类比思想（精选12篇）
类比思想 篇1
《高中数学教学大纲》提出, 中学数学中的基础知识包括概念、法则、性质、公式、公理、定理等, 以及由其内容所反映出来的数学思想和方法.数学思想和方法作为基础知识在大纲中被明确、肯定地提出来, 尚属首次, 足见数学思想方法及其如何教学的问题已引起教育职能部门的重视.
综观近几年各省市高考数学试题, 都突出了对数学思想方法的考查, 将数学思想方法贯穿于整份试卷之中, 以数学知识为载体, 从学科整体意义和思想价值立意, 突出通性通法, 淡化特殊技巧, 从本质上考查学生数学思想方法的程度, 使试题处处有“思想”.
数学中的主要思想有:函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、类比转化思想等.类比转化思想是把那些待解决问题, 通过某种转化过程, 使其成为已解决的或较易解决的问题, 最终得到原问题的解答的数学思想.本文仅就应用类比转化思想的习题类型作一个归纳, 谈一谈个人心得.
一、函数类比转化
例1:方程ax+1=-x2+2x+2a (a>0, a≠1) 的解的个数是 () .
A.0 B.1 C.2 D.4
此类题型本身是一个方程, 方程左右两边的类型并不相同, 乍看有点无从下手之感.但如果转化为函数来思考, 运用函数的有关性质, 就可以打通思路.此题可以在坐标系中作出函数y=ax+1和函数y=-x2+2x+2a的图象, 可发现图象交点个数即为方程解的个数, 选C.
二、主次类比转化
例2:若不等式x2+ax+1≥0对一切恒成立, 则a的最小值为______.
本题原不等式是以x为主元, a为参数的一元二次不等式.若以a为主元, x为参数, 则不等式可化为恒成立, 即求函数, 的最大值.然后再利用函数的单调性可求得a的最小值为.对于含参数的恒成立问题, 我们都可以考虑这种转化.
三、正反类比转化
例3:已知α, β都是锐角, 且sin (α+β) =2sinα, 求证:α<β.
像例3这类问题, “正面进攻”往往难以奏效或运算较费时, 可考虑从反面入手, 这样往往可以使问题得到解决.此题可先假设α≥β, 然后分别从α=β和α>β两方面去推导出矛盾, 从而得证假设不成立, 原命题成立.对于否定于命题、不等型命题, 这种转化方法通常比较有效.
四、整零类比转化
例4:一个四面体A-BCD的所有棱长都为, 四个顶点在同一球面上, 则此球的体积为_______.
在立体几何中, 分割、补形法是一种处理立体几何中的体积、距离等问题的有效的快捷的技巧.这样就可以将所求问题的整体分解成若干个局部或将各个局部整合成一块, 旨在化难为易.如此题中我们可以将四面体A-BCD看作是由一个边长为1的正方体的6条面对角线构成的, 其外接球即为正方体的外接球, 球直径即为正方体的体对角线.表面积可求得为.
五、数形类比转化
例5:若直线y=-x+b与曲线恰有一个公共点, 则b的取值范围是____________.
数学中很多“数式”问题隐含着“图形”背景, 很多“图形”问题也潜藏着数量关系, 若能将两者有机结合起来, 往往可以得到简捷解法.如此题中, 如果从解析角度通过直线与圆的位置关系去解, 运算较繁且极易出错.但如果从“图形”角度考虑, 一下子就可以发现答案:又快又准确.
另外还有动静类比转化、相等与不等类比转化, 这里不一一细述了.总之, 类比转化思想是一种便捷的解题思想方法, 有助于学生在自主学习中探索发现解题的新途径和新方法.同学们要通过多思考、多探索, 在潜移默化中熟练掌握它.
类比思想 篇2
众所周知，翻转课堂是将传统课堂结构下的“老师的教”与“学生的学”，即课堂上师生、生生之间的“信息传递”以及学生在课后通过练习、巩固的“吸收内化”进行重构。“信息传递”是学生在课前进行的，“吸收内化”是在课堂上通过互动来完成的。教师需要提前了解学生的学习困难，在课堂上对所学知识目标进行最高效的梳理与突破，然后通过小组合作、个性辅导，促进学生知识的吸收内化过程。
数学翻转课堂上老师不是不用“教”，而是要更有效地“教”，而在初中数学翻转课堂上运用类比法进行教学恰好是实现这个高效的重要选择。将学生原有的数学知识结构中已熟练掌握的相关旧知识作为“源问题”，而将要学习的新知识作为“靶问题”，由教师在学生的最近发展区内设置恰当的问题，用来引导学生发现原有的旧知识与新知识的“相同要素”，寻找有效的.类比条件，使学生在学习过程中顺利的实现由“旧”到“新”的类比，从而使学生真正成为课堂上学习的主人。类比教学归纳猜想，凸显了数学体系的系统性与严密性；类比教学开门见山，为老师赢得了更多的时间和精力。以下是笔者结合自己的初中数学翻转课堂教学实践，以浙教版教材为素材，读《基于类比思想的高中数学教学实践研究》后的一点教学尝试。
在初中数学课堂教学中，概念结构相似性类比是应用最为广泛的。这种类比形式较多，应用起来也比较灵活。
教学实例：立方根概念的教学
本节课是浙教版教七年级上第三章第三节的内容。我们都知道，学生对立方差概念的学习是以平方根为基础的。对于平方根概念，通常是以与平方为互逆运算的形式得出，由教师引导学生归纳出“如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，也叫a的二次方根。”这个结论。同样对于立方根定义的得出也可以仿效上述方式，教材中也是采用的这种导入方式。
在翻转课堂的教学中，基于学生已经有一定的预习与已知的前提下，笔者尝试利用两个概念结构上的相似性，采用类比法引出立方根的定义。教师可以引导学生通过“平方根”和“立方根”两个词的一字之差，而想办法恰当的替换平方根概念中的一些重点词汇，从而得到立方根的概念，具体操作如下：
1、类比前的准备
这个过程就是帮助学生找到类比的“源问题”，即原有知识结构中的“旧知识”。在这里可以设计成复习提问的形式，如：哪位同学能口述下平方根的概念？
学生表述完成后，教师可以使用大屏幕将平方根的概念展示给学生，重点词汇改变颜色，这是为下一步的类比的实施提供直观的视觉准备。
2、类比实施过程
这个过程由教师设置一些逐级深入的问题，帮助学生直观、快速的找到“有效的类比条件”，从而实现由“旧”到“新”的类比。
在这里可以设计如下铺垫和问题，我们今天要研究一个新的概念，叫做立方根。请在平方根定义的基础上得出立方根的定义呢？哪位同学能尝试一下？
当学生顺利得出立方根定义后，教师可以同时在大屏幕上展示两个定义，并在关键词上进行不同颜色的标注，并配以实例进行巩固，最后教师还可让学生模仿平方根的表示方法，进一步得出立方根的符号。
