积分控制器

积分控制器（精选12篇）

积分控制器 篇1

0 引 言

主动电磁轴承利用可控的电磁力将转子悬浮起来,具有无磨损、无需润滑、能在很宽的转速范围内工作、使用寿命长等一系列传统轴承无法比拟的优点。主动电磁轴承与其他轴承最大的不同之处在于轴承的支承特性不仅取决于电磁轴承的结构,更取决于控制系统的设计[1]。主动电磁轴承通常采用PID控制器[2]。但是传统PID控制器,其控制参数的确定需要一定的经验,一旦外部出现较大的扰动或输入量突变的情况,设定的控制参数就很难达到期望的控制目标[3]。为了解决电磁轴承转子系统具有的非线性、时变和不确定性等问题,模糊控制器也得到了广泛研究。由于传统的模糊控制器类似于一个PD控制器,没有积分项,无法消除稳态误差,实际应用中通常在模糊控制器上并联一个PI控制器以形成并联结构的传统复合型模糊控制器。在传统复合型模糊控制器中,其动、静态特性之间存在一定的矛盾[4]。如果只追求响应的快速性,将导致过大的超调甚至系统不稳定;如果追求更好的稳态性能,将影响系统响应的快速性。

本研究提出智能积分型自适应模糊控制器,并以一个单自由度主动电磁轴承模型为例,研究智能积分型自适应模糊控制器的控制性能。

1 主动电磁轴承转子系统数学模型

一个完整的主动电磁轴承支撑的转子系统,包含5个自由度。如果忽略各自由度间的耦合,采用分散控制的策略,可将其简化成5个相互独立的子系统分别加以控制,就构成了如图1所示的单自由度径向电磁轴承系统模型。

如图1所示,采用差动控制方式,为了方便地建立主动电磁轴承系统的数学模型,将转子简化为一个集中质点,忽略铁心材料的磁阻、损耗等的影响,可得到电磁铁的电磁力为:

$F=k\left(\frac{i{}_0+i{}_x}{x{}_0+x}\right){}^2-k\left(\frac{i{}_0-i{}_x}{x{}_0-x}\right){}^2(1)$

式中 k=μ0NA cos α/4;N—线圈的匝数;A—磁极横截面积;α—线圈与磁极中心线的夹角;x0—轴承在平衡点处时气隙间隙,平衡时对应的上、下线圈中通相等的电流i0;x—转子变化位置;ix—控制电流。

从式(1)中可以发现,磁轴承的电磁力是气隙与线圈电流的二次函数,将式(1)在x=0,Ix=i0附近作泰勒展开,并略去高阶无穷小量,可得关系式为:

F=F0+kxX+kiI (2)

式中 F0—在静平衡位置时由静态偏置电流i0产生的初始电磁力;kx—电磁轴承的位移刚度系数,kx=-μ0N2Ai20 cos α/x30;ki—电磁轴承的电流刚度系数,ki=μ0N2Ai0 cos α/x${}_0^2$。

利用牛顿定律可以得到转子在垂直方向上的运动微分方程为:

$m\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle x}}=k{}_{x}x+k{}_{i}i+p(t)(3)$

式中 p(t)—x方向的外界干扰力。

在不考虑外部干扰的情况下,对式(3)进行拉普拉氏变换,得到电磁轴承在一个自由度方向上“以位移x为输出,电流i为输入”的传递函数模型,即:

${\rm H}(s)=\frac{X(s)}{{\rm I}(s)}=\frac{k{}_i}{ms{}^2-k{}_x}(4)$

2 智能积分型自适应模糊控制器

本研究提出的应用到电磁轴承系统的智能积分型自适应模糊控制器的控制框图如图2所示,主要由自适应控制器、电磁轴承模糊控制器、智能积分器等3部分组成。自适应控制器通过监测主动电磁轴承转子系统运行情况对控制效果作出评估,并根据评估来对电磁轴承模糊控制器的控制参数进行修改以达到自适应控制的目的。智能积分器根据响应曲线的特性进行有选择性的积分,克服了传统积分中积分饱和和因积分参数选择不当而导致系统振荡等缺点,从而提高了系统的稳态性能。

2.1 电磁轴承模糊控制器

电磁轴承模糊控制器主要功能是对主动电磁轴承转子系统实行模糊控制,考虑到系统控制的精度和实时性要求,将位置偏差e和偏差变化率Δe作为输入语言变量。因为一般A/D变换器的输入为±5 V,选择偏差e的变化范围为[-6,6] V,所以偏差e的模糊论域为[-6,6]。在不影响控制效果的前提下减少计算量,偏差变化率Δe采用非线性变换,取模糊论域为[-6,6],大于6的Δe取6,小于-6的Δe取-6。输出语言变量为U1,当功率放大器的增益为1时,控制电流ix的范围为±6 A,所以U1的模糊论域取[-6,6]。对输入输出语言变量都选取7个语言变量值,它们为:NB、NM、NS、ZO、PS、PM、PB。隶属函数的形状对模糊控制的性能影响很大[5,6],当隶属函数比较窄瘦时,控制比较灵敏;反之,控制比较粗略。模糊语言值都采用三角形隶属函数,具体输入输出语言变量的隶属函数图分别如图3和图4所示。

根据图2原理,笔者制作了电磁轴承模糊控制器的控制规则表,如表1所示。这里采用单点模糊集合的模糊运算方法将输入空间的观测量映射到模糊论域上,然后采用Mamdani推理和重心法反模糊化得到电磁轴承模糊控制器的输出。

2.2 自适应控制器

在电磁轴承模糊控制器的设计过程中,模糊论域的范围、尺度变换比例因子的选择、隶属函数的选取以及模糊规则的制定,主要通过试验、总结或者询问专家得到,然后经过反复调试来确定。这样设计的模糊控制器应用到电磁轴承转子系统上,难以达到理想的效果,所以在电磁轴承模糊控制器的基础上引入了自适应控制器。

应用到主动电磁轴承转子系统的自适应控制器应该具有快速的适应功能,所以本研究采用性能测试模糊控制器来实现自适应控制器。性能测试模糊控制器根据e和Δe对控制性能进行评估,根据评估对电磁轴承模糊控制器尺度变换比例因子ku进行在线修改以达到自适应控制的目的。性能测试模糊控制器不但具有模糊控制对模型要求不高、实现方便等特点,而且在实际实现过程中可制成控制表,以达到快速的适应功能。

本研究采用离线调节ka和kb,在线调节ku的自适应控制。以控制系统的典型单位阶跃响应曲线为例,如图5所示,ku的整定方法如下:

(1) 在OA段。e>0,Δe<0,该段表示系统在控制信号控制下由静态向稳态过渡的过程,为了提高系统的响应速度,应该将ku的值设置得大一些;当曲线到达A点附近时为了防止响应超调过大,应将ku的值设置得小一些。

(2) 在AB段。e<0,Δe<0,系统输出超过了设定值,为了减少超调,应该加强控制作用,ku的值应该尽量设置得大一些。

(3) 在BC段。e<0,Δe>0,系统的误差已经开始减小,随着误差减小,为了防止再次超调,应该减小控制作用,到C点附近时应该设置最小PS,防止出现过大的负超调。

CD段的分析和AB段类似,而DE段和BC段类似。

将e和Δe作为性能测试模糊控制器的输入语言变量,根据控制效果采用上面的整定方法整定ku,输入语言变量的设定同电磁轴承模糊控制器的设置一样。输出语言变量为ku,根据试验,ku不能太大,过大将导致振荡,过小自适应效果不明显,所以其模糊论域取[0,3]。输出语言变量选取3个语言变量值,即PS、PM、PB,采用三角形隶属函数。输出语言变量ku的隶属函数图如图6所示。

根据ku整定方法和试验,可制作性能测试模糊控制器具体规则库,性能测试模糊控制器的控制规则表如表2所示。采用单点模糊集合的模糊运算方法将输入空间的观测量映射到模糊论域上,然后采用Mamdani推理和重心法反模糊化得到性能测试模糊控制器的输出。

2.3 智能积分器

因为一般模糊控制器缺少积分项,系统的稳态误差比较大。为了减少系统的稳态误差,人们设计了很多的复合控制器。而复合控制器在引入了常规PID控制器积分项的同时也引入了这种积分的缺点,因为它记录了偏差和偏差变化的所有信息,当偏差存在时,将会一直积分下去,容易导致“积分饱和”而使系统的快速性下降,同时积分参数选择不恰当,将导致系统振荡。本研究以图5所示控制系统的典型单位阶跃响应曲线为例,说明了智能积分和传统积分器之间的区别。对于传统积分器来说,在AB段的正确操作应该是给定一负的控制量以尽快降低偏差,但由于OA段积分的作用很难被抵消,导致系统超调过大,然而在BC段积分作用继续增加控制,将导致系统的再次超调,其他段的情况类似。

为了克服这些缺点,这里设计的智能积分器将根据响应曲线有选择地进行积分,对于图5的响应曲线,智能积分器只在AB、CD、EF段积分,其他段将不进行积分,即当e×Δe>0或Δe=0且e≠0时,需要对偏差进行积分,其他情况不进行积分。

3智能积分型自适应模糊控制性能仿真及分析

本研究以某AMB试验系统作为仿真对象,其各参数分别为:x0=0.4 mm,A=0.3×10-4m2,m=3.5 kg,N=100,i0=6 A,α=22.5°,功率放大器的增益为1,传感器的增益为12 500 V/m,滞后时间为2×10-4s。

利用Matlab中的Simulink平台,笔者对传统PID、传统复合模糊控制器和智能积分型自适应模糊控制器在AMB中进行仿真控制,并按照图2的结构框图给出了系统的仿真模型,如图7所示。

因为e和Δe的模糊论域都为[-6,6],所以在控制器的输入端引入sat1和sat2两限幅器。因为主动电磁轴承电流范围为±6 A,所以在控制器后引入限幅器sat3。由于功率放大器的增益为1,仿真中省略功率放大器模块。

本研究用于对比的传统复合型模糊控制器通过并联电磁轴承模糊控制器和常规PI控制器来实现。因为PID的参数选取不能在快速性和稳定性上同时达到最优,所以仿真中选取响应速度较快的一组PID参数。智能积分型自适应模糊控制、传统PID和传统复合型模糊控制器对电磁轴承系统单位阶跃响应曲线的影响如图8所示。不同控制器条件下系统单位阶跃响应性能指标参数的测量结果如表3所示。

对表3和图8结果进行对比分析,不难发现传统复合型模糊控制器几乎没有超调,但当测量值接近设定值时单位阶跃响应速率变缓,从而导致上升时间过大,PID控制器单位阶跃响应的超调大,并且调节时间长。智能积分型自适应模糊控制单位阶跃响应虽然有微弱的超调,但控制快速性好、稳定性高,能够较好地解决PID控制和模糊控制静、动特性间的矛盾。

将智能积分型自适应模糊控制器中的智能积分用传统的积分器替代,得到常规积分型自适应模糊控制器,增加ka,让单位阶跃响应产生适当的超调,对比智能型积分和传统型积分在控制中的作用如图9所示。

智能积分型自适应模糊控制器在出现超调情况下响应曲线振荡了2次,调节时间为0.01 s。常规积分型自适应模糊控制器振荡5次,调节时间为0.021 s。因此当系统出现超调时,智能积分器能让系统更快地趋于稳态且振荡次数少。

4 结束语

对于非线性系统或受外界干扰较大的系统,传统PID控制器和传统复合型模糊控制器控制效果不能达到最优,传统PID参数整定困难,传统复合型模糊控制在接近设定值时,响应速率变缓,导致调节时间拉长。

本研究设计的智能积分型自适应模糊控制器最大的优点在于对电磁轴承系统响应曲线实时评估,然后调节模糊控制器尺度变换的比例因子ku,以达到自适应控制的目的,整个控制过程具有控制快速和稳定性好等特点。在自适应模糊控制器基础上引入智能积分器,克服了传统积分器易饱和和积分参数难整定等缺点。仿真结果证明了智能积分型自适应模糊控制的优越性。

参考文献

[1]胡业发,周祖德,江征风.磁力轴承的基础理论与应用[M].北京:机械工业出版社,2006.

[2]张茂青,林红.磁悬浮轴承连续式模糊控制系统[J].仪器与仪表,2002(12):13-22.

[3]苏义鑫,王娟,胡业发.磁悬浮轴承的变参数PD控制[J].武汉理工大学学报,2004,26(2):35-37.

[4]韩启纲,吴锡祺.计算机模糊控制技术与仪表装置[M].北京:中国计量出版社,1999.

[5]孙增圻.智能控制理论与技术[M].北京:清华大学出版社.2003.

[6]SHEN J X,ZHUZ Q,HOWE D,et al.Fuzzy logic controland current-harmonic reduction in permanent-magnet brush-less AC drives[J].IEEE Proc.Electr.Power Appl.,2005,152(3):437-446.

积分控制器 篇2

***

（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）

摘要：微积分的内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用.在此主要讨论和简单总结一些有关定积分、曲线积分与二重积分的问题.关键词：定积分 曲线积分 二重积分

英文部分

引言：

微积分是一套关于变化率的理论.积分学包括求积分运算，为定义和计算面积、体积提供了一套通用的方法.通常积分计算问题都涉及到天文、力学、几何学等.这里主要通过有关定积分、曲线积分与二重积分的一些实例来对这些知识作一个回顾性总结.1、定积分

1(12333n3);4nn1、1利用定积分求极限：lim

解：lim1333(123n)nn4

112n=lim()3()3()3 nnnnn

i1=lim()3 nni1nn

设f(x)x3，则f(x)在[0,1]上连续且可积.取xi1i,i为区间nn

i1ixi1,xi,的右端点,i=1,2…,n.所以上式为函数f(x)x3在区间[0,1]nn

上的一个积分的极限，从而有

111411333lim4(12n)xdxx.0nn40

4回顾分析：由定积分的定义知，若f(x)在[a,b]上可积，则可对[a,b]用某种特定的方法，并可取特殊的点，此时所得积分的极限就是f(x)在[a,b]上的定积分，因此本题可将和式化为某个可积函数的积分和，然后用定积分求此极限.定积分在物理中的某些应用1、2 有一等腰梯形闸门，它的上、下两条边各长为10米和6米，高为20米，计算当水面与上底边相齐时闸门一侧所受的静压力.解：考虑建立直角坐标系，这里B(0,5),C(20,3).1则BC的方程为：x+20y-50=0.即y=5-x.10

由于在相同深度处水的静压力相同gx,故当x很小时，闸门上从深度x到x+x 这一狭条A上受的静压力为

1x)xxgdx.10

20202011pdp2(5x)xxgdx(10x2x3)dx 000105

=14373.33(kN).1、3 设有半径为r的半圆形导线，均匀带点电荷密度为，在圆心处有一单位E电荷，试求它们之间作用力的大小.解：同样考虑坐标，取所对应的一段导线，电荷电量为drd.，它圆心处电荷E在垂直方向上的引力为

srsinksFksin rr2pdp2yxdxxg2(5

则导线与电荷作用力为

0ksin2k rr

回顾分析：据以上例题可知，在解决积分实际问题中，确定积分区域是解决问题的关键，另外对于定积分我们还应注意以下几点：

⑴周期函数的定积分，其积分上下限可任意改变，只要积分区间的长度始终等于周期，则定积分的值不变。

⑵定积分存在的两个条件：

①积分区间有限;②被积函数有界

⑶对于定积分f(x)可积，则加上绝对值也一定可积，若其绝对值可积，但去掉绝对值却不一定可积.2、曲线积分2、1第一型曲线积分2、1、1证明：若函数f(x,y)在光滑曲线L:x=x(t),y=y(t),t[,]上连续,则存在点((x0,y0)L使得f(x,y)dsf(x0,y0)L l

其中L为L的弧长 证明：因为f(x,y)dsf(x(t),y(t))x(t)2y(t)2dt l

记F(t)f(x(t),y(t)),G(t)x(t)2y(t)2

由已知条件知F(t)在,上连续,G(t)在,上连续且非负（不变号），则根据推广的定积分第一中值定理知，存在t0,,对应点(x0,y0)(x(t0),y(t0)), 使f(x,y)dsf(x(t0),y(t0))lx(t)2y(t)2dtf(x0,y0)L

