高三数学教学感悟

高三数学教学感悟（共5篇）

高三数学教学感悟 篇1

李邦河院士说过:“数学根本上是玩概念的, 不是玩技巧的, 技巧不足道也!”章建跃博士在浙江绍兴做讲座时也大力倡导在核心概念的教学上要做到“不惜时, 不惜力”, 应把教育关注的重点落在对数学的内容、方法和意义的了解和理解上, 这样才能真正做到“教书育人”。而在实际的一线教学中, 许多教师并不重视概念教学, 一提到概念教学就觉得没意思、没用、难教。教师既不在概念的讲解上下功夫, 也不让学生经历概念的概括生成过程, 仅以解题教学代替概念教学。这必然加重了学生的负担, 学生的数学思维没有得到锻炼, 还会导致学生在数学学习中产生各种问题。学生“一听即懂, 听过即忘”, 也会影响学生学习数学的兴趣。

在高三总复习中, 所有的概念在高一高二已经学完, 那么在高三备考总复习中教师应如何做才能高效地完成对基本概念的复习呢?面对求知若渴的学生, 作者无数次问自己:如何才能找到一条有效途径, 让学生最大限度地吸收教师所讲的知识?一段时间以来, 作者不断地探索原因, 并苦苦地寻找各种可以帮助学生既能复习好核心概念又能达到学以致用的目的的方法。作者从中感悟到以下几点与大家共勉。

一、对核心概念要适当进行深化

面对已掌握一定数学概念的高三学生, 教师在高三总复习时的任务是深化概念教学, 使学生在原有的思维基础上再向前发展。

案例1: (2013年广州市二模文13, 理13) 数列{an}的项是由1或2构成的, 且首项为1, 在第k个1和第k+1个1之间有2k- 1个2, 即数列{an}为:1, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, …记数列{an}的前n项和为Sn, 则S20=________;S2013=________.

分析:本题的第二空整体得分率非常低, 难倒了不少学生。本题的实质就是考查学生对数列概念的把握。时至第二次模拟考试, 高三第二轮总复习都已经结束, 本题将数列概念问题放到一个新的问题背景下, 考查学生分析具体问题以及知识迁移的能力。

题中“1”都是单独出现的, 它的出现有什么作用吗?“2”都是以连续正奇数个出现的。如果将每两个相邻的“1”之间的“2”记为一组, 前n组中“2”出现的个数设为一个新的数列{bn}, 则使bn<2013成立的最大整数为k=44, 即数列{an}前2013项中共出现k+1=45个“1”, 其余都为“2”, 因此:S2013=45+ (2013- 45) ×2=3981, 这样整道题得到解答。学生初遇此题, 觉得不知如何下手, 但只要学生对数列的概念有深刻的认识, 想到将“2”出现的个数看成一个新的数列, 也就不难解答此题。由此可见, 学生在高三总复习中不仅要对熟悉的等差数列、等比数列复习到位, 对于新出现的数列, 进行适当的深化, 也是很有必要的。

二、对核心概念要适当进行发散

发散思维与聚合思维相对是指从一个目标出发, 沿着各种不同的途径思考、探求各种答案的思维。对于数学概念, 如果教师只要求学生理解记忆它的原始概念是远远不够的, 这样的概念过于单薄。也正是由于这个原因, 一些学生才会发出“概念公式都记得, 但就是不会解题”“平时会做, 考试时就是想不到”的感慨。针对有些概念, 教师只有适当进行发散, 学生才能更深入地理解。那么, 教师究竟该如何对概念进行发散?作者以等比数列的概念为例, 详细阐释一下。

案例2:已知数列{an}的前n项和为Sn, 数列{Sn+1}是公比为2的等比数列, a2是a1和a3的等比中项. (1) 求数列{an}的通项公式; (2) 求数列{nan}的前n项和Tn.

分析:本题为2012年12月份广州市高三调研试题文科数学第19题, 共14分。整个海珠区学生平均得分为4.3分。按当时的评分标准, 解出第一步就可得8分。由此看来, 学生平均只做到第一步的一半。看似很简单的题目, 却难倒不少学生, 其实本题的审题重点就是三句话, 包含了三个定义。

(1) Sn的定义:S1=a1, S2=a1+a2, S3=a1+a2+a3, ..., Sn=a1+a2+a3+…+an. 1

(2) 等比数列的定义:{Sn+1}是公比为2的等比数列, 由通项公式Sn+1= (S1+1) ·2n-1= (a1+1) ·2n-1可知, 只要求出a1, 就可以得出Sn, 由an和Sn的关系, 可求出an, 为了求出a1, 列出S2+1/S1+1=2, S3+1/S2+1=2;可得a2=a1+1, a3=2a1+2; 2

(3) 等比中项的定义: (a2是a1和a3的等比中项) a22=a1·a3. 3

把2代入3可以求出a1=1或a1=-1, 当a1=-1时, S1+1=0, {Sn+1}不是等比数列, 所以a1=1.所以Sn=2n-1.

