光波导放大器论文

光波导放大器论文（共6篇）

光波导放大器论文 篇1

0 Introduction

Er-doped Al2O3 planar waveguide amplifiers have attracted much attention for its potential applications in integrated optoelectronics for signal amplification at 1.53 μm, coinciding with the minimum losses of silica optical fibers [1,2,3]. In order to achieve reasonable gain values on the limited length of an integrated circuit, the concentration of Er3+ should be as high as possible. As a consequence, the distance between the Er3+ is small. Electric dipole-dipole interactions, such as energy migration (EM), cooperative upconversion (CUC), excited state absorption (ESA), between the Er3+ occur[4]. These interactions effectively reduce the fraction of active Er3+. So it is necessary to optimize the Er3+ concentration. To optimize the concentration of Er and improve the gain of Er-doped planar waveguide amplifier, various oxides have been used as the host material of Er, such as TiO2, Al2O3, SRSO, ZnO, etc. There are a lot of reports about the optimal Er3+ concentration in Er-doped oxide films, but the optimized concentrations are not the same.

To improve the gain performance of the amplifier, a scheme to increase pump efficiency has been suggested and investigated widely [5,6,7]. As one of the candidates to sensitize Er3+ in host materials, ytterbium has a large absorption cross-section in the range from 800 to 1100 nm, which corresponds to the excited state of 4I11/2 of Er3+ and ensures the energy transfer from Yb3+ to Er3+. On the other hand, Yb doping can help to prevent Er clustering and to promote a more uniform spatial distribution of Er3+ in Er-doped mate-rials. Therefore, Yb3+ in Er-Yb co-doped system play the role of not only sensitizer but also disperser of Er3+. Furthermore, Yb3+ co-dopants have been demonstrated as increasing variation of the Er sites, which results in the inhomogeneous broadening effect. The gain of Al2O3 amplifiers co-doped with Er3+ and Yb3+ lies on not only the concentration of Er3+ but also the relative ratio of Yb3+ to Er3+. So the optimization of the relative ratio of Yb to Er is also important.

In this paper, small-signal amplification in Er3+/Yb3+ co-doped Al2O3 waveguide amplifiers is simulated and the concentration of Er3+ and Yb3+ is optimized. With a rate equation propagation model of a multilevel system [8], the dependence of optimized concentration of Er3+ and Yb3+ on pump power and waveguide length for an Er/Yb co-deped Al2O3 waveguide amplifier are discussed. The purpose of this paper is to explain why the reported optimization concentration values are not the same.

1 The Model

The gain of Er3+/Yb3+ co-doped Al2O3 optical wavegui-de amplifiers through a rate equation propagation model of a multilevel system is calculated. The processes included in the model are depicted in Fig.1.Stimulation and absorption emi-ssion process, spontaneous emission and energy transfer process are included in this model. Absorption and stimulation emission processes are characterized by their respective cross section σij, while i and j indicate the initial and final energy level of the process. Spontaneous decay is identified by its rate Wij. The energy transfer between Yb3+ and Er3+ or between two excited Er3+ is characterized by their energy transfer rate constants Cij. All transition indicated by dashed arrows in Fig.1 are considered to be instantaneous.

In the rate equation propagation model of a multilevel system suggested by Strohhofer and Polman [8], the population rate equations are:

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}{\rm N}{}_b}{\text{d}t}=\sigma {}_{ab}\Phi {}_{\text{p}}{\rm N}{}_a-\sigma {}_{ba}\Phi {}_{\text{p}}{\rm N}{}_b-W{}_b{\rm N}{}_b-\\ C{}_{b0}{\rm N}{}_b{\rm N}{}_0+C{}_{2a}{\rm N}{}_a{\rm N}{}_2-C{}_{b2}{\rm N}{}_b{\rm N}{}_2(1)\end{array}$

NYb=Na+Nb (2)

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}{\rm N}{}_1}{\text{d}t}=\sigma {}_{01}\Phi {}_{\text{s}}{\rm N}{}_0-\sigma {}_{10}\Phi {}_{\text{s}}{\rm N}{}_1-\sigma {}_{12}\Phi {}_{\text{s}}{\rm N}{}_1+\\ W{}_{21}{\rm N}{}_2-W{}_1{\rm N}{}_1-2C{}_{11}{\rm N}{}_1{}^2(3)\end{array}$

$\begin{array}{l}\frac{\text{d}{\rm N}{}_2}{\text{d}t}=\sigma {}_{02}\Phi {}_{\text{p}}{\rm N}{}_0-\sigma {}_{20}\Phi {}_{\text{p}}{\rm N}{}_2+\sigma {}_{12}\Phi {}_{\text{s}}{\rm N}{}_1-\sigma {}_{23}\Phi {}_{\text{p}}{\rm N}{}_2-\\ W{}_2{\rm N}{}_2+C{}_{11}{\rm N}{}_1^2-2C{}_{22}{\rm N}{}_2^2+C{}_{b0}{\rm N}{}_b{\rm N}{}_0-\\ C{}_{2a}{\rm N}{}_a{\rm N}{}_2-C{}_{b2}{\rm N}{}_b{\rm N}{}_2-W{}_{21}{\rm N}{}_2(4)\end{array}$

$\frac{\text{d}{\rm N}{}_3}{\text{d}t}=\sigma {}_{23}\Phi {}_{\text{p}}{\rm N}{}_2-W{}_3{\rm N}{}_3+C{}_{22}{\rm N}{}_2{}^2+C{}_{b2}{\rm N}{}_b{\rm N}{}_2(5)$

NEr=N0+N1+N2+N3 (6)

While Ni represents the population density of the energy level marked i in Fig.3, with i=a,b,0,1,2,3.Φp and Φs are the photon flux densities of the pump and signal lights, respectively. These equations can be solved with the given radiation parameters for steady state at a given pumping power density and negligible signal photon flux. For a ridge waveguide, the development of the power in pump and signal mode over the length of the waveguide is govern by the light propagating equations with co-propagating mode[8]. The optical gain can be obtained by integrating the power in pump (Ppump) and signal (Psignal) with the light propagating equations over a given length of the waveguide. The optical gain is defined as:

Gain=10×log10(Poutputsignal/Pinputsignal) (7)

$\text{W}\text{h}\text{i}\text{l}\text{e}\begin{array}{c}{\rm P}{}_{\text{s}\text{i}\text{g}\text{n}\text{a}\text{l}}^{\text{o}\text{u}\text{t}\text{p}\text{u}\text{t}}\begin{array}{c}\text{a}\text{n}\text{d}{\rm P}{}_{\text{s}\text{i}\text{g}\text{n}\text{a}\text{l}}^{\text{i}\text{n}\text{p}\text{u}\text{t}}\end{array}\end{array}$are the output and input powers in signal,respectively.The dependence of optical gain on rare earth doping concentration has been calculated with the ra-diation parameters suggested by Strohhofer and Polman [8] for an Er/Yb co-doped Al2O3 waveguide amplifier with a rectangular cross section of 2 μm×0.5 μm.

2 Result and discussions

Fig.2 shows the small-signal gain of 4 cm long Er/Yb co-doped Al2O3 waveguide amplifiers as a function of active Er3+ and Yb3+ concentration at a given pump power 20 mW. As we can see, there is an optimum CEr which maximizes the gain of Er/Yb co-doped Al2O3 waveguide amplifier for a fixed CYb. At the same time, an optimum CYb also exists at a given CEr. In other words, the maximum gain of Er/Yb co-doped Al2O3 waveguide amplifier depends on CEr and CYb.

