极值的充分条件

2024-07-20

极值的充分条件（共6篇）

极值的充分条件篇1

物理过程中, 求极值的问题我们会经常遇到。例如, 投掷手榴弹时, 在初速度大小一定的条件下, 要以多大的角度投出, 才能投的最远?盛水容器侧壁小孔距液面多深时, 射流的射程最大?外电阻为何值时, 电源的输出功率最大?这类题目我们可以根据给定的物理条件建立量间的函数关系式 (数学模型) , 然后利用数学方法求解。

1.一元二次函数y=ax2+bx+c (a≠0) 。当a>0, 且undefined时, y有极小值undefined, 当a<0且undefined时, y有极大值undefined

用此法时自变量为二次函数。

2.一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0) 的根式为undefined, 当判别式△=b2-4ac=0时, x有极值undefined (极大或极小) 。

用此法时, 自变量为二次函数。先有判别式求出因变量的极值, 然后代入根式求取极值时自变量的值 (极值条件) 。

3.二次函数可用配方法配成y= (x-a) 2+b, 当x=a时, y取极值b。配方法有两个重要的推论:

(1) 若x>0, y>0, 且xy=c (常数) , 则当x=y时, x+y有极小值;

(2) 若x>0, y>0, 且x+y=c (常数) , 则当x=y时, xy有极大值。

4.用三角函数的性质求极值。

如y=sin (x+x0) , 当undefined时, ymax=1;当undefined时, ymin=-1。

又如y=cos (x+x0) , 当x+x0=0时, ymax=1;当x+x0=π时, ymin=-1。

例1 A、B两个物体, 同时从同一地点向同一方向出发。A物体以5m∕s的速度作匀速直线运动, B物体以0.5m∕s2的加速度作初速度为0的匀加速直线运动。问相遇前它们在何时相距最远?并求出其最远距离。

解:方法一

设SA、SB分别为物体A、B运动的距离, 它们之间的距离为S, 则

undefined

我们就得到一个以t为自变量的二次函数式。求A、B相距最远距离, 就是一个求极值问题, 整理上式, 得

S=-0.25t2+5t (1)

∵ a=-0.25<0, 故S有极大值, 当

undefined

方法二

(1) 式配方后得

S=25- (0.5t-5) 2

当0.5t-5=0时, S有极大值

t=10s时, Smax=25m

例2 甲船以12km/h的速度向北行驶, 其时在正北10km处的乙船以16km/h的速度向东行驶, 问两船何时相距最近?距离是多少?

解:依题意作甲、乙两船航行的示意图 (图1)

设t时刻两船相距为S,

则 DC2= (AB-BD) 2+AC2

即 S2= (10-12t) 2+ (16t) 2

=400t2-240t+100

这是以t为自变量的二次函数。

∵ a=400>0, 故S有极小值, 条件是:

此时, undefined

undefined

故当t=0.3h时S=8km为甲、乙两船相距的最近距离。

例3 用焦距为f的凸透镜成像时 (图2) , 物和实像的最小距离是多少?

解:设物和像的距离为L

undefined

解之, 得u2-Lu+Lf=0, 此式是以u为自变量, L为因变量的二次方程,

undefined

只有当△=b2-4ac≥0, 即L2-4L, f≥0时, 才有实数根,

∴ L≥4f。

要成实像, 且满足题设, Lmin=4f。

此时undefined。

故u=v=2f为物和实像的最小距离。

由以上几例我们看到, 当遇到物理过程中的求极值问题时, 我们可以从题目给定的物理条件建立量间的函数关系式 (数学模型) , 然后利用数学的方法即可顺利求解。

极值的充分条件篇2

一、问题的提出：叶祝颐先生提出了一个观点[i]，认为保姆也属于劳动者，应该受劳动法调整。理由是他认为“全日制”住家保姆每天的工作时间已经超过了8小时，形成了事实劳动关系，理应受劳动法约束。对此笔者不敢苟同。笔者认为，构成劳动关系应当满足主体和客体两个必要充分条件，即用工者与被用工者一要符合劳动法规范的主体；二要被用工者为用工者有偿提供劳动，两者缺一不可。

