素数表达式

素数表达式（共4篇）

素数表达式 篇1

一、引 言

素数分布规律, 是人类2400年来从未放弃探讨的一个课题.本文之前这方面的定理有:素数无穷多、形如4n+3和4n+1的素数都无穷多、形如6n+5的素数无穷多, 以及数学家们历经200年时间构造的素数定理等.而素性检验工作, 110年来为逆命题不成立的费马定理被逆着应用来代理.

本文的目的是①铺设素性检验坦途 (定理1) , ②用数学表达式定义素数 (定理2) , ③建立π (N) 计算方法, 概言之, 在素数分布理论方面做点基础性工作.

基于定理1的计算机素性检验程序极易编写, 不赘述.与北京英福美公司宁源合作, 我们曾用定理1提供的方法求得斐波那契数列:

un中第12个素数U83=99194853094755497,

vn中第18个素数V79=32361122672259149.

这一方法的优点在于高效、没有所谓伪素数问题及素性检验与素因数分解同步进行, 弥补了现行素性判断不知所判合数的素因子的缺憾.

定理2提供了π (N) 计算方法, 为此前的公知定理所不能.

π (N) 计算方法, 叙述繁于计算, 这由6k+1形素数的k的不存在值k≠6ct+c+t轮换对称的等差数列的示例表一见便知:

二、定理的证明

引理 命k是正整数, 6k±1表尽>3的素数.

证明 任一整数a都可表达为a=6k+b的形式, k是整数, -1≤b≤4.

当b=0, 2, 4, 由2|b和2|6, 有2|a.

同理, 当b=3, 3|a.所以, 如果a表素数p,

当a≠3, b=±1.由p>3, k取正整数.

定理1 设k和c是正整数, 将>3的素数r表为6c±1, 当k≡c (mod r) , r| (6k±1) , 当k≡-c (mod r) , r| (6k∓1) .

证明 由引理, >3的素数r必能表为6c±1.

根据带余除法法则, r除k余c, 设商为t, k=tr+c.

在r是6c-1形时, $c=\frac{r+1}{6},-c=-\frac{r+1}{6}$, 于是

r除k余$c‚6\left(tr+\frac{r+1}{6}\right)-1=6tr+r+1-1=r(6t+1).$

r除k余$-c‚6\left(tr-\frac{r+1}{6}\right)+1=6tr-r-1+1=r(6t-1).$

在r是6c+1形时, $c=\frac{r-1}{6},-c=-\frac{r-1}{6},$

r除k余$c‚6\left(tr+\frac{r-1}{6}\right)+1=6tr+r-1+1=r(6t+1).$

r除k余$-c‚6\left(tr-\frac{r-1}{6}\right)-1=6tr-r+1-1=r(6t-1)$.由6t±1都是整数, 定理得证.

定理2 设k, c和t都是正整数, 素数p的表达式为:

$p=\{\begin{array}{l}2,3‚\\ 6k-1‚(k\ne 6ct+c-t)‚\\ 6k+1‚(k\ne 6ct\pm c\pm t).\end{array}$

证明 (1) 由引理, >3的素数有6k+1和6k-1两种形状, 加上≯3的素数, p的表达式得证.

由定理1, 当r表为6c-1, k≡c (mod r) ,

则r| (6k-1) , 得6k-1形素数的k≠tr+c;

①当r表为6c+1, k≡-c (mod r) ,

则r| (6k-1) , 得6k-1形素数的k≠tr-c.

将r分别以6c-1和6c+1替代, 得

k≠ (6c-1) t+c和k≠ (6c+1) t-c,

即k≠6ct±c∓t.

c和t互易, 两种限定条件中得到的值相同,

故得k≠6ct+c-t.

②当r表为6c+1, k≡c (mod r) ,

则r| (6k+1) , 得6k+1形素数的k≠tr+c;

③当r表为6c-1, k≡-c (mod r) ,

则r| (6k+1) , 得6k+1形素数的k≠tr-c.

分别以6c+1和6c-1替代r, 得k≠6ct±c±t.

6ct±c∓t= (6c∓1) t±c≡±c (mod (6c∓1) ) 和6ct±c±t= (6c±1) t±c≡±c (mod (6c±1) ) , 限定条件完全遵从着定理1.