回顾分析:运用推广的定积分第一中值定理是证明此题的关键.2、2第二型曲线积分

2.2.1求y2dxz2dyx2dz，其中，L是维维安尼曲线x2y2z2a2，L

x2y2ax(z0,a0)若从轴正向看去，L是沿逆时针方向进行的.解：选择好参数方程确定好积分区域正是解此题的关键.将 x2y2z2a2表示为 2a2，x2y2ax

表示为r2ax 或 rax

令 xacos2 则 yasincos,zacos2asin，于是L:xacos2,yasincos,zacos2



2

2,所以

Ly2dxz2dyx2dz



2[a2sin2cos2(2acossin)a2(1cos2)a(cos22

sin)acosacossin(1cos)]d

224212

2a32(sin2cos2sin4)d0

3351a3[(,)(,)]2222



4a

3通过以上实例分析可知，曲线积分有着较为广泛和重要的作用.因此对于曲线积分，我们应注意以下几点：

⑴第一型曲线积分：第一型曲线积分上限、一定要大于积分下限； ⑵第二型曲线积分：

①曲线和有方向，方向改变后第二型曲线积分二值就要反向，即变号；

②第二型曲线积分的计算，在化为定积分时，积分上限可以小于积分下限，起点即为下限，终点即为上限.⑶曲线积分是定积分的推广.⑷对ds,即表示L的弧长，即f(x,y)=1.l

3.二重积分3、1计算(xy)2d，其中D0,10,1.，D

解：应用定理即：设f(x,y)在矩形区域Da,bc,d.上可积，且对每个xa,b积分d

cf(x,y)dy存在，则累次积分

bdbadxf(x,y)dy也存在，且cdf(x,y)ddxDacf(x,y)dy 有f(x,y)ddx(xy)2dx

D00117 6

回顾分析：对于一般区域，通常可以分解为如下两类区域来进行计算.称平面点集D{(x,y)y1(x)yy2(x),axb}为x型区域

称平面点集D{(x,y)x1(y)xx2(y),cyd}为y型区域.3、2关于x型区域的实例3、2、1计算二重积分d，其中D为由直线y=2x,x=2y及x+y=3所围的三角

D

形区域.解：把D看作x型区域时，相应的2x,0x1x ,y1(x), y2(x)23x,1x2

dxdddxxdydxxdy DD1D2021212x23x

12xx(2x)dx(3x)dx0122

333x23xx241240123、2、2关于x,y混合型区域的实例

求由坐标平面x=2,y=3,x+y+z=4所围二角柱体的体积.解：

Vzdxdy(4xy)dxdy

DD

dx(4xy)dydx0011324x0(4xy)dy

55

6回顾分析：

对于二重积分应注意以下几点：

⑴ 二重积分化为累次积分，积分上限一定要大于积分下限.⑵ 二重积分的许多性质与定积分的几乎完全相同.⑶ n(n2)重积分的计算都是转化为定积分的计算.⑷ 掌握型区域和型区域的二重积分的计算是计算一般平面上二重积分的基础.⑸ 解决了x型区域或y型区域上二重积分的计算问题，那么一般区域上二重积分的计算问题也就得到了解决.参考文献：

【1】 华东师范大学数学系编.数学分析（上、下）[M].第三版.北京:高等教育出版社.2001

不定积分积分方法浅析 篇3

【摘 要】在高职高专院校高等数学课程学习中，不定积分是很重要的一部分，它是定积分、广义积分、重积分、曲线积分等后续内容的基础，对不定积分的理解和掌握程度，不仅直接关系到高等数学课程本身的学习，而且还会影响相关专业课的学习和掌握。本文对直接积分法，第一类换元积分法，第二类换元积分法和分部积分法这四种积分方法加以总结和比较，以便学生对积分方法能更好地掌握.

【关键词】不定积分；直接积分法；第一类换元积分法；第二类换元积分法；分部积分法

在高职专科高等数学课程里面，一元函数不定积分的计算方法中，直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法和分部积分法是要求学生必须掌握的四种基本积分方法。但是在教学过程中，作者发现部分学生在积分运算中，对积分方法的选择不知如何着手。下面就个人的教学实践，分类讲解高等数学中的这几种不定积分方法，并对其使用技巧进行详细的说明。

五、总结

计算不定积分的方法有很多，以上只是求不定积分时比较常用的四种积分方法，在实际计算过程中并没有统一的规律可循，有时候要综合运用其中的两种甚至三种方法，所以我们要在做到活学活用、具体问题具体分析，切忌死记硬背、生搬硬套。每一种积分方法都有各自的原则和技巧，实际操作中我们只要掌握了这些原则和技巧，那么不定积分的计算就会变得非常简单，再也不会有无从下手的感觉了。

参考文献：

[1]同济大学.高等数学（6版）.高等教育出版社，2007

[2]张圣勤.高等数学（上）.机械工业出版社，2009

[3]张爱真，刘大彬.高等数学.北京師范大学出版社，2009

积分控制器 篇4

滑模变结构控制具有响应快速、控制精度高及物理实现简单等特点, 但是其存在抖振现象, 影响了控制系统的平稳性和稳态精度, 在系统中突加负载后, 存在明显的静差[1]。大量研究对传统滑模控制方法进行改进以消除抖振, 提出如边界层方法、滑模控制器后加积分环节、动态滑模控制等方法, 但这些方法都需要在系统的跟踪精度和鲁棒性之间折衷[2]。反演控制方法是一种非线性的控制方法, 其在交流电动机调速系统中的应用日益普遍。反演控制通过引入虚拟的控制量, 将复杂的非线性系统分解为简单和阶数更低的系统, 然后选择适当的Lypunov函数来保证系统的稳定性, 并逐步导出最终的控制律及参数自适应律, 实现对系统的有效控制。利用反演算法设计控制器具有很高的灵活性和鲁棒性, 尤其对于非线性系统的控制器的设计很有效。

本文将积分反演自适应滑模变结构控制和模糊控制相结合, 设计了一种积分反演自适应模糊滑模控制器:1在设计滑模面时引入积分项, 这样只需知道被跟踪信号即可, 消除了滑模控制中被跟踪信号的一阶及高阶导数已知的假设, 同时使跟定速度实现了无静差跟踪。2引入自适应控制。自适应控制不需知道参数的界, 利用自适应律对系统参数进行在线辨识, 并以此来改变控制器的控制参数, 使控制系统对参数变化具有抗干扰能力, 且自适应律是连续的, 从而也减弱了系统的抖振。3针对滑模控制中切换控制律的控制增益, 用模糊控制进行估计, 实现了增益在线调整, 达到了减小抖振的效果。 4趋近方法中趋近律的设计对于减小抖振也很重要。设计滑模变结构控制律时常用的趋近律包括等速趋近律、指数趋近律、幂次趋近律、一般趋近律等4种, 但这些趋近律各有缺点, 因此, 本文重新设计了趋近律[3]。

将积分反演模糊滑模控制方法应用到无刷直流电动机 (Brushless Direct Current Motor, BLDCM) 调速系统中, 并与PID控制方法进行了比较, 仿真结果表明, 系统采用积分反演滑模自适应控制后, 具有更好的控制性能及更强的抗干扰性。

1 BLDCM系统描述

以两相导通星形三相六状态为例, 分析BLDCM的数学模型及电磁转矩特性。假设电动机磁路不饱和, 不计涡流和磁滞损耗, 三相绕组完全对称, 忽略齿槽、换相过程和电枢反应的影响, 且反电势波形为120电角度的梯形波[4], 则三相绕组的电压平衡方程式为

式中:Ua, Ub, Uc为电动机三相绕组的相电压;R为绕组电阻;ia, ib, ic为电动机三相绕组的相电流;L= Ls-M, 其中Ls为三相绕组的自感, M为绕组间的互感;Ea, Eb, Ec为电动机三相绕组的相反电动势。

永磁无刷直流电动机的电磁转矩是由定子绕组中的电流与转子磁钢产生的磁场相互作用而产生的。定子绕组产生的电磁转矩为

式中:ω 为电动机机械角速度。

当电动机运行在120°导通模式下时, 不考虑换相的暂过程, 三相Y形接线的定子绕组中只有两相是导通的, 其电流大小相等、方向相反, 因此, 式 (2) 可以化简为

式中:KT为转矩系数;i为电枢绕组电流。

机械运动方程为

式中:J为转动惯量;ωm为电动机转动的角速度; B为阻尼系数;TL为负载转矩。

忽略无刷电动机绕组中因换向引起的电流波动以及二极管的压降和续流, 同时把电动机看成一个整体, 则BLDCM的电压平衡方程式可表示为

式中:U为电动机绕组端头的电压值;ra和La分别为电枢绕组的电阻和电感;ke为反电动势系数。

根据式 (3) —式 (5) 及BLDCM原理, 推导出BLDCM的二阶动力学模型, 设状态变量x1=ω, 为ω 的一阶导数, 则状态方程为[5]

2积分反演自适应模糊滑模控制器设计

积分反演自适应模糊滑模控制器的设计包括积分反演自适应滑模控制器和模糊控制器2个部分。 设计反演自适应滑模控制器的基本思想:将复杂的非线性系统分解成不超过系统阶数的子系统, 然后为子系统分别设计Lyapunov函数和中间虚拟控制量, 采用反向递推的思路, 利用中间虚拟控制量, 将一个已知的Lyapunov函数的镇定函数与系统状态的变化以及参数的调节联系起来, 实现系统在Lyapunov意义下的渐近稳定, 从而推导出控制律函数, 实现系统的高精度控制, 完成控制器的设计。模糊控制器设计:设计模糊系统来逼近系统中的不确定函数, 并设计模糊系统的参数自适应律, 使模糊系统的参数能够随被控对象参数的变化而自动调节, 从而实现控制系统的控制目标。BLDCM控制原理如图1所示。

2.1积分反演自适应滑模控制器设计

为了便于推导证明, 设BLDCM的二阶非线性系统模型为[4]

式中:为不确定项;为系统输入;d (t) 表示系统的外部干扰。

将式 (7) 改写为其中 Δf (x) , Δβ分别表示系统建模时的不确定部分。

设计一个跟踪器使被控对象的期望输出值即给定值和被控对象的实际输出值之间的误差为零, 即其中ωd为电动机转速的给定值, 即期望输出值, ωr为电动机实际转速的输出值。

跟踪器设计步骤:

(1) 定义跟踪误 差z1=x1-xd, 则定义Lyapunov函数为

定义其中c1为正常数, z2为虚拟控制项，设计积分切换函数:

式中:k0, k1为大于零的常数。

由于则

式中:k1+c1为大于零的常数。

(2) 设计Lyapunov函数:

设计Lyapunov函数:

式中:为估计误差, 即估计值与F之间的误差;γ为正常数。

则

设计控制律:

式中:η为保证系统运动达到滑模面的切换增益; h为趋近律参数。

设置η的目的是为了消除系统不确定性的影响。η设置得过大会使系统的抖振过大, 设置得过小则达不到抗干扰的效果, 所以本文在2.2节提出了设置模糊切换增益的方法。

自适应律为

将式 (13) 和式 (14) 代入式 (12) , 得

可得

保证Q为正定的 条件为通过选取h, c1, k1的值, 即可保证︱Q︱为大于零 的数, 从而保证Q为正定的。

2.2模糊控制器

滑模控制律可表示为u=ueq+usw, 其中ueq表示等效控制, usw表示切换控制。为了获得更好的控制效果, 提高控制精度, 减小滑模控制过程中的抖振, 切换控制律中的切换增益的选取很重要。但由于干扰是未知量, 很难确定, 在实际应用中往往是根据设计者的经验来设定切换增益, 这样设计出来的控制器就比较保守。如果切换增益选得太大, 会产生很大的抖振;如果切换增益选得过小, 则会造成系统不稳定。

分析系统相平面可得, 系统运动点到滑模面的距离为对其求导可得点靠近滑模面的速度, 系统的相点通过滑模面速度直接影响系统的抖振程度。因此, 在相点接近滑模面时要尽量减小通过速度, 当相点离滑模面较远时, 应尽量增大切换控制律的切换增益, 这样可以保证系统的鲁棒性和可达性[6]。根据以上分析, 选择s, 作为模糊控制系统的输入, 输入论域为[-15 15], 输出量 Δη的论域为[-1.5 1.5], 语言变量取{NB, NM, NM, ZE, PS, PM, PB}。模糊输入及模糊输出的隶属度函数分别如图2、图3所示。

进行模糊推理时, 采用2个输入、1个输出的二维模糊控制器结构。模糊控制设计规则:1保证滑模存在且到达条件成立;2在相点离滑模面较远时, 取较大的切换控制幅值;而在相点距滑模面较近时, 取较小的切换控制幅值, 以尽量减小相轨迹穿越滑模面s=0的速度。

去模糊化时采用重心法, 以隶属度为加权系数求出加权平均值, 并以此作为控制输出的 精确量。采用积分法对的上界进行估计:

式中:G为比例系数, 是正常数。

控制律最终可表示为

2.3趋近律优化

为了获得更好的调节特性, 重新设计趋近律。 研究表明, 通过调整趋近律的参数h, 会导致滑动模态到达滑模面过程的动态品质与高频抖振之间的矛盾。通过研究, 结合幂次趋近律得出新的趋近律, 其中σ2σ 起平滑作用, kσ 保证了趋近速度。新的控制律可表示为

3仿真研究

为了验证积分反演模糊滑模控制方法的有效性, 在Matlab/Simulink平台搭建BLDCM调速系统进行仿真。系统参数设置:J=0.000 3kg·m2, B=0.000 1, KT=0.93N·m/A, L=0.006, ke= 0.95V/ (rad·s-1) , 定子绕组电阻值R=2.3 Ω。 转速误差变化如图4所示, 其中误差即设定转速与实际转速的差值。相轨迹如图5所示, 其中纵坐标表示误差对时间的导数。可以看出, 积分反演模糊滑模控制方法调节速度很快。

积分反演自适应模糊滑模控制与普通PID控制的速度控制曲线如图6所示。从图6可以看出, 采用积分反演自适应模糊滑模控制时电动机启动更快, 在突加10N负载时, 能很快地回复到原来的转速, 而且几乎没有静差。

积分反演自适应模糊滑模控制与普通滑模控制的速度控制曲线如图7所示。从图7可以看出, 采用普通滑模控制时, 曲线虽然没有超调, 但是调节时间明显要慢, 而且在加入负载后不能完全地回到原来设定的转速, 存在一定的静差, 而积分反演自适应模糊滑模控制则几乎没有静差, 调节时间也比普通滑模控制快很多。

积分反演自适应模糊滑模控制与普通PID控制的转矩变化曲线如图8所示。从图8可以看出, 采用积分反演自适应模糊滑模控制时的转矩更小。

积分反演自适应模糊滑模控制与普通PID控制的电流变化曲线如图9所示。从图9可以看出, 采用积分反演自适应模糊滑模控制时, 定子电流更加平稳, 而且在加入负载后定子电流很快达到预定值并且保持平稳, 这就很大程度地降低了电动机的转矩抖动。

不同控制策略的性能对比见表2。从表2可以看出, 积分反演自适应模糊滑模控制在控制BLDCM时有很大的优势, 具有实际应用价值。

4结语

基于滑模变结构控制理论并结合反演控制、积分滑模和模糊控制等方法, 设计了BLDCM积分反演自适应模糊滑模控制器。该控制器具有抗扰能力强、控制精度高、响应速度快等优点。仿真结果表明, 该控制器用于对快速性要求很高的运动控制场合, 是很有效的, 且其继承了传统控制策略的优点, 对系统参数变化和外界扰动表现出很强的鲁棒性, 在电动机运动控制领域具有广阔的发展前景。

参考文献

[1]陈志梅, 张井岗, 曾建湖.交流伺服系统的积分模糊滑模控制[J].电机与控制学报, 1999, 3 (1) :38-41.

[2]骆再飞, 吴文昌.动态积分滑模控制及其在交流伺服系统中的应用[J].机电工程, 2006, 23 (7) :1-4.

[3]高航, 蒋东芳, 蒋晶.直流电动机的优化滑模变结构控制[J].计算机仿真, 2009, 26 (8) :341-344.

[4]夏长亮.无刷直流电机控制系统[M].北京:科学出版社, 2009.

[5]安树.反演滑模控制在BLDCM伺服系统中的应用[J].机械工程与自动化, 2008 (6) :161-163.

