高考数学中的类比推理（通用11篇）
高考数学中的类比推理 篇1
类比推理是根据两个不同的对象的某些方面(如特征、属性、关系等)相同或相似,推出它们在其他方面也可能相同或相似的思维形式,它是思维进程中由特殊到特殊的推理。这也是一种寻找真理和发现真理的基本而重要的手段,也是数学方法论的基本方法之一。
德国天文学家、数学家开普勒曾指出:“我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在几何学中它应该是最不容忽视的。”德国古典哲学家康德也说:“每当理智缺乏可靠论证的思想时,类比这个方法往往指引我们前进。”
当然,最重要的还是在数学领域中如何应用类比推理的方法去解决问题和发现数学真理。实际上,类比推理方法在数学领域中的应用也是极为广泛的。
类比推理与归纳推理一样,都是合情推理,其结论正确与否,必须经过严格的证明。因此,类比推理也是一种创造性较强而可靠性较弱的方法与技巧。
一般说来,类比推理在数学创造活动中发现真理的过程可用框图表示如下:
类比推理与归纳推理在某些方面上的差异是明显的。归纳推理是从特殊得到一般对象的性质,是一种纵向思维。类比推理确是一种横向思维,是借助于两个系统在某些部分上的一致性来推测在另外一些部分上的一致性。但作为一致方法,类比推理和归纳推理都是逻辑方法,都是合情推理,都是数学发现的重要方法,而且在发现真理的过程中往往是互相配合、协同作战的。
波利亚曾高度评价类比的作用和意义,说:“类比似乎在一切发现中有作用,而且在某些发现中它有最大的作用。”具体地说,类比推理在数学发现中的作用有两个方面:其一,发现新的命题,直至发现新领域;其二,发现问题解决的途径和方法。
在苏教版选修2-2教材中,专门有一节内容介绍类比推理,这充分说明类比推理在数学发现中的作用和地位。在近几年的高考中,涉及类比定理的相关题目还是有的,而这些题目的得分往往不是很高。笔者在多年的高三教学中,发现有很多题目采用类比推理的方法分析有事半功倍的效果。让我们看下一条题:
例:已知集合A1,A2,A3,…,An满足A1□A2□A3□…□An□{a1,a2,a3,…,am},求出A1,A2,A3,…,An的组数。
此题如果直接思考很困难,但是我们如果采用类比推理的方法,如果将此题实行降维的方法就可以有意想不到的效果,通过分析,让我们看一下降维以后的几种情形:
第一种情形:已知集合A,B满A∪B□ 0,1,求出A,B的组数。
第二种情形:已知集合A,B满足A□B={0,1,2},求出A,B的组数。
第三种情形:已知集合A,B,C 满足A□B□C□{0,1} ,求出A,B,C的组数。
第四种情形:已知集合A1,A2,A3,…,An满足A1□A2□A3□…□An{0,1},求出A1,A2,A3,…,An的组数。
第五种情形:已知集合A1,A2,A3,…,An满足A1□A2□A3…□An□{0,1,2},求出A1,A2,A3,…,An的组数。
降维以后我们分析这五种情形,第一种情形可以用分步计数原理。
A∪B□ 0,1可以看成是将0和1全部放入A或B两个“口袋”。
第1步,放“0”,共有“只放入A”,“只放入B”,“既放入A也放入B”3种情形;
第2步,放“1”,同上,也共有3种情形。
根据分步计数原理知,满足A∪B□ 0,1的集合A、B共有3×3=9(组)。
根据第一种情形,我们就可以得出下面四种情形的答案,第二种情形就应该为3×3×3=27(组)。
第三种情形,第1步,放“0”,共有“只放入A”,“只放入B”,“只放入C”,“既放入A也放入B”,“既放入A也放入C”,“既放入B也放入C”,“A,B,C全放”几种情形共计C13□C23+C33=23-1种; 第2步,放“1”,同上,也共有C13□C23+□33=23-1种情形。 根据分步计数原理知,满足A□B□C□{0,1}的A,B,C组数为(23-1)2(组)。
第四种情形就可以用类比的思想得到,应有(C1n□C2n+C3n+…+Cmn)2=(2n-1)2(组)。
第五种情形就可以用类比推理的思想得到,应有(C1n□C2n+C3n+…+Cmn)3=(2n-1)3(组)。
根据以上几种情形我们就可以很容易得出原题的答案为:
(C1n□C2n+C3n+…+Cnn)m=(2n-1)m(组)。
通过上面的例子,我们将一个比较复杂,让学生无处下手打开突破口的题目,采用降维的思想,分解为若干种情形, 最终能够出现一个我们容易解决的情形,从而得到原题目解答方法。我们其实可以将这种类比称为简化类比。简化就是特殊化。从对一类对象的研究转向对包含于这一类中的部分对象的研究。简化类比是将一般情况与特殊情况相类比,其中包括减元、降次和降维。
当然类比推理也存在着许多的陷阱,很有可能会得到错误的结论。这时就需要有敏锐的观察力,具有丰富的知识和联想能力。知识与想象力越丰富可供类比的素材就越多,形成新的命题,发现新方法的机会也越多。类比推理应该是推动数学前进的一种重要的思想方法。
高考数学中的类比推理 篇2
类比推理题型是判断推理部分极其重要的题型，题量也基本稳定在10道题，在山东省考中仅仅2011年没有考察。类比推理的考试大纲规定“题干给出一组相关的词，要求通过观察分析，在备选答案中找出一组与之在逻辑关系上最为贴近或相似的词”。通过考试大纲可知，类比推理题考察的是词与词之间的逻辑关系，其逻辑关系包括概念的外延关系、概念的内涵关系、词语的语法关系以及词语的语义关系四大类。其语义关系是其中的一大类关系，包括近义词、反义词、象征义三种。
例题精讲：
【例题1】得陇望蜀∶狼子野心
A.沐猴而冠∶狐假虎威 B.指桑骂槐∶趾高气扬 C.坐井观天∶鼠目寸光 D.投桃报李∶指雁为羹