(2) 素数r表为6c±1时, c在整数范围内是不连续的, 如c=20没有素数r与之对应, 即c≠20, 而定理中c是正整数.这种情形下, 仍令r=6c±1, 但这里的r是合数, $c=\frac{r\mp 1}{6}.$

$\begin{array}{l}①\text{取}c=\frac{r+1}{6}‚\text{如}\text{果}k=6ct+c-t=6t\cdot \frac{r+1}{6}+\frac{r+1}{6}-t=t(r+1)-t+\frac{r+1}{6}=tr+\frac{r+1}{6}.\\ 6k-1=6tr+r+1-1=r(6t+1)\text{是}\text{合}\text{数}.\end{array}$

$\begin{array}{l}②\text{取}c=\frac{r-1}{6}‚\text{如}\text{果}k=6ct-c+t=6t\cdot \frac{r-1}{6}-\frac{r-1}{6}+t=t(r-1)+t-\frac{r-1}{6}=tr-\frac{r-1}{6},\\ 6k-1=6tr-r+1-1=r(6t-1)\text{是}\text{合}\text{数}‚\end{array}$

k=6ct+t-c包含在k=6ct+c-t中, 由它们表述的6k-1都排除在p的表达式之外, 定理成立.

$\begin{array}{l}③\text{取}c=\frac{r+1}{6},\text{如}\text{果}k=6ct+c+t=6t\cdot \frac{r+1}{6}+\frac{r+1}{6}+t=tr+2t+\frac{r+1}{6}=t(r+2)+\frac{r+1}{6}‚\\ 6k+1=6t(r+2)+r+2=(r+2)(6t+1).\end{array}$

$\begin{array}{l}④\text{取}c=\frac{r-1}{6}‚\text{如}\text{果}k=6ct-c-t=6t\cdot \frac{r-1}{6}-\frac{r-1}{6}-t=tr-2t-\frac{r-1}{6}=t(r-2)-\frac{r-1}{6}‚\\ 6k+1=6t(r-2)-(r-2)=(r-2)(6t-1).\end{array}$

由r±2与6t±1是正整数, 6k+1是合数, k=6ct±c±t时6k+1排除在p的表达式之外, 定理成立.

当r只对应6c+1或只对应6c-1, 定理成立, 在此其理已明, 由这样的c得到的数是k的不存在值, 定理证完.

定理3 设k, c和t都是正整数, 双生素数对 (p, p+2) 的表达式为:

$\{\begin{array}{l}(p,p+2)=(3,5)‚\\ (6k-1,6k+1)(k\ne 6ct+c-t{\displaystyle \cup k}\ne 6ct\pm c\pm t).\end{array}$

证明 由于不含素数3的双生素数对都是对应同一k值的6k±1, 由定理2, 当k不排斥6k+1和6k-1都是素数, 6k±1就是一对双生素数, 将包含3的素数对收纳, 表达式即得证, 定理证完.

推论 设c, t是正整数, 形如6k-1的素数p≠36ct-1±6 (c+t) , 则 (p, p+2) 是一对双生素数.

证明 36ct-1±6 (c+t) =6 (6ct±c±t) -1.

由p=6k-1≠6 (6ct±c±t) -1,

得k≠6ct±c±t.

根据定理2, 形如6k+1的素数k≠6ct±c±t,

所以6k+1是素数.

6k+1- (6k-1) =2, 即p+2是素数.

根据双生素数定义, 推论得证.

三、π (N) 计算

根据定理2, 素数有≯3, 6k-1和6k+1三类.以π- (N) 表≯N的自然数中6k-1形素数的个数, 以π+ (N) 表≯N的自然数中6k+1形素数的个数, C表≯3的素数的个数, ≯N的自然数中素数的个数.

π (N) =π- (N) +π+ (N) +C.

①如求π (30) , 30≡0 (mod6) , 完全商5, ≯30的自然数中有5个6k-1形和4个6k+1形数, 1～5的自然数都不等于p为素数时k的不取值6ct+c-t, π- (30) =5, 1～4的自然数中, 在c=t=1时, 6ct-c-t=4, k有1个不取值, π+ (30) =4-1=3, C=2是常量, 得π (30) =π- (30) +π+ (30) +C=5+3+2=10.