[6]郭亚军, 马大为, 王晓锋, 等.反演控制在交流位置伺服系统中的应用[J].机床与液压, 2011, 39 (1) :74-76.

[7]李运德, 张淼.无刷直流电机的指数趋近律滑模变结构控制[J].电机与控制应用, 2011, 38 (3) :32-35.

[8]刘金琨.滑模变结构控制MATLAB仿真[M].2版.北京:清华大学出版社, 2012:339-342.

[9]GLUMINEAU A, HAMY M, LANIER C, et al.Robust control of a brushless servo motor via sliding mode techniques[J].International Journal of Control, 1993, 58 (5) :979-990.

[10]李智, 刘锡成.BLDCM位置伺服系统的模糊滑模控制[J].航空计算技术, 2005, 35 (2) :105-107.

[11]霍龙, 乐贵高, 胡健.交流位置伺服系统反演滑模并行复合控制[J].机床与液压, 2012, 40 (11) :85-87.

积分控制器 篇5

曲线积分与曲面积分

第十章

曲线积分与曲面积分

【教学目标与要求】

1.理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及两类曲线积分的关系。2.掌握计算两类曲线积分的方法。

3.熟练掌握格林公式并会运用平面曲线积分与路径无关的条件，会求全微分的原函数。4.了解第一类曲面积分的概念、性质，掌握计算第一类曲面积分的方法。

【教学重点】

1.两类曲线积分的计算方法； 2.格林公式及其应用；

3.第一类曲面积分的计算方法；

【教学难点】

1.两类曲线积分的关系及第一类曲面积分的关系； 2.对坐标的曲线积分与对坐标的曲面积分的计算； 3.应用格林公式计算对坐标的曲线积分； 6.两类曲线积分的计算方法；

7.格林公式及其应用格林公式计算对坐标的曲线积分；

【参考书】

[1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社.[2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社.[3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社

§11.1 对弧长的曲线积分

一、对弧长的曲线积分的概念与性质

曲线形构件的质量

设一曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上 已知曲线形构件在点(x y)处的线密度为(x y) 求曲线形构件的质量

把曲线分成n小段 s1 s2    sn(si也表示弧长)

任取(i  i)si 得第i小段质量的近似值(i  i)si

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曲线积分与曲面积分

整个物质曲线的质量近似为M(i,i)si

i1n

令max{s1 s2    sn}0 则整个物质曲线的质量为

Mlim(i,i)si

0i1n

这种和的极限在研究其它问题时也会遇到

定义

设函数f(x y)定义在可求长度的曲线L上 并且有界，将L任意分成n个弧段 s1 s2    sn 并用si表示第i段的弧长 在每一弧段si上任取一点(i i) 作和f(i,i)si 令max{s1 s2    sn} 如果当0时 这和的极限总存在 则称此i1n极限为函数f(x y)在曲线弧L上对弧长的 曲线积分或第一类曲线积分 记作

Lf(x,y)ds 即

n

limf(i,i)si

Lf(x,y)ds0i1其中f(x y)叫做被积函数 L 叫做积分弧段

曲线积分的存在性 当f(x y)在光滑曲线弧L上连续时 对弧长的曲线积分Lf(x,y)ds是存在的

以后我们总假定f(x y)在L上是连续的

根据对弧长的曲线积分的定义曲线形构件的质量就是曲线积分中(x y)为线密度

对弧长的曲线积分的推广

L(x,y)ds的值 其

limf(i,i,i)si

f(x,y,z)ds0i1n

如果L(或)是分段光滑的 则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2 则规定

LL12f(x,y)dsf(x,y)dsf(x,y)ds

L1L

2闭曲线积分 如果L是闭曲线 那么函数f(x y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作

Lf(x,y)ds

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曲线积分与曲面积分

对弧长的曲线积分的性质

性质1 设c1、c2为常数 则

L[c1f(x,y)c2g(x,y)]dsc1Lf(x,y)dsc2Lg(x,y)ds

性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2 则

Lf(x,y)dsLf(x,y)dsL1f(x,y)ds

2性质3设在L上f(x y)g(x y) 则

特别地 有

|Lf(x,y)dsLg(x,y)ds

Lf(x,y)ds|L|f(x,y)|ds

二、对弧长的曲线积分的计算法

根据对弧长的曲线积分的定义 如果曲线形构件L的线密度为f(x y) 则曲线形构件L的质量为 Lf(x,y)ds

x(t) y(t)(t)

另一方面 若曲线L的参数方程为 则质量元素为

f(x,y)dsf[(t), (t)]曲线的质量为

即

2(t)2(t)dt

f[(t), (t)]2(t)2(t)dt

f(x,y)dsf[(t), (t)]2(t)2(t)dt

L

定理 设f(x y)在曲线弧L上有定义且连续 L的参数方程为 x(t) y(t)(t)

其中(t)、(t)在[ ]上具有一阶连续导数 且2(t)2(t)0 则曲线积分在 且

应注意的问题 定积分的下限一定要小于上限

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Lf(x,y)ds存Lf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt(<)

高等数学教案

曲线积分与曲面积分

讨论

(1)若曲线L的方程为y(x)(axb) 则提示

L的参数方程为xx y(x)(axb)

Lf(x,y)ds? Lf(x,y)dsf[x,(x)]12(x)dx

ab

(2)若曲线L的方程为x(y)(cyd) 则提示

L的参数方程为x(y) yy(cyd)

Lf(x,y)ds? Lf(x,y)dsf[(y),y]2(y)1dy

cd

(3)若曲的方程为x(t) y(t) z(t)(t)

则f(x,y,z)ds?

提示 f(x,y,z)dsf[(t),(t),(t)]2(t)2(t)2(t)dt



例1 计算Lyds 其中L是抛物线yx2上点O(0 0)与点B(1 1)之间的一段弧

解 曲线的方程为yx2(0x1) 因此

L11ydsx21(x2)2dxx14x2dx1(551)

001

2例2 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1)

解 取坐标系如图所示 则ILy2ds

曲线L的参数方程为

xRcos yRsin(<)

于是

ILy2dsR2sin2(Rsin)2(Rcos)2d



R3sin2dR(sin cos) 3

例3 计算曲线积分(x2y2z2)ds 其中为螺旋线xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧

解 在曲线上有x2y2z2(a cos t)2(a sin t)2(k t)2a2k 2t 2 并且

ds(asint)2(acost)2k2dta2k2dt

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曲线积分与曲面积分

于是

22z2)ds2(xy0(a2k2t2)a2k2dt

23a2k2(3a242k2)

小结

用曲线积分解决问题的步骤

(1)建立曲线积分

(2)写出曲线的参数方程(或直角坐标方程) 确定参数的变化范围

(3)将曲线积分化为定积分

(4)计算定积分

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意曲线积分解决问题的步骤，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.已知椭圆L:x2y21周长为a，求(2xy3x24y243)ds。L2.设C是由极坐标系下曲线ra,0及4所围成区域的边界，Iex2y2ds

C讲课提纲、板书设计

作业 P190: 3（1）（3）（5）（7）

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求高等数学教案

曲线积分与曲面积分

§11 对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质

变力沿曲线所作的功

设一个质点在xOy面内在变力F(x y)P(x y)iQ(x y)j的作用下从点A沿光滑曲线弧L移动到点B 试求变力F(x y)所作的功

用曲线L上的点AA0 A1 A2    An1 AnB把L分成n个小弧段

设Ak(xk  yk) 有向线段AkAk1的长度为sk 它与x轴的夹角为k  则

AkAk1{cosk,sink}sk(k0 1 2    n1)

显然 变力F(x y)沿有向小弧段Ak Ak1所作的功可以近似为

F(xk,yk)AkAk1[P(xk,yk)coskQ(xk,yk)sink]sk 于是 变力F(x y)所作的功

W从而

W[P(x,y)cosQ(x,y)sin]ds

L这里(x y) {cos sin}是曲线L在点(x y)处的与曲线方向一致的单位切向量

把L分成n个小弧段 L1

L2   

Ln变力在Li上所作的功近似为

F(i i)siP(i i)xiQ(i i)yi 

变力在L上所作的功近似为

n1F(xk,yk)AkAk1k1n1[P(xk,yk)coskQ(xk,yk)sink]sk

k1[P(i,i)xiQ(i,i)yi]

i1nn

变力在L上所作的功的精确值

Wlim 0[P(i,i)xiQ(i,i)yi]

i1高等数学课程建设组 高等数学教案

曲线积分与曲面积分

其中是各小弧段长度的最大值

提示

用si{xiyi}表示从Li的起点到其终点的的向量 用si表示si的模

对坐标的曲线积分的定义

定义 设函数f(x y)在有向光滑曲线L上有界 把L分成n个有向小弧段L1

L2   

Ln 小弧段Li的起点为(xi1 yi1) 终点为(xi yi) xixixi1 yiyiyi1(i )为Li上任意一点 为各小弧段长度的最大值

如果极限lim0f(i,i)xi总存在 则称此极限为函数f(x y)在有向曲线L上对坐标i1nx的曲线积分 记作

limf(i,i)xi Lf(x,y)dx 即Lf(x,y)dx0i1n

设L为xOy面上一条光滑有向曲线 {cos sin}是与曲线方向一致的单位切向量 函数P(x y)、Q(x y)在L上有定义

如果下列二式右端的积分存在 我们就定义

LP(x,y)dxLP(x,y)cosds

LQ(x,y)dyLQ(x,y)sinds

前者称为函数P(x y)在有向曲线L上对坐标x的曲线积分 后者称为函数Q(x y)在有向曲线L上对坐标y的曲线积分 对坐标的曲线积分也叫第二类曲线积分

定义的推广

设为空间内一条光滑有向曲线 {cos cos cos}是曲线在点(x y z)处的与曲线方向一致的单位切向量 函数P(x y z)、Q(x y z)、R(x y z)在上有定义 我们定义(假如各式右端的积分存在)

P(x,y,z)dxP(x,y,z)cosds

Q(x,y,z)dyQ(x,y,z)cosds R(x,y,z)dzR(x,y,z)cosds

nnlimf(i,i,i)xi f(x,y,z)dylimf(i,i,i)yi

Lf(x,y,z)dxL00i1i1高等数学课程建设组

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曲线积分与曲面积分

limf(i,i,i)zi Lf(x,y,z)dz0i1对坐标的曲线积分的简写形式

nLP(x,y)dxLQ(x,y)dyLP(x,y)dxQ(x,y)dy

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

对坐标的曲线积分的性质

(1)如果把L分成L1和L2 则

LPdxQdyLPdxQdyLPdxQdy

2(2)设L是有向曲线弧 L是与L方向相反的有向曲线弧 则

LP(x,y)dxQ(x,y)dLP(x,y)dxQ(x,y)dy

两类曲线积分之间的关系

设{cosi sini}为与si同向的单位向量 我们注意到{xi yi}si 所以 xicosisi yisinisi

limf(i,i)xi Lf(x,y)dx0i1n

lim0f(i,i)cosisiLf(x,y)cosds

i1nn

limf(i,i)yi Lf(x,y)dy0ilim0f(i,i)sinisiLf(x,y)sinds

i1n即

LPdxQdyL[PcosQsin]ds

LAdrLAtds

高等数学课程建设组 或

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其中A{P Q} t{cos sin}为有向曲线弧L上点(x y)处单位切向量 drtds{dx dy}

类似地有

或

PdxQdyRdz[PcosQcosRcos]ds

AdrAtdsAtds

其中A{P Q R} T{cos cos cos}为有向曲线弧上点(x y z)处单们切向量 drTds {dx dy dz } A t为向量A在向量t上的投影

二、对坐标的曲线积分的计算

定理 设P(x y)、Q(x y)是定义在光滑有向曲线L x(t) y(t) 上的连续函数 当参数t单调地由变到时 点M(x y)从L的起点A沿L运动到终点B 则

LLP(x,y)dxP[(t),(t)](t)dt

Q(x,y)dyQ[(t),(t)](t)dt

讨论

提示

LP(x,y)dxQ(x,y)dy？

LP(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt

定理 若P(x y)是定义在光滑有向曲线 L

x(t) y(t)(t)上的连续函数 L的方向与t的增加方向一致 则

LP(x,y)dxP[(t),(t)](t)dt



简要证明 不妨设 对应于t点与曲线L的方向一致的切向量为{(t) (t)}

所以

cos(t)

22(t)(t)从而

LP(x,y)dxLP(x,y)cosds

P[(t),(t)](t)2(t)2(t)dt

2(t)2(t)高等数学课程建设组

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

应注意的问题 P[(t),(t)](t)dt

下限a对应于L的起点 上限 对应于L的终点 不一定小于 

讨论

若空间曲线由参数方程xt) y =(t) z(t)给出 那么曲线积分

如何计算？提示

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz？

P(x,y,z)dxQ(x,y,z)dyR(x,y,z)dz

 {P[(t),(t),(t)](t)Q[(t),(t),(t)](t)R[(t),(t),(t)](t)}dt 其中对应于的起点 对应于的终点

例题

例1计算Lxydx 其中L为抛物线yx上从点A(1 1)到点B(1 1)的一段弧

2例2 计算Ly2dx

(1)L为按逆时针方向绕行的上半圆周x2+y2=a2 

(2)从点A(a 0)沿x轴到点B(a

0)的直线段

例3 计算L2xydxx2dy(1)抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧(2)抛物线xy2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧(3)从O(0 0)到A(1 0) 再到R(1 1)的有向折线OAB 

例4 计算x3dx3zy2dyx2ydz 其中是从点A(3 2 1)到点B(0 0 0)的直线段AB

例5 设一个质点在M(x y)处受到力F的作用 F的大小与M到原点O的距离成正比 F

x2y21的方向恒指向原点

此质点由点A(a 0)沿椭圆2按逆时针方向移动到点B(0 b) 2ab求力F所作的功W

小结

1.第二类曲线积分的定义；

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2.第二类曲线积分的计算方法。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意第二类曲线积分的定义和计算方法，要结合实例，反复讲解。

师生活动设计

1.已知为折线ABCOA，计算Idxdyydz

讲课提纲、板书设计 作业 P200: 3（1）（3）（5）（7），4

§113 格林公式及其应用

一、格林公式

单连通与复连通区域

设D为平面区域 如果D内任一闭曲线所围的部分都属于D

则称D为平面单连通区域 否则称为复连通区域

对平面区域D的边界曲线L 我们规定L的正向如下 当观察者沿L的这个方向行走时 D内在他近处的那一部分总在他的左边

区域D的边界曲线L的方向

定理1设闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数P(x y)及Q(x y)在D上具有一阶连续偏导数 则有

(DQP)dxdyPdxQdy

Lxy其中L是D的取正向的边界曲线

简要证明 仅就D即是X－型的又是Y－型的区域情形进行证明

设D{(x y)|1(x)y2(x) axb} 因为

P连续 所以由二重积分的计算法有 yPdxdyb{2(x)P(x,y)dy}dxb{P[x,(x)]P[x,(x)]}dx

21ya1(x)yaD另一方面 由对坐标的曲线积分的性质及计算法有

PdxPdxPdxP[x,1(x)]dxP[x,2(x)]dx

LL1L2abba

{P[x,1(x)]P[x,2(x)]}dx

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ab高等数学教案

曲线积分与曲面积分

因此

PdxdyPdx

yLD

设D{(x y)|1(y)x2(y) cyd} 类似地可证

QxdxdyLQdx

D由于D即是X－型的又是Y－型的 所以以上两式同时成立 两式合并即得

QPdxdyPdxQdy

LxyD

应注意的问题

对复连通区域D 格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分 且边界的方向对区域D来说都是正向

设区域D的边界曲线为L 取Py Qx 则由格林公式得

21xdyydx dxdyxdyydx 或AdxdyLL2DD

例1 椭圆xa cos  yb sin 所围成图形的面积A

分析

只要QPQ1 就有(P)dxdydxdyA

xyxyDD

例2 设L是任意一条分段光滑的闭曲线 证明

L2xydxx2dy0

eydxdy 其中D是以O(0 0) A(1 1) B(0 1)为顶点的三角形闭区域

D

2例3 计算

分析 要使QPy22e 只需P0 Qxey

xy

例4 计算xdyydxLx2y2 其中L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线

L的方向为逆时针方向

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曲线积分与曲面积分

yQy2x2Px2

2解 令P2 Q2 则当xy0时 有

x(x2y2)2yxy2xy2记L 所围成的闭区域为D 当(0 0)D时 由格林公式得

xdyydxLx2y20

当(0 0)D时 在D内取一圆周l x2y2r 2(r>0) 由L及l围成了一个复连通区域D 1 应用格林公式得

xdyydxxdyydxLx2y2lx2y20

其中l的方向取逆时针方向

于是

2r2cos2r2sin2xdyydxxdyydxd2  2Lx2y2lx2y20r记L 所围成的闭区域为D

当(0 0)D时 由格林公式得

xdyydxQP(Lx2y2xy)dxdy0

DyQy2x2Px22分析 这里P2 Q2 当xy0时 有

x(x2y2)2yxy2xy2

二、平面上曲线积分与路径无关的条件

曲线积分与路径无关

设G是一个开区域 P(x y)、Q(x y)在区域G内具有一阶连续偏导数 如果对于G内任意指定的两个点A、B以及G内从点A到点B的任意两条曲线L

1、L 2 等式

LPdxQdyLPdxQdy

12恒成立 就说曲线积分

设曲线积分的曲线 则有

LPdxQdy在G内与路径无关 否则说与路径有关

1和LPdxQdy在G内与路径无关 L

L 2是G内任意两条从点A到点BLPdxQdyLPdxQdy

12高等数学课程建设组 高等数学教案

曲线积分与曲面积分

因为

LPdxQdyLPdxQdyLPdxQdyLPdxQdy0

121

2LPdxQdyL12PdxQdy0L1(L2)PdxQdy0

所以有以下结论

曲线积分LPdxQdy在G内与路径无关相当于沿G内任意

LPdxQdy等于零 闭曲线C的曲线积分

定理2 设开区域G是一个单连通域 函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 则曲线积分LPdxQdy在G内与路径无关（或沿G内任意闭曲线的曲线积分为零）

