阵, 显然式 (4) 的方程组是常系数线性微分方程组, 对于这种情形目前所提出的系统瞬时可用度解算方法有两种:一种是将微分方程组的解表示为矩阵指数函数的形式undefined, 一般讲, 由此式求解P (t) 是不方便的, 它需要将矩阵A化为约当标准型;另一种方法是用拉普拉斯变换工具, Pi (t) 的拉普拉斯变换为P*i (s) =∫∞0e-stPi (t) dt, 将上式两端作拉氏变换得∫∞0e-stP′ (t) dt=∫∞0e-stP (t) dtA=-P (0) +s∫∞0e-stP (t) dt, 所以有

P*i (s) =∫∞0e-stP (t) dt=P (0) (sI-A) -1 (6)

对式 (5) 的两端作拉氏变换得undefined, 将式 (6) 代入上式, 经反演可求出系统瞬时可用度, 此方法较常用。然而上述方法皆为解析法, 使用解析法求解系统瞬时可用度需针对每个方程组不同的情况予以推导计算, 效率较低。

本文以数值算法求解马尔科夫可修系统瞬时可用度的可能性, 适用面广。该方法间接使用泰勒展开式来构造高精度数值解:首先用函数f在3个点上的值的线性组合来代替y的导数, 然后按泰勒级数展开, 确定其中组合系数。采用数值法时并不关心方程组的系数, 所以对于式 (4) 不论微分方程组是否为常系数都可改写为同一形式:

undefined

当式 (7) 方程组的方程个数为1时, 该方程组退化为一个微分方程的初值问题

对于式 (8) 如果已知y (tj) =yj, 由微分中值定理得

[y (tj+1) -y (tj) ]/h=y′ (tj+θh) , 0<θ<1

y (tj+1) =y (tj) +hy′ (tj+θh)

yj+1=yj+hf[tj+θh, y (tj+θh) ] (9)

式 (9) 中, f[tj+θh, y (tj+θh) ]为区间[tj, tj+1]上的平均斜率;只要对此区间上的平均斜率提供一种计算方法就可以得到相应计算yj+1的计算格式。这里采用区间[tj, tj+1]上三个点的斜率进行加权平均作为平均斜率的近似值, 可得

undefined

式 (10) 中, tj, tj+ph, tj+qh为区间[tj, tj+1]上的三个点;K2由K1来预报, K3由K2来预报;λ1, λ2, λ1是斜率的线性组合系数。根据泰勒公式对式 (10) 的三个斜率K1, K2, K3在 (tj, yj) 展开, 得到

K1=f (tj, yj) =y′j

K2=f (tj+ph, yj+phK1) ≈y′ (tj+ph) =y′j+phy″j+0.5p2h2yj+O (h3)

K3=f (tj+qh, yj+qhK2) ≈y′ (tj+qh) =y′j+qhy″j+0.5q2h2yj+O (h3)

将K1, K2, K3代入式 (10) 中的第4个式子, 经整理后得到

yj+1=yj+h (λ1+λ2+λ3) y′j+h2 (pλ2+qλ3) y″j+0.5h3 (p2λ2+q2λ3) yj+O (h4) (11)

对式 (11) 直接用三阶泰勒公式展开得

yj+1=yj+hy′j+ (1/2) h2y′j+ (1/6) h3yj+O (h4) (12)

比较式 (11) 和式 (12) , 为了使公式 (10) 的截断误差为O (h4) , 应使该两式中的前4项完全相等, 所以有

undefined

取p=1/2, q=1, 解方程组得λ1=1/6, λ2=4/6, λ1=1/6。得到一阶微分方程数值法求解公式

undefined

将式 (13) 推广到微分方程组, 最终可得马尔科夫可修系统瞬时状态概率的迭代公式

undefined

对于此单步法, 其增量函数φ (x, yi, h) = (1/6) (K1i+2K2i+2K3i+K4i) , i=0, 1, …, n-1当h->0时φ (x, y, 0) =f (x, yi) , 所以此方法与微分方程组 (7) 相容。又φ (x, yi, h) 关于x, h满足Lipschitz条件, 所以此方法是收敛的。并且存在满足条件的K1i, K2i, K3i, K4i使[yij+hy′ij+ (1/2) h2y″ij+ (1/6) h3y″ij+ (1/24) h4yij+O (h5) ]-[yij+ (h/6) (K1i) +2K2i+2K3i+K4i], 所以该方法的截断误差为O (h5) 。

参考文献

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