二、劳动关系的概念劳动关系，又称劳动法律关系，是指符合劳动法规范的用人单位与劳动者运用劳动能力实现的劳动者提供劳动，用人单位支付报酬面而产生的权利义务关系。劳动关系具体包括规范的劳动关系和事实劳动关系，前者系指用人单位与劳动者依法通过订立书面劳动合同建立的劳动关系；后者是指用人单位与劳动者虽然没有订立书面劳动合同，但双方实际履行了劳动法所规定的劳动权利义务而形成的劳动关系。

三、构成劳动关系的两个必要充分条件

（一）构成劳动关系第一个必要充分条件：用工者与被用工者双方必须符合劳动法规范的主体。劳动关系的主体只有二个，即劳动关系中劳动力的使用者和劳动力的所有者，也就是使用劳动力的用工者和拥有劳动力的被用工者。首先，构成劳动关系的用工者必须是“用人单位”，这是前提。对此，《劳动法》第二条规定“在中华人民共和国境内的企业、个体经济组织（以下统称用人单位）和与之形成劳动关系的劳动者，适用本法。国家机关、事业组织、社会团体和与之建立劳动合同关系的劳动者，依照本法执行”；原劳动部《关于贯彻执行〈

中华人民共和国劳动法〉若干问题的意见》（下称劳动部若干意见）的第二条规定：“中国境内的企业、个体经济组织与劳动者之间，只要形成劳动关系，即劳动者事实上已成为企业、个体经济组织的成员，并为其提供有偿劳动，适用本法”。除上述之外，《劳动合同法》第二条规定“中华人民共和国境内的企业、个体经济组织、民办非企业单位等组织（以下称用人单位）与劳动者建立劳动关系，订立、履行、变更、解除或者终止劳动合同，适用本法。国家机关、事业单位、社会团体和与其建立劳动关系的劳动者，订立、履行、变更、解除或者终止劳动合同，依照本法执行”；《劳动合同法实施条例》第三条对该条进一步补充“ 依法成立的会计师事务所、事务所等合伙组织和基金会，属于劳动合同法规定的用人单位”。由此可见，劳动法规定的劳动关系中，一方必须是用人单位，至少是备有营业执照的有雇工的个体工商户，即法律规定的“个体经济组织”。而普通的保姆雇用者往往是个人（自然人），其不具有“组织”的身份，所以不受劳动法调整。《劳动部若干意见》第四条“……农业劳动者（乡镇企业职工和进城务工、经商的农民除外）、现役军人和家庭保姆等不适用劳动法” ；最高人民法院关于审理劳动争议案件适用法律若干问题的解释(二第七条规定“下列纠纷不属于劳动争议： ……(四家庭或者个人与家政服务人员之间的纠纷；(五个体工匠与帮工、学徒之间的纠纷；(六农村承包经营户与受雇人之间的纠纷”也证明了这一点。其次，构成劳动关系的被用工者应当符合劳动法规范的劳动年龄。劳动年龄是指公民的年龄在16周岁（特殊工种除外）以上至法定退休年龄止。有关劳动年龄的下限，劳动法有明确规定。《劳动法》第十五条规定“禁止用人单位招用未满十六周岁的未成年人。文艺、体育和特种工艺单位招用未满十六周岁的未成年人，必须依照国家有关规定，履行审批手续，并保障其接受义务教育的权利”；国务院《禁止使用童工规定》第二条规定“国家机关、社会团体、企业事业单位、民办非企业单位或者个体工商户（以下统称用人单位）均不得招用不满16周岁的未成年人”。对于劳动年龄的上限，虽然到目前为止尚无法律法规的明确规定，但从我国的立法精神及法律法规来看，却蕴含应当不超过法定退休年龄此意。