PQ yx的充分必要条件是等式

在G内恒成立

充分性易证

若PQ 则QP0 由格林公式 对任意闭曲线L 有

yxxy

QPPdxQdydxdy0

LxyD

必要性

假设存在一点M0G 使QPQP0 不妨设>0 则由的连续性 存在xyxyQP 于是沿邻域U(M0, )边界l 的xy2M0的一个 邻域U(M0, ) 使在此邻域内有闭曲线积分

PdxQdylU(M0,)(QP)dxdy20

xy2高等数学课程建设组

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曲线积分与曲面积分

这与闭曲线积分为零相矛盾 因此在G内 应注意的问题

QP0

xy

定理要求 区域G是单连通区域 且函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数

如果这两个条件之一不能满足 那么定理的结论不能保证成立

破坏函数P、Q及PQ、连续性的点称为奇点

yx

例5 计算L2xydxx2dy 其中L为抛物线yx2上从O(0 0)到B(1 1)的一段弧

解 因为PQ2x在整个xOy面内都成立

yx所以在整个xOy面内 积分

L2xydxx2dy与路径无关

L2xydxx2dyOA2xydxx2dyAB2xydxx2dy

12dy1 01讨论

设L为一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续闭曲线 L的方向为逆时针方向 问xdyydxLx2y20是否一定成立？

yx在点(0 0)不连续

Q和x2y2x2y2提示 这里PQy2x2P因为当xy0时  所以如果(0 0)不在L所围成的区域内 则结论x(x2y2)2y22成立 而当(0 0)在L所围成的区域内时 结论未必成立三、二元函数的全微分求积

曲线积分在G内与路径无关 表明曲线积分的值只与起点从点(x0 y0)与终点(x y)有关

如果

(x,y)LPdxQdy与路径无关 则把它记为(x0,y0)PdxQdy

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曲线积分与曲面积分

(x,y)

即 L0PdxQdy(x0,y0)PdxQdy

若起点(x0 y0)为G内的一定点 终点(x y)为G内的动点 则

u(x y)(x,y)PdxQdy

0(x,y)为G内的的函数

二元函数u(x y)的全微分为du(x y)ux(x y)dxuy(x y)dy

表达式P(x y)dx+Q(x y)dy与函数的全微分有相同的结构 但它未必就是某个函数的全微分 那么在什么条件下表达式P(x y)dx+Q(x y)dy是某个二元函数u(x y)的全微分呢？当这样的二元函数存在时怎样求出这个二元函数呢？

定理3 设开区域G是一个单连通域 函数P(x y)及Q(x y)在G内具有一阶连续偏导数 则P(x y)dxQ(x y)dy 在G内为某一函数u(x y)的全微分的充分必要条件是等式

PQ yx在G内恒成立

简要证明

必要性 假设存在某一函数u(x y) 使得duP(x y)dxQ(x y)dy

则有 P(u)2u Q(u)2u 因为2uP、2uQ连续

yyxxyxxyyxxyyyxx22Quu

即P所以

yxxyyx

充分性 因为在G内PQ 所以积分P(x,y)dxQ(x,y)dy在G内与路径无关

Lyx在G内从点(x0 y0)到点(x y)的曲线积分可表示为 u(x y)因为

u(x y)

所以

y(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy

00(x,y)(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy

00(x,y)yQ(x0,y)dyxP(x,y)dx

00xuyQ(x,y)dyxP(x,y)dxP(x,y) 0xxy0xx0高等数学课程建设组

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曲线积分与曲面积分

类似地有数的全微分 uQ(x,y) 从而du P(x y)dxQ(x y)dy 即P(x y)dxQ(x y)dy是某一函y

求原函数的公式

u(x,y)

u(x,y)

u(x,y)

例6 验证数

解 这里P(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy

00(x,y)xx0P(x,y0)dxQ(x,y)dy

y0x0yyQ(x0,y)dyxP(x,y)dx

0yxdyydx在右半平面(x>0)内是某个函数的全微分 并求出一个这样的函x2y2yx

Q

x2y2x2y

2因为P、Q在右半平面内具有一阶连续偏导数 且有

Qy2x2P



x(x2y2)2y所以在右半平面内 xdyydx是某个函数的全微分

22xy

取积分路线为从A(1 0)到B(x 0)再到C(x y)的折线 则所求函数为

u(x,y)(1, 0)(x,y)yxdyxdyydxy0

arctan0x2y2x2y2x问 为什么(x0 y0)不取(0 0)?

例7 验证 在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分 并求出一个这样的函数

解

这里Pxy2 Qx2y

因为P、Q在整个xOy面内具有一阶连续偏导数 且有

Q2xyP

xy高等数学课程建设组

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曲线积分与曲面积分

所以在整个xOy面内 xy2dxx2ydy是某个函数的全微分

取积分路线为从O(0 0)到A(x 0)再到B(x y)的折线 则所求函数为

u(x,y)(x,y)yy(0, 0)xydxxydy00x222ydyx20x2y2ydy

2思考与练习

1在单连通区域G内 如果P(x y)和Q(x y)具有一阶连续偏导数 且恒有

QP 那么 xy(1)在G内的曲线积分LP(x,y)dxQ(x,y)dy是否与路径无关? LP(x,y)dxQ(x,y)dy是否为零?

QP xy(2)在G内的闭曲线积分(3)在G内P(x y)dxQ(x y)dy是否是某一函数u(x y)的全微分?

2在区域G内除M0点外 如果P(x y)和Q(x y)具有一阶连续偏导数 且恒有G1是G内不含M0的单连通区域 那么(1)在G 1内的曲线积分LP(x,y)dxQ(x,y)dy是否与路径无关? LP(x,y)dxQ(x,y)dy是否为零?(2)在G 1内的闭曲线积分(3)在G 1内P(x y)dxQ(x y)dy是否是某一函数u(x y)的全微分?

3 在单连通区域G内 如果P(x y)和Q(x y)具有一阶连续偏 导数 PQ 但QP非常简单 那么 yxxy(1)如何计算G内的闭曲线积分?(2)如何计算G内的非闭曲线积分?(3)计算L(exsiny2y)dx(excosy2)dy 其中L为逆时针方向的

上半圆周(xa)2y2a 2 y0

小结

PdxQdy1.格林公式 L

2.格林公式中的等价条件。QPDxydxdy教学方式及教学过程中应注意的问题

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在教学过程中要注意格林公式和其中的等价条件，要结合实例，反复讲解。

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作业 P214: 2(1);3;4(3);5(1),(4);6(2),(5)

§11 4 对面积的曲面积分

一、对面积的曲面积分的概念与性质

物质曲面的质量问题 设为面密度非均匀的物质曲面 其面密度为(x y z) 求其质量

把曲面分成n个小块 S1 S2     Sn(Si也代表曲面的面积)求质量的近似值

(i,i,i)Sii1nn((i i i)是Si上任意一点) 取极限求精确值

Mlim(i,i,i)Si(为各小块曲面直径的最大值)

0i

1定义

设曲面是光滑的 函数f(x y z)在上有界 把任意分成n小块 S1 S2     Sn(Si也代表曲面的面积) 在Si上任取一点(i i i) 如果当各小块曲面的直径的最大值0时 极限limf(i,i,i)Si总存在 则称此极限为函数f(x y z)在曲面上对0i1n面积的曲面积分或第一类曲面积分 记作nf(x,y,z)dS 即



limf(i,i,i)Si f(x,y,z)dS0i1其中f(x y z)叫做被积函数 叫做积分曲面

对面积的曲面积分的存在性

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我们指出当f(x y z)在光滑曲面上连续时对面积的曲面积分是存在的 今后总假定f(x y z)在上连续

根据上述定义面密度为连续函数(x y z)的光滑曲面的质量M可表示为(x y z)在上对面积的曲面积分

Mf(x,y,z)dS

如果是分片光滑的我们规定函数在上对面积的曲面积分等于函数在光滑的

各片曲面上对面积的曲面积分之和 例如设可分成两片光滑曲面1及2(记作12)就规定

12f(x,y,z)dSf(x,y,z)dSf(x,y,z)dS

1

2对面积的曲面积分的性质

(1)设c

1、c 2为常数 则

[c1f(x,y,z)c2g(x,y,z)]dSc1f(x,y,z)dSc2g(x,y,z)dS



(2)若曲面可分成两片光滑曲面1及2 则

f(x,y,z)dSf(x,y,z)dSf(x,y,z)dS

1

2(3)设在曲面上f(x y z)g(x y z) 则

(4)f(x,y,z)dSg(x,y,z)dS

dSA 其中A为曲面的面积



二、对面积的曲面积分的计算

面密度为f(x y z)的物质曲面的质量为Mlimf(i,i,i)Si0i1nf(x,y,z)dS

另一方面 如果由方程zz(x y)给出 在xOy面上的投影区域为D  那么 曲面的面积元素为

2dA1zx(x,y)z2y(x,y)dxdy

质量元素为

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曲线积分与曲面积分

2f[x,y,z(x,y)]dAf[x,y,z(x,y)]1zx(x,y)z2y(x,y)dxdy

根据元素法 曲面的质量为

My(x,y)dxdy

f[x,y,z(x,y)]1zx2(x,y)z2D因此

y(x,y)dxdy

f(x,y,z)dSf[x,y,z(x,y)]1zx2(x,y)z2D

化曲面积分为二重积分 设曲面由方程zz(x y)给出 在xOy面上的投影区域为Dxy 函数zz(x y)在Dxy上具有连续偏导数 被积函数f(x y z)在上连续 则

y(x,y)dxdy

f(x,y,z)dSf[x,y,z(x,y)]1zx2(x,y)z2Dxy

如果积分曲面的方程为yy(z x) Dzx为在zOx面上的投影区域 则函数f(x y z)在上对面积的曲面积分为

f(x,y,z)dSf[x,y(z,x),z]Dzx221yz(z,x)yx(z,x)dzdx

如果积分曲面的方程为xx(y z) Dyz为在yOz面上的投影区域 则函数f(x y z)在上对面积的曲面积分为

22f(x,y,z)dSf[x(y,z),y,z]1x(y,z)x(y,z)dydz yzDyz

例1 计算曲面积分1dS 其中是球面x2y2z2a2被平面 zzh(0ha)截出的顶部

解 的方程为za2x2y2 Dxy 

x2y2a2h2

因为

zxyx zy

222222axyaxyadxdy

222axy高等数学课程建设组 dS1zxz2ydxdy 高等数学教案

曲线积分与曲面积分

所以

1dSaza2x2y2dxdy

Dxy

a提示 02da2h20rdr1ln(a2r2)]a2h22alna

2a[0a2r2h221zxz2y2y2xa1222222

222axyaxyaxy

例2 计算边界曲面

xyzdS 其中是由平面x0 y0 z0及xyz1所围成的四面体的整个

解 整个边界曲面在平面x0、y0、z0及xyz1上的部分依次记为

1、

2、3及4 于是

xyzdSxyzdSxyzdSxyzdSxyzdS

123000xyzdS43xy(1xy)dxdy

1Dxy

3xdx提示 4 z1xy 02101x(1x)3dx3

y(1xy)dy3x06120

dS1z

y3dxdyxzydxd2小结

1.对面积的曲面积分的定义和计算

2.格林公式中的等价条件。

教学方式及教学过程中应注意的问题

在教学过程中要注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、重心公式，简化计算的技巧.，要结合实例，反复讲解。

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课后习题：1，3，7 讲课提纲、板书设计

作业 P218: 4(3);5(2);6(1),(3),(4);8

平衡需求积分卡 篇6

企业只有在物质、心理、情感和精神各方面的需求保持平衡时，才能真正达到高效。但目前除哈佛商学院罗伯特·卡普兰与复兴战略集团（Renaissance Strategy Group）的大卫·诺顿开发的平衡积分卡之外，还没有一种被普遍采用的能够提高企业效率的整体平衡体系。平衡积分卡考察的是企业四个方面的绩效：即财务、客户、内部业务流程、学习及成长。由于它没有直接考察企业文化、企业进化、供应商、企业在当地社群和社会中的作用等重要方面，所以，平衡积分卡还需要进一步完善。除原有的四个方面之外，还应考察其他相关方面，在考察的基础上，最终确定驱动企业发展的基本价值。我们把这种全面考察企业需求平衡的方法和模型称作平衡需求积分卡。

平衡需求积分卡的内容

平衡需求积分卡包括企业生存、企业内在素质、与客户及供应商的关系、企业进化、企业文化、对社会及社群的贡献六个方面。前三个方面即企业生存、企业内在素质、与客户及供应商的关系，代表的是企业的基本需求。企业生存主要涉及利润、财务和资金；企业内在素质主要涉及生产力、质量和效率；与客户及供应商的关系主要涉及销售、服务和高品质的产品。这三个方面是关系每家公司和企业能否成功经营的根本问题，是企业的“硬件”。后三个方面即企业进化、企业文化、对社会及社群的贡献为前三个方面提供支持。企业进化主要涉及员工参与、创新和创造力；企业文化主要涉及企业的愿景、使命、价值和员工的个人实现；对社会及社群的贡献主要涉及对社会和环境的责任、服务社会和变革现实。这些是企业的“软件”。21世纪这些“软件”注定会成为“硬件”。

平衡需求积分卡涉及的主要指标

企业生存 这方面的绩效是通过财务或增长指标衡量的。这些指标在企业生命周期的各个阶段各不相同。譬如，较为成熟的企业关注的目标可能与利润、资产回报、库存现金等有关；公开上市的企业可能希望以其股票价格衡量企业成功与否。这方面对应的是企业的物质需求。

企业内在素质 衡量这一方面绩效的指标是与系统和流程的改善有关的指标，如速度、周转时间、质量、生产力和效率等。其中，最重要的是那些影响客户、财务状况和员工生产力的流程。因此，接受订单与交货的时间间隔、接受订单与付款的时间间隔以及每位员工的产出等，是提高企业内在素质时较常采用的目标，这些目标通常是通过某种形式的流程再造实现的。这方面对应的是企业的部分情感需求。

与客户及供应商的关系 衡量这方面绩效的指标是与市场份额、品牌忠诚、客户满意和客户协作有关的指标，与供应商相关的指标也很重要。价值评定工具可以用来衡量与客户关系及供应商关系的质量，也可用于量度企业与客户和供应商之间价值吻合的程度。这方面对应的是企业的部分情感和精神需求。

企业进化 衡量这方面绩效的指标关系到企业创新的理念，以及根据这些理念进行产品和服务创新的成果：如创新产品和服务，改进现有产品和服务，形成能够改进内部流程的新想法。企业选择的指标应反映企业在提高员工参与程度、改进研究和开发技能、建立创新渠道、增强学习能力等方面的情况。这方面对应的是企业的心理需求。