The influence of rare earth concentration on the gain of Er/Yb co-doped Al2O3 waveguide amplifier is shown in plane image. Fig.3 shows the dependence of the gain of Er/Yb co-doped Al2O3 waveguide amplifiers on the Er3+ concentration at different Yb3+ concentration. As we can see, there is an optimum Er3+ concentration which makes the gain reach its maximum. The increase of Er3+ concentration leads to the increase of the Er3+ population in its first excited state and the gain of the amplifiers. But when Er3+ concentration is much high, the distance between the Er3+ is small and electric dipole-dipole interactions between the different ions take place. Cooperative upconversion, excited state absorption, and energy migration[9] processes occur. These interactions effectively reduce the fraction of excited Er3+ at a given pump power, and certainly reduce the luminescence efficiency of Er3+. Therefore, there is an optimum Er3+ concentration which makes the gain of the waveguide reach its maximum for a given Yb3+ concentration. At the same time, the value of the optimum Er3+ concentration depends on the Yb3+ concentration. Fig.4 shows the dependence of the maximum gain on the Yb3+ concentration. We can see that the maximum gain appears when the Yb3+ concentration reaches8.0×1020 cm-3 and the optimized Er3+ concentration is 3.6×1020 cm-3.

Fig.5and Fig.6show the dependence of the optimal CEr on the pump power and the waveguide length.The optimal CErof 4cm long or 8cm long waveguide increases with the increase of the pump power.The higher the pump power the more the active Er3+population for a given waveguide length.So the optimal CErconcentration increases too.From Fig.6,we can see that the optimal CErdecreases with the increase of the waveguide length.The longer the waveguide,the more the Er3+who absorb the pump signals at a given CEr.These results tell us that the optimal CErconcentration is relative and affected by the waveguide itself and the detecting condition.So,optimized CErexists only at a given condition.

Fig.7shows the dependence of the gain of Er/Yb codoped Al2O3waveguide amplifiers on the concentration ratio of Yb3+to Er3+pumped at different power when the Er3+concentration is 3.6×1020 cm-3.There is an optimum Yb/Er concentration ratio which makes the gain of Er/Yb codoped Al2O3 waveguide amplifier reach its maximum for a given pump power.Yb3+in the Er3+/Yb3+co-doped system play the role of sensitizer and disperser.As a sensitizer,it enhances the pump efficiency and makes the population of the4I11/2 Er3+level increase.As a disperser,it impedes the forming of Er3+cluster.But excessive Yb3+concentration will lead to the back energy transfer from Yb3+to Er3+,which will decrease the optical property of the Er/Yb codoped Al2O3 waveguide amplifiers.With the increase of pump power from 15mW to 25mW,the optimized ratio of Yb3+to Er3+increases from 1∶1to 3∶1.At the same time,the maximum gain of the amplifier is also increased.The higher pump power may active more Er3+,thus more Yb3+are needed in energy migration process.More Er3+in their excited state will cause the enhancement of the gain.Waveguide length also influences the relative concentration of Yb/Er.Fig.8shows the optimized Yb/Er as a function of waveguide length when pumped at 20mW.We can see that less Yb3+are needed in a relatively long waveguide.If too much Yb3+are added to the waveguide,the pump will be absorbed seriously and can not propagate through the whole length.All these results tell us that the optimum Er or Yb concentration is not an absolute value,but a relative one.It is influenced by the pump power and the waveguide length.

3 Conclusion

With the rate equation propagation model of a Er3+/Yb3+ multilevel system, the rare earth concentration of Er3+ and Yb3+ in Er3+/Yb3+ co-doped Al2O3 waveguide amplifier is optimized. The results suggest that the optimum Er3+ or Yb3+ concentration is not an absolute value, but a relative one. The optimum Er3+ or Yb3+ concentration of the waveguide amplifier is affected by the pump power and the waveguide length. At the same time, it can also reveal the reason why the reported optimal concentrations are not the same.

参考文献

[1] Belloui Bouzid. Theoretical analysis of erbium doped fiber amplifier[C]// Electronics, Communications and Photonics Conference (SIECPC). Rigadh,2011:1

[2] Sanchez-Martin J A,Abenia J M A,Rebolledo M A,et al.Amplifiers and lasers based on erbium-doped photonic crys-tal fiber:Simulation and experiments[J].J IEEE QuantumElectron,2012,48(3):338

[3] Polman A. Erbium implanted thin film photonic materials[J]. J Appl Phys,1997,82(1):1

[4] Kik G P, Polman A. Cooperative upconversion as the gain-limiting factor in Er doped miniature Al2O3 optical wave-guide amplifiers[J]. J Appl Phys,2003,93(9):5008

[5] Nykolak G,Haner M,Becker P C,et al.Systems evalua-tion of an Er3+-doped planar waveguide amplifier[J].IEEEPhoton Techn Lett,1993,5(10):1185

[6] Goncalves R R, Carturan G, Zampedri L, et al. Sol-gel Er-doped SiO2-HfO2 planar waveguides: A viable system for 1.5 μm application[J]. Appl Phys Lett,2002,81(1):28

[7] Snoeks E, Hoven G N, Polman A.Optimization of an Er-doped silica glass optical waveguide amplifier[J]. IEEE J Quantum Electron,1996,32(9):1680

[8] Strohhofer C,Polman A.Relationship between gain andYb3+concentration in Er3+-Yb3+doped waveguide ampli-fiers[J].J Appl Phys,2001,90(9):4314

[9] van den Hoven G N, Snoeks E, Polman A. Upconversion in Er-implanted Al2O3 waveguides[J]. J Appl Phys,1996,79(3):1258

平面光波导器件的发展 篇2

集成光学领域研究有关光波沿介质平面薄膜或介质条状薄膜传播并受其制约的各种物理现象[1], 这些介质薄膜和介质条状薄膜就是所说的平板介质光波导和条形介质光波导。这两种光波导都可以传播光频波段的电磁能, 并且可能实现单片集成光路。这种光路一旦实现, 将制成光网络中的微型光学对应的器件, 即各种光无源及有源器件, 这些器件有非常宽的带宽, 并且几乎不受自然界和人工低频电磁场的干扰。

在1968年Shubert首次提出了集成光学信息处理[2]这个词。从这以后, 人们开始对薄膜技术进行大量的研究。由于1960年世界上第一台相干振荡光源红宝石激光器的诞生, 使人们成功地将激光器发出的光束耦合到了薄膜波导中去[3], 为了使激光器的特性变得更好, 以及制作出能更好的与激光器耦合的光器件, 人们对光学薄膜作了大量的研究。例如, 基于Kressel[4]等人的研究, 制成了能在室温下工作的AlxGa1-xAs异质结激光器。Blum[5]等人完成了由气相外延技术制成的非常薄的Ga1-xInxAs异质结激光器。

所有的这些努力都只有一个目的, 就是实现真正意义上的光通信。自从1970年华裔科学家高混博士提出了损耗很低的光导纤维的概念以及美国贝尔实验室制出了可在室温下连续工作的半导体激光器后, 人们就看到了光通信的发展前景是美好的, 到目前为止, 低损耗, 可以实现各种用途的光纤制备技术已经非常成熟, 而且世界上许多国家都已经将光纤用于了通信的主干网, 并声称不久的将来会用光缆代替铜缆而实现全光网络[6]。但是只是实现全光纤传输并不意味着就是光通信, 毕竟还要有与之对应的各种光有源和无源器件, 这些器件的性能直接影响着光信号的特征。