1、从立法精神来看，劳动法规范的劳动年龄的上限应当不超过法定退休年龄。（1）新中国最早颁布的是1951年（1953年修改）政务院《中华人民共和国劳动保险条例》。该条例第十五条

养老待遇中明确规定：男工人与男职员年满六十岁、女工人与女职员年满五十岁（特殊工种除外）后可退职养老。（2）而我国《宪法》第四十四条则规定“ 国家依照法律规定实行企业事业组织的职工和国家机关工作人员的退休制度。退休人员的生活受到国家和社会的保障。” 也就是说，劳动法规范的劳动者是有年龄界限的。超过了该界限即不是劳动法意义上的劳动者。国家不再需要为这些人员提供就业岗位，也不再将这些人员列入失业指标。这些人员受特别法保护，如我国60岁以上的公民[ii]受《老年人权益保护法》保护等等。

2、从劳动法规范来看，劳动法规范的劳动年龄的上限应当不超过法定退休年龄。（1）根据《宪法》第四十二条及第四十四条之规定，我们可以得出如下结论：劳动法调整的劳动者属于“就业”范围，即指应是在16周岁（特殊工种除外）以上至法定退休年龄内、具有劳动能力的公民。为此，国家特规定了法定退休年龄。目前仍然执行的是《国务院关于工人退休、退职的暂行办法》、《国务院关于颁发〈国务院关于安置老弱病残干部的暂行办法〉，具体规定了干部和职工的退休年龄，即：男年满60周岁，女工人年满50周岁，女干部年满55周岁（特殊工种除外）。也就是说到达法定退休年龄退休，既是职工的权利又是义务。《劳动合同法实施条例》第二十一条明确规定“ 劳动者达到法定退休年龄的，劳动合同终止”，该条的含义就是劳动者到达法定退休年龄时，不论其是否依法享受基本养老保险待遇，用人单位均可终止劳动合同，即根据劳动法调整的劳动关系因劳动合同的终止而消灭。将于2011年7月1日实施的《社会保险法》规定个人“达到法定退休年龄时累计缴费不足十五年的，可以缴费至满十五年，按月领取基本养老金；也可以转入新型农村社会养老保险或者城镇居民社会养老保险，按照国务院规定享受相应的养老保险待遇”也隐含此意，即法定退休年龄是劳动年龄的一个上限，至于到达法定退休年龄是否享受基本养老保险待遇或者其他养老保险待遇是另一个法律关系。（2）原劳动部办公厅《对<关于实行劳动合同制度若干问题的请示>的复函》（劳办发[1997]88号）第二条规定"各地应采取适当的调控措施，优先解决适龄劳动者的就业和再就业问题。对被再次聘用的已享受养老保险待遇的离退休人员，根据劳动部《劳动部关于实行劳动合同制度若干问题的通知》（劳部发[1996]354号）第13条的规定，其聘用协议可以明确

工作内容、报酬、医疗、劳动保护待遇等权利、义务。离退休人员与用人单位应当按照聘用协

议的约定履行义务......离退休人员聘用协议的解除不能依据《劳动法》第二十八条执行。”，也就是说，适龄劳动者列入我国劳动部门就业和再就业问题指标，实行劳动合同制度。除此之外，包括离退休人员等超过法定退休年龄的人员与用人单位之间的聘用协议中有关期限、工作内容、报酬、医疗、劳动保护待遇等权利、义务等内容是可签可不签的，双方可以协商订立。而劳动法意义上的劳动关系，劳动合同必须书面签订[iii]，且劳动合同中必须具有必备条款[iv]。否则就违反了法律的强制性规定。由此可见，超过法定退休年龄的人员已不是劳动法意义上的劳动者；构成劳动关系的被用工者的年龄上限应当不超过法定退休年龄。其实，对此，劳动和社会保障部《关于确立劳动关系有关事项的通知》（2005年5月25日劳社部发[2005]12号）（下称劳动和社会保障部通知）规定：“