企业文化 衡量这方面绩效的指标是与愿景、使命、价值和员工的个人实现相关的指标。价值评定工具使企业能够量度个人价值和企业价值、企业价值和理想企业价值、现实价值和理想的价值相吻合的程度，以及核心文化的力量和类型。关键指标可包括CTS指数（测度企业在公共利益、变革、个体利益三者之间比例的指数）、PTOS指数（测度企业中个人、团队、企业、社会价值分布情况的指数）、ST指数（测度企业文化力强弱的指数）。这方面对应的是企业的部分情感和精神需求。

对社会及社群的贡献 衡量这方面绩效的指标是与企业对社会和环境的责任有关的指标。这一方面的关键指标可包括员工为当地社群志愿工作的时间，企业的项目对当地社群和整个社会的影响程度等。这方面对应的是企业的部分精神需求。

平衡需求积分卡的内在逻辑

系统地看，平衡需求积分卡的六个方面构成了一个互动的因果链条。

企业生存 企业的赢利能力和经济增长是由销售（客户关系）和生产力（企业内在素质）直接决定的。而销售和生产力由员工的个人实现（企业文化）、产品创新（企业进化）和社会商誉（对社会和社群的贡献）决定。企业赢利后，不仅可以向股东支付红利，而且可以增加对员工的个人实现（企业文化）、流程及产品创新（企业进化）、客户及供应商关系、对当地社群及社会的贡献等方面的投入。向这五个领域进行再投资时，可以增加获得更多利润的机会。

企业内在素质 当企业关注内部流程和体制时，它们能够提高生产力、效率和质量。生产力的提高能够增加利润，效率的提高能够影响价格。价格条件和质量的改善能够增加为客户提供的价值。

客户及供应商关系 企业在与客户建立协作关系后，它们懂得了如何通过产品和服务的创新和设计，更好地满足客户的需求，提高客户的满意度。企业在与供应商建立协作关系后，不仅找到了降低成本和改进产品质量的方法，而且增加了产品创新的可能性。质量和价格优势可以增加为客户提供的价值。

企业进化 如果企业乐于接受客户反馈的信息，拥有能够发挥员工创造力的文化，重视对研究和开发方面的投入，那么，企业就能够不断创新。关注进化的企业能够持续不断地进行创新，这种创新将成为企业未来活力的源泉。创新的形式可以是新产品和服务，也可以是改进的产品、服务或流程。

企业文化如果企业集中精力建立强有力的企业识别和文化，支持员工的个人实现，它们就能够提高客户满意度并改善与供应商的协作；促进员工的个人实现，还能够提高员工的创造力和工作的动力，从而促进企业的发展。

对社会和社群的贡献如果企业支持所在的社群，并参与一些活动，帮助社会中的弱势群体改善生活及生存条件，那么它们就能够在社会和客户中建立商誉，并使员工产生自豪感。员工的自豪感有助于培育员工的忠诚，为员工提供在当地社群工作的机会，也能够增强员工工作的动力。这些都对企业文化产生积极的影响。企业通常会选择并关注客户所关心的问题，譬如，室外设备制造商会支持环保事业。同样，客户通常会支持那些与自己关心同一问题的企业。

平衡需求积分卡的诊断功能

平衡需求积分卡可以作为诊断工具，对企业目前文化中的10个最重要价值的平衡程度进行评估，最好与价值评估工具（参看本栏目2003年第四期）联合使用，因为企业价值评估模型中的许多价值与积分卡的某一方面直接相关。譬如，"学习"与"企业进化"相关，"信任"与"企业文化"相关。

图1、2分别显示的是A、B两个企业价值评估的结果，从这些价值在平衡需求积分卡中的分布情况，我们可以看出，企业应在哪些方面加强改进。显示结果清楚地表明，A企业和B企业都没有达到很好的平衡。A企业的管理人员关注的是企业进化，对企业生存和企业内在素质也有一定的关注。但缺乏对客户关系和企业文化的关注，同时还需要对社会和社群的贡献方面增加更多的投入。B企业的员工则十分关注企业文化，对企业为社会及社群的贡献以及企业生存有一定的关注。A企业包括了三个基本方面中的两个——生存和内在素质，而B企业只涉及了一个基本方面——生存。两家企业都没有对客户给予足够的关注。B企业的成功很大程度上是因为它具有强有力的文化。但如果它不增加对客户关系、企业内在素质和企业进化的关注，这种成功将无法得到保障。

我们用平衡需求积分卡对18家持久成功企业的核心理念进行了测度，结果发现，这些企业核心理念中涉及的价值都能在平衡需求积分卡的六个方面中找到自己的位置。在18家企业中，有15家企业的价值涉及积分卡中三个或三个以上方面。企业文化是最受关注的方面，而企业生存（利润或股东价值）位列最后。26%的企业提到需要改善企业文化，如员工的个人实现、诚实、正直、尊重、身心投入、热情等。提高企业内在素质排在第二位，占20%。客户及供应商关系列第三位，占19%。企业进化列第四位，占18%。18家企业中只有6家在核心理念中提及了利润。

从此项分析中得出的结论是，财务方面的业绩是与企业对内在素质、企业文化、企业进化、客户及供应商关系、对社会及社群的贡献等方面的投入直接相关的。如果企业为了增加利润而只考虑一个或两个方面的问题，那么它不会取得长期的经济上的成功。成功的企业和成功的个人一样，需要关注其健康状况的所有方面。

平衡需求积分卡的建立过程及主要目的

平衡需求积分卡的建立包括如下三个阶段：

第一阶段：采用“四个为什么”过程（参看本栏目2003年第八期）制定企业的内部和外部使命和愿景宣言。

第二阶段：确定积分卡每个方面的目标，以便支持愿景和使命宣言，为每个目标制定相应的任务和阶段性指标。

第三阶段：确定有助于完成平衡需求积分卡中每方面的任务的价值。将这些价值与“四个为什么”过程中得出的价值进行比较。对企业的价值进行调整，在企业价值中增加实现平衡需求积分卡战略目标所需的价值。

平衡需求积分卡的一个主要目的是制定提高品牌忠诚度的战略。积分卡的所有六个方面都可用于以下目的：

·改善企业文化，促进员工的个人实现，从而改善客户关系。

·改善与供应商的协作，提高企业内在素质，从而提高为客户提供的产品和服务的质量和价值。

·推动企业进化，从而促进产品创新。

·增加企业对当地社群和社会的贡献，从而提高企业在客户中的商誉。

·提高利润，从而增加改善记分卡上其它各个方面所需的资金。

我们正在步入这样一个时代，如果企业不能对社会和环境负责，就不可能建立一个成功的品牌。企业如何在社会中找准自己的位置，以及企业代表着什么，正在变得与企业所销售的产品的质量和技术先进性同样重要。随着越来越多的企业进入世界市场，单纯技术方面的竞争正变得越来越困难。竞争优势将逐渐从单纯的技术优势转为技术和价值优势相结合，这意味着，未来的品牌建设与文化建设之间的关系将更加紧密，不可分割。

平衡需求积分卡使用中应特别注意先行和滞后指标

卡普兰和诺顿除了在开发平衡积分卡方面做出了宝贵的贡献外，他们还使人们意识到，必须建立以提高未来绩效为目的的指标。多数量度财务状况的指标把过去的行为的结果作为衡量对象，这些指标叫做滞后指标，它们无法预测未来的绩效。相反，先行指标量度的是改进措施的绩效，这种改进对于未来的绩效会产生积极的影响。

譬如，“企业文化”方面的一个先行指标可以是多少管理人员完成了情商培训项目，而滞后指标量度的是企业内部相互信任的程度。如果管理人员能够运用他们刚刚学到的情商技能，那么企业的信任程度就会提高。培训（先行指标）和培训的影响（滞后指标）之间会有一段时间间隔。同样，客户协作是先行指标，客户满意是滞后指标。在理想状态下，积分卡的每个方面都有先行和滞后指标。先行指标通常量度的是投入，滞后指标通常量度的是结果和产出（由投入而产生的影响）。如果实际结果与预计的结果不符，则应仔细检视投入的方式和质量。

积分控制器 篇7

在实际工业控制中,许多系统的模型对象通常具有很强的不确定性,而滑模变结构控制由于其对参数变化及扰动不灵敏且鲁棒性强的特点,广泛应用于各种系统的控制中[1,2]。T.L.Chern等人提出了积分变结构控制方案,从而解决普通的滑模变结构在跟踪任意轨迹时由于存在一定的扰动而带来的稳态误差,达到很好的性能指标[3]。

神经网络由于对非线性函数具有非凡的逼近能力作为一种新的控制策略已有了广泛的应用,神经网络和变结构控制结合,利用各自的优点组成复合控制器[4,5]有广泛的应用前景。

本文提出了一种基于神经网络的变结构控制策略设计了带积分操作的变结构控制器,通过神经网络来实时估计系统的不确定性界限,从而降低了以往变机构控制理论分析的条件,更有利于实际系统的有效控制,并有效的减弱“抖振”现象。仿真研究证明了所提出方法的有效性。

2 问题的提出

本文研究的控制对象为

其中X(t)∈Rn,控制U(t)∈Rm,A,B是具有相同维数的常数矩阵,∆A,∆B和∆D为系统参数和外加干扰的不确定性,且上界值不可知,B>0。将(1)式整理得

式中D(t)=B+∆AX(t)+B+∆BU(t)+B+∆D,其中B+=(BT B)-1BT。

定义跟踪误差E(t)=R(t)-X(t),

其中为初始位置指令。该系统的控制目的是在非线性不确定项和外部干扰存在的情况下,给定一个初始指令,系统的状态能得到很好跟踪。

3 常规积分滑模面设计

对于式(2)设计带积分作用的滑模面:

其中C为正常数矩阵,K是状态反馈增益矩阵。

系统方程(2)的状态轨迹达到滑模平面方程(3),即时,其等价动态方程为

如果滑模开关变量s(t)满足

其中1,为符号函数,则滑模的存在性和可达性满足。由式(3)和(5)得

假设不确定及干扰项D(t)为零,则滑模控制律为

其中,kd=(CB)-1ks。

假设

而CB为正值,进一步验证滑模的存在性和可达性,有

显然由式(8)得到的位置控制器保证了滑模的存在性和可达性,即

为了减小抖振现象,可以采用边界层法。用饱和函数代替符号函数,饱和函数定义为:

式中µ为边界层厚度,是一个很小的正数,于是得

定理1在不确定项及干扰的联合上界已知的情况下,对于式(1)所描述的系统,取式(3)定义的动态滑模面,若控制律取式(11)则动态滑模面(3)存在且可达,并使系统(1)渐近稳定。

4 神经网络变结构控制器设计

从式(8)可以看到,控制增益kd与不确定及干扰的上界值密切相关,通过连续调整kd就可以减小抖振。为此这里引用RBF神经网络。在以往的研究中,通常假设系统中每个不确定及干扰部分皆有上界且都已知[6],而这些量一般是无法测量的,所以增加了理论研究的约束条件,不利于实际系统的控制。本文将采用RBF神经网络对不确定及干扰的上界进行学习,而无需已知上界值,从而降低了一般滑模控制研究的条件。利用对上界得估计值,即可得到控制增益kd。

设系统的不确定和干扰的联合上界值是M(t),则RBF网络的输入为X(t),输出为系统不确定部分的联合上界M(t)的估计值

其中Tˆw为RBF网络的权值,φ(x)为高斯基函数。

其中im为第i个神经元的中心,ib为第i个神经元的宽度。

定理2针对系统(1)在不确定及干扰的联合上界值未知的情况下,对于式(1)所描述的系统,取式(3)定义的动态滑模面,若采用

所示的控制律,则动态滑模面(3)存在且可达,并使系统(1)渐近稳定。

证明:选取lyapunov函数其中我们取

则

当s(t)≤µ时,

当s(t)>µ时,

5 仿真实例

考虑以下系统

系统的初始状态为[0.5 0]T,

取C=[3 1],K=[-10-100],η=100,µ=0.1,位值指令取R=0.5sin(2pt),

RBF网络的初始权值取[0.1 0.1 0.1]T,高斯基参数取b=[0.2 0.2 0.2]T,仿真结果如图1-4所示。

图1与图2为采用积分滑模控制律式(11)时的仿真曲线。从图1可以看出,当假设上界已知时,系统响应迅速,跟踪效果较好,验证了定理1的正确性,但从图2可看出,积分滑模控制器虽然采用了饱和函数代替符号函数,但仍存在抖振现象。图3与图4采用积分滑模控制律式(12)-(15),系统也能很好的跟踪,与图2比较能够很好的抑制抖振,验证了定理2的正确性。

6 结束语

本文对不确定系统提出一种基于神经网络的积分滑模控制策略。通过神经网络的在线学习来实时估计系统的不确定性界限,从而使控制系统在滑动平面上的运动,减弱“抖振”现象。并在控制器中利用饱和函数代替符号函数,可以进一步减弱“抖振”现象。实验仿真证明了所提出控制方法的有效性。

摘要：针对一类不确定系统,在系统上界值未知的情况下,结合神经网络能任意的逼近不确定系统的优点,设计出一种神经网络积分变结构控制器,利用RBF(Radial Basis Function)神经网络来实时估计系统的不确定性界限,从而降低了一般变结构控制研究的条件。在变结构控制器中又引入饱和函数取代符号函数,进一步减弱“抖振”现象。仿真效果表明,该方法是有效的。

关键词：积分变结构控制,RBF神经网络,抖振,不确定

参考文献

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[5]王贞艳,张井岗,陈志梅.神经网络滑模变结构控制研究综述[J].信息与控制,2005,34(4):451-456.

积分控制器 篇8

一般采用这种系统浸析黄金或其他贵金属。如果浸析过程所不可缺少的搅拌器转动不匀速或不能平滑调速,将会造成喷溅甚至损坏液体容器,因此在一定范围内连续平滑地调节搅拌速度实际就是控制搅拌器的速度容差。如果采用模糊控制不仅在一定范围内可以达到与PID完全相同的控制效果,而且软件运算比PID简单得多,同时模糊控制处理非线性的能力也比PID强。贵金属浸析系统依靠滴定仪控制ε和PH,通过氧化还原滴定液或根据酸碱溶液平衡点进行滴定,由电磁阀根据ε-PH指示计的示值控制滴定液。这里存在一些问题,例如反应时延长、调节误差漂移大、单回路调节、非线性和死区等。常规控制方法难以满足现代ε和PH的控制要求。由于温度控制采用电接触式传感器,其频繁动作和系统的大时延使系统不稳定因素增加。基于上述原因,采用模糊逻辑控制是完全正确的,它不仅有益于克服上述参数控制中存在的缺陷,同时还给控制系统引入了人工智能[1]成分。

1 模糊控制原理简介

模糊控制是将模糊集合理论[2]应用于控制的结果[3]。模糊逻辑控制(FLC)的核心是控制器输出与输入间模糊关系准则,也就是说,由输入的模糊变量,按照某种模糊推理合成规则,求出作为输出的模糊变量。输出反馈控制器总是以偏差e及其导数ed为输入,FLC也不例外。以e及其导数ed为输入的FLC称为两维FLC。

控制器的输出通常是控制作用的增量△U。取△U与控制作用U相比,至少有两个优点:1)虽然模糊控制的推理规则往往不是线性的,但是U与e间形成类似P+I的关系,而不是P+D的关系,有利于消除静;2)不会产生积分饱和现象.