通过平方根和立方根在概念相似的类比，可以使学生轻松获得新知识，而且对两个定义在关键词的理解和今后的对比记忆上也有很大的帮助。
数学学科本身就是一门系统性都很强的学科，各部分知识之间都有着内在的逻辑联系，通过类比可以使各部分知识有机的结合起来，使学生头脑中的数学知识形成一个有机的整体，基于类比思想教学更多的应用到了初中数学教学实践中，使学生的学习真正做到“知一个，而知一类”，能够较好的构建数学知识体系。
以往对于数学翻转课堂，大多数学生都感觉枯燥无味，课堂形式单一，无生机和活力，而基于类比思想教学恰为激发学生的学习兴趣提供了一个突破口，通过基于类比思想教学的实施，使学生感到其实学习新的数学知识，接受新的事物也并不是很难，只要能找到一个类比源，就可以轻松的解决所面临的新问题。学习过程中的“拦路虎”没有了，学生学习起来自然会感到轻松，学习的积极性和兴趣也就随之提高了。
渗透类比思想放飞数学思维 篇3
【关键词】 类比；思维
【中图分类号】G62.22【文献标识码】A【文章编号】2095-3089（2016）15-0-01
《义务教育数学课程标准（2011年版）》把“数学的基本思想”作为”四基”（基本知识，基本技能，基本思想，基本活动经验）目标之一，并明确指出：“数学课程内容不仅包括数学的结果，也包括数学结果的形成过程和蕴含的数学思想。”数学思想方法作为对数学知识内容的本质认识，往往隐藏在数学知识的背后，在课堂教学中应该创造机会，有意识让学生去体验、运用。类比法是一种重要的数学思想方法，在小学数学课堂教学中可运用类比法来探究新知；加深对知识的理解；建构知识网络；激发创新思维。下面以几个实例谈谈类比在小学数学教学中的应用。
一、触类旁通，在类比中探究新知
数学知识结构既有知识发展的纵向逻辑线索，又有不同内容和方法之间横向的实质性联系。它具有逻辑性，系统性的整体性结构，在教学中可以通过对比沟通，深入思考，在头脑中形成系统化结构化的数学知识体系，从而让学生从整体上把握数学知识结构，完成知识体系的完整建构。
例如，教学《比的基本性质》这节课，在学习这部分内容之前，学生已经学过比的意义，知道比与除法分数的关系。因此，在教学前，着重于纵横联结沟通分数除法比三者的内在关系，如下表：
除法被除数除号除数商
分数分子分数线分母分数值
比比的前项比号比的后项比值
根据上述知识块之间的联系和逻辑推理，从商不变的性质到分数的基本性质，学生自然想到比的性质，并通过计算举例基本验证，学生很自然的说出比的基本性质，既“比的前项和后项都乘以或者都除以相同的数（零除外），比值不变。”
学生在整个过程中通过对比的思想方法将一个个知识“点”连成“串”，形成“链”，从而构成牢固的知识“网”。做到优化数学知识结构，完善学生认知结构，构建完整的数学知识体系。这样的讲解使新知识不新，旧知识不旧，学生容易理解和接受。由此可见，应用旧知识的类比能使学生在学习新知识时易于同化，从而学得轻松，教的愉快。
二、举一反三，在类比中大胆猜想
数学发现通常都是在通过类比、归纳等探测性方法进行探测的基础上，获得对有关问题的结论或解决方法的猜想，然后再设法证明或否定猜想，进而达到解决问题的目的.类比是获得猜想的重要的方法.
例如，人教版四年级下册《加法运算定律》，这节课主要探索和理解加法交换律，并能灵活运用。感受数学与现实生活的联系，并能用所学知识解决简单的实际问题。本节课教学的重、难点是从现实的问题情景中抽象概括出加法交换律。
当我们得出加法交换律，交换两个加数的位置，和不变。教室里顿时炸开了。学生开始七言八语的讨论起来了。
生1：交换两个加数，和不变。交换两个因数，积也不变。
生2：对啊，比如5×3和3×5都是等于15
生3：我还能举出2×4和4×2也是相等的。
生4：所以我认为乘法也有交换律。
师：同学们通过类比猜想乘法也有交换律，也进行了推理验证，确实乘法也有交换律。
生5：那么，老师，除法有交换律吗？
生6：除法不行，减法也不能交换。
师：你能验证吗？
生7：5-3=2，但是3-5不能减。6÷3=2，但是3÷6不能除。
同学们通过类比，从形式上进行模仿，再从方法上进行类比验证。自己得出加法有交换律，乘法也有交换律。当然同学接下来的学习中，从加法结合律得出乘法也有结合律。知识的类比迁移对我们学习新知识非常有益，通过类比，打造出有力度，有活力的数学课堂，让数学课堂从朴素走向深刻。
三、对比辨析，在类比中辨错改正
学生课堂上的出错是最正常的一种现象，如何剖析错误，深入认识错误，找出错误的根源，让学生以后少犯错误那才是我们应该要思考的。
例如，在教学人教版小学数学三年级上册《搭配中的学问》这节课，主要要解决两个问题，一是让学生经历由无序到有序的搭配，二是由文字图片复杂的表示到数字字母符号简单的表示。而这两个问题都可以在类比中感悟，达到教学目标。在无序与有序的对比中感受有序思考的好处，在不断的分析和比较不同思考方式的过程中将内化的思维方式再次外显出来，让学生感受符号化思想并深化有序思考的意识。
课件出示情境图
师：可以有几种搭配方法？同学们独立思考，边操作学具边用你喜欢的方法记录搭配方法。
展示学生的做法：
师：比较这几种搭配方法，哪些是正确的？哪些是错误的？在正确的搭配中，哪种方法又是最好的？
学生经过观察，对比，发现第一种和第二种有遗漏，第三种正确没有漏，第四种文字少写但我们也能看的懂，第五种连线的方法更是简洁，一目了然。
师：这样搭配有什么好处？
生：有规律的搭配，不会搭少，也不会多。
师：对！像这样有规律的按顺序搭配，既不重复又不遗漏，这种搭配才是最好的。
所以这节课，学生面对几种不同的答案通过类比分析判断，发现无序的搭配是容易出错的，会遗漏会重复，领悟到有序搭配的重要性。并且通过类比，感受到符号的简洁性。我们在平时的数学教学中会遇到学生的易错题，把易错题编成题组训练，在类比中，发现他们的区别和要点，加深理解。
类比思想 篇4
关键词：初中数学,类比思想,高效课堂
在数学教学当中, 类比思想是一项非常重要的教学内容. 类比思想作为一种合理推理的形式, 就是把两个或者两类的思考对象放在一起比较, 通过某些已知一类相同或者相似的属性, 来推导出另一种与之相同或者相似的属性. 这种推理方式是属于从特殊到特殊的方式. 在新课程标准的要求之下, 也对初中数学的教学目标提出了更好的要求, 教师应该多通过实验、观察与类比的方式, 提高学生的推理能力, 从而能够更加明确的阐述自己的观点.
