数学学习中的逻辑推理

2024-09-22

数学学习中的逻辑推理（精选12篇）

数学学习中的逻辑推理篇1

所谓的合情推理是一种可能性的推理, 主要是对研究的对象和内容进行查看、检验、比较和总结, 根据已经掌握的资料和知识进行科学合理的推测和想象的思维模式。G• 波利亚曾经说过:数学的创新性和很多知识的创造模式是一样的, 在验证这个理论的时候, 要先进行假设, 从而推算出这个定理的内涵, 在没有得到确认之前, 还需要不断的检验、修改和健全其中的猜想, 对于思路也要不断的完善。

在这个过程中, 要合理使用的不是论证推断, 而是符合实际的合情推理。长时间以来, 在数学教学中模式化的方法得到重视, 从而有效地锻炼学生的推算能力。不注重锻炼学生的合情推算能力, 针对教材中的理论和公式, 直接给出结果和验证过程, 由于学生不了解它具体的形成过程, 所以导致其数学学习效率会大大的下降, 课堂水平也会受到很大的影响, 而且还既不利于锻炼学生的创新能力。站在数学发展历史的层面上来看, 很多的数学问题都是在进行观察、总结、比较和推测中获得解决问题的方式, 然后再进行逻辑上的进一步验证。所以, 为了获得真理, 学生要根据实际情况进行合情推理, 这也是一种创造性的工作方式。虽然学生所学习的数学知识都是前人经过认证的, 但是针对学生来说, 还是一个全新的领域。因此要再次感受相关的再创造, 以此来锻炼学生的技能, 帮助学生更加牢固的掌握知识。学生能够在老师的指引下, 使用观察、仿拟、实验和推测等方式获得资料, 进行体验, 然后再进行相关的比较、研究和总结。当然这个过程的进行还需要合情推理。本文主要从高等数学的角度, 对实际问题中合情推理的运用状况进行深入的研究。

一、合情推理在数学知识中的实际使用效用

数学知识主要包含四个方面的内容, 分别是:数学理念、数学命题、数学方式、数学史知识等。下面主要针对合情推理在数学理念和数学命题中的使用状况进行深入研究。构建主义中的数学理念不是被迫接受的, 而是需要学生根据已经掌握的知识进行积极主动的构建。数学理念的掌握主要是通过理念的形成和理念的同化两种模式建立的, 在概念形成的过程中, 第一要有坚实的数量经验作为基础, 再从这些共同特性中进行概括和总结相似的地方。在学习实例抽取共性的时候, 就要对实际案例进行归纳整理、研究和分类等, 这时就会用到总结推理、统计推理等合情推理方式, 在获得共性的时候分析事物的本质特征, 这时就会运用共变模式和求同模式两种方式。

二、合情推理高等数学学习中的本质作用

因为总结法是根据一类事物的部分对象所具有的特点, 对该类型事物进行的一种推算;比较是两个或是两种事物之间的对比, 在发现相同或相似点后, 推算其他层面的相似或相同点, 因此它们所推算的结果不一定是正确的, 只是一种推算。但是在人们的实际生活中, 却有着重要的价值。数学发现的方式是提出问题和处理问题的主要途径, 更是检测一个人数学水准的重要指标。数学家拉普拉斯曾说过:“数学自身的正确性需要进行科学的归纳和比较。”哲学家康德也说:“如果智慧缺少可靠的思路时, 比较的方式能给我们带来光明。”波利亚也说:“不存在这些思路 (普通化、独特化和比较) , 尤其是比较, 那么初等或是高等数学就不会出现在人们的视野中。”总结、比较是常用的数学方法, 更是人们研究问题、寻找真理的重要途径。合情推理的本质就是“发现”, 有效地运用合情推理, 能够有效地锻炼学生的创新能力。

三、进一步加强高等数学学习中的合情能力的措施

能力是衡量一个人完成某项活动好坏的重要指标, 也属于个人的心理素质和心理特点。能力的发展和知识技巧的获得并不相同。知识的形成是一个循序渐进的过程, 有着自己的特征和周期。而能力是通过后期训练和培养的, 能力表现在日常活动中, 没有活动就不能发现一个人的实际能力, 更不能谈“培养”的问题, 而且原来的能力也不能得到提升。数学教学也是一种“数学活动”, 是要让学生进行自主研究, 并为其提供一定的时间和空间。要构建实际的、有价值的、具有难度性的问题, 引导学生进行观察、实验、推算和验证, 让学生在研究和思考的过程中, 进一步加强学生的合情推理能力。增强学生的合情推理能力主要从以下几方面入手:善于观察、进行联想、努力想象、不断创新。在心理学中, 所谓的观察就是一种有计划、有针对性的、有步骤的活动, 能够有效地激发学生的逻辑思维能力。物理学家法拉第也说过:“不观察就不存在科学, 科学的发源来源于仔细的观察中, 观察是我们处理问题的基础。”观察不但能使学生有效地认识客观事物, 还能促进学生智力的发展, 更是创造发明的关键力量。把观察和联想融合起来, 才能发现新的问题。联想是一种类推的过程, 它在认识事物方面发挥了重要的作用, 更是处理问题的主要途径。合情推理是根据已经存在的实际和正确的理论, 然后再利用个人的经验和感觉来推测某个事物的推算过程。所以, 当学生在研究实际事物的时候, 要鼓励学生运用空间模式、数量关系和结构特点等方法进行事物之间的联想, 从而找到其中的发展规律, 以便更好地提出新的数学问题, 解决更多具有创新性的数学问题。比如, 无理数的发现就是一个典型的案例, 利用观察、联想、总结和创新的方式进行研究。在学习立体几何的时候, 也可以运用观察、联想和比较的方式, 从而找到新的突破口, 以便更好地解决新的问题。

摘要：从实际教学经验出发, 主要在理念的形成、定理的把握、问题的处理等几个层面中, 深入研究合情推理的运用状况, 从而更好地处理和分析问题。在高等数学教学中, 有效地运用合情推理能够大大提升学生的创新能力。

关键词：合情推理,高等数学教学,现状,解决的措施

参考文献

[1]苏岱昌.数学猜想:基于数学事实的合情推理[J].教学月刊:小学版 (数学) , 2012, (11) :39-41.

[2]周丕芬, 杨樟松.例说数学中的合情推理[J].上海中学数学, 2012, (10) :41-43.

[3]赵青.让合情推理给学生的数学学习插上飞翔的翅膀--初中数学课堂教学中培养学生合情推理能力的几点尝试[J].中国校外教育 (中旬刊) , 2014, (10) :51-51.

数学学习中的逻辑推理篇2

摘要：在科学界，类比推理较为常见，经常利用此方法来进行研究推理，在教学中也不例外，特别是在数学教学中，类比推理更是运用广泛。类比推理方法的前提是两种对象部分有共同属性，由特殊点向特殊点推理，通过类比推理考核学生研究的深度、思维散发情况和观察的仔细程度。类比作用对高中数学实践有着巨大的联系，它指引着学生探索问题学会用全新的思维和方式，本文主要运用文献资料法、逻辑分析法、例证法等着重解析在高中数学教学实践中类比推理的重要性和类比推理如何运用到高中数学教学实践中。

关键词：类比推理探索应用高中数学教学实践

数学是利用符号语言研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的逻辑推理及对完美境界的追求。在新的课改下，人们更注重教学中的创新，让学生养成学会创新的习惯也更受到人们的关注。我们应该充分运用类比推理的方法去学习数学，在掌握基本的知识上，探索新的问题，发现它们的相同之处和解题方法。类比推理对于高中数学教学中存在着深刻的.意义，教师要培养学生的思维拓展能力，就应当指导学生运用类比推理方法去思考问题。

一、类比推理对高中数学教学的重要性

(1)开发学生自主学习新知识的能力

学习高中数学要求学生要耐心思考、自主去解决问题。拿数列来举例子，理解了等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式之后，就可以学习等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。由此可见，在学习“相似”知识章节的时候可以运用类比推理的方法来自主解题作答。由于高中数学带有一定的复杂性，而且难度相对于初中来说跨越性很大，在学生自主学习的同时需要教师指导，在学生遇到没法解决的难题为他们拨开迷雾。

(2)帮助学生探索新结论

类比推理为学生主动学习新知识和探索新结论作了铺垫，例如，在求空间问题这一知识点上，我们就用平面的所学到的知识类比到空间上，再通过三维思维方式去想象构造出空间的点、线、面、角之间的联系，从平面结论中推理出空间结论，由此可见，运用类比推理的方式有助于学生探索新的结论，带动了学生自主学习的积极性与主动性，同时也让学生的思维得到了拓展，不仅仅局限于课堂上教师所讲授的基本内容，还提升了学生学习数学的基本素养。

