化归解题法

2024-07-26

化归解题法（共7篇）

化归解题法篇1

一、特殊与一般的转化

转化公式, 如果B是A的推广, 就是一般向特殊转化, 如果B是A的限定或特殊情况就叫一般向特殊转化。

1. 特殊向一般转化。

相对一般而言, 特殊的事物更为简单直观, 容易被人接受。当一般问题难以解决时, 可先由特殊问题开始讨论, 得出结论再过度到一般结论。

对于选择题用特殊值法进行验证, 体现了一般向特殊的转化。

2.一般向特殊转化。特殊蕴于一般之中, 特殊值法体现了一般向特殊转化。

二、正与反的转化

任何事物都是对立统一的, 大部分重要概念是成对出现, 相互依存。因此化归中一项主要的策略叫“正难则反”, 即正面难以突破可以从反面考虑。

反证法常称作Reductio ad absurdum, 是拉丁语中的“转化到不可能”, 反证法是寻求使结论反面成立的必要条件, 导致矛盾, 从而证明原结论成立的一种证题法。反证法解题的思路要证命题P→Q成立。

判定P→Q是否难成立;

如果难证则考虑Q, 并把Q并入条件P;

由P∧Q, 推出一个矛盾, 否定Q, 推出Q成立。

三、数与形的转化

数形结合的观点是研究数学的一个基本观点。数与形结合使抽象的数量关系通过几何图形的性质反映出来, 使抽象的概念关系得以形象化, 从而有利于分析求解。数与形之间的转化有两种, 一种是形转至数, 解析几何属于这一形态;另一种是数转至形。其特点是根据问题的特点, 对某种特殊命题赋予几何意义, 构造出相应的几何图形, 然后把原有问题化归到利用这个图形来解决。

函数的图象是函数对应规律的几何表示, 利用图象可以直观简单地看出函数的性质, 根据需要作出函数的图象, 以形助数, 是研究函数问题的重要方法。

四、代换

代换又称换元, 是当问题的条件与结论不易直接找出联系时, 为了沟通已知与未知的联系, 采取引入新“元” (一个或几个参变量) 代替原来的变元。实行这种“变量代换”后, 揭开问题的实质, 找到已知与未知的关系, 明确解题的方向。这是代数思想的升华, 可以沟通不同的数学式子, 是降次或换元的常用方法。

1. 整体代换。

解分析x=1/2[ (x+) 1+ (x-1) ]

2. 局部代换。

局部代换的关键在于选好相对独立的部分, 这样可化一难为两易。

3. 技巧代换。

这类代换除了把代换部分作整体对待之外, 还要充分运用被代换部分赋予代换元的特殊功能, 这类代换有比值代换、均值代换, 三角代换、常数代换等。

不难看出, 划归解题法有很多简便之处, 值得我们数学教育工作者深入探究。

解题法宝之化归思想篇2

关键词：化归思想,化归原则

“化归”是转化和归结的简称,是数学解题中的一种重要的思想方法,是一种把待解决或未解决的问题A,通过某种转化手段归结到一类已经能解决或比较容易解决的问题B中去,最终求得问题解答的数学思想.用框图可直观表示,如图1所示.

数学作为最重要的基础学科,为其他科学提供了语言、思想和方法,是一切重大科学技术发展的基础.学习数学不仅要注重数学知识,更需学会数学思想.新课程标准下的数学教学要求必须培养学生的数学思想.化归思想能提高学生的学习兴趣,让学生进行有意义的数学学习,对形成有序的知识链,把数学知识内化为自身的认知结构及提高迁移能力有着极其重要的作用,并将化归思想运用于社会生活中;化归思想作为中学数学中的一种重要的思想方法对培养学生的思维能力和数学品质方面有重要的作用.

中学数学解题中,化归思想的运用尤为常见.利用化归方法,将复杂抽象的问题直观化、简单化,有效提高学生的学习兴趣,提升了数学问题的解答效率.为了在解题过程中有效快速地实现化归,不能盲目进行,应遵循如下基本原则.