一、类比思想在初中数学教学中的实施环节
1. 寻找类比源的环节
在最初的准备环节, 教师要想尽方法将学生的思维发散开来, 在过去的知识体系中积极挖掘和新学的知识能够符合的类比源, 我们将其称为“源问题”. 按照一般规律来说, 这一环节本应由学生自己来完成, 但我们通过教学实践可以发现, 学生自己单独完成这一任务所耗费的时间较长, 完成的效果也不尽如人意, 还容易在自我探索的过程中误入歧途, 最糟糕的情况是学生无法找到正确的类比源. 但学生自身无法很好地完成任务并不能表明这一教学方法是错误的, 而是学生尚没有建立起类比思想相关体系, 自然无法很好地完成这一任务.
2. 找到类比条件的环节
在完成准备环节的工作后, 我们就要开始最重要的工作环节, 也就是寻找“有效的类比条件”, 这一环节能够保障学生顺利地将知识库中已经掌握的知识与新学习的知识形成类比. 那么, 什么是“有效的类比条件”呢? 简单来说就是我们开展类比学习的突破口, 只有找到好的类比条件我们才能推开类比的大门, 这既是类比学习的重点同时也是难点. 要解决这一学习难点, 需要教师本身的数学知识体系较为完备, 对于知识之间的逻辑关系要有充分的研究, 这样才能很好地找到知识的类比关系.
3. 对类比结果验证的环节
这一环节是类比的最后一个任务, 是保障类比正确的程序, 但并不是所有的类比都需要经过这一环节, 因为在有的类比中实施环节就已经包含了这一验证过程. 实施验证工作的好处主要有以下两个方面: 其一, 可以验证类比的正确性, 经过验证确保类比是否正确可行; 其二, 在类比正确的基础上, 验证环节可以进一步深化学生对于新学知识的认知程度, 达到巩固学习知识的目的.
二、初中数学类比思想的具体应用
1. 数学概念的类比
由于在学习数学知识时, 数学概念是凝聚数学知识体系的基础. 初四学生即将面对中考, 需要记忆非常多的数学概念, 如果是靠死记硬背进行概念的记忆, 学生不仅很容易遗忘, 还容易产生对数学厌学的情绪. 但是, 教师通过总结与对教材的深入了解, 不难发现初中数学中的概念有很多都是具有相似性的, 如果能够把这些概念进行类比, 帮助学生分析这些概念的共同点与差异, 就能很好的使学生记住这些概念, 深化学生对于这些概念的认识, 同时也能够使学生掌握更多的新知识, 构建出更加全面的数学概念体系.
例如, 在数学概念的复习当中, 教师可以把二次函数和一元二次方程的概念相结合, 把立体几何与平面几何的概念相结合, 通过横向与纵向概念知识的类比, 就能够使学生构建出这些知识的概念体系.
2. 数学性质与法则的类比
因为数学的性质与法则一般都是用来解决同种类型的数学问题, 是学生学好数学的基础. 在进行一个数学性质或者法则的学习或复习时, 数学教师可以选择一个与这个性质相似的对象来进行类比, 通过引导学生的观察、比较、分析以致猜想, 从而推导出一个新的数学对象所具有的基本属性.
例如, 数学教师在讲解异分母的分式加减法时, 就可以使用分数的加减法则来作为类比对象, 让学生通过观察、分析与猜想来推导出异分母的分式加减法. 这种类比的方式不仅能够巩固学生对于分数加减运算法则的性质, 还能够掌握异分母的分式加减运算法则, 能够提高学生的观察能力与思维能力.
3. 解题方法的类比
在解决数学问题时, 不管是代数问题还是几何问题, 都有可能会遇到一题多解或者是多题一解的情况. 而在这时巧妙的使用类比思想, 就能够帮助学生解决同种类型的数学问题, 甚至有些还没有学到的、比较复杂的数学问题, 都能够得到有效的解决. ( 下转第30页) ( 上接第45页) 例如, 在讲解绝对值不等式的解题思路时, 使用绝对值的概念, 采用一般的分域讨论法, 虽然能够得出结果, 但是这个过程相对比较繁琐; 如果使用绝对值的几何意义, 利用数轴上点的距离来进行解答, 就能够非常直观顺利得出正确答案.
总之, 在初中数学的讲解过程中, 一旦解题思路出现了问题, 类比思想往往就能够派上用场. 学生学习了类比的思想, 能够更加全面、更加系统、更加深刻的理解知识, 能够帮助学生解决很多困惑.