数学学习中的逻辑推理篇3

【关键词】初中数学课堂教学图形与几何合情推理

“图形与几何”是初中数学中一个十分重要的部分，同时也是基础部分。传统的初中数学课堂教学中，教师通常只是让学生进行“题海战术”，也就是要求学生通过做题掌握“图形与几何”的知识内容。很显然，这样的教师方式是不合理的。教师通过让学生不断地做题，很容易使学生产生厌学情绪，从而进一步影响到他们的学习效率。根据新课改的要求，数学教师在讲解“图形与几何”的过程中应该采用“合情推理”的方式进行教学，从而使学生不断地加深对于这部分的掌握程度。

一、灵活运用合情推理，培养学生学习兴趣

合情推理指的就是，教师引导学生针对某一知识点进行推理，通过推理这种方式可以不断地加深学生对于所学知识的印象。“图形与几何”的数学知识中涉及到点线面三部分，内容较为抽象，会使学生学习起来存在一定的难度。传统的教师中，教师往往直接指出相应的知识点，然后让学生针对与该知识点相关的题目进行练习。这样的学习很可能会使学生产生厌烦情绪，不利于他们的学习。教师应该灵活运用合情推理，帮助学生提高对于“图形与几何”的学习兴趣。

比如在进行苏教版高中数学七年级（上册）第五章“走进图形世界”这部分的知识点的学习的时候，教师应该在课堂教学中灵活运用合情推理。教师可以选取很多图形让学生观察，然后引导学生注意图形的形状和大小。教师可以拿出一个方形纸盒，将其摆在讲台桌上，然后让学生回答自己所看到的具体图形。由于教师选取的纸盒的六个面分别为两个正方形和4个长方形。所以，学生给出的答案也肯定会出现不同。当然，教师还可以引导学生注意局部，比如“线段”和“点”。然后，教师引导学生进行适当的推理，就可以由局部到一般总结出该图形所具有的一般规律。通过这样的学习方式，学生的学习兴趣会得到大大增强。

二、创设教学情境，提高课堂教学的有效性

教学情境的创设事实上也是合情推理教学的一个重要部分。学生在刚接触“图形与几何”时，会觉得其较为抽象。如果学生在相应的教学情境下进行学习，就会使他们能够透过现象抓住事物的本质，从而学会如何运用所学知识。也就是说，教师应该根据“图形与几何”的内容创设相应的教学情境，然后指导学生进行推理。通过情境的创设，教师可以让学生发现重难点知识内容，从而提出自己的推理和假设，提高自己的分析能力。

比如在进行苏教版高中数学八年级（上册）第二章“轴对称图形”这部分的知识点的学习的时候，教师应该在课堂教学中创设教学情境，结合教学情境进行合情推理。在日常生活中，学生会见到很多轴对称图形，教师可以从生活实际出发举出这些例子。比如，教师可以拿教室内的桌椅和黑板等为例，让学生进行观察。对于这些事物，学生可能平时容易忽视，通过这样的指导，学生就会在相应的教学情境中发现这些图形本身所具有的特点。教室应该针对这些图形，引导学生提出自己的假设和推理，比如“轴对称图形所具有的特点”和“如何作出图形中的对称点”等。很显然，通过在相应的教学情境下引导学生进行回答，可以使学生有效地掌握所学内容。

三、分清合情推理与演绎推理，发挥合情推理的作用

从具体问题出发，进行“观察和猜想”，然后再“归纳和类比”，最后提出猜想的过程，我们称之为“合情推理”。“演绎推理”是由一般到特殊的推理过程。两者存在一定多个差别，但是在“图形与几何”教学中是紧密相连的。教师在教学的过程中，应该看到两者的差别，更重要的是看清二者之间的联系。这样才能够帮助学生更好地进行区分，充分发挥合情推理的作用。

比如在进行苏教版高中数学八年级（上册）第七章“探索直线平行的条件”中“三角形的内角和”这部分的知识点的学习的时候，教师应该帮助学生分清合情推理与演绎推理，充分发挥合情推理的作用。比如，教师应该这样说明。“三角形内角和为180°，所以如果图形为三角形，则其内角和一定为180°”就是演绎推理。“直角三角形、锐角三角形和钝角三角形的内角和都是180°，所以三角形的内角和为180°”则为合情推理中的归纳推理。教师通过指出两者的不同之处，可以使学生在学习这部分时灵活运用推理方式，增强他们的分析能力和数学水平。

综上所述，传统的初中数学课堂教学存在很大的弊端。根据新课改的要求，数学教师在讲解“图形与几何”的过程中应该采用“合情推理”的方式进行教学，从而使学生不断地加深对于这部分的掌握程度。首先，教师应该灵活运用合情推理，培养学生学习兴趣；其次，教师应该创设教学情境，提高课堂教学的有效性；最后，教师还应该分清合情推理与演绎推理，充分发挥合情推理的作用。

【参考文献】

[1] 弓爱芳、夏婧. 新课程理念下对合情推理的再认识[J]. 中学数学研究，2006 （2）.

合情推理在数学中的应用篇4

合情推理是根据已有的事实, 正确的结论、试验和实践的结果以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程.合情推理是富于创造性的或然推理, 在数学发现活动中, 为演绎推理确定了目标和方向, 具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用.合情推理和演绎推理相辅相成, 共同推动着数学发现活动的过程, 正如G.波利亚 (G.Polga, 1887-1985) 所说:“在证明一个数学定理之前, 先得猜测这个定理的内容, 在完成详细证明之前, 先得推测证明的思路……”这些都依赖于合情推理.那么, 常见的合情推理有哪些呢?

1 类比

类比是在两个或两类事物间进行对比, 找出若干相同或相似点后, 猜想推演出它在其他方面也可能存在相同或相似之处的推理方法.它的一般推理模式为:A类事物具有性质a, b, c, d, B类事物具有性质a′, b′, c′ (a, b, c, 与a′, b′, c′相似或相同) .所以, B类事物具有性质d′.

例1 三角形在空间的类比 (见表1所示) .

2 归纳

归纳是从个别事实推演出一般性结论的的推理方法, 像“瑞雪兆丰年”, 波义耳-马略特定律、门捷列夫元素周期表、开普勒行星运动定律等都是在试验观察的基础上, 通过归纳发现的.

例2 (2006年江苏公务员行政职业能力测试 (B类) 第65题) 选择题:12, 8, 6, 4, 3, ( ) .

(A) 4 (B) 1 (C) 2 (D) 3

解析由前5个数归纳出规律:该数列是间隔等比数列, 奇数项是12, 6, 3偶数项是8, 4, 2, 所以应选C.

3 联想

联想就是“由某人或某事物而想起其它相关的人或事物” (商务印书馆《现代汉语词典》第5版, 第847页) 联想是创新的翅膀.

例3 任给7个数xk (k=1, 2, 3, …, 7) , 证明其中必存在两个数xi, xj, 满足不等式 $0 \leq \frac{x_{i} - x_{j}}{1 + x_{i} x_{j}} \leq \frac{\sqrt{3}}{3} .$

解析 (ⅰ) 若任给7个数中有两个数相等, 则结论显然成立.

(ⅱ) 若7个数互不相等, 则难以下手.但由 $\frac{x_{i} - x_{j}}{1 + x_{i} x_{j}}$ 的结构形式, 不难类比联想到两角差的正切公式

$\tan (α - β) = \frac{\tan α - \tan β}{1 + \tan α \tan β}$ ,

于是令

$\begin{array}{l} x_{k} = \tan a_{k} (k = 1 ‚ 2 ‚ 3 ‚ \dots ‚ 7) ‚ \\ a_{k} \in (- \frac{π}{2} ‚ \frac{π}{2}) ‚ 则问题转化为 ∶ \end{array}$

证明存在两个实数 $a_{i} ‚ a_{j} \in (- \frac{π}{2} ‚ \frac{π}{2})$ , 使 $0 \leq \tan (a_{i} - a_{j}) \leq \frac{\sqrt{3}}{3} .$

事实上把 $(- \frac{π}{2} ‚ \frac{π}{2})$ 平均分成6个子区间, 根据抽屉原理, 在a1, a2, a3, …, a7中至少有两个落在同一个子区间内, 不妨设它们是ai, aj且ai≥aj, 故

$0 ＜ a_{i} - a_{j} \leq \frac{π}{6}$ ,

于是

$0 \leq \tan (a_{i} - a_{j}) \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$ ,

从而

$0 \leq \frac{\tan a_{i} - \tan a_{j}}{1 + \tan a_{i} \tan a_{j}} \leq \frac{\sqrt{3}}{3}$ ,

即 $0 \leq \frac{x_{i} - x_{j}}{1 + x_{i} x_{j}} \leq \frac{\sqrt{3}}{3} .$

4 直觉思维

直觉思维是指不受某种固定的逻辑规则约束而直接领悟事物本质的一种思维形式.直觉思维具有迅捷性、直接性、非逻辑性、自发性、本能意识等特征.直觉思维往往表现在长久沉思后的“顿悟”与“灵感”.