光波导作为各种光电器件的基础结构, 对器件的性能要求起着至关重要的作用。例如, 对于光纤通信的光源, 需要的是阐值低、单模特性好的半导体激光器[7], 在这些要求下, 就要利用在横向和侧向都有限制作用的双异质结条形波导半导体激光器, 利用异质结所产生的势垒作用, 将电流和载流子牢牢地限制在波导有源层中, 并获得很好的激光输出特性。再如, 半导体激光器所发出的光波虽然在物理特征上是很好的, 但是要想利用光波传播各种信息, 就需要对其进行各种调制, 于是就要用各种光波导调制器, 其中有比较著名的马赫-泽德MZ (Mach-Zehnder) 电光波导调制器, 为了使通过两臂的光波能够很好地进行耦合, 就要研究耦合器两臂的波导耦合特性。得到所需的功率分配比。

可见, 为了制成高效可靠的各种波导器件, 就需要发展以导波光学为理论基础的光纤技术、平板型光波导技术, 条状型光波导技术, 使半导体薄膜激光器、光波导调制器和多路光电开关等各种光电器件投入工业生产当中, 并能进行很好的集成。

2 平面光波导技术及器件发展动态

2.1 产品开发情况

光波导是集成光学重要的基础性部件, 它能将光波束缚在光波长量级尺寸的介质中, 长距离无辐射地传输。平面波导型光器件, 又称为光子集成器件。其技术核心是采用集成光学工艺根据功能要求制成各种平面光波导, 有的还要在一定的位置上沉积电极, 然后光波导再与光纤或光纤阵列耦合, 是多类光器件的研究热点。目前, 光通信应用最多的平面光波导器件主要包括有:各类光耦合器 (Coupler、Splitter) 、平面波导阵列光栅 (AWG) 、interleaver、大端口数矩阵光开关 (Switch) 、阵列型可变光衰减器 (VOA) 、可调谐光滤波器 (OTF) 、EDWA及可调谐增益均衡器等。

(1) 光耦合器

硅基SiO2光波导技术制作的1×N分支光功率分配器 (Splitter) 是平面波导结构的一种基本应用, 它具有传统光纤耦合器所无法相比的小尺寸与高集成度, 而且带宽、通道均匀性好。日本NHK推出的1×N (N=4, 8, 16, 32) 系列波导耦合器 (如图1-2所示) 具有均匀性好 (￡2.2dB, N=32) , PDL指标低 (￡0.3dB, N=32×16) 的特点, 分别可用于1260-1360和1480-1580波段。而N×N (N=4、8、16) 星型耦合器的耦合比可实现20%到80%的定制。

法国光子集成公司Teem在2003初推出的基于平面波导技术的N×N系列8× (1×2) , 16× (1×2) , 4× (1×8) , 8× (1×4) , 2× (1×16) 等分路器阵列, 尺寸只有70×13×5.6mm, 是FBT同类产品尺寸的1/10, 具有非常小的插损和回损指标, 并已经通过Telcordia GR-1209和GR-1221测试。

(2) 平面波导阵列光栅 (AWG)

阵列波导光栅是基于干涉原理形成的波分复用器件, 其基本结构由3部分组成:输入/输出光波导阵列、自由传播区平板波导和弯曲波导阵列。弯曲波导之间有固定光程差, 使得不同波长的光信号在输出自由传播区干涉, 并从不同输出波导口输出。目前平面波导型WDM器件有各种实现方案, 其中比较典型的称为龙骨型的平面波导AWG器件最为普遍, 如图3所示。该类器件通路数大、紧凑、易于批量生产, 但带内频响尚不够平坦。

AWG是第一个将平面波导技术应用于商品化的元件。其做法为在硅晶圆上沉积二氧化硅膜层, 再利用微影制程 (Photolithography) 及反应式离子蚀刻法 (RIE) 定义出阵列波导及分光元件等, 然后在最上层覆以保护层即可完成。AWG的制作材料除SiO2/Si外, InGaAsP/InP和Polymer/Si也常被采用。InGaAsP/InP系的AWG被看好的原因在于它尺寸小并能与InP基有源与无源光子器件及InP基微电子回路集成在同一基片上。

首先提出AWG概念的荷兰人在两年前制作出了有别于龙骨型的AWG结构。

图4为荷兰微系统技术公司 (mikro systemtechnik) 在TiO2/Al2O3平面波导上采用“自聚焦传输光栅 (self-focussing Transmission Grating) ”制作的垂直锥形波导AWG, 由于TiO2和Al2O3有较高的折射率差, 其通道间隔可以做得很窄 (典型值为0.3nm) 。

AWG光波导的通道数由最初的16通道已发展到400个通道, 最高记录为NTT利用两种类型的AWG的串联连接法 (宽分波带宽的前级+窄通道间隔的后级) 首次实现了1000个通道。目前商用流行的仍以40通道为主流。

(3) 大端口数矩阵光开关 (Switch)

平面波导型开关主要包含热光开关、电光开关和全内反射型开关。

热光开关是利用硅波导的热感应折射率变化制作的, 其M-Z腔由二个3dB耦合器和二个波导臂组成的, 其中一臂上加有热光相移薄膜加热器。通过受热和非受热实现开关功能。

电光开关与热光开关的波导结构相似, 但采用电折变效应来实现对波导臂的光程差调制。由于Si材料为中心反演对称结构, 泡克尔效应极弱, 电光系数很小, 因此难以利用场致折变效应, 只能利用Si材料中的等离子色散效应, 于是Si波导层中需要制备p-n结, 以实现高浓度载流子的注入。InGaAsP/InP材料有较强的泡克尔效应和较大的电光系数而成为该类开关的研究热点。

全内反射型开关又叫气泡开关, 利用了热毛细现象。是在波导的交叉点上垂直形成窄矩形槽, 槽内封入少量折射率匹配油, 薄膜金属加热器淀积在槽的端上, 通过加热使槽内的油产生气泡以改变波导交叉点的折射率来实现开关功能。

日本NTT已制作了16×16的热光开关和32×32的全内反射型开关, 消光比可达50dB以上。

(4) 阵列型可变光衰减器 (VOA)

首先聚合物光元件产品通过严格的Telcordia标准的Gemfire公司推出的基于热光聚合物波导的VOA系列产品中有8端口和16端口两种, 且8端口VOA具有关断功能, 两者均尺寸小, 功耗低。今年初, Gemfire在完成了对Avanex位于苏格兰Livingston的平面硅波导线路业务部门的收购后, 最近又传出完成了对拥有有源平面硅处理工艺-雪崩二极管技术的NovaCrystals公司的收购。这将使Gemfire成为全面掌握平面波导技术的领先者。

(5) 可调谐光滤波器 (OTF)

该类器件大多利用铌酸锂良好的电光特性, 在单片平面波导结构上实现可调谐滤波功能。上世纪末, 美国物理研究所在氟化聚合物平面波导上掩模形成布拉格光栅, 成功地实现了在1.55μm波段11nm的可调谐滤波, 串音-20dB, 插损3.2dB。

(6) EDWA

EDWA一般由内嵌制作在Er3+:Yb3+共掺杂玻璃基片上的光波导组成。光波导结构能够将泵浦光能量约束在截面积非常小、长度较长的区域内, 只需使用数厘米长高浓度的掺铒增益介质, 就可以得到常规掺铒光纤几十倍的单位长度光增益。法国Teem光子公司于1998年末首先发布采用非刻蚀或沉积的离子交换法, 在玻璃薄片而不是在硅片上制作波导, 具有非常低的偏振和损耗特性。随后, 美国Northstar光子公司及JDSU也采用了此技术。丹麦NKT集成公司推出的C带 (1528-1562nm) 20dB高增益EDWA, 采用了980nm/100mW泵源, 可单片集成多个放大器。随后, Teem光子公司和NKT集成公司同时发布采用PECVD制造技术, 基于multi-source agreement (MSA) 发展的4端口全集成EDWA, 每端口可达10dBm的输出。美国Inplane光子公司也推出类似产品。此外NKT公司还可提供4及8端口可以分别控制的EDWA, 且采用的是非致冷的980nm泵源, 其可靠性测试通过了Telcordia GR-1312标准。