参考文献
[1]叶秀凤.用数学类比思想建构数学有效课堂教学的探析[J].学周刊, 2013, 28:132-133.
[2]孙敦泉.类比思想在数学教学中的培养途径[J].科学大众 (科学教育) , 2011 (3) :37.
类比和隐喻 篇5
隐喻根植于人类的概念系统,是人类认识世界和表达思想的有效工具.隐喻和类比是相互依赖、紧密联系的.然而,语言学家们只是把类比看作一种单纯的语言变化机制,并没有注意到它在人类思维过程中与隐喻思维是紧密联系的`.本文就此展开讨论,说明隐喻和类比的紧密联系和它们之间的不同点.类比作为一种重要的认知机制在隐喻生成和理解的过程中起着不可忽视的作用.
作 者：马玉蕾 房红梅 作者单位：马玉蕾(上海交通大学,上海,40)
房红梅(苏州大学,苏州,215021)
她用类比思想学习不等式 篇6
一.类比定义
一元一次不等式和一元一次方程既有密切的联系，又有本质的区别.同学们学习时若能运用类比思想，则会大大提高效率.
一元一次不等式和一元一次方程都含有一个未知数，未知数的次数都是1，且含有未知数的式子都是整式.区别在于：一元一次方程表示的是相等关系，等号两边可交换位置，如5-3x=6也可以写成6=5-3x，它们的解相同；一元一次不等式表示的是不等关系，不等号的两边是不能交换位置的，如5—3X≤6就不能写成6≤5-3x，因为这两个不等式是完全不同的.
二.类比解法
解一元一次不等式和解一元一次方程的基本步骤完全相同，一般都分为五个步骤：
（1）去分母；（2）去括号；（3）移项；（4）合并同类项；（5）系数化为1.
但要特别注意步骤（1）和（5）.解方程时，依据的是等式的性质2“等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等”.解不等式时，则依据的是不等式的性质2“不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变”或性质3“不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变”.
三.类比解
一元一次不等式和一元一次方程的解的共同点是：把未知数的值代人到不等式或方程后，都能使不等式或方程成立.区别是解的个数不同，一元一次方程一般只有一个解，而一元一次不等式一般有无数多个解.
四.常见的错误
同学们在解一元一次不等式时，常常会出现一些错误.
一是类似解一元一次方程时出现的错误.如：去分母时漏乘不含分母的项，去分母时忽视分数线的括号作用，去括号时漏乘项或符号出错，移项没有变号等.
二是由于不能很好地掌握不等式的有关知识而出现的错误.如：不等式两边除以同一个负数时，不等号的方向未改变；在数轴上表示解集时出错等。
类比思想 篇7
14棵树排成7行, 每行4棵——七角星;
16棵树排成8行, 每行4棵——八角星;
18棵树排成9行, 每行4棵——九角星;
……
n棵树排成
于是我把类问题让给学生思考, 发现他们对这类问题很感兴趣, 也很认真的去思考。类比思想在数学中很常见, 是一种很有趣的数学方法, 不只是在学生解题过程中, 在老师的教学过程中也同样如此。类比的魅力在于它可以使数学学习更容易、更生动、更形象, 有利于学生自主探索与创新思维的培养。
在教学过程中, 我以这道趣味数学题作为学生课后的思考, 并延伸到18棵树, 发现学生对此十分有兴趣, 我在讲解的过程中学生容易接受, 对类比思想的了解也逐渐加深。
以上只是一道趣味数学题, 运用类比推理, 类比10棵树排成5行, 每行4棵——五角星形排列。当然, 在数学中很多题目都是用类比的方法。如, 我们知道在平面内的一个四边形为平行四边形有多个充要条件, 如一组对边平行且相等, 两组对边分别平行等。那么请写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件:
充要条件①;
充要条件②。 (写出你认为正确的两个充要条件)
分析:运用类比推理的思想方法, 我们来类比平行四边形, 四棱柱为平行六面体时, 其底面四边形应是平行四边形, 因此, 只要保证底面是平行四边形即可。
答案:两组相对侧面分别平行;一组相对侧面平行且相等;对角线交于一点;底面是平行四边形等 (答案不唯一) 。应用类比思想随处可见, 恰到好处地运用类比法, 可以激活学生的思维, 有利于培养学生的创造力和创造精神。在我们平时的数学教学中, 常发现在数学中有一些相类似的概念, 可以利用类比法学习, 也可以用于教学。
1.在讲述棱柱的定义时, 我们可以用类比的方法引入。
(1) 平面上的点沿某直线方向移动一段距离后形成什么图形? (答:线段)
(2) 线段沿某个方向平移后形成什么图形? (答:面)
(3) 一个平面图形如三角形、平行四边形、五边形沿某个方向平移后形成什么图形? (答:几何体——棱柱)
通过这三个问题, 学生对棱柱的理解不仅有了运动变化的观念, 而且渗透了类比思想。不仅可以提高学生发现问题的兴趣, 更可以激发学生的探索精神。
2.几何体中的椭圆与双曲线有很多相同之处。
3.在讲授直线与圆的位置关系的时候, 可以设计如下类比。
(1) 怎样来判断定点和圆的位置关系? (可以先画图引导学生回答:利用圆心到点的距离d来判断。即d等于半径r, 点在圆上; d大于半径r, 点在圆外;d小于半径r, 点在圆内。)
(2) 圆的位置关系怎样来判断? (可引导学生利用类比, 很自然地猜测到圆心C到直线的距离d等于半径r, 直线与圆相切;d大于半径r时, 则直线与圆相离;d小于半径r, 直线与圆相交。)
4.求函数
问题的关键是如何设法化成熟悉的函数形式, 从而解决根号的问题, 可先观察已知函数的定义域
解:设
那么
因为
故
所以
所求函数y的值域为
5.下表是在几何图形中的数量关系, 也有相似之处。
6.上海某年的高考试题中出现了类似的一道题。