【答案】C 【考点】近义词
【解析】题干中“得陇望蜀”和“狼子野心”是近义词，四个选项中只有C选项中的“坐井观天”和“鼠目寸光”是近义词。
【例题2】亦步亦趋︰主见
A.兴高采烈︰恐惧
B.优柔寡断︰果断 C.鼠目寸光︰眼力 D.孤陋寡闻︰胆识 【答案】B 【考点】反义词
【解析】原题中“亦步亦趋”与“主见”是反义词。A项“兴高采烈”的反义词应为“悲伤”，所以排除。B项“优柔寡断”与“果断”是反义词。C项“鼠目寸光”的反义词应为“远见”，所以排除。D项“孤陋寡闻”的反义词应为“学富五车”，所以排除。因此，本题答案为B项。
【例题3】错落有致 对于（）相对于（）对于 摇摆不定 A.按部就班 坚持不懈 B.循规蹈矩 一成不变 C.杂乱无章 坚韧不拔 D.随心所欲 风平浪静 【答案】C 【考点】反义词
【解析】将选项代入可以发现“错落有致”与“杂乱无章”是反义词，“坚韧不拔”与“摇摆不定”是反义词。因此，本题答案为C项。
【例题4】并蒂莲：鸳鸯
国家公务员| 事业单位 | 村官 | 选调生 | 教师招聘 | 银行招聘 | 信用社 | 乡镇公务员| 各省公务员|
政法干警 | 招警 | 军转干 | 党政公选 | 法检系统 | 路转税 | 社会工作师
A.松树：仙鹤
B.夜来香：蝙蝠 C.何首乌：画眉 D.牡丹：孔雀 【答案】A 【考点】象征义
【解析】题干中“并蒂莲”与“鸳鸯”都象征着“爱情”，A项“松树”与“仙鹤”都象征着“长寿”，符合题干。B、C、D项的事物没有共同的象征意义，所以排除。因此，本题答案为B项。
国家公务员| 事业单位 | 村官 | 选调生 | 教师招聘 | 银行招聘 | 信用社 | 乡镇公务员| 各省公务员|
类比推理在高中数学教学中的运用 篇3
[关键词]高中数学 类比推理 教学
[中图分类号] G633.6 [文献标识码] A [文章编号] 1674-6058（2016）02-0008
类比推理是高中数学教学中常被教师采用的教学方法，其本身具有发现问题、探索问题的作用，对提高学生的思维能力和创新能力尤为重要，如何运用类比推理？本文从类比推理在高中数学教学中的应用等方面进行论述.
一、类比推理的概念及作用
1.类比推理的概念
类比推理是高中数学学习中常用的一种推理方法，类比推理主要是通过相似对象之间的共有特征，对其他的相似特征进行推断，从而更好地把握数学研究的对象、找出解决问题的思路和方法.高中数学教学中采用类比推理的思维方法可以最大限度地扩展学生的思路、提高学生的思维能力，对激发学生的学习兴趣、提高课堂效率有显著的效果.
2.类比推理的作用
第一，激发学生的学习动机.类比推理在教学的过程中不仅可以构建起真实生动的教学情境，提高学生的学习兴趣、打造活跃的课堂氛围，还可以促进学生迅速发现问题、解决问题，从而更加准确地掌握数学知识.由于在授课的过程中教师将所要解决的问题通过知识迁移与学生熟知的对象进行对比分析，这有助于降低学生的理解难度，拓展学生的思路，有助于学生快速吸收知识.
第二，提高学生学习的积极性.众所周知，在学习数学知识的过程中，任何一个新知识点的引入总是和旧的知识点有千丝万缕的联系，新的知识点总是从原有的知识点中衍生而来.在高中数学教学中，教师借助于原有的知识内容类比推理出新的学习对象，降低了学生的理解难度.有了原有知识内容的铺垫，学生在消化吸收新的知识点时没有了排斥感，变被动灌输为主动接受，学习的积极性大大提高，课堂效率也显著提高.
第三，培养学生正确的思维方式.在高中数学课堂教学中，类比推理的关键作用是将原有抽象的、难以理解的概念和问题具体化，将学生易于混淆的知识点进行对比分析，发现类比对象之间的差异，从而更好地消化吸收数学知识.类比推理的教学手段不仅能够帮助学生迅速掌握研究对象，提升解决问题的能力，还可以拓展思路，帮助学生培养科学合理的思维方式，对其今后的学习产生积极的作用。
二、类比推理在高中数学教学中的应用
1.利用结构相似进行数学运算的类比推理教学
高中阶段，许多数学运算规律和运算法则都存在着相似性，在教学过程中教师可以利用他们之间的相似性进行教学，求同存异，带领学生发现学习对象之间的不同点，从而帮助学生准确理解学习对象，降低在计算过程中的失误率.例如，在讲授概率的关系与运算时，可以采用教师提问、学生思考的形式引入本节课的主要知识点，然后再引导学生用韦恩图来研究集合之间关系的方法来类比研究事件之间的关系，若学生通过类比发现其中的相似点，可以继续引导提问.比如：假若将这种并集的运算类比到事件中来，我们又该如何理解？以此类推，如果交集运算类比到事件中来，你又是如何理解的？
2.利用研究方法相似进行类比推理教学
作为一门基础学科，数学的许多定义和知识点的研究方法都具有相似性，运用研究方法的相似性进行类比教学可以帮助学生迅速吸收新的学习内容.本节主要以数函数和对数函数作为研究对象进行类比教学应用.由于学生学习指数函数在前、对数函数在后.因此，可以以指数函数作为蓝本引导，先引导学生对指数函数的相关知识点进行回顾，使学生明白在学习指数函数时主要是通过研究函数的两域三性进行学习的，在研究某一函数时要根据其图像进行推倒证明.再采用提问的形式引导学生将对数函数与指数函数进行类比，借助指数函数的研究方法来探索发现对数函数的性质.
3.利用性质相似进行类比推理教学
类比推理在高中数学解题中的应用 篇4
数学家高斯说:“数学是锻炼思维能力的体操.”类比思维是培养学生创造性思维能力的重要形式, 具有较强的探索和预测作用.教学中恰当地运用类比方法, 不仅能突出问题的本质, 提高教学质量, 而且有助于培养学生的创造能力等思维品质, 提高认识问题和解决问题的能力.
