球面几何

球面几何（精选12篇）

球面几何 篇1

在学习函数的时候，各种问题就已经把我们难得团团转了，这反比例函数可是更令人烦恼了！但在几何画板的帮助下，一个个难题就如同破竹般迎刃而解了.接下来就让我们一起征服这些反比例函数吧！

的图像随k值变换情况算是最基本的反比例函数问题了.首先，在几何画板中建立一个平面直角坐标系.然后制作变量k，在横坐标内选择一点A，选中A点与变量k，在计算框内输入的式子，即可得.由A点和y值绘制平面直角坐标系上的A′点，作出A′点的轨迹，没错，这就是的图像！最后一步，选中变量k，在后面的数值框内输入适当的数值或者按住“shift”和“+”键，就可以观察到函数变化的图像了！

随着时间的推移，我们的学业会更加繁重，但学习方法却是最重要的，几何画板的探索还可以解决更多的问题，把几何推向更高的山峰！

球面几何 篇2

一、几何公差的符号及含义      需要限制被测要素在公差带内的形状时：1、只允许中间向材料内凹下   NC：表示不凸起。2、若干个分离要素给出单一公差带时，可在公差框格内公差值的后面加注公共公差带的符号CZ。3、上格表示全长的直线度公差值为0.1mm，   下格表示在全长范围内任意200mm长度的直线度公差值为0.05mm二、几何公差的其他符号及含义1、：非刚性零件自由状态下的公差要求，应该在相应公差值的后面加注符号 F   。2、：延伸公差带三、几何公差的定义   几何公差是指实际被测要素相对于图样上给定的理想形状、理想位置的允许变动量。几何公差带的特性：   几何公差带是用来限制实际被测要素变动的区域。几何公差带具有形状、大小和方位等特性。1、直线度1.在给定平面内对直线提出要求的公差带：

距离为公差值 t 的一对平行直线之间的区域，只要被测直线不超出该区域即为合格。说明：

实际直线在公差带内即为合格，被测要素与基准无关，公差带可以随被测要素浮动。直线度测量（1）在给定方向上对实际直线提出要求的公差带：是一对距离为公差值 t 的平行平面之间的区域，该对平面与测量方向垂直。说明：实际直线在公差带内即为合格，被测要素与基准无关，公差带可以随被测要素浮动。（2）在相互垂直的两个方向上对实际直线提出要求，即在这两个方向分别标注公差框格，公差带是一个t1xt2的四棱柱面围成的区域，只要被测直线不超出该区域即为合格。（3）在任意方向上对实际直线提出要求，公差带是一个直径为公差值 t 的圆柱面内的区域，只要被测直线不超出该区域即为合格，

《几何画板》让解析几何生动起来 篇3

一、平面解析几何研究的问题及特点

平面解析几何是用代数方法来研究几何问题的一门数学学科，它研究的主要问题是：（1）根据已知条件，求出表示曲线的方程；（2）通过曲线的方程，研究曲线的性质。基本思想方法是：坐标法即根据已知条件，选择适当的坐标系，把形和数结合起来讨论问题。解析几何的重点就是探索动点的运动规律，由于太抽象，看不见，摸不着，加上计算量大的特点让很多学生头痛。我所在学校学生的基础相对较差的原因，这一块内容教起来相当费劲。

二、几何画板的特点

几何画板是一个适用于几何（包括平面几何，立体几何，解析几何等）教学的软件平台。它为老师和学生提供了一个观察和探索几何图形内在关系的环境。它以点，线，圆为基本元素，通过对这些基本元素的变换，构造，测算，计算，动画，轨迹跟踪等，构造出其他较为复杂的图形。它最大的特色是“动态性”，即可以用鼠标拖动图形上的任一元素（点，线，圆），而事先给定的所有几何关系（即图形的基本性质）保持不变。

三、几何画板在解析几何中的应用实例

在双曲线定义的应用教学中，有这样一道题：已知圆C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2=1，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，求动圆圆心M的轨迹方程。

有很大一部分学生设M(x,y),去构造等量关系式从而求出方程。实际上就相当于把双曲线的标准方程又推倒了一遍，也就是很多学生想不到去用定义把它求出来。我用几何画板给他们演示了此题通过追踪M的轨迹看到是双曲线，然后问:“为什么”，这时学生想到了定义恍然大悟：哦，原来我可以不用这么麻烦直接由定义求出方程。还有就是圆锥曲线的“第二定义”（新课程中已经淡化了）通过课本选修2—1中的例题，引申后让学生探讨，通过几何画板改变比值的大小让学生更直观的看到了圆锥曲线的统一的一面。通过几次的借助几何画板来研究问题，让学生头脑中更加加深了对圆锥曲线的了解，学习起来也更加有兴趣，甚至有时做过的题他们也会提这样的要求：老师，你用电脑把这个动画做出来我们看看吧（因为教学条件有限，学生还没有自己动手的机会）我觉得我的学生今后肯定也会更加觉得数学有意思，更愿意学习数学。

所以说几何画板确实为教学提供了很大的方便，而新课改的数学学习更侧重让学生体验知识的发生，发展的过程，培养学生学习数学知识的兴趣，建构主义理论的核心也是“知识不是被动接受的，而是认知主体积极建构的”，但我们在应用的时候也要注意，我们通过计算机演示实验是为了帮助学生完成思考过程，形成对知识的理解，而不是利用计算机直接地给出结论，否则会使学生养成过分依赖的习惯，挫伤学生的创造意识和实践能力。新技术与传统教学各有利弊，也不能盲目来用新技术。《几何画板》引入课堂无论是对于教师的教学还是对学生的学习都是非常有帮助的，但在应用的过程当中也应注意几个问题：首先，多媒体技术在教学中的应用应该是以教学的需要为基准，它是为教学服务的，在教学中起着辅助的作用，不应以多媒体的应用为主体而忽略了知识的传授。

四、我的一点期待

从平常的教学中我切实体会到《几何画板》是数学教师的“好伙伴”，现在我掌握的还不是很熟练，在以后的日子里我会更多的学习这方面的知识，能更多的掌握，理解几何画板，努力运用到我的教学中，让我们的课堂更加生动有趣，提高教学效果。也希望以后能发展的更加普遍，让学生真正自己动手也许能创造出更多的东西；也许到时就会出现“疯狂的数学”。总之多媒体计算机技术的运用，已经给教育带来深刻的变革。我们青年教师更应适应适应新的教学要求，跟上时代的步伐，做一个新时代的合格教育者。