一、化复杂为简单的原则

“化归”应朝着目标简单的方向进行,即复杂的难于解决的问题应向简单的易解决的问题转化.“简单”包括问题结构形式的简单和问题处理方法的简单.通过解决简单问题从而达到解决复杂问题的目的,或获得某种解题的启示和依据.

例1已知x3+x-1=0,求x4+x3+x2+2016的值.

分析根据题目特征,可将x4+x3+x2+2016构造成x3+x-1形式,整体带入,则使问题简单化.

解原式=x(x3+x-1)+(x3+x-1)+1+2016=2017.

二、统一性原则

化归应朝着使目标问题在表现形式上趋于和谐,在量、形关系方面趋于统一的方向进行,使问题的条件和结论表现得更匀称和恰当,以帮助我们去确定解决问题的方法.

例2已知,如图2所示,图中C,D是半圆上的三等分点,半圆半径为3 cm.求阴影部分面积.

分析图2中阴影部分为不规则图形,怎样求圆中不规则图形的面积?那就需化不规则图形(图2)为规则图形(图3).通过求得规则图形的面积从而得到原求解面积.

解如图所示:

∵C,D是半圆上的三等分点,

图2中阴影部分面积=S△ACD+SCD)=S△OCD+SCD)=S扇形OCD,

∴图2中阴影部分面积为1.5πcm2.

三、抽象问题具体化原则

在分析和解决问题过程中,应尽可能将抽象的问题向具体的问题转化,使其中较复杂的数量关系更容易理解和把握.该原则常见的体现方式为数形结合解题思想.数形结合是把函数、方程、不等式等代数形式中的量与量的关系,同几何图形的位置关系相结合,以形论数或以数论形.因数能入微,形可直观,二者结合起来能使隐含的条件明显化;使抽象的概念形象化;使繁杂的运算简捷化;可以灵活、直观地解决问题.

分析欲求四边形ABCD的面积,先在同一坐标系中把它的图像画出,如图4,由于直接求不易得出,可把四边形ABCD分成△ABD和△BCD来求.

解在直线y1=2x+4中,

当x=0时,y1=4,

所以A点坐标为(0,4),

当y1=0时,x=-2,

所以B点的坐标为(-2,0);

当x=0时,y2=-3,

所以C点坐标为(0,-3).

当y2=0时,x=6,

所以D点的坐标为(6,0).

函数图像如图4.

四、标准化原则

一些问题的解决,往往通过将待解决问题向该类问题的标准形式化归,然后利用已有的模式解题.

综上所述,运用化归思想解题的方法是中学数学解题过程中的重要方法,有助于我们对数学题关键点进行剖析,挖掘数学题目的本质,从而达到解决问题的目的.所以,在教学过程中,应运用化归思想指导教学,并不断向学生渗透化归思想,并指导他们灵活运用该思想进行解题.学习数学重要的是学习思想,一种数学思想方法何尝不是生活中的一种做事方法.在教学中注重学生数学思想的培养,不断提高学生的数学素养至关重要.

参考文献

[1]陈传理,张同君.竞赛数学教程[M].北京:高等教育出版社,2005.

[2]蒋亦东.化归方法对构建数学认知结构的作用及教学对策[J].杭州师范学院学报,1997.

[3]彭启科.化归思想方法探讨[J].科教论坛,2006.

[4]许彩琴.化归—数学思想方法的灵魂[J].数学有数,2005.

数学解题中的化归思想篇3

一、化归的基本思想

“化归”就是转化与归结的简称.化归方法是数学上解决问题的一般方法，其基本思想是：在解决问题数学问题时，常常将有待解决的问题P，通过某种转化手段，归结为另一个问题Q，而问题Q是一个相对比较容易解决或者已有明确解决方法的问题，且通过对问题Q的解决可以联想到问题P的解决.用框图可以直观表示如下：

其中，问题P常被称作化归对象，问题Q常被称作化归目标或方向，其转化的手段也就被称作化归途径或者化归策略.