为了找到学生失分的真正原因, 作者在所教班级抽取了5位平时数学成绩比较好但本题得分在5分以下的学生进行访谈。他们对条件“{Sn+1}是公比为2的等比数列”不知怎样入手解答, 作者当场要他们默写等比数列的概念, 5位学生全都默写正确。作者接着问:{Sn+1}的第一项是什么?第二项是什么?第n项呢?第n+1项呢?学生全都沉默了。其中有一个学生比较直接地说:“如果{an+1}成等比数列, 我就会做。”顿时, 作者头脑中马上闪现一个念头:学生对{an+1}成等比数列与{Sn+1}成等比数列的概念没有区分好。学生根本就没有理解{Sn+1}是等比数列的含义, 在等比数列的概念中, 每一项与前一项比值中的项, 我们通常用an+1和an来表示, an+1和an只是个符号, 那么在数列{Sn+1}中第n+1项也就是a1+a2+a3+…+an+an+1+1, 它的前一项就是a1+a2+a3+…+an+1, 只有在理解这个概念的基础上, 才可以理解Sn+1= (S1+1) ·2n- 1= (a1+1) ·2n- 1, 才能顺利解答这道题。实践表明, 如果学生对等比数列的概念的理解仅有an+1/an=q是不可能解决一些复杂的问题的。因此, 对于等比数列的定义必须做出如下的理解:

(1) 定义中的项, 并不一定就是指an, 只是我们为了表达上的简洁, 用an来表示;

(2) 等比数列中不含有0;

(3) 从第二项起, 每一项与前一项的比等于同一个常数:an+1/an=q, 而an/an+1=1/q;an+1/q=an;qan=an+1;

(4) 从第二项起, 任意相邻三项, 中间一项是前后两项

的等比中项:an2=an- 1an+1;

(5) 这里的数列可以是任何数列, 可以是{an}, 也可以是{1/an}, {Sn}, {an+1- an}, 甚至是{bn/an+n}, 其中本题是就{Sn+ 1}

三、数学概念要等价转化

著名数学家华罗庚提道:“数学要善于退, 退到最原始而不失重要性的地方, 是学好数学的一个诀窍。”所谓“退”就是把一个复杂的问题“退”到最原始、最简单的问题上, 再以这些问题为出发点, 链接到相关的概念上, 去解决问题, 接受新知。在这里“最原始的地方”就是退到从最初的概念、最基本的数学思想方法、最初的图形和学生最基本的认知开始, 在自主探究, 合作交流中, 逐步实现从简单到复杂, 从具体到抽象的认知。抓住这一点, 相信教师课堂教学的难点一定会取得更好的突破。

案例3:已知f (x) 是二次函数, 不等式f (x) <0的解集是 (0, 5) , 且f (x) 在点 (1, f (1) ) 处的切线与直线6x+y+1=0平行.

(1) 求f (x) 的解析式;

(2) 是否存在tN*, 使得方程f (x) +37/x=0在区间 (t, t+1) 内有两个不等的实数根.若存在, 求出t的值;若不存在, 说明理由.

分析:本题为2013年广州市高三调研试题文科数学第20题。整个海珠区学生平均得分为2.1分。

第 (1) 问解答略, 可以求得f (x) =2x2- 10x。

第 (2) 问:方程f (x) +37/x=0在区间 (t, t+1) 内有两个不等的实数根, 将f (x) 代入上式并化简可得:2x3- 10x2+37=0, 这个三次方程根的求法在中学阶段是没法求的。事实上, 这两个不同的根还要在区间 (t, t+1) 内, 显然这两个根均不会是整数, 不好求。题目只是问根存不存在, 只要说明根是否有就可以了。这样学生就要想到方程根与函数零点定义的相互关系, 即利用导数的知识解答零点存在性问题, 从而问题将得到解释。

摘要：本文主要讨论了学生在完成高一高二的概念学习的基础上, 进行高三总复习时, 应如何进行高效的基本概念复习。

关键词：高三总复习,概念教学,感悟

参考文献

[1]章建跃, 陶维林.概念教学必须体现概念的形成过程[J].数学通报, 2010 (1) .

[2]章建跃.数学概念的理解与教学[J].中学数学教学参考, 2010 (10) .