图2是模糊逻辑控制器与积分器并联的模糊控制系统框图,虚线框内部分由PLC承担。因为获得的测量值一般不是模糊量[4],要求送往执行器的信号一般也不是模糊量,所以从FLC的输入到输出,需要经过输入信号的模糊化和输出信号的精确化。模糊逻辑控制一般用7个语言变量对信号进行模糊化,它们是:正大(PB)、正中(PM)、正小(PS)、零(0)、负小(NS)、负中(NM)、负大(NB)。图2中ki(i=1,2)是比例系数,qi(i=1,2)是量化器,x、y分别表示e及ed的模糊量。量化方法可以根据隶属度的概念,进行线性或非线性的量化。模糊逻辑控制的关键是模糊决策表,这无疑是设计的核心,模糊决策根据不同的x、y输入值,确定模糊输出量。这不能仅靠模糊集合理论解决,如果已知对象的数学模型,则可通过优化搜索技术,设计模糊决策表。模糊决策表实际就是IF…THEN规则控制。图2中ku是模糊控制输出量的反模糊化或精确化系数,ku的确定可用最大隶属度法或加权平均判决法。

模糊控制律往往具有饱和特性,z在e及ed的绝对值很大且两者极性相同时,会很快进入饱和状态,这显然有利于系统的稳定。在模糊控制中,静差往往很难完全消除,此时可以将FLC与积分器并联,组成模糊-积分复合控制器(FLIC)。

2 FLIC在湿法冶金浸析中的应用

图3是带有模糊-积分控制器的湿法冶金浸析过程控制系统框图。表1是该系统的模糊决策表。关于系统的比例系数,采样周期的确定可参阅文献[5]。实验表明,单独采用模糊逻辑控制器[2]的误差明显比使用模糊逻辑-积分控制器的误差大。模糊-积分控制器由PLC承担。表2给出了两种控制器控制下的搅拌速度偏差对比。至于温度、PH和ε的控制效果与搅拌速度基本一致,此处不再赘述。上述系统及设备已在实验室内通过测试。

3 结论

试验表明,采用模糊-积分控制器实现贵金属浸析过程控制,是完全正确的,它不仅有益于克服上述参数控制中存在的缺陷,同时大大消除单纯模糊逻辑控制下的静差。湿法冶金中较难解决的一个问题是PH和ε的相互影响,其可能造成控制振荡,这还有待于进一步的探索.

摘要：在现代湿法冶金中,贵金属的浸析温度、搅拌速度、PH值以及化学势都是非常重要的过程控制参数,控制过程的非线性及参数间的相互影响不能得到完好解决,通过尝试模糊-积分控制器,不仅达到了控制目的,改善了非线性,同时与单纯模糊逻辑控制相比,还使静差大为改善,充分说明模糊逻辑-积分控制是湿法冶金浸析处理的一个良好选择。文章简单介绍了模糊逻辑控制的基本概念及模糊积分控制器在湿法冶金浸析中的应用,最后给出了控制系统框图和实验结果。

关键词：湿法冶金浸析处理,非线性,模糊逻辑,模糊积分控制,框图

参考文献

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[6]郭桂荣.模糊模式识别[M].长沙:国防科技大学出版社,1993:169-180.

[7]吴从炘.BCK-代数的模糊理想的若干性质[J].模糊系统与数学,2001,15(01):10-16.

积分控制器 篇9

近年来,随着石油、煤和天然气等不可再生能源日趋紧张,节能降耗越来越被人们所重视。光伏并网发电作为太阳能利用的主要形式之一,倍受广大科研人员的关注[1]。分布式发电系统与电网接口通常采用逆变器[2,3],并网逆变器的控制对象是网侧的电流,通过控制逆变器输出电流可以使逆变器以单位功率因数向电网供电,或对电网进行无功补偿,并网逆变器的控制性能直接影响到发电系统输出的电能质量[4]。

目前,电流控制主要可以分为线性控制和非线性控制,前者包括PI控制,重复控制等,后者包括滞环控制等。PI 控制具有算法简单和可靠性高的特点,因此被广泛应用于工业过程控制,但常规的 PI控制对正弦的参考电流却难以达到理想的控制效果[5],重复控制器是基于基波周期的误差校正,其稳态性能优越,但暂态特性往往不能满足要求[6],滞环控制具有实现简单和动态响应快的特点,但是开关频率、损耗及控制精度受滞环宽度的影响。环宽越小,控制精度越高,但开关频率和损耗将会增大[7]。

本文是根据频域分析,利用改进的PI控制器将系统的交流稳态误差控制为零,并且给出了单相系统在虚拟的伪三相静止坐标系进行坐标变换的算法,利用dq旋转坐标系中md=jmq这一关系巧妙地实现了控制器的设计.最后,仿真实验证明了此算法的有效性。

1 单相并网逆变器系统原理

1.1 系统拓扑结构

按照功率变换的级数分类,并网逆变器一般可分为单级式和多级式两种拓扑方案。图1所示为单级式逆变器的结构框图,它仅用一级能量变换就可以完成电压调整和并网逆变功能,具有电路简单元器件少可靠性高和高效低功耗等诸多优点,所以在满足系统性能要求的前提下,单级式拓扑结构将会是首选[8]。

图2为单相并网逆变器原理图。其中直流母线由可再生能源提供,逆变桥输出经过电感 L和并网开关 S连接到电网上。电感 L用于滤除开关谐波,通过适当控制使并网逆变器输出与电网电压同频同相的正弦波,实现单位功率因数并网运行[9]。

1.2 线性建模及控制策略

根据图2所示,建立了图3所示的控制结构图,其中,G(S)为控制器的传递函数,R为L的等效串联电阻,在忽略了小惯性时间常数下,K是PWM的等效增益。

根据图3的线性模型可得逆变器输出电流IL为:

${\rm I}{}_L=\frac{{\rm K}G(s)}{sL+R+{\rm K}G(s)}{\rm I}{}_{\text{R}\text{E}\text{F}}(s)-\frac{1}{sL+R+{\rm K}G(s)}U{}_g(s)$ (1)

在工程中大量应用的PI控制器的传递函数为:

$G{}_{\text{Ρ}\text{Ι}}(S)={\rm K}{}_p+\frac{{\rm K}{}_i}{S}$ (2)

比例复数积分PCI控制器的传递函数为:

$G{}_{\text{Ρ}\text{C}\text{Ι}}(S)={\rm K}{}_p+\frac{{\rm K}{}_i}{S-j\omega }$ (3)

对于PI控制器来说,直流量的增益为:$\sqrt{{\rm K}{}_{{\rm P}}^2+\left({\rm K}{}_i/\omega {}_0\right){}^2}$,具有无穷大的增益,可以实现对直流量的零稳态误差控制。同理,在给定的交流频率ω0处,控制器的增益为:$\sqrt{{\rm K}{}_{{\rm P}}^2+\left({\rm K}{}_i/\omega {}_0\right){}^2}$,是有限的增益,参考式(1)可以得出系统输出的电流小于参考电流,存在系统的稳态误差,同时输出电流会受到电网电压的影响。对于PCI控制器来说,控制器在频率ω0处的增益为$\sqrt{{\rm K}{}_{{\rm P}}^2+\left({\rm K}{}_i/0\right){}^2}$,是趋于无穷大的,因此采用PCI控制器系统不会产生稳态误差,即IL=Iref,而且输出电流受到电网干扰的影响很小。

1.3 控制器在单相系统中的实现

传统PID控制器是实数域控制器,而PCI控制器中存在复数j,为复数域控制器,给控制器实现带来一定困难。复变函数理论可知,j代表幅值不变,相位正向旋转 90°。在三相系统中,利用αβ变量mα= j mβ这一关系巧妙地实现j[10]。然而,在单相系统中,由于只有一相电量,无法直接进行坐标变换。因此,就有必要对单相逆变系统进行旋转坐标变换的改造,从而能够在单相系统中实现复数域控制器。

在单相系统中运用旋转坐标变换的原理,设任意的单相变量(电压或者电流)的表达式为:

X(t)=Xm(t)*sin(ωt-Ψ(t)) (4)

将其分解后,可以得到两个相互正交的正弦信号:

X(t)=Xd(t)*sin(αt)-Xq(t)*cos(ωt) (5)

在式(5)中,令:

Xd(t)=Xm(t)*cos(Ψ(t))

Xq(t)=Xm(t)*sin(Ψ(t)) (6)

在上式中,Xd(t)和Xq(t)项包含了任意单相变量的幅值和相位信号,而这两个信号的变化是非常缓慢的,因此可以认为Xd(t)和Xq(t)是直流信号。因此,如果能够将这两项从相乘的正弦和余弦中分离出来,即对任意变量进行解耦,就可以将类似于在三相系统中使用的dq坐标变换应用到单相系统中。一种可行的解耦合策略,整个结构可分为三个部分,其控制流程如图4所示。首先,通过低通滤波器消除开关频率处的谐波量,其次,通过构造一个与网侧电流正交的虚拟电流向量,从而构成虚拟的两相静止坐标系,最后,对这个坐标系进行Park变换(二维正交变换矩阵),就可以得到Xd(t)和Xq(t)。为了构造出虚拟的两相静止坐标系,将实际的网侧电流X(t)延迟1/4周期,得到正交信号Y(t)的表达式为:

Y(t)=Xm(t)*cos(ωt-Ψ(t)) (7)

这样,{X(t),Y(t)}构成了两相虚拟正交αβ坐标系。设id、iq所在的{ d, q}为旋转坐标系, 且令d轴与网侧电压矢量 US的方向保持一致,得出两坐标系间的关系如图5所示。很显然,x的dq轴分量是一个常数,θ是dq坐标系的旋转角度,可由(8)式表达:

θ=∫${}_0^i$ω(τ)dτ+Ψ (8)

因此,单相系统等效的旋转变换矩阵(9)以及逆变换的矩阵(10)为:

${\rm T}=\left[\begin{array}{l}\cos (\omega t)\sin (\omega t)\\ -\sin (\omega t)\cos (\omega t)\end{array}\right]$

(9)

${\rm T}{}^{-1}=\left[\begin{array}{l}\cos (\omega t)-\sin (\omega t)\\ \sin (\omega t)\cos (\omega t)\end{array}\right]$

(10)

逆变器输出电压状态变量的表达式如(11)所示,同时网侧电感电流也有类似的表达式。

$\left[\begin{array}{l}V{}_d\\ V{}_q\end{array}\right]={\rm T}\left[\begin{array}{l}V{}_{\alpha \beta }\cos (\omega t+\Psi )\\ V{}_{\alpha \beta }\sin (\omega t+\Psi )\end{array}\right]=V{}_{\alpha \beta }\left[\begin{array}{l}\cos \Psi \\ \sin \Psi \end{array}\right]$

(11)

单相并网逆变器的主要控制对象就是网侧电感的电流IL,由图2的单相并网逆变器原理图,假定直流母线的输出电压恒定,并且电路中无损耗,根据基尔霍夫电压定律可得,其中V(t)是逆变器输出电压:

$L\frac{\text{d}{\rm I}{}_L(t)}{\text{d}t}=V(t)-V{}_g(t)$ (12)

假定市电电压Vg(t)为参考角度,根据式(5)可将式(12)中各个变量的表达式改写为:

$\{\begin{array}{l}V{}_g(t)=V{}_m(t){}^{*}\sin (\omega t)\\ {\rm I}{}_L(t)={\rm I}{}_d(t){}^{*}\sin (\omega t)-{\rm I}{}_q(t){}^{*}\cos (\omega t)\\ V(t)=V{}_d(t){}^{*}\sin (\omega t)-V{}_q(t){}^{*}\cos (\omega t)\end{array}］$

(13)

联合式(12)(13),可以得到与电感电流有关的系统特性方程(14):

$\begin{array}{l}\frac{{\rm I}{}_d(t)}{\text{d}t}=\frac{V{}_d(t)}{L}-\frac{V{}_m(t)}{L}-\omega {\rm I}{}_q(t)\\ \frac{{\rm I}{}_q(t)}{\text{d}t}=\omega {\rm I}{}_d(t)+\frac{V{}_q(t)}{L}(14)\end{array}$

1.4 系统解耦控制

由单相并网逆变器的输出电流公式(1)可知,系统扰动主要源于电网,电网的扰动或者畸变会导致并网电流的畸变,为了进一步的提高并网电流的质量,引入前馈电压补偿,另外,从单相VSI的dq模型方程式(14)可以看出,由于VSI的d、q轴变量相互耦合,会给PCI控制器设计造成困难,采用前馈解耦合控制,系统的控制结构如图6所示。

2 仿真实例和实验结果分析

采用MATLAB/Simulink对PI和PCI+解耦合单相逆变器并网电流控制进行仿真研究。仿真参数如下:电网电压幅值155 V,工频50 Hz,直流母线电压360 V,给定电流峰值为19.34 A,系统的开关频率是20 kHz,滤波电感3 mH(0.01 Ω)。

对参数Kp,为保证系统具有较快的响应速度,同时避免放大噪声,系统带宽范围一般选择高于基波频率10倍且低于开关频率的1/5,根据带宽的定义,当系统闭环幅频特性的幅值降到3 dB时对应频率为ωb,0～ωb的频率范围称为系统的带宽[11]。考虑到Kp和Ki对闭环幅频特性的影响,本文选取系统的带宽fb=720 Hz,ωb=4 524 rad/s。因此,此系统的Kp=0.15,Ki=25。

2.1 单相逆变系统PCI控制算法可行性验证

图7、8是单相并网逆变器PCI控制的并网仿真结果,其中包含了给定参考电流IREF、网侧电流IL和市电电压Ugrid。从图8可以看出,并网逆变器在经过一个工频周期的过渡过程之后稳定的并网发电,实际的并网电流IL能够无静差的跟踪给定的正弦参考电流IREF。同时,从图7看出并网电流和电网电压同频同相,逆变器能够实现单位功率因数的并网发电。证明了比例复数积分控制算法的可行性。

2.2 PCI和PI控制方式的稳态性能和抗干扰能力比较

由上文分析可知,常规的PI调节器跟踪交变的信号会存在误差,经过PI运算后输出的SPWM调制波会有比较严重的脉动,含有大量的谐波,因此,并网逆变器输出电流会与给定的参考电流产生较大的误差,同时含有谐波分量。图9分别是PI控制器下的参考电流和实际并网电流的误差结果,表明了实际运算中并网电流会产生幅值和相位的误差,调节Ki和Kp不能完全的消除这种误差。比较图8和图9,由仿真结果对比可以看出,在稳态时,PI控制、PCI+解耦控制下逆变器输出电流峰值分别为17.45 A和19.3 A,PCI控制方式下能够无静差的跟踪交流正弦信号。

为了进一步的验证两种控制方式的稳态性能,研制了一台1 kW的试验样机进行了测试试验,样机的主要参数如下:直流输入电压400 V,滤波电感3 mH,采样频率20 kHz。图10分别是两种控制方式下并网逆变器的试验波形。从两个波形对比同样可以得到与仿真同样的试验结论。

另一方面,仿真模拟电网电压有比较大的扰动(仿真时在0.04 s时电网电压突降到100 V),比较仿真结果图11、12可知,并网电流总谐波畸变率(ηTHD)分别为3.87 %和0.6 %。PI控制下逆变器输出波形产生了较大的波形畸变,输出电流的FFT分析如图13所示,抗电网干扰能力较差,而在PCI解耦控制下,d-q轴电流是将交流量分解成为等效的直流量进行分开的控制,输出电流是正弦波而且没有严重的脉动现象,因此可以验证,后者应用于系统后,系统有更强的抗电网干扰能力。

3 结束语

本文将比例复数积分控制应用到单相并网逆变器,建立了单相系统在d-q旋转坐标系下的数学模型,通过理论分析并且对单相并网逆变器进行控制器仿真,与传统PI控制对比,验证了PCI解耦合控制有对交变信号零稳态误差跟踪和抗干扰性能。

摘要：设计了一种具有零稳态误差和低谐波注入的单相并网逆变器控制系统,系统的控制器由比例调节器Kp和复数积分调节器构成。与传统PI控制器相比,比例复数积分控制器(PCI)在基波频率处增益无穷大,因此可以完全消除稳态误差。通过理论分析,构造了单相系统虚拟的伪三相静止坐标系进行坐标变换,利用dq旋转坐标系实现复数域的实数化。理论分析和仿真实验结果都证明了系统具有良好的稳态性能和抗干扰性能,并且对并网电流有一定的谐波抑制作用。

关键词：单相并网逆变器,PCI控制器,零稳态误差,dq旋转坐标系,谐波抑制

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积分控制器 篇10

伺服系统广泛应用于机器人装置、数控机床等自动化设备。伺服系统往往受到机械参数时变、外部扰动或工作条件的不确定性影响。现代伺服系统通常与计算机相结合,因此对于高性能的伺服系统,一般要求其具有精度高、无超调、响应速度快且鲁棒性好等特点。近年来,人们为提高伺服系统的控制品质,提出了一些有效的控制方法和技术[1,2]。