已知:在平面几何中有勾股定理: “ΔABC的两边AB、AC互相垂直, 则有关系:AB2+AC2=BC2。”当然, 这是在平面上, 在空间中, 我们用平面几何中的勾股定理来进行比较, 并猜想三棱锥的侧面积和底面面积的关系, 就可以得出相应结论:假设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两垂直, 则可以猜测出:S
类比思想在数学教学中的渗透 篇8
关键词：数学教学,类比,类比思想
荷兰著名数学教育家赖登塔尔强调:“学习数学唯一的方法是实行‘再创造’, 也就是由学生本人把要学习的东西自己去发现或创造出来。”《数学课程标准》提倡在教师引导下, 让学生经历“数学化”“再创造”的活动过程, 让学生体验数学发现和创造的历程, 培养他们的创新意识。苏教版2—2中专辟类比推理这部分内容。类比是根据两个 (或两类) 对象之间在某些方面的相似或相同, 推演出它们在其它方面也相似或相同。其形式为A类事物有性质a, b, c, d, B类事物有性质a′, b′, c′, 所以B类事物有性质d′。类比的结论是或然的, 它的正确性需经过证明。在平时的数学教学中, 笔者经常渗透类比思想, 现归纳出以下常见的类比。
一、方法类比
典型的数学方法可以解决一类问题, 因此, 教师应随时总结, 举一反三, 以提高学生数学知识的迁移能力和灵活应用能力。
例1:设f (x) =, 利用课本中推导等差数列的前n项和的公式的方法, 可求得f (-5) +f (-4) +…+f (0) +…+f (5) +f (6) 的值为________。
分析:本题类比课本中等差数列的求和方法, 即“倒序相加法”。
解:令S=f (-5) +f (-4) +…+f (0) +…+f (5) +f (6) (1)
则S=f (6) +f (5) +…+f (0) +…+f (-4) +f (-5) (2)
将 (1) 、 (2) 式相加, 类似与等差数列的情形, 利用f (n) +f (1-n) =, 得2S=·12, 所以S=3为所求值。
二、性质类比
类比转化, 是一种培养知识迁移能力的重要学习方法, 解题中, 若能抓住题目中已知关键信息, 锁定相似性, 巧妙进行类比转换, 答案就会应运而生。
例2:在等差数列{an}中, 若a10=0, 则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n (a<19, n∈N) 成立, 类比上述性质, 在等比数列{bn}中, b9=1, 则有等式________成立。
分析:等差数列{an}中, a10=0, 必有an+1+a19-n=an+2+a18-n=…=a9+a11=2a10=0,
∴an+1+an+2+…+a10+a11+…+a19-n=0。
故有a1+a2+…+an+an+1+…+a19-n=a1+a2+…+an类比等比数列{bn},
∵b9=1
∴bn+1·b17-n=bn+2·b16-n=…=b8·b10=b92=1,
∴bn+1·bn+2…b8·b9…b17-n=1, 故等式b1b2…bn=b1b2…bnbn+1…b17-n成立。
三、结构类比
有些数学题目是由某些已知的公式发展变化而来, 这些习题的形式与学过的公式结构相同, 通过类比, 可探求解题途径的有效手段。
例3:已知:x+y+z=xyz求证:.
分析:由已知条件结构类比联想到命题:若α+β+γ=kπ (k∈Z) 则tanα+tanβ+tanγ=tanα·tanβ·tanγ, 而求证中出现的形式类比联想到二倍角公式。
证明:设x=tanα, y=tanβ, z=tanγ, 且α+β+γ=kπ (k∈Z) ,
=tan2α+tan2β+tan2γ
∵α+β+γ=kπ (k∈Z)
∴2α+2β+2γ=2kπ (k∈Z)
∴tan2α+tan2β+tan2γ=tan2αtan2βtan2γ
即证:。
四、维度类比
尽管二维平面与思维空间有诸多不同, 但我们充分利用它们相似性, 通过升降维, 即可解决相关问题。
例4:如图1, 若射线OM, ON上分别存在点M1, M2与点N1, N2, 则。如图2, 若不在同一平面内的射线OP, OQ和OR上分别存在点P1, P2, 点Q1, Q2和点R1, R2, 则类似的结论是什么?这个结论正确吗?
分析:试题要求把二维面积关系推广到三维体积关系。
类似的结论为:。
证明:如图2, 过若R2作R2M2⊥平面P2OQ2于M2, 连接OM2, 过R1在平面OR2M2作RM1∥R2M2交OM2于M1, 则RM1⊥平面P2OQ2。
由VO-P1Q1R1=S△P1OQ1·R1M1=·OP1·OQ1·sin∠P1OQ1·R1M1=OP1·OQ1·R1M1·sin∠P1OQ1,
同理, VO-P2Q2R2=OP2·OQ2·R2M2·sin∠P2OQ2,
所以, 由平面几何知识得,
所以结论正确。
本题把立体几何问题类比到平面几何中解决, 正像数学家波利亚曾指出的:“类比是一个伟大的引路人, 求解立体几何问题往往有赖于平面几何中的问题。”
总之, 我们在平时的教学中渗透类比思想, 不仅能使学生获取新知识, 而且能激发学生的学习数学的兴趣, 让学生体验数学的发现和创造过程, 提高学生的数学思维能力。
参考文献
[1]普通高中数学课程标准 (实验) .人民教育出版社.第3页.
类比思想在数学教学中的运用 篇9
数学思想是数学知识的精髓, 类比思想更是初中数学的基本思想方法.所谓类比, 就是由两个对象的某些相同或相似的性质, 推断它们在其他性质上也有可能相同或相似的一种推理形式.利用类比思想可以将数学问题简单化, 类比思想的建立有助于培养和发展学生思维的条理性、缜密性, 从而提高他们分析问题和解决问题的能力.
利用类比思想, 转新为旧
这里所说的“新”指的是新知识, 是学生原来未学过的, 老师未讲过的知识.“旧”指的是学生已学过的, 并能理解和应用的知识.教学中, 教师要采用类比方法使难学的新知识转化为学生已掌握的旧知识, 从而使问题简单、易懂.