高三数学教学感悟 篇2

回首这些年的高中语文教学，风风雨雨一路走来，我获得了一点小小的成绩，也留下了不少的遗憾。反思这几年的语文教学轨迹，深深浅浅，得失兼杂。在此对自己在这些年高三语文教学工作上的一些做法做个简要的总结，希望能为以后的教学提供一些借鉴。

一、瞄准高考，尽早找准学生的得分点强化落实

语文学科是一门特别注重积累的学科，很少有人能够不真抓实干就能取得成功。通过高三前几次月考的分析，我会找准自己班级学生的得分点。在这些得分点上狠抓落实，真正让学生过关，力保每次考试都能在这些知识点上得高分。例如拼音的识记、词语成语的使用、古诗文的默写这些分看起来不起眼的题目却是我们学生的得分点，也是我们能否取胜的关键。因此无论是重点班还是普通班，在这些得分点我们一定要抓死抓实。另外，重点班如果只抓到这个层次是远远不够的，因此，除此之外，还必须通过分析每次考试的情况找出他们别的得分点。例如今年我所教的高三（2）班，班上同学的“语言运用”这个知识板块每次考试做的不错。于是我就在这个知识板块上花上更多的精力，让更多的同学能在这个知识点上持续不断地得高分。

二、分析学生的每次考试情况，找出薄弱环节对症下药。

每次考试之后，我们都认真分析，找出薄弱环节，与学生交流，弄清失利的原因和教与学双方存在的问题。我发现学生的失分点主要集中在以下几个方面：基础知识的4~10题、文言文翻译、诗歌鉴赏、现代文阅读中的主观题，还有作文。我及时调整自己的教学思路、教学内容、教学方法，在教学中注重过程管理，从四个方面落实教学任务：力争把目标落到实处，细化内容，序化训练，深化辅导。

三、专项复习，狠抓基础。

1．基础知识的复习注意长短线结合，对字音、字形、词语、病句等内容在第一轮复习之后，穿插在下面各专题的复习中，进行不间断的训练。在穿插复习的过程中注意精选题目，做到短平快，尽量不影响专题复习的正常进行。

2．复习文言文，我们把考试说明规定背诵的60篇文言文和诗歌归拢在一起，印发给学生。将120个文言实词和18个文言虚词的用法与意义归纳总结也印发给了学生。在文言文复习中的不足主要表现在大纲要求掌握的实词、虚词的意义和用法学生不能真正地掌握并灵活运用。我想以后应该由师生共同归纳再整理，其次我在进行该专题复习时可能忽略了教材所选文言文的作用，这些都是以后要改进的地方。

3．对于诗歌鉴赏，我们分三步进行复习：（1）进行题型示例，精选出诗、词、曲鉴赏题作为例子，让学生对这类题有一个感性的认识，消除其神秘感。（2）把诗歌中常见的意象、表现手法等整理出来作为一般常识交给学生，引导学生领悟诗歌中的意象，体会其思想感情，把握其表现手法。（3）归纳诗歌鉴赏的一般方法，引导学生理清鉴赏思路，注意答题的针对性和完整性。另外，诗歌鉴赏是语文试卷中的难点部分，我在重点班和普通班采用不同的练习来完成不同的能力目标。让不同层次的学生都能在诗歌鉴赏这一知识点上有不同的收获。

4．努力创设语文学习氛围，尽可能地拓宽学生的视野，提高读写能力。（1）要求学生买《读者》《青年文摘》《意林》统一订阅《语文周报》等优秀报刊。（2）要求学生坚持模仿范文，利用周记进行练笔、积累材料。（3）根据学生的兴趣、爱好，精选例文，认真研读揣摩，利用文中材料进行仿写，然后对照原文，比较优劣，找出差距。（4）注重作文实战训练，认真选题，在审题立意、谋篇布局、表达技巧等方面多加指导，在卷面、书写、标点等方面严格要求。

5．对于作文的素材的整理，我基本上能与时俱进，及时给学生整理印发一些生活中鲜活的材料。

四、提高效率，上好讲评课

进入高三，面临着内容多、任务重、时间紧等一系列困难，学生的复习训练也很多，但我们不能因为时间紧就忽略训练和试卷讲评的过程。我认为认真抓好讲评课的重要环节，通过讲评帮助学生牢固掌握所学知识，提高运用所学知识的能力，培养学生良好的思维品质和习惯，是高三复习教学的一条有效途径。讲评前认真分析试卷，有明确的目的性；讲评过程引思路、给时间、讲技巧、富有针对性；讲评后，引导学生领悟小结，注意深化巩固，突出实效性。

首先，讲清试题的角度，即是怎样来考的，如，试题自身是给一篇科技短文选择题，实质是考查文章作者的思想倾向，文章的主要内容。再如，以变换了的种种说法，考查对句意或文意的理解；文言文中，以句间关系的理解，考查翻译能力（即翻译时加上什么样的关联词）„„

其次，讲清解题规律或方法。如判断语句是否有语病常用三种方法：语法结构分析法、逻辑事理分析法和表达效果分析法。

再次，纠正错误务必落实。对于教师而言，要了解学生错在何处，为何错，哪些学生错，有针对性地改进复习教学工作。对于学生而言，要求答错的学生要找出答错的原因，并改正，掌握避免差错的规律。