参考文献

1 程庭喜，崔海友，邹应贵。几何画板与课程整合创新实践。北京：科学出版社。2005

球面几何 篇4

有关非球面光学元件加工与检测方法的研究是现代精密光学检测与应用的一个热点[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14]。非球面光学镜片的制造和质量检测的两个重要技术参数分别是:非球面的最大非球面度和最佳参考球面。非球面度表征了非球面光学元件镜片与加工起始球面镜片偏离量的大小。非球面的最大非球面度的大小代表了该非球面镜片加工的难度。最佳参考球面为非球面镜片加工的起始球面,该球面与非球面的最大偏离量最小,其半径为Rc。非球面镜片加工的坯子就是半径为Rc的球面镜片。

基于不同应用的目的,非球面度的计算有多种定义[3,8,9,10],因而形成了多种求解最佳参考球面的方法。在众多求解最佳参考球面的方法中,有些直接用于非球面的加工目的,而有些则是用于非球面的检测目的。常用的非球面度的定义有三种:一种定义是非球面与最佳参考球面的横坐标之差为非球面度;另一种定义是非球面与最佳参考球面的法线上的偏离量为非球面度;还有一种定义是非球面与最佳参考球面在非球面的法线方向上的偏离量为非球面度。这些非球面的定义对于非球面的加工都具有直接的应用目的。在非球面加工中的去除量分布函数,就是上述第一种非球面度定义的非球面度分布函数,而第二种定义的非球面度分布函数则更适用于数控机床磨头的控制[13]。根据不同的非球面度的定义和不同应用目的的要求,采用不一样的数学模型形成了多种求解非球面最佳参考球面的方法[2,3,5,6,11,12,13]。如精确公式法、近似公式法、最小二乘法、最小最大斜率非球面度法等。除此之外,还有许多种方法可以确定非球面的非球面度以及最佳参考球面,但基本的原理都没有超出上述几种常用求解最佳参考球面方法基本思路。

通过比较研究发现,对于二次非球面来说,能够对非球面面型函数进行有关的解析解。因此,除了近似公式法之外,上述方法也都主要是用于确定二次非球面的非球面度和最佳参考球面。但当这些方法被用于求解高次或任意非球面的非球面度和最佳参考球面时,理论计算分析难度很大。本研究所采用的方法将能够求解任意非球面的非球面度和最佳参考球面,不仅可用于非球面光学镜片的设计与加工,并能在计算分析过程和结果中反映出非球面光学镜片表面加工质量检测的特点与难度。

1 确定非球面度及最佳参考球面的新方法

经过深入的理论分析和大量计算,本文提出了一种求解非球面光学镜片的非球面度以及最佳参考球面的新方案,即:采用计算非球面波(其波阵面函数为非球面光学镜片面型函数)与球面波(其波阵面函数为最佳参考球面镜片面型的球面函数)干涉条纹密度的方法,确定非球面光学镜片的非球面度并以及最佳参考球面,“最佳”的条件是使非球面波与球面波干涉形成条纹的最大密度最小。该方法的最大特点是采用数值计算技术,不需要对非球面面型函数解析,就能够快速求解任意高次和任意非球面面型的非球面度和最佳参考球面,同时得到的非球面波与最佳参考球面波的最大干涉条纹密度,可作为非球面干涉检测难度评估的重要指标。可见,本方法不仅可用于非球面的加工,也可用于非球面的干涉检测。

确定非球面最佳参考球面的计算模型及基本思路:非球面光学镜片的面型函数可看作是非球面波的波阵面函数,通过计算一系列球面波与非球面波的波程差,应用波的相干条件,便可确定干涉亮条纹位置和密度以及最大干涉条纹密度,最小的最大干涉条纹密度所对应球面波便是所要求的非球面最佳参考球面,最佳参考球面与非球面之间的最大相位差对应的波程差为该非球面的最大非球面度。

取非球面波的波阵面函数为非球面面型函数,一般可表示为[12]

z轴为非球面的旋转对称轴,曲面的顶点位于坐标原点O处。k为二次曲面系数,R0为非球面波面顶点的曲率半径。A4、A6、…、A2n为高次非球面多项式系数。

考虑到非球面旋转对称性,非球面面型采用z=0平面与非球面交线──二次曲线或高次非圆曲线表示。式(1)变为

或者:

a3、a4、…、an为高次非球面面型函数的多项式系数。

把非球面固定于坐标系中(参见图1)。从S发出的球面波在非球面的表面附近与非球面反射波产生干涉。显然,不同S处发出的球面波与非球面反射波的干涉条纹密度分布是不一样的。当从不同S处发出的某个球面波与非球面反射波的最大干涉条纹密度为最小时,该球面波的波阵面便是最佳参考球面,该球面波对应的半径就是最佳参考球面的Rc。

下面分析计算所采用的非球面度定义为非球面在最佳参考球面法线上与最佳参考球面的偏离量。该偏离量为非球面波与参考球面波之间的波程差。当然,也可以根据不同的非球面度定义,如把非球面与参考球面在横坐标上或在非球面法线上的偏离量作为二者之间的波程差。

计算时,首先需要把非球面和参考球面数字化,空间采样分辨率取决于非球面的孔径大小和非球面面型函数的斜率。孔径和斜率越大,间隔相应要取得更小一些,以确保能够区分干涉条纹的计算为标准。但由于高次非球面的有些位置的曲面斜率很大,常常是二次曲面斜率上千倍以上。因此,为了能够区分计算干涉条纹,又能尽量地减小计算量,就需要在不同区间采取不同大小的数字化间隔。对于球面上第i个点(参见图1),在其法线方向上与非球面的波程差为

r为参考球面的半径。当i(28)j(j(28),1,23...)时,非球面波与球面波干涉为亮条纹。按照一定的精度要求,检验参考球面上每一个点在其法线方向上与非球面的波程差i是为波长的整数倍。那些是波长整数倍的点就是计算所要求得的干涉条纹的亮纹中心,相邻两亮纹中心的距离便是条纹宽度,其倒数便是干涉条纹的密度,由此便可获得非球面与参考球面干涉的最大条纹密度及其位置。

具体的计算过程如下:连续改变参考球面波波源的位置S(a,0),在球面波波源的每一个位置上,连续改变球面波的半径,计算非球面反射波与不同半径r的参考球面波的最大干涉条纹密度。通过分析比较不同位置不同半径的球面波与非球面波的最大干涉条纹密度,其中最小的最大干涉条纹密度所对应的球面波半径就是非球面的最佳参考球面半径,该球面波波源的位置可作为非球面干涉检测时球面参考光的点光源最佳位置[11]。