②再如求π (450) , 450≡0 (mod 6) , 完全商75, ≯450的自然数中有75个6k-1形数, 74个6k+1形数.

6ct+c-t的限定条件中共34个不取值, 其中46, 71, 41各出现2次, 多计3个, k的不取值等于34-3=31, π- (450) =75-31=44.

6ct±c±t轮换对称, 对称中的重复值不计, 6ct+c+t中k有15个不取值, 6ct-c-t中k有21个不取值, 此外, c=1, t=13与c=2, t=6的值相同, c=1, t=6, 11的值与6ct+c+t中c=1, 2, t=4的值相同, 独立的k的不取值为18个, 即6ct±c±t中k的不取值有33个, π+ (450) =74-33=41, π (450) =π- (450) +π+ (450) +C=44+41+2=87.

摘要：基于素数的分布提出了可用于素性检验与素因数分解的定理, 并进而得到素数、双生素数表达式, 建立了π (N) 的计算方法.

关键词：素性检验,素数表达式,π (x) 计算

参考文献

[1]G.波利亚.李心灿, 等.数学与猜想.北京:科学出版社, 1984, 100.

[2]王元.谈谈素数.上海:上海教育出版社, 1978, 7-38.

素数分布——素数硬币的抛掷运动 篇2

大家都知道,素数一直是数学家特别是数论学家的研究对象,素数分布则是其中的一个重要的研究分支,应该说到目前为止是只有其中三个人的结论影响最为深远长久,他们分别是:

一、德国数学家Gauss的猜测

(1)素数定理:π(x)～x/logx或者更精确的

π(x)～Li(x),其中

(2)第二个猜测:Li(x)总是过多地估计素数的个数.

二、德国数学家Riemann,他提出了求解素数个数的更精确表达式

并由此引出黎曼假定(The Riemann Hypothesis)这一千禧年问题.

三、英国数学家John-Littlewood在1914年证明的“

是一个在正与负之间震荡无穷多次的函数”的结论

德国数学家Gauss在考察不大于x的素数个数时先是得到π(x)～x/logx,同时认为大自然推出素数很可能是一种素数硬币的抛掷过程,只不过此时这枚硬币正面朝上的概率不再是二分之一,而是1/logx,因此当x越来越大时,x为素数的概率就越小,因为正面朝上的概率随着1/logx越来越小了.Gauss并进而推测到更精确的表达式:π(x)～Li(x).

Lihn(a)的推导过程:

我们从图1中可以显然看到三个可以证明的结论:

其中:.

(1)图1清楚表明(1):π(x)～Lihn(x)的成立是显而易见的.

(2)同时诚如Gauss猜测的那样,大自然推出素数确实是一种素数硬币的抛掷过程,只不过这次素数硬币的抛掷不是人们常识上所以为的那样一枚一枚地抛掷,而是每一次抛掷都要比前一次增加两枚硬币,并且每一次的抛掷都排除掉明确非素数的硬币(12,22,32,42,...,n2,…).所以在相应的第(n+1)次抛掷中除了明确的非素数(n+1)2,其他的整数(不分大小)可能是素数的概率均是1/log (n+1)2(所以相应的素数个数=[(n+1)2-n2-1]/log (n+1)2=n/log(n+1)).这是和Gauss关于素数分布的论述“小于或等于x的素数的分布密度接近相应x的对数函数的倒数”的微小的也是最主要的区别(一个是接近,一个是均是),而正是这个微小的区别导致素数定理有如此大的偏差.图中清楚显示的三个表达式与实际的素数分布的误差主要来自初始的抛掷,随着n越来越大,在第n次抛掷中素数出现的数量就越来越趋向于一个稳定值:(n+1)/logn.而这正是素数为什么会在总体趋势上虽然是越来越稀少,但素数总量π(x)仍然会越来越多的根本原因.遵循人们所熟知的四舍五人的概念,在累计第n次抛掷后素数出现的总量,π(x)的误差是不会超过接下来的第(n+1)次抛掷中素数出现数量的一半,即0.5n/log(n+1),而当,n→∞时,0.5n/log(n+.所以有(2)式:成立.综上所述,从概率理论的角度可以判断素数分布确实是“素数硬币”的抛掷过程,素数在自然数里的分布是符合独立随机分布事件的特征的.而Lihn(x)明显是一条连续的转折线,转折点在(12,22,32,42,…,n2,…)这容易让我们得出结论:素数的分布接近一条连续转折线.这条连续转折线也可以称之为素数轴.