如, 解方程:本题若两边直接乘以公分母显然有较大的运算量, 若是先变形为通过两边各自通分就会发现两边分子上都可以化为具体的一个数字.如, 左边两个分子中 (x-1) (x-8) =x2-9x+8, 而 (x-2) (x-7) =x2-9x+14.我们比较发现其中有两项一样, 它们相减正好消去, 只剩下-6.方程右边的分子也一样可化为3.这样用类比的方法使解方程问题化为分子化简问题, 应用了旧知识“整式的乘法”, 从而使复杂的分式方程简单化, 使新旧知识得到了很好的衔接.
利用类比思想, 换繁为简
在教学中, 常常会遇到一些繁琐、复杂的问题, 教师要深入钻研, 抓住问题实质, 把复杂问题简单化.
如, 把按从小到大的顺序排列.对于此题, 可先让学生观察它们各自分子、分母之间有什么联系, 然后再引导学生把各个分数写成:
解此题的关键就是把四个分数先通过类比, 发现它们分母比分子大1的隐含条件, 从而各自加上1转化为简单的正分数比较大小, 进而得出最后的结果.
利用类比思想, 变难为易
有的知识不易理解, 教师要认真分析, 找出新旧知识的联系点, 从而使难以理解的知识容易理解.
如, 解方程用类比方法, 可由联想到方程的解为x=a或x=1/a.从而由
利用类比思想, 化深为浅
类比思想在高中数学教学中的运用 篇10
一、关于类比思想与数学教学
类比, 顾名思义就是针对事物的共同点或相似点进行比较研究, 通过比较研究找出两者之间的共同点和不同点, 在比较分析中找出规律性的东西, 以解决实际问题.类比思想是一种思维方式, 这种思维方式用在数学研究中可以解决许多实际问题, 可以帮助学生发挥创造力, 促进数学思维方式的发展, 在教学过程中突出这种类比思想可以突出问题的本质;在分析比较中, 有效提高学生的数学思维, 进而提高教学质量.在数学教学中主要通过新旧概念、新旧知识、同类事物、数形结合这样四种类比方式, 这几种类比方式对学生学习数学, 解决数学问题意义重大.但类比思想也有一定的局限性, 类比只是一种猜测, 这种猜测是否正确科学只有通过严格的论证才能得以证明, 这就决定在数学教学中发扬类比思想的同时要注意避免它所产生的负迁移, 在利用类比思想解决问题时就要针对那些容易混淆的概念和性质定义进行类比, 通过各种类比方式, 纠正学生的错误认识和错误观点, 使学生能够有效地把握数学理论和数学知识, 运用类比思想解决数学实践问题, 促进学生各项能力的共同发展.
二、类比思想在高中数学教学中的运用
1. 类比思想在概念教学中的运用
在数学课程中, 有大量的概念和定义, 这是学生学习数学的基础, 但在实践教学过程中, 有些概念和定义有一定的理解难度, 有些概念还具有混淆性.在对这些概念和定义进行学习中, 学生不能充分理解它们的含义, 自然在解决实际数学问题时就不可能利用这些概念和定义进行准确的运用.学生在解题过程中, 由于概念不清, 定义不明就会出现许多问题, 一道数学题学生费九牛二虎之力做完了, 很可能也做错了, 这是非常遗憾的.因此, 在概念和定义教学的过程中, 教师要引导学生运用类比思想有效明辨概念、定义, 准确掌握这些内容, 为成功解题打好基础.比如, 在教学中, 教师要引导学生对两个数学对象作出比较, 在分析比较中找出这两个数学对象的相同点和相似点, 进一步推出这两个数学对象在其他属性方面也具有类似的地方, 这样, 在运用类比思想进行分析解决问题的过程中, 学生对其中的数学原理、数学概念和数学定义就有了较为深层的认识, 学生对概念的学习就可以达到一个新的高度, 更明白更理解数学概念的内容, 同时, 在解题环节也可以准确利用概念进行解题, 提高解题的准确率并能够有效提高解题效率.
比如, 在学习高中立体几何“二面角的定义”时, 就可以利用类比思想有效掌握二面角的定义, 在教学过程中, 教师需要引入平面几何角的概念, 通过对两者之间概念的类比概括二面角的定义:
通过类比, 学生可以清晰地看出平面角和二面角的区别, 学生可以通过类别有效得到二面角的定义;通过类比教学, 教师也可以有效地降低教学难度, 使学生在潜移默化之中掌握二面角的定义;更重要的是, 学生可以掌握一种概念学习的方法, 在以后的学习过程中, 当学生遇到不清不明的学习情况时, 学生会自觉地利用类比思想进行概念学习, 促进学生概念学习水平的有效提高.
2. 新旧知识的类比教学
在数学的教学过程中, 新旧知识的联系是非常紧密的, 教师通过有效的方式使学生建立新旧知识间的联系, 在把握旧知识的基础上领悟新知识是非常必要的, 在这个过程中, 利用新旧知识的类比教学可以达到较好的教学效果.新旧知识的类比教学主要是教师引导学生通过对新旧知识的综合、比较、分析, 归纳出它们之间的联系, 找出新知识对旧知识的超越部分, 通过把握这种联系, 有效掌握新知识的超越部分, 达到有效掌握新知的目的.
新旧知识的类比是数学常用的类比方式, 在教材中, 这种类比内容也是很多的, 在类比中学生不但可以把握新知, 更重要的是, 在学生通过创造条件进行新旧知识的类比过程中, 学生的思维得到开拓, 创新能力得到培养, 并且当学生遇到类似的问题时, 他们就会寻求相同的方法解决问题, 这些对学生的影响是巨大的, 远远超越简单的知识把握.因此, 在教学过程中, 教师要利用课本中有效的资源, 为学生创造类比学习的环境, 使学生通过自我的学习, 把握新知, 提高能力, 获得成长.
总之, 在高中数学教学中, 教师要引导学生掌握类比这种思维方式, 并通过自己的学习实践感受这种思维方式和类比学习的重要性, 在利用类比进行学习中, 不断理解掌握数学中较难的概念和内容, 不断获得新知, 提高学生的探索能力, 使学生在创造中不断发展.
摘要：为更好地指导学生运用类比思想解决数学问题, 本文理论阐述与案例分析相结合, 分析了类比思想在数学教学中的重要作用, 把类比思想与数学概念教学相结合, 新旧知识的类比教学等.