一、用人单位招用劳动者未订立书面劳动合同，但同时具备下列情形的，劳动关系成立。

（一）用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格；……”也说明了这一问题。有人认为，最高人民法院《关于审理劳动争议案件适用法律若干问题的解释

（三）》第七条规定“用人单位与其招用的已经依法享受养老保险待遇或领取退休金的人员发生用工争议，向人民法院提起诉讼的，人民法院应当按劳务关系处理”，因此提出“已达到法定退休年龄，未开始依法享受基本养老保险待遇的人员，与用人单位因工作而产生的关系仍为劳动关系，属于劳动法调整范围”。关于这个观点，答案也“是否定的,不能从《解释(三》第七条反向推出上述情形下双方关系应按劳动关系处理的结论。在司法实践中,上述情形一般也应按劳务关系对待。因为按照法律规定,劳动者达到法定退休年龄之后,其就不再具有劳动能力,也不再具有劳动的权利和义务,当然其也就不享有劳动法上的权利,其与用人单位之间的关系就不可能是劳动关系[v]”。这个反向推理是与《宪法》、劳动法、《社会保险法》及《老年人权益保护法》的立法宗旨相违背的。因为，虽然《劳动合同法》第四十四条规定“劳动者开始依法享受基本养老保险待遇的劳动合同终止”，但该条同时规定具有“法律、行政法规规定的其他情形的劳动合同终止”。《劳动合同法实施条例》是行政法规，该条例第二十一条规定“ 劳动者达到法定退休年龄的，劳动合同终止”符合

《劳动合同法》终止劳动合同的条件。否则，就会出现已享受“城乡居民养老保险金”的老人因为享受的不是“基本养老保险金”两字、或者没有享受“基本养老保

险金”但已七、八十岁的老人一旦与用人单位发生用工关系的均构成劳动关系的怪象，也就没法解释《社会保险法》第十六条“参加基本养老保险的个人，达到法定退休年龄时累计缴费不足十五年的，可以缴费至满十五年，按月领取基本养老金；也可以转入新型农村社会养老保险或者城镇居民社会养老保险，按照国务院规定享受相应的养老保险待遇”的规定；也没法解释《劳动合同法实施条例》第二十一条“ 劳动者达到法定退休年龄的，劳动合同终止”之规定；也没法解释《劳动合同法》第四十四条规定符合“法律、行政法规规定的其他情形的”“劳动合同终止”；也没法解释《劳动和社会保障部通知》中 “用人单位和劳动者符合法律、法规规定的主体资格；……”是劳动关系构成要件之一的规定。所以，笔者认为，用工者和被用工者任何一方不符合上述主体，即使被用工方提供劳动，双方之间仍不是劳动关系。

（二）构成劳动关系第二个必要充分条件：被用工者为用工者必须符合提供劳动，而且是有偿劳动这个客体。劳动关系的客体是劳动关系主体双方的权利义务共同指向的对象，即劳动者的劳动行为。只有劳动者同用人单位提供的生产资料相结合，实现社会劳动过程中，才能在劳动者与用人单位之间形成劳动关系。实现社会劳动过程，才是劳动关系得以实现的过程。用工者与被用工者在符合劳动法规定的主体后，如果被用工者不为用工者提供有偿劳动，同样不构成劳动关系。对于提供有偿劳动问题，（劳动和社会保障部通知）是这样规定的“用人单位招用劳动者未订立书面劳动合同，但同时具备下列情形的，劳动关系成立。……

（二）劳动者受用人单位的劳动管理，从事用人单位安排的有报酬的劳动； ……“；《劳动部若干意见》第四条：“……劳动者事实上已成为企业、个体经济组织的成员，并为其提供有偿劳动，适用本法”。所以，被用工者为用工者提供的劳动必须是有偿的。但是，被用工者每天提供有偿劳动时间的长短却并不是衡量存在劳动关系的标准。如前所述，构成劳动关系的任何一方必须符合劳动法规定的主体。如果用工者和被用工者任何一方不符合劳动法规定的主体，无论被用工者每天工作时间达到或者超过8小时，均不是劳动法意义上的劳动关系，而是一般民事法律关系。反之，即使被用工者每天提供时间只有3小时，或者是更少时间，但只要用工者和被