二、化归的基本原则

在处理数学问题的过程中，常将有待解决的陌生、不熟悉的问题通过转化，将它归结为一个或几个比较熟悉或者比较简单的问题来解决.这样就可以充分运用我们已有的知识、经验与方法来帮助我们处理和解决问题;将抽象的问题转化为具体直观的问题;将复杂的问题转化为简单的问题;将一般性的问题转化为直观的特殊的问题;将实际的问题转化为数学问题;将不同数学分支的知识相互转化，较多见于平面与空间、解析与三角、代数与几何，等等，从而使问题易于解决.

三、化归的基本类型

1. 常量与变量的转化

在处理多变元的数学问题时，可以选取原来是常量或参数看做“主元”，而把原来的变元看做“常量”，从而简化其运算的策略.

例1.已知方程ax2+2 (2a-1) x+4a-7=0中，a为正整数，问a何值时，原方程至少有一个整数根.

分析:若采用方程求根公式来讨论x的整数值, 显然十分复杂.在原方程中, x是变元, a是参数, 不妨把a与x的位置换一下, 把a看做变元, x看做参数来处理.

解：将原方程以a作变元，重新整理，得

显然，当x=-2时， (1) 式不成立.因此，有

若要a为正整数，则须2x+7≥(x+2) 2

解得-3≤x≤1 (x∈Z, x≠-2)，因此x只能在-3，-1, 0, 1中取值.分别代入 (2) 式中即知，仅当x=-3, x=-1和x=1时能使a为正整数，此时分别有a=1和a=5，即当a为1或5时原方程至少有一个整数根.

2. 数与形之间的转化

数与形是数学的两个主要研究对象，通过数与形的转化，可以利用数量关系的讨论来研究图形的性质，也可以利用几何图形直接地反映函数或方程中变量之间的关系.

分析：本题的难点在于根号难以处理，若使用单纯换元法难以奏效.结合直线的斜率的几何意义，可以构造半圆来处理根号.

, 于是所求y的值域就是求定点A (1, -2) 与半圆即 (x-2) 2+y2=1 (y≥0且x≠1) 上的动点P (x, y) 所确定的直线PA的斜率的范围.由图1知直线PA的A (1, -2) 斜率为[1, +∞) , 即f (x) 的值域为[1, +∞) .

3. 一般与特殊的转化

若要处理的数学问题从正面不易找到着手点时，一般性难以解决的问题，可以考虑从特殊性的问题来解决;反过来，特殊性难以解决的问题，也可以考虑从一般性的问题来解决.

分析：本题可以直接算出f (n+1)与f (n)，再算出f (n+1) -f (n的结果也是行得通的，只是较麻烦.考虑f (n)对所有的自然数都成立，故只取特殊值检查即可.

解:取n=1, 则有显然只有, 因此选D.

4. 相等与不相等之间的转化

相等与不相等是两个不同意义的概念，在一些特定的条件下是可以互相转化的，这些转化可以使原问题变得简单.

例4.若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是______.

分析：结论要的是关于ab的，而条件给的是a+b的关系，因此需要把a+b转化为ab的关系.联想到均值不等式，将原等式转化为不等式处理.

解：由a、b为正数，知

又由已知ab=a+b+3，所以

解得 (不符合平方根的意义, 舍去) ,

∴ab≥9, 即ab的取值范围是[9, +∞) .

5. 实际问题与数学模型的转化

这种思想，实质上是数学建模的思想.数学建模的关键是如何将实际问题转化为一个数学问题，从而解决它.需要具有一定的文字阅读能力、理解能力，对数学知识的应用能力.

例5.经市场调查，某商品在近100天内，其销售量和价格均是时间t的函数，且销售量近似地满足关系，在前40天内价格为，在后60天内价格为，求这种商品的日销售额的最大值(近似到1元).

分析：由于在实际中，销售额=销售量×价格，因此可以建立函数关系式.