下面结合实例对几种常见的类比形式做一分析、比较, 以便更好地把握类比思想在数学解题中的应用.
一、数列中的类比
教学中教师要很好地挖掘知识间的联系, 充分地让学生去类比、联想和想象, 激发学生的创造热情和探索欲望.如, 和——积、差——商、算数平均数——几何平均数的类比等.
例1 在等差数列{an}中, 若a10=0, 则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n (n<19, n∈N+) 成立, 类比上述性质, 相应地:在等比数列{bn}中, 若b9=1, 则有等式成立.
解析 由a10=0, 可得ak+a20-k=0, 因而当n<19-n时, 有a1+a2+…+a19-n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a19-n, 而
∴等式成立.同理可得n>19-n时的情形.
类似地, 在等比数列{bn}中, 由bn+1·b17-n=b
证明 ①当n<8时, b1b2·…·bn=b1b2·…·bnbn+1·…·b17-n.
即:bn+1·bn+2·…·b17-n=1.
∵b9=1, ∴bk+1·b17-k=b
∴bn+1bn+2·…·b17-n=b
②当n=8时, 显然成立.
③当8<n<17时,
b1b2·…·b17-n·b18-n·…·bn=b1b2·…·b17-n.
即:b18-n·b19-n·…·bn=1.
∵b9=1, ∴b18-k·bk=b
∴b18-nb19-n·…·bn=b
综上可知, 当等比数列{bn}满足b9=1时, 有b1b2·…·bn=b1b2·…·b17-n (n<17, n∈N*) 成立.
二、几何中的类比
(一) 平面到空间的类比
例2 在平面几何中, 由勾股定理:“设△ABC的两边AB, AC互相垂直, 则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间, 类比平面几何的勾股定理, 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系, 可以得出的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC, ACD, ADB两两相互垂直, 则.”
分析 关于空间问题与平面问题的类比, 通常可抓住几何要素的如下对应关系:点——线、线——面、面——体 (圆——球、三角形——四面体、平行四边形——平行六面体、二面角——平面角) 、平面向量——空间向量等.
(二) 解析几何中的类比
圆锥曲线包括圆在内都是平面截圆锥所得的曲线形式, 从定义、方程推导、性质到题型、方法都存在共性, 通过类比降低教学难度, 使类比思维方法潜移默化地渗透于教学之中.
例3 在以原点为圆心, 半径为r的圆上有一点P (x0, y0) , 则过此点的圆的切线方程为x0x+y0y=r2, 而在椭圆
答案 π·a·b;
三、定义、运算中的类比
数学教育家波利亚说:“类比就是一种相似.”把两个数学对象进行比较, 找出它们相似的地方, 加以应用, 这在教学中关于概念、性质的教学是最常用的方法.
例4 设
解析 本题是“方法类比”.因等比数列前n项和公式的推导方法是倒序相加, 那么经类比不难想到f (-5) +f (-4) +…+f (0) +…+f (5) +f (6) =[f (-5) +f (6) ]+[f (-4) +f (5) ]+…+[f (0) +f (1) ].而当x1+x2=1时, 有
教师的日常教学中要根据教材特点, 在传授新知识时, 有意识地引导学生, 通过类比与归纳得出新的知识, 逐步学会类比推理的方法;在进行知识复习时, 经常对相关的知识进行类比, 培养学生对相关知识进行类比的习惯;在解题中, 通过类比引导学生探求解题途径, 深化对知识的理解和对数学思维方法的掌握.
高考数学中的类比推理 篇5
【关键词】类比推理 高中数学 实际作用
所谓的类比推理其实就是一种认知活动，在活动过程中首先需要通过了解某两个对象之间的联系点，然后再利用推理找出这两者中其相似或相同的属性，这就是类比推理。根据利用类比推理，可以有效的帮助学生在原有知识的基础上更好的掌握新概念和定理，从而促进学生的开放性思维和创新性意识的培养。
一、类比推理的相关介绍
（一）类比推理的概念
人类认知的过程中，类比推理是核心内容，通过两个对象之间存在的相同属性，对其它相同属性做出相应推理，能够对新概念有更深入的理解，同时将大脑内储存的知识运用到其它环境下，从而找到解决问题的全新思路以及途径。
（二）类比推理的应用价值
针对数学这门学科而言，推理的过程实际是对结论进行证明的过程，同时对建立体系有着重要的影响。推理的作用主要是对结论进行验证而不是发现结论。就目前而言，我国学生还不具备对结果的预测能力及成因的探究能力，通过类比推理的方法能够让学生的这两个能力得到提高，相比演绎推理来说具备较大的优势。随着新课程改革的不断深入和发展，在数学教学中类比推理也受到了越来越多的重视。目前，创新型人才才能符合国家需要和发展。因此，在教育的基础阶段，通过对学生类比推理的练习，不仅可以促进学生推理能力的培养，还有助于学生创新性能力以及创造性意识的培养。
二、类比推理的作用分析
高中数学和初中数学相比较，最大的不同点在于高中数学的强抽象性和严谨性。然而，从思维角度出发，高中生的思维在逐渐由思维的具体性向抽象性过渡。因此，在学习数学过程中，高中生仍需要在具体对象的基础上，通过利用原有的知识，才能进一步理解和掌握新的概念和定理。所以，在高中数学教学中，老师要科学使用教学方法如列举实例、类比推理等，帮助学生更好地理解抽象性的数学问题。此外，从知识的形成上看，数学学科具有的特殊性就决定了数学知识点之间的内在联系性，也正是因为这种强大的联系就使得类比推理在高中数学中广泛使用。
（一）学习新概念
