单位球面

单位球面（共7篇）

单位球面 篇1

一、单位球面上多项式的积分

设n是一个正整数, Sn是欧氏空间Rn+1中的单位球面, P (x) =P (x0, …, xn) 是定义在Rn+1上的一个多项式, 我们想计算P (x) 在Sn上的积分, 这里dσn表示Sn的体积形式。由积分的线性, 我们只需要考虑P (x) 是一个单项式的情形, 因此以下我们假设, 这里a= (a0, …an) ∈Nn+1是一个多重指标, N代表全体自然数。单位球面上单项式的积分有以下的显式公式, 见文献[1]。

引理 (1) 如果某个ai是奇数, 则。

(2) 如果a0, …, an都是偶数, 则

这里是大家熟知的Gamma函数。

推论单位球面Sn的体积为。

证明在引理中令a= (a0, …, an) = (0, …, 0) 即可。

二、高斯-博内公式及其改进

1. 高斯-博内公式。

现在设n是一个正偶数, M是Rn+1中的一个紧致的光滑超曲面, 它总是可定向的。对于任意的y∈M, 可以确定M在y点处的单位外法向量G (y) , 这样得到的映射G:M→Sn称为超曲面M的高斯映射。高斯映射在y点处的Jacobian被称为M在y点处的高斯曲率, 记为K (y) , 这等价于说G* (dσn) =Kd A, 这里d A是超曲面M的体积形式。

高斯-博内公式设n是一个正偶数, M是Rn+1中的一个紧致的光滑超曲面, 则有, 这里χ (M) 是M的欧拉示性数。

我们来简要分析一下这个公式的证明:由微分形式的拉回G* (dσn) =Kd A和映射度的定义, 我们有,

最后一个等号用到了等式, 它的证明可见文献[2]的第320页。

2. 高斯-博内公式的一个改进及其简证。

现在设c= (c0, …, cn) ∈Rn+1是一个单位常向量, 我们用 (c, G) 表示c和G的内积。高斯-博内公式有如下的改进, 见文献[3]。

定理设n是一个正偶数, m是一个自然数, M是Rn+1中的一个紧致的光滑超曲面。

(1) 如果m是奇数, 则。

(2) 如果m是偶数, 则。

下面我们给出一个新的较为简洁的证明。

证明令f (x) = (c, x) m= (c0x0+…+cnx) m, 则有

是单项式的线性组合。

(1) 如果m是奇数, 则至少有一个ai是奇数, 由引理的 (1) 可知。

(2) 如果m是偶数, 由引理的 (1) 可知,

再利用引理的 (2) 可知, 这个积分等于

利用Gamma函数的性质Γ (s+1) =sΓ (s) 可知, 当s是一个自然数的时候, 有, 所以

因为c= (c0, …, cn) ∈Rn+1是单位向量, 所以c02+…+cn2=1, 因此

最后, 利用即可得到。证毕。

下面, 我们看一个有趣的例子。

例取m=n=2, 此时M是R3中的紧致光滑曲面, 我们有

设G= (G1, G2, G3) , 我们可以进一步取c= (1, 0, 0) , (0, 1, 0) , (0, 0, 1) , 得到

摘要：由极坐标下积分的变量替换公式, 我们可以得到单位球面上多项式的积分的显式公式。利用这个显式公式, 我们可以给出高斯-博内公式的一个改进的简洁证明。

关键词：单位球面,极坐标,伽马函数,高斯-博内公式

参考文献

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[3]Grotemeyer K.P.Uber das Normalenbundel differenzierbarer Mannigfaltigkeiten.Ann.Acad.Sci.Fenn.Ser.A.I[J], 1963, (336) :1-12.

单位球面 篇2

有关非球面光学元件加工与检测方法的研究是现代精密光学检测与应用的一个热点[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14]。非球面光学镜片的制造和质量检测的两个重要技术参数分别是:非球面的最大非球面度和最佳参考球面。非球面度表征了非球面光学元件镜片与加工起始球面镜片偏离量的大小。非球面的最大非球面度的大小代表了该非球面镜片加工的难度。最佳参考球面为非球面镜片加工的起始球面,该球面与非球面的最大偏离量最小,其半径为Rc。非球面镜片加工的坯子就是半径为Rc的球面镜片。

基于不同应用的目的,非球面度的计算有多种定义[3,8,9,10],因而形成了多种求解最佳参考球面的方法。在众多求解最佳参考球面的方法中,有些直接用于非球面的加工目的,而有些则是用于非球面的检测目的。常用的非球面度的定义有三种:一种定义是非球面与最佳参考球面的横坐标之差为非球面度;另一种定义是非球面与最佳参考球面的法线上的偏离量为非球面度;还有一种定义是非球面与最佳参考球面在非球面的法线方向上的偏离量为非球面度。这些非球面的定义对于非球面的加工都具有直接的应用目的。在非球面加工中的去除量分布函数,就是上述第一种非球面度定义的非球面度分布函数,而第二种定义的非球面度分布函数则更适用于数控机床磨头的控制[13]。根据不同的非球面度的定义和不同应用目的的要求,采用不一样的数学模型形成了多种求解非球面最佳参考球面的方法[2,3,5,6,11,12,13]。如精确公式法、近似公式法、最小二乘法、最小最大斜率非球面度法等。除此之外,还有许多种方法可以确定非球面的非球面度以及最佳参考球面,但基本的原理都没有超出上述几种常用求解最佳参考球面方法基本思路。

通过比较研究发现,对于二次非球面来说,能够对非球面面型函数进行有关的解析解。因此,除了近似公式法之外,上述方法也都主要是用于确定二次非球面的非球面度和最佳参考球面。但当这些方法被用于求解高次或任意非球面的非球面度和最佳参考球面时,理论计算分析难度很大。本研究所采用的方法将能够求解任意非球面的非球面度和最佳参考球面,不仅可用于非球面光学镜片的设计与加工,并能在计算分析过程和结果中反映出非球面光学镜片表面加工质量检测的特点与难度。

1 确定非球面度及最佳参考球面的新方法

经过深入的理论分析和大量计算,本文提出了一种求解非球面光学镜片的非球面度以及最佳参考球面的新方案,即:采用计算非球面波(其波阵面函数为非球面光学镜片面型函数)与球面波(其波阵面函数为最佳参考球面镜片面型的球面函数)干涉条纹密度的方法,确定非球面光学镜片的非球面度并以及最佳参考球面,“最佳”的条件是使非球面波与球面波干涉形成条纹的最大密度最小。该方法的最大特点是采用数值计算技术,不需要对非球面面型函数解析,就能够快速求解任意高次和任意非球面面型的非球面度和最佳参考球面,同时得到的非球面波与最佳参考球面波的最大干涉条纹密度,可作为非球面干涉检测难度评估的重要指标。可见,本方法不仅可用于非球面的加工,也可用于非球面的干涉检测。

确定非球面最佳参考球面的计算模型及基本思路:非球面光学镜片的面型函数可看作是非球面波的波阵面函数,通过计算一系列球面波与非球面波的波程差,应用波的相干条件,便可确定干涉亮条纹位置和密度以及最大干涉条纹密度,最小的最大干涉条纹密度所对应球面波便是所要求的非球面最佳参考球面,最佳参考球面与非球面之间的最大相位差对应的波程差为该非球面的最大非球面度。