如果我们接受这样的素数分布的事实,接下来就很容易证明第三个结论:

(3) ,证明过程如下:

我们知道,对于,由于l/logu是递减函数,故当x→∞时,在区间n2～(n+1)2显然有:

所以成立.

同理在区间成立.

……

在区间33-42有:成立.

在区间22～32有:成立

在区间12～22有:成立.

那么当x从(n+1)2→1时,显然有下式:

亦即,

所以是成立的.

这个结果表明:英国数学家Juhn-Littlewood在1914年证明的“Li(x)-n(x)是一个在正与负之间震荡无穷多次的函数”的结论是错误的,这或许就是为什么即使现在的计算机时代也找不到一个他所说的反例的原因,应该说德国数学家Gauss的第二猜测是正确的,笑到最后的是德国数学家Gauss!

结论:素数的分布其实就是素数硬币的抛掷运动!

说明:附表1除了Lihn(x)是用VB软件计算外,其余的π(x)、R(x)和Li(x)的数据均来自网上下载,这是目前能找到的最大的素数表数据,期望能找到更大的数据来进行比较.

说明:表中也清楚表明了Lihn(x)、R(x)和Li(x)与π(x)相比较的误差是否满足.

摘要：本文在素数定理的基础上,推导出一个更简洁、更易于描述素数分布特征,同时精确度更高的求不大于x的素数个数π(x)的表达式Lihn(x).主要证明了三个结果:(1)π(x)～Lihn(x).(2)π(x)=Lihn(x)+O(x1/2/logx).(3)Li(x)＞Lihn(x)+(x1/2/logx).结果(3)表明英国数学家John-Littlewood在1914年证明的“Li(x)-π(x)是一个在正与负之间震荡无穷多次的函数”的结论是错误的.文章最后从概率角度诠释了素数分布就是素数硬币的抛掷运动的实质.

关键词：素数分布,概率,连续转折线,素数轴,素数硬币

参考文献

[1]潘承洞,潘承彪.素数定理的初等证明.上海:上海科学技术出版社,1988.

[2]约翰·德比希尔.素数之恋.陈为蓬.上海:上海科技教育出版社,2008.

素数表达式 篇3

一、大范围内素数数量变化的稳定性

自然数里, 素数与合数总是穿插的分布着.开始素数较多, 100内就有25个.随着数的范围逐渐扩大, 较小素数的倍数陆续出现, 使得合数逐渐增多, 素数相对减少.在小范围看, 好像杂乱无章, 无所遵循.但在大范围分析, 素数与合数不仅有着内在的联系 (任一合数都是某个素数的倍数) , 而且在数量上也是可以测算的.从1开始的自然数里, 当数的范围 (大于180的) 成倍扩大时, 后段内含有素数的个数, 不少于前段内含有素数个数的且随着数的范围不断扩大, 这个比值也在慢慢增大.设用K代表前段中含有素数的个数, 用k'代表后段中含有素数的个数, 通过检测和统计可以知道, 当把360等分为两段时, 前段含有素数41个, 后段含有素数31个, 则比值

把1920等分的两段中

把10000等分的两段中

把40000等分的两段中已大于67.并当数的范围充分大时, 由于这个比值逐渐靠近于1, 使得后段内素数的分布趋于基本稳定状态.详细证明可参考文献《正奇数为素数的判断方程哥德巴赫猜想的证明》[1].

二、四生素数的研究

素数除了有这种稳定性外, 在局部区域或某段很小的范围内, 素数分布上还有着奇特的造型.在稀稀拉拉的素数长河中, 每隔一段距离, 存在着一个耀眼的等量的素数群, 就像航程中的一座灯塔, 吸引人们向前探往.本文重点针对四生素数来展开研究和讨论.