例4 已知f (x) 是定义在 (0, +∞) 上的增函数f (x) >0, f (3) =1, 试判断 $F (x) = f (x) + \frac{1}{f (x)}$ 在 (0, +∞) 上的单调性.

分析F (x) 的单调性无法从表达式观察出来, 也不能画出图像, 因此要从定义探索.设0<x1<x2<+∞, 则

$\begin{array}{l} F (x_{1}) - F (x_{2}) \\ = f (x_{1}) + \frac{1}{f (x_{1})} - [f (x_{2}) + \frac{1}{f (x_{2})}] \\ = [f (x_{1}) - f (x_{2})] [1 - \frac{1}{f (x_{1}) f (x_{2})}] . \end{array}$

至此, 信息不够, 无法判断F (x1) -F (x2) 的正负.

这时直觉告诉我们, 必须把区间 (0, +∞) 分成几个子区间来讨论, 又注意到f (3) =1的暗示, 不妨分成 (0, 3], (3, +∞) 两个区间来考查.

当0<x1<x2≤3时,

0<f (x1) <f (x2) ≤f (3) =1,

$\begin{array}{l} 即 1 - \frac{1}{f (x_{1}) f (x_{2})} ＜ 0 ‚ \\ F (x_{1}) - F (x_{2}) ＞ 0 ‚ \end{array}$

所以F (x) 在 (0, 3]上是减函数.

同理可证F (x) 在 (3, +∞) 上是增函数.

5 特殊化方法

特殊化法就是通过对研究对象的特殊值、特殊位置、特殊图形等特殊情形的分析, 以退为进从中得到启迪, 发现思路, 得到一般结论的方法.

例5 设二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1, x2, 记Sn=x $_{1}^{n}$ +x $_{2}^{n}$ .求证: $S_{n} = - \frac{b S_{n - 1} + c S_{n - 2}}{a} (n = 3 ‚ 4 ‚ 5 ‚ \dots) .$

分析要直接找出问题解法比较困难, 为此, 先退到考察n=3的特殊情形, 以探求途径.

$\begin{array}{l} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a} ‚ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a} ‚ \\ S_{3} = x_{1}^{3} + x_{2}^{3} \\ = (x_{1}^{2} + x_{2}^{2}) (x_{1} + x_{2}) - x_{1}^{2} x_{2} - x_{1} x_{2}^{2} \end{array}$

受S3的启示可找到解题途径, 即可循着这条途径“进”到Sn.

6估算

估算即对研究对象估计近似计算, 不是严格的逻辑意义上的定量运算.属于定性分析, 也是一种较有效较常用的合情推理方法.

例6球的体积公式推导过程 (见图1) .

综上所述, 合情推理在数学发现活动中有着广泛的应用, 但它总是“冒险的、有争议的和暂时的” (波利亚语) , 需要进一步验证调控、修善、证明和终决.富于创造性的合情推理与高度形式化的演绎推理相结合, 才是完整的数学发现活动.

参考文献

[1][美]波利亚.数学与猜想[M].北京:科学出版社, 1984.

[2]郑毓信.数学方法论[M].桂林:广西教育出版社, 1996.

数学学习中的逻辑推理篇5

逻辑学起源于古希腊，是研究人的思维的，即思维的形式结构及规律。人之所以和其他动物不同就在于人可以思维。思维是人脑产生的，人脑具有发达的思维功能，这是其他动物所无法企及的。而人的思维活动则是通过概念、判断和推理等逻辑的形式进行的。所谓概念，如：“苹果”、“校园”、“欣喜”等;所谓判断，即“苹果好吃”之类的;所谓推理，如“凡是苹果都是树上结的，红富士是一种苹果，所以红富士是树上结的。”思维的过程就是不断运用概念、判断、推理等思维形式进行活动的过程。

逻辑学就是研究人的思维形式结构及其规律的科学，而推理和论证是形式逻辑的重要组成部分，是人们在科学研究时经常要用到的两种方法，二者既有联系又有区别。在语言学研究中也是如此，本文拟通过语言学研究的示例对逻辑推理和逻辑论证进行简单的分析说明。

一、逻辑推理

推理是由一个或几个已知判断推出一个新判断的思维形式。侦探小说作家柯南· 道尔笔下的福尔摩斯就有着极高的推理能力，总是能通过一系列复杂的推理，进行案件的侦破。逻辑推理可以分为三种：归纳推理、演绎推理、类比推理。

归纳推理在我们的日常生活中经常会运用到，是从多个具体的现象中总结出一个一般的规律，是从个别到一般。语言研究中的探索性研究就属于归纳，研究者常常并不十分清楚自己到底要找什么，会找到什么，而是通过采用观察、问卷、访谈等方式从样本中收集资料，通过对资料分析，归纳出其中的现象和规律。比如调查某地区店铺名的命名特征，首先通过实地考察，收集资料，然后对收集到的资料进行分析，最终归纳出本地区店铺命名的特点和规律。

演绎推理是从一个一般的规律到个别的具体现象的推理，是从一般到个别的推理。在语言研究中，比较典型的代表是生成语法学派。该学派基于语言是人类普遍的内在机制这一观点，通过形式化语言规律，推导具体的语言的特征，认为有限的语言规律可以演绎出无线的语言内容，其中最常用到的就是演绎推理，有普遍语言机制，推理个别语言特征。

类比推理则是由个别性前提推出个别性结论的一种推理形式。其方法是当两个对象有一系列相同的属性时，已知其中一个对象还有另一种属性，就可以推出另一个对象也有这种属性。在语言学研究中，当今非常流行的类型学的观点就属于这种。所谓类型学的分析方法，是基于语言同的基础之上的，寻找不同语言之间的对应关系。比如汉语中有些动词可以做名词，像“这本书的出版”中的“出版”，运用类型学的观点来看，英语中也应该有类似的用法，通过查找发现，英语中的动名词、现在分词就属于这类，是介于动词和名词之间的一种词类。这其中就运用到了类比推理的方法。

推理是思维形式，同时又是论证方法，推理作为论证方法在证明与反驳中有重要的论证作用。我们写的论文当提出某个论题(即论点)之后，就必须用大量论据进行论证，而采用论证方法进行论证的过程实际上就是推理的过程。此外，推理的结论要想真实可靠，必须保证前提为真，推理形式为真，否则推出的结论则真假不定。

二、逻辑论证

人们在思维过程中，往往要确定某种想法的真实性，在表达思想的过程中，往往要叫别人相信自己的某个观点，或者对别人的某个观点不同意，力图证明它是错误的，这就需要用“论证”这种形式。逻辑论证可以分为两种：证明、证伪。

所谓证明，即从正面证实自己观点的正确性。就是根据已知的真是判断来确定所需要证明的判断的真实性。证明的客观基础是事物之间存在的.因果联系，我们要确定一个判断的真实，就得寻找这个判断为真的根据，反映出事物之间的因果联系。证明由论题、论据和论证三部分组成。论题即需要证明的问题;论据即用来证明论题真实的判断、根据;论证就是证明的方式，即论题与论据之间的逻辑联系，就是我们前面讲到的推理形式。

这种实证性的研究方法被广泛的应用于语言学研究中，尤其是语音研究中来。在语音研究中，通常是先提出假设，然后设计语音实验，在设计时做好对变量、自变量以及控制变量的定义，最后对实验结果进行分析，验证假设。这种实证性的研究运用到的方法就是逻辑证明的方法。

所谓证伪，即批驳别人的某个观点，又叫反驳。通过已知的真是判断来确定某个判断虚假的思维形式，也可以说是用一个证明去推翻另一个证明，是一种特殊的证明。反驳不是简单地指出对方论题或论据的错误，而是要通过具体的分析、推理，说明为什么是错的。反驳是明辨是非、探求真理的重要工具，真理的产生不仅需要证明，更要能经受住各种反驳，在学术理论和日常生活中，同不同的思想观点争论过程中，反驳都可以作为一种有力的工具。

语言学作为一门科学，自然会用到这种科学论证的方法。1957年，乔姆斯基出版了《句法结构》一书，“转换生成语法”至此兴起，他在哲学方面立足理性主义，采用演绎的方法，面向理论，先有初步假设，然后采用逻辑和数学的方法，根据他制定的模式和规则，推导出各种语言的表达形式。这种方法基本上是一种科学的证伪模式，即：提出假设→根据假设进行演绎推导，做出预测→对预测进行严格检验以试图否定假设→对比各假设，查看哪项假设通过了检验，表现最佳。