取非球面波的波阵面函数为非球面面型函数,一般可表示为[12]

z轴为非球面的旋转对称轴,曲面的顶点位于坐标原点O处。k为二次曲面系数,R0为非球面波面顶点的曲率半径。A4、A6、…、A2n为高次非球面多项式系数。

考虑到非球面旋转对称性,非球面面型采用z=0平面与非球面交线──二次曲线或高次非圆曲线表示。式(1)变为

或者:

a3、a4、…、an为高次非球面面型函数的多项式系数。

把非球面固定于坐标系中(参见图1)。从S发出的球面波在非球面的表面附近与非球面反射波产生干涉。显然,不同S处发出的球面波与非球面反射波的干涉条纹密度分布是不一样的。当从不同S处发出的某个球面波与非球面反射波的最大干涉条纹密度为最小时,该球面波的波阵面便是最佳参考球面,该球面波对应的半径就是最佳参考球面的Rc。

下面分析计算所采用的非球面度定义为非球面在最佳参考球面法线上与最佳参考球面的偏离量。该偏离量为非球面波与参考球面波之间的波程差。当然,也可以根据不同的非球面度定义,如把非球面与参考球面在横坐标上或在非球面法线上的偏离量作为二者之间的波程差。

计算时,首先需要把非球面和参考球面数字化,空间采样分辨率取决于非球面的孔径大小和非球面面型函数的斜率。孔径和斜率越大,间隔相应要取得更小一些,以确保能够区分干涉条纹的计算为标准。但由于高次非球面的有些位置的曲面斜率很大,常常是二次曲面斜率上千倍以上。因此,为了能够区分计算干涉条纹,又能尽量地减小计算量,就需要在不同区间采取不同大小的数字化间隔。对于球面上第i个点(参见图1),在其法线方向上与非球面的波程差为

r为参考球面的半径。当i(28)j(j(28),1,23...)时,非球面波与球面波干涉为亮条纹。按照一定的精度要求,检验参考球面上每一个点在其法线方向上与非球面的波程差i是为波长的整数倍。那些是波长整数倍的点就是计算所要求得的干涉条纹的亮纹中心,相邻两亮纹中心的距离便是条纹宽度,其倒数便是干涉条纹的密度,由此便可获得非球面与参考球面干涉的最大条纹密度及其位置。

具体的计算过程如下:连续改变参考球面波波源的位置S(a,0),在球面波波源的每一个位置上,连续改变球面波的半径,计算非球面反射波与不同半径r的参考球面波的最大干涉条纹密度。通过分析比较不同位置不同半径的球面波与非球面波的最大干涉条纹密度,其中最小的最大干涉条纹密度所对应的球面波半径就是非球面的最佳参考球面半径,该球面波波源的位置可作为非球面干涉检测时球面参考光的点光源最佳位置[11]。

2 计算结果与分析

表1和表2分别列出了按照上述计算模型和分析方法,计算了参考文献[2-4]中选用的二次非球面和高次非球面的最佳参考球面半径Rc、最大非球面度max和最大斜率球面度max,以及最佳参考球面波与非球面波干涉的最大条纹密度γmax和最大条纹密度的位置Smax。

通过与参考文献[2-4]的计算结果比较,说明了采用计算干涉条纹密度的方法与其他方法计算的最佳参考球面的半径Rc和最大非球面度max或最大斜率非球面度max是可行的,但本方法提供了更多有关非球面加工与检测的信息。如:提供了非球面波与最佳参考球面波干涉的最大干涉条纹密度max,可作为非球面干涉检测难度评估的重要指标,若记录干涉图像记录介质的分辨率小于该最大干涉条纹密度时,将无法对非球面光学元件采用干涉方法检测;通过本方法计算的最大斜率非球面度max和最大干涉条纹密度所在位置Smax,可以确定非球面的面型变化最大的位置和大小,从而可具体地掌握非球面加工的难度和难度最大的方位。

注:最大干涉条纹密度的位置为单位圆位置。

3 结论

综上所述,采用计算干涉条纹密度确定非球面光学镜片的最大非球面度和最佳参考球面半径的方法,不仅物理模型简单,并由于采用了完全数字化计算的方法,不需要对非球面面型函数作任何解析计算,就能够得到任意非球面的最大非球面度和最佳参考球面的半径。与此同时,该非球面与最佳参考球面波(干涉检测参考球面波)相干的最大干涉条纹密度及其位置,同时可作为非球面干涉检测难度评估的重要指标。

本研究的技术路线还可用于非球面干涉检测时入射球面波和参考球面波点光源最佳位置的判定[14]。

摘要：通过计算被测非球面反射光波与球面光波干涉条纹的密度,找到了一种确定非球面的最佳参考球面和非球面度的新方法。该方法采用计算机数字计算分析技术,计算一系列不同半径的球面波与非球面波的干涉条纹密度,使得最大干涉条纹密度最小的球面便是所求解的非球面的最佳参考球面。该方法的最大优势在于可用于不需要对非球面表面函数进行解析计算,就能够很准确地确定任意非球面的最佳参考球面的半径、最大非球面度、被测非球面波与最佳参考球面波干涉条纹的最大密度和位置。

单位球面 篇3

1 资料与方法

1.1 一般资料

选择2010年1月-2013年12月笔者所在医院收治的白内障手术术后置入人工晶体患者80例, 按照数字随机法分为两组, 各40例, 其中观察组:男21例, 女19例, 年龄60~88岁, 平均 (71.3±3.5) 岁, 眼轴长22.4~25.5 mm, 平均 (24.1±0.2) mm, IOL屈光度18.9~21.3 D, 平均 (20.7±0.6) D;对照组:男23例, 女17例, 年龄61~88岁, 平均 (71.2±3.6) 岁, 眼轴长22.4~25.4 mm, 平均 (24.2±0.2) mm, IOL屈光度18.9~21.4 D, 平均 (20.7±0.5) D, 两组患者性别、年龄、眼轴长及IOL屈光度等差异无统计学意义 (P>0.05) , 具有可比性。

1.2 方法

所有患者入院后均签署知情同意书, 并申报医院伦理委员会批准, 其中观察组使用非球面人工晶体, 对照组则使用球面人工晶体, 所有患者均由同一医师完成白内障超声乳化术, 分别植入非球面预装式折叠晶体和传统球面折叠晶体, 术后1个月比较两组患者治疗后3 mm和5 mm瞳孔直径时角膜、晶状体及全眼高阶像差关系。

1.3 统计学处理

采用SPSS 13.0软件对所得数据进行统计分析, 计量资料用均数±标准差 (±s) 表示, 比较采用t检验;P<0.05为差异有统计学意义。

2 结果

2.1 3 mm瞳孔直径时角膜、晶状体及全眼高阶像差比较

观察组3 mm瞳孔直径时角膜、晶状体及全眼高阶像差均显著低于对照组, 差异有统计学意义 (P<0.05) 。详见表1。

2.2 5 mm瞳孔直径时角膜、晶状体及全眼高阶像差比较

观察组5 mm瞳孔直径时角膜、晶状体及全眼高阶像差均显著低于对照组, 差异有统计学意义 (P<0.05) 。详见表2。

3 讨论

随着人体年龄的增长, 眼睛的敏感度也会越低, 研究发现这种视力下降是由晶状体的球差导致的。年轻人的晶状体大多存在负球差, 能有效的补偿角膜折光出现的正球差, 而随着年龄的增长, 晶状体的负球差调节能力逐渐减小, 甚至不能抵消正球差, 此时患者出现视觉质量受损表现[4]。传统的球面人工晶体本身就有正球差, 植入眼内反而增加了眼球的总球差, 导致视觉发生异常[5]。而非球面的人工晶体可以用负球差来抵消正球差, 很好的矫正了视力, 而且还提高了患者的夜视能力, 降低眩光等视觉问题[6]。本研究观察组使用的非球面人工晶体, 并通过与球面人工晶体进行术后高阶像差的比较, 以分析不同形状晶体植入后对患者术后高阶像差的影响。