(7) 可调谐增益均衡器

IBM苏黎士实验室在SiON波导上制作非对称马-择腔, 采用加热一个波导臂的方法可动态控制EDFA光放大器的增益, 如图6所示。采用7个这样的结构级联, 可实现增益平坦度小于0.5dB。

2.2 主要供应商及市场情况

目前平面波导类光器件的主要供应商包括:美国Inplane、NeoPhotonics、Waveguide、Avanex、Molecular Nanovation、Gemfire、Opticwave、Lightconnect 、Lightech、Cypress、Bell Labs、Lightwave Microsystems、JDSU、WaveSplitter;英国Bookham、BNR Europe、Terahertz ;法国 Teem、LET;丹麦NKT Integration;日本SENKO (扇港) 、NTT、欧姆龙、Central Glass及加拿大北电网络、MetroPhotonics等。

据市场调研公司ElectroniCast (美) 在2008年末的一项市场分析报告称, 2010年前, 平面波导光器件的增长率将会达到两位数, 而到2012年前, 将持续30多个百分点之高的增长率。2001年市场总额为1.73亿美元, 到2011年, 该市场总额将会超过42亿美元。此外, CIR (美) 及RHK (美) 的市场调研暴告均对平面波导光器件的市场前景充满信心。

3 光波导材料发展方向预测

随着固态器件朝着小尺度、低维方向发展, 器件将成为一种纳米量子结构。由于纳米量子结构中的受限电子、光子呈现出许多与它们在三维大结构中十分不同的、物理内涵十分丰富的新量子现象和效应, 它一直在源源不断地被人们用来研制具有新功能和新原理的电子、光电子器件, 不断地从最基础的层面上为开拓电子、光电子、光子信息技术的潜力提供了新机遇。目前, 纳米量子结构中波函数工程的提出将使人们能够从量子态波函数出发来设计新一代量子器件, 开辟了量子相干的电子、光电子学新领域, 标志着信息电子、光电子技术进入了“全量子化”的新阶段, 这将对一个国家信息科学技术在新世纪的发展起巨大推动作用。

同时当光纤通讯朝向客户端发展时, 低价、能大量生产、体积小及多信道数的光通讯组件或系统将是必然的发展趋势。因此, 可以预见纳米级光波导器件将成为未来光波导器件发展的一个方向。为提高光波导元件的集成度, 现在已有不少的研究机构在进行三维光波导器件的研制, 其目的是进一步增加光波导的通道数目。因此, 三维光波导器件也将成为未来光波导器件的一个发展方向。

摘要：在光电子技术, 计算机技术, 通信技术迅速发展的今天, 光波导材料和器件得到了越来越多的应用和发展。因此, 对于光波导器件现状及发展趋势的叙述, 不但对有志于在此方面研究的人具有一定参考价值, 同时也是面向未来光电子产业发展的必然要求。因为当今大多器件应用平面光波导材料, 所以主要对平面光波导理论进行了讨论。

关键词：非线性光学,平面波导,光波导材料

参考文献

[1]Tamil T.集成光学[M].科学出版社, 1975:1-8.

[2]Shubert R, Harris J H.Optical Surface Waves on thin films and theirapplication to intergrated data processors, Microwave Theory and Tech-niques[J].IEEE Transaction on, 1986, 16 (12) :1048-1054.

[3]Midwinter J.Evanescent field coupling into a thin-film waveguide[J].IEEE Journal of Quantum Electronics, 1970, 6 (10) :583-590.

[4]Kressel H, Nelson H.P/n junctionlasers, Quantum Electronics[J].IEEE, 1969, 5 (6) :324-324.

[5]Blum F A, Lawlev K L, Scott W C, et al.Applied Physics Letters[J].1974 (24) :430.

光波导放大器论文 篇3

表面等离子体(SPs)是入射光子和金属表面的自由电子相互耦合形成的局域电磁模,在可见光频和红外光频范围内,可以有效突破光的衍射极限并且对光具有出色的控制能力。

SPs在垂直金属表面上形成消逝场,场振幅呈指数衰减,因此其电磁能量被强烈地约束在金属表面附近,具有强大的近场增强效应[1,2]。慢光,指的是群速度小于真空中光速的光信号。慢光的获得要求色散曲线在一定频率范围内斜率为正且足够大,常用的方法有两种:一是通过材料共振改变群速度,另一种是从材料结构入手来实现[3,4,5]。表面等离子体光波导获得慢光正是基于后一种方法,本身不需要特殊的材料,在常温下即可。

本文工作主要分为两部分:第一部分,首先设计基于金属—介质—金属(MIM)结构的表面等离子体光波导,利用时域有限差分法(FDTD)对该光波导的色散特性进行分析,为下一步的研究提供依据;第二部分,应用FDTD对光波导的时域波形进行模拟仿真,为低群速度提供依据。

慢光这一概念,最直接的理解就是光的速度小于真空中的速度。但此处光的速度指的是光脉冲的群速度而不是相速度。获得慢光一般有两种方法:一种是通过材料共振改变群速度,另一种是从材料结构入手来实现。通过表面等离子体获得慢光正是基于后一种方法[3,4,5]。

1 时域有限差分法(FDTD)[5]

1966年,K.S.Yee首次提出一种电磁场数值计算的新方法——时域有限差分(FDTD)方法。对电磁场E、H分量在空间和时间上采取交替抽样的离散方式,利用这种方式将麦克斯韦场。方程组转化为一组差分方程,然后逐步推进求解空间的电磁场。Yee提出的这种抽样方式后来被称为Yee元胞(图1)。FDTD随时间推进可以方便的给出电磁场的时间演化过程并在计算机上显示,是一种有效的求解电磁波方程的方法。

麦克斯韦旋度方程为:

$\begin{array}{l}\nabla \times \overrightarrow{E}=-\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}-\overrightarrow{J}{}_m(1)\\ \nabla \times \overrightarrow{{\rm H}}=\frac{\partial \overrightarrow{D}}{\partial t}+\overrightarrow{J}(2)\end{array}$

式中,E为电场强度,D为电通量密度,H为磁场强度,B为磁通量密度,J为电流密度,Jm为磁流密度。

在直角坐标系中,式(1)和式(2)可以写成下面的两个式子:

$\begin{array}{l}\{\begin{array}{l}\frac{\partial {\rm H}{}_z}{\partial y}-\frac{\partial {\rm H}{}_y}{\partial z}=\epsilon \frac{\partial E{}_x}{\partial t}+\sigma E{}_x\\ \frac{\partial {\rm H}{}_x}{\partial z}-\frac{\partial {\rm H}{}_z}{\partial x}=\epsilon \frac{\partial E{}_y}{\partial t}+\sigma E{}_y\\ \frac{\partial {\rm H}{}_y}{\partial x}-\frac{\partial {\rm H}{}_x}{\partial y}=\epsilon \frac{\partial E{}_z}{\partial t}+\sigma E{}_z\end{array}(3)\\ \{\begin{array}{l}\frac{\partial E{}_z}{\partial y}-\frac{\partial E{}_y}{\partial z}=-\mu \frac{\partial {\rm H}{}_x}{\partial t}-\sigma {}_m{\rm H}{}_x\\ \frac{\partial E{}_x}{\partial z}-\frac{\partial E{}_z}{\partial x}=-\mu \frac{\partial {\rm H}{}_y}{\partial t}-\sigma {}_m{\rm H}{}_y\\ \frac{\partial E{}_y}{\partial x}-\frac{\partial E{}_x}{\partial y}=-\mu \frac{\partial {\rm H}{}_z}{\partial t}-\sigma {}_{m}E{}_z\end{array}(4)\end{array}$