1. 研究现状

所谓四生素数是一组符合下列形式的素数{p, p+2, p+6, p+8}[2].头几组四生素数如下:{5, 7, 11, 13}, {11, 13, 17, 19}, {101, 103, 107, 109}, {311, 313, 317, 319}, {821, 823, 827, 829}, {1481, 1483, 1487, 1489}.在上述四生素数中, 除了{5, 7, 11, 13}这组外都符合{30n+1, 30n+3, 30n+7, 30n+8}的形式, 各素数除以30后的余数都有一定的规则.截止2007年为止, 已知最大四生素数有2058位数, 是由Norman Luhn于2005年发现, 该四生素数中的第一个素数为p=4104082046+4799#+5651, 其中4799#是前4799个素数的乘积[3].

2. 分布状况

为便于了解四生素数的分布状况, 下面作些统计.

1001到10000的四生素数有7个, 即:{1481, 1483, 1487, 1489}, {1871, 1873, 1877, 1879}, {2081, 2083, 2087, 2089}, {3251, 3253, 3257, 3259}, {3461, 3463, 3467, 3469}, {5651, 5653, 5657, 5659}, {9431, 9433, 9437, 9439}.

10001到20000的四生素数有6个, 即:{13001, 13003, 13007, 13009}, {15641, 15643, 15647, 15649}, {16061, 16063, 16067, 16069}, {18041, 18043, 18047, 18049}, {18911, 18913, 18917, 18919}, {19421, 19423, 19427, 19429}.

20001到30000的四生素数有3个, 即:{21011, 21013, 21017, 21019}, {22271, 22273, 22277, 22279}, {25301, 25303, 25307, 25309}.

30001到40000的四生素数有2个, 即:{31721, 31723, 31727, 31729}, {34841, 34843, 34847, 34849}.

40001到50000的四生素数有1个, 即:{43781, 43783, 43787, 43789}.

50001到60000的四生素数有1个, 即:{55331, 55333, 55337, 55339}.

60001到70000的四生素数有3个, 即:{62981, 62983, 62987, 62989}, {67211, 67213, 67217, 67219}, {69491, 69493, 69497, 69499}.

70001到80000的四生素数有3个, 即:{72221, 72223, 72227, 72229}, {77261, 77263, 77267, 77269}, {79691, 79693, 79697, 79699}.

80001到90000的四生素数有2个, 即:{81041, 81043, 81047, 81049}, {82721, 82723, 82727, 82729}.

90001到100000的四生素数有2个, 即:{97841, 97843, 97847, 97849}, {99131, 99133, 99137, 99139}.

合计:一千以内有6个, 一万以内有12个, 两万以内有18个, 三万以内有21个, 四万以内有23个, 五万以内有24个, 六万以内有25个, 七万以内有28个, 八万以内有31个, 九万以内有33个, 十万以内有35个.数值更大的四生素数尚有不少, 有兴趣的数学爱好者可以深入挖掘.

从前面的统计中可以发现四生素数有以下特征:“所有的四生素数, 都是连续9个自然数中包含有四个素数, 像是一个素数窝, 且各素数窝中四个素数的末位数字依次都是1, 3, 7, 9, 包含了素数的四种类型.”

3. 应用研究

根据四生素数的独特形式和内含特征, 如果把四生素数按照出现的先后顺序编成序号, 如1号:{3, 5, 7, 11}, 2号:{11, 13, 17, 19}, 3号:{101, 103, 107, 109}, 4号:{191, 193, 197, 199}, 5号:{311, 313, 317, 319}……则在科技生产上会有重要的用处.例如某种重要的信息或保险设施, 需要用特殊的密码进行保密存储, 就可以用某个四生素数的数或其中某几个的排列组合作为密码.这种方式不仅独特, 而且构造原理较深, 不易被随便破解, 其安全度是相当高的.

素数表达式 篇4

黎曼ζ函数是研究素数分布的关键, 而素数分布又是解决其他素数问题的关键.

2. 证明思路

素数的分布是所有素数问题的核心.先简单介绍一下.