解：前40天内日销售额S为：

∴当t=10或t=11时, S最大=808.5≈809

后60天内日销售额为:

∴当t=41时，S最大=714

综上所述, 当t=10或t=11时, S取得最大值, 且S最大≈809.

答:第10天或第11天日销售额的最大值为809元.

6. 各数学分支之间的相互转化

中学的数学分支较多，虽然知识点各有不同，但它们之间却有很多联系，因此，把数学的各个分支相互转化是一个重要的解题策略.比如说立体几何中问题，有很多都是转化为其他分支的知识来解决的.

例6.如图2，在三棱锥S—ABC中，∠SAB=∠SAC=∠ACB=90°，

(1)求证：SC⊥BC;

(2)求侧面SBC与底面ABC所成的二面角大小;

(3)求异面直线SC与AB所成的角的大小.

分析：立体几何中的线线、线面、面面的位置关系大都可以通过转化，由此建立它们的相互关系，从而使问题得到解决.

证明：(1)由已知∠SAB=∠SAC=90°，知SA⊥SB, SA⊥AC.显然AB与AC相交于点A，所以有直线SA⊥平面ABC.由于，即有BC⊥AC，由三垂线定理，可得SC⊥BC.

(2) ∵BC⊥AC, SC⊥BC

∴∠SCA是侧面SCB与底面ABC所成的二面角的平面角.

在直角三角形SCB中，由，得

在直角三角形SAC中，由AC=2, SC=4，得

所以，侧面SBC与底面ABC所成的二面角大小为

(3)如图3，过点C作CD∥BA，过点A作BC的平行线，交CD于D，连接SD，则∠SCD是异面直线SC与AB所成的角，又四边形ABCD是平行四边形.

所以，SC与AB所成的角的大小为.

数学教育和素质教育所提倡的“过程教学”中的“过程”指的是数学概念、公式、定理、法则的提出过程、知识的形成发展过程、解题思路的探索过程、解题方法和规律的概括过程.只有在平时的学习中注意了这些“过程”，才能提高自己独立解决问题，自主获取知识，不断探索创新的能力;也只有利用所学数学知识去探求新知识领域，去研究解决实际问题，才是数学教学与学习的最终目的.

参考文献

[1]钱佩玲, 邵光华.数学思想方法与中学数学.北京:北京师范大学出版社.

化归与转化思想解题的基本途径篇4

化归与转化的原则是:将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易知的易解的或已经解决的问题;将抽象的问题转化为具体的直观的问题;将复杂的问题转化为简单的问题;将一般性的问题转化为直观的特殊的问题, 将实际问题转化为数学问题, 使问题便于解决.一般运用化归与转化的思想解题有以下的途径:

一、借助函数进行转化

例1 设a, b, c∈R., 且它们的绝对值不大于1, 求证ab+bc+ca+1≥0

分析直接证明比较困难, 观察不等式的结构特点, 构造函数f (a) = (b+c) a+bc+1, 该题则转化为证明当|a|≤1时, f (a) ≥0恒成立, 然后用一次函数的性质来完成证明.

证明设关于a的函数f (a) = (b+c) a+bc+1, 由题设知-1≤a≤1, -1≤b≤1, -1≤c≤1.

(1) 若, 则a+c≠0是f (a) 关于a的一次函数.由于f (1) =b+c+bc+1= (b+1) (c+1) ≥0, f (-1) =- (b+c) +bc+1= (1-b) (1-c) ≥0, 由一次函数f (a) 的单调性知, 当|a|≤1时f (a) ≥0成立, 即ab+bc+ca+1≥0.

(2) 若b+c=0, 则f (a) =-b2+1≥0.