式中,Ex,Ey,Ez和Hx,Hy,Hz 分别为电场和磁场在x,y和z轴上的分量,ε表示介质介电系数,μ表示磁导系数,σ表示电导率,σm表示导磁率。

在FDTD离散中电场和磁场各节点的空间排布如图1所示。每个磁场分量由四个电场分量环绕,同样,每个电场分量由四个磁场分量环绕。电场和磁场在时间顺序上交替抽样,抽样时间间隔彼此相差半个时间步,麦克斯韦旋度方程离散以后构成显示差分方程,从而可以在时间上迭代求解,而不需要进行矩阵求逆运算。表面等离子体是TM模式,Ex=Ey=Ez=0,将上式改写成差分方程的形式,FDTD公式为式(5):

$\begin{array}{l}{\rm H}{}_x^{n+\frac{1}{2}}\left(i,j+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2}\right)=C{\rm P}(m)\cdot {\rm H}{}_x^{n-\frac{1}{2}}\left(i,j+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2}\right)-CQ(m)\cdot \\ \left[\frac{E{}_z^n\left(i,j+\frac{1}{2},k+\frac{1}{2}\right)-E{}_2^n\left(i,j,k+\frac{1}{2}\right)}{△y}-\frac{E{}_y^n\left(i,j+\frac{1}{2},k+1\right)-E{}_y^n\left(i,j,k+\frac{1}{2},k\right)}{△z}\right](5)\end{array}$

其中上式系数CP(m)和CQ(m)分别为:

$\begin{array}{l}C{\rm P}(m)=\frac{1-\frac{\sigma {}_m(m)\Delta t}{2\mu (m)}}{1+\frac{\sigma {}_m(m)\Delta t}{2\mu (m)}}(6)\\ CQ(m)=\frac{\frac{\Delta t}{\mu (m)}}{1+\frac{\sigma {}_m(m)\Delta t}{2\mu (m)}}(7)\end{array}$

这里给出Hx分量的展开形式,其余两个分量的展开式类似。其中Δt表示时间步长,Δx、Δy、Δz表示在x、y、z轴上的空间步长。

由于计算机容量的限制,FDTD的计算只能在有限区域内进行。为了能模拟开域电磁过程,在计算区域的截断边界必须给出吸收边界条件。吸收边界,即波传到边界处被吸收而不产生反射。吸收边界从开始简单的插值边界,到后来广泛采用的Mur吸收边界,以至近几年发展的完全匹配层(PML)吸收边界,其效果越来越好。在本文中,采用完全匹配层吸收边界。该方法于1994年由Berenger首次提出,通过在FDTD区域截断边界出设置一种特殊介质层,该层介质的波阻抗与相邻介质波阻抗完全匹配,因而入射波将无反射的穿过分界而进入PML层。PML层为有耗介质,对入射波具有很好的吸收效果。

2 MIM光波导结构模型和计算方法

本文所采用的基于金属—介质—金属(MIM)结构的表面等离子体结构及坐标示意图如图2所示。在该结构中,第一层和第三层采用金属银(Ag)作为材料,中间一层采用介电系数为13的电介质材料。厚度为0.5μm,光波导外充满空气,光源放置在光波导最左端位置。该光波导放置在YZ平面上,垂直于X轴。用Drude模型[7]对金属银进行描述,Drude模型的表达式如下:

$\epsilon (\omega )=1-\frac{\omega {}_p^2}{\omega {}^2+i\omega /\tau }(8)$

其中,ωp为等离子体共振频率,1/τ为弛豫时间,ω为频率。

本文采用FDTD方法对光波导进行相关特性分析,利用有限差分技术,把麦克斯韦方程组转换为稀疏矩阵本征方程,再利用完全匹配层(PML)[5]吸收边界条件就可以解决光波导的色散、模式问题。激发表面等离子TM模式使用的是高斯调制光源。计算中,将光波导划分为800×1000个网格,网格长度为0.025μm,其中30层是用来截断网格的异性各向完全匹配层的,迭代步长为9000次。

3 仿真结果及分析验证

通过理论分析及计算,得到表面等离子体光波导色散关系(图3)。群速度的表达式为:

Vg=dω/dκ (9)

在色散曲线中,椭圆处的曲线极为平坦,由群速度表达式可知,在频率为6.63×1014Hz(6630THz)附近,该光波导可以支持慢光模式(光的群速度可以接近于零)。此处,随着波矢数的增加,色散曲线从负斜率变为正斜率,在频率为6600THz～6900THz的范围内,一个频率点对应两个波矢,这说明该光波导支持两个导模传输,其中一个导模支持正群速度,另一个导模支持负群速度。

为了演示所设计光波导的慢光现象,沿传输方向,在表面等离子体光波导介质层中心距光源0.05μm,0.08μm和0.12μm处设置观察点1、观察点2和观察点3,得到对应的时域波形,如图4所示。由图可知:当工作频率为6626THz和6635THz时,光在等离子体波导内传播时,衰减较小,传输的距离较长,且波形畸变很小,可以保持脉冲信号的完整性;当工作频率为6900THz时,光传输过程中衰减幅度大,不可以长距离传输,且信号波形发生了严重畸变,传输过程中无法保持脉冲信号的完整性。这和计算结果非常吻合。实验结果表明:该光波导在一定的频率范围内可以支持较低群速度的同时还具有较低的群速度色散,可以实现以慢光形式传输较为完整的脉冲信号。

4 结束语

表面等离子体是获得慢光的途径之一,也是最近的研究热点。本文设计了基于MIM结构的表面等离子体光波导,并利用时域有限差分法(FDTD)对其进行计算仿真,获得色散曲线。通过对结果的分析,可知该光波导在一定的频率范围内支持慢光模式的同时还可以拥有较低的群速度色散。

参考文献

[1]Williamlb,Alaind,Thomaswe.Surface plasmon sub-wavelength optics[J].Nature,2003(6950):824-830.

[2]王庆艳,王佳,张书练.基于金属表面等离子激元控制光束的新进展[J].光学技术,2009,35(3):163-174.

[3]吕雅利.神奇的慢光[J].光通信技术,2009(9):39-42.

[4]赵勇,赵华玮,张馨元,等.慢光产生的新机理及应用[J].光学精密工程,2009,2(17):237-245.

[5]葛德彪.电磁波时域有限差分方法[M].西安电子科技大学出版社,2010.

[6]Haulv,Harrise,Dutronz.Light speed reduction to 17metres per sec-ond in an ultra-cold atomic gas[J].Nature,1999(397):594-598.