用工者符合劳动法规定的主体，仍可构成全日制或非全日制的劳动关系。因为用工者和被用工者双方可以约定工作时间。需要说明的是，在特别

情况下，比方说不符合（劳动和社会保障部通知）“劳动者提供的劳动是用人单位业务的组成部分”的规定，即使用工者和被用工者满足了构成劳动关系的两个必要充分条件，双方之间也并不一定构成劳动关系，如用人单位与个人之间一次性的劳务关系或承揽关系等等，需具体情况具体分析。

条件极值解法含义的诠释篇3

又如:要做一长方体体积, 设三边长度为一定值, 问三边长度各为多少时, 使其体积最大?我们解决的方法是, 令三边长分别是x, y, z, 而三边之和为A, 于是有体积V=xyz (1) .这里的x, y, z, 应符合条件:x+y+z=A (2) .由等式 (2) 解得z=A-x-y, 将此式代入 (1) 则有V=xy (A-x-y) (3) , 这里的 (3) 式就是实际考察的目标函数.也就是在其定义域内{ (x, y) |x>0, y>0, x+y

这里要注意的是, 条件极值转化成普通极值的问题, 并不是总能可行的办法.原因有二:其一, 这样做会把所考察的函数有时变得较复杂麻烦, 不便于讨论研究;其二, 从附加条件的等式中没办法解出任何一个变量被其他变量所表示.由于这些原因, 我们掌握求条件极值的方法显得非常重要.

二、条件极值的稳定点获得

可知, 若f (x, y, u, v) 在点P0 (x0, y0, u0, v0) 获得条件极值, 则 (x0, y0, u0, v0) 应同时满足上面三个微分式及两个连系方程同普通极值的情形一样, 满足 (3) , (4) , (5) 式与两个连系方程的点, 并不见得是极值点, 这样的点为条件稳定点, 怎么求得条件稳定点呢?

三、拉格朗日乘数法

这种方法也称待定系数法, 即求函数条件稳定点的方法, 主要引入待定的乘数 (乘数个数与连系方程个数相等) .

由于dx, dy是独立的量, 要让上式成立, 则必有:

上面 (7) (8) (9) (10) 这几个等式是由引入乘数, 推导出来的.现在给出一个辅助函数———拉格朗日函数:

L (x, y, u, v) =f (x, y, u, v) +λ1F1 (x, y, u, v) +λ2F2 (x, y, u, v) .这里其中第一项是求其条件极值的函数f, 第二项是以待定乘数λ1, 乘连系方程之一, 第三项是以待定乘数λ2去乘另一个连系方程.

四、归纳与分析

为了便于掌握, 可以写成如下法则, 我们最终要掌握的就是这个法则.求条件稳定点设函数:

摘要：在实际问题中, 经常遇到函数的自变量必须满足附加条件的极值问题.本文讨论了条件极值的解法, 对于稳定点的几种不同情形, 剖析了实际案例, 诠释了判断条件极值中稳定点取得极值的方法, 并对有关问题作了进一步探讨.

关键词：条件极值,稳定点,拉格朗日乘数法

参考文献

[1]华宏祖.微积分解疑[M].南京:江苏科学技术出版社, 1999.8.

[2]刘玉琏.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社, 2003.

辅导班―考研的必要但不充分条件篇4

祝福考研学子的同时，我们也在关注着的学生，你们的考研开始的怎么样了?我们发现，考研学生报名辅导班的时间越来越早、人数越来越多、班期越来越全，很多人都在问，辅导班是必须么?

