分步计数原理（精选3篇）
分步计数原理 篇1
排列组合是高中数学的基础内容、重点内容, 更是高考中的必考内容;它既是学习概率知识的基础, 又是学好概率知识的关键。其中, 分类计数原理与分步计数原理作为本章的开篇, 为以后学习排列组合知识起铺垫作用, 有助于学生运用分类与分步计数原理解决生活中的很多实际问题。笔者认为, 要想上好这节课, 应该注意以下几个重要环节:
一、依据教材、课标及学生情况确定教学目标
1. 知识教学:
(1) 使学生理解分类与分步计数原理的内容。
(2) 结合实际问题使学生能正确运用分类与分步计数原理解题。
(3) 根据例题的解答, 使学生明确分类计数原理即为加法原理;分步计数原理即为乘法原理。弄清两个原理的区别。
2. 能力训练:通过本节学习, 培养学生的逻辑推理能力和自主创新能力。
二、教学过程
1. 创设问题情境。首先, 教师让学生思考两个引例:
引例1:书架上分别放有5本不同的数学书, 4本不同的英语书, 3本不同的语文书, 从书架上任取一本, 有多少种不同取法?
引例2:书架上分别放有5本不同的数学书, 4本不同的英语书, 3本不同的语文书, 每科任取一本, 有多少种不同取法?
然后, 教师找学生回答两个引例的解答方法, 再由教师梳理解题思路, 明确指出引例1用分类计数原理求解, 引例2用分步计数原理求解, 从而引出本节课题。
本设计意图是通过创设问题情境, 让学生尝试自主解决问题, 进一步掌握、巩固和升华知识, 把教学引向深入。
2. 自主探究:在这一层中主要揭示分类与分步计数原理, 并巩固原理。
(1) 揭示原理:本环节再现了知识的发生、发展及形成过程。
教师分析讲解:
第一, 引例1中要完成从书架上任取一本书这件事, 要分类考虑:第一类是取数学书, 有5种不同取法。第二类是取英语书, 有4种不同取法。第三类是取语文书, 有3种不同取法。所以共有5+4+3=12种不同取法。由此引出:
分类计数原理:完成一件事, 有n类办法, 在第1类中有m1种不同方法;在第2类中有m2种不同方法;……;在第n类中有mn种不同方法。那么完成这件事共有N=m1+m2+……+mn种不同方法。并特别指出:分类计数原理又叫加法原理。
第二, 引例2中要完成从书架上每科任取一本书这件事, 要分步考虑:第一步是取数学书, 有5种不同取法。第二步是取英语书, 有4种不同取法。第三步是取语文书, 有3种不同取法。所以共有5×4×3=60种不同取法。由此引出:
分步计数原理:完成一件事, 要分成n个步骤, 做第1步中有m1种不同方法;做第2步中有m2种不同方法;……;做第n步中有mn种不同方法。那么完成这件事共有N=m1×m2×……×mn种不同方法。并特别指出:分步计数原理又叫乘法原理。
本设计意图是让学生回答自己怎样区分两个原理。同学之间互相补充, 不仅锻炼了学生分析问题的能力, 又培养了学生语言表达能力, 同时也增强了学生对两个原理的理解。最后, 老师帮学生梳理清两个原理的区别。
(2) 巩固原理:本环节主要强化基本技能训练, 培养学生良好的学习习惯, 安排例题使学生巩固所学原理。
例1:高一年级有3名三好学生, 高二年级有5名三好学生, 高一年级有6名三好学生。
问题一:从这些人中任选一人, 有多少种不同取法?
问题二:从每个年级任选一人, 有多少种不同取法?
为了帮助学生思考, 教师给出两个问题:此题的两问有什么不同?两问分别用哪个原理来解答?
本设计意图是通过这道例题解答, 使学生更好地理解和运用两个原理。
在例1的基础上, 接着让学生做例2、例3。
例2:一种号码锁, 有4个拨号盘, 每个盘上有从0到9共10个数字, 这4个拨号盘可以组成多少个四位数号码?
例3:要从甲乙丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班, 有多少种不同选法?
本设计意图是让学生自己动脑, 分析应该用哪个原理来解答。把抽象问题直观化、形象化, 有利于学生理解原理并顺利解答问题。
3. 巩固训练:
本层次分为基础训练和提高训练, 目的是让所有学生都能得到巩固和提高。通过这两组题目, 教师还要强调投信这种题型的特点, 让学生能灵活运用。
(1) 基础训练:
例题1:班内有30名男生, 20名女生。 (1) 从中任选一人, 有多少种不同选法? (2) 从男女中各任选一人, 有多少种不同选法?
例题2:从5名同学中选出正副组长各一人, 有多少种不同选法?
例题3:乘积 (a+b+c) (d+e+f+g) (k+m+n+p+q) 展开后共有多少项?
(2) 提高训练:
例题1:有4封信全部投进3个邮筒, 共有多少种不同投法?
例题2:3个班分别从5个旅游景点选一处游览, 有多少种不同选法?