人工晶体球面像差、彗差的大小主要由人工晶体的形状所决定[7]。研究提示, 平凹型的人工晶体其引起的球面像差最小, 同时度数较高的双凸型人工晶体其引起的球面像差较小, 而低度数的双凸型人工晶体其引起的球面像差则较大。以往使用的人工晶体大多为球面, 其光学区表面各点曲率相同, 而屈光能力则存在差异, 表现为正性球差, 导致术后人工晶体眼的球差明显增大, 而影响患者术后视力[8]。非球面形的人工晶体与人类自然晶状体更为接近, 其光学区表面各点曲率不相同, 表现为负性球差, 能够代偿角膜的正球差, 平衡了术后整体球差, 使术后视觉质量有显著提升。除此之外其他因素, 同样会影响到术后患者视觉功能, 如人体的视觉生物极限 (感光细胞的分辨率) 和光学极限 (瞳孔大小, 照明等) 、实际波面和理想波面之间的光程差, 均会影响波前像差, 这一像差在眼球中由角膜和晶状体造成, 角膜和晶体表面实际效果不同, 角膜与晶体处于两个轴上, 角膜与晶体的内所含物质分布不均匀[9]。如果仅仅用视力表测试视力, 两者均可以为1.0甚至以上, 但因为像差的不同会导致最终的视觉质量有所不同, 如出现复视、眩光等, 通过非球面人工晶体就能够解决以上问题。

目前对非球面形人工晶状体临床应用效果的研究仍有较大差异。部分研究表明采用非球面晶体的患者在白内障术后眼视力恢复效果显著;虽然非球面晶体能够降低眼球球面像差, 但其与球面晶体相比, 对比敏感度和视力差异均无统计学意义, 且在暗视有眩光和无眩光环境下的相比差异无统计学意义。虽然球面形人工晶体较非球面形人工晶体产生了较大的球差, 但有研究称丙烯酸酯材料的人工晶体在调制传递函数上比硅胶人工晶体更好。因此为了更加客观的评估非球面人工晶体的意义, 应加大测试抽样量, 避免抽样产生的误差, 保证其他技术参数的一致性。本组研究则提示, 观察组患者术后3 mm和5 mm瞳孔直径时角膜、晶状体及全眼高阶像差均显著低于对照组。提示非球面人工晶体对改善患者视觉质量要明显优于球面组。

虽然非球面人工晶体植入相对于球面人工晶体植入具有显著优势, 但是非球面人工晶体植入并非适用于所有患者。其中对于角膜无正球差者, 临床还有建议以球面人工晶体植入为宜。术中使用非球面人工晶体时, 应以囊袋中间位置为标准, 对囊袋结构不完整、术中撕囊不规则以及悬韧带因各种原因无法有效提供支撑以及存在有明显的囊袋收缩等患者, 其可能会出现人工晶体植入后的偏离或者倾斜, 所以临床上不建议植入具有负球差性能的非球面人工晶体, 而可考虑植入无球差性能的人工晶体。同时对于合并有远视屈光手术史的患者, 因其角膜表面曲度的中央部出现陡峭升高而周边部则相对平坦, 所以角膜的球差显著减少, 在植入具有正球差的球面人工晶体后, 对于平衡角膜的球差改变有积极意义, 从而使患者术后获得更好的视觉质量。所以在临床上对于瞳孔散大, 也就是说在光线通过晶体周边部时, 球面与非球面人工晶体的图像质量存在较长差异, 对于长期以来的小瞳孔患者, 则可不必关注球面和非球面人工晶体的差异。同时随着患者年龄的增长, 视网膜内的神经节细胞功能出现缓慢的丧失, 而鉴于对比敏感度与视力是由视网膜的功能所决定, 所以对于年龄超过75岁的患者, 进行白内障手术时使用非球面人工晶体植入具有一定优势, 尤其是对于高阶像差具有显著意义[10]。综上所述:老年性白内障患者人工晶体植入手术应采用非球面人工晶体, 以更好的降低高阶像差。

摘要：目的:探讨非球面人工晶体对老年白内障患者术后高阶像差的影响。方法:选择2010年1月-2013年12月笔者所在医院收治的白内障手术术后置入人工晶体患者80例, 按照数字随机法分为两组, 各40例, 观察组使用非球面人工晶体, 对照组使用球面人工晶体, 手术后1个月比较两组患者治疗后3 mm和5 mm瞳孔直径时角膜、晶状体及全眼高阶像差关系。结果:观察组3 mm瞳孔直径时角膜、晶状体及全眼高阶像差均显著低于对照组, 差异有统计学意义 (P<0.05) , 观察组5 mm瞳孔直径时角膜、晶状体及全眼高阶像差均显著低于对照组, 差异有统计学意义 (P<0.05) 。结论:老年性白内障患者人工晶体植入手术应采用非球面人工晶体, 以更好的降低高阶像差。

关键词：非球面人工晶体,球面人工晶体,老年,高阶像差

参考文献

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球面距离问题的求解 篇4

在高中数学课本和中学数学报刊资料中, 关于球面距离问题仅给出定义, 相关概念和例题论述较少, 而在高考、竞赛及实际生活中, 涉及球面问题的却有许多, 且有一定的难度, 为解决这个难点, 本文介绍一个球心角定理及其推论, 然后举例说明它们的应用, 其过程反映了球面距离问题的一种求解方法, 供读者参考.

一、几个相关概念

纬度:经过某一点的地球的半径与赤道所在的大圆面所成的角.

经度:经过某一点的经线和地轴确定的半平面与本初子午线和地轴确定的半平面所成的二面角的度数.

两地的位置关系:地球上两点A、B的位置关系有以下三种:

(1) A、B两地经度相同, 纬度不同;

(2) A、B两地纬度相同, 经度不同;

(3) A、B两地纬度不同, 经度也不同.

球面距离:某两点的大圆在这两点的一段劣弧的长度.即A、B两点的球面距离为弧AB=α·R (其中α是A、B两点的球心角, 单位为弧度制, R为球的半径) .

所以求球面距离问题的本质就是求出球心角.

二、有关定理及其推论

为了方便叙述, 本文采用有向角的概念, 规定东经为正, 西经为负, 北纬为正, 南纬为负.例如西经120°记为-120°, 南纬30°记为-30°.

于是我们有如下的球心角的余弦定理:

定理1 设A、B是地球表面上的任意两地, A地的经度为θ1, 纬度为φ1, B地的经度为θ2, 纬度为φ2, 地球的中心为O, 球心角∠AOB=α (α∈ (0, π]) , 则cosα=sinφ1sinφ2+cosφ1cosφ2cos (θ1-θ2) .