三、逻辑推理与逻辑论证的关系

(一)联系

逻辑推理和逻辑论证都是思维的形式结构，二者有着密不可分的联系。我们知道，逻辑论证包括论题、论据和论证方式，其中，论证方式就是一种逻辑推理的过程。在语言学研究中，上文讲到乔姆斯基生成语法学派的研究方法，我们看到这是一种逻辑论证，其中有一个环节是“根据假设进行演绎推导”，这里的演绎推导即逻辑推理的一种，可见，逻辑论证过程中包含了逻辑推理。逻辑推理是逻辑论证的一种论证方式。

(二)区别

逻辑推理与逻辑论证又是有着区别的。

首先，逻辑论证是先确定观点(即假设)，然后才是证明的过程;而推理则正相反，根据推导过程，最后，然后得出结论。其次，一个逻辑论证的过程可能包括若干个推理，即要证明一个假设，有可能需要多步的推理，最后得出验证结论;而作为一个推理，其只能是单独一个推理过程。

我们都知道，语言总是反映一定内容的，但是语言学作为一门学科，则着重研究语言规律，而非具体的语言内容。逻辑学也是这样，它是一门工具性的学科，如同数学一样，是一门基础科学，是学习其他科学的工具。黑格尔说过，“逻辑学有用与否，取决于它对学习者能够给予多少训练已达到别的目的。学习逻辑学，在于训练思维，使人得到真正纯粹的思想，因为它是思维的思维。作为真理的绝对形式，作为纯粹真理的本身，逻辑学绝不单纯是某种有用之物，它的用处，不仅是对于思维的形式练习，而必须另外重新估价。”

逻辑学和其他学科的知识一样，来自于人们的社会实践。因此我们学习逻辑不能机械地学，必须联系活生生的实在内容，结合自己的研究方向。学习逻辑固然需要记一些基本的理论概念，但重点是理解和应用，联系社会实践，联系自己的日常生活，并在学习、研究中自觉地学会运用所学的理论知识思考问题。

参考文献：

[1]《马克思恩格斯选集》第1 卷[M].人民出版社，1995.

[2]庞卓恒.唯物史观与历史科学[M].北京：高等教育出版社，.

[3]吕嘉.重新理解“社会存在决定社会意识”[J].哲学动态，(6).

浅谈小学数学教学中的归纳推理篇6

关键词：小学数学；归纳推理；培养

素质教育，作为一种教育理念和教育形式，从上个世纪九十年代正式提出，一直都是教育研究和实践的重要议题。素质教育是以全面提高人的基本素质为根本目的，以尊重人的主体性和主动精神，注重开发人的智慧潜能，注重形成人的健全个性为根本特征的教育。素质教育核心是注重创新意识和创新能力的培养。而创新能力的基础在于知识的掌握、思维的训练和经验的积累。从科学思维的层面来说，思维分成两大类：其一是演绎思维及能力；其二是归纳思维及能力。爱因斯坦曾指出：“西方科学的发展是以两个伟大成就为基础，那就是：希腊哲学家发明的形式逻辑体系（在欧几里得几何中），以及通过系统的实验发现有可能找出的因果关系（在文艺复兴时期）”爱因斯坦所说的前者就是演绎能力，后者则是归纳能力。演绎推理是从假设和被定义的概念出发，按照某些规定了的法则所进行的、前提与结论之间有必然联系的推理。所有严格的数学证明采用的都是这样的推理模式。演绎推理的主要功能在于验证结论而不是发现结论。因此并不是所有的问题都能够用演绎推理进行思考和解决的。

一、小学阶段数学归纳推理的理论依据

归纳推理是人们经常使用的认识世界的一种思维形式，它是从诸多丰富生动的个性中，发现带有普遍意义的共性的过程。根据前提所考察对象范围的不同，一般把归纳推理分为完全归纳推理和不完全归纳推理。完全归纳推理考察了某类事物的全部对象，不完全归纳推理则仅仅考察了某类事物的部分对象。进一步，根据前提是否揭示对象与其属性间的因果联系，还可以把不完全归纳推理分为简单枚举归纳推理和科学归纳推理。

归纳推理是人类在认识自然改造自然的过程中从自然界的构造和行为方式中读取出来的方法论，他不是人类的发明，他是自然界的逻辑表现形式。自然在作为小学教育的教学中，我们仍然要遵循这样的自然规律。

二、小学数学归纳推理课程的实施

归纳推理的学习应该是贯穿小学数学教学全过程的。它应该是连贯的和浑然一体的，但是，在全过程中又有层次区别，因而又是分阶段的。因此，归纳推理课程的实施应该有明确目的，有适当方法步骤，有计划和有序的进行。

1、枚举归纳推理与科学归纳推理是小学数学归纳推理的两种基本形式。枚举归纳法是贯穿小学全过程的主要的推理形式。科学归纳法是小学中年级、高年级的重要的推理形式。

2、小学数学归纳推理过程中的内容要素分析。探讨数学对象本身具有的性质特征、探讨数学对象间的关系是小学归纳推理着手解决的两大基本范畴，是小学归纳推理内容的第一要素。例如3作为质数的特征，与6作为合数的特征等。

认识数学对象间的共同性和差异性是小学归纳推理内容的第二要素。例如，1加到10的和，这样的等差数的求和，让小学生感受到不同算法之间的差异，认识到数学对象的不同，认识到数学的魅力。

根据归纳推理的学科特征以及小学生认知心理规律，将小学归纳推理的学习和教学，大体上划分为相关联的四个阶段：前归纳阶段、归纳推理的初级阶段、归纳推理的完善阶段、归纳推理的前演绎阶段。这几个阶段不是完全分割开的，相反，他们是互相融入的，我们分开的目的不是将她们隔离，而是将主要的方法论提取出来。前归纳阶段，养成观察习惯，积累数学经验。归纳推理的初级阶段，分类，找规律。归纳推理的完善阶段结合数、形知识的进一步扩展，深化观察、分析、比较和分类活动，并对所获得的结论（猜想）的正确性程度，通过足够多的、具有典型性的特例验证作出评估，而对错误结论能用反例确认。归纳推理的前演绎阶段结合数、形知识，更广泛更深入地进行观察、析、比较与分类活动，获得结论（猜想），使学生明确结论（猜想）的数学意义和合理性，不但要知其然而且要“知其所以然”。

3、依据小学生思维发展的心理特征，一般可以将小学阶段归纳推理的学习分为前归纳、归纳推理的初级、归纳推理的完善及归纳推理的前演绎等阶段，其中前归纳阶段的特点是借助观察，对学生对象产生直觉表面的联系，学生对结论的过程不能用语言加以描述，处于一种模糊朦胧状态，譬如，让学生观察1，3，5，7，9与2，4，6，8两行数，让他们找出规律，归纳共同点与不同点。归纳推理的初级阶段的特点是学生在觀察分析的基础上，能够对数学对象进行分类，且找出规律，比如，3×3-2×4= ；4×4-3×5= ；5×5-4×6= ；让学生找出规律，且写出类似的三个等式。归纳推理的完成阶段的特征是学生能够在分析比较的基础上，对所获得结论进行验证评估，且可以对错误的结论能用反例来确认，譬如，7与9都不是5的倍数，7与9的和也不是5的倍数，13和8不是5的倍数，13和8的和也不是5的倍数，让学生判断假如两个数都不是5的倍数，则它们的和也不是5的倍数规律是否正确。归纳推理的前演绎阶段是指学生不仅要知道知识的结果，且知道知识的来龙去脉。

总之，当前在小学生中推广数学建模思想已经成为当前小学数学教育研究的热点与重点。数学建模纳入小学教育已经在同仁中得到共识。具体如何实施，却是一件智者见智的事情。方法论引入小学教育是数学建模思想纳入小学教育的本质。历史上看，这些方法都已经在小学数学内容中，但是没有从理论上或者特别的强调这样一个方法论的思想，更多的是强调对具体知识的掌握。在小学数学教学中，强调方法论，是数学建模思想引入的最好表现形式。

参考文献

[1] 曹超.正确理解.标准.中的推理能力[J].湖南教育

类比推理在数学解题中的应用篇7

德国天文学家、数学家开普勒曾指出:“我珍视类比胜过任何别的东西,它是我最信赖的老师,它能揭示自然界的秘密,在几何学中它应该是最不容忽视的。”德国古典哲学家康德也说:“每当理智缺乏可靠论证的思想时,类比这个方法往往指引我们前进。”

当然,最重要的还是在数学领域中如何应用类比推理的方法去解决问题和发现数学真理。实际上,类比推理方法在数学领域中的应用也是极为广泛的。

类比推理与归纳推理一样,都是合情推理,其结论正确与否,必须经过严格的证明。因此,类比推理也是一种创造性较强而可靠性较弱的方法与技巧。

一般说来,类比推理在数学创造活动中发现真理的过程可用框图表示如下:

类比推理与归纳推理在某些方面上的差异是明显的。归纳推理是从特殊得到一般对象的性质,是一种纵向思维。类比推理确是一种横向思维,是借助于两个系统在某些部分上的一致性来推测在另外一些部分上的一致性。但作为一致方法,类比推理和归纳推理都是逻辑方法,都是合情推理,都是数学发现的重要方法,而且在发现真理的过程中往往是互相配合、协同作战的。

波利亚曾高度评价类比的作用和意义,说:“类比似乎在一切发现中有作用,而且在某些发现中它有最大的作用。”具体地说,类比推理在数学发现中的作用有两个方面:其一,发现新的命题,直至发现新领域;其二,发现问题解决的途径和方法。

在苏教版选修2-2教材中,专门有一节内容介绍类比推理,这充分说明类比推理在数学发现中的作用和地位。在近几年的高考中,涉及类比定理的相关题目还是有的,而这些题目的得分往往不是很高。笔者在多年的高三教学中,发现有很多题目采用类比推理的方法分析有事半功倍的效果。让我们看下一条题:

例:已知集合A1,A2,A3,…,An满足A1□A2□A3□…□An□{a1,a2,a3,…,am},求出A1,A2,A3,…,An的组数。

此题如果直接思考很困难,但是我们如果采用类比推理的方法,如果将此题实行降维的方法就可以有意想不到的效果,通过分析,让我们看一下降维以后的几种情形:

第一种情形:已知集合A,B满A∪B□ 0,1,求出A,B的组数。

第二种情形:已知集合A,B满足A□B={0,1,2},求出A,B的组数。

第三种情形:已知集合A,B,C 满足A□B□C□{0,1} ,求出A,B,C的组数。

第四种情形:已知集合A1,A2,A3,…,An满足A1□A2□A3□…□An{0,1},求出A1,A2,A3,…,An的组数。

第五种情形:已知集合A1,A2,A3,…,An满足A1□A2□A3…□An□{0,1,2},求出A1,A2,A3,…,An的组数。

降维以后我们分析这五种情形,第一种情形可以用分步计数原理。

A∪B□ 0,1可以看成是将0和1全部放入A或B两个“口袋”。

第1步,放“0”,共有“只放入A”,“只放入B”,“既放入A也放入B”3种情形;

第2步,放“1”,同上,也共有3种情形。

根据分步计数原理知,满足A∪B□ 0,1的集合A、B共有3×3=9(组)。

根据第一种情形,我们就可以得出下面四种情形的答案,第二种情形就应该为3×3×3=27(组)。

第三种情形,第1步,放“0”,共有“只放入A”,“只放入B”,“只放入C”,“既放入A也放入B”,“既放入A也放入C”,“既放入B也放入C”,“A,B,C全放”几种情形共计C13□C23+C33=23-1种; 第2步,放“1”,同上,也共有C13□C23+□33=23-1种情形。根据分步计数原理知,满足A□B□C□{0,1}的A,B,C组数为(23-1)2(组)。

第四种情形就可以用类比的思想得到,应有(C1n□C2n+C3n+…+Cmn)2=(2n-1)2(组)。

第五种情形就可以用类比推理的思想得到,应有(C1n□C2n+C3n+…+Cmn)3=(2n-1)3(组)。

根据以上几种情形我们就可以很容易得出原题的答案为:

(C1n□C2n+C3n+…+Cnn)m=(2n-1)m(组)。

通过上面的例子,我们将一个比较复杂,让学生无处下手打开突破口的题目,采用降维的思想,分解为若干种情形, 最终能够出现一个我们容易解决的情形,从而得到原题目解答方法。我们其实可以将这种类比称为简化类比。简化就是特殊化。从对一类对象的研究转向对包含于这一类中的部分对象的研究。简化类比是将一般情况与特殊情况相类比,其中包括减元、降次和降维。

合情推理在高中数学中的应用篇8

一、合情推理的内涵

所谓合情推理是一种推理过程, 是在认知过程中, 根据已有的知识结构、经验和能力水平, 运用观察、实验、归纳、类比、联想等思维形式, 推导出关于客体的合乎情理的推理过程.在高中数学教学过程中, 主要体现在归纳推理和类比推理两个方面.

归纳是一种从特殊到一般的推理方法.任何客观事物都存在这个性和共性两个方面, 个性中包含着共性决定了归纳结果的可靠性, 以使其具有广泛的运用;但个性又不能完全包含共性, 决定了推理结果也有存在错误的可能性.从中可以看出:归纳是以已知的科学事实为前提, 通过概括实现扩展知识的一种推理方法, 如果能够得到正确的引导, 在教学中将会发挥出极其重要的作用.

与归纳相比, 类比则需要有更丰富的知识和想象力.因为类比是对两个或两类事物求同存异的过程.在这个过程中, 双方相同或相似的地方越多, 则类比的运用则越准确.在教学过程中把各种相似的知识进行类比推理, 则可以将复杂的问题简单化, 并可以从对简单问题的解决中得到解决复杂问题的方法, 甚至可能形成新的猜想.

二、合情推理在教学中的应用

通过上面对归纳推理和类比推理内涵的论述, 可以看到它们在教学中的侧重点不同, 那么如何进行选择呢?应该根据教学的内容来进行选择, 如归纳——类比、类比——归纳等多种方式.下面我们以两个教学案例来探讨归纳推理应用在高中数学教学过程中的应用以及在应用过程中应该注意的一些事项.

1.在“等比数列”教学中的应用

(1) 用归纳推理来设置教学情景

教学情景可以这样设置, 先给出几个例子:

①细胞膜的分裂模型:1, 2, 4, 8, …;

②“一尺之棰”的论述:undefined;

②-24, 12, -6, 3, ….

让学生观察这三个例子中数据的变化有什么规律.学生通过归纳可以得到:每个数列的后项都是前项的n倍 (n为一定值) .从而可以得到等比数列的定义, 但学生的归纳很难表达得非常完整, 比如, 没有指出“从第二项起”, 没有指出比值是“同一个常数”.这时老师就要给予引导, 以引起学生的注意.通过对几组数据的归纳分析, 找出它们的特点并总结出了等比数列的定义, 体现了由特殊到一般的规律.

(2) 用类比推理导出通项公式

在得到了等比数列的规律后, 应该进一步地引导学生推导等比数列的通项公式.学生们通过思考、参考教材, 会很容易地得到等比数列的通项公式:设首项为a1, 公比为q, 则其通项公式为an=a1·qn-1.那么如何对该公式进行证明呢?这对大多数学生来说就具有了一定的难度.这时老师就可以引导学生利用类比的方法, 和等差数列通项公式的推导过程进行对比, 看看是否可以通过迭加法进行证明, 让学生进行思考.

(3) 利用类比推理, 自主探究其他知识点

在学生完全掌握了利用类比推理推导通项公式的方法后, 让学生根据自己掌握的知识, 类比等差数列, 自主探究其他的相关性质.比如, 在等差数列中存在着:若m+n=p+q, 则am+an=ap+aq.那么, 在等比数列中, 若m+n=p+q, 则am, an, ap, aq之间存在着什么样的关系呢?

(4) 课堂总结

在课堂结束后, 可以先让学生谈谈对本节课学习的体会, 教师再进行总结、概括本节课的主要知识点, 以及归纳、类比的思想方法及其应用.

2.在解题中的应用

例平面内有n (n≥2) 条直线, 其中任何两条直线不平衡, 任何三点不过同一点, 证明:交点的个数为undefined

分析在遇到探索性问题时, 我们一般的思路是观察—归纳—猜想—证明.对于高中学生来说这是一种非常重要的思维能力, 是高考的热点之一.在本题中, 已经给出了问题的结论, 其考查意图在于让学生用数学归纳的方法加以证明.

在解题时, 可以将其转化为求凸n边形对角线的条数.从而可以计算出:f (2) =1, f (3) =3, f (4) =6, f (5) =10……继而归纳出f (n) .

在对f (n) 归纳时, 有些学生就遇到了困难, 然而, 在我们教材上有许多知识点可以用来对比.

可以看出, 掌握一定的合情推理能力, 可以极大地提高学生的思维能力和解决问题的能力.在遇到一些新问题时, 最大限度找到其和我们所学知识之间的相似点和共同点, 运用归纳、类比的方式进行分析、解决.

类比推理在高中数学解题中的应用篇9

数学家高斯说:“数学是锻炼思维能力的体操.”类比思维是培养学生创造性思维能力的重要形式, 具有较强的探索和预测作用.教学中恰当地运用类比方法, 不仅能突出问题的本质, 提高教学质量, 而且有助于培养学生的创造能力等思维品质, 提高认识问题和解决问题的能力.

下面结合实例对几种常见的类比形式做一分析、比较, 以便更好地把握类比思想在数学解题中的应用.