光波导放大器论文 篇4

随着光通信技术的进一步发展,薄膜微细图案化得到光波导结构已成为一个重要的研究方向。掺有TiO2的SiO2复合薄膜光波导具有结构简单、易实现与Si集成、传输损耗低、性能稳定、折射率可调节等优点,在集成光学和微电子学等领域得到了广泛的应用[1,2,3,4,5]。目前,通过微细图案化SiO2-TiO2杂化薄膜得到光波导结构的方法主要有:激光直写方法[6,7,8],直接纳米压印法[9,10,11,12],感光溶胶-凝胶法[13,14,15,16]。采用激光直写方法不需要使用光掩模板,可以直接快速生成图案。但是激光直写生成图案的方式需要借助光纤激光器,并且需要数控工作台辅助和在超净室中完成,成本较高,不利于普通实验室开展研究。直接纳米压印法通过具有微图案的模具来进行图案转移,方便简单,成本较低,但纳米压印法需要长时间加热使薄膜固化,而且需要一定的压力固定住模具和薄膜,使其紧密接触,因此加热温度过高、过长或施加的压力过大都会导致得到的薄膜微图案失真;感光溶胶-凝胶法只需要借助具有微图案结构的掩模,该掩模可以使紫外光选择性透过,利用曝光区和非曝光区在有机溶剂中溶解度的差异,即可将掩模上的图案转移到薄膜上,因而简单易行。

本文采用感光溶胶-凝胶法,利用紫外光敏SiO2-TiO2杂化薄膜将掩模版上的微图案转移到薄膜上,避免了传统感光溶胶-凝胶法需要光刻胶和自组装单层膜(SAMs)的辅助,从而使整个薄膜图案制备的过程更为简单易行。

1 实验方法

1.1 SiO2-TiO2系感光薄膜的制备

实验分别以-甲基丙烯酰氧基丙基三甲氧基硅烷(-methacryloxypropyl trimethoxy silane,MAPTMS)和钛酸丁酯(Tetra-n-butyl Titanate,TBT),甲基丙烯酸甲酯(Methyl methacrylate,MAA)为原料,HCl为催化剂,蒸馏水为溶剂。用溶胶-凝胶法制备得到SiO2-TiO2杂化溶液。各组分的摩尔比为n(MAPTMS):n(TBT):n(MAA):n(HCl):n(H2O)=100:5:15:100:100。经磁力搅拌24 h后,再加入光引发剂IRGACURE 819(phenyl bis(2,4,6-trimethylbenzoyl)-phosphine oxide),质量百分含量为3%,遮光磁力搅拌24h,陈化12 h,得到的溶胶备用。分别以单晶硅片和石英玻璃片为基底,采用旋转涂膜法制备薄膜。石英基片上的薄膜主要用于紫外-可见光谱分析,硅片上的薄膜主要用于红外光谱分析和微细图案的制备。

1.2 薄膜微细图案制备

薄膜微细图案的制备过程如图1所示,首先采用旋转涂膜法在单晶硅片上旋转涂膜,旋转涂膜的速率为1200 r/min,时间为20 s,成膜后的样品在恒温箱中80℃下预烘干5 min,以固化薄膜并防止紫外曝光时粘版,用中心波长为365 nm的紫外光源对样品进行曝光,曝光后的样品在有机溶剂(异丙醇与乙醇的体积比为1:1)中淋洗,未被紫外光照射到的区域完全溶解,紫光照射过的薄膜保留完整,从而得到薄膜微细图案,最后在恒温箱中80℃下坚膜24 h。

1.3 性能测试

采用KW-4AC紫外曝光机(上海凯美特功能陶瓷技术有限公司),中心波长为365 nm对样品进行紫外曝光,采用Nicolet 380型Fourier变换红外(FTIR)光谱仪(测试范围为400～4 000 cm-1,扫描36次,分辨力为4 cm-1)来测试杂化材料中各化学基团的振动光谱并讨论其结构特点。采用Unico 2802H型紫外-分光-近红(UV-Vis-NIR)分光光度计(测试范围为190 nm～1 100 nm)测试石英基片上薄膜的光吸收透过率,采用SPA4000型棱镜耦合仪测试薄膜的折射率和厚度,采用Hitachi Su-70热场发射扫描电子显微镜(SEM)和高倍光学显微镜观察制备得到的薄膜微细图案。

2 结果与讨论

利用加入光引发剂IRGACURE 819后SiO2-TiO2薄膜的感光特性,按照图1所示方法制备得到薄膜微图案。

首先于单晶硅基片上旋转涂膜SiO2-TiO2杂化薄膜,80℃下预烘干5 min,利用棱镜耦合仪测得薄膜的厚度为14.93μm,折射率为1.488 5。然后在室温下,将掩模版置于样品上直接接触曝光,曝光时间分别为10 min,15 min,20 min,25 min。再在有机溶剂(异丙醇与乙醇的体积比为1:1)中淋洗约20 s,未被紫外光照射到的地方被完全溶洗掉,被紫外光照射到的薄膜得以保留,从而在硅基片上得到复制有掩模版图案的微细图案。最后再进一步80℃下坚固薄膜24 h。

2.1 紫外曝光时间对紫外可见光谱的影响

图2(a)为SiO2-TiO2杂化薄膜以及掺杂光引发剂IRGACURE 819后和分别在紫外光照射10 min、15 min、25 min后杂化薄膜的透射光谱。图2(b)为分别在紫外光照射10 min、15 min、25 min后杂化薄膜的吸收光谱。由薄膜的透射光谱可知,各类薄膜在可见光和近红外区域范围的透光率均在90%左右,具有很高的透光性。掺杂光引发剂IRGACURE 819后薄膜的透光率略有下降,随着紫外光照时间的延长,薄膜的透光率进一步降低。由附图薄膜的吸收光谱可知,掺杂光引发剂IRGACURE 189后的薄膜紫外光照射后在370 nm附近出现了吸收峰,这是光引发剂IRGACURE 189的吸收峰[14],并且随着紫外光照时间的增加,吸收强度出现略微的提高。这是因为紫外光能量能够激发光引发剂跃迁到激发态,进而发生光化学和光物理过程,产生可引发聚合的活性碎片,如自由基、阳离子等,从而引发预聚物发生聚合、交联接枝反应,使薄膜致密,一定程度上导致薄膜光透过性的降低。

2.2 紫外曝光时间对红外光谱的影响

图3为掺杂光引发剂IRGACURE 819后杂化薄膜在不同紫外光辐照时间下的FT-IR图谱。由图谱信息可以看出,940cm-1处为Si-OH的吸收峰[2],随着紫外光照时间的增加,峰值逐渐减弱,而1130 cm-1处代表Si-O-Si吸收峰的峰值略有提高,同时970 cm-1处表示Si-O-Ti吸收峰的峰值也相应提高,表明紫外光照通过促使化学键之间发生缩聚反应,从而促进Si-O网络的进一步形成。1 640 cm-1处来自甲基丙烯酸的C=C键逐渐消失,1 720 cm-1处C=O键在紫外光辐照下的强度也略有减弱[16],表明紫外光还能促使C=C,C=O双键断裂成单键。1 200 cm-1处为引发剂IRGACURE 819引入的P=O吸收峰。

2.3 前烘温度对薄膜微图案的影响

制备好的有机-无机杂化薄膜,为了不使薄膜在紫外光固化时粘版,需要对薄膜进行前烘处理。温度过高会导致薄膜的过于干燥而产生裂痕;而温度过低,虽然对薄膜的质量没什么影响,但是干燥的时间会大大加长,影响实验的进度,而且会过于粘稠与基片粘在一起,影响薄膜微细图案的质量。因此本实验选取前烘时间为5 min,分别对薄膜进行30℃、50℃、80℃、110℃处理。图4为对薄膜分别进行30℃、50℃、80℃、110℃下5 min前烘处理后得到的光学显微镜微图案照片。由实验结果可知,掺杂IRGACURE 819光引发剂后SiO2-TiO2杂化薄膜的最适合的前烘温度为80℃左右。而当温度大于110C时,薄膜就会开裂。在小于70C时薄膜会过于粘稠而与模具粘在一起,影响微图案的形成。

2.4 紫外曝光时间对薄膜微图案的影响

紫外曝光时间的长短对形成的微图案有一定的影响,紫外曝光时间太长,会使未曝光的地方用有机溶剂难以清洗,只能洗去表面的一层,从而使得到的微图案不明显。照射时间过短则会使薄膜上紫外光照射到的地方未完全固化,在用有机溶剂淋洗过程中会将薄膜图案也一并洗掉,从而得不到薄膜图案。图5为分别在紫外曝光5 min、10 min、15 min、20 min、30 min后得到的薄膜微图案的扫描电镜图片。可以知道,10～15 min时间是最佳的曝光时间。