第四，要讲究拓展。某题考查某内容、某种角度，同样的考查内容，还可以从哪个角度考。同样的知识类型要补充，有变化的地方更应补充。这样，就可以以一定的量的重复，加上一定的变化，来增强对这一类题的理解，做到练一些题，能通晓某一类题。对于学生而言，还可以自选课外题，以拓展对某一类题的范围、考查方式的认识。

另外，还特别注意在讲评中坚持正面教育，保护学生的自尊心，充分调动学生的学习自觉性和主观能动性，促使成绩较好的学生看到差距，向更高远的目标奋进；引导成绩较差的学生总结教训，鼓起勇气，树立信心。如果批评、指责、扬一批人压一批人，或者以“高考题比我们的练习更难”相威吓，那就只能收到适得其反的负面效应。

对高三班主任工作的一点感悟 篇3

关键词：目标；氛围；指导

“路漫漫其修远兮，吾将上下而求索。”以下是我对高三班主任工作的一些粗浅的想法和做法，班主任的工作虽然千头万绪，但机遇总是垂青有准备的人。相信经过所有人的共同努力，一定会在高考中取得骄人的成绩。

一、熟悉班情，准确定位，分层推进

进入高三以后，要让学生自己确定奋斗目标，然后我就以这个目标激励所有同学，既然有了目标，就应该付诸行动。同时，我将班上的学生分为这样几类：A.上一本的学生，虽然不多，但还是有几个；B.稳上二本可以冲击一本的学生；C.通过一年的努力有希望冲击二本的学生，班上大部分同学属于这种情况。并将这一情况反馈给科任老师，使高三的工作更有针对性，这样才可能在有限的时间内实现高效率的工作。

二、营造一个良好的文化氛围

按照我的教育理念，我把我班的班级标语设置为：难在坚持，贵在坚持，恒在坚持。通过三个坚持，来感染学生的学习氛围。同时，平时多强调这一观点，十二月底元月初，在学生学习最困难时，我提这个标语；四五月份，学生比较浮躁时，我依然提这个观点。同时在学生行动上做出要求：作业考试化，考试高考化，高考平时化。

三、互相帮助

我们在高二组建的高效学习小组如何在高三发挥小组的作用呢？我尝试调整了小组名单，增强了课代表的力量，班上有几个成绩好且认真、负责的同学也自告奋勇，一起在班上开展了互相帮助、共同提高的这样一个活动。

四、注重方法指导

高三复习一般分为三个轮次。第一轮复习中，指导学生抓牢基础知识，对复习内容及时归纳、总结，理清解题思路，养成良好的解题习惯，掌握科学的解题方法和技巧；第二轮复习，指导学生对知识进行整合，开展学习方法指导；第三轮复习，帮助学生扩大解题思路，多进行思维方法指导，增加习题量。

最后要求学生把学习中遇到的好题、难题、错题记录下来，组成错题集，多多研究。与此同时召开主题班会，请班上学得好的同学介绍学习经验，研讨学习方法

五、言传身教

用自信、乐观、向上、务实的工作作风感染学生。我要用我的自信，树立学生的自信，用我的向上激发学生的向上，鼓励学生坚持，坚持，就是胜利。鼓舞学生的积极性，增强学习的原动力，使学生们树立立志成才的决心，从而信心十足地备战高考。

高三数学教学感悟 篇4

纵观近年来新课程地区高考数学试题, “注重对数学思维过程和数学思想方法的考查”这一立意已十分明确.这不仅仅是因为通过对运用数学思想方法的能力的考查, 能深刻地考查学生的数学知识和学习潜能, 而且有助于数学新课程改革良性、科学发展, 引导中学数学教育真正回到素质教育的道路上来.然而由于“应试本位教学观”的影响, 当前在高考复习中的急功近利的浮躁作风仍较为突出, 只注重对基础知识重复强化训练, 偏重于就题论题, 忽视对思维过程的剖析, 忽视对数学思想方法的归纳与提炼的倾向仍大行其道, 使高三数学复习只停留在较低的层次上, 学生缺乏举一反三和综合分析的能力, 导致学生数学思想运用不畅, 方法生硬呆板, 解题盲目随意, 这些情况都严重影响了学生的复习效果和高考成绩.因此, 无论是从促进数学学科的复习效果, 提高学生应试能力的近期目标出发, 还是从提高学生的数学素质、促进学生自身发展的长远目标着眼, 都要求我们在平时的教学过程中, 特别是高考系统复习阶段要重视和加强对数学思想方法的提炼和渗透, 用数学思想指导数学知识和方法的学习与运用.认真合理地组织高三数学复习教学, 锤炼学生的思维, 传承数学思想, 全面提高学生解题水平、数学素养和科学应试能力, 做到“既高分, 又高能”, 以适应新课程高考的要求.笔者在设计、执教南通市高三数学观摩课《函数与方程》中感慨良多, 记述如下, 与同行共同探讨.