一、数列中的类比

教学中教师要很好地挖掘知识间的联系, 充分地让学生去类比、联想和想象, 激发学生的创造热情和探索欲望.如, 和——积、差——商、算数平均数——几何平均数的类比等.

例1 在等差数列{an}中, 若a10=0, 则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n (n<19, n∈N+) 成立, 类比上述性质, 相应地:在等比数列{bn}中, 若b9=1, 则有等式成立.

解析由a10=0, 可得ak+a20-k=0, 因而当n<19-n时, 有a1+a2+…+a19-n=a1+a2+…+an+an+1+an+2+…+a19-n, 而 $a_{n + 1} + a_{n + 2} + \dots + a_{19 - n} = \frac{(19 - 2 n) (a_{n + 1} + a_{19 - n})}{2} = 0$ ,

∴等式成立.同理可得n>19-n时的情形.

类似地, 在等比数列{bn}中, 由bn+1·b17-n=b $_{9}^{2}$ =1, 因而得到答案:b1b2·…·bn=b1b2·…·b17-n (n<17, n∈N*) .

证明 ①当n<8时, b1b2·…·bn=b1b2·…·bnbn+1·…·b17-n.

即:bn+1·bn+2·…·b17-n=1.

∵b9=1, ∴bk+1·b17-k=b $_{9}^{2}$ =1.

∴bn+1bn+2·…·b17-n=b $_{9}^{17 - 2 n}$ =1.

②当n=8时, 显然成立.

③当8<n<17时,

b1b2·…·b17-n·b18-n·…·bn=b1b2·…·b17-n.

即:b18-n·b19-n·…·bn=1.

∵b9=1, ∴b18-k·bk=b $_{9}^{2}$ =1.

∴b18-nb19-n·…·bn=b $_{9}^{2 n - 17}$ =1.

综上可知, 当等比数列{bn}满足b9=1时, 有b1b2·…·bn=b1b2·…·b17-n (n<17, n∈N*) 成立.

二、几何中的类比

(一) 平面到空间的类比

例2 在平面几何中, 由勾股定理:“设△ABC的两边AB, AC互相垂直, 则AB2+AC2=BC2.”拓展到空间, 类比平面几何的勾股定理, 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系, 可以得出的正确结论是:“设三棱锥A-BCD的三个侧面ABC, ACD, ADB两两相互垂直, 则.”

分析关于空间问题与平面问题的类比, 通常可抓住几何要素的如下对应关系:点——线、线——面、面——体 (圆——球、三角形——四面体、平行四边形——平行六面体、二面角——平面角) 、平面向量——空间向量等.

(二) 解析几何中的类比

圆锥曲线包括圆在内都是平面截圆锥所得的曲线形式, 从定义、方程推导、性质到题型、方法都存在共性, 通过类比降低教学难度, 使类比思维方法潜移默化地渗透于教学之中.

例3 在以原点为圆心, 半径为r的圆上有一点P (x0, y0) , 则过此点的圆的切线方程为x0x+y0y=r2, 而在椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 中, 当离心率e趋近于0时, 短半轴b就趋近于长半轴a, 此时椭圆就趋近于圆.类比圆的面积公式, 在椭圆中, S椭=.类比过圆上一点P (x0, y0) 的圆的切线方程, 则过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上一点P (x1, y1) 的椭圆的切线方程为.

答案 π·a·b; $\frac{x_{1}}{a^{2}} \cdot x + \frac{y_{1}}{b^{2}} \cdot y = 1$ .

三、定义、运算中的类比

数学教育家波利亚说:“类比就是一种相似.”把两个数学对象进行比较, 找出它们相似的地方, 加以应用, 这在教学中关于概念、性质的教学是最常用的方法.

例4 设 $f (x) = \frac{1}{2^{x} + \sqrt{2}}$ , 利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法, 可求得f (-5) +f (-4) +…+f (0) +…+f (5) +f (6) 的值为.

解析本题是“方法类比”.因等比数列前n项和公式的推导方法是倒序相加, 那么经类比不难想到f (-5) +f (-4) +…+f (0) +…+f (5) +f (6) =[f (-5) +f (6) ]+[f (-4) +f (5) ]+…+[f (0) +f (1) ].而当x1+x2=1时, 有 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = \frac{1}{2^{x_{1}} + \sqrt{2}} + \frac{1}{2^{x_{2}} + \sqrt{2}} = \frac{2 \sqrt{2} + (2^{x_{1}} + 2^{x_{2}})}{\sqrt{2} (2^{x_{1}} + 2^{x_{2}}) + 2^{x_{1} + x_{2}} + 2}$ $= \frac{2 \sqrt{2} + (2^{x_{1}} + 2^{x_{2}})}{\sqrt{2} (2^{x_{1}} + 2^{x_{2}} + 2 \sqrt{2})} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ , 故所求答案为 $6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3 \sqrt{2}$ .

教师的日常教学中要根据教材特点, 在传授新知识时, 有意识地引导学生, 通过类比与归纳得出新的知识, 逐步学会类比推理的方法;在进行知识复习时, 经常对相关的知识进行类比, 培养学生对相关知识进行类比的习惯;在解题中, 通过类比引导学生探求解题途径, 深化对知识的理解和对数学思维方法的掌握.

数学学习中的逻辑推理篇10

类比是数学家G·波利亚十分推崇的一种重要数学思想方法。他认为:在我们的思维、日常谈话、一般结论以及艺术表演方法和最高科学成就中无不充满了类比。纵观小学数学教材,类比推理有着广泛运用。如何进行类比推理的教学,促进学生推理能力的发展呢?本文依托小学数学教学中的相关实例,结合自己的教学实践,谈一些看法。

一、小学数学教材中的类比推理分类举隅

小学数学教材关注了类比思想方法的渗透与应用,其中有许多内容都是培养学生类比推理能力的好材料。下面针对教材中类比推理的相关内容进行分类说明。

1.外部形式上的类比:由外而内的发现

当两类思考对象在形式上存在相似之处时,学生往往会将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去,完成从形式到形式的类比推理,从而发现和探索出新数学对象的性质。苏教版数学五年级下册“等式的性质”分两部分进行教学,首先是在认识了方程的意义后,通过在平衡的天平两端各加上或减去相同克数砝码的操作,让学生发现天平仍然保持平衡,从中归纳出“等式两边同时加上或减去同一个数,所得结果仍然是等式”这一性质。有了这样的认知基础,学生对“同时加上或减去同一个数”与“同时乘或除以同一个数”就有一个外在形式上的类比,进而主动地形成“等式两边同时乘或除以同一个数,所得结果也仍然是等式”这一猜想,然后教师可以启发学生继续通过天平实验来证实猜想,最终得出等式的另一半性质。再如苏教版数学三年级下册教材练习五中出现了“连减、连除的性质”的相关习题,教材首先让学生在计算中对比感悟、发现连减的规律,在学生掌握并运用连减性质进行简便计算的基础上,又引入了连除的计算,学生此时面对这样外在形式极其相似的计算,会容易与连减计算进行类比推理,大胆猜测连除也具有类似的性质,教师可以通过提问引发学生的类比推理猜想,然后让学生通过举例计算验证猜想得出一般性结论。这样的类比推理过程是建立在两类数学对象在外形上有着较高相似度的基础上的,可以通过观察来引发学生对数学对象内在一致性的推测猜想,最终得出性质规律。这样的类比推理不仅使数学知识容易理解,而且使知识的识记变得顺水推舟般自然和简洁,还可以激发起学生的创造力。

2.本质属性上的类比:由内而外的迁移

小学数学中有一些数学对象在其本质上是具有较高的相似度的,教材往往引导学生把某一或几个方面彼此一致的新旧事物放在一起相比较,让学生由旧事物的已知属性去猜测新事物也具有相同或相似的属性。这样的类比推理偏重于所涉及的对象在本质属性方面的相似之处,由此类比出其他方面的相似,拓宽思路,进而认识新数学对象的本质。例如在学习“比的基本性质”之前,学生已经掌握了分数的基本性质,并且在学习过程中已经与商不变的规律进行了充分的沟通联系,能够从本质上把握这两类规律的内在一致性;另外,学生也认识了比的意义,理解了比的实质是两个数相除,而且比也可以写成分数形式。这些已有知识构成了学生新知识学习的先行组织,为新知识的自然类比生成提供了基础。在教学中教师要充分发挥旧知识的作用,通过必要的引导启发学生关注到新旧学习对象在本质属性上的一致性,仔细分析比与分数之间的特殊关系,来大胆地进行由内而外的知识迁移,形成理性猜测。值得注意的是,这种猜测是在学生关注了不同数学对象在本质属性而展开的,因而具有一定的理性思维含量,其猜测更具有方向性、严谨性和可靠性。