3 结论

利用溶胶-凝胶法制备了有机-无机杂化光敏性SiO2-TiO2材料,在单晶硅基片上旋转涂膜,经前烘、紫外光固化、淋洗、后烘等步骤,在硅片上得到复制有掩模微图案的薄膜。光引发剂和紫外光照都能影响薄膜在紫外可见光区域的光透过率,紫外光照能促使不同的官能团间发生缩聚反应,80℃前烘温度处理5 min以及15 min左右的紫外光辐照能够得到清晰、精确的薄膜微图案。该方法制备薄膜微细图案成本低,简单易行,为后续复杂的光波导图案的制备提供了良好的基础。

摘要：利用溶胶-凝胶法制备了有机-无机杂化光敏性SiO2-TiO2材料,在单晶硅基片上旋转涂膜,经前烘、紫外光固化、淋洗、后烘等步骤,在硅片上得到复制有掩模微图案的薄膜。用紫外-可见光-近红外分光光度计测试了薄膜的光透过吸收性质,用Fourier红外光谱仪测试了不同紫外光辐照时间下薄膜的红外振动吸收光谱,用高倍光学显微镜和扫描电子显微镜(SEM)观察制备得到的薄膜微图案。结果表明:薄膜在紫外可见光区域的光透过率约为90%,紫外光照能促使不同的官能团间发生缩聚反应,80℃前烘温度处理以及15min左右的紫外光辐照能够得到清晰、精确的薄膜微图案。

光波导放大器论文 篇5

对微结构光波导模场分布问题的研究是微结构光波导制造与应用的重要前提之一[1],而对微结构光波导模场分布情况的分析通常可以归结为电磁场的边值问题[2]。求解电磁场边值问题的方法有很多,应用得较广泛的主要有分离变量法、有限元法以及有限差分法[3]等。但除了极少数简单的电磁场边值问题可以使用分离变量法获得精确的解析解之外,绝大多数的电磁场边值问题只能采用某种数值分析方法近似求解。在众多数值分析方法当中,有限元法在各个领域的应用尤为突出[4]。但由于有限元法是区域性解法,因此分割的元素数和节点数较多,导致所需要的初始数据复杂繁多,最后得到的代数方程组的元数很大,使得计算时间长,成本高。

边界元法近年来被广泛地应用于电磁场与微波技术领域中,它不仅被成功地应用于场分布问题[5]的研究,而且还扩展到了散射问题以及波导不连续性问题[6]的研究当中。边界元法是把边值问题等价地转化为边界积分方程问题,然后利用有限元离散技术数值求解该边界积分方程问题的一种方法[7]。该方法可以降低问题求解的空间维数和方程组的阶数,减少输入数据量,提高计算精度。本文推导了如何利用边界元法求解亥姆霍兹方程,并利用推导的结果编程分析了圆光波导内模场的分布情况。

1 加权余量法

将描述场的微分方程归结为边界上的积分方程的方法有很多,而加权余量法是更有效的方法,因为它不但适用于自伴算子,而且对复杂的非自伴算子也适用[8]。

1.1 加权余量法的最简形式

我们以简单的边值问题(如图1所示)为例进行说明。

基本边界条件:(在边界Γ1上)

自然边界条件:(在边界Γ2上)其中,n是外法线方向;是给定值。

当上述边值问题的精确解u0难以求得时,我们可设其近似解为其中,是待定系数;属于一个线性无关的完备函数列。

当近似解u满足一切边界条件,但只能近似满足微分方程(1)时,将近似解u的表达式代入式(1)中,作误差函数ε,则把该函数称为余量(Residual)。对于精确解,ε=0。

取最佳近似准则为加权余量(Weighted residuals)的积分为零:权函数。其中,βk为任取的系数;ψk为加权函数群,属于一个线性无关的完备函数列。这样,就是在近似解u满足一切边界条件但不满足微分方程时的加权余量表达式,即加权余量法的最简形式。

1.2 加权余量法的完整形式

假设定解问题仍然为1.1节中求解的线性泊松场。设其近似解u为。在一般情况下,把近似解u代入该定解问题,微分方程和边界条件都将不能被精确地满足,由此产生相应的误差,其余量可分别表示为(在边界Γ2上)。如前所述,为了使场域内和边界Γ1、Γ2上的余量最小,可引入一个W,使之在平均意义上令余量的加权积分为零。不难导得。上式是在所选择的近似解u既不满足微分方程,也不满足相应的两类边界条件的情况下得到的。因此,上式可以看作是前述加权余量表达式的推广,即加权余量法的完整形式。

2边界元法求解亥姆霍兹方程

边界元法是把描述场的微分方程通过加权余量法归结为边界上的积分方程,然后把这个积分方程像有限元法那样,进行边界分割与插值,从而求出近似解的数值解法[9]。亥姆霍兹方程的边界积分方程是利用边界元法分析微结构光波导模场分布的数学基础。

2.1亥姆霍兹方程的边界积分方程

本文所研究的微结构光波导的通用横截面结构如图2所示。

对于区域Dm,m=1,2,...,N,根据加权余量法,有如下关系式

在式(3)中,G(r,r0)是自由空间的格林函数。它满足关系式。其中,

,故对于光滑曲线边界,可以得到区域Dm内亥姆霍兹方程的边界积分方程

在区域D0内,亥姆霍兹方程的边界积分方程的推导过程与区域Dm内的推导过程类似,计算结果只需用e0z、e0t、h0z、h0t分别替换式(4)中emz、emt、hmz、hmt的即可得到。

2.2边界积分方程的离散化以及矩阵方程

在边界lm上选取Mm个节点,故所有边界上总共有个节点,边界元选取的示意图如图3所示。

根据边界元的选取,区域Dm内亥姆霍兹方程的边界积分方程可以写成如下矩阵形式

其中,Hm、Fm、Gm、以及均为Mm×Mm阶的方阵:均为Mmx1阶的纵向量。

与区域Dm内的情况相类似,区域D0内亥姆霍兹方程的边界积分方程可以写成如下矩阵形式

其中,H0、F0、G0、以及均为阶的方阵;阶的纵向量。

根据边界条件则有矩阵方程

若有非零解,则必须要求系数矩阵的行列式

在实际求解过程中,上式求解起来是十分困难的。我们可以采用如下方法进行求解,令

即取矩阵方程等号的右侧为一个阶的常数纵向量。求解上面的方程组,并令c为解向量中各元素的模的平方和,若,则可以认为原矩阵方程有非零解。

从式(4)中可以看出,矩阵Hm、Fm、Gm、以及中各元素的值均由传播常数β和节点的坐标值共同决定,所以矩阵H、F、G、以及中的元素值也由传播常数β和节点的坐标值共同决定;同理,矩阵H0、F0、G0、以及中的元素值也由传播常数β和节点的坐标值共同决定。因此,矩阵方程中矩阵元素的计算成为解决问题的关键。

2.3边界积分方程的化简以及矩阵元的计算

对于本文所研究的二维问题,有

在区域Dm内,将G(r,r0)、的具体表达式代入式(4)中,并令化简后可得边界积分方程的化简形式

在区域D0内,边界积分方程的化简形式与区域Dm内的化简形式类似,计算结果只需用分别替换式(6)和式(7)中的即可得到。

从式(6)和式(7)中可以看出,在区域Dm内,采用线性插值方法,各矩阵元素可按下面的式子计算得到

根据同样的方法可以推导出在区域D0内矩阵H0、F0、G0、以及中各元素的计算公式。

3 实验验证与结果对比

本文选择圆光波导进行实验验证,圆光波导的横截面结构如图4所示。

由于圆光波导横截面结构比较简单,只有一个边界,因此问题得到一定的简化,此时H=H1,F=F1,G=G1,在实验中我们取n1=1.50,n2=1.48,纤芯半径a从2μm逐步增大到11μm,步进量为0.00001μm,在边界上均匀选取30个节点。每取一个a值,求解一次矩阵方程,若方程有非零解,则记录此时纤芯半径a的值并计算归一化频率这样,就可以得到圆光波导内各传输模式的截止频率。