命表不大于n, 且不为前r个素数所整除的整数个数.再命所有小于n的素数个数为π (n) , 运用逐步淘汰原则, 可得:

注释:上式中的由黎曼ζ函数可推得.

以上证明还可以理解为是n减去所有不大于n且满足x≡0 (mod Py) (1≤y≤r) 的元素后剩余整数的个数.

3. 孪生素数的分布

我们有x为不大于n的整数, 且有前r个素数2, 3, …,

定理当时, 则x+1, x-1同为素数, 且是孪生素数.

证明当且仅当为素数并且是相差为2的孪生素数.

例求不超过50的孪生素数对, 它们中间的那个偶数.

解满足且不大于50的偶数有12, 18, 30, 42.

很明显上述偶数加减1都是素数, 且为孪生素数.

12-1=11, 12+1=13.11, 13为孪生素数对.

我们命N (x±1, r) 表不大于n, 且减去所有小于n并满足条件x≡±1 (mod Py) 的整数后剩余的整数个数.很明显剩余的任意元素加减1都是素数, 且是孪生素数.

再命R (n) 表示不大于n的孪生素数的个数.

再给出公式之前, 我们先了解形如x≡±1 (mod Py) 时x共有多少个不大于n的解.此类问题可用孙子定理解决.

推论当且仅当时, 则不大于n时x共有个解.

证明因可以得到2s个形如的可计算的同余式组, 且这样的同余式组符合孙子定理的条件, 所以x在之间有2s个解, 在不大于n时有个解.

其中T=0.66016….

以上结果同强孪生素数猜想中的相差2的孪生素数, 在不大于n时的个数的猜想是一致的.同时也说明研究者研究这一类问题应从P和P+2 (素数) 中间的那个偶数的特点为突破点.

4.表两素数之和等于偶数的表法个数

同样我们有x为不大于n的自然数, 且有前r个素数

定理当时, 则n+x, n-x同为素数, 且 (n+x) + (n-x) =2n.

证明当且仅当为素数, 且有 (n+x) + (n-x) =2n.

例求表两素数之和等于100 (2·50) 时, 加50或被50减去, 均为素数的元素.

解满足x±50 (mod Pk) , Py∈{3, 5, 7},

且不大于50的奇数有:3, 9, 21, 33, 39.

很明显上述奇数加50或被50减去都得到素数, 并且这两个素数之和为100.

21+50=71, 50-21=29, 71, 29为素数.

命G (n±x, r) 表不大于n且不包括所有满足x≡±n (mod Py) 的元素的整数个数.很明显这些剩余元素都是素数, 且它们之和等于2n.

再命G (2n) 为表两素数之和等于2n的表法个数.

在给出公式之前, 还是运用孙子定理来了解另一种同余式组的解数.

命任意自然数n, 前r个素数中的Pφ1…Pφu为n的奇因子, 剩余Pβ1…Pβv不能整除n.很明显u+v=r-1.

当n为偶数时, x≡1 (mod2) .

当n为奇数时, x≡0 (mod2) .

可以有2v个形如的可计算同余式组.而上述同余式组符合孙子定理.

在之间只有一个解.

在不大于n时有个解.

到此, 我们可以说有G (2n) 个数加n或被n减去时, 同为素数且两素数之和等于2n.

5.简单的说明强孪生素数定理

我们有x为不大于n的整数, 且有前r个素数

当有偶数2m, 且有Pφ1…Pφs为m的小于的奇素因子.

定理当时, 则x+m, x-m为素数, 且为相差2m的素数对.

证明x-m为素数, 且为相差2m的素数.

命C (x±m, r) 表不大于n, 且不包括满足条件的小于n的元素的自然数的个数.

再命C (2m) 表所有小于n的相差2m的素数对的个数.

由3, 4节可得

推论:当2m=2P2P3…P5时, 则

证明因当2m=2P2P3…Ps时,

例如, 小于1000并且相差2*3*5*7=210的素数对有多少?

小于1000的自然数中, 有100个数加或减去105都是素数, 且它们之差是210.

摘要：介绍孪生素数的分布、强孪生素数的分布以及任意偶数2n表两素数之和的表法个数 (哥德巴赫猜想) .