我们姑且把考研学生分成几类，看看每个类型该如何选择。

大学轻轻松松混学下来的。虽然也跟着学了知识，但是因为根本没上心，所以很泛泛，具体学了什么都不清楚，这样的学生一旦决定考研，是很有必要上个辅导班的，尤其是基础班导学班一类的，一定要听听，因为这些班主要是在大家复习之初给予系统性指导，让你了解考研你都该学些什么，重点是什么…

对于某些成绩一般或者有点偏科的同学来说，自己的复习当然重要，但是如果能够有老师的指导那一定是事半功倍，辅导班的老师大多是有着丰富考研辅导经验的老师，对于考研科目的知识了如指掌、重点难点要点考点都能够指点给大家，还有一些考研经验、方法技巧对同学们来说也很有用处。

对于那些想考名校的同学来说，大家的基础一般都比较好，如果能够自己制定比较完整合理的计划并认真执行下去，一般考上不会有大问题，但症结在于同学们想考的是名校，这个难度是肯定要升上去的，因此还是有部分同学会选报辅导班，尤其是一些强化班冲刺班类的`，借助老师的帮助向高分冲刺。在历年的高分学员回馈中，我们也发现大家对辅导班的作用直言不讳，这也是越来越多的同学报班的原因。

这样一说来，大家可能觉得这岂不是都要报班?想一想，中考高考多少老师从早到晚的陪着我们辅导我们，考研可是完全一个人的战斗，自己的艰辛与努力自不必说，可是如果能有老师的指导能够让自己的复习更上层楼，为什么要说不呢?当然，凡事利弊共存，这边是辅导班的好处都知道，那边也会发现其弊端，就是很多同学报了班之后以为万事大吉而放松自己的学习，这是行不通的。考研，归根结底还是个人的努力大于一切，没有这个内因，所有外因都起不了作用。所以告诫同学们，不要把辅导班当成你考研的充分条件，它或许可以算必要，但绝对不充分!只有加上我们的刻苦，考研这个命题才能成立!

极值的充分条件篇5

一、第一种情况

如三个矢量中, 其中一个矢量不变 (即大小、方向都不变, 设这个矢量为第一个矢量) , 另一个矢量方向不变 (设为第二个矢量) , 那么第三个矢量在变化时一定有一个最小值, 且当第三个矢量与第二个矢量垂直时第三个矢量的大小最小。

1. 在运动的合成与分解中的应用

例1:两个互成角度 (不为0°和180°) 的共点力合成, 如保持它们的夹角和其中一个分力大小方向不变, 增加另一分力的大小, 那么合力将 ()

A.一定增加

B.一定减小

C.可能增加、可能减少、可能不变

D.如夹角为锐角, 那么一定增加

解析:很显然, 如两力之间夹角为锐角, 一力变大, 合力变大, 即D是正确的;如两力之间夹角为钝角, 可作如图3所示的矢量三角形, 在保持两力夹角不变, 一个分力变大, 那么合力可能增加、可能减少、可能不变, 即C也正确。

2. 在三力动态平衡类问题中的应用

例2:如图4, 两细绳AO、BO悬挂重物G, 在保持重物位置不动的前提下, 转动OB绳, 使OB绳与竖直方向夹角变大, 直到OB绳水平, 在移动中两绳受的拉力如何变化?

解析:以结点O为研究对象, 受三个力的作用, 这三个力构成一封闭三角形。由题意, 重力不变, OA绳子拉力方向不变, OB拉力方向变化时其余二力相应改变, 如图5所示。从图中可知, OB、OA垂直时OB拉力最小。所以OB拉力先变小后变大, OA拉力一直变大。

3. 在动力学中的应用

例3: (2005年北京高考题) 真空中存在范围足够大的、水平向右的匀强电场。在电场中, 若将一质量为m, 带正电的小球由静止释放, 运动中小球的速度与竖直方向的夹角为37°。 (取sin37°=0.6, cos37°=0.8) 现将该小球从电场中某点以初速度v0竖直向上抛出, 求运动过程中