在高中数学教材的编排上，各知识点和概念会出现一定程度的分散性，但是在教学过程中，教师应该先对数学知识以及概念之间的联系有一个全面的把握，然后在此基础上精心设计教学内容和教学活动，从而促进学生构建良好的知识结构。在学习新知识的过程中，教师可以引导学生结合自己掌握的知识，在其基础上，通过将原有知识和现学的知识间相似结构或概念的类比，不仅能进一步延伸原有知识，还能使学生的知识结构得到拓展。在学习新概念的过程中，类比推理的使用就能帮助学生加深记忆以及加强理解。在学习等比数列时，老师可以充分利用“等差数列”进行类比，从而来帮助学生进行理解。对于等差数列是这样定义的，假设一个数列，从它的第2项开始，每一项与前面一项相减后得到的数都为一样的常数，那这个数列就叫做等差数列。而等比数列的定义是假设一个数列，从它的第2项开始，每一项与前面一项的比值都为同一个常数，那这个数列就叫做等比数列。而对于两者的通项公式，等差数列：an=a1+（n-1）d，等比数列：an=a1qn-1，这里我们可以发现等比数列和等差数列的定义以及通项公式都十分相似，老师通过联系等比数列和等差数列之间的相似点，再利用类比推理就能很好帮助学生理解和掌握等比数列的定义及性质，从而加强学生对等比数列的实际运用。
（二）整合知识结构
类比推理的科学利用不仅能帮助学生对知识进行相关性的分类及归纳，还能有助于对知识结构的整合。如在学习“空间向量”时，老师可以先让学生回顾之前学过的共线向量和平面向量，通过分析共线向量和平面向量的概念及定理，找出两者之间的共性及相似点，然后老师再积极的引导学生进一步的阐述空间向量的涵义，通过将共线向量、平面向量与空间向量这三者进行有机的结合，不仅能帮助学生理清易混点和疑惑点，还能加强对三者的理解和记忆。在教学过程中采用类比推理法，老师要充分地激发学生的课堂参与意识，经常性地鼓励学生大胆发言，大胆表述自己的观点，这样就能使学生感受到数学结构的统一性，并在研究数学的过程中，促进数学思维意识的培养，从而在提高教学质量的同时更好地实现教学目标。
（三）提出及解决问题
一般来说，问题的提出是思维形成及学习习惯的开始。针对不熟悉的概念及定理提出相关的问题，然后在问题的基础上进行深入分析、思考和探究，这样便有助于知识的获得。因此，通过分析学生提出问题的有效性及价值性，就可以很好得知学生所具有的思维能力。在这其中，类比推理能帮助学生通过不断发现问题，然后进一步提出问题，最后在分析的基础上对问题进行思考和探究，从而解决问题。在数学教学过程中，老师通过调动学生的思维积极性，在采用类比推理的基础上，对知识进行科学归纳分类，然后再得出新的知识结论，这样不仅能有效激发学生的学习兴趣和热情，还能很好地促进学生思维能力和创新能力的培养，从而帮助学生养成自主学习的习惯。
结束语
综上所述，在高中数学的教学过程中，类比推理的运用不仅能帮助学生提高自身的学习习惯，还能有效促进学生探究能力和思维能力的发展和提升。而作为一名合格的高中数学老师，应该将类比推理训练融入到课堂教学中，从而使类比推理的有效性得到全面发挥，而不仅仅是为了应付各种考试中出现的题型，只有帮助学生提高类比推理能力，才能从真正意义上促进创新型人才的培养。
【参考文献】
[1]杨贞蔼.类比在高中数学教学中的应用[J].教学月刊（中学版），2012（12）
类比推理在高中数学教学中的应用 篇6
关键词：类比推理,高中数学,教学应用
“授之以鱼不如授之以渔”。类比推理作为一种抽象思维的认知方法, 在帮助学生获取新知识的过程当中起到了“渔”的功效。尽管类比推理在各地高中数学教学过程当中都有意无意地得到了一些应用, 但是从目前来看, 类比推理在当前的高中数学教学应用过程当中没有真正发挥出其应有的功效。
一、类比推理教学法在高中数学教学中的应用现状
1. 对类比推理教学法的重视程度不够
尽管数学新课程标准当中强调了要培养学生归纳、演绎和类比推理能力, 但是从当前的应用情况来看, 各地教师和学校对于类比推理提升学生创造性探究思维能力方面重视程度显然不够。高中教师很少在教研例会当中提及类比推理教学法, 甚至对于类比推理意识较为模糊, 很难给出肯定答案。
2. 缺乏系统的类比推理教学模式
由于对于类比推理教学模式没有足够的认识, 导致学校没有完善的激励体系来引导教师开创系统化的类比推理教学模式, 类比推理教学停滞不前。在实际应用过程当中, 即使用到类比推理教学, 当中也存在很大的随机性和任意性。
3. 高中数学教学轻授法重解题
虽然素质教育和新课改不断深入, 学生的综合能力有所提升。但是在高考大棒下, 各地学校难免还存在着应试教育的阴影, 教学过程当中特别是数学教学依然偏重于解题, 从实际效果来看实在是差强人意。如果不能在适当的时候将类比推理法引入新课教学当中, 学生的新知识掌握能力就不牢固, 不能形成完整的知识结构体系。在高中数学教学当中, 解析几何、立体几何以及数列等知识点都非常适宜类比推理法的应用。它能让学生更快地通过结构相同、性质类似的旧知识回顾, 来增强对新知识的结构和性质的理解, 既加深了理解同时还能将新知识更充分吸收, 更好地应用于解题当中。
4. 类比推理能力逐级提升
调查发现, 学生的类比推理能力还随着年级的升高而提升。从这点也能看出, 类比推理能力和学生的训练强度以及掌握知识多少有着密切关系。随着年级的升高, 学生所接触的数学知识和题目类型也越来越多, 特别是高考班的高训练强度让他们经验更加丰富, 推理的重要依据就是从之前的经验当中寻找共通点, 进而寻求正确答案。
二、类比推理在高中数学课堂上的应用原则
1. 目标导向性
类比推理受到高中各年级的数学教学内容和目标的差异性的制约, 教师应当从学生的实际出发, 结合教学内容和教学目标制定可行的教学方案。要在有限的时间里向学生灌输更多的新知识就必须注重目标导向性原则, 让学生能精力集中进行快速思维。这就要求教师应当具备良好的课堂驾驭能力和引导能力, 在充足准备的基础上能对各知识点信手拈来, 对适合应用类比推理的内容展开有效教学。注重类比情境的构建, 辅之以复习提纲, 让班级中的大部分学生都能通过知识类比迁移来获得新知识。
2. 注重过程性