2 计算结果与分析

表1和表2分别列出了按照上述计算模型和分析方法,计算了参考文献[2-4]中选用的二次非球面和高次非球面的最佳参考球面半径Rc、最大非球面度max和最大斜率球面度max,以及最佳参考球面波与非球面波干涉的最大条纹密度γmax和最大条纹密度的位置Smax。

通过与参考文献[2-4]的计算结果比较,说明了采用计算干涉条纹密度的方法与其他方法计算的最佳参考球面的半径Rc和最大非球面度max或最大斜率非球面度max是可行的,但本方法提供了更多有关非球面加工与检测的信息。如:提供了非球面波与最佳参考球面波干涉的最大干涉条纹密度max,可作为非球面干涉检测难度评估的重要指标,若记录干涉图像记录介质的分辨率小于该最大干涉条纹密度时,将无法对非球面光学元件采用干涉方法检测;通过本方法计算的最大斜率非球面度max和最大干涉条纹密度所在位置Smax,可以确定非球面的面型变化最大的位置和大小,从而可具体地掌握非球面加工的难度和难度最大的方位。

注:最大干涉条纹密度的位置为单位圆位置。

3 结论

综上所述,采用计算干涉条纹密度确定非球面光学镜片的最大非球面度和最佳参考球面半径的方法,不仅物理模型简单,并由于采用了完全数字化计算的方法,不需要对非球面面型函数作任何解析计算,就能够得到任意非球面的最大非球面度和最佳参考球面的半径。与此同时,该非球面与最佳参考球面波(干涉检测参考球面波)相干的最大干涉条纹密度及其位置,同时可作为非球面干涉检测难度评估的重要指标。

本研究的技术路线还可用于非球面干涉检测时入射球面波和参考球面波点光源最佳位置的判定[14]。

摘要：通过计算被测非球面反射光波与球面光波干涉条纹的密度,找到了一种确定非球面的最佳参考球面和非球面度的新方法。该方法采用计算机数字计算分析技术,计算一系列不同半径的球面波与非球面波的干涉条纹密度,使得最大干涉条纹密度最小的球面便是所求解的非球面的最佳参考球面。该方法的最大优势在于可用于不需要对非球面表面函数进行解析计算,就能够很准确地确定任意非球面的最佳参考球面的半径、最大非球面度、被测非球面波与最佳参考球面波干涉条纹的最大密度和位置。

球面几何 篇5

几何公差是针对零件加工所提出的要求，应表达简洁、要求明确。在图样上标注时，尽量采用代号标注。一、被测要素的标注1、公差框格2、指引线引出时：从公差框格引出！垂直框格！只能引出一条指引线！指向被测要素时：垂直被测要素！垂直被测要素！圆锥圆度例外！导出要素时对齐！组成要素时错开！指引线弯折次数不能超过2次！二、几何公差值   几何公差值标注在公差框格第二格中，以mm 为单位，指被测要素的允许变动量。GB/T 1184-1996规定，圆度、圆柱度分为0、1、…、12级，其余（位置度需经计算得出）分为1、…、12级，12级精度最低，常用6～9级，一般可与尺寸公差同级，   被测要素的基准在图样上用英文大写字母表示，为了避免混淆和误解，不得采用E、F、I、J、L、M、O、P、R等9个字母，也不能与向视图字母重合。多基准时，将最重要的基准放在公差框格第三格中作为第一基准，依次排列。对于由两个同类要素构成而作为一个基准使用的公共基准，分别标注基准符号，标在一个格中，用短横线隔开。基准代号的组成：基准要素的标注：1.基准字母大写、水平书写。2.基准要素为导出要素时，基准代号的连线与基准要素的尺寸线对齐。否则，明显错开。几何公差的简化标注          为了减少图样上公差框格或指引线的数量，简化绘图，在保证读图方便和不引起误解的前提下，可以简化几何公差的标注。1. 同一被测要素有多项几何公差要求时，可将这些公差框格重叠绘出，只用一条指引线引向被测要素。2. 不同要素有同一几何公差要求且公差值相同时，可用一个公差框格表示。由该框格的一端引出一条指引线，在这条指引线上分出多条带箭头的连线分别引向不同的被测要素。3. 结构相同的要素有同一几何公差要求且公差值相同时，可用一个公差框格表示。在该框格的上面标明“几处”。

★ 公差测量心得总结

★ 《几何原本》读后感

★ 形位公差100个问与答

★ 几何画板数学课件

★ 几何概型教学反思

★ 连续点源河流污染带几何特征参数研究

★ 《椭圆的简单几何性质》听课实录

★ 高考数学概率几何解题方法

★ AutoCAD中标注文字与公差的方法

球面几何 篇6

关键词：高等几何；射影几何；蝴蝶定理

《高等几何》课程属于高等院校数学专业的核心基础课之一，在数学教育专业的课程中它与《数学分析》、《高等代数》早期被称为是数学专业课程的“三高”（又或称为老三高），可见它在数学专业学习中是十分重要的课程之一。我们可以把《高等几何》的教学目概况总结为两点：其一是通过学习《高等几何》这门课程让数学专业的学生知识领域更为广阔，为学生今后学习好其它数学专业的课程打好坚实的基础。其二是经过高等几何的研究学习能够让学生对中学几何理论与方法的理解有更深刻的认识，从而使他们在毕业之后走上讲台可以站在一个比较高的角度来处理和解决中学几何中的问题。

一、通过高等几何的学习了解欧氏几何和射影几何的关系，可以加深对初等几何的理解

我们在中学学习的几何可以统称为欧氏几何，在大学里，我们学习的高等几何其中包含了仿射几何和射影几何。通过高等几何的学习我们应该让学生指导他们之间的关系。就几何的大小而言，射影几何学仿射几何学欧氏几何学。让学生了解，我们中学学习的几何（欧式几何）只是我们高等几何讲解的射影几何的一个特例。另外一个方面，又由于集合越大，它们共性就会越少，因此我们如果从研究的内容上来看，这几个几何的关系应该是：

射影几何学仿射几何学欧氏几何学。从这个角度，我们可以让学生了解到为什们我们大学学习的射影几何学的内容比较少，而中学学习的欧氏几何学的内容却比较丰富的原因。在学习高等几何的时候，老师要让学生了解这种几何学之间的区别和联系，从而也就扩大学生关于几何的视野。让他们可以站得更高看得更远。

二、利用高等几何知识证明初等几何题

1、 利用Desargues定理证明初等几何题

在初等几何里我们学习了，三角形三线共点，我们还记得它的证明非常的麻烦。下面我

们利用高等几何来证明其中的一个定理。

通过这个例子，我们应该让学生知道，利用高等几何的知识来解决中学的一些问题比利用欧氏几何来解决要简单的多。

2、利用交比、调和比证明初等几何题

通过高等几何的学习我们知道交比是射影不变量，我们可以利用它的定义及性质证明初等几何中的共点线、共线点、角分线、线段相等等问题。

例2、过圆的弦AB的中点O任作另外两弦CE，DF，连结EF，CD交AB于G，H。求证：GO=OH。（蝴蝶定理）

三、利用高等几何知识指导中学几何作图问题。

参考文献：

[1] 舒见贤.在高等几何教学中加强对初等几何的指导[J].怀化师专学报，1993，10.