3.根源知识上的类比:由魂及法的发散

小学数学中涉及到许许多多的基础性数学知识技能,看似零零散散的,可是不少知识之间确实有一根“红线”维系着。这根“红线”即相关的根源性知识。相应的,在学习一些新的数学知识技能时,应该让学生主动地激活相关的数学根源性知识技能,以这根“红线”来引领学生对新旧知识的内涵进行比较,发现和归纳其在数学根源性知识上的相似性,从而开展适当的类比和迁移。比如学习“异分母分数加减法”时,其本源性的计算原理是“相同计数单位上的数才能直接相加”。在学习整数加减法和小数加减法时,学生已经形成了这样一种根源性的数学认识和计算经验,这种知识经验对于探索异分母分数加减法法则具有重要意义,学生就是要针对不同数学对象之间在根源性知识上的一致性,由魂及法地进行尝试,转化方法,将异分母分数通分成同分母分数,然后再加减。再如“三位数乘两位数”“两位数乘两位数”的学习,都是建立在两位数乘一位数这一根源性技能之上的,通过后者,学生能主动地尝试和探索前两者的计算方法,其间的主要区别在于第二个乘数是两位数时,两位数十位上的数去乘第一个乘数时乘得的积个位对其十位。这是由位置原则决定的。诸如此类,当新旧知识在根源性知识上具有相同点时,教师可以引导学生发散性地运用根源性知识来猜测尝试,从而解决新问题,实现新知识的同化学习。

4.过程方法上的类比:以旧引新的推广

现代数学教学提倡让学生经历数学知识产生、形成的过程,在丰富而有创造性的探究活动中掌握和理解知识。比如在学习“长方形面积公式”时,就设置了用边长1厘米的小正方形来拼摆的实践活动,学生在拼摆的过程中逐步发现小正方形的总个数与长方形的长与宽有着特殊关系,进而推导、发现了长方形面积的计算公式。这样的探究过程和方法贴近学生实际,适合小学生的认知水平,是学生可以理解和掌握的,因而这个探究过程和方法会伴随着探究结果共同存在于学生的头脑之中,形成一个“带钩的原子”,在适当的时候能方便地提取出来运用(包括过程和结果)。因而,在高年级探索“长方体体积计算公式”的时候,由于跟上述探索方法在本质上存在着一致性,教材同样安排了拼摆棱长1厘米的小正方体的活动,启发学生从中迁移过程与方法,从而主动地探索出长方体体积计算公式。这就是一种过程方法上的类比,学生进行以旧引新式的推广,展开合理的联想,创造性地开展探索和猜想,在实践过程中验证了猜想、发现了规律。诸如此类的类比推理还存在于圆面积和圆柱体体积的推导过程中,让学生经历由二维图形到三维图形知识技能探索中的类比发现。

二、类比推理教学实施的策略

类比推理是一种从已知到未知,探求和发现新知识的富有成效、自由活泼的思维方法,符合儿童的心理和认知发展特点,因而是深受学生喜爱的数学发现和探究活动。教师应在教学中努力挖掘教材中蕴含的类比推理内容,注重策略、及时渗透、合理训练。

1.先行组织,搭建类比桥梁

学生展开类比推理学习的前提是其原有认知结构中具备了同化新知识的适当的上位概念或相似概念。当学生面对新问题时,如果与之相关的上位或相似概念缺少,不够清晰,那么相应的类比推理活动就难以顺利展开。要使所教知识让学生深刻理解并能融入原有知识形成新的认知结构,就必须重新组织教材,精心设计学习活动,在学生“已经知道的”与“需要知道的”知识之间架设起桥梁,为学生开展类比推理活动打好基础。这座桥梁就是先行组织者,所谓先行组织者,是先于学习任务本身呈现的一种引导性材料,它要比原学习任务本身有更高的抽象、概括和包容水平,并且能清晰地与认知结构中原有的观念和新的学习任务关联。例如学习“异分母分数加减法”时,教师可以设计一组整数、小数和同分母分数加减法,在练习后引导学生认识、归纳这些计算过程背后隐含的共同核心要点“相同的计数单位才能直接相加减”。这是比单纯的计算过程本身更为抽象、高级的认知,而这种计算核心也正是异分母分数加减法计算的关键。学生在这个“先行组织者”的引领下,就不难展开相应的类比推理活动,主动猜测并尝试异分母分数加减法计算。在掌握新的计算法则后,再次引导学生对新旧知识进行对比,归纳出此类计算的共同点。这样的类比推理学习活动将真正促进学生对新旧知识的深刻理解,并形成一种稳定而又有活力的知识结构。

2.原型启发,实现类比抽象

现实生活中的事物原型往往会启发人们展开类比、联想,获得灵感,构造数学模型,认识新的数学对象。原型启发是一个心理学的概念,意指根据事物的本质特征而产生新的设想和创意。小学生长于直观思维的认知心理特点决定了他们认识新的数学概念和对象时,往往会比较依赖于日常生活中常见的实物原型,因而从原型启发而展开的类比推理(尤其是在几何图形认识中)在小学数学教材中也是常见的。例如教学“认识线段”时,教材提供了操作红头绳的活动场景,由双手捏住头绳两端绷紧而形成了线段的实物原型,进而揭示线段概念的本质属性。又如几何图形中的高是一个比较抽象的概念,往往也是学生认识上的一个难点。教材在编排“三角形的高”时,安排了“人”字形三角架实物图,让学生能够从生活实物中直观地感受到三角架的高是指怎样的一条线段,进而通过讨论明确高是“三角架中最高处一点到相对底面边上的最短距离”这个本质属性;然后再引导学生回到数学上的抽象三角形中,把生活中高的本质属性类推到几何图形中,形成三角形高的概念。同样的,在认识圆锥体高的时候,则又可以借助三角形高的概念,由二维图形的图形特征类比推理出三维图形的类似特征。这种借助生活实物原型的类比推理方式是符合小学生认知特点的,能够促使学生在“原型”中获得一些原理性的启发,使生活原型与数学对象之间形成思维的对接通道,在类比推理过程中形成一定的经验性认识,并加以数学抽象,主动建构数学概念。

3.联想类推,直觉类比猜测

联想类推策略是指引导学生在认知结构中已建立的数学模型与新的数学模型表面相似的基础上,通过关系相似猜想问题解决结果的教学策略。小学数学教材中存在许多具有内在联系的可供类比推理的知识,如上文所述的等式性质中等式两边“同时加上或减去同一个数”与“同时乘或除以同一个数(0除外)”,仍旧是等式;几何图形中二维与三维图形知识;运算律中加法的交换律、结合律与乘法的交换律、结合律等等,前后两者之间存在着密切而直观的联系。联想类比策略就是要着重引导学生发现已有数学模型与新数学对象之间的关系相似,凭借直觉加以类比推测。如在教学圆柱体体积时,教师就可以有意识地激活二维图形中圆面积的推导过程,从把圆平均分割成众多小扇形进而拼镶组合成近似长方形的推导过程中形成直觉联想,主动地猜测可以将圆柱体像圆那样进行分割,然后拼镶组合成长方体,最终推导出圆柱体体积计算公式。这种联想类推策略在几何图形知识教学中是常用的,教师应重点引导学生激活已有数学模型,进行大胆的类推,发展学生的直觉思维能力,实现二维平面图形与三维立体图形之间的有效转化与迁移,从而掌握其中的规律。

4.检验修正,避免类比失误

类比推理是合情推理中的一种形式,其本质是引导人们通过新旧数学对象之间的相似性,从而发现解决问题的方法。但类比推理从本质上来说是一种或然推理,得出的结论可能会出现形式主义错误。例如在学习乘法竖式计算时,不少学生往往把加法竖式计算中“相同数位对齐”的方法类比迁移到乘法中,从而造成类比推理的错误。高年级学生在数学学习中会较多运用类比推理,虽然能为加快理解和掌握数学知识提供有利条件,促进学生类比推理能力的发展,但是往往也会由此而产生错误。比如在百分数运算中,遇到“一件衣服原价100元,增加20%后又降价20%,现价是多少元”这样的问题时,学生会错误地以整数运算经验来类推,得出“结果仍为100元”的错误结论。出现诸如此类的错误类比推理,究其原因是未从关系上深刻理解内在的关联,且没有经过检验。因此在教学中,教师既要重视类比推理的应用,又要防止学生乱用类比造成错误。对类比推理得到的结论,教师要提醒学生养成检验的习惯,学会用实例进行检查修正,以提高类比推理的能力。同时,教师在运用类比推理教学时,要注意引导学生细心观察、仔细分析,正确把握类比的对象,判断其中是否真正存在某些本质特征上的相似之处,然后才能去类推其他方面的属性。在提出类比猜想后,还应该注重通过举反例来揭示类比猜想中的不合理成分,有助于类比推理的结论验证和修正完善。

类比推理在高中数学教学中的应用篇11

[关键词]类比推理高中数学教学实践

[中图分类号]G633.6 [文献标识码]A [文章编号] 16746058（2015）260035

类比推理是一种观察、分析、发现规律的研究过程，作为一种普适性较强的科学研究方法，它被应用于数学教学研究中.教师通过使用类比推理法联系具有一定相关性的数学定律，并通过其联系规律推理出既定定律的其他共性，从而达到研究目的.对此，高中数学教师可加强对类比推理法的教研力度，以提高学生的数学解题、研究能力.

