函数表达式

函数表达式（共7篇）

函数表达式 篇1

同学们在学习函数时, 由于函数概念比较抽象, 学习起来感到非常棘手, 特别是对解有关函数表达式的问题感到困难, 学好这部分知识, 能加深同学们对函数概念的理解, 更好地掌握函数的性质, 培养同学们对函数理解的灵活性, 提高解题能力, 优化学生数学思维素质.现将常见解法总结如下:

1.待定系数法

先确定函数类型, 设定函数关系式, 再由已知条件, 定出关系式中的未知系数.

例1 已知f (x) 为二次实函数, 且f (x+1) +f (x-1) =x2+2x+4, 求f (x) .

解 设f (x) =ax2+bx+c, 则

f (x+1) +f (x-1) =a (x+1) 2+b (x+1) +c+a (x-1) 2+b (x-1) +c=2ax2+2bx+2 (a+c) =x2+2x+4.

$\begin{array}{l}\text{比}\text{较}\text{系}\text{数}‚\text{得}\{\begin{array}{l}2(a+c)=4‚\\ 2a=1‚\\ 2b=2\end{array}\Rightarrow a=\frac{1}{2}‚b=1‚c=\frac{3}{2}.\\ \therefore f(x)=\frac{1}{2}x{}^2+x+\frac{3}{2}.\end{array}$

2.换元法

即用中间变量表示原自变量x的代数式, 从而求出f (x) , 这也是证明某些公式或等式常用的方法, 此解法培养学生解题的灵活性及变形能力.

例2 已知$f\left(\frac{x}{x+1}\right)=2x+1$, 求f (x) .

$\begin{array}{l}\text{解}\text{设}\frac{x}{x+1}=u,\text{则}x=\frac{u}{1-u}.\\ \therefore f(u)=2\frac{u}{1-u}+1=\frac{2-u}{1-u}.\\ \therefore f(x)=\frac{2-x}{1-x}.\end{array}$

3.拼凑法

在已知f (g (x) ) =h (x) 的条件下, 把h (x) 拼凑成以g (u) 表示的代数式, 再利用代换即可求f (x) .此解法简捷, 还能进一步复习代换法.

例3 已知$f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x{}^3+\frac{1}{x{}^3}$, 求f (x) .

$\begin{array}{l}\text{解}\because f\left(x+\frac{1}{x}\right)=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x{}^2-1+\frac{1}{x{}^2}\right)\\ =\left(x+\frac{1}{x}\right)\left[\left(x+\frac{1}{x}\right){}^2-3\right]‚\end{array}$

$\begin{array}{l}\text{又}\because \left|x+\frac{1}{x}\right|=|x|+\frac{1}{|x|}\ge 1‚\\ \therefore f(x)=x(x{}^2-3)=x{}^3-3x‚(|x|\ge 1).\end{array}$

4.利用函数性质法

主要利用函数的奇偶性, 求分段函数的解析式.

例4 已知y=f (x) 为奇函数, 当x>0时, f (x) =lg (x+1) , 求f (x) .

解 ∵f (x) 为奇函数,

∴f (x) 的定义域关于原点对称, 故先求x<0时的表达式.

∵-x>0,

∴f (-x) =lg (-x+1) =lg (1-x) .

∵f (x) 为奇函数,

∴lg (1-x) =f (-x) =-f (x) .

$\begin{array}{l}\therefore \text{当}x<0\text{时}‚f(x)=-\lg (1-x).\\ \therefore f(x)=\{\begin{array}{l}\lg (1+x),x\ge 0,\\ -\lg (1-x),x<0.\end{array}\end{array}$

5.赋值法

给自变量取特殊值, 从而发现规律, 求出f (x) 的表达式.

例5 设f (x) 的定义域为自然数集, 且满足条件f (x+1) =f (x) +f (y) +xy, f (1) =1, 求f (x) .