1 设计思路

“函数与方程”是新课标教材[1]的新增内容, 包括函数的零点和二分法.通过研读教材可以看出, 新课标教材增加本节内容的目的旨在通过函数零点与方程的根的联系, 加深学生对函数概念、函数与方程思想, 及函数这一主线在高中数学中的地位、作用的认识和理解.[2]由于二分法与算法的联系更为紧密, 将其纳入算法一章进行复习更为科学.因此, 从知识层面看, “函数与方程”这一课的复习应该是以函数零点及其判定为载体, 揭示函数零点与方程的根之间的内在联系.

江苏高考 (数学科) 考试说明在命题指导思想中明确提出:对数学基础知识的考查, 贴近教学实际, 既注意全面, 又突出重点.注重知识内在联系的考查, 注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.[3]“函数与方程”在知识点的考查要求中被列为A级要求 (了解层次) , 但其中所蕴涵的函数与方程、化归、数形结合等数学思想方法却是非常重要的, 必须加以重视.

数学是思维的科学.数学教学应当是锤炼学生思维品质的过程.因此, 让学生经历函数与方程间相互转化的思维过程, 渗透函数与方程、化归、数形结合等数学思想方法理应是本节课的“主心骨”.

基于以上三点, 笔者将本节课的复习目标确定为: (1) 了解函数的零点的概念, 了解函数的零点与方程根的联系, 理解教材 (苏教版必修1) 第75页黑体字 (函数的零点存在性判定定理) , 掌握函数零点存在性问题的判定及其运用; (2) 学会从不同角度去考虑问题, 经历函数与方程间相互转化的思维过程, 体验并理解函数与方程、化归 (等价转化) 、数形结合、猜想论证等思想 (方法) 在数学解题中的应用.

围绕上述复习目标, 为提高达成度并切实减轻学生负担, 打造高效课堂, 笔者精选例习题.反复斟酌之后, 笔者在帮助学生回顾知识点的基础上仅选用了两个小练习题和两个例题, 并以问题为载体让学生经历数学思维的过程, 进而体验并理解数学思想方法的运用, 实践证明是成功的.这与目前许多教师推崇“大容量、快节奏”的高三数学复习模式形成了强烈反差, 在有效遏制“题海战术”、减轻学生课业负担上迈出了实质性步伐, 为打造高效课堂奠定了基础.

2 教学过程

2.1 新课导入

前面我们复习了函数有关的性质及几种常见的函数, 也研究过方程有关的问题.那么, 函数与方程之间有什么联系呢?今天我们就来研究这个话题.

(板书课题) 函数与方程

2.2 知识回顾

首先, 请大家完成讲义上的要点回放1和基础训练第1题 (投影) :

片刻后, 请学生回答.师生共同总结, 发现:从数的角度看, 函数y=f (x) 的零点对应于方程f (x) =0的实数根;从形的角度看, 函数y=f (x) 的零点对应于函数y=f (x) 图像与x轴的公共点的横坐标.

(板书) 函数的零点:函数y=f (x) 的零点

⇔方程f (x) =0的实数根 (数的角度)

⇔函数y=f (x) 图像与x轴的公共点的横坐标 (形的角度) .

(设计意图:让学生通过练习巩固零点的概念, 掌握函数零点的求法, 初步体会函数零点与方程的根之间的内在联系和相互转化, 让学生学会从不同角度看问题, 渗透化归思想.)

过渡语:在数学问题中, 我们经常会遇到函数零点在给定区间上是否存在的问题.对这一类问题该如何解决呢?请大家完成讲义上的基础训练第2题 (投影) :

片刻后, 请学生回答.

生1:选①②③.

师:请您说明一下理由.

生1:对于①, 可令f (x) =x2-5x+6=0, 解得x1=2, x2=3, 显然都在区间[-1, 4]内;对于②, 由于f (1) =-1<0, f (2) =5>0, 根据零点存在性判定定理知f (x) =x3-x-1在区间[1,2]上存在零点;③可以采用与②同样的方法得到.

师:很好!在解决问题2的过程中, 我们发现:对函数在给定区间上是否存在零点的问题, 我们可以通过解方程 (如①) 或利用零点存在性判定定理 (如②③) 来解决.

(板书) 函数的零点存在性判定方法:

(1) 解方程 (2) 用定理

下面让我们再一起回顾一下函数的零点存在性判定定理 (投影) :

引导学生挖掘: (1) 定理要点:①连续、异号, ②充分条件; (2) 定理作用:判断零点的存在性 (只能得到:至少有1个零点) .从而领会判定定理的实质并能正确运用.