一、在数学定律教学时使用类比推理

在高中数学课程中，类比推理法常在几何、代数等数学内容的教学中运用.在一定的条件下，相关的数学定理均可互相总结推出二级、三级定律，有助于从两种数学规律的共同性质推导出新的数学定律.因此，教师在高中数学定律教学中，可使用类比推理法帮助学生学习数学定律.

以人教版高中数学教材为例，在教学球的性质时，教师可帮助学生总结圆的性质并进行对比.在一定条件下，通过类比推理法可由A事物与B事物相同的性质一、二、三，推出B事物可能具有A事物具有的性质四.例如，教师在进行球方程的教学时，可借助圆的性质引导学生展开推理.如圆具有“周长C=2πr、面积S=πr2、圆心与非直径弦的重点连线垂直于弦”等性质，而球具有“表面积S=4πr2、体积V=43πr3、球心与不过球心的截面圆心的连线垂直于截面”等性质.通过类比，可引导学生由圆的方程“（x-x0）2+（y-y0）2=r2”推出球的方程“（x-x0）2+（y-y0）2+（z-z0）2=r2”；通过诸如此类的类比推理法，可帮助学生推导出与原有知识相对称的新规律.

二、在帮助学生完成知识整合过程中应用类比推理

知识整合指通过将两种概念或定律进行比较，把握其区别与联系，加深记忆，从而提高应用能力的过程，是学生在学习过程中巩固知识的重要手段.一般来说，同类但概念相异的数学知识具有共通性.因此，在进行相关的数学教学时，教师可应用类比推理法帮助学生完成知识整合的过程.

以人教版高中数学教材为例，在实数与向量数的教学中，教师可首先分别介绍实数系与向量系各自的基本性质.如实数系具有“单位实数为1，零实数为0，数a的相反数为-a，实数a的绝对值为|a|”等基本性质.而向量系则具有“单位向量为e，零向量为0，向量的相反向量为-a，向量a的模为|a|”的基本性质.通过把握共同点，加深学生对向量基本性质的认识.其次，教师可进一步对比向量数以及实数的运算规律时，如在交换律中，实数系遵循“a+b=b+a”的规律.向量系同样遵循“a+b=b+a”的规律.但在结合律中，实数系遵循“（a×b）×c=a×（b×c）”的乘法结合规律，而向量系并不存在“（a×b）×c=a×（b×c）”的乘法结合律.通过类比法，使学生明确实数与向量的性质差异，通过知识整合达到帮助学生记忆与理解知识的目的.

三、在数学问题的解决过程中应用类比推理

在部分高中数学教学实践中，教师容易误入“题海战术”的误区.盲目地做题、讲解容易使学生陷入具体题目中，无法在解题过程中获取一般定律和解题思路.因此，教师可采用类比推理法进行数学教学实践，遵循“先方法，后内容，循序渐进”的教学方法，培养学生的数学类比推理能力以及分析水平.

以人教版高中数学教材为例，在利用类比推理法进行数学解题教学时，教师可通过逐步引导学生比较分析相关问题的区别与联系.如在解答题目“（1）已知a，b为实数，且|a|<1，|b|<1，求证：ab+1>a+b；（2）已知a，b，c均为实数，且|a|<1，|b|<1，|c|<1，求证：abc+2>a+b+c”时，教师可向学生做以下解题引导：从题目上看，问题（1）的题目内容以及解题方法较为明显且简单，因此，可先进行问题（1）的解答，即“（1）ab+1-（a+b）=（a-1）（b-1）>0”；其次，教师应使学生先总结出该问题的一般性解题思路，即通过将不等式两边的数量关系进行重构，从而组成符合题目要求的形式.通过对问题（1）的一般解题规律的总结，教师可令学生以该规律为导向，对比问题（1）与问题（2），给予学生解题暗示，从而帮助其在类比推理的方法上获得问题（2）

的解题方法.可见，类比推理法在解决数学问题中具有较为显著的作用.从上述例子中不难看出，由于题目中的条件与结论具有一般性规律，因此可以使学生把握这一规律，并将其应用于更多相似题型的解题过程中.

综上所述，类比推理法在高中数学教学实践中的应用较为广泛，可帮助学生在进一步理解数学规律的基础上提高思考、解题的科学性和高效性，为其数学成绩的提高以及逻辑思维能力的培养提供发展的平台.教师必须充分把握类比推理法的特点，将其合理应用到高中数学教学实践中，从而促进高中数学“教”与“学”的可持续发展.

例谈类比推理在高中数学中的应用篇12

下面通过一些具体的案例来说明类比推理在解题中的应用.

【例1】由梯形的面积公式, 通过类比推理推测四棱台的体积公式.

分析:这里类比的对象已经确定了, 接下来主要是对类比对象做进一步的分析.

梯形可以认为是用平行于三角形的一边的直线截去一个小三角形后得到的, 而棱台则可以认为是用平行于底面的一个平面截去一个小棱锥后得到的, 据此, 应该有如下的对应关系:

直线←→平面;三角形←→棱锥;梯形←→棱台.

进而有:梯形底边长←→棱台底面积;

三角形面积←→棱锥体积;

梯形面积←→棱台体积.

通过以上的分析, 可猜想棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.

又梯形的面积公式为 $S_{梯形} = \frac{1}{2} h (a + b)$ , 其中a, b分别表示梯形上﹑下底的长度, h表示高.

猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式

$V_{棱台} = \frac{1}{2} h (S$ 上+S下) .①

其中, S上、S下分别表示棱台的上﹑下底面面积, h表示棱台的高.

①式的正确与否要通过严格的证明来确认, 在做出正式的证明之前, 可以通过具体的例子加以检验.把棱锥看成棱台的特例, 此时, 公式①中的S上=0, 因此有 $V = \frac{1}{2} h S$ 下, 这与实际结果 $\frac{1}{3} h S$ 下不符, 表明猜想是错误的, 需要修正.于是设想公式具有 $V_{棱台} = \frac{1}{3} h (S$ 上+S0+S下) ②的形式, 公式②的分母从2变为3, 相应的分子从2项变为3项, 这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异.因此, 我们只要具体地确定公式中的S0.容易看出:第一, 从棱锥的体积公式可知, 当S上=0时, S0=0, 因此, S0应含有S上的因子;第二, 棱台的上底和下底具有相等的地位, 因此, 我们可以猜想S0具有 $k \sqrt{S_{上} S_{下}}$ 的形式;第三, 进一步确定k的值, 仍然使用特殊化的方法, 当S上=S下时, 棱台变为棱柱, 则 $V_{棱台} = \frac{1}{3} h (S$ 上 $+ k \sqrt{S_{上} S_{下}} + S_{下}) = h S_{0}$ .此时, S上=S下=S0, 所以有k=1, 因此, $S_{0} = \sqrt{S_{上} S_{下}} ‚ ②$ 式即为 $V_{棱台} = \frac{1}{3} h (S$ 上 $+ \sqrt{S_{上} S_{下}} + S$ 下) .

【例2】圆与椭圆﹑双曲线都可以看成用平面截圆锥面所得到的曲线, 它们在定义﹑图像上非常相似 (特别是圆与椭圆) , 因此它们在性质方面也应该相似.教材上有这样一道例题:“求证:过圆x2+y2=R2上一点P (x0, y0) 的切线方程为x0x+y0y=R2”, 根据类比推理, 我们能得到以下结论:“过椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ 上一点P (x0, y0) 的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} + \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1 (a ＞ b ＞ 0)$ ;过双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a ＞ 0, b ＞ 0)$ 上一点P (x0, y0) 的切线方程为 $\frac{x_{0} x}{a^{2}} - \frac{y_{0} y}{b^{2}} = 1 (a ＞ 0, b ＞ 0)$ .”

【例3】等差数列与等比数列在定义、通项公式、求和公式方面有很多相似点 (如等差数列用减法定义, 性质用加法表述;等比数列用除法定义, 性质用乘法表示述等) , 因此我们可以通过类比的方法得到等差数列与等比数列很多相似的性质.如:“已知等差数列{an}的前n项和为Sn, 则数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 也是等差数列.若数列{cn}是正项等比数列, 通过类比, 能得到什么结论?”对于此题, 我们只要找到等差数列与等比数列的相似点, 不难得到“记dn=c1c2…cn, 则数列 ${\sqrt[n]{d_{n}}}$ 也为等比数列”这一结论.