例题3:在平面直角坐标系中, 横坐标与纵坐标均在A={0、1、2、3、4、5}内取值, 得到的不同点有多少个?
例题4:从1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取两个不同的数, 分别作对数的底数和真数, 共有多少个不同的对数值?
例题5:A={1、2、3}, B={a、b、c、d}, 从A到B的映射共有多少个?
本设计意图是使学生充分认识本节知识在实际生活中的应用, 并培养学生用所学知识解决实际问题的兴趣和能力。
4. 反思与回顾。
由学生陈述小结本节以下内容:分类计数原理内容;分步计数原理内容;两个原理的区别。本设计意图是通过小结, 帮助学生将新知识体系建立模型。
通过这样进行教学设计, 必能使学生深刻理解两个原理, 灵活运用两个原理解题, 为下一步学习排列组合打下坚实的基础。
以上是笔者的一些见解, 在此与同行们学习交流, 让我们为更好的提高数学课堂教学效果而努力。
分步计数原理 篇2
教学目标
①理解分类加法计数原理与分步乘法计数原理；
②会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题；
教学重点 理解两个原理,并能运用它们来解决一些简单的问题.教学难点 弄清楚“一件事”指的是什么，分清是“分类”还是“分步”.教学过程
一、引入课题
引例： ①我从二中到泗中有两量不同的马自达，三量不同的出租车可以乘坐，那么请同学们帮我算一下，我从二中到泗中有多少种乘坐交通工具的方式？ ②从我们班上50名同学中推选出两名同学分别担任班长和团支书，有多少种不同的选法？
这就是用我们这节课要研究的分类加法计数原理与分步乘法计数原理来解决问题.二、讲授新课：
1、分类加法计数原理
问题1：十一你打算从甲地到乙地旅游，假设可以乘汽车和火车.一天中，汽车有3班，火车有2班.那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种坐交通工具的方法? 有３＋２＝５种方法
探究１：你能说说以上问题的特征吗？（分析要完成的“一件事”是什么.）完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有3种不同的方法，在第2类方案中有2种不同的方法.那么完成这件事共有3+2=5种方法。一件事就是从甲地到乙地的一种乘坐交通工具的方式。
发现新知：完成一件事情，有n类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„，在第n类办法中有mn种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.（也称加法原理）知识应用
例1：（多媒体展示）在1，2，3，，200中能被5整除的数有多少个？
变式：若把例题中的5换成2其余条件不变答案是什么
可以用：10+10+10+10+10=50（分成5类）
也可以直接得到50（分成2类——奇数与偶数）分类加法计数原理特点：
分类加法计数原理针对的是“分类”问题，完成一件事的办法要分为若干类，各类的办法相互独立，各类办法中的各种方法也相对独立，用任何一类办法中的任何一种方法都可以单独完成这件事.2、分步乘法计数原理
问题2：从A村道B村的道路有3条，从B村去C村的路有2条，从C村去D的道路有3条，小明要从A村经过B村，再经过C村，最后到D村，一共有多
少条路线可以选择？
从A村经 B村去C村有 2 步, 第一步, 由A村去B村有 3 种方法, 第二步, 由B村去C村有 2 种方法, 第三步，从C村到Ｄ村有３种方法
所以从A村经 B村又经过C村到Ｄ村共有 3 ×2 ×３= １８ 种不同的方法 探究2：你能说说这个问题的特征吗？（分析要完成的“一件事”是什么.）完成一件事需要有三个不同步骤，在第1步中有３种不同的方法，在第2步中有２种不同的方法，第三步有３种不同的方法.那么完成这件事共有3 ×2 ×３= １８种不同的方法.一件事就是：从Ａ村到Ｄ村的一种走法
发现新知
分步乘法计数原理：完成一件事情，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法„„做第n步有mn种不同的方法.那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法.（也称乘法原理）
知识应用
例2：有一项活动，需在3名教师、8名男生和5名女生中选人参加.(1)若只需1人参加，有多少种选法？
(2)若需教师、男生、女生各1人参加，有多少种选法？
变式：学校准备召开一个座谈会，要在3名教师、8名男学生和5名女学生中选一名教师和一名学生参加，有多少种不同的选法？ 分步乘法计数原理的特点：
分步计数原理针对的是“分步”问题，完成一件事要分为若干步，各个步骤相互依存，完成任何其中的一步都不能完成该件事，只有当各个步骤都完成后，才算完成这件事.思考：分类加法计数原理与分步乘法计数原理有什么异同点？要注意什么问题？
相同点：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法；
不同点：分类加法计数原理分类完成一件事，任何一类办法中的任何一个方法都能完成这件事；分步乘法计数原理分步完成一件事，这些方法需要分步,各个步骤顺次相依,且每一步都完成了,才能完成这件事情。
三、课堂练习1.填空：
①一件工作可以用2种方法完成，有5人会用第1种方法完成，另有4人会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，不同选法的种数是.②从A村去B村的道路有3条，从B村去C村的道路有2条，从A村经B村去C村，不同的路线有 条.2.现有高中一年级的学生3名，高中二年级的学生5名，高中三年级的学生4名.①从中任选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
②从3个年级的学生中各选1人参加接待外宾的活动，有多少种不同的选法？
3.从甲地到乙地有2种走法，从乙地到丙地有4种走法，从甲地不经过乙地到丙地有3种走法，则从甲地到丙地的不同的走法共有 种.4.甲、乙、丙3个班各有三好学生3，5，2名，现准备推选两名来自不同班的三好学生去参加校三好学生代表大会，共有 种不同的推选方法.5.给程序模块命名，需要用3个字符，其中首字符要求用字母A～G或U～Z，后两个要求用数字1～9，问最多可以给多少个程序命名？ 6.乘积(a+b+c)(d+e+f+g)展开后共有多少项？