教师应当在类比推理的应用当中, 强调思维过程的展现。在新知识的讲解过程当中, 合理地引导学生回忆自己的知识体系, 从所掌握的旧知识当中找寻与其相关的理论、概念等, 进而对新知识的性质和公式进行猜测和探索。教师再通过板演或多媒体教学等形式来证明学生猜想的正确性, 从这个过程当中能很好地体现出新旧知识的差异。
3. 注重参与性
教师在应用类比推理教学当中要特别强调出学生的主体地位, 鼓励学生的创造性思维, 激发学生探索的积极性。类比推理的过程需要师生间的不断互动, 把课堂还给学生, 教师只需要扮演好组织者和引导者的角色即可。善于引导学生进行类比推理, 控制好教学的节奏, 让学生能在适当的广度和深度当中探寻新旧知识的类似性, 寻找到突破点, 实现知识类比迁移。
三、类比推理在高中数学课堂上的实施策略
1. 结构相似性
在高中数学教学当中, 概念上的结构相似较为常见。就拿等差数列和等比数列来说, 通过引导学生来观察等比数列和等差数列的一字之差, 来发散思维探索等比数列的概念, 再通过代入论证其正确性, 加深对等比数列概念的理解。
公式上的类似性也可以应用到类比推理教学当中, 特别是几何教学。以柱体体积为例, 以往立体体积的公式都是在学生具备充分立体感和立体知识的基础上才给出, 新课改更提倡学生通过直观感受来得出公式。在回顾长方体体积计算公式的基础上, 可以将报纸或书籍裁成圆形和三角形分别摞起相同的高度, 使之呈现出两个几何体, 再通过长方体体积计算公式类比的方法来得出一般柱体的体积计算公式。
2. 性质相似性
性质相似性能让学生触类旁通并举一反三。还是以等差数列和等比数列为例, 让学生在两者结构相似性的基础上, 将等差数列的性质迁移到等比数列的性质中, 再通过教师的适时引导和纠错来增强学生的记忆效果。学生通过类比对象之间的异同点加深对细节的把握, 强化了后期的整理记忆, 学习更加灵活、知识体系构建更加完整。此外还有研究方法的相似性, 在类比推理教学当中应用也比较多。如对数函数的教学当中就可以利用指数函数的性质和图像来进行类比推理教学。
数学这门学科知识体系庞大, 学生学习当中或多或少存在一些困难。在高中阶段应用类比推理教学方法, 一定程度上降低了学生学习的难度, 提高了数学学习的主动性和积极性, 培养了学生自主探究能力和创新能力。类比推理教学方法还需要继续完善, 教师应当提高其重视程度, 让其在高中数学教学当中发挥出真正的功效。
参考文献
[1]靳宏伟.浅谈高中数学中类比推理的应用[J].开封教育学院学报, 2012, (02) .
例谈类比推理在高中数学中的应用 篇7
下面通过一些具体的案例来说明类比推理在解题中的应用.
【例1】 由梯形的面积公式, 通过类比推理推测四棱台的体积公式.
分析:这里类比的对象已经确定了, 接下来主要是对类比对象做进一步的分析.
梯形可以认为是用平行于三角形的一边的直线截去一个小三角形后得到的, 而棱台则可以认为是用平行于底面的一个平面截去一个小棱锥后得到的, 据此, 应该有如下的对应关系:
直线←→平面;三角形←→棱锥;梯形←→棱台.
进而有:梯形底边长←→棱台底面积;
三角形面积←→棱锥体积;
梯形面积←→棱台体积.
通过以上的分析, 可猜想棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.
又梯形的面积公式为
猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式
其中, S上、S下分别表示棱台的上﹑下底面面积, h表示棱台的高.
①式的正确与否要通过严格的证明来确认, 在做出正式的证明之前, 可以通过具体的例子加以检验.把棱锥看成棱台的特例, 此时, 公式①中的S上=0, 因此有
【例2】 圆与椭圆﹑双曲线都可以看成用平面截圆锥面所得到的曲线, 它们在定义﹑图像上非常相似 (特别是圆与椭圆) , 因此它们在性质方面也应该相似.教材上有这样一道例题:“求证:过圆x2+y2=R2上一点P (x0, y0) 的切线方程为x0x+y0y=R2”, 根据类比推理, 我们能得到以下结论:“过椭圆
【例3】 等差数列与等比数列在定义、通项公式、求和公式方面有很多相似点 (如等差数列用减法定义, 性质用加法表述;等比数列用除法定义, 性质用乘法表示述等) , 因此我们可以通过类比的方法得到等差数列与等比数列很多相似的性质.如:“已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 则数列
类比推理在高中数学教学中的应用 篇8
关键词：类比推理,高中数学,教学实践
类比推理是一种观察、分析、发现规律的研究过程, 作为一种普适性较强的科学研究方法,它被应用于数学教学研究中.教师通过使用类比推理法联系具有一定相关性的数学定律,并通过其联系规律推理出既定定律的其他共性,从而达到研究目的.对此,高中数学教师可加强对类比推理法的教研力度,以提高学生的数学解题、 研究能力.
一、在数学定律教学时使用类比推理
在高中数学课程中,类比推理法常在几何、代数等数学内容的教学中运用.在一定的条件下,相关的数学定理均可互相总结推出二级、三级定律,有助于从两种数学规律的共同性质推导出新的数学定律.因此,教师在高中数学定律教学中,可使用类比推理法帮助学生学习数学定律.
以人教版高中数学教材为例,在教学球的性质时, 教师可帮助学生总结圆的性质并进行对比.在一定条件下,通过类比推理法可由A事物与B事物相同的性质一、二、三,推出B事物可能具有A事物具有的性质四. 例如,教师在进行球方程的教学时,可借助圆的性质引导学生展开推理.如圆具有“周长C=2πr、面积S=πr２、 圆心与非直径弦的重点连线垂直于弦”等性质,而球具有“表面积S=4πr２、体积V=４/3πr３、球心与不过球心的截面圆心的连线垂直于截面”等性质.通过类比,可引导学生由圆的方程“(x-x０)２+(y-y０)２=r２”推出球的方程“(x-x０)２+(y-y０)２+(z-z０)２=r２”;通过诸如此类的类比推理法,可帮助学生推导出与原有知识相对称的新规律.