滑模变结构控制是一种非线性鲁棒控制器,具有算法简单、易于实现、鲁棒性强等优点,在伺服系统控制领域中具有良好的应用前景。然而,由于滑模控制系统存在切换开关非理想等因素的影响,会产生控制作用的抖振效应。抖振效应会增加机械磨损和能量消耗,甚至可能激发高频未建模动态等[3]。为提高滑模控制的性能品质和降低控制抖振效应,人们采用具有平滑特性的饱和函数或双曲函数来代替具有开关特性的符号函数[4,5],但单纯的符号函数修正缺乏控制的自适应性。基于自适应律的滑模切换面、控制趋近律或与智能算法相结合的滑模控制方法在很多场合优于传统控制的效果,且具有较好的控制自适应性[6,7,8]。

本文为提高滑动模态中位置伺服系统的控制性能,研究采用比例积分微分滑模切换面,推导出滑模控制器的等效控制器表达式,并提出一种具有自适应律特性的切换控制器形式。理论上对滑模控制器的稳定性及抖振效应进行了分析。采用英国Feedback公司生产的模块化直流伺服系统MS-150开展实验研究。实验结果表明:本文所提出的自适应积分滑模控制器(adaptive integral sliding mode controller,ASMC+I)相比传统的滑模控制器(sliding mode controller,SMC)以及比例-积分-微分(PID)控制器而言,具有更好的控制性能,且较好地降低滑模控制所固有的抖振效应。

2 直流伺服系统的数学模型

直流伺服系统的结构示意图如图1所示。通常其数学模型可表示为

$J\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \theta }}(t)+R{}_{\text{Μ}}\dot{\theta }(t)+{\rm T}{}_{\text{L}}={\rm T}{}_{\text{E}}$ (1)

式中:J为折算到电动机轴上的转动惯量;RM为电机阻尼系数;θ(t)为电动机的转角位置;TL为外部负载扰动和非线性摩擦;TE为电机电磁转矩。

当输入恰当的控制电流i(t),电磁转矩具有关系

TE=Kti(t) (2)

式中:Kt为电动机转矩系数。

将式(2)代入式(1)中并整理有

$\begin{array}{l}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \theta }}(t)=(-R{}_{\text{Μ}}\dot{\theta }+{\rm K}{}_{\text{t}}i(t)-{\rm T}{}_{\text{L}})/J\\ =A\dot{\theta }+Bu(t)+C{\rm T}{}_{\text{L}}(3)\end{array}$

其中 A=-RM/J B=Kt/J>0 C=-1/J

采用控制作用符号u(t)来表示电流i(t)。

考虑实际伺服系统存在着电机参数、外部负载的时变性,非线性摩擦以及模型中不可预测的不确定项,那么电机伺服系统的实际模型可表示为

$\begin{array}{l}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \theta }}(t)=(A+\text{Δ}A)\dot{\theta }+(B+\text{Δ}B)u(t)+C{\rm T}{}_{\text{L}}+U{}_{\text{Τ}}\\ =A\dot{\theta }+Bu(t)+{\rm N}(t)(4)\end{array}$

式中:ΔA和ΔB为由系统系数J,RM和Kt引起的参数变化;UT为由非理想电流、暂态过程中磁场定向控制或实际控制中非建模动态特性引起的非建模不确定性;N(t)为上述所有不确定性的总和。

即N(t)为

${\rm N}(t)=\text{Δ}A\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \theta }}+\text{Δ}Bu(t)+C{\rm T}{}_{\text{L}}+U{}_{\text{Τ}}$ (5)

假设|N(t)|≤Nm>0,Nm是不确定性因素总和的上界。

当转角位置θ(t)跟踪某给定的期望位置信号θr(t),引入跟踪误差e(t)

e(t)= θr(t)-θ(t) (6)

则可根据式(4)得到误差方程

$\begin{array}{l}\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle e}}(t)=A\dot{e}(t)-Bu(t)-{\rm N}(t)+\\ \stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \theta }}{}_{\text{r}}(t)-A\dot{\theta }{}_{\text{r}}(t)(7)\end{array}$

当设计恰当的控制器u(t),使得当t→∞时,e(t)→0,那么伺服系统的控制目标将得以实现。

3 自适应积分滑模控制器设计

3.1积分滑模函数

传统SMC的滑模函数S(t)依赖于跟踪误差e(t)及其变化$\dot{e}(t)‚\text{它}$常表示为[9]

S(t)=(λ+d/dt)n-1e(t) (8)

式中:n为被控系统的阶数;λ为常数λ∈R+。

对于二阶系统(n=2),通过控制所获得S(t)=0的解是与式(8)相联系的二维相平面里通过原点的一条确定性直线。然而,当存在干扰作用,误差e(t)将不再与滑模面相吻合。由于在伺服系统和其他工业应用的控制问题中,零稳态误差往往很重要。为了提高在干扰情况下零稳态误差的控制性能,本文对式(8)引入积分环节,即[10]

S(t)=(λ+d/dt)n-1e(t)+ki∫${}_0^t$e(τ)dτ (9)

式中:ki是积分增益,且ki∈R+。

引入积分环节后,当n=2,通过控制所得到S(t)=0的解将是与式(9)相联系的三维空间中通过原点的平面。

3.2控制器设计

滑模控制器u(t)通常主要包括针对确定性系统在无干扰情况下的等效控制ueq(t)和用于抑制不确定性干扰因素作用的切换控制us(t)两部分。即

u(t)=ueq(t)+us(t) (10)

针对上述伺服系统的控制问题,在忽略不确定性因素情况下N(t)=0,且当积分滑模函数满足关系:

$\dot{S}(t)=\lambda \dot{e}(t)+\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle e}}(t)+k{}_{\text{i}}e(t)=0$ (11)

结合式(7)可以得到等效控制器

$\begin{array}{l}u{}_{\text{e}\text{q}}(t)=[k{}_{\text{i}}e(t)+(\lambda +A)\dot{e}(t)+\\ \stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \theta }}{}_{\text{r}}(t)-A\dot{\theta }{}_{\text{r}}(t)]/B(12)\end{array}$

在无干扰情况下,ueq(t)的作用可保证系统跟踪误差e(t)从初始状态趋向积分滑模面S(t)=0。当系统存在不确定性因素影响时,等效控制无法保证系统的控制稳定性,因此需要切换控制us(t)来抑制干扰的作用。

传统的切换控制器形式大都为

us(t)=kssgn(s) (13)

式中:ks为切换增益,ks∈R+;sgn(·)是符号函数。

虽然传统的滑模切换控制器能保证伺服系统的滑动模态,并抑制外部干扰,但符号函数的非连续性所带来控制的抖振效应会造成系统机械损坏,甚至会导致控制系统失稳。人们虽然采用具有平滑特性的饱和函数或双曲函数来代替开关特性的符号函数,然而单纯的符号函数修正缺乏控制的自适应性,且消除抖振效应的效果有限。本文在文献[5]基础上,采用双曲函数tanh(·)代替传统的符号函数sgn(·),提出一种具有自适应特性的切换控制器

us(t)=kstanh[S(t)/Ω]{1-ε|tanh[S(t)/Ω]|} (14)

式中:切换控制增益ks为大于零的常数;Ω∈R+是正常数,它可视为影响控制稳态精度和鲁棒性的切换带区域宽度[5];ε为大于1的实数。

式(14)具有自适应规律,能反映控制作用随着|S(t)|大小进行调节的关系。|S(t)|越大,表明偏离滑模面距离越远,则需增大控制作用us(t);相反,|S(t)|越小,表明趋向滑模面距离越近,则需减小控制作用us(t);当|S(t)|=0,则应有us(t)=0。因此基于这种自适应关系,当实现控制目标时,切换控制的抖振效应降低到最小。根据式(10),滑模控制器可表示为

$\begin{array}{l}u(t)=[k{}_{\text{i}}e(t)+(\lambda +A)\dot{e}(t)+\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \theta }}{}_{\text{r}}(t)-\\ A\dot{\theta }{}_{\text{r}}(t)]/B+k{}_{\text{s}}\tanh [S(t)/\Omega ]\times \\ \{1-\epsilon {}^{|\tanh [S(t)/\Omega ]|}\}(15)\end{array}$

3.3控制器稳定性分析

定义系统的Lyapunov函数

V(t)=0.5S(t)2 (16)

当S(t)≠0,V(t)>0;仅当S(t)=0时,V(t)=0。在控制作用下,结合式(7)、式(10)和式(15)有

$\begin{array}{l}\dot{V}(t)=S(t)\dot{S}(t)=S(t)[\lambda \dot{e}(t)+\stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle e}}(t)+k{}_{\text{i}}e(t)]\\ =S(t)[\lambda \dot{e}(t)+A\dot{e}(t)-B(t)-{\rm N}(t)+\\ \stackrel{\cdot \cdot }{{\displaystyle \theta }}{}_{\text{r}}(t)-A\dot{\theta }{}_{\text{r}}(t)+k{}_{\text{i}}e(t)]\\ =S(t)\{Bk{}_{\text{s}}\tanh [S(t)/\Omega ]\times \\ \{1-\epsilon {}^{|\tanh [S(t)/\Omega ]|}\}-{\rm N}(t)\}\end{array}$

由于|tanh[S(t)/Ω]|≤1,可将ε|tanh[S(t)/Ω]|按泰勒级数展开

ε|tanh[S(t)/Ω]|=1+ln ε|tanh[S(t)/Ω]|+{ln ε|tanh[S(t)/Ω]|}2/2+…+{ln ε|tanh[S(t)/Ω]|}m/m!+…

取展开式前2项,并利用xtanh(x)≤xsgn(x)=|x|,且当ks>Nm/(Bln ε)>0时,则有

$\begin{array}{l}\dot{V}(t)\le S(t)\{-Bk{}_{\text{s}}(\ln \epsilon )\tanh [S(t)/\Omega ]\times \\ |\tanh [S(t)/\Omega ]|-{\rm N}(t)\}\\ \le -Bk{}_{\text{s}}(\ln \epsilon )S(t)\mathrm{sgn}[S(t)]-S(t){\rm N}(t)\\ =-Bk{}_{\text{s}}(\ln \epsilon )|S(t)|-S(t){\rm N}(t)\le 0\end{array}$

所以采用式(15)形式的滑模控制器,满足Lyapunov控制稳定性定理,即也满足滑模面S(t)=0的到达条件[3,4]。

4 实验研究

为验证控制方法的有效性及可实现性,本文借助模块化直流伺服系统装置MS-150开展实验研究。

4.1模块化直流伺服系统MS-150的简要介绍

英国Feedback公司生产的模块化直流伺服平台MS-150是一种适于控制理论教学和技术开发的实验设备。它与个人计算机(PC机)相结合所构成的实验设置框图如图2所示。图2中的被控对象位于虚线框内,它由Feedback公司提供的电压衰减装置、前置运放、伺服放大器、永磁直流电动机、减速装置、转角位置转换器(输出电位计)和电磁制动器等模块化器件构成。被控对象的实际转角θ经过轴转位置传感器OP150K后以电压信号形式输出,被控系统的控制输入电压u(t)通过计算机控制器得到。

在实验平台中,伺服放大器SA150D是1个双端输入和输出的功率放大器,它须与1个单端输入、双端输出的前置放大器PA15C相连接。前置放大器PA15C的输入电压范围在-0.25～0.25 V,若输入电压超出该范围,则前置放大器和伺服放大器将工作在饱和状态。为提高容许电压范围,因此在前置放大器前端引入增益因子为0.1的衰减器AU150B,则被控系统输入控制信号的最大电压为2.5 V。PC机承担提供期望转角位置、数据获取、实时控制和系统监控等任务,它通过接口卡PCI1711与外部硬件进行连接通信。A/D转换器、D/A转换器以及测量标定电路集成在转换电路装置33-301,通过该装置可完成相应信号类型的转换。

对于MS-150与PC机相结合的计算机伺服控制系统,它的实时控制程序既可基于Matlab/Simulink环境建立,也可以基于C/C++语言编程实现。本文利用Matlab/Simulink环境实现上述控制方法。在空载情况下,MS-150中被控伺服电机的数学模型G(s)可通过辨识得到[11]

$G(s)=\frac{18.3}{s(0.1s+1)}$ (17)

由式(17)可知相应的系统参数A=-10,B=183。

4.2实验方案设计

基于MS-150实验平台,采用Matlab/Simulink工具箱设计出的实时控制模型图见图3。由图3可知,采集到的转角信号通过PCI1711接口卡进入PC机控制模块,并通过角度转换器把角度编码变换为模拟转角θ(t),θ(t)与期望θr(t)相比较得到转角误差e(t),e(t)通过微分器得到转速误差信号$\dot{e}(t)$。为防止$\dot{e}(t)$的高频成份易造成响应过程提前,导致系统的动态特性降低,实验中以通过一个二阶低通滤波器的信号来代替理论的转速误差信号$\dot{e}(t)$。对应控制方法的控制器模块产生的控制激励u(t),它通过PCI1711接口卡作用于PC机外部的直流伺服电机系统。

4.3实验结果及分析

为验证本文所提出ASMC+I控制方法的优越性,实验中将其分别与PID控制、传统的SMC控制进行比较研究。对于式(17)的被控模型,其PID控制器形式为[11]

u(t)=0.85e(t)+2.83

$\begin{array}{l}{\displaystyle {\int }_0^{t}e}(\tau )\text{d}\tau +\\ 0.057\frac{\text{d}e(t)}{\text{d}t}(18)\end{array}$

采用式(9)和式(13),并选择阈值为±1的饱和函数代替式(13)的符号函数设计出传统的滑模控制器(SMC),该控制器取滑模函数的参数λ=20,ki=0,切换控制器的增益参数为ks=250。对于式(15)的ASMC+I控制,积分滑模函数中λ=20,ki=0.6;切换控制器的增益参数为ks=250,滑模带厚度Ω=30,ε=100。实验选择采样频率1 kHz,并分别采用单位阶跃信号和频率为0.5 rad/s,幅度为1的正弦信号作为转角期望位置。当实验采用单位阶跃信号作为期望位置时,单位阶跃信号的导数被认为是零。

分别采用PID,SMC和ASMC+I控制方法,伺服系统对阶跃信号的响应曲线图见图4。由图4可见:对于PID控制的阶跃响应,其超调量较大,稳态收敛时间较长,控制精度稍逊;对于SMC控制,控制虽无超调,但上升时间几乎与PID控制相同;对于ASMC+I控制,控制性能最好。

选择期望位置为正弦信号θr(t)=sin(0.5t),让PID控制器,SMC,ASMC+I分别应用于实验设备。为验证各控制器的控制鲁棒性,伺服系统的控制输入加入幅度为1 mV、均值为零、均匀分布的噪声以作为外界干扰对控制的影响。各控制实验结果分别如图5、图6和图7所示。由图5～图7比较看出,PID控制虽然能保证稳态误差在允许的范围内(e(t)≤5%),但控制精度逊于滑模控制,且控制器输出电压幅度较大;传统的SMC控制的控制精度有所提高,但输出控制电压抖振效应明显;ASMC+I控制不仅可得到较为理想的跟踪性能,且能较好地削弱控制的抖振现象,使输出电压相对光滑。

5 结论

本文提出位置伺服系统的一种自适应积分滑模控制方法,并理论证明其控制稳定性,并借助模块化伺服系统实验平台,开展控制实验研究。实验结果表明:相比传统的PID控制和滑模控制而言,该自适应积分滑模控制方法具有起控快、精度高、鲁棒性强等优点,且较好地削弱传统滑模控制器所固有的抖振效应。

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定积分热点探究 篇11

求定积分

例1 由直线[x=-π3，x=π3，y=0]与曲线[y=cosx]所围成的封闭图形的面积为（ ）

A.[12] B.1 C.[32] D.[3]

分析 找出[f（x）=cosx]的原函数为[F（x）=sinx]，从而解题.

解法一 由定积分知识可得，

[S=-π3π3cosxdx=sinx|π3-π3=32-（-32）=3].

解法二 余弦函数是偶函数，根据对称性得，

[S=20π3cosxdx=2sinx|π30=3].

答案 D

点拨 应用奇偶函数的对称性可以简化运算.

变式1 求[02|x2-1|dx].

分析 [y=|x2-1|=x2-1，1≤x≤2，1-x2，0≤x<1]是分段函数，各段分别积分再求和.

解析 [∵0≤x≤2，∴|x2-1|=x2-1，1≤x≤2，1-x2，0≤x<1.]