解 ∵f (x) 的定义域为N, 取y=1, 则有f (x+1) =f (x) +x+1.

∵f (1) =1,

∴f (2) =f (1) +2, f (3) =f (2) +3, …, f (n) =f (n-1) +n.

$\begin{array}{l}\text{以}\text{上}\text{各}\text{式}\text{相}\text{加}‚\text{有}f(n)=1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}‚\\ \therefore f(x)=\frac{1}{2}x(x+1)‚(x\in \mathbf{{\rm N}}).\end{array}$

确定一次函数表达式的常见类型 篇2

例1 已知函数y＝（m－3）xm－2＋3是一次函数，则其解析式为_______。

分析 由一次函数定义，x的系数不为0，x的次数应为1。

解 由题意知m-2=1，m-3≠0。解得m=±3，m≠3。所以m＝－3，故一次函数的解析式为y＝－6x＋3。

点评 利用定义求一次函数y＝kx＋b解析式时，要保证k≠0，且x的次数为1。如本例中应保证m－3≠0且m－2＝1。

例2 （2011年广东省茂名市中考题）某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费。分别写出甲、乙两厂的收费y甲（元）、y乙（元）与印制数量x（本）之间的关系式。

分析 题目隐含的数量关系为：甲印刷厂收费＝制版费＋每本印刷费×本数，乙印刷厂收费＝每本印刷费×本数。

解 y甲＝x＋500，y乙＝2x。

点评 找到因变量与自变量之间的数量关系是解题的关键。

例3 已知一次函数y＝kx－3的图像过点A（2，－1），则这个函数的解析式为________。

分析 本题中只有一个需求的系数k，只需将点A（2，－1）代入建立方程求解。

解 因为一次函数y＝kx－3的图像过点A（2，－1），所以－1＝2k－3，即k＝1。

故这个一次函数的解析式为y＝x－3。

点评 本例中已经知道b，只有一个未知系数k，故只要一个条件，就可以确定其函数的解析式。

例4 （2011年浙江省湖州市中考题）已知：一次函数y＝kx＋b的图像经过M（0，2）、N（1，3）两点。（l）求k、b的值；（2）若一次函数的图像与x轴的交点为A(a，0)，求a的值。

分析 因为图像经过点M、N，则点M、N的坐标满足函数解析式，把点M、N的坐标分别代入解析式构造方程可得。

解 （1）依题意得b=2，k+b=3。解得k=1，b=2。，所以k、b的值分别是1和2。

（2）由（1）得y=x+2，所以当y＝0时，x＝－2，即a＝－2。

点评 当知道两个点的坐标时，一般运用待定系数法，通过构造方程组解得k、b。

例5 （2011年湖北省宜昌市中考题）某市实施“限塑令”后，2008年大约减少塑料消耗4万吨。调查分析结果显示，从2008年开始，五年内该市因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量y（万吨）随着时间x（年）逐年成直线上升，y与x之间的关系如图所示。求y与x之间的关系式。

分析 观察图像知，函数图像经过点（2 008，4）、（2 010，6），所以可以利用待定系数法求解。

解 （1）设y＝kx＋b。由题意知，2 008k+b=4，2 010k+b=6。解得：k=1，b=-2 004。

所以y＝x－2 004。

点评 解决此类问题一般通过图像找到点的坐标，运用待定系数法求解。

例6 （2011市四川省广安市中考题）写出一个具体的y随x的增大而减小的一次函数解析式_________。

分析 一次函数y＝kx＋b的增减性与k的正负有关，而与b的正负无关。当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小。所写的一次函数y＝kx＋b只需满足k＜0即可。