综上可知, 总有ab+bc+ca+1≥0

二、借助方程进行转化

例2 在ΔABC中, sinA≠sinB, 且 (sinC-sinA) 2-4 (sinA-sinB) (sinB-sinC) =0

求证:undefined

证明由于sinA≠sinB, 构造二次方程

(sinA-sinB) x2+ (sinC-sinA) x+ (sinB-sinC) =0

由条件Δ=0, 所以方程有两个相等的实根1. 由韦达定理得:undefined

所以undefined

所以undefined, 所以undefined即undefined

点评看到这个题, 自然会想到直接将条件进行变形, 那么就会相当复杂.而借助于二次方程并利用韦达定理, 很快得到熟悉的等式2sinB=sinA+sinC, 从而使问题得到解决, 方法比较独特.

三、借助特殊的数与式的结构进行转化

例3 若α、β、γ均为锐角, 且满足cos2α+cos2β+cos2γ,

求证:undefined

证明由题设条件, 易联想到长方体的一条对角线与一个顶点上的三条棱所成角的余弦的平方和为1, 于是以a, b, c为长、宽、高构造长方体AC1, 设对角线AC1与棱AD, AB, AA1所成的角分别为α、β、γ, 则undefined, 同理可得undefined三式相乘得undefined.

四、借助几何图形进行转化例4 已知α, β, γ满足cosα+cosβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0, 求证:

cos3α+cos3β+cos3γ=3cos (α+β+γ) ,

sin3α+sin3β+sin3γ=3sin (α+β+γ) ,

分析观察条件与结论的结构, 可置于单位圆内处理, 故引入单位圆, 并设单位圆上三点A (cosα, sinα) 、B (cosβ, sinβ) 、C ( (cosγ, sinγ) , 于是可知ΔABC的外心为坐标原点.

证明设A (cosα, sinα) 、B (cosβ, sinβ) 、C (cosγ, sinγ) , 于是可知ΔABC的外心为坐标原点.

又设G (x, y) 为ΔABC的重心, 则undefined

因此G也为坐标原点, 它与ΔABC的外心重合, 所以ΔABC是正三角形.

所以undefined

化归思想在数学解题中的应用篇5

实际问题数学化：就是通过画图、列方程、构造函数等手段将实际问题转化为数学问题予以解决

例1：某轮船公司每天中午都有一艘轮船从哈佛开往纽约，并且每天的同时也有一艘轮船从纽约开往哈佛，轮船在途中所花的时间来去都是7昼夜，而且都是匀速航行在同一航线上.问今天中午从哈佛开出的轮船在开往纽约的航行中，将遇到几艘同一公司从对面开来的轮船?

解：根据题意作如下图解

这是一个无字的证明，我们用向右下方倾斜的直线表示从纽约开来的轮船，用向右上方倾斜的直线表示从哈佛开出的轮船，于是问题就化归为这两种直线有多少个交点的问题.答案一目了然，有15个交点，因此会遇到15艘轮船.甚至从图上我们还能够看出每一艘轮船的相遇时间.

数学问题原型化：即将问题赋予一定的几何意义或实际背景，运用数形结合进行求解

例2：设x>0,y>0,z>0.求证：

证明：注意到x>0,y>0,z>0，且，此式表示以x,y为边，夹角为60°的三角形的第三边.同理，也有类似的意义.因此构造如右图所示的多面体O-ABC，使∠AOB=∠BOC=∠COA=60°.设OA=x,OB=y,OC=z.则由在△ABC中有AB+BC>AC，即证得题设不等式成立.

数学问题等价化：即改变问题提法，把原问题转化为一个易于解决的等价命题来求解

等价转化是把未知解的问题转化到已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.它通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题.

例3：证明范德蒙恒等式

构造等价命题：甲班有n名学生，乙班有m名学生，从两班中选出名学生参加竞赛，问有多少种选法?

解法一：不考虑学生来自哪个班级，相当于从m+n名学生中选出k名学生，所以有Ckn+m种不同的选法.

解法二：如下表所示

即考虑学生来自哪个班级，则共有种不同的选法.

以上两种解法的结果相等，故范德蒙恒等式得证.