(1) 小球受到的电场力的大小与方向。

(2) 小球从抛出点到最高点的电势能的变化量。

(3) 小球的最小动量的大小和方向。

解析:这题前两个问题比较简单, 一般考生容易求解, 而第三小题求物体在恒力作用下做曲线运动过程中小球的最小动量的大小和方向, 是一个较难的极值问题。由题意, 带电小球从静止释放, 在运动过程中小球的速度与竖直方向的夹角为37°, 设小球受到的电场力为F, 小球受力图如图6所示, 由于电场强度方向水平向右, 小球带正电, 电场力与小球重力满足, 所以。

当带电小球从电场中某点以初速度v0竖直向上抛出后, 由于小球受到的合力方向与其运动方向不在同一直线上, 小球做曲线运动, 如图7所示。

由图6可求得, 带电小球受的合力, 在小球运动过程中方向始终不变, 即是个恒力, 由动量定理,

(*) 式中是小球的初动量, 大小P0=mv0, 方向竖直向上, 是个恒量;→P为小球运动时间t时的动量;是小球合力的冲量, 大小, 与时间成正比, 方向始终与竖直方向成37°。

(*) 式是个矢量式, 运算遵守平行四边形法则, 三个矢量组成一个封闭的矢量三角形。由于不变, 方向不变, 故对应不同的, 可作出一系列的封闭的矢量三角形, 如图8所示。从图8中不难看出, 当与垂直时, P值最小, 所以

动量的方向为斜向右上方并与竖直方向成53° (水平方向成37°) 。

二、第二种情况

如果三个矢量中, 有一个矢量不变 (设为第一个矢量) , 第二个矢量大小不变而方向改变, 且当第一个矢量的大小大于第二个矢量的大小时, 那么当第三个矢量与第二个矢量垂直时, 第一个矢量与第三个矢量间夹角最大。

如图9所示的三角形中, AO大于BO, B点可在圆上移动, 当AB与OB垂直时, 角BAO最大。

1. 在小船渡河问题中的应用

例4:一只小船在静水中的速度为v1=3m/s, 河水的流动速度为v2=5m/s, 小船应怎样过河, 航程最短?

解析:由于河水速度大于船在静水中的速度, 所以船不能垂直过河, 但船的运动仍有最短路程。以河水的流速v2=5m/s的矢量末端为圆心, 以船在静水中的速度为v1=3m/s为半经作圆。从出发点作这个圆的切线, 从图10中可以看出, 船沿这切线运动的路程最短。

设小船的合运动方向与水流方向成θ角时航程最短, , 所以小船与水流方向成37°角时航程最短。

2. 在三力动态平衡类问题中应用

例5:如图11所示, 在“共点力合成”实验中, 橡皮筋一端连接两个弹簧秤, 分别用力F1与F2拉两个弹簧秤, 使这端拉至O点不动, 现使F2大小不变地沿逆时针转过某一小角度, 相应地使F1的大小及图中β角作以下哪些变化是可能的 ( )

A.减小F1的同时增大β角

B.减小F1的同时保持β角不变

C.增大F1的同时减小β角

D.减小F1的同时减小β角

解析:以结点O为研究对象, O受绳子OP及两根弹簧拉力F、F1、F2三个拉力而处于平衡这三个力构成一个封闭的矢量三角形。如图12所示。由题意, 0P的拉力F不变, F2大小不变, 以F末端为圆心, 以F2大小为半经画一个圆, 那么在F2逆时针转动过程中, F1与F2垂直时, F1与F之间的夹角最大, 而F1一直减小。所以这题正确的答案为A、B、D。

三、第三种情况

如果三个矢量中, 有一个矢量不变 (设为第一个矢量) , 第二个、第三个矢量间的夹角不变且小于900, 那么当第二个 (或第三个) 矢量与第一个矢量垂直时, 第三个 (或第二个) 矢量有最大值。

如图13所示, 三角形ABC中, AB不变, 点C在三角形ABC的外接圆上移动, 角ACB保持不变且小于90°, 当AB与BC垂直时, 边AC为直径 (最大) 。