[2] 赵宏量.高等几何教学杂淡[J].西南师范学院学学报，1984，3.

利用平面几何解决解析几何问题 篇7

一、求斜率

例1已知直线与抛物线C:相交于A、B两点, F为C的焦点, 若| FA | = 2 | FB | , 则k= .

解: 过A、B分别作抛物线的准线l的垂线, 垂足为M, N, 由已知, | AM | = 2 | BN | , 点B为AP中点. 则| OB | =1/2| AF | , 所以| OB | = | BF | , 故B点, 所以

二、求离心率

例2已知双曲线C的右焦点为F且斜率为31/2的直线交C于A、B两点, 若, 则 C的离心率为 .

解: 设双曲线的右准线为l, 过A、B分别作l垂线, 垂足M, N, 作BD⊥AM于D, 则∠BAD = 60°, , 由双曲线定义得

三、证明恒等式

例3已知F1, F2分别是椭圆的左、右焦点, 抛物线C以坐标原点为顶点, 以F2为焦点, 自F1引直线l交曲线C于P, Q两个不同的交点, 点P关于x轴的对称点为M,

( 1) 求曲线C的方程

( 2) 证明:

解: ( 1)

四、定点问题

例4已知定点A ( - 1, 0) , F ( 2, 0) , 定直线l, 不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍. 设点P的轨迹为E, 过点F的直线交E于B、C两点, 直线AB、AC分别交l于点M、N

( Ⅰ) 求E的方程;

( Ⅱ) 试判断以线段MN为直径的圆是否过点F, 并说明理由.

球面几何 篇8

欧氏几何与非欧几何的显著区别之一就是欧氏几何的计算和证明不能避开直观的几何图形进行纯逻辑推理, 必须以直观图形为载体.在几何计算和证明的实践活动中, 图形往往是纷繁复杂、千变万化的, 从而使学生在解题过程中难以抓住图形的本质和重点, 对题目所给信息不能正确提取和重组, 找不到解决问题的突破口而无从下手或者思维混乱.这是造成学生觉得几何难学的主要原因.但是, 任何一个复杂的几何图形都是由相关的基本图形所构建、整合而成的, 也就是说一个几何题往往是多个知识点的有机整合.因此, 对复杂图形进行合理分解从中分离出基本图形, 然后根据基本图形去联想由图所对应的概念、公理或定理所需的条件以达到对题目所给条件的正确组合, 可以为学生寻找解题的突破口提供线索.这种“模块化”的思维方式, 可以有效防止无关信息干扰, 快速凸显解题突破口, 提高思维的敏捷性.所以在平面几何的教学中应该重视基本几何图形的提炼与应用.

有调查表明:83%的学生认为“几何较难”, 其中因为几何概念多、定理和性质容易混淆的占31%.几何的入门学习中概念的学习尤其重要, 因为他们是定理学习的基础准确地识记概念和熟练地运用定理, 这是“双基”的要求在抓好“双基”的基础上, 要努力培养学生解决问题的能力, 培养创新精神.实践表明, 运用几何基本图形教学, 建立知识点和基本图形对应关系, 由定理 (或概念) 联想图形, 由图形联想定理 (或概念) , 实现直观与抽象的有机转换, 促进学生几何思维能力和解题经验的发展, 是提高几何教学质量的有效措施.

1. 重视概念, 夯实基础, 利用基本图形理解和记忆概念

几何的学习是从概念开始的, 与定义、概念相对应的图形称为概念型基本图形.如下表1:

几何概念和代数概念的显著区别就在于几何概念以陈述性概念为主, 且它的定义必须以直观图形为基础.所以, 几何概念教学尤其要重视概念理解与基本图形的认知相结合, 可以按如下步骤进行:画图;揭露本质;图形变式.

案例1邻补角的概念教学

第一步:给出相关情境, 让学生从中感受邻补角;

第二步:从情境中提炼出基本图形, 并让学生自己动手画出如下图3:

第三步:结合基本图形, 揭露概念的本质;

第四步:图形变式, 辨别真伪, 如下图4:

学生通过情境感受邻补角, 经历了画邻补角的过程, 在交流中理解邻补角的概念, 在变式中领悟和提炼基本图形, 实现了图与概念的统一, 也就能从复杂图形中识别出邻补角.

2. 立足定理, 重视能力, 利用基本图形破解解题思路

公理和定理的运用在推理中起决定性作用, 与公理或定理相对应的图形称为定理型基本图形.例如:

(1) 角平分线上的点到角的两边的距离相等, 角的内部到两边距离相等的点在角的平分线上.如图5.

(2) 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等, 到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上如图6.

(3) 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.如图7.

定理型基本图形较概念型基本图形要复杂得多, 往往是多个概念性基本图形的有机整合.如果再把图形又置于复杂的几何综合题中, 学生很难避开干扰图形看到问题的本质, 导致解题困难.所以, 定理型基本图形的提炼和反复操练十分重要.

案例2探究垂径定理

第一步:提供问题情境, 如何将圆形纸片的一条弦平分 (不借助工具) , 见图8.

第二步:在活动中, 让学生开动脑筋, 思考起来, 做起来, 理解“折叠”的过程.

第三步:在交流中, 老师与学生共同探讨“折痕”的本质, 画出图形, 如图9, 并证明.

第四步:例题与练习, 引导学生去发现计算和证明真正起决定作用的图形, 如图10.

第五步:在练习的基础上进行经验总结, 提炼出两种基本图形, 如图9和图10.

提炼定理型基本图形建立了定理与图形的对应关系, 定理图形化便于记忆, 减少了记忆单元, 便于从复杂图形中联想解决问题的相关知识点, 利于复杂图形分解, 打开解题思路.

因此, 教师在几何定理教学中要让学生结合基本图形来掌握定理, 加深学生对基本图形的认知, 帮助学生建立图形与定理的密切联系.在引导学生对复杂图形进行拆积木式的分解过程中, 能训练学生的识图能力, 有利于能力的迁移, 有利于在复杂图形中快速找到解题的思路.