证明:设地球半径为R, A、B两地所在的纬度圈分别为圆O1和圆O2, 由球的截面性质知OO1⊥圆O1, OO2⊥圆O2, 且两圆所在的平面平行, 故知O1, O、O2三点共线, 由有向角的概念知

|O1O2|=R|sinφ1-sinφ2|. (1)

设NOS为地轴, 在半圆面NSA内, 作AA1⊥圆O2所在的平面, 垂足为A1, 则|O2A1|=

|O1A|=Rcosφ1, |O2B|=Rcosφ2, 在三角形A1O2B中, 由余弦定理得

|A1B|2=R2[cos2φ1+cos2φ2-

2cosφ1cosφ2cos (θ1-θ2) ] (2)

当∠A1O2B=|θ1-θ2|≥180°时, 因为有cos[360°- (θ1-θ2) ]=cos (θ1-θ2) .故 (2) 也成立.在直角三角形ABA1中, 由勾股定理得

|AB|2=|A1A|2+|A1B|2=|O1O2|2+

|A1B|2 (3)

将 (1) 、 (2) 代入 (3) 得

|AB|2=2R2[1-sinφ1sinφ2-

cosφ1cosφ2cos (θ1-θ2) ] (4)

在三角形AOB中, 由余弦定理得

$\cos \angle A{\rm O}B=\cos \alpha =\frac{2R{}^2-|AB|{}^2}{2R{}^2}(5)$

将 (4) 代入 (5) 化简得cosα=sinφ1sinφ2+cosφ1cosφ2cos (θ1-θ2) .

有了定理1, 我们容易得到地球表面上的任意两地的距离公式.

定理2 设A、B是地球表面上的任意两地, A地的经度为θ1, 纬度为φ1, B地的经度为θ2, 纬度为φ2, 地球的半径为R, 则A、B两地的球面距离为劣弧AB=R·arccos[sinφ1sinφ2+cosφ1cosφ2cos (θ1-θ2) ].

证明:设A、B两地的球心角为α, 则由定理1得

cosα=sinφ1sinφ2+cosφ1cosφ2cos (θ1-θ2) ,

所以, α=arccos[sinφ1sinφ2+

cosφ1cosφ2cos (θ1-θ2) ],

所以, A、B两地的球面距离为劣弧

AB=R·arccos[sinφ1sinφ2+

cosφ1cosφ2cos (θ1-θ2) ],

推论1 若A、B两地位于同一经度, 则 (1) cosα=cos (φ1-φ2) ;

(2) 球面距离AB=R·arccos[cos (φ1-φ2) ].

证明:因为θ1=θ2, 由定理1、定理2即可得证.

推论2 若A、B两地位于同一纬度φ, 则

(1) cosα=sin2φ+cos2φcos (θ1-θ2) ;

(2) 球面距离AB=R·arccos[sin2φ+cos2φcos (θ1-θ2) ].

证明:因为φ1=φ2=φ, 由定理1、定理2即可得证.

推论3 若A、B两地经度差为$\frac{\text{π}}{2}$, 则

(1) cosα=sinφ1sinφ2;

(2) 球面距离

AB=R·arccos (sinφ1sinφ2) .

证明:因为$\theta {}_1-\theta {}_2=\frac{\text{π}}{2}$, 由定理1、定理2即可得证.

推论4 若A、B两地经度差为π, 则

(1) cosα=sin2φ1-cos2φ2;

(2) 球面距离AB=R·arccos (sin2φ1-cos2φ2) .

证明:因为θ1-θ2=π, 由定理1、定理2即可得证.

推论5 若A、B两地位于同一纬度φ, 经度差为θ, 则$\sin \frac{\alpha }{2}=\sin \frac{\theta }{2}\cos \phi .$

证明:由题意及推论2得

cosα=sin2φ+cos2φcosθ=1-cos2φ+cos2φcosθ=1-cos2φ (1-cosθ) ,

所以$1-\cos \alpha =2\sin {}^2\frac{\theta }{2}\cos {}^2\phi \Rightarrow 2\sin {}^2\frac{\alpha }{2}=2\sin {}^2\frac{\theta }{2}\cos {}^2\phi ,$

由纬度定义知$\phi \in (-\frac{\text{π}}{2},0){\displaystyle \cup (}0,\frac{\text{π}}{2})$, 所以$\sin \frac{\alpha }{2}=\sin \frac{\theta }{2}\cos \phi .$

这些公式虽然在考试中不能直接使用, 但若我们掌握了它们的证明思路后, 则球面距离问题便迎刃而解.

三、应用例说

例1 (2004年希望杯培训题) 设A、B两地分别位于东经60°、南纬45°和西经120°、北纬30°, O是地球中心, 试求∠AOB的大小 (小于平角的一个) .

解:因为θ1=60°, φ1=-45°, θ2=-120°, φ2=30°.由定理1得$\cos \angle A{\rm O}B=\cos \alpha =\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$, 故知∠AOB=75°.

例2 (2003年吉林省高中数学竞赛题) 设地球半径为R, 球面上有两点A、B, 其中A点在北纬60°, B点在南纬20°, A、B两点经度相同, 求A、B两点的球面距离.

解:因为$\phi {}_1-\phi {}_2=60°(-20°)=80°-\frac{4}{9}\pi$, 由题意和推论1的 (2) 得劣弧$BA=R\cdot \arccos (\cos \frac{4}{9}\text{π})=\frac{4}{9}\text{π}R$.所以A、B两点的球面距离是$\frac{4}{9}\text{π}R.$

例3 (2005年全国高考山东卷) 已知地球半径为R, 球面上有两点A、B, 其中A点在北纬45°东经120°, B点在南纬75°东经120°, 求A、B两点的球面距离.

解:φ1=45°, φ2=-75°, 由题意和推论1的 (2) 得$45°-(-75°)=120°=\frac{2}{3}\text{π}$, 故A、B两点的球面距离劣弧

$BA=R\arccos (\cos 120°)=\frac{2}{3}\text{π}R.$

例4 (2006年全国高考浙江卷) 已知A、B、C三点在球心为O、半径为1的球面上, 且OA、OB、OC两两互相垂直, E、F分别是大圆弧AB和大圆弧AC的中点, 求E、F两点的球面距离.

解:将A点放在北极端点上, B、C两点放在赤道线上, 画出图形结合已知条件可知E、F两点的纬度均为45°, 即φ1=φ2=45°, 两点的经度差为90°, 故由推论3的 (1) 得$\cos \alpha =\sin 45°\sin 45°=\frac{1}{2}$, 所以球心角$\alpha =60°=\frac{\text{π}}{3},$

所以A、B两点的球面距离是

$\frac{\text{π}}{3}R=\frac{\text{π}}{3}\cdot 1=\frac{\text{π}}{3}.$

例5 (2006年全国高考北京卷) 已知A、B、C三点在球心为O、半径为R的球面上, AC⊥BC, AB=R, 求A、B两点的球面距离.

解:画出图形结合已知条件可知A、B两点的纬度均为60°, 即φ1=φ2=60°, 两点的经度差为180°, 故由推论4的 (1) 得$\cos \alpha =\sin {}^{2}60°-\cos {}^{2}60°=\frac{1}{2}$, 所以球心角$\alpha =60°=\frac{\text{π}}{3}$, 所以A、B两点的球面距离是$\frac{\text{π}}{3}R.$

例6 (2006年全国高考四川卷) 已知A、B、C三点在球心为O、半径为1的球面上, A、B两点的球面距离是$\frac{\text{π}}{4}‚A$、C两点的球面距离是$\frac{\text{π}}{4}‚B$、C两点的球面距离是$\frac{\text{π}}{3}$, 求二面角C-OA-B的大小.

解:将A点放在北极端点上, B点放在本初子午线上, 画出图形结合已知条件可知B、C两点的纬度均为45°, 即φ1=φ2=45°, 球心角α=60°, 故由推论2的 (1) 得cos60°=sin245°+cos (θ1-θ2) ⇒cos (θ1-θ2) =0⇒θ1-θ2=90°, 所以两点的经度差为90°, 故知二面角C-OA-B的大小90°.