化归方法在高中数学解题中的应用篇6

一、化归方法具有的特点

1. 化归方法的多向性. 为了将复杂的问题进行化归,可以对问题的条件进行变更,也可以对问题的结论进行变更,或者对问题的内部结构或外部结构进行变更,方向是多样的. 例如在求图形的面积时用到的割补法,就是对问题的条件进行变更; 而数学中的反证法就是通过变更问题的结构来进行证明.

2. 化归方法的重复性. 在解决数学问题时,可以多次使用化归方法,直到问题变得规范化、模式化、简单化,这就体现了化归的重复性. 比如将式子进行变形,并提取公因式使式子可以利用平方差公式,这就是化归方法的重复性.

3. 化归方法的层次性. 划归方法能够在宏观上沟通数学中分支学科之间的联系以实现学科之间的转化,又能够在微观上调动各种技术和方法来解决具体的问题,比如在求函数y =sinxcosx + sinx + cosx的最值这道题中,就体现出了化归方法的层次性. 下面是这道题的解题过程:

可以看出,这道题在解题的过程中通过代换的方法,将三角函数求解最值的问题转换成了二次函数的最值问题,将问题变得简单.

二、化归方法的实施途径

1. 分割法. 这个方法就是将问题分割成几个部分,并将它们进行重新的组合,从这个新问题下手来解决问题. 其过程如图2.

2. 恒等变形法. 这个方法就是把问题变成与它相同或者说“等价”的问题,把未知推向已知. 比如解一元二次方程时用到因式分解的方法,解三角方程时用到三角函数的恒等变形等等,都是用到了这一方法.

3. 映射法. 这个方法是指在两个数学的集合或者两个数学对象之间建立起的某种对应关系,通过这个关系来求解( 如图3) . 这个方法已经被广泛地运用在了数学学科的各个领域,在每一种解题方法中都能看到它的影子,所以非常重要,有利于学生建立起数学的认知结构.

三、化归方法在高中数学中的教学研究

就目前来看,对化归方法的教学还是只停留在了培养学生的化归意识上,至于这种转化是如何完成的,学生只有依靠自己的数学基础和经验,这样就一直没能取得良好的效果,也在很大程度上打消了学生的学习积极性,也对数学的教学质量有很大的影响. 为了改变这样的情况,就必须对化归方法的教学进行研究.

1. 巩固学生的数学基础,完善数学的知识结构. 有大部分的学生之所以无法很好的运用化归方法,就是因为他们的数学基础较为薄弱,无法形成数学思维,在解题时不知道该从哪个角度破题. 所以数学教师要重视对学生基础的教学,对于数学中的概念、定义、公式等的教学不要一掠而过. 其次,要帮助学生养成总结的好习惯. 这就能让数学基础薄弱的孩子完善自己的知识结构,有利于他们在解题时找到思路. 所以在平时的学习中,教师要带领学生进行单元知识的小结,并要求学生自己找出单元与单元之间的知识联系,可以让学生画出知识的结构示意图,或者是列出知识表. 经过一定时间的训练,学生就能够形成良好的习惯,在学完一个单元他们就会自己进行总结了.

2. 重视培养学生的数学思维. 数学思维的形成对于学生学习数学是非常重要的,而高中数学解题中,分析比解决问题更重要,这也是化归方法的教学难点,很多学生难就难在了分析的过程中,他们找不到方向,这就是因为他们没有形成数学思维. 所以,为了突破这个难点,教师在教学中要重视对学生数学思维的锻炼和培养,让他们在分析问题的过程中提高自己的数学思维能力.

化归解题法篇7

一、“数”与“形”的相互转化

“ 数” 与 “ 形” 反映了事物两方面的属性, “ 数缺形时少直观, 形少数时难入微”, 数与形的相互转化、相互联系, 体现了数学是一个有机整体.数形结合能把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来.因此, 教师应努力探索, 引导学生通过“数”与“形”的相互转化, 探索出一条合理而乘势的解题途径, 消除学生的困惑, 培养学生的数学能力.如笛卡尔通过建立坐标系, 确定了平面上的点与有序实数对的一一对应关系, 把几何问题转化为代数问题, 由此我们可以把判断点P (6, 3) 是否在抛物线上的问题, 变成判断是否是方程的解;求直线与双曲线的交点问题, 变成求方程组解的问题.