3. 精练习题, 总结经验, 利用基本图形寻找解题规律

《数学课程标准》过程性目标要求:“学生在特定的数学活动中, 获得一些初步的经验;参与特定的数学活动, 在具体情境中初步认识对象的特征, 获得一些经验……”学生在几何解题过程中, 要善于去发现问题的共性, 及时总结形成自己的经验.

在书本例题、习题和平时考试中经常出现的建立在同一图形结构上的几何题, 他们所包含的部分几何图形的本质完全相同, 称具有共同本质而出现频率较高的图形为经验型基本图形.例如:被删掉的射影定理及面积相等法, 如图11所示;一对有用的相似三角形△ABC∽△CDE, 如图12所示.

几何问题是千变万化的, 但是“万变不离其宗”!“熟能生巧”是几何学习的一条很有用的规律, 巧的实质是理解其“宗”.所以, 教师要在解题中不断引导学生进行解题回顾与反思, 总结通法, 明确算法流程, 提炼解题所需的基本图形, 有效促进解题思维定式的正迁移, 从而提高解题效益.

球面几何 篇9

关键词：高等几何,初等几何,指导意义

引言

高等几何是高等师范院校数学教育专业的主干课程之一, 不少学者将它与数学分析、高等代数并称为数学教育基础课程的“三高”, 其重要性不言而喻。但现实教学工作中, 教师可能会因为感受不到高等几何与初等几何知识之间的直接联系, 忽视高等几何而造成了初等几何与高等几何知识的脱节, 无法构建起较为完整的几何知识体系。

事实上, 无论是数学的哪一个分支, 都遵循由浅及深的发展规律。高等几何是初等几何的承接, 在知识上是初等几何的因袭和扩张, 在观念上是初等几何的深化与发展[1]。在高等几何中贯穿着大量的现代数学的思想、方法和观点, 不仅能扩展几何知识领域, 开阔几何视野, 提高个人的数学素养, 还能加深教师对初等几何的理解, 进而站在更高的层次灵活引导学生处理初等几何问题, 这对于教师从事的数学教学工作有着极其重要而深远的影响。

高等几何对初等几何的指导意义这个论题有着非常广阔而丰富的研究空间, 多年来有不少的国内外学者潜心钻研在这一问题上, 而且也得到了许多精彩的结论。本文笔者借鉴前人的研究成果, 尝试从高等几何课程地位和新大纲背景下对中职初等几何教学要求的角度来认识高等几何与初等几何的关系, 浅谈高等几何学习对丰富初等几何研讨方法和拓宽初等几何解题途径的指导意义。

1 高等几何对初等几何教学的指导意义

1.1 高等几何和初等几何的界定与联系

在探讨高等几何对初等几何解题研究的指导作用之前, 首先就本文所涉及到的高等几何和初等几何这两个概念所涵盖的范围加以限定, 并简单了解其内容特点以及在克莱因群论观点下存在的内在联系, 明确高等几何与初等几何之间并不是相互孤立的:初等几何是高等几何的基础, 而高等几何是初等几何的延伸和拓展。

习惯上, 我们把小学和中学阶段所接触的几何知识都纳入初等几何范围。初等几何以欧氏几何为理论基础, 是几何学中最为基础的部分, 包括空间与图形、平面解析几何、立体几何等等。初等几何所涉及的思想方法具有较强的针对性, 内容相对直观, 学生可以先直接采用观察、测量等实验手段了解几何图形, 发现其中规律, 再根据实际认知水平逐步抽象思维, 完成逻辑演绎证明。而我们所说的“高等几何”通常是指在19世纪初期产生的另一几何学重要分支———射影几何。它的开辟和盛行, 一方面是由于它有巨大的美学魅力, 另一方面是由于它把几何作为一个整体来研究时所获得的明显效果以及它与非欧几何的紧密联系[2]。高等几何主要以克莱因的几何学群论观点为指导, 他提出采用变换群对几何学进行分类, 重点突出变换不变性的基本数学思想, 这在几何学不同的理论体系中具有一定的普适性。结合克莱因的群论观点, 我们可以这样概括:欧氏几何涵盖于射影几何, 欧氏几何是射影几何的一个特例。

1.2 高等几何和初等几何的课程地位

初等几何一直都是中等职业院校数学教育的重要组成部分之一, 而高等几何是高等师范院校数学教育专业的基础课程之一, 初等几何与高等几何的课程开设都具有其必要性和重要性。研究高等几何知识体系的构建对中职数学教学工作产生的影响, 有必要关注高等几何课程的教学目的和新大纲背景下对初等几何教学的要求。

1.2.1 高等几何的教学目的

培养具有现代数学思想, 并能应用现代数学思想指导教学的数学教师, 是高等师范院校数学教育的培养方向。高等几何作为高师数学专业的重要专业课程之一, 是数学教育任务的重要组成部分, 其课程的开设一般是安排在学习了解析几何和高等代数之后, 目的是在具备一定的初等几何、解析几何和高等代数知识的基础上, 系统地学习射影几何知识, 引入变换群观点, 抓住变换和不变性的基本数学思想。高等几何涵盖了大量现代数学思想、方法、理论、应用等, 对于发展空间概念, 丰富高层次的几何知识, 提高数学专业素养, 培养数学逻辑推理和合情推理能力具有重要作用。不仅能更深入地认识几何学, 为进一步的学习微分几何、画法几何或者其他高等数学知识做好准备, 还训练了抽象思维, 增强了数学审美意识, 加强了数学修养, 提高了从师能力, 为数学教学工作打下坚实的基础。

1.2.2 新教学大纲对初等几何的要求

清华大学萧树铁教授说, 在我国的传统文化中, 逻辑思维一直比较薄弱, 数学, 尤其是欧氏几何, 在这方面的训练是大有可为的。著名数学家陈省身在2002年接受采访时更是强调, 中学一定要讲欧氏几何, 几何推理的部分不能取消, 整个数学就是建立在推理之上的。2009年重新修订的《中等职业学校数学教学大纲》就是在教育形势的发展和教学改革的不断深入的大环境下应运而生的, 它明确了“以服务为宗旨, 以就业为导向, 以提高质量为重点”的办学方针, 提出本课程的任务是:使学生掌握必要的数学基础知识, 具备必需的相关技能与能力, 为学习专业知识、掌握职业技能、继续学习和终身发展奠定基础。新大纲将数学课程划分为基础模块、职业模块和拓展模块, 在各模块间进行知识组合, 在各学科间进行知识渗透。在新大纲下, 培养目标已经由重点培养逻辑思维能力转向培养几何直观能力和空间想象能力, 这要求教师调整教学观念和教学方法, “注意突出几何的本质, 引导学生经历直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探索与研究几何问题的过程, 发展学生的空间观念和几何直觉”。[3]几何学的教育价值不容小觑, 欧氏几何长期以来作为训练逻辑推理的素材的地位不可取代, 几何对学生多种能力的塑造和培养有着至关重要的影响。