类比思想在初中数学教学中的应用 篇11
【关键词】类比思想 初中数学 应用
大多学生认为数学是一门较为抽象，逻辑思维很强的科学，他们在数学学习中倍感艰辛。其实，对于学生来说，他们之所以学习数学感到辛苦是因为他们没有找到合适的数学思想方法，无法将前后知识联系起来。这就需要教师的帮助，在初中数学教学中类比思想作为一种最为简单，直观的数学思想方法，利用它可以将抽象的数学概念，公式转变为易于学生接受的模型使学生更好的理解、掌握数学，帮助他们形成科学的数学体系以此来提高学生学习数学的有效性。那么如何将类比思想运用到初中数学教学中去？我将从下面几个方面进行阐述。
一、概念类比，理解本质
概念是数学领域中最基本的元素，正确理解概念的本质是掌握数学知识解决数学问题的前提。所以要想让学生学好数学首先要从理解概念本质开始。然而在初中数学的课本中概念性的东西有很多，如果学生以孤立的眼光去理解，记忆这些概念，很有可能造成概念混淆，造成心理压力从而打击学生学习数学的积极性。但作为教师我们知道，很多概念虽然内容不同，但它们的定义形式是极其相似的。比如说：三角形与多边形，它们的定义整体框架是一致的，不同之处在于组成图形的线段条数不同以及多边形强调在“同一平面内”。教师通过这样的类比教学，在让学生了解概念之间异同的同时，有利于学生进一步了解概念的本质。
另外值得一提的是，概念形成中的类比也是我们需要重视的。比如：在教学多项式乘以多项式概念时，我们完全可以借用单项式乘以单项式的有关概念的产生过程进行类比，通过新旧知识之间的类比，学生不但复习巩固了单项式，而且有利于多项式概念的理解和掌握。数学概念在学生脑海中的形成过程，决定学生对概念的掌握程度。我们只有引导学生掌握概念的本质，才能让学生在解决数学问题时做到举一反三，触类旁通。
二、策略类比，提高效率
类比思想在学生从已有知识、经验出发学习新知识，建立新的知识体系的过程中是极其重要的。学生在解决数学问题时，通过自主探索，自我思考，合作交流的学习方式进行类比，找出其中的异同点有利于学生将已经拥有的解题思想运用到新的模型中，使学生轻松掌握新的数学基础知识，从而培养学生的自主创新能力，提高学习效率。例如：在教学证明三角形相似时我把三角形全等作为基础，因为一般在证明三角形相似的题目中，极少数的情况是可以在题目中直接找到相似的条件，然后利用相似的概念定理进行证明。大多数都是先证明全等找出三角形中的等量关系再利用相似的定理证明结论，教师通过引导学生合理利用类比思想，可以提高学生解题效率，发展学生的潜力，使学生从不同的角度来理解概念的本质。
三、知识结构类比，构建知识网络
在我看来，学生学习的实质就是在原有的数学知识结构上构建属于自身的数学认识结构，再通过利用数学认识结构来解决数学问题。教师通过引导学生进行知识结构的类比，找出知识之间的内在联系，学生才能从不同的角度整体地掌握知识，构建起属于自身的知识网络。例如：在讲述平行四边形的判定与性质时，我都会将平行四边形与矩形，菱形，正方形联系起来并利用表格来进行知识结构的类比来解释说明它们之间的异同点。通过表格，将平行四边形、矩形、矩形、菱形、正方形从边、角、对角线这三个方面进行类比，可以清晰的看出它们之间的相同点与不同点，让学生轻松地掌握特殊四边形的性质。
四、思维方式类比，促进创新
我经常对学生说学习数学首先要培养自己的数学思维，但很少有人做到这一点，因为对于他们来说数学思维是一个极其抽象的东西，学生很难从书本中获得，这就要求我们教师在课堂上进行教学时要有意识，有目的地进行数学思想方法的渗透，通过对数学思维方式的类比，引导学生在解决数学问题的过程中，形成良好的数学思维模式，有利于学生对新知识的掌握，提高学生的自主创新能力。例如，在学习二元一次方程组时，学生可能会对2个方程感到困惑，所以我在学生已学的二元一次的方程的基础上，采用类比的思想，解释道二元一次方程组其实是由2个二元一次方程组成的，而方程组的解就是2个单一方程解的共同解。这样可以帮助学生克服思维中的障碍，从而突破教学难点，提高学生学习效率。
数学来源于生活，我们在进行数学教学时可以充分利用生活中的实例，通过“由表及里”的类比，把抽象的数学知识融入到学生的生活中去。这样既为学生枯燥无味的学习增添了乐趣，也对学生整体素质的提高有着很大的帮助。总而言之，类比思想在初中数学的教学中占有极其重要的地位，教师在数学教学过程中利用类比思想可以使数学课堂变得有滋有味，生动形象，并且有助于培养发展学生的思维能力，让学生慢慢地掌握解决数学问题的正确思路，学会从多个方面去考虑、解决问题，为学生形成科学的数学知识体系奠定良好的基础。
【参考文献】
[1] 林桂莲. 浅谈类比法在初中数学教学中的应用[J]. 教育教学论坛，2013（19）.
[2] 张林. 类比思想方法在中学数学教学中的运用[J]. 赤子（上中旬），2014 （15）.
类比思想 篇12
1. 概念类比, 理解本质辨异同
在初中数学学习中有大量的概念, 如果孤立地去理解与记忆这些概念, 会成为学生学习的一个负担, 而通过这些概念之间的类比, 则能进一步理解概念的本质。
在教学立方根时, “平方根”与“立方根”两节在内容与知识展开顺序上是平行的, 内容主要是研究立方根的概念和求法, 知识展开顺序是先从具体的计算出发类比给出立方根的概念, 然后研究立方根的特征。而在本课中, 平方根的概念、表示方法等都是学生原有的知识。为了建立立方根的概念, 我在教学中充分“借用”平方根的有关概念的产生过程进行类比, 将新旧知识通过类比联系, 既有利于复习巩固平方根, 又有利于立方根概念的理解和掌握。具体教学过程如下:
先列表复习平方根的有关知识, 然后魔方展示:抽象出立方体。
(1) 若魔方的体积是8cm3, 则棱长是多少cm?为什么?