[∴02|x2-1|dx=01（1-x2）dx+12（x2-1）dx]

[=（x-13x3）|10+（13x3-x）|21=2.]

点拨 与绝对值有关的函数均可化为分段函数.分段函数在区间[[a，b]]上的积分可分成几段积分的和的形式.

变式2 计算下列定积分：

（1） [121x2+2xdx]; （2）[π20sin2x2dx].

分析 （1）只需要把[1x2+2x]拆成[1x]与[1x+2]的差;（2）我们要直接求[sin2x2]的原函数比较困难，但我们可以将[sin2x2]先变形为[1-cosx2=12-12cosx]，再求积分，利用上述公式就较容易求得结果.

解 （1）[121x2+2xdx][=12121x-1x+2dx]

[=12lnx21-ln（x+2）21=12（ln3-ln2）.]

（2） [π20sin2x2dx=π201-cosx2dx]

[=π2012dx-12π20cosxdx=12x|π20-12sinx|π20]

[=π4-12.]

点拨 本题第（1）问由[121x2+2xdx]想到被积函数的原函数可能是自然对数的形式，只需要把[1x2+2x]拆成[1x]与[1x+2]的差.运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数.较复杂函数的积分，往往难以直接找到原函数，常常需先化简、变式、换元变成基本初等函数的四则运算后，再求定积分.

求平面图形的面积的

求平面图形的面积的解题步骤：（1）画出图形;（2）确定图形范围，通过解方程组求出交点横（纵）坐标，定出积分上、下限;（3）确定被积函数，注意分清被积函数的上、下位置;（4）写出平面图形面积的定积分的表达式;（5）运用微积分基本公式计算定积分，求出平面图形的面积.

例2 求[y2=x]与[x-2y-3=0]所围图形的面积.

解法一 先求出抛物线与直线的交点[P（1，-1）]与[Q（9，3）]，如图把所求面积的平面图形分成[S1，S2]两部分，分别求得它们的面积.

[A1=01[x-（-x）]dx]=2[01xdx]=[43].

[A2=19（x-x-32）dx=283].

所以[S=43+][283][=1023].

解法二 本题也可把抛物线与直线方程写成[x=y2=g1（y），x=2y+3=g2（y）]， 应用公式对[y]求积分可得，

[S=-13[g2（y）-g1（y）]dy][=-13[（2y+3）-y2]dy][=1023].

点拨 求解时要灵活选择坐标系，积分变量. 由图形特点，适当选取积分变量对计算有很大影响，显然上述解法二简洁.

例3 函数[f（x）=sin（ωx+φ）]的导 函数[y=f（x）]的部分图象如图所示，其中，P为图象与[y]轴的交点，A，C为图象与x轴的两个交点，B为图象的最低点.

（1）若[φ=π6]，点[P]的坐标为（0，[332]），则[ω=] ;

（2）若在曲线段[ABC]与[x]轴所围成的区域内随机取一点，则该点在[△ABC]内的概率为 .

分析 根据定积分知识求出曲边图形的面积，注意复合函数求导问题.

解 （1）[y=f（x）][=ωcos（ωx+φ）]，当[φ=π6]，点[P]的坐标为（0，[332]）时， [ωcosπ6=332，∴ω=3].

（2）由图知，[AC=T2=2πω2=πω，][S△ABC=12AC?ω=π2.]

设[A，B]的横坐标分别为[a，b]，

曲线段[ABC]与[x]轴所围成的区域的面积为[S].

[S=abf（x）dx=f（x）ba=sin（ωa+φ）-sin（ωb+φ）=2.]

由几何概型知，该点在[△ABC]内的概率为

[P=S△ABCS=π22=π4].

点拨 本题考查三角函数的图象与性质、几何概型等. （1）利用点[P]在图象上求[ω]，（2）几何概型，求出三角形面积及曲边形面积，代入公式即得.

例4 在区间[0，1]上给定曲线[y=x2]，试在此区间内确定点[t]的值，使图中的阴影部分的面积[S1]与[S2]之和最小，并求最小值.

分析 先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值.

解 [S1]的面积等于边长为[t]，[t2]的矩形面积去掉曲线[y=x2]与[x]轴、直线[x=t]所围成的面积，即[S1=t?t2-0tx2dx=23t3].

[S2]的面积等于曲线[y=x2]与[x]轴，[x=t，x=1]围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为[t2]，[1-t]，即[S2=t1x2dx-t2?（1-t）=23t3-t2+13].

所以阴影部分面积[S=S1+S2=43t3-t2+13（0≤t≤1）.]

令[S=4t2-2t=4t（t-12）（0≤t≤1）]，

[S=4t（t-12）=0，则t=0或t=12].

[t=0时，S=13;t=12时，S=14;t=1时，S=23].

所以当[t=12]时，[S]最小，且最小值为[14].

点拨 本题先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于定积分的题境中.

积分控制器 篇12

永磁同步电机 (PMSM) 结构简单、功率密度大、效率高、转矩惯量比大, 目前在中小功率的交流伺服系统中获得了广泛应用。然而, PMSM伺服系统是一个多变量、强耦合的非线性系统, 对于一些高性能伺服控制的应用场合, 采用针对局部线性化模型和基于固定参数优化匹配的传统PI控制策略, 在PMSM系统参数变化以及快速大负载扰动的影响下, 不易取得理想的伺服控制效果。为此, 多种非线性控制方法, 如变参数PI控制[1]、自适应控制[2]、学习控制[3]、内模控制[4]、鲁棒控制[5]、自抗扰控制[6]、预测控制[7]、滑模控制[8,9,10]等被用来提高PMSM转速伺服控制性能。

滑模控制 (SMC) 无需精确的对象模型, 可根据系统当前的状态, 以跃变的控制方式迫使系统沿设定的“滑动模态”运动。具有响应速度快、对参数及外加干扰不灵敏、控制器易于工程实现等优点, 适合PMSM伺服控制需求[8,9,10,11]。但在SMC控制的实际系统应用中, 提高稳态跟踪的控制精度、抑制滑模控制律符号函数引起的抖振, 以及合理选取切换函数的增益是常需要关注的问题。

本文根据基于趋近律方法的滑模控制器设计理论, 采用积分型滑模面结构和幂次组合函数趋近律方法设计了一种永磁同步电机 (PMSM) 滑模转速伺服控制器。该方法具有切换增益随系统偏差自适应调整的特性, 并在保证伺服跟踪控制精度的基础上, 切换控制输出无抖振。通过仿真与实验结果验证, 设计的滑模控制器在PMSM系统较广的运行空间内均能有效提高系统的动静态品质, 性能优于常规固定参数PI控制器。

2 PMSM伺服系统模型

假设气隙磁场正弦分布、磁路不饱和, 忽略铁芯涡流和磁滞损耗, 永磁同步电机在d-q旋转坐标系下的数学模型可表示为

式中:r为定子电枢电阻;ud, uq, id, iq, Ld, Lq分别为定子电压、电流和电感在d, q轴上的分量;ωr为转子机械转速;np为极对数;Ψf为永磁转子的磁链。

电磁转矩方程

机械运动方程

式中:J为转动惯量;Bm为摩擦系数;TL为负载转矩。

对于表贴式PMSM有Ld=Lq=L, 且在id=0的磁场定向控制条件下, 机械运动方程可重写为

针对PMSM转速伺服控制系统, 其控制器设计的目的为选择合适的控制律, 使得电机在任何负载转矩工况下, 实际转速ωr快速准确地跟随给定转速ωr*。为此, 定义转速误差

对式 (5) 求导, 并在考虑给定转速的动态过程情况下, 结合式 (4) 可得

取状态变量x=ωe, 控制律u=iq, 并令a=Bm/J, b=3npΨa/2J, c=dωr*/dt, d= (Bmωr*+TL) /J。则在考虑电机参数变化, 并将动态的给定转速ωr*和负载转矩TL的变化当作扰动项的情况下, 可得PMSM转速伺服系统的状态方程:

式中:Da, Db, Dd分别为电机参数摄动量。

现令广义扰动项η=-Dax-Dbu+Dd, 并假设满足|η|≤H, H为正实数。式 (7) 可简化为

3 积分滑模控制器设计

3.1 传统滑模控制

滑模控制器设计包括两个相对独立的步骤:设计滑模面函数s (x) , 使它所确定的滑动模态渐进稳定且具有良好的动态品质;设计滑模控制律u± (x) , 使到达条件得到满足, 从而在滑模面s (x) =0上形成滑动模态。

对于PMSM转速伺服系统式 (8) , 选取积分滑模面函数

式中:kp, ki>0为滑模面系数, 决定最终滑模状态的品质。

当系统状态处于滑模面上时, s (t) =ṡ (t) =0, 即

求解式 (10) , 可得

式中:C0为任意常数;τ为收敛时间常数, τ=kp/ki。

由式 (11) 可知, 积分滑模面函数式 (9) , 可以使系统偏差按照指数曲线形式衰减至零, 从而实现无超调的转速跟踪控制。因此, 可以通过被控PMSM电机的固有电磁响应时间来合理选取偏差的收敛时间常数τ, 进而计算得到积分滑模面的系数取值, 即可达到理想的转速无静差跟踪控制效果。

选取等速趋近律

其中, ε, k>0, k的作用是改善系统的动态品质, 适当调节该参数能够改变系统向滑模面的趋近速度;符号函数的增益参数ε是系统克服摄动及外干扰的主要参数。

由式 (8) 和式 (9) 可解出标称系统的滑模控制律

选取Lyapunov函数

根据Lyapunov稳定性条件, 当条件sṡ<0满足时, 系统在整个状态空间都趋向于滑模面, 并在进入滑动模态后以选定的趋近规律渐近到达稳态。该条件即是求取控制律u± (x) 的依据。

为此, 对式 (14) 求导, 并由式 (8) 和式 (13) 可得:

因此, 选取ε>kpH, 则恒有即控制律式 (13) 满足滑动模态的到达条件, 能够驱使系统沿着滑模线s趋近于平衡原点。

进一步分析式 (13) 可知, 正是符号函数sgn (s) 这一部分切换控制律, 因其理论上的理想瞬时继电特性, 保证了系统对不确定性和外加干扰η的鲁棒控制, 且ε越大, 系统克服摄动和外干扰的能力就越强。但显然, 在滑模面s (x) =0附近, 对于实际系统, 因符号函数sgn (s) 在物理实现上的动作滞后延时, 造成了控制律u的大幅切换, 导致了实际系统的抖振现象, 如图1所示。

为了抑制控制器输出大幅切换引起的系统抖振, 造成控制性能下降和执行器损坏, 常采用连续化方法, 将控制律中的符号函数sgn (s) 由饱和函数sat (s) 代替。

3.2 幂次组合函数趋近律方法

文献[12]提出非线性幂次组合函数fal (s, α, δ) , 并成功地将传统加权和型PID控制, 改造成非线性组合型PID控制。fal (s, α, δ) 函数表达式为

式中:0<α<1;δ>0。

图2所示为幂次组合函数fal (s, α, δ) 、饱和函数sat (s) 和符号函数sgn (s) 的特性比较曲线。

显然, 由特性比较曲线图2可见, 当0<α<1时, fal (s, α, δ) 函数的输出光滑连续, 在较小的s取值区间 (|s|<δ) , 具有较大的增益, 随着s取值的增大 (|s|≥δ) , 其增益逐渐减小。即所谓的“小误差, 大增益;大误差, 小增益”的良好非线性工程特性。因此, fal (s, α, δ) 函数的输出特性非常适用于滑模控制“大范围逼近, 柔和趋近”的控制要求。

综上分析, 在PMSM转速伺服滑模控制器中, 考虑幂次组合变速趋近律

选取Lyapunov函数式 (14) , 当|s|>δ时,

当|s|≤δ时,

显然, 式 (18) 和式 (19) 均满足Lyapunov稳定性条件, sṡ<0。因此, 幂次组合变速趋近律式 (17) 能够将系统引导到滑动模态上, 并在系统状态轨迹向滑模面趋近过程中, fal (s, α, δ) 的幅值逐渐衰减, 呈现出随系统偏差大小而自适应调整切换增益的特性, 并很快趋向于零, 最终使系统稳定于平衡原点上。

为此, 根据式 (17) , 并结合式 (8) 和式 (9) 解出的基于幂次组合变速趋近律的滑模控制律为

4 仿真与实验

4.1 仿真分析

依据前文分析, 应用Matlab/Simulink建立PMSM基于id=0的磁场定向解耦策略的速度伺服控制系统。PMSM的参数为:定子电阻Rs=2.4Ω, 定子电感Ld=Lq=6.35 m H, 转动惯量J=1.33 kg·m2, 粘滞摩擦系数B=0.000 1, 永磁体磁链Ψf=0.35 Wb, 极对数np=4, 额定转速nN=2 500 r/min, 额定转矩TN=5 N·m。

针对PMSM的毫秒级的电磁响应时间, 依据式 (11) 的特性分析, 可选取转速偏差的收敛时间常数τ=0.1 ms, 则积分滑模面参数可通过优选设计为kp=1, ki=10 000。

选取幂次组合变速趋近律参数α=0.5, δ=0.1, k=400, ε=820。

图3为PI和SMC控制下系统转速阶跃跟踪响应波形, 给定转速ωr*=120 rad/s。

由图3可以看出, 在系统无干扰和参数摄动条件下, 通过细致调节PI参数, PI控制和SMC控制均可使得电机有良好的转速跟踪特性。

图4为PI和SMC控制下, 电机在120 rad/s恒定转速工况时, 0.4 s时刻突加额定负载转矩的转速偏差和控制器输出响应曲线。

由图4可以看出, 在PI控制下, 系统的转速偏差最大值和调节时间均约为SMC控制的4倍, 且SMC控制量输出超调小、响应迅速、平滑无抖振。可以表明, SMC控制较PI控制在负载扰动的转速波动幅值和平抑速度上, 具有更好的抑制能力。

图5为PI和SMC控制下, 电机在120 rad/s恒定转速、带额定负载工况时, 0.5 s时刻电机参数摄动量Δa, Δb和Δd同时发生20%增幅情况下的系统转速波动的动态过程, 以及滑模面的迁变过程。

由图5可以看出, 在系统参数摄动后, 积分型SMC可以快速地调节滑模面的状态, 并较PI控制, 在偏差波动的幅值和偏差消除的时间上具有更好的表现。可以表明, SMC控制可以比PI控制更有效地抑制系统参数变化, 且其输出稳态无静差。

另外, 对比分析图3以及图4a和图5a发现, 针对标称系统而优选的PI控制参数, 虽然可使得PI控制和SMC控制在系统标称情况下达到近似相同的良好控制效果, 但对于系统受干扰和参数摄动条件的控制效果, SMC控制强于PI控制。说明SMC控制的大范围适应性和鲁棒性强于PI控制。

仿真结果表明:1) 由于滑模面函数的积分项作用, 使得系统在负载大扰动和参数摄动后, 电机转速跟踪控制输出稳态无静差;2) 由于采用了幂次组合变速趋近律方法, 使得SMC输出平滑无抖振, 控制效果优于PI控制;3) 通过滑模面函数及其参数的优化配置, 系统的控制效果在电机标称态和非标称态之间具有良好的协调能力, 大范围适应性和鲁棒性良好。

4.2 实验结果

利用基于DSP的PMSM伺服控制系统实验平台进行算法验证, 其控制系统结构如图6所示。

实验中, 电机的负载转矩加载利用磁滞测功机来实现, 通过HX-901型转矩转速器和TR-2B型测量仪和读取转速和转矩数据。

图7a为PMSM在0.25 N·m恒定负载下, 转速跟踪120 rad/s的启动阶跃响应曲线。图7b为PMSM在60 rad/s恒转速条件下, 加载2 N·m负载转矩时的转速转矩响应曲线。

由图7可以看出, 在SMC控制下, PMSM转速跟踪响应快速、无超调, 稳态精度较高, 抑制负载扰动的鲁棒性较强。

5 结论

仿真和实验结果表明, 基于幂次组合变速趋近律积分滑模控制器, 能够有效地抑制传统滑模控制律符号函数引起的抖振现象, 并使得切换函数的增益具有随系统偏差大小而自适应调整的特性。在永磁同步电机转速伺服控制应用中, 较传统PI控制器在跟踪速度、稳态精度、抑制参数摄动和大范围负载扰动影响的适应性和鲁棒性方面具有更好的动静态性能表现。

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