例7 (2007年高考四川卷) 设球O的半径为1, A、B、C是球面上三点, 已知A到B、C两点的球面距离都是$\frac{\text{π}}{2}$, 且二面角B-OA-C的大小为$\frac{\text{π}}{3}$, 则从点A沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是.

解:因为球O的半径为1, 故由题意知$\angle A{\rm O}B=\angle A{\rm O}C=\frac{\text{π}}{2}$, 又二面角B-OA-C的大小为$\frac{\text{π}}{3}$, 所以B、C都在0弧度纬度上 (赤道线上) , 经度差为$\frac{\text{π}}{3}$, 故由推论2的 (2) 知B、C两点的球面距离$BC=1\cdot \arccos [\sin {}^{2}0+\cos {}^{2}0\cdot \cos \frac{\text{π}}{3}]=\frac{\text{π}}{3}.$

所以点A沿球面经B、C两点再回到A点的最短距离是$\frac{\text{π}}{2}+\frac{\text{π}}{2}+\frac{\text{π}}{3}=\frac{4\text{π}}{3}.$

例8 地球上有两地A、B都位于同一纬度为φ的圆圈上, 它们的经度差为θ, 求A、B两地的球面距离 (地球的半径为R) .

$\begin{array}{l}\text{解}:\text{由}\text{题}\text{意}\text{及}\text{推}\text{论}5\text{得}\sin \frac{\alpha }{2}=\\ \sin \frac{\theta }{2}\cos \phi \Rightarrow \alpha =2\arcsin (\sin \frac{\theta }{2}\cos \phi )\end{array}$

, 所以A、B两地的球面距离

$\begin{array}{l}d=\frac{\alpha \text{π}R}{180}=\frac{2\text{π}R}{180}\cdot \\ \arcsin (\sin \frac{\theta }{2}\cos \phi )(\text{角}\text{度}\text{以}\text{度}\text{为}\text{单}\text{位}).\end{array}$

例9 众所周知, 第28届奥运会已于2004年在希腊首都雅典举行, 它们于东经24°北纬38°, 而第29届奥运会将于2008年在我国首都北京举行, 它位于东经116°北纬40°, 你能计算北京和雅典的球面距离吗?

解:设雅典的经度为θ1, 纬度为φ1, 北京的经度为θ2, 纬度为φ2, 从地图上可知θ1=24°, θ2=116°, φ1=38°, φ2=40°, 将它们代入定理1的 (1) 查表计算得

cosα=-0.2079, α=102°≈1.78弧度.又知地球的半径=6370千米, 所以北京和雅典的球面距离为劣弧AB=α·R=1.78×6370=11340 (千米) .

例10 (中国经营北京一纽约直飞航班的距离问题) 北京时间2002年9月27日14点, 国航CA981航班从首都国际机场准时起飞, 当地时间9月27日15点30分, 该航班正点平稳落在纽约肯尼迪机场;北京时间10月1日19点14分, CA982航班在经过13个小时的飞行后, 准点降落在北京首都国际机场, 至此国航北京——纽约直飞首航成功完成.这是中国承运人第一次经极地经营北京——纽约直飞航线.

而从北京至纽约原来的航线是:北京 (东经116°, 北纬40°) ——上海 (北纬31°, 东经122°) ——东京 (北纬36°, 东经140°) ——旧金山 (北纬37°, 西经123°) ——纽约 (西经74°, 北纬40°) .如果飞机飞行高度为10千米, 并假设地球是半径为6371千米的球体.你能计算新航线的空中航程比原航线的空中航程缩短了多少吗?

略解:在地球上, 两地间飞行的最短距离是这两地所在大圆 (其半径为地球的半径与飞行高度之和) 的两地间的劣弧长.

本题应计算以北京、纽约为端点的大圆劣弧长;北京到上海、上海到东京、东京到旧金山、旧金山到纽约各段大圆劣弧长度之和.然后求它们的差.

通过计算得新航线比原航线飞行距离大约缩短了4232千米.

由上述各个例题可知, 高考题、竞赛题和实际生活问题都有涉及球面距离问题, 且题型丰富多彩, 千变万化.但从本文定理的推导过程知其本质是球面知识、平面三角知识和立体几何的线线角、线面角、面面角等知识的交汇.

云南省广南市第一中学

球面成型研磨表面轨迹分析 篇5

双轴转动式球面成型研磨是一种高速有效的精加工方式, 常用于精密光学零件的最终表面加工工序, 也可以用于特殊环境下特殊零件的快速研磨, 如球面金刚石内外表面的成型研磨[1]。参与研磨的两个研磨轴有各自独立的旋转研磨运动, 球面研磨的质量与效率取决于两个研磨轴的输入, 因此表面运动形式比较复杂。

零件表面的研磨轨迹是影响零件的表面质量的重要因素, 因此对表面研磨轨迹的分析已经成为评价研磨方式优劣的重要参考依据。现行表面粗糙度的测量中, 常用探针接触式表面测量方式, 而这种方式要求工件在不同方向上测出的表面粗糙度值尽量一致, 也即表面研磨轨迹均匀性的具体表现。因此, 研究表面研磨轨迹的分布规律已经成为分析研磨工艺质量的必要手段[2]。

研究研磨轨迹常用的方法有坐标变换法和图形变换法, 这两种方法对于平面研磨方式比较有效[3,4,5]。而对于球面立体空间, 坐标变换不但要实现三维笛卡尔坐标之间的变换, 而还要涉及球面-直角坐标之间的变换, 因此推导过程相对复杂, 必须借助计算软件编程实现。本文在推导出球面研磨轨迹的基础上, 分析研磨轨迹的固有规律, 为研磨过程中的参数的设置提供相关的参考。

2 球面研磨轨迹模型推导

双轴球面研磨的基本原理如图1所示, 球面工件装卡在上下磨具之间, 当工件与下磨具上磨具固定一同旋转时, 可以实现内外表面的研磨[1]。

2.1 研磨模型的等效转化

假定以研磨球面外表面为例, 上磨具与斜轴Z1固定在一起转动, 下磨具绕Z轴转动。可以等效为下磨具静止不动, 上磨具一边绕Z1轴转动, 又在绕Z轴作相反方向的转动, 其研磨效果是相同的, 如图2所示。

假定球面上任一点A在XYZ坐标系下的坐标为 (x0, y0, z0) , 对应在XYZ1坐标下的坐标为 (x00, y00, z00) , 则根据

2.2 轨迹的坐标变换推导

对于球面抛迹的计算, 采用球面坐标与直角坐标变换的方式进行。选取球坐标中心与直角坐标中心重合, 对任一点A, 在直角坐标系XYZ的坐标为 (x0, y0, z0) , 球坐标系下的坐标为 (θ0, 准0, R) , 两者之间的关系如下:

根据已有的matlab命令工具, 球面坐标与直角坐标之间的转换可以简写如下:

其中cart2sph () 以及sph2cart () 分别为球坐标与直角坐标之间的转换命令。

假定对于任意一点A, 经过时间t后, 球头绕Z1轴转过β2角, 其中β2=ω2·t, 则转动后的球面坐标为:

据此可以求出转动β2角后, 点A在Z1轴下的直角坐标:

然后可以求出 (x11, y11, z11) 对应在Z轴下的直角坐标:

由 (x1, y1, z1) 可以求出对应在Z轴下的球坐标 (θ1, φ1, R) :