师:下面再请大家回过头来看一下基础训练2的②和③, 还有没有其他方法?

生2:画图.

师:具体怎么操作?

生2: (以②为例) 由f (x) =x3-x-1=0得x3=x+1, 然后令

$\{\begin{array}{l}y=x{}^3,\\ y=x+1,\end{array}$

画出两个函数的图像, 观察他们在区间[1,2]上有没有交点.③亦同法办理.

师:很好!这位同学的方法实际上是:将函数f (x) =x3-x-1零点的问题转化为方程x3=x+1的实根问题, 然后构造新的函数

$\{\begin{array}{l}y=x{}^3,\\ y=x+1,\end{array}$

再去求交点.这里, 我们通过函数转化为方程, 方程再转化为函数, 在函数与方程的不断转化中解决问题.顺便问一下, 还有没有其他解法了?

生3:利用导数求出f (x) =x3-x-1的极大值和极小值, 画出f (x) =x3-x-1=0的图像, 观察它与x轴在区间[1,2]上交点的个数.

师:很好!直接画出f (x) 的图像也能解决问题!这样, 我们又得到了函数的零点存在性的第3种判定方法——画图像.

(板书) (零点存在性判定方法) (3) 画图像

(设计意图:通过学生练习掌握零点存在性判定的常用方法, 巩固零点存在性判定定理, 渗透函数与方程、化归、数形结合等思想方法.)

2.3 例题探究

例1 设函数f (x) =x3+x2-ax, g (x) =x2-x, 若两函数的图像只有一个公共点, 求实数a的取值范围.

让学生先独立思考, 教师巡视.片刻后, 通过实物投影展示生4的解题过程.

师:下面请大家看屏幕.这位同学给出了两种方法, 我们先看第1种方法.由f (x) =g (x) , 得x3+x2-ax=x2-x有唯一解, 即x (x2- (a-1) ) =0有唯一解.显然x=0是该方程的解, 因此方程x2- (a-1) =0无解.从而由Δ<0得a<1.

师: (稍作停顿) 有没有同学有不同看法?

片刻沉默之后, 有学生举手, 笔者示意他回答.

生5:我觉得有点问题.原方程有唯一解, 对方程x2- (a-1) =0来说, 应该有两种可能:无解或解亦为零.故a≤1.

师:很好!刚才这位同学 (生4) 将两函数图像有唯一公共点的问题转化为方程有唯一解的问题, 将“形”的问题转化为“数”的问题, 思路正确!美中不足的是考虑问题不全面, 生5已经帮他解决了!

师:下面让我们再来看生4的方法2.噢, 他将f (x) 和g (x) 进行了求导, (未解完) 请你说一下:为什么要进行求导?

生4:我想画图.

师:很好的想法!这个问题本来就是研究两个函数图像交点的问题么!画图应该是很自然的想法!老师事先已经用几何画板画好了f (x) 和g (x) 的图像, 请大家看屏幕 (图1) :当a=-0.35时f (x) 和g (x) 的图像只有一个交点;当a变化时, 我们来看一下, (拖动点A, 演示函数f (x) 的图像随a值的变化而变化的情况) 大家发现什么? (让a的值在1的附近变动, 见图2)

生: (众) 当a的值在1的附近变动时, 两函数图像叠合在一起, 交点个数看不清楚.

师:大家试想一下, 用几何画板画出的图像都难以看出交点个数, 更何况徒手画的示意图!华罗庚先生有句诗:“数缺形时少直观, 形缺数时难入微.”直观、形象的函数图像有助我们审题分析, 但细微之处还须用“数”啊!

例2 (2006年浙江高考题改编) 设f (x) =3ax2+2bx+c, 若a+b+c=0, f (0) >0, f (1) >0, 求证:

(Ⅰ) a>0;

(Ⅱ) 方程f (x) =0在区间 (0, 1) 内有两个实根.

让学生先独立思考, 教师巡视.片刻后, 通过实物投影展示第1问的学生解题过程, 突出解题的目标意识和消元方法.然后和学生一起重点分析第2问.

师:第2问要我们证明:方程f (x) =0在区间 (0, 1) 内有两个实根.对这个问题, 你是怎么思考的?

生6:先考虑Δ.