1.3 丰富初等几何研讨方法, 拓宽初等几何解题途径

明确了高等几何与初等几何的关联, 将有利于我们把高等几何中获得的观点、体会反馈于初等几何。事实上, 将高等数学知识下放到初等数学教材中的成分越来越多, 我们所熟悉的初等几何中有部分内容是需要以高等几何为理论依据的, 例如平面几何的平移、旋转是在正交变换群下的合同变换;立体几何直观图的画法、截面图的作法分别是以透视仿射对应性质及笛沙格定理的理论为作图依据[4]。前苏联几何学家亚格龙曾经指出:“在初等几何中……, 包含了两个重要的有普遍意义的思想, 它们构成了几何学的一切进一步发展的基础, 其重要性远远超出了几何学的界限。其中之一是演绎法和几何学的公理基础;另一个是几何的变换和几何学的群论基础。”可见, 学生在学习初等几何的过程中, 实际上也是接受高等几何数学意识和思想方法渗透的过程。利用这一特点, 我们可以考虑用高等几何理论来解决部分初等几何问题, 从而为初等几何研究探讨和解题方法寻求更广泛的途径[5]。另一方面, 由于许多高等几何定理、命题可以给出初等几何的证明或解答, 因此也可以将此类高等几何问题进行改编, 创作出初等几何中的提高题、压轴题等, 这无疑为教师们探索初等几何的教学和科研指明了方向。

下文将通过仿射变换寻找初等几何命题解题思路。

在高等几何中, 只要经过适当的仿射变换, 任意一个三角形、平行四边形、梯形或椭圆可对应变为特殊的正三角形、正方形、等腰梯形或圆形。如果所给命题在这些特殊的图形中结论成立, 则根据仿射变换保持同素性、结合性、平行性、共线三点的单比不变、封闭图形的面积之比不变等性质即可推出在原命题中结论也成立[4]。

例如:将任意三角形每一顶点与对边上的三等分点相连得六条直线, 求证这六条直线所围成的六边形三双对顶点的连线共点。

由于点线的结合性在仿射变换上都不变, 所以可以利用仿射变换将任意三角形ΔA'B'C' (图1) 变成正三角形ABC (图2) , 且各边的三等分点及中点对应变成正三角形各边的三等分点和中点, 因而本题就正三角形的情况证之。

因此, 上述命题等价于:设L1、M1、N1 (i=1, 2) 分别为正三角形ABC三边上的三等分点, 由六条直线围成六边形P1R2Q1P2R1Q2, 求证三双对顶点的连线P1P2, R1R2, Q1Q2共点。

显然, 运用高等几何的知识来处理上述题目时解法相当简单。当然这种高等解法不能直接进入中职数学课堂, 但仍具有重要的参考价值, 为教师思考问题指明方向, 在一定程度上起到启发和诱导的作用。高等几何让我们处于更高的立足点, 以更远的视野、更丰富的知识, 从几何学的全局和整体来理解和把握初等几何。面对初等几何题目, 我们的思路不再单一, 可以尝试站在另一种角度去思考、分析和理解初等问题, 以寻求更为简捷的处理方法, 在不断的探索中不仅丰富了初等几何解题的途径, 还可以创新初等几何问题, 充分发挥高等几何对初等几何的指导作用。

参考文献

[1]关丽娟.高等几何与初等几何的相融性[J].高师理科学刊, 2007, 9:76.

[2]R·柯朗、H·罗宾.什么是数学[M].上海:复旦大学出版社, 1995.

[3]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准 (实验) [M].北京:人民教育出版社, 2003.

[4]李恩凤.高等几何与初等几何的关系[J].青海师专学报, 2001, 6:53.

[5]刘德金, 张全信.试论高等几何对初等几何的指导作用[J].德州师专学报, 1997.

球面几何 篇10

中学数学新课标将原初中平面几何中的部分内容, 移到高中作为选讲内容.其中有些是现行初中课标教材删减的内容, 如:直角三角形中的射影定理, 圆的弦切角、相交弦、切割线定理.查阅2009年实施课标高考的各省平面几何选作题, 发现初中生也都能做.

例1 (2009年广东文) 如图1, 点A、B、C是圆O上的点, 且AB=4, ∠ACB=30°, 则圆O的面积等于__.

解法1: (利用圆周角与圆心角的关系) 连结OA、OB, 因为∠ACB=30°, 所以∠AOB=60°, △AOB为等边三角形.因此圆O半径 r=OB=AB=4, 从而圆O的面积S=πr2=16π.

解法2: (用三角形中的正弦定理) 设△ABC外接圆圆O半径为 r, 则由正弦定理有

$2r=\frac{AB}{\sin \angle ACB}=\frac{4}{\sin 30°}=8$,

得 r=4.故圆O面积S=πr2=16π.

例2 (2009年广东理) 如图2, 点A、B、C是圆O上的点, 且AB=4, ∠ACB=45°, 则圆O的面积等于__.

简析:可参考例1的两种解法, 求得圆O的半径$r=2\sqrt{2}$, 则圆O面积为8π.

点评:以上两例, 在初中平面几何中也属于基本题.可见高考题中的题目也有简单题, 甚至连初中生也很容易做出.

例3 (2009年江苏卷) 如图3, 在四边形ABCD中, △ABC≌△BAD.求证:AB//CD.

证明1:由△ABC≌△BAD, 得∠ACB=∠BDA, 则A、B、C、D四点共圆, 因而∠CAB=∠CDB.

再由△ABC≌△BAD, 又得∠CAB=∠DBA.

所以∠CDB=∠DBA, 从而AB//CD.

证明2:同上证得A、B、C、D四点共圆, 得∠ADC+∠ABC=180°.

又由全等三角形得∠DAB=∠ABC,

则∠ADC+∠DAB=180°, 所以AB//CD.

点评:证明1和证明2的关键是利用了四点共圆, 则同弧所对的圆周角相等.再由内错角或同旁内角的方法证得两线平行.实际上, 本例还有多种证法, 如分别由两个全等三角形的顶点C、D作底边AB上的高, 由高相等, 立得结论;又如过对角线的交点作AB的垂线, 可证四边形关于这条垂线成轴对称.

例4 (2009年宁夏海南) 如图4, 已知△ABC的两条角平分线AD和CE相交于H, ∠B=60°, F在AC上, 且AE=AF. (1) 证明:B、D、H、E四点共圆; (2) 证明:CE平分∠DEF.