在此坐标值下, A点绕Z轴转动β1角, 其中, 则转动后的球面坐标为:θ2=θ1+β2, φ2=φ1

据此可以求出A点在转动β2、β1角后在Z轴坐标系下的直角坐标 (

当时间t的间隔足够小时, 可以根据 (x0, y0, z0) 以及 (x2, y2, z2) 绘出球面运动轨迹曲线。

在上述推导过程中, 是以矩阵T作为Z轴与Z1轴之间直角坐标之间变换的桥梁, 利用球面坐标下点绕轴转动角度增加的规律, 通过直角坐标变换与球坐标直角坐标之间的转换, 求出A点在经过时间t后新的坐标点。上述推导过程, 简明清晰, 易于编程计算。

根据上述推导进行编程计算, 可以绘出一定条件下球面某点的运动轨迹, 如图4所示。

3 推导验证

为了验证上述推导结果, 使用UG运动分析功能, 在三维模型的基础上, 进行研磨轨迹的验证。在等效模型中, 球头一边绕斜轴Z1转动, 一边绕垂直的Z轴转动, 因此需要有两个转动自由度, 根据以上要求, 建模如图5所示。

其中, 下支架的设计是为便于在运动模块中定义转动铰链。模型中定义的两个铰链分别下支架与地面之间转动铰以及球头与支架之间的转动铰, 在定义的过程中可以设定两铰链的角速度。对于轨迹的研究, 采取定义标记点以及轨迹分析功能相结合的方法, 在一定的初始条件下, 可以得到球面某点的运动轨迹, 如图6所示。

为了验证三维运动模型与推导计算之间的关系, 在模型中采用图4的初始条件进行仿真, 得到的轨迹结果如图7所示。

经过比较, 可以认为二者结果吻合一致, 从而证明了采用坐标变换法推导出的轨迹计算方法的正确性, 可以作为后继研究的基础。

4 研磨轨迹参数分析

从研磨轨迹的计算中可以得到以下结论:在任意研磨转速条件下, 球面上任意点的研磨轨迹都是封闭的三维曲线, 但在不同转速条件下, 曲线封闭前经过的路径长度是不同的。图8所示为不同的转速及位置条件的研磨轨迹。

从以上4条研磨轨迹可以看出, 对球面任一点, 在经历一定的研磨时间后, 轨迹的起点与终点重合, 从而证明了球面研磨轨迹的封闭性, 也称为轨迹的周期性。轨迹重合的周期与研磨的转速条件有关, 不同的转速条件下, 轨迹在封闭前所经历的时间是不同的。

在不同研磨转速条件下, 对轨迹曲线达到封闭的最短时间进行研究, 结果如表1所示。

从表1可以看出, 两轴转速之比与轨迹封闭时两轴所转圈数之比是公约数化简的关系, 如两轴转速为比为5∶5, 约去公约数5, 可以简化为1∶1, 而两轴在经过1r之后就可以达到轨迹封闭;又如两轴转速为8∶4, 化简后可得2∶1, 则两轴在分别转过2r和1r之后就回到初始位置。这说明两轴的转速之比对于轨迹封闭有着直接联系。对于不能化简的转速比, 如5∶2, 初始点在两轴分别在转过最小周期5r和2r后, 回到初始位置。

从磨削的均匀性来看, 轨迹在回到初始位置之前所经过的路径越长越有利。根据这个原则, 可以得到两轴转速比的规律:在分配两个轴的转速时, 尽量避免两轴转速有公约数。如对于两轴转速为9∶3, 约去公约数之后简化为3∶1, 则两轴分别经过3r和1r之后就回到初始位置, 如果两轴转速改为9∶4, 从加工效率上来看变化不大, 但是从轨迹方面变化却相当大, 后者的轨迹重合需要经过两轴转动9r和4r才能实现, 轨迹重合之前所经过的路径要远大于转速比9∶3。对于两轴转速出现小数点的情况, 其化简先需要取小数取整, 然后再进行整数化简。如两轴转速为1.5∶4, 先对两者扩大10倍, 变为15∶40, 然后再化简为3∶8, 就可按如上所述进行轨迹分析。

此外, 两轴转速的大小与轨迹分布位置也有直接关系, 如两轴转速为21∶1和1∶21两种情况, 对于初始点θ=-90°, φ=-90°, 轨迹分布如图9所示。

从磨削轨迹的均匀性来看, 转速比1∶21情况较为理想, 轨迹纹路较为有序, 而转速比21∶1的轨迹较为单一, 会对零件的最终表面质量产生负面影响。虽然两种情况下两轴磨削轨迹重合的转数相同, 但从轨迹的均匀性以及纹路的合理性来看, 两个转轴的转速分配应该是斜轴处于高转速而下轴处于低转速比较有利。

5 结语

采用球面-直角坐标连续变换的方法, 编制出球面轨迹的解析程序, 并绘出轨迹的空间曲线。对轨迹的封闭特性以及两轴转动对研磨轨迹的影响进行了分析, 总结出合理的研磨工艺参数, 对双轴驱动球面研磨的工程应用具有一定的指导作用。

参考文献

[1]马泳涛, 陈五一.球面成型研磨相对速度分析[J].中国机械工程, 2007, 18 (21) :2551-2554.

[2]杨建东, 田春林.高速研磨技术[M].北京:国防工业出版社, 2003.

[3]刘建河, 杨建东.用图形变换法研究行星机构双面研磨轨迹[J].长春理工大学学报, 2002, 25 (2) :40-42.

[4]刘文.摇摆式圆盘研磨机研磨轨迹型态的研究[J].重型机械科技, 2005, 47 (2) :1-3.

非球面磨削系统的研究 篇6

其中机械部分由床身、液压系统、冷却系统、砂轮架、润滑系统、金刚轮架、动平衡系统、X、Z直线导轨传动机构、C轴传动系统组成。实际使用时, 将透镜装在工件上, 由X、Y、C三轴联动实现对透镜的高精度磨削加工。磨床结构示意图如图1所示。

采用三轴精密数控系统控制机床各轴的进给, 每个伺服轴由高精密光栅测量进给精度并反馈到计算机, 实现精密进给。伺服进给精度达到0.5μm。

而本磨床主轴采用液压动静压主轴, 主轴传动系统与主轴之间增设卸荷装置, 减少传动力造成的主轴径向跳动和轴向窜动误差。

磨床导轨采用精密液浮导轨导向, 降低摩擦力造成的进给系统变形误差。驱动系统采用微间隙驱动结构, 消除反向间隙和纵横向偏移量。

2 大口径非球面磨削系统加工原理

大口径非球面磨削加工原理图如图2所示。研究非球面加工工件误差数学模型, 设计高速数据处理软件, 选择高速通信硬件接口, 提供误差补偿加工数据。完成对非球面、平面加工全表面的误差测量和评价。实现测量精度达2um。

3 电气控制系统

电气部分由西门子840D数控系统、驱动系统、检测反馈系统、执行机构、动态平衡系统、砂轮轴变频控制系统等组成, 电气系统构成如图3所示。CNC系统根据输入的程序, 由计算机进行插补运算, 形成理想的运动轨迹。插补计算出的位置数据输出到伺服单元, 控制电动机带动执行机构, 加工出所需的零件。

CNC系统是由程序、输入输出设备、计算机数字控制装置 (CNC系统) 可编程控制器 (PLC) 、主轴驱动和进给驱动装置等组成。

电气控制系统系统采用西门子840D数控系统及611D驱动系统。控制系统通过扩展可同时控制五个驱动电机。其中一个主轴电机, 四个伺服电机, 五个伺服电机可实现任意三轴联动, 满足非球面加工要求。840数控系统的核心部件是NC和PLC系统。