∵23=8, ∴棱长是2cm。 (为将要学习的立方根与立方运算是互逆运算作铺垫)
(2) 若魔方的体积是a3cm3, 则棱长是多少cm?为什么?
(3) 这里的2和a我们能否把它取个名?生:立方根。
(4) 你为什么取这个名呢?生:根据平方根的定义猜想得到的。
(5) 那么什么是立方根呢?生:……
(6) 一个数a的平方根你怎样表示?生:
(7) 一个数a的立方根你又想怎样去表示呢?生1:生2:纠错, 生3:改正。
我通过问题串, 把立方根的定义、表示方法与平方根定义、表示方法联系在一起, 采用类比的数学思想, 让学生自主学习立方根的定义与表示方法, 学生学得自然、轻松。
2. 策略类比, 讲究学法求效率
学生对新信息的接收是有意义的, 是从已有的经验与知识出发来学习新知识的, 在这一建构与认识过程中, 类比起到了非常重要的作用。运用类比的思想方法, 学生能轻松地掌握新的数学知识与方法, 在探索中培养创新思维, 提高数学学习的效率。
在教学反比例函数时, 采用整体解决问题类比的思想, 把正比例函数、一次函数图像性质作为原问题, 教师引导学生自主探究、动手操作、合作交流, 学习目标问题——反比例函数的图象与性质。由于在教学中渗透了类比思想, 在学习反比例函数k的几何意义时, 学生得到了与课本不同的结果。学生类比正比例函数 (正比例函数k的变化与它的图形产生直接的动态关系) , 在电脑上改变k的取值, 通过实际的操作, 发现如下新的规律:
生1:当k>0时, k越小, 反比例函数的图象越来越靠近坐标轴;当k<0时, k越大, 反比例函数的图象越来越靠近坐标轴。
生2:也可以用一句话来说, 即|k|越小, 反比例函数的图象越靠近坐标轴。
事实上, 我在备课时根本没有想到k与图象的这一关系, 学生这一独立自主的发现, 极大地震撼了我, 使我认识到学生的潜力是无限的, 同时也说明了在数学教学中渗透类比思想, 培养了学生的自主探索的能力, 为学生的创新提供了思维的空间与方法。
3. 知识结构类比, 构建网络促升华
只有知识构建成网络后, 学生才能从更多的角度整体地把握知识, 而知识结构类比就是建立知识网络的一种有效的好方法, 它能揭示这些知识之间的内在联系。知识结构类比能使知识得到横向拓宽, 也能得到递进的深化。
如在讲解平行四边形的判定及性质时, 我引导学生把一般的平行四边形与矩形、菱形、正方形的性质列成表格进行知识结构类比, 进一步明确它们之间的关系。
通过上面的表格, 学生对平行四边形、矩形、菱形、正方形, 从边、角、对角线三个方面进行类比, 指出它们之间的相同之处和不同之处, 从知识结构的角度来把握特殊四边形的性质, 构建知识的体系与网络, 形成清晰的知识脉络。
4. 思维方式类比, 突破难点会创新
例如:南京市2010年中考数学26题第 (2) 小题, 证明“斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似”, 类比证明“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”时, 先用勾股定理分别求出另一条直角边, 从而转化为边角边来做的思维方式, 设对应边比为k, 用勾股定理分别求出另一条直角边的比也为k, 从而化为用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”来证明。当然数学思维的呈现形式常常是隐蔽的, 难以从教材中获取, 这就要求教师在数学教学中, 有意识地、有目的地进行思维方法的渗透, 通过数学思维的类比, 不断在解决问题的过程中引导深化, 学生的数学思维能力就会得到相应的提高。
5. 反思类比, 认识思维的深刻性
利用类比方法可以深刻地理解概念、公式、定理的实质, 分清新旧知识的联系和区别, 也可以数题一法, 概括出一类问题的解法规律。例如:在七年级上册“线段”的学习中曾出现这样一题:一条线段上有n个点, 问共有几条线段?每个点出发可以画 (n-1) 条线段, n个点就构成n (n-1) 条线段, 但是每2个点之间按照上述方法计算重复了一次, 所以要除以2, 所以共有条。
运用类比的思想, 比较容易解决一元二次方程中的一种常见问题:一次聚会, 出席的每位代表都和其他代表各握一次手, 统计结果表明, 一共握手45次, 问参加聚会的代表有多少人?设参加聚会的代表有x人, 每个人握手的次数是 (x-1) 次, x人就握了x (x-1) 次, 但是每2个人之间按照上述方法计算重复了一次, 所以要除以2, 则有解方程x=10。上述两个问题是形变而神不变, 学生在学习线段问题的基础上, 易于解决握手问题。但在类比过程中, 不能按其对象表面的相似性机械地类比, 否则容易得出错误的结论。如在一次测试中, 部分同学用同样的方法解决以下问题:一次聚会, 出席的每位代表都给其他代表各送一件礼物, 统计结果表明, 共送出90件, 问参加聚会的代表有多少人?设参加聚会的代表有x人。每个人送的礼物是 (x-1) 件, x人就送了x (x-1) 件, 则共送出礼物件。生搬硬套类比的思维, 发生了思维定势的错误, 因为在这里结果不必除以2。反思教学过程, 在进行类比教学时, 我们不但要多找对象的相同点, 而且应找本质的相同点;既要注意问题的共性, 又要注意问题的个性。对学生在类比过程中产生的想法, 能确定正误的要及时评价, 不能确定的要给予方法的指导, 要求学生重新去研究。同时也要善待错误、用好错误, 要反思错误、变错为宝, 提高思维的深刻性。
我们要培养学生成为高素质的人才, 除了使学生能“学会”之外, 更重要的还应当使学生“会学”, 掌握科学的学习方法, 类比就是这样一种学生能掌握的重要的学习与思维的方法。类比思维方法的运用能培养学生的自主学习能力, 有利于创造性思维能力的培养, 有利于学习效率的提高。
参考文献
[1]李桂荣.类比的作用机制[J].
[2]王成熙.类比学习探析[J].