$\begin{array}{l}\text{Δ}=(2b){}^2-4\times 3a\times c\\ =4(b{}^2-3ac)\\ =4[(-a-c){}^2-3ac]\\ =4(a{}^2+c{}^2-ac)\\ =4\left[\left(a-\frac{c}{2}\right){}^2+\frac{3}{4}c{}^2\right]\\ >0,\end{array}$

知方程f (x) =0有两个不等的实根.然后再证明两根都在区间 (0, 1) 内.…… (生6有点迟疑, 我示意她坐下)

师:那么, 如何证明两根都在区间 (0, 1) 内呢? (示意生7补充)

生7:由于f (0) =0, f (1) >0, 由图3, 只需证明对称轴$x=-\frac{b}{3a}\in (0,1)$.由a+b+c=0得b=-a-c, 故$x=-\frac{b}{3a}=\frac{a+c}{3a}$.由 (Ⅰ) 的证明可知a>c>0, 从而$0<\frac{a+c}{3a}<1$, 即对称轴$x=-\frac{b}{3a}\in (0,1).$

师:很好!刚才我们同学通过先证明方程f (x) =0有两个实根, 再利用对称轴和f (0) >0, f (1) >0将根限定在区间 (0, 1) 内, 分割包围、逐步推进、稳打稳扎, 终将问题 (Ⅱ) 这座碉堡拿下!这是解决数学难题的常用方法, 希望大家用心体会.

师:同学们还有没有其他方法?

生8:可以用零点存在性判定定理.

师:具体说了看看.

生8:要证明方程f (x) =0在区间 (0, 1) 内有两个实根, 也就是要证:函数f (x) 在区间 (0, 1) 内有两个零点.

师:将函数问题转化为方程问题, 很好!

生8:由于f (0) >0, f (1) >0, 只需在区间 (0, 1) 内找一个点x0, 使f (x0) <0即可.由于$\frac{1}{2}$在区间正中间, 所以我想如果能证明$f\left(\frac{1}{2}\right)<0\text{就}\text{好}\text{了}.$

师:很好!一个大胆的猜想!你能证明$f\left(\frac{1}{2}\right)<0\text{吗}？$

生8:由题意

$\begin{array}{l}f\left(\frac{1}{2}\right)=3a\left(\frac{1}{2}\right){}^2+2b\left(\frac{1}{2}\right)+c\\ =\frac{3}{4}a+b+c\\ =-\frac{1}{4}a+(a+b+c)\\ =-\frac{1}{4}a<0.\end{array}$

生8:根据零点存在性判断定理, f (x) 在区间 (0, 1) 内有两个零点.

师:请回忆一下, 零点存在性判断定理是怎么说的?

生 (众) :只能得到f (x) 在区间 (0, 1) 内至少有两个零点.

师:那如何说明f (x) 在区间 (0, 1) 内恰有两个零点呢?

生8:利用单调性.证明f (x) 图像的对称轴是$x=\frac{1}{2}$. (感觉不对) 对称轴不一定是$x=\frac{1}{2}$, 好像有问题…… (教师示意其坐下)

师:有没有同学想到办法?

(一阵沉寂)

师: (点拨) 一个二次方程最多有几个实根?

生 (同学们恍然大悟, 众) :哦!一个二次方程最多有2个实根.上面又证明了f (x) 在区间 (0, 1) 内至少有两个零点, 即f (x) 在区间 (0, 1) 内至少有两个实根, 从而f (x) 在区间 (0, 1) 内恰有两个实根.

(例题设计意图:让学生通过问题体验“形”“数”转化、函数与方程的联系和相互转化, 学会从不同角度思考问题, 并注意方法的比较和甄别.在渗透思想方法的同时提高学生的解题能力.)

2.4 反思提升

师:请大家用一句话归纳一下:通过本节课的复习, 你学到了什么?可以互相讨论.

生:函数的零点及其判定方法.

生:数形结合.

生:函数与方程的相互转化.

生:从多个角度看问题.

生:大胆猜想, 小心论证.

师:说得都很好!只有反思, 才能提升.通过这节课的学习, 能给同学们留下点什么呢?我送给大家一句话:一个概念, 两种角度, 三条途径, 四类思想 (方法) .能理解吗?一个概念是什么?从哪两种角度考虑问题?解决零点存在性问题有哪三条途径?这堂课涉及到哪四类思想 (方法) 希望同学们课后再做进一步反思, 争取有更大的收获.

另外, 准备了巩固强化 (三道填空题和一道解答题, 重在知识的巩固) 、拓展探究 (一道填空题和一道解答题, 重在思想方法的运用) 作为课后作业, 限于篇幅, 不再列出.

3 教后感悟

3.1 学生潜力无限, 需要教师用心挖掘

笔者此次执教的是南通市生源非常一般的一所江苏省三星级高中, 学生的数学基础比较薄弱.作为一所国家示范高中的教师, 平时面对的都是全县最优秀的学生, 现在突然面对数学基础比较薄弱的学生, 能不能把课上好, 我着实捏了一把汗.另外, 从教学内容看, 《函数与方程》这节课涉及的知识点非常少, 如果简单回顾知识点后就题论题, 一堂课讲练十几道乃至二十几道题目, 表面上知识目标能够达成, 但对学生数学思想方法的掌握及数学涵养的形成并无好处, 亦有悖于高效课堂的建设.因此, 笔者决定以数学思想方法为课堂主线, 通过典型问题激发学生内在的学习动力, 引导学生挖掘问题背后隐含的思想方法, 在拓展中延伸知识活化思维, 在反思中提升综合能力.在执教过程中, 大大出乎笔者意料的是, 在一堂以思想方法为主线的数学复习课上, 就是这群被视为“比较差”的学生对数学问题的见解非常独到, 能够从不同角度、不同侧面采用不同的方法解决问题.笔者感叹:学生的潜力是无限的, 需要我们用心挖掘啊!