NC (Num e rical Control) 是数字控制既数控。它是根据NC程序通过一定的算法对刀具运动轨迹进行控制。

PLC (Program m able Logic Controlle r) 是可编程的逻辑控制器。它是根据输入信号依据已编程的控制逻辑去控制执行部件。

CNC是在PLC的监控下进行工作, PLC不但要监控NC, 还要监控外部执行部件。本磨床要求CNC可控制五个轴 (三个进给轴X、Y、B, 二个旋转轴A、C) 。

4 小结

本文先对大口径非球面磨削系统的总体结构作了分析, 并给出了系统的机械组成部分框图, 然后分析了非球面磨削系统的初始加工原理和补偿原理。介绍了砂轮的三种加工方式。最后给出了电气控制部分的构成并描述了加工工艺。

摘要：大口径非球面磨床是典型的机电一体化产品, 有机械机构和电气控制两大部分构成。机械是基础, 电子是灵魂, “机”和“电”有机地融为一体, 两者相互依存, 缺一不可, 两者相互配合才能实现磨削过程的自动化。由于本论文的题目为:大口径非球面光学元件控制系统的研究, 所以本文对控制系统的设计作了较详尽的论述, 而对于机械部分仅对机械部分和磨削工艺做些介绍。

非球面数控加工技术研究 篇7

正是由于光学非球面元件的广泛使用,使得光学非球面的加工技术得到了快速发展。近年来随着超精密微细加工技术的发展、高精密数控机床的出现,使非球面光学零件的加工技术有了长足的进展。它提高了加工精度和加工质量,缩短了产品研制周期,实现了加工及检测的自动化、数字化,突破了传统的手工或半手工操作,也使各国开展了对各种新型抛光工艺的深入研究,从而提高了加工效率和制造精度。

1非球面的理论基础

随着光学科学的发展,设计自由度需求的增加,光学系统中用到的光学曲面形状也越来越复杂。从广义上来讲,除了球面和平面以外的光学曲面,其他表面都可以统称为非球面,亦可称为复杂光学曲面。这些复杂的面形在不同的场合下有不同的定义和分类,至今尚未形成统一的认识。

非球面光学零件就是有一个或两个与球面有差异的光学表面构成的光学零件,在这些非球面中最常见的是一个对称轴的回转非球面。回转非球面通常采用数控机床进行加工。

国际上普遍通用的轴对称回转非球面表达式[2]为

式中,x表示非球面的回转对称轴;y表示入射光线在非球面上的投射高度;c为顶点曲率,c=1/R0,R0为顶点曲率半径;k为圆锥常数,k = -e2;B1、B2、B3为高次项系数。

当形状系数e2> 1时,式(1)表示为双曲面;当e2= 1时,表示抛物面;当0 < e2< 1时,表示以长轴为对称轴的半椭圆形球面;当e2= 0时,表示球面;当e2< 0时,表示以短轴为对称轴的半椭圆形球面。如果选取相同的R0,不同e2值对应的二次曲线的形状如图1所示。

1—扁圆;2—圆;3—椭圆;4—抛物线;5—双曲线

在回转非球面中又以二次回转非球面的应用最为广泛,二次非球面的子午面方程为

2直径76.2mm非球面数控加工工艺研究

将利用OPTECH非球面数控机床加工直径为 Φ76.2 mm,R为125.2 mm,K=0.475,d=8 ± 0.1,A=5.35741e-8,B=-2.846 56e-11,C=4.16788e-14,D=-2.547 51e-17,材料为K9的非球面透镜。

2.1计算机控制光学表面加工技术的理论基础

非球面数控加工主要运用的是计算机控制光学表面 成型(computer controlled optical surface, CCOS)技术[3,4],根据定量的面形检测数据,建立加工过程的控制模型,用计算机控制工具对非球面表面进行研磨和抛光。

2.1.1CCOS技术的基础理论方程

目前,描述光学表面抛光过程比较成功的数学模型是Preston方程[5]如下

式中,K为比例常数,它由除速度和压力以外的其他所有因素决定;V为表面某一点 (x,y) 和瞬时(t)的抛光速度,V = V(x,y,t) ;P为抛光压力,是关于位置坐标 (x,y) 和瞬时 (t) 的函数值,P = P(x,y,t) 。

在这个假设中,Preston将速度和压力以外的其他因素的作用归于一个比例常数K,这样,就建立起了一个关于材料去除量、压力和瞬时速度之间的线性关系。

这样,就可以根据被加工位置与加工工具之间的相对速度和压力,以及加工时间t ,计算出在这段时间内表面材料的去除量 Δz为

2.1.2去除特征函数的推导

从式(4)中可以看出,在抛光过程中,材料去除量与该点的压强、速度及作用时间成正比。定义工具的位置不移动的情况下,单位时间内工具的去除特征函数[6,7]为R(x,y),则有下式

小抛头抛光过程中,工件以角速度n绕轴自转,工具以角速度 ω 高速自转的同时,沿X方向进给,并在z轴方向做升降运动,运动方式如图2所示。俯视加工轨迹为一螺旋线。工具与工件的接触区域为椭圆区域,接触区域的压强分布满足椭圆赫兹分布[8]。

工具与工件接触示意图如图3所示。设初始驻留状态下,接触区域为一椭圆,由于接触半径很小, 所以近似作圆域处理,接触圆域的半径为a。工具与工件接触区域的中心点为C(xc,yc,zc) ,r为P到工件中心O的距离,rc是C距工件中心O的距离。

其压强分布为

其中,P为P0工具中心处的压强。

工具在P点自转的线速度为

工件在P点自转的线速度为

P点处工具和工件的相对速度为

令k =ω /Ω,工件旋转一周的特征去余量为

2.2非球面数控加工工艺研究

非球面加工工艺流程如图4所示。

2.2.1预抛光工艺

零件经铣磨成型后,表面留有金刚石砂轮铣磨痕迹,要通过抛光过程将痕迹去除。采用面积较小的抛光盘,能够跟踪工件面形的变化趋势,更好地修正局部误差,在短时间内就能使工件的面形精度达到要求,但是由于它产生比较明显的表面波纹度,从而导致表面中高频误差,元件产生高级像差。为了避免这种中高频误差,首先对零件进行弹性抛光盘预抛光。

预抛光过程中,工件轴、工具轴转速分别为150 rpm和450 rpm,摆角21.7°时,抛光15 min,工件表面的铣磨痕迹全部被去除掉。研究过程中发现, 抛光液温度调整到27 ℃时,材料去除量最大,整个表面能够被快速抛亮。

2.2.2非球面数控反馈铣磨抛光工艺

为解决弹性抛光盘严重破坏面形精度的问题, 现将检测曲线反馈到铣磨机中,第二次铣磨非球面,在此过程中引入补偿量,补偿掉由抛光引起的面形误差。即在铣磨过程中刻意使其具有与之前测得的误差相反的面形误差,在抛光去除量大的地方磨削量减小,而抛光去除量小的地方则增大。经过铣磨后,用轮廓仪测得的面形曲线如图5所示。 得到了期望的面形误差曲线,PV值为1.146 5 μm。

2.2.3非球面数控小磨头修抛工艺

小抛头修抛过程中,表面去除量参数之间的关系可以由Preston模型给出,在磨头与工件间相互作用的小区域内,磨头对工件表面材料的去除量与压力、相对速度以及驻留时间成正比[9]。根据轮廓仪测得的预抛光检测曲线,调整工件轴转速和工具轴转速分别为500 rpm和2 500 rpm,其他条件不变,进行几次修正抛光。采用氧化铈作为抛光磨料,多次重复修磨元件,表面面形精度逐步收敛。最终面形如图6所示。PV值达到0.721 1 μm,面形精度符合设计要求,表面光洁度达到Ⅲ级。