根据上述思想编写计算机程序,计算得到的圆光波导中可能存在的各传输模式的截止频率与其精确值的对比情况如表1示。

从计算结果与精确结果的对比中可以看出,本方法可以精确地计算出圆光波导中可能存在的各种传输模式的截止频率。这样,在给定n1、n2、λ以及纤芯半径a的值以后便可以准确判断出圆光波导中存在几种传输模式了。

4 结论

本文结合加权余量法的理论基础,利用边界元法计算了圆光波导中可能存在的各传输模式的截止频率,实验计算结果与精确结果的对比验证了边界元法在场分布问题领域的适用性,而且证明了利用边界元法分析微结构光波导模场的分布可以在降低问题求解的空间维数,低方程组阶数,较少输入数据量的前提下得到精确的分析结果。

摘要：本文基于加权余量法,阐述了利用边界元法求解矢量亥姆霍兹方程的数学基础-亥姆霍兹方程的边界积分方程;并推导了数值求解该边界积分方程的方法;利用推导结果,编写计算机程序分析了圆光波导的模式场分布情况。实验结果表明,该方法可以在较低方程组阶数,较少输入数据量的前提下准确地分析微结构光波导内模式场的分布情况。

关键词：边界元法,加权余量法,亥姆霍兹方程,边界积分方程

参考文献

[1]王韩毅,任立勇,张亚妮,等.单偏振单模微结构聚合物光纤的设计[J].中国激光,2007,34(5):684-687.

[2]李忠元.电磁场边界元素法[M].北京:工业学院出版社,1987:1-4.

[3]朱震海,洪伟,季皓.一种求解电磁场本征值问题的新方法[J].应用科学学报,1997,15(4):385-393.

[4]杨世信,任朗,盛克敏,等.有限元法求解任意折射率分布光纤模场分布[J].强激光与粒子束,2000,12(3):297-300.

[5]Kagami S,Fuakai I.Application of boundary element method to electromagnetic field problems[J].IEEE Trans on MTT,1984,32(4):455-461.

[6]Koshiba M,Suzuki M.Application of the boundary element method to waveguide discontinuities[J].IEEE Trans on MTT,1986,34(2):301-307.

[7]Yijun Liu.An Introduction to the Boundary Element Method(BEM)and Its Applications in Engineering[D].Dept.of Mechanical,Industrial and Nuclear Engineering,University of Cincinnati(UC),2007:18-26.

[8]倪光正,钱秀英.电磁场数值计算[M].北京:高等教育出版社,1996:337-338.

光波导放大器论文 篇6

目前光波导的一些理论和计算方法主要集中于模场和传播常数的求解, 而对光脉冲在波导中的动态传输则需要采用光束传输法 (BPM) , 它可以形象地反映场在波导中的传播与变化情况, 对于平面光波导器件设计而言具有很大的实用价值, 所以BPM是目前优化设计平面光波导器件最流行的方法。

由于差分代替微分是直接操作于微分方程的, 故只要函数的连续性得到保证, 差分算法总能以一定的格式进行的。而一般都假设所要求解的场是连续的, 可能例外是存在折射率函数突变的极端情况, 即使这样的情况下也可通过避免离散节点落在边界上来克服这个问题。

1 有限差分光束传输法 (FD-BPM) 基本理论

单色平面光波在光波导阵列中传播时, 其电场的复振幅 满足亥姆霍兹方程, 经慢变化振幅近似后, 其振幅 满足如下方程:

对该方程利用FD-BPM进行数值计算, 可以求出光波导阵列中任意位置的光场分布。利用FD-BPM求解亥姆霍兹方程时, 有三个重要近:第一, 采用近轴近似;第二, 采用标量场近似;第三, 忽略反射波的影响。

2 TE模的FD-BPM格式

对于波动方程的处理方法可以分为傍轴近似和广角近似两种, 首先以二维波动方程为基础, 分析较简单的情况, 假定光束是沿z轴方向传播, 阐述在傍轴近似中使用有限差分的光束传输法数值方法, 即有限差分光束传输法 (FD-BPM) 。

有限差分光束传输法的简要过程为:波导横截面被分为很多个方格, 在每个方格内的场用差分方程来表示, 然后加入边界条件, 就可以得到整个横截面的场分布, 重复前面的步骤, 通过逐步迭代计算最后可以得到整个波导中的场分布。为了获得可求解的方程组, 可用有限差分对波动方程进行网格离散化。对 (1) 式离散化, 等式左边用差分格表示, 可得:

(2) 式即为二维TE模BPM的有限差分格式。

3 波导耦合对光波导光学相控阵传输特性的影响

利用上文推导出的TE模有限差分光束传输法对光波导光学相控阵进行数值模拟。假定光在传播过程中无损耗。对于光波导阵列, 令N代表光波导层数, a代表光波导芯层的厚度, d代表阵列周期即波导间距, L代表光波导的长度, n1代表波导芯层折射率, n2代表波导包层折射率, λ代表入射光波长。

3.1 波导芯层厚度a对传输特性的影响。

图1表示N=10, a=0.55μm, d=2.2μm, n1=3.51, n2=3.43, λ=0.85μm时, 光波导阵列输出截面z轴方向上的光场振幅E的分布特性。图1中光波导阵列输出截面上的光场振幅在波导芯层内最大, 但其间有起伏, 在这种结构下, 波导中只有一个导模。其中, 振幅在芯层中较大主要是由导模引起的, 而不同芯层中振幅的起伏主要由波导耦合造成。

3.2 波导间距d对传输特性的影响。

图2表示其他参数不变, a=0.55μm, d=1.5μm时, 光波导阵列输出截面z轴方向上的光场振幅分布。图中光波导阵列输出截面上的光场振幅在波导中间较大, 在两边波导中较小。在这种参数下波导中有一个导模, 而这种分布特性主要是由较大的波导耦合造成的。由图1和图2比较可知, 波导间距d对波导阵列输出截面光场振幅的影响很大。当d较小时, 光场振幅显著增大。

用二维有限差分光束传输法模拟的过程中为了得到较好的输出场, 应该保证以下几点: (1) 光波导层和包层的折射率不能相差太大。 (2) 应该选择合适的计算步长以及迭代次数。步长偏大得出的光场图比较粗糙, 反映不出实际情况, 偏小则会占用大量计算时间, 效率低下。

4 结论

本文深入研究了光波导和光波导阵列的传输特性, 根据二维有限差分光束传输法的基本原理, 推导出了有限差分光束传播法 (FD-BPM) 计算所需要的公式, 建立了FD-BPM在分析光波导TE模时所需的理论模型, 并用MATLAB编写数值计算程序计算了波导耦合对光波导光学相控阵传输特性的影响。在模拟计算中, 网格点数的选取十分重要, 如果网格点数太小, 模拟就会有误差, 如果网格点数太大, 模拟时间太长, 就会增加了工作量。

参考文献

[1]T.B.Koch, J.B.Davies, D.Wickramasinghe, Finite element/finite difference propagation algorithm foe integrated device, Electronics Letters, 1989, 25 (8) :514-516.

[2]R.Scarmozzino, R.M.Osgood, Comparison of finite-difference and Fourier-transform solutions of the parabolic wave equation with emphasis on integrated-optics applications, J.Opt.Soc.Am., 1991, 8 (5) :724-731.