证明: (1) 在△ABC中, 由∠B=60°, 知

∠BAC+∠ACB=120°.

又AD、CE是角平分线, 所以∠HAC+∠ACH=60°, 则∠AHC=120°.

于是∠EHD=∠AHC=120°.

因为∠EHD+∠B=180°, 所以B、D、H、E四点共圆.

(2) 由B、D、H、E四点共圆, 得∠AHE=∠B=60°.

再连结BH, 知BH平分∠B, 则

∠HED=∠HBD=30°.

又由AE=AF, AH平分∠EAF, 得AH⊥EF, 则∠HEF=30°.

可见∠HED=∠HEF=30°, 所以CE平分∠DEF.

点评:对于 (1) 小题, 也可利用三角形的外角关系来证∠BDH+∠BEH=180°.另外, (1) 小题的结论为 (2) 小题的证明提供了重要条件, 这是系列问中常见的情形.应注意在解证后一小题时, 不要忽视前一小题的结论.

例5 (2009年辽宁省) 如图5, 已知△ABC中, AB=AC, D是△ABC外接圆劣弧$\stackrel{⌢}{AC}$上的点 (不与点A, C重合) , 延长BD至E. (1) 求证:AD的延长线平分∠CDE; (2) 若∠BAC=30°, △ABC中BC边上的高为$2+\sqrt{3}$, 求△ABC外接圆的面积.

解: (1) 由条件知ABCD是圆内接四边形, 则∠CDF=∠ABC, ∠EDF=∠ADB=∠ACB.

又AB=AC, 知∠ABC=∠ACB, 故∠CDF=∠EDF, 从而AD的延长线DF平分∠CDE.

(2) 如图6, 设△ABC外接圆的圆心为O, 连结AO并延长交BC于H.由AB=AC, 知AH⊥BC.连结OC, 则∠OCA=∠OAC=15°.又∠ACB=75°, 则∠OCH=60°.设圆半径为 r, 则${\rm O}{\rm H}=\frac{\sqrt{3}}{2}r$.由$r+\frac{\sqrt{3}}{2}r=2+\sqrt{3}$, 得 r=2.从而外接圆面积为4π.

评析:上述各例都与圆有关.这是因为圆可与全等三角形, 相似三角形, 四边形等知识交汇, 构建成综合性较强的试题, 从而能较全面地考查学生分析探究、综合归纳、逻辑推理能力.下面一组高考题供研习.

1. (2008年广东) 已知PA是圆O的切线, 切点为A, PA=2, AC是圆O的直径, PC与圆O交于点B, PB=1, 则圆O的半径R=__.

2. (2008年宁夏、海南) 如图7, 过圆O外一点M作它的一条切线, 切点为A, 过点A作直线AP垂直直线OM, 垂足为P. (1) 证明:OM·OP=OA2; (2) N为线段AP上一点, 直线NB垂直直线ON, 且交圆O于点B.过点B的切线交直线ON于K.证明:∠OKM=90°.

3. (2008年江苏) 如图8, 设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E, ∠BAC的平分线与BC交于点D.求证:ED2=EC·EB.

4. (2007年广东) 如图9, 圆O的直径AB=6, C为圆周上一点, BC=3.过C作圆的切线 l, 过A作 l 的垂线AD, AD分别与直线 l、圆交于点D、E, 则∠DAC=__, 线段AE的长为__.

5. (2007年宁夏、海南) 如图10, 已知AP是⊙O的切线, P为切点, AC是⊙O的割线, 与⊙O交于B、C两点, 圆心O在∠PAC内部, 点M是BC的中点. (1) 证明A, P, O, M四点共圆; (2) 求∠OAM+∠APM的大小.

练习题提示与答案:

1.连AB, 用特殊直角三角形;也可用切割线定理.答:$\sqrt{3}.$

2.用直角三角形中射影定理.

3.用切割线定理.

4.用Rt△AEB≌Rt△BAC, 30°, 3.

5. (1) 连OP、OM, 用对角互补; (2) 90°.

几何画板在解析几何中的应用点滴 篇11

【关键词】解析几何 圆锥曲线 几何画板

在解析几何教学中，如何让学生理解椭圆、双曲线、抛物线的定义是难点，课本上给了椭圆、双曲线、抛物线的直观解释，还有圆锥曲线教学仪可以演示定义。笔者对几何画板“情有独钟”，利用几何画板的动画功能展示圆锥曲线的定义效果也很好。特别在进行圆锥曲线统一定义的教学时，如果通过建立方程、化简方程，再由方程特征确认曲线有些枯燥，学生兴趣很低，若能用几何画板的强大功能，通过改变“e”的大小来得到不同曲线，学生很容易理解，容易记住结论，也对离心率的变化对曲线形状的改变有了直观认识. 同时增强学生的学习兴趣.

以下是笔者利用几何画板展示三种圆锥曲线的统一定义的制作过程，同大家共享，欢迎改进.

1. 打开几何画板，作一条直线l和一个定点F.

2. 在l上取自由点A，过A作直线l的垂线AP，连结AF，取线段AF上的自由点B.

3. 过B作AP的垂線，垂足记为C.

4. 以B为圆心，BC为半径画圆. 度量BC，计算arccos（BC/BF）.

5. 以B为旋转中心，线段BF旋转“—arccos（BC/BF）”与圆B交于点D. 连结DF并延长与AP交于点M.

再以B为旋转中心，线段BF旋转“arc（BC/BF）”与圆B交于点E. 连结EF并延长与AP交于点N.

6. 隐藏辅助线和点. 依次选定A、M（或N），在构造菜单栏点“轨迹”.

根据上述做法，MB（或NB）为角AMF（或角ANF）的平分线，则BF/AB=MF/MA（或BF/BA=NF/NA）.

在屏幕上方显示MF/MA（NF/NA）的值.

移动点B，即可看到MF/MA的值随之改变.

当点B是线段AF中点时，显示点M的轨迹是抛物线；

当点B靠近点A一侧时，显示点M的轨迹是双曲线；

当点B靠近点F一侧时，显示点M的轨迹是椭圆.

教学中，教师和学生一起研究如何找动点M使得M到定点F的距离与点M到定直线l的距离的比值是定值（等于BF/BA），让学生参与制作过程增加兴趣. 完成后移动点B，让学生观察MF/MA的值，并观察点M的轨迹，让学生在“好玩”中理解圆锥曲线的统一定义，理解离心率e的几何意义. 本节教学笔者试验后学生兴趣浓厚，效果较好.