二、生疏向熟悉转化

数学题目成千上万, 我们不可能全部做遍, 但我们可以通过一定量的练习, 掌握它们的解法, 这样就拥有了会解大量数学题的能力.解题能力实际上是一种创造性思维能力, 这种能力的关键是能否细心观察, 运用过去所学的知识, 将生疏问题转化熟悉问题.因此教师应深刻挖掘量变因素, 将教材中抽象的知识利用学过知识, 加工到使学生通过努力能够接受的水平上来, 收到事半功倍的效果.如我们学习有理数的运算是先学加法运算, 而减法运算是通过化归成已学习的加法来运算.同理, 把除法运算转化为熟悉学过的乘法运算等.

又如把若干个人之间握手总次数 (单握) 称为 “握手问题”, 那么像无三点共线的n个点之间连线; 共端点射线夹角 (小于平角的角) 个数;一条线段上有若干个点形成的线段的条数;足球队之间单个循环比赛场次等问题都可转化为“握手问题”.

三、复杂向简单转化

数学解题的过程是分析问题和解决问题的过程, 对于较难 (繁) 的问题, 可以通过分析, 将问题转化成几个难度与学生的思维水平同步的小问题, 再根据这几个小问题之间的相互联系, 以局部知识的掌握为整体服务, 从而找到解题捷径.例如, 求解二元一次方程组、一元二次方程时运用“未知向已知转化”的方向, 把“多元问题”转化为“一元问题”、把“二次问题”转化 (降次) 为“一次问题”;解分式方程时, 通过去分母, 把“分式方程”转化为 “整式方程”, 实现从 “复杂向简单”的转化.

四、一般向特殊转化

从特殊到一般, 从具体到抽象是研究数学的一种基本方法.在一般情况下难以发现的规律, 在特殊条件下比较容易暴露.而特殊情况下得出结论、方法也往往可以推广到一般情形.所以特殊和一般之间的转化可以用来验证命题的正确性, 探索解题途径.

例:如图, 梯形ABCD中, AD∥BC, AB=CD, 对角线AC、BD相交于O点, 且AC⊥BD, AD=3, BC=5, 求AC的长.

分析:过D作DE∥AC交BC的延长线于E, 则得AD=CE, AC=DE.所以BE=BC+CE=8, AC=4.此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形转化为直角三角形和平行四边形, 使问题得以解决.

五、生活向数学转化

《新课标》指出:“数学是人们生活、劳动和学习必不可少的工具, 能够帮助人们处理数据、进行计算、推理和证明, 数学模型可以有效地描述自然现象和社会现象.”重视数学知识的应用, 加强数学与实际的联系.在解决实际问题时, 要重在分析, 把实际问题转化为数学模型, 培养学生应用数学知识解决实际问题的能力.

例: (2010中考题) 某市政府大力扶持大学生创业.李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现, 每月销售量y (件) 与销售单价x (元) 之间的关系可近似地看作一次函数:y=-10x+500.

(1) 设李明每月获得利润为w元, 当销售单价定为多少元时, 每月可获得最大利润?

(2) 如果李明想要每月获得2000元的利润, 那么销售单价应定为多少元?

(3) 根据物价部门规定, 这种护眼台灯的销售单价不得高于32元, 如果李明想要每月获得的利润不低于2000元, 那么他每月的成本最少需要多少元?

分析: (1) 要解决每月可获得最大利润问题, 也就是把实际问题转化二次函数的极值问题.

(2) 要解决 “每月获得2000元的利润, 那么销售单价应定为多少元? ”问题, 即转化为列一元二次方程解应用题问题 (x-20) · (-10x+500) =2000.