3.2 课堂精彩生成, 源于课前精心预设

许多听课教师对本节课中多处精彩的“生成”大为赞赏.殊不知, 这堂课我先前反复打磨了许多次.虽然在正式上课前笔者只试教了一次 (而且是我校学生, 生源基础大不一样) , 但笔者通过“默思”的方法对本节课中可能出现的情形反复考虑.如基础训练的第2题原先设计了5个小题让学生辨析, 后依据零点存在性判定的3种常用方法重新设计了3个小题的判断, 既节约了时间 (让学生有更多的时间思考) 又突出重点 (体现方法) , 有利于方法的生成.例1原先只设计了函数图像交点转化为方程解的方法, 但就在上课前两小时, 笔者在默思时突然想到:如果学生想用图像来解 (虽然不可行) , 该如何解释为好?笔者思索:用几何画板画出图像, 通过改变a值的大小让学生观察图像交点的变化情况不就一目了然了?因此, 当课堂上学生用该法求解却无法得到结果时, 笔者事先准备的动态图像就派上用场了.对于例2, 教师很容易想到借助于零点存在性定理解决问题, 但对学生来说, 可能更容易从根的存在性角度考虑.因此, 笔者在设计教案时对第2种方法亦进行了仔细考虑.在课堂上当学生从根的角度考虑时, 笔者就能从容自如地“顺着”学生的思路往下走, 而不是“强扭”着学生非用第1种方法不可了.平时的教学不可能每次都试教, 如果我们能采用“默思”的方法精心预设, 不仅有利于课堂精彩生成, 提高教学效果, 亦有利于自身的专业成长.

3.3 落实减负增效, 重在精心打磨题目

数学教学离不开解题教学.数学学科落实减负增效, 首先要减轻学生过重的数学课业负担, 即在教学中要尽可能压缩题目的数量, 同时让每一道题都尽可能发挥出它的功效.为此, 需要对题目进行精心地打磨:设置这道题的目的是什么?它包含哪些知识点?通过它能体现哪些思想方法?学生可能会从哪些角度考虑?又可能会出现哪些问题?对这些问题如何解决?能否有效锤炼学生思维?题目是否需要进一步拓展?如果需要, 如何拓展?依据以上分析对其中的一些问题进行删减、重组、改编, 并将其连成线、编成网, 以充分利用好课堂的每一分钟, 在减负的同时力求高效.笔者的这节课虽然只选用了4个题目 (两道基础训练、两道例题) , 但通过上述方法精心打磨之后, 每道题都发挥出了它的应有功效, 为本节课的成功奠定了基础.

参考文献

[1]单墫.普通高中课程标准实验教科书.数学 (必修1) [M].南京:江苏教育出版社, 2008.

[2]钱珮玲.以知识为载体突出联系展现思想方法[J].数学通报, 2008, (5) .

[3]江苏教育考试院.2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷说明[M].南京:江苏教育出版社, 2009.

[4]钱军先.在活动操作中建构于问题探究中生成[J].中学数学月刊, 2010, (7) .

[5]陈唐明.和谐互动教学相长[J].数学通报, 2009, (10) .

高三感悟 (总结) 篇5

0901

炎热中我们到此，高三生活便开始。初来，则心情豪爽，意气十足，保定恒心，学业有成。

熟知，高三——一个不同的阶段。生活中跑步，我们的习惯；学习中跑步，我们的积极。题多量大日日忙，心中压郁日趋盛，我有恒心不从心，几多犹想回家去。初尝高三不习惯，月考便把积极散，本想努力朝前赶，无心却得日日玩，一考失败我心酸，十分无奈心不甘，重又努力备二考，不料刚前又复玩，本就忙于做功课，生活琐事也来烦，终将努力毁一旦，二考遂不得心愿。我本男儿不言败，失败重来新扬帆，朝准期中定凯旋。考前复习是关键，赢得时间我备战。临近期中心未急，散漫个性我专长，期考结果不用看。失败真成平日事，心中怨恨无心战。心中抑郁无处解，老师刺激又来缠，真想努力不复玩，高三生活实平淡。一切大事化小事，时间便把怨来填，我又重起备一测。师言一测诚重要，谁敢松懈又复玩。时间流逝如吃饭，转眼一测已到前，考试时间不算短，两天时间却又玩。