2.3影响因素

2.3.1粗磨的影响因素

(1)粒度

金刚石磨具的粒度对磨削效率和表面粗糙度的影响正好相反,粒度越细,工件表面粗糙度愈小, 则效率越低。粒度对表面粗糙度的影响近似成直线关系。选择粒度的原则是:在保证工件粗糙度要求的前提下,尽可能采用粒度粗的磨轮加工,以提高磨削效率。但是,在浓度一定的情况下,粒度越大,粒数越少,每个颗粒上受到的压力加大,则造成磨具磨耗增大。一般铣磨用的磨具粒度范围在80#~120#。

(2)硬度

磨轮的硬度是指磨具表面的磨粒在外力作用下脱落的难易程度。磨粒易脱落则磨具软,反之则硬。

磨轮硬度的选择,对磨削效率、加工质量和磨具寿命影响很大。若磨具硬度过高,则结合剂把已经磨钝而失去磨削能力的磨粒牢牢把持住而不让其脱落,这样会造成磨具与工件之间摩擦力增大, 发热量大,严重时会使零件炸裂。同时,硬度过高将大大降低磨削效率和表面质量。相反,磨具硬度过低,磨粒还在锋利时候就会掉下来,这样不但会影响效率,而且还造成磨具不应有的损耗。

(3)浓度

金刚石磨具的浓度,是指在磨具金刚石层内每立方厘米的体积内含有金刚石的质量。规定每立方厘米中含有4.4克金刚石作为100%浓度。“克拉” 是金刚石质量的计量单位,1克拉=0.2 g,浓度为50%,其金刚石含量为2.2克拉/cm3。

若浓度过高,结合剂相对减少,这样对金刚石颗粒的把持力减弱,使颗粒有过早脱落的可能,不能充分发挥磨料的磨削作用。若浓度过低,使磨轮表面金刚石颗粒减少,作用在没颗粒上切削力相应增大,也有促使磨料过早脱落的可能。

浓度选择的原则:假如金刚石粒度比较粗,浓度相对的应高些,例如,铣磨用的磨轮的金刚石浓度应该比金刚石精磨片的浓度高,100#粒度的金刚石应选100%的浓度,W28粒度的精磨片选用50%的浓度就够了。假如结合剂品种不同,则金刚石的浓度也应该不同,树脂结合剂选用100%,而电镀结合剂选用50%的浓度。

(4)铣磨深度

铣磨深度是指工件转动一周的吃刀量。实践表明,吃刀量愈大,铣削效率愈高,但表面粗糙度愈大。在铣磨周期内,磨去量一般是经过多次铣削完成的。

从磨具合理使用的角度考虑,铣磨深度不应该超过金刚石层的厚度,否则易损坏磨轮。尤其在加工块料毛坏时,更应特别注意吃刀量不能过大。

在弹性进给的条件下,铣磨深度与磨轮转速、 工件线速度、磨削压力以及金刚石粒度和工件材料等因素有关。

2.3.2精磨的影响因素

(1)金刚石颗粒

在使用散粒磨料研磨玻璃时,切削能力和工件表面的粗糙度仅取决于磨料颗粒的粒度。但是,在使用固着磨料磨研时,尤其是在金刚石精磨中,磨具的切削能力,不仅取决于金刚石颗粒的粒度,而且还取决于它在结合剂中的浓度以及颗粒从结合剂里露出的尺寸,并且与玻璃原始表面的粗糙度有关。

(2)结合剂

在金刚石精磨过程中,保证研磨的稳定性和重复性的首要条件是:金刚石与结合剂的平衡磨损, 也就是结合剂磨损,磨具表面上的金刚石切削刃的密度始终保持不变。这种平衡是靠金刚石磨具的自锐作用实现的。如果均衡条件遭到破坏,将会导致两种情况:或者金刚石过早的脱落,从而缩短磨具的使用寿命;或者钝化的颗粒长期把持不脱落, 这样不仅会降低磨削效率,而且也影响价格表面的粗糙度。

(3)玻璃

为了合理地选择和使用金刚石磨具,以获得最好的工艺效果,必须考虑到玻璃的物理力学特性对磨削效率和表面质量的影响。例如,在加工表面粗糙度相同的情况下,用金刚石精磨比散粒磨料研磨所形成的裂纹深度要小。这是由于前者加工的切削力的合力方向几乎与玻璃表面相切所致。

2.3.3抛光的影响因素

(1)抛光介质水对玻璃的侵蚀作用

玻璃表面在水的作用下发生水解,形成硅酸凝胶层,在正常情况下,硅酸凝胶层能保护玻璃表面, 减缓侵蚀速度。但在抛光粉的作用下,胶层不断被刮去,露出新的表面又被水解,如此往复循环,构成抛光过程。因此,水解作用是非常重要的。如果用其他介质代替水时,抛光速度显著下降,这是由于这些介质不能进行水解反应。此外,水能使抛光粉均匀分布在抛光膜的工作表面上,同时水还有良好的冷却和洗涤作用[10]。

(2)光学玻璃化学稳定性与抛光速度的关系

玻璃的抛光速度与玻璃的硬度和软化点无关, 而与化学稳定性有关。玻璃腐蚀后质量减少愈多, 抛光速度愈高。而硅酸盐和硼酸盐玻璃之间的差别,是由腐蚀层的硬度造成的,也就是说,未经腐蚀的玻璃,抛光速度与硬度无关。玻璃是否容易抛光取决于表面水解后形成的腐蚀层,抛光速度则取决于破坏腐蚀层的难易程度。一般来说,抛光困难的玻璃,不易出现表面疵病;反之,容易抛光的玻璃, 也容易出现疵病。

(3)抛光液PH值的影响

一般来说,大多数光学玻璃是不耐碱的,至于耐酸的程度,则视光学玻璃的牌号不同而异。但总的来说,酸度较大时,对玻璃的侵蚀严重。因此,光学加工中,大多数光学玻璃,在弱酸性抛光液中抛光(PH=5.5~7),具有较高的速率和表面质量。

(4)添加剂对抛光过程的影响

在抛光液中加入少量的其他物质,以达到提高速率和改善表面质量的目的,这种物质称为抛光液的添加剂。

(5)抛光模的作用

光学零件的抛光,是在抛光机上,由模具对工件施加压力,使其与工件紧密接触,在抛光剂作用下,通过两者(模具和工件)的相对运动而达到抛光的。由此看来,抛光模层不仅起着承载抛光粉的作用,同时也起到一定的化学作用。

非球面数控抛光是一个机械、化学和物理等方面综合作用的柔性加工过程[11],抛光模的磨损、抛光液的种类和浓度、工件材料、抛光压力、抛光模运动方式、转速、摆动频率、湿度和温度等因素都会对抛光表面质量有很大影响[12]。另外,轮廓仪的测量误差影响修抛的反馈量,也会对抛光结果产生影响。

3结论

目前国内外仍然广泛使用计算机控制铣磨、抛光技术来加工非球面透镜。文中对数控技术加工非球面进行了深入的研究,针对Φ76.2 mm非球面透镜,借鉴传统加工工艺的实践经验,对铣磨成型工艺、抛光工艺、抛光设备等相关工艺参数进行了研究,采用弹性模预抛光与小抛头修正抛光相结合的两步研抛法对零件表面快速抛光,给出了一套规范的非球面数控加工工艺,同时保证了零件具有较高的面形精度,表面光洁度达到Ⅲ级,满足了设计的需要。