二、在帮助学生完成知识整合过程中应用类比推理
知识整合指通过将两种概念或定律进行比较,把握其区别与联系,加深记忆,从而提高应用能力的过程,是学生在学习过程中巩固知识的重要手段.一般来说,同类但概念相异的数学知识具有共通性.因此,在进行相关的数学教学时,教师可应用类比推理法帮助学生完成知识整合的过程.
以人教版高中数学教材为例,在实数与向量数的教学中,教师可首先分别介绍实数系与向量系各自的基本性质.如实数系具有“单位实数为1,零实数为0,数a的相反数为-a,实数a的绝对值为|a|”等基本性质.而向量系则具有“单位向量为e,零向量为0,向量的相反向量为-a,向量a的模为|a|”的基本性质.通过把握共同点,加深学生对向量基本性质的认识.其次,教师可进一步对比向量数以及实数的运算规律时,如在交换律中, 实数系遵循“a+b=b+a”的规律.向量系同样遵循“a+b =b+a”的规律.但在结合律中,实数系遵循“(a×b)×c =a×(b×c)”的乘法结合规律,而向量系并不存在“(a× b)×c=a×(b×c)”的乘法结合律.通过类比法,使学生明确实数与向量的性质差异,通过知识整合达到帮助学生记忆与理解知识的目的.
三、在数学问题的解决过程中应用类比推理
在部分高中数学教学实践中,教师容易误入“题海战术”的误区.盲目地做题、讲解容易使学生陷入具体题目中,无法在解题过程中获取一般定律和解题思路.因此,教师可采用类比推理法进行数学教学实践,遵循“先方法,后内容,循序渐进”的教学方法,培养学生的数学类比推理能力以及分析水平.
以人教版高中数学教材为例,在利用类比推理法进行数学解题教学时,教师可通过逐步引导学生比较分析相关问题的区别与联系.如在解答题目“(1)已知a,b为实数,且|a|<1,|b|<1,求证:ab+1>a+b;(2)已知a, b,c均为实数,且|a|<1,|b|<1,|c|<1,求证:abc+2> a+b+c”时,教师可向学生做以下解题引导:从题目上看,问题(1)的题目内容以及解题方法较为明显且简单, 因此,可先进行问题(1)的解答,即“(1)ab+1-(a+b)= (a-1)(b-1)>0”;其次,教师应使学生先总结出该问题的一般性解题思路,即通过将不等式两边的数量关系进行重构,从而组成符合题目要求的形式.通过对问题(1)的一般解题规律的总结,教师可令学生以该规律为导向,对比问题(1)与问题(2),给予学生解题暗示,从而帮助其在类比推理的方法上获得问题(2)的解题方法. 可见,类比推理法在解决数学问题中具有较为显著的作用.从上述例子中不难看出,由于题目中的条件与结论具有一般性规律,因此可以使学生把握这一规律,并将其应用于更多相似题型的解题过程中.
高考数学中的类比推理 篇9
一、类比推理思维在高中数学中的作用
( 一) 帮助学生更好地学习新知识
在高中数学教学中, 类比推理有助于学生掌握新的数学知识, 探寻新的学习思路。学生在现有的数学知识基础上运用类比推理可以探索新的数学知识。例如在学习抛物线的时候, 教师就可以引导学生在现有的抛物线基础之上, 使用类比推理的方法来探究椭圆和双曲线的相关知识, 找到他们之间解题的共同点, 从而更好地理解圆锥曲线。在利用类比推理教学时, 教师要帮助学生发现数学问题、解决数学问题。
( 二) 有助于学生探究新结论
在高中数学自主学习和探究式学习中, 类比推理都为学生提供了广阔的空间。教师要认识到类比推理对于探究新结论的重要作用, 要在归纳概括题型中使用类比推理思想, 使学生归纳总结数学知识。例如在学习空间问题的时候, 教师指导学生利用平面的知识来探索空间问题的解决办法, 这就是典型对类比推理方法的运用。将已经学过的平面知识放到了空间过程中, 体现了立体思维的方法。学生使用类比推理就可以将平面的点、线、面、角的关系放到空间学习, 增强数学思维。
( 三) 帮助学生树立新型的解题思维
类比推理思想为学生提供了解题的新方法。在遇到陌生的题型时, 如果学生运用类比推理思维, 就可以找到此类问题和之前解决的问题的共同之处, 从而发现解决问题的方法。类比推理解题思维一般有三种: 一种是结构类比, 找到二者之间结构的相似性; 一种是结论类比, 通过已经解决的或者是容易解决的问题来进行问题的分析; 还有一种是降维类比, 主要在空间解题过程中, 在思维角度特别多的时候转化成为平面图形, 这样就容易得出结论。
二、类比推理思维在高中数学中的应用
( 一) 在数学概念形成时用类比推理
在教学时, 教师要帮助学生在学习数学概念时使用类比推理的思想。数学的章节以及知识点分布比较广泛, 他们之间有着密切的联系, 因此要广泛地运用类比推理将分散的知识结合起来, 从而形成系统的数学脉络。运用类比推理思想学习数学概念, 可以让学生认识到数学的统一性, 将不同的章节结合起来, 增强记忆能力和理解能力。尤其是在遇到容易混淆的数学概念时, 用类比推理思想就可以发现这些数学概念之间的区别和联系, 加深理解能力。
( 二) 在数学知识整合时应用类比推理
很多数学概念不同, 但是在整体知识方面有一些相似之处。学生在知识整合时应用类比推理思想, 就能将这个数学知识点和其他的数学知识点联系起来, 最终解决数学问题。例如在学习平面向量、共线向量和空间向量时, 教师就可以使用类比推理思想, 按照循序渐进的教学方法, 首先让学生掌握共线向量的定义以及应用, 其次在类比推理过程中掌握平面向量, 再将平面向量推理到空间向量。这种类比推理在数学教学中的应用非常广泛, 既可以帮助学生正确地认识数学知识之间的联系, 又能够让他们明确数学的层次性和递进性, 从而将数学知识转化成为自己的东西。
( 三) 在数学课堂提问时应用类比推理