解 答案不唯一，如：y＝－x＋1。

点评 本题常见错误是没有掌握一次函数的增减性，误认为需满足k＞0。

例7 （2010年新疆维吾尔自治区乌鲁木齐市中考题）将直线y＝2x向右平移1个单位后所得图像对应的函数解析式为（）

A．y＝2x－1B．y＝2x－2C．y＝2x＋1D．y＝2x＋2

分析 两条直线平行，可以将一条直线看做由另一条直线平移而来，因此两条直线的k相等。因为直线y＝2x经过点（0，0），向右平移1个单位后的直线经过点（1，0）。设平移后解析式为y＝2x＋b，把点（1，0）代入可得b＝－2。故答案选B。

点评 直线平移与函数解析式有如下关系：

（1）直线y＝kx＋b向左平移m个单位后所得图像的函数解析式为y＝k（x＋m）＋b，向右平移m个单位后所得图像的函数解析式为y＝k（x－m）＋b；

（2）直线y＝kx＋b向上平移n个单位后所得图像的函数解析式为y＝kx＋b＋n，向下平移n个单位后所得图像的函数解析式为y＝kx＋b－n。

例8 （2010年四川省自贡市中考题）为迎接省运会在我市召开，市里组织了一个梯形鲜花队参加开幕式，要求共站60排，第一排40人，后面每一排都比前一排多站一人，则每排人数y与该排排数x之间的函数关系式为_____

_______。

分析 由题意，因为排数增加，所以其每排的人数也逐渐增加，其规律是：排数增1，每排人数也增1，因此我们可以看出这是一个一次函数。

解 y＝39＋x （x＝1，2，…，60）。

用函数表达式化解物理图象问题 篇3

[例1]一辆轿车在平直的马路上以某一初速度运动, 在运动过程中始终保持恒定的牵引功率, 其加速度a和速度的倒数 () 图象如图1所示。若已知轿车的质量m, 则根据图象所给的信息, 不能求出的物理量是 ()

A.轿车的功率

B.轿车行驶的平均速度

C.轿车所受到的阻力

D.轿车运动到最大速度所需时间

[解析]先对轿车进行受力分析, 求出a与之间的函数关系表达式, 由P=F·v, 和F-Ff=ma得出:, 故a与是一次函数关系, 由图象和函数关系表达式可求出图线斜率k, 由k=, 可求出轿车的功率P, 由=0时, a=-2 m/s2, 得:-2=-可求出轿车所受阻力Ff, 再由P=Ff·vm可求出轿车运动的最大速度vm, 但轿车做变加速直线运动, 无法求出轿车运动到最大速度的时间。[答案]D

[例2]一木块放在升降机底板上, 随着升降机从静止开始竖直向下运动, 运动过程中木块的机械能与木块位移关系的图象如图2所示, 其中O-s1过程的图线为曲线, s1-s2过程的图线为直线。根据图2, 下列选项中判断正确的是 ()

A.O-s1过程中木块所受合力一定是变力

B.s1-s2过程中木块可能在做匀速直线运动

C.s1-s2过程中木块可能在做加速直线运动

D.O-s2过程中木块的动能可能在不断增大

[解析]先对木块进行受力分析, 求出E与s之间的函数关系表达式, 由动能定理可得:, 即, 选初始位置为零势能点, 则

就代表木块发生位移s时的机械能。故有:E=-FNs, 而-FN就表示E-s图象的斜率。O-s1过程中的图象是曲线, 故FN是变力且逐渐变大, 合力减小, 表示木块做加速度减小的加速运动, A正确。s1-s2过程中的图象是直线, 故FN恒定, mg也恒定, FN可能在O-s1段末增大到与mg相等, 合力为0, 此后匀速, 故B正确, C错误。而在O-s1段末FN也可能增大到小于mg的某个数值后恒定, O-s1段速度增大, s1-s2段木块做匀加速运动, 速度也增大, 故D正确。[答案]ABD

[例3]先后用同样材质做成的橡皮条彼此平行地沿水平方向拉同一质量为m的物体, 而且两次橡皮条的伸长量都相同, 物体m在橡皮条拉力的作用下所产生的加速度a与所用橡皮条的数目n的关系如图3所示.若更换物体所在水平面的材料, 再重复这个实验, 则图中直线与水平轴线间的夹角θ将 ()

A.变大B.不变

C.变小D.与水平面的材料有很大关系

[解析]先对物体进行受力分析, 由牛顿第二定律:nF-Ff=ma得, 故a与n是一次函数关系, 其斜率, 而F和m均恒定不变。[答案]B

第三册确定一次函数的表达式 篇4

(一)教学知识点

1.了解两个条件确定一个一次函数;一个条件确定一个正比例函数.