数学是比较抽象的学科，如何让学生增强学习数学的兴趣，一直是数学老师们思考的问题. 我们在在教学中多应用一些教学软件，让课堂变得生动些，灵活些，会增强学生的好奇心，提高学习兴趣. 《几何画板》、 《z+z智能平台》都是比较好的软件，功能强大，可以展示动画，或进行计算等，让学生直观地理解概念，分析问题等.

【参考文献】

[1]何敏藩，余剑华. 几何画板在解析几何教学中的创新应用[J]. 电脑知识与技术，2016，10：132-134.

[2]杨丽萍，张廷琦. 几何画板轨迹功能在解析几何探究性学习中的应用[J]. 中国教育技术装备，2009，04：96-97.

球面几何 篇12

关键词：高中数学,几何画板,教学

在高中数学教学过程中, 现在有一种全新的教学手段, 即几何画板, 这种教学手段主要就是一种计算机软件, 可以实现数学图形的有效展现, 这样软件的推出实现了使高中数学抽象的表达式具有了生机、使得立体几何图形不断运动起来, 使得学生更加容易地理解其中所包含的知识和内容.

一、几何画板的概念

几何画板是上世纪末进入我国的教育领域的, 是当时的教育部在中小学数学教学过程中重点推广的一种教学新软件, 这一软件实现了数学教学平台的有效升级[1]. 在随后的多年推广过程中, 这一教学软件得到了进一步的发展的普及. 这一软件主要由点工具等六种应用工具条组成. 主要的用途就是构建数学图形, 这一软件中的圆规和直尺可以实现高中数学所涉及的几乎所有的解析几何和立体几何中包括的所有图形.

二、几何画板的主要应用

1. 利用图形解决数学问题

高中的数学学习很多时候可能遇到相对抽象的问题, 这些问题使得思维发展相对较弱的高中生很难接受, 在教学过程中不能有效的理解相关问题. 几何画板将一些数学表达式使用图形表示出来, 很多的数学关系应用图形之间的关系进行解答, 这是最为直观形象的教学方式, 将抽象的问题化解为具体形象的问题解决.

例如, x+y-z=0, 7x+5y+3z=0 解的含义相对比较抽象, 有时一个表达式, 即10x+8y=0, 但是使用图形进行解释相对更加容易, 两个三元一次方程可以使用软件表述成两个平面, 这两个平面在三维坐标系中有着自己的位置, 但它们相交的时候, 会出现一条相交直线, 这一直线就是这两个三元一次方程的解所表达的图形, 图形和最终的解是相对应的, 即解是一个二元一次方程, 对应着一条直线. 这种问题使用图形解决相对比较具体形象, 有助于学生的理解.

2. 动画可以演示更多的立体几何问题

在高中阶段的立体几何问题中, 很多的知识点都需要进行动画的演示, 实现更为直观形象的展示. 在几何画板上, 可以实现很多的立体几何的图形, 它们之间的相对关系表示就变得更加容易. 在传统的教学过程中, 如果将一个圆锥从不同角度截开, 得到不同的截面形状, 但是这种演示相对比较困难, 需要教师使用相应的教具进行比划, 学生没有形象的理解. 在几何画板的教学过程中, 可以实现立体几何图形的运动, 一个圆锥图形可以实现与一个平面的相交, 不同角度的相交, 将出现圆形、椭圆形、三角形等多种截面形状. 几何画板可以将这些形状一一展示出来, 有效的帮助学生更好的理解相关的问题.

例如, 在教学解析几何的抛物线的定义和开口方向都是很多学生理解难点. 在教学过程中可以实现其定义和开口方向的动画演示, 实现学生更为直观的认识 ( 如图1) .

三、几何画板的应用建议

几何画板是一种现代化的教学工具, 教学过程中需要进一步加强应用的针对性, 保证教学效果的实现.

1. 服务教学目标的实现

高中数学的知识点学习理解相对比较难, 很多学生认知的过程中存在一定模糊概念. 图形的解释是最直观的教学思路, 教师需要本着帮助学生理解的教学目的, 使用更多的图形解释相关的数学几何问题, 有效的实现抽象问题的形象具体化. 教师所设计的图形和动画需要围绕教学的内容展开, 针对教学过程中可能出现的问题进行有效的设定图形和动画, 实现教学目标的有效实现. 例如, 已知圆x2+ y2= 4, 直线y = x + b, 当b为多少的时候, 圆有三个点到直线的距离为1. 几何画板利用动态的变化, 可以实现学生对于问题的理解, 如图2.

2. 教师加强练习, 熟练掌握几何画板

教师是教学的引导者, 在教学过程中实现整个教学过程的走向, 几何画板软件是一种很好的教学工具, 教师熟悉其使用技巧, 在教学过程中才能灵活使用. 教师要想充分使用好几何画板, 在教学过程中充分使用这一软件, 就需要在平时认真练习, 掌握软件的使用技巧, 这一软件在使用过程中掌握起来相对比较容易, 只要教师加以练习, 就可以有效掌握, 最终保证教师在教学过程中有着更加灵活的使用[2]. 例如, 本地区的教师在几何画板的认识上存在一定的误区, 很多教师使用这样软件的熟练程度都不是很高, 因此教研所针对这一问题进行了软件的集中培训, 手把手的教会教师使用这样软件.

3. 拓展学生对于几何画板的使用

学生是现代高中几何教学的主体, 他们参与教学的主动性是现代教学质量提升的基础和前提, 加强学生对于这一软件的学习. 学生只有掌握这一软件的使用, 在教学过程中才能更好地参与教学之中, 几何问题不同于其他的教学过程, 需要学生更加主动参与其中, 才能更好的理解相关问题, 只有学生学会使用这一软件, 才可以在课后使用这一软件进行几何问题的解决, 为他们更加积极主动的参与几何教学提供保证. 同时这一软件也需要加强学生使用的人性化考虑, 更多的实现一些动画功能, 保证学生在自己演示的过程中, 更加容易的操作过程. 例如, 开设专门的上机实验课, 对学生进行集中软件培训, 软件使用过程中需要工具条进行重点讲解, 同时列举椭圆、圆柱等解析和立体几何图形进行案例教学, 实现学生更好地掌握软件的使用.

高中几何问题相对比较抽象, 主要目的在于构建学生的空间想象能力. 这一素养的实现需要教师使用更多的教学手段实现. 几何画板实现几何图形的有效展示, 同时可以实现图形的运动, 保证学生更加形象的理解相关问题, 构建学生的空间想象能力.

参考文献

[1]郭衎, 曹一鸣, 等.数学课程中信息技术运用的国际比较研究[A].全国数学教育研究会2014年国际学术会议, 2014 (6) :123-124.