数学课堂非常注重学生的理解能力与参与能力, 因此在数学教学过程中, 教师会积极地鼓励学生不断地提出自己的问题。高中数学的教学过程不仅仅是让老师讲课, 还要让学生进行思考和总结, 理解消化数学知识。在引导学生进行课堂提问时教师就可以使用类比推理的思想, 让学生认真地思考不同知识点之间的差别, 发现数学的问题。尤其当学生遇到自己无法解决的数学难题时, 要鼓励他们说出来, 这样他们就会在讨论中加深对问题的认识程度。例如在学习数学三角函数时, 由于三角函数的公式特别多, 很少有学生能够真实地记住每个函数的公式。所以教师就要让学生掌握数学公式推理的基本方法, 试着推导出每一种三角函数的有关公式, 从而加深对所学知识的理解。
( 四) 在解决数学问题时应用类比推理
学生提出数学问题的能力, 反映了他们的数学思维水平。而类比推理对于学生的思维拓展有很大的作用, 学生很好地用类比推理就能积极地展开联想, 扩大数学思维, 总结归纳出数学解题方法, 从而提高数学的应用能力。尤其是在高中数学解题时, 题型变化多种多样, 学生几乎不会遇到重题, 在告别题海战术之后, 类比推理无疑为学生提供了一种良好的解题思想。如在学习“数列”时, 等差数列和等比数列在很多方面都有一定的相似性, 因此在遇到看不懂的数列时, 就可以按照等差数列的思维和等比数列的思维来进行联想, 从而更好地解决数列的难题。
高考数学中的类比推理 篇10
【关键词】类比推理 高中数学教学实践 应用研究
0.引言
数学学科具有较强的逻辑思维特点，在高中数学教学中，教师需要引导学生透过表象看本质，引导学生发现数学知识规律与总体框架，激发学生自主探究，并对知识进行整理、归纳与总结，不断掌握数学思维方式，提高自身知识水平与创新能力。在对数学知识规律进行深入了解的时候，可以通过类比推理法来学习，能够将所学的知识举一反三，学以致用，提高学生学习效率。
1.类比推理在高中数学新知识学习中的应用
目前，在高中数学教学中，教师首先需要向学生讲解各种知识与概念，让学生对数学概念知识大致了解。由于数学中各种知识与概念的分布比较松散，在开展数学教学的时候，需要注意到种种数学知识的整体性与结构性，注重各个数学概念与知识点之间的联系。相关数学概念与知识点之间的内在联系可以通过类比推理法来展现，通过不断优化数学概念框架与结构，来引导学生对数学概念知识进行掌握与理解。教师在讲授新的概念知识点时，可以将与之相接近与相似的概念进行类比，并推导出新的概念[1]。同时，也可以根据新旧知识概念的类比，让新概念作为旧知识的延伸与拓展，从而不断完善与拓展学生概念知识框架。与传统新概念知识教学方式相比，类比推理在高中数学新概念知识的教学中能够起到较大的积极作用，可以降低学生对新知识的记忆难度，更容易、更深入以及更快速地接受新概念与新知识[2]。
例如，教师在讲授有关“二面角”的概念与知识点时，教师可以根据平面角的概念来进行类比推理教学。由于平面角是由两条射线与点组成的图形，而二面角是由一条直线发出两个半平面形成的图形。在平面角中，其基本要素为射线、点、射线；在二面角中，基本要素为半平面、直线、半平面。使得平面角与二面角的概念相似，教师可以根据这些特点对其进行类比推理分析，引导学生联想平面角与二面角之间的关系，并及时帮助学生更快速、更直接、更容易地理解二面角的相关概念，避免出现混淆。
2.类比推理在高中数学知识优化整合中的应用
由于高中所学数学知识比较分散，在学习到一定阶段，需要对已有知识进行优化整合，以便更好地梳理各种数学知识。通过类比推理法可以将相关的、相似的知识与概念归纳为一类，并对其进行细致的讲授，梳理相似概念、知识的共享与独特性，并帮助患者更好地避免出现混淆、张冠李戴的现象。在进行类比推理法教学的时候，可以让学生了解与掌握所学的概念与知识点，再将与之相似的概念推广出来。并在学生理解与掌握的前提下將其推广到其他知识点中[3]。
例如，在向量教学过程中，其中分别共线向量、平面向量以及空间向量等相关的知识。由于上述三者向量具有较密切的内在联系，为了能够更好地区别与掌握三者向量，并解除其中的生产混乱。同时，避免在三者产生混乱的时候使用类比推理法教学。在开展类比推理法的时候，需要让学生掌握并理解共线向量的定理、共线向量的相关运算能力等。如何将共线向量的相关知识内容，并将共线向量相关知识推广到平面向量中，让学生基本掌握相关的内容与知识，将共线向量相关知识与共线向量等进行精密的运算，以便让学生能够更加了解与掌握相关内容。类比推理法在高中数学教学中的应用，能够让学生更好地体会到教学整合优化的过程。另外，在整合等比数列与等差数列的知识时，由于等差数列与等比数列在某些方面有着相似特点，需要引导学生对其进行分析，并熟练掌握它，从而使得学生在数列方面的知识更加完善，促进了课堂教学质量，提高其相关知识的教学效率。
3.类比推理在高中数学问题分析与解决中的应用
人们的学习以及一系列解决问题的现象均来自自己对问题的探索。通过对问题进提问，可以激发出思考者的意识，增强人们的求知欲，以便对其进行有效的解决，从而使得学生获得新的知识。学生提出问题与解决问题的过程中，能够有效地帮助学生解决问题。其中类比推理法在高中数学知识教学的时候，可以解决问题，能够有效地锻炼学生的思维能力，激发其学习数学的兴趣，使学生形成良好的自主学习习惯。在不断提升学生创新能力与解决问题能力中，可以促进教学质量的提高[4]。
例如，在高中数学课堂教学的时候，教师可以通过正三角形内任意一个点到达三角形三条边的距离之和是一个定值类比推理，从这一推理中可以得出，正四面体内任意一点到达四面体各面的距离之和也是一个定值。从而可以达到举一反三的作用，以便对数学问题进行有效的分析与解决。
4.总结
在高中数学教学过程中，由于数学知识理论性较强，知识点抽象复杂，在对其进行教学的时候，需要采用有效的措施来预防。在上述知识整合、新知识教学以及解决问题等方面可以相互帮助，以便确保学生不断丰富自身的感情经历，通过该种方法能够更好地促进高中数学教学质量的提高，并对知识进行统一、完整的整合与优化，让学生更好地理解与掌握知识。
【参考文献】
[1]刘丽.类比推理在高中数学教学实践中的应用[J].理科考试研究（数学版），2013，25（8）：125-126.