例6:如图14, V字形夹板AOB, 夹角为θ (小于90°) , 夹板中间有一个光滑的小球, 开始OA与地面间夹角为α, 两板对小球的弹力分别为FA、FB, 现缓慢在顺时针方向转动夹板AOB, 关于FA、FB的变化下列说法正解的是 ( )

A.FA一直变大, FB一直变小

B.FA一直变小, FB一直变大

C.FA先变大后变小, FB先变小后变大

D.FA、FB都是先变大后变小

极值的充分条件篇6

在初等数学范围内,我们可以把二元函数的极值问题转化为一元函数的极值问题来解决。利用几何画板软件可以把代数式进行直观表达,进而通过软件的度量、函数、轨迹等功能,探讨二元函数的极值问题的内在规律。

无条件极值问题函数中的自变量只受定义域约束。对于二元函数的极值问题,我们可以利用几何画板软件,把一个变量设置为参数,如在x轴上把定义域构造成一个线段,在线段上选取一个自由点,利用“度量”→“横坐标”命令,得到变量x的参数,然后利用“绘图”→“绘制新函数”命令,把参变量代入函数中绘制出函数的图象,拖动自由点,改变参变量,就可以观测函数的的性态,寻找解决问题的规律。条件极值是函数中的自变量除受定义域约束外,还受其他条件限制的极值问题。我们可以利用几何画板软件先绘制出约束条件g(x,y)=0的图象,再把图象上的动点代入二元函数,观测函数性态,寻求极值。

1 绘制g(x,y)=0的图象

用几何画板软件探讨二元函数z=f(x,y)在约束条件g(x,y)=0的极值问题,首先要把约束条件g(x,y)=0的图象绘制出来。一般地,几何画板软件能解决的两种情况是:(1)将x或y解出,利用“绘图”→“绘制新函数”命令,得到g(x,y)=0的图象;(2)根据g(x,y)=0的几何性质,构造出图象。

2 观测极值

观测极值的步骤是:(1)在g(x,y)=0的图象上选取一个自由点A,利用“度量”→“横坐标”、“纵坐标”命令,得到两个参数xA、yA;(2)利用“数据”→“计算”命令,计算函数z=f(x,y)的值;(3)选取xA或yA和函数的值,利用“绘图”→“绘制点(x,y)”命令,得到函数z=f(x,y)的一个点;(4)依次选取绘制出的点(x,y)和约束条件g(x,y)=0的图象上的自由点,利用“构造”→“轨迹”命令,得到z-x和z-y的轨迹,来观测z=f(x,y)的极值。

3 应用

例1:设a>0,b>0,且a+ab+2b=30,求的最小值。

分析:将a+ab+2b=30变形得b=30-a a+2。用“绘图”→“绘制新函数”命令,作函数的图像(图1,用实线表示)。下面探讨的变化情况:

(1)在曲线上取一点A,用“度量”→“横坐标”、“纵坐标”命令,度量点A的坐标a、b。

(2)用“数据”→“计算”命令,计算ab的值。

(3)由于a>0,b>0,我们只需要研究函数在第一象限的情况。依次选中a和ab,用“绘图”→“绘制点(x,y)”命令,得到函数的一个点。

(4)依次选中绘制出的函数的点和A点,用“构造”→“轨迹”命令,就得到ab随着a的变化曲线,即ab-a曲线(图1,用虚线表示)。在此略去画ab-b曲线。

在函数的曲线上拖动A,当横坐标a=3时,纵坐标b=6,ab达到最大值18,达到最小值。

例2:求函数z=x2-y2在附加条件x2+y2=4下的极值。

分析:任取一个自由点,用“变换”→“平移”命令构造长度为2的线段,选取坐标原点和线段,用“构造”→“以圆心和半径作圆”,绘制出x2+y2=4的图象(图2)。

下面探讨z=x2-y2的变化情况:

(1)在圆上取一点A,用“度量”→“横坐标”、“纵坐标”命令,度量点A的坐标xA=0.72、yA=1.87。