2.能由两个条件求出一次函数的表达式，一个条件求出正比例函数的表达式，并解决有关现实问题.

(二)能力训练要求

能根据函数的图象确定一次函数的表达式，培养学生的数形结合能力.

(三)情感与价值观要求

能把实际问题抽象为数字问题，也能把所学知识运用于实际，让学生认识数字与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用.

求一次函数表达式的几种类型 篇5

一、定义型

例1.已知函数y= (k+2) xk2-3是正比例函数, 求它的表达式。

解析:由正比例函数的定义知k2-3=1且k+2≠0, 所以, 解得k=2, 所以正比例函数的表达式为y=2x。

二、点斜型

例2.已知一次函数y=kx+8的图像过点 (2, 10) , 求一次函数表达式。

解析:∵一次函数y=kx+8的图像过点 (2, 10) , ∴10=2k+8, 解得k=1。

∴一次函数表达式为y=x+8。

三、两点型

例3. (2009年天津市) 已知一次函数的图像过点 (3, 5) 与 (-4, -9) , 则该函数的图像与y轴交点的坐标为______。

解析:设此函数的解析式为y=kx+b, 因为图像过点 (3, 5) 与 (-4, -9)

所以解得k=2, b=-1;所以y=2x-1

当x=0时, y=-1。所以与y轴的交点坐标为 (0, -1) 。

四、平移型

例4. (2009年桂林市) 如图1, 是一个正比例函数的图像, 把该图像向左平移一个单位长度, 得到的函数图像的解析式为__。

解析:根据图像先求出正比例函数的表达式y=-2x, 再根据平移规律“左移加, 右移减;上移加, 下移减”知, 向左平移1个单位, 即解析式为y=-2 (x+1) 。

五、图像型

例5. (2009成都市) 某航空公司规定, 旅客乘机所携带行李的质量x (kg) 与其运费y (元) 由如图所示的一次函数图像确定, 那么旅客可携带的免费行李的最大质量为:

A.20 kg B.25 kg C.28 kg D.30 kg

解析:由图像可知, 本题所涉及的函数关系是一次函数, ∴设一次函数解析式为y=kx+b, 由图像可知, 直线过点 (30, 300) , (50, 900) , 代入可得

解得k=30, b=-600;所以y=30x-600, 当y=0时, 代入得x=20

答案:A

六、应用型

例6. (2009年宁德市) 张老师带领x名学生到某动物园参观, 已知成人票每张10元, 学生票每张5元, 设门票的总费用为y元, 则y=_______。

解析:这类题常作为解答题的某一问出现, 就按实际意义易得出y=5x+10。

练习:

1. 已知函数y= (k-1) x|k|+3是一次函数, 求它的表达式。

2. (2009武汉) 如图3, 直线y=kx+b经过A (2, 1) , B (-1, -2) 两点, 则函数的表达式为_______。

3. (2009年广西钦州) 一次函数的图像过点 (0, 2) , 且函数y的值随自变量x的增大而增大, 请写出一个符合条件的函数解析式:_______。

4. 将直线y=4x+3向上平移1个单位, 得到一次函数的解析式为_______。

【答案】1.y=-2x+3;2.y=x-1;