[2]曹会洲.论类比推理在高中数学教学中的应用[J].中学数学月刊，2013，25（16）：197-198.
[3]陈财钗.类比推理在高中数学教学中的应用[J].数学教育，2013，55（56）：283-284.
高考数学中的类比推理 篇11
关键词：类比推理,高中数学,教学方法
数学是义务教育阶段的三大学科之一, 主要是通过数学符号语言研究变量、空间模型及数量等一系列问题的学科, 将人类思维具象化, 能够客观展现人们缜密的思维方式及积极向上的意志追求。 在新课标教育改革背景下, 提倡学生综合素质的全面发展及教学手段的创新。 人们开始注重教学创新, 培养学生良好的学习习惯及创新意识。 由此, 在高中数学教学中, 应充分类比推理的作用, 依托基础知识探索新问题, 寻求两者之间的共性。 由此看来, 类比推理在高中数学教学中的应用具有十分深远的意义, 对于教学方法的创新, 培养学生类比推理法的运用能力, 创设高效的数学课堂有重要作用。
一、类比推理在高中数学教学中的应用概述
在高中数学教学中应用类比推理法, 是迎合当前新课程教育改革要求, 需要学生能够全身心投入到学习中, 有耐心地思考和解决问题, 诸如在高中数学数列教学中, 教师在讲述等差数列和等比数列的公式后, 可以进一步了解等差数列和等比数列之间的函数关系[1]。 在学习中内容相关联的章节, 可以通过类比推理法进行自主学习, 解决问题。 此外, 高中数学由于自身特性, 教学内容具有一定复杂性, 相较于初中数学内容更抽象, 在学习过程中需要教师的指导, 对于其中存在的难点问题及时加以点拨和解决。
类比推理在高中数学教学中的应用, 主要是为学生学习旧知识奠定基础, 保证后续学习活动有序开展。 诸如在空间模型知识点教学中, 可以通过平面知识应用到空间问题求解上, 运用三维空间计算方式, 寻求构造点、线及面之间的关系, 运用旧的知识推理出新的空间结论。 从中不难看出, 在高中数学教学中应用类比推理法, 有助于学生探索新的知识点, 获得新的结论, 并且在一定程度上调动学生学习积极性, 全身心投入到学习活动中, 拓展学生的思维, 一方面学生配合教师完成教学活动, 另一方面有助于培养学生良好的学习习惯和数学素养[2]。
在高中数学教学中, 类比推理法的应用较广泛, 取得的成效较显著, 不仅能够促进学生自主学习, 而且能够帮助学生构建新的解题思路。 一旦遇到难解问题, 运用类比推理法及这种借题思路, 就能够有效对新知识点进行分析。 类比推理方法可以细分为三种其一, 结构类比, 主要是寻找研究对象之间的共同点, 通过共同点寻找其他共性, 解决问题;其二, 结论类比, 主要是通已经解决的问题分析新的问题, 解决难点问题, 寻求合理的方法;其三, 降纬类比, 在空间结构上进行比较, 将复杂的维度转化为简单的平面。
二、高中数学教学中类比推理法的应用
(一) 学习新知识的运用
高中数学知识点较复杂, 并且知识点之间的联系性较强, 所以为了避免知识点混淆, 应选择合理的教学方法。 数学本身逻辑性较强, 教师在备课时需要梳理知识点之间的关系, 构建知识框架, 对各个知识点进行对比, 寻求两者之间的相似性。在针对复杂知识点的学习过程中, 通过梳理知识点之间的关系, 运用类比教学法教学。 例如平面空间教学中, 教师通过直线类比推理出立体几何。 任何三角形都有一个内切圆和外接圆, 通过类比推理能够发现四面体都有外界球和内接球, 帮助学生吸收新知识[3]。 例如, 在二面角概念学习时, 角是由两条射线组成的图形, 表示为∠AOB, 二面角是由空间一条直线发出的两个半平面组成的图形, 为α-β-γ。 从通过类比推理, 学生掌握起来更容易。
(二) 提出问题和解决问题的应用
在高中数学教学中, 教师不仅需要向学生传授数学知识, 而且需要培养学生的自主学习能力, 有助于学生更有效地吸收课堂所学知识, 并将其转变成为自己的知识。在课堂教学中, 数学教师可以采取提出问题的方法, 尤其是可以运用类比推理法教学知识点, 促使学生自主探究, 加深知识记忆, 提高教学质量。
例如在三角函数教学中, 根据三角函数特征和解题方式验证不等式, 通过类比寻找数与形的统一, 引导学生通过结构的类比解决数学难题。 在三角形ABC中有余弦定理, 将余弦定理拓展到“空间图形”中, 通过类比推理得出余弦定理, 写出斜三棱柱的三个侧面面积与其中两个侧面所形成的二面角之间的关系式。
总的说来, 类比推理法不仅能够有效激发学生学习思维, 而且能够提高学生的学习效率和学习质量, 配合教师完成教学活动。 诸如在类比推理法教学中, 梳理共线向量、平面向量及空间向量之间的关系, 激发学生学习兴趣, 强化学习能力, 能够有效提高教学质量, 优化教学结构。
结语
在高中数学教学中, 类比推理法主要是通过对旧有知识点的整合, 探究同新知识点之间的共同点, 进而发现问题和解决问题, 对于提高课堂教学效率有着深远的影响。 由此看来, 在高中数学教学中, 应用类比推理法能够有效激发学生学习兴趣, 优化教学结构, 将教学中难点问题简单化, 促使学生理解更容易, 为后续学习奠定基础。
参考文献
[1]杜长固.类比推理在高中数学教学实践中的应用研究[J].中国校外教育, 2013 (34) :90.
[2]朱海峰.类比推理在高中数学教学中的应用研究[J].数学学习与研究, 2013 (17) :42.
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