四、课堂小结
（１）分类加法计数原理和分步乘法计数原理的共同点是什么？不同点什么？
相同点：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法；
分步计数原理 篇3
选修2-3 1.1 分类计数原理与分步计数原理
（一）教学目标
1、引导学生归纳得出两个计数原理，初步区分“分类”与“分步”，2、掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用这两个原理分析和解决一些简单问题．
教学的重点与难点
1、归纳得出分类加法计数原理与分步乘法计数原理。
2、正确理解“完成一件事情”的含义，根据实际问题的特征，正确地区分“分步”与“分类”。
教学过程
（一）分类加法计数原理。
问题1：P2面的思考，你能说说这个问题的特征吗？
问题2：从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有2班．那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？
图1
问题3：某班级三好学生中男生有5人,女生有4人。从中任选一人去领奖, 有多少种不同的选法？ 问题4：第2面的例1 问题5：如果完成一件事情, 有三类办法, 在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法，在第三类办法中有m3种不同的方法.那么完成这件事共有多少种不同的方法？如果完成一件事情, 有n类办法,在每一类中都有若干中不同的方法，应当如何计数？
归纳：
一般地，有如下原理：（出示投影）
分类计数原理
完成一件事，有类办法，在第1类办法中有m1种不同的方法，在第2类办法中有m2种不同的方法，„，在第n类办法中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法． 注意：分类适当不重不漏。
（二）分步乘法计数原理
问题6：从甲地到乙地，要从甲地选乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地．一天中，火车有3班，汽车有2班．那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法（如图2）？
图2
这个问题与前一个问题不同．在前一个问题中，采用乘火车或汽车中的任何一种方式，都可以从甲地到乙地；而在这个问题中，必须经过先乘火车、后乘汽车两个步骤，才能从甲地到乙地．
这里，因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以乘一次火车再接乘一次汽车从甲地到乙地，共有3×2＝6种不同的走法．
问题7：见教材P3面的思考。你能说说这个问题的特征吗？
归纳；完成一件事，需要分成两个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法
长沙市第一中学高二数学备课组
选修2-3 那么完成这件事共有m1×m2种不同的方法。
问题8：完成一件事，需要分成3个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，做第3步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有多少不同的方法？如果完成一件事情, 需要有n个步骤做每一步都有若干中不同的方法，应当如何计数？ 于是得到如下原理：（出示投影）
分步计数原理落千丈 完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，„，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有Nm1m2mn种不同的方法．
问题8：分类计数原理与分步计数原理有什么不同？
分类计数原理与分步计数原理都是涉及完成一件事的不同方法的种数的问题，共同点是：它们都是研究完成一件事情, 共有多少种不同的方法。
它们的区别在于：
分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事； 分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
（三）举例应用 例1.第4面的例2 例2．一种号码锁有4个拨号盘，每个拨号盘上有从0到9共10个数字，这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码？ 例3．要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？ 例4.教案第4面的例1 例5.教案第4面的例2
（四）课堂练习
1.教科书第6面的第1，3题
2．（1）将4个信封投入3个不同的邮筒，有多少种不同的投法？
34（2）4位同学参加3项不同的竞赛，每人限报一项，有多少种不同的报法？
34（3）4位同学参加3项不同的竞赛，每项限报一项，有多少种不同的报法？
43（4）4位同学去3人参加3项不同的竞赛，每人限报一项，有多少种不同的报法？
4×3×2 3．某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯，问从1楼到5楼共有多少种不同的走法？
解：由于1、2、3、4层每一层到上一层都有3处楼梯，根据分步计数原理N3333381
（五）课堂小结
1、分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分步解决或分类解决，2、“合理分类”要全面, 不能遗漏;但也不能重复、交叉;“类”与“类”之间是并列的、互斥的、独立的，3、“准确分步”程序要正确。“步”与“步”之间是连续的,不间断的,缺一不可;但也不能重复、交叉;
4、在运用“加法原理、乘法原理”处理具体应用题时,除要弄清是“分类”还是“分步”外,还要搞清楚“分类”或“分步”的具体标准。在“分类”或“分步”过程中,标准必须一致,不重复、不遗漏
（六）课后作业