函数表达式 篇6

1 物理量的观测过程

观测过程是个收集观测数据的过程,可用如下方式进行。对于空间所有点,均同时进行足够长的等长时间段T的观测,物理量的平均值可以通过把每个点收集到的所有数据进行逐点累加再除以全空间数据总个数得到。设某点i(x,y,z)共收集到了ni个数据,依次为a1,a2,……,ani。把在i(x,y,z)点的所有观测数据加和记为ρi,如式(1)。在相同的单位时间内,对不同的观测点,获得的数据个数和观测值大小不一定相同。所以,ρi的大小与观测点的位置坐标有关,也可以写成ρ(x,y,z)。因此,某物理量在空间i(x,y,z)点的观测值ai可记为(2)式。这里ni可以写成n(x,y,z),在粒子经常出现的点获得的数据多,在不常出现的点获得的数据少。同理,ai可记为a(x,y,z)。所以,某可观测物理量的平均值表示为(3)式。

若保留“运动轨迹”的概念,就实际观测过程来说,并非任意时刻都能观测到某点对应的物理量,只有当粒子运行到这一点所在的坐标上的时才可观测到对应物理量。单位时间内仪器采集数据的个数总是有限的,设仪器每隔s秒进行一次读数(如果粒子在这个时段s秒内没有经过此点,则得不到数据),则空间两位点采集的数据个数比,等于总观测时长T时段内,粒子在两位点停留的累加时长比,与仪器采集数据的间隔时长无关。收集到的观测数据的个数与粒子路过此点的频次和每次停留的时间成正比,即空间某点i(x,y,z)处观测数据的个数n(x,y,z)正比于粒子在此点停留的时长累加t(x,y,z),设比例常数为w,则有(4)式。对于某固定点,波函数在此点的概率为Pi,假设粒子在空间任意点停留的时长累加t(x,y,z)正比于波函数在此点的概率Pi,设比例常数为k T,则有(5)式。对空间各点的停留时长进行加和,应该等于时间段的总长度T,即得(6)式。由此,把(5)式写为(7)式,(4)式写为(8)式,物理量的平均值可写为(9)式。对空间某点,每次“塌缩”所需的平均时长可按(10)式计算,所以任意两点的感受一次“塌缩”所需时长比与两点处波函数模平方成反比。

2 物理量观测值表达式的数学形式

若用(11)式来表达物理量a在某点的观测值(为a的对应算符),则方程(9)可改写为方程(1 2),这样可得熟知的观测值表达式。因此,(11)式作为物理量观测值的表达式是合理的,这是本文的要点之一。

3 结论

本文通过粒子在某点i(x,y,z)停留的时长累加t(x,y,z)正比于波函数在此点的概率P(x,y,z)的假设,给出了物理量平均值的计算表达式,也给出了物理量在空间某点观测值的数学表达式。

摘要：为把波函数的塌缩与实验观测联系起来,通过“在一个足够长的时间段内空间某点位置通过实验获得的某物理量观测数据的个数与波函数在空间该点的概率成正比”的假设,得到了物理量平均值的表达式,给出了一个意义更加明确的物理量观测值的数学表达式。

关键词：塌缩,物理量,波函数,平均值

参考文献

[1]周公度.结构化学基础[M].北京:北京大学出版社,1998:149～162.

[2]沈小峰,陈浩元.物理学发展是概述[J].北京师范大学学报(自然科学版),1979,4:82～92.

[3]王杰芳,李玉晓,贾瑜等.量子物理学基本概念的教学研究[J].洛阳理工学院学报(自然科学版),2010,20(2):91～94.

[4]Bernard D E.The Quantum Theory andReality[J].Scientific American,1979,241:165～165.

函数表达式 篇7

针对这一问题, 一些研究人员提出了改进算法。比如Alexa等的贪婪采样算法, 优点是减少了误差, 但没有统一的采样密度, 不能使点规则分布形成准确的表面;Moenning等利用快速步进算法加快对已简化点云的采样, 但未提供对误差的控制;Pauly运用不同的简化技术对点云数据进行了简化, 但容差率对算法影响较大。

我们在已有研究工作基础上, 发展了一种针对油彩飞溅建模方法的子采样算法, 算法中采用了基于核函数理论的支持向量机直接对点云进行曲面拟合, 从而获得曲面表达, 仿真实验对几种核函数进行了对比, 结果表明径向基核效果更佳。

一、核函数方法

M insky和Papert在20世纪60年代明确指出线性学习机器的计算能力是有限的, 目标概念通常不能由给定的属性用简单的线性组合产生, 而是需要从更本质的层次上提取更抽象的特征。

核函数 (KernelFunction) 方法为此提供了一个有效的解决途径。它通过一个非线性变换Φ将原始空间映射到一个新的特征空间, 即:

新的特征空间的维数通常比原空间高, 但在它里面构建线性学习机器却成为可能。通过恰当地选择核函数, 可以隐式地将训练数据非线性地映射到高维特征空间, 甚至不需要知道映射的具体形式。根据Hilbert-Schmidt定理, 只要给定的变换满足M ercer条件, 就可以用于构建核函数。

常用的核函数有:

线性核K (x, xi) =,

多项式核K (x, xi) = (+1) d,

径向基核K (x, xi) =epx (- ( (x-xi) /σ) 2) ,

多层感知器核K (x, xi) =tanh (v+c) 。

核函数为支持向量机提供了重要的构成模块, 在样本集{ (xi, yi) , i=1, 2, …n}中, xi∈Rn为输入, yi为对应的输出, 定义ε不敏感损失函数为

构造回归估计函数:f (x) =+b (3)

根据鞍点定理和KKT条件, 引入Lagrange乘子, 可求得回归估计函数:

二、基于核函数方法的曲面拟合

给定样本集, 对x坐标分量进行拟合, 曲面重构问题就是以T为样本集为基础, 寻找以 (u, v) 为参数, = (u, v) 为变量的拟合超平面:

使某个损失函数最小, 其中φ∶R2→H为内积空间,

取损失函数为线性不敏感损失函数:

上述曲面重构问题就是最小化:

其中C为惩罚因子, 令

算法的求解过程如下:

Step1:给定样本集T, 选择参数ε和核K (x, x') , 构造并求解式 (11) , 得其解:

Step4:选择参数v、C和核K (x, x') , 构造曲面回归函数

ε*按下式计算:

代入式 (14) 得到曲面回归函数。选用不同的核函数, 可以获得不同的精度。

三、仿真实验

我们采用传统的油彩飞溅法、线性核、多项式核、径向基核和多层感知器核分别对一发动机连接件的点云进行实验, 其中径向基核的效果如图1、图2所示:

点云中拟合的曲面片数量s和算法花费的时间t可作为评定算法优劣的指标。在同一台电脑上对几种方法分别进行实验, 结果如表1所示。

一个模型车外壳的原始点云如图3所示, 采用油彩飞溅法和4种核函数进行实验, 径向基核的曲面表达效果如图4所示, 几种方法的性能见表2。

四、结论

本文对点云的曲面表达算法进行了探讨, 提出了基于核函数方法的优化子采样曲面表达算法, 采用几种核函数进行了实验仿真。从实验结果可以看出:在拟合误差指标相同的情况下, 几种核函数方法比传统的油彩法所用曲面片数量少, 时间开销也少;在几种核函数中径向基核的性能更优。表明对这类问题, 采用核函数可望取得更好的效果。提高算法的实时性是我们下一步要做的工作。

摘要：讨论了基于点云数据的曲面表示问题, 采用基于核函数理论的支持向量回归机实现点云数据的处理, 拟合出曲面, 得到点云数据的一个曲面表示。实验结果表明径向基核具有建模光顺性好、处理速度快等优点。

关键词：径向基核,点云,子采样,曲面表示

参考文献

[1]蔡勇, 肖建, 蒋刚.基于支持向量机的优化子采样曲面表示研究[J].信息与控制, 2008.